Testes de Hipóteses Paramétricos

Embed Size (px)

Citation preview

3. Testes de Hipteses Paramtricos 74 75 Objectivos Com o estudo deste captulo o leitor dever ser capaz de: Estabelecer e interpretar hipteses estatsticas; Proceder construo de um teste de hipteses em geral; Realizartestesdehipteseparapropores,diferenasentre propores, mdia , diferena entre mdias, varincia e razo de varincias,reconhecendoaestatsticaapropriadaacadacaso particular; Explicar e calcular os erros do Tipo I e Tipo II. Construir os testes mais potentes para hipteses simples; Construir os melhores testes envolvendo hipteses compostas. Resumo Pretende-secomestecaptulopermitiraoleitorumaabordagemgeral problemtica da construo de testes de hipteses. So definidos testes de hiptesesemgeralesoapresentadososconceitosdehiptesenulae alternativa,bemcomodehiptesesimplesedehiptesecomposta. Apresentam-seostestesdehiptesesmaiscomuns:proporo,diferena depropores,mdia,diferenademdias,varinciaerazode varincias.Como se sabe, associada a cada hiptese h sempre uma certa probabilidadedeerraraotomarestaouaqueladeciso.Soporisso descritoseinterpretadososerrosTipoIeTipoII.Estudam-setcnicas para a construo dos testes mais potentes, envolvendo hipteses simples e hiptesescompostas.Finalmenteoleitorconvidadoacontactarcom alguns problemas prticos e a resolver os exerccios propostos. 76 77 3.1 Introduo e definio das hipteses estatsticas Observe-se o seguinte exemplo de um problema prtico: NafbricaCD-Logicsumdosresponsveispelocontrolodequalidade estencarreguedeemcada meia hora recolher uma pequena amostra dos CDsacabadosdeproduzireefectuarmediesdondeMegabytes respectivo.Inmerosfactorespodeminfluenciarestaproduo,sendo bviaavariaosubjacente.OobjectivodafbricaproduzirCDscom 700 Megabytes, donde ser conveniente verificar se isto que se passa na produoactual.Pretende-seaveriguarse700 = ,ousejaseamdia populacionaldosCDsproduzidos se mantm igual ao pretendido. Assim, enquantoasmdiasamostrais no desviarem demais do valor pretendido,700 = ,aproduopodecontinuarsemproblemas.Seodesviofor demasiadoh que tomar a deciso de parar a produo e averiguar qual o problema,rejeitando-seportantoqueestejatudobemequeamdiados CDsproduzidoscontinuecom700 = MegaBytes.Qualodesvioquese considerademasiado?Qualabarreiraquedistinguepequenosdesvios aleatriosdegrandesdesvios?Osgrandesdesviossoconhecidospor desviossignificativos,poisnecessitamdeoutrateoriaquejustifiqueos resultadosdasexperinciasproduzidas,oquejnoacontececomos pequenosdesvioscujarazodeexistnciaresideexclusivamenteem factores aleatrios. Qual o erro que pode estar associado deciso? Ser desenvolvida a teoria que permite a resposta a todas estas questes. Deacordocomoexemploanterior,muitasvezesnaprticanecessrio tomardecisessobreapopulao,tomandopor base a informao obtida em amostras dessa mesma populao, sujeitas a variaes aleatrias. Para setomaremdecisesnecessrioestabelecersuposiesacercada populao.Umahipteseestatsticano mais do que uma suposio ou conjecturaacercadovalordeumdeterminadoparmetrodeuma populao, como no exemplo anterior,ou acerca da natureza dessa mesma 78 populao.Note-sequeestasuposiopodeser ou no verdadeira, mas a veracidade ou falsidade de uma hiptese estatstica nunca conhecida com certezaabsolutaamenosquesejaexaminadatodaapopulao,oquena maioriadoscasosimpraticvel.Assim,usualrecorrer-seauma amostraaleatriadapopulaocominteresseecombasenainformao contida nessa amostra decidir se a hiptese verdadeira ou falsa, com uma certa probabilidade associada.Quandosepretendetestarovalordeumdeterminadoparmetroa verificaodasuposiofeitaporumtesteparamtrico;quandose pretendetestaranaturezadeumapopulaoaverificaodasuposio feita por um teste no paramtrico ou teste de aderncia. So exemplos do primeiro caso(i), (ii) e (iii) ; so exemplos do segundo caso (iv) e (v): (i)A mdia populacional dos ordenados da fbrica CD-Logics 1000 Euros, ou seja1000 = ; (ii)A varincia populacional dos ordenados da fbrica CD-Logics 500 Euros, ou seja5002= ; (iii)A proporo de empregados da fbrica CD-Logics no Controlo de Qualidade de 15%, ou seja p=0.15; (iv)A distribuio dos ordenados da fbrica CD-Logics normal; (v)O nmero de acidentes de trabalho que ocorre na fbrica CD-Logics segue uma distribuio de Poisson. Um teste de hipteses no mais do que a formulao de uma regra de