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Texto de apoio ao C´ alculo Diferencial e Integral ´ Area 01. MAT 01102 C´ alculo I-B Semestre 2016/02. Irene Strauch e ´ Alvaro Ramos ´ Ultima atualizac ¸˜ ao: 1 de Agosto de 2016

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Texto de apoio ao Calculo Diferencial e IntegralArea 01.

MAT 01102 Calculo I-BSemestre 2016/02.

Irene Strauch e Alvaro Ramos

Ultima atualizacao: 1 de Agosto de 2016

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Capıtulo 1

Topicos de matematica elementar.

1.1 Revisao de Alguns Topicos Basicos da Matematica e seusSımbolos.

1.1.1 Potencias de dez.Sabe-se que a distancia do Sol a estrela Alfa Centauro e d = 40.700.000.000.000.000 metros.Por outro lado, sabe-se que a massa do proton e mp = 0, 00000000000000000000000000167 qui-logramas. Contudo, esta maneira de expressar quantidades muito grandes ou muito pequenas ecomplexa e passıvel de erros. Nestes casos, e mais conveniente usar uma notacao compacta co-nhecida como notacao cientıfica, ou potencias de dez.

Com esta notacao, podemos expressar as grandezas acima como d = 4, 07 × 1016m e mp =1, 67×10−27kg, tornando sua leitura mais facil e de entendimento mais rapido. Para mostrar comoconvertemos um numero grande em potencias de dez, vamos considerar o produto de 10 por elemesmo um certo numero de vezes, observe:

10× 10 = 102 = 100

10× 10× 10 = 103 = 1000

10× 10× 10× 10 = 104 = 10000

. . .

10× 10× . . .× 10︸ ︷︷ ︸n vezes

= 10n = 1 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸n zeros

.

Ou seja, nos casos acima, o numero de zeros que aparece na primeira igualdade e usado noexpoente do dez. Aplicando este procedimento ao exemplo da distancia Sol-Alfa Centauro, tere-mos que contar o numero de casas decimais a direita do primeiro algarismo significativo e estenumero passa a ser o expoente do dez. O primeiro algarismo significativo e 4 e o numero de casasdecimais a direita de 4 e n = 16. Logo, em potencias de dez, temos d = 4, 07 × 1016. O fatormultiplicativo que acompanha a potencia de dez e sempre um numero entre 0, 1 e 10. Observa-

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mos que diversas vezes o sinal de multiplicacao × sera substituido por um ponto, assim temosd = 4, 07× 1016 = 4, 07.1016.

Para mostrar como convertemos um numero pequeno (menor que 1) em potencias de dez,vamos considerar potencias de dez aparecendo no denominador:

1

10= 10−1 = 0, 1,

1

100= 10−2 = 0, 01,

1

1000= 10−3 = 0, 001.

No caso geral, temos que

1

10n= 10−n = 0, 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸

n−1 zeros

1.

Ou seja, para converter potencias de dez no denominador para uma potencia de dez no nume-rador, deve-se tomar o correspondente expoente com sinal negativo. Se o numero for expresso nasua forma decimal, entao devemos contar as casas decimais depois do ponto. Este numero sera oexpoente negativo de dez.

A massa do proton mp esta dada acima na sua forma decimal e queremos expressa-la empotencias de dez. Teremos que contar o numero de casas decimais apos o ponto, incluindo oprimeiro algarismo significativo. Neste caso, o primeiro algarismo significativo e 1 e ha 27 casasdecimais apos o ponto – incluindo o 1, logo obtemos a notacao mp = 1, 67× 10−27kg.

Casos particulares: 101 = 10 e 100 = 1. Esta ultima potencia de dez vem do fato que todonumero nao nulo elevado a zero e igual a unidade.

Para o produto de dois numeros expressos como potencias de dez, aplica-se a regra valida paraproduto de potencias de mesma base: mantem-se a base e somam-se os expoentes. Por exemplo:102 × 10−4 = 102+(−4) = 10−2. A regra geral para este tipo de operacao e 10m × 10n = 10n+m.

Outro caso de operacao e a potencia de potencias, por exemplo(102)3

= 102 × 102 × 102 = 102+2+2 = 102×3 = 106,

cuja regra geral e (10n)m = 10n×m (sendo n, m positivos ou nao).Finalmente, ao dividirmos potencias, aplicamos a regra da subtracao:

10m

10n= 10m

1

10n= 10m × 10−n = 10m−n.

Prefixos das potencias de dez

Uma unidade de medida pode ser expressa por seus multiplos e submultiplos para facilitar oumelhorar a apresentacao de uma determina grandeza. Imagine, por exemplo, se a distancia entreduas cidades ou o diametro do grafite de uma lapiseira fossem dados em metros. Nao seria nadapratico. Para tanto, usamos respectivamente o quilometro e o milımetro. Ambas sao unidadesderivadas do metro, compostas com os prefixos quilo e mili. Outros exemplos bastante utilizadosestao na tabela a seguir:

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Prefixo Sımbolo Potencia Prefixo Sımbolo PotenciaPeta P 1015 Centi c 10−2

Tera T 1012 Mili m 10−3

Giga G 109 Micro µ 10−6

Mega M 106 Nano n 10−9

Quilo k 103 Pico p 10−12

1.1.2 Ordens de Grandeza.Frequentemente uma potencia de dez e referida como uma ordem de grandeza ou magnitude.Assim, por exemplo, um real e uma ordem de grandeza maior que dez centavos e duas ordens degrandeza (um fator cem) maior que um centavo.

Tambem e comum falar em ordem de grandeza quando se deseja dar um carater aproximado,por ex. “a massa da Terra e duas ordens de grandeza maior que a massa da Lua”. Na realidade amassa da Terra e 81 vezes a massa da Lua.

O sımbolo : e usado na Matematica para indicar a ordem de grandeza de alguma quantidade.Em geral, inclui-se um numero na frente da potencia de dez para dar um carater mais preciso (masainda aproximado) da quantidade.

Alguns exemplos de ordens de grandeza:

1. Existem : 107 segundos em um ano.

2. A luz viaja : 0.3 metros em 1ns (10−9s).

3. A massa do Sol e : 3× 105 a massa da Terra.

Nenhum dos valores dados acima e preciso, mas um valor aproximado de uma quantidade podeser usado para dar uma ideia da ordem de grandeza da quantidade.

1.1.3 Expoentes fracionariosAte agora, usamos nos nossos exemplos expoentes inteiros e vimos seu significado. Tambeme possıvel dar um significado para expoentes fracionarios. Para motivar sua definicao, vamoscomecar pensando que tais expoentes devem seguir as mesmas regras dos expoentes inteiros.

Exemplos:

a) 412 × 4

12 = 4

12

+ 12 = 4;

a) 2813 × 28

13 × 28

13 = 28

13

+ 13

+ 13 = 28.

Qual e afinal o significado de um expoente fracionario?Nos dois exemplos acima, observamos que se um numero N

1m e elevado ao expoente m, o

resultado e o proprio N ; de fato, utilizando as regras das potencias, temos(N

1m

)m= N

1m×m = N1 = N,

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assim, N1m e a raiz de ordem m de N , ou seja

N1m ≡ m

√N. (1.1)

Apareceu aqui mais um sımbolo (≡) usado na Matematica, cujo significado e ‘identicamenteigual’.

Finalmente, utilizando (1.1) podemos definir precisamente a nocao de expoente fracionario,colocando

Nnm =

m√Nn.

Exemplos:

a) Como 42 = 16,√

16 = 1612 = 4. Quando m = 2, como neste exemplo, e usual suprimir o 2 do

sımbolo de radical,√

.

b) 813 = 3√

8 = 2, pois 2× 2× 2 = 8.

c) 432 =

2√

43 = (√

4)3 = 23 = 8.

Observe que o numerador do expoente fracionario sempre representa a potencia a qual onumero e elevado e o denominador representa a raiz do numero.

1.1.4 Notacao Matematica.A notacao matematica e uma linguagem cuja grafia utiliza sımbolos e cuja semantica (significado)utiliza a logica matematica.

E com base nessa notacao que sao construıdas as sentencas matematicas. Toda informacaoescrita nesta linguagem deve ser lida e entendida por todos que conhecem as regras dessa notacao,independente do idioma que fala. Esta linguagem matematica pode ser traduzida para expressoesorais ou escritas da lıngua local.

A notacao matematica e, pois, padronizada e usada no mundo todo e levou seculos para serdesenvolvida. Muitos pesquisadores acreditam que, sem esta notacao padronizada, jamais terıamosevoluıdo cientıfica e tecnologicamente.

Como foi dito acima, os sımbolos e o formalismo da notacao matematica, tornam a Matematicauma linguagem precisa. Vamos revisar alguns sımbolos que usaremos na nossa disciplina deCalculo Diferencial e Integral.

O primeiro e mais importante sımbolo matematico e o sinal de igual. O sımbolo = denota aigualdade de duas quantidades. Assim, por exemplo, se sabemos que duas quantidades se relacio-nam atraves da equacao y = 1, 67x2, mesmo que nao conhecamos o fator 16, 27, podemos aindaafirmar que y e proporcional a x2. A proporcionalidade entre os dois termos pode ser escrita deduas maneiras:

a) Introduzindo uma constante de proporcionalidade k tal que y = kx2, ou

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b) usando o sımbolo ∝, e escrevendo y ∝ x2.

Se soubermos que o fator de proporcionalidade e aproximadamente igual a 16, podemos escre-ver y ' 16x2, onde se usou o sımbolo ', que significa aproximadamente igual.

Outros sımbolos muito usados sao > (maior que) e < (menor que), cujos significados saoilustrados abaixo:

area do Canada > area da Argentinamassa da Terra < massa de Jupiter

x < x+ 3, para todo x ∈ R.

Se uma quantidade e muito menor ou muito maior que outra quantidade, usamos os sımbolosduplos� e�:

area do Canada � area de Luxemburgomassa da Terra � massa da galaxia Via Lactea.

Um resumo dos sımbolos mais utilizados esta na seguinte tabela.

Sımbolo Significado= igual a≡ identicamente igual a; equivalente6= diferente de' aproximadamente igual a: ordem de magnitude de> maior que< menor que≥ maior ou igual a≤ menor ou igual a� muito maior que� muito menor que∝ proporcional a∴ donde, portanto

∆x variacao ou incremento de x|x| modulo ou magnitude de x⇒ implica; se...entao] angulo⊥ ortogonal a; perpendicular a‖ paralelo a

k∑i=1

mi somatorio de todos os mi desde i = 1 ate i = k

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1.2 Sistemas de coordenadas

1.2.1 A reta real RDada uma reta horizontal, escolha um ponto para representar o numero zero. Este ponto e chamadode origem. Pontos a direita da origem representam os numeros reais positivos e os pontos a es-querda os numeros reais negativos. Esta representacao geometrica dos numeros reais e conhecidacomo Reta Real e constitui-se em um eixo ordenado unidimensional.

Uma correspondencia biunıvoca e assim estabelecida entre o conjunto de todos os numerosreais, o qual denotamos por R, e o conjunto dos pontos da reta.

Intervalos

Frequentemente nos restringimos a certos subconjuntos dos numeros reais, e um dos exemplosmais utilizados sao os intervalos. Por exemplo, quando compramos um dado produto no supermer-cado, nem sempre (alias, raramente) ao pesarmos o pacote com precisao encontraremos o valorexplicitado na embalagem. Por exemplo, segundo a regulamentacao do INMETRO, um produtocom conteudo nominal de 1Kg possui uma tolerancia de 15g para o seu peso real. Ou seja, se xdenota o peso lıquido, em gramas, do produto medido com precisao, temos que x deve ser maiorou igual a 985 (x ≥ 985) e, alem disso, x nao pode ultrapassar 1015 (x ≤ 1015); x se encontra numintervalo abrangido entre 985 e 1015, que pode incluir os extremos. Esse intervalo e denotado, nasimbologia matematica, por [985, 1015].

Rigorosamente, dados dois numeros reais a e b, definimos o intervalo fechado entre a e b por

[a, b] = {x ∈ R | x ≥ a e x ≤ b}. (1.2)

Observe que os colchetes sao usados para indicar que os extremos estao incluıdos no inter-valo. Para excluırmos um extremo do intervalo, utilizamos um parenteses na sua notacao. Assim,ficamos com mais tres tipos de intervalos alem do intervalo fechado definido em (1.2):

(a, b) = {x ∈ R | x > a e x < b} (1.3)[a, b) = {x ∈ R | x ≥ a e x < b} (1.4)(a, b] = {x ∈ R | x > a e x ≤ b}. (1.5)

O intervalo definido por (1.3) e chamado de intervalo aberto, por nao conter nenhum dos seusextremos. Os intervalos definidos em (1.4) e em (1.5) contem apenas um de seus extremos e saochamados de intervalo semi-aberto.

Intervalos ilimitados.

Os intervalos definidos acima sao sempre limitados, ou seja, existem numeros reais l e L tais quel e menor do que qualquer de seus elementos e L e maior do que qualquer de seus elementos.Porem, podemos tambem considerar intervalos que sao ilimitados, eles sao as semi-retas

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(−∞, a) = {x ∈ R | x < a} (a,∞) = {x ∈ R | x > a}(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a} [a,∞) = {x ∈ R | x ≥ a},

sendo a um numero qualquer. Observe que nenhum dos intervalos ilimitados e fechado na suaparte infinita. Isso acontece porque∞ e −∞ nao sao numeros reais, e sim uma simbologia. Emoutras palavras, e impossıvel chegarmos ao infinito.

1.2.2 Graficos bi e tri-dimensionais em coordenadas retangularesAs funcoes que surgem nas aplicacoes nem sempre sao dadas por formulas. Os dados coletadosda observacao ou experimentacao definem funcoes que podem ser apresentadas tanto por graficoscomo por tabelas de valores. A vantagem da representacao grafica e que podemos estudar o com-portamento da funcao e fazer interpolacoes. Os graficos sao, pois, uma ferramenta basica noCalculo.

Os ingredientes essenciais para a construcao de um grafico em coordenadas retangulares sao:os eixos coordenados, uma escala e uma origem. No caso bidimensional, e usual indicar pela letrax o eixo horizontal (eixo das abscissas) e por y o eixo vertical (eixo das ordenadas). Se permite, deacordo com o significado de nossas variaveis, valores positivos e negativos para cada um dos eixos,e a sua interseccao e chamada de origem do sistema, representada pelo ponto onde ambos x = 0e y = 0. Os valores positivos de x sao representados a direita da origem, enquanto os negativosficam a esquerda. Analogamente, os valores positivos de y sao representados na parte superior (ouseja, acima do eixo x), enquanto os valores negativos de y ficam na parte inferior.

Na Fısica, este sistema de eixos perpendiculares, forma o que se chama de um sistema dereferencia (ou referencial) bidimensional. Na Matematica tambem e usado o termo sistema decoordenadas cartesianas, em homenagem a Rene Descartes (1596-1650), o mentor desta ideia. Estee o sistema no qual podemos representar uma funcao y = f(x), colocando a variavel dependentey no eixo vertical e a variavel independente x no eixo horizontal.

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Vamos, agora, preencher o sistema de coordenadas retangulares acima: a)Especifique seuseixos, a sua origem e uma certa escala; b) Pegue sua regua e marque a seguinte escala: a cada 1cm, uma unidade de nossas variaveis; c)Localize o ponto P de coordenadas x = 3 e y = 2. Anotacao matematica para este ponto e P (3, 2) e le-se P , de coordenadas 3 e 2. Em geral, um ponto,dentre os infinitos pontos deste sistema, e denotado por P (x, y), ou seja, a ordem das coordenadase primeiro o eixo das abcissas e depois o das ordenadas. A origemO do sistema, como mencionadoanteriormente, e o ponto O = P (0, 0).

Quadrantes

Os eixos dividem o plano (espaco bi-dimensional) em quatro quadrantes, que indicaremos pelosnumeros romanos I, II, III e IV, orientados no sentido anti-horario ou dextrogiro. Muitas vezestambem se utiliza a nomenclatura de primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectiva-mente.

