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  • 8/8/2019 Top Mat LCC 1011 Conjuntos(1)

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    Topicos de Matematica

    Lic. em Ciencias da Computacao

    Teoria elementar de conjuntos

    Carla Mendes

    Dep. Matematica e AplicacoesUniversidade do Minho

    2010/2011

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    Teoria elementar de conjuntos

    A nocao de conjuntos e o estudo de conjuntos (designada por Teoria deconjuntos), hoje essenciais em muitos campos da Matematica e das

    Ciencias da Computacao, foram introduzidos por Georg Cantor nos finaisdo seculo XIX. A teoria de Cantor, um tanto intuitiva, foi posteriormentetratada e organizada de forma axiomatica.Nesta unidade curricular vamos considerar a nocao de conjunto como um

    conceito primitivo, i.e. como uma nocao intuitiva, a partir da qual seraodefinidas outras nocoes.

    Intuitivamente, um conjunto e uma coleccao de objectos chamados oselementos ou membros do conjunto.

    Os conjuntos serao representados por letras maiusculas A, B, C, ..., X,Y, Z (possivelmente com ndices) e os elementos de um conjunto seraorepresentados por letras minusculas a, b, c, ..., x, y, z (tambempossivelmente com ndices).

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    Teoria elementar de conjuntos

    Dado um conjunto A e um objecto x, diz-se que: x pertence a A, eescrevemos x A, se x e um dos objectos de A; x nao pertence a A, eescreve-se x A, caso x nao seja um dos objectos de A.

    Exemplo 2.11 Sao exemplos de conjuntos as coleccoes:

    a) de disciplinas do 1oano do plano de estudos de LCC;b) de pessoas presentes numa festa;c) de meses com 30 dias;

    d) dos numeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos,representados, respectivamente, porN, Z, Q, R eC.

    2 Tem-se, por exemplo, 3 N, 0 N, 12 Q,

    2 Q.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Um conjunto pode ser descrito de varias formas.

    Uma delas consiste em enumerar explicitamente os seus elementos, osquais sao colocados entre chavetas e separados por vrgulas - neste casodiz-se que o conjunto e descrito por extensao.

    Quando numa descricao por extensao nao e possvel ou praticavel aenumeracao de todos os elementos do conjunto, utiliza-se uma notacaosugestiva e nao ambgua que permita intuir os elementos nao expressos.

    Um conjunto tambem pode ser descrito por compreensao, i.e., dado umpredicado p(x), com x a variar num conjunto X, {x X : p(x)}representa o conjunto de todos os elementos de X para os quais p(x) everdadeira.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Exemplo 2.2

    1 O conjunto dos numeros naturais menores do que 5 pode serdescrito, por extensao, do seguinte modo{1, 2, 3, 4}.

    2 O conjunto dos numeros naturais divisores de 4 pode ser descrito,por compreensao, da seguinte forma {n N : n | 4}.

    3 Os conjuntos dos numeros naturais e dos numeros inteiros saousualmente representados por extensao utilizando a seguintenotacao: N = {1, 2, 3, . . .}, Z = {. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .}.O conjunto cujos elementos sao o numero 0 e os numeros naturais erepresentado porN0 =

    {0, 1, 2, . . .

    }.

    Definicao 2.3

    Ao unico conjunto que nao tem qualquer elemento chamamos conjuntovazio e sera representado por ou por{}.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Um conjunto fica determinado quando sao conhecidos os seus elementos.

    Definicao 2.4

    Dois conjuntos A e B dizem-se iguais, e escreve-se A = B, se tem osmesmos elementos, i.e, A = B se

    x (x

    A

    x

    B).

    Consequentemente, A e B dizem-se diferentes, e escreve-se A = B, seexistir um elemento num conjunto que nao se encontra no outro.

    Exemplo 2.5

    1 O conjunto A = {1, 2, 4} e igual ao conjunto dos divisores naturais de 4, ee tambem igual ao conjunto B = {x R : x3 7x2 + 14x 8 = 0}.

