Tópicos de cálculo Vol. II H - By Priale

MAXIMO MITACC LUIS TORC

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TERCERA EDICION www.FreeLibros.com

TOPICOS DE CALCULO VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA

- INTEGRAL DEFINIDA

• INTEGRALES IMPROPIAS

- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

- COORDENADAS POLARES

- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

- SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

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TOPICOS DE CALCULO VOL. II

TERCERA EDICION

MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA

IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU

Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios gráficos, sin permiso de los autores.

Número de Inscripción en le Registro Nacional de Derechos de Autor N° 160

Impreso en los Talleres Gráficos de: Editorial THALES S.R.L.

TERCERA EDICION Mayo del 2009

PRÓLOGO

En esta segunda edición de Tópicos de Cálculo Vol. II, nos hemos esforzado por

presentar el cálculo integral para funciones reales de una variable real y la

geometría analítica en el espacio, en forma tal que resulte de máximo provecho a

los estudiantes cuyo campo de especialización no sea estrictamente las

matemáticas. La orientación principal del libro es hacia aplicaciones en diversas

áreas de la ciencia, lo cual amplía la utilidad del texto.

Aunque en esta edición la estructura básica general no se ha cambiado, se ha

realizado una gran cantidad de revisiones. Hemos reestructurado casi la totalidad

del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho una gran cantidad de modificaciones a

lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales

desarrollados y redacción de procedimientos. El conjunto de ejercicios propuestos

se ha modificado, con la adición de nuevos ejercicios.

El Libro se divide en siete capítulos. En los primeros cuatro capítulos se hace una

presentación de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus

aplicaciones. Hemos visto por conveniencia desarrollar primero la integral

indefinida con la finalidad de familiarizar al estudiante con las técnicas y/o

artificios de integración que luego se usan en los capítulos siguientes. El capítulo

cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los capítulos

siguientes (del sexto al séptimo), se inicia con una introducción breve de vectores

en el espacio tridimensional y se continua con recta, plano, superficies y se

concluye con las coordenadas cilindricas y esféricas.

Nuestro propósito es que esta edición no lenga errores, pero es casi un axioma que

todo libro de Matemática los presente; por tal motivo consideramos que este texto

no sea la excepción, a pesar del esmero y la dedicación puesta para detectarlos y

corregirlos antes de su impresión. En tal sentido, los autores compartimos la

responsabilidad de los mismos, aclarando que dichos errores han sido cometidos

solamente por uno de los autores.

Queremos expresar nuestro agradecimiento a los profesores y alumnos de todo el

país por la acogida brindada a la edición anterior y esperamos que esta nueva

edición tenga la misma preferencia.

Los Autores

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INDICE

CAPITULO 1: INTEGRAL INDEFINIDA

Antiderivada e integración indefinida................................................ 1

Propiedades de la integral indefinida.......................................... 4

Integrales inmediatas.................................................................. 5

Métodos de integración.............................................................. 10

Integración por sustitución o cambio de variable............... 11

Integración por partes......................................... 20

Técnicas de integración.............................................................. 29

Integrales de algunas funciones trigonométricas e hiperbólicas 32

integrales de la forma / sen™* cos-x dx y f s 'n k "* cosk'z «fa 32

Integración por sustitución trigonométrica.................................... 45

Método de integración por descomposición en fracciones parciales 56

Integración de algunas funciones irracionales............ ................ 68

CAPITULO 2: INTEGRAL DEFINIDA

Sumatorias..... ................................................................................ 95

Cálculo del área de una región plana por sumatorias................ 104

Suma superior y suma inferior.................................................. 112

Integrales inferiores y superiores................................................ 115

Integral de Riemann ...................................................................... 116

Propiedades de la integral definida ............................................ 120

Teoremas fundamentales del cálculo integral........................... 121

Cambia de variable en una integral definida........................... 130

Integración por partes en una integral definida........................ 134

Cálculo aproximado de las integrales definidas..................... 144

CAPITULO 3: INTEGRALES IMPROPIAS

Integrales impropias con límites infinitos................................. 149

Integrales impropias con límites finitos............ ...................... 152

Integrales impropias con integrando no negativo............... . 161

CAPITULO 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Área de regiones planas.......................... ...................................... 167

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Volumen de un sólido en función de las áreas de las secciones planas....... 181

Volumen de un sólido de revolución......................................... 185

Método del disco circular y del anillo circular......................... 185

Método de la corteza cilindrica ................................................... 191

Longitud de arco.......................................................................... 201

Área de una superficie de revolución....................................... 208

Momentos y centros de masa (ó centros de gravedad)............. 214

Aplicaciones de la integral en los negocios................................ 229

CAPITULO 5: COORDENADAS POLARES

Sistema de coordenadas polares................................................... 237

Relación entre las coordenadas polares y las rectangulares........ 239

Distancia entre dos puntos en coordenadas polares..................... 240

Ecuación polar de una recta......................................................... 241

Ecuación polar de una circunferencia........................................... 243

Discusión y gráfica de una ecuación polar..................................... 244

Intersección de curvas en coordenadas polares............................... 248

Derivadas y rectas tangentes en coordenadas polares................ 251

Ángulo entre dos curvas en coordenadas polares........................ 254

Área de regiones en coordenadas polares........................... ....... 262

Longitud de arco en coordenadas polares..................................... 266

Volumen de un sólido de revolución en coordenadas polares.... 268

CAPITULO 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TRIDIM ENSIONAL

Vectores en el espacio tridimensional............................................. 273

Representación geométrica de un vector en i 3 ........ .................... 274

Vectores paralelos en E 3 ................................................................. 276

Módulo y longitud de un vector en K3 ........................................... 277

Ángulo entre dos vectores................................................................ 278

Vectores ortogonales o perpendiculares......................................... 279 •

Producto vectorial............... .............................................................. 283

Aplicaciones del producto vectorial................................................. 285

Aplicación del triple producto escalar............................................. 287

Recta en el espacio.................................. .......................................... 295

Relación entre los cosenos directores de una recta.......................... 296

Ecuaciones de un plano en el espacio.............................................. 306

Ángulo entre dos planos.................................................................... 319

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano........................ 320

CAPITULO 7: SUPERFICIES

Esfera.............................................................................................. 342

Discusión y gráfica de la ecuación de una superficie................... 347

Cilindros........................................................................................... 352

Superficie de revolución................................................................ 356

Superficies cuadráticas.................................................................... 361

Coordenadas cilindricas y coordenadas esféricas........................... 369

Coordenadas esféricas....................................................................... 371

Aplicaciones....................................................................................... 373

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( r ' ........... .....1..... .............................. ^

INTEGRAL INDEFINIDA

^ ........ .......— ^

1.1 ANT1DERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA

En el libro de Tópicos de Cálculo Volumen 1, se trató principalmente el problema

básico siguiente: “Dada una función encontrar su derivada”. Sin embargo, existen

muchas aplicaciones del cálculo que están relacionadas con el problema inverso,

el cual es: “Dada una función / , definida en un intervalo /, encontrar una función

F cuya derivada sea la función f , es decir,

F '(x) = / (* ) , V x G /.

Definición 1. Sea / un intervalo y / : / -> M una función. Una función F: / —» M

tal que F'(x ) = /(x ), V x 6 /, se denomina primitiva o antiderivada de / en / y

se escribe

F(x) = Ant ( / (* )) , V x 6 /

Ejemplo 1. Sea / (x ) = 4x3 , x G R y g(x ) = ex , í E B .

Las funciones F(x) — x4 y G(x) = ex, x £ K, son respectivamente antiderivadas

de / y g en E, es decir,

F'(x ) = (x4)' = 4x3 , V x € R

G’(x) = (ex)' = ex , V x e R

También son antiderivadas de f (x ) = 4x3 las funciones

1007TF1(x) = x4 + 2, F2{x ) = x4 + ln 7i y F3(x) = x4 + ■

pues sus derivadas son iguales a f(x ) = 4x3

Análogamente, otras antiderivadas de g(x) = ex son, por ejemplo,

V3GiCx) = ex - 1, G2(x ) = ex - ee, G3(x) = ex + — y C4(x) = ex + k

donde k es cualquier constante real.

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Observación i. Si F{x) = A nt(f(x )) en 1, entonces F(x) + C, donde C es una

constante real, es también antiderivada de f en l.

lista propiedad es evidente, pues si F(x) = Ant(J{x)) en /, entonces

F '(x )= f (x ) , V x e l

También (F(x) + C)' = F'{x) = f(x ), Vx 6 /. Entonces

F(x) + C - Ant{f{x)) en /

Una pregunta natural es: “Si F{x) = A nt(f(x )) en el intervalo /, ¿cualquier otra

antiderivada de / en / difiere de F a lo más en una constante?”. Dicho de otro

modo, si F^x) = A n t(f(x )) en /, ¿necesariamente F^x) = F(x) + C, V x e l ?

La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente proposición.

Proposición 1. Sea / : / -» E una función definida en el intervalo abierto / y

F :I -> E una antiderivada o primitiva de / . Si E es también unaantiderivada de / , entonces

F1(x) = F(x ) + C

para alguna constante C.

Demostración

Definimos la función H por H(x) = F^x ) - F(x). Entonces

H'(x) = F/OO - F'{x) = f (x ) - / ( * ) - 0, Vx 6 /

Luego, H'(x) = 0 , V x e l .

De aquí se deduce que //(x) = C, V x E / , donde C es una constante (ver

Corolario 1 del T.V.M. Tópicos de Cálculo Vol. 1). Luego, se tiene

H(x) = F-tix) - F{x) = C <=> F^x) = F(x) + C , V x e l

Geométricamente, significa que si F(x) = A nt(f(x )) en el intervalo I, cualquier

otra antiderivada de / en / es una curva paralela al gráfico de y = F(x) (Fig. 1.1).

TOI%()S DE CÁLCULO- VOLUMEN II

2

INTEGRAL INDEFINIDA

Definición 2. Sea F(x) una antiderivada de f{x ) definida en el intervalo I. La

integral indefinida'de f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f (x )

definidas en dicho intervalo y se representa mediante el símbolo

J f(x )dx = F CO -+ C

donde C es una constante real que se denomina constante de integración.

La función f(x ) se llama integrando, f{x)dx es el elemento de integración, x

variable de la integral- y el símbolo j se denomina símbolo de la integral. La

expresión / f(x )dx se lee “integral de f ( x ) con respecto a x" o “integral

indefinida de f (x ) diferencial x”.

Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:

i) ^ ( J 7 (x )< te ) — (S f (x )d x ) = (F(x) + cy = / (* ) , es decir-.

"la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "

ti) d |J / (x)dxj = /(x )dx j dx = f{x)dx

iii) Si f es una función derivable en /, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J f'{x )dx = f (x ) + C

iv) Como d{f{x)) = f ' ( x )d x , de (iii) se deduce:

J d ( f (x )) = f (x ) + C

De las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede

interpretarse como una operación inversa de la diferenciación, pues al aplicar la

integral indefinida a la diferencial de la función f{x), ésta reproduce la función

f (x ) más la constante de integración.

Ejemplo 2. Del ejemplo 1 se deduce:

i) J exdx = ex + C

ii) J 4x3dx = x4 + C

En la figura 1.2 se muestra la gráfica de las antiderivadas de f(x ) = ex, es decir,

de F(x) = e* + C , donde C es una constante real. Si C > 0, la gráfica de y = ex

se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza

paralelamente C unidades hacia abajo.

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 3. Como d(x \nx - x) = lnx dx, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d(xlnx — x) = J Inx dx = xlnx - x + C

, , í ¿x 1 x Ejemplo 4. J - ^ — j = - arctan-+C, pues

n x \' 1(-arctan- + C) = -

1__ 2__

X 1 + =r

4

1

4 + x2

1.2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Proposición 2. Si / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo /

y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / ± g y kf admiten

antiderivadas en / y se tiene:

a) [ íf(x) ±g(x)]dx = J f(x)dx ± J g(x)dx

b) I [kf(x)]dx = k j f{x)dx

Demostración

a) Como {jlf(x)±g(x)]dx] = f(x) ± g(x) = [J f{x)dx] ± J g{x)dx ,

entonces J [f(x) ±g(x)]dx y J f(x )dx± J g(x)dx son las antiderivadas

de f (x ) ± g(x ) . Por tanto,

j l f ( x ) ± g(x)]dx = J f(x)dx ± j g(x)dx

b) La demostración queda como ejercicio para el lector.

De la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una suma algebraica de

varias funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales.

Ejemplo 5. Calcule j (ex - 4x3 + ln x)dx.

Solución. En virtud de la proposición 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:

J (ex - 4x3 + ln x)dx = J exdx - J 4x3dx + J ln xdx

= (ex + Ct) - (x4 + C2) + (xlnx - x + C3)

= ex - x4 + x ln x - x + C, donde C - Cx + C2 + C3

En lo que sigue solamente usaremos una constante única de integración para la

suma de 2 o más funciones.

4

Si conocemos f '(x ) , por la observación 2-iii se deduce que

j f '(x )d x = f (x ) + C ó J d (f(x )) = f{x ) + C

Esta integral se denomina integral inmediata. Por ejemplo, una integral inmediata

es / dx = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas,

que contiene, además de las integrales de funciones elementales, otras que serán

de mucha utilidad. Por comodidad, en lugar de la variable x usaremos la letra u.

Más adelante, veremos que u puede ser una función, es decir, u = u(%).

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 INTEGRALES INMEDIATAS

FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION

du+ C1. J du — u + C 2. J — -lnlu¡

í un+1 f3. undu —-------- + C ,n =£ — 1 4. eudu = e + C

J n + 1 J

f ciu f5. \audu = -----H C 6. I sen u du = - cosu + C

J In a J

7. J eos udu = sen u + C 8. j tan u d u = ln|sec u| + C

9. J cot u du = ¡njsen u¡ + C 10. J secu du — lnlsecu + tan u| + C

ese u du = ln|csci¿ — coti¿| + C 12. J sec2u du = tan u + C

13. J csc2u du = — cot u + C 14. J secu tan u du = secu + C

15. J csc u cot udu — — cscu + C 16. J senh u du - cosh u + C

17. J cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = tanh u + C 20. J cschJu du = -coth u + C

21. J sechu tpnh u du = —sechu + C

22. j cschu coth u du = — cosh u + C


■ h

■ h

du

+ u- a

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

1 Uarctan — + C , (a > 0)

1 u — a= — ln

2a u + a

1 u 4 a= — ln

2a u - a

+ C , (a > 0)

4 C , (a > 0)

26f du u

—= = = arcsen - + C , (a > 0)

-arcsec---1- C , (a > 0)a

29

30

arcsen- + C , (a > 0) a j

f du i 1----- 127. I - p = = ln u + -y/u2 ± a2 4 C

•> v u2 ± a2

r du 128. — ;..= -

J uvu1 — a2 a

. J yja2 — u2du = - JuVa2 - u2 + a

j yj'u2 + a2du = - |u%/u2 + a2 + a2 ln (u + J u 2 + a2)j + C

31. J yju2 - a2du = - [uvu2 - a2 - a2 ln |u + -Ju2 - a2|| + C

Cada una de éstas fórmulas se pueden verificar mediante la derivación (respecto a

la variable u).

Por ejemplo, en el caso de la fórmula 24 se tiene:

dd / 1 iu — ai\ 1

du \2a n lu + a l/ 2a(ln|u - a\- ln|u + a|)

i IUU

1 1 1 1

2a u - a u + a

Por tantof du 1 iu - ai

■ I —-t = t¡—ln ------- + CJ u'- — a2 2a lu + al

En el caso de la fórmula 18, se tiene:

d senhu— (In cosh u|) = — r— ?= tanh u du cosh u

De lo anterior se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.

6

Ejemplo 6. Calcule J (6x4 - x2 + 3)du.

Solución

Usando las fórmulas de integración, tenemos

J (6x4 - x2 + 3)du = J 6x4dx - J x2dx + j 3dx

= 6 J x4dx - j x2dx 4-3 j dx

6 x3= - x 5 - — + 3x + C

Ejemplo 7. Calcule J (v2 — \[x)2dx.

Solución

Como (V2 — V* )2 = (2 — 2V2Vx + x), entonces se obtiene

j (V2 - Vx)2dx = 2 J dx - 2V2 j x l /2dx + J xdx

r 3/2 y 2= 2 1 - 2 ^ + y + C

= 2x - ^ V T x 3/2 4-^x2 4- C

f 3x5 — 6x2 4- Vx Ejemplo 8. Halle I ------ ----dx.

J x^Solución

Dividiendo término a término el integrando y aplicando las propiedades de la

integral, se tiene

f 3x5 — 6x2 4- Vx f f dx fI ----- ------- dx — 3 I x dx - 6 I --- 1- I x 5/2c¡x

2- x3 - 6 ln|x| - - x 3/2 4 C

En los ejemplos anteriores, el método para hallar las integrales consistió en tratar

de descomponer el integrando como la suma algebraica de varias funciones y

luego aplicar las propiedades enunciadas en la proposición 2. Este método es

llamado "método de integración por descomposición”. En ciertas funciones,

descomponer la función en sumas parciales no es tarea fácil, pues depende de la

experiencia, habilidad y práctica del que calcula.

INTEGRAL INDEFINIDA


/


dxEjemplo 9. Calcule ,

J senh2x cosh-x Solución

1 cosh2x - senh2xLomo -- —--—— = ----- —---- —— = csch^x - sech2x, entonces

senrrx cosh-x senh2x cosh^x

/ senh2x cosh2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~COth X “ tanh x + C

r x2 + 2Ejemplo 10. Encuentre ■ ----dx.

J x2(x2 + 4)Solución

Expresando el numerador del integrando en términos de los factores del

denominador, resulta

2 1 + 2 = xz + - (xz + 4 - x2) ~ - [(x2 + 4) + x2]

Ahora, escribimos la integral como la suma de dos integrales (haciendo las

simplificaciones en cada integrando) y obtenemos

í * ¿ +2 l f i ! + ( i 2 + 4) i r dx 1 r dx

J x2(x2 + 4) X ~ 2 j x2(x2 + 4) 2 j ^ T 4 + 2 j ^

1 rl xi 1

~ 2 l2 í

i ri x : arctan -

+ 2

1 X 1-arctan - - — + C 4 2 2x

í x2 — 5Ejemplo 11. Halle / = — —— — dx

J x2(x2 - 9)Solución

Procediendo del mismo modo que en el ejemplo anterior, resulta

x2 - 5 = x2 + | (x2 - 9 - x2) = | (x2 - 9) i- ~x2 9 9 9

_ f í * 2 + | ( * 2 - 9) 4 r dx 5 r dx

J x2(x2 - 9) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2

4 1

= 9 ' ¿ ln

x + 3

x — 3

5 2 ix + 3| 5

~9x + ° ~ 27 ln lx-31 ~9x + C

8

INTEGRAL INDEFINIDA

3 dxEjemplo 12. Halle

J x (x + 5)

Solución

Usando el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores, se obtiene

3 3 33 = - (x2 + 5 — x2) = — (x2 + 5) - -x2 . Luego,

3 , - , . , . 3 2 j_ T 5 O 2 + 5) - 5 X2 dx ^ 3 rdx 3 f

J x2(x2 + 5) 5 J x2 5 J x2 + 5

3 x: arctan — + C

5x 5V5 V5

Ejemplo 13. Sea / : R -> R una función continua en R tal que

m = 2 y = * e

\ex, x > 1Determine f(x ).

Solución

(- 1, 00 < x < 0 f-x + Cu x < 0

/ '(x ) = |1. 0 < x < l => f(x ) = I x + C2 , 0 < x < 1

le * , x > l le * + C3 , x > l

De la continuidad de / en E, se tiene

0 /(O) - l*m f(x ) = l'm f(x ) *=* 2 = C, = C2 ( 1)x-»0_ x >0*

ii) / (1 ) = lim_/(x) = lim+/(x ) «=> 1 + C2 — e + C3 (2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: Cx - 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.

í —x + 2 , x < 0

Por tanto, / (x ) = | x + 2, 0 < x < 1

[ex + e - 3 , x > 1

Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es

1 1

a2 - u 2 2a a — u a-ru



f dxEjemplo 14. Calcule I —— -.

Solución

Usando la identidad de la observación 3, se tiene

C dx _ 1 f r 1 1

J x4 — 9 ~ ~ 6 J lx2 + 3 + 3~—~}111 x 1- — arctan— + — — ln 6 LV3 V3 2V3

x2 + 13

dx

+ V3

-V3+ C

r x¿ + 13Ejemplo 15. Encuentre --- dx.

J V F T 9Solución

Trabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene

f i z + 13 , f (x2 + 9) + 4 f r—--- f dx. dx = — — dx = I 4 X + 9 dx + 4 I

J Vx2 + 9 J Vx2 + 9 J J Vx2 + 9

= - j*V * 2 + 9 + 9 ln(x + V* 2 + 9)] + 4 ln(x + j x 2 + 9) + C

= 2 [W * 2 + 9 + 17 ln(x + V x ^T i)] + C

1.4 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Antes de presentar los métodos de integración “por sustitución o cambio de

variable” y “por partes”, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las

operaciones de derivación y de integración. Dada una función elemental (función

que se obtiene mediante un número finito de operaciones de suma, resta,

multiplicación, división y composición de funciones de las funciones: constante,

potencia (y - xa), exponencial (y = ax), logarítmica (y = loga x),

trigonométricas y trigonométricas inversas), su derivada mantiene la misma

estructura, es decir, también se expresa como una función elemental, mientras que

en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones muy especiales.

Por ejemplo, las integrales simples como

l ^ i x . ¡ e ‘ -dx,

J Vi + x3 dx , J ser¡(x2)dx , j cos(x2) dx

no pueden ser expresadas en términos de “combinaciones finitas” de funciones

elementales.

10

INTEGRAL INDEFINIDA

Del punto de vista práctico, la integración se presenta como una operación más

complicada que la derivación, pues ésta tiene reglas generales de derivación;

mientras que para la integración es posible hacer artificios que son válidos para

clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una

tentativa, por lo que se recomienda práctica, más práctica y más práctica.

1.4.1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAM BIO DE VARIABLE

Para hallar la integral indefinida por este método, dividimos nuestro análisis en

dos partes: reconocimiento del modelo y cambio de variable.

En el reconocimiento del modelo realizamos la sustitución mentalmente, mientras

que en cambio de variable escribimos los pasos de la sustitución.

El procedimiento de sustitución en la integración es comparable con la regla de la

cadena en la derivación. Recuerde que para funciones derivables y = f{u ) y

u = g(x), la regla de la cadena establece

■ÎfCffCx))] = f '(g (x )) .g '(x )

Si hacemos la sustitución u = g(x), entonces a partir de la definición de la

integral definida tenemos

J f(g (x ))g\ x)dx = f (g (x )) + C = f (u ) + C

Así, hemos probado la siguiente proposición:

]Proposición 3. Si y = f ( u ) es una función derivable de u, u = g(x) es una i

función derivable de x y F es una antiderivada de / , entonces |!

[ f ( g (x))g '(x)dx - F(g(x)) + C (Reconocimiento del modelo) \

íSi hacemos el cambio de variable u = g(x), entonces du = g'{x)dx . Luego,

| f (g ( .x ))g 'to d x = J f(u )d u = F(u) + C

Ejemplo 16. Calcule J (x3 + l )4 3x2 dx.

Solución

Sea t - x :) + 1 . entonces dt — 3x2 dx . Luego,

J ( x 3 + l ) 43x2dx = J t 4dt = + C - ..^ + C

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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

í X4Ejemplo 17. Halle la integral I - dx.

J Vx5 + 1Solución

Si t = x5 + 1 , se tiene dt — 5x4dx . Entonces

f x4 , l f 5x4dx i r 1 7 £í„T'f •- dx = r Tr , = c f “ dt = - - - t6/7 + C

J Vx5 +1 5J Vx5 +1 5 J 5 6

= ¿ V ( * s + i ) 6 + c

r SexdxEjemplo 18. Calcule la integral J - ^ = = = .

Solución

Si u = ex , se tiene du — exdx . Luego, se obtiene

r Sexdx f du...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C

J V i - e2* J V l ^ ü 2

f senhxcoshxEjemplo 19. Calcule / = —---- — -— dx.

J (1 + senh2x)5Solución

Si consideramos u = 1 + senh2x , se tiene du - 2 senh x cosh x dx . Luego,

f ? du 1 í 1 u “4 1

/ - J - ¡ ^ - 2 j U dU - 2 ( ^ ) + C - ~ 8(1 + senh2x)4 + C

f arcsenVx dx Ejemplo 20. Halle I — ■ = = — .

■/ V x—x2Solución

r- . ' 1 dx dxSi se hace u = arcsenVx, se tiene du = --— = = — ■— .. Por tanto,

V T ^x 2Vx 2Vx - x2

r arcsenVx dx r J „ r ^ i 2J — — = J 2u d u = u + C - [arcsenVx] + C

= arcsen2 Vx + C

Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el

integrando para que el cambio de variable sea más fácil de realizar.

12

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 21. Calcule I I 2+ J2 + J2 + 2cos (5\/x + 4) • x 1/2dx.

Solución

En el integrando, aplicamos la identidad trigonométrica

9 1 + eos 6eos — = -- —

2 2

Q

ó 1 + eos 6 — 2 eos2 —

- I1 = 2 + 2+ |2[l + eos (5Vx + 4)] • x 1/2dx

- s! 2 + 12 + 2cos 5- +4 • x~1/2dx = J 2 + 2 eos

5Vx 4- 4t/2dx

5Vx + 4 5 _ . 16Si u = -- ----, entonces du = —~x ,¿dx <=> —-du = x ' ‘ dx . Luego,

8 16 5

32 r 32 32 /5Vx + 4\/ = — I eos u d u = — sen u + C = — sen I -- g— | + C

Ejemplo 22. Halle / = Jx dx

e3* ( l - x)4

Solución

Luego de expresar el denominador en una sola potencia, tenemos

xex dx r xex dxr xe dx r xe

= J e4x(l — x)4 = J (e *- .e4x(l — x)4 J (e*-xe*)4

hacemos u = ex — xex. Entonces du = —xexdx ■*=> —du = xexdx

l)c esiii manera, se obtiene:

/f du _ 1

J u4 3u 3+ C =

3e3* ( l — x)3+ C



Ejemplo 23. Calcule / = J(x2 - 1)dx

(x2 + l)Vx4 + 1

Solución

Dividiendo el numerador y el denominador entre x2 , se tiene

, = f f t 1 ~ x 1) dx

V i

Si u = x + -, entonces du - ( 1 -- r) dxx V x2/

V u2 = x2 + — + 2 ^ u2 — 2 = x2 + — . Por tanto, se obtieneX X ‘

C du 1 |u| 1 /x 2 + 1/ = — .......= — aresee — + C = — aresee ■

J xWu2 — 2 V2 V2 V2 \V2|x|

f x + 2Ejemplo 24. Calcule / = I ----— dx.

J (X — i-)

Solución

Si hacemos u = x — 2 , se tiene du = dx . Luego,

/ = J (u +J )du = | ( i r3 + 4u-4)du

u “2 4 , 3x + 2

= - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C

r x íixEjemplo 25. Calcule / = | f = .

I i + x2 + 7 ( i + x2)3

Solución

La integral puede escribirse como

x dx f x dx/

1 + X 2 + V ( l+ x 2)3 V i + x2V l + V i + x2

,----- x dxSi consideramos i¿ = 1 + Vx2 + 1< entonces du = . Luego,

Vx2 + 1

/ = J — — J u í/2du = 2Vt¿ + C = 2J 1 + V 1 + x2 + C

14

Ejemplo 26. Calcule I = J xVx + 4 dx.

Solución

Si se hace u = Vx + 4 , entonces u2 = x + 4 y dx

I = J (u2 - 4)u. 2u du — j (2u4 - 8u2)du

(x + 4)3/2

INTEGRAL INDEFINIDA

15- (6x - 16) + C

2u du . Por consiguiente,

n uS 8 *

= 2 T - 3 “ +C

EJERCICIOS

J (Vx + 3)dx

J Vx(x + l)dx

4 dx

V6 — x2

dx

x(x2 — 8)

7x2 + 16

x4 + 4x2

18 dx

9xz - x4

3 dx

x2 + 4x - 5

4 dx

V—4x2 — 20x — 9

/?. - x3,/2 + 3x + C

/?. ^ * 5/2 + 3 x3/2 + C

R. 4 aresen — + CV6

K.x2 - 8

+ C

3 x 4R. -arctan----- 1- C

2 2 x

2 1_ _ lnx 3

x — 3

A. ¿ lnx — 1

x + 5

x + 3

+ C

+ C

2x + 5 R. 2 aresen------ i- C

V -4x2 - 12x - 5 dx

1R. (2.x + 3)V~4x2 - 12x - 5 + 4 aresen

2x + 3

1 0 .

11.

xox+12X3-dx

( D ' t ó *

3 /ó '*

25

senh x dx

i.:. í — J COÍ

(1 + cosh x) 3

dx

R. -■2(1 + coshx):

4- C

C

+ C

os2( l - 4x)R. - - tan (l - 4x) + C

4


TOPICOS Di; CÁLCULO - VOLUMLN II

13. J cos(7x + 4)dx

14. J cí'2x~r,) dx

15. J (lnx + l )e xlnxdx

16.dx

x ln2x

f dx17. ----

J x lnx

18. J 4xex dx

dx19.

20./sen2x Vcotx - 1

tan2*sen x e

cosJx

ev*3e2 '. I

‘ Idx

23.

(1 + x2) ln(x 4- V i + x2)

arctan* + x ln (x2 + l) + l

1 + x2

1R. -scn(7x + 4) + C

R. - e ^ - ^ + C

R. xx + C

R. — ---- h Cln x

R. ln|ln x| + C

(4e)xR. --- ~ + C

1 + ln4

3R. - -(cotx - 1)2/3 + C

r _ etarv2r j . c

2(3e^ )R■ — + C

ln 3

R■ 2 J ln (x + ij 1 + x2) -i- C

dx

R■ earctanx + - ln (x2 + 1) + arctan x + C 4

24,

25

26

■ J i

I■ /

sen x

dx

■dx R. sen x + ■ • *+■ c

1 + eoslOx

dx

R. — tan 5x + C

V2x + 1 - vx

R. 2(V2x + 1 + Vx) — 2[arctanV2x + 1 + arctanVx] + C

^ f (x2 -2x + l ) 1/5 j27. ---- --------- dx

J 1 - xR. — - (x — l ) 2/s + C

16

28. J x2x(\nx + 1 )dx

í

x2xR .- y + C

INTEGRAL INDEFINIDA

29V2 + x 2 — V2 — x2

V4 — x4

dx

-dx

31.

32.

33.

34.

35

Vx - 1 + V xT T

dx

1 + sen x

x - arctan 2x

/

f 1 + 4x2

J ln ( ln x )

/

■/vi

-dx

x lnx

dx

2X 4- 3

dx

X _ !

sen xcosx

37

38.

39

40

41.

V2 - sen4x

dx

dx

4 + 5 cos2x

dx

4 + 5 sen2x

dx

ex + 4

ln 3x

x ln 5x

ln(x + Vx2 + 1)

'■ /

•J /

42. J V i + sen x dx

43. J V i + cosx dx

4 4 / ;

1 + x 2dx

*. a r c s e „ (- | )- s e „ h - (- Í ) + C

/?. - [(x + I )3/2 — (x - I ) 3/2] + C

R. tan x - secx + C

1 1R. - ln ( l + 4x2) - -arctan2(2x) + C

O ¿

1R. - ln 2(lnx) + C

1

* 3x - — ln(2* + 3) + C

R. 2 a retan Ve* - 1 + C

R. -aresen, _ 2 V V2

+ C

1 (2 tan x\«. _ arctan( _ _ j + c

1 ¡2 cot x\R. _ - arctan( _ _ j + C

R. - - ln ( l + 4e x) + C

R. In — ln|ln5x| + lnx + C

R. ^[ln(x + yjx2 + 1)] / +C

R. - 2 vT - sen x + C

e x + ex

R. 2V i - cosx + C

R. arctan(e*) + C


J W -


dx 4f dx 445' ~ r = = R. ~ (V x + 1)3/2 - 4(Vx + l )1/2 + c

J v V x + 1 á

f a r c t a n V x

' J vTrTWf^dx R • tarctan^ r + c

a i f ( x ~ 2) , _ _ fyfx2 - x + l\

' J W f ^ T V p ^ T T T * *• 2 arcse" ( ---- i ---- ) + c

48. x Zsenx~: (senx + x cosx ln x )d x R. Í x 2senx + C*■' 2

í ~ /--- - — ---- ft. J l n x + V l n x + . . . + oo + c

eln(2jcJV ln x + Vlnx + ... +oo — x

f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10

J eos 5x + 5 eos 3x + 10 cosx dX R - 2 s e n x + C

f sen 8x d x 1 /s e n 2 4x\

5L I 9 + senHx R' J ¿ arctan (— 3— j + C

f cos2x (ta n 2x + 1 ) 152. —------ ------—— dx R ------------- 1- c

J (se nx + c o sx )2 1 + tan x

f Isecx - tan x

b3‘ J Jsecx + ta n x d* R' >n|secx + tanx| - ln(secx) + C

54. J c s c 3x d x R. - -[esc x cotx 4- ln|csc x - cotx|J + C

55. J s e c 3xdx R. - [lnlsecx + tan x| + secx tan x] + C

f e2x 25Ó- J 4 Y+~¿ídx R- l ^ x - 1)3/2 - 2(ex + l )1-'2 -r C

r V e ^ T earctan * + ln f( l + x2)V*2e*-*2l + V ^ = T57. I --------- -*-------- ^

J \l 1 4- y ^-\!p x 4- v ^ - p X — v 2 — 1

/?. earctan at + i In2 (1 + x2) + arctan X + C 4

q s f x d x n 1

J ( X ~ l ) 5e4x R' ~ 4(x — l)4 e4Ar + C

18

59.2e* + e_*

INTEGRAL INDEFINIDA

f 2e* + e-* |3Í-------3/------- ,J 3T » " - 4 e -»‘ d y fí. In J-v/3e2jc — 4 ^ 3 — e~2x\ + C

f Inx dx 1

J x 3( l n x - 1)3 2x2(lnx - l )2 + C

4 dx61. f ----- —

J eos XV 1 —sen 2x + 2cos2x ____________________

/?. 4 ln[(tan x - 1) + Vtan2x - 2 tan x + 3] + C

62. j (4 — 3 lnx )4 d (lnx ) R. - — (4 - 31nx)s + C

\

. r e xy¡é*~+2J ,----- Ve* + 263. — — dx fí. 2 Ve* + 2 - 4 arctan------- hC

j e* + 6 2

f x5 dx x3 8M . j j r r g B. _ + 8|+ c

f 1 + tan x 165. -— dx R. -In esc 2x - cot 2x| + tan x + C

J sen 2x 2

66. Una función / : E -> E es continua en E y satisface:

n r ,, X x + |1 - x|

x2 + 1/(O) = - - y / '(x ) = — -f : ; . Halle/(x).

»• / M = j arctan:r“ f ’ í S 1(.ln(x2 + 1) - arctan x - ln 2 , x > 1

467. Halle la ecuación de la curva para el cual y " — y que es tangente a la

x2

recta 2x + y = 5 en el punto (1; 3) R. y = — + 1

68. Halle la ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0; 2) es horizontal y

/ 10 \tiene punto de inflexión en ( —1; ”2“ ) y y”' = 4.

2 vR. y = - x 3 + 2x2 + 2

x2 + VTTx

V f709\

69. Encuentre la antiderivada de / (x ) = — T7~.. — < m0Cí0 que dicha

antiderivada pase por P ^0; 2qqJ

, „ r3 , 6 3 6 ______R. (1 + x) / — (1 "f* x) - - (1 + x) + - + - V i + x

L8 5 L 1+1


Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de

la diferencial del producto, se tiene

d(uv ) = udv + vdu

Podemos reescribir la expresión como

udv = d(uv ) - vdu

Integrando ambos lados de la igualdad se obtiene la fórmula

J udv = uv — j vdu

Esta fórmula es conocida como fórmula de integración por partes.

Observación 5. La idea básica de la integración por parles consiste en calcular

la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea

más simple de resolver que la integral original dada.

Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv.

normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se

simplifica con ¡a derivación y dv será el factor restante del elemento de

integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la

experiencia del que calcula son las mejores herramientas.

Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv,

no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se

considera v + C, C constante, entonces

j u d v = u(v + C) - j (v + C)du = uv - J v du

Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.

Ejemplo 27. Calcule j lnx dx.

Solución

De acuerdo con la sugerencia dada en la observación .2, elegimos

1u ~ \nx => du = - dx

x

dv = dx =s v — j dx = x (no se considera la constante de integración)

Por la fórmula de integración por partes, se obtiene

í , f x dxJ ln x dx = x ln x - I - x\ nx-x + C


1.4.2 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

20

Ejemplo 28. Calcule / = J (x2 + 3x - 1 )e2xdx.

Solución

Escogemos

u = x2 + 3 x - l

INTEGRAL INDEFINIDA

du = (2x + 3 )dx

| dv, — e2xdx => v — | e2xdx = — e2x/ '

Luego, obtenemos

/ = - (x2 + 3x - l ) e 2x - J (* + 2) e2*dx

En la última integral (más simple que la original) aplicamos nuevamente la

integración por partes con

r 3\u = x + - =* du = dx

dv = e2xdx => v = - e 2x 2Por lo tanto,

I = 2 ^x2 + - l ) e 2x -

,2x

= (x2 + 2x - 2) — • + C

Ejemplo 29. Calcule / = J eax cosbx dx.

Solución

Escogemos

[ u = eax => du = aeax dx 1

dv - eos bx dx => v - - sen bx b

Entonces,

1/ = - e ax sen bx

b - aeaxsen bx dx = -— sen bx

b i í eaxsen bx dx

Integrando nuevamente por partes en I eax sen bx d x , escogemos!■

u — e du = a eax dx

Idv = sen bx dx =* v = — — cosbx ' b


= ~b e<XX' S6n ~ ~b [~ b G<ÍX C° S + b í e‘!Xcos^x ^x\ ó

1 a a21 = - e ax sen bx 4- — e ax cosbx - ~ 1

o b z b 2

Ahora, se despeja / de la última ecuación y al resultado final se suma la constantede integración

a2\ , „ v / s e n ¿ * acosbx\1 + 7T M = e l — ;— +


De esta manera, se obtiene

b2 \ b b2

I = — — (b sen bx 4- a cos bx) + Ca2 + b2 '

Ejemplo 30. Calcule / = j sec5x dx.

Solución

En primer lugar, escribimos la integral dada como

/ = J sec5xdx = J sec3x. sec2xdx

jltima integral,

fu = sec3x =

'■dv = sec2x i

En la última integral, utilizamos integración por partes eligiendo

(u = sec3x => du = 3sec3x tan x dx

• dx =* v = tanx

Entonces,

/ = tan x sec3x - j 3 sec3x tan2x dx

l = tan x sec3x - J 3 sec3x(sec2x - 1 )dx

I = tan x sec3x - 3 j sec5 x dx + 3 J sec3 x dx

I = tan x sec x -3/4-3 J V I + tan2x sec2x dx

341 = tan x secJx + - (secx tan x 4- ln|secx + tanx|)

1 3/ = - tan x sec3x + - (secx tan x + In|secx + tanx|) 4- C

22

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejempia 31- Calcule J x arctan x dx.

Solución

Escogemosdx

u = arctan x => du — ■1 + x2

x2dv = x dx => v = —

Luego,

c2 1 C x2 dxf X 1 f 1I - x arctan x dx = — arctan x - - I -

4- x2

x 2 d x 'f x dxPara calcular la integral ---- r , se efectúa la división y se tiene:

J l + x ¿

, = T araan)I ‘ l / ( i - r í ^ ) * r

X2 1 (x2 4-1) 1= —- arctan x - - (x - arctan x) 4- C = -------arctan x - -x 4- C

¿ L> £* Lt

f cosx 4- x sen x — 1 Ejemplo 32. Calcule / = J -- ^ x— ^ 2—

Solución

Utilizando la identidad sen2x 4- cos2x = 1, escribimos la integral como

f cosx 4- x sen x - sen2x - cos2x

Í = J (sen x - x)2

f - cosx(cosx - 1) - sen x(sen x - x)

' I --------- ^ ^

/

(sen x - x) 2

■ cosx(cosx — 1) f senxdxf - cosx(cosx - 1) f

J (sen x - x)2 J (sen x - x)

/

Para la integral J, aplicamos la integración por partes con

Í u — — eos x => du = sen x dx(co sx - 1 )dx ^ _ 1

dV ~ (sen x - x )2 ^ V ~ (sen x - x)

Luego,

cosx "f senxdx f senxdx / = ------- 4-

f sen x dx f

J (sen x - x) Jsen x - x J (sen x - x) J (sen x - x)

Por lo tanto,

cosx/ = -------- 4-C

sen x - x

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Ejemplo 33. Calcule / = J dx.

Solución

Separando la integral en la suma de dos integrales, se tiene


/ J — dx + J ex\n x dx

Para la integral /, hacemos í u ln a: => rfu — ——

vdi? = exdx => v — exAsí,

/ = f- yd x + [exlnx- j dx = ex ln x + C

dx.f YParCan x

Ejemplo 34. Calcule / = I --------J ( i + x2y/2

Solución

garctan x

Como la integral de — ^ 2 es inmediata, elegimos

u —V i + x2

du =(1 + x2)3/2

dx

, arctan xdv =

1 + X ‘ -dx =$ v = e- „arctan x

Luego, tenemos

3arctan */

xe°

/V I T * 2 J ( 1 + x2)3/2dx

En la integral J consideramos

( 1u =

V i + x2du = -

x dx

(1 + x2)3/2

dv =

Luego, se tiene

1 +x2-dx => v = e— a arctan x

I =xe arctan x

V i + X 2 vr+n x [

= H (1 + x2)3/2dx

-i «arctan xrv

Portante, l = i - -■_ ! ? i i + c 2 V i + x2

24

INTEGRAL INDEFINIDA

Otra forma de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cambio de

variable t = arctan x y la integral se transforma en J ecsert t dt.

Ejemplo 35. Calcule / = [ ■ J

senh2x dx

(x cosh x — senh x)2

Solución ,

Multiplicando y dividiendo entre x, se tiene

/f senh x x senh x dx

J x (x cosh x - senh x) 2

Ahora escogemos

senhx x cosh x- senh xu = ----- =¡> du -----■— ------- dx

x xlx senh x 1

dv = ----- ------- -— — dx => v(x cosh x - senh x) 2 x cosh x-senhx

Entonces

senh x r dx

x(senh x - xcoshx) J x2

senh x 1/ = —-- :-------- z— r - - + C

x(senh x - xcoshx) x

f e enx(xcosJx — sen x)Ejemplo 36. Calcule / = I ----------------- dx.

J CQS¿X

Solución

Tenemos l = J xesen * eos x dx - Jsen x

sen* ----- dxCOS2X

(u = x = > d u = dx ...h n h a c ie n d o < , v , con r se obtiene

1-dv = e eos x dx => v = e

"J'1

lín /2, haciendo

U = xesenx

(u = esenx =* du = esen * eos x dx

, sen x 1 resultadv = -- — dx = > v -----

cos^x cosx

l2 = ------[ esenx dx = esenx see x - [ esenx dxcosx J J



EJERCICIOS

Calcule las siguientes integrales indefinidas.

v31. J x2 lnx dx

2. J (7 + x - 3xz)e~x dx

3. J x sec2x dx

4. J arcsen(2x)dx

_ f lnx

* J ^

6. J ln(x + V i + x2) dx

7. j cos (ln al:) dx

8. J sen(lnx)dx

9. J x arctan2x dx

R. — (3 lnx — 1) + C

ñ. (3x2 + 5x - 2)e~x + C

R. x tan x + ln|cosx| + C

V i - 4x2 R. x aresen 2x H--------- 1- C

1 + 2 lnxR. -— ----b C

4x2

R. x ln(x + 71 + x 2) - J l + x2 + C

XR. -[sen(lnx) + eos (lnx)] + i'

/?. -[sen(lnx) — cos (lnx)] + C

R- 2 [(.x2 + l)arctan2x - 2x arctan x + ln(x2 + 1)] + C

10 / arcsen2x dx

i i .

'■ í ,J i r r n c v — con v V

f —J (x + l ) 2

/?. a: arcsen2x + 2 V T ^ x 2 aresen x - 2 x + C

R. lnx |ln(Inx) - 1| + C

x2 + 1 ( X — 1

x2 dx

(a: eos x - sen x )2

(x2 + l ) e x

R.

R.

R.

-ln (— )Vx + 1/

sen x(cosx - sen x)

2x ex

x + C

cot x + C

x + 1ex + C

26

INTEGRAL INDEFINIDA

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

27.

28.

x e*

(1 + x )zdx R. ----- + ex + C

l + x

x e

_ ^

x arctan j x 2 — ld x R. - x 2 arctanVx2 - 1 ~ 2 ~ 1 + C

x aresen x

(1 - x2)3/2

arctan x

dxaresen x 1

R. + — ln

-dx R.

V i - x2 2

arctan x

1 - x+ C

l+ x

+ ln|x| - ln i / l + x2 + C

es c5xdx R.

X ( X + 1\

ln ( * ^ t ) dxV i — x2

e2*cos (e*) dx

ea*sen ¿x dx

-csc3x cotx - -(esex cotx + ln|cscx + cotx|)j + C

R. V i - x2 ln f--- r) + 2 aresen x + CVx + 1/

R. exsen(ex) + cos(ex) + C

■ [a sen bx — b cos bxJ + C

arctan(Vx + 1) dx

ln(Vx + V i + x) dx

sen2(Inx) dx

a2 + b2

R. (x + 2)arctanVx + 1 - Vx + 1 + C

R. {x + ln(Vx + Vx + 1) — ~Vx2 + x + C

R. x sen2 (ln x) - - [x sen(2 ln x) - 2x eos (2 ln x)] + C

^gSen x C 0S4X _ ^

COSJ Xdx

R. esen * - - [seex tan x + ln|secx + tan x|] + C

(x2 - sen2x)-dx R. x(cscx - cotx) + C

x - sen x eos x + x eos x - sen x

(arccos x - ln x) dx R. x árceos x - V 1 - x2 — x(ln x - 1) + C


29. Si / (x) = —a f (x) y g"(x) = b g(x), donde ay b son constantes, hallar la integral:


j f(x)g"(x) dx

’• /30. I 4x3 arcsen — dx

x arctan x 31. I ~~7Z--- T^rdx

í

’- P

I

35. I

d + x 2y

x4 — x arctan x32. | — —--- — — dx

(1 + x2)2

, arcsenVx33. | --- —— dx

Vx

,1 /x

■dx

.. r x2sec2x37. I —----------^~z^dx

J (tan x - x se<

> /

^2cai.2,

(tan x — x sec2x)2 '

1

dxarcsen

39 1 ------*

41. j arctan^jVx - 1 dx

43.

45.

47.

49.

50.

dx

(e2x - x2)(x - 1)

/

í xcosx

J (x -

x2ex

sen x + 1

dx

-dx(x + cosx) 2

a In(x + a + Vx2 + 2ax)

a + b[f(x)g'(x) - f'(x)g(x)} + C

i 1 ( x 2 + 2R. x arcsen — 4- ( — -— 1 - /v2¥x2 - 1 + c

/34. eos x ex dx

36.

38.

40.

42.

44.

:eos x dxJ x ex i

J x arctan Vx2 - 1 dx

/

/

I

!

cosh2x dx

(x senh x - coshx)2

ln(2 + Vx)

Vx-dx

(x sen x + cosx)(x2 - cos2x)dx

46. cosh 3x eos 2x dx

f x / l + *\48. I :In ( ---- ¡dx

J VI - x 2 V i-x )

(x + a )2/

f X^J - = = [ l n ( l + X)* - l n ( l - x y ]dx

28

1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado

de la forma: /

dx f dxI

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

I. í — ----- II. í —J px2 + qx + r J j zpx2 + qx + r J v'px2 + qx + r

n] [ (ax + b)dx f (ax + b)dx

J px2 + qx + r J J p x 2 + qx + r

En los casos (I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinomio y aplicar

las fórmulas que correspondan: (23), (24), (25) ó (26).

En los casos (III) y (IV) se usa el siguiente artificio:

a aqax + b — — (2 px + q) — — + b

2 p 2 p

La expresión 2px + q es la derivada del trinomio cuadrado. Entonces

f (ax + b)dx a C (2px + q)dx / aq\ r dx

J px2 + qx + r 2p J px2 + qx + r V 2p) J px2 + qx + r

A

a / aq\= — ln|px2 + qx + r \ + yb - — J A

Por otro lado,

(ax + b)dx a f (2px + q)dx / aq\ f dxI' (ax + b)dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq^ f

J yjpx2 + qx + r 2p J j p x 2 + qx + r ' 2p) J ^jpx2 + qx + :

a /— ------- ( acl\= - Vpx2 + qx + r + \ b - — j B

p \ 2 p j

I ,as integrales (¿4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.

Ejemplo 37. Calcule las siguientes integrales:

3 dx f dxf 3 dx . s í 1

J 4x2 + 4x - 3 J x2 - ‘2x + 10

f 2 dx í 5 dx

J Vx2 + 6x + 18 i V—x2 — 8x — 12

Solución

Completando el cuadrado en cada trinomio y aplicando las fórmulas de

migración, tenemos


f 3 dx 3 r

J 4x2 + 4x-3 ~ 2 J


2 x - l¡3 dx 3 f 2 dx 3= ^ln

(2x + i y - 4 2x + 3+ C

, n f dx f dx 1 (x~l\

) J x 2 -2x + 10 J (x- 1)2 + 9 “ 3 arCtan(_ 3~J + C

( 2 dx r dx , ,---------- ,c) 7 r ■ ¿ . T i = 2 1 t=~ = 2 ln x + 3 + Vx2 + 6x + 18 + C

J Vx2 + 6x + 18 J V(* + 3)2 + 9 L J

„ f 5 dx r dx /x + 4\d) I 7 ' 0 ~ „ „ = 5 — — ■ = = 5 arcsen (—-— ) + C

i V-x2 - 8x — 12 J ^ 4 - (x + 4)2 v 2 )


f (3x - 5)dx r (1 - 4x)dx

J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1

c) í 2 ~ ‘ ix d) ( - ( i i i í W íJ Vx2 + lOx + 21 J x(x + 3)

Solución

Completando cuadrado en cada trinomio y usando el artificio indicado, se tiene

3 3a) 3x — 5 = — (2x + 6) — 9 — 5 = — (2x + 6) — 14. Entonces

f (3x — 5)dx _ 3 r (2x + 6)dx f dx

J x2 + 6x + 18 2 J x2 + 6x + 18 14J(x + 3)2 + 9

3, / , 14 /x + 3\= -ln(x + 6x + 18) — — arctan —-—J + C

4 4 2 7b) 1 — 4x = — — (18x + 6) + l+ — = —- (18x + 6) + —. Luego,

f (1 ~ 4x)dx _ _ 2 f (18x + 6)dx ^ 7 1 f 3 dx

J V9x2 + 6x - 3 9 J V9x2 + 6x - 3 + 3 3 J y/(3x + l ) 2 - 4

4 : 7 ----------------------

= — ñV9x2 + 6x - 3 + -ln 3x + 1 + V9x2 + 6x - 3 + C y y i i

1 1c) 2 — x = — — (2x + 10) + 2 + 5 = — - (2x + 10) + 7. Entonces

(2 - x)dx 1 f (2x + 10)dx f dxf (2 _-x)dx _ i r (2x + 10)dx f

i Vx2 + lOx + 21 ~ 2 j Vx2 + lOx + 21 + 7 i 'Vx2 + lOx + 21 J V(x + 5)2 - 4

= -Vx2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V*2 + 10x + 2l| + C

30

d)

INTEGRAL INDEFINIDA

(4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f dxf (4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f

Jx(x + 3 )dX 2 j x 2 + 3xdX 2 J / 3\‘ 9V* + 2Í 4

5 7 i x= -ln|x2 + 3x| — -ln

2 6 Ix + 3'


f (3e2x - 4ex) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^

J V4e* - ex - 3 J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)

Solución

a) I(3e2x- 4 e x) f ( 3 e x -4 )exdx_ [ (3e¿x - 4ex) Hy _ f

~ J v4e* - e x - 3 ~ J ■v 4ex - e x - 3 J V4ex - e2x - 3

Si se hace t = ex , entonces dt = ex dx . Luego,

f (31 - 4)d t 3 f (4 - 2t)dt f dtl =

j- (31 - 4)dt _ 3 I" (4 — 2t)dt + ^ [ dt

J V4t - t 2 - 3 2 J >/4t - t2 - 3 J yjl - (t - 2)2

= -3V4í - t 2 — 3 + 2 arcsen(t — 2) + C

= —3y¡4ex — e2x — 3 + 2 arcsen(e* — 2) + C

r (senh x + 3 cosh x) dx

^ J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)

= /:(senh x + 3 coshx) dx

cosh x(6 senh2x + 2 senh x cosh x + 5)

Dividiendo numerador y denominador entre cosh3x , se tiene

;= J

(tanh x + 3) sech2x dx

6 tanh2x + 2 tanh x + 5 sech2x

(tanh x + 3) sech2x dx

J 6 tanh2x + 2 tanh x + 5(1 — tanh2x)

Ahora bien, si t = tanh x , entonces dt = sech2x dx. Por consiguiente.

r (t + 3)dí _ 1 f (2t + 2)dt n f dt

1 ~ J t2 + 2t+ 5 ~ 2J t2 + 2t + 5 + 2 J (t + l ) 2 + 4

1 , , /tanh x + 1\-ln|tanh2x + 2 tanhx + 5| + arctan --- ---- J + C


TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

! '5‘2 rH IP ERB Ó U C A ESALGUNAS FUNCIONES TRIGONOM ÉTRICAS

Recordemos las siguientes identidades:

1. sen2u + cos2u = 1

3. csc2u - cot2u = 1

1 + eos 2 u5. cos2u =

7. sech2u + tanh2u = 1

cosh 2u - 19. senh2u2,/ —

2. sec2u - tan2u = 1

1 - eos 2u4. sen2u =

6. cosh2u - senh2u = 1

8. coth2u - csch2u = 1

cosh2u + 110. cosh2u =

Estas identidades son muy importantes en los artificios para resolver ciertos tiposde integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.

I. INTEGRALES DE LA FORMA: J senmx cosnx dx y J senhm* coshn* dx.

Se consideran 2 casos:

CASO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero impar positivo.

0 Si m es impar positivo, se factoriza sen * dx (o senh * dj) y se expresa los

senos o senos hiperbólicos) restantes en función de cosenos (o cosenos hiperbólicos) usando la identidad

sen2* = 1 — eos2* (ó senh2* = cosh2* - 1)

ii) S. n es impar positivo, se procede de manera similar, es decir, se factoriza

eos x dx (o coshx dx) y se expresa los cosenos (ó cosenos hiperbólicos)

restantes en función de senos (o senos hiperbólicos) usando la identidad.

eos2* = 1 - sen2* (o cosh2* = 1 + senh2*)

Ejemplo 40. Calcule las integrales

a) I sen3* eos4* dx b) J senh5* V ^ ih 7 dx

Solución

a) / = J sen3* eos4* dx eos4* (sen * dx)= J sen2*

= - cos2*)cos4* (sen * dx)

INTEGRAL INDEFINIDA

En la última integral, hacemos u = eos * =* du - -sen * dx . Así, se tiene

/ = J (1 - u2)u4 (-du) = - f (tt4 - u6)du = - y + y + C

35(5 eos2* - 7) + C

b) f senh5* V ^ i h l dx = f (cosh2* - l ) 2(cosh * ) ^ 2 (senh * dx)

= j (cosh9/2* - 2 cosh5/2* + cosh1/z*)(senh * dx)

= JLcosh11/2* - ~cosh7/2* + \ cosh3/2* + C 11 7 3

CASO 2: Ambos exponentes m y n son pares y mayores o iguales a cero.

En este caso, se usan las identidades:

1 — eos 2* , 1 + eos 2*

sen2* = --- ^--- y C° = --- 2---

/ cosh 2* - 1 , 7 cosh 2x + 1\/ „ cosh 2 * - 1 ,í ó senh2* ------^---- Y cosh * =

Al efectuar las operaciones, se obtienen términos que contienen potencias pares e

impares de eos 2* (ó cosh 2x). Los términos que tienen las potencias impares se

integran teniendo en cuenta el caso 1. Los términos que tienen las potencias pares

se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.

Ejemplo 41. C alcu le las integrales:

a) J senh43* dx b) f sen2* eos4* dx

Solución

a) I se„h43x dx = J ( £ 5 í í - t l i ) 2 ix = i J (c o s h ’ 6* - 2 cosh 6» + 1) dx

- ? / (

- I I

c°sh(12») + l _ fa + 1 ^

2 ¡

(cosh 12* - 4 cosh 6* 4- 3) dx

= i f — senh 12* senh 6* + 3*) + C 8 \12 3 >



. 2u f 4 , f / I - cos2x\/I 4-cos2x\b) J sen-x cos4x dx = J (-------- j ( --- ---- J dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32x) dx

1 f / 14- cos4x\ 1 f- g J + eos 2x--------- j dx - - I (1 - sen22x)(cos 2x dx)

= ü j ( j + cos 2x ~\cos4x) dx ~ T 6 ¡<'1 ~ sen22* X 2cos2x dx)

1 /x 1 „ 1 \ 1 í 1 \

= 8 (2 + 2SGn 2* ~ 8 Sen 4x) ~T6[Sen 2x ~ 3sen32x) + C

1 ( sen 4x sen32x\

= 16{X — 4 - + - J ~ ) + C

II. INTEGRALES DE LA FORMA: J tanmx secnx d x , j cotmx cscnx dx ,

J tanhmx sechnx dx y J cothmx cschnx dx.

Se consideran 2 casos: m entero positivo impar y n entero positivo par.

CASO 1. Si m es un entero impar positivo, se factoriza tanxsecxdx

(ó cotxcscxdx ó tanh x sech x dx ó coth x csch x dx) y se expresa las

tangentes (ó cotangentes ó tangentes hiperbólicas ó cotangentes hiperbólicas)

restantes en términos de secx (ó esex ó sechx ó cschx) mediante la

identidad: tan2u = sec2u - 1 (ó cot2u = csc2u - 1 ó tanh2u = 1 - sech2u

ó coth2u = 1 + csch2u).


f tan3x r

3) J : dx b) J cotSxdxc) J tanh3x Vsechx dx d) j cothsx csch3x dx

Solución

f tan3x f tan2x r sec2x - 1

a) J ^ dx = J ^ (tanxsecxdx) =:J - 7 ¿ ^ ( tanxsecxdx)

= j (sec_3x - sec_5x) (tan x sec x dx)

(si u = secx, du = secx tan x dx)

1 -7 1 1 ,= --sec x + -sec 4x + C = -cos2x(cos2x - 2) + C

2 4 4

34

f f COt4X ,b) cot 5x d x = ------(cotxcscxdx)

J J CSCx

INTEGRAL INDEFINIDA

f (csc2x — l ) 2= --------- (cot x ese x dx)

J esex

= - í (csc3x — 2 esex 4---- ) (-cot x escx dx)J esex

c4x \----csc2x 4- ln|cscx| I 4- k

f , ,---- f tanh2xc) tanh3x vsechx dx = ,.........: (tanh xsechx xdx)

J J Vsechx

1 — sech2xf 1 - secrrx = — ^ = = _ (tanh x sech x dx)

J Vsechx

= - J (sech~1/2x — sech3/,2x) (—tanh x sech x dx)

= — ^2Vsechx — -sech5/2x j 4- C

Vsechx

5• (2 sech2x — 10) 4- C

d) j coth5x csch3xdx = J coth4x csch2x(coth x cschx) dx

= J (1 4- csch2x)2 csch x (coth x csch x dx)

= - J (cschx 4- 2 csch3x 4- csch5x)(-coth x cschx dx)

n 1 1 \— — I - cschzx 4- - csch4x + - csch6x 1 4- C

\2 2 6 /

CASO 2. Si n es un entero par positivo, se factoriza sec2x dx (ó csc2x dx ó

sech2x dx ó csch2x dx ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes

hiperbólicas ó cosecantes hiperbólicas) se transforman en términos de

tan x (ó cotx ó tanh x ó coth x) usando la identidad sec2x = 1 4-tan2x

(ó csc2x = 14- cot2x ó sech2x = 1 - tanh2x ó csch2x = coth2x - 1).

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a) J tan3/2x sec4x dx b) j csc4x dx

c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6xdx

Solución

a) j tan3/2xsec4xdx = J tan3/2xsec2x(sec2x dx)

= j tan3/2x (l + tan2x)(sec2x dx)

- J (tan3/<2x 4- tan7/2x)(sec2x dx)

(si t = tan x , dt = sec2x dx)

2 2= -tan3/2x 4- -tan5/2x + C

O 7

b) J csc4x dx - J csc2x(csc2x dx) - - J (1 + cot2x)(-csc2x dx)

(si t - cot x , dt = —csc2x dx)

= - ^cot x + cot3 a: j + C

c) j tanh2x sech4xdx = / tanh2x (l - tanh2x)(sech2x dx)

= J ( tanh2x - tanh4x)(sech2x dx)

1 , 1 = -tanh3x - -tanh5x + C

d) J csch6x dx - J (coth2x - l ) 2(csch2x dx)

= - J (coth4* - 2 eoth2x + l)(-csch2x dx)

= - ^-coth5x - - coth3 x + coth x j + C

36

INTEGRAL INDEFINIDA

III. INTEGRALES DE LA FORMA:

J sen(mx) cos(nx) dx, J sen(mx)sen(nx)dx, J eos(mx) cos(nx) dx,

J senh(mx) cosh(nx) dx, J senh(mx)senh(nx)dx y

j cosh(mx) eosh(?ix) dx.

Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:

1a) sen (mx) eos (nx) = - [sen(m - n)x 4- sen (m + n)x]

b) sen(mx)sen(nx) = - [cos(m -n)x - eos(m 4- n) x]

c) eos (mx) eos (nx) = - [cos(m - n) x 4- eos (m + n) x]

1d) senh(mx) cosh(nx) = - [senh(m 4- n)x 4- senh(m - ri)x]

1e) senh(mx) senh(nx) = - [cosh(m + n)x — cosh(m — n)x]

1f) cosh(mx) cosh(nx) = — [cósh(m 4- n) x + cosh(m — n)x]


a) J sen 2x eos 3x dx b) j eos 3x eos 4x dx

c) j senh d) J cosh 4x senh x dx

Solución

a) J sen 2xcos3x dx — - J [sen(2 — 3)x + sen(2 4- 3)x]dx

I r 1 / eosSx \

= 2 j sen ^x ~ sen x^ x ~ 2 [--- 5--- cos x) + C

j cos 3x eos4xdx = - J [cos(—x) + cos 7x]dx = -^senx + - sen 7x) + C

) J senh 3x senh 4x dx = -J[cosh 7x — eoshxjdx

= — (- senh 7x — senh x j 4- C

I))


d) J cosh 4x senh x dx = —j [senh 5x - senh 3x]dx

1/1 1 \

= 2 \5 C° S ~ 3 C0S ^ / + ^

En este ejemplo, se han usado las identidades:

senh(-u) = -senh u , sen(-u) = -sen u

cosh(—u) = coshu , cos(-u) = cosu

Ejemplo 45. Calcule las integrales:

í i ~ . í sen4* + cos.4xa) I sen3(3x)tan3xdx b) --- ----- T-dx

J J sen2x — cos2x

f eos x fc) ■ ■ dx d) I cos3x sen 3x dx

J Vsen7(2x) cosx J

Solución

f f sen43xa) / = sen3(3x)tan3xdx = ---— dx

J J eos 3*

_ J (1 - cos23x)2


eos 3x-dx

b)

= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33x)dx

1 2 1 f = -ln|sec3x + tan 3x| - - sen 3x + - I (1 - sen23x)(3 eos 3x dx)

1 2 1 / 1 \= -ln|sec3x 4- tan 3x| - - sen 3x + - (sen 3x - -sen33x + C

j 3 3 V 3 /

1 , 1 1= -ln|sec3x 4- tan 3x| - -sen 3x --sen33x + C

■J J 7

fsen4x + eos4x r 4(2 + 2 cos22x)

i ----------- J~ d x = ------------- ñ-------- d xJ sen2x - cos2x J -cos2x

- l í(see2x + eos 2x)dx

1 , 1 = --rhi(see2x + tan 2x| - -rsen 2x + C

4 4

38

c) /

INTEGRAL INDEFINIDA

eos x I r eos x dx- í C 0 S ; : C h - 1 f

J ^ /s e ñ ^x je o sx V27 J Vsen7 x cos8x

Se observa que esta integral no se adapta a ninguno de los tipos estudiados en

(I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transformar a los

otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes ó cotangentes y

cosecantes. En este ejemplo, transformando a tangentes y secantes (dividiendo

entre cos5x, numerador y denominador) se obtiene:

1 r sec4x 1 r 1 + tan2x

' = V l28 J tan7/3x = Í V f J tan7/3* (sec"x dx )

1. .tan 7/3x + tan 1/3x)see2xdx

4 V2J v J

= —rrz ( — - eot4/3x + - ta n 2/3x ) + C 4V2V 4 2 J

f f (1 + eos 4x\d) ] = I cosi 2x sen 3xdx - J ^--- ---- J eos 2x sen 3x dx

^ / ( c o s z x s e n 3 ^ + Í J eos 4x(cos 2x sen 3x)dx

= - J [sen x + sen 5x] dx + - J [cos4x sen x + cos4x sen 5x]dx

1 1 1 ir= — — eos x — - eos 5x + - I [-sen 3x + sen 5x + sen x + sen 9x]dx

1 / 1 \ 1/1 1 1 \= - — eos x - — eos 5x I + - - eos 3x - - eos 5x - eos x -- eos x] + C

4 V 5 / 8 \3 5 9 /

3 1 3 1= - - eos x + —- eos 3x - — eos 5x - — eos 9x + C

8 24 40 72


f f f sen^xa) j tanh42xdx b) I sech3xdx e) I — — dx

, ^ 4d )

cos°x

rsen43x f-- rr~dx e) tan2xseexdx

J cos33x J

Solución

Se observa que ninguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo

que será necesario efectuar algunas transformaciones. En efecto, •



a) I tanh42x dx = J (1 - sech2x)2 dx = J ( 1 - 2 sechz2x + sech42x) dx

= x — tanh 2x + J (1 — tanh22x) sech2x dx

1 / 1 = x - tanh 2x 4- -(tanh 2x - ~tanh32x) 4- C

1 1= x - -tanh 2x - -tanh32x + C

¿ O

b) J sech3x dx - J - J l- tanh2x (sech2x dx)

(Si u = tanh x , du - seeh2x dx)

= — [tanh x V l - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C

l r= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C

f sen2x f r

^ J cös^xdx = J tan2x Sec4x dx = I tan2x(-1 + tan2x)(sec2x dx)

= I (tan2x + tan4x)(sec2x dx) = ^ ta n3x + ^ ta n sx + C J 3 5

( sen43x r (1 - cos23x) 2 r

3 J cos33x “ J ^ s'33x dx = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* ) dx

= J V l + tan23x sec23x dx - În|sec3x 4- tan 3x| 4-^sen3x

A

1 r= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x 4- tan 3x|] - A

1 1 1 = gtan 3x sec3x - -In|sec 3x + tan 3x| + gSen 3x + c

e) I tan2x secxdx = J y /sec^x^l(tan xsecxdx)

1 ,= -|secxtanx - ln|secx + tanx|] + C

INTEGRAL INDEFINIDA

f dxl:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la sustitución x = 2 tan i

Sol ut-ion

< .uno x = 2 tan 0 , dx — 2 scc29 dO. Entonces

1 f s e c 29 d9 1I

f dx l f sec 0 d9 1 r

1 f (1 + cos 26)d9 1

- é l 2 16

x 2x

sen 20+ C = — [0 + sen 0 cos 0] + C

16

1 /= — arctan - 4- , ,

16 V 2 4 + x2+ C

Para regresar a la variable original x, en vista de que tan# = - , se construye

d triángulo

A partir de este triángulo, se obtiene que

sen 0 =Vx2 + 4

y cos ti = —Vx2 4- 4

EJERCIC IOS

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

1. V xz + 2x — 8 dx

- [(x 4- l )V x 2 - « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- V * 2 4- 2x - 8|J 4-

3.

9 dx

V9xz - 12x 4- 13

3 dx

4x2 — 16x 4-17

4 — Ix

?. 3 ln [3x - 2 4- V6x2 - 12x 4- 13] 4- C

R. -arctan(2x - 4) 4- C

Vx2 4- 2x — 8: dx

ß. - 7V x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8| 4- C


5. f — !J 9x2 -

3 4- 5x

12x + 13

i u n c u s U t CALCULO - VOLUMEN II

dx

1.

f (2 -

I

(2 - x)dx

V-x2 - 10x - 21

sen 2x 4- 3 cosx

V9 4- 4 sen x — cos2x

R- lg In(9x2 12x 4-13) 4- y arctan 4- C

V“ * 2 — lOx — 21 + 7arcsen + q

dx

R- 2 V i iH ^ T 4 ^ H T T 8 - In|sen x 4- 2 4- x ® 7 T 4 l i i T T 8 | + C

a f _____(5senh x 4- 4 cosh x)dx

J coshx(9 senh2x 4

9. J sen2xdx

cosh x(9 senh2x 4- 6 senh 2x 4- 5)

R- g ln|4 tanh2x 4-12 tanh x| - ~ ln tanh ^ + 1 [ + £16 12 tanh x 4-5

n x sen 2x

* 2 ~ — +C

10. J cosh25x dx

u . J sen4x dx

12. / cos5x dx

, 3 . / cos7x sen3x dx

„ „ f sen3x14. I -- r-dx

J cos4x

15. J senh3x dx

16. j sen2(3x)cos43x dx

17. J senh8x cosh5x dx

18. j tan6x dx

d * 1R- 2 + ^ sen(10x) 4- C

3x sen 2x sen 4x

* ' T — 4 ~ + — + c

D 2 , 1R. sen x - -sen3x 4- -sen5x 4- C

R.

COS8X

40

1

3 cos3x

(4 cos2x - 5) 4- C

- secx 4- C

1

R■ —c°shx(cosh2x — 3) 4- C

x sen 12x sen36x

' 16 192 + ~144~+C

1 2 i R. -senh9* 4- -senh3x 4- -senhsx -f C

1 1R■ g tan x - -tan3x - tan x 4- x 4- C

42

INTEGRAL INDEFINIDA

19. J cot5* dx

20. J tanh4x dx

21. j sec4* Vcot3* dx

22. J tan5x Vcos3x dx

23. J tanh6x sech4* dx

V2 dx24.

cos3*Vsen 2*

25. J sen 3* sen 5* d*

26. I cos 2* cos 7* dx

/

J

I

27. J sen52x cosB2x d*

28. J sen3* cos3* d*

29. J (1 4- cos 4x)3/2 d*

30. J cot4(3*)d*

I a * 7 * ,31. | sen4 - cos — dx

32. J tan3* dx

33. J tan3(3x)sec3(3x)dx

1 * 1 ,R. — -cot4* 4--cot2* 4- ln|sen*| 4- C

R. x — tanh* -- tanh3* 4- C

R. - 2Vcot * 4- - Vtan3* 4- C

2 2 R. -sec5/2* — 4 sec1/2* —-cos3/2* 4-C

1 , 1 R. -tanh7* — -tanh9* 4- C

7 9

R. -Vtan*(5 + tan2*) 4- C

sen 2* sen 8*R ■ — ------77— 4- C

4 16

1 1 R. — sen 5* 4- — sen 9* 4- C

10 18

1 1R. -sen6(2*) - -sen8(2*) 4- C

R. - -i-cos(2*) 4--i-cos3(2x) 4 C 16 48

V2 V2 , 'R. — sen 2 * — — sen32* 4- C

2 3

1 , 1R. — -cot33* 4--cot 3* 4- * 4- C

9 3

* 1 1R■ TZ ~ To sen 2* — — sen * 4- C

16 32 24

tan2*R. —--- F ln|cos*| 4- C

1 1 ,R. — sec53* - -sec33x 4- C

15 9

www.FreeLibros.com

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

.43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

Veos4*


dx i?. Vsec* cos2x + + C

dx ^

R. 2 tan* + -tan3* - cota: + Csen2* eos4* "• “ ---- ■ 3 ■

dx 1 3 j

sen5* eos5* 2 tan x + 3 n ltan x\ ~ :> cot2* — -cot4* + C

dx

Vsenx eos3*R. 2Vtan x + C

dx R- -cot* - -cot3* + Ctan4* "■ v'v“-'v 3 '

Veot* eos9* dx í?. 2Vsen * - ^sen5/z* + sen9/2* + C

sen2(?r*)

cos6(jr*) dx R• -[3 tan3(?r*) +-tans(7r*)j + C

f sen* sen 2 * sen 3* dx R. ¿ c o s 6 * - i Cos4* ^ c o s 2* + C

f sen 4* eos 5* dx r eos 9* eos*

18 2

sen 8* sen 3* dx r sen * lx _ sen , r

‘ 22 10

cosh 3* cosh * dx r . -senh 4* + -senh 2x + Co 4

senh 4x senh * dx R. — cosh 5* + i cosh 3* + C

sen3* eos 3xdx R. j^cos2x - c o s 4 x +— cosóx + C

eos2* sen24* dx R x ên 1 sen 2x sen 6* sen 10*

' 4 32 -8 ~ 48 8Ó ~ + C

senh2* cosh 5* dx fí sen^ . senh 3* senh 5* ^

' 28 ^ 12 iT “ + C

50 f dX 2 ‘ J Vsen3* cossx -2Vcót* + -tan*V taF* + C

44

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOM ÉTRICA

Las integrales de la forma f R(x , yjpx 2 + qx + r)dx, donde R es una función

racional de las variables * y j p x 2 + qx + r , se puede simplificar por medio de

una sustitución trigonométrica adecuada.

Completando el cuadrado en el trinomio px2 + qx + r se obtiene una expresión

de la forma u 2 + a2 ó u 2 — a2 ó a2 — u 2, donde a es una constante.

I) Si el trinomio tiene la forma a2 — u 2, mediante la sustitución

u - a sen 6 , a > 0

se elimina el radical, pues Va2 - u 2 = a eos 6 . También se tiene que

d.u — a eos 6 dO

Para regresar a la variable original u, se emplea el triángulo formado con la

usustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).

(a)

lu 2 - a 2

Fig. 1.3

II) Si el trinomio tiene la forma a2 + u 2, mediante la sustitución

u - a tan 8 , a > 0

se elimina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 6 . También se tiene que

du - sec20 dff

Para regresar a la variable original u, se utiliza el triángulo formado con la

usustitución tan 0 = - (Fig. 1.3 b).

a

III) Si él trinomio tiene la forma u 2 t- a2 , mediante la sustitución

u = a sec 6 , a > 0

se elimina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . También se tiene

du = a sec 9 tan QdB

Para expresar la integral original en términos de su variable u, se emplea el

utriángulo elaborado con secfi = - (Fig. 1.3 c).



