UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

CÂMPUS SANTA MÔNICA

CURSO DE ENGENHARIA BIOMÉDICA

CAIO TONUS RIBEIRO

DOMINGOS ALVES CONSTANTINO NETO

ISABELA BERNARDES ALVARES CAMPOS

TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

UBERLÂNDIA

2011

CAIO TONUS RIBEIRO

DOMINGOS ALVES CONSTANTINO NETO

ISABELA BERNARDES ALVARES CAMPOS

TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

Trabalho acadêmico apresentado à

disciplina de Funções de Variáveis Reais I,

do Curso de Engenharia Biomédica, da

Universidade Federal de Uberlândia.

Prof. Dr. Alonso Sepúlveda Castellanos

UBERLÂNDIA

2011

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Tomógrafo.............................................................................................................. 6

Figura 2: Representação da emissão de radiação no tomógrafo............................................ 8

Figura 3: Representação da distância p e do ângulo θ........................................................... 8

Figura 4: Exemplo da Transformada de Radon aplicada em uma imagem........................... 10

Figura 5: À esquerda a imagem original e à direita sua retroprojeção simples................... 11

Figura 6: Representação idealizada de um corte do corpo de uma pessoa.......................... 12

Figura 7: Exemplos de imagens reconstruídas utilizando o algoritmo de Retroprojeção

Filtrada com 15, 60 e 180 projeções respectivamente......................................................... 13

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO................................................................................................................. 4

2 A TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA................................................................. 5

3 O CÁLCULO..................................................................................................................... 7

4 CONCLUSÃO................................................................................................................... 14

5 REFERÊNCIAS................................................................................................................ 16

5

1 INTRODUÇÃO

É certo que a medicina passou por uma grande revolução junto com o aumento da

tecnologia dos equipamentos médicos. Um deles é a tomografia computadorizada (TC), que,

ao contrário de outros aparelhos de raios x que projetam imagens em duas dimensões, com ela

é possível projetar em três. Isso a torna mais eficiente nos exames clínicos e fornece melhores

imagens dos órgãos e tecidos sem ser invasivo. O exame é simples, pois a máquina passa em

diversos ângulos e partes do corpo a serem examinados, podendo fazer análises até do o

cérebro.

Muitas vezes o paciente deve tomar uma substância denominada contraste, que é

injetada na veia e pode melhorar algumas imagens tornando-as mais nítidas, ato simples que,

normalmente, não gera grandes incômodos para o paciente.

No entanto, nenhum beneficio desses aparelhos existiria se não existisse a matemática,

aliada da engenharia, que colabora muito para a eficiência e objetividade de seus

funcionamentos, como por exemplo, na aparelhagem médica. Utiliza-se na tomografia

computadorizada conhecimentos gerais de integrais, álgebra linear, equações diferencias,

matrizes e vetores.

Importante ressaltar que existem vários tipos de aparelhos de tomografia atualmente;

escolhemos apresentar em especial a axial. Além disso, para que a tecnologia das tomografias

existisse, muitos cientistas persistentes como matemáticos, engenheiros e pesquisadores de

varias áreas estudaram e desenvolveram processos e equações desde o inicio do século XX.

Afinal, grandes obras são construídas por muito trabalho, dedicação e nem sempre por apenas

uma pessoa.

6

2 A TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

A Tomografia Computadorizada (TC), também conhecida como Tomografia Axial

Computadorizada (TAC), é um exame de diagnóstico por imagem que utiliza raios x para

podermos visualizar as estruturas anatômicas na forma de cortes. Este exame baseia-se nos

mesmos princípios da radiografia convencional, que nos mostram que tecidos de diferentes

composições e densidades absorvem a radiação X com intensidades diferentes. Sendo assim,

tecidos com uma maior densidade, como o fígado, absorverão uma maior quantidade de

radiação do que os de menor densidade, como o pulmão. Assim que uma “foto” for tirada, o

tomógrafo irá tirar fotos desta mesma seção, mas sob outros ângulos, o que nos fornecerá

imagens ricas em detalhes.