Convem lembrar que em muitas das aplicacoes do Calculo a Economia e a Administracao opar de variaveis (x, y) e positivo e, nesses casos nossos graficos se restringem ao 1o quadrante.

Outro aspecto que devemos mencionar e a natureza das variaveis que estao sendo plotadas(plotter, expressao oriunda do ingles que significa localizar os pontos em um grafico atraves desuas coordenadas). Por exemplo, se estamos plotando o custo C(x) para produzir x unidades deum produto, entao colocamos a variavel C(x) no eixo vertical com a respectiva unidade (no casouma unidade monetaria) e, no eixo horizontal, o numero x de unidades demandadas. Temos entaoo grafico C(x) × x (le-se C(x) versus x). Para melhorar a precisao dos pontos em um grafico, oideal e usar um papel milimetrado, que ja vem subdividido com precisao de milımetro.

Coordenadas tri-dimensionais

Se a nossa funcao e funcao de duas variaveis, isto e z = f(x, y) entao teremos os pontos plotadosno espaco tri-dimensional. Neste caso, necessitaremos de tres eixos coordenados, x, y e z; isto e,alem de x e y representando as dimensoes horizontais, temos tambem a altura z. Estes eixos devemestar orientados no sentido dextrogiro e qualquer ponto P neste sistema tera tres coordenadas, e anotacao padrao para os pontos se torna P (x, y, z).

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No exemplo a seguir, vemos os tres eixos coordenados x, y e z, juntamente com o grafico dafuncao f(x, y) = x2 + 2y2 + 1.

De maneira analoga ao caso bi-dimensional, podemos dividir o espaco 3-D em 8 partes chama-das octantes. Localize no sistema tri-dimensional a seguir um ponto generico P (x, y, z), supondoque as tres coordenadas sao positivas, localizando, portanto, tal ponto no 1o octante.

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1.3 Conceito de FuncaoIniciamos o estudo do Calculo Diferencial e Integral falando, inicialmente sobre a natureza dasquantidades. Ha dois tipos de quantidades: as constantes e as variaveis. Uma constante e umaquantidade numerica cujo valor nao varia num determinado problema. Assim, por exemplo, sabe-mos que a areaA de um cırculo de raio r e dada porA = πr2. Neste exemplo (e ao longo do texto),a quantidade denotada pela letra grega π e uma constante valendo 3, 14159 . . . sempre, usualmenteaproximada pelo valor 3, 14.

Em algumas situacoes, uma constante e chamada de parametro. Nestes casos, significa que elatem o mesmo valor numerico num dado problema, mas pode assumir um outro valor numerico emum outro problema.

Uma variavel e uma quantidade que assume muitos valores num problema particular. Umavariavel pode ser contınua ou discreta. Variavel contınua e a que pode assumir qualquer valornum determinado intervalo dos numeros reais, por exemplo o raio de um cırculo r como anterior-mente. Variavel discreta e a que so pode assumir valores num certo domınio enumeravel, como,por exemplo, o conjunto dos numeros inteiros positivos. Um exemplo de variavel discreta seria aquantidade de ovelhas de um rebanho ou de carros produzidos em um dia em uma dada montadora.Informalmente, um conjunto e dito enumeravel sempre quando seus elementos podem ser contadose nao-enumeravel caso contrario. Observe que o conjunto infinito dos numeros reais associadosaos pontos da reta real e nao-enumeravel, enquanto que o conjunto dos inteiros e enumeravel.

Portanto, em cada problema podem existir:

a) Constantes que sempre tem o mesmo valor; tais constantes sao numeros ou sımbolos deno-tando numeros.

b) Constantes que sao parametros, isto e, tem o mesmo valor em cada problema, mas podemter valores diferentes em problemas diferentes. Tais quantidades dependem da situacao par-ticular representada no problema.

c) Variaveis que assumem todos os valores possıveis para o problema. Tais variaveis podemvariar de forma discreta ou contınua e podem estar restritas, por exemplo, a valores positivos,negativos ou a um dado intervalo.

Ao longo do texto denotaremos R o conjunto dos numeros reais, N o conjunto dos inteirospositivos, tambem chamado de conjunto dos numeros naturais, e Z o conjunto de todos os inteiros.

1.3.1 Conceito de funcao.Podemos agora, apresentar o conceito matematico de funcao. Como sabemos, as funcoes sao asmelhores ferramentas para descrever o mundo real em termos matematicos. Assim, frequente-mente, queremos estudar a variacao de uma quantidade que esta correlacionada com a variacaode outra quantidade. Como exemplo podemos citar o rendimento da poupanca, o qual dependeda taxa de juros paga pelo banco e do capital em deposito. Em termos de funcoes, decorre que orendimento e uma funcao da taxa de juros e do capital.

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Definicao 1 (Definicao formal de funcao). Seja D um conjunto. Uma funcao f definida em De uma regra, ou lei de correspondencia, que atribui um unico valor y a cada elemento x de D,denotado y = f(x). Este conjunto D de valores permitidos para x chama-se domınio da funcao, eo conjunto dos correspondentes valores de y chama-se imagem. Em geral vamos pensar que tantoo domınio quanto a imagem sao subconjuntos dos numeros reais.

Podemos tambem definir funcao de uma forma mais simples: Diz-se que y e uma funcao de xe escrevemos y = f(x), se, a cada valor da variavel x corresponde um unico valor da variavel y.Por exemplo, o humor de uma pessoa y pode ser considerado uma funcao do dia do ano x.

Utilizando a notacao acima, y e a variavel dependente e x a variavel independente. Se odomınio nao e citado explicitamente, considera-se que o domınio e o maior conjunto dos valoresde x para os quais a formula fornece valores reais de y. Este e chamado de domınio natural.

Frequentemente na notacao de funcoes sao usadas as letras x e y para associarmos com ascoordenadas retangulares do plano xy, porem outras letras podem ser usadas para denotar o caraterfuncional entre duas variaveis, dependendo do contexto. Por exemplo, no caso da area de umcırculo como funcao do raio, podemos usar as letras A para a area e r para o raio do cırculo.Assim, A(r) = πr2. O domınio natural de r, isto e, os valores permitidos para o raio do cırculosao todos os numeros reais positivos.

Podemos expressar uma funcao de diversas formas, das quais destacamos tres:

1. Uma funcao pode ser especificada por uma tabela, na qual as variaveis independentes x1, x2, . . . , xnestao em correspondencia com as respectivas variaveis dependentes y1, y2, . . . , yn:

Domınio x x1 x2 x3 . . . xnImagem y y1 y2 y3 . . . yn

2. Pela sua formula analıtica: chamamos de formula analıtica a correspondencia matematicacom sua notacao simbolica. Por exemplo, a formula analıtica de uma parabola e y = ax2 +bx+ c, onde a, b, c ∈ R sao constantes (que aparecem aqui como parametros) e a 6= 0.

3. Pela representacao grafica da funcao y = f(x) em um sistema de coordenadas retangulares,onde os valores da variavel independente estao plotados no eixo das abscissas (eixo x) e oscorrespondentes valores da variavel dependente no eixo das ordenadas (eixo y). O conjuntodos pontos P (x, y) com estas coordenadas define a curva que e o grafico da funcao y = f(x).

Os graficos fornecem varias informacoes uteis sobre a funcao, como por exemplo, os valores dex para os quais f(x) = 0. Estes valores sao as coordenadas x dos pontos onde o grafico interceptao eixo x e sao chamados zeros ou raızes da funcao f .

Convem destacar que nem toda curva no plano xy representa uma funcao. Vamos ilustrar coma seguinte curva:

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Esta curva nao representa uma funcao porque nao passa no teste da reta vertical. Uma curvano plano xy e o grafico de uma funcao se, e somente se, nenhuma reta vertical intercepta a curvamais de uma vez.

Outro exemplo : Estudar o grafico da equacao x2 + y2 = 25:

Figura 1.1: A equacao x2 + y2 = 25 define um cırculo centrado em P (0, 0) e com raio 5.

1.3.2 Classificacao das funcoes.As funcoes se classificam em:

1. Funcoes algebricas, as quais podem ser:(a) Polinomiais; (b) Racionais; (c) Funcoes Potencia.

2. Funcoes Transcendentais, as quais podem ser:(a) Trigonometricas; (b) Exponenciais; (c) Logarıtmicas.

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Iniciaremos nosso estudo com as Funcoes Algebricas e deixaremos para a area II as FuncoesTranscendentais.

1a) Funcoes Polinomiais : Sao funcoes da forma

y = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n,

onde n e um inteiro nao negativo, a0, a1, . . . , an sao coeficientes reais constantes e an 6= 0. Nessanotacao, o grau do polinomio e n, ou seja, o grau de um polinomio e o maior expoente de x queaparece no polinomio.

Exemplos de polinomios:

y = 2x+ 4 (polinomio de grau 1),y = x2 + 2x− 7 (polinomio de grau 2),y = π + 4x7 (polinomio de grau 7),y = −4 (polinomio de grau 0 – ou polinomio constante).

1b) Funcoes Racionais : Estas funcoes sao assim chamadas porque elas sao obtidas como arazao de funcoes polinomiais. Ou seja,

y =a0 + a1x+ . . .+ anx

n

b0 + b1x+ . . .+ bmxm,

sendo n e m numeros inteiros positivos e a0, . . . , an, b0, . . . , bm coeficientes reais.Exemplos de funcoes racionais:

y =1

x, y =

2x− 3

x3 +√

2x+ 1.

1c) Funcoes Potencias: Sao funcoes da forma y = xr, onde r e um numero racional, isto e, r ea razao de dois numeros inteiros p, q.

Exemplos de funcoes potencia:

y = x34 , y = x1.72, y =

√x.

Observe que a funcao raiz quadrada y =√x e uma funcao potencia, pois

√x = x

12 .

1.3.3 Estudo da funcao linear.O tipo mais simples de funcao polinomial e o de grau 1, ou seja y = ax + b. Esse polinomio etambem conhecido como funcao linear e, em problemas aplicados, denotada a equacao do modelolinear.Propriedades:

– Qual e a representacao grafica desta funcao y = ax+ b?E o grafico de uma reta.– O que caracteriza esta reta num sistema de coordenadas retangulares?

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Dois parametros: a e o coeficiente angular ou declividade (slope, em ingles). Esta ultimapalavra vem sendo, erradamente, traduzida por “inclinacao”e esta presente na maioria dos livros-texto. O coeficiente b e chamado de coeficiente linear, e corresponde ao ponto P (0, b), que e aintersecao de seu grafico com o eixo y (voce sabe por que? Tente descobrir).

Vejamos estes parametros diretamente no grafico que construiremos a partir de uma tabela dedados expressos como um conjunto de pontos.

Exemplo 1.1. Qual a equacao da reta que passa pelos seguintes pontos?

x 0 2y 4 5

Solucao. Como procuramos uma funcao linear, devemos encontrar os coeficientes a, b tais quey = ax + b passe pelos pontos P1(0, 4) (ou seja, quando x = 0 entao y = 4) e P2(2, 5) (ou seja,quando x = 2 entao y = 5). Basta substituirmos essas duas informacoes e formarmos um sistema{

4 = a.0 + b5 = a.2 + b

Na primeira equacao obtemos que b = 4. Substituindo esse valor na segunda, ficamos com

5 = 2a+ 4⇒ 2a = 1⇒ a =1

2,

assim, a solucao do exercıcio e y = 12x+ 4.

Vamos fazer o grafico dessa funcao no plano cartesiano xy.

(a) Identifique os pontos P1(0, 4) e P2(2, 5). (b) Trace a reta passando por P1 e P2.

Observe que a reta tracada passa pelo ponto P3(−8, 0), ou seja cruza o eixo x para x = −8.Isso significa que −8 e uma raiz da funcao y = 1

2x + 4. Podemos verificar se isso esta correto

substituindo os valores x = −8, y = 0 na equacao:

y =1

2x+ 4⇒ 0 =

1

2.(−8) + 4⇒ 0 = −4 + 4⇒ 0 = 0.

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Exercıcio 1. Verifique quais dos seguintes pontos fazem parte do grafico de y = −34x+ 3:

P1(4, 0), P2(2, 1/2), P3(8,−3), P4(1/2, 21/8).

Encontre os pontos P1, P2, P3 e P4 no plano cartesiano abaixo, esboce o grafico da funcao eencontre a sua raiz.

1.3.4 Estudo da funcao quadratica.A segunda funcao polinomial mais simples e a funcao polinomial de grau 2, que e dada por y =ax2 + bx + c, o que a caracteriza como uma funcao quadratica, a qual em problemas aplicados econhecida por modelo quadratico.

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Propriedades:– Qual e a representacao grafica desta funcao?E o grafico de uma parabola.– O que caracteriza essa parabola num sistema de coordenadas?Se a > 0, entao a parabola abre para cima; se a < 0, a parabola abre para baixo. O coeficiente

c e aquele qual a parabola corta o eixo y no ponto P (0, c) (substitua x = 0 em y = ax2 + bx + ce veja esse milagre acontecendo), e o coeficiente b nos diz o modo que a parabola corta o eixo x,se b > 0 a parabola corta o eixo subindo, se b < 0 a parabola corta o eixo descendo, e se b = 0 aparabola corta o eixo num ponto de maximo ou de mınimo.

Exemplo 1.2. Faca um esboco do grafico de x2 − 4x + y − 12 = 0 e destaque suas principaiscaracterısticas.

Solucao. Primeiramente, devemos isolar o y acima para colocarmos a funcao na sua forma canonica.Sendo assim, obtemos:

y = −x2 + 4x+ 12,

portanto, na nomenclatura utilizada acima temos que a = −1, b = 4 e c = 12. Utilizando acaracterizacao dos coeficientes, como a = −1 < 0, obtemos que essa parabola abre para baixo:

Mais ainda, como c = 12, ela corta o eixo y no ponto P (0, 12), e como b = 4 > 0, vai faze-losubindo, ou seja, essa parabola se parece com

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Mas a figura acima ainda nao e boa o suficiente, pois existem diversas parabolas com as carac-terısticas da figura acima, veja quatro exemplos representados em um mesmo grafico:

Para podermos colocar o rigor matematico necessario no grafico da nossa parabola, devemoscalcular as raızes do polinomio, ou seja, os valores de x para os quais y = 0, solucionando aequacao do segundo grau 0 = −x2 + 4x+ 12:

0 = −x2 + 4x+ 12F. Baskara⇒ x =

−4±√

42−4.(−1).(12)

2.(−1)

= −4±8−2

⇒ x = 6 ou x = −2.

Encontramos, portanto, que as raızes de y = −x2 + 4x + 12 sao 6 e −2. Colocando isso nografico, obtemos o esboco final da parabola:

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Exercıcio 2. Faca o esboco do grafico de y = 3x2 − 12x − 15, ressaltando suas caracterısticas ecalculando suas raızes.

1.3.5 Fatoracao de polinomios.Suponha que p(x) = anx

n + . . . + a1x + a0 e um polinomio de grau n que possui exatamente nraızes reais x1, x2, . . . , xn, contadas com multiplicidade. Entao vale a seguinte expressao fatoradapara p:

p(x) = an(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn). (1.6)

Essa forma acima pode nao parecer muito agradavel mas ela e bastante util em diversas situacoes,principalmente quando lidamos com polinomios de graus 2 e 3. Veja o exemplo abaixo:

Exemplo 1.3. Obtenha a fatoracao do polinomio p(x) = 2x3− 4x2− 10x+ 12, sabendo que suasraızes reais sao 1, 3 e −2.

Solucao. Vamos simplesmente observar a forma (1.6). Primeiro, temos que notar que o termo an(que e o chamado coeficiente lıder do polinomio) nesse caso e igual a 2. Sendo assim, a fatoracaosera dada por

p(x) = 2(x− 1)(x− 3)(x+ 2).

