UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

Luciano Aparecido Magrini

Algumas Aplicações dos Logaritmos

Novembro de 2011

i

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

Luciano Aparecido Magrini

Algumas Aplicações dos Logaritmos

Trabalho de conclusão de curso apresenta-

do ao Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica, UNICAMP, como

requisito parcial para a conclusão do curso

de Especialização em Matemática

Campinas

2011

ii

Autoria: Luciano Aparecido Magrini

Título: Algumas Aplicações dos Logaritmos

Os componentes da banca de avaliação, abaixo listados, consideram este trabalho aprovado.

Nome Instituição Assinatura

1

2

3

Data da aprovação: ____ de _____________________ de _______

iii

RESUMO

O conceito de logaritmo é certamente um dos mais importantes da Matemática,

uma vez que a ele estão relacionadas inúmeras aplicações nas demais áreas do

conhecimento.

Neste trabalho, após uma revisão teórica do tema é apresentada uma interessante

caracterização da função logarítmica: ela é a única função real que transforma

Progressões Geométricas em Progressões Aritméticas.

Na sequência, são apresentadas algumas das aplicações dos logaritmos que

mostram o alcance das ideias e da teoria matemática sobre o tema. As aplicações foram

escolhidas de maneira a contemplar as três grandes áreas do conhecimento: Exatas,

Biológias e Humanas.

Palavras-chave: logaritmo, função logarítmica, caracterização, aplicações.

ABSTRACT

The concept of a logarithm is certainly the most important in mathematics, since

it is related to numerous applications in other areas of knowledge.

In this paper, after a theoretical review of the subject is presented an interesting

characterization of the logarithmic function: it is the only function which transforms in

arithmetic progressions geometric progressions.

Following are some of the applications of logarithms which show the range of

ideas and mathematical theory on the subject. The applications were chosen so as to

contemplate the three major areas of knowledge: Exact, biological and human.

Keywords: logarithm, characterization of the logarithmic function, applications.

iv

SUMÁRIO

Introdução ......................................................................................................... 5

1 O Conceito de Logaritmo .............................................................................. 6

1.1 Definições e Conceitos Iniciais................................................................................ 6

1.2 Propriedades .......................................................................................................... 8

1.3 Introdução às Equações Logaritmicas .................................................................. 10

1.4 Os Logaritmos Naturais ........................................................................................ 11

1.5 Função Logarítmica: Definição e Caracterização .................................................. 12

2 Aplicações dos Logaritmos ........................................................................ 15

2.1 Introdução ............................................................................................................. 15

2.2 Logaritmos e Matemática Financeira .................................................................... 15

2.3 Logaritmos e Terremotos ...................................................................................... 17

2.4 Logaritmos e Meia Vida de Materiais Radioativos ................................................. 19

2.5 Logaritmos e Geografia/Biologia ........................................................................... 20

Considerações finais ..................................................................................... 23

5

INTRODUÇÃO

Este trabalho pretende mostrar que o conceito matemático de logaritmo, apresentar

de maneira sucinta as funções logarítmicas e caracterizá-las totalmente, além de mostrar

que a teoria abordada possui interessantes aplicações que o professor pode contemplar

em suas aulas e explanações sobre o tema de modo a motivar os alunos e tornar mais

significativa a aprendizagem do tema.

Pretende-se apresentar a função logarítmica como sendo a única função real que

transforma Progressões Geométricas em Progressões Aritméticas. Este resultado pode

ser usado como uma caracterização completa das funções logarítmicas e pode

perfeitamente ser apresentado aos alunos do Ensino Médio; parte da demonstração de

tal fato encontra-se demonstrada neste texto.

Com vista às aplicações, o conceito de logaritmo possui várias e inusitadas

aplicações que podem ser usadas em sala de aula, algumas das quais se encontram

abordadas na segunda parte deste trabalho.

6

1 O CONCEITO DE LOGARITMO

Uma pessoa é capaz de conseguir qualquer coisa

se o seu entusiasmo não tiver limites.