decisoparanorejeitarourejeitarumahipteseestatstica,com basenasobservaesdaamostra.Note-sequeanorejeiodeuma hipteseestatsticaresultadodeinsuficienteevidnciaparaarejeitare noimplicanecessariamenteque ela verdadeira ( da a preocupao em usar o termo no rejeitar em vez de aceitar). Na notao usual designa-se por 0H , hiptese nula, a hiptese estatstica asertestada(efeitonuloouausnciadediferenanosresultadosde 79 interesse)epor 1H ahiptesealternativa,quegeralmenterepresentaa conjectura que se pretende provar. Seumahipteseespecificacompletamenteadistribuio,istose especificaasuaformafuncionalbemcomoosvaloresdetodosos parmetroschamadahiptesesimples.Casocontrriochamada hiptese composta. Oresultadodotesteserportantoaconfirmaoounodasuposio inicial,rejeitandoounoahiptesenula.Emambososcasoscorre-seo riscodeerrar,logoumadasprincipaispreocupaesnaconstruodos testes de hipteses procurar minimizar esse risco. Deummodogeralaconstruodeumtestedehiptesesrege-sepelos seguintes passos: (i)Definiodashiptesenulaealternativa: a hiptese nula sempredeigualdade(=)eaalternativapodeserde diferena ( , teste bilateral ) , ou de maior (>, teste unilateral direito) ou menor (< , teste unilateral esquerdo); (ii)Determinaodeeidentificaodaestatsticadetestee sua distribuio; (iii)Estabelecimentodaregradedeciso,determinandoas regiescrticaenocrticaemfunode(valores tabelados); (iv)Clculodaestatsticadetestecombasenosvalores amostrais; (v)Tomadadedeciso:rejeitarouno 0H comparandoovalor observadodotestecomasregiescrticaenocrtica.A hiptese nula ser rejeitada se o valor da estatstica do teste pertencerregiocrticaenoserrejeitadacaso contrrio.Com base nas distribuies amostrais respectivas, sero agora expostos 80 deummodogeralospassosaseguirparaarealizaodostestesde hiptesesparapropores,diferenasentrepropores,mdias, diferenas entre mdias. 3.2Testes de hipteses para propores (n grande) Muitasvezesnaprticadesejvelarealizaodetestesdehipteses referentes a propores. So muitas as reas de aplicao destes testes, e um exemplo clssico o de um poltico que est interessado em averiguar qual a fraco de eleitores por ele conquistada. Pode testar se esta fraco sepodeconsiderar,ouno,igualadeterminadovalor,comuma determinadaconfiana.Outroexemploclssicousadonareado Controlo da Qualidade em que o inspector deve testar com regularidade se a fraco de defeituosos fabricados se mantm aceitvel. Com base numa populao binomial de parmetros n, p e com q=1-p, sabidoque,admitindoumaamostragrande,aproporodistribuda de acordo com a normal de parmetros:pp= e nq pp= Ao realizar-se um teste de hipteses parapropores, o objectivo ser testar a hiptese nula: 0 0p p : H =,emque 0p umvalorfixoeconhecido,contratrspossveistiposde hipteses alternativas: 0 11p p : H Teste bilateral 0 12p p : H >Teste unilateral direito 81 0 13p p : H z z . Teste unilateral esquerdo: 82 O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse > z z . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso zpertena regio crtica, < z z . 3.3Testes de hipteses para diferenas entre propores (Amostras grandes) Somuitasediversasassituaesemquesepretendemcomparar propores. A ttulo de exemplo, pode ser desejvel comparar propores depeasdefeituosasproduzidasporduasmquinasdiferentes,ou proporesdevotosdedoiscandidatosadeterminadapresidncia.Pode aindaserimportanteparaatomadadedecisodefumarounofumar,o conhecimentodofactodeaproporodefumadoresquemorremcom cancronopulmoserbastantesuperiorproporodosnofumadores que morrem desse mal. SejamduaspopulaesP1eP2,distribudasbinomialmentecom parmetros respectivamente 1 1p , ne 2 2p , n , onde 1p e2prepresentam as proporesdesucessos,com 1 1p 1 q = e 2 2p 1 q = .jsabidoque admitindoamostras grandes eindependentes,a diferena de propores distribuda de acordo com a normal com os parmetros:2 1 p pp p2 1 = e 22 211 1 2p2p p pnq pnq p2 1 2 1+ = + = Em geral pretende-se testar a igualdade de propores, podendo o teste ser unilateral direito, unilateral esquerdo ou bilateral. A hiptese nula ser: 2 1 o 2 1 op p : H 0 p p : H = = As hiptese alternativas podem ser: 83 2 1 11 2 1 11p p : H 0 p p : H Teste bilateral 2 1 o 2 1 12p p : H 0 p p : H > > Teste unilateral direito 2 1 o 2 1 13p p : H 0 p p : H < < Teste unilateral esquerdo Aestatsticadetesteapropriadaaoestabelecimentodaregradedeciso ser: 22 211 12 1nq pnq pp pz+=Sob a hiptese 0Hpode escrever-se: |||