Observe que o sinal + na parcela (x + 2) da fatoracao foi obtido pela regra −(−2) = +2. Agora,para termos certeza que essa fatoracao esta correta, podemos fazer a multiplicacao dos fatores paraencontrarmos o polinomio original:

2(x− 1)(x− 3)(x+ 2) = 2[x2− 4x+ 3](x+ 2) = 2[x3− 2x2− 5x+ 6] = 2x3− 4x2− 10x+ 12.

Nem sempre as raızes sao dadas na hora da fatoracao, as vezes vamos ter que calcula-las antesde iniciarmos o processo:

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Exemplo 1.4. Obtenha a fatoracao de p(x) = −x2 + 3x− 2.

Solucao. Primeiro, vamos utilizar a formula de Baskara para encontrarmos as suas raızes. Temosque

−x2 + 3x− 2 = 0 ⇐⇒ x =−3±

√32 − 4(−1)(−2)

2(−1)

⇐⇒ x =−3±

√1

−2

⇐⇒ x =−3 + 1

−2ou x =

−3− 1

−2⇐⇒ x = 1 ou x = 2.

Sendo assim, a fatoracao nesse caso e (observe que o coeficiente lıder e −1)

−x2 + 3x− 2 = −1(x− 1)(x− 2).

A prova real deixamos como exercıcio.Um outro caso que aparece bastante e o seguinte exemplo, onde o termo independente (ou seja,

o a0 na expressao (1.6)) e igual a 0:

Exemplo 1.5. Obtenha a fatoracao do polinomio p(x) = 3x3 − 15x2 + 18x.

Solucao. Nesse caso, a primeira coisa a ser feita e colocar o fator x em evidencia:

3x3 − 15x2 + 18x = x(3x2 − 15x+ 18).

Agora, dividimos o nosso polinomio no produto de dois fatores. Um deles (x), ja esta fatorado,e podemos fazer o processo de fatoracao apenas na segunda parcela 3x2 − 15x + 18. Utilizandoa formula de Baskara novamente encontramos que suas raızes sao dadas por 2 e 3 (cheque vocemesmo!), portanto a fatoracao desse termo fica

3x2 − 15x+ 18 = 3(x− 2)(x− 3),

e portanto a fatoracao do polinomio inicial fica sendo

3x3 − 15x2 + 18x = x(3x2 − 15x+ 18) = 3x(x− 2)(x− 3).

Uma coisa (triste) que devemos observar e que nem sempre o metodo da fatoracao pode serutilizado. Isso vai ocorrer se um polinomio tiver raızes complexas, como por exemplo p(x) =x2 + 1, que nao possui nenhuma raiz real. Nesse caso, as parcelas complexas (que serao semprepolinomios de grau 2) devem ser mantidas em conjunto com as parcelas geradas pelas raızes reais.Esse caso nao sera abordado ao longo do nosso curso, embora seja bastante interessante.

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Exercıcio 3. Obtenha as fatoracoes dos seguintes polinomios:

(a) p(x) = 2x2 − 2x− 4;

(b) p(x) = x2 − 4x+ 4;

(c) p(x) = x3 − 5x2 + 6x;

(d) p(x) = 2x2 − 3x+ 1.

Exercıcio 4. Utilizando a fatoracao de polinomios, simplifique as seguintes funcoes racionais.

(a)2x2 − 2x− 4

x− 1;

(b)x2 − 2x

x3 − 4x2 + 4x;

(c)x3 − 5x2 + 6x

2x− 4.

1.3.6 Aplicacoes.Modelos para a funcao custo.

Provavelmente, umas das funcoes de maior interesse para uma empresa seja a funcao custo C, istoe, o custo para produzir uma certa quantidade x de unidades de um produto. Muitas componentesentram no custo total. Algumas sao despesas de capital para construcao e compra de maquinario epor serem fixas nao dependem de x. Outras, como salarios e custo de materia-prima sao, em geral,proporcionais a quantidade produzida.

A forma mais simples para esta funcao poderia ser

C(x) = b+ ax, (1.7)

onde o primeiro termo b representa o custo fixo, constante, e o segundo termo ax representa o custocorrente.

Do ponto de vista matematico esta e uma funcao linear; a variavel independente e x, represen-tando a quantidade de unidades produzidas, e a variavel dependente e C(x), o custo da producao.Note que x e uma variavel discreta (nao e considerado o custo para produzir meia unidade oufracoes de uma unidade), tomando valores nos inteiros nao negativos {0, 1, 2, . . .}.

Exemplo 1.6. Uma certa fabrica produz travesseiros. Mensalmente, eles tem um custo fixo deR$23.000, 00 com aluguel, salarios, manutencao do maquinario, contas de agua, luz, telefone, etc,e mais um custo de R$14, 00 por cada travesseiro produzido. Qual a funcao custo C(x) em termosde x, a quantidade de travesseiros produzida? Faca uma tabela que represente o custo de producaode: 0 unidades, mil unidades e 5 mil unidades. Esboce esse grafico em um plano cartesiano.

Solucao. O custo e a soma do custo fixo (23.000) mais o custo corrente, de R$14, 00 por unidade,ou seja, 14x, formando

C(x) = 23000 + 14x. (1.8)

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Para fazermos a tabela, precisamos calcular o custo para x = 0, x = 1000 e x = 5000,utilizando (1.8). Obtemos

C(0) = 23000, C(1000) = 37000, C(5000) = 93000,

e podemos montar a tabela pedida

Unidades: 0 1.000 5.000Custo: R$23.000, 00 R$37.000, 00 R$93.000, 00

Plotando os pontos obtidos pela tabela acima no plano cartesiano, obtemos

Um esboco do grafico e uma interpolacao de pontos alinhados entre os pontos ja colocados nafigura acima. Podemos inclusive tracar uma reta que passe por esses pontos para extrapolar o custoem funcao do numero de unidades, porem isso nao e rigoroso, pois x e uma variavel discreta. Noteque nao faz sentido tracar essa reta para pontos onde x < 0, pois nao ha a possibilidade fısica deproduzirmos uma quantidade negativa de travesseiros:

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Porem, nem todas as funcoes custo sao tao simples como esta. Um aspecto importante a serconsiderado e o intervalo de tempo necessario para produzir x unidades do produto, digamos queeste intervalo de tempo seja uma semana. Nessa proposta para o custo C(x) continuara tendo umcusto fixo c por semana, mas a parte variavel do custo, provavelmente ira crescer mais devido afatores conjunturais que podem ocorrer ao longo de uma semana. A funcao custo poderia entao tera forma:

C(x) = ax2 + bx+ c, (1.9)

onde a, b, c sao constantes e a 6= 0.A funcao dada por (1.9) e uma funcao quadratica, ou seja, um polinomio de grau 2.

Exercıcio 5. Dada a tabela abaixox 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

C(x) 5.0 4.8 5.6 7.4 10.2 14.0

a) Construa o grafico de C(x)×x (le-se C(x) versus x) em coordenadas retangulares. Voce vaiunir os pontos do grafico de forma contınua, embora os valores de x e C(x) neste exemplo sejamvalores discretos.

b) O grafico assim construıdo se ajusta a uma funcao linear ou a uma quadratica?

c) Como se chama este tipo de curva e qual a sua forma analıtica? Use a tabela para calcularseus coeficientes.

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Depreciacao de bens

1) Uma empresa investe R$18.000, 00 em equipamentos. O contador da empresa usa um modelolinear para a depreciacao do equipamento em 10 anos, isto e, o valor contabil do equipamentodecresce a uma taxa constante, de tal forma que ao final de 10 anos aquele valor contabil sera zero.

Seja y(x) o valor contabil do equipamento ao fim de x anos; assim, quando x = 0, temosy(0) = 18000 e quando x = 10, y(10) = 0. O grafico que da a relacao entre x e y e o segmento dereta que une os pontos (0, 18000) e (10, 0).

O coeficiente angular da reta sera, entao:

m =0− 18000

10− 0= −1800,

e tem o significado que a cada ano a maquina desvalorizara em R$1800, 00.O modelo linear e descrito pela equacao da reta: y− y1 = m(x− x1) que, nesse caso, se torna

y − 180000 = −1800(x− 0). Isolando o termo y, obtemos a variavel y em funcao de x

y = −1800x+ 18000.

Observe que o domınio da funcao acima e x ∈ [0, 10], pois, segundo este modelo, em 10 anosa maquina tera perdido totalmente o seu valor.

Observe que o valor do coeficiente angular (declividade ou inclinacao) m = −1800 da ataxa (reais/ano), segundo a qual o valor do equipamento muda a cada ano, isto e, decresce emR$1.800,00 por ano.2) Uma propriedade foi comprada, em 2004, por R$750.000,00, sendo que o terreno foi avaliadoem R$150.000,00, enquanto as benfeitorias foram avaliadas em R$600.000,00. Supondo que asbenfeitorias se depreciem segundo um modelo linear de tal forma que num prazo de 20 anos seuvalor se reduz a zero, qual o valor da propriedade em 2012, supondo que o valor do terreno naovaria? (Siga os passos do exemplo anterior levando em conta apenas as benfeitorias, a respostae R$510.000)3) Uma companhia comprou maquinaria no valor de R$15.000,00. Sabe-se que o valor residualapos 10 anos de uso sera de R$2.000,00. Usando um modelo linear de depreciacao, calcule o valorda maquinaria depois de 6 anos de uso. (Resposta: R$7.200,00)

Outras situacoes

4) Em uma industria, e importante perceber a relacao entre os salarios e o numero de trabalhadoresque se afastam no perıodo de um ano de trabalho. Em uma cadeia de restaurantes, este numero(em percentual), era 20% ao ano quando o salario mınimo por hora era R$5,75.

Seja q(x) este percentual e x o salario/hora.Quando a empresa aumentou o salario para R$6,00 por hora, q(x) caiu para 18%.a) Supondo um modelo linear entre q(x) e o salario/hora x, ache a funcao linear q(x) = ax+ b.b) Qual deveria ser o salario/hora para que q(x) caısse para 10 empregados por ano?

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5) O gerente de uma loja de artigos esportivos fez um grafico de vendas (em milhares de reais)em funcao do tempo para os ultimos 5 anos e observou que os pontos se encontram aproximada-mente em linha reta, ou seja se aproximam de uma funcao linear, segundo o grafico abaixo. Usandoos pontos relativos ao primeiro e quinto anos, encontre uma equacao para a reta da projecao de ven-das. Que valor de vendas podemos prever para o sexto ano?

6)Suponha que um objeto de arte comprado por R$50.000,00 apresente uma expectativa devalorizacao de R$5.000,00 por ano pelos proximos 5 anos. Prevendo um crescimento linear, qualsera seu valor tres anos apos a data da compra?

1.4 Equacoes de oferta e demanda: modelos matematicos.Em uma economia de livre-mercado, as variaveis mais importantes sao o preco e a quantidade demercadoria demandada (procurada).

Seja p o preco de uma unidade de mercadoria, e seja x o numero de unidades demandadas.E razoavel supor que a quantidade de mercadoria demandada no mercado pelos consumidores

ira depender do preco dessa mercadoria. Quando o pre co baixa, os consumidores, em geral,procuram mais a mercadoria, enquanto uma alta nos precos afasta os consumidores.

A aplicacao de metodos estatısticos aos dados economicos permite chegar a uma relacao entre aquantidade de mercadoria demandada x e o preco p. Esta equacao e chamada equacao de demandae pode ser dada tanto por

p = f(x) (preco de uma unidade de mercadoria quando x unidades sao demandadas)

como por

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x = g(p) (numero de unidades de mercadoria que serao demandadas se o preco por unidade for p).

O grafico da equacao de demanda e chamado curva de demanda e, em geral, usa-se o eixovertical para representar o preco p e o eixo horizontal para representar a demanda.

Exemplo 1.7. Consideremos a seguinte equacao de demanda: p2 + 2x − 16 = 0, para x ∈ [0, 4].Em situacoes economicas normais, x e p sao variaveis positivas. Assim, resolvendo a equacaoacima para valores positivos de p obtemos a seguinte funcao

p =√

16− 2x,

que possui o seguinte grafico (para x ∈ [0, 4]):

Observa-se neste grafico que quando o preco por unidade decresce, a demanda pela mercadoriaaumenta e quando o preco por unidade aumenta a demanda decresce. Este modelo reflete o sensocomum da economia, e a funcao e decrescente.

Em um mercado competitivo existe tambem a relacao entre o preco de um produto e a suadisponibilidade no mercado. A equacao que expressa a relacao entre o preco por unidade e aquantidade oferecida e chamada equacao da oferta e seu grafico e a curva de oferta.

Na equacao da oferta x e, agora, o numero de unidades de uma certa mercadoria a ser ofertadapor um produtor e p e o preco de uma unidade da mercadoria. Numa situacao economica normalx e p sao positivas e a funcao p = f(x) e geralmente uma funcao crescente. Assim, quando opreco da mercadoria aumenta, o produtor naturalmente aumentara a oferta para tirar vantagem dosprecos mais altos. Da mesma forma, havera uma tendencia de diminuir a quantidade produzidaquando o preco baixa.

Um modelo de curva de oferta e mostrado abaixo. Observe que quando x = 0, p = p0. Ouseja, p0 e o preco segundo o qual nenhuma mercadoria estara disponıvel no mercado. Quando opreco unitario e grande, o produtor oferta uma grande quantidade de mercadoria ao mercado.

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Exercıcio 6. A nao ser que o preco de um determinado armario supere R$250,00, nenhum armarioestara disponıvel no mercado. Contudo, quando o preco e p =R$350,00, x = 200 armarios estaraodisponıveis no mercado. Ache a equacao da oferta p = f(x), supondo um modelo linear e faca seugrafico.

Equilıbrio de mercado“Se o preco for muito alto, o consumidor nao comprara, e se o preco for muito baixo, o fornecedornao produzira.”

Quando varios produtores oferecem uma mesma mercadoria, a equacao de oferta e determinadaa partir das equacoes de oferta de cada produtor e a equacao de demanda do mercado e determinadaatraves das equacoes de demanda de todos os consumidores. Mostraremos agora como determinaro preco de equilıbrio e a quantidade de equilıbrio de um mercado.

O equilıbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada, a um preco,e igual a quantidade de mercadoria oferecida aquele preco. Isto e, o equilıbrio de mercado ocorrequando tudo que e oferecido para venda, a um determinado preco, e comprado. Chega-se, entao aquantidade de equilıbrio e ao preco de equilıbrio. Para se chegar a este valor e necessario resolversimultaneamente as equacoes de demanda e oferta, montando um sistema de equacoes.

Exemplo 1.8. As equacoes de demanda e oferta sao, respectivamente, x2+p2 = 25 e 2x−p+2 = 0,onde p e o preco e x e a quantidade de mercadorias (em centenas). Qual o preco de equilıbrio equal a quantidade de equilıbrio?

Solucao. Da segunda equacao podemos isolar o preco p, obtendo p = 2x + 2. Substituindo naprimeira equacao, ficamos como segue

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x2 + p2 = 25⇒ x2 + (2x+ 2)2 = 25 ⇒ x2 + 4x2 + 8x+ 4 = 25

⇒ 5x2 + 8x− 21 = 0

⇒ x =−8±

√82 − 4.(5).(−21)

2.5

⇒ x =−8± 22

10

⇒ x = −3 ou x =7

5= 1, 4.

Observe que x = −3 e uma solucao para a equacao acima. Porem, tal solucao denota uma quanti-dade negativa de mercadorias, o que nao faz sentido. Devemos, portanto, descartar essa solucaoe obtemos apenas que x = 1, 4. Utilizando esse valor na equacao p = 2x+ 2 ficamos com o precop = 2× 1, 4 + 2 = 4, 8.

Traduzindo, o preco de equilıbrio e de R$4,80 por unidade, que e atingido quando a oferta e de140 unidades (ou seja, 1,4 centenas).

Agora, trace no plano abaixo os graficos de x2 + p2 = 25 (um cırculo centrado em (0, 0) deraio 5) e de 2x− p + 2 = 0, lembrando de se restringir ao primeiro quadrante (pense por que). Ainterseccao das duas curvas obtida deve ser o ponto (1, 4, 4, 8).