Charles Schwab

1.1 Definições e Conceitos Iniciais

No desenvolvimento deste trabalho será admitido sem maiores comentários que o

leitor conheça o corpo dos números reais, a definição e propriedades elementares das

potências de números reais e o conceito de função exponencial bem como sua

caracterização como sendo a única função com domínio e contradomínio real que

transforma uma Progressão Aritmética em uma Progressão Geométrica.

Fixados os reais 0a e 0 e 1b b define-se o logaritmo de a na base b como

sendo o (único) número real x tal que xb a e escreve-se logb a x . Na sequência de

ideias apresentadas acima, o número real 0a é chamado de logaritmando e o real

0 e 1b b é chamado de base do logaritmo.

De maneira geral para que um objeto matemático esteja bem definido não se podem

permitir exceções e nem ambiguidades; assim as restrições impostas aos reais a e b são

necessárias para que se garanta a unicidade e existência do logaritmo definido no

7

parágrafo anterior. De fato, note que admitir 0a nos leva a decidir pela não existência

de logb a x em algumas situações: é fácil ver que nenhum real 0 e 1b b pode ser

base de uma potência negativa uma vez que a potenciação é sobrejetiva no corpo real.

O mesmo problema de existência acontece quando supomos a base do sistema de

logaritmos negativa; finalmente quanto à restrição de 1b convém notar que ela

decorre imediatamente do fato de que se 1b então a equação exponencial 1x a só

possui solução se 1a uma vez que qualquer potência real de base 1 só pode ser a

própria unidade.

Pode-se dizer, em linguagem mais informal (porém bem mais sugestiva para o

aluno do Ensino Médio) que o logaritmo de a na base b (satisfazendo as restrições da

definição) é o expoente x que se deve dar ao real b para que se obtenha o real a:

log x

b a x b a

Fixada uma base b qualquer se vê que a determinação do logaritmo do real a é feita

facilmente nos casos em que a é uma potência de b; nos demais casos é necessário o uso

de uma tabela de logaritmos, computador, ou calculadora científica.

Abaixo são apresentados três exemplos da determinação de logaritmos. Note que

em todos os exemplos o logaritmando é uma potência da base adotada.

a) Considere 5log 25 x . Pela definição, 5log 25 5 25 2xx x e

portanto, 5log 25 2 .

b) Considere 2

1log

512x . Pela definição,

2 9

1 1 1log 2 2

512 512 2

x xx de

onde 9x e, portanto, 2

1log 9

512 .

c) Considere 81log 3 x . Então

4 1

81

1log 3 81 3 3 3 4 1

4

x xx x x e, portanto, 81

1log 3

4 .

8

1.2 Propriedades

Nesta seção serão apresentadas as propriedades elementares dos logaritmos. Boa

parte das aplicações exploradas e apresentadas no capítulo seguinte se apoia fortemente

no que será apresentado nesta seção. Em todas as propriedades apresentadas suponha

que os logaritmandos dados e as bases fixadas satisfazem a definição dada na seção

anterior.

O logaritmo de 1 em qualquer base b é nulo, isto é, log 1 0b .

Demonstração: Basta notar que qualquer real b não nulo elevado a zero é igual a 1.

O logaritmo do real b na base b é igual a 1, isto é, log 1b b .

Demonstração: Note que 1b b , para qualquer real b.

A potência de base b e expoente logb a é igual ao real a, ou seja, logb a

b a .

Demonstração: Observe que, pela definição de logaritmo logb a é exatamente o

expoente que devemos dar ao real b para encontrar o real a.

(Logaritmo do Produto) Se logb a x e logb c y então log .b a c x y

Demonstração: De fato, por definição logb a x e logb c y equivalem às

exponenciais xa b e

yc b . Fazendo o produto entre os reais a e c segue que

. . log .x y x y

ba c b b b a c x y , cqd.