Ejemplo 48. Calcule / = J y¡9 - x2 dx.

Solución

Haciendo la sustitución x = 3 sen 8, dx - 3 eos 9 dd y calculando la integral

trigonométrica que resulta, se tiene

/ = j V32 — x2 dx — J 9 - 9 sen28 3 eos 0 dd

= J 9 cos29 d9 = - J (1 + eos 29) d9

cos20.3 eos 8 d9

9 9 ( x xV9 - x2\= -(0 4- sen 9 eos 9) + C = -I aresen- +-------I + C

- (*V9 - x2 + 9 aresen -) + C

Ejemplo 49. Calcule / = /dx

X2V 1 6 + 9 X 2

Solución

Sea 3x = 4tan0, dx = -sec29 d9. Luego,

í dx _ 4 f

J x2%/l6 + 9x2 ~ 3 J

sec29 d9

x2V 16 + 9x2 3 J ^ tan20V16 + 16tan20

3 f see9 3 f cosí= — -- T-d9 = — -- — d0

16 J tan20 16 Jsen 20 16- ese 0 + C

3 V16 + 9x2 V l6 + 9x2 „.+ C = ----—--- + C

16 3x 16x

; dx.Ejemplo 50. Calcule / ,J Vx2 — 9

Solución

Haciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 0 tan 0 d9 , se obtiene

27 sec30 .3 sec 9 tan 9 d9

V9 sec20 — 9

f xJ f := dx =

J Vx2 — 9 J

= 27 J (1 + tan20)sec20 d9 = 27 (tan 9 + -tan3flj +

= 9v'* 2 — 9 + - (x2 — 9)2 + C3

46

ItlPiiiplo 51. Halle I = JINTEGRAL INDEFINIDA

X3 dx

Vx2 + 2x + 5

Solución

i ompletando el cuadrado en el trinomio y

luu icndo la sustitución

v I 1 = 2 tan 9 , dx = 2 secz9 d9

M' obtiene

x3 dx f x3 dxf xJ dx r

J Vx2 + 2x + 5 i + l)2 + 4

I (2 tan 0 — l )3 2 sec20 d0 = J (2 tan 0 - l )3 sec 0 dd2 see0

(8 tan30 sec 0 - 1 2 tan20 sec 0 4- 6 tan 0 sec 0 - sec 0) d0

Hsec30 - 6 see 0 tan 0 + 5 ln|sec0 + tan 0| - 2 see0 + C

1 3 (____________________

, {xl + 2x + 5 )3/2 - - (x + 1 )V *2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - + C

,------— (2x2 - 5x - 5v x + 2x + 5 ( ---- -----

lijemplo 52. Halle /

Solución

/

+ 5 In jx + 1 + V* 2 + 2x + 5| + C

dx

(1 + X 4) a/\/I + X 4 - X 2"

sec20Si se hace x¿ = tan 9 => dx = — ;— . dft.

Hntonces

í

dx

2Vtan I

-/■

sec20 d0

2%/tan 0

(1 +x4)VVl + x4 - x 2 J sec20Vsec0-tan

_ 1 C eos 0 d0 _ 1 r

2 J Vsen 0 — sen20 2 J IJeos 0 d9

(sen 0 —i )z 2

-aresen + C

1 1 / 2x2= -arcsen(2 sen 0 - 1) + C = - aresen - ^ =

2 2 V v i+ x 41 + C



12 dx

/;Ejemplo 53. Calcule / - , _________________

(2x - l ) / (4 x 2 - 4x - 8)3

Solución

Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustit jción

2x - 1 = 3 sec 9, dx = - sec 9 tan 9 d.9

Resulta

/= /

- /

■ /

12 dx

(2x - 1)V(4x2 — 4x — 8)3

12 dx

{2.x — l)[(2x — l )2 — 9]3/2

18 sec 8 tan 9 dd 2

3sec0 27tan30 9J cot26 d9 —- j (esc20 — 1 )d6

2 , 2 / = — [—cot 6 — 0] 4- C = — I ■

Ejemplo 54. Calcule J

Solución

Si se sustituye

/

9 VV4x2 - 4x - 8

e~* dx

2x - 1\+ aresen— -— J 4- C

(9e~2x + l ) 3/2'

3e x — tan 9, e Xdx = - -sec29 dd , se tiene

= /e x dx

[(3e~*)2 + I ]3/2

r ~ 3 sec29 dQ i r

J sec39 3 J cos0 d9

--sen 9 + C

V i + 9e~2*4-C

48

R|«inplo 55. Calcule / = I * X- drJ V2 - x

Solución

Racionalizando el integrando, obtenemos

f x V 1 - x f x ( l - x ) r x ( l - x )dx

J V 2 - * * ~ J V l ^ V 2 ^ * “ J V *2 - 3x + 2

INTEGRAL INDEFINIDA

Aliora bien, completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución

3 1 1- = - sec 0, dx = - sec 9 tan 0 d92 2 2

S w jí. 2 x - 3 = sec9

c obtiene2x-3/

i j x 1 - Ï X + 2f x ( l - x)dx

\(y 1/ Q \

12

r ^ sec 0 + ( l - ^ - i sec ó] sec 9 tan 0 d£)

2 tan 9

- - - J (sec39 + 4 sec29 4- 3 sec 9) d9

3 i r --------= - tan 9 - -ln|sec0 + tan 9\ - - V i + tan20 sec20 d9

4 4 J

3 1= -tan 9 - -ln|sec0 4- tan 9 | - - (sec9 tan 9 + ln|sec0 4- tan 0\ 4- C

4 8

1 7= - - tan 0(8 4- secó) - -ln|sec0 4- tan 9\ 4- C

O O

2\Jx2 — 3x 4- 2 7 i ___________= ------ -------(8 -i- 2x - 3) - -ln \2x - 3 4- 2yfx2-3x + 2\ 4- C

O O ' *

y j — 3x “h 2 7 i ____ i= ------ ------- (5 4- 2x) — -ln ¡2x - 3 4- 2V* 2 - 3x 4- 2| 4- C



Observación 7. Si el integrando contiene una expresión de la forma Va2 — u

ó Va2 + u 2 ó Vu2 - a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.

Para Va2 - u 2 , la sustitución es u = a tanh t.

Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.

Para Vu2 — a2 , la sustitución es u = acoshí.

En el primer caso, Va2 - u 2 = a sech t.

En el segundo caso, 'Ja2 + u1 = a cosh t.

En el tercer caso, Vu2 - a2 = a senh t.

Ejemplo 56. Calcule / = J x2J x 2 + 4dx.

Solución

Usando la sustitución

x - 2senh t , dx - 2 cosh t dt

tenemos

/ - J x 2 x 2 + 4 dx = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t dt

- 16 J senh2t cosh2t dt = 4 J senh22í dt = 2 j (cosh 4t - l)d£

1- -senh 4 í - 2t + C = 2 senh tcosh t(senh2t + cosh2t) - 2 1 + C

x V Í+ lt2 /x 2 4 + x2 \ *j _ 2 Senh-1- + í:

xV4 + x2(,x2 + 2) - 2 senh 1 % + C

4 2

x2 dxEjemplo 57. Calcule / ~ f ■

J <Vx2 + 4x - 5 Solución

Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución

x + 2 = 3 cosh t , dx = 3 senh i dt

resulta

/ » [ x ' dx f * 2dx í (3 cosh t -- 2) 2 3 senh f dt

J V* 2 + 4* - 5 ~ J / ( x + 2)2 - 9 i 3 senh t

50

INTEGRAL INDEFINIDA

(3 cosh t - 2) 2 dt = J (9 cosh2í - 12 cosh t + 4)dt

/

/cosh 2t + 1 ,9 ^---------) - 12 cosh t + 4) dt

9 17-cosh 2t - 12 cosh t + —2 2

dt

9 17= - senh 2t - 12 senh t + — t + C

4 2

9 11— - senh tcosh t — 12 senh t + — t + C

2 2

Vx2 + 4x - 5 17 (x 4- 2\-----------(x — 6) + — cosh- ^ - J + ^

Observación 8. Si la integral tiene la forma I R [xn ; j a 2 ± x2) dx ó

I R (xn ; J x 2 — a2) dx , donde n es entero impar positivo, es preferible

usar la sustitución z2 = a2 ± x2 ó z2 - x2 - a 2.

I.jemplo 58. Calcule las siguientes integrales:

J)

<0

x3 dx f (xs - x)b) —

J V.Vx2 - 9

x3 dx« J

Vx2 + 3

x3 dx

(3 — x2)4

dx

(x2 + 9)3/2

Solución

a) Utilizando z2 = x2 - 9, 2z dz - 2x dx < > z dz = x dx se tiene

x3 dx x4(xdx) f (z2 + 9)2z dzr x (x dx) f

J Vx2 - 9 JV x 2 — 9 J Vx2 — 9

= J (z4 + 18z2 + 9)dz = ^ z 3 + 6z3 + 9z + C

= - (z 4 + 30z2 + 45) + C

Vx2 - 9(x 4 + 12x - 144) + C

51/ www.FreeLibros.com

f (x5 - x) _ r (x* - l)(x dx) f [(z2 - 3)2 -]z dz

J V^T3 J V F T 3 " J z

f z **= J (z4 - 6z2 4- 8)dz = Y - 2z3 + 8z + C


b) Haciendo z2 = xz 4- 3, z dz = x dx se obtiene

z= -[z4 - 1 0 z2 +40] + C

Vx2 + 3 ,= -- --- (x4 - 4x2 4- 19) + C

c) Si se sustituye z 2 = x2 + 9, z dz = x dx resulta

r x3 dx _ r x2{x dx) f (z2 - 9)(z dz)

J ( X 2 + 9 )3 /2 - J ( x 2 + 9 )3 /2 - J

dz

9 1 ,= zH---h C = - (z 4- 9) 4- C

z z

1(x2 4- 18) + C

Vx2 + 9

d) Haciendo z — 3 — x2, x dx = - -dx se obtiene

f x 5 dx í x 4(xdx) f (3 - z )2( - í dz)

J (3 - x2)4 " J (3 - x 2)4 = J í?1 f / 9 6 1\

2 J l í 4 _ ? + ? ) dz1 /3 3 1\

“ 2 f e " i 2 + z ) + C

x4 - 3x2 + 3

_ 2(3 - x 2)3 +C

f x" a*

J V T ^ x 2

J / í 4- x2 dx

j xzV4 - xz dx

f dx

i x2v l + x2

dx

J (x2 + l)V l - xz

' x3 dx

v2x2 T- 7

dx

x4Vx2 + 3

r (4x + 5)dxJ ( x 2 — 2 x 4- 2 ) 3/ 2

f - 4I ( X 2

(2x - 3)dx

J (x2 4- 2x - 3) 3/2

fV x 2 — 4xdx

x4 dx

I 1

(4 - x2)7/2

(x2 - 25)3/2 dx

x6

dx

INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCICIOS

(x 4- l ) 3Vx2 + 2x

r sen x dx

J yjcos2x + 4cosx 4- 1

1 x /--------------/?. - - a rc s e n x - - v l- * +C

R. - j x V 4 + x 2 + ln ( x 4- 4 + x 2) j + C

x V4 - x2 i?. 2 arcsen -------— |x - 2xj + C

V i + xi R . ----------- 4- C

/ V2x ,R. — arctanl - = = ) + C

1

Ti \V1 - x 2

Vx2 4- 3 (x2 4- 3)3/zfí. --r------ --+ C

R.

9x 27x3

9x - 13^ ______ : 4~ C

Vx2 - 2x 4- 2

5x - 3

4Vx2 4- 2x - 3

(x2 - 4x)3/2

: 4" C

6x3

„5

R.20(4 - x2) 5/2

(xz - 25)s/2

4- C

4- C

125x5

1 Vx2 4- 2x« . jarsenC jr+ D + j j ^ + C

/?. - ln jc o s x 4- 2 + V c o s ^ x T T c o s x + l j + C



'’ i

ex'Je2x - 4 - 2e2x(ex + 2)15. | — :-:— — -II ' ~J Hv

2(ex + 2) V e 2* - 4 R. —\n\ex + 2\ - yje2x - 4 + C

_ f 2x2 - 4x 4-4 16. j - — dx

J V3 4- 2x — x2a resen - (x - 1)V3 + 2x-x2 + C

17

18.

■ /dx

(x2 -2x + 5)3/2

O 2 + 3x)dx

R.W x'¿ - 2 x + S

iü ~ -

f x3 d 19. —

J V 4-

(x - l)V x 2 - 2x 4- 10

fl. V*2 - 2a: + 10 + 51n jV*2 - 2a: + 10 + x + 1¡ +^ln

x3 dx

Va:2 - 2x + 10 - 3

x- 1+ C

V4 - x2 / ? .---- --- (8 + x2) + C

. (3 + x2) 2 x3 20. J —77—— — — dx

' /

(1 4-x2)2

1R. --

. 2

(x2 + i f f ? 4-------+ (x2 + 1) +

x2 4- 1+ C

y/y2 - 4dy p A (y2 - 4)3/2

‘ Í 2 y 3 C

f dx J (x2 - l)Vx

■f

(x2 — l)V x2 - 2

2x2 + 1------- - dx(x2 + 4) 2

dx

_ V x 2 - 2 k. arctan------ 4- £

n 1 r x i4x 1 R. - Ja rc tan-- — ] + c

(2x2 4- l)V x2 + 1

f3 x aresen x 25. — . dx

J V( 1 - x 2) 5

5 = . » £ ± 3

fi. arctan * ...) 4- CW l + x 2 '

(1 - x2)3/2 2

W l 4-x2

aresen x 1 r % x + 1

l r ^ +in v r ^ - +c

/26. f - j~ = = ln (7— —) dx J V i - x 2 V i - x /

*■’ ln ( t ^ i ) ( r 3 ~ i b 5 ~ z) +^ arcsen * - *2 (■/25 + 6x‘

"604- C,

donde z = J l - x2

¿tx — 3

a V x4 - 4: dx

INTEGRAL INDEFINIDA

1R.

2 x2ln |x2 + Vx2 - 4| - -aresen —

I (x2

x dx

í'>

{x2 - 2)Vx4 - 4x2 + 5

x2 dx

1/?. -ln

Vx4 — 4x2 4- 5 — 1

x 2 - 2

+ C

+ C

\l 4x2 — 12x — 5

1R. -

(2x 4- 3\ i------------11 aresen^— -— j 4- V- 4x2 - 12x — 5(3 — 2x)

411

II

I,’

I I

x l dx

(x2 4- 4)3

2x:i dx

1

R‘ 64

x 2 x (4 - x 2)1 arctan - -

2 (4 4- x2) 2

4- C

4- C

( v ’ - l ) 4

dx

1 - 3x2 R ■ -- I“TT 4- C

(() _ x2)3

(4x2 4- l)dx

R. ■4- ■3

• 4- — ln

6(x2 — l ) 3

(3 + x f

36(9 — x2) 216(9- x 2) 4 9 — x24- C

II

( v - 3)V6x — x2 — 8

/í. 24 arcsen(x — 3) 4- 37 ln

e2x dx

1 - Vóx - x2 - 8

x — 3

J ( C-¿X _ 2ex + 5) )3

senh 2x dx

R.

4y¡6x — x2 — 8 4- C

e* — 5

4Ve2* - 2e* 4- 54- C

(.! cosh2x — 3 senh2x — 2 cosh x)3/2

/?3 — cosh 2x

j 8 si

) (20 - 4 si

sen 2x sen x dx

(20 - 4 sen 2x - 19 sen2x)5/2

2V2 cosh2x - 3 senh2x - 2 coshx

128

:4- C

1/

^ 4 tan x — 16 ^ 5 ( t a n x - 4 ) 2 1 7 ^ +

W l.in^V - 8 tan x + 20 V ían2* - 8 tan a: + 20 T / 3 ( ta n2x - 8 tan x + 2 0 )3/2

dx

r C

(* 1 )(x2 - 2x 4- 5) 2

R- Trrln 32

(x - l )2

x2 — 2x 4- 54-

1

8(x2 - 2x 4- 5)4- C


I.5.4.1 INTEGRACIÓN DE FRACCIONES SIMPLES

Se denominan fracciones simples a las funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:

0 f t o =


1.5.4 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR DESCOM POSICIÓN EN

FRACCIONES PARCIALES

x — r

•*) f t o = 7— , n > 2 , n e N (.x - r )n

ax + bni) f(x ) — ; ,--- :— , donde px2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir,

JJ X “t” QX T Y

qz — Apr < 0.

^ s ax + bIV) f(x ) = -— —----- — , donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.

(;px2 + qx + r)n ^ p

Las integrales de estas fracciones simples son inmediatas, pues

f ai) ----dx = a ln¡x - r| + C

J x — r

U) í (x - r )n dX ~ (1 - n)(x - r)n_1 + C

f ax + biii) — 7---- ;— dx (desarrollado en 1.5.1 caso III)

J px2 +qx + r J

f ax + b (2 px + q)dx

J (px2 + qx + r ) n X 2 p J (px2 + qx + r ) n + \

2p(n - 1 )(px2 + qx + r)n~- +

( ‘ - S ) J

f dx

i (px2 + qx + r )n

f dx

J (px2 + qx + r)n

;

Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinomio, se obtiene

, 1 [ dii q 4rp - q2J = ~ T i , i n , ' donde u - Jp .x + — = y k = ------

J v J (u2 + k2)n y 4niu 2 + k2r ’ ^ 2^ y 1 1 4p

En esta última integral, se puede usar la sustitución trigonométrica u - k tan 0 ó la siguiente fórmula de reducción:

56

dx

INTEGRAL INDEFINIDA

Kjcmplo 59. Usando la fórmula de reducción, calcule / = J + .Solución

l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces

r dx x 2(2) - 3 f dx

J (x2 + 4)2 “ 2.22(2 - l) (x 2 + 4)2-1 + 2. 22(2 - 1) J (x2 + 4)

x 1 1 x 1 / x 2x \

“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C

1.5.4.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR

DESCOM POSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

p(x)Sim la función racional f(x ) - -rr-r. donde P(x) y Q(x) son polinomios

<2 0 )i nprimos de grados m y n (m ,n £ N), respectivamente.

Si m < n, se dice que la función racional es propia y cuando m > n, se dice que

es una función racional impropia.

I'or ejemplo, las funciones racionales

x5 - 6x2 + 7

f t o = T z r r z y a t o2x4 + 8 J " 2x& + 3x3 + 2

mm propias, pues el grado del polinomio del numerador es menor que el giado del

polinomio del denominador; mientras que las funciones racionales

3x4 - 2x2 + 7 _ 5x3 - 3x2 + 1

F(X) ~ x2 + 2x + 3 y G M " 2x2 - 7x3 + 4

son impropias.

P(x)Si / (x) = es Una función racional impropia, por el algoritmo de la división,

uxisicn polinomios C(x) y R(x) únicos tales que

l ’ t o r r , R W--- = C(x) +Q(x) Q(x)

dónele el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). C(x) y R(x) son,

ii'speclivamente, el cociente y el resto de la división de P(x) entre Q(x) .

I tío significa que toda fracción impropia puede ser expresada como la suma de un

polinomio y de una fracción propia. Así, la integral de una fracción impropia

IMifilc ser escrita como

í pt o , f , ( Rto

¡ m dx ~ í c ( s )dx+1 q w

dx


Enseguida, veremos el método de integración para una fracción propia, el cual se

basa en que “toda fracción racional propia puede ser descompuesta en la suma de

fracciones simples”. Este hecho se sustenta en el conocimiento de dos teoremas

del Álgebra que admitiremos sin demostración.

Teorema 1. Si Q(x) es un polinomio de grado n (n > 1) , entonces Q(x) se

descompone como un producto de factores de 1er grado y de factores de 2do

grado irreductibles en M, de la siguiente forma:

Q(x) = a(x — r1)n' (x — r2)n2 ... (x - rk)nk(x2 + pjX + q1)m» ...(x2 + psx + qs)m> (*),

donde n = n1 + n2+ ... + nk + 2m l + ...+ 2ms

Teorema 2. Si el polinomio (?(*) posee la descomposición '(*) y P(x) es

P (Xjun polinomio de grado menor que n, entonces la fracción propia

se descompone unívocamente en fracciones simples como

P(X) _ ^11 A12 ^21 ^22

Q(x) x - r ^ i x - r ^ ) 2 (x - rj)ni + (x - r2) + (x - r2)2 + ^

+ - A l n t ----+ .- 4 - A k l - + A k 2 + . . . + A k n * +

(x - r 2)"2 (x - r k) (x - rk)2 (x - rk)n><

B llx + 11 Bl2x + Cíz ^lm, + Qmt ^

(x2 +plx + q1) (x2 +p1x + q1)2 (*2 + Pix + <h)mi

_l_ Bs\x Q l ^ &s2x Q 2 Qms

x2 + psx + qs (x2 + psx + qs)2 (x2 + psx + qs)ms

En resumen, podemos afirmar que la integración de una función racional (propia ó

impropia) se reduce a integrar a lo más un polinomio y las fracciones simples.

Recuerde que si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del

denominador, primero se debe dividir (salvo que se emplee otro artificio de

integración).

Cuando se descompone una función racional en fracciones simples, la ecuación

resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los valores

significativos de la variable x. El método para determinar las constantes que se

presentan en los numeradores de las fracciones simples se basa en un Teorema del

Algebra que establece que los polinomios de un mismo grado son idénticos

cuando son iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales. Estas

constantes también se pueden determinar resolviendo la igualdad de polinomios

para un número suficiente de valores de x.

En el siguiente ejemplo, sin determinar las constantes, mostraremos como se

descompone una fracción propia.


58

Sea la fracción propia

P(x) 7x4 — 2x3 + x2 — %/2x + n

Q(x) = (x + l)(x - 4)3(x2 + 9)(x2 + l )2

I ,a descomposición de esta fracción en fracciones simples se expresa como

P(x) A B C D Ex + F Gx + H Jx + M■ + --- r + ^--- + + —--— H-- --- + -

INTEGRAL INDEFINIDA

Q(x) x + 1 x - 4 (x - 4)2 (x - 4)3 x2 + 9 x2 + 1 (x2 + l )2

donde A, B, C, D, E, F, G. H, J y M son constantes a determinar.

f x3 — 3x + 3lijemplo 60. Calcule / = —;----- irdx.

H J x2 +x -2Solución

I 11 primer lugar, se divide, ya que el integrando es una fracción racional impropia.

x3 — 3x + 3 1 1= x — 1 + —----- - = x - 1 + ■

x2 + x - 2 x2 + x - 2 (x - l) (x + 2)

Lii('j;o, J = j (x — 1 )dx + J •dx x2~ — x

(x — l)(x + 2) 2

Al descomponer el integrando de I en fracciones simples, se tiene

1 A B

(x — l)(x + 2) x — 1 x + 2

ilonde A y B son constantes a determinar. Multiplicando esta ecuación por el

mínimo común múltiplo del denominador, se obtiene la ecuación principal

1 = A(x + 2) + B(x - 1), V x e R

Ahora bien, para determinar las constantes A y B se debe escoger valores

npi opiados de x. Estos valores son aquellos que hacen igual a cero el denominador

de nula fracción simple. Así, tenemos:

l'ma x = 1 en la ecuación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1/3

l'nia x = —2 en la ecuación principal, resulta: 1 = -3B «=> B = -1/3

I ueô,x .

/ ( :

1/3 1/3 \ 1 , 1 , 1.dx = -ln|x — 1| — -ln|x + 2| + C = — m

1 x + 2) 3 3 3

'ni tanto.

x + 2+ C

X2 X 1

/ = Y ~ ^ l = Y - x + 3h' x + 2+ C

I n el ejemplo anterior, para calcular la integral 1 no es necesario descomponer en

li hit iones simples, pues también se puede calcular completando cuadrados. En los

ûnientes ejemplos, usaremos el método más adecuado.



X2 — 6x + 8f x¿ — 6x + 8 Ejemplo 61. Halle I = I —— ----dx

J x2 + 2x + 5

Solución

Como el integrando es una fracción impropia, primero se divide y luego se aplica

el artificio presentado en 1.5.1. Así, se obtiene

f xz - 6x + 8 f 3 - 8x i f (8x- 3)dx= I 7' ,o— —¿dx= I l+-r— --- \dx = x -

J x2 + 2x + 5 J L x2 + 2x + 51 J

r 2x + 2 f= x — 4 I —-— --- dx + 11 ¡ ,

J x2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4

x2 + 2x + 5

2x + 2 r dx

, 11 ¡x + 1\x — 4 ln(x2 + 2x + 5) + — arctan —-—J + C

dxEjemplo 62. Halle J . ,. J x3 + 1

Solución

La descomposición que corresponde a la'fracción propia del integrando es

1 1 A Bx + C• + ■

x3 + 1 (x + l) (x 2 - x + 1) x + 1 x2 - x + l

P

Eliminando denominadores, obtenemos la ecuación principal:

1 = A(x2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) (*)

Para x = — 1 en la ecuación (*), se tiene: 1 = 3A ==> A — 1/3.

Igualando coeficientes de x2 en (*), resulta: 0 = .d+Z?=>B = —1/3.

Igualando coeficientes de x en (*), obtenemos: O - -A + B + C = > C = 2/3.

En esta integral, el problema mayor es la integración de la fracción simple /?. Un

método que facilita la integración de este tipo de fracciones simples (y que se usa

cuando el denominador presenta factores cuadráticos irreducibles) consiste en

expresar el integrando como

1 1 A D (2x - 1) + £

x 3 + 1 (x + l ) ( x 2 — x + l ) x + 1 x 2 — x + 1

donde 2x - 1 es la derivada del denominador x 2 - x + 1. Obsérvese que para

integrar la segunda fracción es suficiente separar en dos integrales tal como

veremos a continuación.

En la igualdad anterior, multiplicando por el denominador se obtiene la nueva

ecuación principal:

INTEGRAL INDEFINIDA

1 = A(x2 - x + 1) + [D(2x - 1) + E](x + 1) (**)

Para x = -1 en (**), se obtiene: 1 = 3A => A = 1/3.

Igualando coeficientes de x2 en (**), resulta: Q = A + 2 D = $ D = —1/6.

Igualando coeficientes de x en (**), se tiene: O = —A + D + E => E = 1/2.

Luego,

l = i i h d x + i

i r dx i r 2x — i i r

“ 3 J x + 1 6 J x2 - x + 1 * 2 jxz - x + 1

dx

( - § ) -

1 1 1 - 1\= -ln|x + 1| - g ln (x2 - x + 1) + -ârctan + c

f dxlíjeinplo 63. Calcule J ■

dx63. Calcule I -3 ■

Solución

Como x3 - 1 = (x - l) ( x 2 + x + 1), aplicamos el método del ejemplo anterior.

1 )c este modo, la descomposición en fracciones simples es

1 _ A B(2x +1) + C

x3 - 1 x - 1 ' x2 + x + 1

Eliminando denominadores.se obtiene A = 1/3, B = -1/6. C = -1/2. Por tanto,

f dx 1 f dx 1 f (2x +1 )dx 1 f dxf dx _ 1 f dx_ _ l f (2x + l)dx _ 1 j-

J ^ T ' s J T ^ T 6J x2 + x + 1 2J(x4 )

1 1 1 Í 2X+1\ r-= -ln|x - 1| - gln(x2 + x + 1) - ^ a r c t a n +

Ejemplo 64. Halle / — J ^ _ dx

(x — 2)2(x2 — 4x + 3) ’

Solución

( orno (x - 2)2(x2 - 4x + 3) = (x - 2)2(x - 3)(x - 1), entonces

1 A B C D---------------- - —---r + ~---— +---- + '(x — 2 )2(x2 — 4x + 3) x - 2 ( x - 2 ) 2 x - 3 x - 1

l lim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:



l = A(x- 2 )0 - 3 )0 - 1) + B(x - 3 )0 - 1) + C(x - 1 )0 - 2)2 + D(x - 3 )0 - 2)2

Trabajando con esta ecuación principal, se tiene

Para x = 2 => 1 - —B => B - -1

Para x = 3 => 1 = 2C => C = 1/2

Para x = 1 => 1 = -2D =¡> D = -1/2

Igualando coeficientes de x3 resulta: 0 = i4 + C + D => .4 = 0

Por consiguiente,

dx r dxIS o r :(x — 2)20 — 3 )0 — 1)

x - 3

_ T dx 1 r dx 1 f dx

( x - 2)2 + 2 J x — 3 ~ 2 J x - 1

1 1:-- ^ + rlnx - 2 2 x — 1

+ C

Ejemplo 65. Halle I - j Solución

Escribimos la integral como

' VserTx

Vsen x

cosx-dx.

f vsenx f vsen xcosx/ = ----- dx = —----- — dx

J cosx J 1 — sen2x

Haciendo u 2 — senx => eos x dx = 2u d u y descomponiendo el resultado en fracciones simples, se tiene

r 2u2 du _ í 2u2 du r r 1/2 1/2 1

~ J 1 - u4 ~ J (1 - u2)( 1 + u2)~ J l l - u + 1+ u ~ 1 + ñ 2

2 u2 dudu

1, |u+ li 1 I Vsenx + 1~ ln --- r - arctan u + C = -ln , ---2 \u-l\ 2 |V Ieñx- l

arctanVsen x + C

Ejemplo 66. Cacule I = j Solución

dx

x(x69 + l ) 3 '

dx 1 f 69 x68 dxSe tiene que I = I -— 7------ — ¡ -----------

J x 0 69 + l )3 69 J x69(x69 + l )3

t Si en la última integral se hace u = x69 + 1 => du = 69 x68 dx, resulta

/ - 1 í du 1 f \A B c D 169 J u3 (u - 1) 69 J [u + u2 + ií3 + u — l j

62

INTEGRAL INDEFINIDA

Determinando las constantes A, B, C y D por el procedimiento usado en los

ü|emplos anteriores, se obtiene

! Í L Í _ j L _ - L 1 >9 J L u u2 u3 + u - 169

1 ,69

69 h x69 + l

1 1du = -ln|u| H---+ ln|u - 1| 4- C

u 2 u2

+ C+ 1 2 O 69 + l )2

K|emplo 67. Calcule 1 = J Vtan x dx.

.Solución

SI lineemos t2 = tanx

2t2 dt

x = arctan t2 y dx =2t dt

1 + tentonces

f 2t dt _ f

1 ~ J 1 + t4 “ J (T

2t2 dt

+ V2t + t2) ( l - V2t + t 2)

l .n factorización de 1 + t4 se realizó del siguiente modo:

1 f t4 = (t2 + l )2 - 212 = (t2 + l )2 - (V2t)2 = ( t2 + 1 - V2t ) ( t2 + 1 + V2t)

I .¡1 descomposición del integrando es

y4(2t + V2) + B 1 C(2t -y/2) + D _ 212

t2 +V2t + l t2-V 2t + l “ l + t4

I liminando denominadores, se tiene

2t2 = [/l(2t + V2) + B][t2 — V2t + 1] + [C(2t - V2) + D][t2 + V2t + l]

Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinomios, se obtiene

2A + 2C^=0, (B + D) + V2(C — A) = 2 ,

V2(B - D) = O , V2G4 — C) + B + D = 0

Kesolviendo las ecuaciones, resulta

A = — V2/4, C = V2/4, B = - l/2 , D = 1/2

I uego,

V2’ 4

r 2t + V2 _ i r _

J t2 + V2t+ 1 f 2 J t2

dt V2 f 2t- V 2 1 f

J t2 - V2t + 1 t + 2 j t2-2 + V2t + l “" 2 J t 2 + V2t + l ' 4

Integrando y simplificando, se obtiene

t2 - V2t + 1

dt

V2t + 1

V2,/ = T ln 4 t2 + V2t + 1

donde t = Vtanx.

/ ^2— — arctan(V2t + l ) + — arctan(V2t — l ) + C


r

Ejemplo 68. Calcule / = j


x sec2* dx

3+ 4 tan x + sec2x ’

Solución


*sec2* dx r xsec2x dx f x sec2x dx¡ _ r x sec2* dx r x sec2* dx r

J 3 + 4 tan * + sec2* ~ J 3 + 4 tan x + (1 + tan2*) ~ J i3 + 4 tan * + (1 + tan2*) J (tan * + 2)2

Aplicando el método de integración por partes, elegimos

f u = x => du = dx ■ •( , sec2* dx 1

) d v = 71----- V = -■(tan * + 2)2 tan * + 2

Luego,

tan * + 2 J tan * + 2J ;

dx

i *i

Haciendo t = tan * =* dt = sec2* dx en la integral /, se tiene

i - f ^x - f _ sec2* dx r dt

J tan * + 2 ~ J (tan * + 2)(1 + tan2*) = J (t + 2)(1 + t2)

Descomponiendo el integrando en fracciones simples, tenemos

* - j L + i w i 2t) +¡(t + 2)(1 + t2) t + 2 1 + t2

Luego,

dt1 f dt 1 í 2 td t 2 f

J ~ 5 J t + 2 ~ W J l + t2 + 5 j 1 + t2

1 1 2 J = pln|t + 2| — ——ln|l + t21 +-arctan t + C

b 10 5

1 1 2 7 = g In|tan * + 2| - — ln|l + tan2*| + -arctan(tan *) + C

Finalmente, obtenemos

* 1/ —------- — |---ln

ta n * + 2 10

(tan * + 2)3

sec2*

2+ - * + C

dá

INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCIC IOS

II,illc las siguientes integrales indefinidas:

1 4x2 + 6

* 3 + 3*I

\w<

-dx

-dx+ 4)2

* 4 - 4* 2 - 14*

x*

^ 2 * 2 + 4

R. ln[*2(* 2 + 3)] + C

841n|*2 + 4| + C

r * “

J x

/

2 - 2* - 8 dx

-dx

(x2 + 2* + 5)3

Ä.

x ? 68 , , 14 ,R. — + * + 8* + — ln[* —4|— ^-ln|* + 2| + C

2 (*+ l) 3 (*+ l) 3 (x + 1\: + ~ arctan — J + C

(*2 + 2* + 5)2 4(*2 + 2* + 5) 8

/ :

h

f *

x2 + x - í

:3 - x2 - x + 1dx

x + 1

2x2 + 3*dx R.

R. ------ — + -ln|* - 1| — —ln|* + 1| + C2(* - 1) 4 4

ln|*| ln(*2 - 2* + 3) 2• + - arctan

3 c - ^ )+ *

«)

10.

/

í i r :

* 3 + X 2

x2 + * — 2

d*1 I x2 I

fi. - + ln ----* * + 11

+ C

+ C

■dx* 4 + 5x2 + 4

2x2 - 3* - 3

1) (* 2 - 2* + 5)

1 (x z + 1R. - ln —z-- -

6 \x2 + 4arctan * + arctan - + C

dx

1R. - ln (*2 — 2* + 5) - ln|* — 1| +-arctan

< r r )+ C

r x2

J 1 — xdx6

x2 dx

x6 - 10x3 + 9

1R. - ln

6

R. iln

*3 + 1+ c

+ c

4x + 1

x2 + 1-dx

R. - ln (*2_ 2* + 1 4 /2* - 1\

+ x + l)- V 3 arctan — = — + — arctan — = — + C V3 V3 V V3 1V3

I I2*

* 4 + x 2 + 1-dx

2 / 2x2 + 1>R. — arctan -- —— + C

V3 V V3


TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN H

f 2x"14. -7--- -

J X 4 + X “-dx

• /

/ i

+1

Ä-. |m

x2 dx

x6 - 10x3 + 9

dx

x2 - x + 1

X2 + * + 1

1 /2x + 1\ 1 /2x - 1\+ — arctan — =r— + — arctan — ■=— + C

V V3 ) V3V3i ( ^ )\ V3 /

fi' 2 4 ln

V3

X3 - 9

x3 — 1+ C

17.

V2 /?. — ln

dx

x8 + x6

7 .

1 + V2x + x2

1 — V2x + x2+ -—arctan(V2x + l ) — arctan(V2x — l ) + C

1 1 1ñ. - ;r^r + —-=■----- arctan x + C

5x3 3x4 x

r x + xJ18' J - 24 ' + 1

1 9 . /dx

20 .

x(x7 + l ) 2

f dx

I X (X 999 + l ) 2

dx

/

■ /

x(x9 + l )3

dx

X12 ( X11 + 1)

„ . 4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 — V5|R. :rln|x4 - 1| - -ln[x6 + x4 - 1 --- — l n ---------= + C

2 4 2V5 |2x4 + 14- v5i

R. ¡n|x|-în|x7 + 1|+ — — + C7 7(x- t t j

1 1R. ln|x|---- lnjx999 •<- ll +---- — --- + C

999 999(x" 9 + 1)

1 1 1R. ln|x|—-ln|x + l| + „ H---- — ? + ^

9 9(x9 + 1) I 8(x9 + l )2

R. -i-lnlx11 + 1|- 1 ■ / - ln|x| + L11 l l x 11

f cot x dx

23 i c iS í

24.

7x + 1)

f tan x dx

J (cos"x + 1)

R. ln|senxj— ln|sen'x + 1| + —-- :----~7 7(sen'x + l j

R. — ln|cos x + l| - lnjcos x )-99(cos"x + l)

+ C

+ C

' x4Vsenx + Vsenx + cosx 25. I ----- , . --------- diP (x4 + 1) cosx

Ä. |mVsen x + 1 V2. x2 + V2x + 1 ---- arctanfVsen x) + —— ln ----------- —----- +

Vsen x - 1 8 x2 - V2x + 1

+ — arctan(V2x + l ) - arctan(V2x - l ) + C

66

1 IN 1 cvjKAL IN U b r lN lU A

lu. /dx

X 5 + 1

V5 R- ™ ln 20

2x2 - (1 - V5)x + 2

2x2 - (1 + V5)x + 2

VlO — 2V5 /4x- (l+ V 5)\+--- —--- arctan — +

10 V V 1 0 - 2 V 5 /

V10 + 2V5 ( 4x - (1 - V5)\ , „

10 V V 10 + 2V5

n .

¿H.

2').

M ) .

1!.

u .

j Vtanh x dx

cosxVsen x + 1

1Ä. -ln

2

tanh x + 1

tanh x — 1— - arctan(tanh x) + C

sen x + 2

dx

dx R. 2Vsen x + 1 — 2 arctanVsen x + C

sen 5x (l + eos 5x)

2 dx

1fi. -ln

4

cos 5x - 1•+ C

Vcosx sen x

s

/?. ln1 - Vcosx

1 + V cosx

cos5x+l 2(cos5x+l)

+ 2 arctan(Vcos x) + C

dx fi. -[x3 - ln(x3 - 1)] + C

dxx3 + x - 1

(x2 + 2)2

4x2 - 8x

( x - l ) 2(x2 + l ) 2

R.2 — x

In Jx 2 + 2 --- —arctan — +C4(x2 + 2) ^ 4V2 V2

dx

R.3x - 1

(x - l) (x 2 + 1)

, (* ~ 1) \+ ln — ■■ . 1 + arctan x + C

x2 + 1 )

»4. /

/

dx

(x2 — x)(x2 - x + l ) 2

x - 1i?, ln

10

3V3

/2x - 1 arctan — —

V V3

2x — 1

3(x2 — x + 1)

3x + 2

x(x + l ) 3dx

4x + 3 xR. —--- —w + ln-

2(x + l ) 2 (x + l ) 2

+ C

+ C



Hemos visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan como

combinaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las

funciones irracionales salvo en algunos casos particulares.

En esta sección y en las siguientes, vamos a estudiar algunos tipos de funciones

irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas como una suma finita de

funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cambio de variable de

manera que el integrando de la nueva integral sea una función racional.

1.6 INTEGRACION DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES

f í /a + bx\mi/ni /a + bx\mk/nk1.6.1 INTEGRALES DEL TIPO j A ( _ ) ;...; (— )

En este caso, R es una función racional de variables

/a + bx\miJni /a + bx\mk/rlk .

x ■ f c r s ) ■ •••y '*> "* » •> .... .............." • 6 :

a + bxPor tanto, los exponentes de --- — son números racionales.

c + dx

En esta situación, se hace el cambio de variable

a + bx

dx

= tn , donde n = m. c. m. {ri!, n2, - ,n k}c + dx

Despejando x, se obtiene

tnc — a (be — a d )n ín_1

x = v ^¡r» y dx= ■íb - d ñ ‘ - ic

Sustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una función

racional de variable t.

dxEjemplo 69. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4) •

Solución

En este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1/2 y 1/4. Entonces

m.c. m.{2 ,4} = 4

Haciendo el cambio de variable x — ?4 =* dx = 4t 3 dt resulta

f 4 t3 dt r 4t f ( 4 \

^ ~ j t 2( 1 + t) ~ J 1 + t dt ~ j \ ~ t + 1/

= 4t - 4 ln|t + 1| + C = 4x1/4 - 4 ln|x1/4 + l| + C

Ejemplo 70. Halle I = f dx

J V* - 1 + Vx - 1 'Solución

I .os exponentes fraccionarios de x — 1 son 1/2 y 1/ 3.

Si se hace x ~ 1 = t* (6 = m . c. m. {2 ,3}) ==»<& = 6t*dt.

I liego,

f 6 t5 dt r t 3 r , i .

J t3 + t z ~ 6J F T i dt = 6j ( t2~ t + 1 - ^ ) dt

= 2t3 - 3 t2 + 6t - 61n|t + 1| + C

- 2\¡x - 1 - 3Vx - 1 + sVx - 1 - 61n|Vx — 1 + l j + C

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 71. Calcule I = f í—— - — J ^ 1 + x2 x

Solución

Se escribe

xz - 1 2x dx

1 + x2J y * . ^

Unciendo el cambio de variable z - x 2, se obtiene

¡ 1 í \z - 1 dzf |z •

J i2 J v 1 + z z

I ii ''sta última integral, el criterio estudiado nos sugiere reemplazar — = t 2.

I >n..mos al lector seguir este camino. Resolvemos la integral usando el siguiente

, - - ¡ . .Sz - U dz )dz I r dz i r dz1 f (z - 1 )dz _ 1 r (z - 1 )dz _ 1 r dz i r

2i zvl + zy¡z — 1 2 J zyf¿¡r—[ ~ 2 j Vz2 í ~ 2 J z 'lz2 - 1

1 , -----, i;¿ ln + Vz2 — 1 j --arcsec|z| + C

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Ejemplo 72. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.

Solución


tan2* + 2 r sec2x + 1 f sec2x dx [ dx


lr tan2* + 2 [ sec2x + 1 _ f sec x “x + f

J Vtan2* + 2 J Vtan2x + 2 J Vtan2x + 2 JVtan2x + 2 i Vtan2x + 2

'i '2

Aplicando las fórmulas de integración correspondiente a cada integral, tenemos

/* = ln jtan x + J ta n 2x + ¿| + Cx

r cosxdx f cosxdx t senx\/, = , = ■— -- arcsen I — — + C2

J Vsen2x + 2 cos2x J V2 — sen2* ' v 2 /

Por consiguiente,

i ,--------1 /sen x\I = ln |tan x + Vtan2* + 21 + arcsen ^ j + C

1.6.2 INTEGRALES DE LA FORMAdx

(x - a)nJp x 2 + qx + r, n e

Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente sustitución recíproca

1 dt x - a = j= > d x = - j j

Ejemplo 73. Calcule 1 = 1 — J x

dx

2y/4x2 + X + 4

Solución1 1

Haciendo la sustitución x = - => dx = —-rdt, se obtienet t z

dtt2f — = U L = = - Í

J 1 4 , 1 , , J

t dt

1 ¡± t2\|t2

- - Í 8 J

+ í + 4

(8t + l)d t

V4t2 + t + 4 ' 8 ji f8.1

V4t2 + t + 4

dt

- sïï<8t + 1>-5

V4t2 + t + 4dt

= - ~ J4 t2 + t H-4 + - ^ ln | 2 t + 7 + V4t2 + t + 4 4 V 2V63 I 4_ '

1 V4 + 4x2 + x 1------------ + — ==ln4 x 2V63

8 + x V4x2 + x + 4 +---------

4x

+ C

+ C

70

Ejemplo 74. Calcule /

Solución

INTEGRAL INDEFINIDA

dx= [_ _ _ _ _ iJ (x — 2)yfx(x - 2)y¡x2 +3x - 9

1 1 Como x — 2 = — => dx = — — dt, entonces

dt

■ í n r „ T , . ; . - /dt

¡ J (¡ + 2y + 3 ( í + 2 ) - 9 J V F T t F T T

= = - ln t + - + V t2 + 7t + 1 45 I 2

+ C

- ln7x - 12 Vx2 + 3x - 9

2(ac - 2) x - 2

Ejemplo 75. Calcule J = f .....+ 3)dx —J x2yj3x2 + 2x + 1

Solución

1 1 Si se hace x = - => dx = - -dt. Luego,

/ I . _\dt

= _ f f

J 1 / 3 +2 + 1 - Jt2y JF+ t + 1

3 f 2t + 2

(1 + 3t)dt

V t2 + 2í + 3

dt “h 22 J V t2 + 2t + 3 J V (t + l ) 2 + 2/ :

dt

■ = —3-y/t2 + 2t + 3 + 2 ln |t + 1 + V t2 + 2t + 3¡ + C

x + 1 + V3x2 + 2x + l l3V3x2 + 2x + 1+ 2In + C

1 11 algunos casos, la sustitución recíproca puede facilitar el

imicl’,ración, como veremos en los dos ejemplos siguientes.proceso de



Vx -;r -yx —■ XEjemplo 76. Calcule / = J — —— dx.

Solución1 1

Si se hace x = - => dx = — ^dt. Luego, t t2

* 11 _ J_

= - J -- ^ = - J V t 2- 1 tdt ,(u = t2 - l , d u = 2tdí)

Ejemplo 77. Calcule / = J ■ dx

(x + l )4 x2 ‘

Solución

1 1 t * ~~ t

dt

Si se hace x + 1 = 7 => dx = --^dt. Luego,

t4 £ L)

= - f y + t2 + 3í + 4 ln (l - 1) + + c

1 1 3 1 x 1 x + l i „---- — H------ - H------f- 4 ln --- t H-----1 + C

.3(x + l )3 (x + 1)2 x + l ljc + l l x i

1.6.3 INTEGRALES DE LA FORMA J R (x; Vax2 + bx + c) dx

En este caso, R es una función racional en las variables x y Vax2 + fax + c. Una

integral de esta forma se calcula usando las ‘‘sustituciones de Euler”. Estas

sustituciones permiten transformar el integrando en una función racional de

variable t. Se presentan 3 casos:

CASO I. Si c > 0 , el cambio de variable es Vax2 + bx + c - tx + Ve.

Elevando al cuadrado, resulta

ax2 + bx + c = t 2x2 + 2Ve tx + c

<=> (a - t 2)x2 + (fe - 2Vc t)x = 0

«=* x[(a - t 2)x + fe - 2Vc t] = 0

72

INTEGRAL INDEFINIDA

En esta última ecuación, eliminando la solución x = 0, se obtiene x = <p(t), que

es una función racional de t, y dx = (p'(t)dt. donde <p'{t) es también una función racional de t. Por lo tanto,

J R(x,]y]cix2 + bx + c)dx = J R(<p(t); tcp(t) + Ve) <p'(f)dt

donde el integrando del segundo miembro es una función racional de variable t.

Ejemplo 78. Calcule J = \ - J :

dx

xV2x2 + x + 1 ’Solución

Haciendo y = V2x2 + x + 1 = tx + 1 y elevando al cuadrado, se obtiene

2x2 + x = t 2x2 4- 2tx

Eliminando la solución x = 0, se obtiene

2 tdx

2 (t2 — t + 2)dt, y =

t(2t - 1)+ 1 =

t + 2

2 — í 2 ’ (2 — t2)2 ' 2 — t 2 1 ‘ 2 — t 2

Luego, reemplazando estos valores en la integral y simplificando, nos queda

J- h

2 dt

1= ln|2t — 1| + C = ln

2V2x2 + x + 1 - 2

CASO U. Si a > 0 , se hace la sustitución Vax2 + fax -f c = Vax 4- t.

Elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene bx + c = 2Vatx + t 2. De esta

dxecuacion.se obtiene que x y — son funciones racionales de t y por tanto, el

nuevo integrando es también una función racional de variable t.

Ejemplo 79. Calcule / = j Solución

dx

xVx2 + x + 1

Sea y = vx2 + x + l = x + t.

Elevando al cuadrado, se obtiene x2 + x + 1 = x2 + 2íx + t 2. Lue«o,

1

1 - 21, d x - 2

- r 4* td x , y =

- r + 1 - 1 1 - 2c(1 - 2t)2

Finalmente, reemplazando estos valores en I y simplificando, se tiene

t - l l _ Vx2 4-x + l - x - l/

' J

dt= ln

t 4- 1+ C = ln

Vx2 + X + 1 ~ X + 1



CASO III. El trinomio ax2 + bx + c tiene dos raíces reales r y s. En este

caso, la sustitución es y - Vax2 + bx + c = t{x - r).

Elevando al cuadrado, se obtiene

ax2 + bx + c = a(x - r)(x — s) = t2(x - r ) 2

Cancelando el factor x — r, resulta a(x — s) - t2{x - r).

dxDe esta igualdad, se sigue que x , — e y son funciones racionales de t y, por

dt

ende, el nuevo integrando es también una función racional de variable t.

dx

= / ;Ejemplo 80. Calcule / , ___________

W x 2 - 3x + 2 Solución

Como x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) , reemplazamos

y = y/x2 - 3x + 2 = V(* - 2)(x - 1) = t{x - 1)

Elevando al cuadrado y simplificando el factor x — 1, queda x - ¿ — t 2(x - 1).

Luego, se obtiene

2 — t2 2 td t t

x = t ^ íí ‘ d x= ó ^ w AFinalmente,

, dt V2 , = - 2 1 — = — !»

t - V 2

t + y¡2

V2

+ c = T ln

4 x - 2 4- y¡2(x - 1)

4 7 = 2 - j 2 ( x - l )+ C

1.6.4 INTEGRALES DE LA FORMA: J xm(a + bxn)p dx

A una expresión de la forma xm(a + bxn)p dx , donde m, n y p son números

racionales, se llama binomio diferencial. Pafnuty Lvovich Chevyshev (1821-

1894), el matemático ruso más eminente del siglo XIX, demostró que la integral

de los binomios diferenciales con exponentes racionales puede expresarse

mediante funciones elementales solamente en los casos siguientes (siempre que

a ^ 0 y b 0):

CASO I: p es un número entero

m + 1CASO II: ---- es un numero entero

n

m + 1CASO III: — :-- hp es un número entero

’ n

m + 1 m + 1Si ninguno de los números p , ---- , —--- h p es entero, la integral no puede

ser expresada mediante funciones elementales.

74

CASO I. Si p es un número entero, se hace la sustitución x = z r , donde

r = m. c. m. de los denominadores de las fracciones m y n .

m + 1CASO II. Si — -— es un número entero, hacemos la sustitución a + bx11 — zs,

donde s es el denominador de la fracción p (como p es un número r

racional, P = ~> con r y s números enteros coprimos)

m + 1CASO III. S i -1- p es un número entero, se utiliza la sustitución

n

a + bxn — zsxn ó ax~n + b = z s

donde s es el denominador de la fracción p.

Ejemplo 81. Calcule / = j x2^1 +x3 dx.

Solución

En este caso, m = 1/2, n = 1/3, p = - 2 e l (caso I) y m. c. m. {2,3} = 6.

La sustitución es x = z 6, dx = 6z 5dz, x1/2 = z3 y x1/3 = z 2.

Así, tenemos

, ~1/z f z3.6z5 dz .I = I TT— TT^dx = I TT— 7TT - 6 | ^ + ^ dz

Efectuando la división en el integrando, se obtiene

INTEGRAL INDEFINIDA

r x i/¿ r z3.6 dz r

= J (l+X1/3)2dX = J (1+Z2)2 ZZ6J Ido la división en el integrando, se obtiene

f f . , 4z2 + 3 \ ( z s 2z3 \ f= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - I ^ ) d z = 6 ( J - - + 3Z) - 6 j . i

, , , , 4z2 + 3 \ /z5 2z3 \ r 4z2 + 31 = 6 I |z* + 2z2 + 3 - „ , _,N, )dz = 6 ( - - — + 3 z )- 6 | --+ ^2)2dz

” 7 ” '

Para calcular la integral J, usamos la sustitución trigonométrica z = tan 6.

f 4z2 + 3 f (4 tan20 + 3)sec28dB [

I = J ¡ T T ^ f d' = J ---------------- = J ■'sen 8 + 3 “ “ "J

= / ( 3 + senI8)d$ = / ( 3 + Í Z | £ H ) í9 - ^ + C,

7 sen 0 eos 6 1 z

= 2 ° ----- 2--- + C l ' 2arC,a" Z “ 2( T T ? j + í:>

Por lo tanto,

6 3z/ = - z5 - 4z + 18z - 21 arctan z + ---- r + C

5 1 + z 2

= % x ^ - 4Vx + 18VÍ - 21 arctan \[í + + C5 1 + Vx



Ejemplo 82 Calcule } = J x1/3(2 + 2/3)1/4 dx.

Solución

1 2 1 m + 1En este caso, se tiene m = - , n — - , p = -~ y ---- = 2 £2 (c a so iI) ,

3 3 4 n

Ahora, la s titución es '

2 + x2/3 = z4, \¡x~x,z dx = 4z3dz ó dx = 6x1/3z3dz

Luego,

i j xll3(z4y /46xl,3z3 dz = 6 j x2/3z'* dz = 6 j (z4 - 2)z4dz

= 6 ( í - ¥ ) + C = \ (2 + " 2/3)9/4 - ( 2 + " 2/3)S/4 + C

Ejemplo 83. Calcule / = J

3 V ' 5

dx

t6(6 5 - x 6y /6 '

Solución

Escribimos la integral como / = j x_6(65 — x6)~1/6 dx.

1 m 4- 1Puesto que m = —6, n = 6, p = — - y --- —+ p = - 1 f 2 (caso 111);

6 71hacemos la sustitución

65 - x 6 = z 6x6 ó z6 = 65x-6 - 1, dx = - — x7z 5 dz65

Por tanto, tenemos

I = J x~6(z6x6)~6 — x7z 5 dz j = - — J z4 dz

1 . (65 - x6)5/b= Z5 + C = - - - — 7 — + C

325 325x5

Ejemplo 84. Calcule 1 = J VxV* 3 + 1 d i

solución

La integral tiene la forma 1 = J x1/2( l 4- x3)1/í2 dx . Luego,

1 1 m + 1m = - , n = 3, p = — y — ----1- p = 1 £ TL

Ahora, hacemos 1 + x3 = z2x3 ó x~3 + 1 = z z, dx = -2/3 x4z dz.

76

INTEGRAL INDEFINIDA

Entonces

/ I x ^ C z V y / 2 (-2 \ 2 - x 4z dzj = - - | x6z 2 dz =

2 r 1

~ 3 j ( z 2 -(z2 - í yv

Para calcular la última integral, usamos la sustitución z = sec0. Así, se tiene

2 f sec20 sec0 tan0 d9 2 [sec30 2 f

1 = ~ 3 j ----- S S ----- = “ a j = “ 5 Í

z “'dz

~ 3 j + cot20(-csc2fl)d0

1 r= -[cot0csc0 4- ln|cote 4- cscfl|] 4- C

• + ln1 4- z

Vz2""4- C

xVx4 +x 1 i i-----¡-------4- - ln x3/2 4- V I +x3 4- C

J 6 1 l

V i 4- e4*Ejemplo 85. Calcule / = J Solución

dtHaciendo t = ex, dx — — resulta

t

-dx.

rV T T e4* f v i 4-14 rVi 4- t4f 2( l 4- t4)1/4 d£

1 m 4-1Como m = — 2 , n = 4, p = — , ----- l-p = 0 E Z entonces

4 n

1 4- t4 = z4t4 ó t~4 4- 1 = z4 y dt = - t 5z3 dz

Luego, se tiene

/ = - J r 2(z4t4)1/4í=z3 dz = - j t4z4 dz = — Jj ) d z = -z ~ U

-dz

1 z2 4- 1dz

1-z-- ln

2 —1

z + 1

Finalmente, retornando a ía variable inicial x, se tiene

V l 4- e4x 1/ = ------------ ln

e* 2

V l 4- e4r — e;

V l 4- e4x 4- e*

1 / Vl 4- e4-v>4- - arctan I ---—-- | 4- f.-



6 dxEjemplo 86. Calcule J , ______________

senx veos3* + sen3x

Solución

Dividiendo numerador y denominador entre cos2x, se obtiene

¡ _ f 6 dx r 6 sec2x dx

J sen x Vco^FTseñ^x J tan x Vi + tan3x

Haciendo t = tan x, tenemos

6 dtf 6 dt f J = - j = = = = 6t-1( l + t 3y

J t V I + t 3 Jv 3dt

1 m + 1Puesto que m = - 1 , n = 3, P = Y — -— = 0 e Z , hacemos

1 + t 3 = z3, dt = t~2z2 dz

Luego,

J - J 6t~1(z3)~1/3t~2z2 dz = j 6t~3z dz = f 62 dZ

Pata calcular ia última integral, usamos e¡ método de descomposición en

fracciones simples, esto es,

J■ /

A B(2z + i ) + C

z 1 z 2 4- z + 1dz

Mediante operaciones, se obtiene que los valores de A, B y C son: A = 2, B = -1 y C = 4.

Por lo tanto,

2 f 2z + 1 f dz1

f 2 f 2 z+ l f d---Td z~ ~T~.-- r~7 dz + 4 ----J z — i J z 2 -;-z + i ) , i

(Z4' Í ) + l

= 2 ln|z — 1| — ln|z2 + z 4- 1| + arctan (— ——) + CV3 V V3 >

= 2 ln|(l + t 3)1' 3 - l| - ln|(l + t3) 2/3 4- (1 + t 3)1/3 + l| +

8 /2v l 4- £3 4- 1\+ —¡= arctan I ----- —--- ) 4- C , donde t = tan x

V3 \ V3

78

Calcule las siguientes integrales:

f ¿x1. I — — 57= R. 2Vx — 3xx/3 + 6x1/6 — 6 ln ll + x1/6! + C

J Vx 4- Vx 1 1

r -J~x Hy 102 ‘ J y + x 4/5 2x1/2 ~ Y xV1° + 10x1/10 “ 10arctan(x1/10) + C

f 5x2 + 20x - 243. ---- ;---- --- fl. 2(x + 5)s/2 - 20(x + S)3/2 + 2(x4- 5)v " + C

J Vx 4- 5

4. [ ................. ........ ....................... R. - arctan ( 1 4- -V2x — 3^ + CJ (2x + 5)V2x - 3 + 8x - 12 2 V 2 /

INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCIC IOS

. 8x + 2 lV 2 x - 5 (2 — x — 5)(8V2x — 5 + 15)5. ----- ;........ dx fí. -------- ------------- - + C

4 + V2x — 5 6

dx

(2x + 5)V2x — 3 + 8x - 12

■>P

f dx3. I --- -tttt— ;-----------------------ttftt /?. 4 tanh-1[(x 4-1)1/4| 4-CJ (x + I )3/4 - (x + I )5/4 7 J

f (x — 2)2/3 dx ,._____ /Vx - 2\7- J (je —2)2/3 + 3 * (x - 2) -9VFT2 + 9V3 arctan + C

f x1/7 + x1/23. x8/7 1S/14 dx R. 7X1' 7 - 14X1/14 + 28 ln(xJ/14 + 1) + C

i V F + i■dx

4 4R. — x5/4 — - x3/4 + 2x1/2 + 4x1/4 - 2 ln ( l + Vx}- 4 arctan - + C

9Vl~-10.

x - 9 , 4 /3x - 12\dx R. — ln|x + 9| - ârc tan I---- — ) + C

x + 9 ' 3 V2x + 18/

f 9V 1— x i-----— ........dr R. aresenx + V 1 - x2 + C

J V lT x

n . í- J

f 2 3¡2- x 3 /2 + x\z/3

12‘ J (2 — x )2 J ^ i- x dX R' +C

13. j Vsen2x + sen x dx /?. - VseiTic^señ^ - aresenVT^señx + C

14. J Vcos2x + cosx dx Ä. Vcosx — cos2x + arcsenVl — cosx + C



I

í

dx

(eos x - sen x) Veos~2x

¡1 -i- tan xR. ------- + C

J 1 - tan x

1 - x dx

1 4- x x2R. - ln

1 - V i - x2 V i - x2•4- C

f 2 — senx17. ------- eos x dx

J J 3 4- sen x

-------- ,------- ¡3 4-sen xR. V3 4- sen x V2 - sen x 4- 5 aresen --------y-C

18.f dx

J x2Vxz - 2x 4- 4

. /?.

19

20

Vx2 - 2x + 4 — 2

dx

3x

32(x - 4 + 2Vx2 — 2x + 4)+ ln

x - 4 + 2Vx2 - 2x + 4+ C

/ xVx2 4- 2x - 3

f dx

J (x - 1 )Vx2 - 3x + 2

2 /Vx2 + 2x - 3 -x>R. — arctan -------—----- + C

V3 V v3

¡x - 2R. 2. |---- 4-C

j x - 1

21' J —

x - x ‘■dx

•/

/

V2 - x - ;.2 V2R . ---------- 4- — ln

x 4

dx

V2| /2x + 1\— — aresen f - j 4-C

(x - 2)Vx2 — 4x + 1

1 / V3 ,R . -- — aresen ----1 4- C

V3 \x — 2 y

i - v nt x t x '23. I --- — dr

xV lR. ln

24 /

t x + r

dx

X + 2 - 2Vl 4- X -r x2!

X"--| -t- c

(1 4- x)V 1 4- x 4- x2R. ln

X 4- V I + X T X2

X424-V14-X + X'

INTEGRAL INDEFINIDA

27

28

■ J

/

/ (1 - V i 4- x 4- x 2) 2

X 2V l 4- X 4- X2dx

—2(vx 2 4- x 4- 1 - 1)R.----------------- f- ln

4-V T T x T x 2 - 1

x — V i 4- x 4- x 2 4- 14- C

X 4- x 4- 1

xVx2 - X 4- 1dx

2x - 1 r------- 19 | ,------ —,R. — ;j~ V * - x 4- 1 4- y i n |2x -14-2Vx2 - x-f lj 4- C

x 4- 2

(X - 1)VX‘ 4- 1

dx

zdx R. ln(x 4- V x2 + t ) ---— lnV2

1 Vx2 4- 1 ■ +

x- 1 V2

R, lntan x — vsec2x 4- tan x

tan x 4- 2 4- Vsec2x 4- tan x

4- C

+ c

30.dx

31 í

i V¿Zx 4- 4e* — 4

dx

1 /e* - 2\R. -aresen ----— 4- C

2 V ex\'2 >

(X - l ) 3V5x2 - 8x 4- 4

V

32. f - ^ — J (xz -

R.

dx

5x2 - 8x 4- 4 (4 - 3x)

2(x — l ) 24- ln

V5x2 — 8x 4- 4 4-.

x - 1-4- C

(Xz - 1)VX2 4- X - 6

R.1 / l l - 3x\ 1 ¡x t 1'3\-aresen —---- 4-— - aresen ---- 4- C4 \ 4x — 4 / 2v 6 v m t b /

33.Vx

J (V* + l ) 2dx

34. f

35.

36.

J Vxf dx

J (1 + x 2) 3/2

dx

3 0R. - x 2/3 - 6x:/3 4- — .... . 4- 9 ln¡x!/ i 4- l f 4- C

2 xv * 4-1

R. g (*1/3 + I ) 5/2 - 2(x1/3 4- I ) 3/*. + c

R. 4- C

VX2(1 T V x*)

V X 2 -r 1

R. 3 arctan x 4- C

www.FreeLibros.com

38./

dx


V i + X2

X 2( l + X 2) 3/ 2

39. J J (1 + Vx)3 dx

■ / «

f xs + y: ' ) 2 dx41.

42.v/ l + X 1/ 3

x2/3 -dx

43. J Vx(2 + Vx2)1/4 dx

/:

/ -

/:

4 7 . /

44.

45

dx

x3( l + X3)1/3

dx

V l+ x 4

, x5 + 2x2 46. —---— --dx(1 + x3)3/-

dx

48

x5(25 — x5)1/5

. e7* ( l — e3*)5/4 dx

R. - - 3

ñ.VI + x2

:+ C

— (7 V *- 4 )(1 + V í) 7/4 + C

n 2(4+ 3Vx)(2 - Vx)3/2 fí. --------- ------ '— + c

5x3 - 3K. — 40 (1 + *3)5/3 + C

/?. 2(1 + V x ) 3 / 2 + C

(2 + x2/3) 5/4

15( l0 x 2/3 - 16) + C

(1 + X 3) 2/3fi. -L- ^ + c

2x*

R. -ln 4

V i + x4

V i + X4 + X+ - arctan

2 I

1 + x4

R. - V I + x3 --- —á 3V1 + x3

+ C

+ c

R.*s\4/

i1 / 25 — x

100 \ x5 ;

- (1 - e3jc)1/4 - — (1 - e3*)i3/4 + — (1 - e3*)17/4 + C

49 . f -------- —J (sen2x

cosxsen7x dx

+ cos2x + sen4x)3/2

R- 7 (V 1 + sen4x + -— * )VI + sen4x '

50.r dx 1

v8x3 + 2'

27 ,2/9320

S 1 h

dx

(x~3 •+- I )4/3

128

3 \ 2/31 / I + x3V 'J

R- - 2 Í — ) - (1 + X 3)!/3

82

1.8 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

TRIGONOM ÉTRICAS

En general, las funciones que contienen combinaciones de funciones

trigonométricas no son integrables por medio de procedimientos elementales.

Veremos algunos casos en los cuales si es posible la integración.

INTEGRAL INDEFINIDA

1.8.1 INTEGRALES DE LA FORMA: J R(cosx; sen x)dx

En este caso, R es una función racional que contiene senos y cosenos. Para

transformarla en una función racional de variable z, se utiliza la sustitución

universal

xz = tan - <=> x = 2 arctan z

En consecuencia,

2 dz 1 — z2 2zdx = ----, eos x = —---- y sen x - ---- -

1 + z 1 + z2 J 1 + z

De esta manera, el integrando, que es una función racional que contiene senos y

cosenos, se transforma en una función racional de variable z.

f dxEjemplo 87. Calcule / = -------------

J cosx + 2 sen x + 3Solución

xSi hacemos z = tan - , entonces

2 dz, _ f T T z2 _ f dz _ f dz

J 1 - z2 , 4z , „ J z2 + 2z + 2 J (z + l )2 + 1l + z 2 + l+ z 2+ á

= arctan(l + z) + C = arctan ( l + tan-) + C

Observación 9. La “sustitución universal’’ ofrece la

posibilidad de integrar cualquier función racional de

sen x y eos x . Sin embargo, en la práctica, conduce a

menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por

esta razón, en algunos casos, es preferible usar la sustitución

auxiliar

t = tan x (*)

Con esta sustitución se tiene

dt t 1dx — ---- r, sen x = , cosx =

1 + t 2 ' V I + 12’ * V I + 12


TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN Ii

Esta sustitución (*) debe ser usada cuando la función raciona! trigonométrica

tiene la forma

i) J R(senkx ; eosnx)dx, donde k y n son números enteros pares.

ii) J R(tanx)dx

dx

J :Ejemplo 88. Calcule ) ,

J 3 + cos2x Solución

Considerando la observación anterior, usamos la sustitución auxiliar t = tan x. De esta manera, se obtiene

f T + F f dt 1 t (y/3t\ , „= ------i— = — ;--- = — = arctan — — + C

J 3 ¡ 1 J 3t2 + 4 2V3 \ 2ó + l + t2

1 /V3 tanx\— arctan -- --- + CV3 \ 2 /2V3

xEn este ejemplo, si utilizamos la sustitución universal z = tan-, obtenemos

2 dzj J 1 + z2 2(1 + z2)dz

- , A - z 2V J 4(z4 + z2 + 1)

V.1 + W

y es evidente que esta última integral ofrece mayores dificultades.

f tan xEjemplo 89. Calcule / = ----- — dx.

J 2 + tan2*

Solución

Empleando la sustitución auxiliar t — tan x , se obtiene

t _ f tdt í ( t t \ j ,1 ~ J (2 + t 2) ( i + t 2: = 1 ~ 2+T2) dt

■ = j l n ( t 2 + l ) - ^ l n ( 2 + t 2) + C

1, / t 2 + 1\ 1 /tan2* + 1\

~ 2 ( t 2 + 2 j + C _ 2 \tan2x + 2j + ^

84

f 2 4Ejemplo 90. Calcule / = I ---

J eos XSolución

Descomponiendo la integral, se tiene

2 4-3 eos x

INTEGRAL INDEFINIDA

2 4- 3 cos x

4- 4 eos2*dx.

c o s x ( l 4- 4 c o sx )■ /

- J 2 secx dx - j —

dx= [ ( —J \cosxcosx l + 4cosx/

I dx

5 dx

= 2 lnjsecx 4- tan x| - J -4- 4 cosx

5 dx

4- 4 eos x

JX

Para calcular la integral/, usamos la sustitución universal z = tan-. Luego,

1 4- z

10 1

(V3 z)2 V3 2V5ln

V3z4-V5

V3z-V54- C

= J lV3 tan^ 4- V5

V3 tan^ — V5+ C

Por lo tanto,

1 = 2 ln|secx 4- tan x| - - lnV3 tan 4- V5

V3 tan j - V5+ C

dx

4 - 2 V 1 - X 2 '

Ejemplo 91. Calcule I = I ----J 3 — x

Solución

Usamos la sustitución trigonométrica x = sen 0. Entonces

eos 9 ddI

sen 0 4-2 eos 8

zlhora, usamos la sustitución universal z = tan — . Luego,¿

1 — z2 2 dzí 1+z2 1+z2 _ f ___ vJ , 2z . 2(1 - z 2) ~ J (z2-

(2 — 2z2)dz

3 1 + z 2 1 + z 2

2z + 5)(z2 + 1)



Descomponiendo la última integral en fracciones simples, se obtiene

f r i /2z + 4\ 1 í{2z - 2) + 12

1 ~ ] [ s U 2 + l J 5 \ z2 — 2z + 5dz

- 1 í f 2z 4 _____—5 J Lz2 + 1 + z2 + 1 z2 -

2z — 2 12dz

2z + 5 (z — l ) 2 + 4J

= i Jln(z2 + 1) + 4 arctan z - ln(z2 - 2z + 5) - 6 arctan (^y~ )] + c

+ Ci r ( z2 + i

“ 5 ' " l z 2 -2 z + 5+ 4 arctan z - 6 arctan (

ln + 2x - 6 arctan

L x i ’ / tan 2 - 1

+ C

EJERCIC IOS

Calcule las siguientes integrales:

dx

‘ /

= í

! /

■ /

4 + 3 eos*

dx

2 + sen x + 3 cosx

dx

I t

2 + sen x

dx

5 - 3 eos x

sen x dx

+ sen x

,2,f sen x6. ------ 5- dx

J 1 + coszx

7' í :

tan:R. - arctan — —

7 l V7

V6,R. — ln

6

tan ^ - 1 + Vó

+ C

4* C

2 2 tan 9 + 1fi. — arctan ----—---1 + C

V3 \ V3

•t / x \ „ R. -arctan ^2 tan-J + C

R. X1 + tan 2

/tan x\

+ x + C

senz4x + tan24x

/tan x\R. v2 arctan ( j - x + C

I r 1 / tan 4xM „» . - § [ « ( 4 * ) + ^ arctan + C

86

8.

INTEGRAL INDEFINIDA

dx V2

3 + sen2* — cos2x ' 4R. — arctan(V2 taux) + C

f sen 2x

9- J sen^x + c o s « * ^ R ' arctan(™s 2x) + C

f 3 s e n x + 2cosx 12 510- 9 v + v dx T x - — ln|2senx+3cosx| + C

11

2 s e n x + 3 c o sx ' 13 13

C 1 + tan x

• J T — tan x dX R' — lnlcosx — sen x| -f- C

. dx 1

12' ' — q v r-r»c v R. ~ ln| 1 - 5 COt*| + C

sen x - 5

sen2x — 5 sen x eos x 5

¡ eos x 113- -- ¡--- 7----- R. - ln

J sen2x - 6 sen x -¡- 5 4 sen x -1- 1

1 /i f dx 1 / v 3 tan x \q--- 2— Te---------------------------------- t R. -^rarctan ------ —— j -í- C

J 3 sen2x + 5 cos2x ,,<ic \ , ; r ¡

1C . dx 1 |2tanx + 3 - v l 3~ 5 R. - = ln

V15 \ v5 /

1- C

16.

sen2x + 3 sen x cosx - cos2x ' v i 3 2 tan x + 3 + vT3

f dx

J-ccos2x + 5 eos x + 6

1 / 2 / tan?\R--— arctan —^ + — arctan — =r=- + C

V2 ^ v'2 y V3 ^ v'3 y

dxR. arctan(2 tan x -t- 1) + C

cos2x + 2 sen x eos x i- 2sen2x

] + Cfsen2x - 2 cos2x 8 /v'3 tan x',

*8. ----- --- dx R. 3 x — — a rc ta n ---—— ¡J 3 - cos2x • v6 'v v/2 ^

f spíi^y -i- rn^^r

19‘ jV e n 2x - c o s 2x d* * " ln|sec 2* + tan 2x| - sen 2x C

21

f 1 + tan x 1 1--------- dx R. -In|csc2x — cót 2x| + - tan x + C

J 2 sen x cosx 2 2

f sen x tan x l

J sen3x — cos3x dX R' 3 " 11 + C



ENTRETENIMIENTO

9.

A 1 V x 2 ~ 1dx R. arcsen— I-------- f- C

x x

arctan x V3 (x2 + V3x + 1\ 1 1R- --g--- 12 W 2— Vlx+T/ + 6arctan(2;t + + garctan(2x - VI) + C

3. J (arcsen x + — * — J dx R. x arcsen x + C

. . x + 2 dx !2x + 3

4' 1 i ^ 3 ' 3^ + l l x +10 2 arctan + C

dx

/ V2x

R. 2V* + 4 + 2V2* + 4V2 ln

V2x - Vx + 4

Vx - 2Vx + 4 + 4V2I

x - 4+ C

, f dx 3Vxo- ' 3p f1 3r-\? R- 3 arctan x 1-----r = t- C

J vx Vx (1 + Vx)2 1 + Vx

r7. J e*(cotx + lnsen x)dx r. e* lnjsen x¡ ■+• C

x4 1

4(1 — x4) + 4'8- J ( i - x 4)2dx R- 77; - * 4I + c

í & e*xI J — ¿dx R■ ~ 2e ~ 3e ~ 6eX - 6 h lle* - II + C

f y /a — X _ ________ _

10. — ---— dx R. a arcsen— 2Va v a - x - ia - x v x - rCj Va - vx a \

_ f senx + sen 2x + ... + sen(nx) 2 /n + 1 \i11- I ---- 7 --- ^ ;----z— -dx R . -ln eos ( -x) -t

J cosx + eos2x + ... + eos (nx) n + 1 \ 2 )\

12. j v 4 + e * d x R. 2y/4 + e2x+ 2 \nV4 -t- ex — 2\

=---! 4" CV4 + e- -í- 2!