Exercıcio 7. A funcao demanda por certa marca de TV e dada por p = −0, 01x2 − 0, 2x + 8 e acorrespondente funcao oferta e dada por p = 0, 01x2 + 0, 1x + 3 onde p e o preco, expresso emreais, e x e medido em unidades de milhar.

(a) Encontre o ponto de equilıbrio analiticamente.

(b) Use o papel milimetrado abaixo para tracar no mesmo grafico as curvas de demanda e oferta eidentifique o ponto de equilıbrio.

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Exercıcio 8. A equacao de demanda para um produto e p2 + 2p+ 2x− 24 = 0.

(a) Ache o preco mais alto que se pagaria pelo produto.

(b) Ache a demanda se o produto fosse gratis.

(c) Faca um esboco da curva de demanda.

Exercıcio 9. A equacao de oferta de um produto e x2 + 4x − 4p + 20 = 0. Faca um esboco dacurva de oferta e ache o preco mais baixo pelo qual o produto seria oferecido.

MAT0112 Calculo I-B 28 1- Topicos de matematica elementar

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Capıtulo 2

Limites e continuidade de funcoes.

2.1 Limites de funcoesVamos apresentar, agora, o conceito de limite de uma funcao quando a variavel independentese aproxima de certo valor. O limite e muito importante para entender diversos conceitos queaparecerao daqui para frente, tais como de continuidade de uma funcao e o significado da derivadade uma funcao.

Leitura NotacaoO limite a direita de f(x) quando x se aproxima de x0 e igual a L. lim

x→x+0f(x) = L

O limite a esquerda de f(x) quando x se aproxima de x0 e igual a L. limx→x−0

f(x) = L

O limite de f(x) quando x se aproxima de x0 e igual a L. limx→x0

f(x) = L

Observamos que os limites a direita e a esquerda sao os chamados limites laterais. Eles saocalculados tomando apenas valores maiores (no caso do limite a direita) ou menores (no caso dolimite a esquerda) que x0. Intuitivamente, o limite descreve qual a tendencia de uma certa funcaoproximo de um dado ponto x0 em seu domınio.

Exemplo 2.1. Considere a funcao f : R→ R (definida por partes) dada por

f(x) =

x2, se x < 2−10, se x = 2x+ 1, se x > 2.

Vamos calcular: f(2), limx→2+

f(x), limx→2−

f(x) e limx→2

f(x).

Primeiramente, f(2) e simples, pois x = 2 e portanto f(x) = −10. Assim, f(2) = −10.Vamos passar aos limites laterais, comecando com lim

x→2+f(x). Observe que esse e um limite a

direita, ou seja, e tomado por valores maiores que 2. Sendo assim, seguindo a regra da funcao,

limx→2+

f(x) = limx→2+

x+ 1.

MAT0112 Calculo I-B 29 2- Limites e continuidade de funcoes

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Agora, temos que pensar. Quando x se aproxima de 2, para onde se aproxima x+ 1? Ora, se xesta proximo de 2, entao x+ 1 esta proximo de 2 + 1, ou seja,

limx→2+

x+ 1 = 3,

assim, obtemos limx→2+

f(x) = 3.

Vamos passar ao outro limite lateral, limx→2−

f(x). Com menos detalhes, temos

limx→2−

f(x) = limx→2−

x2 = 4.

Finalmente, podemos (tentar) calcular limx→2

f(x). Acontece que limx→2−

f(x) 6= limx→2+

f(x), por-

tanto nao existe limx→2

f(x).

Exemplo 2.2. Seja f : R→ R dada por f(x) = x sen(x). Calcule (se houver) limx→0

f(x).Para resolvermos esse exemplo, vamos primeiro utilizar uma calculadora cientıfica para poder-

mos ter uma intuicao do que esta acontecendo. Em seguida vamos de fato mostrar que a intuicaoesta correta.

Na tabela abaixo, temos valores de x proximos de 0, o valor de sen(x) e a multiplicacao de xpor sen(x).

x sen(x) x sen(x) x sen(x) x sen(x)0,1 0,099833 0,009983 - 0,1 -0,099833 0,009983

0,08 0,079915 0,006393 - 0,08 -0,079915 0,0063930,06 0,059964 0,003598 - 0,06 - 0,059964 0,0035980,04 0,039989 0,001600 -0,04 -0,039989 0,0016000,02 0,019999 0,000400 -0,02 - 0,019999 0,0004000,01 0,010000 0,000100 -0,01 -0,010000 0,000100

0,005 0,0049888 0,000024 - 0,005 - 0,0049888 0,0000240,001 0,0009999 0,000099 -0,001 -0,0009999 0,0000990,0001 0,0000099 0,000000009 -0,0001 - 0,0000099 0,000000009

Como podemos observar, tanto para valores de x positivos quanto negativos, quando x seaproxima de 0, x sen(x) tambem se aproxima de 0. Portanto, parece que vai valer

limx→0+

x sen(x) = 0, limx→0−

x sen(x) = 0,

de onde obtemos

limx→0

x sen(x) = 0.

Agora, vamos de fato provar matematicamente que o limite esperado esta correto (calculadorase computadores sao falhos, pois fazem arredondamentos nos numeros, que se acumulam e podemdar resultados equivocados, portanto nao podemos utilizar essas ferramentas para demonstracoes).

Para demonstrarmos que limx→0 x sen(x) = 0, podemos observar duas coisas. Primeiro, sejax o numero que for, sen(x) sera sempre um numero entre −1 e 1 (ou seja, a funcao sen(x) e uma

MAT0112 Calculo I-B 30 2- Limites e continuidade de funcoes

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funcao limitada). Portanto, quando multiplicamos x por sen(x) obteremos um numero sempreentre −x e x (veja o grafico mais abaixo). Em particular, se x esta proximo de 0, f(x) estaraem um intervalo centrado em 0 com comprimento |x|. Quando x vai a 0, o comprimento desseintervalo vai tambem a 0, portanto resta apenas o valor 0 para o limite.

Princıpios dos limites.1. lim

x→x0f(x) existe se, e somente se, existirem ambos os limites laterais lim

x→x+0f(x) e lim

x→x−0f(x), e

seus valores coincidirem.

2. Os limites laterais podem possuir valores em um ponto onde a propria funcao nao esta definida.

3. O limite de uma funcao quando x → x0 nao depende do valor da funcao em x0, e sim docomportamento desta funcao para pontos proximos de x0.

4. Se uma funcao cresce (ou decresce) indefinidamente quando x→ x0, entao escrevemos

limx→x0

f(x) = +∞ (respectivamente limx→x0

f(x) = −∞).

Aqui, ∞ e um sımbolo chamado de infinito, que nao segue as regras da Algebra de soma,multiplicacao e afins.

5. Podemos, tambem, ter x0 = +∞ ou x0 = −∞. Nesse caso, os limites sao expressos

limx→+∞

f(x) e limx→−∞

f(x),

representam apenas limites laterais e sao chamados limites no infinito de f(x). Quando limx→+∞

f(x) =

L ou limx→−∞

f(x) = M , definem-se assıntotas horizontais como sendo as retas y = L e y = M .

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6. O limite lateral nao vai existir quando uma funcao oscila muito para valores proximos do x0,sendo finito ou infinito.

Exemplos com graficos.

Figura 2.1: limx→1− f(x) = 1, limx→1+ f(x) = 2, f(1) = 0. Nao existe limx→1 f(x).

Figura 2.2: limx→1− f(x) = 1, limx→1+ f(x) = 1, f(1) = 3. limx→1 f(x) = 1. O limite existe,mas e diferente de f(1).

MAT0112 Calculo I-B 32 2- Limites e continuidade de funcoes

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Figura 2.3: limx→1− f(x) = 1, limx→1+ f(x) = 1. f(x) nao esta definida para x = 1, mas o limiteexiste limx→1 f(x) = 1.

Figura 2.4: limx→0+ f(x) = 1 e f(0) = 1. Nao existe limx→0− f(x), pois f nao esta definida parax < 0.

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Figura 2.5: limx→0+ f(x) = +∞, limx→0− f(x) = 1, e f(0) = 1. Nao existe limx→0 f(x).limx→+∞ f(x) = 0 e limx→−∞ f(x) = +∞.

Figura 2.6: Grafico da funcao f(x) = sen(1/x), para x > 0. Nao existe o limite late-ral limx→0+ f(x), pois a funcao oscila demais e nao se aproxima de nenhum valor especıfico.limx→+∞ f(x) = 0.

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Outras propriedades dos limites.1. Quando existirem, o limite de uma soma ou diferenca e a soma ou diferenca dos limites, isto e

limx→x0

(f(x)± g(x)) = limx→x0

f(x)± limx→x0

g(x).

Cuidado com o pega-ratao! Os limites devem ambos existir. Observe o jeito certo de calcular-mos o seguinte limite:

limx→0

(1

x4− 1

x2

)= lim

x→0

(1− x2

x4

)= +∞

e agora, observe o jeito errado:

limx→0

(1

x4− 1

x2

)= lim

x→0

1

x4− lim

x→0

1

x2= +∞− (+∞) = ?????????.

Em breve vamos ver melhor como trabalhamos com os infinitos e como fazemos limites defuncoes racionais, ou seja, quociente de polinomios.

2. O limite de um produto e o produto dos limites, desde que existam, isto e

limx→x0

(f(x)× g(x)) =

(limx→x0

f(x)

)×(

limx→x0

g(x)

).

Novamente, tome cuidado com o pega ratao! Maneira certa:

limx→−1+

(x+ 1

x× x2 + 1

x+ 1

)= lim

x→−1+

(x2 + 1

x

)=

(−1)2 + 1

−1= −2.

Maneira errada:

limx→−1+

(x+ 1

x× x2 + 1

x+ 1

)= lim

x→−1+

(x+ 1

x

)× lim

x→−1+

(x2 + 1

x+ 1

)= 0×+∞ = ?????

3. O limite de um quociente e o quociente dos limites desde que eles existam e o limite do deno-minador seja nao-nulo, isto e

limx→x0

f(x)

g(x)=

limx→x0

f(x)

limx→x0

g(x), sempre que lim

x→x0g(x) 6= 0.

Exemplo

limx→0

x sen(x)

x2 + 1=

limx→0

x sen(x)

limx→0

x2 + 1=

0

02 + 1= 0.

MAT0112 Calculo I-B 35 2- Limites e continuidade de funcoes

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Exercıcio 10. Sabendo que limx→0

f(x) = 1, limx→0

g(x) = 0 e limx→0

h(x) = −4, calcule (ou diga que eimpossıvel de calcular com as informacoes dadas)

1. limx→0

(2f(x) + h(x))

2. limx→0

f(x)g(x)

3. limx→0

x2(f(x) + g(x))

4. limx→0

f(x)

g(x)

5. limx→0

g(x)

h(x)

Exercıcio 11. Calcule os seguintes limites

1. limx→1

x+ 1

x2 − 3x+ 1

2. limx→4

(x+ 1

x− 2− 3

x+ 3

)3. lim

x→2(x− 3) cos(πx)

Exercıcio 12. Em cada um dos graficos abaixo, diga se exista (e de os valores):a) lim

x→0+f(x); b) lim

x→0−f(x); c) lim

x→0f(x); d) f(0).

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Exercıcio 13. Para a funcao do grafico abaixo, diga se existe e calculea) lim

x→0+f(x); b) lim

x→0−f(x); c) lim

x→0f(x); d) f(0); e) lim

x→+∞f(x); f) lim

x→−∞f(x);

Exercıcio 14. Observando o grafico abaixo, responda:(a) f(0) =

(b) f(1) =

(c) f(2) =

(d) f(4) =

(e) f(6) =

(f) limx→0+ f(x) =

(g) limx→2− f(x) =

(h) limx→2+ f(x) =

(i) limx→6− f(x) =

(j) limx→6+ f(x) =

(k) limx→+∞ f(x) =

(l) Qual limx→2 f(x)?

(m) Qual limx→6 f(x)?

MAT0112 Calculo I-B 38 2- Limites e continuidade de funcoes

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2.1.1 Limites de funcoes racionais.Um caso particular bastante importante de limites e o caso de limites de funcoes racionais. Lem-brando, uma funcao racional e uma funcao do tipo f(x) = p(x)/q(x), onde p e q sao dois po-linomios, ou seja,

f(x) =a0 + a1x+ a2x

2 + . . .+ anxn

b0 + b1x+ b2x2 + . . .+ bnxm,

para a0, . . . , an, b0, bm ∈ R, an, bm 6= 0 e n, m ∈ N.Considere um ponto x0 ∈ R e vamos analisar os possıveis resultados para

limx→x0

p(x)

q(x).

So ha dois casos a se considerar. O primeiro e quando q(x0) 6= 0. Nesse caso, o limite esimples, e dado por

limx→x0

p(x)

q(x)=p(x0)

q(x0).

Um segundo caso seria quando q(x0) = 0, ou seja, quando x0 e uma raiz do polinomio q.Nesse caso temos um problema porque nao sabemos efetuar a divisao de um numero por zero,e o quociente p(x0)/q(x0) nao faz sentido. Vamos observar dois exemplos:

limx→1+

x+ 1

x2 − 2x+ 1, lim

x→1+

x2 − 2x+ 1

x− 1.

No primeiro caso, temos que 1 e raiz de x2 − 2x + 1, mas nao e raiz de x + 1. Temos quepensar intuitivamente: a parcela x + 1 esta tendendo a 2 quando x tende a 1, enquanto a parcelax2 − 2x + 1 esta tendendo a zero. Quanto e um numero proximo de 2 dividido por um numeroproximo de zero? Vamos fazer algumas contas.

Um numero proximo de zero 2 dividido por esse numero0, 1 200, 01 2000, 001 2000

0, 00000000001 200000000001× 10−100 2× 10100

1× 10−100000 2× 10100000

Observe que as duas ultimas linhas da tabela acima representam numeros muito grandes! Ouseja, quanto mais proximo de zero um numero esta, maior sera a divisao de 2 por esse numero(desde que esse numero seja positivo! Isso acontece nesse caso, pois x2−2x+1 nunca e negativo).Portanto, temos

limt→0+

2

t= +∞.

MAT0112 Calculo I-B 39 2- Limites e continuidade de funcoes

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Em particular, temos a solucao para o primeiro limite:

limx→1+

x+ 1

x2 − 2x+ 1=

2

0+︸ ︷︷ ︸Linguagem coloquial!Nao faz sentido matematico!

= +∞.

Agora, quando observamos o segundo limite acima, vemos que 1 e raiz tanto do denominadorx−1 quanto do numerador x2−2x+1. Quando isso acontece, significa que podemos efetuar umafatoracao de polinomios para simplificar a expressao. De fato, temos que x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2,portanto

limx→1+

x2 − 2x+ 1

x− 1= lim

x→1+

(x− 1)2

x− 1= lim

x→1+

x− 1

1= 0.

Outros exemplos:

limx→2+

x2 + x− 6

x2 − 3x+ 2

coloquial︷︸︸︷=

0

0= lim

x→2+

(x− 2)(x+ 3)

(x− 2)(x− 1)= lim

x→2+

x+ 3

x− 1=

2 + 3

2− 1= 5.

limx→−4

x2 − 16

x+ 3=

(−4)2 − 16

(−4) + 3=

0

−1= 0.

Observacao. Cuidado com o seguinte (tipo de) limite:

limx→0

1

x.

Nossa intuicao nos leva a pensar: limx→0 1/x = 1/0 = +∞. Porem, temos que nos lembrardos limites laterais! Temos, por um lado, que

limx→0+

1

x=

1

0+︸ ︷︷ ︸imaginem isso

= +∞,

e, por outro,

limx→0−

1

x=

1

0−︸ ︷︷ ︸imaginem isso

= −∞,

portanto na verdade o limite limx→01x

nao existe.