(Logaritmo do Quociente) Se logb a x e logb c y então logb

ax y

c

Demonstração: De fato, por definição logb a x e logb c y equivalem às

exponenciais xa b e

yc b . Fazendo o quociente entre os reais a e c segue que

logx

x y

by

a b ab x y

c b c

, cqd.

9

(Logaritmo da Potência) Se logb a x e k é um real fixo então log .k

b a k x

Demonstração: A propriedade segue como consequência da propriedade do

logaritmo do produto para k natural. Para os demais casos (k inteiro, racional e

irracional) consulte a bibliografia ao final deste.

Se logb a x e k é um real fixo então 1

log kba x

k .

Demonstração: Seja log kba y , ou seja,

kyb a . Aplicando logaritmo na base b

aos dois lados da última igualdade segue que 1

log logky

b bb a ky x y xk

,

pela propriedade anterior e pela hipótese de que logb a x .

A última propriedade que será abordada neste trabalho é sem dúvida alguma uma

das mais importantes, pois em muitas situações práticas (por exemplo, na aplicação da

propriedade do logaritmo do produto e do quociente e no uso das tábuas de logaritmos)

é desejável que todos os logaritmos que aparecem estejam em uma mesma base.

Quando isto não acontece, a propriedade abaixo mostra como podemos efetuar a

mudança de base:

(Mudança de Base) Para quaisquer a, b e c positivos (com a e c diferentes de

um) têm-se que log

loglog

cb

c

aa

b .

Demonstração: Considere logb a x , logc a y e logc b z , ou seja, considere

que , e x y za b a c b c . Logo, x

z x yc a b c , ou seja, zx y de onde decorre

imediatamente que y

xz

.

A utilização da propriedade de mudança de base está ilustrada nos dois exemplos a

seguir:

10

a) Escrevendo 3log 5na base 2 temos: 23

2

log 5log 5

log 3 .

b) Para quaisquer a, b reais satisfazendo a definição de logaritmo temos que

1log

logb

a

ab

. De fato, escrevendo logb a na base a segue que

log 1log

log log

ab

a a

aa

b b , uma vez que log 1a a para qualquer real a como já

visto.

1.3 Introdução às Equações Logarítmicas

Uma equação logarítmica é uma equação onde a variável (termo desconhecido)

aparece no logaritmando, na base ou em ambos. São exemplos:

a) 2

5log ( 3 ) 2x x

b) 2

6log (8 7 ) 10x x x

c) 2log (3 7) 1x x

Resolver uma equação logarítmica significa determinar os valores (ou valor) da

variável que satisfaça a igualdade e atenda as condições de existência do logaritmo que

foram estabelecidas no item 1.1. Na maioria dos casos a resolução de uma equação

logarítmica é feita aplicando diretamente a definição de logaritmo (depois de

estabelecidas as condições de existência) e resolvendo-se na sequência a equação

exponencial obtida. Para cobrir o assunto em toda sua extensão, consulte algum dos

livros indicados ao final deste texto.

a) Considere a equação 2

2log ( 5 ) 2x x . Para que o logaritmo exista, é

necessário que o logaritmando seja positivo, ou seja,

2 5 0 0 ou 5x x x x ; esta é a condição de existência que a variável

deve satisfazer. Por outro lado, usando a definição de logaritmo valem as

equivalências: 2 2

2

5 41log ( 5 ) 2 5 4

2x x x x x

. Note finalmente

11

que os dois valores da variável satisfazer a condição de existência e, portanto

são de fato soluções do problema.

b) Seja agora a equação log 25 2x . Pela condição de existência devemos ter

1x e x positivo. Pela definição 2log 25 2 25 5 ou 5x x x x .

Note finalmente que 5x não satisfaz as condições e, portanto deve ser

descartado; assim a única solução é 5x .

c) Se considerarmos a equação 2 3log 2 6 1x x . Devemos ter

2 6 0 3x x e também 2 3 0x e 2 3 0x (de onde 3

2x ), ou seja,

necessariamente 3

2x . Por outro lado, 2 3log 2 6 1 2 3 2 6x x x x , o

que é impossível. Logo, tal equação possui solução vazia.