88

INTEGRAL INDEFINIDA

3x- -f-

2Vx (4 — 3x2)V3x2 4- x — 4

Sugerencia: hacer tan 9 —

dx

Vx

R. lnV 3x2 + x - 4 + Vx

V3x2 - 44- C

V3x2 - 4

14.x2 dx

I

J 1 + x3 + 7(1 +X3)

|2 + 3x

R • — 1 + V i + x3 + C

x - 3dx

11R. V3x2 — 7x — 6 H-- — ln

2V3

16

17.

18.

f (x + l)dx IJ (2x + x2)V2x + x 2

2*

7 7x --- 1- x2--x — 2

6 ^ 3

R.

+ C

V2x + x2

1 — 4*dx

R- i- r in!n 4

1 + 2*

1 —2*-r C

r x - Vx - 2----- dr

J x2 — \¡{x - 2)2

R. -ln|^x - 2 + l| + -In|(x - 2)2/3 - (x - 2)1/3 + £|

1 ( 2 W = 2 - l\--- ■= arctan ---- =--- | + C

4V7 V V7

(4 + x2)1/2

(4 + x2y>2dx

25R. x - 5 in k/4 + x2 + x ¡-- =í=ln

1 1 V21

/7 — V3 tan arctan

V7 -i- V3 tan arctan

20. j e ^ d x R. ¡4x3/4 - 12x1/2 + 24x1/4! + C

f 1 1 21. I — sen— dx

1 1 1R. -cos— sen - + Cx x x

22. í-■ /

■ /

-dx\x - a

q —2,x

p2x ¿} — 2x dx

R. Vx(x - a) ■+• a injVx + vx - a| -1- C

R. -ln|e4* - 1¡ - x + C


IxV l - *24. I — dx

j r ^ x

■f

dx

cosx

arcsen-s/2*26. I dr

V1 - 2*

f 4* + l27' J 2TT


fi. - V4x2 - 12* + 8 - ì(2 x - 3)V4x2 - 12x + 8 -O

7 . _____________- -In 2x — 3 4- V4x2-12x + 8 + C

O I I

I X X\sec- + tan- + C 2 21

R. V2x- (arcsenV2x)(Vl - 2x) + C

R .x - 2 ln|2* + l| + C

f m + x

28 I . h r dxR. yjmx + x2 + m ln(V* + \jm + *) + C

29.

30.

/l i

V i — * 2

X“1

sen2* d*

arcsen * d*

+ b cos2*

, 2a + * la - x 31. 1 ----- I---- dx

r 2 a

J a-

■ /

x — *

V* + 1 - V* 2 + 1d*

? 3/2(1 — x ) arcsen x 1 In x

D _ ________________________________________________, f*

' * 3x3 6x2 3

(a + b\112 /V atanxX *

/— --- a — xi?. Va * - 2a I----- 1- C

Va + *

2 ^

/?. - (* + 1)3/2 + - [*V*2 + 1 + ln(x + V *2 + 1)] + C

r (* 2 - i)d * 1

J W l + 3x2 + x4 +

». j c o s h - ^ ^ ^ l + B n h -13 + V5 / arcsec (2*2 + 3)

— tan ( ------ 2----- ¿+ C

34. JV£

d*Va3 — * 3 .

2

3R. x arcsen ( | + C

\a3/2

35. / 4 - x

2 + xdx R. 3 arccos (~ y —) + 3V*2 - 2* + 8 + C

90

INTEGRAL INDEFINIDA

36. I dx

(x + l ) V l + 3 x +~ J ¿ (Su«erencia: “ = T T Í y usar binomios)

x + Vi + 3x + 3x2A. f in

1• -rln o

(1 + 3x + 3x2)3/2 V i + 3x + 3x2+ 1

1 /2V l + 3x + 3X2 — x\

' v f arctan [----- Wx------) + c

37. J see* sec 2* dx R. — lnV2

1 + V2 sen x

1 - V2 sen x

1-- ln

2

1 4- sen x

1 — sen x+ C

38. I J * 2 + * + 2 + 2V* 3 + * 2 + * + 1 d*

2 1R. - (* + 1)3/2 4- - [ *7 l + x2 4- ln(* + V* 2 + 1)] + C

Ií

(1 + e*)Ve* - 1

sec* Vsec2*

d*

arcsen (tan *)d*

e* — 1R. V2 arctan — ----h C

R. ln|arcsen(tan x)| 4- C

41.

42

43.

í I—J Jco sa

■ / v m

eos*

: dx

-dx, 0 < a < x < n

/ d*

(eos2* + 4 sen * - 5) cos *

R. - 2 arcsen |---^ | + Ccos-

a

R. — (2 e * - 3 ) ( l + e*)2/3 4-C

R. ln|(l - sen * )1/2(1 + sen x) 1/18(2 - sen x)~4/9| +1

/■/

dx

cos xV2 + sen *

tan * d*

(sec999* + 1)2

R. ln|Vl + sen x| H-- —ln1 2a/3

6 — 3 sen x

V3 4- V2 + sen x

V3 — V2 + sen x

+ C

+ C

R. ln|secx| - — -ln|sec999x + 1| + —— — — ■— 999 999(sec999x 4- 1)

+ C


46. r ______ ^ ______J x4 + a2x2 + a4


* í ^ ln

x2 + ax + a2

x2 - ax + a2

1 / aV3x ,-i--------------= arctan —--- | + C

2a3V3 \a2 — x2

47. Determine un polinomio cuadrático P(x) tal que P (0) = 1 y P '(0) = 0, de

48

f P(x)dx

™ doque 1

i. J x17 ln(x2) dx

49. J tan(lnx)dx

, f v r -r

52. i senh“1- dxK a

53. i tanh-1- dxJ a

50. | V i - eos xdx

ea da

x eax dx

(1 + ax')2

55. I x2 arccos - dx a

56. I x2 arctan- dxa

57

58

59

I /

/

■I

/c o th - 1© * *

r arccos j dx I I _______' J x2

arctan:

sea una función racional. R. P(x) = -3x2 + 1

R. 2x18

R. x — 2 arctan x + C

, /lnx 1 \

( i F ~ 324) + c

R. — 2 V i + cosx + C

1

1 + xre0 I-C

- xß. x senh 1 — J x 2 + a2 +C

a

R. x tanh | ln(a2 - x2) + C

rtCLX

R.a2( 1 + ax)

+ C

x 1Ä. — arccos - - - (x2 + 2a2)s¡ a2 - x2 + C

3 a 9

X3 y nv2 n3R. — arctan--- — + — ln(a2 + x2) + C

i a. 6 6

1 x 1 a + x/?. — arctan - + — ln-- r--- h C

x a 2a x2

R. x coth-1 - + ^ ln (x 2 - a2) + Ca 2

_ 1 x 1 a + Va2 - x2/?. — arccos-+ - ln ----------- h C

x a a x

92

INTEGRAL INDEFINIDA

60.

(cosx - sen x)

U“ U'

TT + ^

■ J

5 + sen 2xdx

+ C , u = x + Vx2 4- 1

1 /senx4cosx\

B- ¿ " " “ I ---- 2:----i+ C

dx

(x2 cos2a + x sen 2a + 1)2

x cos a 4 sen a

eos3 a Vx2 cos2a + x sen 2a + 1: “i- C

63. f sech5x dx J

1 3R. — sech3x tanh x + - [sech x tanh x + arcsen(tanh x)] + C

64. J (tan x + secx)20 sec2x dx

6 5 . /

■ í ,J cos4xV4 - cot2x

V d + x 2)5

66

dx

V(x - l ) 3(x + 2)5

(eos 2x — 3) dx

4 jx - 1K- 0 ---3 ^ x 4 2

ñ . -- tan x(2 + tan2x)V4 — cot2x + C3

67 J: -dx

,----, v ( l + * 2)5 J ( l + x2)3 V i + x2fi. ln(x 4 V I 4 x) - V . , — - V „ „ --------- + C

5x5 3x3

68Vsen3(2x)

dx4V2 r-

j senbx Sugerencia: hacer u = cotx

' V i 4 X8 <>9. I ------dx

> r ,13

/ ? . ---— Vcot5x 4 C

(1 4 x8)3/2 R. - , „ -i- C

f 3 i sen2x

7<)- J

7L í “J cosJ

dx

cos3x vsen 2x

12x12

R. — Vtan5x(5 tan2x 4 11) 4 C

V21 ,_____R. (tan2x + 5)Vtan x + C



7 2 . /1 + sen2*

2 eos2* Vsen *dx

' Vx - 1 + Vx - 1 73. | --------r---- dx

* J : x - 2

ex(x2 - 8)

75. J esenx(sec2x — esc2* + esc*) dx

J e*enh_1*(x V ÍT x 2 + i )76

(1 + x2)3/2

x2In2x ( l •+ lnx)

■dx

ñ77. | ——— y~--, / dx

•t- x¿ ln'

:(x + l )

+ e2xx 2

f ex(x + 1)

78, j _ i 4- 02xv2

■ ^ * ^ 2^ +

79. i ..■„ . „ „.. dxf e**

’ J ~1

• /

■ /

-t- xze2 ¿> 2at

(1 + gZarctan*)^ + * 2)

sen x + xcos x

dx

Vsen xR. ----- + C

cosx

ex(x + 2)R■ — - ..y 1 + C

x - 2

R. efefl*(tan x + cot x) -f C

,se nh~ 1x

R.(1 + * 2 ) 3 /2

R. x ln x - arctan(x in x) + C

R. - ln 2

xe* — 1■i- C

(1 - xsen x )V - l + x2 - x2cos2x: dx

x + 20 82. ---.... ...... dr

83.

V (5 - 4x - x2)3

In2(4* + 2(1+A:))

(2* + 5)V5 — 42* — 4Xdx

xex + 1

R. xex — arctan (xex) -t- C

R. arctan (earctani) T C

1 + xsen x/?. - ..... - + r.

V S e n 2x — 1

2x + 5 R. - + r.

V 5 - 4 x - x 2

1 - 2* (2X + 2 r — ... + aresen

84

. r

V 5 42^747 V 3

J esenx(csc2x - sec2x - cscx)dx R. - esen*(cotx + tanx) + C

94

INTEGRALDEFINIDA

2.1 SUMATORIAS

Sean m y n dos números enteros tales que m < n y / una función definida

para cada i e 1, con m < i < n. El símbolo

i « 0¿=m

representa la suma de los términos f(m ), f (m + 1), ...,/(n ); esto es,n

/ ( 0 = /(m ) + f(m + 1) + /(m + 2) + + /(n )

t=m

La letra griega S (sigma) es llamada símbolo de la sumatoria, i es el índice o

variable, m es el límite inferior y n es el límite superior.

Por ejemplo, si / ( i ) = i 2 , entonces5 5

^ T /( i) = i2 = 22 + 32 + 42 + 52

i=2 i=2

De la misma manera, si n > 1,n

^ sen(tx) = sen x + sen 2x 4- ... + sen nx

í=i

2.1.1 PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

n

1. a) ^ k = (n - m 4- l)fe , fe es constante

i=mn

b) ^ k = nk , k es constante

1=1

n n

2. fe ./ ( i) = fe ^ / (/) , k es constante

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3. ^ [/(i) ± g (i)] = ^ / ( i) ± ^ 5 (1) (Propiedad Distributiva)

¿~m i=m i-m

n

4. a) ^ [ / ( i ) - /(¿ - 1)] = f(n ) - f(m - 1) (Propiedad Telescópica)

:=m

n

b) 2 ][ /(0 - /(£ - 1)] = - /(O)

n

5- a) ^ [/(i 4- 1) - f ( i - 1)] = f (n + 1) + /(n ) - f(m ) - f(m - 1)

i~m

(Propiedad Telescópica)

n

b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )

400

Ejemplo 1. Calcule el valor de ^ (V ¿ — Vi — 1 4- 4).

i=5Solución

Por la propiedad 3, se tiene

400 400 400

^ (V 7 - Vi - 1 4- 4) = £ (V Z - Vi - l) 4- ^ 4

; = £ ; = 5 i = S

En la primera sumatoria, aplicando la propiedad 4-a para / ( i ) = V i , m = 5 y

n = 400, se obtiene

400

^ (V 7 - Vi - 1) = (v'400 - V4) = 18

1 = 5

En la segunda sumatoria, aplicando la propiedad 1-a para k = 4, m = 5 y

n = 400, se tiene

^ 4 = (400 — 5 + 1)4 = 1584

Por tanto,

400

]T(V7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^ 4 = 18 + 1584 = 1602

96

INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 2. Calcule una fórmula para ^ [ ( i + l )2 - (i - l ) 2].

Solución

- ;2Si / ( i ) = i 2 , entonces / ( i + 1) = (i + l )2 y /(¿ - l ) 2 = (¿ _ i ) 2. por tant0)

por la propiedad telescópica 4-b, se tiene:n

^ [ ( i + l )2 - (i - l ) 2] = (n + l )2 + n2 - l 2 - O2 = 2n2 + 2n ó

1 = 1 n

^ [ ( ¿ + l ) 2 - ( i - l ) 2]) = 2n (n + l ) (a )

£ — 1 .

C'omo (i + l )2 - (i - l )2 = 4¿, reemplazando esta igualdad en (a) se obtienen

^ 4i = 2n(n 4- 1)

1=1

De esta parte se deduce una fórmula muy conocida:

V 1 . n(n + 1)

L 1 ~ 2í= i

Ejemplo 3. Usando las propiedades de la sumatoria, demuestre que:

. _ n(n 4- 1) ^ n(n 4-l)(2n 4-1)y . n (n + l ) y

= — r - b> ¿ /Í=1 1 = 1

v -3 _ n2(n+ l )2 V ¿4 _ n (n + 1K 6n3 + 9n2 + n - 1)

Z / 4 Z / ~ 301=1 i=1

Solución

a) Ver ejemplo 2.

b) Consideramos f ( i ) = i3. Usando la propiedad 5-b, se tienen

£ [ ( ¿ + ~ ~ l ) 3] = (n + l ) 3 + n3 - l 3 - O3i = l

Simplificando en ambos lados y luego aplicando las propiedades 3-b, 2-b y 1-b de la sumatoria, obtenemos

n n n

^ ( 6i2 + 2) = 2n3 4- 3n2 + 3n <=> 6i2 + 2 = 2n3 4- 3n2 4- 3n

Í=1 i= i n n

<=> 6 i2 + 2n = 2n3 + 3n2 4- 3n 6 i 2 = 2n3 4- 3n2 4- n

¿=i ¿=i


Finalmente,

n(n + 1)(2n 4-1)


I 6í=i

c) y d) Ejercicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.

Z a(an — 1)a1 = ------- .

a — 1£ = 1

Solución

Aplicando la propiedad 4-b a / ( i ) = a' y luego aplicando la propiedad 2, se tienen n ■ n

^ ( a ‘ - a '-1) = a " - 1 <=> ^T (a ' - —) = a " - 1 <=> ^ ( - ----)a ‘ = an - 1

i= i 1=1 i= i

Finalmente,

V i _ a (an ~ 1)

Z a ( a - 1)

n

Ejemplo 5. Determine una fórmula para ^ sen kx.

k=l

Solución

Para calcular la sumatoria de senos o cosenos, se considera como / ( i ) la

cofunción de la función que aparece en la sumatoria y se aplica la propiedad

telescópica 5-b. En este caso, f (k ) = eos kx. Así, se tienen

^[cos (k + 1) x — eos (k — 1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — í

k = i

Utilizando las identidades trigonométricas para eos(a ± b) y simplificando, se

siguen

^ ( - 2 sen x sen kx) = cos(n + l)x + cosnx — cosx — 1

k = in

-2 sen x sen kx — eos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1

k=1

Finalmente,

zcos(n + l)x + cosnx — cosx — 1

sen kx = ----------- ---------------2 sen x

98

INTEGRAL DEFINIDA

n

Kjemplo 6. Halle una fórmula para ^ fc fe!

fc=i

Solución

Si f (k ) = (k + 1)1, por la propiedad 4-a, se tiene

n

^[ (fc + l)!-/c!] = (n + 1)! — 1

k=1

n

J][fc!(k + l)-fc!] = (n + l ) ! - l

k=l

I-inalmente,

, „ v->tanhl9/cxEjemplo 7. Determine una formula para > -------- .

Z_i sech 19 kx k=1

Solución

Ztanh 19 to— — = > senh 19 kx

sech 19 kx í-uk=1 k=l

Se procede de manera similar a lo realizado en el ejemplo 5 para la función

trigonométrica. Si /(/c) = cosh 19 kx , por la propiedad 5-a, se tiene

H

^ [cosh 19(k + l)x - cosh 19(fc - l)x] = cosh 19(n + l)x + cosh 19 nx - cosh 19 x - 1 k-1

n

2 senh 1 9 x ^ senh 19 kx = cosh 19(n + l)x + cosh 19 nx — cosh 19x - 1

k=l

Finalmente,

nV 1 cosh 19(n + í)x + cosh 19 nx - cosh 19 x - 1> senh 19 kx = ------------------ -------------------

Z-j 2 senh 19 xk = 1



n

Ejemplo 8. Halle una fórmula para /? = ^ bk sen(x + ky).

k=1

Solución

Aplicando la propiedad 4-a a /(fe) = bk sen(x + fey), se tiene

n

sen(x 4- ky) - ¿k_1 sen(x + (k - l)y)] = bn sen(x + ny) - sen*

fc=l a

n 71y bk sen(x + ky) — bk sen(x + ky — y) = a

fc=l_________________ k=lP

1 nP — — ¡T &fc[sen(x + /cy) eos y — sen y eos (x + /cy)] = a

fc=i

n/ cosy\ sen y v-» ,( l --—J p -\— -— ^ bk cos(x + /cy) = a (1)

k = l__________________(5

Para determinar (5), aplicamos el criterio inicial.

n

cos(x + ky) - b ^ 1 eos (x + (k — 1 )y)] = bn eos(x + ny) — eos*

k=l

n

5 — — ¿ fc[cos(x + ky) eos y + sen(x + ky)sen y] = bn cos(x + ny) - cosx

k= 1

Luego,

sen y b -S = ------- (a)+-;-------[í>n eos (x + ny) — cosx] (2)

o-eosy o-eosy

Finalmente, reemplazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes,

obtenemos

b(b-cosy)

b2 — 2¿cosy + 1

seny(bn cos(x + ny) - cosx) sen(x + ny) — sen x ------

100

INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 9. Determine una fórmula para ^ ln(k + 1).

k=1

Solución

Desarrollando la sumatoria y aplicando las propiedades del logaritmo, se obtiene

n

y ln(k + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln(n + 1)

k = 1

= ln[2.3..... n. (n + 1)]

= ln[(n + 1)!]

EJERCICIOS

Determine una fórmula para cada una de las siguientes sumatorias.

n

1

: = 1

. ^ ( V 2i + 1 - V2¿ - 1) R. V2n + 1 - 1

; = 1

100

I ln( ¡ d h ) «■ - |n(5151)k=i

3- I

n4 4n

R.(4fe - 3)(4fe + 1) ' 4n + 1

k-\4

Sugerencia: descomponer en fracciones parciales a:

4■I(4fc - 3)(4k + 1)

2k + 3k 3 1 1

6 k ' 2 2. 3n 2 1'k = 1

2k + fe(fc + 1) 1 1R. 1Z2 +

2 +1(fe2 + fe) ' 2n + 2 2n_1/í = 1

v -1 ek + 2 e 3n - en

k~ 1


TOPICOS DE CÁLCULO-VOLUMEN I!

n

Y —k2 - 1k=2

R. 32n + 1

n(n + 1)

* Zk = 1

u

»• Z

VfcTT-Vfc

V/c2 + kR.

yn - 1 - 1

vn + 1

(/c + l)(/c2 + 5/c + 6)

n¿ + 3n + 3

2 (n + 2)(n + 3)

” Z (fc + x)(/c + x + 1 )(k + x + 2)

^ ¡ „ [ ( í + i / a + k )

Z i ln kk[\n(k + l ) k+1]k = 1

12. zfe=l

2k + 1

k 2(k + l ) 2

u

13. ^ cos(3/cx)

/¿=i

14. y ( i i — i , ' )Lu Vio* iook) k = 1

- í s rfe = l

100

+ 6k -f 4

16. ^ s e n 2/c(2x)

k~l

100

z^

fí.n(2x + n + 3)

2(n + * 4- l) (n + x + 2)(x + 2)(x + 1)

R.1

R.

2 ln 2 (n + 1) ln(n + 1)

n(n + 2)R. ------ -

(n + l ) z

sen 3(n + l)x + sen 3nx — sen 3x

2 sen 3x

269 /102n - 1R.

/?.4(n + 2)

R. tan2(2x) (1 - sen2002x)

R.1

k = 1

1

16 1 6 ( 5 " ) 598

102

3. ^ k xk 18. > kx*-1 R.nxn+1 - (n + l ) x n + 1

INTEGRAL DEFINIDA

(X - 1 ) 2fc=l

II

19. ^ 5k sen(5/c - x)

k=l

5[(5 — eos 5)(5n sen(5n — x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n — x) — cosx]R.

4(13 — 5 eos 5)

Z; "" "n K

16 ese kx20

2 1 .

cot5kx sec9kxk=1

4[sen(2n + l)x + sen(2nx) — sen 2x]R. 6n +------------- ——------------+

sen(2x)

[sen 4(n + l)x + sen(4nx) — sen 4x]

sen 4x

1 eh - [3 sen a eos a]k

3kk=lI

e [(3) ~ l] sen 2a[(sen a eos a )n - 1]

e — 3 sen(2a) - 2

< - z" 1 0 1 1 5

22' 24 + 10/c - 25/c2 ^ 5n + 4 + 5n - 1 4k = 1

23.

k=i

^ k 2k R. (n - l )2 n+1 + 2

k = i \

n

24. ^ cos2Í£3;c R. cot23x[l - cos2n(3x)]

k=l

k=125' Z l o g „ ( 22k)log„(22k+2) R’ (log„ 2)2 (2 2(n + 1))

X 'r 1---- nk V3 + x[(3 + x)n/2 - l]26. > [V3TÍ] R. - 1 J

k= lV 3 + X - 1


2.2.1 PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO

Definición 1. Sea [a;b] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b]

es el conjunto P de puntos x0,xu x2, ...,xn; con a = x0 < x 1 < x 2 ... < xn = b.

Se denota con P - {x0, xv x2, ..., *„}.

Observación 1

i) Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos al intervalo [a; b],

ii) La longitud de cada subintervalo [x¡„1;xt\, para i = 1,2, ...,n , se denota

con A¿x = Xi — x¡_1 . Se verifican

^ Atx = b - a

(.=1

iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número

||P|| = máx{AiX / i = 1,2, ...,n}

iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada

subintervalo es

b — aAx = ----

n

En este caso, los extremos de cada subintervalo son

xQ = a , x-l = a + A * , x2 = a + 2Ax,..., x¡ = a + iAx ,..., xn = b

2.2.2 APROXIM AC IÓN DEL ÁREA DE UNA REG IÓN POR ÁREAS DE

RECTÁNGULOS

Sea / : [a; b] -> R una función continua y no

negativa ( f ( x ) > 0) en [a;b]. Sea R la

región plana limitada por las gráficas de

y = / ( * ) » las rectas x — a , x = b y el eje

x (llamada región bajo la gráfica de / de a

hasta b) (fíg. 2.1).

Sea P = {x0,x1,x2, una partición [a; b].

Por la continuidad de / en [a;b], podemos

elegir un conjunto de puntos u1(u2, —,u n, de

tal manera que / ( u ¿) sea el valor mínimo de /

en [x i- ijx j, i = 1, 2,. . . , n.


2.2 CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA POR SUMATORIAS

104

Asi, construimos n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas

respectivas alturas son / ( u 1) , / ( u 2), . .. ,f (u n). Las áreas de estos rectángulos son

/( iíJA jX , / ( u 2)A2x , . . . , f ( u n)Anx respectivamente.

Los n rectángulos considerados forman el llamado polígono rectangular inscrito

en R (fig. 2.2). El área de este polígono lo denotamos con /(P) , es decir,71

K p ) =

¿=i

INTEGRAL DEFINIDA

De manera similar, elegimos vx, v2, ..., vn en los n subintervalos de P. de modo

que /'(v¿) es el valor máximo de f en X¿], £ = 1, 2, .... ?i, y construimos los

n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas alturas respectivas

son/(i;1) ,/ ( i;2),...,/'(i7n).

El polígono rectangular formado por estos n rectángulos está circunscrito a la

región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C(P), está dada por-n

C(P) = 2 J f ( v¡)Aix

¡=i

Dadas dos particiones Pt y P2. Si / (P J es el área del polígono inscrito y C(P2)

es el área del polígono circunscrito, se verifica

l(P\) < C(P2) para toda partición P1 y P2 de [a; b] (I)

Sea L el conjunto de todas !as áreas de los polígonos rectangulares inscritos en R,

es decir,

i = {/(P) / P e s partición de [a; b]}

y U el conjunto de todas la áreas de los polígonos rectangulares circunscritos a R,

esto es,

U = (C(P) / P e s partición de [a; b ]}


Como cada número del conjunto L es menor o igual que cualquier número del

conjunto U (por 1), entonces L es acotado superiormente y U es acotado

inferiormente. Por lo tanto, existen

= sup(L) y As - inf (U)

Por definición de ínfimo y de supremo, se verifica

1(P) < A¡ < As < C(P), de donde A¿ < As

Por lo tanto, el área^4 de la región R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre At y As,

es decir, A¿ < A < As

Se demuestra más adelante que A¡ = í45. Luego, se puede definir el área A de la

región R como

A = A¿ = As

También se demuestra que si t1, t 2,.. . ,tn son puntos elegidos en los n

subintervalos, es decir, 6 [ x í^ x J , i = 1, entonces

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN U

0 0

Observación 2

i) Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada ti es el extremo

derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ¿Ax, i = 1,2,...n ) y teniendo en

cuenta que ||P|| -» 0 <=> n -* oo, entonces (II) puede ser escrito como:

A = lim l 'S ' f (t i)A x ) ó A = lim I Ax'Y' / ( t j j u 2 ... (III)n-»co J n->°o y ¿—i J

b — adonde Ax = ----, t¡ = a + ¡Ax , i = 1 , , n

n

(Esta fórmula es un caso particular).

ii) Si cada t¡ es el extremo izquierdo de cada subintervalo. entonces

t¿ = a + (i - l)Ax, i = 1,..., n

Ejemplo 10. Por rectángulos inscritos, calcule el área de la región R limitada por

las gráficas de y = x + l , x = 0, x = 3 y el eje x.

Solución

La gráfica de la región se muestra en la Fig. 2.4. En este caso, / (x ) = x + 1,

a = 0 y b = 3. Como / es creciente en [0; 3], / presenta mínimo en el extremo

izquierdo de cada subintervalo, es decir,

3 - 0 3t¡ = a + (t — l)Ax, i = 1.....n , donde Ax = ---- = —

106

3 3 3 3 3Kntonces t¡ = 0 + (/ - 1)- = - i -- y f(t¡) = t¡ + 1 = -¡ + 1 ---- .

n n n n n

Por tanto, utilizando la fórmula dada en la observación 2 y la sumatoria de i, leñemos

INTEGRAL DEFINIDA

A = limn-»co

= lim -*->oo /n

Fig. 2.5

Ejemplo 11. Por rectángulos circunscritos, calcule el área de la región R limitada

por las gráficas de y = x2 , x = 3 y el eje x.

Solución

El gráfico de la región R se muestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce

que a = 0 , b = 3 y, por tanto, Ax = 3/n.

Como / es creciente en [0; 3], / tiene valor máximo en el extremo derecho de

cada intervalo. Así,

t¡ = a + iAx ó ti = - i y f ( t i) = — i2

Luego,

A = lim I- Y Vn-*co \ nZ-i n¿

i=in-*co \ u J n-*co \ j l '

27 n(n + l)(2n + l)

3

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11

En los ejemplos que siguen, no se tendrá en cuenta los rectángulos inscritos ni los

rectángulos circunscritos. Los puntos serán considerados corno los extremos

derechos de los subintervalos.

Ejemplo 12. Calcule el área de la región R limitada por las gráficas de

y = 3 + x + x3, x = — 1, x — 2 y el eje x.

Solución

a = —1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x3

12 27 „ 27y / ( t , ) = i + I r ¿ - - t í 2

Para calcular el área de la región (Fig. 2.6), se tendrá en cuenta la sumatoria de i,

de i2 y de i3.

A = limn- * oo

3 s r í 12 27 27 \- ) 1+ — i - — i 2 + — i 3 n ¿ j \ n nz r? )

! = 1

\3{ 12 n(n + 1) 27 n(n + l)(2n + 1) 27 n2(n + l )2= lim — nH------- ------- ---------------- 1- — ---------

n n 2 b 4

= limn-*oo

3 1 + 6 57 2

Fig. 2.6 Fig. 2.7

Ejemplo 13. Calcule el área de la región R limitada por las gráficas de y = ex.

x = O , x — 1 y el eje x.

Solución

La región se muestra en la Fig. 2.7. La longitud de cada subintervalo es Ax = —,

1 h 71 ti = ~ i Y f(t¡) = en

108

INTEGRAL DEFINIDA

1 n este caso, usaremos el resultado obtenido en el ejemplo 4 para a = Asi,

1 e i / n [ ( g l / n y l _ j y

A = limn-*co

limn-»cn

— > en n L-a

= limn-»co

1 en(e — 1)

n e1/11 — 1

- 1

1

= (e — l ) l im77

(*) Se hace el cambio de variable x = — => lim— e1,n

= (e - 1) u2 (*)

x e= lim—— - = 1.

n n->oo e l /n — l *-*6 e* — 1

(Al aplicar la Regla de L’Hópital al último límite)

Ejemplo 14. Calcule el área de la región bajo la gráfica de / (x ) = sen x en

10; tt/2J.

Solución

La gráficí

en la Fig. 2.8. Así, tenemos

La gráfica de la región se muestra

n nAx = — , t¿ — — i y

2 n 2 n

71

f(.ti) = Sen^ ¿.

limn-*-»oo

Tt V 1 TI— > sen— i 2n jLu 2n

í=i

Fig. 2.8

= limn-*oo

n I" 1 + eos ( ^ ) - eos ( n ^ ) - eos (n + 1)

2ñ )2n I

2sen®(**)

= lim1 + cos ( ín ) “ cos (§ ) ~ cos

sen

[1 + 1 - O - 0]

■ 2(1) .1 u2

(**) Se usa el resultado del ejemplo 5 para x = n¡2n.



Ejemplo 15. Calcule el área de la región bajo la curva y = senh x en [0 ; 1],

Solución

La región R se muestra en la fig. 2.9.

Se tiene

1 1 (\ \Ax = - , t; — — i y / ( t í) = senh -¿

n n \n J

í É senhG i)1 = 1

i cosh (n + 1) —+ cosh fn ■ — — cosh i1 v J n \ nJ n

A = limn-> co 7

y - senhx

/

Fig. 2.9

limn-*co

- limn-*co

2 Se „ h ( i)

cosh ( l + ^ ) + cosh 1 — cosh — 1 2 cosh(l) - 2(cosh(l) - l) u 2

Ejemplo 16. Calcule el área de la región limitada por las gráficas de y = 2\¡x ,

eje x, y x = 9.

Solución

Para evitar la sumatoria de la raíz cuadrada, tomamos como variable

independiente a la variable y, es decir, / (y ) = y 2/ 4. La región está limitada por

las curvas / (y ) = y2/ 4, g(y) = 9, las rectas y — 0 e y = 6 (fig. 2.10).

•El área del i-ésímo rectángulo es [g(Zi) - /(z,)]Ay.

Por tanto, el área de la región está dada por

110

INTEGRAL DEFINIDA

donde Ay = £ , z¡ = 0 + ¿Ay = , g(Zi) = 9 y / ( z f) = = ~ in n 4\n ) n¿

6 V 9- ) (9 -- - i2)ruL-¡ n-

Como g(z¡) - f (z ¡) = 9 - — i2, se tiene 4 = limná‘ n-* oo

= 36 u2.

EJERCIC IOS

Ln cada uno de los ejercicios siguientes, encuentre el área de la región limitada por las curvas dadas.

L y = (x — l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el eje x

2. y = x2 , x — 0 , x — 2 y el eje x

3. y = 4 - x2 y el eje x

4. y = 4 - |x|, x = —4, x = 4 , el eje x

5. y = 2vx , eje x , x = 0 , x = 4

6. y = x3 , x = - 1 , x = 1 , eje x

7. y = 12 - x2 ,ejex , x = -3 , x = -2

Si. y = 2 - '!* (, e jex, x = - 2 , x = 2

9. y = x2 , y = 4 - 3.x2

R. 2385/4 u 2

/?. 8/3 u 2

fi. 32/3 i¿2

/?. 8 u 2

R. 32/3 i¿2

/?. 1/2 u 2

R. 305/6 u2

R. 4 u 2

/?. 16/3 u 2

10. y - m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , con 0 < a < &

11. y = x2 - 2x - 1, eje x , x = l , x = 4

-> *12. y = 3x - 3x‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i

13. y = cosh x , x = 0 , x = l , ejex

14. y = eos x , x’ 2 - * = 2 ' eje*

m(b2 — a2)

R■ — j----

/13V2 \ ,«. i —

R. 1/6 u2

R. senh(l)w2

R. 2u 2

15. 4y = (x -_J)2 , 4y = (x + 4)2 , 4y = -(x - 4)2 , 4y = -(4 + x)2

R. 64/3 u2

16. y = 3x2 , y = -1 - 3x2 , x = 0 , x = 3 R. 57 ir


En esta sección y en las siguientes, hasta la sección 2.10, las funciones

consideradas están definidas en un intervalo / = [a; b], con a < b.

Definición 2. Si Px y P2 son dos particiones de /, se dice que P2 es un

refinamiento de Px cuando c P 2, Se comprueba fácilmente que si P2 es un

refinamiento de Pj , entonces ||P2|| < ||Pil|.

Definición 3. Sea una función acotada en / = [a; b] y

p = {x0,x1, ...,xn} una partición de /. Con I¡ denotamos al j-ésimo subintervalo

de /, es decir, l¡ = [xy.jjxy], j = 1,

Como / es acotada en ¡, existen m¡ y tales que

m¡ = inf{/(x) / x £ Ij} ; M¡ = sup{/(x) / x £ I¡}

Se cumple: m¡ < / (x ) < M¡, Vx £ I¡ , j = 1,2, ...,n.

Definimos:

a) La suma inferior de / para P, que se designa con S(/; P), se define como

n n

S(f; P) = ^ mj(xj - xH1) = ^ m;Ayx

7=1 7=1

b) La Strma superior de / para P, que se denota con S(f', P), se define comon

S (f ,P ) = Y J Mi* ix j'=l

Ejemplo 17. Sea / (x ) = fe la función constante definida en / = [a; b}. La

gráfica de la función se muestra en la fig. 2.11. Se tienen n

S_(f. P) = ^ kAyX = fe ^ Aj-x = fe(£> - a), donde fe = inf{/(x) / x e //}

■ • 7 = 1n n

S ( f ,P ) = ^ kA¡x = fe y A,x = fc( j - a ), donde fe = sup{/(x) / x £ /,}

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 11

2.3 SUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIOR

Fig. 2.11

112

Fig. 2.12

(K.j c ni pío 18. Si / (x ) = x , x £ 1 = [a;b], entonces

n

p) - xj-iAjX, donde = inf{/(x) / x £ /,■},_/ = 1, 2,..., n

7 = 1

n

= ^ X já jX , donde x;- = sup{/(x) / x £ /y},y = 1, 2, ...,n

j~ 1

I ;i gráfica de la función se muestra en la Fig. 2.12.

K jcmplo 19. Consideremos "la función de Dirichlet”

c , s (1 , si x es racional , r

lo , si x es irracional 1 x e ~ ]

Para cualquier partición P se verifica que m¡ = 0 y M¡ = 1 , j = 1,2, ...,n.

Luego,

n n

0.A;x = 0 y 5(/,P ) = ^ 1.A;x = ¿ - a

7=1 7=1

2.3.1 SIGNIFICADO GEOM ÉTRICO DE LAS SUMAS SUPERIORES E INFERIORES

Las sumas superior e inferior poseen una interpretación geométrica simple.

Ln primer lugar, analicemos el significado del producto hjAjX, donde h¡ es nij

ó Mj y A¡x es la longitud del subintervalo Ij = [xy-^xyj.

Si hj > 0 . entonces hjAjX es numéricamente igual al área del rectángulo de base

/, y altura h¡. Si h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0, entonces hjA¡x es

numéricamente igual al opuesto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura -hj.

Por esta razón, al número hjAjX lo denominaremos área algebraica del

rectángulo cuya base es Ij y altura es \hj\ , es decir, el área algebraica es positiva

si el rectángulo esta sobre el eje x y negativa, si está debajo de eje x.

lin la sección 2.2.2 (figuras 2.2 y 2.3), vimos que cuando / es no negativa en /,

S_(f>P) y ^ ( / .P ) (que denotamos por/(P ) y C{P)) son, respectivamente, las

áreas de los polígonos rectangulares inscrito y circunscrito a R, donde R es la

región limitada por las gráficas de / , las rectas x = a , x = b y del eje x.

INTEGRAL DEFINIDA

5(/,P ) = y


En las figuras 2.13 y 2.14 se muestran, respectivamente, S ( f ,P ) y S ( f ,P ) $ m a

una función que no necesariamente es positiva.


La condición de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los

valores m¡ y M¡ . Estos números se definieron como los ínfimos y supremos, en

vez de m ínimos y máximos (como se hizo en la sección 2.2.2), ya que en esta

oportunidad no se exigió qug / sea continua.

2.3.2 PROPIEDADES DE LAS SUMAS SUPERIORES E INFERIORES

Como / es acotada sobre /, existen m y M tales que

m = inf{/(x) / x £ /} y M = sup{/(x) / x £ /}

Proposición 1. Sea / una función acotada en / = [a;b] y P = [x0,x-i. ...,xn}una partición de /. Entonces

m(b - a) < S ( f ,P ) < S ( f ,P ) < M(b - a) (1)

Demostración

Se tiene m < m, < Mj < M. Multiplicando todos ios términos por A¡x > U y

sumando las relaciones obtenidas para j = 1,2, ..., n , obtenemos

n n n n

^ mAjX < rtijAjX < ^ MjAjX < MA¡x ó

7 = i 7 = i ; = i j = i

« n

m X A¡x - ajxj= i j= i

n

Como ^ Ayx = b - a, entonces m (¿ - u) < 5(/, P) < 5(/, P) < M(¿ - a).

INTEGRAL DEFINIDA

Proposición 2. Si / es una función acotada en /, y y P2 son dos particiones

de I tales que P2 es un refinamiento de Pr , (Pt c P2), entonces

‘0 •!(/. Pi) < S(f, P2) y 5 (/, Px) > S(f, P2)

b) Si P2 — P1 tienen r puntos, entonces

í ( f ,P 2 )- S ( f ,P í )<r(M-m)\\P1\\

5 ( / ,P i)- S ( / ,P 2) < r ( A í- m)||Pj

Demostración (se deja como ejercicio para el lector).

Proposición 3. Sea / una función acotada en /, y Px y P2 dos particiones

arbitrarias de /. Entonces

• S (/.P1) < 5 ( / .P 2) (2)

Demostración

Sea P — Pa U P2. Como Pt c. P y P2 c p , por la proposición anterior, se tiene

S t f .P j lZ S i f .P ) y S ( f ,P )< S ( f ,P 2)

Por la proposición 1, se tiene S (/,P ) < S (/,P ). Luego.

S (f,P 1) < S ( f ,P 2)

2.4 INTEGRALES INFERIORES Y SUPERIORES

Denotemos con D a! conjunto de todas las particiones posibles de l. Si / es

acotada en /, la desigualdad (1) es verdadera para todo P e D y asegura que el

conjunto {S(f,P ) /■ P £ D} es acotado superiormente v- el conjunto

\S(f,P) / P e o ) es acotado inferiormente.

Definición 4. Si / es una función acotada en /, el número sup{5(/, P) / P £ D)

se denomina integral inferior de / en / y se indica como

/ = f f(x)dx = sup{S(f, P) / P e D]J C

El número inf{S(/\ P) / P £ !)} se denomina integral superior de f en / y se

indica como

f 5/ = | / (x)dx = inf{S(/,P) / P e o }


2.4.1 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES SUPERIORES E

INFERIORES


Si / es función acotada en /. entonces

_ r b r b

]_ < J ó I f{x)dx < I f{x)dx'a

(3)

2. Si / es función acotada en /, entonces

m(b - a) < ) _ < ] < M(b - a) (4)

donde m = inf {f(x) / x E 1} y M = sup {f(x) / x £ /}.

3. Si / es acotada en /, existen q y c2 E / tales que

]_ = f(c- j(b - a) y ] = f{c2)(b - a) (5)

de modo que m < f(c{) < f (c 2) < M.

4-. Si / es acotada en / y c £ (a ;b ) , se tiene

'•O rC r O

f(x )dx = j f(x )dx + I f(x )dx

b rC rb

f(x )dx = J f(x )dx + J f(x )dx

2.5 INTEGRAL DE RIEMANN

Definición 5. Se dice que una función acotada f : ¡- > K es integrable Riemann

en / sirb

íJa

J = [ f(x)dx = í f(x)dx = f f(x)dx*'a Ja Ja

Por simplicidad, se llama integral de / sobre / o integral definida de / sobre /

o integral de / de a hasta b.

En j f(x )dx , el símbolo j es llamado símbolo de integración.

Este símbolo, que es una S alargada, fue introducido por Leibniz para representar

la suma, que proviene de la palabra latina “summa”. Además, f(x ) es el

integrando, f(x)dx es el elemento de integración, el número a es el límite

inferior y b es el límite superior. La variable x no tiene significado especial, ya

que

í f f á d x = í f(z)dz = í f(t)d t = í f(y)dy - í f(u)du■'a Ja Ja Ja Ja .

etc.

F.jcinplo 20. Sea f(x ) = k la función constante. Por el ejemplo 16, pars

/ = [a; b] se tiene S(f, P) = S(J, P = k(b — a).

Entonces J = ] = k(b — a). Por lo tanto, / es integrable en [a; b] y se tiene

rbkdx — k(b - a)

INTEGRAL DEFINIDA

íJa

Ejemplo 21 (función no integrable). Consideremos la función de Dirichlet

/': [0; 1] -» IR, definida por

es irracional

x es racional

Para cualquier partición P de 1 = [0; 1] (ejemplo 19), se tiene:

S (/;P ) = 0 y 5 (/ ;P ) = l

Entonces 7 = 0 y J = 1 y, por tanto, / no es integrable en ¡.

Observación 3. Interpretación geométrica de la integral definida de una función

continua f en [a; b].

De la interpretación geométrica de las sumas superiores e inferiores (secc. 2.3.1),

deducimos que si R es la región plana limitada por las gráficas de f , las rectas

X = a , x — b y el eje X, y /4(fl) representa numéricamente al área de la región

R; entonces

a) Si f(x ) > 0, V x 6 [a; b], A(R) = f f(x)dx*a

b) Si f(x ) < 0, V x £ [a; b] ► - A(R) = f f(x)dxJQ

c) Si al número I f(x)dx lo llamamos área algebraica, para una funciónJa

arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa

la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas por la gráfica de f

y el eje X, desde x = a hasta x = b.

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Ejemplo 22. La gráfica de / consta de

segmentos de recta y una semicircunferencia,

como se indica en la figura adjunta. Halle:

a) í f{x)dx b) í f(x )dxJ o J-6

c) f f(x )dx d) f ¡f(x)\dx•'-6 J-6

e) El área de la región limitada por la gráfica

de / , el eje x y las rectas x = —6 y x = 8.

Solución

a) Como el área del círculo de radio r — A es Ax = n r2 = \6n u2, entonces

A— —An

i

4

i

i\ i \ i \

/ 1n i / * i

/ ! !

“6 V y 5 ¿ x

-4

í A,

J / W ^ = - T = -

b) Dado que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v es A2 — 4 u2A

y el área del semicírculo es A = — = 8n u2, entonces

í f(x)dx = f f(x)dx + í f(x)dx = Az - A = 4 - 8tt.J-6 J-b J-4

c) Puesto que la integral definida desde —6 hasta 8 está formada por la suma de/ A2 \

áreas algebraicas de un triángulo (A2 = 4), de un semicírculo — = —8n j,

de un triángulo (Á3 — 2) y de un rectágulo (A4 = 12), entonces

r 8 r — 4 r 4 r 5 /* 8

I f(x)dx = I f(x)dx + I f(x)dx + I f(x)dx + I f(x)dxJ- 6 J-6 J- 4 J 4 Js

= 4 + (—87t) + 2 + 12 — 18 ■ 87T

d) Como |/(x)| = - f(x ), V x G [-4; 4], entonces

í f (x )d 'x = .í f(x )dx - f f(x)dx + í f(x)dx 4- í f(x)dxj-ó J-6 ■'-4 **4 Js

= 4 - C-8tt) + 2 + 12 = 18 + 8tt

e) El área de la región pedida es

= í 1/001 dx = [ f(x )dpT h( (~f(x))dx + [ /(x)dx +■ í f(x)dx J-6 J - 6 •'-4 ' 4 ■'S

' = 4 — (—87t) + 2 + 12 (18 4- 87r) u2

118

Teorema 1 (Criterio de integrabilidad de Riemann). Si / es una función

acotada en /, una condición necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es

que dado e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que

S ( f , P ) - S ( f , P ) < £ (6)

Demostración

a) (=>) Por hipótesis, / es integrable en /. Si ¿ = sup¡5(/,P) / P e D], dado

e > 0, existe una partición P1 de / tal que

J _ - ¿ < S ( f .P i) ó ¿ - S if .P ,) < í (7)

Por otro lado, siendo / = inf{S(/,P) / P E D) y tomando el mismo e > 0 ,

existe una partición P2 tal que

S(f,P2) < 7 + | ó S(f,P2) - ] < í (8)

Sumando miembro a miembro las desigualdades (7) y (8) y considerando que

/ = 7, obtenemos

~Síf,P2) - í i f , P 1) < £

Considerando Px U P2 = P (es un refinamiento de P, y P2), tenemos

S (f, P) - S (/, P) < 5 (/. P2) - S(f, P J < £

b) (<=) Supongamos que dado £ > 0, existe una partición P de / tal que (7) es

verdadero. Como

J_ > S ( f ,P ) y ] < S ([ ,P )

se obtiene 0 < J — J < 5(/, P) - S(/, P) < e. Como £ es arbitrario, se obtiene

7 - 7 = 0 o 7 = 7

Por tanto, / es integrable en /.

Hasta ahora, I f(x)dx se ha definido solo si a < b . Por conveniencia, se dan Ja

¿as siguientes definiciones:

Definición 6. Si a < b , se define

I f(x)dx = — ¡ f(x)dx , siempre que I f(x)dx exista. h Ja Ja

Definición 7. Si / es una función definida en a. se define

INTEGRAL DEFINIDA

I,-a

f(x )dx = 0a



Proposición 4. Si f es una función continua en / = [a; b], entonces / es

integrable en /.

La demostración se deja como ejercicio al lector.

2.5.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si / es una función integrable en /, entonces es integrable en cualquier

subintervalo [c; d] c /.

2. Si f es una función integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es

integrable en / y se tiene:

f k f{x)dx = k í f(x)dx (9)Ja Ja

3. Si / y g son funciones integrables en I, entonces / ± g es integrable en / y se

tiene:

rb pb rb

l f (x )± g (x )] d x = f (x )d x ± I g(x )dx (10)Ja Ja Ja

4. Si f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en

I = [a; b] y se tiene:

f f (x )d x = í f (x )d x + í f (x )d x (11)Ja Ja Je

(Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración).

Esta propiedad es válida para tres números arbitrarios a,b ,c siempre que las

tres integrales existan.

5. Si / es integrable en I = [a; b] y f (x ) > 0 , V x E I. entonces

f f(x )dx> 0 (12)Ja

6. Si / y g son funciones integrables en / y f (x ) < g(x), V x E /, entonces

í f(x)dx < í g(x)dx (13)Ja Ja

7. Si / es integrable en / = [a; b] y m < f(x ) < M, V x 6 /, entonces

m(b - a) < í f(x)dx < M{b - a) (14)â

8. Si / es integrable en I, entonces

f /(x)dx| S í \f(x)\dx (15)Ja I Ja

120

1N I hCjKAL DEFINIDA

2.5.2 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA INTEGRALES

Teorema 2. Si / es una función continua en I = [a,b], entonces existe un

número c E I tal que

í f(x)dx = f ( c ) ( b - a ) Ja

Demostración

El Teorema del Valor Intermedio de una función continua indica: “Si f es

continua en [a; b] y se cumple que / (a ) f(b ) , entonces para cualquier <x>

entre / ( a ) y f ( b ) existe un número c entre a y b tal que / (c ) = 6)".

Por hipótesis, / es integrable en /, pues f es continua en I (Prop. 4). Luego, por

(14), se tiene:

m(b — a) < f f(x)dx < M(b - a) Ja

donde m y M son el mínimo y el máximo absolutos de / en I, respectivamente

(estos valores existen porque / es continua).

Luego, m = f (x m) y M = f (x M) , con xm y xM E I , y

f b f(x)dxf (xm) < ab _ a < / (* « )

Por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe c entre xm y

xM (c E /) tal que

fb f(x)dx rbf (c) = —------ , es decir, I f(x)dx = /(c )(¿ — a) , con c £ /

b - a Ja

2.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL

Teorema 3 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral o Teorema de

Barrow)

Si f es una función continua en / = [a;b] y F es la función definida por

F(x) = I f ( t )d t , x G / , entonces se tiene Ja

F'(x) = ¿ ( / = /(* )< V * G 1

Demostración

Por definición, para x £ [a; b] (x fijo), se tiene

F(x + h )- F (x ) Ja*+h/ ( 0 d t - / a* / ( t )d tF (x) = lim ------ ------- - lim --------- r---------

h-* o h h-*o h

, í * f w t + C hf w t - s * f w t C hn » d t= h m -------------- :-------------- = lim ----------

h-*o h h-o n


Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y

x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que


L

x+h

f ( t)d t = /(c)(x + h - x ) = hf(c)X

Luego,

F'(x) = lim , c entre x y x + hh->o h }

F'(x) = lim /Ye) , c entre x y x + h h-0

F'(x) = /(x), V x e / , es decir, F es una antiderivada de / en /.

Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral

definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una

antiderivada dada por F(x) = /* f( t)d t, pues F'(x) = f{x), V x € /.

Este es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en I, existe

F(x) = $* f ( t )d t tal que F'(x) = /(x ), V X G7. Como F(a) = 0 , F es la

antiderivada de f en l cuya gráfica pasa por el punto (a; 0).

Teorema 4 (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral)

Si / es una función continua en I = [a; b] y F es una antiderivada de f en I

(F'(x) = /(x ), V x E /), entonces

- b

Lf(x )dx = F(b) - F (a ) = [F(x)]^ (16)

a a

Demostración

Como F es una antiderivada de / en / y, por el primer teorema fundamental,

F definida por F(x) = / f ( t ) d t es también una antiderivada de / en /, entonces

existe una constante c tal que F(x) = F(x) + c , V x £ /.

Así, tenemos

F(¿) = F(b) + c = f f ( t)d t + c y F(a) = F(a) + c = í f ( t )d t + c Ja •'a

Como /Qa/ ( t ) d t = 0, entonces

F(¿) - F (a) = f f ( t )d t•'a

Como la variable t no tiene significado especial, se concluye

r b

f(x )dx = F(¿) - F(a)/•/a

122

INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5

n) |F(x)]g es una notación para F(b) — F(a).

h) La fórmula dada en (16) es llamada “Fórmula de Newton-Leibniz” debido a

que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno del otro, la

relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre

que se le da a esta fórmula es convencional, ya que ni Newton (1642-1727) ni

Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula.

c) Obsérvese que la diferencia F(b) - F(a) no depende de la elección de la

antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una

constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una

integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.

Ejemplo 23. Sea la función F(x) = J ~ t2 d t- Ca'cule

a) F'(x) b) F"(x) c) F '( l)

Solución

a) Siendo / ( t ) = 1/(1 + t 2) una función continua, por el primer teorema

fundamental, se tiene F '(x) = 1/(1 + x2) , V x > 0 (es necesario notar que

F '(x) = 1/(1 + x2) es válido para todo x e R). Como F'(x) > 0 ,V x R ,

entonces F es una función estrictamente creciente en R .

b) F"(x) = —2 x /( l + x2)2 (F presenta punto de inflexión en x = 0).

c) F '( l ) = 1/2.

Finalmente, dado que F'(x) = 1/(1 + x2) , entonces F(x) = arctan x + C para

alguna constante C. Como F (0) = 0, entonces

0 = arctan(O) + C => C = 0, es decir, F(x) = arctan x

Ejemplo 24. Calcule el valor de cada una de las integrales

rl dx rn/2 rl ,1

a) --- - b) senxdx c) ex dx d) senhxdx1 + x2 J0 J0 J0

Solución

a) Una antiderivada de / (x ) = 1/(1 + x2) en / = [-1; 1] es F(x) = arctan x

(en esta antiderivada, por la obs. 5-c, no se considera la constante). Luego,

f 1 dx 1 7T y 7T\ ITJ T+ x2 = iarctan = arctan(l) - arctan(-l) = - - -J = -

r n / 2 jj.

b) I senx dx = -[eosx]nJ 2 = - icos-- eos0J = 1J o ' Z '


= C

o


c) f e* dx = — e1 — e° = e — 1J a

f 1 id) I senh xdx = [coshx] = cosh(l) - 1

Jq u

Compare las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) con las obtenidas en los

ejemplos (13), (14) y (15) de este capítulo.

Ejemplo 25

i) Sea G(x) = / “ f ( t ) d t , donde f : I — [a; b] -> R es continua y u = w(x) es

una función derivable (u: íx -* /). Pruebe que

dG'(x) = / (u ) .u ', donde u' - — (u(x))

ax

ii) Sea H(x) - f^ donde/ y u = tt(x) tienen las condiciones dadas en

(i). Demuestre que

dH '(x ) = - /(u ) .u ', donde u' = — (u(x))

ax

Solución

i) Si F(x) — /* f ( t ) d t y u = u(x) , entonces

(F o u )(x) = F (u(x )) = f ( t ) d t = G(x). Por la regla de la cadena, se tiene

G'(x) = F '(u(x)). u '(x ) = F'(u). u' = f (u ) . u', pues F '(x) = /(x ).

En resumen, G'(x) = /(u ).u '.

ii) H(x) = f “ f ( t )d t = - / “ / ( t )d t

Por (i), tf'(x) = - (/ (u ) .u ') = - /(u ).u '.

312 + 9 sen t + 15 Êjemplo 26. SeaG(x) = í — — -— —dt y tí(x) = f

J_3 1 + 9 sen2t

Halle: a) G'(x) b) tf'(x)

Solución

a) Usando el ejemplo 23-i), para/(t) = 1/(1 + 9 sen21) y u = x4, se tiene

1 4x3C 'W = 3 - r ^ ---l + 9sen2(x4) l+ 9 se n 2(x4)

b) Usando el resultado del ejemplo 23-ii), obtenemos

,, . 1 , 3x2H M = -- r — :---r r — -• 3x

x6 + 9 sen(x3) + 15 x 6 + 9 sen(x3) + 15

124

rX*

INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 27. Si G(x) = [ V 1 + y3 dy,halle G '(x).Jx2

Solución

Como / (y ) = ^ 1 + y 3 es continua en M, entonces

G (x ) = f y i + y 3 d y = f \ ] l + y 3 d y + í X j l + y 3 d y Jx2 Jx2 Jq

Luego,

G'(x) = - V 1 + x 6 • 2x + V i + x9 • 3x2

= a: [3x V i + * 9 - 23VT+x6]

r 1 jx ldxEjemplo 28. Calcule el valor de ---- -

1 + x2

Solución

Si /(x ) = , entonces / (x )si x > 0

1 + x2 ' x— 2 ' s i x < 0

1 + X 2

Para calcular esta integral, se aplicará la propiedad aditiva respecto al intervalo de integración. En efecto,

í f(x)dx = f /(x )dx+ f f(x)dx = = — i —l dx + í ■ * dxJ-l J-l J_xl + x2 J0 1 + x2

rl i° rl i 1= - [ - ln ( l+ x 2)j ^+ - ln ( l + x2)j^

= - i ( - In 2) + i ( l n 2) = ln 2

Ejemplo 29. Calcule J — í |x2 + x — 6| dx.J - 4

Solución

La variación de signos de x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) es

+ - +

-3 2

luego |x2 + x - 61 = í * 2 + - 6 ' si x 6 (-oo;-3] u [2;+co)i.uego, |x +x 6| [ _ {xi + x _ 6)i s ¡ x 6 ( - 3 ; 2 >


Aplicando la propiedad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración, se tiene


f \x2 + x - 6\dx = í (x2+ x-6)dx- f (x2+x-6)dx+ f (x2 + x - J—4 •'—4 J—3 Jo

2(

3

3 v 2

6 )dx

-3

+ lT + T - 6,

■ i - i "

125\ 38 109

6 ) + T - T ~

Ejemplo 30. Sabiendo que x > 9, resuelva la ecuación:

16 dt

i 9 V 2 (16- t2) 3

2ti / 2 + Vx \ 3= — + ln 1 --- - I - 2 arctan - — ln 5 ... (a)

Syfx - 10

Solución

, , f 16 dtEn primer lugar, calculamos la integral I -=------- usando la sustitución

J Vt(16 — t2)t = u2 y dt = 2udu. De esta manera,

f 16 dt _ f 32 u du f 32 f 4 f 4

i V?(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4 dU “ J 4 - u2 + J, |u + 2| ,i¿n lVF+21 ' /Vt\

= ln ---- + 2 arctan (-) + C = ln — --- + 2 arctan —- + C\u-2\ '2 ' V t- 2 V2 /

Luego,

i

16 dt

9 VF( 16- t 2)

Vt + 2 Vt 1ln

V t- 2+ 2 arctan(— )

Vx 3+ 2 arctan —— 2 arctan - - In 5

O'

V i, , + 2 arctan—— 2 arctan- ... (ß)Vsvi- ioy 2 2 ^

Reemplazando (ß ) en (a), se tiene

, / V x + 2 N\ V? 3 2ir

ln I s ä ^ I öJ + 2 arctan T - 2 arctan 2 = T +

<=>

ln ( 4 ± ü ) -\Sy/x-10J

V* 2n fyfx\ n 4x (Tis j x r-2 arctan — = y » arctan I — 1 = - « — = tan (-J » — = V3

2 arctan

Finalmente, x = 12.

126

I . Ln cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la derivada de las siguientes

(unciones.

INTEGRAL DEFINIDA

EJERCIC IOS

..) /■

l>)

•’(x) = j cosh(212 + 1) dt

J”Senx ^

------dt

a arcsen t

c) f w = f í [ y-— ^ — r dt) dyH \J8 1 + 1 + sen2t j *

d) F(x) =Ja

R. F'(x) = 2 cosh (8x2 + 1)

* ■ = Í t t A + sen2tdt

r*3 1 j.rJ0 i+sen2t

eos2 (y2 + 4)dy

e) FOO = sen | j sen^J sen3td t]d y

2. Sean

/•arcsen cosATj

F(x) = /(sen t)dt -A/a

J-senx ____ _________

V<?(t) dt = V i- .eosx

sñ

J 1 4- sen x

r f W dtHalle H'(x) si H(x) = í ___

■'s(x)( 1 - V l- x 2) ^

1\ 16

T ‘

R. a = — 2 ó 1

f3X+1 2 / I3. Si fCtjdt = ---h ax , calcule los valores de a de modo que / -

J0 ax \4.

f *2 t54. Si F(x) ~ J 1 + {4 dt, halle F'(x).

/•X + X2

5. Si G(x) = I 2~t2 d t , calcule G'(x) y C '(l).J*2+i

r e*6. Si F(x) = I x (t2 + l)d t , calcule F'(x).

rV2(x>1. Sea G(x) = I f ( t ) d t , donde f • 1 -* R es una función continua y las

•Vi(x)

funciones que son funciones derivables. Demuestre que

G'(x) = f(<p2(x)) • <p'2(x) - /((PiOO) 1 <P'i W



8. Sea / : [ —!; 2] -> E una función continua. Si F es una antiderivada de / en

[-1; 2], con F (-1) = 3 y F(2) = 7, calcule J f(x)dx. R. 4

9. En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función g. Si f es la función

definida por f(x ) = J^gC Odt, x G [-3; 8], y t

Calcule gráficamente:

a) / ( —3) b) /(O) c) / ( 8)

R. a) 0 b) 6 c) 34 -3 6 8

10. Sea / : [-6; 6] -> R una función continua y g: [-6; 6] ->

impar continua, tal que I f(x)dx = 10 y I g(x)dx = — 2. Halle:J-6 J-6

rO

una ¿unción

a) í [f(x) + g(x)]dx R. 12 b) [ [/(x) + s #(x)]dx R. 20 •'-6 •'-6

11. En los siguientes ejercicios, calcule / (2) sabiendo que / es continua y

verifica la ecuación dada para todo x > 0.

a) [ f{t)d t = x2( l + x)Jo

b)

X 2

í f( t)d t ■'O

x2( l + x)

R. 16

2 + 3V2

r f W

c) I t2 dt = x2( l + x) Jo

r X 2 ( l + X)

R.L

R. V36

1R. -d) f f ( t )d t = x

12. Demuestre que si / es continua, entonces

J f ( u ) ( x - u )d u = J ^ J / ( t )d t^ d u

Sug: considere F(x) = I f(u )(x - u )d u , entonces F'(x) = I f(u)du.Jo J o

Luego, halle su antiderivada y calcule F(0) para su constante.

13. A partir del ejercicio anterior, demuestre que

du[Xf(u )(x - u )2du = 2 f i f í f Zf ( t)d t) dz Jo Jo lyo V o /

128

14. Halle f (x ) si f ' " ( x ) = ■ 1 , V * > 0.v i + sen2*

15. Calcule el valor de las siguientes integrales:

a) J x3 dx b) J (x + l ) 3 dx

f 1/2 1 f 2 xc) I 1 d) ;--- 7 dx

Jo V i - x2 J1 1 + *

INTEGRAL DEFINIDA

e)J-i 1 + 1*1 J3

1

5 5* - 20

(2 - x )(x2 + 1)

g) I |cosx|dx h) I sen2(3x)dxJo Jo

dx R. 1,336685 ...

lnx dxr * r

0 L — i “* ° I

16. Sea / :[ - 6; 6] -» IR una función continua. Si / es impar y I /(x)dx = 3,

6

halle J (/(x) - 2x) dx. R. -35

17. Para cierta población, suponga que N es una función continua tal que N(x)

es el número de personas que alcanzan la edad de * en cualquier año. Esta

función se llama función de la tabla de vida. Bajo condiciones apropiadas, la

integral J*+n N (t)d t da el número esperado de gente en la población que

tiene exactamente entre x y x + n años, inclusive. Si iV(x) = 300V100 - x,

determine el número de personas que tienen entre 36 y 64 años.

R. 59200 personas

18. Sea una recta tangente a la curva C:y = g(x) en el punto P(2;3).

Además, la recta Lx pasa por el punto Q(10; 7) que no está en la curva C.r3 (x ) -------

Si /(x ) = J J t 2 + 7dt, halle/'(2 ). R. 2


Teorema 5. Si / es una función continua en / = [a; ib] y si se reemplaza la

variable x de la integral por g (t) (es decir, x = g(t)), donde g : [a;ß] -> / tiene

derivada continua en [a; ß], con g (a ) = a y g(ß) = b ; entonces


2.7 CAM BIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA

í f ( x ) d x = í f{g(tj)- g '(t)dt (17)Ja Ja

Demostración

rySea F(y) = í f(x )dx ,y 6 I . Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, se

J a

tiene F '(y) - /(y ) , V y 6 /.

Por la regla de la cadena ó derivada de una función compuesta, tenemos

íFígm' = F'im) • s'(t)=/(seo) • 5'(oPor tanto, F (g (t)) es una antiderivada de f (g ( t ) )- g '( t ) . Por el Segundo

Teorema Fundamental del Cálculo, se tiene

C f (fi(0 ) • g 'W d t = [FGKO)] £ = F(g(ß)) - F(5 (a)) = F(b) - F(a)

= í /(x)dx•'a

Observación 5. Si la función g\[a\ß] -* [a; b] es tal que g (ß ) — a y g (a ) = b,

por la fórmula (17), se tiene

f f(x)dx - í f(gCO) ■ g '(t)dt Ja Jß

f 3 X2Ejemplo 31. Calcule I = I 3 3 dx.

J2 ' x )Solución

Haciendo t = 1 + x3, se tiene que x = g(t) = V t- 1 , g '(t) =3 V ( t - l )2 '

g(9) = 2 y g(28) = 3. Dado que g y g' son continuas en [9; 28], entonces

_ f 3 x l _ _ _ f ¿BV(t- l)2 1I _ J2 ( l + x 3)3 t _ J9 t3 3V(t- l)z 1

1 f 28 , l r l ]28

- j L -

’ 28 7 0 3

j 9 381024

INTEGRAL DEFINIDA

En la práctica, no es necesario dar la función g (t) explicitamente. Considerando

que el lector está habituado a cambiar la variable en una integral indefinida, sólo

nos queda decir que para cambiar los límites de integración basta reemplazar la

variable original x por los límites de integración en la correspondiente sustitución

y así obtener los nuevos límites de integración (que son los valores de la nueva

variable). En el ejemplo anterior, procederíamos así:

Como la sustitución es t = 1 + x3, entonces dt = 3x2dx.

Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 28= /? .

Por tanto,

x2 dx 1 r 3 3x2 dx 1 f 2Bdt 703_ x¿ dx 1 3x¿ dx 1 f 2

~ J 2 ( l+ x 3)3 = 3 j2 (1 + x 3 ) 3 = 3 J 9 t3 381024

f i (x^ — 1 dx Ejemplo 32. Calcule el valor de 1= I ------- -

•'1/2 (x2 + l)Vx4 + 1

Solución

Antes de efectuar el cambio de variable, dividimos numerador y denominador por

x2 (x2 > 0, pues x 6 [1/2; 1]) y luego reemplazamos t = x + 1/x. Entonces

_ f 1 (x2- l)d x f 1 ( l- - p )dx

h n ( x 2 + i)V x4 + 1 J i/2 i | i

_ r2 dt i /,ilNl2

-'s/2 íV t2 - 2 V2

, |f|arcsec | —V2. 5/2

= -l(arcsec(V2) - arcsec^) = - arcsec^)

Ejemplo 33. Demuestre que

a) Si / es continua en [0; a], entonces I f(x )d x = I f(a - x )d x .J o J o

/* d r a.

b) Si fes función par y continua en [-a; a], entonces I /(x)dx = 2 I f(x )dx .j-a J 0

c) Si f es función impar y continua en [- a; a], entonces I f(x)dx = 0.•'-a



f " í nI2d) Si fes función par y continua, entonces | x /(cosx)dx = n f /(cosx)dx.

0 J o

f n 7r re) S i/es continua, entonces I xf(senx)dx = - /(senx)dx.

Jo 2 J0

Solución

a) En la integral J ^ f ( a — x)dx reemplazamos a - x = z y dz = -dx.

Entonces para x = 0=>z = a ,y para x = a => z = 0. Por tanto,

f f ( a - x)dx = - f f (z )d z= f f(z)dz = f f(x)dx J0 j a Jo Jo

(La última igualdad es válida porque la variable z no tiene significado especial)

b) f f{x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx ... (a )•'-a /- a _________ Jo

J

En la integral / reemplazamos x = -y. Enseguida, utilizamos el hecho de que

por ser / par se verifica / (- y ) = /(y ).

7 = [ /(x)dx = - f /(-y )dy = f f(y)dy = f f(x)dx ... (/?)J -a J a Jq J o

Reemplazando (/?) en (a), se obtiene

f f(x )dx = f f(x)dx + f /(x)dx = 2 [ /(x)dx*'-a ^0 ¿0

c) Siguiendo el mismo procedimiento empleado en la parte (b) y utilizando el

hecho de que / (- y ) = - /(y ) (por ser / impar), se prueba que

J = í f(x)dx - - f f(x)dx J-a J q

Reemplazando este resultado en (a), se sigue que f /(x )dx = 0.J-a

d) y e) Ejercicio. En ambos casos reemplazar x = n — y.

Ejemplo 34. Calcule I = [ dx.J q 1 X

Solución

Si utilizamos la sustitución x = tan 8, tenemos

fM n íl+ x ) [n/i\n(l + tan 0) , r*/4Jo ~TTx*~ J0 ~7a>o '“(! + «"*)«110

r XT/4

INTEGRAL DEFINIDA

f r M1 = 1 In l + tan í -0) I dd (aplicando el ejemplo 32 - a)

-"o ^

/■n/4 , l - t a n 0\ f ^ 4 / 2 \

, = j 0 ln V1 + lT ta ñ f l) = i ( íT ia ñ d )

r n ¡ 4 /-Jt/4

1= 1 In 2 d0 - I ln (l + tanfl)d0Jo ¿o_______ _________ ,

i

/•ít/4 n- 7rPor tanto, 21= ln 2 d6 = -ln 2, de donde se concluye que I = — ln 2.

J o 4 8

f Itx senx dxEjemplo 35. Calcule 1= ——--- — .

J q 1 ~l COS X

Solución

Teniendo en cuenta que cos2x = 1 — sen2x, se tiene

f^x se n x d x í 71 senx1 = ------ — = x ------dx

J0 1 + cos2x J0 2 - sen2x

sen xPuesto que el integrando es de la forma x /(sen x), donde /(sen x) = ^ _ ser)2'~»

usando el ejemplo 32-e, obtenemos

r" senx n f n senx1= x------------------- --dx = - ------- r-dx

J0 2 - sen2x 2 J0 2 - sen2x

7T í n Sen X 7T -.7T

= 2 Í = - 2 [arctan(coS*:']0

7T TTr 7T 7Tl 7T2 ’

= - - [arctan(-l) - arctan(l)] ^ ñ r i ' I p ' r2 1 4 4J

r^/4

<-tt/4

r '■ 2Ejemplo 36. Calcule J = (x9 eos x + Vtan x + sen xe tosI + eos2 x)dx.

■'-tt/4

Solución

/•tt/4 /*nV4

J = \ (x9 eos x + Vtan x + sen x ecos2jc)dx + cos2x dxJ—ir/4 J-7I/4

r^ 4 r 'r/41 + eos 2xdx

/•TT/4 /-TI

j 2 - I cos2x dx = IJ—Ítl4 *'-7

1 r sen 2xi'r/4 1 /7r \ re + 2

L /. = í f e +1) = —


El integrando de es f(x ) = x9 eos x + Vsen x + sen x ecos2* y es una

función impar, pues


/ (~x) = (~x) 9 cos(-x) + 7 tan(-x) + sen(-x)ecos2(

= —x9 eos x - Vtan x - sen x ecos2x = -f(x )

rn/i

Luego, por el ejemplo 31 - a, se sigue que J i = f(x)dx = 0J - n / 4

n + 2 n + 2 Por tanto, / = 0 H----- = -----.

2.8 INTEGRACIÓN POR PARTES EN UNA INTEGRAL DEFINIDA

Teorema 6. Si u = u(x) y v = v(x) son funciones con derivadas continuas en

I = [a; b] , entonces

J u dv = [uv]^ - J v du (18)

Demostración

De la diferencial de un producto se deduce que u d v = d(uv ) - v du.

r b r b r b r b

Luego, I u d v = I [d (uv )- vdu] <=> u d v = d(uv) - I v du Ja Ja Ja Ja Ja

f*> . r b

=> u d v = [uv] - \ v du Ja ® ■'a

(Todas estas integrales existen, pues u, v, u', v' son continuas)

Ejemplo 37. Calcule / = f x2lnx •'i

Solución

dx.

Haciendo

J =

û = lnx => du = -dx

x o , obtenemos

dv = x2 dx =» v = —3

x3 l3

T lnx- Í / ^ c Í A : = ( 9 |n3 - Í |n 1) - [ i ^

1 26 = 9 ln 3 — - (27 — 1) = 9 ln 3 — —

134

Ejemplo 38. Calcule el valor de J = j arctanJ^jx - 1 dx.

Solución

Si z — arctanVVx — 1 => V* = sec2z => x = sec4z y dx = 4 sec4z tan z dz.

Para x = 1 => z = 0 y para x = 16 => z = tt/3. Entonces

r n / 3

INTEGRAL DEFINIDA

rn/ó

J = I z ■ sec4z tan z dzJo

Para integrar por partes a esta última integral, consideramos

f u = z => du = dz

t-dv = 4 sec3z • sec z tan z dz => v = sec4z

Entonces

f *''37 = [z sec4z]o 3 — I sec4z dz (*)

•'o

r n / 3jj- ríe/*

= í—) (16) — I (1 + tan2z)sec2zdz

1Ó7T T tan3z l7r/3 167T— tan z + ■ = — -2V3

o3 [ 3

(*) Para integrar sec4z es suficiente considerar que sec2z = 1 + tan2z.

2.9 INTEGRACION DE FUNCIONES DISCONTINUAS

Definición 6. Sea / : [a; b] -» IR una función acotada y sea P = {x0,x1( ...,xn}

una partición de / = [a; b]. Sean clt c2,...,cn elementos de /, de tal manera que

Cj £ Ij [xy_i, Xy] , j 1,2, ... ,71.

La suman

S (/,P ) = £ / (c ,)A y X

;=i

se denomina Suma de Riemann de / con respecto a la partición P.

Sean m¡ = in /{ /(x ) / x £ /,} y M¡ - sup{f(x ) / x e /y}. Entonces

rtij < f (c j) < Mj, j = 1,2, ...,n y más aún

S ( / ,P ) < S ( / ,P ) < S ( / ,P )

La suma de Riemann es un tipo de suma que no necesariamente es una suma

inferior o una suma superior, sino más bien está comprendida entre ellas.


Definición 7. Se dice que S (f,P ) tiene límite J e R cuando j|P || -» 0 y se

escribe ^Hmo S (f,P ) - J si dado e > 0 (arbitrario), existe 5 > 0 tal que para

toda partición P, con 0 < ||P|| < 8 , y para cualquier c¡ se tiene

H S ( / ,P ) - / I I < £


Teorema 7 (de Darboux). Si / es una función acotada en /, una condición

necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que

pUrn S ( f ,P )= ] ; ( j = ¡ J M d x ^

Demostración (Ejercicio).

