TESTES DE HIPTESES Spencer Barbosa da SilvaDepartamento de Estatstica

Teste Bilateral A concentrao de determinada substncia no sangue uma va (continua) que segue a distribuio Normal com varincia 36.

Considere uma doena que altera a concentrao desta substancia.

Para pacientes sadios (sem a doena) a concentrao mdia desta substancia 18 mg por litro de sangue.

O tratamento proposto para esta doena eficaz?

X = concentrao da substncia no sangue dos pacientes dos pacientes doentes aps o tratamento X ~ Normal com mdia e varincia 2 =36

= 18 tratamento eficaz 18 tratamento no eficaz

Inferncia EstatsticaUma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.

Aps o tratamento verificamos a concentrao mdia desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).

Nossa deciso sobre ser tomada com base em , pois o melhor estimador para .

Se a mdia amostral for muito diferente de 18, ento optaremos por 18.

Ho: = 18 Ha: 18

Regio de Rejeio de Ho ou Regio Crtica 18Regio de Rejeio de Ho ou Regio Crtica

Erros associados ao teste de hipteses = P(erro Tipo I) = P(rejeitar Ho| Ho verdadeira) = nvel de significncia = P(erro Tipo II) = P(no rejeitar Ho| Ho falsa) 1 - = 1- P(no rejeitar Ho| Ho falsa) = P(rejeitar Ho| Ho falsa) = poder do teste

Ho: = 0 Ha: 0

onde z>0 um valor da tabela normal padro associado ao nvel designificncia do teste ().

P(Z < -z) = P(Z > z) = /2

No nosso exemplo: Ho: = 18 Ha: 18 n=30

Considerando 5% de significncia ( = 0,05):

A concentrao mdia da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento aps o tratamento foi de 22,00 mg por litro.

Concluso: Rejeitamos a hiptese nula ao nvel de 5% de significncia, ou seja, a amostra fornece evidncia de que o tratamento no eficaz.

A nossa concluso foi rejeitar Ho, ou seja, conclumos que a tratamento no eficaz.

possvel que esta concluso esteja errada, ou seja, possvel que na verdade o tratamento seja eficaz?

Sim, possvel. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade Ho verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo I) igual ao nvel de significncia adotado (neste caso 5%).

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substncia no tempo de reao de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que fizeram uso desta substancia forneceram os seguintes tempos dereao (em segundos):

9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6

Sabe-se que o tempo de reao a este estimulo tem distribuioNormal com desvio padro de 2 segundos. Sem o uso destasubstancia, o tempo mdio de reao de 8 segundos.

O pesquisador desconfia que o tempo mdio reao alterado pelasubstancia. Teste esta desconfiana ao nvel de 10% de significncia.

Teste Unilateral A concentrao de determinada substncia no sangue uma va (continua) que segue a distribuio Normal com varincia 36.

Considere uma doena que aumenta a concentrao desta substancia.

Para pacientes sadios (sem a doena) a concentrao mdia desta substancia 18 mg por litro de sangue.

O tratamento proposto para esta doena eficaz?

X = concentrao da substncia no sangue dos pacientes dos pacientes doentes aps o tratamento X ~ Normal com mdia e varincia 2 =36

= 18 tratamento eficaz > 18 tratamento no eficaz

Inferncia EstatsticaUma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.

Aps o tratamento verificamos a concentrao mdia desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).

Nossa deciso sobre ser tomada com base em , pois o melhor estimador para .

Se a mdia amostral for muito maior que 18, ento optaremos por > 18.

Ho: = 18 Ha: > 18

RC18

onde z > 0 um valor da tabela normal padro associado ao nvel designificncia do teste ().

P(Z > z) = Ho: = 0 Ha: > 0

No nosso exemplo: Ho: = 18 Ha: > 18 n=30

Considerando 5% de significncia ( = 0,05):

A concentrao mdia da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento aps o tratamento foi de 22,00 mg por litro.

Concluso: Rejeitamos a hiptese nula ao nvel de 5% de significncia, ou seja, a amostra fornece evidncia de que o tratamento no eficaz.

A nossa concluso foi rejeitar Ho, ou seja, conclumos que a tratamento no eficaz.

possvel que esta concluso esteja errada, ou seja, possvel que na verdade o tratamento seja eficaz?

Sim, possvel. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade Ho verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo I) igual ao nvel de significncia adotado (neste caso 5%).

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito do lcool no tempo de reao de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que fizeram uso de bebida alcolica substancia forneceram os seguintestempos de reao (em segundos):

9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6

Sabe-se que o tempo de reao a este estimulo tem distribuioNormal com varincia 6. O tempo mdio de reao sem efeito delcool de 9 segundos.

O pesquisador desconfia que o lcool aumenta o tempo mdio dereao. Teste esta desconfiana ao nvel de 1% de significncia.

Teste Unilateral A concentrao de determinada substncia no sangue uma va (continua) que segue a distribuio Normal com varincia 36.

Considere uma doena que diminui a concentrao desta substancia.

Para pacientes sadios (sem a doena) a concentrao mdia desta substancia 18 mg por litro de sangue.