Um segundo tipo de limite de funcoes racionais e quando tomamos limites no infinito. Nessecaso, temos que considerar qual polinomio vai crescer mais rapidamente, o que se traduz a umaanalise do termo dominante de cada expressao. Vamos sempre esquecer os termos de menor grautanto no numerador quanto no numerador para fazermos os limites. Vamos observar tres exemplos:

MAT0112 Calculo I-B 40 2- Limites e continuidade de funcoes

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limx→+∞

x3 + 3x− 1

x2 − 2x= lim

x→+∞

x3

x2= lim

x→+∞x = +∞.

(Por favor, nao confundam! Esse metodo vale SOMENTE para o caso de limites no infinito,ou seja, quando x esta tendendo a +∞ ou a −∞.) Vamos a outro exemplo

limx→+∞

10x6 + 9x5 + 1005, 3x4 + x3 − x2 + 111x+ 1234

x7 + 1= lim

x→+∞

10x6

x7= lim

x→+∞

10

x=

10

+∞︸ ︷︷ ︸coloquial

= 0.

Cuidado, o polinomio nao necessariamente precisa estar escrito na ordem natural das parcelas!Veja:

limx→+∞

x4 − 3x3 − 2x5 + 1

7x5= lim

x→+∞

−2x5

7x5= lim

x→+∞

−2

7= −2

7.

2.2 Continuidade de funcoes.Um objeto em movimento nao pode desaparecer em algum ponto e reaparecer em outro a fimde continuar seu movimento (a nao ser que finalmente o teletransporte seja uma tecnologia real).Assim, entendemos a trajetoria de um objeto em movimento como sendo uma curva contınua, istoe, sem espacos em branco, interrupcoes ou buracos.

Da mesma forma, na Matematica uma funcao e dita contınua se ela mostra um comportamentosemelhante, ou seja, seu grafico nao apresenta falhas ou interrupcoes ou mudancas repentinas emseus pontos de definicao. Rigorosamente, temos a seguinte definicao:

Definicao 2 (Funcao contınua). Uma funcao real f e dita contınua em um ponto x0 que esteja emseu domınio de definicao se existir o limite limx→x0 f(x) e, alem disso, valer

limx→x0

f(x) = f(x0).

Se f for contınua em todos os pontos onde ela esta definida, dizemos que f e uma funcaocontınua.

Propriedades.

1. A soma ou diferenca de duas funcoes contınuas e uma funcao contınua.

2. O produto de duas funcoes contınuas e uma funcao contınua.

3. O quociente de duas funcoes contınuas e uma funcao contınua nos pontos onde o denomina-dor nao se anula.

MAT0112 Calculo I-B 41 2- Limites e continuidade de funcoes

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Figura 2.7: O grafico da esquerda representa uma funcao contınua, mas o grafico da direita possuiuma descontinuidade no ponto x = 3. Embora pareca que ambas as funcoes sao descontınuas,a representada pelo grafico da esquerda nao possui x = 3 no seu domınio de definicao, portantox = 3 nao e uma descontinuidade para essa funcao.

Exemplo 2.3. Verifique se a funcao f : R→ R dada por

f(x) =

x2 − 3x+ 2

x3 − x2 − 2x, se x > 2

x

12, se x ≤ 2

e contınua.

Solucao. Primeiro de tudo, precisamos verificar quais sao os pontos problema, ou seja, os pontosonde f poderia deixar de ser contınua. Como estamos trabalhando com uma funcao racional, temosque descobrir quais os pontos onde o denominador se anula. Portanto, precisamos iniciar a solucaoresolvendo a equacao de terceiro grau

x3 − x2 − 2x = 0.

Uma primeira observacao e que se pode colocar x em evidencia na equacao acima (ou seja, 0 euma raiz). Assim, ficamos com

x(x2 − x− 2) = 0⇒ x = 0 ou x2 − x− 2 = 0.

Resolvendo x2 − x− 2 = 0 via formula de Baskara obtemos

x =−(−1)±

√(−1)2 − 4.(1).(−2)

2.(1)=

1± 3

2,

e encontramos as duas outras raızes, x = 2 e x = −1. Mas a funcao racional esta definida apenaspara x > 2, portanto o unico ponto problematico que temos e x = 2, e devemos verificar selimx→2 f(x) = f(2). Para tanto, vamos comecar com os limites laterais:

MAT0112 Calculo I-B 42 2- Limites e continuidade de funcoes

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limx→2−

f(x) = limx→2−

x

12=

2

12=

1

6.

Por outro lado,

limx→2−

f(x) = limx→2+

x2 − 3x+ 2

x3 − x2 − 2x.

Substituindo x = 2, chegamos a 22−3.2+223−22−2.2

= 00, ou seja, 2 e raiz de ambos os polinomios, e

vamos precisar fatora-los para fazermos uma simplificacao.

x2 − 3x+ 2

x3 − x2 − 2x=

(x− 1)(x− 2)

(x+ 1)(x− 2)x=

x− 1

x(x+ 1).

Assim, ficamos com

limx→2−

f(x) = limx→2+

x− 1

x(x+ 1)=

2− 1

2(2 + 1)=

1

6.

Ja vale que limx→2− f(x) = limx→2+ f(x), portanto o limite existe e vale

limx→2

f(x) =1

6.

Para mostrarmos a continuidade de f em x = 2 ainda falta calcularmos f(2). Utilizando adefinicao de f , temos f(2) = 2/12 = 1/6, portanto f(2) = limx→2 f(x), provando que f e umafuncao contınua.

Como um bonus, observe o grafico de cada uma das funcoes envolvidas para gerar f , assimcomo o grafico de f .

MAT0112 Calculo I-B 43 2- Limites e continuidade de funcoes

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Exercıcio 15. Verifique quais das funcoes abaixo sao contınuas, dadas as suas formulas. Consideretodas definidas em toda a reta real.

(a) f(x) =

{x2, se x < 0x3, se x ≥ 0.

(b) f(x) =

1x, se x < 0

1x+1

, se x ≥ 0.

(c) f(x) =

3x+ 1, se x < 1

2x+2x, se 1 ≤ x < 4

x3 − 3x+ 1x, se x ≥ 4.

(d) f(x) =

1x

+ x, se x < 00, se x = 0

x+ 1, se x > 0.

Exercıcio 16. Veja o Exercıcio 14 na pagina 38 e responda:

(a) f e contınua em x = 2? Justifique.

(b) f e contınua em x = 4? Justifique.

(c) f e contınua em x = 6? Justifique.

Comutatividade de limites e funcoes contınuas.Lembrando que f : D → R e uma funcao contınua se, e somente se

limx→y

f(x) = f(y), sempre que y ∈ D,

o que podemos dizer do limite de uma funcao composta, digamos

MAT0112 Calculo I-B 44 2- Limites e continuidade de funcoes

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limx→1

√1

x2 − 2x+ 3?

A questao fundamental desenvolvida aqui e que, no exemplo acima, “o limite da raiz e a raizdo limite”, ou seja,

limx→1

√1

x2 − 2x+ 3=

√limx→1

1

x2 − 2x+ 3=

√1

12 − 2.1 + 3=

√1

2=

√2

2.

Aqui, nos fomos capazes de fazer essa troca do limite com a raiz quadrada por dois motivos: oprimeiro porque a funcao raiz quadrada e uma funcao contınua em [0, +∞), e a segunda porqueo limite da funcao 1

x2−2x+3quando x → 1 era um valor (a saber 1/2) que estava no domınio de

definicao de√·. Precisamente, podemos escrever essa comutatividade da seguinte maneira:

Teorema. Seja f : D → R uma funcao contınua em um ponto x0 ∈ D. Entao se g : D → R e umaoutra funcao tal que limx→x1 g(x) = x0, vale que

limx→x1

(f ◦ g)(x) = f(x0).

Em outras palavras, quando f e contınua e faz sentido a funcao composta abaixo, vale que

limx→x1

f(g(x)) = f

(limx→x1

g(x)

).

Exemplo 2.4. Observe os exemplos a seguir:

(a) limx→1

√1− x2 =

√limx→1(1− x2) =

√1− 12 = 0.

(b) limx→−1 cos(x+1x2−1

)= cos

(limx→−1

x+1x2−1

)= cos

(limx→−1

x+1(x−1)(x+1)

)= cos

(limx→−1

1x−1

)=

cos(

1−1−1

)= cos

(−1

2

).

(c) limx→+∞

√8x2−3x+1

1+2x2=√

limx→+∞8x2−3x+1

1+2x2=√

limx→+∞8x2

2x2=√

82

=√

4 = 2.

(d) limx→−4

(3x

(x+4)2

) 13

=

(limx→−4

3x

(x+ 4)2

) 13

=

(3(−4)

(−4 + 4)2

) 13

=

(−12

0+

) 13

= (−∞)13︸ ︷︷ ︸

Nao faz sentido matematico

= −∞.

MAT0112 Calculo I-B 45 2- Limites e continuidade de funcoes

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Capıtulo 3

Derivadas.

3.1 Taxas de variacao.O ultimo conceito que precisamos ver antes de chegar na definicao de derivada de uma funcao eo conceito de taxa de variacao. Para tanto usamos a notacao ∆ (delta) para indicar a variacao deuma variavel, ou seja, o seu valor final menos seu valor inicial.

Taxa de variacao media×declividade da reta secante.A taxa de variacao media de uma funcao f , denotada por f , em um intervalo [a, b] e dada por

f =∆y

∆x=f(b)− f(a)

b− a.

No grafico da funcao f , o valor f e a declividade (ou coeficiente angular) da reta secante:

MAT0112 Calculo I-B 46 3- Derivadas

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Taxa de variacao instantanea: a derivadaNo grafico acima, percebemos que os pontos a e b foram escolhidos ao acaso. Vamos ver o queaconteceria com a reta secante quando a e b fossem muito proximos:

Observe que utilizamos a notacao a = x e b = x + ∆x na figura acima. O que sera que vaiacontecer se fixarmos x mas fizermos ∆x ficar cada vez menor? Em outras palavras, qual o limiteda reta secante passando pelos pontos (x, f(x)) e (x+ ∆x, f(x+ ∆x)) quando ∆x vai a zero?

MAT0112 Calculo I-B 47 3- Derivadas

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Observa-se que quanto menor o ∆x, as retas secantes vao se aproximando da reta tangenteao grafico no ponto (x, f(x)). Note que o coeficiente angular de cada reta secante e dado pelavariacao media de f no intervalo (x, x+ ∆x)

msec =f(x+ ∆x)− f(x)

∆x.

MAT0112 Calculo I-B 48 3- Derivadas

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O limite da taxa de variacao media quando ∆x vai a zero da origem a uma taxa de variacaoinstantanea da funcao f . Em particular, a reta tangente (quando existir) tera declividade dada por

mtan = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x.

Notamos, entao, que o limite acima tem uma importante interpretacao geometrica: ele significa(quando existe) a inclinacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (x, f(x)). Essa a chamadaderivada de f em x, denotada por f ′(x). Ou seja, substituindo a notacao ∆x por uma variavel h,temos que

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h.

Este importante conceito de derivada de uma funcao, tem muitas aplicacoes em todas as areasdo conhecimento. Em especial na area de Administracao, este conceito e usado na chamadaAnalise Marginal, onde se calcula o custo marginal, a receita marginal e o lucro marginal, queserao abordados em breve.

Notacao: A derivada de uma funcao pode ser denotada de diversas maneiras. No nosso curso,em geral utilizaremos f ′(x) como no limite acima, porem, algumas vezes (em especial quando afuncao f depender de mais de uma variavel) sera utilizada tambem a notacao

∂f

∂xou

df

dx.

Exemplo 3.1. Calcule a derivada da funcao f(x) = x2 no ponto x = 2.

Solucao. Por definicao, temos

f ′(2) = limh→0

f(2 + h)− f(2)

h,

portanto vale

f ′(2) = limh→0

(2 + h)2 − 22

h= lim

h→0

(4 + 4h+ h2)− 4

h= lim

h→0

4h+ h2

h= lim

h→0(4 + h) = 4.

Observamos que nao e sempre que vamos precisar de fato calcular o limite para sabermos aderivada de uma funcao. Em breve vamos saber calcular diretamente as derivadas das funcoes maisestudadas.

Exemplo 3.2 (Derivada da funcao constante). Seja c ∈ R uma constante e seja f : R → R dadapor f(x) = c, ou seja, f e a funcao constante igual a c. Entao para qualquer x0 ∈ R vale quef ′(x0) = 0.

MAT0112 Calculo I-B 49 3- Derivadas

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Solucao. Direto da definicao, so precisamos calcular o limite como a seguir.

f ′(x0) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

c− ch

= limh→0

0

h= 0.

3.2 Diferenciabilidade e continuidade.Se uma funcao f e diferenciavel em um ponto x, entao ela e contınua em x. Por outro lado, nemtoda funcao contınua possui derivada. Veja, por exemplo, a funcao f(x) = |x|, o modulo de x.Aqui esta o grafico de f , para x variando entre −1 e 1.

Vemos que f e uma funcao contınua. Vamos tentar calcular f ′(0). Por definicao, temos que

f ′(0) = limh→0

|0 + h| − |0|h

= limh→0

|h|h.

Lembrando que a definicao precisa da funcao modulo e dada por

f(x) =

{x, se x ≥ 0−x, se x < 0,

podemos calcular os limites laterais:

limh→0+

|h|h

= limh→0+

h

h= 1,

e, por outro lado,

limh→0−

|h|h

= limh→0−

−hh

= −1.

Assim, fica demonstrado que o limite nao existe, pois os limites laterais sao distintos. Dessemodo, f nao e derivavel em x = 0. O mesmo vai acontecer sempre que o grafico de uma dadafuncao apresentar bicos ou pontos de descontinuidade, pois a reta tangente nao existira.

MAT0112 Calculo I-B 50 3- Derivadas

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Exercıcio 17. Um trabalhador recebe R$8,00 pelas primeiras 8 horas trabalhadas e R$12,00 porcada hora extra. A funcao

f(t) =

{8t, se 0 ≤ t ≤ 812t− 32, se t ≥ 8

fornece o valor ganho em um dia da semana no qual trabalhou t horas. Esboce o grafico da funcao,verifique se ela e contınua e explique porque ela nao e diferenciavel em t = 8.

3.3 A equacao da reta tangente.Suponha que f e uma funcao diferenciavel em um certo ponto x0 de seu domınio. Como calculara equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (x0, f(x0))?

Temos algumas informacoes que podemos utilizar:

1. A reta tem coeficiente angular f ′(x0);

2. A reta passa pelo ponto (x0, f(x0));

3. A equacao de qualquer reta e dada por y = ax+ b onde a e o coeficiente angular da reta.

Diretamente obtemos que a equacao dessa reta tangente vai ser escrita como

y = f ′(x0)x+ b,

e o que basta para solucionarmos o problema e encontrarmos b. Para tanto, basta utilizar que a retapassa pelo ponto (x0, f(x0)):

f(x0) = f ′(x0)x0 + b,

portanto b = f(x0)− f ′(x0)x0, e daı a equacao esta completa:

y = f ′(x0)x+ f(x0)− f ′(x0)x0,

ou, equivalentemente,

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).

Exemplo 3.3. Calcule a equacao da reta tangente ao grafico de f(x) = x2 no ponto x = 2.

Solucao. Do Exemplo 3.1 acima, sabemos que f ′(2) = 4. Por outro lado, f(2) = 22 = 4, portantoa reta passara pelo ponto (2, 4) com inclinacao 4. Assim, a sua equacao sera dada por

y − 4 = 4(x− 2), ou, equivalentemente, y = 4x− 4.

MAT0112 Calculo I-B 51 3- Derivadas

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3.4 Algumas propriedades das derivadas.Aqui vamos mostrar duas propriedades importantes das derivadas. A primeira delas diz que aderivada da soma e a soma das derivadas. A segunda diz que a derivada de uma funcao multiplicadapor uma constante e a multiplicacao da derivada pela mesma constante.

Theorem 3.4.1. Sejam f, g duas funcoes derivaveis em um ponto x0. Entao vale que a funcaoϕ = f + g e derivavel em x0 e vale ϕ′(x0) = f ′(x0) + g′(x0), ou seja,

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).