Teorema 8. Sean f , g ■■ l — [a;b] -» M dos funciones tales que f(x ) = g(x),

V x E I, excepto para un número finito de puntos. Si g es integrable en /, entonces

/ es integrable en ¡ y se tiene

r b r b

í f(x)dx - í g(x)dx (19)Ja Ja

Demostración

Si g es integrable en / y g{x)dx = J, por el teorema de Darboux, dado e > 0,

existe 8X > 0 tal que para todo P, con 0 < ||P|| < 51; y V c¡ e l¡ se tiene

\S(g,P)-J\<£-

Por otro lado, si A = {x 6 / / / (x ) * g(x)} posee r puntos (r finito) y sea

L - sup{\f(x) - flOOl / x E /}, para toda partición P, con ||P|| < , se tiene

|S(/,P)-S(<7,P)| = < r L P -2rL 2

Luego, si 8 — mín|<51( se tiene

I P )- ] \ < m ,P )~ S(g, P) | + 15(5 , P) - J | < | 1 = £

En resumen, para toda partición P, con ||P|| < 5, y V c¡ E / se verifica

\S(f,P)-J\<E

Por tanto, por el teorema de Darboux, / es integrable en / y

f f(x)dx = í g(x)dxJ a J a

136

I roi cnia 9. Si / es continua en / = [a;fr] excepto en ios puntos a ó b, en los

niales existen lim /(x ) = / ( a +) y lim f ( x )= f ( b ~ ) (finitos), entonces f esj : - * b ~

iiiici'.iable en / y existe una función F, con F'(x) = /(x ), V x e <a; b), tal que

í f(x)dx = F (b )- F (a )Ja

Demostración. Ejercicio para c! lector.

Definición 8 (Función seccionalmente continua en ¡ ~ [a;¿]). Se dice que ia

liindón / : / - > l e s seccionalmente continua en / cuando / es continua para todo

» < / excepto para un número finito de puntos c¡ , j = 1 , 2 m , para los

i nales existe

f(c~ ) = lim_/(x) y /(c+) = lim+/(x ) x'*ci x~,cj

‘.i i) - a n c¡ = b, debe existir / ( a +) o f(b~) respectivamente.

< OROLARIO . Si / es seccionaimente continua en / = [a;fa], entonces / es

mu-arable en /.

í-2 , si - 2 < x < -1

I jcmplo 39. Sea la función / (x ) - ] x3, si - 1 < x < 1 .

( 2 , si 1 < x < 2Se pide:

a ) I race la gráfica de / .

Ii) ;,/ es integrable en [—2; 2]?

i ) Calcule I f(x)dx.J-2

ti) Halle P(x) = í f ( t ) d t , x £ [ - 2; 2] y trace su gráfica.J-2

i ) Determine el conjunto donde F es derivable y halle F'(x).

Solución

a t I a gráfica de / se muestra en la Fig. 2.15.

!>) / es integrable en [—2; 2] porque / es seccionalmente continua en [—2; 2]

(/' es discontinua en x = - 1, en x = 1 y en x = 2; pero en estos puntos

existen los límites laterales. En x = 2 existe el límite lateral por izquierda).

1 f 2 f(x)dx + | f(x)dx

i •'i

INTEGRAL DEFINIDA

i ) j f(x)dx = J f(x)dx + j

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d) Si x e [-2; -1> => F(x) = f (-2)dt = -2x - 4J-2

Si x E [—1,1] =* F(x) = J f( t )d t = J (- 2)dt + J t

Si x E (1; 2) =* F(x) = J f ( t)d t = J (—2)dt + J t3 dt + J 2 dt = 2x — 4

x4 9

T ~ 4

í-2x - 4 , - 2 < x < -1

Por tanto, F(x) = | (x4 - 9 ) /4 , — 1 < x ^ 1

\2x - 4, 1 < x < 2

La gráfica de F se muestra en la Fig. 2.16.

(-2 , - 2 < x < —1f) F'(x) = jx 3 , - l < x < l

i 2 , 1 < x < 2

Luego, F es derivable en [—2; 2) excepto en los puntos x = —l y x = l.

Fig. 2.15

F(x) = f 2te~cZ Jo

d t , x e R.Ejemplo 40. Trace la gráfica de

Solución

i) D(F) = R

ii) Intersecciones con el eje x: P (0; 0), pues F(0) = 0.

iii) F'(x) = 2xe~*2. El único punto crítico es x = 0 y se tiene

Signo de F'(x) <- +

Luego, F es creciente en (0; +oo) y F es decreciente en (—oo; 0>. El valor

mínimo relativo es F (0) = 0.

138

iv) F "(x) = 2 e~*2( l - 2x2).

Los puntos críticos de inflexión son x = V2/2 y x = -V2/2.

Signo d e F ” (x) •<----°------ 1------------ 1-----------►

-V2/2 V2/2

Por tanto, F es cóncava hacia abajo en (- 00; —\¡2/2) U (V2/2; +00) y

cóncava hacia arriba en '-V2/2; V2/2). Las abscisas de los puntos de

inflexión de F son x = V2/2 y x = —V2/2.

v) Integrando se obtiene que F(x) = 1 - e“*\ por lo que y = 1 es asíntota

horizontal. La gráfica de F se muestra en la fig. 2.17.

INTEGRAL DEFINIDA

Fiq.2.17

EJERCICIOS

I. Calcule el valor de las siguientes integrales:

r° dx 71 f2 dx 1

1 J_14x2 + 8x + 8 16 Jj x2 - 4x - 5 6*n2

r72 dx ti r1 3 2 53. ■ ■■ R. - 4. x e dx R . ------

Jo VT^ 2 4 J0 3 3e

f n 1 f n/3 75. I senhxsenxdx /?. -senhír ’6. I tan x dx /?. 0

Jo ^ J-n/3

f axs/2dx 57ra3 f 2 x5 dx

J 0 8' i ( I+ X 3)3/2 9


>■/;

dx 1023


x6(65 - x 6)1/6

10. f x8( l — x3)5/4 dx ■>1

11. f x4( l — x2)3/2 dx

12.

13.

14

. f x4( l - x 2)3/2 ■'o

[ V V 2

/ :

/ :

f ln yjl — x Jo

1V1 — x,----d

V2 - x

x ex

(1 +x)2

■ x dx

f 1/2 1 + x

16- L J — dx-1/2*

r n / 3

17. I cotx (lnsen x)dx■'tt/4

18.

19.

20.

21.

í

11/3 Vtan x dx

jj/6 Vtan x + Vcotx

tt/4/• 7T/4

I |tan5x|dxJ-7T/4

f 2n

I |sen x — cosx|dx■'O

r" xsenx------— dx

J0 1 + cos¿x

• £

■ í

IX + 1

Ix + 6dx

11/3 Vsecx dx

Vsecx + Vcscx

/?.

i?. -

12300

128

5967

2n

R’ "256

n

R-A

R . y f 2 - ln ( l + V2)

e - 2R.

R. ln 2 --2

1

*■2

fl. — 4- ln 2 2

7T

T

5 + 5 ln-

/?. T I (Sug=u = | - * )

140

f 7* eos x f 7 2 sen* cosx^ ^ I 7— 9 rfx = 4, caicuie el valor delainteeral ----- d* en

■/o ( ^ + 2 ) 2 Jg X + 1

función de ¿4. fí -- ----->4^2 V2 7T + 2 )

f n cosxdx [2 cosx f 71 eos x dxSugerencia: exprese ¿ J ,

Luego, calcule cada una de las dos integrales usando integración por partes y

finalmente haga el cambio de variable x = 2u.

f 1 exIII. Si k = I dx, exprese los valores de las siguientes integrales en función

J q X T i-

de k.

'• l - , 7 ^ T T dx (Sug:

INTEGRAL DEFINIDA

? f 1 x e*2

J 0 x2 + 1

s. f -J o I

dx R \k

ex 1dx /?. k + 1 -- e

(x + 1)2 2

4. í e * ln ( l+ x ) fí. e l n 2 - k-'o

IV. Ejercicios diversos.

1. Calcular/(0) sabiendo que f( jt) = 2 y f [/(x) + /"(x)]sen x dx = 5.Jo

/?. 3

[bsenx cosa eos b f b cosx2. Pruebe que ----dx = -------- -— + — — dx.

Ja ^ a b Ja x2

Í12x — 12 , si x < 1 , . [2xc, , J3. Si /(x ) = _ 6 ( s ix > 1 ; 3(1) = ^ f M t , XER .

Calcule el valor de f g(x)dx. R. 3697/42

4. Si n es cualquier número natural, calcule el valor de

r^sen (n + j ) x

J xsen 2

-dx /?. 7T



5. Calcule el valor de las siguientes integrales:

-1' 2 f l + X\a) J cos(sen x) In — -J + 3x + 4

r n / 2

b) I x sen x dx-'-71/2

çn/2

c) I x81cos(x9) dx J-ji/2

rii/4d) I [x14sen(x7)] dx

J-u¡

dx

n/4

e) f [(x5 + x3 + x)V l + x4 + 3j dxJ-7

R. 4

R. 2

R. 0

R. 3/r

R. 12

6. Sea /: 1 una función continua. Si se sabe que í f( t )d t = 6 , J-1 n

calcule

f / ( 2x — 2) dx.J-4

7. Sea / (x ) =

si 0 < x < 2

- 1 , si 2 < x < 3

.x - 3 , si 3 < x < 4

a) Esboce la gráfica de / .

b) Calcule JQ4/(x)dx.

c) Calcule F(x) = f* f ( t ) d t , x G [0; 4].

d) Trace la gráfica de F.

e) Determine en qué puntos F es derivable.

8. Sea F(x)f x e‘2

= --- ?dt-Jo 1 + t2a) Pruebe que F es función impar.

b) Pruebe que F(x) > x , V x 6 i j = [0; +oo).

9. Calcule el valor de

çtt/3

L * 1

Veos X

n/6 Vsen x + Vcosxdx.

10. La ecuación paramétrica de una curva es Hh ;

coszdz

sen z, t > 1. Halle

■dz

dy

dx '

INTEGRAL DEFINIDA

11. La función / y su inversa / _1 son continuas y /(O ) = 0. Pruebe que

-5 r f ( 5)f(x )dx + f~ 1(t)d t = 5 /(5 )

■/o Jo

rl/'/3 dx12. Calcule el valor de

r 3

13. Calcule el valor de-3

r

i :

(2x2 + l)Vxr +T'

x2 - 4

f A - T

14. Calcule el valor de I 7- — rrrdx.

x2 -25

3 x 2 _ 4

31*2 - 161

dx.

15. Sea / una función continua tal que / '(x ) < 0 en [1; 4].

Si / ( 1) = —2 , /(4 ) = —6 y J]4/(x )dx = —10 , calcule el valor de

f f~ 1(x)dx. R. 12J-f,J-6

x < 2

16. Si f{x) = I ^ ’ 2 ^ * < 0 , calcule J [fix) - x]dx.

-1 + x3x > 0

r 2 71

17. Calcule I (|sen x| + x)dx.Jo

{e2-l

18. Calcule f [4 - 2 ln(x + 1)] dx. R.-2(e2 - 3)Jo

f 5 |x3 - J - 1

19. Calcule |x3 -4x|dx.

dx 15?r + 44Calcule —=— —7. R.■ f -

J—l '(x2 + l )4 96

/* sen(t — l )2 dt 1Calcule lim--- —--- —--- . -

x-i (1 — x) 3

cn/2 dx nCalcule -------- p. R. —

J0 l + [tanx]^ 4

Sugerencia: hacer u = - — x.o 2



Para calcular una integral definida por la fórmula de Newton-Leibnitz se necesita

hallar una antiderivada del integrando; pero en el capítulo I hemos mencionado

que no toda función continua tiene una antiderivada expresada mediante funciones

elementales, por lo que es necesario los métodos aproximados para su cálculo. En

esta sección tendremos en cuenta que, por el teorema de Darboux,

I f(x )dx = ||Hmo^ / ( t , )A ¿ x , donde P = {x0,x1( ...,xn}

“ i=i es una partición de [a; b] , A¡x = x¡ — xi_1 y t¡ 6 [xi_1;x i],

2.10.1 APROXIM ACIÓN POR RECTÁNGULOS

Sea / : [a; b] -> R una función continua.

Sea P = {x0 = a,x1,x2, ...,xn = b} una partición de [a; b] de tal manera que el

intervalo [a; b] quede dividido en n partes iguales. La longitud de cada uno de los

subintervalos es

b - aAx = ----

n

Sea y¿ = /(*,-), i = 0,1,2,..., n.

Cada una de las sumas

y0 Ax + y ^ x + y2 Ax + ... + y ^ A x

yt Ax + y2 Ax + y3Ax + ... + ynAx

expresa aproximadamente la integral

í f(x)dx Ja

Luego,

f f(x )dx s Ax(y0 + y! + y2 + + y ,,^ ) (20)Ja

í f(x )dx = Ax(yx + y2 + y3 + - + yn) (21)Ja

Teniendo en cuenta que ykAx es el área algebraica del rectángulo de base Ax y

altura yk, en la figura 2.18 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica

es la aproximación del valor de /a&/(x )dx usando la fórmula 19.

El error que se comete al calcular el valor de la integral por la fórmula de los

rectángulos (19) ó (20) es menor cuanto mayor es el número n.

2.10 CÁLCULO APROXIM ADO DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS

144

INTEGRAL DEFINIDA

I n este caso, se usan trapecios rectangulares en lugar de los rectángulos

tunsiderados en el ítem anterior. Sean los puntos P0(ô;yo)> ^ íC îiy i). -

t'n ( v«;yn)- donde x0, x^..., xn , y0, ylt .~, yn han sido definidos en el ítem

■mlerior. Consideramos los n trapecios rectangulares 7’1,7’2, ...,Tn que están

limitados por las cuerdas P0P1 , P1P2, Pn-í^n respectivamente. Como las

.ireas algebraicas de estos trapecios son, respectivamente, ¡guales a

yo + yi A yi + y z . yn-1 + yn .— -— Ax , — -— Ax , ... , --- ---- Ax ; entonces

2.10.2 APROXIM ACION POR TRAPECIOS

b yo + y i . , yi + y2 . , , y«-i +yn .f{x)dx - — -— Ax H--- -— Ax — H---- ---- Ax

a ¿ ¿ ¿

/(x )dx = ^y° ^ yi + yt + y2 + ... + yn_ 1 Ax (22)

l,n la figura 2.19 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica es ia

aproximación del valor de /(x )dx usando la fórmula 22.

Igual que en el caso anterior, cuanto mayor es el número n, es mejor la

aproximación al valor de la integral.

Fig. 2.19


Proposición 5. Sea g(x) = Ax2 + Bx + C , donde x 6 [a; b] , y0 = g(a) ,

( a + b\yi = 9 \~y ~) ' y* = 9W- Entonces

rb Ax , b — a


2.10.3 APROXIM ACIÓN POR PARÁBOLAS (FÓRMULA DE SIMPSON)

f AxI (Ax2 + Bx + C)dx = — [y0 + 4yt + y2] , donde Ax Ja 3

Demostración

Por el segundo Teorema Fundamental del Cálculo,

rb

(Ax2 + Bx + C)dx =

(23)

Ax3 Bx2

~ T + ~ +C*

Luego de efectuar las operaciones indicadas se demuestra que

fb Axj (Ax2 + Bx + C)dx = — [y2 + 4y1 + y0].

Considerando esta proposición, si la parábola y = Ax2 + Bx + C pasa por los

puntos

/a + b \P0(a-,y0) , Pj (—2~ ;y i ) ■ p2(b;y2) .

entonces ei área algebraica bajo la parábola está dada por (23).

Sea f una función continua en [a; b]. Para hallar una aproximación de f(x )dx ,

la idea básica es aproximar la gráfica de f por arcos de parábolas. Para esto,

dividimos el intervalo [a; b] en n partes iguales, donde n es par. Sean

{x0,x1,x2, ■■■ ixn} los extremos de los subintervalos, y y¡ = /(x¿), ¿ = 1-2, ...,n.

El área algebraica bajo la parábola que pasa por los puntos (x0;y0), ( x ^ y j

Y U 2;y2) está dado por (y0+4y1 + y2)Ax/3. Así mismo, el área algebraica bajo

la parábola que pasa por los puntos (x2;y2), i.x3',y{) y (x4;y4) , está dado por

(y2 + 4y3 + y4)Ax/3 y así sucesivamente, hasta llegar al área algebraica bajo la

parábola que pasa por los puntos (xn_2;yn_2X (xn-i;yn-iX (x„;y„) está dado

por (yn-2 + 4yn-i + yn)Ax/3.

Por tanto,

f b Ax, Ax , . AxJ f(x)dx = — (y0+ 4y1 + y2) + — (y2 + 4y3 + y4) + + — (y„_2 + 4yn_1 + yn)

f AxJ f(x)dx s — [(y0 + yn) + 2(y2 + y4 + ... + y„_2) + 4(y1 + y3 + ... + yn-i)] (24)

Esta fórmula es llamada fórmula de Simpson.

146

IN T EG RA L D E F IN ID A

Fjemplo 41. Para n = 10, calcule por aproximación el valor de

-1 4 dxr 1 4 dx

J0 1 + x2

Solución

Si n = 16, entonces Ax - (1 - 0)/10 = 0,1.

X¡f ( x \ _ 4

x¡ / ( * « )' C 1 + x 2

oiloX

O (i

1

4

1 O

1

x 6 = 0 ,6 y 6 = 2 , 9 4 1 1 7 6 4 7

X\ = 0 ,1 y a = 3 ,9 6 0 3 9 6 0 4 1! o Vj

y 7 = 2 , 6 8 4 5 6 3 7 5

x 2 = 0 ,2 y 2 = 3 , 8 4 6 1 5 3 8 4 * co

II O 00

y 8 = 2 , 4 3 9 0 2 4 3 9

x 3 = 0 ,3 y 3 = 3 ,6 6 9 7 2 4 7 7 x 9 = 0 ,9 y 9 = 2 ,2 0 9 9 4 4 7 5

x 4 = 0 ,4 y 4 = 3 , 4 4 8 2 7 5 8 6

T“l

IIO*

o

II NJ

O

x 5 = 0 ,5 yS = 3 ,2

Por la fórmula (20) (aproximación por rectángulos),

í 1 47TTT dx S 0,1 [yo + y! + y2 + ■ ■ • + y9] = 3,239925989

-'o 1 + x

Por la fórmula (21) (aproximación por rectángulos),

4d x s 0 ,l[ y 1 + y2 + ... + y9 + y10] = 3,039925989f

J(\o 1 + x2

Por la fórmula (22) (aproximación por trapecios),

4,-dx = 0,1(V yo + yio , ■■ ,

^--- f yi + y2 + • • • -r y9 = 3,139925989+ x2

Por la fórmula (23) (aproximación por parábolas o método de Simpson),

f 1 4 0,1 r

J i+ x zdx ~~3~'-y° + y i° + 4(-y i+ y 3 +ys+ y?+ y^ +

+2(y2 + y4 + y6 + y8)] = 3,141592614

Este último valor comparado con el valor real de la integral

"1 4 dx= n = 3,14159265..

I 0 1 + x2

es exacto hasta la séptima cifra decimal.


Calcule los valores aproximados de las siguientes integrales:

f dx1. I — , por la fórmula de los trapecios y la de Simpson (n = 2).

R. 1,6182 y 1,6098 respectivamente

dx2. — , por la fórmula de los trapecios y la de Simpson (n = 10).

'i xR. 0,69377 y 0,69315 respectivamente

3. í V1 —x}dx, por la fórmula de los trapecios (n = 6).■'o

R. 0,8109


EJERCICIOS

f 3 dx4. , por la fórmula de Simpson (n = 4).

Ji 2x - 1

R. 0,8111

3

ti*

'........... 1 ........................... • " ^

INTEGRALES IMPROPIAS

En la definición de la integral definida í f(x)dx, fueron establecidas las dosJa

restricciones siguientes:

Io El intervalo / = [a-,b] es acotado

2o / es acotada en /D

Ahora trataremos de librarnos de estas restricciones, extendiendo el concepto de

integral definida al caso en donde el intervalo de integración es infinito o el caso

en donde la función del integrando / presenta discontinuidad infinita en [a; b].

Las integrales que tienen estas características se llaman integrales impropias y son de dos tipos:

Tipo 1: Integrales impropias con límites infinitos.

Tipo 2: Integrales impropias con límites finitos (con discontinuidades infinitas).

3.1 INTEGRALES IM PROPIAS CON LÍMITES INFINITOS

Definición 1. Sea / : / = [a;+oo) -* R una función continua en ei intervalo /.

La integral impropia de / de a a +co se denota y se define como

í f(x )dx = lim f f(x )dx Ja t~’+' Ja

r+CO

Se dice que la integral impropia I f(x)dx converge cuando el límite existe.Ja

Si el límite no existe o es infinito, se dice que la integral impropia diverge.

Observación 1. Como vimos en el capítulo anterior, si f (x) > 0 , la integral

definida I f(x)dx representa el área de la región plana limitada por Ja

la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = t. Luego, cuando Ia

integral impropia es convergente podemos interpretar que el valor de la integra!

es el área de la región plana infinita que se encuentra a la derecha de la recta

x — a y está comprendida entre la gráfica de f y el eje x (Fig. 3.1).

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TÓPICOS nF CAI C I'1,0 - VOI I'MFN II

Fig. 3.1 Fig. 3.2

Definición 2. Sea / : / = (—°o;b] -» E una función continua en el intervalo /.

La integral impropia de / de —oo a a se escribe y se define como

"b rb

í f ( x) = l‘m í f{x)dx J —00 t- >-0 0 J

Si este límite existe, se dice que la integral impropia es convergente; en caso

contrario se dice que es divergente.

Por otro lado, si f(x ) > O, V x E / y la integral impropia I f{x)dx converge,j — OO

entonces el valor de la integral representa el área de la región plana infinita

ubicada a izquierda de la recta x = b y está limitada por la gráfica de. / y el eje x

(Fig. 3.2).

Definición 3. Sea / : E -* E una función continua en el intervalo <-oo;+co).

La integral impropia de f de —oo a + co se escribe corno

r+ 00 f b r + co

I f(x ) dx = I / (x ) dx + I f (x ) dxJ — 00 J — OO J b

donde b es cualquier número real.

,.+00 rb

La integral impropia f(x )dx es convergente si tanto I /(x ) dx como J — 00 —00

r f{x) dx son convergentes, y es divergente si alguna de las integrales

impropias del lado derecho diverge.

Ejemplo 1. Determine si la integral | (x - 2)exdx converge o diverge.J-00

Solución

En esta integral se aplica la integración por partes con u = x — 2 y dv = exdx.

150


De la definición de la integral impropia, se tiene

[ (x - 2)exdx = lim f (x - 2)exdx = lim [(x - 2)ex-ex]^■Lo t-f-CO Jt t->-CO t

= lim [-e2 - (t - 2)et + ec] = -ez - lim (t - 2)ect —* — oo

El último límite es de la forma °o. 0. Aplicando la Regla de L ’Hópital, se obtiene

Ot - 2 1

lim (t - 2)ec = lim —— = lim --- -' —*—co t-+—co Q 1 t-»-co — Q cf — co

Por lo tanto, concluimos que

r-2

(x - 2)exdx = - e 2fJ — (

En conclusión, la integral impropia es convergente y converge a — e2.

r+ca -I- 2.xEjemplo 2. Determine si la integral —— — — -dx converge o diverge.

x "f- 3x 5

Solución

1 x2 + 2x

x3 + 3x2 + 5dx

i r+0 Um -t->+cc 3 J1

3x2 + 6x 1 tdx = - lim [ln x3 + 3x2 + 5|]

x3 + 3x2 + 5 3 t-*+oo J1

1 1— lim[ln|t3 4- 3t2 + 5| - ln 9] = ~(+oo) = +oo 3 £-*<» 3

Por tanto, la integral impropia dada diverge.

r + CO

Ejemplo 3. Calcule ---- rdx.J-oo 1+*2Solución

Eligiendo b = O , se obtiene

r+0° dx _ r° dx r+co

J_os 1 + x2 “ 1 + X 2 + Jo 1' r° dx f b dx

= lim ----7+ lim ---- 7Ja 1 + X 2 b-*+oo Jg 1 + X 2

dx

+ x2

Fig. 3.30 b = lim [arctan x] + lim [arctan x]

a->-0o a b-* + co o

= lim [arctan(a)] 4- lim [arctan(i)] = —(—tt/2) + n/2 = na->-oo ö-*+oo

/•+” dxPor lo tanto, la integral impropia I ---- - es convergente y converge a n

J-oo i + x l1

En la Fig. 3.3 se muestra la gräfica de /(x ) = + x 2 ■



f axEjemplo 4. Muestre que la integral I — converge si p > 1 y diverge si p < 1.

J\ x

[cdx _

J i xp ~ —p + 1

Solución

Para p 1, se tiene que

Luego,

C+codx fa) Si p > 1, — = lim

XP t^ + QO

y la integral considerada es convergente.

/•+codx rÉ dx t1-?b) Si p < 1, I — = lim — = lim

Jj Xp t-* + coJ1 Xp + °

y la integral considerada es divergente.

rt dx — = limXP Í-.+CO

1

(1 -P)tp-1 1 -p. p -1

1 - p 1 — p= : 4-00

c)r+0°dx r £dx

Si p = 1 , I —- = lim I — = lim [lnJj Xp t->+co X t-*+00

y así la integral dada es divergente.

t] = 4-c

En resumen.' / / xp

es convergente si p > 1 y divergente si p < 1.

3.2 INTEGRALES IM PROPIAS CON LÍMITES FINITOS

Definición 4. Sea / : I-» R (donde I = [a; ó » una función continua en / y

lim f ( x ) = co. La integral impropia de / de a a b se define comox-*b

f f(x )dx = lim í f(x )dx Ja t-*»' Ja

Si el límite existe, se dice que la integral impropia es convergente; en caso


La definición dada también es equivalente a

r b r b - E

I f(x )dx = lim I f(x ) dx Ja E"0+ JaSi f(x ) > O, V x e [ a ; b ], y la integral impropia I /(x ) dx es convergente, el

valor de esta integral representa el área de la región infinita limitada por la gráfica

de / , el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.4).

152


Definición 5. Sea / : I -* R (donde / = (a; b]) una función continua en / y

Jim /(x ) = oo . La integral impropia de / de a a b se escribe como

f f (x )d x = lim í f(x)dx Ja t-a A

Si el límite existe, se dice que la integral impropia es convergente; en caso


La definición dada también es equivalente a

fJ a

b

f(x ) dx es convergente, el valorl

de esta integral representa el área de la región infinita limitada por la gráfica de / ,

el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.5).

Definición 6. Sea f : I -» R (donde / = [a; £>]) una función continua en 1,

excepto en algún punto d G (a; b) en donde lim /(x ) = oo ó lim /(x ) = oo.x-*d~ x - *d +

Entonces se define

b rd /• b

f(x)dx = I f(x)dx + J f(x)dx J a Jd

d /•/)

f(x)dx como I f(x)dxJd

son convergentes, y es divergente si alguna de las integrales impropias del lado

derecho diverge.

La integral impropia I f(x)dx es convergente si tanto IJa Ja

Si /(x ) > O, Vx G [a; b] y la integral impropia J

f(x)dx = lim í f(x)dx£ ~’ ° Ja + e


Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a puede ser — oo y b puede

ser +00) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de

discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en

(a; b) se define como

f f(x)dx = f f(x)dx+ f f(x)dx + ...+ f f(x)dx•'a *a *Cx cn - i

siempre que cada una de las integrales impropias del segundo miembro sean

convergentes. Si por lo menos una de las integrales diverge, entonces

f bI f(x)dx también diverge Ja

f 2 dxEjemplo 5. Determine, si existe, I —

J1 Vx - 1

Solución

1La función f (x ) = —..- es continua en (1; 2] y lim f(x ) = +00.

Luego,

/ = [ dX = lim í dX = lim Í2Vjc - 1 ]2 = lim Í2 - 2Vt - 11 = 2

Por lo tanto, la integral impropia / es convergente y converge a 2.

f 1 dxEjemplo 6. Muestre que la integral I — converge si 0 1.

Solución

a) Para 0 o+

t i-P

1 - p 1 - p

y la integral considerada es convergente.

1 - p

f * dx f * dxb) Para p = 1, I — = lirn — = lim (- ln t) = +00

J0 x t-*o+ Jt x t-*o*

y la integral dada es divergente.

f 1dx f 1dx 1 1c) Para p > 1, I — = lim I — = lim

J0 xp t-»o* J t xP t-o+( p - l ) tP-i p - 1+00

y la integral es divergente.


/■*/«Ejemplo 7. Calcule, si existe, la integral I cot 9 d6.

* - n ¡ 4

Solución

Se observa que la función /(fl) = cot 6 = tiene discontinuidad infinita ensen 8

9 = 0. Asi, la integral dada se escribe como

r*r/4 r 0 r n / 4

I cot 9 d9 = I cot 9 dO + I cot 9 d9J-n/4 J-n/4 ^0

Puesto que la integral

í cot 9 d9 = lim í cot 9 d9 - lim [ln|sen 0|]Il,4J-n/4 e-*°+J-n/4 £-0+L

- J[im+[ln|-sen(e)| - ln(V2/ 2)] = -oo

es divergente, entonces la integral dada también es divergente

f 0 gl/xEjemplo 8. Calcule I — j~dx (si existe).

J x

Solucióne

La función f(x ) = — tiene discontinuidad infinita en x = 0. Entonces, usando el x

método de integración por partes, se obtiene

fO g l/ x r - E e l/x r 1 1-£- - " _gl/X

X

r ° e 1/x r ~ £ e 1/x r 1I — z-dx = lim I — 5-dx = lim e1/* —J_ ! ï 3. £->0 +J_! X3 £->0+1 X

— lim + - e _1/£ - 2e £-*0+ L £

2

e_1/£ 0NOTA: El limite Um+—-— es de la forma - . Aplicando la Régla de L’Hôpital,

résulta

e-1/£ j - l / e 2 îlirn----= lim = l im ------ r-4 = 0

f-*0 £ £-*0+ e 1/£ £-»0 + c tfe^ 1 j

dxf +Ejemplo 9. Calcule, si existe, I

J - c o ¿ )

Solución

La función /(x ) = ——— tiene discontinuidad infinita en x = 0 y x = 2.x{x - 2) J

Eligiendo los puntos * = - l , x = l y i = 3 , la integral dada se escribe



r+" dx _ r -1 dx r° dx r 1 dx r2 dx

J_M x(x - 2) J_m x(x - 2) + J_t x(x - 2) + J0 x(x - 2) + Jx x(x - 2)

J, x(x - 2) J3

’3 dx f +” dx

i 2 * (* - 2) J3 x(x - 2)

Puesto que la integral

limt->o_

r t dt

J-i 0 - 1)2 _

limt-*o_

r l

2 ln

t - 2

t-

= lim1

2 ln

x — 2

-ln 3 = 4-00

dxes divergente, entonces la integral I —----— es divergente.

J—oo X(X — ¿)

Ejemplo 10. Determine el valor de n para el cual la integral impropia

-+» / « 3X x

[ ( —J, \x + 1dx

2x2 + n)

es convergente. Además, calcule la integral para dicho valor de n.

Solución

Al aplicar la definición de la integral impropia, se tiene

f +co / n 3x \ n 3x \

l V ÍT Í " 2x2 + n ) dX ~ I t n ~ 2x2 + n )dx

lim t-* + 00

ln(t + l ) n

ln-2n

Como

(212 + n )3/4 (2 + n )3/4J

( t + l ) n(f + 1)nhm =--- -T77 = lim .....— ----------------t^+co (2 í2 + n )3/4 t-+°° V8Í6 + 12nt4 + 6n2t2 + n3

3 3entonces este límite existe cuando n = - ó n < -

a) Si n = - , lim2 t-»+oo

b) Si n < - , lim2 t —*+oo

ln

2 5/2

( t + i r i - H — 3(2t2 + f )3/4 / \(2 + |)3/4,

3 7 3

= 7 ln7 _ o ln24 4 2

, (t + 1)" , 2" ln — ---- TT7T - ln -

(2t2 + n )3/4 (2 + n)3/4

3 3 7 3Por tanto, el valor de n es - y d valor de la integral es - ln — — - ln 2.

Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes. Si es convergente, calcule su valor.

r + 0 0

1. I sen x dx r divergeo

r+OO 4

2- I /?. 2


EJERCICIOS

r +°° 4

J1 x3 c

>■ íJ0

r+co

I I*|é03

r+CO

3. e~x dx R' !

r+°°4. I |x|e * dx 1

< r 2 5v í

■ Jo ( * - 2)3/s f

■ f J 0

r ~ dx

6- ~7=? R. 2Ve*

f 1 dx

7' J 2^3 R- diverge, x3

j. f " - í _J-00 4x2 + 1

r dx

J-2 Vx + 1

io 1

n

R‘ 2

+c° xdx 1

(x2 + 9)2 *• 18

3 dx ' n

1 V9 - x 2 2

[° dx

n - R. O


13. I —— R. divergeJ o x


f 1e1/l

f +0° dx

14- { ^ R-10°

r /2 dxI ï— Rú diverge

J q 1 — ~sen a:

r+" x5 dx

(1 + x3)7/4

r ..16- I , „3^7/4 R- diverge

r+0° dx17. —— --- R. nJ-o* * '2 + 2x + 2

r +O O

f +0° a19. I e ax eos bx dx R. t (a > 0)

'o

r+0°arctanx

2 1 l

? í +0°J n X3 + 1

b18. í e-a*sen bx dx R. —— — (a > 0)

J0 a¿ + b¿

a2 + b2

+" dx n

xVx2 — 1 2

•+0° dx 2n22. —— - R.

2V3

r 1 dx

23- J„ *• dh'“ se

r +co

24. I e“1*1 dx R .2J—ca

25. J V i +*-2/3 dx R.2(2yf2-1)

158


/• +CO

26. I x2e-*3 dx R. diverge— oo

r+a> —1 — 2x^7. I u. ---—-dx

J o 3x2/3(x — l ) 2 diverge

0 dxf u dx

28' L j W + T

29.í

|V3¡

+0° dx

„ r +c° V F ^ T

i — — dx «■

r+ C Odx

f4 dx

V4x — x2

TtR.

ex + e~x ' 2

1 (1 - x 3)1/3r a - x ^ ^J j ^ diverge

r+” x31- L ï ~ ^ ? ix «■ »

00 f -1 dxJ_2 x3(l + x3)4/3 *■ diverSef+0° dx

33‘ l xvTTx* r • diverge

1 .

3

^ ________ n 71

' JQ (a2 + è2)(è2 + x2) 2ab(a + b)

r+OO

36. I e(;t-er) dx r . 1•'-00

a ^2 _ z.2^2

X 2 " ' 2 V* 2

f fl - e“x <tlt

' Jo * ~ í l_38. f „

Jo


f n sen 6 dd r- .39. —............. R. 2V2

J0 V I + eos 9

r 4 x dx40. , R. 4Jo V l6 — x2

f 1 dx41. ----- ------ R. nJo V x ^ x 2

f° x5 442. dx R. - -

J- iV ÍT ^ 3 9


r+0° x5dx 5V244 -------- /?. ---

1 (1 + x3)5/2 18

' s dx

l ) ( x ~ 8x + 15)45- f o .. . ^ d iv e rge

: 2 x3 dx 192

46‘ 1 = ~3S

2

r ¿ x* dx

Ji Vx - 1r+ C O

7. x2 Jo

« +co

47. I x2e~3* dx ft.27

f 4 dx48. —---- /?. diverge

Ji x2 - 4

<-+00

49. xne~x dx R. niJo

r+00cosx /Tf f +0°senx50. Sabiendo que I —p-dx = I—, halle el valor de la integral I ,— dx.

J o V* N2 J0 Vx3

/?. V2tt

dx51. Muestre que I —---converge si 0 1.

160


’•+00 dx

52. Si G(a) = ^-+ xB)(1 + x2) ’ CakuleG(0)< G(1)' G(2)‘

/?. 7t/4; nr/4; tt/4

f +°°senx t í f +co sen2x53. Sabiendo que I ----dx = —, calcule el valor de I — —- dx.

J0 x 2 J0 x2

K. 7t/2

54. Esboce la gráfica de la función F(x) = I f(t)d t en los siguientes casos:— 00

si [t| > 1

(1 , si t < 1

b) / ( t ) =2 , Si |t| > 1

55 Sea f M - ímX ' SÍ |x| ~ 355. Sea / ( x ) - ^ si |x | > 3

f+co 1

Determine m de modo que I /(x)dx — 1. R. m = —J — 00

3.3 INTEGRALES IM PROPIAS CON INTEGRANDOS NO NEGATIVOS

Proposición 1. Sea / una función no negativa en [a ;b ) (esto es, / (x ) > 0) e

integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b).

Si la función F(t) = I /(x)dx es acotada en [a; £>), entonces I /(x)dx converge.•'a J a

Demostración

Como /(x ) > 0, V x £ [a; fe), entonces F(t) = I /(x)dx es creciente en [a; 6).Ja

Por hipótesis, F (t) es acotada. Entonces F (t) es creciente y acotada en [a; b).

Por tanto, lim_ F(t) existe y es finito, es decir, I /(x)dx es convergente, t— /

•'a



Proposición 2 (Criterio de Comparación)

Sean / y g funciones tales que 0 < f(x ) < g(x ), para todo x E [a ;b ), e

integrables en [a; t], V t e [a; b). Luego,

a) Si I g(x)dx converge, entonces I /(x)dx converge.Ja JaJa

b) Si I f(x)dx diverge, entonces g(x)dx diverge.Ja Ja

Demostración

Se sigue inmediatamente de la proposición 1 y de la desigualdad

í f(x )dx < í g(x)dx, V t E [a;b )Ja Ja

f +0° dxEjemplo 11. Verifique si J " '4 '" " i converge o diverge.

Solución

1 1 r , f +codxComo 0 < -- < — , Vx £ [2; +00), y —- es convergente (ver

* 4V T T ^ * 6 J2 * 6

dx

2 x’ V l +:

>2

f +°° dxejemplo 2, p = 6), entonces se concluye que J ——j = = = es convergente.

f 1 dxEjemplo 12 . Analice el comportamiento de la integral , = .

Jo Vx2 + 2x

Solución

1 1 , , f 1* ' , Como 0 < - < -= , Vx e (0; 1], y -p es convergente (ver ejemplo

Vx2 + 2x Vx Jo V*

f 1 dx4, p = 1/2) , se concluye que es convergente.

Jo Vx2 + 2x

f~3 dxEjemplo 13. Verifique si . „■= es convergente o divergente.

J-00 Vx2 + 3x + 2

r 3 dx

J-o, Vx2 + 3x + 2

Solución

I

1 1 f 3 dx- <* Vx2 + 3x + 2

3 dx

í dxComo 0 < — < —- , V x £ (-00; -3], y ----------- diverge, entonces

J-00 *

Vx2 + 3x + 2es divergente.

162

r b


Definición 7. Se dice que la integral impropia í /(x ) dx es absolutamente

b

convergente cuando I |/(x)|dx es convergente.Ja

Proposición 3. Si la integral I f(x)dx es absolutamente convergente,

entonces es convergente.

Demostración

Como 0 < |/(x)| - /(x ) < 2|/(x)| , se sigue, por la proposición anterior, que

l/ ( * ) l~ / ( * ) es convergente. Luego,

rb r-b rb

I /(x)dx = I |/(x)|dx - I [|/(x)| - /(x)] dx converge ■'a Ja

f +” cos (X2)Ejemplo 14. Analice sí I --- -— dx es convergente o divergente.

Ji xSolución

La integral dada es absolutamente convergente, pues

eos (x2) 1 r * f +0°dx< — , Vx e [1;+CO), y la integral — es convergente.

x J1 X

f +0°cos (x2)Luego, por la proposicion anterior, I ----— dx es convergente.

J i x

Proposición 4 (Criterio del Límite)

Sean / y g funciones no negativas integrables en [a; t], V t e [a; b), y supongamos que

mlim — — = r .

x-*b- g {x )

a) Si 0 < r < +00, entonces las integrales impropias •

F = í f W d x y G = í g(x)dx Ja Ja

son ambas convergentes o ambas divergentes.

b) Si r = 0 y G converge, entonces F converge.

c) Si r = ±00 y G diverge, entonces F diverge.

Demostración, (ejercicio para el lector).


Corolario 1. Sea f una función integrable en [a; t] , V t E [a; +00), y

supongamos que lim xpf(x ) = r < +00.X->+oo

Luego, se tiene:

a) Si p > 1, entonces Ja+°°/(x)dx converge.

b) Si r 0 y 0 < p < 1, entonces f(x)dx diverge.

Corolario 2. Sea / una función integrable en [a; t] , V t E [a; b), ( b e l ) y

supongamos que lim (¿ - x)p/ (x ) = r < +00.x-*b

Luego, se tiene

a) Si 0 1, entonces I f(x)dx diverge.Ja


r ” d*Ejemplo 15. Analice si -- -- converge o diverge.

h x3V4x5 + x3 — 1Solución

Considerando que

lim x11/2-- , .....- -.......—■ = — (en este caso p = — > l^X-.+00 x3V4x5 4- x3 — 1 2 \ 2 /

r+0° dxse concluye, por el corolario 1, que la integral I -- converge.

J2 x3V4x5 4- x3 — 1

f 5 dxEjemplo 16. Verifique si I —5----- ,2 converge o diverge.

Solución1 1

Teniendo en cuenta que lim (x — 2)3/2 ■ ---- - ---- t t t t t — — 7= (en esteH ' (x - 2) 3/2(x 4 1)3'2 3^3

caso p - 3/2 > 1), la integral es divergente (se usa el corolario análogo al

corolario 2, reemplazando (í> - x)p por (x - a)p).

f°lice si IJ — 03

x dxEjemplo 17. Analice si jp = = = = = = ^ = converge o diverge.

V2x9 4- 8x — 10 Solución

x 1La integral converge, pues lim x • , ---- - (p = 2 > 1).

*-*+“ V2x9 + 8x - 10 V2

164

1IN i t O K A L h b 1 M P K U P I A S

EJERCICIOS

Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.

~+0° dx

'■JJ2/?. converge

+ 37+ 4 convet'ge

(x + l)dx

x3 - 1

+0° x + 3

' IX 3 + X 2

+0° dx

c3 Vx2 + 4

1 IJ2 Vx2 -1

dx

x2 Vx2 + x + 1

+” e~2x dx

x2 + 3x + 5

R. converge

f x + 34- J X4 + x dx R- converge

/?. converge

converge

x3 + 1

7' L diverge

/?. diverge

/?. converge

r

10. e_Arsen(x2)dx R. converge*0

r + 0 0

11. I e~x dx R. converge0

f +" dx

12' i x2( i + e*) *; ¿onveree


14 f 3 * 3 +L dx R. converge

’ h 4 ^ 1


i , f S dx R. converge

' J4 xV 2 5 ^ F

15. f x s e n ’ Q d x R. converge

l"1______ ^ _______ R. converge

r1sen(x3)dx R converge

17- í r *

18 f ' _ i ---dx R. converge

Jo "i-

r +co r l v9n ._________ ___________ R. converge

J1 x4 + 5x3 +x2 +x + l

APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA

Hn este capítulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral definida a ios

problemas geométricos, físicos y económicos.

4.1 ÁREA DE REGIONES PLANAS

CASO I: Sea / : [a;b] -» IR una función continua y f ( x ) > 0, Vx E /. De la

interpretación geométrica de la integral definida se sigue que el área de la región

R limitada por la gráfica de / , el eje x, las rectas x = a y x = b (Fig. 4.1) está

dada por

A(R) = / ( x ) d x ju 2

CASO II: Sean / y g dos funciones continuas en [a\b] y g (x )< f(x ) ,

V x £ [a; b]. El área de la región íl limitada por las rectas x - a A x = b y

las gráficas de / y g (Fig. 4.2) está dada por:

A(n) = ( í [f(x) - g (x )]dx)u2

Para demostrar esta fórmula, consideremos el número real k tal que k < g(x),

V x £ [a; b].

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Efectuando una traslación de ejes al origen 0 '(0; fc), las nuevas ecuaciones de las

curvas y = f(x ), y = g(x ) y de las rectas x = a y x = b son,

respectivamente, yx = f(x ) — k , yx — g(x) - k , x = a y x = b (por las

fórmulas de traslación y1 = y — k A xx — x). Por lo tanto, en el nuevo sistema

cartesiano x10 'y1 se verifica

0 < g(x) — k < f(x ) - k , V x e [a; b]

Luego, teniendo en cuenta la fórmula del caso I, se tiene

A(ü) = í (f(x ) - k)dx - Ja

A (12) =

Observación 1. Si la región R está limitada por las gráficas de x = /(y ),

x = g (y), las rectas y = a A y = b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones

continuas en [a; b] y g(y) < f(y), V y E [a; b], entonces el área de la región R

es

[f(y) - g (y )]d y ]u2A(R)

f íf(x ) - g(x)\ dx

((g(x) - k)dx

Yi

S« = 6

x =g(yr0 I l Xy V< =f(y)

II

Ejemplo 1. Calcule el área de la región limitada por

71

y = sen x , x = 0 , x = 2 ’ y ~ ®

Solución

De la definición dada en el caso 1 y de la figura 4.4, se obtiene

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I (i mplo 2. Calcule el área de la región S limitada por

2\x¡y , el eje x y las rectas x = —2 y x = \

1 + x2

Solución

l’ur la definición de valor absoluto, se tiene que

r- x , x < 0

be, . x > 0

Am, por la fórmula dada en el caso I y la figura 4.5, resulta

-1 2|x| ,

1*1 = {;

x r o = [ j

f° 2x f 1 2x= - --- r dx + --- Tdx

J-2 1+X2 J0 1 + X2

= -[ln(x2 + 1)]°2 + [ln(x2 + 1)]q = ln 5 + ln 2 = (ln 10)u2

r.jemplo 3. Calcule el área de la región limitada por la parábola y = x2 + 4x, el

eje x y las rectas x = —2 A x = 2.

Solución

( »bservando la gráfica de la región (Fig. 4.6), se tiene que para f(x ) = x2 + 4x se

minple

f ( x ) < 0, V x 6 [-2; 0] y f(x ) > 0, V x 6 [0; 2]

l’or tanto, el área de la región pedida se descompone en la suma de las áreas de las

regiones y R2, es decir,

A(R) = A (R J +A(R2)

f0 f 2 16 32= - l (x2 + 4x)dx + I (x2 + 4x)dx - — + — • = 16 u2

J-2 Jo J 3


Ejemplo 4. Halle el área de la región F limitada por las gráficas de

y - x2 , y = x3 , x = - l , x = 2

Solución

lin la gráfica de la región F (Fig. 4.7), se observa que

x3 < x2 , V x 6 [-1; 1] y x2 < x3 , V x e [1; 2]

Luego,

r 1 r 2 , 8 17 25 _A(F) = J (x2 - x )dx + J (x3- x2)dx = — + — = — u

I»TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 5. Halle el área de la región limitada por las gráficas de

y = arcsen x , y = arccos x , y — 0

Solución

Las gráficas de las funciones y = arcsen x y y = arccos x están dadas en la Fig.

4.8. Ahora bien, por la definición de las inversas de estas funciones, resulta

x = sen y < x = eos y , V y 6 [0; -]

Por consiguiente, el área de la región pedida es

,-71/4

,4(12) = I (eosy - sen y)dy = (V2 - l ) u 2 Joliste ejemplo se puede resolver usando a x como variable independiente, esto es,

ri/2/2 r 1A(!l) = I arcsen x dx + f arccosxdx

Jo ■'\/2/2

lis evidente que en este caso el procedimiento es más complicado que el anterior,

por lo que recomendamos al lector escoger adecuadamente la variable

independiente antes de aplicar la fórmula del área.

170


Ejemplo 6. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de

y = 4 - x2 , y = ln(2x - 3) , y = 1

Solución

I ;i gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.9. Por comodidad consideramos a

como variable independiente, esto es, x = ^ 4 - y a xey + 3

-. Luego, se

obtiene

A (R )~S0 í S , ' í+ ) d¡ , ‘ey 3 2y + 2 y + 3 ( 4 - y )3''2

I jcmplo 7. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de

y = |x3 - 4x2 + x + 6|, 3y + x2 = 0, x = 0 , x = 4

Solución

I ti gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.10 y su área de la región es

A(R) - i " J o

¡x3 - 4x2 + x + 6| - ( I\dx

-dx= f |x3 - 4x2 + x + 6| dx + í Jo J 0

l'íii,i hallar la integral del valor absoluto, tenemos en cuenta que

|x3 - 4x2 + x + 6| = |(x + l)(x - 2)(x - 3)|

[x3 - 4x2 + x + 6 , 0 < x < 2

|x3 - 4x2 + x + 6| = •{ - (x3 - 4x2 + x + 6) , 2 < x < 3

5 - 4x2 + x + 6 , 3 < x < 4



Luego,

r 4

/ = í \x3 — 4x2 + x + 6\dx 'o

= í (x3 - 4x2 + x + 6)dx - f (x3 - 4x2 + x + 6)dx + f (x3 - 4x2 + x + 6)dxJ 0 J 2 3

_ 22 7 47 _ 71

~ T + Í2 + 12 ~~6

Por tanto, el área de la región R es

2 ( r *

u 1 1

71 64 341A ( R )

4V2 64dx = -

Ejemplo 8. Halle el área de la región íí que se encuentra en el primer cuadrante y

está limitada por las curvas xy = 1, xy = 3 , x - xy = 1, x — xy = 3.

Solución

Se verifica fácilmente que las gráficas de las curvas se intersecan en los puntos

>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C(6; 1/2) y D(4; 3/4)

La gráfica de la región Q se muestra en la fig. 4.11. Finalmente, el área de la

región Q es

AW = ¿ (A ,) + /IC /y = j ' [(l - i ) - i] dx + j ‘ [ | - ( l - j )

= (2 — ln 4) + ^6 ln — 2 j =

dx

729 .

ln 256 U

172

Ejemplo 9. Halla el área de la región F, ubicada en el primer cuadrante y que está

limitada por las gráficas de y = xz , x2 = 4y , x + y = 6.

Solución

La región F se muestra en la Fig. 4.12. Los puntos de intersección de las curvas

en el primer cuadrante se hallan resolviendo simultáneamente los pares de

ecuaciones:

y = x2

y


_ 6 _ x <=> x = 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q=*x = 2 (para el primer cuadrante)

y = x2/4

y = 6 — x

.uego, el área de la región F es

y = 6 - x <=> — - 6 - x x - 2y¡7 - 2 (para el primer cuadrante)

A(F) - A(Fi) + A(F2) = J (x z - ^ x 2^Jdx + j ^6 - x - ^ j d x

1 1 = 2 + - (28V7 - 68) = - (28a/7 - 62)u2

Ejemplo 10. La región F, limitada por la curva y = 10* - 5x2 y el eje x, es

dividida en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen. Halle la

ecuación de dicha recta.

Solución

I.a región F se muestra en la Fig. 4.13.

I,a pendiente de la recta L que pasa por

el origen y por el punto (a; 10a -

.r>a2) es

10a — 5a2m = --------= 10 - 5a.

a

Así, la ecuación de la recta L es

y = (10 - 5a)x.

Por otro lado, el área de la región F es

20Fig. 4.13

A(F) = I (10* — 5x2)dx —— u2 J o

A(F) 10Ahora, como F = F1 U F2,conA(F1) = A(F2), y A(Ft) - —— = — , entonces

í a 5 10M F i) = I [(10* - 5x2) - (10 - 5a)x]dx = - a 3 = — => a = V4 JQ 6 3

Por lo tanto, la ecuación de la recta L es y = (10 - S\Í4)x.


Ejemplo 11. Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 en los

puntos (—1; 1) y (1; 3). Si se sabe que las curvas mencionadas encierran una

región de área 2u 2, halle la ecuación de la parábola.

Solución

Este problema tiene dos soluciones.

Primer caso: Cuando la parábola está por debajo de la curva y = x3 + 2.

Segundo caso: Cuando la parábola está por encima de la curva y = x3 + 2.

Primer caso: Sea (Fig. 4.14) la región limitada por la parábola buscada y la

parábola semicúbica y = x3 + 2.

Considerando que la ecuación general de una parábola de eje vertical es

y = Ax2. + Bx + C

y que los puntos (—1; 1) y (1; 3) pertenecen a dicha parábola, se tiene

1 = A - B + C ... (a)

3 = A + B + C ... (/?)

Como ^Cfi) = f (x3 + 2 - Ax2 - Bx - C)dx = 2 => A + 3C = 3 ... (y)J - i

Resolviendo (a) , (/?) y (y) se obtiene

B = 1, A = 3/2, C = 1/2

Luego, la ecuación de la parábola es 2y = 3x2 + 2x + 1.


Segundo caso: Sea F-¿ U'ig- 4.15} ia región limitada por ia parabola buscada y la

parábola semicúbica y = x3 + 2.

Como A(F2) = j (Ax2 + Bx + C - x3 - 2)dx = 2 => A + 3C = 9 ... (A)

Resolviendo (a), (/?) y (A) se obtiene que la ecuación de la parábola es

2y = 7 + 2x - 3x2.

174

Kjcinplo 12. Calcule, si existe, ei área de la región infinita comprendida entre ia

nirva (2a - x )y2 = x3, (a > 0) y su asíntota vertical.

Solución

I a asíntota vertical de la curva es x = 2a. En la fig. 4.16 se muestra la gráfica de

la región infinita Q. Luego,

r2a x3 r c x2A(íl) = 2 j ---- ux = 2 lim I _______ - dx

Jo si2 a - x t-2a- J0 ^2 ax - x2

C x2= 2 lim I ....... iir

t_>2a Jo y]a2 - (x - a)2

I laciendo u = x — a se obtiene

4(/2) = 2 lim a2 [âresen f-— -) - (x + 3a)Jx (2a - x)lt-2 a~ L2 V a 2a2 v J0

= 2 «¿‘12- “ 2 [ i arcse" ¿ (t + 3“ )V « 2 a - t ) +

= 2“2(t +t ) = (3,i“2)“2


l.jemplo 13. Dada la región infinita í í limitada superiormente por xy = 1,

inferiormente por yx2 + y - x - 0 y a la izquierda por x = 1; calcule su área si existe. ’

Solución

La región Í2 se muestra en la figura 4.17 y su área requerida es

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I) Sombree la región Í2 limitada por las curvas dadas y calcule su área.

71 TZ 3 21 . y = eos x , x = - — , x = — , y - 0. k .

222. y = x2 + 2x - 3 , x = - 2 , x = 0, y = 0. R. — u 2

64 .

3. y = 9 - x2 , y = x2 + 1. R-

4 . y = y = 0 , * = - 1 , * = 2 . « . ( l + ; - a r c t a n 2 + j l n g ) u !

8 ,5. y = 3 x - x 2, y = x2 - x. R: 3 U

2 / I 2 \ 26. * = 0 , y = tan x , y = -cosx. R. ^3 _ l n ^ | J u

5 ,7. y = x3 + x , x = 0 , y = 2 , y = 0. R- 4 U

8. y = ln(x2) , y = ln 4 , x = e. R. (4 - e ln 4)u2

9. x = ey, x = 0, y = 0 , y = ln4. R- 3u2

3x 1 4*\ 210. y = arctanx , y = arccos — , y = 0. K. “ 2 3/ U

1 1 . y = aresenx, y = arccosx, x = 1 . R■

3712. y = x3 - 3x 2 + 2x + 2 , y = 2x 2 - 4x + 2. R. — u 2

13. y = 4 - ln(x + 1), y = ln(x + 1) , x = 0. R. 2(c2 - 3)u2

14. í í es la región encerrada por la elipse a2x2 + b2x2 = a2bz. R■ rcab

15. í l es la región de mayor área encerrada por las curvas x2 — 2y 3 = 0 ,

x2 - 8y = 0 , y = 3. R■ (_5_ + 5 ^ ) u2

16. í í es la región de menor área limitada por las curvas x2 + y 2 = 20 ,


EJERCICIOS

í 2 ü \ 2y 1 = 2x3. R- ^20 aresen — - - Ju

176


17. í í es la región de mayor área encerrada por las gráficas de 5x2 - 4y = 0 y

la elipse cuyos focos son los puntos (0, ±6) y cuya longitud de su eje menor

es R■ ( 9V5 n — 9V5 aresen —— ' ^ ^ u 2V V3 2 J

18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.

( 4 x - x 2 f x2 + 8x — 40

19‘ y = 4 ' . y = --- 16--- R.17u>x < 0 v—3x — 16, x < —4

20. y (x 2 + 4) = 4(2 - x) , y = 0 , x = 0. /?. ^ _ in 4^

21. y = x3+x — 4 , y = x , y = 8 — x.

22. y = ex , y = e~x , x = 1 . r Í £ _ I Í 2 ! u 2e

23. y — 2x + 2 ,x = yz + l , x = 0 ,y = 0 l x = 2. R. ( is + í v ^ z

24. y = | x - 2 |, y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3. R — u 2' 6

25. y = / x 2 - 3, y = |x — 1|, y = 0. /?. ( § ln 3 —j ) « 2

26. y = |sen x| con x e [0; 2tt] , y + x = 0 , x - 2n = 0. R. (4 + l n 2)u2

x2 — 42 1 y = ^ r _ l 6 >x = - * ' x = i , y = 0.

28. y = aresen x , y = arccos x , x = 0. R. (2 - V2)u2

29. y = aresen x , y = arccosx, y = 0. r . (-y/2 _ ^ „ 2

30. y = x3 + 3x2 -f 2 , y = x3 + 6x 2 - 25. r . 108 u 2

31. y = x2, y = 8 — x2 , y = 4x + 12. R. 6 4 u 2

32. y = x2 , 2y = x2 , y = 2x. R. 4 u 2

<3. y + x = 0 , y = [ / ( t ) d t , donde/(í) = í 3f21 f < 2 .Jo l—2t — 1 , t.> 2

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n 3V3-7T 2

.2

2

34. y = tan2x , y = 0 , x = — , x = 0. R- ^ g l u

35. x2y = 2 , x + y = 4 , x = 1, x - 2. K. (9/4) u 2

36. y = x4 , y = 8x. R- (79/5) u

37. y = x3 — x , y = senfax). . (~ + 2) U

38. x = 4y — y 2 , x + 2y = 5. R- (32/3) u 2

39. y = sec2x , y = tan2x , x = 0.

40- y = T T F ' 2y = * 2' R' \ 2 ~ í)u

41. x2/3 + y 2/3 = a2/3. K- (3na2/ 8 ) u 2

8a3 / 7 4flZ\ 7

42. ** = 4ay , y = ^ ^ ¡ - R ( 2a * “ t J ’'

43. y = |20x + x2 - x3|, y = 0. K- (2321/12) u 2

44# x = y3 — 2y2 — 5y + 6 , x = 2y2 + 5y — y 3 — 6. R. (253/6) u

V3 n / I V345. y = arcsen 2x , x = — .

4

2

2

2

R. x — r*7r u

2

,2

,2

46. y = x e 8 2 *2, y = x. /?. u

47 y = ^ T 4 ' y = 0 , * = 0 ' x = 4'

48. y = x3e8-2*2, y = 4x .

49. y = |x - 1|, y = x2 - 2x , x = 0 , x = 2. K. (7/3) u

50. y - M x + l - M x - l , x = - 1 , x = 1. R.3V2.U2

51. (x + y)2 = 16x, 5x + y = 8. fí. 18u2

52. y = |x-2|-|x —6|, x - y = 4. K .8u 2

53. y = |x-5|-|x + 3|, x + y - 2 = 0. R. 34u2

54. y = sen x + |cosx|, x = - n , x - n , y = 0. R. 4

178


^2X

■>J' y ~ (4 - x2)3/2’ * = °< * = i. y = o. /?.

56. y = 60(xs - x4 + x3), y = -2x, x2 = 1. R . 52u 2

57. y = x + sen x, y = x, x = 0, x = -. R . 2 ~ ^ u 26 ’ 2

58. 8x = 2y3 + y 2 - 2y, 8x = y 3, y 2 + y - 2 = 0. R. — u 296

59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0. r . ^ Z u 2

60. y = c sen (-) ln (sen , x = 0 , x = an. R. 2ac(l - ln 2)u2

61. y 3(x - 2)2 = 1, y = 0, x = 1, x = 10. R . 9u2

62. y (x2 + 4) = 8 , 3x2 - 4y - 8 = 0. R . 2(7r + 2)u 2

63. Í2 es un arco de la cicloide cuya ecuación paramétrica es

x &(t sen £), y = cz(l — eos £). R , 3tzci2f 2n

Sugerencia: 4(.fi) = y dx.

64. í í es la región limitada por el astroide x = a eos3t , y = a sen3t.

3

/? . - 7 T U 28

65. Q es la figura comprendida entre la hipérbola x2 - y 2 = 9 , el eje x y el

diámetro de la hipérbola que pasa por (5; 4). R. 9 ln3

21 x I66. fí es la región limitada por la gráfica de / (* ) = ---- - , el eje x y las dos

1 -f* Xrectas verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos. r (],, 4 ^2

67. ¿1 es la región limitada por la gráfica de /(x ) = 2x4 - x2 , el eje x y las dos

rectas verticales que pasan por los puntos mínimos relativos.

R. (7/120) u 2

í>0. es la región encerrada por y 2 = x2 - x4. R. (4/3) u 2

í>9. Q. está limitada por un lazo de la curva a2y4 = x4(a2 - x2).

n 4íj2 ?R. — u2



70. £2 está encerrada por un lazo de la curva 16a4y2 = b2x (a —2cu).n h

R. - u 2ab

30

71. Q está encerrada por el lazo de la curva (x2 + y 2)3 = 4a2x y

72 Q está encerrada por la lemniscata (x2 + y2)2 a (x V )■R. a2 u 2

73. SI está acotada por y (4 + x2) = 5 y el semicírculo superior de ^

at2 + y2 — 2y = 0. S. (2 - 5 a rc ta n - + 5 ) u 2

74 Q está encerrada por la elipse (de eje oblicuo) (y - x + 3) - 4 - x .

R. 4n u 2

7 5 . y = 9 - x2 , y = ln(x - 2 ) , y = 2 .

II En cada uno de los siguientes ejercicios grafique la región ilimitada SI y halle

su área (si existe), si se sabe que Q está comprendida entre las graficas de.

n 2

1. y = sechx y su asíntota. R■ 2 U

2 y = y s u a s ín to t a . R . 16tt u 2

x2 + 16

3 (4 - x 2)y2 = x4 y s u s asíntotas verticales. R- 2n u 2

4 y = arctan x , 2 y = n , x — 0 .

?r 2

5. y = sech_1x y su asíntota vertical. R■ ~ u

R. no existe

n

2W 41x1 R. 3ttu 2

6' y ~ 1 + x4 ' y 1 + x 4 '

III Determine m de manera que la región que está por encima de y mx y

debajo de la parábola y = 2x - x2 tenga área igual a 36u . K. m -

IV I I área de la región comprendida entre la parábola y = 12* - 6x2 y el eje

x es dividido en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen.

1 lullc la ecuación de dicha recta. R. y ~ 6(2 - V4)x

V La hipérbola equilátera x2 - y2 = 8 divide en 3 regiones a la

circunferencia x2 + y 2 = 16 . Halle el área de cada una de las regiones.


4.2 VOLUMEN DE UN SOLIDO EN FUNCIÓN DE LAS ÁREAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES

Sea S un sólido limitado en el espacio. Bajo ciertas condiciones es posible hallar

el volumen de este sólido. Por ejemplo, sea Sx una sección plana del sólido S

obtenido al cortar el sólido con un plano perpendicular al eje x en el punto de

abscisa x (Fig. 4.18) y supongamos que existe un intervalo [a; b] tal que

- uxe[a:b]

Si >5(5X) es la función área de la sección plana (llamada sección transversal de S)

y es continua, V x e [a; b], entonces el volumen del sólido 5 está dado por

K S ) = í A(Sx)dxJ n

Fig. 4.19

Kjemplo 14. La base de un sólido es la región limitada por la elipse

b2x2 + a2y 2 - a2b2 .

I lalle el volumen del sólido S si las secciones transversales perpendiculares al eje

x son:

a) Triángulos rectángulos isósceles, cada uno con hipotenusa sobre el plano xy.

b) Cuadrados. c) Triángulos de altura 2.

Solución

a) La gráfica de la sección transversal del sólido se muestra en la Fig. 4.19. El

sólido es la unión de los Sx, x 6 [—a; a], donde Sx es un triángulo rectángulo

isósceles de área

MSX) = \bh = \{2 y)h = ^ ( 2y)y = y2 = ^

Luego,

rO h2V

(a2 - x2)

f a b (4 \

= l a- ^ 2 - ^ dx = { r b2) u3

18! www.FreeLibros.com

h) Si las secciones transversales son cuadrados (Fig. 4.20), el sólido queda

descrito como la unión de los Sx, x e [-a; a], tal que Sx es un cuadrado e

lado 2y = — y¡a2 - x2 . Luego, el área de la sección Sx es

A(Sx) = (2y)2 = 4y2 = ^ ( a 2 ~ x 2)

Por tanto, el volumen del sóiido es

V = í 4 ^ - (a2 - xz)dx = ab2) u 3 J-a a

c) Si las secciones transversales son triángulos de altura 2 (Fig. 4.21), eí solido es

la unión de los Sx, x 6 [-a; a], tal que S* es el triángulo de altura 2 y base

2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área déla sección plana es a

1 2b r—--- rA{Sx) = -(2y)2 = 2 y ^ — J a } - x 2

Por tanto, el volumen del sólido resulta

/-fl U ________V = — y/a2 - x2 dx = (nab)u3

La a


l'icmnlo 15 Una recta se mueve paralelamente al plano yz cortando a las dos

elipses b2x2 + a2y 2 = a2b2 A c2* 2 + a V - a2c2, que se encuentran en los

pimíos xy y xz respectivamente. Calcule el volumen del cuerpo asi engendrado.

Solución

Kn este sólido, la sección Sx es un rombo (Fig. 4.22) cuyas diagonales son

2y A 2z. Luego, el área de la sección plana es


¡j ---------------- £ ............ ■„ ,(lomo y = —y/a2 — x2 A z “ —J a 2 — x2,

a a

entonces el volumen del sólido es

[a be V = I 2 ~ (a2 - x2)dx

J-a ^

= (§a i,c )u »

EJERCICIOS

1. La base de un sólido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales

del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados.

Determine el volumen del sólido.

R. (16r3/3) u3

2. Un sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos

perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos

isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos.

Determine el volumen del sólido.

R. (4/3) u 3

V Halle el volumen del sólido S que es la parte común a dos cilindros circulares

rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente.

R. (16r3/3 )u3

4. La base de un sólido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades. La

intersección de este sólido con un plano perpendicular al eje mayor de la

elipse es un cuadrado. Calcule el volumen del sólido.

R. (4000/3) ií3

5. Halle el volumen de un sólido S cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas

secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.

R. 36v Í u 3

(>. La base de un sólido es la región entre las parábolas x = y 2 y x = 3 — 2y 2.

Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al

eje x son cuadrados.

R. 6 u3



/ 1 ;i base de un sólido es la región entre las parábolas y = x2 A y - 3 — 2x2.

Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al

eje y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa

sobre el plano xy.

R .(3 /2 )u 3

8. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado variable) se

desplaza a lo largo del diámetro (fijo) de una circunferencia de radio 3. El

plano del cuadrado permanece siempre perpendicular al plano de la

circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del cuadrado se desplazan

por la circunferencia. Halle el volumen del cuerpo así engendrado.

R. 72u 3

9. Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por un

diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Halle el

volumen de la parte separada.

R. (2r3tan a/3 ) u 3

10. El triángulo cuyos vértices son 0(0; 0), A(a; b) y B(0; b) gira alrededor del

eje y. Halle el volumen del cono obtenido.

R. (na2b/3 )u3

11. La base de un sólido es un círculo de radio 3. Todo plano perpendicular a un

diámetro dado interseca al sólido en un cuadrado que tiene un lado en la base

del sólido. Calcule el volumen del sólido.

R. 144 u 3

12. La base de un sólido es la región limitada por y = 1 — x2 , y - 1 - x4 .

Las secciones transversales del sólido determinadas por planos

perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el volumen del sólido.

13. En un sólido las secciones transversales perpendiculares al eje y son círculos

cuyos diámetros se extienden entre la curva x = J y y la recta x — y.

Calcule su volumen.

R. (ti/120) u 3

14. La base de un sólido es un círculo limitado por x2 + y 2 — 25 y las

secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros.

Calcule su volumen.

15. Un cilindro recto cuya base es una elipse está cortado por un plano inclinado

que pasa por el eje menor de la elipse. Calcule el volumen del cuerpo

engendrado, sabiendo que la longitud del eje menor de la elipse es 8 y la

longitud del semieje mayor es 10.

plana'urededorê u n a í c t ^ r0tar una regió"

llama eje de revolución. P 6 '3 regloa La recta fiJa se

4.3.1 METODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR

4 24)eobM iia d T S X = a y , x = b- <Fie- -1.23). La sección transversal

S ° x ,ue r rd ' r S “ 10" ” 'id° 5 plano P 'T ^ u l a r• i r , Por x e W>b] es un circulo de radio i vi = Iffr'U m «*

circular). El area de esta sección es 1/ M I (disco

A (S X) — n y 2 = 7r[/(x)]2 , x 6 [a;¿]

I -uego, por el método de las secciones transversales, el volumen de 5 es


4.3 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Observación 2. Sea S el sólido de

involución obtenido por ¡a rotación en

lomo al eje y de la región plana R limitada

,a cuna x ~ g(y ) (g continua en el rvah [c-d]), el eje y y ¡as rectas

v - c A y - d (Fig. 4.25).

/ monees el volumen del sólido es

V = [g(y)l2dy'ju3

Fig. 4.24

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Observación 3. Sean f ,g\[a-,b] R funciones continuas cuyas gráficas se

encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g(x)\ < ]/(x)|, V x G [a; ó].

Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la

región ü acotada por las curvas y = f(x ), y = g(x) y ¡as rectas verticales

x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g(x) < f(x )).

Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano

perpendicular al eje x que pasa por x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27),

entonces el área del anillo circular es

¿(S*) = rc{[f(x)]2 - [g(x)]2} , x G [a; b]

Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta

[g(x)¡2]dx u

revolución es

- a v- r ¿)dx u

donde R es el radio mayor del anillo circular y r es el radio menor (fig. 4.26). Si

r = 0, la fórmula es la que se obtiene por el método del disco circular.

Observación 4. Sean f ,g: [a; ¿j -> IR funciones continuas cuyas gráficas se

encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \g(x) — c| < |f(x ) — c|,

V x C |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno

a ¡a reda y = c la región Q ¡imitada por ¡as gráficas de y = f (x), y — g(x),

x a y x = b (Fig. 4.28).

/■'.monees el volumen del sólido S es

V J {|/ Cx) - c]2 - [g(x ) - c]2} dx j u 3

186


Observación 5. Si la región Q limitada por las gráficas de x = /(y ) , x = g (y )

r las recias horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical

x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f, g están a un mismo lado del eje de

rotación y \g(y) - k\ < \f(y) - k\, V ye[c ;d] , Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es

v = (rc /c V ( y ) - k]2 - [g(y) - k ^d y ^ j u 3

Ejemplo 16. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación alrededor

del eje x de la región limitada por las gráficas de y = ex, x = 0, x = 1, y - 0.

Solución

l-a región se muestra en la figura 4.30. Aplicando el método del disco (R = ex), ■ se obtiene

V = n f (ex) 2 dx - n f e2x dx = ^ (e2 - 1 )u 3 J o J o 2


Ejemplo 17. La región limitada por las gráficas de y = arcsenx, y = 0 y

x ~ — 1 gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido engendrado.

Solución

Como el eje de rotación es el eje y, consideramos a y como variable

independiente. La región se muestra en la Fig. 4.31.

Como R = 1 y r = - sen y, entonces el volumen del sólido es

-o


r° f= n \ [R2 - r 2]dy = n \ (1 - sen2y)dy

J- ir /2 J - n / 2

= ny i i 0 7r2- + -sen(2y) = —- u 3 2 4 J-E 4

Ejemplo 18. La región limitada por las gráficas de y - x2, y - V* y x - 2

gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido.

Solución

Las curvas y = x2 y y = V* se cortan en los puntos (0; 0) y (1; 1). En la

Fig. 4.32 se muestra la región entre ellas y la recta x = 2. En la primera región,

(0 < x < 1) una sección transversal es un anillo circular con radio menor r = x

y radio mayor R = Vx. En la segunda región (1 < x < 2), la sección transversal

es un anillo circular con radio menor r = yfx y radio mayor R = x2.

Por lo tanto, el volumen del sólido S es

V = n f'[ (V ? )2 - (x2) 2]dx + n ¡\ (x2)2 - (V i)2}dx J o h

n í (x - x4)dx + n fJo J í

3n 47n(x4 -x )dx = — +

10 10571 u

188

l'.jcmplo 19. La región limitada por la circunferencia (x + 2) 2 + (y >- 2) 2 = ]

j'.iiii aliededor de la recta x — 3. Calcule el volumen del sólido generado (toro de revolución).

Solución

I .a región se muestra en la fig. 4.33, donde

/(y ) = - 2 - V i - ( y - 2 )2 A g(y) = - 2 + / l - (y - 2)T

Así, el radio mayor R y el radio menor r son, respectivamente,

R = 3 - / (y ) = 5 + V i - (y - 2)2 y r = 3 - 5 (y) = 5 - v' l - (y - 2)2

I.uego, el volumen del sólido de revolución es

V = n (R2 - r 2)dy = n 2 0 /T : r ( y ^ 2 j I dy

= lOn [(y - 2)V i - (y - 2)2 + arcsen(y - 2)] = (10n:2)u 3

Ejemplo 20. La región limitada por la elipse b2x2 + a2y 2 = a 2bz con

0 < b < a gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del sólidogenerado.

Solución

Como la elipse es simétrica respecto al

eje mayor, podemos considerar que el

sólido es generado por la rotación de

la región sombreada en la fig. 4.34

alrededor de! eje x. Así, el radio de

giro del disco circular es

b i------R = y = - V a 2 - x2

a

Por consiguiente, el volumen del

sólido de revolución es

r a r a b2 /4 \V = n j R2d x = n J — (a2 - xz)dx = \^-ab2n J u 3

Ejemplo 21. La región infinita comprendida entre la curva x + xy2 - y = 0 y

su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. Calcule, si existe, el volumen del sólido.

Solución

Al despejar x de la ecuación, obtenemos x = „ V , con lo cual la asíntota1 + y2

vertical de esta curva es x = 0 (eje y), pues y -> ±00 <=> x -> 0.