    2 Os conjuntos A = {x N : x e m ultiplo de 3} e B = {6, 12, 18, 24...} saodiferentes, pois, 3 A e 3 B.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Definicao 2.6

    Sejam A e B conjuntos. Diz-se que A esta contido em B ou que A esubconjunto de B, e escreve-se A B, se todo o elemento de A etambem elemento de B, i.e., A B se

    x (x A x B).

    Caso exista um elemento de A que nao seja elemento de B diz-se que Anao esta contido em B ou que A nao e subconjunto de B, eescreve-se A B. Simbolicamente, A B se

    xA x B.

    Exemplo 2.7

    Sejam A e B conjuntos. Diz-se que A esta propriamente contido emB ou que A e subconjunto proprio de B , e escreve-se A B ouA

    B, se A

    B e A

    = B.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao: 1. No sentido de provar, por reducao ao absurdo, que

    A, admitamos que A. Daqui segue que existe um elemento de que nao pertence a A. Mas nao tem elementos. Temos, entao, umacontradicao que resultou de admitirmos que A. Logo A.2. Todo o elemento de A e elemento de A. Portanto, A A.3. Admitamos que A B e B C. Vamos mostrar que A C.Seja x um elemento de A. Entao, como A B, segue que x B. Agora,tendo em conta que x B e que B C, vem que x C. Assim, todo oelemento de A e elemento de C, ou seja, A C.

    4. Pretendemos mostrar que(A B e B A) se e so se A = B.

    () Comecemos por admitir que A B e B A e mostremos queA = B.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao (continuacao):Como A

    B, todo o elemento de A e elemento de B; por outro lado,

    como B A, todo o elemento de B e elemento de A. Logo A e B temos mesmos elementos, i.e., A = B.() Reciprocamente, admitamos que A = B e provemos que A B eB A. Como A = B, estes conjuntos tem os mesmos elementos.Portanto, para todo o objecto x,

    (x A x B) (x B x A),i.e., A B e B A.

    Definicao 2.10

    Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X (chamado o universo).

    Chama-se uniao ou reuniao de A com B, e representa-se por A B, oconjunto cujos elementos sao os elementos de A e os elementos de B, ouseja, A

    B =

    {x

    X : x

    A

    x

    B

    }.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Definicao 2.10 (continuacao)

    Chama-se interseccao de A com B, e representa-se por A B, oconjunto cujos elementos pertencem simultaneamente a A e a B, isto e,

    A B = {x X : x A x B}.

    Chama-se complementar de B em A, e representa-se por A \ B, oconjunto cujos elementos pertencem a A mas nao a B, ou seja,

    A \ B = {x X : x A x B}.

    Por vezes, o complementar de B em A e tambem designado pordiferenca de A com B e representado por A B.Quando A e o universo X, A \ B = X \ B diz-se ocomplementar de B erepresenta-se por B ou B.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Exemplo 2.11

    Dados os subconjuntos deR, A = {2, 0, 2, , 7} e B =] , 3], tem-se1 A B =] , 3] {, 7};2 A B = {2, 0, 2};3 A \ B = {, 7};4 A B = [3, [], 7[]7, +[.

    Apresentam-se de seguida algumas propriedades relativas as operacoes deconjuntos apresentadas anteriormente.

    Proposicao 2.12

    Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Entao,

    1 A A B e B A B.2 A

    = A.

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    Teoria elementar de conjuntos

    Proposicao 2.12 (continuacao)

    1

    A A = A.2 A X = X .3 A B = B A.4 (A B) C = A (B C).5 se A B, A B = B.

    Demonstracao: Demonstramos as propriedades 1., 2. e 7., ficando asrestantes como exerccio.

    1. Vamos mostrar que A A B.Seja x A. Entao, a proposicao x A x B e verdadeira. Logo,x A B. Assim, para todo o objecto x,

    x A x A B.Logo A

    A

    B. A prova de B

    A

    B e semelhante.

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    T i l d j

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao (continuacao): 2. Da propriedade 1. sabemos queA

    A

    . Para termos a prova de A

    = A, falta mostrar que

    A A. Consideremos x A . Entao, por definicao, temos quex A x . Dado que nao tem elementos, podemos concluir quex A. Logo, para todo o objecto x,

    x A x A

    e, portanto, A A. De A A e A A conclumos queA = A

    7. Admitamos que A B e mostremos que A B = B. Pela propriedade1., temos B A B. Logo, resta mostrar que A B B. Dado queA B, todo o elemento de A e tambem elemento de B, donde segueque, para todo o objecto x

    x A B x A x B x B x B x B.Portanto, A B B.De B

    A

    B e A

    B

    B tem-se A

    B = B.