Ainda insistindo: note que a resolução das equações logarítmicas passa

necessariamente pela resolução de equações lineares, quadráticas ou exponenciais

geralmente simples com o cuidado adicional de que os valores encontrados devem

garantir a existência dos logaritmos considerados.

1.4 Os Logaritmos Naturais

Para a maioria das aplicações que serão desenvolvidas no capítulo seguinte é

fundamental que se conheça o conceito de logaritmo natural ou logaritmos de base e

(sendo e = 2,718281... o número irracional e transcendente conhecido como número de

Euler, em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) que o usou

pela primeira vez em 1728).

Em textos mais avançados de Matemática o número de Euler costuma ser

definido como sendo o limite da “soma infinita”

1 1 1 1 1 1...

0! 1! 2! 3! 4! 5!

Simbolicamente se escreve 1

1

!n

en

.

12

A demonstração deste resultado utiliza elementos de Cálculo Diferencial; para

referências mais avançadas sobre o tema consulte qualquer livre de Cálculo. Costuma-se

representar o logaritmo natural de base e por ln x em substituição à expressão loge x .

Em particular ln 1e e ln1 0 , uma vez que 0 11 e e e e .

1.5 Função Logarítmica: Definição e Caracterização

Em linhas gerais uma função real é definida como sendo uma correspondência

entre dois subconjuntos de números reais de maneira que a todo elemento do primeiro

subconjunto está associado um único elemento do segundo.

Dado um número real a > 0 e 1a , define-se a função (real) logarítmica de base

a como sendo a função que a cada número real positivo x associa o valor de seu

logaritmo na base a. Simbolicamente escreve-se :f .

logax x

Como exemplo, considere as funções 2( ) logf x x e 1

2

( ) logg x x . Verifique na

tabela abaixo a ação das funções f e g sobre o subconjunto A = {1, 4, 16, 64, 256, 1024,

4096, 16348}:

1 4 16 64 256 1024 4096 16348

f(x) 0 2 4 6 8 10 12 14

g(x) 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

Analisando a tabela acima, observe que os elementos do conjunto A (tomados

em ordem crescente) são transformados pela ação da função logarítmica 2( ) logf x x

em uma sequência de números reais também crescente e que são transformados pela

ação da função 1

2

( ) logg x x em uma sequência de números reais decrescente.

A diferença de ação das duas funções logarítmicas dadas sobre o conjunto A se

explica pela natureza das bases; dito de outro modo, note que a função f(x) tem base

maior que 1 e que a função g(x) tem base compreendida entre 0 e 1 (lembre-se de que

não faz sentido falar em base negativa quando se define logaritmo)

De maneira geral vale o seguinte resultado:

13

Considere uma função logarítmica f(x) de base a definida no conjunto dos reais.

Respeitadas as condições de existência para a função ( ) logaf x x temos que ( )f x é

crescente para toda base a > 1 e decrescente para toda base compreendida entre 0 e 1,

isto é, para 0 < a < 1.

Nos gráficos abaixo é possível verificar o comportamento da função logarítmica de

base a conforme seja ela crescente ou decrescente. Note que independente do

crescimento ou decrescimento e do valor da base adotada, a função logarítmica sempre

intercepta o eixo das abscissas no ponto x = 1:

f(x) crescente f(x) decrescente

Dentre todas as funções elementares, a função logarítmica é a única que possui a

propriedade notável de transformar uma Progressão Geométrica (PG) em uma

Progressão Aritmética (PA). Tal fato pode ser usado como uma perfeita caracterização

para as funções logarítmicas e se mostra útil na modelagem de problemas, uma vez que

se os dados experimentais indicarem a transformação de PG’s em PA’s então certamente

a modelagem matemática do problema deve ser feita através dos logaritmos.