\|+=2 12 1n1n1) pq (p pzQuando 0H verdadeira e1ne2nso grandes a varivel z segue uma distribuionormal.Paracalcularovalordeznecessrioestimaro parmetrop(eobviamenteq).Assimusualaconsideraodeum estimadorponderado,combinandoosdadosdeambasamostrasda seguinte forma: 2 12 1n nx xp++= e p 1 q =Note-seque 1x e 2x representamonmerodesucessosemcadauma dasamostrasindependenteserecorde-seque 111nxp = e 222nxp = . Finalmente a estatstica de teste pode escrever-se: 84 |||

\|+=2 12 1n1n1) q p (p pz Regradedeciso:Apsadeterminaode,nveldesignificnciado teste,devecomparar-seovalorobservadodaestatsticadetestecomo valortabeladocorrespondentenatabeladadistribuionormalreduzida. Para os trs tipos de alternativas, tem-se respectivamente: Teste bilateral: Oprocedimentodotesteconsisteemnorejeitar 0H casoovalor observadodotestepertenaaointervalo 2 / 2 /z z z < < ,regiono crtica. Rejeitar 0H casocontrrio,ousejacasozpertenaregiocrtica, 2 /z z . Teste unilateral direito: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse< z z . Rejeitar 0Hcaso contrrio, ou seja caso z pertena regio crtica, > z z . Teste unilateral esquerdo: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse > z z . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso zpertena regio crtica, < z z . 3.4 Testes de hipteses para a mdia populacional 85 Talcomoparaosintervalosdeconfianaparaamdia,tambmparaos respectivos testes de hipteses h dois casos que exigem especial ateno. Distinguem-seassituaesemqueavarinciapopulacionalconhecida, das situaes em que a varincia populacional desconhecida e a amostra de que se dispe de pequena dimenso. Como se sabe nos casos em que aamostragrande,podeutilizar-seadistribuionormaleusar-sea varinciaamostralparaestimaravarinciapopulacional.Noscasosem queaamostrapequenaeavarinciapopulacionaldesconhecida recorre-se distribuio t-de-Student. Aorealizar-seumtestedehiptesesparaamdiapopulacional,o objectivo ser testar a hiptese nula: 0 0: H = ,emque 0 umvalorfixoeconhecido,contratrspossveistiposde hipteses alternativas: 0 11: H Teste bilateral 0 12: H > Teste unilateral direito 0 13: H < Teste unilateral esquerdo 3.4.1Caso 1: Varincia populacional conhecida Umestimadorpontualparaamdiapodeserobtidoapartirdamdia amostral, representada pela varivel aleatriaX, de valor observado x. J foiestudadoque,paraamostrasgrandes(n>30),admitindoquea populao infinita, que a amostragem com reposio,eatendendo ao Teorema do limite central, tem-se: = xenx= . 86 Umaestatsticaadequadaparaoestabelecimentodeumcritriode deciso dada por: = =) X ( nnXZ0 0 Regradedeciso:Determina-seonveldesignificnciadotestee compara-seovalorobservadodaestatsticadeteste,z,comovalor tabeladocorrespondente,natabeladadistribuionormalreduzida.Para os trs tipos de alternativas, tem-se respectivamente: Teste bilateral: Noserejeita 0H seovalorobservadodotestepertenceraointervalo2 / 2 /z z z < < , regio no crtica . Rejeita-se 0H casocontrrio,ousejacasozpertenaregiocrtica, 2 /z z . Teste unilateral direito: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse< z z . Rejeitar 0Hcaso contrrio, ou seja caso z pertena regio crtica, > z z . Teste unilateral esquerdo: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse > z z . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso zpertena regio crtica, < z z . 3.4.2 Caso2: Varincia populacional desconhecida Considereumestudorealizadonumapopulaonormal,commdiae varincia 2 desconhecida, no que respeita varivel aleatria X, ou seja,87 X ) , ( N2 .Sabe-sequeXrepresentaamdiaamostraleque)n, ( N X2 .Sendoodesviopadropopulacional, ,desconhecido, dever ser estimado atravs do desvio padro amostral: 1 nX n XSn1 i2 2i== Nocasoparticulardevarinciadesconhecida,etalcomojfoireferido anteriormente,h duas situaes importantes a considerar, dependendo da dimenso da amostra. Situao 1:Amostra de grande dimenso ( 30 n ) Quando a amostra grande, usa-se: S1 nX n Xn1 i2 2i== como valor estimado do desvio padro populacional e procede-se tal como nocasoanterior,recorrendodistribuionormal.Umaestatstica adequadaparaoestabelecimentodeumcritriodedecisoser,com base numa amostra de dimenso n: s) x ( nZ0 =O procedimento do teste e a regra de deciso segue exactamente o mesmo critrio que para o caso anterior, em que a varincia conhecida. Situao 2: Amostra de pequena dimenso Emsituaesdeamostrasdepequenadimenso(n1 , 1 nt t . Teste unilateral esquerdo: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse >1 , 1 nt t . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso tpertena regio crtica, Teste unilateral direito k : H2 1 13< Teste unilateral esquerdo 3.5.1Caso 1: Varincias populacionais conhecidas Umaestatsticaadequadaparaoestabelecimentodeumcritriode deciso dada por: 2221212 12221212 1 2 1n nk ) X X (n n) ( ) X X (Z+ =+ =. Regradedeciso:Determina-seonveldesignificnciadotestee compara-seovalorobservadodaestatsticadeteste,z,comovalor 90 tabeladocorrespondente,natabeladadistribuionormalreduzida.Para os trs tipos de alternativas, tem-se respectivamente: Teste bilateral: Noserejeita 0H seovalorobservadodotestepertenceraointervalo2 / 2 /z z z < < , regio no crtica . Rejeita-se 0H casocontrrio,ousejacasozpertenaregiocrtica, 2 /z z . Teste unilateral direito: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse< z z . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso z pertena regio crtica ou seja > z z . Teste unilateral esquerdo: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse > z z . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso zpertena regio crtica, < z z . 3.5.2Caso2:Amostraspequenasevarinciaspopulacionais desconhecidas, porm iguaisTalcomonocasodamdiasimples,tambmparaadiferenaentre mdias,necessriorecorrerdistribuiot-de-Studentparaestabelecera regra de deciso. Umaestatsticaadequadaparaoestabelecimentodeumcritriode deciso ser: 2 1c2 1n1n1Sk ) X X (T+ = 91 Recorde-se que: 2 n nS) 1 n ( S) 1 n (S2 122 221 1 2c + + = Regradedeciso:Determina-seonveldesignificnciadotestee compara-seovalorobservadodaestatsticadeteste,t,comovalor tabeladocorrespondentea2 n n2 1 + grausdeliberdadenatabelat-de-Student. Para os trs tipos de alternativas, tem-se respectivamente: Teste bilateral: Noserejeita 0H seovalorobservadodotestepertenceraointervalo2 / 1 , 2 n n 2 / 1 , 2 n n2 1 2 1t t t + +< < , regio no crtica . Rejeita-se 0H casocontrrio,ousejacasotpertenaregiocrtica, 2 / 1 , 2 n n2 1t t + . Teste unilateral direito: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse +1 , 2 n n2 1t t . Teste unilateral esquerdo: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse + >1 , 2 n n2 1t t . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso tpertena regio crtica, ou seja no caso de + 1 ,t t . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso tpertena regio crtica, Teste unilateral direito 94 k : HD 13< Teste unilateral esquerdo A estatstica apropriada a este teste ser: DDSn ) D (T =Regradedeciso:Determina-seonveldesignificnciadotestee compara-se o valor observado da estatstica de teste com o valor tabelado correspondentean-1grausdeliberdadenatabelat-de-Student.Paraos trs tipos de alternativas, tem-se respectivamente: Teste bilateral: Noserejeita 0H seovalorobservadodotestepertenceraointervalo2 / 1 , 1 n 2 / 1 , 1 nt t t < < , regio no crtica . Rejeita-se 0H casocontrrio,ousejacasotpertenaregiocrtica, 2 / 1 , 1 nt t . Teste unilateral direito: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse 1 , 1 nt t . Teste unilateral esquerdo: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse >1 , 1 nt t . Rejeitar 0Hcaso contrrio, caso tpertena regio crtica, Teste unilateral direito 20213: H < Teste unilateral esquerdo A estatstica apropriada a este teste dada por: 2022S) 1 n (= Regradedeciso:Determina-seonveldesignificnciadotestee compara-se o valor observado da estatstica de teste com o valor tabelado correspondentean-1grausde liberdade na tabela do Qui-Quadrado. Para os trs tipos de alternativas, tem-se respectivamente: Teste bilateral: Noserejeita 0H seovalorobservadodotestepertenceraointervalo22 / 1 , 1 n2 22 / , 1 n < < , regio no crtica. Rejeita-se 0Hcaso contrrio. Teste unilateral direito: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse21 , 1 n2 < . Rejeitar 0Hcaso contrrio 96 Teste unilateral esquerdo: O procedimento do teste consiste em no rejeitar 0Hse2, 1 n2 > . Rejeitar 0Hcaso contrrio. 3.7Testes de hipteses para a razo de varincias Pretende-setestarahiptesedeigualdadeentrevarincias,combaseem amostras de dimenso 1n e 2nretiradas de duas populaes normais, com varincias respectivamente 21e 22 . Ahiptese nula a testar ser ento: 2221 0: H = e os trs possveis tipos de hipteses alternativas: 2221 11: H Teste bilateral 2221 12: H > Teste unilateral direito 2221 13: H < Teste unilateral esquerdo A estatstica apropriada a este teste dada por: 2221SSF =Regradedeciso:Determina-seonveldesignificnciadotestee compara-se o valor observado da estatstica de teste com o valor tabelado correspondentea( 1 n , 1 n2 2 1 1 = = )grausdeliberdade,do numeradoredodenominadorrespectivamente,natabelaF.Paraostrs tipos de alternativas, tem-se: Teste bilateral: Noserejeita 0H seovalorobservadodotestepertenceraointervalo97 2 / , 1 n , 1 n 2 / 1 , 1 n , 1 n2 1 2 1F F F < < , ou equivalentemente de forma simplificada 2 / ,2,12 / 1 ,2,1F F F < < ,regio no crtica. Rejeita-se 0Hcaso contrrio. Teste unilateral direito: No se rejeita 0Hse 1 , ,2 1F F . Rejeitar 0Hcaso contrrio. 3.8Erros do Tipo I e Erros do Tipo II 3.8.1Introduo Sejaonveldesignificnciadeumtesteestatsticoecovalorcrtico (valorapartirdoqualrejeitamos 0H ).Aregioquecontmtodosos valoresparaosquaisahiptesenularejeitadadesigna-seporregio crticaouregioderejeio.Aregiodevaloresparaosquaisnose rejeita a hiptese nula conhecida por regio de aceitao (apesar de esta designao no ser a mais correcta seria prefervel talvez usar regio de no rejeio, como j foi anteriormente explicado). De um modo geral os valores adoptados para so 1% ou 5%. SejaXumavarivelaleatriacujadistribuioenvolveumparmetro desconhecido. Admitamosquesepretendetestarahiptesenuladeque= 0 contrauma das alternativas seguintes: (i)0(hiptese alternativa bilateral) 98 (ii) > 0(hiptese alternativa unilateral direita) (iii) 0(hiptese alternativa unilateral direita) (iii) , rejeitar 0H . Paradeterminar0 ,correspondendoaumdeterminadonvelde significncia,deveconhecer-seadistribuiodavarivelaleatria, sendo valor observado de. Pode mostrar-se que se a hiptese nula verdadeira,sob condies muito gerais, tem-seV =2 log. Esta varivel Vassintticamentedistribudacomo 21 quandoadimensoamostral tende para infinito. 