Considerando que la curva (Fig. 4.35) es simétrica con respecto al origen y el radio

de giro en el primer cuadrante es R = x =1 + y :

entonces el volumen del sólido

es

r + oo r+ o ° y 2 f

V = 2 n jo R2dy = 2n ^ _ d y = Z ^H m Jo, 0 ■'o ( i + y 2) 2

Haciendo y = tan 9, la integral resulta

V = 2n limt —* + 00 Í

= 2”,!¡!’»[5arnan(t)_2(rT^]71 3

= T U

Jo (1 + y 2) 2dy

Ejemplo 22. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar

alrededor del eje x la región infinita comprendida entre la recta y = 0 y la curva

y = ^ 2 j3 'X ^ 1-

Solución

1.a resiión se muestra en la Fig. 4.36. Al aplicar el método del disco, se obtiene

r+“ / i \2 r+" _ !

‘' H . fe ® ) d x = n k

= K jim dx = » l im [ - 3 í- '3 ]; = * Hm ( - ¿ + 3)

= 3n u 3

190

APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA

4.3.2 MÉTODO DE LA CORTEZA C ILINDRICA

1 f ' [a ;¿ ] a > 0 una función continua y no negativa y S el sólido dérevolución obtenido al hacer rotar en torno al eje y la región Í2 limitada por las ,unificas y = / (* ) , y = o, x = a A x = b (Fig. 4.38)

1:1 sólido S (Fig. 4.39) puede ser considerado como la unión de los cilindros C x G [a; b], es decir, *’

5 = U Cx

x e [ a : b ]

Como el área (lateral) de cada cilindro circular recto Cx está dado por

A(CX) = 2nx f(x ); x G [a,b]

se deduce que el volumen del sólido S es

V - f A(Cx)dx = 2n í x f(x )dx J a

Observación 6. Sean f ,g: [a; b] -> M

funciones continuas en [a ;b] (ales que

,<l(x) < f(x ), Vx e [a; b], y S el sólido de

revolución obtenido al hacer rotar alrededor

de la recta x = c , con c < a, la región Q

limitada por las curvas y = f(x ), y = g(x)

r las rectas x = a y x = b (Fig. 4.40).

i.ntonces el volumen del sólido S es

V 2n j (x - c) [f(x) - g(x)]dx \ u

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Observación 7. Sean f ,g\ [a; b] •-> E

funciones continuas en [a; b] tales que

g(x) < f[x), V x e [a,b], y S el sólido de

revolución obtenido al hacer girar alrededor

de la recta x = c, con c > b, la región Q

limitada por las gráficas de x = a , x = b ,

y = f(x ), y = g(x) (Fig. 4.41). El volumen

del sólido S es

K = ( 27tJ (c - x)[f(x) - g(x)]dx"ju3

Observación 8. Sea Q la región limitada

por las gráficas x = f (y ), X = g(y),

y ~ a A y — b (Fig. 4.42), donde f y g son

continuas en [a; b] tales que g(y) < f(y ),

Vy G [a,b], y S el sólido de revolución que

se obtiene a! hacer rotar la región Q

alrededor de la recta y — c, con c < a . El

volumen de S es

V = (^2n j (y - c)[/(y) - s (y )]dy j u 3

Observación 9. Sea Q la región limitada por

las gráficas de x = g (y), x = f(y ), y = a

A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son

continuas en [a; fa] tales que g(y) < f(y ),

V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que

se obtiene al hacer rotar la región Q

alrededor de la recta y = c, con b < c. El

volumen del sólido S es

V = v j (c - y )[ f (y ) - g (y )]d y ju 3Fig. 4.43

l'.jemplo 23. Encuentre el volumen del sólido engendrado al girar sobre el cíe y

l:i región limitada por la curva y = (x - 2)\ el eje x y la recta x ~ 3.

Solución

1.a región se muestra en la figura 4.44. Aplicando el método de la corteza leñemos

V = ZU i X dX = ¿Tl\2 X(<X ~ 2)3dx

= 2n\ (x4 - 6x3 + 12x2 - 8x)dx h

147r= w


Ejemplo 24. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región

limitada por las gráficas de x + y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de la recta y = 3.

Solución

l a región se muestra en la figura 4.45. Como el eje de revolución es horizontal, el volumen del sólido es

V = 2tt f (3 - y )[(6 - 3y - y 2) - (3 - y)]dyJ -3

= 2tt- í (y3 - y 2 - 9y + 9)dyJ _ 3

256tt ,= —^— Uá

1 m www.FreeLibros.com


Ejemplo 25. Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar

alrededor de la recta x = 1 la región limitada por las gráficas de

y = | x 2 — 2x — 3| ,y + l = 0 ,x — l = 0 ,x — 4 = 0

Solución

La región se muestra en la figura 4.46. Al aplicar el método de la corteza

cilindrica, el volumen del sólido es

V = 2n J (x - l)[|x2 - 2x - 3| + \]dx

Usando la figura 4.46 y la definición de valor absoluto, se tiene

¡xz - 2x - 3| = |0 - 3 )0 + 1)| = {- (* 2 ~ 2x ~ 3 ) ' 1 “ * < 3

De aquí resulta

V

2x - 3 , 3 < x < 4

= 27r | j O _ 1)[(3 + 2x - x2) + í]dx + J (x - 1)[0 Z _ 2.x - 3) + 1] dx

= 2n (-4 + 2x + 3x2 - x3) dx + J O 3 - 3x2 + 2)dx

( 35n\ 59 ,=2n 6+T ) = y ™ 3

Ejemplo 26. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al rotar alrededor de

la recta y = 3 la región Í1 = {O; y) 6 M2 / O < x < cosh-10 ) - O < y < 2}.

Solución

La región £2 se muestra en la Fig. 4.47. Esta región está limitada por x = coshy,

x - O, y O A y = 2. Como el eje de giro es la recta horizontal y = 3,

entonces el volumen del sólido de revolución es

V = 2n í (3 - y)(cosh y)dy = 27r[senh(2) + cosh(2) - l]u3 J o

194


Ejemplo 27. La región infinita comprendida entre la gráfica de xy2 = (3a — x)

(a > 0) y su asíntota vertical x = O gira alrededor del eje y. Calcule el volumen

del sólido generado.

Solución

Con la ayuda de la región que se muestra en la figura 4.48, el volumen del sólido

pedido es

\V = 2

3a —x \ f 3a 3a - xdx I = 47t hm J x |----- dx

x

= 4nr 3 a ________ r

lim I J3ax — x2 dx = 4n lim t o+ Jt t-> o+ Jt

3a í9a2 3a

\ r r - (x~ Y y‘ dx

= 4n lim -t->o+ 2

9azn2 ,

/ 3a\ i— --- - 9a2 /2x - 3av[x - y j V3ax - x2 + — aresen [— — J

3 a

EJERCICIOS

l-n los siguientes ejercicios, calcule el volumen del sólido generado por la

rotación de la región Q alrededor de la recta L, donde

1. L ■ eje x ; 12 : y = x2 , y = 4x. (*)

(*) Entiéndase Q limitado por las gráficas de y = x2 A y = 4x.

2. L ■■ y = O ; fl ■■ y = (x — l ) 3 ,x = — l , x = 0 , y = 0. R.

3. L ■■ y = O ; ü : x3 - 5x2 + 8x - 4 , y = 0. R.

3 17T

Tóo 1

n

Tor.'


TOPICOS L)U CÁLCULO-VOLUMEN II

4. L.y — 0; Í2: x2 + (y — 3)2 = 1 R. 6n2u 3

5. L: eje x ; íl: x2 + y 2 - 2by + b2 - c2 - 0 (b > c > 0) R. (2n2bc2)u3

senx n 2 /3\6. L:e je x ; í l:y - ------- ,x = - ,x = - n R. l n l- lu

1 - cosx 2 3 /

71 / V2\7. L : e j ex ; /2:)' = e* sen (e * ),x = 0 ,x = l n — R. I c o s l — 2~ )u

128V2tt ,8. L:y = 4 ; íl: y 2 — 4(2 — x),x = 0 R. -- --- u

n9. L: eje x ; í l:y - sen x ,y = 0 ,x = 0 ,x = —

10. L:x = 4; /2:x2 + y 2 = 1

11. L: x = —2 ; ß :y 2 = x ,y = x2

12. L: y = - 1 ; í l:y = arccosx, y = arcsenx, x = 1

13. L:x = 0 ; /2:y = Vx2 + 10 , x = 3 , x = 4

R.3

R. — u 34

R. 8nzu 3

49rr _R. ---u 3

30

R. y (26V26 - 19V l9)u3

n14. L:x = 0 ; í l:y = eos x , y = 0 , x = 0, x = -

15. L:y = 0; i2:y = x = l, x = 4, y = 0 R. 7r(ln4 + - )u

¡—--- / 2V2 - 116. ¿:y = 0 ; /2:y = 0, y = 2, x = 0, x = Vy + 4 /?. 16tt (■

V 3TV

17. L.y = - 1 ; Í2:y = arcsenx, y = 0, x = —

18. L: y = —1; Í2:y = Vx2 - 3 , y = x - 1, y = 0

1 Í7T ,19. L:x = 0; /2:y = -- -t-jt , x = 0, x = y = 0 fí. rru3

cos(x2) \4

1671 ^20. L: x = 0 ; íl: y = x3 + x, x = 1, x = 0 R. -y r- u

21. L:x = 1; /2:y = |x2 - 2x - 3|, y + 1 = 0, x = 2, x = 4

45 ,22. L.y = 0; í l:y = x + 2, y 2 - 3y = 2x R . — n u 3

23. ¿:e jey ; Í2:y = |senx|, 2x = n , 2x = 37r ,y = 0

196


24. L.y = 0 ; í¡:y = V4 - x 2 , y = 1, x = 0, x = V3 R. 2n\Í3u^

25. L:y = 0; Í3:x + y - 1, Vx + ^/y = 1 R. ^ - ír u 3

.'6. L: x — — 1; Í2: x = 0, y = 2, y = V*

.27. L: y

;2H. L:X = 0 ;/3 :y = 2 + senx, y = x, x = 0, x = —

2337T U 329. L.x = 0 ; í l:y = x5, x = -1, x = -2, y = -1 R. —

7

30. L.x — 0 - íl: a2y 2 — b2x2 — a2b2, |x| = a R. 4?ra — 12

31. L.x — 4;. í l:y = (x - l ) 2, y = x + 1

32. L:y = 0 ; i2: (xz + y 2)2 = 4(x2 - y 2) R. 2tt|V2 ln (l + V2) -

33. L.x = 0r; J2 :y = 3x2, y = 4 - 6x2 R. — u 39

2834. L:x = 0 ; í l :x 2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4 (Í2: corona) R . — n u 3

i¿3

3o r /*

35. L.x = 0 ; /2:x - y 2, x = 8 - y 2 R. ---7ru3

36. L.y = —4; fí;2x + 3y = 0, 4x2 + 9y 2 = 36

37. L:y — 0: íl: x4 + y 4 = 4x^ . R. y j r u 3

38. L:x — —2 ; /2: )x|3 - y + 1 = 0, x + 1 - 0 , x - 2 = 0, y==0

39. L:x = 5 ; /2:y(l + x2) = 2, y = x2

40. L:y = 4 ; /2:y(l + a:z) = 2, y = x z

x2 y2 441. L:ejex; ß : — + — = l R. -ncib2u 3

a2 b2 32 2

42. ¿ :e jey ; íl: + = 1 R. ~ na2bu3a2 b2 3

n n43. L.y = - ; y = arctanx, x = 0, x = y = 0

¿ T1

44. L: x + 1 — 0 ; /2: y = arctan x, x = 0, 4x = n, y = 0

19?

00| N)

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45. L\y = 2 ; íl-.y = ln x , y = 0, x = 0, y = 2

46. L:x = e3 ; i2:y = lnx , y = 0, x = 0, y = 2

47. L:x = - 2; ¿2:y = 0, y = 4 - x 2

48. L\y = 2 ; Í2: y = 0, x = 4, y = V*

128 «. —

40 ,/?. — nu

49. L\y = - 2 ; /2:y = Vx--^=, x = 1, X = 4, y = 0 K. tt(:ln4 + ■145\

y ) 1

7TSQ. L: y = —2 ; /2:x = y sen y, x = 0, y = g

COS X Tt Tt' 51. L: eje x ; ¿2: y = -7= = , y = 0, x = a, x = - con 0 < a <

VserTx

R . 7TV2 r-— - cos a + ln(V2 - 1) - ln(csc a - ept a) i r

52. L: y = 0 ; i2: y = (x + l)e*, x = 0, x = 1, y = 0

53. L:x = 0 ; í l:y = ex\ y = 0, x = 0, x = 1 R. n(e - l ) u 3

54. L\x = 7 ) ü :y = x e2x, x = l , x = 3, y = 0

55. L:y = - 1 ; fí:y = lnx , y = 0, x = e R. 7reu3

56. L: eje x ; Í2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3

/a V357. eje x ; /3: Triángulo equilátero con vértices (0; 0), (a; 0), I -; — a

?rafí.

4

58. L:x = -3 ; ü.\y = x5 + 8 , y = (x3 - 2)2, x = 0

59. l \eje y ; /2: es la región cerrada por el lazo de la curva (y2 - fe2)2 = a3x256 nb9 ,

315 a6

60. L’.e jex ; Í2 es la región encerrada por el lazo de la curva

yax(x - 3a)

2 - — ------ a > 0na

x - 4a

61. L: x = 4 ; /2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4

R. — (15 - 16 ln 2)u3

R. 32tt[1 - V2 + ln(17V2)]u3

62. L : e j e x ; f l es la región, en el primer cuadrante, acotada por:16 ¡— o

R. — V2truJ15

x 2(2 - x ), y = 0

198

3I —

n n

R■ — [(3 - V3)n - 3]u3


________ 2(»3. L: eje x ; H:y = e~xJcos (e~x) , x = ln- , x = ln-

V TT" -

625*>4. L:x = 1; /}: x2 - 4 = y, y = -3x R. ---nu

6<i.r>. L: eje y ; /2 es la región que se encuentra al lado derecho del eje y limitada

por x = 0 , (4 + x2)y2 = 4 - x2 R. 4n(n - 2)u3

(>6. A la curva ^/xy - 2x + 3y - 6 = 0, en el punto (3; 3) se trazan las rectas

tangente y normal. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación

alrededor de la recta y = -3, de la región limitada por la tangente, la normal

10222normal trazada y el eje y. R. ----- n u3

49

(i7. A la parábola y 2 = 12x, en el punto de abscisa 6, se ha trazado una

tangente. Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x,

la región limitada por la tangente trazada, el eje x y la parábola.

R. 72nu3

(.8. L: eje x ; íl: y = xex, y = 0, x = 1 ' R. - (e 2 - l ) u 34

69. L: eje x , ü: es la región limitada por y = 0 y un arco de la cicloide

x = a ( t- sen t), y = a ( l - cos t) R. 5n2a2u3

70. L :e jey; fl es la región del problema 69 R. 6n3a3u 3

KCL371. L:x = an ; SI es la región del problema 69 R. --- (97r2 - 16)u3

672. L.y = 2a; ü es la región del problema 69 R. 7n2a3u 3

73. L: eje x ; fí es la región limitada por x = a cos3t , y = a sen3t.

74. Sea / : [0;+00) -» ffi una función continua tal que/(x ) > 0 , Vx > 1. Para

todo a > 1, el volumen del sólido generado por la rotación de la región

limitada por las gráficas de y = /(x ), x = 1 , x = a y el eje x, alrededor

del eje x es: V = 4- 2a2 - 0 u3. Determine /(x).

R. f(x ) = . Vx2 + 4xVtt

75. Sea / : [0; +00) -> K una función continua. Para todo a > 0, el volumen del

sólido generado por la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra

entre la gráfica de y = / (x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a con a > 0

es V = (a2 + a )u3 . Determine /(x).

3


1. La curva y 2 (2a — x) = x3 gira alrededor de su asíntota vertical. Halle el

volumen del sólido generado.

R. 2n2a3u 3

1 x2. Sea fl la región infinita comprendida entre las gráficas de y = - A y = p

y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. El eje de rotación es el eje

x. Calcule el volumen del sólido generado.

13. n es la región comprendida entre la curva y = -2 —^ y su asíntota y el eje

de rotación es el eje x. Calcule el volumen del sólido generado.

7T2 „R. Y u>

C _4 t4. fí es la región comprendida entre la curva y = J — --------dt {x e IR) y

su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.3

16'

5. £2 es la región comprendida entre la curva xy2 = 4a2(2a — x) y su asíntota,

y el eje de revolución es su asíntota. Halle el volumen del sólido generado.

R. An2a? u 3


En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.

6. fl es la región comprendida entre la curva y2 = — — - y su asíntota x = 2a

y el eje de revolución es x = 2a. Calcule el volumen del sólido engendrado.

R. 2n2a3 u 3

7. fi es la región comprendida entre la curva

rsen xx > 0

y = \ x(o , x = 0

y su asíntota, y el eje de revolución es el eje x. Calcule el volumen del sólido

generado sabiendoi que IJ 0

Tí

dx = ~.

71 , R. — u 3

2

200


i. i LONGITUD DE ARCO

Se,; / : [a;b] -> R una función con derivada continua en [a-,b] y

/’ - {x0,x1 , ...,xn) una partición de [a; 6], Esta partición define una poligonal

constituida por los segmentos rectilíneos desde hasta

<M*¿;/(*¡)),para i = 1,2, ... , n (Fig. 4.49).

n n

L{p) = = Z V(^¡ - ^ - i)2 + (fix 'd-¿=1 ¿=i

i 'I numero ¿ - ¡|{i|mo L(P), si existe, se llama longitud de arco de la curva

y = f{x ) desde el punto (a ;/ (a )) hasta el punto (£>;/(/>)). Demostraremosque en este caso el número L siempre existe.

Como / es derivable y continua en [xt_ i ; xt] , i = 1,2..... n, por el teorema deLagrange o del Valor Medio, 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que

f (x¿) — /(x ¡_ i) = / (ti)(x¡ — Xi_x) , i = 1,2, . . . ,n

1 laciendo A¿x = x¿ — x , t = 1,2,..., n , tenemos

■A n= V ( A ¡ * ) 2 + [ / ' ( t j ) ] 2 . ( A , * ) 2 - V V i + [ / ' ( t ¿ ) ] 2

í=i fet

l’or tanto, la longitud de arco de la curva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es

n

¿ = i f c l O T A , , es decir¿ = 1

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Observación 10. La longitud de la curva x = g(y) comprendida entre las rectas

y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es

1 = ( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l + 4Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en forma paramétrica

mediante un par de funciones con derivadas continuas, esto es,

C:£ : $ r

Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es

L = ( f V tx 'W F + [y'(OP dt'Ju

Ejemplo 28. Halle la longitud de la curva

,------- (1 + Vsec2x + 1\ n ny = v sec2x + 1 - ln ----------- desde x = - hasta x = -' v \ secx J 4 3

Solución

Al aplicar las reglas de derivación y simplificando se obtiene

^ = tan x Vsec2x + 1 dx

Por lo tanto, con la fórmula de la longitud de arco resulta

L = f 1 + ® dx = f * [1 + tan2x(sec2x + l )]1' 2 dx4 / 4 4 VdxJ Jn/4

r n / 3

= I sec2x dx = [tan x\nJ ^ = (V3 - l)uJ-rr/4

Ejemplo 29 Encuentre la longitud de la curva cuya ecuación es 16

desde x = —2 hasta x = —1.

Solución

1 x4 dy x3 1Como y = — r + — , entonces — = —--- -. Luego, la longitud de arco es

J 2x2 16 dx A x3

l = £ 4 T 7 W ? = £ J ( £ + i ) ¡i- + 1

- Í T ( ^ ¿ )

dx

(x3 1 \ 21■ + — I dx = — u

202


Ejemplo 30. Calcule 4a longitud total de la curva cuya ecuación es:

n n- < x < - 2 ~ 2

y - J ^ V c o s t d t , - ^ < x < ^

~2Solución

C r 7T 7TiComo f(x ) = J ^ Veost dt, Vx 6 entonces f ( x ) = Vcosx es

~2. r ^

continua en el intervalo - j . Por lo tanto,

2 5 ___________ £

Z. = J * V 1 + cosx dx = dx = V2 P cos(|) dx = 4 u

~2 ~2 ~2

Ejemplo 31. Halle el perímetro del triángulo curvilíneo limitado por el eje de las

abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones son *

y = In(cosx), * e A y = ln (senx ), x e ( 0;;r)

Solución

Las gráficas de /(x ) = ln(cosx),x 6 y de g(x) = ln(senx), x e <0;tt)

se muestran en la figura 4.50. Las longitudes de los lados del triángulo curvilíneoson

n

¿1 = 2 “

[ n/* _______________ rn¡ 4

¿2 = 1 V 1 + t/'O O ]2 dx = | V i + tan2x dx = ln(V2 + l ) u•'o J o

í 71/2 /---------- f "72 /-------¿3 = j V 1 + l j ' ( x )]2 dx = V i + cot2x dx = ln(V2 + 1 )u

•'/r/ 4 ^tt/ 4

Por tanto, el perímetro del triángulo curvilíneo es P = + 2 ln(V2 + 1)] u


Ejemplo 32. Calcule la longitud de la parábola semicúbica 2y3 = x2,

comprendida dentro de la circunferencia x2 4- y 2 = 20.

Solución

La gráfica de la parábola semicúbica se muestra en la Fig. 4.51. Los puntos de

intersección de las dos curvas son (-4; 2) y (4; 2). Ahora, derivando

implícitamente la ecuación 2y 3 = x2 con respecto a y se tiene

dx 3 y 2 /dx\2 „ 9 y4 (y 3\ 9 y— = — => 1+ — ) = 1 + —5- = l + 9y. I — = 1 + — dy x Vdy/ x2 \x J 2


Como la gráfica de la parábola semicúbica es simétrica con respecto al eje y,

entonces la longitud de arco comprendida dentro de la circunferencia es

= 2 f•'0

8l + ^ y d y = — (V1000 - 1)u

Ejemplo 33. La posición de una partícula en el instante t es

x ( t ) = 1 - eos t , y(t) = t - sen t

Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l

Solución

El recorrido total de la partícula es

I fin cada uno de los ejercicios siguientes, determinar la longitud del arco de la curva descrita por


EJERCICIOS

, ,a + Va2 - x 2 i----------- ra ai/ ( * ) - a l n ( ----- ------ ) - V a 2 - x 2 ,x e [- ;-] R. ( a ln 3 )u

mx4 + 3

6xx 6 [1; 3]

/14\

'■ ( t ) “

L f(x ) = x 1' 2 - - X 3' 2 , x e [ 0 ; l]

'• / ( * ) = Ve2* - 1 - arcsec(e*) - 1 , x-e [0; 4]

r, = ~ + X € [2; SI

í). / O ) = ln ( -x ) , X e [-V 8 ; - V I ]

7- /(*) = -aresenx---y/l -x2,x e 0;-V3

4*. - u

R. (e4 - 1 )U

393

*■ -20-“

*• (l+jln|)u- ,

/ (x ) = - x jx 2 - 1 -^\n(x + y¡x2 - 1) , x e [3;5] R. 8u

<). x = ^ y s/3 ~ ^y 1/3,y e [0;1]27

/?. — U 20

R. - ( V í- 1 )u10. y = (9 - x 2/2)3!2 , * e [ l ;2 ]

11- y = -Xy¡3-X2 - f ^ a r c s e n ^ x j , * e [0; 1] /?. +

12. y=l-ln(cosx),*e[0;^] /?. ln(V2 + 1) u

13. y = arcsen(e *), x e [0; 1]

14. y = a cosh- , x S [0 -,b] a

y 2 i

* ~ ~4 2 lny ,y e [1;el

l(>. / ( x ) = ln (co th- ) , x e [ a ; b ] , a > 0

R. ln(e + V e2 - 1) u

/?. a senh u

R. ln(-e26- l .

e2a - 1■) + a - b



x3 1 5917. /(x ) = — + — ,x 6 [1; 2] R.

18. x = (a2/3 - y 2/3)3' 2 , y e [-a; a] R. 3a u

19. x = £ - 1 ,y = - t z , £ E [0; 1] R■ -[V2 + ln ( l + V2)]u

20. x =■ ec sen £, y = el eos £, t 6 [0; 7r] R. V2(e’r - 1 )u

21. x = [ y = i —— d t , desde el origen de coordenadas hasta elJ i t Ji £

npunto más próximo donde la tangente es vertical. R. ln — u

22. x = a (eos £ + £ sen £) , y = a(sen t - £ eos £), £ £ [0; a]

R. - a a 2u

II. En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de las curvas que se

indican.

1. La longitud total de la circunferencia x2 + y 2 = a2 R. 2na u

2. La longitud total del astroide x = a eos3£ , y = a sen3£ R. 6au

3. La longitud del arco de la rama derecha de la tractriz

x = J a 2 - y 2 + a ln|f a + J a 2 ~ y2'

y J

desde y = a hasta y = b con 0 < b < a. R. a ln ( - ) u

/X\2/3 /yv2/34. La longitud de la curva (-J + h-J = 1 en el primer cuadrante.

a2 + ab + b2------ ---- u

a + fe

5. La longitud total de la curva cuya ecuación es

4(xz + y 2) - a2 = 3a4/3y 2/3 fí- 6au

6. La longitud total de la curva 8yz = x2 - x* R. W 2 u

1. La longitud de la curva 9yz = 3x2 + x3 desde x = —3 hasta x = 0

R. 4V3t¿

206

II l a longitud de arco de la parábola semicúbica 5y3 = xz comprendida dentro134

de la circunferencia x2 + y2 = 6 R. — -u27

<< Calcule el perímetro de la región de menor área limitada por las gráficas

y2 - 2x3 A x2 + y 2 = 20

X2II). I,a longitud de la curva y = - - InVx , desde x = 2 hasta x = 3.

II. La longitud de la

uirva y = Vx - x2 + arcsenVx. R. 2u

I L a longitud total de la curva dada por (y - aresen x)2 = 1 - x2 R. 8u

2l.t. La longitud del arco de la curva y2 = -(x - l )3 comprendida dentro de la

xparábola y2 = —

14. La longitud del arco de la curva dada por x = (£2 - 2)sen £ + 2£ eos £ ,

7y = (2 - t 2) eos £ + 2£ sen £, desde £ = 0 hasta £ = n R'~¡fu

15. La longitud del arco de la curva y = ln (l - x2) desde x = 0 hasta x = 1/2

R. [- ¿+ In3 ]u

III. Los siguientes ejercicios tratan del movimiento de una partícula.

1. En el tiempo £, una partícula se encuentra en el punto

P(cos £ + £ sen £; sen £ - £ eos £)

Encuentre la distancia recorrida desde el instante £ = 1 hasta t = n

2. En el instante £, la posición de una partícula es

x = 1 + arctan £, y = 1 - ln -J1 + £2

Halle el recorrido desde el instante £ = 0 hasta £ = 1 R. ln (l + V2) u

APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA


Sea / : [a, b] -> M una función no negativa, con derivada continua en [a; £>].

Haciendo girar la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se

obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.52). El área de esta superficie de

revolución está dado por

i4(S) = (271 f / 0 ) V 1 + [ f(x )]2dx ]u2


4.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Observación 12. Si la curva se describe por la ecuación paramétrica

C:x = x(t), y = y(t), t e [a;/?]

donde x(t) y y(t) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el

área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es

A(S) = ( i n j P y(t)V[x'(OP + [ y 'W F ^ u2

Observación 13. Sea / : [a, b] -> M una función con derivada continua en [a; b]

tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la

gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene

una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es

A(S) = (2 jt[ l/O ) “ clV l + [/'(X)]2 d x )u 2

208

.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g(y), Vy 6

I": H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y Ses la superficie

de revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta

\ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es

i4(5) = ^2trJ \g{y)-c\yjí + [g'(yW dy ^ ju 2 (*)

Si la ecuación de la curva C está dada en su forma paramétrica por

* = x(t), y = y ( t ) , V te [a ;(3 ]

donde las funciones x = x (t) , y = y ( t ) tienen derivadas continuas en [a;/?]

entonces la fórmula (*) se transforma en

A(S) = Í 2 n ( |ar(t) - c|VÍ*'(t)]2 + [y '(t)]2 d i ) u 2

Y

bk C

---------. c

Z '/ * n(y)

i

s

a - - J *x - \

.Y C

...... w ----►x

.Y - C

Fig. 4.54

Ejemplo 34. Halle el área de la superficie generada al hacer girar la gráfica de

/ O ) = V24 — 4x ,x £ [3; 6], alrededor del eje x.

Solución

—2(.orno / 'O ) - -7-. , el área de la superficie resultante es

V24 - 4x4

6

f ( x y i + [ f(x )]2dx

= 2n\ V24 - 4x 11 + — 4 dx h y] 24 - 4x

= 2n I V28 — 4x dx = ---u2h 3

l a gráfica de / O ) = V 24 - 4x se muestra en la figura 4.55.

i4(S) = 2n f J a



Ejemplo 35. Halle el área de la superf

del eje y del arco de la curva y = a eos

Solución

Considerando que la curva (Fig. 4.5«

superficie generada es

A(S) - 2tt f /(y )V 1 + [/'(y•'O

/y\ dxdonde x = /(y ) = a cosh (-J y —

Luego,

A(S) = 2n J a cosh Jl-<

= 2n J a cosh2 dy

Ejemplo 36. Halle el área de la super

2x = yVy2 - 1 + ln¡y - J y z - l| ,

Solución

La ecuación paramétrica de la curva e:

.* (0 = ^[t%/t2- l + ln|t-

y(t) = t

de donde x '( t) = V t2 - 1 A y '(t)

Por tanto, el área de la superficie es

A( S) = í y ( t ) V t * ' ( 0 ] 2 + [ y ' ( t ) ] 2í h

YJic >

y

x = a cosh(—)a

'""A.C7i

f > r0a a cosh(l) x

Fig. 4.56

cié engendrada por la revolución alrededor

-'i desde x = a hasta x = a cosh (1) a '

>) gira alrededor del eje y, el área de la

)]2dy

= f '(y ) = senh0

-senh2(^)dy

na2 , „ ,= ---(2 + senh 2)u

2

ície cuando la curva

y e [2; 5], gira alrededor del eje x.

^ f2 ~ 1B , t 6 [2; 5]

= 1

'.t = 2n í t-J ( t2 - 1) + 1 dt = 78n u 2

210


I' limpio 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al

I'lr y delarcodelacurva y =-[x2 - 2 lnx], *e[l;4].

Solución

I .i ecuación paramétrica de la curva es

(x(t) = t

y(0 = |[t2 - 2int] ’ 1 e [1;4]

1 1tic donde x'(t) = 1 , y '(t) = - (t - -)

I uego,

/1(S) = 2tt x(t)y/[x'(t)]2 + [y'(t)]2dt

= 2„ J t j l + i (t - 1)2 dt = 2* f ‘l (t + i ) * = 2 W

I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer

líirar la curva y = 2 - e* , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la rectaV - 2

Solución

I ,i gráfica de la curva se muestra en la

lisura 4.57.

Se tiene que

dy

luego, según la fórmula, el área de la

superficie es

¿(S) = 2tr f (2 - / C O y i + F w J d *“'O

= 2n í exyfí'+ (ex)2 dx“'O

= 7r |e2V l + e4 - V2 + + lne2 + Vi + e‘

1+V2


Ejemplo 39. Halle el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer

x2 v2girar la elipse — + — = 1, alrededor de:

a) su eje mayor b) su eje menor

Solución

a) Cuando la elipse gira alrededor de su eje mayor, es suficiente considerar la

curva C descrita por/(x) = -%/25 - x2, x e [—5; 5] (Fig.4.58).

4 i------ 4x , , , ,Al emplear /(x ) = -V 25-X 2 A / '(* ) = - ^ = = = , el area de la

superficie resulta

f 5 4 ,------ 16x2A(S) = 27tJ - V 2 5 - x z ■ 1 * 25(25 - x 2) *

N

/ 100 3\ ,= 27r(l6 + — arcsen-Jir

TÓPICOS DE CÁLCULO-VOLUMEN II

Yi

c4

,\s

~~ -1

Yi

y = - s l2 5 - x *

1 \

1 \

1 1 rY

- U

S

*- — (

' 5 \Jk

/s

-4

Fig. 4.58 F¡9- 4 59

b) Cuando la elipse gira alrededor de su eje menor, es suficiente considerar la

curva x = 1 ^ 1 6 - y 2, y e [-4;4] (Fig.4.59).4

Luego, el área del elipsoide generado es

r* 5 _______ 25y2

ACS) = 27ZJ _ j J 16~y2' j 1 +16(16^ ) dy

= (50ír + ^ ^ l n 4 ^ u 2

212

I. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle el área de la superficie de

revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x, las curvas dadas por

1. f (x ) — —x3, x G [0; 2] r _ (98tt/81)u2

2. / (x ) = cosx, x e [ - | ;| ] r . 2tt[V2 + ln ( l + V2)]u2

3. Un lazo de la curva 8a2y2 = a2x2 - x4 R. (na2/4 )u2

4. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x - a hasta x = 2a R. (477ra2/16) u2

5- f ( x ) = - x 3, x G [0; 2] R. ^ (1 7 3/2 - l ) u 2

6. y2 + 4x = 2 lny desde y = 1 hasta y = 2 R. (IOtt/3)u2

7. x = acos3t, y = asen3t R. (U n a 2/5 )u 2

8. y = e~x , x > 0 R. ;r[V2 + ln (l + V2)]u2

9. x - e t sen t, y = ec eos t desde t = 0 hasta t = |

R. 2 n j2 (e n - 2)/5 u 2

10. y = e~x, x > 0 R. ^[V2 + ln ( l + V2)]u2

11. x = a (eos t + ln(tan|)) , y = a sen t R. 4na2u 2

12. y = tan x desde (0; 0) hasta (£ ; l ) R. n (Vs - V2 + ln + 2V4 ' V V5 + 1

13. El lazo de la curva 9ay2 = x(3a - x) 2 R. 3na2u 2

14. x2 + (y - /j) 2 = a2, 0 < a < b (toro de revolución) R. 4n2abu

x3 1

15- y = y + 2 ¿ ‘ x e t1; R■ (208tt/9)u2

16. y = 2x, x G [0; 2] r . 8nV 5u2

17. y2 = 4ax desde x = 0 hasta x = 3a R. (56/ra2/3)u2


EJERCICIOS

2

II. Halle el área de la superficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las siguientes curvas

1 -x = y 3, y G [0; 3] R. [(730)3 2 - l]u2

2. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x = a hasta x = 3a R. (20 + ln 3)n a2u2



3. 2y = * V F ^ T + ln ( * - V F ^ T ) ,x e [ 2 ; S ] K . 7 8 U U 2

4. x2 + 4y2 = 16

5. y = x2 , ^ £ [1; 2]

6. y = x4/3, x £ [1; 8]

III. Halle el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada

gira alrededor del eje dado.

1. y = x3/z , x £ [1; 8]; alrededor de y = 1

2 V = í l + _L ( x £ [1; 2]; alrededor de y = 1 ' ^ 3 4x

3. y = x3, x £ [1; 2]; alrededor de y = -1

4. y = ln(x - 1) , x £ [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1

5. y = 4 + e*, x £ [0; 1]; alrededor de y = 4

6. y = 2x , x £ [0; 2]; alrededor de y = -1 R - 12V5ttu2

4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)

El momento de masa de una partícula respecto a una recta L se define corno el

producto de su masa y su distancia a la recta L. Asi, si m es la masa de la particu

y d su distancia a la recta L Fig. 4.60, entonces el momento de la partícula

respecto a la recta L está dado por

Ml = md.

•

Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y

determinar el momento de la partícula respecto a un eje de coordenadas ( o a una

recta paralela a un eje de coordenadas). En este caso se usan las distancias

dirigidas, así el momento será positivo o negativo o cero, según la ubicación de la

partícula; por ejemplo si la partícula de masa m está en el punto (x;y) Fig. 4.61 ,

entonces sus momentos Mx y My respecto a los ejes x e y, respectivamente son

Mx = my , My = mx

Si un sistema de n partículas de masas m 1,m 2, ...,m n están situados en los

puntos (* i;y i) , (x2;y2), — ,(*„;y„) respectivamente, los momentos Mx y My

del sistema de n partículas se definen como n n

= ™¡y¡ - My = ]jr rriiXi (I)


Mx

El centro de masa o centro de gravedad de un sistema de partículas es un punto

P(x;y) tal que, supuesto que la masa total m del sistema esta concentrada en el

punto P, los momentos de P y del sistema coinciden.

Si el sistema de m partículas de masas m u m 2, ■■■ ,m n ubicadas en los puntos

(x\'< yi), (x2; y2), , (xn; yn) tienen su centro de gravedad en el punto P(x; y) y

que la masa total del sistema esn

m = y m¡

¡=i

entonces los momentos Mx y My de P están dados por

Mx = my , My = mx

Luego, de (I) se obtienen n

= ^ ™ ¡ y ¡ y mx = 'Yj m iximy

i=l ¡=1

De donde resulta

_ EÍLiTTiiXi _ £ "=1m ¡yix = ------- y y = -------

m mEn resumen , si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas respecto

;i los ejes x e y respectivamente y P(x;y) es el centro de gravedad o centro de

masa del sistema, entonces

My Mx* = - T y = - f (II)

m m

donde m es la masa del sistema.


F.Jemplo 40 Cuatro partículas están en los puntos Pt (—1; -2), P2(1; 3),

P3(0; 5), ^4.(2; 1) y sus masas son m1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4

respectivamente, determine el centro de gravedad del sistema formado por estas

cuatro partículas.

Solución

Tenemos Mx = 2(—2) + 3(3) + 3(5) + 4(1) = 24

My = 2(—1) + 3(1) + 3(0) + 4(2) - 9

m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12

Luego,

_ _ M j , _ 9 _ 3 - _ M X _ 24 _

X - ñ r ~ 1 2 - 4 ’ V ~ ~ m ~ Y 2 ~ 2

Por tanto, el centro de grayedad está ubicado en el punto P(3/4; 2)

4.6.1 CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANA ó LÁMINA

En primer lugar, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones

a) Una lámina es llamada homogénea si dos porciones de igual área tienen el

mismo peso.

b) La densidad p de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina.

Si una lámina es homogénea, entonces su densidad (de área) p ■ es constante y

si A es el área de dicha lámina, entonces su masa es m = pA

c) El centro de masa de una lámina homogénea, puede pensarse como el punto de

balance de la lámina; si esta lámina tiene un centro geométrico, este será

también el centro de masa ó centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de

masa de una lámina circular homogénea es el centro del círculo; el centro de

masa de una lámina rectangular homogénea es el centro del rectángulo

(intersección de las diagonales). Se define el momento de una lámina de masa

m respecto a una recta, como el momento de una partícula de masa m situado

en el centro de masa de la lámina.

d) Si una lámina se corta en trozos, el momento de la lámina es la suma de los

momentos de sus partes.

Ejemplo 41 Encuentre el centro de masa de una lámina homogénea de densidad

p, que tiene la forma propuesta en la Fig. 4.62 (las medidas están en cm.)

Solución

La lámina está formada por 3 rectángulos y el área total de la lámina es igual a

93 cm2. Si colocamos los ejes de coordenadas tal como se indica en la figura, los

centros de masa de los rectángulos Rlt R2 y R3 son:


216

ATLILAUIUINES UH LA 1IN 1 tÜKAL UtílIN lUA

respectivamente. Luego,

Mx = (21p) ( y ) + (60p)(6) + (12p) (| ) = ^ p

/13\ 969My = (21p) ( y ) + (60p)(5) + (12p)(8) = — p

Por tanto, el centro de masa (x ; y) de la lámina está dado por

969_ My -J-Px = ^ = = 5,209677419

m 93 p

1197M x ~ T ~ P

y = —- = — = 6,435483871* m 93p

Sea F una lámina homogénea cuya densidad es constante e igual a p.

Supongamos que F es la región limitada por las gráficas de:

y = / ( * ) , y = a(x), x = a , y x = b

donde f y g son funciones continuas en [a;b] y f(x ) > g(x), Vx G [a;b]

(Fig. 4.63)

Sea P = {x1,x2, ...,xn} una partición de [a;b] y c¡ es el punto medio de

[x¿_!; x¡] , entonces se tiene que:

= P[/(Q) ~ fl(c¡)]A¡*, i = 1,2,...... n (Mx = x¡ - x ^ )

es la masa del i-ésimo rectángulo sombreado en la figura 4.63



El centro de gravedad del i-ésimo rectángulo se encuentra en el punto

( f ( c¡) + g (c¿)>

Vc‘ : 2

Sustituyendo cada rectángulo por un punto material y localizando la masa de cada

rectángulo en su centro de gravedad se obtiene que los momentos de masa de los

n rectángulos, determinados por la partición, respecto a los ejes x e y son:

Mr

M,

lí /l

^ ™¡y¡ = p[/(c¡) - 5(c¡)]/(c¡) + g ( a )

AjX

Luego, el centro de gravedad (x;y ) estará aproximadamente en el centro de

gravedad de los rectángulos determinados por la partición, es decir:

xMy _ P'Z’j=iCi[f(ci) - g jc Â jX

m p EH iE /(c¡) - S(c¡)]A¡*

Mx I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^

y X m ~ p l U l f i c d - g i c ^ x

Pasando al límite cuando ||P|| -» 0, se obtiene que las coordenadas (x;y) del

centro de gravedad de la lámina F están dadas por

Ja *[ /(* ) - g(x)]d.X ^ - I-fq {[/(x)]2 - [fl(x)]2}

£ [ f t o - g ( x ) ] d x A y tf\ f(.x)-g(x)]dx

Como se observa, las coordenadas del centro de masa de la lámina homogénea no

dependen de su densidad p, sólo depende de su forma. Usualmente el centro de

masa de una lámina se denomina centro de gravedad o centroide, reservando el

término centro de masa para un sólido.

Observación 1S

a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x — x 0 , entonces

x = X0

b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y0 , entonces

y = yo

218

Observación 16 Si la región plana F esta limitado por las gráficas de:

x = f(y ) , x = g(y), y = c, y = d

donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , Vy g [c;d]

l'ig. 4.64, las coordenadas del centro de gravedad (x; y) de la región F son


_ _ 2 /c% Cy)32-[g(y)]2}dy

/,d[/(y) - g(y)]dy

- -= ~ g (y )Jrfy

/cd[/(y) -g(y )]dy

Ejemplo 42 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x3 , y = 4x en el primer cuadrante. ,

Solución

El área y los momentos con respecto a los ejes x e y de la región son

A(R) = í (4x - x3)dx = 4 Jo

_ 2 2

My = ¡ x[f(x) - g(x)]dx = í x(4x - x3)dx = ^J o 15

Mx =z2 ¡0 “ íg(x)]2}dx = ^ J (16x2 - x ü)dx

_ My 64/15 _ Mx 256/21Luego, x - -- ------ , y = — = --- -—

m 4 m 4

n . . 64\Por tanto, el centroide es P — : —

V15 21/

256

~2Í


Ejemplo 43 Halle el centro de gravedad de la región limitada por las ciirvas

x2 - 8y = 0 , x2 + 16y = 24

Solución

Como la región F (Fig. 4.66) es simétrica respecto al eje y, se sabe que x = 0

El área de la región y el momento con respecto al eje x son


A^ (2 4 - x 2 x2

■ a

■ r 'd

16dx = 4V2

2 4 - x

16~dx =

16V2

/ 4\ _ Mx 4 _Por tanto, el centro de gravedad es ^0; -J porque y = ~ 5 A * ~ 0

Ejemplo 44 Encuentre el centroide de la región limitada por las curvas

x = 2y - y 2 , x = 0

Solución

Como el centro de masa está situado en el eje de simetría y = 1 (Fig. 4.67),

entonces y = 1.

Aplicando las fórmulas dadas en la observación 16 se obtiene

y ^ 2 y - y 2)2dy 8/15 _ 2

fg (2 y - y 2)dy 4/3 5

Luego, el centroide es P ; 1 j

220

Ejemplo 45 Determine el centroide de la región plana limitada por las curvas

y = / (* ), y = x2 , x = - l , x = 2, donde

(1 - x, x < 0

> 0

Solución

La región se ilustra en la Fig. 4.68. Dividiendo la región en dos partes se obtiene


A = í (1 - x + x2)dx+ í\x2 + l + x2)dx = ^- + — = — J-i J o 6 3 6

= 2 / K1 “ x^2 ~ x^ dx + Kx2 + l ) 2 - x4]dx =

f° r 2 13= I x ( l - x + x2)dx + \ x(x2 + 1 + x2)dx = --- +10 =

J-1 J0 12

107My — ¡ x ( l - x + x2)dx + I x(x2 + 1 + x2)dx = - 7^+ 10 =

_ 107/12 _ 71/15 ^ , /107 142\,uego, x — ■, y = -=— r , de donde el centroide es P ---;--- )

55/6 ' 55/6 V110 275/

Fig. 4.68 Fig. 4.69

Ejemplo 46 Halle el centro de gravedad de la región infinita, en el primer

cuadrante, comprendido entre la curva y = x e~x y el eje x.

Solución

La región se ilustra en la Fig. 4.69. Luego, se tiene

r +CO

A = I x e~x dx = lim [-x e~x - e~xY0 = 1



+00 r+ 00

My

/* i-to /■+»

= I xf(x)dx = I x2e~xdx Jo J o

= lim [-x2e * — 2*e * — 2e x]q = 2 t- 1+00

i r +”Mx = - J [x2e-2* - 0]dx‘ X

Jo

1 r 1 1 1 ^ 1= - lim —- x 2e 2x —-xe~lx —-e~Zx¡ = -

21-*+» L 2 2 4 J0 8

My _ Mx 1

Luego, * = T = 2 . y = T = 8

Por tanto, el centro de gravedad de la región es P ^2;

Teorema (Teorema de Pappus para volúmenes)

Si un sólido S es obtenido al hacer rotar una región plana F (Fig. 4.70) en torno de

una recta del mismo plano, que no sea secante a la región F, entonces el volumen

de S es igual al.área de la región F multiplicado por 2nr, siendo r la distancia del

centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es,

V = 2nr. A

donde A es el área de F.

222


Ejemplo 47 Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la

S a aPOrlaParáb0,a y = * 2 y,areCía y = * + 2 en tomo a esta

Solución

Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4.71) se tiene

A(F) = í (x + 2 - xz)dx = - J-1 2

My = í x(x + 2 - x2)dx = - J - i 4

Mx = \ í l(x + 2)2- x 4] dx = —J - i 5

Por tanto, el centroide (x; y) de la región tiene las coordenadas

- = _ i - _ M X _ 8

A ~ 2 ' y _ T " 5

Calculando la distancia r del punto C a la recta y = * + 2 se tiene

r = ^ ~ y + 2l = l l ~ l + 2| _ 9V2

V i + 1 V2 20

Luego, por el teorema de Pappus, el volumen del sólido S es

1

Fig. 4.71Fig. 4.72

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r

Ejemplo 48 La región limitada por las gráficas de y = x2, y = 5 gira alrededor

de una recta oblicua que pasa por el punto ¿4(1; 0). Halle la ecuación de dicha

recta, si el volumen del sólido generado es igual a 40V5ttu3

Solución

La gráfica de la región se muestra en la fig. 4.72. En primer lugar determinaremos

el centroide de la región F. Como el centro de masa está situado en el eje de

simetría (eje y), entonces x = 0.

Por otro lado, la ordenada del centroide de la región es

- _ M* _ ~ x^ dx _ 20v^

A / ^ r (5 - x2)dx 20V5/3

Luego, el centro de gravedad es (x;y) = (0; 3)

20V5Considerando que el área de la región F es A = —-— , se tiene

V = 40V57t = 2nr = * r - 3

Finalmente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que pasa por el

punto A(l-, 0), entonces su ecuación es

y - 0 = m(x - 1) ó mx - y - m = 0

Puesto que, r = 3 es la distancia del punto (x; y) = (0; 3) a la recta L, entonces

\mx-y-m\ |-3-m|3 — . >—»* 3 — .

Vm2 + 1 Vm2 + 1

<=> 9 (m 2 + 1) = 9 + 6m + m 2 <=> m(4m — 3) = 0

3<=* m = 0 ó m = -

43

Como la recta L es oblicua, m = -. Por tanto, la ecuación de la recta L es4

3x — 4y — 3 = 0


224

I. En cada uno de los ejercicios, encuentre el centroide de la lámina

homogénea de densidad p que tiene la forma mostradas en la figura.


EJERCICIOS

II. En los siguientes ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de

las regiones limitadas por las siguientes curvas.

1. y = x z - 4 , y = 2x - x2

2. y - v a 2 - x2, y = 0

3. y = 3x, y = x2, y — 1 , y = 2 (en el primer cuadrante)

*•

R. ( 0;4a\

3n)

r ( 67 2(72^2-53)

U 8 (8 v ^ - 7 ) ' 15(8V2-7)


4. y - X 2, y = x - x 2 R. Q jg )

5. y = ln x , y = 4 , y == 4 - 4x2 (en el primer cuadrante) R. (14,61; 3,15)

6. y = x2 + l , y = x3 - l , x = 0 , x = l

n7. y = senx, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 hasta x = —

"■ G4(f-i)(2+V5))8. y 2 = 4 - 2x, el eje y, y = 3

(12 3\9. x = 4y — y 2 , y = x R.

ñ 9\10. Vx + ,/y = 3 , y = 0 , x = 0 R.

11. y = |a:|3 + 1, x = - 1 , x = 2, y = 0

12. x + xy2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0

13. y 2 = 20x, x2 = 20y R. (9; 9) •

tx , si x < 1 _14. y = —x , y = j 2 , x = 2

' [X , SI X > 1

/88 50\15. x - 2 y + 8 = 0,x + 3y + 5 = 0,x = -2 ,x = 4 fi.

16. y = 3 + 2x — x2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine

el centroide de la región de menor área.

17. y(x2 + 4a2) = 8a3 y el eje x (región infinita) R. (o ;-a)

l 12 \18. La región limitada por el lazo de y2 = x{x - 4)z R. ; 0J

19. La región limitada por el lazo de y 2 = x4 (3 - x) R. (2;0)

20. y = a resen x , y = 0 , x = 1

/16 5\21. y2 = 4x2 - x3 ,y = 0 en el primer cuadrante R.

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN IIAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

n . y = X 2 - 2x - 3 , y = 6x - x2 - 3 R. (2;1)

23. y = x3 — 3 x ,y = x ,sobre el lado derecho del eje y R,\15 35/

x2 y224. La región encerrada por — + — = 1, en el primer cuadrante

(4a 4b\

R' V3rr; 3tt)

25. La región está limitada por los ejes coordenados y x2/3 + y 2/3 = V25

R./256 256\

\637r' 63n)

26. La región es un sector circular de radio r y ángulo central 2a

n r. 2 sen aR. En el eje de simetría, a la distancia - r ---- del vértice del sector

3 a

27. y = senx, (0 < x < n), y = 0 R.'2 8'

28. y = coshx , y = 0 , x = - 1 , x = 1

29. y = arccos x , y = n , x = 1

III. Centro de gravedad y volúmenes.

1. El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x2 = 4 y , y = mx

es un punto de abscisa igual a 2. Determine el valor de m R. m — 1

2. /1(0;0), B (a ;0 )y C (0;a/2) con a > 0 , son los vértices de un triángulo.

Calcule el volumen del sólido obtenido por la rotación en torno a la recta

Sy¡2na3y = x - a, de la región limitada por el triángulo ABC. R. --------------

24

3. Sea R la región del plano limitado por la parábola y = x2 - 1 y la recta

y = x — 1 . Determine el volumen del sólido obtenido por la rotación de la

7rV2región R alrededor de la recta y = x - 1. R. ----

60

4. La región limitada por las gráficas de y 2 = 20x , x2 = 20y gira alrededor de

la recta 3x + 4y + 12 = 0. Calcule el volumen del sólido generado.

R. 4000tt



5, La región limitada por las gráficas de y = x2 , y = 5 gira alrededor de una

recta oblicua que pasa por el punto (-1; 0). Halle la ecuación de la recta si el

volumen generado es igual a (40V5 n )u3 R. 3x + 4y + 3 = 0

IV. El centro de gravedad (x-,y) del arco de una curva (homogénea), cuya

ecuación es y - f (x ) con x 6 [a; b] , donde / es una función con derivada

continua en [a; b] , está dado por

_ ^ x ^ l + [f'(.x)]2 dx f ba f< jx )J l + [ f '(x W d x

j ^ i + [ f(x )Y d x ' y j aby i + [f'{x))2 dx

Usando estas fórmulas, determine el centro de gravedad de las curvas cuyas

ecuaciones son

2,------ / 2 a1. y = yfa2 - x2 R. \P>~

x ( a(e4 + 4e2 - 1)2. y = acosh- , x e [- a ;a ] R. (0;

a ' 1 ' J V ' 4e(e2 -

/ '3. x = a(t - sen t),y = a ( l - eos t) , t e [0;27r] R. bra;-

4a\

3 /

r ti-i /2a 2a\4. x = acos3t ,y = asen3t , t e [0;-j R.

228


4.7 APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LOS NEGOCIOS

4.7.1 EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

( oiisideremos la función demanda p = f ( q ) de un determinado artículo, donde

i/ representa la cantidad de artículos que se demandan al precio unitario p. La

l’i áfica de esta función es la curva de demanda.

Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y ia correspondiente

amtidad demandada es q0, entonces los consumidores que estuviesen en

condiciones de pagar por el artículo un precio mayor que p0 ganan, por el simple

hecho de que el precio en el mercado es menor.

Majo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del consumidor se representa

por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = p0 (Fig. 4.73). A esta

arca se le denomina excedente del consumidor (EC) y está dado por

EC = ( f o [ / ( ? ) -Po]d(7 u . m . = ^ f ( q ) d q - p 0q0 ju.m.Una forma alternativa de calcular el excedente del consumidor es

EC ~ ( / 9Í P ) d p ' ju .m . , donde g — / -1 y pr = /(O)

(u. m. significa unidades monetarias)

Fig. 4.73



4.7.2 EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

Consideremos la función oferta p = f ( q ) de un determinado artículo, donde q es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. La gráfica de esta

función es la curva de oferta.

Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y la correspondiente

cantidad ofertada es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones

de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el simple hecho de que el

precio en el mercado es mayor.

Bajo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del productor se representa

por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p0 (Fig. 4.74). A esta área

se denomina excedente del productor (EP) y está dado, por

Ep = ( f lPo-f(Q )1dq 'ju .m .= ^p0q0 - J

Una forma alternativa de excedente del productor es '

EP = ( f g(p)dp\ P l

ju .m ., donde g = f 1 y P i = / ( 0 )

f(q )dq )u .m .

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ’

I Jcmplo 49 Si la función demanda es p = 9 - a2 \ n - q u„||P ,•leí consumidor. q > Po “ Halle el cxccdc»“-‘

Sol ución

I .1 región se muestra en la figura 4.75. Con la ayuda de ¡a figura se obtiene

I’jemplo 50 Si la función de oferta es p = 4 + 3o2 v a = 2 r-,!,-,,!,. .iexcedente del productor. R * 9o - ¿ • Calcule el

Solución

La región se muestra en la figura 4.76. Así, resulta

EP — f [16 - (4 + 3q2)] dq ~ 16 u. m.

Ejemplo 51 Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia

perfecta son p = 227 - - q 2 y p = 2 + 2q2 respectivamente. Determine el

el correspondiente excedente del consumidor y el excedente'de productor.

Solucióii

LI precio en el mercado y la correspondiente cantidad está determinado por el

punto de equilibrio E (Fig. 4.77). El punto de equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda, esto es,

227 “ 4 - 2 + 2q2 => q2 = 100 => qe = 10, de donde pe = 202



Luego,

500 dq = — 11. m.

r10 1EC = I 227 - - q 2 - 202

J 0 L 4

r 1° 4000EP = J [202 — (2 + 2<72)] dq = - u.m

Ejemplo 52 La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de

monopolio, se determinan por la función de demanda p = — (10 — qY y el costo

3total es C = — + 5a de tal manera que se maximice ia utilidad. Determine el

4-correspondiente excedente del consumidor.

Solución

La utilidad es U = I — C , / = ingreso y C = costo total

W = 0 =* /' - C' = 0 =* lMg = CMg

"La utilidad se maximiza si el ingreso marginal (/' = IMg) es igual al costc

marginal (C' = CMg)”.

Como / = pq donde p = precio de venta y q = cantidad vendida, entonces

1 3 9/ = -(10 - q)2q => lMg = 25 - 10q + -q

3 3Luego lMg = CMa => 25 - 10q + - q2 = - q 2 + 5 => q = 2

En q = 2 , la utilidad es máxima porque t/"(2) = -10

Por tanto,

r 2f2rl i 26= j | - (1 0 - q )2 - 1 6 j dq = Y (Fig.4.78)

232

Ejemplo 53 Actualmente el kilo de huevo cuesta S/. 4,6. Los estudios realizados

indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a razón de

0,09 + 0,0006a:2 soles por semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevos dentro de10 semanas?

Solución

dp r 10(.orno — = 0,09. + 0,0006x2 =* I (0,09 + 0,0006A:z)dx es el aumento en el

precio dentro de 10 semanas

Luego, dentro de 10 semanas el kilo de huevo costará

10

(0,09 + 0,0006a:2) dx = 4,6 + 1,1 = S/. 5,7I

Ejemplo 54 Halle la cantidad producida que maximiza la utilidad y la

correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta) si el ingreso

marginal es IMg = 24 - 6q - q2 y el costo marginal es CMg = 4 - 2 q - q2.

Solución

La utilidad se maximiza (suponiendo competencia perfecta) cuando el ingreso

marginal (/Mg) es igual al costo marginal (CMg) , luego

24 - 6q - q2 = 4 - 2q - q2 => q = 5

Como U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U "(5) < 0, entonces la utilidad

se maximiza cuando q = 5 y la utilidad máxima es

U =

Ejemplo 55 Una empresa textil ha comprado una máquina cuya producción

representa ganancias en un tiempo t dadas por 6 = 2 7 - 2 t z , donde G está en

unidades de S/. 3000 y t está en años. El costo de reparación y mantenimiento en

el tiempo t está dado por ñ (t) = - t2 + 21, donde R está en unidades de S/. 3000

y t está en años. Suponiendo que la máquina puede retirarse sin costo alguno en

cualquier tiempo, ¿cuántos años se debe mantener la máquina para maximizar la

utilidad neta?

Solución

Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenimiento (Fig. 4.6)

cuando1

27 - 2t2 = - t 2 + 2t => t = 3J


4.7.3 OTRAS APLICACIONES

í (20 - 4q) dq = 50 u.m. Jn

p = 4,6 +


Por tanto, la máquina debe retirarse después de 3 años. La utilidad neta después

de 3 años es

UN = f - R(t)]]dt = | (27 - 2t - ^ t 2) d t = 51

Luego, la utilidad neta después de 3 años es de 153 000 soles.

Ejemplo 56 El valor de reventa de cierta máquina industrial disminuye durante

un período de 10 años a una tasa que cambia con el tiempo.

Cuando la máquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de

220(x - 10) soles por año. ¿En qué cantidad se deprecia la máquina al cumplir

dos años y cuál es su precio de reventa si su costo fue de S/. 12 000?

SolucióndV

Si V es el valor de la máquina, — = 2200 — 10); luego,

V(x) = j 2 200 - 10) =* V{x) = i ™ *2 - 2 2ao* + C

Como K 0 ) = 12 000 => C = 12 000 y V(x) = 110x2 - 2 200x + 12 000.

Por tanto, V (2) = 8 040

El precio de reventa es de SI. 8040, y la máquina ha sufrido una depreciación de

S/. 3960.

Otro método para resolver este problema. El valor de depreciación es

í 2 2 00 - 10)dx = -3 960 Jo

Esto significa que la máquina, en dos años se deprecia en S/. 3 960 , en este

tiempo el valor de reventa es 12 000 - 3960 = S/.Q 040

EJERCIC IOS

1. Si la función demanda es p = 25 - q2, halle el excedente del consumidor si

la cantidad demandada en el mercado es q0 = 3 R. 18 u. m.

2. Si la función de oferta es p = 3 ln (q + 2) , halle el excedente del productor

si el precio de venta en el mercado es p0 = 3

3. Las funciones de demanda y oferta en situación de libre competencia son

p = _ (9 - q)2 y p = -(1 + 3q) respectivamente. Calcule el excedente del4 4

consumidor y el excedente del productor.

P TÓPICOS DE CÁLCULO- VOLUMEN II

234


■I La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio,

se determinan por la función de demanda p = 45 - q2 y el costo total

C = 7 + 6q + q3/12 de manera que se maximice laj utilidad. Calcule el

correspondiente excedente del consumidor. R. 16V3u. m.

V El valor de venta de cierta máquina industrial disminuye a una tasa que

cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual está

cambiando su valor es -960e~t/,s soles por año. Si ei costo de ¡a máquina

fue de S/. 5000, ¿cuál será su valor 10 años más tarde? R. S/. 849,63

(«. Un fabricante calcula que sus ingresos marginales son de jlOOQQ q soles

por unidad cuando su producción es de q unidades. Se ha encontrado que su

costo marginal correspondiente es de 0,4 q soles por unidad. Cuando su nivel

de producción es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿Cuál es su utilidad

cuando su nivel de producción es de 25 unidades? R. S/. 646,20

7. Un fabricante ha encontrado que su costo marginal es de 6q + 1 soles por

unidad cuando se han producido q unidades. El costo total de la primera unidad es de S/. 130

a) ¿Cuál es el costo de producción de las 10 primeras unidades?

b) ¿Cuál es el costo de producción de la décima unidad?

c) ¿Cuál es el costo fijo?

R. a)S/. 436 b) S/. 58 c) S/. 126

X. La tasa de crecimiento de la población de cierta ciudad cambia con el tiempo.

Los estudios indican que dentro de x meses la tasa de crecimiento de la

población será de 4 + 5x2/3 personas por mes. La población actual es de

10000 habitantes. ¿Cuál será la población dentro de 8 meses?

R. 10125 personas

(). El precio del pollo es actualmente de S/. 4,5 por kilo. Se espera que dentro de

x semanas el precio estará aumentando a una tasa de 0,03\O + 1 soles por

semana. ¿Cuánto costará el kilo de pollo dentro de 8 semanas?

R. S/. 5,02 el kiio

10. Halle la cantidad que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad

máxima si el ingreso marginal es lMg = 2 0 - 2 q y el costo marginal es

CMg = 4 + (q - 4)2

11. Las funciones de oferta y demanda son, respectivamente p = 1 + ln((? + 1)

y p = 5 — ln(q + 1) . Halle el excedente del consumidor y el excedente del

productor. R. EC = EP = (e2 - 3)u.m.

12. Los promotores de una feria de una ciudad calculan que t horas después de

que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a

una tasa de 54(t + 2)2 - 4(t 4- 2)3 personas por hora. ¿Cuántas personas

entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el medio día?



I í. Una empresa lia comprado una máquina cuya cantidad producida representa

ganancias en un tiempo t dadas por G(t) = 20 — 3t2 , donde t está en años

y G está en unidades de S/. 10000. El costo de reparación y mantenimiento

en el tiempo está dado por R(t) = 212, donde R está en unidades de

S/. 10000 y t está en años. Suponiendo que la máquina se puede retirar sin

costo alguno en cualquier tiempo t, ¿Cuántos años se debe mantener la

máquina para maximizar las ganancias netas totales?

R. Dentro de 2 años y UN' = S/. 266 666,66

14. Una compañía está considerando la adición de personal para propaganda. El1

costo de adición de este personal está dado por C(x) = —x, donde C está en

unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. El ingreso

obtenido con el personal adicional es I(x) = 2-¡x , donde / está en

unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. ¿Qué número

de personas para propagandas deben agregarse para maximizar la utilidad,

cuál es el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas)?.

15. La utilidad marginal de cierta compañía es de 100 — 2x soles por unidad

cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la compañía es de S/. 700

cuando se producen 10 unidades ¿Cuál es la utilidad máxima posible de la

compañía?R. S/. 2300

16. El costo marginal de un fabricante es de 3(qr — 4)2 soles por unidad cuando

su nivel de producción es de q unidades.

a) Exprese el costo total de producción del fabricante en términos de sus

gastos generales (costo fijo) y el número de unidades producidas.

b) ¿Cuál es el costo de la producción de 14 unidades si el costo fijo es de

S/. 436?

17. Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia pura son

respectivamente, p = 30 — q2 y p = 2q2 + 3 , halle el excedente del

productor.

18. Si la función de demanda es p = j 20 — q y la cantidad demandada es

q0 = 4 , halle el excedente del consumidor.

19. Halle la cantidad producida que maximice la utilidad (suponiendo

competencia pura) y determinar la utilidad total en dicho punto si las

funciones de ingreso marginal y de costo total están dadas por

ÍMg = 2 4 - 5 q - 2q2 y CMg = 1 1 - 3 q - q2

236

COORDENADASPOLARES

5.1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

La posición de un punto P en un plano

se puede indicar usando las

coordenadas polares. Para ello, se

considera una semirrecta orientada

O A llamada eje polar, que usualmente

se considera en forma horizontal y que

se extiende hacia la derecha (Fig. 5.1);

al origen O del eje polar se denomina

origen o polo.

A cada punto P de! plano se le asigna

un par (r; 9) donde r es la longitud

del segmento OP y 9 es la medida

en radianes del ángulo cuyo lado

inicial es el eje polar y el lado terminal

es el segmento OP.

Al par (r; 9) se denomina coordenadas polares de P y se denota P(r; 9), r es

llamado radio vector y 9 es el ángulo polar. De la Fig. 5.1- podría deducirse que

r > 0 y O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar

las coordenadas polares a un punto y formar el sistema de coordenadas polares

en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Si el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido antihorario, 9 es

positivo y negativo en caso contrario.

2. A la semirrecta OA' que forma con el eje polar un ángulo de medida 9 se

denomina eje 0 . El radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9 , y

es negativo si P está en la prolongación del eje 9 .

3. El polo O está unívocamente determinado por r = 0 , es decir, al polo se le

puede asignar el par (0; 9), donde d es cualquier número real.

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*

• *(-*;) • ■ s(3;ir) • F<3:" 1)

Solución

Para ubicar estos puntos con mayor facilidad usaremos la roseta polar (Fig. 5.2).

En esta roseta polar, r es constante en cada circunferencia y en cada semirrecta, 9

es constante. Así, los puntos A,B,C,D ,E y F se muestran en la Fig.5.2.


Ejemplo 1. U bique en el p lano los puntos cuyas coordenadas polares son

Observación 1

a) Para establecer la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las

coordenadas polares se debe considerar los valores principales

r > 0 y 0 < 0 < 2 tt ( 1 )

b) Cuando no se considera la restricción (1) a un punto dado, se puede asocia)

infinitos pares de coordenadas polares (r; 9). Si las coordenadas polares de

P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:

( ( - l ) n r ; 9 4- nn ) , n 6 2 (2)

Por ejemplo, al punto C(2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es

(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; - 7r), (2; 5rr), (-2; 6tt), ..., etc.

T I O

5.2 RELACIÓN ENTRE LAS COODENADAS POLARES Y LAS

COORDENADAS RECTANGULARES

Consideremos el sistema de coordenadas

rectangulares xOy, con Öx = OA , donde

OA es el eje polar (Fig. 5.3).

Si P es un punto del plano cuyas

coordenadas rectangulares y polares son

(x;y) y ( r ;0) respectivamente, el cambio

de coordenadas rectangulares a coordenadas

polares se efectúa considerando las relaciones:

x = r cos 9

y = r sen 9 ^

Inversamente, el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares se efectúa a través de las relaciones

r 2 = x2 + y 2 ó r = ± /x 2 + y2 y y

tan 9 = — ó 9 = arctan —

Ejemplo 2

¿0 Halle ¡as coordenadas rectangulares dei punto P

b) Halle las coordenadas polares del punto P(~V3; -1).

Solución

a) r = 4, 6 = - => x = 4 eos^ , y = 4 sen^ =* P(2v3;2).

b) x = - V 3 , y = - 1 ==> r = ± 2

tan 9 = — (3er cuadrante) = > 0 = — => pÍ2- — )6 V ’ 6 /

Ejemplo 3. En (a) y (b) halle la ecuación polar de la curva dada y en (c) y (d) halle la ecuación cartesiana de la curva.

a) x2 + y 2 = a2 , a > 0 (circunferencia)

b) (x2 + y 2) 2 = a2{x2 - y 2) , a > 0 (lemniscata de Bernoulli)

COORDENADAS POLARES


c) r • - 4 sen 9 (circunferencia)

2d) r = ----- (elipse)

2 - eos 8

Solución

a) x2 + y2 = a2 =3 r2 = a2 =» r = ±a

La ecuación polar de una circunferencia de radio a (a > 0) y centro en el

origen es r = a ó r = -a.

b) (x2 + y 2)2 = a2(x2 - y 2) => r4 = a2(r2 cos29 - r2 sen29)

=> r 2 - a2 cos220

c) r = 4 sen 0 => r = 4- =» r 2 = 4y => x2 + y2 = 4y' r

x2 + (y - 2)2 = 4 (circunferencia de centro (0; 2) y radio 2)

2 2 „ 2d ) r = 2^ é 3 r = j n =,1 = 2F ^ Í

¿ r

=> 2r - x = 2 => 4r2 = (2 + x)2 => 4(x2 + y 2) = (2 + x) 2

=> 3x2 + 4y2 - 4x - 4 = 0 (elipse)

5.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES

La distancia entre los puntos

Afa] 9 i) y f í( r 2; 02) está dada por


d = J r j2 + r22 - 2rtr2 eos (92 - 91)

La demostración se realiza usando la

ley de los cosenos en el triángulo AOB

(Fig. 5.4).

Por ejemplo, la distancia entre los

puntos /l(-3; 77T/12) y (5 (5;7r/4)

es

I 7Td = 19 + 25 + 30 eos- = 7 Fig. 5.4

240

COORDENADAS POLARES

I. Sea L una recta que no pasa por el origen. Si N(p; w) es el par principal de

coordenadas polares del pie de la perpendicular trazada del polo a lá recta L y

P(r; 9) es un punto de la recta L (Fig.55), la ecuación polar de la recta es

r cos(0 — oj) = p (5)

5.4 ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA

II. Si la recta L pasa por el origen (Fig. 5.6), su ecuación polar es

8 — a , a constante

Observación 2

i) Si la recta es perpendicular al eje polar y está a p unidades del polo, la

ecuación (5) se transforma en

r = eos 9 = ±p , p > 0 (6)

El signo de p es positivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo

si está a la izquierda.

ii) Si la recta es paralela al eje polar y está a p unidades del polo, la ecuación

(5) se transforma en

r sen 9 = ±p , p > 0 (7)

El signo de p es positivo si la recta está por encima del eje polar, y es

negativo si está por debajo del eje polar.

iii) La ecuación polar r eos(9 — oj) — p es equivalente a la ecuación

(cartesiana) normal de la recta

x eos cü + y sen o) = p

iv) Una ecuación polar de la recta que pasa por los puntos A(rx\6 ) y

B(r2>s2) es

rxr sen(0! - 9) + r2r sen(0 - 02) = rxr2 sen(0! - 02) (8)


Ejemplo 4

a) Halle la ecuación de la recta perpendicular al eje polar que pasa por el punto

i4(6; 2n/3).

b) Halle la ecuación de la recta paralela al eje polar que pasa por el punto

B( 2V2; ff/4).

c) Halle la ecuación polar de la recta cuya ecuación cartesiana es

3y¡3x + 3y + 24 = 0

d) Halle una ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por los puntos

/i(4;27r/3)y B(2V2;tt/4)

Solución

a) En la Fig. 5.7 se observa

p = 6cos(27r/3) = -3

Luego, la ecuación polar de la

recta L es

r eos 9 = -3

b) p = 2V2 c o s (7t / 4 ) = 2. Luego, la

ecuación polar de la recta es

r sen 0 = 2


c) Considerando la equivalencia de la ecuación polar con ia ecuación normal, es

necesario transformar la ecuación dada en su forma normal. Por geometría

analítica, se sabe que si la ecuación cartesiana de una recta es de la forma

Ax + By + C = 0 , C * 0 (*)

la ecuación normal se obtiene dividiendo (*) entre +y/A2 + B2, donde el

signo del radical es opuesto al signo de C. En nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,

B = 3 y C = +24. Por tanto, dividimos entre - J (3 V 3 )2 + 32 = -6 y la

ecuación normal de la recta es:

V3 1--- x — y = 4

2 2

De esta ecuación se deduce que coso) = —V3/2 , sen (o = -1/2 y p = 4.

De los valores del seno y del coseno se concluye que o) está en el tercer

cuadrante y a) = 7n/6. Por tanto, la ecuación polar de la recta es

r cos(0 — 77t/6) = 4

d) La ecuación polar de la recta que pasa por los puntos yl(4;27r/3) y

B(2V2; ír/4), usando la fórmula (8), está dada por

4r sen ( y - d'j + 2V2 r sen (0 - = 8V2 sen^|

COORDENADAS POLARES

5.5 ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA

La ecuación polar de una circunferencia

de centro C(p; a) y radio a, a > 0, es

r 2 + p 2 — 2rp cos(9 — a) = a 2 (9)

En la Fig. 5.8 se observa que si P(r; 9)

es un punto de la circunferencia,

aplicando la ley de los cosenos en el

triángulo OCP, se obtiene la ecuación

(9 ) .

Observación 3

i) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje polar (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a

r = 2pcos0 (10)

El centro de esta circunferencia es C(p; 0) y su radio es |p|.

i i) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje n/2 (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a

r = 2p sen 9 (11)

El centro de esta circunferencia es C(p; n/2 ) y su radio es |p¡.

iii) Si el centro es el polo (p = 0) , la ecuación (9) se reduce a

r = ±a (12)

Ejemplo 5. Halle la ecuación polar de la circunferencia tal que:

a) Su centro es el polo y su radio es 4 b) Su centro es C(-5; n/2 ) y su radio es 5

c) Su centro es C(3; 0) y su radio es 3 d) Su centro .es C(3; 7r/6 ) y su radio es 8

Solución

Usando convenientemente las fórmulas dadas en (9), (10), (11) ó (12) se tiene

a) La ecuación de la circunferencia es r = 4 o r = —4.

b) La ecuación de la circunferencia es r- 6 c o s 9 .

c) La ecuación de la circunferencia es r = —10 sen 9.

d) La ecuación de la circunferencia es r 2 - 6r cos(0 - n/6) = 55.


5.<» DISCUSIÓN Y GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR

l'ara trazar la gráfica de una ecuación en coordenadas polares E(r\9) = 0, es

conveniente realizar los siguientes pasos:

I) Intersecciones

a) Con el eje polar. Se hace 6 = nn ,n £ TL, y se resuelve la ecuación resultante.

b) Con el eje n/2. Se hace 9 = tc/2 + nn ,n £ TL, y se resuelve ¡a ecuación

resultante.

c) Con el polo. Se hace r = 0 y se resuelve la ecuación que resulta.