Formalmente, vale o seguinte resultado:

(Caracterização da Função Logarítmica): Se uma função real f transforma qualquer

Progressão Geométrica não constante de razão a > 0 em uma Progressão Aritmética,

então f é necessariamente uma função logarítmica.

Para provar parte da afirmação acima, tome a Progressão Geométrica de

primeiro termo m real e razão a > 0, ou seja, tome a sequência de reais m, ma, ma2,

14

ma3,..., ma

n,.... Aplique agora a função logarítmica de base a à sequência construída

acima, ou seja, considere a nova sequência

2 3log , log , log , log ,..., log n

a a a a am ma ma ma ma ( * )

Pelas propriedades operatórias dos logaritmos que foram provadas no início

deste capítulo, segue que log log log logn n

a a a ama m a m n , ou seja, ( * ) se

reescreve como

log , log 1, log 2, log 3,..., loga a a a am m m m m n

que certamente é uma Progressão Aritmética de primeiro termo loga m e razão (neste

caso) r = 1.

Claro que o argumento acima prova apenas parte da caracterização da função

logarítmica. A demonstração completa é bastante delicada e pode ser encontrada nas

referências ao final deste.

Retome o exemplo numérico dado no início desta seção. Note que lá, o conjunto

A = {1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16348} é na verdade uma Progressão Geométrica de

primeiro termo 1 e razão q = 4 e que as imagens do conjunto A pelas funções

2( ) logf x x e 1

2

( ) logg x x formam duas Progressões Aritméticas de razões r = 2 e

r = – 2, respectivamente.

O assunto abordado nesta seção é bastante vasto e interessante. As referências ao

final deste possuem material complementar sobre o tema e constituem fonte de estudo

para aprofundamento das discussões que aqui foram iniciadas.

15

2 APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS

A Matemática é o alfabeto com o qual

Deus escreveu o Universo

Pitágoras

2.1 Introdução

Neste capítulo serão apresentadas algumas das aplicações e situações práticas onde

o conceito de logaritmo e as ideias apresentadas no capítulo anterior estão presentes.

Não se pretende esgotar o tema e as aplicações neste capítulo; pretende-se somente

motivar o leitor e convencê-lo da importância do logaritmo nas mais variadas ciências

modernas.

2.2 Logaritmos e Matemática Financeira

O mercado financeiro atual estabelece suas operações de crédito e financiamento

em um modelo ou sistema conhecido como juros compostos. Neste modelo os juros

cobrados são capitalizados sobre valores de juros já cobrados; trata-se da cobrança de

“juros sobre juros”. Para entender de que maneira os logaritmos estão presentes na

Matemática Financeira, considere a seguinte situação:

16

“Um aplicador investiu R$1000,00 em um banco que paga 1,25% ao mês de

rendimento no sistema de juros compostos. Durante quanto tempo este valor deve

permanecer aplicado para produzir o montante de R$2000,00?”

Para resolver o problema, analise na tabela abaixo a evolução do capital ao longo

dos meses:

Instante Atual 1000

1º Mês 1000 + 1000.0,0125 = 1000.(1 + 0,0125) = 1000.(1,0125)

2º Mês 1000.(1,0125) + 1000.(1,0125).(0,0125) =

1000.(1,0125).(1+0,0125)=1000.(1,0125).(1,0125) = 1000.(1,0125)2

3º Mês 1000.(1,0125)

2 + 1000.(1,0125)

2.(0,0125) =

1000.(1,0125)2.(1+0,0125)=1000.(1,0125)

2.(1,0125) = 1000.(1,0125)

3

... ...

t-ésimo Mês 1000.(1,0125)t

Note que resolver o problema dado equivale a determinar o valor da variável t tal

que 1000.(1,0125)t = 2000. Exatamente neste ponto é que a teoria dos logaritmos mostra

seu alcance. Acompanhe as implicações: (apesar de ser possível usar os logaritmos em

qualquer base, normalmente se escolhem os logaritmos naturais por simplicidade uma

vez que qualquer calculadora científica ou mesmo uma planilha eletrônica os calculam

facilmente)

ln 21000.(1,0125) 2000 1,0125 2 .ln1,0125 ln 2

ln1,0125

t t t t

Usando uma aproximação de cinco casas decimais tem-se que

ln 2 0,6931455,8

ln1,0125 0,01242t , ou seja, para que os R$1000,00 iniciais produzam um

montante de R$2000,00 nas condições dadas são necessários 56 meses.