Demonstracao. Temos que calcular o limite. Ficamos com

(f + g)′(x0) = limh→0

(f + g)(x0 + h)− (f + g)(x0)

h

= limh→0

f(x0 + h) + g(x0 + h)− f(x0)− g(x0)

h

= limh→0

(f(x0 + h)− f(x0)

h+g(x0 + h)− g(x0)

h

)= lim

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h+ lim

h→0

g(x0 + h)− g(x0)

h= f ′(x0) + g′(x0),

onde, na penultima igualdade usamos que o limite da soma e a soma dos limites, quando ambosexistem e sao numeros reais.

Theorem 3.4.2. Seja f uma funcao derivavel em um ponto x0 e seja a ∈ R uma constante. Definaa funcao g(x) = af(x), ou seja, a multiplicacao de f por a. Entao g e derivavel em x0 e valeg′(x0) = af ′(x0). Ou seja,

(af)′(x0) = af ′(x0).

Demonstracao. Novamente, basta calcular o limite.

(af)′(x0) = limh→0

(af)(x0 + h)− (af)(x0)

h= lim

h→0af(x0 + h)− f(x0)

h= af ′(x0).

Observacao 1. Sera que conseguirıamos provar que (fg)′(x0) = f ′(x0)g′(x0)? A resposta e nao.O porque dessa diferenca e que no Teorema acima conseguimos colocar a em evidencia, masquando g e uma funcao, isso nao e possıvel. Observe

limh→0

f(x0 + h)g(x0 + h)− f(x0)g(x0)

h.

MAT0112 Calculo I-B 52 3- Derivadas

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So conseguirıamos colocar algo em evidencia no quociente acima se f ou g fossem constantes.Para solucionar esse problema teremos a regra do produto, da qual falaremos mais na Secao 3.6adiante.

3.5 Derivacao de polinomios.Vamos observar novamente o Exemplo 3.1, mas agora seguiremos o metodo ali utilizado paracalcularmos a derivada de f(x) = x2 em um ponto qualquer x. Por definicao

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)2 − (x)2

h

= limh→0

(x2 + 2hx+ h2)− x2

h

= limh→0

2hx+ h2

h= lim

h→02x+ h = 2x.

Note que isto esta condizente com o que encontramos no Exemplo 3.1, pois ali tınhamos en-contrado f ′(2) = 4 = 2.2. Agora, vamos calcular a derivada da funcao g(x) = x3.

g′(x) = limh→0

(x+ h)3 − x3

h= lim

h→0

x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3

h

= limh→0

3x2h+ 3xh2 + h3

h= lim

h→03x2 + 3xh+ h2 = 3x2.

Finalmente, vamos fazer essa derivacao no caso geral da funcao f(x) = xn. Para tanto, temosque utilizar o chamado binomio de Newton, que e uma formula para calcularmos (a + b)n. Essaformula e dada por:

(a+ b)n = an +

(n1

)an−1b+

(n2

)an−2b2 + . . .+

(n

n− 1

)abn−1 + bn,

onde(nk

)= n!

(n−k)!k!e a combinacao de n elementos escolhidos em grupos de k. Utilizando a

formula acima, podemos fazer a derivada de f(x) = xn como segue:

MAT0112 Calculo I-B 53 3- Derivadas

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f ′(x) = limh→0

(x+ h)n − xn

h

= limh→0

xn +

(n1

)xn−1h+ . . .+ hn − xn

h

= limh→0

(n1

)xn−1 + . . .+ hn−1

= nxn−1.

Em particular, da formula acima obtemos as seguintes derivadas:

f(x) f ′(x)cte 0x 1x2 2xx3 3x2

x4 4x3

x5 5x4

x6 6x5

......

xn nxn−1

Agora, utilizando as regras observadas na Secao 3.4, podemos calcular a derivada de qualquerpolinomio. Observe os exemplos a seguir:

Exemplo 3.4. Seja f(x) = 2x3 − 5x2 + 12x+ 1. Calcule f ′(x).

Solucao. Fazemos a derivada derivando termo a termo e mantendo as constantes multiplicativas(ou seja, que estao juntas de funcoes de x - lembre que a derivada da funcao constante e nula peloExemplo 3.2).

f ′(x) = 2.(3x2)− 5.(2x) +1

2.(1) + 0

= 6x2 − 10x+1

2.

Exemplo 3.5. Seja y = −13x3 + 3

5x2 − 1. Calcule a taxa de variacao instantanea dy

dxquando x = 4

e encontre a equacao da reta tangente ao grafico dessa curva.

MAT0112 Calculo I-B 54 3- Derivadas

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Solucao. Primeiro, vamos calcular dydx

(que e apenas uma representacao/nomenclatura para a deri-vada). Temos que

dy

dx= −1

3(3x2) +

3

5(2x)− 0 = −x2 +

6

5x.

Agora, basta substituir para x = 4 e obter a taxa de variacao instantanea

dy

dx

∣∣∣∣x=4

= −42 +6

5.4 = −16 +

24

5=−80 + 24

5= −56

5.

Agora, podemos usar a equacao da reta tangente vista na Secao ??, que se torna

y − y0 =dy

dx(x− x0).

Ja sabemos que dydx

= −56/5 e que x0 = 4. Falta encontrarmos y0, e, para tanto, devemossubstituir x0 = 4 na equacao dada:

y0 = −1

343 +

3

542 − 1 = −64

3+

48

5− 1 =

−64.5 + 48.3− 15

15= −191

15.

Assim, a equacao sera dada por

y −(−191

15

)= −56

5(x− 4),

equivalente a

15y + 191 = −3.56(x− 4) ⇐⇒ 15y + 191 = −168(x− 4)

⇐⇒ 15y + 191 = −168x+ 672

⇐⇒ 15y + 168x = 481.

Ou, em sua forma explıcita,

y = −168

15x+

481

15.

Exercıcio 18. Seja y = −x2 − 2x+ 3.

a) Calcule dydx

em um ponto generico x.

b) Qual a taxa de variacao instantanea da funcao em x = 0?

c) Qual o valor da declividade da reta tangente no ponto (0, 3)?

d) Encontre a equacao da reta tangente a curva gerada pela equacao em (0, 3).

MAT0112 Calculo I-B 55 3- Derivadas

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e) Coloque a equacao acima na sua forma explıcita, analise essa equacao e esboce o grafico dareta tangente.

Observacao 2. Observamos que a regra (xn)′ = nxn−1 continua valendo mesmo quando n naoe um numero natural. Vamos ver dois casos, o primeiro e quando n = −1 e o segundo quandon = 1

2. Sejam, portanto f e g as funcoes definidas por

f(x) =1

x, g(x) =

√x.

Vale que

f ′(x) =

(1

x

)′= (x−1)′ = −1x−1−1 = −x−2 = − 1

x2.

Agora a derivada da funcao g:

g′(x) = (√x)′ =

(x

12

)′=

1

2x

12−1 =

x−12

2= − 1

2x12

= − 1

2√x.

Exemplo 3.6. Se f(x) = 43√x2, calcule f ′(x).

Solucao. Temos que f(x) = 43√x2 = 4x

23 .

Exercıcio 19. Se y = 3√x+ 1√

x, calcule ∂y

∂x.

Resposta: ∂y∂x

= 1

33√x2− 1

2√x3

3.6 Regra do Produto e Regra do Quociente.Nessa secao vamos analisar como fazer a derivacao do produto de duas funcoes, uma das maisimportantes regras de derivacao. Essa regra e chamada de regra do produto.

Theorem 3.6.1 (Regra do produto). Sejam f, g duas funcoes diferenciaveis e seja h(x) = f(x)g(x)o produto de f por g. Entao h e diferenciavel e vale h′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x), ou seja,

(fg)′ = (f ′)(g) + (f)(g′).

Demonstracao. Via limites, novamente, mas utilizando um truque para que apareca o produto dasderivadas:

MAT0112 Calculo I-B 56 3- Derivadas

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(fg)′(x) = limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x)g(x)

h

= limh→0

(f(x+ h)g(x+ h)− f(x+ h)g(x)

h+f(x+ h)g(x)− f(x)g(x)

h

)= lim

h→0

(f(x+ h)

g(x+ h)− g(x)

h+ g(x)

f(x+ h)− f(x)

h

)= lim

h→0f(x+ h)

g(x+ h)− g(x)

h+ g(x) lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h= f(x)g′(x) + g(x)f ′(x).

Exemplo 3.7. Se f(x) =√x(x2 − 2x+ 1), calcule f ′(x).

Solucao. Pela regra do produto, temos que

f ′(x) = (√x)′(x2 − 2x+ 1) +

√x(x2 − 2x+ 1)′

=1

2√x

(x2 − 2x+ 1) +√x(2x− 2)

=x2 − 2x+ 1 + 2(

√x)2(2x− 2)

2√x

=x2 − 2x+ 1 + 2x(2x− 2)

2√x

=x2 − 2x+ 1 + 4x2 − 4x

2√x

=5x2 − 6x+ 1

2√x

.

Agora, tal qual o produto da derivada nao e a derivada do produto, vamos apresentar a regra doquociente, que sera particularmente util para derivarmos funcoes racionais.

Theorem 3.6.2 (Regra do quociente). Sejam f, g duas funcoes diferenciaveis tais que g(x) 6= 0 eseja h(x) = f(x)

g(x)a funcao quociente. Entao h e diferenciavel e vale h′(x) = f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)

g(x)2, ou

seja, (f

g

)′=

(f ′)(g)− (f)(g′)

g2.

Demonstracao. Essa demonstracao fica muito mais simples quando ja conhecemos a regra dacadeia, portanto nao a apresentaremos aqui.

MAT0112 Calculo I-B 57 3- Derivadas

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Exemplo 3.8. Seja f(x) = 3x2−2x+4−3x2+1

. Calcule f ′(x) e apresente todos os pontos tais que f ′(x) = 0.

Solucao. Pela regra do quociente, temos que

f ′(x) =(3x2 − 2x+ 4)′(−3x2 + 1)− (3x2 − 2x+ 4)(−3x2 + 1)′

(−3x2 + 1)2

=(6x− 2)(−3x2 + 1)− (3x2 − 2x+ 4)(−6x)

(−3x2 + 1)2

=−18x3 + 6x+ 6x2 − 2 + 18x3 − 12x2 + 24x

(−3x2 + 1)2

=−6x2 + 30x− 2

9x4 − 6x2 + 1.

Agora, para terminarmos o pedido, devemos calcular os pontos onde f ′(x) = 0. Isso acontecese, e somente se, o numerador de f ′(x) se anular, ou seja, quando

−6x2+30x−2 = 0 ⇐⇒ x =−30±

√(30)2 − 4.(−6)(−2)

2.(−6)=−30±

√852

−12=−30± 4

√213

−12

Assim os pontos x tais que f ′(x) = 0 sao

x1 =−30 + 4

√213

−12=

15− 2√

213

6, x2 =

−30− 4√

213

−12=

15 + 2√

213

6.

3.7 Regra da cadeia.Entre as regras de derivacao que vemos no curso de calculo, a mais importante delas e a regrada cadeia, que da a melhor forma de efetuarmos a derivacao da composta de duas funcoes. Porexemplo, digamos que desejamos fazer a derivada da funcao F (x) =

√x2 + 1. Essa funcao F

envolve duas funcoes, a primeira delas e√·, e a segunda e x2 + 1. Ambas as funcoes ja sabemos

derivar, mas como fazemos a derivada de√x2 + 1?

Theorem 3.7.1 (Regra da cadeia). Sejam f, g funcoes derivaveis tais que a imagem de f es-teja contida no domınio de g. Entao a funcao composta f ◦ g e derivavel e vale (f ◦ g)′(x) =f ′(g(x))g′(x), ou seja

(f(g(x)))′ = f ′(g(x)).g′(x).

Antes de demonstrarmos essa regra, vamos utiliza-la para calcular a derivada de F (x) =√x2 + 1. Nesse caso, as funcoes envolvidas sao f(·) =

√· e g(x) = x2 + 1, sendo que F (x) =

f(g(x)). Assim, temos, pela regra da cadeia, que

MAT0112 Calculo I-B 58 3- Derivadas

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F ′(x) = f ′(g(x)).g′(x).

Agora, quem e f ′ e g′? Bem, f ′(·) = 12√· e g′(x) = 2x. Assim, ficamos com

F ′(x) =1

2√x2 + 1

.2x =x√x2 + 1

.

Demonstracao da Regra da Cadeia. E via limites, novamente:

F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h

= limh→0

f(g(x+ h))− f(g(x))

h

= limh→0

f(g(x+ h))− f(g(x))

h

g(x+ h)− g(x)

g(x+ h)− g(x)

= limh→0

f(g(x+ h))− f(g(x))

g(x+ h)− g(x)

g(x+ h)− g(x)

h

= f ′(g(x))g′(x).

Agora, com a regra da cadeia, podemos demonstrar a regra do quociente:

Demonstracao da regra do quociente. Aqui, queremos achar a formula para a derivada de fg. Entao,

vamos escrever fg

= f 1g

e utilizar a regra do produto para comecarmos:(f

g

)′=

(f

1

g

)′= f ′

1

g+ f

(1

g

)′.

Para prosseguirmos, precisamos fazer a derivada de 1/g. Ora, 1/g e a composicao de duasfuncoes, da funcao 1/· (cuja derivada e−1/(·)2) com a funcao g(x) (cuja derivada e g′(x)). Assim,a regra da cadeia nos da que (

1

g

)′= − 1

g2g′,

portanto ficamos com(f

g

)′= f ′

1

g+ f

(− 1

g2g′)

=f ′

g− fg′

g2=f ′g − fg′

g2.

MAT0112 Calculo I-B 59 3- Derivadas

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3.8 Funcoes implıcitas e suas derivadas.Em uma equacao, nem sempre conseguimos isolar uma das variaveis em funcao da outra. Naeconomia e admnistracao, isso ocorre especialmente quando tratamos das leis da oferta ou dademanda, que podem ser ou nao funcoes do preco. Mas mesmo nesses casos onde nao e possıvelexplicitar uma variavel, ainda faz sentido relacionar as taxas de variacao, pois localmente umavariavel e sempre funcao da outra. Em termos praticos, para encontrarmos essa taxa de variacaobasta utilizarmos as regras de derivacao usual, tratando uma das variaveis como se fosse umafuncao da outra.

Exemplo 3.9. Considere a lei da oferta determinada pela equacao p2 − 2p+ 2x2 + 12x+ 18 = 0.Calcule a taxa de variacao dp

dxquando p = 2+

√2

2e x = −5

2.

Solucao. Para obtermos dpdx

, derivamos ambos os lados da equacao em relacao a x, e basta utilizar-mos a regra da cadeia quando derivarmos funcoes de p:

p2 − 2p+ 2x2 + 12x+ 18 = 0 ⇒ d

dx

(p2 − 2p+ 2x2 + 12x+ 18

)= 0

⇒ 2pdp

dx− 2

dp

dx+ 4x+ 12 = 0.

Agora, basta isolarmos dpdx

na equacao acima

2pdp

dx− 2

dp

dx+ 4x+ 12 = 0 ⇒ (2p− 2)

dp

dx+ 4x+ 12 = 0

⇒ dp

dx=−4x− 12

2p− 2=

4x+ 12

2− 2p.

Substituindo p = 2+√

22

e x = −52, vamos obter o valor desejado:

dp

dx=

4(−5

2

)+ 12

2− 2(

2+√

22

) =−10 + 12

2−(2 +√

2) =

2

−√

2= −√

2.

Exemplo 3.10. Calcule dydx

para a curva x2y − 3√x+ y = 2.

Solucao. Aqui, vamos precisar de uma regra do produto para a parcela x2y e uma regra da cadeiapara√x+ y. Temos:

x2y − 3√x+ y = 2 ⇒ d

dx(x2y)− 3

d

dx(√x+ y) = 0

⇒ d

dx(x2)y + (x2)

d

dx(y)− 3

(1

2√x+ y

d

dx(x+ y)

)= 0

⇒ 2xy + x2 dy

dx− 3

2√x+ y

(1 +

dy

dx

)= 0.