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    T i l d j

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    Teoria elementar de conjuntos

    No seguinte resultado, descrevemos algumas propriedades da operacao de

    intersecao de conjuntos.

    Proposicao 2.13

    Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Entao,

    1 A B A e A B B.2 A = .3 A A = A.4 A X = A.5 A B = B A.6 (A B) C = A (B C).7 se A B, A B = A.

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    T i l t d j t

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao: Apresentamos a prova das propriedades 1., 2. e 6. Aprova das restantes propriedades fica como exerccio.

    1. Mostremos que A B A. Dado x A B, tem-se, por definicao,que x A x B. Entao x A e uma proposicao verdadeira. Logo,para todo o objecto x,

    x A B x A,e, portanto A B B. A prova de B A B e analoga.

    2. Pretendemos mostrar que o conjunto A nao tem elementos. Nosentido de fazer esta prova por reducao ao absurdo, admitamos queA = . Entao existe um objecto x tal que x A x ; emparticular, x . Mas nao tem elementos, logo temos uma contradicaoque resultou de admitirmos que A tinha elementos. Assim, A = .

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    T i l t d j t

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao (continuacao):

    6. A propriedade (A B) C = A (B C) e verdadeira se, para todo oobjecto x,

    x (A B) C x A (B C).

    Com efeito, atendendo a propriedade de associatividade da operacao ,tem-se, para todo o objecto x,x (A B) C x A x (B C)

    x A (x B x C)

    (x

    A

    x

    B)

    x

    C

    x (A B) x C x (A B) C.

    Logo (A B) C = A (B C).

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    Teo ia ele e ta de co j tos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Apresentam-se de seguida mais algumas propriedades, desta vezrelacionadas com a complementacao de conjuntos.

    Proposicao 2.14

    Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Entao sao validas aspropriedades seguintes:

    1 A A = e A A = X .2 A \ = A e A \ X = .3 se A B, entao A \ B = .4 A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).5 A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).6 A B = A B.7 A B = A B.8 (A) = A.

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    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao: Apresentamos a prova das propriedades 1., 2. e 5..

    1. Facilmente se prova que o conjunto A

    A nao tem elementos. Defacto, se admitirmos que este conjunto tem elementos, entao existe umobjecto x tal que x A x A e daqui segue quex A (x X x A). Desta forma, temos uma contradicao,x A x A, que resultou de admitirmos que A A tinha elementos.Logo A A = .Mostremos, agora, que A A = X. Uma vez que A e A sao subconjuntosde X e imediato que A A X. Logo, resta mostrar que X A A.Esta ultima inclusao e tambem simples de verificar, pois, dado x X, aproposicao x

    A

    x

    A e verdadeira. Por outro lado, se x

    X e

    x A, entao x A. Sendo assim, para todo o objecto x,x X x A x A x A x A x A A.

    Logo X A A. Da prova de A A X e de X A A segueA

    A = X.

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    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao (continuacao):

    2. Por definicao, A \ e o conjunto dos elementos que pertencem a Amas nao pertencem a . Mas nao tem elementos, pelo que nao seretira qualquer elemento a A e, portanto, A \ = A.No sentido de provar, por reducao ao absurdo, que A \ X = ,admitamos que o conjunto A

    \X tem elementos. Entao existe um

    objecto x tal que x A \ X, ou seja, existe x tal que x A x X.Mas A e um subconjunto de X, pelo que todo o elemento de A etambem elemento de X. Assim, temos uma contradicao: x X x X.Por conseguinte, a hipotese inicial, de que o conjunto A \ X tinhaelementos, esta errada e, portanto, A \ X = .4. Para provar que A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), temos de mostrarque para todo o objecto x,

    x A \ (B C) x (A \ B) (A \ C).

