Introduo aos testes estatsticos de hiptesesProf. Mrcio Souza
Testes estatsticos
Introduo
IntroduoO processo de estimao generaliza resultados de amostras
para diferentes universos. Um intervalo de confiana costuma ser
construdo, apresentando a distribuio dos possveis parmetros do
universo. Uma evoluo do uso da estimao apresentada por meio dos
testes de hipteses, que buscam confrontar alegaes sobre o todo com
resultados obtidos de amostras. Por sua vez, os testes de hipteses
podem ser:
Introduo* Paramtricos (calcula as diferenas numricas exatas
entre os resultados); assumem premissas sobre a distribuio de
parmetros da populao; * No paramtricos (apenas consideram se certos
resultados so superiores ou inferiores a outros resultados);
utilizados quando no se pode supor ou assumir caractersticas sobre
parmetros da populao de onde a amostra foi extrada.
IntroduoAssim como duas peas de um quebra-cabea, ainda que se
encaixem, podem no formar uma figura, a diferena entre valores em
teste, ainda que exista matematicamente, pode no ser
estatisticamente significativa.
Testes estatsticos
Aplicaes
AplicaesExemplo 1: Um pesquisador gostaria de testar a alegao da
mdia populacional das alturas de um grupo de alunos ser 1,70 m.
Exemplo 2: Um fabricante de lmpadas alega que seus produtos duram,
em mdia e no mnimo, 400 horas. Exemplo 3: Um pesquisador deseja
saber se a renda mdia diria dos trabalhadores de uma certa cidade
superior a R$ 100,00.
Testes estatsticos
Escolhas
A escolha dos testesDiante da grande quantidade de testes e
tcnicas estatsticos natural um certo grau de desorientao inicial.
Entretanto, para se poder realizar as escolhas adequadas,
importante considerar alguns parmetros bsicos dos dados a serem
analisados, tais como:
A escolha dos testes
1 2 3 4 5
Nmero de amostras; Relaes entre Amostras; Escala numrica;
Distribuio; Dependncia entre variveis;
A escolha dos testesApesar de ser assunto das prximas aulas,
vale a pena citar alguns testes estatsticos utilizados em trabalhos
cientficos dos mais variados segmentos de estudo.
A escolha dos testesComparao entre duas amostras:Normal No
PareadasOrdinal, intervalar ou razo
Teste t de Student Teste Mann-Whitney U, WaldWolfowitz Runs
Test, Kolmogorov-Smirnov TwoSample Test Teste de Qui-Quadrado
(Homogeneidade)
No normalNominal
A escolha dos testesComparao entre duas amostras:Normal
PareadasOrdinal, intervalar ou razo
Teste t de Student Pareado Teste de Friedman, SignTest, Wilcoxon
Matched-Pairs Test Teste de McNemar
No normalDicotmica
A escolha dos testesComparao entre trsNormal No PareadasOrdinal,
intervalar ou razo
ou mais amostras:ANOVA c/ Grupos Independentes ANOVA de
Kruskal-Wallis
No normalNominal
Teste de Qui-Quadrado (Homogeneidade)
A escolha dos testesComparao entre trsNormal PareadasOrdinal,
intervalar ou razo
ou mais amostras:ANOVA c/ Medidas Repetidas ANOVA de Friedman
Teste Q de Cochran
No normalNominal
A escolha dos testesEntretanto, algumas situaes de testes so
mais frequentes do que outras. Por isso, estudaremos (a ttulo de
introduo aos testes de hipteses) como testar hipteses sobre mdias
de populaes...
Testes estatsticos
Procedimentos
Os procedimentosEstudaremos os procedimentos de um teste
estatstico de hipteses utilizando o exemplo: Em uma certa cidade, a
renda diria dos trabalhadores segue uma distribuio normal com mdia
de R$ 100,00 e desvio padro de R$ 25,00. A partir de uma amostra de
10 trabalhadores, verificamos uma renda mdia diria de R$ 120,00.