108 Exerccios Resolvidos 3.1 Retome-se agora o problema 2.2ea polmica instalada acerca da construo dos estdios na cidade de LisPor. Sabe-se que 23000 dos 45000 habitantesdeLisPorconcordamemcolaborarnoprojectoe6500dos 15000 habitantes dos arredores tambm concordam. 3.1.1Testeahiptesedequeaproporoderesidentesnacidadeque concordamemcolaborarnoprojectode50%,usandoumnvelde significncia de 5%. 109 3.1.2Averigueavalidadedasuspeitaindiciadapelointervalode confiana,dequeaproporoderesidentesnacidadequeconcordam superiorproporoderesidentesnosarredoresqueconcordamcomo projecto, usando um nvel de significncia de 5%. 3.2 Na fbrica CDLogics foi retirada uma amostra aleatria de dimenso 15dapopulaototaldeCDsproduzidanumdeterminadoperodode tempo.SerlegtimocolocaretiquetasnasembalagensdeCDscoma refernciadequeosCDstm700Megabytes?Justifiqueasuaresposta usando o nvel de significncia de 5%. 695, 698, 708, 705, 699, 698, 706, 695, 703, 708, 702, 700, 698, 700, 705 3.3As lojas de computadores Star e Plus pretendem comparar as vendas mdias do ms de Dezembro referentes a uma certa marca de impressoras laser. Sabe-se que nos ltimos 10 anos foram vendidas pela Star no ms de Dezembroemmdia100impressoraslaser,comumdesviopadro estimado de 15 impressoras laser. Para o mesmo ms, na loja Plus apenas horegistodosltimos8anos,ondeseverificouumamdiade110 impressoraslaser,comumdesviopadroestimadode10impressoras laser. Admita que as observaes so provenientes de populaes normais comvarinciaspopulacionaisdesconhecidasediferentesentresi,eemita as suas concluses com base em%. 1 = 3.4Pretende-setestaraeficciadeumnovomedicamentoparadormir. Foramobservados6pacientesescolhidosaoacasoparaosquaisse registou o nmero de horas dormidas por noite, antes e aps a ingesto do medicamento. Os resultados foram: PacienteAntesDepois 15.07.0 110 26.08.5 37.08.0 47.07.0 58.59.0 65.08.0 Admitindoanormalidade,qualasuaconclusoacercadaeficciado medicamento, ao nvel de significncia de 5%? 3.5Ovolumecontidoemcertasembalagensdeguadecolniatem usualmenteumadistribuionormal,comvarincia0.13dl2.Testea hipteseque13 . 02= dl2versus13 . 02 dl2,aonvelde significncia de 1%, sabendo que uma amostra aleatria de 12 observaes revelou: 15.3114.9915.0015.1014.9514.98 15.2215.2314.9915.1015.1515.00 3.6A embalagem de determinado tipo de disquetes da responsabilidade doDepartamentoTcnicodeumadadaempresa.Pretende-seestudaros tiposAeBdeembalagensquantooperacionalidade,peloquefoi registadoooutputrelativodealgunsfuncionriosescolhidosaoacaso, relativamente a estes tipos de embalagens: Embalagem Tipo A 127 130 125 131 135 133 135 Embalagem Tipo B 125 120 123 127 126 3.6.1Testeahomocedastecidade(igualdadedevarincias),aonvelde significncia de 10%. 111 3.6.2Admitindoaigualdadeentrevarinciaspopulacionais,testea hiptesedequeadiferenaentremdiasiguala5,aonvelde significncia de 1%. 3.7Com base no historial do Gabinete de Pesquisa da CDLogics, admite-sequeasdespesasmensaisdeInternetdesteGabineteseguemuma distribuioaproximadamentenormal,commdia200Eurosedesvio padro 50 Euros. Foi extrada uma amostra de dimenso n, para a qual se obteve=1%e=10%,equeconduziuconclusodequeadespesa mdiamensaldesceu30Euros.Pretende-sedeterminaradimensonda referida amostra. 3.8ConsidereavarivelaleatriaX,comfunodensidadede probabilidade: [ ][ ] = 1 , 0 x para , 01 , 0 x para , x) x ( f1 Pretende-se testar a hiptese: 1 : H0 0= = , usando para regio de rejeio o intervalo x > 0.99. 3.8.1Determine o valor do erro tipo I, . 3.8.2Calcule , considerando a hiptese alternativa 5 : H1 1= = . 3.9ConsiderenovamenteavarivelaleatriaXdoproblemaanterior, recorde-se com funo densidade de probabilidade: [ ][ ] = 1 , 0 x para , 01 , 0 x para , x) x ( f1 Estabeleaomelhortesteaonveldesignificnciade1%,paratestara hiptese nula 1 : H0= versusa alternativa 2 : H1= . 3.10Defina o teste mais potente para testar, ao nvel de significncia de 5%,ahiptese10 : H0= versus10 : H1 ,combasenumaamostra 112 de dimenso 64 extrada de uma populao normal com varincia 16. Resoluo: 3.1.1Como nada dito relativamente a suspeitas de que a proporo de residentes na cidade que concordam seja maior ou menor que 0.5, ento testa-se a diferena. Tem-se: 5 . 0 p : H1 0=versus5 . 0 p : H1 1O valor da estatstica de teste ser: 113 667 . 4002357 . 05 . 0 511 . 045000) 5 . 0 1 ( 5 . 05 . 0 pz1===Ovalorobservadodaestatsticadetestecompara-secomovalor tabeladodadistribuionormalreduzidacorrespondendoa95% centrais, ou seja96 . 1 z z025 . 0 2 /= =.Concluso: Rejeita-se a hiptese nula. Ao nvel de significncia de 5% h evidncia estatstica para concluir que, a proporo de residentes na cidade que concordam, diferente de 0.5.3.1.2Pretende-se averiguar se a proporo de residentes na cidade que concordamsuperiorproporoderesidentesnosarredoresque concordam em colaborar no projecto, usando um nvel de significncia de5%.Consequentemente,otesteserunilateraldireito,sendoas hiptese nula e alternativa as seguintes: 0 p p : H2 1 0= versus0 p p : H2 1 1> O valor da estatstica de teste ser: 548 . 160047134 . 0078 . 0150001450001) 492 . 0 1 )( 492 . 0 (433 . 0 511 . 0n1n1) p 1 ( pp pz2 12 1= ==||