II) Simetrías

a) Con respecto al eje polar. En la ecuación se reemplaza (r; B) por

( ( _ l ) nr; -9 + nn), n e TL. Si la ecuación no varía para algún valor de n, la

curva es simétrica con respecto al eje polar; si la ecuación varía para todo

n £ TL, la curva no es simétrica con respecto al eje polar,

b) Con respecto al eje n/2. En la ecuación se reemplaza (r; 9) por

(—(—l ) nr ; -9 + nn), n £ TL. Si la ecuación no varia para algún valor de n, la

curva es simétrica con respecto al eje n¡2\ si la ecuación varia para todo

n E l , la curva no es simétrica.

c) Con respecto al polo. Se reemplaza (r;0 ) por ( - ( - l ) nr; 9 + nn), n E TL,

en la ecuación de la curva. Si la ecuación no varía para algún valor de n, la

curva es simétrica con respecto al polo; si la ecuación varía para todo n £ Z,

la curva no es simétrica.

(*) Si P(r;9 ) es cualquier punto de la

curva cuya ecuación polar es

E(r\9) = 0, el punto simétrico de P

con respecto al eje polar es S (r;-0)

(Fig. 5.9).

Por observación 1, también son

coordenadas del punto S los pares

( ( - l ) ’V; -9 + nn), neTL. Si el

punto S pertenece a la curva,

( ( - l ) nr; -9 + nn) también satisface

la ecuación para algún valor de n, es

decir, la ecuación no varía.

Por otro lado, si ((-1 )nr ; -9 + nn) no satisface la ecuación de la curva para j

todo n e TL, significa que S no pertenece a la curva, es decir, la curva no es ;

simétrica respecto al eje polar. De manera similar se deducen las condiciones

para que una curva sea simétrica con respecto al eje n/2 y al polo. i


i’ (r;6 )

Fia. 5.9

244

COORDENADAS POLARES

III) Extensión. Se determina la variación de r y 9

IV) Tabulación. Se tabulan los valores de r y 9.

V) Trazado de la gráfica. En un sistema de coordenadas polares (es preferible

usar la roseta polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva con la información obtenida en la discusión.

Ejemplo 6. Determine si son simétricas o no respecto al eje polar, al eje n/2 y al polo, las curvas cuyas ecuaciones son:

a) r = 4 eos 9 + 2 (caracol) b) r 2 = 9 [sen + l]

c) r = 3(1 + cos0) (cardioide)

Solución

a) i) Respecto al eje polar. Reemplazando en la ecuación (r; 9) por (r; - 0),

se obtiene que r = 4cos(-0) + 2 = 4cos0 + 2. Por tanto, la curva es

simétrica con respecto al eje polar.

ii) Respecto al eje n/2. Al reemplazar (r; 9) por ( - ( - l ) nr; -9 + nn), se

tiene que - ( - l ) nr = 4cos(-0 + nn) + 2.

Si n es par => - r = 4 eos 9 + 2 (varía).

Si n es impar => r = 2 - 4 eos 9 (varía).

Luego, la curva no es simétrica porque la ecuación varía para todo n £ TL.

iii) Respecto al polo. Al reemplazar (r; 9) por ( - ( - l ) nr; 9 + nn), se tiene

que - ( - l ) n = 4 cos(0 + nn) + 2.

Si n es par => - r = 4 eos 9 + 2 (varía)

Si n es impar => r = 2 - 4 eos 9 (varía)

La curva no es simétrica con respecto al polo. La gráfica del caracol

r = 4 eos 9 + 2 se muestra en la figura 5.10.

b) i) Respecto al eje polar. Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 9) por(r; 2n — 9), se tiene

r 2 = 9 [sen y —) + l] => r 2 = 9 [sen Q + 1

Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje polar.

ii) Respecto al eje n/2. Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 9) por

(—r; 2n — 9), se tiene

Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje n/2.

iii) Respecto al polo. La ecuación no varía al reemplazar (r; 9) por (—r; 8)

(para n = 0). Luego, la curva es simétrica respecto al polo y su gráfica se muestra en la Fig. 5.11.


e) i:i cardioide r = 3 ( l + cos0) es simétrico con respecto al eje polar. No es

simétrico respecto al eje n/2 ni respecto al polo (verificar).

I,a gráfica del cardioide r = 3 (l + cos0) se muestra en la Fig. 5.12.


110“ ‘ . \

\ / \ \ N A V "

i / V ^ s ;i . . r * l

✓ S /

\

K j I ’ 1 *... I i ’ j J

/ y -s _

240"

- \ x \

" \ y x— " x

r - 4 cos0 + 2

á

\ /\ .

jk X \*

/ ' > & i . .

V

" 7

á g X ' \

s¡§-3N gQ /

a \ / \\ A

r = 3 (l + cos0)

Ejemplo 7. Discutir y graficar la ecuación r = 4 eos 9 + 2 (caracol).

Solución

Por la periodicidad del coseno, es suficiente considerar 8 6 [0; 2n].

I. Intersecciones

a) Con el eje polar. Reemplazamos 9 = nn en la ecuación y se tiene

r = 4cos(n7r) + 2.

Si n es par => r = 6 => (6; 0)

Si n es impar => r = —2 => (-2; n )

b) Con el eje n/2. Reemplazamos 9 = (n/2 + nn) en la ecuación y obtenemos

r = 4 cos(7t/2 + nn) + 2

Si n es par => r = 2 => (2; n/2)

Si n es impar => r — 2 => (2; 3n/2)

246

c) Con el polo. Haciendo r = 0 en la ecuación, se obtiene 0 = 4 eos 9 + 2 ó

eos 9 = —1/2. Luego, 9 = 2n/3 V 9 = 47t / 3. La curva pasa por el polo.

II. Simetrías. En el ejemplo 6 hemos visto que este caracol es simétrico solamente respecto al eje polar.

III. Extensión, fl £ M A -2 < r < 6,

IV. Tabulación

COORDENADAS POLARES

6 0 n/6 n/4 n/3 n/2 2n/3 3n/4 Sn/6 nr 6 5,5 4,8 4 2 0 - 0,8 -1,5 -2

V. Trazado de la gráfica. La gráfica se muestra en la figura 5.10.

■ ©sen - + 1Ejemplo 8. Discutir y graficar la ecuación r2 = 9

Solución

Procedemos de manera similar a lo realizado en el ejemplo anterior.

I. Intersecciones

a) Con el eje polar. 9 = nn => r 2 = 9[sen(nn/2) + 1],

Si n = 0 => (3;0) y (—3; 0). .

Si n = 1 => (4,2; n) y (-4,2; n).

Si n = -1 => (0; —n).

n

r ¿ = 97T 71

b) Con el eje 6 = - + nn ¿ ¿t

■ + nnsen + 1

Si n = 0 => (3,9; n/2) y (-3,9; tt/2).

Si n = 2 => (1,6 ; Sn/2) y (-1,6 ; Sn/2).

c) Con el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n.

II. Simetrías. La curva es simétrica con respecto al eje polar, al eje n/2 y al origen (ver ejemplo 6).

III. Extensión. 9 £ R y - 3y/2 < r < 3^2.

IV. Tabulación (Ejercicio para el lector. Considerar que el período de la función es 4n)

V. Trazado de la gráfica. La gráfica se muestra en la figura 5.11.



Ejemplo 9. Trace la gráfica de r = 1 — [2 sen 20] , 0 G [0; n].

Solución

Dividimos convenientemente el intervalo [0; 7r] de modo que |[2 sen 20] tome un

solo valor entero en el subintervalo considerado.

Si 0 G [0; 7T/12) => 0 < 2 sen 20 < 1 => |2 sen 20] = 0 => r = 1.

Si 0 G [tt/12; 7t /4) => 1 < 2 sen 20 < 2 => [2 sen 20] = 1 => r - 0.

Si 9 = ti/4 =» 2 sen 20 = 2 => [2 sen 20] = 2 =* r = -1.

Si 0 G <7t /4; 5jt/12] => 1 < 2 sen 20 < 2 => 12 sen 20] = 1 => r = 0.

Si 0 G <5tt/12; jt/ 2] =* 0 < 2 sen 20 < 1 =* 12 sen 20] = 0 => r = 1.

Si 0 G ( jt/ 2 ; 7tt/12] =* -1 < 2 sen 20 < 0 => \2 sen 20] = -1 => r = 2.

Si 0 G <7tt/1 2; H tt/ 12) => -2 < 2 sen 20 < -1 => [2 sen 20] = -2 => r = 3.

Si 0 G [1171/12; 7r> => -1 < 2 sen 20 < 0 => \2 sen 20] = -1 => r = 2.

Si 0 = 7r =» 2 sen 20 = 0 => [2 sen 20] = 0 => r = 1.

La gráfica se muestra en la Fig. 5.13.

5.7 INTERSECCIÓN DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES

Proposición 1. Si r = /(0 ) es la ecuación de una curva en coordenadas polares,

entonces

( - l ) nr = f (8 + nn) , n G Z (13)

es también la ecuación de dicha curva.

Considerando esta proposición, para hallar la intersección de dos curvas cuyas

ecuaciones en coordenadas polares son

r = f (8) y r = g(8)

se siguen los siguientes pasos:

1. Se obtienen todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (13) a

cada una de ellas.

r = f(8) , r = A (0 ) , r = f2(9) , ... r = g(8) , r = g^d) , r = g2(9) , ...

2. Se resuelven, para r y para 9, las ecuaciones simultáneas

r = f(8) (r = f1(0) ( r = f(9)

r = g(0) ' Ir = g i(8 ) ' [r = 5l (0) ’ eiC'

248

3. Se verifica si el polo es un punto de intersección haciendo r = 0 en cada

ecuación para determinar si existe solución para 9 (no necesariamente la solución será la misma).

I ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de dos curvas,

se sugiere trazar sus gráficas previamente de modo que se simplifique el trabajo.

Ejemplo 10. Halle las diferentes ecuaciones de las curvas

a) r = 2 + eos 29 b) r = 2 + sen 0

Solución

a) Aplicando (13), las ecuaciones de r = 2 + eos 20 están dadas por

(-1 )nr = 2 + eos 2(0 + n n ) , n GZ

Si n es par =* r = 2 + eos 20 . Si n es impar =* - r = 2 + eos 20.

Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:

r = 2 + eos 20 y r = -2 - eos 20

b) De manera similar, las ecuaciones de r = 2 + sen 0 están dadas por

( - l ) nr = 2 + sen(0 + n n ) , n £ Z

Si n es par => r = 2 + sen 0. Si n es impar => - r = 2 - sen 0.

Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:

r = 2 + sen0 y r = -2 + sen0

LOOKUtNADASPOLARES

Ejemplo 11. Halle los puntos de intersección de las curvas cuyas ecuaciones en

coordenadas polares son V2 r = 3 y r 2 = -9 eos 20.

Solución

Las gráficas de estas curvas se muestran en la Fig. 5.14. Considerando las

simetrías de estas curvas (respecto al eje polar, al eje n/2 y al polo), es suficiente

hallar un punto de intersección.

Al resolver simultáneamente

ecuaciones, se obtiene

9 1- = —9 eos 20 =>cos20 = — 2 2

=> 20 =2n n

0 = 3

Luego, los puntos de intersección son:

/ 3 7r\ / 3 2n\

( v f : 3Í ' B ( v f : "3")'

/ 3 4tt\ / 3 57r\

c(ví:t ) J d(vS;t )



Ejemplo 12. Halle los puntos de intersección de las curvas

r = 2 eos 0 y r = 2 sen 9

Solución

Las gráficas de estas curvas

(circunferencias) se muestran en la figura

5.15. Es evidente que el polo es un punto de

la intersección (en r = 2 eos 9 para

9 = n/2 => r = 0; en r = 2 sen 9 para

Q - o => r = 0).

No es necesario hallar las diferentes

ecuaciones de las dos curvas, ya que al

resolver simultáneamente sus ecuaciones se

obtiene

2 eos 9 = 2 sen 9 => tan 9 = 1 => 9 = —4

Luego, los puntos de intersección son P(V2; 7r/4) y el polo.

Ejemplo 13. Halle los puntos de intersección de las curvas

r = 4(1 + sen 9) y r ( 1 - sen 9) = 3

Solución

Las gráficas de r = 4(1 + sen 9) (cardioide) y r ( l - sen 9) = 3 (parábola) se

muestran en la Fig. 5.16. Se observa que el polo no pertenece a la intersección.

No es necesario hallar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al resolver

simultáneamente sus ecuaciones se obtienen los cuatro puntos que se observan en

el gráfico. En efecto,

4(1 + sen 9) = 3/(1 - sen 9) ^ 4 eos29 = 3 => eos 9 = ±V3/2

l l n

~6~

n Sn 7n

T ’ e - e ’ d

Luego, los puntos de intersección son

j4(6; 7r/6) , 6 (6 ; 5n/6),

C(2;7n/6) y D (2; l l 7r /6)

250

Fig. 5.16

5.8 DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES

Sea r = / (0 ) la ecuación de una curva. De las fórmulas

(x = f{9 ) eos 9

(y = /(0)sen 9

que son las ecuaciones paramétricas con parámetro 9, de donde

COORDENADAS POLARES

x = reos 9 A y = r sen 9 se obtienen \X( y =

dydy _ ¿9_ dy _ f ' ( 9 )sen 9 + f ( 9 ) eos 9

dx dx dx f '{9 ) eos 9 — /(0)sen 9d9

(14)

Como sabemos, esta derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el

punto (x ; y), es decir,

dy— = tan a dx

(15)

donde a es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva.

Sea P(r-,9) el punto de tangencia y /? el ángulo que forma el radio vector OP y

la recta tangente. Examinaremos los siguientes casos:

En el caso (a): a = 9 + p => = a — 9

En el caso (b): ¡1 = a + n - 9 => /? = n + (a -. 9), de donde:

tan /3 = tanfrr + (a - 0)] = tan(a - 9)

Lo que significa que en ambas situaciones se verifica tan /? = tan(a - 9), es

decir,

tan a - tan 9

1 + tan a tan 9(16)



Considerando (14) y (15) se obtiene

tan /? =

/ ' ( 0)sen0 + / ( 0) cosd _ fí

f '(0 ) eos 0 - f(9)sen 6

i 4. / 'C esene + f{8) cose 1 + rnc fí - f fflYcen fí/ ' ( 0) eos 0 - / ( 0)sen 9

Simplificando se obtiene

/(0)tan/? = -777 -, esto es,

f i e y

dr

tan P ~ ° d0 :::rcoti? <-1?')

18

“La derivada del radio vector r respecto al ángulo polar 6 es igual al producto de

la longitud del primero por la cotangente del ángulo formado por el radio vector y

la tangente a la curva en el punto dado”.

Ejemplo 14. Halle los valores de P, a y las ecuaciones cartesiana y polar de la

recta tangente a la curva r = a( 1 — eos 0) en 8 — t i / 6 (a > 0).

Solución

La gráfica de r = a ( l — eos 9)

(cardioide) se muestra en la Fig. 5.18.

dr

dé= a sen 6, de donde

tan /?a( 1 - eos 9)

a sen 0

2 sen2 2

o 0 02 sen 2 eos 2

Luego, tan /? = tan (0/2), de donde

* = 2 => *

7T

12

120” k \ \ y*

I

i 60°

/ S /

W ' ! ^1 1 J

240"

IjT ¡apSNT /

270" 300°

El mismo resultado se obtiene al reemplazar 0 = tt/6 en tan /? -

Fig. 5.18

(1 - eos 0)

sen 6

a - 9 + p => a = n/6 4- n/12 =¡> a = rr/4 y la pendiente de la recta

m r = 1

252

COORDENADAS POLARES

Olía forma de obtener la pendiente es usando la fórmula (14)

dy _ / '(0 )sen0 4-/(0) cos0 dr~ TT7ñ\--- o-- 777--- 7 ■ donde / ' ( 0) = — = a sen 0

dx / (0) eos 0 - / ( 0)sen 0 dd

Reemplazando 8 = n/6 en esta expresión se obtiene

dy

dx= m r = 1

.as coordenadas rectangulares (x; y) del punto de tangencia son

Ú 2

o ^ a ( , a ( ^x0 = reos 8 = ( 1 - — ), y0 = r sen 6» = — í 1 — ^

La ecuación cartesiana de la recta tangente es y - y0 = l(x - x0), es decir,

5 - 3V3x — y 4- • ■a = 0

y la ecuación polar de esta recta es

7n\ _ 3V3 - 5

4V2r eos

( - t )

Ejemplo 15. Halle las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la

curva r 2 = 9 eos 20 en el punto P(3V2/2; n/6).

Solución

Como r 2 = 9 eos 20, derivando

implícitamente se obtiene:

9 sen 20

Luego,

dy r ’ send 4- r eos 0

dx r' eos 0 - r sen 0

Reemplazando

3V2 7T , 3V3

r = — • e = 6 y r

obtenemos

dy

3 n 4 \

— 1 ' 1 1

1 1t

s / s /

. . X p ^ t

V v V V

v / ■

** _

S r 1 —i—j — ► / J

— ^ X sX \

dx= 0 = m T

Las coordenadas cartesianas de Z3 son x = 3 ^ / 4 , y

ecuación cartesiana de la recta tangente es y = 3^ 2/ 4.

Fig. 5.19

3\/2/4. Por tanto, la

La ecuación polar de està recta es r sen 0 = 3V2/4.

Hn la fig. 5.19 se muestra la gràfica de r 2 = 9 cos 20 (lemniscata de Bernoulli).



5.9 ÁNGULO ENTRE DOS CURVAS EN COORDENADAS POLARES

Sean C y C' dos curvas que se

intersecan en el punto P. Si T y T'

son, respectivamente, las rectas

tangentes a las curvas en el punto P, el

ángulo entre las dos curvas en el punto

P es el ángulo formado por las tangentes

T y T'.

Si las ecuaciones de las curvas C y C'

están en coordenadas polares y /? y /?'

son, respectivamente, los ángulos que

forman el eje polar y las rectas tangentes

T y T' (Fig. 5.20), entonces:

4 TPT' = 4-OPT' - 4-OPT, es decir, <f) = ß' ~ ß

Luego,

tan ß' - tan ß

Fig. 5.20

(18)1 + tan P'tan p

(tan/?' y tanp se calculan aplicando (17) en el punto de intersección de las

curvas)

Observación 4. Como la discusión del ángulo puede presentar dificultades, se

calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas considerando ¡tan (p\.

En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifica los cálculos.

Ejemplo 16. Halle el ángulo de intersección entre las curvas 4rcos0 = 3 y

r - 3 eos 0.

Solución

De la gráfica de las dos curvas (fig. 5.21),

se obtiene <p = P' ~ P-Para hallar los puntos de intersección

resolvemos simultáneamente sus

ecuaciones y obtenemos

3 13 eos 0 = ---- - =* eos 0 = -

4 eos 8 2

n Sn^ e = - y 8 = —

Los puntos de intersección son

P(3/2; 7t / 6) y <2(3/2; Sjt/6).

Solamente hallaremos el ángulo entre las dos curvas en el punto P (se deja como

ejercicio al lector el ángulo en el punto Q).

3 dr 3 sen 60 r - -ñ ^ ~T7T = 1---777 Y tan 18' -- cot 8

4 eos 8 d8 4 eos28 H

. „ drn) r = 3 eos 8 =* — = -3 sen 8 y tan R = -3 cot Q

ad r

Por la dirección de los ángulos y aplicando (18), se tiene:

tan p - tan /?' -cot 8 - cot 8tan tan ó ~ ---------

v 1 + tan p tan p 9 1 - cot20

Para 8 = n/6 tan (f> = -V3. Finalmente, (p = 2n/3.

COORDENADAS POLARES

EJERCIC IOS

I. Exprese en coordenadas polares los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares.

1) P (3 /2 ;-3 /2 ) 2 )P (1 ;-V 3 ) 3) (-V3; 1)

4) P(V8;V2) 5) P (—8; 8) 6) (4; 4^3)

II. Exprese en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares.

1) P(3;3?r/4) 2) P (-2 ;n ) 3) P(4; -2tt/3)

4) P (—2; —Stt/12) 5) P (- l/2 ; —tt/4) • 6) P(3;2)

III. Halle las ecuaciones polares de:

1. y — 5 = 0 R. r sen 8 = 5

2. x2 - x2y 2 - y 4 = 0

3. x2 + y 2 — 4x + 2y = 0 R. r = 2(2 eos 8 — sen 0)

4. 6xy = 5 R. 3r 2 sen 20 = 5

5. y 2 = x3/(2a - x) R. 2a tan 0 sen 0 = r

6. x2 + y 2 — 2y = 0 R. r = 2 sen 0

7. 3(x — 2)2 + 4y2 = 16 R. r(2 - eos 0) = 6

8. y 2 - 4x - 4 = 0 R. r ( 1 - eos 0) = 2



9. 3x2 + 4y2 - 6x - 9 = 0 R. r 2(3 + sen20) = 3(2r eos 0 - 3 )

10. 2xy = a2 R- r 2 sen 20 - a2

11. x2 - y 2 = a2 R. r 2 eos 26 = a2

IV. Halle las ecuaciones rectangulares de

1. r = asen 0 - b c o s 9 R. x2 + y2 + bx - ay = 0

2. r 2 = a2 eos 29 R. C*2 + y 2)2 = a2(x2 - y 2)

3. r ( l - eos 0) = 4 R. y2 = 8(x + 2)

4. r ( 2 - eos 0) = 3 /?. 3x2 + 4y2 - 6x - 9 = 0

5. r ( l - 2 eos 0) = 4 ñ. 3x2 - y 2 + 16x + 16 = 0

6. r = a ( l - eos 0) K. (x2 + y 2 - ax) = a2(x2 + y 2)

7. r 2 eos 20 = 3 R .x 2 - y 2,= 3

8. r = 2 eos 20 i?, (x2 + y2)2 = 2(x2 - y2)

9. r sen 20 = 4 fí. x2y 2 = 4(x2 + y 2)

10. r = a sec 0 + b R. (x - a )2(x2 + y 2) = ¿>2x2

11. r sen20 = 4eos0 R. y 2 = 4x

12. r = sen 20 ñ. (x2 + y 2)3 = 4x2y 2

V. Ejercicios diversos.

1. Demuestre que el área del triángulo de vértices Cril ^ i). (r3¡^3)

está dada por

1 rsen(02 - 0i) sen(03 - 02) sen(0x - 03)] r i r2r3 [--------- + ---- ----- + - ]

2. Halle la longitud de los lados y el área del triángulo de vértices

a) (1; 7r /3) , (2; ít/6) y (3; — tt/6)

R. J 5 - 2 V 3 , V7, V lÓ , ^(3V3 - 2)

b) (2; tt/8) , (4; 3rr/8) y (-1; 7tt/8) ________

R. 2J 5 - 2V2 , J s - 2V2 ,V Í7 , ^ (5 V 2 - 4 )

COORDENADAS POLARES

1. Demuestre que el ángulo entre las rectas:

r cos(0 - o>) = p y r cos(0 - a>') - p' es a - &/.

-1. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos y B(r2;62).

Sugerencia: considere un punto P(r; 0) cualquiera de las rectas y las áreas de

los triángulos OAB, OBP y OPA.

sen(0t - 02) sen(02 - 0) sen(0 — 0j)---------- H----------- 1---------- = 0

r rx r2

5. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (r^-^j) y es perpendicular a la recta r eos(0 - cu) = p.

R. r sen(0 - oí) = rjsenf©! - co)

6. Si C (a ;a ) es el centro de una circunferencia de radio a expresado en

coordenadas polares, demuestre que r = 2a eos (0 - a) es la ecuación de la

circunferencia que pasa por el polo.

7. P es cualquier punto de la circunferencia r 2 - 2re eos(0 - a) + c2 - a 2 = 0.

Si O es el polo y Q un punto sobre OP de manera que:

OP ______i) = = k ii) OP.OQ = d2

OQ

Halle la ecuación del lugar geométrico descrito por Q en cada caso.

R. i) k2r 2 - 2 ckrcos(9 - a) + c2 - a2 = 0

ii) (c2 - a2) r 2 - 2cd2rcos(0 - a) + d* = 0

8. Si el foco de una cónica (parábola, elipse o hipérbola) está en el polo y la

directriz de la cónica es una recta perpendicular al eje polar que está a una

distancia de 2p (p > 0), la ecuación de la cónica está dada por:

2 epr = — ------ , e es la excentricidad de la cónica (19)

l± e c o s 0 v J

(la cónica es una elipse si 0 < e < 1 , una parábola si e = l y una hipérbola

si e > 1). Si la directriz está a la izquierda del polo, el signo de (19) es en

cambio, si la directriz está a la derecha del polo, el signo de (19) es +.

Si el foco se mantiene en el polo y la directriz es paralela al eje polar, la

ecuación de la cónica está dada por

2 ep

r ~ 1 ± e sen 0 ('20)

Si la directriz está debajo del eje polar, el signo de (20) es - y si la directriz

está sobre el eje polar, el signo es +.


a) Halle la ecuación de la elipse con foco en el polo, excentricidad e = - y

directriz perpendicular al eje polar en el punto (—4; 0).4

R. r =


2 — eos 0

b) Halle la ecuación de la parábola con foco en el polo y directriz

perpendicular al eje polar en el punto (—3; 0).

R. r1 - eos 0

c) Describa y grafique la curva r =16

5 + 3 sen 6R. elipse

VI.Trace la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes.

1. r = 5 sen 0 + 4cos0

3. r eos 0 = 6

5. r 2 = 16 sen 20

7. r ( 1 + sen 0) = 8

9. r 2cos30 = a sen 0

11. r = a sen2 -

13. r = a 0, espiral de Arquímedes

15. r = a ( l + eos 0), cardioide

17. r 2 = a2sen 20, lemniscata

19. r = 4 eos 30, rosa de 3 pétalos

21. r = a sen 30, rosa de 3 pétalos

23. r = a eos 20, rosa de 4 pétalos



28. r = a (2 + eos 0), caracol de Pascal.

29. r = a ( l - 2 eos 0), caracol de Pascal

30. r = 12 + 3 sen 20]

2. r sen 0 = 4

4. r 2 sen 20 = 16

6. r(2 — cos 0) = 4

8. r ( l - 2 cos 0) = 4, hipé'bola

10. r = 2a tan 0 sen 0, cisoide

3 012. r = a senJ -

14. r = ead, espirai logaritmica

16. r = a( 1 - cos 0), cardioide

18. r 2 = a2 cos 20, lemniscata

20. r 2 — 4r + 3 + 2 cos 0 = 0




258

' 2'

3tt>R. ( 2V2; Î ) ; ( 2Æ ^ )

COORDENADAS POLARES

31. |r| = 3 cos 20, 0 e [0; tt]

32. |r| = -3 cos 20 , 0 6 [0; rr]

VII. Ejercicios sobre simetrías.

1. Determine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7r/4.

2. Determine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7T/3.

VIII. Halle los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas

1. r sen 0 = 2 a , r cos (0 - = a R. (2a;

2. r = 2 ese 0 , r = 4 sen 0

3. r = a , r = 2a cos 20

4. r = a ( l - cos0 ), r = acos0 /?. y ei p0j0

5. 3r = 4 cos 0 , r ( l + cos 0) = 1 R. (2/3; ±tt/3)

6. r = 4 tan 0 sen 8 , r = 4 cos 0

7. r 2 sen 20 = 8 , r cos 0 = 2

8. r = 1 + cos0, 2r = 3

19. r = - sec¿- , r = 2

2 2

0 110. 3r = 4 cos 0 , r eos2 — = —

2 2

11. r = l + cos0 , 2r ( l- c o s 0) = l

12. r cos 0 = 4 , r = 10 sen 0

13. r = a ( l + sen 0) , r = a ( l - sen 0)

14. r = 3 + cos40, r = 2-cos40

15. r = 2 + cos 20, r = 2 + sen 0


IX. I lalle los ángulos /?, a y la pendiente de la recta tangente para las siguientes

curvas en los puntos dados. Trace la gráfica de la curva.

n _ 37r

1. r = 4(1 + sen 0) ; P(4; 0) P ~ 4 ' “ “ 4


2. r 2 = a 2(co s20) ; p ( - ^ ; - ) P

3. r ( l + sen 0) = 4 ; Px (2; —) , P2(4; Jr)

57T

~6~

7T4. r = 4 sen 30 ; P(4;—)

n 2n5. r = a sen 9 ; 9 =

6. r = a sen 20 ; Pt ^ 'a; , P2 (o¡ |)

7. r ( l - sen 0 ); P(a; rc)

8. r = a sec20 ; P (2a;-)

X. Halle el ángulo de intersección entre las curvas siguientes en los puntos que se

indican.

'y¡2 n n

1. r = a eos 9 , r = a sen 9 ; en P ^ ^ í J ^ 2

/ 27T\ ^

2. r = 4 eos 0 , r = 4 eos20 - 3 ; en P ^-2; — J 2

n3. r = a , r = 2a sen a ; en P(a; -)

4 r = - a sen 0 , r = eos 0 ; en el polo

XI. Halle los ángulos de intersección de las curvas siguientes:

1. 2r = 3 , r = a + cos0 R .n /6

2. 3r = 10, r(2 - sen 0) = 5 fí. nr/3

3. r = 1 — sen 0 , r = 1 4- sen 0

R. 0 o en el p o lo , 7r/2 en (1; 7r ) ; e n (l;0 )

260

COORDENADAS POLARES

4. r = eos 0 , r = sen 20

ñ. 0o en (0; 7r/2) ; 79°6'aprox. en yen ( — — ; — )\ ^ 6) \ 2 6 J

5. r 2 sen 20 = 4 , r 2 = 16 sen 20 R. n/3

6. r ( l - eos 0) = 4 , r (2 + cos0) = 20

7. r = 3(1 - eos 0 ), r = 3 eos 9

8. r = a eos 0 , r = -a sen 20

/?. 0o en el polo, arctan 3V3 en los otros puntos

9. r = sec 0 , r sen 29 = 2 R. Las curvas no se cortan

XII. En los ejercicios del 1 al 4, demuestre que las siguientes curvas se cortan en

ángulo recto.

1. r ( l + eos 9) = a , r ( 1 - eos 9) - b

2. r = a ( l + eos 9 ), r = a ( l - eos 0)

3. r - 2 a eos 9 , r - 2b sen 0

4. r = 4 eos(0 — n /3 ) , r 2 — 6r eos 0 + 6 = 0

5. Halle la condición para que las circunferencias

r 2 - 2cr eos(0 - a) + c2 - a 2 = 0 y

r 2 + 2 c'rcos(9 — a ') + c'2 — a'2 = 0

se corten ortogonalmente.

fi. c2 + c'2 — 2cc' eos (a — a ') = a 2 + a

6. Demuestre que r eos(0 — oj) = a + c eos (a — w) es tangente a la

circunferencia r 2 — 2cr cos(0 — a) + c2 — a2 = 0.

7. Halle las coordenadas polares de los centros y los radios de ¡as

circunferencias

2n\r = 4 eos ^0 — —j y r 2 - 2r eos 0 - 2 = 0

Pruebe además que las circunferencias se cortan ortogonalmente (dos

circunferencias se cortan ortogonalmente si la suma' de los cuadrados de

sus radios es igual al cuadrado de la distancia entre sus centros).


Ivn esta sección deduciremos una fórmula que permita obtener el área de una

región F (Fig. 5.22) limitada por una ecuación polar, esto es,

F = {(r; 0) É l 2 / a < 9 < p , 0 < r < f(9 )}

donde / : [a; /?] -» R es una función continua y no negativa.


5.10 ÁREAS EN COORDENADAS POLARES

Fig. 5.22 mg.

En términos simples, F es la región comprendida entre las gráficas de

r = / ( 0) , eje a , eje /? (con a < P)

Sea 90 E[a;p] y sea A(0O) el área del sector limitado por la curva r = f ( 9 )

y por las rectas 9 = a y 9 = 90. Sea 0O + A0 E [a; /?], con A9 > 0, y

m = mín f(9 ) A M = máx / (0 )e0<e<e0+Ae e0¿B<e0+as

El área A(90 + A9) - A(90) está comprendida entre las áreas de los sectores

circulares de radios m y M (Fig. 5.23). Para A0 > 0 se tiene

m 2A9 M2A9

Luego.

< A(90 + A9) - A(90) <

m 2 ^ A(90 + A0) — A(90) ^ M2

~Y ~ A9 “ ~2

Como f 2/ 2 es continua en [0O;0O+A0], por el teorema de los valores

intermedios, existe 0 E [0O; 90 + A0] tal que

/ 2(0) A(9n + A0) — A(90)

2 A 0

Por la continuidad de f 2/ 2 en 0O, se sigue que

A(9a + A9) — A(90) / 2(0O)lim

A0

262

COORDENADAS POLARES

Procediendo de modo análogo, para A0 < 0 . se tiene

lim A(°o + M ) - M Q 0) f 2(Q0)

Ao-o- A9 2

Por tanto.

A'(0) = ~ y , V 9 E [a,P\ (*)

l’or consiguiente, de (*) se deduce que la fórmula para hallar el área de la región /■' expresada en coordenadas polares es

1 [P

a ^ = 2 ¡ f 2W 0

Observación 5. Sean f , g: [«; p] -» M funciones continuas en [a ,p ] tales que

() £ 9(0) ^ f(0 ) , V 0 £ [a;P], y sea F la región limitada por las gráficas de

>' = 9 (9 ). r = f{9 ) y ¡as rectas 9 = a y 9 = p (Fig. 5.24). Entonces ei área de la región F está dada por

A(F) = \ f [f2(9) - g 2(9)]d9J ir

e = P'• = / O )

F \

= ¿ '(l'

V 0 =a

V - j * ’Z S .

\

0— ►

X

2

// /

m «■'" ‘I /V /

^ N r - 2 + e o s 0

s

-X f\ \\ \ V

' 1 \ n°

f s1 «a» .

2

1 1 13* ' i /

L " ' // /

/ jT ✓ ^y

y

Rg- 5.24 . Fig. 5.25

l.jemplo 17. Calcule el área de la región F limitada por la curva r = 2 + eos U y los ejes 0 = 0 y 9 = n/2.

Solución

I .a gráfica de la región F se muestra en la fig. 5.25.

Al aplicar la fórmula correspondiente para hallar el área, se tiene

A(F) = + cos9)2d9 = ^ 2^4 + 4cos0 + --+,C° S 29 j d9

+16 ,= --


Ejemplo 18. Calcule el área de la región limitada por la lemniscata

r 2 = a2 eos 29

Solución

Como la lemniscata es una curva simétrica respecto al eje polar, es suficiente

multiplicar por 4 el área de la región R (Fig. 5,2o). Entonces


A(F) = 4

ni r*

J 4«Jo

2 eos 29 d9

Ejemplo 19. Halle el área de la región líhiitada por lás parábolas

r ( l + eos 6) = 4 y r ( 1 - eos 0) - 4.

Solución

En este ca¿&, una parábola es simétrica á la otra parábola con respecto al eje n/2

(al reemplazar 9 por n - 9 efl láf' primera ecuación, se obtiene la segunda

ecuación). Estas parábola» son simétricas con respecto al eje polar y sus puntos de

intersección son los puntos 4 (4;7r/2) y B(4\3n/2). Considerando las

simetrías, el área de la región enjre estas parábolas (Fig. 5.27) es 4 veces el área

de la región R. En la integral se utilizará la identidad (1 + eos 6 — 2 cos20/2).

A(F) = 41 f I 16 d9 _ Í J dO _ [22 J 0 ( l + cos0 )2 32 J0 [2 eos2 9/2]2 J0

A0 sec — d9

64

Ejemplo 20. Calcule el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 39

y exterior a la circunferencia r = a, a > 0,

Solución

La región se muestra en la Fig. 5.28 (parte sombreada). Para hallar el área total es

suficiente multiplicar por 6 el área de la región R. Entonces

COORDENADAS POI.. A RES

Fig. 5.28 Fig. 5.29

I jeinplo 21. Calcule el área de la región que es interior a las curvas

V 2r = 3 y r 2 = - 9 eos20

Solución

La región es la parte sombreada que se muestra en la cig. 5.29. Por simetría se(iene

A(F) = 41 r i 1 c'ì 92 j r j - 9 c o s z s j d f l + j j . - d e

3 , .= - (6 + 71 - 3v3)u ‘

3 j

E jemplo 22. Halle el área de la región que es interior a la curva r - 3a eos 29 y

exterior a la curva r = a ( l + eos 29) , a > 0.

Solución

La región es la parte sombreada que se ilustra en la fig. 5,30. Por simetría, se tiene

A(F) = 4[A(RX) + A(Rz) l . dondfe

MRi)-= ^ f [9a2cos2.20 - a2( 1 + cos20)2] dd ‘ ^ Jo

n1 f 6

W ■= [9a‘ Jo

, »‘ _ ü f (

- n

a^n(3 + 4 eos 49 - 2cos 29) d9 =

^ ( ^ 2) = 2 J [9cl2cos229 - a2( 1 + eos 26)2]d0

(donde a es tal que eos 2a == - 1/ 4)

= ^ J P + 4 eos40 - 2 eos29]d9 = ~ 3a

l.uego, A(F) = a2 (471 + ^V l5 — 6aj u2 = (9,95 a2) u2.



5.11 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES

Para calcular la longitud de arco de una curva expresada por la ecuación polar

r = f(9 ), 8 6 [a;P], parametrizamos en términos del parámetro 0. Así. las

ecuaciones paramétricas de la curva son

x = f (8 ) eos8 A y = /(0)sen 8 , 8 6 [a;/?]

donde / es una función con derivada continua V 8 6 [a; /?].

Al aplicar la derivada de un producto, se obtiene

dx dy— = f '{8 ) eos 8 - / ( 0)sen 8 y — = / ' ( 0)se!n 0 + / ( 0) eos 0 uu do

Entonces

Í S ) + Q ’

Luego, aplicando la fórmula de longitud de arco de una curva dada en ecuaciones

paramétricas, se tiene c}ue la longitud de arco de r = / (8) desde 8 = a hasta

9 = ¡i está dada por ’

de

Ejemplo 23. Halle a longitud de arco de la curva r = a sen3 (0 /3 ) , a > 0.

Solución

La gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.31. La curva queda descrita si

8 6 [0; 37rJ (es simétrica respecto al eje rt/2).

6 6 0 QComo [/(0)]2 + l/ '(0 )P = a2 sen5~ + a2sen4- eos2 - = a2sei>4- , entonces

>J J ví

r37r { 0 f 3n ,0 a f 3n / 20\ 3an! s Ja2 sen4 - d8 = a sen2 — dB = — j (1 — eos — )d9 = —— u

¡ . 3 i p 3 2 J„ y j / 2Jo

Fig. 5.31

266

Fig. 6.32

Ejemplo 24. Halle la longitud de arco de la parte de la parábola r = a sec2(8/2) cortada por .la recta perpendicular que pasa por eí polo.

Solución

La gráfica se muestra en la fig. 5.32. Se tiene ~ nf 2 < 0 < n /2 y

dr¿jj = / ' ( 0) = a sec2(0/ 2)tan(0/ 2)

Aplicando la fórmula correspondiente, se tiene

L = I r V[/(0)]2 + [/'(0)]2 dd = a í sec3 - d8Jjl 2

COORDENADAS POLARES

8 B

2 ■ - r ~~2í 6

a L 2

= 2a[V2 + ln(V2 + l)]u

tan- + ln sec- + tan- 2 L

Ejemplo 25. Halle la longitud de la curva r = 2b tan B sen 6, b > 0 desde 0 = 0 hasta 0 = tt/3.

Solución

La gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.33. Con la fórmula de la derivada obtenemos

dr

d9= r' = 2b sen 0(sec20 + 1)

Luego,

L

7T

= í 3V^2 + (r ')2 deJo

n

— 2b j tan 0 Vsec20 + 3 dd Jq

Ln la última integral hacemos el cambio de

variable u 2 = sec20 + 3. Entonces

2 u d u ~ 2 sec20 tan 6 d6 => tan 0 d6 -u du

u2 - 3

Cambiando los límites de integración, se tiene

1r2 , r P?

J 2

f V7 u2 du r ^ 3

= ^ 3 = » J 2 ( l + ^ 3)du = 2b

= L (V 7 - 2) + V3 b in A(2 + V3)(V7-V3)

l l(2-V 3)(V 7 + V3)

. V3 lu - V3u + — ln -----

2 u + V3

V7

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5.12 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN EN COORDENADAS

POLARES


En primer lugar, queremos calcular el volumen de un sólido (Fig. 5.35) obtenido

por la rotación alrededor del eje x de un sector circular del plano xOy (Fig. 5.34)

comprendido entre los ángulos 0* y 92-

i

/

/ y \

i * a

i/ X

Fig. 5.34

El sector circular puede ser descrito del siguiente modo:

0 < x < rcos8z y fi(x) < y < fi(x) j sect:or entre 8X y 02

r eos 02 < x < r eos 0, .y f t (x) < y < 5 (x))

donde

f x(x) = x tan , / 2(x) = x tan 02, g(x) = J r 2 - x 2

Al aplicar el método del disco, obtenemos

¡•r cos0, rr cos0i

V

/•r eos 02 f r COS0! |-rcos0!= .jr [f2(x)]2dx + n \ [g(x)l2dx — n I lA (x)]2d r

* r eos 02 0

r.r eos 02 rrcos0! fr cosOj= n\ x2 tan202 dx + u (r2 - x2)dx - n x2 tan261dx

Jn -¡r eos 02 0

Haciendo los cálculos respectivos, se tiene

2n r3V = — — (eos 0! - eos d2) (21)

Ahora, nuestro propósito es calcular el volumen V del sólido obtenido por la

rotación en torno al eje polar de la región plana

F = ((r; 6) / 0 < r < f (6 ) , a < 6 < (3}

donde r = / ( 0) es la ecuación de una curva en coordenadas polares ( / es

continua en [a; /?]) y F es la región limitada por las gráficas de la curva r =

/ (0 ) y los ejes 8 = a y 9 = /? (Fig. 5.36).

268

COORDENADAS POLARES

Fi9- 5.36 F¡g. 5 37

Sean 80 y 90 + A9 dos puntos de [a;/?], con A8 > 0. y

m = «, A M = máx / ( 0)e0<e<en-v&e e0<e<e0-rAe

I- I volumen obtenido por rotación del sector F comprendido entre 9q y 9n + A8 (Fig. 5.37) es, según la fórmula (21).

¿nm1[eos 0O - eos (0O + A0] < V(6a + A0) - V(80) <

Dividiendo entre A0 > 0 se tiene

2?i M3■ [eos 0O - eos (0O -t- A0)j

¿útil3 rcos0n - eos (6>0 + A0)1 '/(<90 + A9) - V(80) 2ttA/3 rcos0c - eos (6, +

3 ‘ AS j- re----- £ — [--- — -j

Como / 3 es continua en [0o;0o + A0J, por el teorema de los valores

intermedios, existe e [0O; 90 + A0] tal que

V(60 + A9) - V(90) _ 2 n f3(91) reos 90 - eos(0O + A0)i

A 9 A0

I ornando límite cuando A0 -> 0+, debido a la continuidad de f en 0O, se tiene

^ 2t t /3(0o) ^V (0O j = --- ---- Sen 0O

Del mismo modo se hace para A0 < 0. Por tanto.

u n a 27r/3(0o)1 (0o) = ---^--- sen 0O

I malmente, el volumen del sólido es V = V(¡}) - V(a). esto es

27r [PV = — I / 3(0)sen0c¡&


Ejemplo 26. Calcule el volumen del sólido obtenido al hacer girar el cardioide

r = a( 1 + cos0) , a > 0, alrededor del eje polar.

Solución

En la figura 5.38 se observa que para obtener el referido volumen es suficiente

girar en torno al eje polar la parte del cardioide que está en el semiplano superior.

Entonces se tiene:

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN IICOORDENADAS POLARES

EJERCICIOS

I. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule el área de la región limitada

por las curvas (dadas en coordenadas polares) que se indican y bosqueje la gráfica de la región.

1. r = a eos 9 , 0 < 9 < n/3

2. r = a( 1 - eos 9)

3. r = 4 eos 20

4. r = a sen 29

5. r = eos 3 9

6. r = a eos 59

7. r 2 = a2 sen 49

8. r = a( 1 + 2 sen 9), 9 = - — v 9 = —6 ' 6

9. r = |4 sen 29\

10 . r = b + a eos 9 (0 < b < a)

11. r = a eos 49

12. r 2 = a2 eos 89

13. La región es interior a las curvas r = 3 + eos 49 y r = 2 - eos 49.

R. 3 7 n /6 u2

14. La región es interior a r = 3 + eos 49 y exterior a r = 2 - eos 49.

15. La región es interior a r = 2 - eos 40 y exterior a r = 3 + eos 40.

16. La región es interior a r = 2 + eos 29 y exterior a r = 2 + sen 0.

R. 51V3/16u2

17. La región es interior a las curvas r = 2 + eos 20 y r = 2 + sen 0.

271

/?. (0,37a2)u 2

¡3u

R- ( t

R. 4nuz

2

' 2 \ - -GT )l/‘

f i .

7TÍT

-ir

3tt ,«.

„ U a 9K. ---u2

4

R. a 2u 2

R. 8nu

R. .- (2b2 + a2)u 2

R. a2u 2

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18. La región es interior a V2 r = 3 y exterior a' r 2 = -9 eos 2 ^

R . í 3tt — 9 + 2 ) U

19. La región es interior a las curvas r = 3a eos 20 y r = a ( l + eos 20),

a > 0.

20. L» región está comprendida en,re la parte externa '

, e n í a 2— 55— x2r = asenJ - \ J

21. La región está comprendida entre las curvas:

9tt

a) r = i — eos 20 , r = 2(1 - eos 20) , 0 < B < n R- u


b) r = 2a eos 0 , r = 2a sen 0 R . cl2 [ 2 ) u

c) r = a sen 0 , r — &(1 + cos (. 2 )

/7r ^ ^ 2d) r = 2 sen 2 0 , r = 2 cos 20 R , V2

curva.

1 r = sen 0 , 0 S [0; 2tt]

2. r = 20 , 0 E 10:2,1 «• [2W I T Í Í 5 + ln t2" +

R. 8a u3. r = o(l + eos 0) , a > 0

4. tí = + i ) desde r = 1 hasta r = 3 R . Í C4 + l» 3 )u

5. E, arco deta espiral logaritmica r = » > 0. que se encuentra

dentro del círculo r - a. ,---------1 + mz

R. a ----- um

RECTAS Y PLANOS L = EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(-.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL

I I objetivo de esta sección, es recordar las operaciones con vectores y sus

propiedades con la finalidad de hacer uso de ellas en la siguiente sección, razón

por la cual no se demostrarán las propiedades.

(».6.1 El ESPACIO E 3

1.1 espacio de dimensión tres es el conjunto de todas las ternas ordenadas de

números reales y se denota con

R 3 = {(x;y;z) / x,y, z £ IR}

Así, un vector en el espacio IR3 es una terna ordenada de números reales y se

denota con á = ( a 1; a 2;.-a3)

Igualdad de Vectores

Dos vectores a = (a 1; a 2; a 3) y b = (b1'l b2\b3) en el espacio R 3 son iguales si

solo sí sus componentes correspondientes son iguales, es decir

d = b <=> a t = b1, a 2 = b2 y a 3 = b3

Vector nulo

I s el vector que tiene todas sus componentes iguales a cero y se denota con

0 -- (0; 0: 0). Este vector es el único vector que no tiene dirección especifica

Suma de Vectores

Sean á = ( a 1; a 2; a 3) y b = (b1; b2; b3) dos vectores en el espacio E 3.

entonces el vector á + b está definido como

á + b = ( a 1 + b1-,a2 + b2: a 3 + b3)

Multiplicación de un escalar por un vector

Sea r un escalar ( r £ R) y a = ( a t ; a 2; a :l) 1111 vector en el espacio IR3, entonces

1.1 multiplicación del escalar r por el vector a está definido como

r a = (raj,- r a 2; r a 3)

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Si d ,b ,c son vectores en el espacio IR3 y r ,s G E se verifican las siguientes

propiedades:

1. a + b es un vector en el espacio IR3.

2. á + b = b + á (Propiedad Conmutativa)

3. a + (b + c) = (a + b j + c (Propiedad Asociativa)

4. Existe un único vector cero 0 = (0; 0; 0) tal que á + 0 = a , V a en l 3

5. Para cada vector a = (a1;a 2;a3), existe un único vector (opuesto de a),

- a = (-a j; - a 2; - a3) tal que a + (-a) = 0

6. r a es un vector en IR3

7. r ( a + b) = r a + r b

8. (r 4- s) a = r a + s a

9. r(s a) = (r s) a

10. 1 a = a , V a en M3

Cualquier sistema matemático en el que estas propiedades son válidas, recibe el

nombre' de espacio vectorial real. De este modo R 3 es un espacio vectorial real

de dimensión tres.

Sustracción de vectores

Sean a = (ax; a2; a3) y b = (bx; b2; b3) dos vectores del espacio IR3, entonces

la diferencia de estos vectores se define como

a - b = a + (-ib), es decir, a - 6 = (ax - bx\a2 - bz; a3 - ¿3)

6.1.2 REPRESENTACIÓN GEOM ÉTRICA DE UN VECTOR EN IR3

Dado que un vector es un ente matemático que tiene dirección, sentido y longitud;

es representado por un segmento orientado en el que se distingue un origen y un

extremo.

El vector que tiene como origen el origen de coordenadas y extremo cualquier

punto P(x-,y;z) del espacio M3 (Fig. 6.1) se llama vector de posición y se

denota con

a = OP = (x ;y;z)

donde O es el origen de coordenadas.


6.1.1.1 PROPIEDADES l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto P, (l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con

a = PJK

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

I n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectorestí y b.

d - P,P2 - OPz - OP, - (x2;y2; z2) - (x1;y1;z1) = (x2 - x,; y2 - y i;z2 - z j

275

<t

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Se dice que dos vectores a y b en el espacio R3 son paralelos, si uno de ellos es

múltiplo escalar del otro, es decir,

a II b<^>á = r b v b - s á , r,s 6 R

Dos vectores paralelos á y b tienen el mismo sentido si

a = rb, r > 0

Dos vectores paralelos a y b tienen sentidos opuestos si

a = rb, r < 0


6.1.3 VECTORES PARALELOS EN R 3

Ejemplo I

¡a) Si a = (1; 3; -4) y b = (2;-1; 2), encuentre los vectores a + b, d + b y

3 a - 2b

b) Determine s; cada par de los vectores dados a — (— 1; 2; — 3) y

b = (5; -10; 15) , c = (-2; 4; - 6) y d = (0; 1; 3) son paralelos.

Solución

a) Al aplicar las definiciones dadas se tiene

d + b = (1; 3; -4) 4- (2; -1; 2) = (3; 2; -2)

a — b = (1; 3; -4) - (2; -1; 2) = (-1; 4; - 6)

3 a - 2 b = 3(1; 3 ;- 4 )- 2(2;-1; 2) - (—1; 11; —16).

b) Tenemos

b = —5a => a II b y tienen sentidos opuestos

c = 2d => d \\ c y tienen el mismo sentido

Los vectores a y d no son paralelos

I.» longitud o norma o módulo de un vector a — (a ^ a2; a3) en el espacio R 3se denota y se define como

l|a|| = V ^ i2 + a22 + a32

l’or ejemplo, si d = (1; 2; - 2) => ||a|| = j l 2 + 22 + (- 2)2 = 3

Observación 2

ti) La norma de un vector es la longitud

del segmento orientado que lo

representa (Fig. 6.5)

■h) Todo vector de longitud igual a 1 se

llama vector unitario, es decir u es

unitario si ||u|| = 1

¡'i El vector unitario en la dirección del

vector no nulo a es el vector

a

6.1.4 M ÓDU LO O LONGITUD DE UN VECTOR EN R 3

6.1.4.1 PROPIEDADES

Si a y ib son vectores en el espacio R3 y r es un escalar, entonces

1. ||a|| > 0 y ||a|| = 0 <=> a = 0

2. ||r a|| = |r|||a||

3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (Desigualdad triangular)

4. ||a|| = || —a||

6.1.5 PRODUCTO INTERNO O ESCALAR DE VECTORES EN R 3

Si a = (at ; a2; a3) y b = (bt ; b2;b3) son vectores en el espacio R 3 , entonces

el producto interno o producto escalar de a y b es el número real definido y denotado por

a • b = axb1 + a2b2 + a3b3 (se lee "a punto ¿ ”)

Por ejemplo, si a = (5; 4; -1) y b = (2; -1; 3), entonces

d-b = 5(2) + 4(—1) + (-1)3 = 3



6.1.5.1 PROPIEDADES

Sean á,b y c vectores en el espacio R 3 y sea r un escalar. Entonces se tiene

1. á -b = b ■ a (Propiedad Conmutativa)

2. (r a) ■ (b) = r (a - b)

3. á - ( b ± c ) = d- b ± á - c (Propiedad Distributiva)

4. a • a = ||al|2 ; a ■ a = 0 <=> á = 0

5. ||a + ¿||2 = Hall2 + ||£||Z + 2a-b

6. ||a — b\\2 = Hall2 + ||fe||2 - 2a • 5

7. ||a + b ||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (Ley del paralelogramo)

6.1.6 ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES

Sean a y b vi

espacio R 3. El ár

a y b es el ]

9 (0 < Q < n) del

partir de un mismo

Teorema 1 Si 9

vectores no nulos

entonces

áeos 6 = —

Ha

Demostración Ejercicio para el lector

Observación 2 Del teorema 1 se deduce que una forma alternativa para calcular

el producto escalar de los vectores á y b es

a-b = l|a||||£|| eos 9

setores no nulos en el

igulo entre los vectores

menor ángulo positivo

lerminado por ambos al

origen común (Fig. 6.6)

es el ángulo entre dos

á y b del espacio R 3,

~b \y e / a

O(origen)

Fig. 6.6

278

i i L./AINWO C.1N c u t l ^ r A U . lU l I\1 LM1V1 1U1\ AL.

6-1.7 VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES

Dos vectores no nulos a y b en el espacio R 3 son ortogonales o perpendiculares si el ángulo determinado por ambos es de 90c

Teorema 2 Dos vectores no nulos á y b en el espacio R 3 son perpendiculares si

y solamente si á-b = 0

Observación 3 Sean á y b vectores no

nulos en el espacio R 3. De la figura 6.7

se tiene:

u a 1 ¡b <=> ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“

(Teorema de Pitágoras)

ií) á I b «=> ||a - b ' f = ¡|a||2 + ||fc||‘

Kjemplo 2 Halle el ángulo que forman los vectores d = (12 ;0 ;-6) y

/') = (—6; 0; 3)

Solución

a ■ b -72 + 0 - 18 -90 -90eos 0 = ----— = — ---------= -------- = ----= — i => q — n

l|a||||¿|¡ v l80v45 2V45V45 90

Kjemplo 3 Calcule el producto escalar de los vectores a y b si se sabe que

forman un ángulo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6V3

Solución

á -b - l|d||p|| eos 30° = 4(óV3) = 36

Kjemplo 4 Sean a y b dos vectores que forman entre sí un ángulo de 45° y

¡|a|¡ = 3. Calcule |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a.

Solución

Puesto que el vector a — b e s perpendicular al vector a. se tiene

(a - b) ■ á = 0 <=* á - a = b ■ a <=> ||a||2 = ||¿>||||a|| eos 45°

» 9 = ||¿||(3)(-^j ~ ¡|¿|| = 3V2

Áa + b /r

b b

a

Fig. 6.7



Ejemplo 5 Sean a ,b y c vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.

p|| = 2V3 y ||c|| = 2. Sabiendo que los vectores a y b forman un ángulo de

30°, los vectores b y c un ángulo de 6QC y los vectores a y c un ángulo de

90°, calcule

a) a- (b + c) b) ||a - c||

Solución Tenemos

a) á-(b + c) = á-b + d-c = HallpH cos 30° + ||a||||c]| cos 90°

= 6 (2 V 3 )^ ~ j + 6(2)(0) = 18

b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2a • c + |lc|l2 = 36 - 2||a||l|c|| eos 90° + 4 = 40

De donde se obtiene

||a - c|| = V4Ó

6.1.8 COMPONENTE Y PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR

EN LA D IRECCIÓN DE OTRO VECTOR

Sean a y b vectores no nulos en el espacio K3

Al vector OM (Fig. 6.8) se llama vector proyección ortogonal de a sobre b y

se denota como

OM = Proy ¿a

En el siguiente teorema veremos el procedimiento para determinar este vector


Teorema 3 Sean a y b vectores no nulos en el espacio K3, entonces

¡1) El vector proyección ortogonal de a sobre b es el vector dado por

d - úProy ra = b =

P W I I

b) Al escalar que multiplica al vector unitario ~ se denomina

componente del vector a en la dirección b (se denota Comp5a), es decir,

~ a-bCompga =

Ejemplo 6 Halle el vector proyección ortogonal de a sobre b y la componente

del vector a en la dirección b de los vectores a = (5; 0:4) y b = (2; - 1; 2)

Solución

El vector proyección ortogonal de a sobre b es el vector

-— . _ / a • b\ r /10 + 0 + 8\

s a = F F v — 9 — J ( 2 : ~ 1 ; 2 ) = 2 ( 2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4 ; _ 2 ;

^ componente del vector a en la dirección de b es el escalar

a ■ b 18

6.1.8.1 PROPIEDADES

Compga = = — = 6

Sean a ,b y c vectores no nulos en el espacio K3 y k un escalar cualquiera distinto de cero. Entonces

I. Proy¿(a ±b) = Pro y ¿"a ± Proy ¡ b

2. Proy¿(ka) = k Proyc-a

3. Proy(fcf)a = Proyc-a

4. Comp¿(a ± b) = Compra ± Compró

5. Comp^fca) = kComp¿a

, n ( Compra , si k > 0

' C - W Í - c ün, p , i , si K ,


Ejemplo 7 Sean a y b vectores en el espacio R 3 que verifican a + 3b = 0 y

compga = -6 . Calcule el valor de A = 5(3a + 2b) • (3a — 2b)

Solución

Como a = -3b , entonces los vectores a y b tienen sentidos opuestos. Luego,

el ángulo que forman estos vectores es 9 = rr. Además,

||a|l = 11-3511 - 3||b|| (1)

Por otra parte, •


á-b Ha || b I eos tiCompga = = ---- ¡r^----= -||a|| - -6 =* ||a|| - 6 (2)

' W M IReemplazando (2) en (1) obtenemos ||5|| = 2

Ahora bien, usando las propiedades del producto escalar resulta

A = 5(3a + 2b) • (3a - 2b) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5[9(36) - 4(4)]

= 1540

Ejemplo 8 Dado el triángulo de vértices ¿4(5; 2; 3), B(8; 2 ;-1) y C(3;3;5)

a) H a lle las componentes del vector Proy-^MN si se sabe que el vector MN es

paralelo al vector AC , donde M está sobre el lado AB, N sobre el lado BC y

\\MN\\ = 18

b) Calcule X — 5 (AC ■ üjg + -Com p^j4 flj

Solución

Sean los vectores AB = (3; 0; -4) y AC = (-2; 1; 2)

a) Como MN || ~AC, entonces Proy ^M N = MN. Además,

WÑ - kAC — k (—2; 1; 2) (k > 0)

Por otra parte, |¡MW|| = V9k2 = 3fc = 18 => k = 6

Por consiguiente, ProyjgMN = 6(—2; 1; 2) = (—12; 6; 12)

b) Aquí tenemos

AB 1 N 3 ^ 4^

^ " p f ¡ “ 5 C3: 0; _ 4) " (5 ; ; 5

__ , AB-AC - 6 - 8 14c o m p á s = - ™ - = — ó— - - y

\\AC\\Luego resulta

/__ , 3 __ a ( 14 14\A = 5 yAC • Ujg + - Com p^ylñJ = 5 ( - y - y j = -28

282

Ejemplo 9

a) Ln el triángulo ABC que se muestra en la

figura adjunta se tiene ,4(3; 1; 1) y

Proy¿¿AB = (2; —1; 5). Determine las

coordenadas del punto M , que es el pie de

la perpendicular trazada del vértice B al

lado AC.

Ii) Si se sabe que los vectores unitarios

u y v forman un ángulo de 120° y los

Rectores w y v un ángulo de 90°,

calcule el valor de ||Proy¡5(4u + vv) j|

Solución

,1) Utilizando la definición de la proyección de un vector sobre otro, tenemos

AM = ProyÂB = (2; -1; 5)

<=> Om - 3; yM - l ; z M - 1) = (2; —1; 5)

«=> xM = 5 ,yM = 0 A zM = 6

Por lo tanto, las coordenadas del pie de la perpendicular trazada del vértice B al lado AC es M (5; 0; 6)

I)) Tenemos ||u|| = ||i?|| = 1, ü-v = ||u||||v|| eos 120° = - ^ y w - v = 0. Así,

-— • ( (4u + vv) ■ / i NProyp(4u + w) - I ---------- I v = (4u • v + w ■ v)v = 4 -J = - 2v

Por lo tanto, el módulo buscado es

J| Proy^j (4u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2

(.1.9 PRODUCTO VECTORIAL

Sean a = (a1;a 2; a3) y b = (b1;b2;b3) dos

vectores en el espacio R 3

Se denomina producto vectorial de los vectores

d y b al vector que es perpendicular al plano que

l ontiene a los vectores a y b y se denota con

ti x b. Antes de dar su definición precisa, es

1 onveniente tener en cuenta la siguiente

observación.


B


Observación 4 Los vectores unitarios que siguen el sentido positivo de los ejes

coordenados son


i = (1; 0; 0), / = (0; 1; 0) y k = (0; 0; 1)

A estos vectores también se Ies llanta vectores

de la base canónica en R 3

Los vectores unitarios T , j y k se utilizan

para representar cualquier vector del espacio

R 3 en su forma algebraica. En efecto, si

a = (a-L; a2; a3) , entonces se tiene

a = (ai, a2; a3) = (ax; 0; 0) + (0; a2; 0) + (0; 0; a3)

= ax(1; 0; 0) + a2(0; 1; 0) + a3(0; 0; 1) = axí + a2j + a3k

Luego, todo vector a = (a1(- a2; a3) se puede escribir en su forma algebraica

cí = ax í + a2J + a3k

Ahora podernos expresar el vector á x b en términos de los vectores í , / y k

mediante el siguiente determinante de orden 3 x 3

a x b =T j k

a l a 2 a 3

b, b2

\ a 2 a 31 |a l a 3

¿1 b3\J + b:al a2|

= (a2¿3 - a3b2)i — (axb3 - a ^ ) ] + (axb2 - a ^ k

= (a2¿3 - a3b2; a3bx - ax¿3; ax¿2 -

Se verifica fácilmente que a • (a x 6) = ¿ • (a x ¿) = 0, es decir, el vector

d x b es perpendicular a los vectores a y b.

Ejemplo 10 Considerando los vectores a = ((1 ;—1; 1) y b = (2;0; 1), halle

un vector que sea perpendicular tanto a a com© a b

Solución

El vector que es perpendicular a ambos vectores, es el vector d x b. Así tenemos

a x b =l J k

1 -1 1

2 0 1

-1 11

0 II|1 lf - |1 12 i r I2

\k = -1 + j + 2k

284


6.1.9.1 PROPIEDADES

Si'an a, b y c vectores en el espacio R 3 y k cualquier escalar. Entonces

I a x b = —b x a (Propiedad Anticonmutativa)

a x (b ± c) = (a x b) ± (á x c)), „ > Leyes distributivas

t. {a + b ) x c = a x c + b x c J

l k a x b = a (kb ) = ka x b

V a x á = 0

><. ñxb=Q<=>á\ \ b

/. a ■ (a x b) = 0

S.. b ■ (a x b) = 0

'). ||a x ¿|| = ||a||||¿|| sen 6, donde Q es el ángulo entre a y b

10. ||a x ¿||2 = ||a||2||¿||2 - (a • b)2

11. Si a l i y a l c => a | | ¿x c

12. X x J = k , j x k = l , k x~i = J

6.1.10 APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

6.1.10.1 ÁREA DE UN PARALELOGRAM O

Sean á y b vectores no nulos y no paralelos en el espacio R 3 . Ahora,

consideremos que estos vectores son los lados de un paralelogramo, tal como se

muestra en la figura 6.10. El área A 7 del paralelogramo es

A = (base) • (altura) = (||a||)(||6||sen 9) = ||<T x 1>|| u 2

Fig. 6 .1 0

285

Fig. 6.11

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6.1.10.2 ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Sean a y b dos vectores no nulos y no paralelos en el espacio

triángulo determinado por lós vectores a y b (Fig. 6.11) es

, _ 11“ X 11 -.2

El área del

6.1*11 EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO M IXTO DE

VECTORES

Sean á = (a1;a 2;a3), b = (£ > !,- ¿?3) y c = (c1;c2;c3) vectores en el espacio

R 3. El triple producto escalar de los vectores d, b y c está definido y denotado

por

a. (b x c) ~

a l a 2 a 3

¿1 ¿2 ^3

c \ c 2 c 3

Ejemplo 11 Dados los vectores a = (1; -1; 1), b = (0; 2; -1) y c = (1; 0; 2),

halle á ' ( i x c )

Solución

Por la definición, se tiene

1 - i 1

á • (b x c) = 0 2 -1

1 0 2

= 4 + 1 — 2 = 3

_ i | 2 - l | _ r_ n |0 -l| + i|0

lo 2 1 l l 2 I l l

6.1.11.1 PROPIEDADES

Sean a, b y c vectores en el espacio M3

1. El triple producto escalar de los vectores a , b y c es independiente del

orden circular de la operación, es decir,

a • (b x c) = b • (c x a) = c • ( a x b )

2. Los vectores a, b y c son coplanares (están en el mismo plano) si y

solamente si á ■ (b X c) = 0

3. Si a ■ (b x c) = 0, entonces uno de los vectores es el vector nulo o dos de'los

vectores son paralelos o los tres vectores son coplanares.

RECTAS Y PLANOS' EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6.1.12 APLICACIÓN DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

6.1.12.1 VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO

'i-nn á — AB, b AD y c = AE vectores determinados por las a r ism

adyacentes de un páralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 6.12).

d a d o ^ r 11 V? de‘ Para,elepípedo A r m iñ a d o por los vectores á, b y c está

VP = \d-(bx C)| = \AB-(ADx AE)| u 3

Fig. 6.12 ----Fig. 6.13

6.1.12.2 VOLUMEN DE UN TETRAEDRO

Sean a = AB, b = AC y c = AD vectores determinados por las aristas adyacentes de un tetraedro D- ABC (Fig. 6.13).

Ll volumen VT del tetraedro determinado por los vectores a , b y c está dado por

VT = -\a-(b x c)| =^\AB-(ACxAD)\u3

Kjemplo 12 El vector de posición a se encuentra en el plano y2 y el vector de

'!0S',C n * y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120°.II&II = v27 y ||¿|| = 8, halle el vector a x b

Solución

Dado que d = (0; a2; a3) y b = (0; b2; 0) (b2 < 0), se tiene

') ||6|| = = 8 => b2 = -8 => b = (0; -8; 0)

í¡) l|5 x ¿|| = ||a||p||sen 120° = V27 (8) = 36


TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1!

iii) á x bl J k

0 a2 a3

0 - 8 0= (-8a3; 0; 0)

De ii) y iii) se obtiene ||a x b|| = J64a3 = 36 =» a3 = ±-

Por lo tanto, el vector es a x b = (±36; 0; 0)

Ejemplo 13 En el paralelepípedo que se muestra en la figura adjunta se tiene

A( 1; 1; 1), B(3; 1; 1), C(3; 4; 1) y E (3; 1; 5)

Calcule: ^

a) El área del paralelogramo CDHE

b) El volumen del tetraedro de vértices A,

B, C y H.

Solución

a) De la figura se obtiene

CD = BA = (—2; 0; 0), CE = (0; —3; 4). Entonces

CD xC S =? J k

-2 0 0

0 , -3 4

(0; 8; 6)

Luego, el áreft paralelogramo CDHE es

A ^ = ||CD X C£|| = V82 + 62 = 10 u 2

b)' De la figura resulta H (l; 1; 5), entonces

BC = (0; 3; 0), BA = (-2; 0; 0) y &H = (-2; 0; 4). Luego,

BC x 5/1i J k

0 3 0

-2 0 0

= (0; 0; 6)

Por tanto, el Volumen del tetraedro H-BCA es

VT = \\~BH- (BC x f íl)| = \\24\ = 4 u 3 6 6

Ejemplo 14 Dados los puntos >1(1; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 2) y D{x\ 0; 0)

a) Determine el vector á , si se sabe que es perpendicular al plano que contiene

al triángulo ABC y que ||a|| = 14 u

b) Si el volumen del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determine las coordenadas del

punto D.

288

Solución

a) Los vectores AB = (—1; 3;O) y AC = (—1; 0; 2) se encuentran en el mismo

plano del triángulo ABC, entonces


AB x AC =i j k

- 1 3 0- 1 0 2

(6; 2; 3)

Como a \\AB x AC *=* a = kAB x AC = (6k\ 2/c; 3k).

Puesto que ||a|| = 14, entonces

||a|| = V36fc2 + 4k2 + 9k2 = 14 <=> 7|fe| = 14 <=> k = ±2

Por tanto, a = (12; 4; 6) V a = (-12; -4; -6)

b) Los vectores aristas adyacentes del tetraedro C-ABD son

AB = (-1; 3; 0), AD = (x — 1; 0; 0) y AC = (-1; 0; 2)

El triple producto escalar de estos vectores es

__ - 1 3 0AB ■ (AD x AC) = x - 1 0 0 = -6(x - 1)

- 1 0 2Dado que el volumen del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene

1,— _ — . 1 Vt =-\AB • (ADxAC)l = — \—6(x — 1)| = \x - 1| = 3

o 6

Por consiguiente, D (— 2; 0; 0) V D(4;0;0)

-2 V x = 4

Ejemplo 15 Con los puntos i4(8;0;0), C(4; — 1; 1), D(6; 0; 5) y B (punto del

primer octante) se forma un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores AS,

AC y AD

a) Calcule el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos ¿4, C y

D.

b) Sabiendo que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el volumen

del paralelepípedo es de 44u3, determine las coordenadas del punto B.

Solución

a) Dado que los vectores adyacentes que forman la cara ACHD (paralelogramo)

del paralelepípedo son AC = (-4; -1; 1) y AD = (-2; 0; 5), entonces

A C xA D =i

-4

- 2J k

-1 1

0 5

= (-5; 18;-2)

Luego, el área de la cara del paralelepípedo es

= \\AC x AD\\ = V25 + 324 + 4 = V353 u 2



b) Como AB II ñ — (1; 1; 1) =* AB = kñ = (fc; k ; k) (fc > 0). Luego,

k k kAB ■ (AC x AD = -4 -1 1

-2 0 5

= 11*

Puesto que el volumen del paralelepípedo es 44u3 , entonces se tiene

VP = \AB-(ACx AD)| = |llfc| = 44 <=> k = 4

Por tanto, de AB = (4; 4; 4) resulta B = (12; 4; 4)

Ejemplo 16

a) Si los vectores a , ¿ y e son unitarios y satisfacen la condición:

a + b + c = 0, calcule el valor de M = a -b + b ■ c + a ■ c

b) Los vectores a y b son tridimensionales y forman un ángulo de 30°. Si

||a|| = 4 , ||¿|| = 6, utilizando el álgebra vectorial, calcule el área del

triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b .

Solución

- » 2a) Dado que a + b + c = 0 => ||a + b + c|| = 0 <=> ||a + b + c|| = 0

<=> ||a||2 + ||¿|| + ||c||2 + 2a ■ b + 2a ■ c + 2b • c = 0 (*)

Como los vectores a ,b y e son unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1

Reemplazando estos valores en (*) se obtiene

l + l + l + 2a-b + 2 á 'C + 2b-c = 0 = * M = á- b + á- c + b- c = -

b) El área del triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b es

¿a = j\\a x ¿|| = ^||o||||¿||sen(30°) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2

Ejemplo 17 Los puntos ^1(4; 2; 0), 5(4; 8; 0), D (—2; 2; 0) y H (—2; 4; 8) son

los vértices del paralelepípedo ABCDEFGH

a) Calcule su volumen

b) Determine la altura del paralelepípedo

Solución

a) Los vectores de las aristas adyacentes del paralelepípedo son

AB = (0; 6; 0), AD = (-6; 0; 0) y AE = DH = (0; 2; 8)

290

M|

00


Luego, el volumen del paralelepípedo es

0 6 0V = \AB • (ADxAE)\ = -6 0 0 = |288| = 288 u3

0 2 8

b) Tenemos

AB xAD =í f k

0 6 0- 6 0 0

= (0; 0; 36)

Así, el área del paralelogramo ABCD es A¿? = ||AB x AD|| = 36 u 2

Puesto que el volumen del paralelepípedo ABCDEFGH es

VP - (área de la base)(altura) = (36)(¿) = 288 => h = 8 u

Observación 5 Sean P^x^, yt ; z j y P2(x2',y2'. 2) los extremos de un segmento

P\P2- Entonces las coordenadas del punto P(x; y; z) que divide al segmento en

PXPla razón dada r = —-= ( r í - 1 ) son

P °2X1 + rx2

1 + ry =

y 1 + ry2

1 + rz =

Zj + rz2

1 + r

Observación 6 Si M (x; y; z) es el punto medio del segmento cuyos extremos

son los puntos P ife ; yx; zx) y P2{x2, y2, z2) , entonces

X, + x.x =

y i+ y 2z =

Z1 + z 2

Ejemplo 18 Dados los puntos Pi(5; 7; 9) y P2(3; -5; -7) , halle los puntos de

trisección del segmento PXP2

Solución

Sean A1(x1;y1;z1') y A2(x2, y2\z2) los puntos de trisección del segmento P1P2

P A 1Para encontrar las coordenadas del punto Av la razón es r =

Luego, por la observación 5 se tieneAP,

x1 =5 + ^ (3 ) 13 7 + i ( - 5 )

1+\ 3 ' y\ = 3, zt =9 + ¿C-7) 11

1 4- • 1 +;

PtA2 2Analogamente, para el punto A2 la razón es r = —— = - = 2

A2P2 1

Por consiguiente, las coordenadas del punto A2 son

*2

5 + 2(3) 11

1 + 2 3 ' yz

7 + 2(—5)

1 + 2 = -1, z2 =9 + 2(—7)

l"+ 2


1. Exprese el vector a como la suma de un vector paralelo b y un vector

ortogonal a b , si á = (2; 1; -1) y b = (1; 4; -2)

2. Halle el ángulo entre los vectores a = (3; 1; 2) y b = (1; 1; 2)

3. Si el ángulo que forman los vectores a y b es de 45° y ||a|| = 3, halle el

módulo de b para que a + b forme con a un ángulo de 30°.

R. 3 (V2+ V6)/2

4. Sean a y b dos vectores unitarios en R 3. Demuestre que á + b es un

vector unitario <=> el ángulo formado por ellos es de 120°.

5. Dado el paralelogramo ABCD, E está a 2/3 de la D F C

distancia de B a C y F es el punto medio de CD.