O exemplo acima pode ser generalizado; temos o seguinte resultado:

17

Um capital C aplicado a uma taxa de i/100 por período de tempo produz o

montante M num regime de capitalização composta após

ln

ln 1100

M

Ct

i

períodos de

tempo.

2.3 Logaritmos e Terremotos

A maneira mais usual de se medir a intensidade de um terremoto é derivada do

uso da Escala Richter, desenvolvida pelo sismólogo americano Charles F. Richter em

1935.

Ele formulou uma escala expressando as magnitudes dos terremotos em uma

escala logarítmica de modo que ao aumento de um ponto na escala corresponda a um

aumento de dez vezes na escala de vibrações. Na sequência está apresentada a tabela de

interpretação das magnitudes medidas pela Escala Richter:

Descrição Magnitude Efeitos Frequência

Micro < 2,0 Micro tremor de terra não perceptível. ~ 8000 por dia

Muito

Pequeno 2,0 – 2,9

Geralmente não percebido, mas

registrado/detectado. ~ 1000 por dia

Pequeno 3,0 – 3,9 Frequentemente sentido, mas raramente

causa danos; ~ 49000 por ano

Ligeiro 4,0 – 4,9

Tremor notório de objetos dentro das

casas e ruído de choque entre objetos.

Danos importantes pouco comuns.

~ 6200 por ano

Moderado 5,0 – 5,9

Causa danos maiores em edifícios mal

construídos e danos ligeiros nos bem

construídos.

~ 800 por ano

Forte 6,0 – 6,9 Pode ser destruidor em áreas num raio

de até 180 Km em áreas habitadas. ~ 120 por ano

Grande 7,0 – 7,9 Provoca grandes danos em áreas muito

vastas. ~ 18 por ano

18

Importante 8,0 – 8,9 Causa danos sérios num raio de centena

de quilômetros. ~ 1 por ano

Excepcional 9,0 – 9,9 Devasta zonas num raio de milhares de

quilômetros

1 a cada 20

anos

Extremo > 10,0 Nunca registrado. Desconhecido

A título de curiosidade, os registros indicam que o maior terremoto da história da

humanidade aconteceu em 1960 no Chile e registrou 9,5 de magnitude na Escala

Richter.

A energia liberada por um terremoto e a magnitude registrada na escala Richter

podem ser relacionadas pela expressão log E = 11,8 + 1,5M, onde E e M representam

respectivamente a energia liberada em ergs e a magnitude do tremor.

Richter foi além e relacionou a indicação M1 e M2 de dois terremotos na escala por

ele criada com a energia E1 e E2 liberadas respectivamente através da expressão

11 2

2

logE

M ME

(*)

Como aplicação deste último resultado considere o problema:

“Dois terremotos registraram na Escala Richter as magnitudes M1 = 5 e M2 =

2,4. Qual a razão entre as energias liberadas? Interprete tal resultado.”

Para resolver este problema, vamos usar (*):

1,61 1 1 11 2

2 2 2 2

log 5 2,4 log log 1,6 10 39,81E E E E

M ME E E E

Este resultado indica que um terremoto de magnitude M1 = 5 libera uma energia

39 vezes maior que um de magnitude M2 = 2,4

19

2.4 Logaritmos e Meia-Vida de Materiais Radioativos

Os materiais radioativos são aqueles que possuem a propriedade (natural ou

artificial) de emitir radiações classificadas em Química como partículas alfa, partículas

beta e raios gama.