\|+ =|||

\|+ = O valor observado da estatstica de teste compara-se com o valor tabelado da distribuio normal reduzida 645 . 1 z z05 . 0= =.Concluso:Rejeita-seahiptesenula,umavezque16.548>1.645.Ao nveldesignificnciade5%hevidnciaestatsticaparaconcluirquea proporoderesidentesna cidade que concordam, superior proporo 114 dos residentes nos arredores, que concordam em colaborar no projecto. 3.2Uma vez que no enunciado no h indcios que levem a suspeitar que a mdia maior ou menor que 700, ento testa-se:700 : H0= versus700 : H1 Trata-seportantodeumtestebilateral.Poroutrolado,avarincia populacional desconhecida e a amostra em causa pequena, n=15. Ento vaiserusadoovalor da tabela t-de-Student com 15-1 graus de liberdade, para definir a regio crtica do teste, nomeadamente14 . 2 t975 . 0 , 14= .Com base nos valores amostrais obteve-se: 333 . 701 x = ; 337 . 4 3369948 . 4 s =A estatstica do teste ser: s) x ( nt0 = = 19 . 1 190382 . 1337 . 4) 700 333 . 701 ( 15 = Note-se que14 . 2 19 . 1 14 . 2 t t t2 / , 1 n 2 / , 1 n< < < < . Concluso: O valor observado da estatstica do teste cai na regio de no rejeiodahiptesenula,dondeseconclui,aonveldesignificnciade 5%,serlegtimocolocarasetiquetasdereferncia700Megabytesnas embalagens dos CDs. 3.3Trata-sedeumproblemaparaoqualsedispedeamostrasde pequenadimenso,admitindo-sequeasobservaessoprovenientesde populaesnormaiscomvarinciaspopulacionaisdesconhecidase diferentes entre si. A estatstica adequada a este tipo de testes obtm-se do seguinte modo: 115 69 . 1916 . 5108101015) 110 100 (nsns) ( ) x x (t2 22221212 1 2 1 ==+=+ = . O valor da estatstica de teste compara-se com o valor tabelado na distribuio t-de-Student com graus de liberdade. Tem-se: 16 59 . 15) 1 8 ( 810) 1 10 ( 10158101015) 1 n ( ns) 1 n ( nsnsns242422 222242121412222121 =+|||