Halle r y s de modo que YF = r ~AB + s ~AC

R. r = -1/2, 5 = 1/3

6. Sean a ,b y c tres vectores de módulos r, s y t respectivamente. Sea a el

ángulo entre b y c, B el ángulo entre a y c y y el ángulo entre a y b

Pruebe que el módulo S de la suma de tres vectores está dado por la fórmula

S2 — r 2 + s2 + t2 + 2st eos a + 2rt eos/? + 2rs cosy

7. Si a = (1; 3; 2) , b = (1;-1; 3) y c = (2; 3; —4}

i) Hálle el área del paralelogramo determinado por a y b

ii) Halle el área del triángulo determinado por a y c

iij) Halle el volumen del paralelepípedo determinado por a ,b y c

S. Los vértices de un triángulo son los puntos 4(1; 2; 3), 6(0; 2; 1) y

C(—1; -2; -4). HaJle el área y el perímetro del triángulo.

9. Los vértices de un tetraedro son los puntos ,4(2; 1;0), 5 (1 ;-1;1),

C(3; 4; 2) y D (0; 0; -1) . Calcule el volumen del tetraedro.

10. En el triángulo de vértices i4(3; 0; 0) , 5(0; 4; 0) y C(0; 0; 5) , halle

i) Las longitudes de cada mediana

i i) Las longitudes de cada altura

iii) El centro de gravedad del triángulo

11. Sean P(3; 1; —1) y Q(4; —1; 2) . Halle las coordenadas del punto R que se

encuentra en la prolongación de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.


EJERCICIOS

292

13. Un auto recorre 20km hacia el norte y después 40V2 en una dirección 60° al

oeste del norte. Halle el vector desplazamiento resultante del auto y su

longitud.

R. f = (-20; 40) y ||r+J = 20V5 km .

14. Sean a y b son vectores en el espacio R3 que verifican: a + 2 b = 0 y

compra = —8. Determine el valor deAÍ = 2 (a + 3 fo )- (a — 3 b ).

R .M = -160.

15. Dado el triángulo de vértices ^4(2; — 2 ; 4 ) ,ñ ( 4; 2; 6 ) y C( 4; 8; 10 ).

a) Halle el vector unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el

lado AC y N sobre el lado BC.

b) Determine las componentes del vector MN, si se sabe que MN ■ AC = 56.

R. WÑ = (2; 4; 2 ).

16. En la figura adjunta, M y N son los centros de las caras GDEF y OAFE

respectivamente.


Si ||p|| = 10 y ||q|| = 4V l3 , determine las componentes del vector 2 p - 3 q.

R. 2 p - 3 q = (34; 16; 48)

17. Sean a,b ,c y d vectores unitarios en el espacio R3. Si se sabe que los vectores

a y b forman un ángulo de 60° y los vectores c y d un ángulo de 120°, halle:

a) Compg(4 a ) b) Proy4¿( 4 a ) c) ( Proy2 ¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d

R. a) 2 b) 2 b c)2.

18. El vector posición a se encuentra en el plano yz y el vector posición b sobre el

eje y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120". Si ||a|| = V27 y

\\b\\ - 8, halle las componentes del vector á x /;.

R. ( ±36;0;0).

19. Sean a,b y c vectores no nulos tales que ||d|| = 3, ||¿|| = 1, ||c|

a + b + c = 0. Calcule el valor de A = á - b + b- c + d- c.

R .—13

4 y


20. Dados los puntos: j4(8; 0; 0), C(4; — 1; 1), D(6; 0; 5) y 5 un punto del primer ociante.

a) En el espacio R3, grafique el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores

AB, AC y AD.

b) Calcule el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos A, C

y d .

c) Si se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el volumen

del paralelepípedo es de 44ií3, determine las coordenadas del punto B.

R. b)V353 u2 c).B(12:4;4).

, 19. a) Dado el triángulo de vértices 4(3; 1; 1), 5(2; 1; 4) y C(5; 4; 6). Halle las

componentes del vector P roy^ MN, si se sabe que el vector MÑ es

paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado

BC y ||M77|¡ = V38/3.

b) Dados los vectores a = ( 2 ;- l ; l ) , ¿ = (- 2 ;l;2 ) y r = (4 ;3 ;- 3 ) .

Calcule 6(a -üj¡) + VSíComp,? b.

R. a) (2 /3 :1 ; 5 /3 ) b) -17.

21. Dados los puntos A(2; 4; 3), 6(4; 5; 5) y C(— 1; 4; 0).

a) Halle dos vectores unitarios perpendiculares simultáneamente a los

vectores AB y AC.

b) Sea M un punto interior del segmento AC tal que d(A;M ) = \ d(A-,C).

Si Q(— 1; 4; 2), determine si el ángulo formado por los vectores QC y QM

es agudo o no.

R. a) i¡ = ( + 1/\Hl ; 0; ± 1/V2 ) b) Es agudo

22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio R 3 ales que a = 2 r. |[c|¡ = 2 y

b ■ c = 4. Si se sabe que los vectores b y c forman un ángulo de 60°. halle

la longitud del vector V3 a x b ^ 5 a x c.

23. Sean a, b y c vectores no nulos en el espacio R 3 tales que ||c|| = 4. Proy¿- b =

b y Proyg+(? a = 0. Si se sabe que los vectores a y b son Ui’itarios, halle el

módulo del vector á x b i- a X c . P..2S

25. Dados los puntos ¿4(—1; 5; 3) y 6(0; 3; 1).

a) Halle dos vectores unitarios paralelos al vector AB .

b) Determine dos vectores unitarios perpendiculares al vector AB y paralelo

al vector b = (1; 1; - 1/2 ) .

R. a) w = (± 1/3 ; + 2/3 ; + 2/3 ) b) ü = (± 2/3 ; ± 2/3 ; + 1/3 )

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [f

294


(>.2 RECTA EN EL ESPACIO

6.2.1 ÁNGULOS, COSENOS Y NÚMEROS DIRECTORES DE UNA

RECTA

Definición 1 Sea L una recta en el

espacio R 3. Se llama conjunto de

ángulos directores de la recta L al

conjunto ordenado {a, [i, y}, donde a,

¡i, y son *os ángulos que forma la recta

L con los rayos positivos de los ejes de

coordenadas x, y A z respectivamente

(Fig. 6.14)

Los ángulos directores toman valores

entre 0o y 180°, es decir,

0C < a,P ,y

Observación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define como

el ángulo formado por rectas que se intersecan y que, al mismo tiempo son

paralelas a las rectas dadas.

Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos

conjuntos de ángulos directores que son:

{a , p, y ) y {180°- a , 180°-/?, 180p - y }

En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación.

Definición 2 Los cosenos de los ángulos directores de una recta se llaman

cosenos directores de la recta.

Una recta tiene dos conjuntos de cosenos directores.

(eos a, eos /? , eos y} y {-eos a , -eos/?, -eos y}

Observación 8 Dos rectas son paralelas si y solo sí tienen los mismos cosenos

directores.

Definición 3 Un conjunto [a; b; c] es llamado números directores si existe una

constante fe ^ 0 tal que

a = k e o s a, b = k c o s p , c = k c o s y

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6.2.1.1 EXPRESIÓN DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA

QUE PASA POR DOS PUNTOS

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ¡I

Sea L una recta que pasa por los

puntos y P2(xz-,y2-,z2)

y sean d = ||PXP21| y a > Y l°s

ángulos directores de L.

Los cosenos directores de la recta L

que pasa por los puntos Pj y P2 son

\--

cos a — -, eos /? =y z - y i

cosy =z2 - z x

Fig. 6.15

Si la recta L está orientada en el sentido de P2 a Px, entonces los cosenos

directores de la recta son

x2 - x 1 y2 — yx z2 - Zicosa = ---- — , cos/? = ---- — , cosy = -----—

donde d es la distancia entre Pr y P2

64.1.2 RELACION ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA

RECTA

Si elevamos al cuadrado cada una de las expresiones de los cosenos directores de

la recta L que pasa por los puntos Px y P2 y sumamos, se obtiene

2 , 2 n i 2 (x 2 - x ) 2 + ( y 2 - y O 2 + (z 2 - z j 2 d2cos*a + eos ¡s + cos¿y = ---------

d2 d2

Por lo tanto, una relación fundamental entre los cosenos directores de una recta es

cos2a + eos2 ¡3 + cos2y = 1

Ejemplo 19

a) Halle los cosenos directores de una recta determinada por los puntos

Z3! (1; 0; 2) y P2(3; 2; 3) y dirigido de Pt a P2

b) Si {45°, 60°, y} es un conjunto de ángulos directores de una recta, calcule

los posibles valores del ángulo y

296

Solución

a) La distancia entre P1 y P 2 es d = V4 + 4 + 1 = 3. Luego, los cosenos

directores de la recta que pasa por Pt y P2 son

3 - 2 1 2 1eos a = —-— = - , eos B = - , eos y = -

3 3 F 3 3

b) De la relación entre los cosenos directores de una recta, se tiene

1 icos245° 4- cos260° + cos2y = 1 => eos 2 y = - => eos y = ± -

De donde resulta eos y = 60° V y = 120°

6.2.2 ECUACIONES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO K3

Una recta es un conjunto de puntos que se desplazan en el espacio R 3 en una

dirección constante (Fig. 6.16)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

6.2.2.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA EN EL ESPACIO K3

Sea L una recta que pasa por el punto Pn(xn;y0; z0) y sigue la dirección dei

vector a =-(a1;a 2;a 3) (Fig. 6.17;. El vector a se llama vector dirección.de la

recta L.

Sea P(x;y\z) un punto cualquiera de la recta L. Entonces PaP es paralelo al

vector a, luego existe t e M tal que P0P = ta <=> P = P0 + ía , t £ R

Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta L es

i : i | L:(x ;y ;z) = (x0;y0;z0) + tá , t e R j


Ejemplo 20 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos

/»,(3 ;2 ;- l ) y P2(5;-2;4)

Solución


El vector dirección de la recta que pasa por P1 y P2 es a = P1P2 = (2; —4; 5)

Tomando el punto P*(3 ;2 ;- l) como P0, la ecuación de la recta es

L: (* ;y ;z ) = (3 ;2 ;- l) + t(2 ;-4 ;5 )

6.2.2.2 ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA RECTA EN EL ESPACIO

De la ecuación vectorial de la recta L: (x;y;z) = (x0;y0<'zo) + se tiene que

cualquier punto P(x ; y;z) E L verifica la igualdad

O ; y; z) = (x0; y0; z0) + ¿0%; a2; a3)

Luego, de la igualdad de vectores resulta

Ix = x0 + tax

y - y0 + ta2

z = z0 + ta3

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa

por el punto P0(x0; y0; z0) y es paralela al vector a , y t se llama parámetro de

la ecuación.

Ejemplo 21 Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

P1(2;3;4) y P2(—1;-3;2)

SoluciónEl vector dirección de la recta es a = PXP2 = (-3; —6; -2). Así, las ecuaciones

paramétricas de la recta son

(x = 2 - 3 1

L: y = 3 - 6 t , tE

z = 4 - 2t

6.2.2.3 ECUACION SIMETRICA DE UNA RECTA EN EL ESPACIO

Sea L una recta cuyas ecuaciones paramétricas son

x - x0 + tax

L\ y = y0 + ta2 , tE R

z = z0 + ta3

Si ninguno de los números ax ,a 2 y a3 es cero, entonces despejando t de cada

una de las ecuaciones paramétricas e igualando los resultados se obtiene

x - x 0 y - y o z - z QL\ ---- = -----= ----- (*)

a l a 2 a 3

298

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones simétricas de la recta L que pasa por el

punto P0(x0; y0; z0) y es paralela al vector á = (a1;a 2;a3). Las componentes

del vector a1 ,a 2 y a 3 son los números directores de la recta L. v

Observación 9

a) Si uno de los números directores a i , a2 ó a3 es igual a cero, no podemos

usar la ecuación (*). En este caso se emplean otras relaciones

Por ejemplo, si ax = 0, la ecuación de L se escribe como

, A y -y0 z - z 0L: x — x0 A ---- = -----

a2 a3

Si a2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como

x - x 0 z - z0

L: — = — A =

Si a3 — 0. La ecuación de L se escribe como

x - x 0 y - y0L : --------- = ----- A z — z n

«i a2

b) Si dos de los números directores a, , a2 ó a3 son iguales a cero, tampoco se

puede usar (*). Por ejemplo, si a , = a3 = 0, la ecuación de la recta L se

escribe como L: x = x0 A z = z0

Ejemplo 22 Determine ¡as ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la

recta que pasa por el punto -4(1; 2; 2) y es perpendicular a las rectas

Lx\ (x ;y ;z) = (3 ;2 ;- l) + t(2; — 1;0) y

L2: (x :y ;z) = (0;-3, 0) -rs(—12; 3; 13)

Solución

Aqui el vector dirección á de la recta L que pasa por el punto A es perpendicular

a los vectores ¿ = (2 ;- l;0 ) (vector dirección de Lx) y c = (-12; 3; 13)

(vector dirección de L2). Entonces a || ¿¡ x c , donde


b x ci J k

2 - 1 0

-13 3 13

= (-13;-26;-6)

Ahora, tomando el vector á = (13; 26; 6), las ecuaciones de la recta L son:

Forma vectorial L: Qc;y; z) = (1: 2; 2) + £(13; 26; 6), t e IR

ix = 1 4- 131

Forma paramétrica L: |y = 2 4- 26t

l z = 2 4- 6t

x — 1 y — 2 z — 2Forma simétrica L: ---- = -----= ----

13 26 6


En el espacio R 3 las rectas Lx: (x;y;z) = P0 + ta y L2: (x ;y;z) = Q0 + tb

pueden tener las siguientes posiciones relativas

6.2.3.1 RECTAS PARALELAS

Las rectas y ¿2 son paralelas si sus vectores dirección d y b son paralelos.

Como consecuencia de este resultado tenemos


6.2.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

Observación 10

i) Para todo punto Px de K 3 y toda recta Lt : (x\ y; z) — P0 + t á , t E R , existe

una única recta L que pasa por el punto Px y es paralela a la recta L1

ii) Si Lt y Lz son dos rectas paralelas, entonces = l 2 ó L1 n L2 — 0

6.2.3.Z RECTAS SECANTES

Las rectas Lt y L2 son secantes si se intersecan en un único punto, esto es,

¿ i n Lz — {Po}

6.2.3,3 RECTAS QUE SE CRUZAN

Las rectas Lx y i 2 se cruzan si no se cortan y no son paralelas. Dos rectas que se

cruzan están en planos paralelos, esto es, no se encuentran en un mismo plano.

6.2.4 ANGULO ENTRE DOS RECTAS

El ángulo entre las rectas Lt\ (x ;y ;z) = P0 + ta y L2: (x ;y ;z) = Q0 + sb

(Fíg. 6.18) es el ángulo 0 comprendido entre los vectores dirección á y b

£)<¿ la definición del ángulo entre dos

Véctores, una relación para calcular el

ángulo entre las rectas y l 2 es

eos 0a ■ 0

¡|a|| b

Si el ángulo entre las rectas L, y Lz es

recto. 9C dice que las rectas son

ortogonales o perpendiculares, esto es.

300

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL '

6.2.5 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Sean PiCx^yi.Z i) un punto y

L: (x-,y;z) = P0 + ta una recta en el

espacio IR3.

Ahora, si d es la distancia del punto P, a la

recta L (Fig. 6.19), entonces

d = ||v|| sen 9

donde 9 es el ángulo que forman los

vectores a y v = P0P1

Por una propiedad del producto vectorial se

sabe que

||a x y|¡ = ||a||||i5|| sen 9 = ||a||(d)

De donde resulta

Fig. 6.19

a X V\ a x P0Pt

|a|!

Ejemplo 23 Calcule la distancia del punto ¿4(3; 2 ;-1) a la recta

L:P = (1;3; 2) + í ( —1; 2; 3 ),t € R

Solución

En este caso a = (-1; 2; 3) y v - 1\A - (2; -1; -3). entonces

a x v - (-3; 3; -3). Luego,

V 9 + 9 + 9 _ 27

V9 + 4 + 1 ^ 14

Ejemplo 24 Sean las rectas;

L^. P = (-2; 1; 0) + £(-2; 1; -1), t 6 R

L2:Q = (3; 7; 1) + s (—1; 2; 3),s 6 R

L3:x = 2 + 4t , y = -1 - 2t , z = 2 + 21

x - 9 z — 3

LS:R = (3 ;4; 0) + r(4 ;-2;2), r e IR


Determine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso

que sean secantes determine su intersección.

a) y Lz b) ¿i y l 3 c) Lx y Ls

d) l 2 y L4 e) L2 y L3 f) ¿4 y Ls

Solución

a) Como los vectores dirección á = (- 2; 1; —1) y /? = (—1;2;3) no son

paralelas, entonces las rectas Lt y L2 no son paralelas.

Supongamos que A(x;y;z) £ n L2, entonces existen valores únicos para t y s para los cuales

A = (-2; 1; 0) + t ( —2; 1; -1) = (3; 7; 1) + s (- l; 2; 3)

Por la igualdad de vectores, se obtiene

— 2 — 2t = 3 — s (1)

1 + t = 7 + 2s (2)

- t = 1 + 3s (3)

7 26Resolviendo (2) y (3) se obtiene s = - - y t = — , pero estos valores no

5 5satisfacen (1). Luego, no existe punto de intersección entre las rectas L1 y Lz, es

decir, Lx y L2 se cruzan.

En forma análoga se prueba los siguientes resultados.

b) Lx || ¿3 A ■= ¿3

c) || ¿5 A n ¿5 = 0

d) L2 ttL4 A Lx n Ls = >1(5; 3; -5)

e) L2 l/¡ L3 A ¿2 A ¿3 se cruzan

Ejemplo 25 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(3 ;l;5 ) yes

paralelo a la recta Lt : 2x — 2 = 1 — y A z = 4

Solución

En primer lugar reordenando la ecuación de la recta Lx tenemos

y — 12 x - 2 = l - y A z = 4 <=> x - 1 = — — Az = 4

—2

Luego, la ecuación vectorial de Lx es L^.P = ( l ; l ; 4 ) + t ( l ;- 2 ;0 ) , t E R

Como L || => ¿ || a , donde a = (1; -2; 0) es el vector dirección de Lx

Por tanto, la ecuación de la recta buscada es

L: Q = (3; 1; 5) + A(l; -2; 0), A £ R


302

Ejeiilpfo 26 Halle la ecuación de la recta que pasa por P0 (3; 1; — 2) e interseca

y es perpendicular a la recta Lx: x -r 1 = y + 2 = z + í


Solución

La forma vectorial de la ecuación de la

recta L1 es

Ly.Q = ( —1; —2; —1) + A( l ; 1; 1), A g R

Sea A el punto de intersección de las rectas

Lx y L (Fig. 6.20). Corno A G Lv

entonces 3 k G R tai que A(—l +

k:~2 -'r k',—1 -r k).

Por la condición de perpendicularidad

resulta

P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1)

<=> PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc + 1 = 0

«=> k = 2

Así, >4(1; 0; 1')

Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P0(3; 1; -2) y >1(1; 0; 1) es

L: P = (3; 1; -2) + t (2; 1; -3), t £ ¡R

Ejemplo 27 Determine la ecuación de la recta que pasa por P0(l;4 ;0 ) yes

perpendicular a las rectas

x + 4 2y - 1 1L1:x = 3 + t ,y = 4 + t ,z = -1 + t A L2: ----= ------ A z = -

Solución

Sea a el vector dirección de la recta

L buscada.

Un vector dirección de L2 es

v = (4; 1; 0) y el vector dirección de

es b = (1; 1; 1). Como L 1 L2 y

L l ¿ i ^ a l í y a l i

=> a || v X b = (1; -4; 3)

Luego, la ecuación de la recta buscada

es

L:P = (1; 4; 0) + t( l;- 4 ;3 ) , t £

Fig. 6.21


Ejemplo 28 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de

AH y corta bajo un ángulo de 60c a la

recta que pasa por los puntos R y S.

donde 4(2; 4; 0). 0(0; 0;-2), R (3; 3; 3)

y S (- l;3 ;3 ).

Solución

Este problema tiene dos soluciones (Fig.

6 .22 ).

El punto 'medio del segmento AB es

M( 1 ;2 ;—1) y la ecuación de la recta L-¡_

que pasa por R y S es

I Ol’ICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

p = ( _ i ; 3; 3) + t( l; 0; 0), t 6 R

Sea / el punto de intersección de L con Lr

=> / £ => 3t £ E / /(-1 4- t; 3; 3)

De la condición de que la recta L interseca a la recta Lx bajo un ángulo de 60°

resulta

eos 60“ = ■a ■ t>

, donde d = (1; 0; 0), b = M I = (t - 2; 1; 4)

t = 2 ± V17/3 => / ( I ± V J7/3 ; 3 ; 3)

Ma ll|!“ li

De donde soobtiene

1 t - 2

2 “ ^ ( t - 2)2 4- 1 4- 16

Luego, tes ecuaciones de las rectas buscadas son

L: Q = (1; 2; -1) 4- r(V l7/3 ; 1 ; 4), r £ E

//:(>' = (1;2;-1) + A (-V l7/3;1;4 ), A £ E

Ejemplo 29 Halle el punto en la recta L: P = (2; 11; 14) 4-1 (2:4; 5), t £

que equidista de las rectas

L¡: Eje x A

/,2:<2 = (1; 7; 0) 4- s(0; 0; 1), s £ E

Solución

Un bosquejo de este problema se muestra en

la Fig. 0.23.

La ecuación del eje x es

Lx\ R = (0; 0; 0) 4- í( l;0 ;0 ) , t £ E

304

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACK) TRIDIMENSIONAL

Sea A 6 L el punto que equidista de Jas rectas L, y ¿ 2. entonces

A(2 4- 2t; 11 4- 4t; 14 4- S í)

Luego,

d(>l- ¿ ) = X - í,(2 + 2 í’ 11 + 4t' 14 + 5í) X (1: ° ; °')l1Ü(l; 0; 0)|!

= a/(14 4- 5t)2 4- (11 4- 4 t)2

rfM ., _ 110^4 x 6'SI 11(1 4- 2t, 4 4- 4t, 14 4- 5t) x (0; 0; 1)||

1 2 p | | 11(0; 0; 1)||

- V(4 4-4t)2 + ( l + 2f)2

Resolviendo la ecuación que resulta de d(A; Lx) = d(A\L2) se obtiene

í = - 2 V t = -50/7

Luego, los puntos de la recta L que equidistan de las rectas y L¿ son

i4v(-2 ;3 ;4 ) y /12(—66/7 ; — 123/7 ; —152/7)

EJERCICIOS

1. Encuentre la distancia del punto Á(Z\2-,Y) a la recta que pasa por los puntos

P0( l; 2; 9) y P i(- 3 ;-6 ;-3 )

2. Si L,: P = (1;0;-1) 4- t ( l ; l ;0 ) . t £ R y L2: Q = (0; 0; 1) 4- s(l; 0; 0),s £ E,

halle la ecuación de la recta L que es perpendicular a Lt y l 2 y las interseca.

3. Determine la ecuación de la recta que interseca a las rectas

¿j: P = (1; —1; 1) + t(l; 0; —1), r £ E y L2: Q = (1; 0; 0). 4- s (- l; 1; 1), s £ K

en los puntos A y B respectivamente, de tal manera que la longitud del

segmento AS sea minima.

4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto /4(19;0;0) y corta a las

rectas Lx: P = (5; 0; -1) 4- t ( l; 1; 1), t £ K

L2: Q = (-1; 2; 2) 4- s(—2; 1; 0), S E R

5. Una recta pasa por el punto >1(1; 1; 1) y forma ángulos de 60° y 30° con los

ejes x e y respectivamente. Halle la ecuación vectorial de dicha recta.

R. L: P — (1; 1; 1) 4- t ( l ; ±V3; 0), t £ E

6. Una recta que pasa por el punto A (- 2 :1; 3) es perpendicular e interseca a la

recta P = (2; 2; 1) 4-1( 1; 0; —1), t £ E . Halle la ecuación vectorial de

dicha recta. R. Q = (-2; 1; 3) 4- 5(1; 1; 1), 5 £ E


Un plano en el espacio es un conjunto de puntos que se desplazan de tal manera,

que el vector que forma estos puntos con un punto fijo es perpendicular al vector

dirección del plano (Fig. 6.24). El vector dirección se llama vector normal del

plano y se denota con N.


6.3 PLANO EN EL ESPACIO

Observación 11 La ecuación de un plano queda completamente determinado

cuando se conoce:

i) Un punto de paso y su vector normal ó

ii) Un punto de paso y dos vectores paralelos al plano ó

iii) Tres puntos no colineales del plano

6.3.1 ECUACIONES DE UN PLANO EN EL ESPACIO

6.3.1.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE UN PLANO EN EL ESPACIO

Sea Q un plano que pasa por el punto PQ(x0-,y0;z0) y es paralelo a los vectores

a. — (a1(- a2; a3) y b = (b1;b2; b3), donde el vector a no es paralelo al vector

b (Fig. 6.25)

Sea P(x\y,z) un punto cualquiera del plano Q, entonces existen r , s £ 1 tai

que P0P = rá + sb

De donde, P - P0 = rá + sb ó P - P0 + rá + sb

Por consiguiente, la ecuación vectorial del plano Q es

I--------------------- —-------- 1

Q: (x; y, y.) - Pn + rá + sb, r , s £ E ¡

306

REC I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6.3.1.2 ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE UN PLANO EN EL ESPACIO

De la ecuación vectorial del plano Q: P = P0 + rá + sb , se tiene que cualquier

punto P(x; y ;z) £ Q verifica la igualdad, es decir

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + r ( a j ; a2; a3) + sC^; b2; b3)

Luego, por la igualdad de vectores resulta

Íx - x0 + rax + sbx

y = y0 + ra2 + sb2 , r,s 6 R

z = z0 + ra3 + sb3

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas del plano Q que pasa por el

punto P0(x0-,yQ-,z0) y es paralelo a los vectores a y b, r y s se llaman

paramétros de la ecuación.

Ejemplo 30 Halle las ecuaciones vectorial y paramétrica del plano que pasa por

los puntos P0(3 ;l;2 ) , P^Í-,-1; 2) y P2(2;0;3)

Solución

Los vectores paralelos al plano Q que pasa por

Po-Pi Y p2 son á = ~PÍ\ - (-2; -2; 0) y

b = P0P2 = (- 1 ;- i; 1)

Luego, la ecuación vectorial del plano Q es

Q: P = (3 ; l;2 ) + r (- 2 ;- 2 ;0 ) + s ( - l ; - l ; l ) , r,s 6M

y su ecuación paramétrica es:

íx = 3 — 2r — s

Q: \ y = l- 2 r - s , r,s E l

lz = 2 + s

Observación 12

i) De la ecuación vectorial del plano se obtiene que N = a X b es un vector

perpendicular al plano. En general, todo vector no nulo perpendicular al

plano es llamado normal del plano.

ii) Si N es una normal del plano Q: P = P0 + r a + sb ,r ,s 6IRL y Px y P2

son dos puntos del plano, entonces N 1 P\P2.

iii) Si N es la normal del plano Q: P — P0 + r á + sb ,r ,s 6 R y P0P1 1 N

entonces Px £ Q

iv) Si N es la normal del plano Q: P = P0 + r á + sb ,r ,s £ 1 , entonces

Q = [P(x;y;z) / Ñ.P^P = 0} y es el único plano que pasa por P0 con

normal N



6.3.1.3 ECUACION GENERAL DE UN PLANO

Sea Q un plano que pasa por el punto

Po(xo’>yo'' zo) Y cuyo vector normal es

Ñ = (A-.B-.C).

Sea P (x ;y;z) un punto cualquiera dei

plano Q, entonces

ÍVP 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0

<=* (A;B;C). (x - xQ;y - y0;z - zQ) = 0

<?=> A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Por lo tanto, la ecuación general del plano Q es de la forma

j ' " I

i Q: Ax + By + Cz + D = 0 |

Esta ecuación también es llamada ecuación cartesiana del plano.

En lo que sigue, por ecuación del plano se entenderá a la ecuación cartesiana.

Ejemplo 31

a) Halle la ecuación del plano que pasa por el punto P0(2; 3; —5) y es ortogonal

al segmento PQX , donde P(3; -2; 1) y (^ ( l; 3; 0)

b) Halle la eEttación del plano que contiene a los puntos P0, P y Qt dados en (a).

Solución

a) Sea Ñ = = (2; —5; 1) y P0(2;3;-5).

entonces la ecuación general del plano es

Q: 2(x - 2) - 5(y - 3) + l(z + 5) = 0 ó

Q : 2x - 5y + x + 16 = 0

b) De la Fig. 6.26 se tiene

á = PoQi = (-1; 0; 5) y

b = P¿P = (1; —5; 6)

Enionces Ñ II á x b = (25; 11; 5)

Tomando Ñ = (25; 11; 5), la ecuación del plano es:

Q: 25(x - 2) + U (y - 3) + 5(z + 5) - 0 ó

Q: 25x + l l y + 5z - 58 = 0

308

Observación 13 Sea Q un plano cuya normal es N y L una recta cuyo vector

dirección es á , entonces se tiene

i) L \ \ Q <=$N ± a<=*N 'á = 0 (Fig. 6.27)

ii) L ± Q « N II a (Fig. 6.28)

KbUIAS Y PLANOS bN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

L

Ñi k

1

/

Fig. 6.27 Fig. 6.28

iii) Si L II => L n Q = 0 ó L c Q

iv) L c Q =$ N 1 a y P0 e L => P0 6 Q (Fig. 6.29)

v) Si L # Q => L fl Q = / es un punto. (Fig- 6.30)

Ni k

/ Jh

Fig. 6.29 Fig 6.30

Ejemplo 32 Halle la ecuación del plano que contiene a la recta

L: P = (1; 2; 2) + t(0; 3; 1), t 6 M y el punto Q0(2; -3; 8) _

Solución

Sea N el vector normal del plano Q que

contiene a la recta L y al punto Q0 , entonces

N 1 á = (0; 3; 1) A N I P0Q0 = (1; -5; 6),

dondeP0(l;2 ;2 )


Por lo tanto, al tomar N = (23; 1; 3) como vector normal del plano Q que pasa

por el punto Q0, su ecuación es

Q: 23(x - 2) + (y + 3) + 3(z - 8) = 0 ó

Q\ 23x + y + 3 2 - 97 = 0

6.3.2 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO

En el espacio los planos

Q[: A1x + B1y + Ctz + 0 , - 0 y Q2\ A2x + Bzy + 2z + D2 = 0

pueden tener las siguientes posiciones relativas

6.3.2.1 PLANOS PARALELOS

Los planos Qx y Qz son paralelos <=> ÑQl II ÑQi » ÑQi =% :Ñq

Observación 14 Si Q, y Q2 son dos planos paralelos, entonces

0 Q1 - Q 2 (planos coincidentes)

ii) Qt fl Q2 = 0 (planos paralelos no coinCidenles)

6.3.2.2 PLANOS SECANTES

Los pianos Q, y Q2 son secantes «=» ÑQl # ÑQi <=> Q, r\ Q2 = L, donde L es la

recta de intersección de los planos. 1

La ecuación de la recta de intersección d^ los planos Q, y Q2 se escribe como

(A,x + B,y + Cxz + D, — 0

\a 2x + B2y + C2z + D2 = 0

ó L: Axx + Bty + Cxz + D, = 0 A A2x + B2y + C2z + D2 - 0

Observación 15

i) Los planos secantes Qx y Q2 son perpendiculares si y solamente sí sus

vectores normales son perpendiculares, esto es.

Plano Qx 1 plano Q2 <=> Nqi 1 ^ ' Ñqz

ii) Si Qx: AjX + B,y + C\z + Dj = 0 y Q2: A2x + B2y + C2z + D2 — 0 son

planos secantes, entonces Ia ecuación de la familia de planos que pasan por la

intersección de estos planos es

QF\ A,x + Bxy + C,z + + k(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

donde k es el paramétro de la familia.

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1

Luego. Ñ || & x P¡ÍQ¡= (23; 1; 3) ;

310

K t C lA Í > Y r L A N U S t N h L b S P A C lü 1 K lU I M b N S lO N A L

Observación 16 Las ecuaciones de los planos coordenados y de los planos

paralelos a estos son

i) Ecuación del plano coordenado xy: z = 0

ii) Ecuación del plano coordenado xz: y — 0

iii) Ecuación del plano coordenado yz: x — 0

iv) Ecuación del plano paralelo al plano xy que pasa por el punto (0; 0; k) es

z = k

v) Ecuación del plano paralelo al plano xz que pasa por el punto (0; k; 0) es

y = k

vi) Ecuación del plano paralelo al plano yz que pasa por el punto (k ; 0; 0) es

x = k

Ejemplo 33

a) Halle la ecuación del plano que contiene al punto P0(2-, 6; -1) y es paralelo

al plano Q\ 4 x - 2 y + z - l = Q

b) Halle la distancia del punto <20(2 ;- l;3 ) a la recta

L: 2x - y + z - 3 = 0 A x + 2 y - z + l = 0

Solución

a) Sea N, el vector normal al plano que pasa por el punto P0, entonces

Ñ, II ÑQ = (4; -2; 1). Así, al tomar Nt - (4; -2; 1), la ecuación del plano

Qi es

Qi. 4(x - 2) - 2(y - 6) + l( z + 1) = 0 ó 4x - 2y + z + 5 = 0

b) Para hallar la distancia del punto Q0 a la recta L, es necesario tener la ecuación

de la recta en su forma vectorial. Así, al resolver simultáneamente las

ecuaciones de los dos planos que da origen a la recta L, se tiene:

(2x — y + z — 3 = 0 (1)

|x + 2y - z + 1 = 0 (2)

Sumando (1) y (2) resulta 3x + y - 2 = 0 = > y = 2 - 3 x (3)

Reemplazando (3) en (1) se obtiene z = 5 - 5x (4)

Haciendo x = t, se tiene la ecuación paramétrica de la recta L, esto es,

x — t

L: y = 2 - 3 t , t e R

z = 5 - 5t

Luego, la ecuación vectorial de la recta L es

L: P = (0; 2; 5) + t ( l ; -3; -5), t € R


Sean v = P0Q0 = (2; —3; —2) y á = (1 ;— 3;— 5), donde P0(0;2;5).

Mmonccs la distancia del punto Q0 a la recta L es

||i; x ¿t|| _ V81 + 64 + 9 _ 22

d = l|a|| V H

Ejemplo 34 Halle la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de

los planos x —y4-2z 4-4 = 0 ,2x4-y4-3z — 9 = 0 y es paralelo a la recta

cuyos números directores son [ 1; 3; — 1 ]

Solución

La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los pianos

dados es

x — y + 2z 4- 4 + k(2x + y + 3z — 9) = 0

« (1 + 2k)x + (k - 1 )y + (2 4- 3k)z + 4 - 9k = 0

Luego N = (1 4- 2k; k — 1; 2 4- 3k) es el vector normal de la familia. Como el

plano es paralelo al vector á = (1; 3; —1), entonces IV l a «

Ñ ■d = Q <=> 1 4- 2/c 4- 3/c — 3 — 2 — 3/c = 0 => k = 2

Por tanto, la ecuación del plano descrito es

5x + y 4- 8z — 14 = 0

Ejemplo 35 Dadas las rectas Lr\ P — (1; 2; — 1) 4- t( l; 3; 1), t € 1 y

L2: Q = (5; —1; —2) 4- s(2; —1; 2),5 6 R

Halle las ecuaciones de dos planos paralelos

Q\ }' Qz de modo que

¿ i c Q y ¿2 c QzSolución

Sea N el vector normal común de los planos

<2i Y Qz => N 1 a = (1; 3; 1) y

JV 1 ¿ = (2 ;-1;2)Fig. 6.31

Luego, yv II d x b = (7; 0; —7)

Si utilizamos, el vector normal N — (1; 0; — 1) y el punto Pi( 1; 2; — 1) E Lr

como punto de paso del plano, entonces la ecuación del plano que contiene a la

recta L1 es

TOPICOS Di- CALCULO - VOLUMEN II

Qt : 1 0 - 1) 4- 0(y - 2) - l( z 4- 1) = 0 <=> Qr: x - z - 2 = 0

312

Análogamente, si usamos el vector normal A? = (1; 0; —1) y el punto

Pz(5 ;- l ;—2) G L2 como punto de paso del plano, entonces la ecuación del

plano que contiene a la recta L2 es

Qz'- 1(* - 5) 4- 0(y 4-1) - l(z 4- 2) = 0 <f=> Q2: x - z - 7 = 0

Ejemplo 36 En cada uno de los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un

plano. Determine si L es paralela o no al plano Q y halle L n Q

a) L: P = (1; -1; 2) 4-1(2; -1; 3), t 6 R y Q-. x + 5y + z 4- 1 = 0

b) L: P = (2; 0; 1) 4- t( 1; 2; -1), t é R y Q: x + 2y + 5z - 7 = 0

c) L: P = (3; -1; 0) 4- t(2; 1; -1), t e 1 y Q: 4x + 2y - 2z 4- 2 = 0 !

d) L: P — (1; -1; 1) 4-1( 1; 2; -1), t e K y Q : 3 x - y - z + 5 = 0

Solución

Si á es el vector dirección de la recta L y Ñ es la normal del plano Q , se tiene

a) a = (2; -1; 3) y Ñ = (1; 5; 1) => d ■ Ñ = 0 =* L || Q

Pará verificar si L n Q = 0 ó L c ( J , consideramos un punto P0 6 L y

comprobamos si P0 E Q ó P0 í Q . Si P0 E Q =* L c Q; si P0 g Q =>

L n Q = 0 . Para determinar si un punto pertenece a un plano es suficiente

verificar si sus coordenadas satisfacen o no la ecuación del plano.

Como P0(l: —1; 2) E L , entonces reemplazando en la ecuación del plano se

tiene 1 4- 5(— 1) 4- 2 4- 1 0 (P0 no satisface la ecuación del plano). Luego

Po $ Q •

Por tanto L n Q - 0

b) L c Q ó L CiQ = L

c) L L Q y L n Q - / ( l; —2; 1)

d) a = (1; 2; —1) y Ñ = (3 ;-1 ;-1 ) => d ■ Ñ = 3 - 2 + 1 * 0

=* L l/¡ Q => L n Q = I (un punto) =* / E L A / E Q

¡ E L => / ( I 4-1; —1 4- 21; 1 - t)

I EQ => 3(1 4-1) - (-1 4- 2t) - (1 - t) + 5 = 0 => t = -4

Por consiguiente, / (- 3 ;—9; 5)



Ejemplo 37 Por el punto >4(1; 0; 1) se traza una perpendicular al plano

Q: 2x 4- y - z - 7 = 0. Si 5 es el pie de dicha perpendicular, determine un

punto C en la recta L: P = (—1; 1; 0) + t(0; 1; 5), t e E de modo que el

volumen del tetraedro de vértices A, 5, C y D es igual a 4u 3, donde D es el

punto de intersección de la recta L con el plano Q .

Solución

En primer lugar, determinaremos el punto B.

Sea LN: P = A + s N , s G R la recta que

pasa por el punto A y es perpendicular al

plano Q. Asi,

B e L N n Q < = > B E L N A B e Q

<=* 5(1 + 2s ;s ;l - a) 6 Q

«=> 2(1 + 2s) + s — (1 - s ) — 7 = 0

<=> s = 1

De donde resulta 5(3; 1; 0)

Como D = L n Q s = $ D E L A Z) 6 Q <=> D (— 1; 1 + t; 51) 6 Q

<=> 2(—1) + (1 + t) - 5t - 7 = 0 <=* t = -2

Así, £)(—1; —1; —10)

Por otro lado, dado que C 6 L => C(—1; 1 + t; 5t). Ahora, sean

a = BC = (-4; t; 5t), b = BD = (-4; -2; -10) y c = JÁ = (-2; -1; 1)

Entonces ¿ x c = (-12;24;0) y

1 _ i y T = - | 5 . ( b x c ) ! = 4 < = > 7 |48 4- 2 4 t| = 4 < = * |2 + t| = 1 <=» t = - 1 V t = - 3

6 6

Por lo tanto, el punto es C(— 1; 0; —5) V C (- l;- 2 ;- 1 5 )

Ejemplo 38 Sean A(3; 2; 1) y 6(-5; 1; 2) dos puntos del espacio. Halle un

punto C en el plano Q: x - y + 2z - 4 = 0 de modo que AC + CB sea

mínimo.

Solución

Para que AC + CB sea mínimo, necesariamente A, B y C deben estar en un plano

perpendicular al plano Q . En la Fig. 6.33 se muestra al plano Q de canto. Si 5'

es el punto simétrico de 6 respecto al plano Q (*), entonces CB + CB' = d2 .

Luego d1 + d2 es mínimo si C es la intersección de AB' con el plano Q .


Fig. 6.32

314

KbC I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(*) Dos puntos B y B '__son simétricos respecto al plano Q, si (J es

perpendicular al segmento 55 ' en el punto medio M de ~b W

En primer lugar determinaremos M. Sea

Ln \ P = 5 + t( l; —1; 2), t e IR

la recta que pasa por 5 y es perpendicular al

plano Q, entonces M E LN y M 6 Q

=> M (—5 + t; 1 — t; 2 + 2t) y

(-5 + t) - (1 - t) 4- 2(2 + 2t) - 4 = 0

<=» t = 1 => M (—4; 0; 4)

Como M es el punto medio entre B y 5'.

por la fórmula de punto medio se obtiene

5 '(—3, —1,6)

Así, la ecuación vectorial de la recta que pasa

L: Q = (3; 2; 1) + r (—6; —3; 5), r e

Dado que C = L n Q =* C 6 L y C EQ

» C(3 - 6r,2 - 3r, 1 + 5r> A (3 - 6r) - (2 - 3r) 4- 2(1 + 5r) - 4 = 0

r = 1/7

Por consiguiente, se tiene C(15/7 ; 11/7; 12/7).

6.3.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea Q un plano cuya ecuación general es Q: Ax + By + Cz + D = 0 y

PiíXüyi'.Z i) un punto del espacio. Si d es la distancia del punto Pr al plano Q

(la longitud del segmento perpendicular trazado de P1 a Q (Fig. 6.34)), entonces

¿ H r a c o s e i ■■■•(«)

Donde P0(x0;y0;z0) es un punto del

plano Q y 9 es el ángulo entre el vector

P0Pt y el vector normal N.

por A y B' es

R

315

Fig. 6.34

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Como P0 e Q => Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

De donde D = -Ax0 - By0 - CzQ (/?)

Por otro lado,

(K pI ) - ñeos 9 - ---, (y)

Reemplazando (y) en (a) se obtiene

\A(x, - X0) + B(yx - y0) + C(zt - z0)| d = ---------- - -- -------- _ (X)

V ¿2 + B 2 + C2

Reemplazando (/?) en (A), la fórmula para la distancia del punto P, al plano Q se escribe como

\Axj_ + By1 + Czx + D\a =

tJA2 + B2 + C2

Observación 17 La distancia d entre los planos paralelos

Qx\ Ax + By + Cz + Dx = 0 y Q2: Ax + By + Cz + D2 = 0

está dada por la fórmula

d ='¡Ar + W T c 2

Ejemplo 39 Calcule la distancia del punto Px( 1;2;3) a lv in o

Q:P = (2; 1; —1) + r ( l ; 1; 1) + s (—1; 1; 0), ,r ,s 6 E

Solución

El vector normal del plano Q es Ñ = á x b = (-1; 1; 0) X (1; 1; 1) = (1; 1; -2)

Así, la ecuación del plano Q es l(x — 2) + l(y - 1) — 2(z + 1) = 0 ó

Q\ x + y - 2z - 5 = 0

Por tanto, la distancia entre ^ ( l ; 2; 3) y el plano Q es

|1 + 2 — 2(3) — 5| 4V6d =

V i + 1 + 4 3


Ejemplo 40 Encuentre la distancia entre los planos paralelos

Qi". x — 2y + 2z — 5 = 0 y Q2: 3x — 6y + 6z — 7 = 0

Solución

Para aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, es necesario que los

dos planos tengan el mismo vector normal; con este propósito dividimos la

ecuación del plano Q2 entre 3 y obtenemos las ecuaciones

Qt : x — 2y + 2z — 5 = 0 y Q2: x - 2y + 2z - 7/3 = 0

En consecuencia, la distancia entre los planos Q, y Q2 es

Ejemplo 41 La distancia del punto P (l; 0; 2) al plano Q es 1. Si el plano Q pasa

por la intersección de los planos 4 x - 2 y - z + 3 = 0 A 2x - y + z — 2 = 0,

halle la ecuación del plano.

Solución

La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los planos

dados es

. Q f : A x - 2y - z + 3 + k(2x - y + z - 2) = 0 ó

Qf : (4 + 2k)x - (2 + k)y + (k - 1 )z + 3 - 2k = 0

Per ia condición descrita, la distancia del punto P al plano QF resulta

1 |(4 + 2k) — 2{k — 1) + 3 — 2k\ _ \2k + 5|

~ V (4 + 2kY + (2 + kY + (fe - l ) 2 ~ V6/c2 + 18A: + 21

« 6k 2 + 18k + 21 = 4k2 + 20k + 25 <=> 2fcz -2 fc-4 = 0 =>k = - l V k = 2

Luego, las ecuaciones del plano Q (hay dos soluciones) son

(?!: 2 x - y - 2 z + 5 = 0 - Q2: 8x - 4y + z - 1 = 0

Ejemplo 42 Se tiene el punto P^-3-,2-,-1) y la recta L: x = 2y = z. Halle

las ecuaciones de dos planos paralelos si se sabe que uno de ellos contiene a Px y

el otro contiene a L, además, la distancia entre dichos planos es V2.

Solución

La ecuación vectorial de la recta L es L\ P = (0; 0; 0) + t(2; 1; 2), t e E


Sea Ñ = (A-, B; C) el vector normal común de los planos paralelos. Entonces, la

ecuación general del plano que contiene al punto P1(- 3 ;2 ;- l) y la del plano

que contiene a la recta L son respectivamente

Qx: A(x + 3) + B(y - 2) + C(z + 1) = 0 y

Qz: Ax + By + Cz = 0

Como el plano Q2 contiene a la recta L, entonces N = 04; B-, C) 1 a = (2; 1; 2)

*=>Ñ.a = 2A + B + 2C = 0*=> B = -2 A - 2C (a)

Ahora, utilizando la fórmula de la distancia entre dos planos resulta

\3A-2B + C\V2 = . ___ :

y¡Az + B2 + C2

<=> 2 (¿4 2 + B2 + C2) = (3A -2B + C)2 (/?)

Reemplazando (a) en (/?) se obtiene

10A2 + 10 C2 + 16AC = 49 A2 + 25 C2 + 70AC

<=> 13A2 + 18AC + SC2 = 0

<=¡> (13i4 + 5C)(A + C) = 0 <=> A = -C ó A = -5C/13

Si A = -C =* B = 0 => Ñt = (—C; 0; C) = -C( 1; 0; -1)

Considerando Ñx = (1; 0; -1) se obtiene las soluciones

x - z + 2 = 0

Q 2 : x - z = 0

Si A = -5C/13 => B = -16C/13 => Ñ¡ = (-5C/13 ; -16/13 ; C)

Para C = -13 se obtiene Ñ2 = (5; 16; -13). En este caso las soluciones son

Qx: Sx + 16y - 13z - 30 = 0

Q2\ Sx + 16y - 13z = 0

Ejemplo 43 Un plano se encuentra a una distancia de 2/7 unidades del origen

de coordenadas. Halle la ecuación del plano si se sabe que contiene a la recta

L: x = 2y = 3z - 1.

Solución

La recta L puede ser considerada como la intersección de los planos x = 2y

A x = 3z - 1. La familia de los planos que pasan por la intersección de estos

planos es

Qf : x - 2 y + k(x - 3z + 1) = 0 <=* (1 + k)x - 2 y - 3 kz + k = 0


318


Así, de la distancia del origen de coordenadas al plano QF resulta

2 \k\<=> 40/c2 + 8k + 20 = 49/c2

7 y/(l + k)2 + 4 + 9k2

«=> k = 2 ó k = -10/9

Por tanto, existen dos soluciones al problema y estas son

3x — 2y — 6z + 2 = 0 (para k = 2)

Q2. x + lQ y - 30z + 10 = 0 (para k = -10/9)

6.3.5 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

Dos planos no paralelos y Q2 forman dos ángulos (diedros) 6 y 180° - 9

(Fig. 6.35), luego es suficiente conocer uno de los ángulos. Uno de estos ángulos

es igual al ángulo que forman sus normales. Si 8 es este ángulo, entonces

eos 9 =Nr-N2

P 1I P 2I

donde y N2 son respectivamente, los vectores normales de los planos

<?i Y <?2-

Fig. 6.35

Ejemplo 44 Halle el ángulo obtuso que forman los planos

Qt : 2x — y + z — 4 = 0 y Q2: x + y + 2z - 5 = 0

Solución

Los vectores normales de los planos y Q2 son respectivamente

Ñ, = (2; —1; 1) y Ñ2 = (1; 1; 2)

Entonces

Ñi • Ñ2eos 9 =

3 1— — - = - <=> 9 = 60°VóVó 2

Luego, el ángulo obtuso entre los planos es a = 180° — 60° = 120°


TOPICOS DE C A L C U L O - V O LU M E N II

Ejemplo 45 Halle la ecuación del plano perpendicular al plano yz, que forma un

ángulo 9 = arccos(2/3) radianes con el plano Q2: 2x — y + 2z - 3 = 0 y pasa

por el punto

Solución

Sean Ñ = (¿4; B ; C) el vector normal del plano buscado, = (1; 0; 0) el vector

ftormal del plano yz (x = 0) y Ñ2 — (2; —1; 2) el vector normal del plano Qz

Como el plano buscado es perpendicular al plano yz (N 1 Nt) y forma un ángulo

9 con el plano Q2 , entonces se tiene

Ñ. Ñt = 0 =*> A = 0 (1)

Ñ ■ Ñ2 2 A - B + 2Ceos 9 = „ = ........... — (2)

\\N\\\\N2\\ Ví42 + B2 + C2.V9

Reemplazando (1) en (2) se obtiene

2 _ 2C - B

3 _ 3VS2 + C2

De donde 4(B2 + C2) = 4C2 -ABC + B2 «=> 3B2 + ABC = B(3B + 4C) = 0

<=> B = 0 ó B = -4C/3

Si B = 0 entonces Ñ - (0; 0; C) = C(0; 0; 1). Luego, la ecuación buscada del

plano que pasa por el punto P1(0;1;1) es

Qi. 0(x - 0) + 0(y - 1) + l( z - 1) = 0 ó Qi- z = 1

Si B — 4C/3, entonces Ñ = (0; — 4C/3 ; C) = — (C/3)(0; 4; — 3). Luego, la

ecuación buscada del plano q,ue pasa por le punto ?*((); 1;1) es

Q3: 0 ( x - 0) + 4(y - 1 ) - 3(z - 1 ) = 0 ó Qz: 4y - 3z - 1 = 0

6.3.6 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO

Sea P un punto del espacio y Q un plano. Se lice que el punto P' e Q es la

proyección (ortogonal) del punto P sobre el plano Q si PP' 1 Q (Fig. 6.36).

Sea L una recta y Q un plano. A la recta contenida en Q , que se obtiene

proyectando los puntos de la recta L se denomina recta de proyección de L sobre

el plano Q . A esta recta se denota con LQ (Fig. 6.37). Si L es perpendicular al

plano Q , la proyección de L sobre Q se reduce a un punto.

320

RECTAS Y PLANOS ÉN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Ejemplo 46 En los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un plano Determine la proyección de L sobre Q .

a) L: P = (2; -1;4) + t (2; 1; 1), t 6 R , Q: 2x + y + z - 25 = 0

b) L: P = (1; 2; 1) + t( l; - l ¡ 2 ) , t 6 R , Q : x - y - z - 4 = 0

c) L: P = (2; 1; -1) + t(2; -1; 1), t 6 R , Q: x + 3y - z + 16 = 0

Solución

a) Los vectores dirección de la recta L y el plano Q son respectivamente

a - ( 2 ; l ; l ) y Ñ - (2; 1; 1) entonces L 1 Q. Luego, la proyección de L

scjre Q se reduce al punto / = L n Q (Fig. 6.38a). Al hallar la intersección de la recta L con el plano Q, obtenemos /(8; 2; 7)

b) Análogamente tenemos

a = ( l ; - l ; 2 ) y = (1 ;- 1 ;- i ) =* á . t f = o «=>¿110. Por ser L || Q

será suficiente proyectar un punto de L y considerar al vector á como el vector dirección de l Q (Fig. 6.38 b).

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Sean P0(l; 2; 1) EL y LN la recta que pasa por P0 en la dirección de Ñ.

Así, la ecuación vectorial de la recta l N es

Ln : P = (1; 2; 1) + s (l; -1; -1), s 6 R

Ahora, si P¿ es la proyección de P0 sobre el plano Q, entonces Pg = LN n Q.

Al resolver la intersección de LN con Q se obtiene P q ( 3 ; 0; —1)

Por lo tanto, Lq\ R = (3; 0; —1) + A(l; —1; 2), A 6 R

c) En este caso, tenemos

d = (2; -1; 1) y Ñ = (1; 3; -1), entonces L no es paralela ni perpendicular

al plano Q (Fig. 6.38 c). Para hallar la recta l Q será suficiente hallar

I = L n Q y proyectar el punto Po(2; 1;—1) sobre el plano Q. Al hallar

/ = L n Q, se obtiene /(24; -10; 10). Al proyectar el punto P0(2; 1; -1)

sobre el plano Q se obtiene P¿(0;-5; 1).

Luego Lq es la recta que pasa por los puntos / y Pq. Por tanto,

l Q: R = (24; -10; 10) + A(24; -5; 9)


6.3.8 ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

Sea L una recta con vector dirección

a y Q un plano cuyo vector normal es

Ñ .

El ángulo entre la recta L y el plano Q

se define como el ángulo que forma L

con Lq , donde LQ es la proyección de

L sobre Q (Fig. 6.39).

Si a es uno de los ángulos que forma L

con Q (El otro ángulo es 180° — a),

entonces 6 + a = 90°, donde 6 es el

ángulo que forman el vector TV y el

vector á. Luego,

sen a = eos 6 =

Fig. 6.39

Por lo tanto, la fórmula para hallar el ángulo entre las rectas L y el plano Q es

Ñ • áaun u —

Ñ Hall

322

Ejemplo 47 Halle el ángulo agudo que forman el plano Q: 2x + y + z — 5 = 0 con la recta L: P - (2; 3; 5) + í ( l ; -1; 2), t E K

Solución

En este caso los vectores dirección de la recta L y del plano Q son

respectivamente d = (1; -1; 2) y Ñ = (2; 1; 1). Luego, si a es el ángulo que forma la recta L con el plano Q, tenemos


sen a =\d.Ñ\

= - => a = aresend K

Por tanto, el ángulo agudo que forman L y Q es de 30°

Ejemplo 48 Sean L : P — (1; 0; 0) + t(0; 1; 1), í 6 R una recta y

Q: x - z = 0 un plano. Si L'Q es la proyección de V sobre Q, halle la

ecuación de la recta que pasa por L' n Q, forma un ángulo de 45° con l'Q y está

contenida en el plano Q .

Solución

Sea L la recta buscada (Fig. 6.40). Como

I — L n Q ^ L 'ñ Q , entonces se obtiene

/(1;1;1). Al hacer las operaciones

correspondientes para proyectar V sobre el

plano Q, obtenemos

L'q . P = (1; 1; 1) s (l; 2; 1), s 6 R

Sea a = (a i;a 2;a 3) el vector dirección de L.

Como la recta L está contenida en el plano Q y

forma un ángulo de 45° con la recta L 'q , tenemos Fig. 6.40

a ■ Nq = 0 => ax = a3

eos 45° =d • (1; 2; 1) a, + 2a2 + a3

V6||a|| V6||a

Reemplazando (1) en (2) s; obtiene

1 2{a, + a2)

(1)(2)

a\ + 8diU2 - 2a{ = 0 =s> a2 = (-4 ± 3V2)axV2 V 6 + a2

Así, el vector dirección de la recta L es

a = (aj; (-4 ± 3^/2)%; a j = ax( 1; -4 ± 3V2; 1)

Por tanto, la ecuación buscada de la recta es

L: R = (1; 1; 1) + A (l; —4 ± 3V2; l),A 6 R (Dos soluciones)


Ejemplo 49 Sea Q: x - y — 1 = 0 un plano. Halle la ecuación de la recta L que

pasa por >4(0; —1; 0) de modo que LQ\ P = (0; -1; 0) + t(0; 0; 1), t e IR

sea la proyección de L sobre Q. Se sabe que

el ángulo entre L y Q es de 45°.

Solución

Se observa que el punto A pertenece a la recta

Lq (Fig. 6.41).

Sea a = (a; b; c) el vector dirección de L.

Como la recta L forma un ángulo de 45° tanto

con la recta LQ como con el plano Q, entonces tenemos


eos 45° =

sen 45° =

óí * (0; 0; 1) _ c

Hall ~ V a 2 + 62 + c2 a. (1 ;—1;0)) a- b

» a2 + b2 = c2 (1)

V2||a|| V2Va2 + b2 + c2

(2)o a2 + b2 + c2 = a2 - la b + b2

De (1) y (2) obtenemos

a2 + b2 = —2ab «=> a + ¿ = 0 «=* a - -b

Reemplazando b = - a en (1) obtenemos c2 = 2a2 =* c = ±V2 a

Así, el vector dirección de la recta L es a = (a; -a; ±V2a) = a ( l; -1; ±V2)

Por consiguiente, las ecuaciones buscadas de la recta L son

L: R = (0; -1; 0)) + A(l; -1; ±V2), A € E

6.3.9 DISTANCIA M IN IM A ENTRE RECTAS

Sean L . P = P0 + t á , t e R y Lz: Q = Q0 + sb , s e

espacio.

Las dos posiciones relativas de estas rectas son

i) II L2 « a II b

ii) /,, tt /,2 a b

dos rectas en el

324

Si L1 || L2, la distancia entre estas rectas está dada por d = d((?0; ¿ i). distancia

de Q0 a la recta Lí ó d = d(P0; L2), distancia de P0 a la recta Lz (Fig. 6.42).

Si las rectas se cruzan (Z^ L2) , la distancia mínima d es la longitud del

segmento perpendicular común comprendida entre ambas rectas (Fig. 6.43).


Si las rectas L1 y L2 se cruzan existen dos planos paralelos Qx y Q2 , tales que

¿■i c Q\ Y ^2 c Qi ■ Luego d es la distancia entre los planos y Q2.

Sea N = a x b y 0 el ángulo entre N y C = P0Q0 , entonces

d = ¡C|||cos0|

C-ÑDado que eos 0 =

se escribe como

, la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan

donde Uf¡ es el vector unitario en la dirección del vector Ñ

Observación 18 Si Lx y L2 son dos rectas y d es la distancia mínima entre

ellas, entonces

i) Si ¿ i II L2 , d(L1;L2) = 0 <=> Lx = L2

ii) Si Lj # ¿2, d(Li, L2) = 0 <=> Lj fl ¿2 ^ 0 (la intersección es un punto)


T OPICOS D E C A L C U L O - V O LU M E N II

Ejemplo 50 Halle la distancia mínima entre las rectas

L1: P = (1; 1;4) 4- £(0; 1; -3), t £ R y

Lz: x = 4 + t, y — 5, z = -3 + 2t

Solución

El punto de paso y el vector dirección de Lx son P0( l ; l ; 4 ) y a = (0; 1; — 3).

El punto de paso y el vector dirección de L2 son <?0(4; 5; —3) y b = (0; 1; —3)

Así, tenemos a x b — (2; —3; —1) y C = PqQq — (3; 4; —7)

Por lo tanto, la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es

\c ■ (á x b)| |6-12 + 7| 1

||a X b|| ~ V4 + 9 + 1 ~ VÍ4

Ejemplo 51 Una esfera metálica es soltada en el punto A(l\ 2; 10) y cae

■(verticalmente) hasta el plano Q: 2x + y + z — 12 = 0; luego resbala por él

hasta chocar con el plano xy. Halle la distancia total recorrida por la esfera.

Solución

La distancia total recorrida por la esfera

es

d = \AB\ + d(B ;L t)

donde B es la intersección de la recta

L: P = (1; 2; 10) + í(0; 0; 1), t £ R

con el plano Q y es la recta de

intersección de los planos Q y xy (Fig.

6.44).

Como B = L n Q, entonces B( 1;2;8)

y \Jb \ = V0 + 0 + 4 = 2

Por otro lado, la ecuación de la recta L¿ es

(2x + y + z — 12 = 0 ^ p = (0 ; i2 ;0 ) + A(1;-2;0),A £ R t-z = 0

||axPñfi|| ||(1; —2; 0) x (1; —10; 8)|| n ^LuCRo. rf(B; ¿,) = — ¡¡J j— = ---------------- -------------------- = 8^675

Por tanto, la distancia total recorrida por la esfera es

d = \AB\ + d(B; L¡) = 2 + 8^6 /5

326

Ejemplo 52 Por la recta L: P = (4; 2; —3) + t ( l ; 0; 1) pasa un plano cuyas

intersecciones con los planos coordenados xy e yz forman un ángulo de 60°. Halle la ecuación del plano.

Solución

Sea N = (A;B;C) el vector normal del plano buscado Q. Como el plano Q

contiene a la recta L, entonces

P0(4; 2; -3) £ Q y Ñ. d = (A; B; C). (1; 0; 1) = A + C = 0 <=> C = -A (a)

Por otro lado, las rectas intersección del plano Q: Ax + By + Cz + D = 0 con

los planos xy e yz son respectivamente

L , (Ax + By + Cz + D = 0 , (Ax + By + Cz + D = 0

1' U = 0 y 2' \x = 0

Ahora, si a y b son los vectores dirección de las rectas y L2

respectivamente, entonces

d = Ñ x k = (A;B;C) x (0; 0; 1) = (B; -A; 0) y

b = Ñ xT = (A ;B ;C )x (1; 0; 0) = (0; C; - B)

Dado que las rectas Lx y l 2 forman un ángulo de 60°, entonces tenemos

d-b 1 -ACCOS 60° = ----- <=* - = ......... — ■ (R ')

Hall ¿II 2 v e 2 + A2VC2 + B2


Reemplazando (a) en (fi) se obtiene

1 A2<=> B¿ = A¿ <=> B = ±A

2 B2 + A2

Así, j l problema tiene dos soluciones

S¡ B = A => Ñt = (A; A ;-A) = A ( l ; l ;- 1

Si B .= -A =* Ñ2 = (i4; —A;-A) = ¿4(1; -1; -1)

Luego, las ecuaciones de los planos que satisfacen las condiciones del problema

son

l(x - 4) + l (y - 2) - l ( z + 3) = 0 ó x + y - z - 9 = 0 Q2: 1 (x - 4) - l(y - 2) - l(z + 3) = 0 ó x - y - z - 5 = 0

Ejemplo 53 Sean P, Q, R y S los vértices consecutivos de un cuadrado

contenido en el plano Qx\ 2x + 2y - z - 10 = 0. Si P (2; 9; 12) y P (- 2; 11; 8)

son los extremos de una de las diagonales del cuadrado, halle las coordenadas de

los vértices Q y S.

Solución


PR = (-4; 2; -4) y \\PR\\ = 6

Ahora, si a es el vector dirección de la recta L que contiene a la diagonal @5,

entonces

a 1 PR A a 1 ÑQl => a || PR X ÑQl = 6(1; -2; -2)

Así, la ecuación vectorial de la recta L es

L : (x; y; z ) = (0; 10; 10) + t ( l; -2; -2), t £ IR

Como Q € L , entonces Q ( t ; 10 — 2t; 10 - 2t). Dado que,

¡|QM¡¡ = ^|jPR|| = 3 <=» J t 2 + 4 t2 + 4t2 = 3 «=* t = ±1

Por tanto, las coordenadas buscadas de los puntos son Q{ 1; 8; 8) y S (- l; 12; 12)


En la figura 6.45, el punto medio del cuadrado es M (0; 10; 10),

Ejemplo 54 Una recta L, interseca a los planos coordenados xy e yz, de tal

manera que el segmento comprendido entre los puntos de intersección está en el

primer octante. Si desde dichas intersecciones se trazan perpendiculares a los ejes

coordenados, quedan determinados los cuadrados Cx y C2 respectivamente. El

área de Cr es el cuádruple del área de Cz. Halle la ecuación vectorial de la recta

L si su distancia al origen es 18.

Solución

Sean A(0; b; b) el punto de intersección de L con el plano yz y 6(a; a; 0) el

punto de intersección de L con el plano xy (a > 0 ,b > 0). Como el área de Cx

es cuatro veces el área de C2 (Fig. 6.46), entonces tenemos

A ( C X) = a2 = 4/1 (C2) = 4b2 =¡> a = 2b

328


Así, el vector dirección de L es AB = (2b; b; —tí) = b(2; 1; -1) y la ecuación

vectorial de esta recta es L: P = (0; b; b) + A (2; l ; - l ) , Í e l

Utilizando la fórmula de distancia del punto (0(0; 0; 0)) a la recta L, tenemos

I N x (2; l; -l)||18 = d (0 ;¿ ) =

V6<=> b = 9V2

Por lo tanto, la ecuación vectorial buscada de la recta es

L: P = (0 ;9V2;9V2) + A(2; 1;-1), A e R

Ejemplo 55 Una recta L que pasa por el punto A(2; 2; 2), es paralela al plano

cuya ecuación es Q: x + 2y + 4z — 4 = 0. Halle la ecuación vectorial de la

recta L si el área del triángulo AOB es igual a V l4 u 2, donde O es el origen de

coordenadas y B es la intersección de L con el plano coordenado yz.

Solución

Sean 6(0; a; b) el punto de intersección de

L con el plano yz (Fig. 6.47) y

a = BA = (2; 2 - a; 2 — b) el vector

dirección de L.

Como L II Q, entonces a 1 NQ. De donde

tenemos

a - ÑQ = a - (1;2;4)

= 2 + 2(2 - a) + 4(2 - b) = 0

=> a = 7 — 2b (a)

Por otro lado, utilizando la fórmula del área de un triángulo tenemos

Í | | Ó I x Ó 6 | | = Í |A& =\\\OA*OB\\ =i||(2;2;2)x(0;a;b)||

= -a/8ci2 + 8b2 — 8ab = V l4 <=* a2 + b2 - ab = 7


b2 - 5b + 6 = 0 <=> (b - 2 )(b - 3 ) = 0<=>b-=2 V b = 3

Por consiguiente, tenemos

Si b = 2 => 6(0; 3; 2) y Lx\ P = (2; 2; 2) + t(2; -1; 0), t £ R

Si b = 3 =* 6'(0; 1; 3) y L2: P = (2; 2; 2) + s(2; 1; -1), s e l


p»! TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 56 Un plano pasa por el punto E (2; 0; 0) y es paralelo a la recta

L: P = (5; 6; 1) + t(0; 1; —1), t £ l

Si el plano interseca a los ejes z e y en los puntos F y G respectivamente, halle la

ecuación del plano si se sabe que el área del triángulo EFG es igual a (3/2) u 2 (dos soluciones).

Solución

Sea Q el plano que interseca al eje z en G(0;0;c) y al eje y en F(0;b;Q)

(Fig. 6.48). Entonces, tenemos

a = EF = (-2; b; 0), b =EG = (-2; 0; c) y ÑQ = a x b = (be; 2c; 2b)

Dado qué

Q II L => jVQ 1 d => ÁfQ • d = (be; 2c; 2b) • (0; 1; -1) = 2c - 2b = 0

=> b = c (a)

Por otro lado, utilizando la fórmula del área de un triángulo obtenemos

Aa = i ||EFx EG || = \ jb2c2 + 4cz + 462 = ^

=> 62c2 + 4c2 + 4¿2 = 9 (/?)

Reemplazando (a) en (/?) resulta

c4 + 8c2 - 9 = 0 <=> (c2 - l) ( c 2 + 9) = 0 <=> c = ±1

Por lo tanto, las ecuaciones de los planos que satisfacen las condiciones del problema son

Si c = 1 => b = 1 => ÑQ = (1; 2; 2) y Qt : x + 2y + 2z - 2 = 0

Si c = -1 => b = -1 => Nq = (1; -2; -2) y (?2: at - 2y - 2z - 2 = 0

330


Kjemplo 57 Sean las rectas Lt : Eje z , L2: x = 3 ; z = 4 . Halle la longitud

del menor segmento que es paralelo al plano Q: x - 2y + z — 2 = 0 y une a las

rectas L, y Lz

Solución

Un bosquejo del problema se muestra en la Fig. 6.49. Las ecuaciones vectoriales

de las rectas Lt y Lz son

Lj: P = (0; 0; t ) , t £ l y Lz. Q = (3; 0; 4) + s(0; 1; 0),s 6 M

Sean ^ 6 ^ y B E Lz, entonces i4(0;0;t) para algún valor de t E l y

B(3; s; 4) para algún valor de s E M.

Como AB = (3; s; 4 — t) es paralelo al plano Q, entonces tenemos

AB 1 Nn (1; -2; 1) => AB ■ N0 = 3 — 2s + 4 — t = 0 => t = 7 — 25

Así, la longitud del menor segmento es

f ’ís) =

pfi|| = V9 + 52 + (2 s - 3 )2 = V l8 - 2s + 5s2 = f(s )

Para encontrar el valor de s que hace mínimo a f(s ) , derivamos con respecto a s

y tenemos

5s - 6 6... :------ - .... = 0 =» S = -

V18 - 125 + 5s2 5

El criterio de la primera derivada confirma que / ( s ) es mínimo cuando 5 = 6/5 y

los puntos son ,4(0 ; 0 ; 23/5) y B(3 ; 6/5 ; 4).

Por lo tanto, la longitud del menor segmtntó es ||i4S|j = 3^6/5 = 3,286...

Ejemplo 58 Halle la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3; 4; -5),

corta a la recta L,: Q = (1 ;3 ;-2) + t(4 ;3; 2), t e M y es perpendicular a la x — 4 y + 2

recta L2: —— = —~ ■ 2 “ 5

Solución

Sea B E Llt entonces ñ ( 1 + 4í; 3 + 3í; 2t - 2)

para algún t 6 l . Como el vector dirección

á = AB = (4t - 2; 3t - l ;2 t + 3) de L es

perpendicular al vector dirección b = (2;3;0)

de Lz, entonces

a-b = 2(4í — 2) + 2(3t — 1)

= 17t - 7 = 0 «=» t «= 7/17

Por tanto, la ecuación de la recta L es

L: P = (3 ;4 ;-S ) + A ( -6 ;4 ;6 5 ) ,1 6 #


Ejemplo 59 Halle la ecuación del plano que pasa por P0(5 ;0 ;-2) y forma un

ángulo de 30° con el eje z. (dos soluciones).

Solución

Sea N = (A ;B ;Q el vector normal del plano Q que pasa por P0(5;0;-2). Entonces su ecuación es

Q: A(x - 5) + By + C(z + 2) = 0 (*)

Como el ángulo que forma el plano Q con el eje z es 30° (Fig. 6.51), entonces

1 |C4; 6; C) ■ (0; 0; 1)1sen 30° = — — - ; =r— <=> 3C = A2 + B2 (a)

2 y/A2 + B2 + C2 K

Por otro lado, si K(0; 0;z0) es el punto de intersección del plano Q con el eje z,

entonces P0V = (-5; 0; z0 + 2) y el eje z forman un ángulo de 30°. Luego,

V3 P¿V ■ (0; 0; 1)— = cos30" = p r ^ j j— « z, = 2 + 5V3 ( «

Dado que V(0; 0; z0) £ Q, entonces satisface la ecuación (*), esto es

—5¿4 + C(z0 + 2) = 0 <=> — SA + C(—2 ± 5V3) = 0 <=> A = +V3C (y)

Reemplazando (y) en (a) se deduce que B = 0. De este modo, el vector normal

del plano Q es Ñ = (±V3 C; 0; C) = C(±V3; 0; 1)

Por consiguiente, la ecuación buscada del plano Q resulta

(?: ± V 3x + z + 2 + 5V3 = 0


Ejemplo 60 Un rayo luminoso ¿ £: P = (1; 4; 3) + t ( l ; 2 ; - l ) , t 6 R incide en

el espejo plano Q; 3x — y + 4z — 2 = 0 y se refleja; hálle la ecuación del rayo

reflejado.

Solución

332


Sea I = n Q (en la Fig. 6.52, el plano Q se muestra de canto).

Luego,

/ ( I + t; 4 + 2t; 3 - t) £ Q 3(1 + t) - (4 + 2t) + 4(3 - t) = 2 <=> t = 3

=> /(4; 10; 0)

Ahora, la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P0 y sigue la

dirección del vector normal es LN: P = (1; 4; 3) + A(3; — 1; 4) ,X £ IR

Si M = Ln fl Q, entonces al hacer las operaciones respectivas obtenemos

/ 1 113 42\

M \ 2 6 '~ 2 6 ’ 26/

Dado que Ai es el punto medio del segmento P0Qo , entonces el punto Q0 es

/ 14 61 3\

V 1 3 '1 3 '1 3 /

Por tanto, la ecuación vectorial del rayo reflejado que pasa por el punto I y sigue

la dirección del vector b = Q0I — — (66; 69; —3) es

Lr: R = (4; 10; 0) + r(66; 69; -3), r £ IR

EJERCICIOS

1. Halle la ecuación de la recta que pasa por (1; 3; 2), es paralelo al plano

Q: P = (1; 4; 0) + r ( 1; 1; 1) + s(0; 1; 2), r, s 6 E y forma un ángulo de

60° con la recta Lx\ R = (1; —2; 3) + t(0; 1; 0), t £ E

R. L: = (1; 3; -2) + t (3 ± 2V2; 2 ± V2; l) , t £ E

2. Halle la ecuación del plano que pasa por (3; 1; —2) y forma ángulos iguales

con las rectas Lx: P = (1; 4; 2) + t( l; 1; 1), t £ K , ¿2; eíe x y L3: e]ey

R. {x - 3) + (y - 1) + (V3 - 2)(z + 2) = 0

3. Sean las rectas:

Li'. P = (3;0;0) + t( l; —1; 1), t £ K

L2‘- Q — (2; 9; 1) 4- s (l; 3; —1), s £ E

Halle la ecuación del plano que es paralelo a Lr y Lz, y divide en 2 partes

iguales al segmento de menor longitud que une a dichas rectas.

4. Sea el plano con ecuación 2x + 3y + z + 4 = 0 , encontrar n y m no nulos de

manera que los dos vectores A = i + j + k y B = nj + mk están en un

plano perpendicular al dado.

R .m = 1/2 , n = -1/2


5. ln : P = (1; 2; —3) + t( l; — 1;5), t G R

L2: Q = (0; 1;4) + s ( l ; 0;-1), s e l

son dos rectas, ¿se intersecan?. En caso afirmativo, halle el punto de

intersección y la ecuación del plano que los contiene. En caso contrario, halle

la distancia mínima entre L, y ¿2

6. Halle la ecuación del plano paralelo al plano 2x - y + 2z + 4 = 0 si se sabe

que el punto P0(3 ;2 ;—1) equidista de ambos planos.