Os átomos de uma substância radioativa tendem a se desintegrar emitindo

partículas e transformando-se em outras substâncias. Sabe-se que as partículas emitidas

não alteram consideravelmente a massa total do corpo, mas com o passar do tempo a

quantidade da substância original diminui. Desta observação os químicos

desenvolveram o importante conceito de meia-vida, definido como o tempo necessário

para que a metade da massa de um elemento radioativo se desintegre. Este tempo não

depende da quantidade inicial de massa presente; assim o tempo necessário para que

100 Kg de um material radioativo se reduza à metade é certamente a mesma que 10g

desta substância precisa para também se reduzir à metade. Por exemplo, os isótopos do

urânio tem meia vida de 109 anos, enquanto os do elemento rádio 224 tem meia vida de

3 dias e 15 horas.

Formulando de maneira matemática as informações acima, considere m(t) a

massa no instante t de uma substância radioativa que no início da contagem do tempo

era m(0). Podemos assegurar com base no conceito de meia vida que m(t) = m(0).eat,

onde a constante a é negativa uma vez que a função m(t) definida é decrescente

(lembre-se que a quantidade de material vai decaindo ao longo do tempo).

O uso de logaritmos neste problema se mostra importante para a determinação

do tempo necessário para que uma massa m(0) inicial decaia até um valor m(t). De fato,

somente usando as propriedades dos logaritmos que desenvolvemos no parágrafo

anterior segue que:

( ) (0). ln ( ) ln[ (0). ] ln ( ) ln (0) lnat at atm t m e m t m e m t m e ( * )

Usando o fato de que ln ate at e a expressão em ( * ) finalmente podemos

calcular o tempo t:

( ) 1 ( )ln ( ) ln (0) ln ln

(0) (0)

m t m tat m t m at t

m a m

20

Das considerações acima podemos enunciar o principal resultado desta seção:

“O tempo necessário para que uma massa inicial m(0) de qualquer substância

radioativa decaia à uma massa m(t) é dada por 1 ( )

ln(0)

m tt

a m

, onde a constante a

real é própria da substância considerada.”

Como aplicação do resultado acima, considere o seguinte problema:

“Determine o tempo necessário para que 500g de certo material radioativo (cuja

desintegração acontece à uma taxa de 1,8% ao ano) se reduza à 300g.”

Pelo resultado estabelecido na discussão acima o tempo necessário é de

aproximadamente 28,3 anos. De fato, o tempo necessário é dado por 1 ( )

ln(0)

m tt

a m

.

Sendo m(0) = 500g, m(t) = 300g e a = 0,018, temos:

1 ( ) 1 300 1 1ln ln ln 0,6 .( 0,51082) 28,3

(0) 0,018 500 0,018 0,018

m tt t

a m

2.5 Logaritmos e Geografia/Biologia

Os logaritmos também constituem a ferramenta matemática apropriada para se

tratar os fenômenos de crescimento e decrescimento populacional. De fato, muitos

problemas relativos às demandas de políticas sociais e alocação de recursos financeiros

para determinadas comunidades podem ser resolvidos através de um modelo ideal onde

se supõe a taxa de crescimento/decrescimento constante. Trata-se de um modelo ideal

uma vez que se sabe que tais taxas não são constantes, mas podem ser razoavelmente

aproximadas através de estudos anuais e sucessivos por parte dos Institutos de

Geografia e Estatística (no caso brasileiro, geralmente conduzidos pelo IBGE).