Podemos rejeitar a hiptese de que a renda mdia diria desses
trabalhadores seja igual a R$ 100,00??
Os procedimentos
1
Formulao da hiptese nula (H0) e da hiptese alternativa (H1);
H0: tambm denominada hiptese nula. Alega igualdadede um
determinado parmetro;Ex.: = R$ 100,00 vs
H1: tambm denominada hiptese altenativa. Alegadesigualdade de um
determinado parmetro;Ex.: > R$ 100,00
Os procedimentos
2
Deve-se escolher a amostral adequada;
distribuio
As regras aplicveis para a escolha da distribuio e os
procedimentos empregados so similares aos utilizados na estimao de
intervalos de confiana e apresentados a seguir:
Os procedimentos2Deve-se escolher a distribuio amostral
adequada;
Baseado em nosso estudo de caso... SIM O valor de n maior que
30? NO
SIM
O valor de conhecido?
NO
SIM
A populao aprox. Normal?
NO
SIMUse s para estimar
O valor de conhecido?
NO
Use s para estimar
xz
n
xz
s n
xz
n
xt
s n
Aumente o tamanho da amostra para n 30.
T.C.L.
Os procedimentos2Deve-se escolher a distribuio amostral
adequada;
* Teorema Central do Limite (T.C.L.)" Se tomarmos grandes
amostras (n > 30) de uma populao, as mdias amostrais tero
distribuio normal mesmo que os dados originais no tenham distribuio
normal".
Os procedimentos2Deve-se escolher a distribuio amostral
adequada;
*
Teorema Central do Limite (T.C.L.)
Os procedimentos
3
Estabelecer o nvel de significncia e nvel de confiana; O nvel de
confiana (geralmente 95%) expressa a probabilidade de acerto da
concluso; O nvel de significncia () expressa um dos erros possveis
de serem cometidos na concluso; geralmente assume-se 5% ( =
0,05);P.S.: Estudaremos, MAIS A DIANTE, os erros inerentes aos
testes estatsticos de hipteses...
Os procedimentos
3
Estabelecer o nvel de significncia e nvel de confiana;
Baseado em nosso estudo de caso...
Monocaudal para direita
Os procedimentos
3
Estabelecer o nvel de significncia e nvel de confiana;
Monocaudal para esquerda
Os procedimentos
3
Estabelecer o nvel de significncia e nvel de confiana;
Bicaudal
Os procedimentos
4
Calcular a estatstica teste; a) Se o desvio padro populacional
for conhecido ou o tamanho da amostra for igual ou maior que 30: b)
Se o desvio padro populacional for desconhecido e o tamanho da
amostra for menor que 30:
Baseado em nosso estudo de caso...
x 0 x 0 zt = z = ou t s n n
tt =
x 0 s n
Os procedimentos
5
Confrontar a estatstica teste com os valores de
aceitao/rejeio;
Zcalc
Ztab
Os procedimentos5Confrontar a estatstica teste com os valores de
aceitao/rejeio;
Essa comparao pode ser realizada de 3 (trs) formas diferentes,
que, contudo, nos levam a tomar a mesma deciso:a) Anlise grfica; b)
Anlise do intervalo de confiana; c) Anlise do p-value;
Os procedimentos5Confrontar a estatstica teste com os valores de
aceitao/rejeio;
Para o exemplo em questo, temos:Zcalc :
x 0 00 00 0 0 zt = = =00 ,0 0 0 n 0 0
Ztab :
1,64
( = 0,05)
Os procedimentos
Distribuio Normal Padro
0.04
Teste monocaudal a direitaZtab = 1,64; = 0,05
Teste bicaudalZtab = 1,96; /2 = 0,025
1.6
0.9495
Os procedimentos5Confrontar a estatstica teste com os valores de
aceitao/rejeio;
H0
a) Anlise grfica:
Zcalc=2,53
Os procedimentos5Confrontar a estatstica teste com os valores de
aceitao/rejeio;
b) Anlise do intervalo de confiana:
x zt 0 x + zt n n
Os procedimentos5Confrontar a estatstica teste com os valores de
aceitao/rejeio;
H0
b) Anlise do intervalo de confiana:Assumindo um nvel de confiana
igual a 95% e usando a frmula de estimao da mdia, temos:
...0
0 0 0 0 00 0 0 0 ,0 0 00 0 0 0 + ,0 0 0 0 0
107
0
133
...