R. 2x — y + 2z - 8 = 0

7. Dadas las rectas P = (1; -1; 1) + t( 0; 1; 1), t G E

¿2: Q = (0; 1 ;0 ) + 5(1 ;0 ; —1), s e l

Halle las ecuaciones de dos planos paralelos Qx y Q2 de modo que L, c Q,

y. L2 c Q2 ■ ¿Cuál es la distancia entre Qt y Q21

8. Halle la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que pasa por el

punto P0(2;2;2) y que forma un ángulo de 60° con el plano

V 3^ + 2 y - 3 z + 2 = 0

R. 4V3x + y - 2(1 + 4VT) = 0

9. Dadas las rectas:

Lx: P = (1; 2; -1) + t (2; -2; -3), t E IR

L2. Q = (2; 3; 1) + s (l; 2; -1), s G E

L3: R = (3; 1; -1) + r ( 1; 1; 1), r £ IR

Halle, si existe, la ecuación del plano Q que contiene a L3 y a su vez el

plano sea paralelo a las rectas L, y L2.

R. no existe

10. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (2;6;1) y contiene a laX z

recta - = - , y = -5

R. 88x — 13y — 33z — 65 = 0

11. La recta L que pasa por (-1; 1; 6) es paralela a los planos x + y = 0 A

2x — z = 6 . La recta Lq es la proyección de L sobre el plano xy. Halle las

ecuaciones de las rectas L y LQ.

12. Halle la ecuación de la recta que contiene al menor segmento horizontal

(paralelo al plano xy) que une las rectas

P = (0;0;0) + t1(l;2 ;8 ) , t e E

l‘¿: Q = (1; 3; 0) + t2(0; 1; 4), t e R

R. L: P = (1; 2; 8) + t3(0; 3; 0), t3 6 E

13. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por P0( l; 0; 0), sabiendo que

la recta L: P — (5; 1;—5) + t( l;0 ; — 1), í e E está a una distancia de 1

unidad de dicho plano (Z, II Q).


334

I I. Halle la ecuación cartesiana del plano, sabiendo que es paralelo al plano

2x + 2 y - z + 7 = 0 y que el punto (5; 2; -3) equidista de ambos planos.

R. 2x + 2y - z - 41 = 0

15.Sean L\ P = (1; 1; 3) + t(2 ;0 ;l) , t E E y Q: 2y - y + z - 15 = 0 una

recta y un plano respectivamente. Si A = L n Q, halle la ecuación de la recta

L! que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta Lq . La recta Lx está

contenida en el plano Q.

16. Dadas las rectas L,. Pt = (3; 4; 5) + tx(0; 1; —2), í j C l

L2: P2 = (4; -2; 1) + t2(l; 2; 3), t2 G E

L3: P3 = (0; 0; 0) + t3(2; 1; 0), t3 G E

Halle la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos

A, B y C respectivamente, de modo que AB = BC, El plano solicitado es

paralelo a la recta x = y = z y los puntos A, B y C están alineados.

R. 19x - 20y + z - 81 = 0

17.a = (4; 0; 3) y b = (-3; VTT; 4) son los vectores dirección de las rectas L,

y l 2 respectivamente. Las rectas se intersecan en (3; 2; 1). Halle la ecuación

de la recta l 3 que pasa por el punto P0(31/5 ;2 ; 17/5) y determina con

Lx y Lz un triángulo de área 6 u 2.

18. Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (3; 4; —6) y es paralela a

los planos x + 2 y - z = 4 A 3 x - y + 2z = -6.

R. L: P = (3; 4; -1) + t(-3; 5; 7), t e E

19. Halle la ecuación del plano que dista del origen V234 unidades y pasa por la

intersección de las rectas L,: P = (9; 5; 4) + t ( l ; 1; 2), t e R y

L2: Q = (1; 2; 3) + s(2; 1; 1), s e E

R. 11 (x - 11) + 7(x - 7) + 8(z - 8) = 0

20. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1) y es

perpendicular a los planos x — y = 4 A x + z = 6.

R. x + y - z - 6 = 0

21. Si Lx\ P = (2; 1; 0) + t( l; — 1; 1), t E E, halle la ecuación de la recta L que

- sea simétrica a la recta Lx con respecto al plano 2 x - y - z - 5 - 0 .

x + 4 5 - z25. Dado el plano x - 2y + 3z = 8 y la recta L: —— = —— <y = _1

Halle la ecuación de la recta que pasa por (0; 2; —1), es paralela al plano dado

y corta a la recta L.R. W. P = (0; 2; -1) + £(4; -1; -2), t E E

22. Dadas las rectas

Ly. Pi = (1; 1; 2) + t ^ l ; 2; 0), tx 6 E

L2: P2 = (2;2;0) + fz( l ; - l ; l ) , t2 G E



^3* P3 = (0; 3; — 2) + CS; 0; 2), t3 £ E

Halle la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas Lu Lz y L3 en

los puntos M, N y P respectivamente, de tal manera que MN = NP

R. L: P = (0; -1; 2) + t(2; 2; -1), t £ E

23. Sean las rectas ¿j = {(1; 0; 0) + r ( 1; 1; 1) / r £ E} y

L2 = {(7;4;3) + s(3;4;2) / s £ .E }

Halle los vértices de un triángulo equilátero de lado 2V2u, tal que un vértice

pertenece a ¿2 y el lado opuesto en L1.

R. (4 ;0 ;1 ),(2± V 273 ; l í j U S ' ,

24. Dadas las rectas no coplanares concurrentes en P0( l; -2; 3)

x - 1 y + 2 z - 3 x — 1 3 - z1 . : — - — = — . = — A y = -2 y

x - 1 y + 2 z - 3Lo: ---- = ---- = ----3 2 1 2

Halle la ecuación de un plano que pasa por el punto >4(—4; 2; 6) y forma

ángulos iguales con estas rectas.

R. 3x — y - z + 20 = 0

26. Dadas las rectas:

x — í y + 2 5 - z y - 1 z+ 2¿ . — = —-— = — -—■ y Lz: x = —2 ,— -— = —-—1 2 3 4 * z 1 2

que se cruzan. Halle la ecuación de la recta que pasa por >4(-l;-2;0), es

perpendicular a Lr (en el espacio) e interseca a ¿2.

R. P = (-1; -2; 0) + t (—1; 6; 4), t £ E

27. Dados los planos Qt : 2x + 2y - 2z + 2 = 0. y Qz; x — 2y — z = 1 y el

punto >4(2; 1; 4). Halle la ecuación de una recta que pasa por >4, es paralela a

Q2 y forma un ángulo de 30° con

R. ¿ = {(2;l;4) + t( l l± 6 V 2 ;2 ± 3 V 2 ; 7) / t 6 i }

28. Halle la ecuación de una recta que pasa por (3; 1; 2) y corta a la rectas

Lt : P = {(2; 4; -1) + t (0; 1; 2) / t £ E}

í x - y + z = 4

l 2x + z = 6R. Q = (3;l;2) + s(-l;10;ll), s é E

29. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el puntó' <2(3;—5; 2)' y es

perpendicular a los planos 2x + 3 y - z - 5 = 0 A x - 2 y + 2 z - 3 = 0.

R. 4x — 5y - 7z — 23 = 0

30. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos (-2; 5; 3) y

(4; 8; -8), y es perpendicular al plano xz.

R. l l x + 6z + 4 = 0

V TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

336

31. Encuentre la ecuación del plano que pasa por origen, es perpendicular alplano

2x + 3y - 5z = 0 y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1; -1; 3)

y (2; 1; - 2 ) .R. 5x — 5y — z = 0

32. Encuentre la ecuación del plano que es paralelo al plano 12x — y - 17z = 4 y

pasa por la intersección de los planos 2x - y - 5z = 4 A 3x + y - z — 0.

R. Y2x-y~\ 7z = 12

33. Un plano pasa por los puntos Pt ( 1; 0; -1) y P2(- l; 2; 1), y es paralelo a la

recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6. A 4 x - y + 3z = Q. Halle su ecuación.

R. 5x - 3y + 8z + 3 = 0

34. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por >4(1;-2; 1) y es

perpendicular al vector OA, donde O es el origen de coordenadas.

R. x — 2y + z = 6

35.Encuentre la ecuación de un plano que pasa por los puntos P j( l;2 ;3 ) y

P2(3; 2; 1), y es perpendicular al plano 4x - y + 2z = 7.

R. x + 6y + z = 16

36. Encuentre la distancia del origen de coordenadas

x — 2 y — 1 2 — z

3 ~ 4 ~ 5R. 3 u

Íx — 2 z — 3 — 0y — 2z = 0 interseca al plano x + 3y — z + 4 = 0.

Encuentre el punto de intersección P y halle la ecuación de la recta contenida

en este plano, que pasa por P y es perpendicular a L.

R. P (l; -2; -1), = L t l = £ ± 1—5 3 4

38.Calcule la distancia mínima entre la rectas Lx y Lz, donde Lx pasa por el

origen y el punto (1; 1; 1), y ¿2 pasa por (1; 2; -2) y es paralelo al vector

2 í - j + 2k.

R. 3V2/2

39.HaHe la ecuación del plano que forma un ángulo de 60° con el plano»

2x - y + z = 7 y contiene a la recta L: P = (1; 8; 1) + t( 1; —3; 1), t £ M.

R. x + y + 2z = 11, l l x + 2y — 5z — 22 = 0 (dos soluciones)^

40. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1) y es ortogonal a

tos planos P : x - y = 4 A Q : x + z = 6

R. x + y - z - 6 = 0



»

41. Halle las ecuaciones de tres planos

equidistantes, que pasan por los puntos

(1; 4; 0), (2; —5; 1) y (3; 0; -2)

respectivamente, de tal manera que sean a su

vez paralelas a la recta

L = {(1; 4; 0) + t( l; 1; 1) / t G M}.

Sugerencia: Considere P1P2 = P2P3 R. 9x - 2y - 7z - 1 = 0

9x — 2y - 7z - 21 = 0

9 x - 2 y - 7 z — 41 = 0

42. Halle la longitud del menor segmento paralelo al plano xy, que une las rectas

Lx = {(1; 2; 0) + ^ (1 ; 2; 1 ) /^ 6 R} y = {(0; 0; 0) + t2( 1; 1; l ) / t 2 6 ®¡}

R. 1 u

43. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (3; -1; 6) y es paralela a los

planos x — 2y + z = 2 A 2x + y - 3 z = 5.

R. x — 3 = y + l = z - 6

44. Halle la ecuación del plano que es paralelo al plano 12x — y - 17z = 14 y

pasa por la intersección de los planos 2x - y - 5z = 4 A 3x + y — z - 0.

R. 12x - y - 17z = 6

45. Encuentre la ecuación de los planos que bisecan el ángulo entre los planos

2x + y + z = 4 A 7 x - y — 2z = 2.

R. x — 4y — 5z + 10 = 0

46.Con los puntos ¿4(1; 2; 3), B (0 ;- l;4 ) y C(—1;2;6) se forma el

paralelogramo ABCD. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos C

y d .R. L = {(0;5;5) + t(—1; —3; 1) / t G K}

47. Halle la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y por la

intersección de los planos x — y + z — 4 = 0 A 2x + y - 2z — 6 = 0.

R. x + 5y - 7z = 0

48. Halle la ecuación cartesiana de un plano que pasa por (1 ;2 ;— 3) y por la

intersección del plano x — y + 2z = 4 con el plano xy.

R. 3x - 3y - 5z - 12 = 0

49. Encuentre la longitud mínima del cordel que se necesita para llegar desde el

punto P0(8; 6; -5) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos

Q i(3; 5; 3) y <?2(8;3;1)

R. d = 5,65 u


338

50.Las rectas Lt = {(5; 11; —2) + tx(0;8; —1), 6 R}

Lz = {(8; -23; 3) + t2(3; -10; -4), t2 6 M}¿3 = {(8; 1; -6) + t3(3; -2; -5), t3 6 R]

contienen a los lados del triángulo ABC. Halle la distancia del centro de

gravedad de dicho triángulo al plano 5x + 12z + 14 = 0.

R. 5u

5 1 . Dados los puntos no colineales ¿4(0; 0; 0),

B (0 ;l;5 ), C (5 ;2 ;—1) y D( 3; 7 ;-7), determine la

ecuación de los planos paralelos que pasan por dichos

puntos, de tal manera que las distancias que los separan

sean iguales.

R. Qt : 9x + y - 12z + 59 = 0,

Q2 : 9x + y - 12z = 0

Q3: 9x + y - 12z - 59 = 0,

Q4: 9x + y - 12z- 118 = 0.


Sugerencia: En el gráfico adjunto, para determinar

las coordenadas del punto P(x0;yQ; z0) la razón es

DP 2 _r = = = — y la normal del plano es N — á x b

BP 1 F

52. Un hombre que se encuentra en

0(0; 0; 0) lanza una flecha desde

¿4(0; 0; 16) hacia un blanco en

B(50;12;16) que se encuentra

sobre el plano

2 5 x - 6 y - 1178 = 0 ,

haciendo impacto a 0,1 unidades

del blanco. Si la flecha fue lanzada

con una trayectoria paralela al

plano xy, halle el ángulo que

debió girar el hombre para no

fallar.

R. 3,62°

53. Se tienen dos túneles que parten de la superficie (suponer que la superficie es

lisa y es el plano xy) desde los puntos P1A(0;5/2;0) y P1B(5 ; 2 ; 0) y llegan

respectivamente a los puntos P2/i(-7;-1 ;-7 ) y P2B(-5; 3 ;-5). Halle la

mínima distancia que debe tener un túnel para quedar a nivel (paralelo al plano

xy) y sirva para interconectar a los túneles Ay B.

R. d = 2,457

Sugerencia: El túnel que debe intersecar a los dos túneles debe ser paralelo al

plano xy para que quede a nivel, luego igualar las coordenadas z de los puntos

que se toma sobre cada túnel.

Z Ák

A(0;0;16)a B (50;12;16)

...

Sugerencia:

0,1 = \IB\

O (0;0;0) ^y , =15,96 / y

* * eos a = 0,988 => a (i,62°)



54. Un niño patea una pelota desde el punto P0(8; -10; 12) y ésta se mueve en

línea recta en la dirección del vector v = (2; 2; 2), con velocidad constante. Si

la pelota se dirige hacia una ventana de vidrio, ¿qué tiempo tardará en

impactar con el vidrio si la ventana está en el plano 2x + 8z = —4?

R. V2 u

55. Halle la ecuación cartesiana de un plano que contenga a la recta

L = {(1; 2; -3) + t( l; -4; 2) / t 6 R}

y se encuentra a una distancia 8/V41 unidades del punto (2; —4; —5).

R. 6x + 2y + z — 7 = 0 A 30* + 2y - l l z - 67 = 0

56. Un rayo de luz parte del punto (1; 4; 2), se refleja en el espejo plano yz. El

rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano xz y este último rayo

reflejado pasa por (5; 1; 4) . Halle la ecuación de este último rayo reflejado.

R. L = {(19/5 ; 0 ; 18/5) + t(6; 5; 2) / t E l )

57. Un rayo de luz parte del punto (2; 1; 6) , se refleja en el espejo plano xz; este

rayo reflejado se refleja nuevamente en el espejo plano yz, y este último rayo

reflejado pasa por (3; 8; 2). Halle la ecuación de este último rayo reflejado.

R. L = {(0 ; 13/5 ; 22/5) + t( 5; 9; -4) / t e R}

58. En los planos paralelos Pj: 4x — 8y — z + 9 = 0 y P2: 4x — 8y — z — 18 = 0,

se tienen los puntos Qt y Q2 respectivamente. Halle el volumen del cilindro

cuya diagonal QÍQ2 mide 9 unidades.

R. V = 54 7r u3

59. Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos

Px\ 5x + 3y - z - 9 = 0 y P2: 3x - 2y + 5z - 6 = 0

Se quiere aumentar un plano más a la puerta, de tal manera que pase por la

recta de intersección de ambos planos y que sea paralelo a la columna que

describe la ecuación de la recta Lx = {(3; 1; 6) + t( l; 1; 0,) / t 6 R } . Halle

la ecuación de dicho plano.

R. 19* - 19y + 41z - 39 = 0

60. Un barco se encuentra en el punto P(2;3;0) y tiene un movimiento

rectilíneo con una velocidad constante = (1; 5; 0). En ese mismo instante

un avión comercial empieza a caer desde el punto (5; 4; 6) con una velocidad

constante v2 = (2; 11; -6) en línea recta. Con estos elementos de juicio se

pregunta

a) ¿El avión cae sobre el barco?

b) Si no es así, ¿cuál será la menor distancia entre ellos?.

R. a) No b) 2,5 u

340

S U P E R FIC IE S

Una superficie es un conjunto de puntos P (x ;y ;z) e R 3 cuyas coordenadas

satisfacen una ecuación dada en las variables x, y y z, esto es,

S = {(x; y ; z ) 6 E 3 / E(x\x; z) = 0} es generalmente una superficie.

Un ejemplo de superficie es el plano (su ecuación es Ax + By + Cz + D = 0)

Observación 1 Existen ecuaciones tales como

a) x2 + (y - 2)2 + z 2 + 8 = 0

b) (x + l ) 2 + 4 (y - 2)2 + 3(z - 5)2 = 0

que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen números

reales x, y, z que satisfagan la ecuación dada, en este caso se dice que (a) representa al conjunto vacío (0)

Para la ecuación (b), los únicos números reales que satisfacen la ecuación son

x = -1, y = 2, z = 5. Luego, la ecuación (b) representa solamente al punto

P (—1; 2; 5).

Observación 2 (Traslación de ejes) De modo similar a la traslación de ejes en el

plano cartesiano, se efectúa la traslación de ejes en el espacio tridimensional R 3.

Si el sistema de coordenadas oxyz se traslada a un nuevo origen 0'(h; k; l), de

modo que las coordenadas de cualquier

punto P E I 3 antes y después de la

traslación son (x ;y ;z ) y (x1; y'; z')

respectivamente (Fig. 7.1), entonces las

relaciones de tranformación del sistema

original (oxyz) al nuevo sistema de

coordenadas (o’x'y'z') son

x = h + x'

y = k + y'

■ z = l + z'

Fig. 7.1

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S IJ I 'IÍK I'IC IE S

7.1 ESFERA

Definición: Una esfera es el conjunto de

todos los puntos del espacio IR3 que

equidistan de un punto fijo llamado centro.

La distancia constante de cualquier punto al

centro se llama radio y se denota con

r > 0 .

Sea P (x ;y ;z) cualquier punto de la esfera

de centro C(h',k;l) y radio r > 0.

Entonces, por definición tenemos

d(C; P) = V (* - h)2 + (y - k)2 + (z - l)z = r

De donde,

(x - h )z + (y - k )2 + (z - l)z = r 2 (*)

Esta ecuación se llama forma ordinaria de la ecuación de la esfera.

La esfera con centro en el origen de coordenadas y radio r > 0 tiene por

ecuación

x2 + y 2 + z2 = r z

y esta ecuación se denomina forma canónica de la ecuación de la esfera.

Si desarrollamos la forma ordinaria de la ecuación de la esfera, obtenemos una

ecuación de la forma

x2 + y 2 + z 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 (a)

que es la ecuación de la esfera en su forma general.

Cualquier ecuación de la forma (a), empleando el método de completar

cuadrados, se puede expresar en la forma

(x - h)z + (y - k)2 + (z - i)2 = t (/?)

Comparando las ecuaciones (*) y (¡3), se tienen tres posibilidades:

Si t > 0, (/?) representa a una esfera de centro C (h ;k ;l) y radio Vt

Si t = 0, (/?) representa al puntó C(h\k\l)

Si í < 0, (/?) representa al conjunto vacío

SUPERFIC IES

Ejemplo 1

a) Halle la ecuación de la esfera de centro C(2; —1; 0) yradio r = 3

b) Halle ia ecuación de la esfera si uno de sus diámetros es el segmento de

extremos /1(3;1;4) y B (5; —1; 2)

c) Determine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un

punto o al conjunto vacío.

i)

¡i)

xz + y 2 + z2 - 2x + 4y - 62 + 1 = 0

xz + y 2 + z2 - 4x+ 2 y - 2 z + 6 = 0

0iii) x2 + y 2 + z 2 + 2x + 6y ~ 8z + 35

Solución

a) Utilizando la forma ordinaria de la ecuación de una esfera, tenemos,

(x - 2)2 + ( y + l ) 2 + z2 = 9 ó x2 + y 2 + z2 - 4x + 2y - 4 = 0

b) Como el centro de la esfera es el punto medio de AB, es decir, C (4;0;3) y el

radio r = diC ;A ) = V3; entonces la ecuación de la esfera es de la forma

(x - 4)2 + y 2 + (z - 3)2 = 3 ó xz + y 2 + zz - 8x - 6z + 22 = 0

c) Al completar los cuadrados en cada una de las ecuaciones, obtenemos

i) (x - l ) 2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 13. Esfera de centro C (l; -2; 3) y

radio r = V l3

ii) (x — 2)2 + (y + l ) 2 + (z - l ) 2 = 0. Luego, la ecuación representa el

punto C (2 ;- l; l )

iii) (x + l ) 2 + (y + 3)2 + (z — 4)2 = -9. La ecuación dada representa al

conjunto vacío.

Ejemplo 2 Halle la ecuación de la esfera que es tangente a los planos

Q1: x + 2y + z - 4 = 0 y

<?2: * - y + 2 z - 5 = o, y tiene su centro en el eje z. (Dos soluciones)

Solución

Sea C(0; 0; V) el centro de la esfera buscada.

Entonces, utilizando la fórmula de distancia

de punto a plano, tenemos

U - 41 |2I-S|

Vó V6

<=> l = 1 V 1 = 3

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Si / = 1 , la ecuación buscada de la esfera es

3x2 + y 2 + (z - l ) 2 = - ó 2x2 + 2yz + Zz2 — 4z - 1 = O

Si / = 3 , la ecuación buscada de la esfera es

1x2 + y 2 + (z — 3)2 = - ó 6x2 + 6 y 2 + 6 z 2 — 36 z + 53 = 0

6

Ejemplo 3 El plano Q pasa por el punto Po( l ;- l ; 0 ) y contiene a la recta

y + 1L :x - 1 — = z + 4

'Halle la ecuación de la esfera, con centro

C (0 ;- 2 ;l) y tangente al plano Q.

¿Cuál es el punto de contacto?

Solución

Dado que el punto de paso de la recta L es P1( 1;—1;—4), entonces los vectores que

están contenidos en el plano Q son

SUPERFICIES

a = P0P1 = ( 0 ;0 ;- 4 )y ¿ = ( l ; 4 ; l )

Luego, el vector normal Ñ del plano es

N = a X b = (16;-4; 0)

Así, la ecuación del plano Q es

Q: 16(x - 1) - 4(y + 1) = 0 ó < ? : 4 x - y - 5 = 0

Utilizando la fórmula de distancia de punto a plano, el radio de la esfera es

„ |2 — 5| 3r = d(C; Q) = = —=

VT7 V I7

Así, la ecuación de la esfera de centro C(0; —2; 1) y radio r = 3/V Í7 es

9x2 + (y + 2)2 + (z - l ) 2 =

17

«=> 17x2 + l l y 2 + 17z2 + 68y - 34z + 76 = 0

El punto de contacto entre el plano Q y la esfera es I = Q ñ LN, donde LN es la

recta que pasa por el centro de la esfera y sigue la dirección del vector N\ su

ecuación vectorial es LN:P = (0; -2; 1) + t(4; -1; 0), t £ E.

Hallando la intersección de LN con el plano Q, se obtiene el punto de tangencia

/ (12/17; —37/17; 1)

344

Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano xz

y es tangente al plano Q: 2x - y + z - 4 = 0, en el punto P1( 1; 5; 7).

Solución

La ecuación vectorial de la recta LN que pasa

por el punto P i(l; 5; 7) y sigue la dirección

del vector normal Ñ = (2; -1; 1) (Fig. 7.5)

es

Ln : (x ;y ;z ) = (1; 5; 7) + t ( 2 ; - l ; l ) , t 6 E

Si C es el centro de la esfera, entonces

C e Ln D Plano xz

<=> C £ Ln A C £ Plano xz

« C(1 + 2t; 5 - t; 7 + t) £ Plano xz (y = 0)

Luego, el centro de la esfera es C ( l l ; 0; 12) y su radio r = d(C ; P J = V i 50

Por consiguiente, la ecuación buscada de la esfera es

(x - l l ) 2 + (y - O)2 + (z - 12)2 = 150 ó

x2 + y 2 + z 2 - 22x - 24z + 115 = 0

EJERCIC IOS

1. Halle la ecuación de la esfera de centro C(4; 3; -1) y radio r = V7.

R. x2 + y 2 + z2 - 8x - 6y + 2z + 19 = 0

2) Halle la ecuación de la esfera si uno de sus diámetros es el segmento de

extremos ¿4(10;-5; 8) y B(2;5;-14)

R. x2 + y 2 + z 2 -12x + 6 z- 1 1 7 = 0

3) Determine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un

punto o al conjunto vacío. Si representa a una esfera determine su centro y su

radio.

a) x2 + y2 + z2 - Í6x + 8y + 4z + 75 = 0

b) x2 + y 2 + z 2 + 8x - 6y - 4z + 29 = 0

c) x2 + y 2 + z 2 - 2x — 4y - 6z + 15 = 0

R. a) Esfera, C(8; -4; -2) y r = 3 b) Punto c) 0

3. Halle la ecuación de la esfera que es tangente al plano x - 8 y + 4z + 7 = 0

y es concéntrica a la esfera x2 + y 2 + z2 - 12* - 4y r 6z + 33 = 0.

R. X2 + y 2 + z 2 - 12x - 4y - 6z + 48 = 0

SUPERFICIES


SUPERFICIES

4. Halle la ecuación de la esfera que tiene su centro en el eje x y pasa por los

puntos P1(0 ;5 ;0 )y P2(-2;1;Ó).

R. x2 + y z + z 2 — 10* - 25 = 0

5. Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano coordenado

yz y es tangente al plano x + 3y — 2z + 1, = 0 en el punto P(5; 0; 3).

R. x2 + y 2 + z2 + 30y - 26z — 106 = 0

6. Determine la ecuación de la esfera que pasa por, el punto P0(—2;4;0)

y por la intersección de las esferas x2 + y2 + z2 - 2x + 2y — 4z + 2 = 0

x2.+ y 2 + z2 - 4x — 2y — 6z + 10 = 0

R. x2 + y 2 + z2 — I9x — 32y - 21z + 70 = 0

Sugerencia. Si = 0 y Sz — 0 son las ecuaciones de dos esferas, entonces

+ kSz = 0, para k =é —1, representa la familia de esferas que pasan por la

intersección de las esferas dadas, con la excepción de la esfera S2 = 0

7. Determine la ecuación de la esfera que pasa por la circunferencia de

intersección de las esferas:

x2 + y 2 + z2 - 4x - 8 y + 6z + 12 - 0

x2 + y 2 + z2 - 4x + 4y - 6z - 12 = 0

y es tangente al plano x + 2y - 2z — 3 = 0

,, R. St : x2 + y z + z2 - 4x - 6y + 4z + 8 = 0

Sz: x2 + y 2 + z 2 — 4x - 24y + 22z + 44 = 0

8. Una recta L pasa por fil punto A(3; -4; 6) , interseca a la recta

l x: P = (6; -10; 12) + t ( l ; 0; 0) y a la esfera

3 29

(* + 2)2 + (y “ 1)2 + ^ “ 2)2 = T

en una cuerda de longitud 3 unidades. Halle la ecuación vectorial de L (dos

soluciones).

9. Halle la ecuación del plano Q que contiene a la recta

L: P = ( l ;2 ;3 ) + t< l;- l;0 ) , t é R

de modo qué dicho, plano sea tangente a la superficie x2 + y 2 + z z — 1 = 0

(dos soluciones)

Sugerencia. Usar la condición d(C; Q) = 1 donde C(0; 0;0)

R. Qt i 2x.+ 2y - z - 3 = 0, Qz \ 4x + 4y - 7z + 9 = 0

10. Un plano contiene a la recta L: 6x = 2y = -3z e interseca a la esfera

x2 + y 2 + z2 + 2x — 4y — 10z + 5 = 0 en una circunferencia de radio 3.

Halle la ecuación del plano (dos soluciones).

346

De manera similar a la discusión que se efectúa en la ecuación de una curva plana,

en el caso de las superficies es también ventajoso discutir previamente su

ecuación antes de construir su gráfica. Para discutir la ecuación E(x ; y; z) = 0 de

una superficie se siguen los siguientes pasos:

I) Intersección con los ejes coordenados. Son las intersecciones de la

superficie con cada uno de los ejes coordenados.

i) Con el eje x . Se reemplaza y = z = 0 en la ecuación de la superficie y

se analiza la ecuación resultante.

ii) Con el eje y. Se reemplaza x = z = 0 en la ecuación de la superficie y


iii) Con el eje z. Se reemplaza x = y = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

II) Trazas sobre los planos coordenados. La traza de una superficie es una

curva formada por la intersección de la superficie con el plano coordenado.

Así, las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente

manera

i) Con el plano x y . Se reemplaza z = 0 en la ecuación de la superficie se

analiza la ecuación resultante.

ii) Con el plano yz. Se reemplaza x = 0 en la ecuación de la superficie y


iii) Con el plano x z . Se reemplaza y = 0 en la ecuación de la superficie y


III) Trazas en los planos paralelos a los planos coordenados. Son las

intersecciones de la superficie con planos paralelos a los planos

coordenados.

i) Con planos paralelos al plano xy. Se reemplaza z = k en la ecuación

de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

ii) Con planos paralelos al plano xz. Se reemplaza y = k en la ecuación


iii) Con planos paralelos al plano yz. Se reemplaza x = k en la ecuación


IV) Extensión de una superfìcie Se entiende por extensión de la superficie a

los intervalos de variación, en los cuales las variables x, y A z tienen

valores reales.

SUPERFICIES

7.2 DISCUSIÓN Y GRÁFICA DE LA ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE


SUPERFICIES

V) Simetrías con respecto a los planos coordenados, a los ejes coordenados

y al origen. Se dice que dos puntos P y Q son simétricos con respecto a un

plano, si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto

medio.

Por otro lado, se dice que una superficie es simétrica con respecto a un

plano, cuando el plano es perpendicular al segmento que une dos puntos de

la superficie en su punto medio.

Observación 3Si P(x; y; z) es un punto del espacio, entonces tenemos

a) El simétrico de P con respecto al plano xy es Q(x\ y, —z)

■ b) El simétrico de P con respecto al plano xz es Q(x\ —y; z)

c) El simétrico de P con respecto al plano yz es Q (—x\y,z)

d) El simétrico de P con respecto al eje x es Q (x;—y ;—z)

e) El simétrico de P con respecto al eje y es Q (—x; y; —z)

f) El simétrico de P con respecto al eje z es Q(—x ;—y ;z )

g) El simétrico de P con respecto al origen es Q{~x\ —y; —z)

Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de

cada punto de la superficie, respecto a la recta L, es también un punto de Ia

superficie.

Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de

cada punto de la superficie, respecto al punto C, es también un punto de la

superficie.

De acuerdo con estas consideraciones, se obtiene los resultados dados en la

siguiente tabla:

Si la ecuación de la superficie no se

altera cuando se reemplaza

La superficie es simétrica

con respecto al

x por —x Plano yz

y por -y Plano xz

/, por — z Plano xy

r por -z A y por —y Ejex

x por —X A z por —z Eje y

x por —X A y por -y Eje z

x por -x A y por -y A z por - z origen

348

SUPERFICIES

VI) Construcción de la superficie (gráfica). Con la ayuda de los pasos

anteriores se construye la gráfica de la ecuación de una superficie.

Ejemplo 5 Discutir y graficar la ecuación 9x2 + 4y 2 - 12z = 0

Solución

I. Intersecciones con los ejes

i) Con el eje x: haciendo y = z = 0 en la ecuación se obtiene 9x2 = 0,

entonces x = 0. La superficie interseca al eje x en el origen de coordenadas.

Al estudiar las otras intersecciones se comprueba que el origen es el único punto de intersección.

II. Trazas sobre los planos coordenados

i) Sobre el plano xy. Haciendo z = 0 se obtiene 9x2 + 4y 2 = 0. Esta

ecuación, en el plano xy, representa al origen de coordenadas.

ii) Sobre el plano xz. Se hace y = 0 y se obtiene 9x2 - 12z = 0. Esta

ecuación, en el plano xz, representa a una parábola.

iii) Sobre el plano yz. Haciendo x = 0 se tiene la parábola 4y 2 - 12z = 0

III. Trazas en los planos paralelos a los planos coordenados

i) Con planos paralelos al plano xy. Haciendo z = k en la ecuación de la

superficie se obtiene 9x2 + 4y2 = 12fc. Se observa que hay intersección

solamente cuando k > 0 (si k = 0 es un punto, si k > 0 es una elipse).

ii) Con planos paralelos al plano xz. Reemplazando y = k en la ecuación

de la superficie se obtiene 9x2 - 12z + 4k 2 = 0. Esta ecuación

representa a una parábola V k 6 R.

iii) Con planos paralelos al plano yz. Reemplazando x = k en la ecuación

se tiene 4y2 - 12z + 9k2 = 0. Esta ecuación representa a una parábola

VfeEM.

IV. Extensión

La ecuación 9x2 + 4y2 - 12z = 0 está definida

Vx 6 R (de III- iii), Vy e ñ (de III- ii) y Vz e [0; +oo) (de III- i).

V. Simetrías

Al reemplazar x por —x en la ecuación de la superficie se observa que esta

no varía, es decir, la superficie es simétrica con respecto al plano yz. De

manera similar, la superficie es simétrica con respecto al plano xz y al eje z.


r r - SUPERFICIES

V I. Gráfica

1.a gráfica de esta ecuación se muestra en la Fig. 7.6 y se llama paraboloide elíptico.

Ejemplo 6 Discutir y graficar la superficie cuya ecuación es y 2 - 4y 4- 2z = 0

Solución

I. Intersección con los ejes

i) Con el eje x. Haciendo y = z = 0 se obtiene 0 = 0, esto significa que

todo punto del eje x satisface la ecuación de la superficie, es decir, la

intersección de la superficie con el eje x es el eje x.

ii) Con el eje y. Si x = z = 0 => y 2 - 4y = 0 => y = 0 V y = 4.

Luego, las intersecciones con el eje y son los puntos

P1(0 ;0 ;0 )y P2(0;4;0)

iü) Con el eje z. Si x = y = 0 => 2z = 0 <=> z = 0. Así, la intersección

con ele eje z es el origen de coordenadas.

II. Trazas sobre los planos coordenados

i) Sobre el plano xy. Las trazas son las rectas y = 0 (eje x) e y = 4

(recta paralela al eje x).

ii) Sobre el plano xz. La traza es la recta z = 0 (ejex).

iíi) Sobre el plano yz. La traza es la parábola y 2 — 4y + 2z = 0

350


III. Trazas en los planos paralelos a los planos coordenados

i) Con planos paralelos al plano xy.

z = k => y 2 — 4y + 2fc = 0 ==> y = 2 ± V4 — 2k

Existe intersección para k < 2 (Para k = 2 es una recta, para k < 2

son dos rectas paralelas)

ii) Con planos paralelos al plano xz. y = k => 2z = 4/c - k2, es una recta

V k e M

iii) Con planos paralelos al plano yz. x = A: => y 2 - 4y + 2z = 0 , es una

parábola, V fc 6 IR

IV. Extensión

La ecuación y 2 - 4y + 2z = 0 está definida Vx 6 IR (de III- iii), V y £ E

(de III- ii) y Vz E (—oo; 2] (de 111- ii).

V. Simetrías

Existe simetría con respecto al plano yz.

VI. Gráfica

En la Fig. 7.7 se muestra la parte de la superficie que se encuentra en el

primer octante. La superficie se denomina cilindro parabólico.

EJERCICIOS

En cada uno de los siguientes ejercicios efectúe la discusión y trace la gráfica de

la superficie representada por las ecuaciones dadas.

1. 4x2 + y 2 + z2 = 4 (elipsoide)

2. x2 + y 2 - z 2 = 0 (cono circular)

3. X 2 + z2 - 4y = 0 (Paraboloide de revolución o circular)

4, yZ - *3 = 0 (Cilindro)

5. 9x2 - 4y2 - 4z2 = 36 (Hiperboloide circular de dos hojas)

6. 9x2 - 4y 2 + 4z2 = 36 (Hiperboloide elíptico de una hoja)

7. y 2 - X 2 = 2 z (Paraboloide hiperbólico)

8. x2 + y 2 + z2 = 4 (esfera)

9. y 2 - x2y = 0

10. z = |y|


SUPERFICIES

Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de

una curva plana dada, permaneciendo siempre paralela a una recta fija que no está

en el plano de dicha curva. La recta que se mueve se llama generatriz del cilindro

y la curva plana se llama directriz del cilindro.

Si la generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, el cilindro

es llamado cilindro recto y en caso contrario, cilindro oblicuo.

Si la directriz es una recta, el cilindro se reduce a un plano.

En lo que sigue, se considera que la directriz es una curva contenida en uno de los

planos coordenados.

7.3 CILINDROS

Supongamos que la directriz está en el plano xy (Fig. 7.8). Luego, su ecuación es

de la forma E(x;y) = 0 A z — 0. Si P (x ;y ;z) es un punto del cilindro cuya

generatriz tiene por vector dirección al vector a — (a a 2; a3) y si P0(x';y'; 0)

es el punto de intersección de la directriz con la generatriz que pasa por P,

entonces

E (x ',y ') = 0 , z 1 — 0 (a)

La ecuación de la recta que pasa por P y P0 es:

x - x' y — y' z — z'---- = --- i- = ---- (£)

«, az a3

De (a) y (/í), eliminando las variables x ', y' y z' se obtiene la ecuación del cilindro.

352

EjempIo-7 Halle la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva y 2 = 4x A z = O y a = (1; — 1; 1) es el vector dirección de la generatriz.

Solución

Sea P (x ;y ;z) un punto del cilindro y

P0(x ';y ';z ') la intersección de la directriz

con la generatriz que pasa por P. entonces

la ecuación de dicha generatriz es

x - x' y — y' z - z'(a)


1 -1 1

Como P0 es un punto de la directriz,

entonces se tiene

y '2 = 4x' A z' — 0 (/?)

Reemplazando z' = 0 en (a) se obtiene:

x — x ’ = z A y - y ' = -z

De donde x1 = x — z A y '2 = (y + z)2. Reemplazando festos valores en

y'2 = 4x' se obtiene (y + z )2 = 4(x - z).

Por tanto, la ecuación de la superficie cilindrica es (y + z )2 = 4(x - z)

Este cilindro se llama cilindro parabólico oblicuo. En la Fig. 7.9 se muestra su

gráfica (para z > 0).

Ejemplo 8 Halle la ecuación del cilindro recto cuya directriz es la curva

2\x\z = ■

1 + X2A y = 0

Solución

Supongamos que la generatriz que pasa por

el punto P(x;y;z) (Fig. 7.10) de la

superficie corta a la directriz en el punto

P o ( x ' ; y ' ; z ' ) , entonces la ecuación de la

generatriz (eje y) es

x = x' A z = z' (a)

Como P0 pertenece a la curva, entonces

2\x'\

= lT T 2 A y ^


2jxl

Z l + x2

Se observa que esta ecuación es similar a la ecuación de la directriz.


SUPERFICIES

Observación 3 En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos

de las tres variables x, y, z es un cilindro cuya directriz es una curva que se

encuentra en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación

y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable

(aliante, es decir.

1) E (x; y) = O representa (en el espacio) a un cilindro con:

Directriz: E(x; y) ~ O A z = O

Generatriz: eje z (variable que jaita en la ecuación)

2) E(x\z) = O representa a un cilindro con

Directriz: E(x\ z) ~ O A y = O

Generatriz: eje y

3) £ (y ;z ) = O representa a un cilindro con

Directriz: E (y;z) = O A x = O

Generatriz: eje x

Ejemplo 9 Trace la gráfica de la superficie representada por cada una de las

ecuaciones

a) x2 + y 2 - 4y = 0

b) z - ex = 0

c) z2 - y 3 = 0

d) x2 = (y + l ) y 2

Solución

Las gráficas se muestran en las figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14

f ¡9 7 11

.354

TOPICOS DF C M Cl'1 n - VOI I 'MFN II

EJERCICIOS

I. En cada uno de los siguientes ejercicios halle la ecuación del cilindro usando

las ecuaciones de la directriz y el vector dirección de la generatriz.

1. x2 + 4y = 1 A z = 0 , a = (1; 1; 3)

R. 9x2 + z 2 - óxz - 36y 4- 12z = 0

2. y 2 - z 2 = l A x = 0 , a = (-1; 1; 2)

3. x2 + y = 1 A z = 0 , a = (2; 1; 0)

II. Esboce la gráfica de la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones

1. y 2 — 2y + 4 = z

2. y = cosx , x e [0; 47r]

3. y 3 = x2

4. x2 - y 2 = 1.

5 . 4x2 + y 2 = 4

6. y = ln x

8. y 2 = 4z

9. z = x ex

n n10.y = tan z , z e (~ 2 ''2>


SUPERFICIES

7.4 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

La superficie generada por la rotación de

una curva plana alrededor de una recta

fija que está en el plano de la curva, se

llama superficie de revolución. La recta

fija se llama eje de revolución y la curva

plana se llama curva generadora.

Si por un punto cualquiera P(x ;y ;z) se

traza un plano perpendicular al eje de

revolución, la intersección de la superficie

con dicho plano es una circunferencia

(Fig. 7.15).

Si C es el punto de intersección del plano con el eje de revolución L y Q es el

punto de intersección con la curva generadora, entonces se verifica

d{P-,C) = d(Q ,C )

A la ecuación generada por esta igualdad se denomina ecuación de la superficie

de revolución.

En lo que sigue, se considera que la curva generadora está contenida en un plano

coordenado o en un plano paralelo a un plano coordenado.

Observación 4 En la siguiente tabla, se muestra la forma de la ecuación de una

superficie de revolución generada por una curva que se encuentra en un plano

coordenado y gira sobre uno de los ejes coordenados.

Ecuación de la curva

generadora

Eje de

revolución

Ecuación de la superficie de

revolución

z = / ( y ) , x = o eje y x2 + z 2 = [/(y)]2

x = / ( y ) , z = o eje y x2 + z2 = [f(y)]2

z = f ( x ) , y = 0 eje x y 2 + z 2 — [/(x)]2

y = / (x ) , z = 0 eje x y 2 + z 2 — [/(x)]2

y = /Q 0 , x = 0 ejez x2 + y 2 = [/(z)]2

x = A z ) , y = 0 ejez x2 + V2 = \f(z)]2

Fig. 7.15


Demostremos la primera fórmula de la

tabla, donde la ecuación de la curva

generadora es C: z = /(y ) , x - 0 y el

eje de rotación es el eje y.

Sea P (x ;y ;z) un punto cualquiera de la

superficie de revolución. Si Q es el punto

de intersección del plano perpendicular al

eje y que pasa por P con la curva

generadora y C es el punto de intersección

de dicho plano con el eje y, entonces

<2(0;y ;/ (y ) ) y c (0;y ;0)

Luego, de la definición de la superficie de revolución resulta

d(P; C) - D(Q ; C) <=> J x 2 + z2 = \f (y)| <=> x2 + y 2 = [f(y)]2

En los otros casos, la demostración es similar.

Observación 5 Si el origen de coordenadas se traslada al punto O'(x0; y0; zQ),

las ecuaciones de las superficies de revolución de la tabla anterior tienen las

siguientes formas:

i) O - x0) 2 + (z - z0)2 = [/(y - y0)]2

¡O (y " y0)2 + (z - z0)2 = [f(x - x0)]2

iii) (x - x0) 2 + (y - y0)2 = [/(z - z0)]2

Ejemplo 10 En cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la

curva generadora y el eje de revolución L, determine la ecuación de la superficie

de revolución y esboce su gráfica.

a) C: z = ey, x = 0 ; L: eje y

b) C: z = ev, x = 0 ; L: eje z

c) C: z 2 - 4y2 = 1, x = 0 ; L: eje y

2\x\

d)C: z = Y + x2' y = 0 ' L: eJe x

e) C: y = x2, z = 0 ; L : eje x

f) C: y - x2, z = 0 ; L : eje y

Solución

Fig. 7.16


SUPERFICIES

a) C: z = ey, x = O ; L: eje y

La ecuación de la superficie de revolución es x2 + z 2 = e2y.

La gráfica se muestra en la Fig. 7.17

b) C: y = ln z , x = 0 ; L\ eje z

La ecuación de la superficie de revolución es x2 + y 2 = ln2z.


c) En este caso, C: z = J 1 + 4y2, x = 0 ; L: eje y

La ecuación de la superficie de revolución es x2 + z 2 - 1 + Ay2

La gráfica se muestra en la Fig. 7.19 (esta superficie se llama hiperboloide de

revolución o hiperboloide circular de una hoja)

d) c z = i + ^ z » y = 0 ; L: ei e x .

Ax2La ecuación de la superficie es y2 + z2 = ---- — .

(1+ x2)2


e) C: y = x2, z = 0 ; L: eje x

La ecuación de la superficie de revolución es y 2 + z2 — x4.


f) C: y = x2, z = 0 ; L: eje y

La ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 = y.


SUPERFICIES

Fig. 7.17


Ejemplo 11 En cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la curva

generadora C y el eje de giro halle la ecuación de la superficie de revolución.

a) C: z = /(y ), x = a ; L\ z = b , x = a

b) C: z = 2y - 3, x = 5 ; L: z = -1 , x = 5

c) C: 4(x + 2)2 — (y - l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje imaginario de la hipérbola

d) C: 4(x + 2)2 — (y — l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje transverso de la hipérbola

Solución

a) En la Fig. 7.23 se muestra la curva C y

la recta L en el plano x = a . Luego,

C(a; y: b), Q {a ;y ;f(y j) y P{x;y;z)

De la definición de la superficie de

revolución, tenemos

d(P; C) = d(Q-,C)

Por tanto, la ecuación de la superficie de

revolución es

(x - a )2 4 (z - b) 2 = [/(y) - b]2

Esta ecuación también puede obtenerse

trasladando previamente el origen al

punto 0 '(a;0;b).

b) (x — 5)2 + (z + l ) 2 = (2y — 2)2 (cono de revolución o cono circular)

(y + 1)2c) (x 4 2)2 4 (z — 3)2---- ----= 1 (hiperboloide circular de una hoja)

4

d) (y + l ) 2 + (z - 3)2 = 4(x + 2)2 - 1 ó

4(x + 2)2 — (y + l ) 2 — (z — 3)2 = 1 (hiperboloide circular de dos hojas)

Ejemplo 12 En cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es una

superficie de revolución. Luego, determine el eje de revolución y la ecuación de la

curva generadora.

a) x2 = 5 + z 2 — y 2

b) 2x¿ + 4z2 + y 2 = 1

c) x2 + 2y2 4- 2z2 — 4x 4- 8y — 4z — 4 = 0

d) 2x2 4 2z2 4 4 x 4 y - 4 z 4 - 4 - 0

Solución

SUPERFICIES

360

l U P I C U i í -D t L A L w U L U — V O L U M E N H

a) x2 + y 2 = B 4- z2 (hiperboloide circular de una Jioja)

i) Eje de revolución L: x = 0, y = 0 (ejez)

ii) Curva generadora C: x = 0, y = v5 4- z 2 ó y = 0 , x = V5 + z2 (hipérbola)

b) No es una superficie de revolución (ninguna de las trazas en los pianos

paralelos a los planos coordenados es una circunferencia).

(x — 2)2c) (x 4- 2)2 4 (z - l ) 2 = 9 ---- --- (elipsoide de revolución o esferoide)

i) Eje de revolución L: x = —2 , z = 1

18 - (x - 2)2ii) Curva generadora C: x = —2, z = 1 4 (elipse)

d) (x + l ) 2 + (z - l ) 2 = - 1 (paraboloide circular)

i) Eje de revolución L: x = —1, z = 1

ii) Curva generadora C:x = - 1, z = 1 + J - ^ (parábola)

7.5 SUPERFICIES CUADRATICAS

Una superficie cuadrática o simplemente cuádrica es la gráfica de una ecuación

de segundo grado en las variables x,y,z.

Algunas superficies cilindricas o superficies de revolución son ejemplos de

cuádricas. En ésta sección se presentará algunas formas usuales de las superficies

cuadráticas cuyas ecuaciones están en su forma más simple (forma canónica).

Considerando que el lector está en condiciones de discutir la ecuación de una

superficie, nos limitaremos a describir algunas propiedades de estas superficies.

7.5.1 ELIPSOIDE

La forma canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es

x2 y 2 z 2

a2^ b 2+^2 = 1

donde a, b y c son números reales positivos. Además, los intervalos de variación

de las variables x, y a z son

x e [-a; a], y 6 [-b; b] A z E [-c; c]


SUPERFICIES

Si a ¿ = b2 = c2, la superficie es una esfera.

Si a 2 = b2 (ó b2 = c2, ó a2 = c2) la superficie es un elipsoide de revolución

o esferoide. Un esferoide cuyo tercer número es mayor que los dos números

iguales, se llama esferoide alargado. (La elipse que la genera gira alrededor de su

eje mayor). Si el tercer número es menor que los dos números iguales, se llama

esferoide achatado (la elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).

Las trazas en los planos paralelos a los planos Coordenados son elipses o

circunferencias. (En los planos x ~ ¿ a , y = + b, z — + c se reduce a un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto a los planos coordenados, a los ejes coordenados y al origen de coordenadas.

La gráfica del elipsoide se muestra en fá Fig. 7.24

La forma ordinaria de la ecuación del elipsoide con centro C (h ;k ;l) es

(1, _ lr\2 fr* I\2■*) , ( y - * ) 2-. 0 - - 0 2 ñ--- i--- -----1----:— == 1

7.5.2 H IPERBOLOIDE ELÍPTICO (CIRCULAR) DE UNA H OJA

La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el origen es

x y “-

ñ2 + b2= 1

x2 y 2

~ü~ ~ +V a ¿ b2 c

donde a, b y c son números reales positivos.

En la Fig. 7.25 se muestra la gráfica de

z2 x2 y= 1 ó --=■ + '

b2

z+ - r = 1


A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie

Los intervalos de variación de las variables x, y A z son

x 6 (- 00; -a] U [a; +00), y £ (—00; - b] U [fe; +oo) y z £ (- 00; +oo)

Si a2 = b2, es una superficie de revolución (hiperboloide circular de una hoja)

Si a2 & b2, la superficie es el hiperboloide elíptico de una hoja, las trazas en

los planos paralelos al plano xy son elipses o circunferencias según sea el caso en

que

a 2 b2 ó a2 = b2

Las trazas en los planos paralelos a los planos xz e yz son hipérbolas, (en los

planos y - b , x - a son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos

coordenados y al origen de coordenadas.

La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el

punto C (h ;k ;l) es

(x - h )2 (y - k)2 (z ~ O2

a 2 b 2 c 2 1

7.5.3 H IPERBOLOIDE ELÍPTICO (CIRCULAR) DE DOS HOJAS

La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el

origen es

x2 y2 z 2 ( x2 y 2 z2 , x2 y2 z2

~ a 2 + b2 ~ 72 = 1 \° ^ 2 ~ b 2 ~ c 2 = 1 ° ~ á 2 ~ b 2 + c2



x2 y 2 z 2

+ b2 ~ c 2 = 1

Los intervalos de variación de las

variables x,y A z para esta

superficie son

x £ (-oo; +oo),

y £ (—00; -b] U [b; +co) y

Z £ (-oo; +oo)


SUPERFICIES

Si a2 = c2, es una superficie de revolución (hiperboloide circular de dos hojas)

Si a2 c2, la superficie es el hiperboloide elíptico de dos hojas.

Las trazas en los planos paralelos al plano xz son circunferencias o elipses según

sea el caso en que a2 = c2 ó a2 c2. (En el plano y — b es un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos


La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el

punto C(h\ k; í) es

(x - h )2 | (y - fe)2 (z - Q2 _ ^

Observación 6 Las tres cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e

hiperboloide de dos hojas) también se denominan cuádricas centrales.En general cualquier ecuación de ¡a forma:

(x - h )2 (y - k)2 (z - l )2

± - ------- r ^ ± 7- 2" ± 2 = 1a2 b2 c2

donde a, b y c son números reales positivos, representa a una cuádrica central

con centro en C(h;k;l).

SI los tres signos son positivos: elipsoide

Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja

Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.

Si los tres signos son negativos: el conjunto es vacío.

7.5.4 PARABOLOIDE ELÍPTICO (O CIRCULAR)

La forma canónica de la ecuación del paraboloide con vértice en el origen es

x2 y 2 / x2 z2 y 2 z2

? + ^ = I,6 ^ + ^ = by 6 ¥ + ^ = ax

donde a y b son números positivos y c =/= 0

En la l'ig. 7.27 se muestra la gráfica de

x2 y 2— + — = cz, con c > 0

364


Si c < 0 el paraboloide se abre hacia la

parte negativa del eje z.

Los intervalos de variación de las variables

x, y A z para la ecuación de esta

superficie son:

X £ ( — co; +co), y £ ( —oo; + oo) y

z £ [0; +oo) (si c < 0, Z £ (- o o ; 0])

Si a2 = b2, la superficie es una superficie

de revolución (paraboloide circular)

Si a¿ & b2, la superficie es el paraboloide

elíptico.

Las trazas en los planos paralelos al plano xy son circunferencias o elipses según

sea el caso en que a2 = b2 ó a2 * b2. (En el plano z = 0. la traza es un

punto).

Esta superficie es simétrica con respecto al eje z, al plano xz y al plano yz.

La forma ordinaria de la ecuación del paraboloide con vértice en el punto

V (h ,k ;l) es

(x - h )2 (y - k )2= c(z - i)

a2 b2

En los otros casos, la ecuación es de la forma

(x - / i) 2 ( z - 0 2 „ . (y - k )2 ( z - / ) 2-i---- ;— = b(y — k) o — —7--- 1---- —— = a(x — h)

c‘

7.5.5 PARABOLOIDE H IPERBÓLICO (SILLA DE MONTAR)

La forma canónica de la ecuación del paraboloide hiperbólico con punto de silla

en el origen de coordenadas es

y "

b2

xc

a2cz

í Z2 X2ó — - — = by , ó

V, cL a2

z2 y 2 \

c‘ b¿ )

donde a y b son números positivos y c i d ,


y 2 x2TT-- r = cz , con c > 0b2 a2

Los intervalos de variación para las variables x, y A z de esta superficie son

X £ (-00, +oo), y £ {-oo, +oo) y z £ (-00, +oo)


SUPERFICIES

Las secciones transversales al plano xy

son hipérbolas (En el plano z = 0 son

ilos rectas que se cortan). La$ trazas en

los planos paralelos a los planos xz e

yy. son parábolas.

lista superficie es simétrica con respecto

al eje z, al plano xz y al plano yz.

El origen de coordenadas es el punto de

silla de esta superficie.

La forma ordinaria de la ecuación del

paraboloide hiperbólico con punto de

silla en S(h ; fe; l) es

(y ~ k )2 {x - hy= c(z - l)

b2 a2


(.z - l )2 ( x - / i ) 2 „ ; (z— 3 ------- -5— = b ( y - k ) o —

O 2 (:y-k)2= a(x - h)

7.5.6 CONO ELÍPTICO (O CIRCULAR)

La forma canónica de la ecuación del cono con vértice en el origen de

coordenadas es


En la Fig. 7.29, se muestra la gráfica de la

superficie

x2 y 2 z 2

a2 + b2 c2

Los intervalos de variación de las variables

x, y A z son

x e E, y e M a z e E

Si a ¿ = /;2, la .superficie es de revolución

(cono circular).

Si a2 * /)2, la superficie es el cono elíptico.

366

l'OWCOS DE CALCULO - VOLUMEN II

Las trazas en los planos paralelos al plano xy son circunferencias o elipses según

sea el caso en que a2 = b2 ó a2 * h2. (En el plano z = 0 la traza es el origen

de coordenadas). Las trazas en los planos paralelos al plano xz y al plano yz son

hipérbolas (En los planos y = 0 A x = 0 son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto a ios ejes coordenados, a los planos


La forma ordinaria de la ecuación del cono con vértice el punto V(lv, fe; l) es

(x - h )2 (y - k )2 _ (z - l )2

a- o*- c^


(x - h)2 (z - Q2 __ (y - fe)2 . (z - Q2 (y - k )2 _ (x - h)2

a2 + c2 b2 ° c2 + b2 ~ a2

Ejemplo 13 Discutir y grafícar la ecuación 9x2 + 4z2 + 9y = O

Solución

I) Intersección con los ejes coordenados: el origen de coordenadas.

II) Trazas sobre los pianos coordenados

i) Sobre el plano xy:

la parábola x2 + y = O

ii) Sobre el plano yz:

la parábola 4z2 4- 9y = O

iii) Sobre el plano xz:

el origen de coordenadas

III) Trazas en planos paralelos a los

planos coordenados

AI plano xy: parábolas

Al plano yz: parábolas

Al plano xz: elipses, (para y < 0)

IV) Extensión: x £ E , y £ (—00; Oj, z £ E

V) La gráfica de la superficie se muestra en la Fig. 7.30 (paraboloide elíptico).

Fig. 7.30


¡ f ” SUPERFICIES

F.Jcinplo 14 Ivsboce la gráfica de las siguientes ecuaciones

a) iíjfl /. + y2z - 9z 2 = 0

x2 y 2 zlzl

b ) T + T6 — = 1

Solución

a) 3 x 2z + y 2z - 9z2 = 0 <=> (3 x 2 + y 2 - 9z)z = 0

<=> 3x2 + y 2 — 9z = 0 ó z = 0

La ecuación 3x2 + y 2 — 9z = 0 representa a un paraboloide elíptico.

La ecuación z = 0 representa al plano xy.

La gráfica de la ecuación (3x2 + y 2 — 9z)z = 0 se muestra en la Fig. 7.31

b) Utilizando la definición del valor absoluto en

x2 y 2 z\z\

^ i6 9~ — 1

se tiene

x2 y2 z2S i z < 0 => 'ír + T7 + T r:=^ (elipsoide)

9 16 9

x2 y1 z2S i z > 0 => — + — — — = 1 (hiperboloide de una hoja)

9 16 9

x2 y 2 z\z\La gráfica de la ecuación — + — -— = 1 se muestra en la Fig. 7.32

368

Las coordenadas de uso frecuente en el espacio tridimensional, aparíe de las

rectangulares son las coordenadas cilindricas y las coordenadas esféricas.

7.6.1 COORDENADAS CILINDRICAS

Si P es un punto del espacio

tridimensional y (x ;y ;z) son sus

coordenadas rectangulares, se define

las coordenadas cilindricas de P

como la terna (r ;d ;z), donde (r;0)

son las coordenadas polares de la

proyección ortogonal de P sobre el

plano xy y z es la distancia dirigida

de (r; 0) a P (Fig. 7.33).

7.6.1.1 RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y

CILINDRICAS

Si (x ;y ;z ) y (r ;0 ;z ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las

coordenadas cilindricas de un punto P € 1R3, entonces se tiene

Cartesianas en términos de las cilindricas

x - r eos 9, y = r sen 8, z = z

Cilindricas en términos de las cartesianas

ytan 9 = - , rz = x2 + y 2, z = z

x

Observación 7a) Las coordenadas cilindricas principales son: r > 0 , 0 < 9 < 2n A z E l

b) Las coordenadas cilindricas del origen son (0;9 ;z ) para cualquier 9

c) La ecuación de un cilindro circular recto de radio a en coordenadas

cartesianas es x2 + y 2 = a 2, transformando a coordenadas cilindricas su

ecuación es r = a.


7.6 COORDENADAS C ILINDRICAS Y COORDENADAS ESFÉRICAS


l'ji'mplo 15

i) Encuentre las coordenadas cartesianas del punto que tiene las coordenadas cilindricas dadas

3) ( 3 ; f ;5 j b) ( 7 ; y : - £ ) c) (1; 0; 1)

ii) Encuentre un conjunto de coordenadas cilindricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son

a) (4; 4 ;-2) b) (-3V3; 3; 6) c) (1; 1; 1)

Solución

i) a) Si las coordenadas cilindricas de P son (3; n/2 ;5 ), entonces r = 3.

0 - n/2 y z = 5. Luego, aplicando las fórmulas que relacionas estas

coordenadas con las cartesianas se tiene

x = 3 cos(7t/2) = 0, y = 3 sen(7r/2) = 3 y z = 5

Por tanto, las coordenadas cartesianas de P son (0 ; 3 ; 5)

Procediendo de manera similar se obtiene

u- í 7 ?V3 \— ;-4 c) (1; 0; 1)

V ^ *- ¡

ii) a) Si las coordenadas cartesianas de P son (4; 4 ;-2). entcnces .'- = 4,y - 4 y z = 5

Luego, aplicando las fórmulas que relacionas estas coordenadas con las cilindricas tiene

y 4 ntan 0 = - = - = 1 => 6 = -, r ‘ = x2 + y 2 = 32 => r = 4V2 , z = 5

X i 4

Por tanto, las coordenadas cilindricas de P son (4V2 ; n/4 ; 5)

b) (6 ; 5n/6 ; 6) c) (V2 ; n/4] l)

Ejemplo 16 Halle una ecuación en coordenadas cilindricas para la superficie representada por la ecuación cartesiana

a) 2x -r y — z — 0 b) x 2 + y 2 = 4z

c) xz - y 2 - 4z 2 - 4 = 0 •

Solución

Reemplazando x = r eos 6, y = r sen 0 y z = z, se obtiene

a) 2r eos 6 + r sen 9 - z = 0

b) r 2 — 4z

c) r 2 eos 26 - 4z2 - 4 = 0

SUPERFICIES

370


7.6.2 COORDENADAS ESFERICAS

Las coordenadas esféricas de un punto

P 6 R 3, se define como la terna

(p; 6; (f>), donde p representa la distancia

del punto P al origen, 0 es la medida del

ángulo que forma el segmento OP con el

rayo positivo del eje z (el ángulo 0 se

llama co-latitud de P, el ángulo n/2 — (p

se llama latitud de P) y 0 es la medida

del ángulo que forma el rayo positivo del

eje x y el segmento OQ, donde Q es la

proyección (ortogonal) de P sobre el

plano xy (Fig. 7.34) Fig. 7.34

7.6.2.1 RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y

ESFÉRICAS

Si (x; y; z) y (p; 6\ (p) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las

coordenadas esféricas de un punto P E R 3, entonces se tiene

Cartesianas en términos de las esféricas

Z = p COS 0

x = p sen 0 eos 6

y = p sen 0 sen 6

Esféricas en términos de las cartesianasy

x2 + y 2 + z 2 = p2, x2 + y 2 = p2 sen20 A - = tan 6

Observación 8

a) Si se incluye los puntos del eje z, las restricciones

p > 0 , 0 < 6 < 2 n , O < 0 < 7 r

determinan una correspondencia biunivoca entre los puntos del espacio y las

coordenadas esféricas (p; 6; 0)

b) Las coordenadas esféricas del origen son (0; 9; 0), donde 9, 0 son

arbitrarios.

c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a es

x2 + y 2 + z z = a 2

Al transformar a coordenadas esféricas se reduce a p = a


i) Encuentre las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas

rectangulares son

a) (2; 2; 2) b) (0; 0; —3)

ii) Encuentre las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas

esféricas son *

a) (3; 7t/2; 7t/ 4) b) (2 ;-7r/3;7r/6)

Solución

i) Utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a

esféricas, tenemos

SUPERFICIES

Ejemplo 17

a) (2V3; 7r/4; arccos(l/V3) ) b) (3; 0; zr)

ii) Usando las fórmulas de transformación de coordenadas esféricas a cartesianas,

se tiene

a) (0; 3V2/2; 3V2/2) b) (l/2 ;- V 3 /2 ; V5)

EJERCICIOS

1. Encuentre coordenadas esféricas para los siguientes puntos especificados por

sus coordenadas rectangulares

a) (4; 2;-4) b) (1;-V3;4)

c) (1; 1; 1) d) (2; 0; 2)

2. Halle las coordenadas cilindricas para los puntos del ejercicio 1.

3. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas cilindricas

a) ^2; arccos-; o j b)

4. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas esféricas

/ n n\ / n n\

b> ( 3 : r - 6 )

/ TI U \ r U 7T\

C> ( ,: 6 ' i ) d) (6: «)

372


5. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas de la superficie cuya ecuación

en coordenadas cartesianas es

a) (x + y )2 = z — 5

x2 y2c) ~j = 1

a2 b2

b) x2z 2 = 25 — y 2z 2

d) ax + by + cz = x2 + y 2 + z 2

6. Las siguientes superficies están descritas en coordenadas esféricas. Encuentre

sus ecuaciones rectangulares.

a) cot (p = sen 8 + eos 9 b) p2 eos 20 = a2

c) p = a sen 4> sen 8 d) p 2 sen20 sen 28 = a 2

I. Halle una ecuación en coordenadas esféricas, para la esfera de radio 3 con

centro en (0; 1; 0)

8. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas para la esfera del ejercicio 7.

9. En los siguientes ejercicios, encuentre las ecuaciones en coordenadas

cilindricas y en coordenadas esféricas para la superficie dada.

a) El paraboloide x2 + y2 = 4z b) El hiperboloide xy = z

10. Describir la superficie z = 2r (coordenadas cilindricas), y obtener una

ecuación de la misma en coordenadas cartesianas.

I I . Halle una ecuación en coordenadas rectangulares(cartesianas) de la superficie

z2 = 1 - (r - 2)2

7.7 APLICACIONES

Ejemplo 17 Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie z = x2 + y 2

y el plano z = 4

Solución

La ecuación z = x + y representa un

paraboloide circular. Las secciones

transversales perpendiculares al eje z son

círculos de radio r = V i (Fig. 7.35).

El área de cada sección transversal es

A(z) = n z , z e [0; 4]

Por consiguiente, el volumen del sólido es

K(S) = f A(z)dz = í nz dz J o Jq

= 8 n u 3


SUPERFICIES

Ejemplo 19 ¿La ecuación x2 + y 2 - e2z = 0 representa una superficie de

revolución? Ln caso afirmativo, halle el área de la superficie comprendida entre

los planos z — 0 y z — 1 y calcule la longitud de arco de la curva generadora.

Solución

x2 + y 2 = e2z representa una superficie de revolución. El eje de revolución es el

eje z, ( x - 0 , y = 0) y una curva generadora es C: y = ez, x = 0

Para determinar el área de la superficie de revolución comprendida entre los

planos z — 0 y z = 1 (Fig. 7.36), basta considerar el arco de la curva y — ez .

z e [0; 1] en el plano x = 0 y hacerla girar alrededor del eje z. (Fig. 7.37)

i

HII

0 1 ” z

Fig. 7.36

Luego, el área de esta superficie de revolución es

Fig. 7.37

^ ~ l y J 1+[§] i z * i evl+e”‘¡ze V 1 + e2 + ln |

/T~,;— 7 i /e + V i + e2 = - e V 1 + e2 + ln ------——

2 V 1+V2La longitud de arco de la curva generadora resulta

-V 2

Haciendo la sustitución trigonométrica ez = tan 9 <=* z = ln(tan 9), obtenemos

-arctane ^ ¿-arctane

---r--- r— d.9sen 9 eos26

4 4

/•arctan e

= I (ese 0 + tan 9 sec 9) d9

lnVI + 1

- ln (V 2 - l ) + V 1 + e2 - V 2

374


Ejemplo 20 Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies

9x2 — 9y 2 + 4z 2 — 36x — 8z + 4 = 0. y = —1 A y = 4

Solución

Al completar cuadrados en la ecuación de la

superficie se obtiene

(* 2)2 + (z - D 2

4 9

Asi. la superficie es un hiperboloide elíptico

de una hoja cuyo centro es C (2 ;0 ;l).

La gráfica del sólido se muestra en la Fig.

7.38. Las secciones transversales del sólido

perpendiculares al eje y son las elipses

(x - 2)2 (z - l ) 2 ■ ■ -t- —— — —

4

(x - 2)2

41■ + ■

9

(z - 1 )2

91

= 1 + :

1, donde t =4 + y2

Luego, el área de la elipse (sección transversal) es

/ 4 + y 2A (y) = 7r(2Vt)(3Vt) = 6n:(— -— y e [-1:4]

Usando el método de secciones transversales, el volumen del sólido es

-4 3 r 4

n s ) j A(y)dy = - n J (4 + y 2)dy =

Ejemplo 21 Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie

y 2 + z 2 - 2 sen2* - 2 sen * - cos2x = 0 y los planos x = 0 y x - n/2.

Solución

La ecuación se puede escribir como y 2 + z2 = (sen* 4- l ) 2. Esta ecuación

representa una superficie de revolución cuyo eje de giro es el eje x.

La sección transversal del sólido perpendicular al eje x es el circulo

y 2 + z2 = (sen x + l ) 2, x £ jo ;-]

Así, el área de la sección transversal es

A(x) = 7r(señx + l ) 2. x e [O;-]

Por consiguiente, el volumen del sólido resulta

f n/z f 1 , ír(37r + 8)V{S) = I A (x)d x ~ n (sen x + l ) 2 dx ------

jo 'o

u


SUPERFICIES

Ejemplo 22 Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies

o - x , y2 Z — —— b —— 4 9

y — * 4

= z2

Solución

x yLa ecuación 2z = — + — representa

representa a un paraboloide con vértice

en el origen y la ecuación „2 ,,2

representa a un cono conx . y 2 T + T = zrepresenta a un cono con vértice en el

origen.

Estas superficies se intersecan cuando

2z <=* z = 0 V z = 2

La sección transversal del sólido,

perpendicular al eje z, es el anillo

elíptico cuya área es

A(z) = n(V 8z)(V l8z) - n ( J az2) (V ^z2) = 127rz - 6nz2,z 6 [0; 2]

Por lo tanto, el volumen del sólido es

y (S ) = í (127TZ - 6nz2)dz = 8n u3 ■>o

Ejemplo 23 Un sólido está limitado por las superficies

1Si: p = - cot <p ese (p (en coordenadas esféricas)

S2: z = 3 (en coordenadas cilindricas)

Bosqueje la gráfica y calcule el volumen

del sólido.

Solución

Utilizando las relaciones entre las

coordenadas esféricas y las coordenadas

cartesianas: z = p eos (p,

y = p sen $ sen 0. x = p sen 0 cos:0 se

tiene xz + y 2 = p 2 sen2(¡).

376


De la ecuación de resulta

COSrf) t i -> 7\3p = --r—- <=> 3p sen20 = p eoscp => 3(x“ + y ) = z

sen ¿(p

EMa ecuación representa a un paraboloide circular.

Por otro lado, la ecuación cartesiana de S2 es z = 3.

La gráfica del sólido se muestra en la Fig. 7.40. Las secciones transversales del

sólido, perpendiculares al eje z, son círculos de radio r = *Jz/3. Así, el área de

la sección plana es

A(z) = y , z 6 [0; 3]

Usando el método de secciones planas, el volumen del sólido resulta

f 3nz 3n ,n s ) = Jj T * = y U

Ejemplo 24 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto Pt (0; -2; 4) y

es tangente al cilindro 5: 2y = x2 . El ángulo que forma dicha recta con el plano

xy es de 30° (4 soluciones).

Solución

Sea P0(a; b; c) el punto de tangencia (Fig. 7.41 izquierda). En la vista horizontal

(visto desde arriba hacia abajo - Fig. 7.41 derecha), se tiene

y + 2Pendiente de la tangente: m = (a)

dy y + 2También m = — = x. Luego, ----= x (p)

dx x


SUPERFICIES

Por otro lado, A(x;y ;z ) pertenece al cilindro, entonces

2y = x2 (y)

De (y) y (/?) se obtiene y = 2, x — ±2

Si se reemplaza m = ±2 en (a) se obtiene las ecuaciones de los planos

tangentes Q1: y + 2 = 2x y Q2: y + 2 = —2x

1. Considerando el plano tangente Qt : 2x — y — 2 = 0, se tiene:

P0 £ Qi => 2a — ¿) — 2 = 0

P0 £ S => 2b = a 2

De estas dos ecuaciones se obtiene a = 2 y b = 2

Dado que el ángulo que forma la recta con el plano xy es 30°, entonces

l , _________ i;. -11 _________l lv í l l 2 + (6 + 2)2 + (c _ 4)2

Reemplazando el valor de a = 2 y Z? = 2, se obtiene

1 |c-4| 2Vl5- = => C = 4 ± —-—4 V20 + (c - 4)2 3

Luego, las ecuaciones de las rectas tangentes son

Lx: P = (0 ;—2;4) + t ^ l ; 2 ; ^ j , t £ R

¿2: Q = (0 ;-2;4) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i A G E

2. Considerando el plano tangente Q2: 2x + y + 2 = 0, se obtienen las

soluciones:

¿3: P = (0 ;-2;4) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j , t E R

L4: Q = (0 ;-2;4) + A^ — , A G E

2VÍ5Los puntos de tangencia son (—2; 2; 4 ± —-—)

378

I. En cada uno de los siguientes ejercicios, discutir y graficar la superficie representada por cada ecuación

a) x2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 b) x2 + 4y2 + 4z = 0

c) x2 - y 2 + 4z 2 = 4 d) x2 - y 2 - 4zz = 4

e) 4x2 + 8y + z2 = 0 f) x2 + 9y2 = z 2

;) 25y2 - x 2 - 9z2 = 0 h) x2 + 4y2 = 4z2 - 4z + 1


EJERCIC IOS

O

1) x2 - y 2 - 4z2 = 4 j) x2 + y 2 = 1 + z

k) 16x2 - 9y2 - z 2 - 144 = 0 I) y 2 + 16x2 = 64 - 4z2

II. En cada uno de los ejercicios, calcule el volumen del sólido limitado por las superficies

1 } ^ + ¥ + ^ = 1 R' ( ^ a ¿ c ) u 3

2) 8z = x2 + 4y2 , z = 1 R. (V2 n)u 3

X2 23) — + y - z 2 = 1 ,z = - 1 ,z = 2 R. (36tt)u3

4) z = x2 + 2y2 , x2 + 2y2 + z2 = 6 (dos soluciones)

x2 y2 z2 x2 y2 z25) 4-9" — 1 ' ~6 +~4 +~c¡’ = ^ (tressoluciones)

x2 y 2 z|z| /299 \ ,

?) T ' 2 = 3 R' (“T * ) “

III. Halle la ecuación de la recta L que pasa por PÔ; -7; 3) y es tangente a la

superficie cilindrica y = 5 - (x - 4)2 . La recta L corta a la recta

W- P - (1; 1; 1) + t(0; 2; -3), t 6 E (dos soluciones)

R. V\ Q = (0; -7; 3) + t(l; 12; -8), t £ E

L": R = (0; -7; 3) + A (l; 4; 4), X £ E

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Tópicos de cálculo Vol. II H - By Priale