Observe ainda que este modelo de crescimento e decrescimento populacional

pode ser facilmente adaptável para o estudo de populações de quaisquer animais e/ou

áreas verdes, por exemplo,

21

Considere, portanto, a situação ideal onde uma população inicial P(0) cresce a

uma taxa constante de i% por período de tempo. Pelo mesmo raciocínio empregado no

item 2.1 quando se apresentou a aplicação na Matemática Financeira é possível compor

a seguinte tabela para modelar a situação: (Considere a taxa i na forma decimal, isto é

considere na tabela abaixo a taxa na forma i/100)

População Inicial P(0)

1º Período de Tempo P(0) + P(0).i = P(0).(1 + i)

2º Período de Tempo P(0).(1 + i) + P(0).(1 + i).i = P(0).(1 + i).(1 + i) = P(0).(1 + i)2

3º Período de Tempo P(0).(1 + i)2 + P(0).(1 + i)

2.i = P(0).(1 + i)

2.(1 + i) = P(0).(1 +i)

3

... ...

n-ésimo Período de

Tempo P(0).(1 +i)

n

Usando como referência o modelo construído acima, observe que o tempo

necessário para que a população atinja um nível P(t) pode ser determinado com o

auxílio dos logaritmos. De fato, como nesse modelo estamos considerando P(t) =

P(0).(1 +i)t , o valor de t pode ser encontrado a partir do seguinte raciocínio (que mais

uma vez só faz uso das propriedades básicas apresentadas no capítulo anterior):

( )ln

( ) ( ) (0)( ) (0).(1 ) (1 ) ln(1 ) ln

(0) (0) ln(1 )

t t t

P t

P t P t PP t P i i i t

P P i

Como exemplo, considere o seguinte problema e sua resolução apresentada na

sequência:

“Uma população inicial de animais P(0) cresce dentro de um ecossistema

monitorado por biólogos a uma taxa de 4,0% à década. Em quantas décadas a

população inicial de animais triplicará?”

Note que a solução do problema não depende da população inicial de animais, o

que contraria o senso comum, assim como no caso da desintegração radioativa; fazendo

P(t) = 3.P(0) vem que:

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( ) 3 (0)ln ln

log3 1,09861(0) (0)28

ln(1 0,04) ln(1 0,04) log1,04 0,03922

P t P

P Pt t t t

Portanto, serão necessárias 28 décadas para que a população triplique.

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Considerações Finais

Ao longo deste trabalho foram apresentadas duas importantes construções,

indispensáveis à boa prática matemática por parte do professor: no primeiro capítulo o

leitor pôde tomar contato com o conceito de logaritmo e explorá-lo de maneira teórica

afim de que pudessem ser desenvolvidos os instrumentos adequados à construção das

aplicações que foi feita no segundo capítulo. Ainda no primeiro capítulo foi apresentado

um resultado fundamental que caracteriza as funções logarítmicas como sendo as únicas

funções reais que transformam Progressões Geométricas em Progressões Aritméticas e

que está acessível aos alunos do Ensino Médio por sua simplicidade.

As aplicações apresentadas no segundo capítulo não possuem a pretensão de

esgotar o tema, mas tão somente tem por objetivo motivar o leitor a buscar novas e mais

interessantes aplicações. Espera-se que este trabalho sirva de inspiração para novas

práticas pedagógicas para as aulas de matemática, na medida em que fornece um bom

repertório de aplicações a serem apresentadas, discutidas e desenvolvidas com os alunos

do Ensino Médio.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de

matemática elementar 2 – logaritmos. 8. ed. São Paulo: Atual, 1993

ZAGO, Glaciete Jardim, Walter Antonio Sciani. Exponencial e Logaritmos. 2º edição.

São Paulo: Editora Estude e Use, 1996.

TEIXEIRA, Wilson, M.Cristina Motta de Toledo,Thomas Rich Fairchild, Fabio Taioli.

Decifrando a Terra, Sismicidade e Estrutura Interna da Terra. São Paulo: Oficina de Textos. USP Universidade de São Paulo, 2003.

IEZZI, Gelson et al. Matemática, ciência e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2004.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática 2ª série. São Paulo: Ática, 2004.

LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P, WAGNER, MORGADO, A.C: A Matemática do

Ensino Médio, Vol.1: Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM,

1996.