As radiografias, por sua vez, são projeções de estruturas tridimensionais, que serão

representadas de forma bidimensional, isto é, a imagem obtida é uma sobreposição de vários

planos, o que pode acarretar em uma atenuação ou omissão de determinado detalhe,

dependendo de sua densidade. Normalmente, para saber se um osso foi fraturado, o exame

realizado é a radiografia, pois como o osso é o tecido mais denso de nosso corpo, ele sobrepõe

órgãos e outros tecidos menos densos, sendo esta a aplicação em que este exame mais é

utilizado. Outra diferença entre a TAC e a radiografia convencional é que aquela emite vários

feixes de raios x enquanto esta emite apenas um.

O tomógrafo (Figura 1) é composto por uma cama móvel sobre a qual o paciente irá se

deitar e pela área mecânica onde se encontra um anel de diâmetro aproximado de 0,7m pelo

qual a plataforma irá passar. Em volta deste anel há um eixo em que há um emissor de

radiação x e, opostamente a esse emissor, há vários receptores intensificadores de imagem,

que receberão as projeções das densidades dos órgãos e tecidos, como falaremos mais adiante,

que serão transmitidas a um computador, passando por um algoritmo, formando assim a

imagem. Esse eixo roda em torno do anel pelo qual a plataforma passa, captando assim as

imagens internas da pessoa em vários ângulos e, juntamente com a movimentação da

plataforma, formam imagens de vários planos, que, unidos, possibilitam a formação de uma

imagem tridimensional, que nos permite uma visualização volumétrica da estrutura dos

tecidos analisados. Assim que cada imagem é recebida, a cama adentra cada vez mais no anel,

para que possam ser formadas imagens de novos cortes. Para formar a imagem, as densidades

dos tecidos atravessados pelos raios x serão analisadas, comparadas e assim “traduzidas” para

7

tons de cinza, nos permitindo enxergar elementos que, devido a suas baixas densidades, com a

radiografia convencional, não seria possível enxergarmos.

Figura 1 – Tomógrafo

Fonte: http://www.chemistryexplained.com/Co-Di/CT-Scans.html

8

3 O CÁLCULO

A matemática por trás da Tomografia Computadorizada remete-nos ao ano de 1917

em que o matemático Johann Radon determinou a solução matemática para o problema de

reconstrução de imagens, mas as primeiras técnicas para que ela fosse efetivada só surgiram

no ano de 1956 com o professor Ronald N. Bracewell, utilizadas em radioastronomia para

identificar micro-ondas originadas de determinadas regiões do sol. No entanto, a primeira

aparelhagem a utilizar os raios x, obtendo assim imagens mais precisas e nítidas, foi

construída em 1972 pelo engenheiro britânico Godfrey Hounsfield.

Suponha que o raio x se move em linha reta e que a uma distância s dentro do corpo

do paciente a intensidade da radiação é de I(s). Conforme s vai aumentando, I(s) vai

diminuindo por a energia emitida estar sendo cada vez mais absorvida. Agora, caso o raio x

atravesse uma pequena distância Δs dentro da pessoa, sua intensidade irá diminuir de uma

quantidade ΔI. Essa redução depende tanto desta quantidade quanto do coeficiente de

absorção u(s) do material. Contanto que a variação da distância seja pequena o bastante, então

a redução em ΔI relaciona-se com u(s) pela seguinte fórmula:

∆I = - u(s)*I(s)*∆s (1)

Supondo que Ifinal é a intensidade da radiação após deslocar-se de uma distância Δs,

Iinicial é a intensidade antes deste deslocamento e L o comprimento do feixe, nota-se que a

atenuação desta é dada por:

Ifinal = Iinicial*e-R, onde R = ∫ u(s)ds (2)

A equação 2 nos fornece a diminuição da intensidade de um raio x e isso nos provê

importantes informações sobre o corpo atravessado por ele. Ela também nos mostra que a

intensidade da radiação que atravessa o corpo diminui exponencialmente de acordo com a

variação da distância.