MAT0112 Calculo I-B 60 3- Derivadas

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Agora, podemos isolar dydx

na ultima equacao:

2xy + x2 dy

dx− 3

2√x+ y

− 3

2√x+ y

dy

dx= 0⇒ dy

dx=−2xy + 3

2√x+y

x2 − 32√x+y

,

de onde decorre que

dy

dx=−4xy

√x+ y + 3

2x2√x+ y − 3

.

Exercıcio 20. Calcule dydx

em cada uma das curvas abaixo:

(a) x2 −√y2 + 1 = 4;

(b) x3 − 3y2 + 2xy = 10;

(c) xy−1

+ xy = 0.

3.9 Exemplos e exercıcios.Exemplo 3.11. Encontre f ′(x) em cada um dos casos abaixo:

(a) f(x) = x2−1√x

.

(b) f(x) =√x− 4(x3 − 3x2).

(c) f(x) = −13x2 + 50x− 1x3

.

Solucao.(a) E uma regra do quociente.

f ′(x) =(x2 − 1)′

√x− (x2 − 1)(

√x)′

√x

2 =2x√x− (x2 − 1)( 1

2√x)

x=

4x2 − (x2 − 1)

2x√x

=3x2 + 1

2x√x.

(b) Temos primeiro uma regra do produto:

f ′(x) = (√x− 4)′(x3 − 3x2) +

√x− 4(x3 − 3x2)′.

Agora, precisamos de uma regra da cadeia para (√x− 4)′. Temos duas funcoes envolvidas,

√·

(com derivada 1/2√·) e x− 4 (com derivada 1). Juntando na regra da cadeia, obtemos

(√x− 4)′ =

1

2√x− 4

.1 =1

2√x− 4

.

MAT0112 Calculo I-B 61 3- Derivadas

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Voltando a equacao acima, ficamos com

f ′(x) = (√x− 4)′(x3 − 3x2) +

√x− 4(x3 − 3x2)′

=1

2√x− 4

(x3 − 3x2) +√x− 4(3x2 − 6x)

=(x3 − 3x2) + 2(x− 4)(3x2 − 6x)

2√x− 4

=x3 − 3x2 + 6x3 − 12x2 − 24x2 + 48x

2√x− 4

=7x3 − 39x2 + 48x

2√x− 4

.

(c) Nao precisamos de nenhuma regra, basta sabermos a derivacao de funcoes do tipo xn.

f ′(x) =

(−13x2 + 50x− 1

x3

)′= (−13x2 + 50x− x−3)′

= −13.2x2 + 50.1− (−3)x−4

= −26x2 + 50 +3

x4.

Exercıcio 21. Utilizando a regra do produto, calcule a derivada de cada uma das funcoes abaixo

(a) f(x) =4√x13(5x3 − 3x+ 1).

(b) f(x) = (x4 + 2x3 − 3x2 + x− 4)(x7 − x3 + 2x2 + 4).

(c) f(x) = (2x2 − 1)(

3x3

+ 4)

Exercıcio 22. Utilizando a regra do quociente, calcule a derivada de cada uma das seguintesfuncoes racionais:

(a) f(x) = −2x2+3x+x3

.

(b) f(x) = 1−x1+x

.

(c) f(a) = 3a5+2a+π1−a3 .

Exercıcio 23. Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada de cada uma das seguintes funcoes:

(a) f(x) = (x2 − 3x+ 5)12.

(b) f(t) = 5

√t2

2− 1

t.

MAT0112 Calculo I-B 62 3- Derivadas

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(c) f(x) = −4 3√x3 − 3x2 + 3x− 1.

Exercıcio 24. Encontre a derivada de cada uma das seguintes funcoes, identificando qual(quais)a(s) regra(s) mais apropriada(s) para cada caso.

(a) f(x) = (x4 + x2 + 4)√x3 + x+ 3.

(b) f(x) = 1(4x4−3x3+2x2+x−1)3

.

(c) f(x) =√

x2+1x+1

.

Exercıcio 25. Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de y = 3(x2 − x+ x+1

x3−2x+2

)3 noponto x = 1.

Resposta: y = 24.

3.10 Custo marginal e lucro marginalLebrando das funcoes custo e lucro, agora podemos falar do custo e do lucro marginal. Essesconceitos significam qual o comportamento do nosso custo e do nosso lucro, e vem para nos dizerse vale a pena aumentarmos a producao ou nao. Formalmente, a funcao marginal e a taxa devariacao instantanea da funcao, ou seja, o lucro marginal e a derivada da funcao lucro e o customarginal e a derivada da funcao custo. Um lucro marginal positivo nos diz que aumentando umpouco a producao o lucro aumentara, porem um lucro marginal negativo nos diz que o aumento daproducao sera prejudicial, pois diminuira o lucro. O custo marginal sera, em geral, positivo, poisaumento da producao normalmente aumenta o custo.

Exemplo 3.12. Considere o modelo quadratico para a funcao custo C(x) = 20+2x+0, 5x2, ondex denota a quantidade de produtos produzida, em milhares de unidades. Qual o custo marginalquando produzimos 3.200 unidades?

Solucao. Basta analisarmos a derivada de C(x) em x = 3, 2 (pois 3.200 unidades sao 3,2 mil).Assim sendo, temos

C ′(x) = 2 + 0, 5.2.x = 2 + x⇒ C ′(3, 2) = 2 + 3, 2 = 5, 2.

Ou seja, o custo marginal ao produzirmos 3200 unidades e de 5,2.

Exercıcio 26. Suponha que o lucro de uma empresa e medido segundo a regra

L(x) = −0, 02x3 + 0, 6x2 − 3x− 5,

onde x e a producao, em milhares de unidades, e L(x) e medido em centenas de milhares de reais.Calcule:

MAT0112 Calculo I-B 63 3- Derivadas

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(a) O lucro da empresa quando ela vende 0 unidades.

(b) O lucro marginal da empresa quando ela vende 0 unidades.

(c) Interprete: valeria a pena a empresa aumentar um pouco a producao nesse caso?

(d) O lucro da empresa quando ela vende 7.000 unidades.

(e) O lucro marginal da empresa quando ela vende 7.000 unidades (obs. x = 7).

(f) Interprete: valeria a pena a empresa aumentar um pouco a producao nesse caso?

(g) O lucro da empresa quando ela vende 15.000 unidades.

(h) O lucro marginal da empresa quando ela vende 15.000 unidades.

(i) Interprete: valeria a pena a empresa aumentar um pouco a producao nesse caso?

(j) O lucro da empresa quando ela vende 20.000 unidades.

(k) O lucro marginal da empresa quando ela vende 20.000 unidades.

(l) Interprete: valeria a pena a empresa aumentar um pouco a producao nesse caso?

(m) Qual a funcao lucro marginal? Quais as raızes dessa funcao? Quando o lucro marginal serapositivo?

MAT0112 Calculo I-B 64 3- Derivadas

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Capıtulo 4

Graficos.

4.1 Derivadas e crescimento de funcoes.Observe que a derivada de uma certa funcao f em um ponto x nos da a declividade da equacaoda reta tangente ao grafico de f no ponto (x, f(x)). Geometricamente, o que acontece quando,por exemplo f ′(x) = 1? Significa que a reta tangente tem inclinacao igual a 1, sendo, portanto,uma reta crescente. Agora, lembre tambem que a reta tangente era o limite das retas secantes. Emparticular, se a reta tangente e crescente com inclinacao igual a 1, significa que as retas secantesdevem ter inclinacao tendendo a 1, em particular para pontos suficientemente proximos de x temosque as retas secantes serao todas crescentes. Isso implica que o comportamento da funcao f e,localmente, o de uma funcao crescente.

Figura 4.1: A funcao f nao precisa ser globalmente crescente, mas sera crescente em umavizinhanca do ponto x tal que f(x) > 0.

O oposto tambem vale, ou seja, se para um ponto x temos que f ′(x) < 0 entao localmente a

MAT0112 Calculo I-B 65 4- Graficos

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funcao f sera decrescente. Essas duas observacoes se resumem no seguinte teorema:

Theorem 4.1.1. Seja f uma funcao real derivavel em um ponto x de seu domınio. Entao:

1. Se f ′(x) > 0, existe uma vizinhanca (x− ε, x+ ε) tal que a restricao de f a esse intervaloe crescente.

2. Se f ′(x) < 0, existe uma vizinhanca (x− ε, x+ ε) tal que a restricao de f a esse intervaloe decrescente.

4.2 Pontos crıticos.Observe que o Teorema 4.1.1 nao diz nada sobre os pontos onde f ′(x) = 0. Acontece que nessespontos, onde a reta tangente e horizontal, podem ocorrer diversos comportamentos, observe osgraficos abaixo, onde sempre vale, no ponto x destacado, que f ′(x) = 0:

(a) Ponto de mınimo local. (b) Ponto de maximo local.

(c) Inflexao com f decrescente. (d) Inflexao com f crescente.

Figura 4.2: Os quatro tipos de pontos crıticos para a funcao f .

MAT0112 Calculo I-B 66 4- Graficos

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Um ponto onde f ′(x) = 0 e chamado de ponto crıtico para a funcao f . Esses pontos saoexaustivamente estudados para que possamos encontrar os pontos de maximo (ou de mınimo) def .

Exemplo 4.1. Considere a funcao f(x) = 4x3 + 2x2 − 8x + 1. Encontre os pontos crıticos de f .Em seguida, analise quando f e crescente e quando f e decrescente e diga se os pontos crıticosencontrados sao pontos de maximo local, pontos de mınimo local, inflexoes com f crescente ouinflexoes com f decrescente.

Solucao. Precisamos derivar: f ′(x) = 12x2 + 4x − 8. Os pontos crıticos sao aqueles ondef ′(x) = 0, portanto precisamos resolver a equacao 12x2 + 4x− 8 = 0, de onde obtemos

x =−4±

√400

24⇒ x = −1 ou x =

2

3.

Assim, obtemos os dois pontos crıticos de f : x = −1 e x = 2/3. Agora, vamos analisar ocrescimento de f . Para tanto, precisamos descobrir onde f ′ e positiva e onde f ′ e negativa. Nessecaso, a funcao f ′ e uma funcao quadratica, a qual ja conhecemos as raızes. Mais ainda, sabemosque f e concava para cima, pois a = 12 > 0. Portanto, o grafico de f vai ser algo parecido com

e, assim, vemos que f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 23), portanto f sera decrescente no intervalo

(−1, 23). Por outro lado, f sera crescente em (−∞, −1) ∪ (2

3,+∞), pois possui derivada positiva

nesse conjunto. Resumindo em uma tabela, temos:

x ∈ (−∞, −1) x ∈ (−1, 23) x ∈ (2

3,+∞)

f ′(x) > 0 f ′(x) < 0 f ′(x) > 0f crescente f decrescente f crescente↗ ↘ ↗

MAT0112 Calculo I-B 67 4- Graficos

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Ta tabela acima, podemos concluir que −1 e um ponto de maximo local para f , pois antes de−1 f crescia e apos −1 passou a decrescer. Analogamente, 2

3e um mınimo local para f .

Essa analise termina o exercıcio. Porem, para melhor visualizacao, colocamos na Figura 4.3 ografico de f .

Exemplo 4.2. Seja g(x) = x4 − 8x3 + 18x2 − 5. Encontre os pontos crıticos de g, analise quandog e crescente e quando g e decrescente e classifique os pontos crıticos.

Solucao. Esse exemplo e bem parecido com o anterior. Derivando g, obtemos

g′(x) = 4x3 − 24x2 + 36x,

que podemos fatorar como g′(x) = 4x(x2 − 6x + 9). Assim, as raızes de g′ (ou seja, os pontoscrıticos de g) sao os valores x tais que 4x = 0 ou x2− 6x+ 9 = 0. Da primeira igualdade obtemosx = 0, e da segunda temos

x2 − 6x+ 9 = 0 ⇐⇒ x =6±√

36− 36

2= 3, (raiz dupla).

Assim, os unicos pontos crıticos sao x = 0 e x = 3. Infelizmente agora a funcao derivadanao e de grau 2 e nao podemos analisar sua concavidade para dizermos quando g′(x) e positiva enegativa. Para tanto, precisamos fazer uma analise de sinal completa de g′(x), via a fatoracao depolinomios. Temos que, como as raızes sao x = 0 (simples) e x = 3 (dupla), g′(x) = 4x(x− 3)2.Assim, como (x − 3)2 ≥ 0 sempre, o sinal de g′(x) sera dado por 4x, que e positivo se x > 0 enegativo se x < 0. Resumindo em uma tabela, temos:

x ∈ (−∞, 0) x ∈ (0, 3) x ∈ (3,+∞)g′(x) < 0 g′(x) > 0 g′(x) > 0

g decrescente g crescente g crescente↘ ↗ ↗

Assim, fica claro que x = 0 e um mınimo local, enquanto x = 3 e uma inflexao com g crescente.Novamente, observe a Figura 4.3 a seguir, onde colocamos o grafico de g desse exemplo.

Exercıcio 27. Encontre e classifique os pontos crıticos das seguintes funcoes:

(a) f(x) = −2x2 + 5x+ 4

(b) f(x) = x+1x−1

(c) f(x) =√x2 + 3

Exercıcio 28. Deseja-se construir uma caixa para guardar lapis. A caixa deve ser aberta, com basequadrada. Sabendo que o volume da caixa deve ser de 500cm3, calcule as dimensoes da caixacom o menor custo de fabricacao (ou seja, as dimensoes da caixa com a menor area). (Resposta:10cm× 10cm× 5cm.)

MAT0112 Calculo I-B 68 4- Graficos

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(a) f(x) = 4x3 + 2x2 − 8x+ 1. (b) g(x) = x4 − 8x3 + 18x2 − 5.

Figura 4.3: Os graficos de f(x) e g(x) dos Exemplos 4.1 e 4.2.

4.3 Derivadas de ordem superior.Quando derivamos uma funcao f em um ponto generico x, encontramos um valor f ′(x). Ao vari-armos o valor de x, temos definida a funcao f ′, que a cada ponto x associa o valor f ′(x). Podemos,agora, analisar o comportamento de f ′, fazendo a sua derivada. Desse modo, encontraremos (f ′)′,a segunda derivada da funcao f , denotada em geral por f ′′, d

2fdx2

ou por ∂2f∂x2

.A seguir, veremos qual o significado dessa derivada segunda de uma funcao f (que seja duas

vezes diferenciaveis). Vamos comecar lembrando da interpretacao geometrica da derivada: o valorf ′(x) nos da a inclinacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (x, f(x)). Mas alem disso,dizer que f ′(x) e positivo significa que o valor de f(x) esta crescendo. Da mesma maneira, se, emum ponto x temos f ′′(x) > 0, isso significa que a funcao f ′ esta crescendo em uma vizinhancade x, ou seja, a inclinacao da reta tangente ao grafico de f esta crescendo. Vamos, primeiramente,supor que essa inclinacao e positiva no ponto x e vamos observar geometricamente o que significaessa inclinacao aumentar com x:

Figura 4.4: A primeira reta tem inclinacao positiva e as seguintes tem inclinacao crescente.

MAT0112 Calculo I-B 69 4- Graficos

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E agora vamos observar que a inclinacao comeca negativa, mas vai crescendo:

Figura 4.5: Nessa sequencia de retas, a primeira tem inclinacao negativa e as seguintes teminclinacao crescente (ou seja, se aproximando de zero).

O comportamento que observamos pelos graficos acima mostram que a funcao deve ser umafuncao (ao menos localmente) concava, ou seja, o grafico de f deve ser localmente de um dosseguintes tipos:

(a) Concavidade para cima crescente. (b) Concavidade para cima decrescente.

Essa e a nocao de concavidade para cima, e ocorre quando f ′′ > 0. Analogamente, a figura aser considerada quando f ′′ < 0 e a da concavidade para baixo, que tambem pode ser crescente oudecrescente.