O tratamento proposto para esta doena eficaz?

X = concentrao da substncia no sangue dos pacientes dos pacientes doentes aps o tratamento X ~ Normal com mdia e varincia 2 =36

= 18 tratamento eficaz < 18 tratamento no eficaz

Inferncia EstatsticaUma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.

Aps o tratamento verificamos a concentrao mdia desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).

Nossa deciso sobre ser tomada com base em , pois o melhor estimador para .

Se a mdia amostral for muito menor que 18, ento optaremos por < 18.

Ho: = 18 Ha: < 18

RC18RC

onde z > 0 um valor da tabela normal padro associado ao nvel designificncia do teste ().

P(Z > z) = Ho: = 0 Ha: < 0

No nosso exemplo: Ho: = 18 Ha: < 18 n=30

Considerando 5% de significncia ( = 0,05):

A concentrao mdia da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento aps o tratamento foi de 22,00 mg por litro.

Concluso: No rejeitamos a hiptese nula ao nvel de 5% de significncia, ou seja, a amostra fornece evidncia de que o tratamento eficaz.

A nossa concluso foi no rejeitar Ho, ou seja, conclumos que a tratamento eficaz.

possvel que esta concluso esteja errada, ou seja, possvel que na verdade o tratamento no seja eficaz?

Sim, possvel. Podemos no estar rejeitando Ho quando na verdade Ho falsa. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo II) igual a .

O calculo de depende do valor de .

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma bebidaenergtica no tempo de reao de seres vivos a um certoestimulo. Cobaias que fizeram uso de bebida alcolica forneceram osseguintes tempos de reao (em segundos):

9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6

Sabe-se que o tempo de reao a este estmulo tem distribuioNormal com varincia 6. Sem efeito de energtico, o tempo mdio dereao de 10 segundos.

O pesquisador desconfia que energtico diminui o tempo mdio dereao. Teste esta desconfiana ao nvel de 10% de significncia.

Etapas de um teste de hiptesesEstabelecer as hipteses nula e alternativa.Definir a forma da regio crtica, com base na hiptese alternativa.Fixar e obter a regio crtica.Concluir o teste com base na mdia amostral.

Exemplo: Deseja-se investigar se uma certa doena que ataca o rimaumenta o consumo de oxignio deste rgo. O consumo de oxigniosegue a distribuio Normal com desvio padro de 9 cm3/min. Paraindivduos sadios o consumo mdio de 13 cm3/min. Umaamostra de 5 pacientes doentes forneceu os seguintes valores para oconsumo (em cm3/min):

14,4 12,9 15,0 13,7 13,5

a) Com base nesta amostra, fornea uma estimativa pontual para oconsumo mdio em pacientes doentes.

b) A amostra fornece evidencia de que a doena aumenta o consumo?Faa um teste com 2% de significncia?

Exemplo: Uma associao de defesa do consumidor desconfia queembalagens de 450 gramas de um biscoito esto abaixo do peso. Opeso destas embalagens segue a distribuio Normal com desviopadro de 10 gramas. Para verificar esta suspeita foram coletados 81pacotes do biscoito, de vrios supermercados, obtendo-se peso mdiode 447 gramas. Existe evidencia amostral de que as embalagens estoabaixo do peso? Use =7%.

Exemplo: O tempo de durao de lmpadas segue a distribuioNormal com desvio padro de 002 anos. Um fabricante de lmpadasafirma que o tempo mdio de durao de suas lmpadas 2,3 anos. Para verificar esta afirmao 49 lmpadas foram testadas. O tempomdio de durao destas lmpadas foi de 2,5 anos. Existe evidenciaamostral de a informao do fabricante esteja errada? Use 12% designificncia.

- Podemos tambm realizar testes de hipteses para a proporo populacional.

- Hipteses:H0: p = p0 Ha: p p0 ou p > p0 ou p > p0

- A deciso neste caso baseada na proporo amostral.

- Ha: p p0

Ha: p > p0

- Ha: p < p0

Exemplo: Uma companhia afirma que 40% da gua obtida em poosartesianos no nordeste salobra. Para testar esta hiptese, 400 poosforam sorteados e em 120 deles observou-se gua salobra. Teste aafirmao da companhia ao nvel de 10% de significncia.

Exemplo: A LG afirma que apenas 5% de suas televises LCD doalgum tipo de problema antes de 1 ano de uso. Para testar esta hiptese, 500 televises LCD novas da marca LG foram usadasdurante 1 ano. 40 delas apresentaram algum tipo de problema. Suspeita-se que a porcentagem de televises LCD da marca LG queapresenta problema antes de 1 ano de uso seja maior do que oinformado pelo fabricante. Teste esta suspeita ao nvel de 1% designificncia.

Exemplo: Um pr-vestibular afirma que 90% de seus alunos so aprovados noVestibular, mas desconfia-se que esta proporo seja menor. Para testar estadesconfianca100 alunos deste pr vestibular foram selecionados. Destes 100,76 disseram ter sido aprovado. Verifique se a desconfiana procede ao nvelde 5% de significncia.