Na ilustração abaixo (Figura 2) é mostrado um objeto sendo bombardeado por

radiação x, que terá sua intensidade final medida pelo receptor. Alguns desses raios (B)

atravessam totalmente o objeto, sendo assim altamente absorvidos, logo, sua intensidade final

9

captada pelo receptor será muito baixa. Outros (A) atravessam apenas uma parte dele e serão

menos absorvidos do que o primeiro, portanto terão uma intensidade final maior. Finalmente,

alguns (C) sequer tocarão o objeto, logo serão captados pelo receptor com uma intensidade

final de radiação praticamente igual a inicial, devido ao baixo coeficiente de absorção do ar.

Figura 2 – Representação da emissão de radiação no tomógrafo

Pela imagem é mais facilmente visto que os raios x que serão absorvidos devido ao

objeto formarão uma “sombra” na construção da imagem. Devido a esse fato, podem-se

mensurar as dimensões do objeto. Vale ressaltar que a TAC preocupa-se em fornecer além das

dimensões do objeto, sua natureza, para descobrir, por exemplo, se há um câncer ou um tumor

na tomografia realizada, analisando a atenuação da maior quantidade possível de raios x.

Notando que a distância s divide-se na componente x e na componente y, como é

possível ver na figura abaixo (Figura 3), para seguir a notação usual, considerando

u(x,y)=f(x,y), no caso de uma seção plana do corpo, temos que, da equação (2):

P(L) = - ln(Ifinal/Iinicial) = ∫ u(x,y)ds (3)

10

Figura 3 – Representação da distância p e do ângulo θ

Esta equação, que denominaremos projeção integral (P(L)), é a inversa da operação

integral em 2 e é ela que mensura a atenuação dos raios x durante o processo da tomografia. O

problema central da TAC é reconstruir um objeto, dada cada uma de suas projeções P(L),

assim, para determinar as dimensões do objeto, ele deve ser irradiado de vários ângulos. Se a

atenuação da intensidade dos raios x são plotadas sobre todos os ângulos de rotação possíveis

(normalmente 180 ou 360 graus), um conjunto das projeções é obtido.

Nota-se, pela Figura 3 que o feixe passará por um conjunto de pontos (x,y) em que o

coeficiente de absorção é u(x,y). Lembrando que s é a distância percorrida pelo raio, cada um

desses pontos (x,y) pode ser escrito da seguinte forma:

(x,y) = (p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ)) (4)

Nesse caso, pela equação 2 temos que:

Ifinal=Iinicial*e-R(p,θ) (5)

Onde:

R(p,θ) = ∫ u(p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ))ds (6)

A função R(p,θ) é denominada de Transformada de Radon da função u(x,y). Ela nos

permite transformar as projeções integrais obtidas pelo escaneamento da TC em imagens

(senogramas) que se aproximam da imagem que desejamos obter (Figura 4) e evidencia a

relação existente entre as projeções e o objeto a ser analisado. Quanto maior for o valor de R,

maior será a quantidade de radiação absorvida pelo tecido analisado. Mensurando a atenuação

da intensidade dos raios x absorvidos pelo maior número possível de ângulos, é possível obter

dados com alta acurácia, mas o realmente desejado, é a função u(x,y), que nos mostra o

11

coeficiente de absorção de determinado tecido. Isto é útil na descoberta de tumores,

inflamações ou até cânceres.

Figura 4 – Exemplo da Transformada de Radon aplicada em uma imagem

Fonte: http://www.lx.it.pt/~bioucas/IP/files/Radon.pdf

Dada a função R(p,θ), é possível descobrirmos a função u(x,y), o que nos fornecerá a

imagem original. Atentando-nos que θ pode variar entre 0 e π, caso haja redundância de

informação, ou entre 0 e 2π, caso não haja. Essa reconstrução da imagem é realizada pelo

computador por algoritmos matemáticos, que organizam as projeções obtidas em uma matriz

bidimensional.