MAT0112 Calculo I-B 70 4- Graficos

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(a) Concavidade para baixo crescente. (b) Concavidade para baixo decrescente.

Exemplo 4.3. De a derivada segunda da funcao f(x) = 14x4 − 3x2 + 4πx+ 1

3no ponto x = 4.

Solucao. Primeiro, fazemos a derivada primeira em um ponto qualquer, obtendo

f ′(x) =1

44x3 − 3.2x+ 4π = x3 − 6x+ 4π.

Em seguida, derivamos novamente:

f ′′(x) = 3x2 − 6.

Finalmente, foi pedido o valor da segunda derivada em x = 4, portanto devemos fazer asubstituicao:

f ′′(4) = 3.42 − 6 = 42.

Tal qual os valores de x para os quais f ′(x) = 0 tem um significado especial, os valores dex tais que f ′′(x) = 0 tambem tem um significado importante. Por serem os pontos crıticos def ′, indicam onde ha um ponto de maximo, mınimo ou tangencia horizontal no grafico de f ′. Osdois primeiros casos dao origem a inflexoes no grafico de f , ou seja, pontos onde f muda deconcavidade.

Exemplo 4.4. Seja f(x) = x3. Encontre os pontos de inflexao de f e analise a sua concavidade.

Solucao. Temos que fazer a segunda derivada de f . Primeiro, f ′(x) = 3x2, portanto f ′′(x) = 6x.O unico zero de f ′′ e o ponto x = 0, e, para x < 0 temos f ′′(x) < 0 (portanto f e concava parabaixo) e, se x > 0 entao f ′′(x) > 0 (e assim f e concava para cima). Assim, x = 0 e um ponto deinflexao para o grafico de f (o qual exibimos na Figura 4.8).

MAT0112 Calculo I-B 71 4- Graficos

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Figura 4.8: O grafico de f(x) = x3. Para x < 0 e concava para baixo, enquanto para x > 0 econcava para cima, o que diz que x = 0 e um ponto de inflexao de f .

4.4 Utilizando as derivadas para esbocar graficos.Com as interpretacoes geometricas dadas para as derivadas de ordem 1 e 2 de uma funcao f ,podemos comecar a utilizar essas nocoes para fazermos um esboco dos graficos de uma funcao fqualquer. Para tanto, basta juntarmos o conhecimento que obtemos com a derivada primeira como da derivada segunda. Comecaremos com um exemplo.

Exemplo 4.5. Faca um esboco do grafico da funcao f(x) = 12x4−13x3+90x2−1000, explicitando

seu crescimento, pontos crıticos, maximos e mınimos locais, assim como sua concavidade e pontosde inflexao.

Solucao. Primeiro, vamos analisar o crescimento de f , assim como seus pontos crıticos. Paratanto, precisamos da derivada de f :

f ′(x) = 2x3 − 39x2 + 180x.

Os pontos crıticos sao aqueles tais que f ′(x) = 0, portanto precisamos achar as raızes dopolinomio de terceiro grau 2x3−39x2 +180x. Comecamos efetuando a fatoracao deste colocandox em evidencia, entao f ′(x) = (2x2 − 39x + 180)x, e as raızes sao aqueles valores de x tais queou

(2x2 − 39x+ 180)x = 0⇒ 2x2 − 39x+ 180 = 0 ou x = 0.

Da primeira equacao, obtemos que

x =39±

√(−39)2 − 4.2.180

4=

39±√

81

4=

39± 9

4,

MAT0112 Calculo I-B 72 4- Graficos

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portanto os pontos crıticos sao

x1 = 0, x2 =39− 9

4=

15

2, x3 =

39 + 9

4= 12.

Observe que ordenamos os pontos crıticos de maneira crescente, para facilitarmos a leituramais adiante. Encontrar as raızes de um polinomio e o suficiente para podermos fazer a analise deseu sinal, portanto agora podemos encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .A fatoracao de f ′ e dada por

f ′(x) = 2(x− 0) (x− 15/2) (x− 12),

e agora podemos fazer a analise de sinal de f ′:

x ∈ (−∞, 0) x ∈ (0, 15/2) x ∈ (15/2, 12) x ∈ (12,+∞)x negativo positivo positivo positivo

(x− 15/2) negativo negativo positivo positivo(x− 12) negativo negativo negativo positivof ′(x) negativo positivo negativo positivo

Com isso, descobrimos o crescimento de f :

x ∈ (−∞, 0) x ∈ (0, 15/2) x ∈ (15/2, 12) x ∈ (12,+∞)f ′(x) negativo positivo negativo positivof decrescente crescente decrescente crescentef ↘ ↗ ↘ ↗

Com a tabela acima, fica claro que os pontos x = 0 e x = 12 sao pontos de mınimo local,enquanto o ponto x = 15/2 e um ponto de maximo local. Passamos agora a segunda derivada,para analisarmos a concavidade de f e encontrarmos seus pontos de inflexao. Derivando f ′(x) =2x3 − 39x2 + 180x, encontramos

f ′′(x) = 6x2 − 78x+ 180,

e assim f ′′(x) = 0 se, e somente se,

6x2 − 78x+ 180 = 0 ⇒ x =78±

√782 − 4.6.180

2.6=

78±√

1764

12=

78± 42

12⇒ x = 3 ou x = 10.

Como f ′′ e uma funcao quadratica concava pra cima com raızes 3 e 10, obtemos a analise desinal de f ′′ como segue

x ∈ (−∞, 3) x ∈ (3, 10) x ∈ (10,+∞)f ′′(x) positiva negativa positiva

Concavidade de f para cima para baixo para cimaConcavidade de f ∪ ∩ ∪

MAT0112 Calculo I-B 73 4- Graficos

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Agora, precisamos juntar as informacoes da tabela da concavidade com a tabela de crescimentopara podermos fazer o grafico de f :

x ∈ (−∞, 0) x ∈ (0, 3) x ∈ (3, 15/2) x ∈ (15/2, 10) x ∈ (10, 12) x ∈ (12,+∞)Crescimento decrescente crescente crescente decrescente decrescente crescenteConcavidade para cima para cima para baixo para baixo para cima para cima

Desenho

Agora ja temos os pedacos do desenho do grafico de f . Para finalizarmos o esboco do grafico,precisamos apenas posicionar esses desenhos do modo correto, ou seja, precisamos calcular ovalor de f nos pontos de maximo e mınimos locais e nas inflexoes (ou seja, 0, 3, 15/2, 10 e 12) eos limites no infinito de f . Temos que, como f(x) = 1

2x4 − 13x3 + 90x2 − 1000, vale

f(0) = −1000, f(3) = −1001/2, f(15/2) =5125

32, f(10) = 0, f(12) = −136.

Assim, podemos marcar esses cinco pontos no plano cartesiano:

E ligar eles com os crescimento e concavidade obtidos anteriormente:

MAT0112 Calculo I-B 74 4- Graficos

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Finalmente, podemos fazer os limites no infinito e obter que

limx→−∞

f(x) = limx→+∞

f(x) = +∞,

portanto podemos completar o grafico acima com o crescimento, concavidade e limites encontra-dos:

Para melhorarmos o entendimento, vamos escrever em cada um dos pontos o que eles significam:

MAT0112 Calculo I-B 75 4- Graficos

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Exemplo 4.6. Faca um esboco do grafico da funcao f(x) = x2+3x−42x2−8

, explicitando seu crescimento,pontos crıticos, maximos e mınimos locais, assim como sua concavidade e pontos de inflexao.

Solucao. Aqui, a ideia e a mesma do exemplo anterior. Derivamos uma vez para analisarmos ocrescimento. Em seguida, derivamos uma segunda vez para analisarmos a concavidade. Porem,agora estamos lidando com uma funcao racional, portanto devemos tomar cuidado com o domıniode definicao de f : quando o denominador se anula, ela nao esta definida. Isso acontece se, esomente se, 2x2 − 8 = 0, de onde obtemos que os pontos fora do domınio de f sao x = 2 ex = −2.

Utilizaremos a regra do quociente para fazermos a derivacao de f :

MAT0112 Calculo I-B 76 4- Graficos

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f ′(x) =(x2 + 3x− 4)′(2x2 − 8)− (x2 + 3x− 4)(2x2 − 8)′

(2x2 − 8)2

=(2x+ 3)(2x2 − 8)− (x2 + 3x− 4)(4x)

(2x2 − 8)2

=4x3 − 16x+ 6x2 − 24− 4x3 − 12x2 + 16x

(2x2 − 8)2

=−6x2 − 24

(2x2 − 8)2.

Agora, precisamos fazer a analise de sinal de f ′. Primeiramente, temos que observar que onumerador de f ′ nao possui raızes, pois nao existe x ∈ R tal que −6x2 − 24 = 0. Assim, obtemosque o numerador de f ′ e sempre negativo. Por outro lado, o denominador, excetuando os pontosonde se anula 2 e −2, e sempre positivo, e obtemos a analise de sinal de f (e o crescimento de f )como segue:

x ∈ (−∞,−2) x ∈ (−2, 2) x ∈ (2,+∞)−6x2 − 24 negativo negativo negativo(2x2 − 8)2 positivo positivo positivof ′(x) negativo negativo negativof decrescente decrescente decrescentef ↘ ↘ ↘

Agora vamos analisar a segunda derivada de f . Novamente utilizamos a regra do quociente:

f ′′ =(−6x2 − 24)′(2x2 − 8)2 − (−6x2 − 24) [(2x2 − 8)2]

[(2x2 − 8)2]2

=(−12x)(4x4 − 32x2 + 64) + (6x2 + 24) (4x4 − 32x2 + 64)

(2x2 − 8)4

=(−12x)(4x4 − 32x2 + 64) + (6x2 + 24) (16x3 − 64x)

(2x2 − 8)4

=−48x5 + 384x3 − 768x+ 96x5 − 384x3 + 384x3 − 1536x

(2x2 − 8)4

=48x5 + 384x3 − 2304x

(2x2 − 8)4.

O denominador e sempre positivo no domınio de f , portanto para fazermos a analise de sinalde f ′′ devemos achar as raızes do numerador. Primeiro, comecamos colocando o fator 48x emevidencia para obter

48x5 + 384x3 − 2304x = 0 ⇐⇒ 48x(x4 + 8x2 − 48) = 0⇒ x4 + 8x2 − 48 = 0 ou x = 0.

MAT0112 Calculo I-B 77 4- Graficos

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Agora, a equacao x4 + 8x2 − 48 = 0 e uma equacao biquadrada, e portanto devemos fazer amudanca de variaveis y = x2 para resolve-la. Assim, ela se torna y2 + 8y− 48 = 0, e daı obtemosque

y =−8±

√64− 4.1.(−48)

2=−8±

√256

2=−8± 16

2⇒ y = −12 ou y = 4.

Como y = x2 e sempre positivo, a solucao y = −12 deve ser descartada (ela corresponde aduas solucoes imaginarias). Assim, ficamos com as solucoes determinadas por y = 4, ou seja,x = −2 ou x = 2.

Agora, devemos efetuar a fatoracao de x4 + 8x2 − 48 para a analise de sinal de f ′′. Para tanto,vamos observar que y2 + 8y − 48 = (y + 12)(y − 4), pela solucao da equacao biquadrada acima.Assim, obtemos a fatoracao

x4 + 8x2 − 48 = (x2 + 12)(x2 − 4) = (x2 + 12)(x− 2)(x+ 2),

e podemos escrever f ′′ como

f ′′(x) =48x(x2 + 12)(x− 2)(x+ 2)

(2x2 − 8)4.

Com essa fatoracao, podemos fazer finalmente a analise de sinal de f ′′:

x ∈ (−∞,−2) x ∈ (−2, 0) x ∈ (0, 2) x ∈ (2,+∞)48x negativo negativo positivo positivo

(x2 + 12) positivo positivo positivo positivo(x− 2) negativo negativo negativo positivo(x+ 2) negativo positivo positivo positivo

(2x2 − 8)4 positivo positivo positivo positivof ′′(x) negativo positivo negativo positivo

que leva a analise da concavidade de f como segue:

x ∈ (−∞,−2) x ∈ (−2, 0) x ∈ (0, 2) x ∈ (2,+∞)f ′′(x) negativo positivo negativo positivo

Concavidade de f para baixo para cima para baixo para cimaConcavidade de f ∩ ∪ ∩ ∪

Agora podemos juntar as informacoes de concavidade com as de crescimento para iniciarmoso esboco do grafico de f :

x ∈ (−∞,−2) x ∈ (−2, 0) x ∈ (0, 2) x ∈ (2,+∞)Crescimento de f decrescente decrescente decrescente decrescenteConcavidade de f para baixo para cima para baixo para cima

Desenho

MAT0112 Calculo I-B 78 4- Graficos

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Agora, como no exemplo anterior, precisamos calcular o valor assumido por f nos pontosencontrados e os seus limites no infinito. Porem, como f nao esta definida para x = 2 e x = −2,nesses dois pontos devemos calcular os limites laterais para entendermos o comportamento de f .Comecamos efetuando a fatoracao do numerador e denominador de f :

f(x) =x2 + 3x− 4

2x2 − 8=

(x− 1)(x+ 4)

2(x− 2)(x+ 2).

Assim, f(0) = 12

e os limites laterais sao (observe que a parte destacada do texto nao corres-ponde a matematica rigorosa, e um mero formalismo que utilizamos para desenvolver os limites)

limx→−2−

f(x) = limx→−2−

(x− 1)(x+ 4)

2(x− 2)(x+ 2)=

(−2− 1)(−2 + 4)

2(−2− 2)(−2− + 2)=

−6

(−8)(0−)= −∞

limx→−2+

f(x) = limx→−2+

(x− 1)(x+ 4)

2(x− 2)(x+ 2)=

(−2− 1)(−2 + 4)

2(−2− 2)(−2+ + 2)=

−6

(−8)(0+)= +∞

limx→2−

f(x) = limx→2−

(x− 1)(x+ 4)

2(x− 2)(x+ 2)=

(2− 1)(2 + 4)

2(2− − 2)(2 + 2)=

6

(0−)(8)= −∞

limx→2+

f(x) = limx→2+

(x− 1)(x+ 4)

2(x− 2)(x+ 2)=

(2− 1)(2 + 4)

2(2+ − 2)(2 + 2)=

6

(0+)(8)= +∞.

Finalmente, para montarmos a figura final, falta calcularmos os limites no infinito de f :

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

x2 + 3x− 4

2x2 − 8= lim

x→−∞

x2

2x2=

1

2= lim

x→+∞f(x)

e podemos desenhar o grafico de f :

MAT0112 Calculo I-B 79 4- Graficos

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Exercıcio 29. Faca um esboco do grafico de f(x) = x2+112x+9

, explicitando seus pontos de maximo emınimo locais, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e inflexoes.

Resposta:

Exercıcio 30. Seja f(x) = −13x3 − x2 + 3x+ 9. Faca um esboco do grafico de f , explicitando (e

classificando) os seus pontos crıticos, intervalos de crescimento, inflexoes e concavidade.

Exercıcio 31. Considere a funcao f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 6. Encontre e classifique os pontoscrıticos de f , analise os seus intervalos de crescimento e de decresimento, explicite a sua concavi-dade e faca um esboco do grafico de f .

Exercıcio 32. Considere a funcao f(x) = x4 − 2x2 + 5. Encontre e classifique os pontos crıticosde f , analise os seus intervalos de crescimento e de decresimento, explicite a sua concavidade efaca um esboco do grafico de f .

Exercıcio 33. Considere a funcao f(x) = 2x−4x+1

. Encontre e classifique os pontos crıticos de f ,analise os seus intervalos de crescimento e de decresimento, explicite a sua concavidade e faca umesboco do grafico de f .

MAT0112 Calculo I-B 80 4- Graficos

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(a) f(x) = −13x

3 − x2 + 3x+ 9. (b) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 6.

(c) f(x) = x4 − 2x2 + 5. (d) f(x) = 2x−4x+1 .

MAT0112 Calculo I-B 81 4- Graficos