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    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao (continuacao):

    Com efeito, atendendo as leis de De Morgan e a propriedade distributivadas operacoes logicas e , tem-se, para todo o objecto x, o seguinte

    x A \ (B C) x A x (B C) x A (x B C) x A (x B x C) x A ((x B) (x C)) x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A \ B) (x A \ C) x (A \ B) (A \ C).

    Portanto, A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).

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    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Estudamos de seguida outros processos de construir conjuntos a partir deconjuntos dados.

    Definicao 2.15

    Dado um conjunto A chamamos conjunto das partes de A ouconjunto potencia de A, e representamos por P(A), ao conjunto detodos os subconjuntos de A, i.e.,

    P(A) = {X : X A}.

    Exemplo 2.16

    Sejam A = {a, b, c}, B = {1, {2}} e C = . Entao, tem-se1 P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.2 P(B) = {, {1}, {{2}}, {1, {2}}}.3 P(C) = {}.

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    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Proposicao 2.17

    Dados conjuntos A e B, tem-se:

    1 P(A) e A P(A) .2 Se A B, entao P(A) P(B).3 Se A tem n elementos, entao P(A) tem 2n elementos.

    Demonstracao: 1. Para qualquer conjunto A, tem-se A e A A.Logo e A sao elementos de P(A).2. Admitamos que A B. Vamos mostrar que P(A) P(B).Dado X

    P(A), tem-se X

    A. Logo, como A

    B, segue que X

    B,

    o que significa que X P(B). Provamos, desta forma, que todo oelemento de P(A) e tambem elemento de P(B) e, portanto,P(A) P(B).3. Consultar bibliografia adequada.

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    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Dados objectos a, b, os conjuntos

    {a, b

    }e

    {b, a

    }sao iguais, nao

    interessando a ordem pela qual os elementos ocorrem. No entanto, emcertas situacoes, interessa considerar os objectos por determinada ordem.Sendo assim, introduz-se a nocao de par ordenado.

    Dados objectos a, b define-se par ordenado de a e de b como sendo o

    objecto (a, b) tal que (a, b) = (c, d) se e so se a = c e b = d.

    Note-se que num par ordenado a ordem dos elementos e relevante: dadosdois objectos a, b, se a = b, tem-se (a, b) = (b, a).

    Num par ordenado (a, b) designa-se o objecto a como a primeiracomponente (ou coordenada) e o objecto b como a segundacomponente (ou coordenada).

    Top. de Matematica - LCC - 2010/2011 Dep. Matematica e Aplicacoes - Univ. do Minho 24 / 31

    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Os pares ordenados sao objectos com os quais se podem formar novosconjuntos.

    Definicao 2.18Sejam A, B conjuntos. O produto cartesiano de A por B, representadopor A B, e o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) emque a A e b B, i.e.,

    A B = {(a, b) : a A b B}.

    Exemplo 2.19

    1 Sejam A = {1, 2} e B = {a, b, c}. Entao

    A B = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b), (1, c), (2, c)};B A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}.2 Sejam A = B = R. Os elementos de A B = R R podem ser

    representados geometricamente como pontos dum plano munido deum eixo de coordenadas.

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    Teoria elementar de conjuntos

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    Teoria elementar de conjuntos

    Apresentam-se, agora, algumas propriedades relacionadas com o produtocartesiano, algumas delas envolvendo, tambem, as operacoes definidas

    anteriormente.

    Proposicao 2.20

    Para quaisquer conjuntos A, B, C e D, tem-se

    1 A = = A.2 A C e B D se e so se A B C D.3 C (A B) = (C A) (C B);

    (A B) C = (A C) (B C).4 C (A B) = (C A) (C B);(A B) C = (A C) (B C).5 C (A \ B) = (C A) \ (C B);

    (A \ B) C = (A C) \ (B C).

    Top. de Matematica - LCC - 2010/2011 Dep. Matematica e Aplicacoes - Univ. do Minho 26 / 31

    Teoria elementar de conjuntos

  • 8/8/2019 Top Mat LCC 1011 Conjuntos(1)

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    Teoria elementar de conjuntos

    Demonstracao: Mostremos que C

    (A

    B) = (C

    A)

    (C

    B).