Dentre os métodos que podem ser utilizados para fazer a inversão da imagem está a

própria inversa da transformada de Radon, mas ela é muito suscetível a ruídos, não sendo

muito usada. Outro é a retroprojeção simples, que seleciona todos os raios que passam pelos

pontos de coordenadas (x,y), logo, a função dos coeficientes de absorção vai aparecer como a

soma das contribuições dos raios que passam por aquele ponto, mas isso faz com que pontos

que são externos ao objeto que desejamos analisar influenciem na formação da imagem, o que

faz com que ela torne-se extremamente borrada (Figura 5), pois cada pixel integrado gerará

influências em seu redor, não sendo assim favorável à medicina, que precisa de detalhes cada

vez mais precisos sobre a área a ser estudada.

12

Figura 5 – À esquerda a imagem original e à direita sua retroprojeção simples

Fonte: http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2011/SeniorProject_KaileyBolles.pdf

Outro método, este sendo mais usado que o anterior, é a retroprojeção filtrada, que

consiste basicamente na filtragem das projeções usando um filtro rampa e, só depois de usar a

transformação inversa, filtrar esses valores e retro projetá-los na imagem. A multiplicação das

projeções com o filtro rampa gera imagens com uma resolução melhor, pois amplifica os

valores das frequências mais altas, fazendo com que a imagem fique mais nítida. Ele é o

método preferencialmente utilizado por necessitar de um período curto de tempo para efetivá-

lo e produz imagens razoáveis para análises médicas.

Este último método citado utiliza a Transformada de Fourier como instrumento para

inverter a transformada de Radon, que reduz significativamente a quantidade de ruído

presente nos dados, além de tornar a imagem reconstruída mais nítida. Considerando um

determinado ponto do feixe e, dado i = √-1, ela é dada pela fórmula:

r(ω,θ) = ∫ R(p,θ)*e-iωpdp (7.1)

A transformada de Fourier transformará as projeções captadas em “ondas”, analisando

a frequência ω delas, que se divide nas duas direções x e y sob frequências de repetição α e β

respectivamente. Substituindo a equação acima (7) na equação 6, temos que:

r(ω,θ) = ∫ ∫ u(p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ))*e-iωpdsdp (7.2)

Fazendo (x,y) = (p*cos(θ)-s*sen(θ);p*sen(θ)+s*cos(θ)), temos que, da equação 7.2:

r(ω,θ) = ∫ ∫ u(x,y)*e-i(ω*cos(θ)*x+ω*sen(θ)*y)dxdy (7.3)

13

Mas esta integral da equação anterior (7.3) equivale a transformada de Fourier

bidimensional, ou seja, a transformada da função u(x,y) é igual a transformada analisada em

um determinado ponto desta função. Esta igualdade é conhecida como o Teorema do Corte

Central (Central Slice Theorem) e nos permite calcular rapidamente a transformada de Radon

da função u(x,y). Apesar de ser possível obter esta transformada diretamente das projeções

obtidas, a transformada de Fourier a complemente, reduzindo o ruído, o que melhorará a

qualidade e a nitidez da imagem. Sabendo a função R(p,θ), é possível obter, por (7.3), a

função das projeções, obtendo assim a nossa imagem. Pela inversa da transformada de

Fourier, dada por:

r(t) = (1/2π) ∫ U(ω)*eiωtdω (8)

Podemos utilizá-la em (7.3) para obtermos:

u(x,y) = (1/4π2) ∫ ∫ r(ω,θ)*ei(xωcos(θ)+yωcos(θ))ωdω (9.1)

Mas, caso utilizemos a inversa da transformada de Fourier em 7.1 e a substituirmos em

9.1, temos a fórmula de inversão:

u(x,y) = (1/4π2) ∫ ∫ ∫ R(p,θ)*eiω(xcos(θ)+ysin(θ)-p)ωdpdωdθ (9.2)

Com essa equação, sabendo os valores de R, poderemos achar os valores da função u,

mas ela possui certas limitações, como todos os problemas inversos, que são problemas que

envolvem a determinação de uma causa, dados seus efeitos. Apesar de ela reduzir de forma

significativa o ruído presente nos dados, caso haja muito ruído, isso não será possível, além da

necessidade de conhecermos R o mais exatamente possível. Após esse algoritmo matemático

ser executado, encontrando assim a função das projeções, logo, da densidade, os dados

poderão finalmente ser filtrados a fim de obter a imagem.