= 100
Os procedimentos5Confrontar a estatstica teste com os valores de
aceitao/rejeio;
H0
c) Anlise do p-value:Pela tabela Z, a rea direita de 2,53
(Zcalc) vale 0,0057; logo p = 0,0057. Portanto, existe uma chance
de 0,6% (aprox.) de que seja obtida uma mdia maior do que 125 ao
acaso, quando so retiradas amostras aleatrias de tamanho 10 desta
populao. Comprovamos que p
< 0,05 ().
Os procedimentos
0,5 - 0,4943 = 0,0057
Os procedimentosConcluso para o estudo de caso em questo: Como o
valor de Zcalc (2,53) maior que o valor de Ztab (1,64), rejeitamos
a Hiptese Nula (H0) de que a renda mdia diria dos trabalhadores
(populacional) seja igual a R$ 100,00. De fato, podemos tomar essa
deciso baseados em um grau de confiana de 95% ( =0,05).
Testes estatsticos
Erros
Tipos de erros
(PODER DO TESTE)
Tipos de erros
* Um caso de justia:H0: A pessoa inocente; H1: A pessoa culpada;
Erro I (): A pessoa condenada mas inocente; Erro II ( ): A pessoa
absolvida mas culpada;
Testes estatsticos
Poder
Poder de um teste estatsticoO poder de um teste, denotado por 1
, representa a probabilidade de rejeitarmos a Hiptese Nula (H0)
quando a mesma , de fato, falsa.Fatores que influenciam o poder de
um teste: B = Beta (quanto menor, maior o poder) E = Efeito da
distncia (quanto maior, maior o poder) A = Alpha (quanto menor,
menor o poder) N = n (quanto maior a amostra, maior o poder) S = s
(quanto maior o desvio padro, menor o poder)
Testes estatsticos
Exerccios
Exerccio 1A temperatura mdia da gua na sada de um tubo de
descarga de uma torre de resfriamento de uma planta de energia no
deve ser superior a 100F. Experincia passada indica que o
desvio-padro da temperatura 2F. A temperatura da gua medida durante
nove dias escolhidos aleatoriamente, sendo a temperatura mdia
encontrada igual a 98F. H evidncia de que a temperatura da gua seja
aceitvel, com alfa=0,05?
Exerccio 2Um fabricante de clipes afirma que suas caixas possuem
em mdia 100 g (no mnimo) com um desvio padro de 5 g. Uma amostra
com 60 caixas de clipes apontou uma mdia de 95 g. Com um nvel de
significncia igual a 3%, o que pode ser dito?
Exerccio 3Uma amostra aleatria de 100 mortes naturais, no Rio
Grande do Sul, deu uma mdia de 71,8 anos, com desvio padro de 8,9
anos. Isso indica que o tempo mdio de vida no RS, atualmente, maior
eu 70 anos? (assuma alfa = 5%)
Exerccio 4Uma amostra aleatria de 36 copos de suco de cebola
mostrou um contedo mdio do lquido de 200 ml, com desvio padro de 26
ml. Teste a hiptese de que = 225 ml contra a hiptese alternativa
< 225 ml, assumindo um nvel de confiana de 95%. Refaa o teste a
um NC de 99%.
FimNo mais, estudaremos - a seu tempo - os testes estatsticos
cabveis a cada situao de nosso contexto de estudo...
Muito obrigado!!
ContatosProf. Mrcio SouzaMestre em Engenharia Biomedica
(COPPE/UFRJ)
www.profmsouza.blogspot.com [email protected]