\|+=+|||

\|+= Ahiptesenulaser rejeitada, ao nvel significncia de 1%, no caso de o valorobservadoemmdulodaestatsticadetestesersuperioraovalor tabelado 995 . 0 , 16t. Concluso: Tem-se 995 . 0 , 16t =2.92.Uma vez que -2.92 = Ento tem-se: ((

= = 199 . 00dx ) x ( f =((

= 199 . 001dx x =((

= 199 . 001dx x = = [ ] [ ] 01 . 0 99 . 0 1 x 1 x1 1x199 . 0199 . 0199 . 001 1= = = = =((

= + + Concluso: Conclui-se que o tamanho do erro tipo I =1%. 3.8.2= [ ] falsa H / H rej. o a~N P0 0=[ ]199 . 0 X P = < = ((

= 99 . 0011dx x = = [ ] ( ) 95099 . 0 99 . 0 5 x1 1x599 . 0099 . 0011 1= = = =((

= + + Concluso: Conclui-se que o tamanho do erro tipo II =0.95099, ou seja superiora95%,oqueperfazoerrodoconsumidorextremamente elevado. 121 3.9Pretende-seestabeleceromelhorteste,aonveldesignificnciade 1%, para testar1 : H0= versus 2 : H1= . Sendo ambas as hipteses simples, trata-se de uma aplicao do Lema de Neyman-Pearson.Tem-se portanto: x 21x 2x 1) x ( f) x ( f) ( L) ( L01010= = = = =. A regio de rejeio para o melhor teste dada por kx 21< , ou seja, para a regio de rejeio tem-sek 21x > . O valor especificado para de 1%, sendo ento: [ ] raverdadei H / H Rej. P0 0= =((

= > =((

= > 1k 21x Pk 21x P0= = =1k 211k 211 1k 211 dx 1 dx x 1Assim, para =1%, tem-se: 505 . 0 k) 99 . 0 ( 21k 99 . 0k 2101 . 0k 211 = = = = 3.10Pretende-se determinar qual o teste mais potente para testar, ao nvel designificnciade5%,ahiptese10 : H0= versus10 : H1 ,com basenumaamostradedimenso64extradadeumapopulaonormal comvarincia16.Tem-seahiptesenulasimpleseaalternativa composta,peloquesetratadeumexemplodeaplicaodomtododa razo de verosimilhanas. Seja o espao parametral em que o parmetro a testar . 0 representaopontoparaoqual100 = = ,restrioimpostapela hiptesenula.Afunodeverosimilhanadadapeloprodutoden funes densidade da distribuio normal, sendo portanto: 122 ((

= =n1 i2i202n20) x (21exp ) 2 ( ) ( LUsandooestimadordemximaverosimilhanax = ,obtm-seo mximo de L() . Ento: ((

= ==n1 i2i202n20) x x (21exp ) 2 ( ) x ( L LComo 0 um ponto, uma vez que se trata de hiptese simples, ento o maiorvalordeLem 0 oseunicovalor,sendoportanto 0Lo mximo de L, quando varia em 0 ( que no varia, uma vez que 0 = umnicoponto).Represente-seporarazodeverosimilhanas,ou seja, 0LL= . Ento tem-se: ( ) ( )(((

= = =n1 i2i20n1 i20 i20x x21x21expSubstituindo =n1 iix pela expresso equivalentex ne logaritmizando, vem: ( ) = = = n1 i2i20n1 i20 i20x x1) x (1ln 2((