    Seja (x, y) C (A B). Entao x C y (A B). Se y A, tem-se(x, y) C A; se y B, tem-se (x, y) C B. Em qualquer dos casos,vem (x, y) (C A) (C B). Logo C (A B) C A) (C B).Para a prova da inclusao contraria basta ter em conta a propriedade 2..De facto, como A A B e B A B, tem-se C A C (A B) eC B C (A B). Logo (C A) (C B) C (A B).Da prova das duas inclusoes resulta a igualdade que se pretendia mostrar.

    (A prova das restantes propriedades fica ao cuidado do aluno).

    Observacao: Se A e B sao dois conjuntos com p e q elementos(p, q N0), respectivamente, entao A B tem p q elementos.

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    As nocoes de uniao, interseccao e produto cartesiano de conjuntospodem ser generalizadas a coleccoes de conjuntos. A uma coleccao deconjuntos da-se a designacao de famlia de conjuntos e, no caso dos seuselementos serem indexados, falamos em famlia de conjuntos indexada.

    Definicao 2.21

    Seja I um conjunto nao vazio e, para cada i I, seja Ai um conjunto. Acoleccao dos conjuntos Ai da-se a designacao de famlia de conjuntosindexada por I, e representamo-la por (Ai)iI, i.e.,

    (Ai)iI =

    {Ai : i

    I

    }.

    Ao conjunto I referido na definicao anterior da-se o nome de conjuntode ndices. Este conjunto pode ser finito ou infinito. No caso em que Item n elementos e usual escrever I = {1, 2, . . . , n}.

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    Exemplo 2.22

    Para cada n

    N0, seja An =

    {x

    N0 : x

    n

    }. Assim, (Ai)iN0 e uma

    famlia de conjuntos indexada porN0.

    Vejamos, entao, de que forma se generalizam as nocoes das operacoes deuniao, interseccao e produto cartesiano.

    Definicao 2.23

    Seja I um conjunto nao vazio eF= (Ai)iI uma famlia de conjuntosindexada por I.

    1 Chama-se uniao da famlia

    Fe representa-se por

    iI

    Ai o conjunto

    {x : iI x Ai}.2 Chama-se interseccao da famlia Fe representa-se por

    iI

    Ai o

    conjunto

    {x :

    iI x

    Ai

    }.

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    Definicao 2.23 (continuacao)

    3 Se I =

    {1, 2, . . . , n

    }, o produto cartesiano de A1, A2, ... An,

    representado por A1 A2 . . . An ou poriI

    Ai, e o conjunto

    formado pelos n-uplos ordenados (a1, a2, . . . , an) em que a1 A1,a2 A2, . . . , an An, i.e.,A1

    A2

    . . .

    An =

    {(a1, a2, . . . , an) : a1

    A1, a2

    A2, . . . , an

    An

    }.

    No caso em que A1 = A2 = . . . = An escrevemos An em alternativa a

    A1 A2 . . . An.Exemplo 2.24

    Para cada n N0, seja An = {x N0 : x n}. Tem-seiI

    Ai = N0;

    iI

    Ai = {0};

    i{0,1,2}

    Ai = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}.

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    Generalizando a nocao de igualdade de pares ordenados, diz-se que doisn-uplos ordenados (a1, a2, . . . , an) e (b1, b2, . . . , bn) de um produtocartesiano A1

    A2

    . . .

    An sao iguais se e so se a1 = b1, a2 = b2, ...

    an = bn.

    A generalidade das propriedades da uniao, da interseccao e do produtocartesiano tambem sao extensveis a famlias de conjuntos. Sendo (Ai)iIuma famlia de conjuntos, tem-se, por exemplo:

    Ai iI

    Ai, para todo i I. iI

    Ai Ai, para todo i I.B

    iI

    Ai =

    iI

    (B Ai). B

    iI

    Ai =

    iI

    (B Ai).

    B\

    i

    I

    Ai =

    i

    I

    (B\ Ai). B\

    i

    I

    Ai =

    i

    I

    (B\ Ai).

    B

    iI

    Ai =

    iI

    (B Ai). B

    iI

    Ai =

    iI

    (B Ai).

    Se I = {1, 2, . . . , n} e se cada conjunto Ai tem pi elementos, entaoiI

    Ai tem p1 p2 . . . pn elementos.

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