Figura 6 – Representação idealizada de um corte do corpo de uma pessoa

Fonte: http://www.aapm.org/meetings/99AM/pdf/2806-57576.pdf

14

A figura 6 nos mostra um corte do corpo de uma pessoa de uma forma idealizada, ou

seja, como a imagem deveria ser formada. Pela figura abaixo (7), vemos as reconstruções

desta imagem utilizando 15, 60 e 180 projeções respectivamente, entre 0 e 2π.

Figura 7 – Exemplos de imagens reconstruídas utilizando o algoritmo de Retroprojeção Filtrada com 15, 60 e 180 projeções respectivamente

Fonte: http://osx-server.optics.arizona.edu/~kupinski/Matthew_Kupinski/OPTI_512L_files/radon.pdf

É notável a diferença da qualidade entre as três imagens e, baseado no número de

projeções utilizadas para se reconstruir as imagens, chegamos à conclusão que quanto maior o

número de projeções utilizadas, melhor será a qualidade e a nitidez da imagem desejada.

15

4 CONCLUSÃO

Como visto, a tomografia computadorizada trouxe vários avanços para a medicina,

proporcionando uma melhor visualização das áreas desejadas que antes desta tecnologia seria

impossível obtermos, além de possibilitar a formação de uma imagem tridimensional por

meio da emissão de vários raios x pelo eixo, sua rotação e a movimentação da cama. Doenças

que antigamente matavam em grande quantidade, como o câncer ou tumores, hoje, aliada ao

processo da quimioterapia e de outros tratamentos ou processos cirúrgicos, a tomografia

colaborou para que houvesse uma grande redução deste número, pois com o auxilio de

imagens cada vez mais detalhadas do interior da pessoa enferma, é possível um diagnóstico

mais rápido e preciso, que pode ser essencial para a manutenção da vida dela, além de, com

este exame, vários exames invasivos que poderiam levar a infecções se tornarem

desnecessários.

É impossível negar que o advento da tomografia nos trouxe vantagens capazes até de

salvar vidas, mas prejuízos também estão inclusos com a chegada desta tecnologia. A TC

submete o paciente a doses maiores de raios x se comparado com a radiografia convencional,

como por exemplo, uma tomografia do peito dispara contra a pessoa uma dose de radiação

equivalente a cem radiografias, e isso pode, ao longo do tempo, gerar complicações à saúde

da pessoa, como normalmente, o câncer, e a cada exame tomográfico que fazemos, esse risco

aumenta, pois os efeitos da radiação no corpo da pessoa podem não desaparecer após os

exames, acumulando com o do exame anterior, prejudicando ainda mais a saúde do paciente.

Projeções feitas pelo Instituto Nacional do Câncer (National Cancer Institute) dos Estados

Unidos nos mostram que ocorrem aproximadamente 29 mil mortes por ano devido à radiação

emitida por tomógrafos. Uma das causas do aumento deste número é o aumento do uso deste

tipo de exame no decorrer das últimas décadas. Em uma pesquisa feita pelo mesmo instituto,

comparado aos 3 milhões de tomografias realizadas no ano de 1980 nos Estados Unidos, no

ano de 2010, 62 milhões foram efetuadas. Apesar de possuir índices de ocorrências não tão

altos, pode ocorrer também uma reação alérgica ao material de contraste (normalmente iodo),

que pode gerar de manchas ou inchaços na pele a uma redução da frequência respiratória ou

até no fechamento da garganta.

16

É necessária uma conscientização por parte dos médicos, que normalmente indicam

pacientes para a tomografia, mesmo quando não há necessidade de um exame tão detalhado,

para pelo menos amenizar o crescimento do número de casos de câncer que surgem em

números cada vez mais alarmantes. Seja explicando aos pacientes os riscos que o exame pode

oferecer a eles, seja utilizando-o apenas quando necessário isso auxiliaria no combate ao

câncer. Há também a necessidade de uma conscientização por parte dos pacientes, que

deveriam buscar informações ou com o médico, ou por conta própria para ficarem mais

informados acerca do tipo de exame a que serão submetidos, pois dependendo do caso, ele

torna-se desnecessário, trazendo, junto com o benefício que um exame menos prejudicial

poderia trazer, riscos à sua vida. Este precisa também ter cuidado, visto que ao passo em que a

tomografia pode salvar sua vida, pode tornar-se sua sina.