+ + = = = = =2n1 iin1 i2i20n1 in1 i0 i2i20x n x x 2 x n x 2 x1ln 2 ((

+ = = =2 20n1 in1 ii 0 i20x n n x 2 x x 21ln 2 [ ]2 20 0220x x 2 x 2nln 2 + = [ ]20 0220x 2 xnln 2 + = Finalmente a expresso pode ser escrita da forma simplificada: ( )20202020) x ( nxnln 2 = = 123 Note-sequeestaexpressoprecisamenteoquadradodeumanormal reduzida.Sabe-seque,sobahiptesenula 00) x ( n segueuma distribuio normal de mdia 0 e varincia 1. O seu quadrado,representado porV=2 ln ,ter uma distribuio Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade. Escolhendo , possvel determinar um nmero ov , tal que: = = > 1 ) v V ( P ) v V ( P0 0 Sabendo que 2020) x ( nln 2 v = = , a tomada de deciso ser: No rejeitar 0Hse 0v v , rejeitar 0Hcaso contrrio.Assim, para o problema em questo e para =5%, o valor correspondente natabeladoQui-Quadrado3.84,sendoportanto84 . 3 v0 = .Para 100 = , n=64 e1620= , tem-se: 16) 10 x ( 64 ) x ( nv22020= =Concluso:Noserejeitaahiptesenulase 0v v ,ousejasefor verificada a condio: 9798 . 0 10 x 9798 . 0 )6416( 84 . 3 ) 10 x ( 84 . 316) 10 x ( 6422 9.0202 x 10.9798. Se9798 . 10 x > ou0202 . 9 x < ,rejeita-se10 : H0= ,aonvelde significncia de 5%. 124 Exerccios Propostos 3.1. A empresa TenLogics lanou um novo modelo de computador porttil comDVD,paraoqualseverificouqueonmerodereclamaesnum determinadoperodofoide150em3000vendidos.Foramrectificados algunsdoscomponentesdeorigem,afimdetentardiminuiraproporo dereclamaes.Assim,paraomodelorectificadoverificaram-se200 reclamaesem5000portteisvendidos.Haverjmelhorias significativas no porttil alterado? Teste ao nvel de significncia de 5%.125 Soluo: Deve testar-se 2 1 0p p : H = versus2 1 1p p : H > . O resultado da estatstica de teste z=2.11>1.645, donde se conclui a rejeio da hiptese nula. Assim h evidncia estatstica ao nvel de significncia de 5% de que a proporo de reclamaes no modelo original superior proporo de reclamaes do novo modelo, sendo portanto este melhor que o original.3.2Afimdeaveriguaroimpactonomercadodeumnovomodelode telemveis,aempresaresponsvelpelolanamentodomodelorealizouuminquritoem10grandessuperfciescomerciaisda cidade de PorLis e 20 da cidade de LisPor, questionando o nmero de unidades vendidas em determinado perodo de tempo. Obtiveram-se os seguintes resultados: ix2ixPorLis1000102550 LisPor120075950 Comenteaseguintefrase:Amdiadevendasdonovomodelode telemveis difere significativamente em PorLis e em LisPor Soluo:A afirmao verdadeira; admitindo a igualdade de varincias populacionais e realizando um teste bilateral, a estatstica de teste 6.779 quebastantesuperioraovalortabeladot-de-Studentcom28grausde liberdade, ao nvel de significncia de 5%, 2.05; assim a hiptese nula de igualdade entre mdias rejeitada, havendo diferenas significativas entre mdias de telemveis vendidas em PorLis e em LisPor. 3.3 Uma fbrica de artigos desportivos desenvolveu um novo tipo de linha sinttica para a pesca e afirma que esta linha suporta um peso mdio de 8 kg, com desvio padro de 0.5 kg. Teste ao nvel de significncia de 5% a hiptese de que a mdia se mantm inalterada,sabendoquenumaamostraaleatriade50destaslinhasfoi 126 detectada uma fora mdia at partir de 7.8 kg. Soluo:Com base nesta amostra conclui-se que a hiptese8 : H0= rejeitada a favor da alternativa8 : H1 , uma vez que o valor observado da estatstica de teste 2.828 e superior em mdulo ao valor da tabela da normal reduzida para =5%,teste bilateral, e que igual a 1.96. 3.4TendoemconsideraoaexperinciadobancoBotaqui,emquese registouonmerodepedidosdeemprstimoparaHabitaoem5filiais diferentes,nostrsmesesqueantecederamumadeterminadacampanha publicitriaenostrsmesesapsaditacampanha,comenteaseguinte frase, para =1%: A publicidade a verdadeira arte de vender. FilialAntesDepois 17079 25055 3100120 44040 57085 Soluo: Atendendoaosdadosobservados, conclui-se que a frase no se podeaplicaraestacampanhapublicitria.Trata-sedeamostras emparelhadaseconsiderandoumtesteunilateralesquerdo,ovalorda estatstica de teste ser 2.77, que um valor superior ao valor da tabela t-de-Studentcom4grausdeliberdade,-3.75;Conclui-seportantoqueao nvel de significncia de 1% no h diferenas significativas entre mdias, no se verificando portanto umaverdadeira arte de vender. 3.5ConsidereavarivelaleatriaXcomfunodensidadede probabilidadedada por: 127 [ ][ ]=+ 2 , 0 x para , 0te tan cons k , 2 , 0 x para ,5kx) x ( f1 Admita que se pretende testar1 : H0 0= = tendox>0.95como regio de rejeio , face alternativa . 4 : H1 1= = Determine o valor: a)De k, sendo1 : H0 0= = verdadeira; b)Do erro tipo I; Soluo:a)k=815b) =0.107 128 .