THAIS HELENA SANTANA DE OLIVEIRA - .solução das equações diferenciais parciais. Aproximações

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THAIS HELENA SANTANA DE OLIVEIRA

ESQUEMAS DE CLCULO DA CONDUTIVIDADE TRMICA NAS FACES DE

VOLUMES FINITOS

Trabalho de Graduao apresentado como

requisito parcial para a concluso do Curso de

Engenharia Mecnica, Setor de Tecnologia,

Universidade Federal do Paran.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Marchi

CURITIBA

2008

FOLHA DE APROVAO

Trabalho de Concluso de Curso defendido pela aluna

THAIS HELENA SANTANA DE OLIVEIRA

e aprovado em 8 de dezembro de 2008

pela banca julgadora:

____________________________________________________

Prof. Luciano Kiyoshi Araki, D. Sc.

____________________________________________________

Prof. Ricardo Carvalho de Almeida, D. Sc.

____________________________________________________

Prof. Carlos Henrique Marchi, Dr Eng.

RESUMO

Muitos problemas em engenharia tm seus modelos matemticos resolvidos

numericamente. Para resolver problemas que envolvem fenmenos na rea de dinmica dos

fluidos, usualmente, utiliza-se o mtodo dos volumes finitos como mtodo numrico para

soluo das equaes diferenciais parciais. Aproximaes so feitas para se obter o valor da

propriedade de transporte nas faces dos volumes. Neste trabalho so resolvidos analtica e

numericamente cinco problemas fsicos utilizando, alm dos mtodos usuais (mdia

harmnica e mdia aritmtica), outros cinco esquemas para clculo da condutividade trmica

nas faces. O objetivo principal avaliar o desempenho destes mtodos em relao ao erro de

discretizao. O desempenho dos esquemas foi distinto para cada um dos cinco problemas.

Quando utilizadas aproximaes de diferenas centrais para clculo de k, em paredes

compostas por dois meios, observou-se uma reduo na ordem de acurcia do erro de

discretizao de 2a para 1a ordem.

Palavras-chave: condutividade trmica, erro numrico, erro de discretizao, volumes finitos.

LISTA DE SMBOLOS

A matriz dos coeficientes

A rea

a,b coeficientes resultantes da discretizao

B matriz do termo fonte

C coeficiente da Equao Geral do Erro

CDS Central Difference Scheme

CFD Computational Fluid Dynamics

E erro de discretizao

E e EE vizinhos direita do ponto P

e face direita do volume de controle

EM norma do erro numrico ao longo do domnio

F constante dos termos advectivos

g denominao dos pontos de integrao no mtodo de Gauss

h espaamento da malha

k condutividade trmica

L espessura da parede

m nmero de pontos finitos posicionados entre P e E

MDF Mtodo de Diferenas Finitas

MEF Mtodo dos Elementos Finitos

MVF Mtodo dos Volumes Finitos

N nmero de pontos ou volumes de controle

P ponto geral do volume de controle

P,Q variveis auxiliares do mtodo TDMA

pE ordem efetiva

pL ordem assinttica

pV ordens verdadeiras

S termo fonte

T temperatura

t tempo

TDMA TriDiagonal Matrix Algorithm

u vetor velocidade

UDS Upwind Differencing Scheme

W e WW vizinhos esquerda do ponto P

x coordenada espacial, posio no domnio

w pesos dos pontos de integrao no mtodo de Gauss

Letras Gregas

x distncia entre dois ns consecutivos

soluo numrica da varivel de interesse

soluo analtica exata da varivel de interesse

massa especfica do fluido

coeficiente de difuso

Subndices

a,b pontos intermedirios localizados entre P e E

e face localizada direita do ponto geral P

E ponto localizado direita do ponto geral P

P ponto geral nodal

w face localizada esquerda do ponto geral P

W ponto localizado esquerda do ponto geral P

1 malha fina

2 malha grossa

SUMRIO

1 INTRODUO.................................................................................................................................... 5

1.1 PROBLEMA .......................................................................................................................................... 5 1.2 MOTIVAO........................................................................................................................................ 5 1.3 OBJETIVO............................................................................................................................................. 6 1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ..................................................................................................................... 7

2 REVISO BIBLIOGRFICA ................................................................................................................ 8

2.1 O MTODO DOS VOLUMES FINITOS ........................................................................................................ 8 2.1.1 Formulao do Problema ............................................................................................... 9 2.1.2 Discretizao do domnio de clculo ........................................................................... 9 2.1.3 Discretizao do modelo matemtico....................................................................... 10 2.1.4 Obteno da soluo numrica................................................................................. 11

2.2 APROXIMAES NUMRICAS PARA AS PROPRIEDADES......................................................................... 12 2.2.1 Mdia Aritmtica Esquema 1 .................................................................................... 13 2.2.2 Mdia harmnica Esquema 2 ................................................................................... 14 2.2.3 Mdia aritmtica das temperaturas nodais Esquema 3........................................ 14 2.2.4 Mdia harmnica de k - perfil linear com inclinao constante entre P e E Esquema 4................................................................................................................................... 15 2.2.5 Mdia harmnica de k - perfil linear com inclinaes diferentes entre P e E Esquema 5................................................................................................................................... 16 2.2.6 Integrao de Gauss Esquema 6 e 7 ....................................................................... 16

2.3 VERIFICAO DA SOLUO NUMRICA............................................................................................... 18

3 METODOLOGIA............................................................................................................................... 21

3.1 FORMULAO DO PROBLEMA ............................................................................................................ 21 3.1.1 Modelo Matemtico...................................................................................................... 21 3.1.2 Condies de Contorno e domnio de clculo......................................................... 22 3.1.3 22 3.1.4 Variveis de interesse .................................................................................................... 22 3.1.5 Definio dos Problemas .............................................................................................. 23

3.2 DISCRETIZAO DO DOMNIO DE CLCULO ........................................................................................ 28 3.3 DISCRETIZAO DO MODELO MATEMTICO ........................................................................................ 29

3.3.1 Coeficientes dos volumes internos............................................................................... 30 3.3.2 Aplicao das condies de contorno...................................................................... 31

3.4 OBTENO DOS RESULTADOS ............................................................................................................. 33 3.4.1 Algoritmo ......................................................................................................................... 34

3.5 VERIFICAO DE SOLUES NUMRICAS ............................................................................................ 34

4 RESULTADOS .................................................................................................................................... 36

4.1 PROBLEMA 1...................................................................................................................................... 36 4.2 PROBLEMA 2...................................................................................................................................... 39 4.3 PROBLEMA 3...................................................................................................................................... 41 4.4 PROBLEMA 4 ..................................................................................................................................... 43 4.5 PROBLEMA 5...................................................................................................................................... 45

5 CONCLUSO................................................................................................................................... 47

6 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................................................... 49

5

1 INTRODUO

Neste captulo define-se o problema tratado no presente trabalho, em seguida so

apresentados a motivao e objetivos do trabalho. Por fim se descreve a estrutura aplicad