17

REFERÊNCIAS

DIAS, Jose M. Bioucas. Portugal: Instituto Superior Técnico, 2007. Disponível em:

<http://www.lx.it.pt/~bioucas/IP/files/Radon.pdf>. Acesso em: 03/12/2011.

CLÍNICA DE RAGIOLOGIA RIO DE JANEIRO. Tomografia Computadorizada. 2011.

Disponível em: <http://www.clinicarj.com.br/exames/tomografia.html>. Acesso em:

02/12/2011.

AMERICAN ASSOCIATION OF PHYSICISTS IN MEDICINE (AAPM). Tomographic

Image Reconstruction. 1999.

Disponível em: <http://www.clinicarj.com.br/exames/tomografia.html>. Acesso em:

02/12/2011.

WIKIPEDIA. Developed by Wikimedia Foundation. X-Ray computed

tomography. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_computed_tomography>.

Acesso em: 03/12/2011.

WIKIPEDIA. Developed by Wikimedia Foundation. Tomographic

reconstruction. Disponível em: < http://en.wikipedia.org/wiki/Tomographic _reconstruction >.

Acesso em: 03/12/2011.

BARICH, Katie. Mathematics of Medical Imaging: Inverting the Radon Transform. 2011.

Disponível em:

<http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2011/

SeniorProject_KaileyBolles.pdf>. Acesso em: 02/12/2011.

BUDD, Chris; MITCHELL, Cathryn. Saving lives: the mathematics of tomography.

[2008]. Disponível em: < http://plus.maths.org/content/saving-lives-mathematics-

tomography>. Acesso em: 01/12/2011.

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL. Métodos de

Reconstrução Tomográfica de Imagens de SPECT. [2005 ou 2006]. Disponível em: <

18

http://plus.maths.org/content/saving-lives-mathematics-tomography>. Acesso em:

02/12/2011.

SANTOS, Nuno; PEREIRA, Rúben; GOMES, André. Tomografia Computadorizada.

[2008]. Dissertação (Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica) – Universidade Técnica

de Lisboa, Lisboa, 2008. Disponível em: < http://plus.maths.org/content/saving-lives-

mathematics-tomography>. Acesso em: 02/12/2011.

HILL, J. Carver. Ct scans. [20--]. Disponível em: < http://www.chemistryexplained.com/Co-

Di/CT-Scans.html>. Acesso em: 02/12/2011.

KUPINSKI, Matthew. Image Reconstruction II (The Radon Transformation). [2011].

Disponível em:

<http://osx-server.optics.arizona.edu/~kupinski/Matthew_Kupinski/OPTI_512L_files/

radon.pdf>. Acesso em: 02/12/2011.

SOHAL, Ravi. What are the side effects of CT scan and MRI scan dye?. [2009].

Disponível em: <http://blog.remakehealth.com/blog_Healthcare_Consumers-0/bid/10276/

What-are-the-side-effects-of-CT-scan-and-MRI-scan-dye>. Acesso em: 02/12/2011.

CANDIDO, Luciano Braga. A matemática por trás da tomografia computadorizada:

Estudo e criação de exemplos e aplicações na reconstrução de imagens. Campinas:

Universidade Estadual de Campinas, 2009. Disponível em:

<

http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F530_F590_F690_F895/

F530_F590_F690_F895_sem1_2009/LucianoB-Carola_RF3_F590.pdf>. Acesso em:

02/12/2011.

CEZARO, Adriano de; CEZARO, Fabiana Travessini de. Problemas Inversos e a

Matemática da Tomografia Computadorizada. Universidade Federal da Paraíba: V Bienal

da Sociedade Brasileira da Matemática, [2010]. Disponível em:

<http://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/arquivos/Mini_Cursos_Completos/MC1Completo.pdf>.

Acesso em: 02/12/2011.