Tópicos de Física Clássica II

Tópicos de Física Clássica II Prof. Antônio Carlos Fontes dos Santos 17/07/2013 Mestrado Profissional em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ

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2 Tópicos de Física Clássica II – Prof. Antônio Carlos

Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física

Mestrado Profissional em Ensino de Física Tópicos de Física Clássica II (http://omnis.if.ufrj.br/~toni/top_fis_clasII.pdf)

Prof. Antônio Carlos ([email protected])

Objetivos: Discussão da eletrodinâmica de Maxwell, com ênfase na propagação e emissão da radiação eletromagnética. Apresentação da teoria da relatividade restrita em seus aspectos experimentais, conceituais e formais. Ementa: 1) As equações de Maxwell. Invariância de calibre. Ondas eletromagnéticas; polarização. Vetor de Poynting. Potenciais retardados. O oscilador de Hertz. 2) A relatividade galileana e a eletrodinâmica. O experimento de Michelson-Morley. A relatividade restrita. Transformação de Lorentz. Adição de velocidades. Efeito Doppler. Momento e energia relativísticos. O espaço-tempo de Minkowski; quadrivetores e quadritensores. Transformação de Lorentz dos campos eletromagnéticos. Noções sobre relatividade geral.

Avaliação: listas em sala de aula (Li) e para casa (Lc), onde Li é a média entre as 75% maiores notas e 2 Provas (Pi). A média final (M) será calculada por: M=(P+Li+Lc)/3. CONCEITOS:

A10 M 9,0; B 8,9 < M 7,0;

C6,9 M 5,0;

D5 < M; Dica para um bom rendimento neste curso: pontualidade e assiduidade! Haverá uma tolerância de no máximo 10 minutos para atrasos.

Bibliografia:

GRIFFITHS, D.J., Eletrodinâmica, Pearson Education, Terceira Edição. (referência principal)

REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W., Fundamentos da Teoria Eletromagnética, Rio de Janeiro: Editora Campus, 1982.

Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo, vols. 1,2 e 3, Editora UEPG, 2004.

Anita Macedo, Eletromagnetismo, Editora Guanabara. H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Eletromagnetismo, cap. 12 (Blucher, 2002).

H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, cap. 6 (Blucher, 2002).

R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. 2 (Addison Wesley, 1970).

R. Resnick, Introdução à Relatividade Especial (EDUSP, 1971). E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Spacetime Physics (Freeman, 1992).

A lista completa está disponível em: http://omnis.if.ufrj.br/~toni/top_fis_classII.pdf “...we should not ask what light really is. Particles and waves are both constructs of the human mind, designed to help us speak of the behavior of light in different circumstances. With Bohr we give up the naive concept of reality, the idea that the world is made up of things, waiting for us to discover their nature. The world is made up by us, out of our experiences and the concepts we create to link them together.”

Frisch, O. R. (1972). The nature of matter. London: Thames and Hudson.





O conhecimento é ensinado ou aprendido? (Joseph Lowman, Dominando as Técnicas de Ensino)

Se os membros de uma comunidade acadêmica forem ouvidos sobre os modos de melhorar a qualidade da educação, os estudantes certamente sugerirão contratar e promover docentes que sejam melhores professores, enquanto o corpo docente

provavelmente sugerirá que se admitam estudantes mais brilhantes, mais preparados e mais motivados. Qual opinião é mais válida? Quão responsáveis, de fato, são os docentes pela quantidade daquilo que os estudantes aprendem e pelo grau de discernimento que eles desenvolvem? Quão responsáveis são os docentes pela proficiências dos estudantes em habilidades fundamentais – como ler, pensar, resolver problemas, escrever e falar , ou pela atitude dos estudantes com respeito à

aprendizagem? Quem deve ser mais culpado quando os estudantes frequentam a universidade meramente pelas notas, pelas recompensas antecipadas do status profissional ou social, ou para se distraírem socialmente? Ao contrário, quem merece os

créditos por aqueles raros estudantes que não somente dominam ativamente o conteúdo básico e as habilidades, mas também

entendem a disciplina de modo novo e original e são de alguma forma capazes de integrar o conhecimento aprendido de áreas díspares, em uma visão única e pessoal?

Uma velha estória conta o caso de dois meninos e um cachorro, de nome Redd, que estavam andando juntos por uma calçada. O primeiro menino disse: “Ensinei o Redd, aqui a falar.” O Segundo menino exclamou: “Uau! Que legal!”, mas depois de pensar um

momento, ele continuou: “Mas eu não o ouvi falar.” O primeiro menino respondeu, “Eu não falei que ele aprendeu a falar, eu disse que eu o ensinei a falar.”

Esse pequeno diálogo ressalta as questões centrais em qualquer discussão sobre a relação entre ensinar e aprender: (1) Em que medida é o aprendizado função do ensino? (2) Em que medida o ensino pode ser avaliado, tomando-se como base o que os estudantes aprendem? Essas questões podem parecer triviais ou suas respostas, óbvias, mas as dificuldades que encontramos

quando tentamos respondê-las destacam a ausência de um modelo efetivo para esses processos de ensino no nível universitário. A perspectiva Vygotskiana: do social para o individual (E. F. Mortimer e P. H. Scott, Meaning Making in Secondary Science Classrooms, adaptado): Central para a perspectiva de Vygotsky é a ideia de que o desenvolvimento e a aprendizagem envolvem a passagem do contexto

social para a compreensão individual. O quê isto significa? Muito simples, primeiramente somos apresentados a novas idéias e conceitos em situações sociais onde estas ideias são compartilhadas entre as pessoas, através da fala, gestos, escrita, imagens

visuais, etc...Dentro desta perspectiva sociocultural, a aprendizagem é vista como um processo de internalização. Se desejamos investigar os modos nos quais as pessoas pensam sobre o mundo ao nosso redor, devemos investigar os modos como as pessoas

falam e comunicam sobre o mundo. Se estamos interessados em saber como o aprendizado ocorre em sala de aula, então devemos examinar a fala e os outros modos de comunicação em sala de aula. O processo de aprendizagem e desenvolvimento que é descrito aqui não é aquele que envolve ideias sendo transferidas diretamente do professor ao aluno. O que está envolvido é

o processo contínuo de comparação e checagem de sua própria compreensão com as ideias que estão sendo compartilhadas no plano social. Se por exemplo há uma superposição significativa entre as ideias sendo introduzidas pelo professor no plano social e

a compreensão desenvolvida pelo aluno, então o aprendizado não será problemático, porque o aluno é capaz de assimilar o que o professor está comunicando ao seus padrões existentes de fala e pensamento. Mas há também a possibilidade do aluno achar que o professor está dizendo é não familiar e se esforça para relacionar-lo à sua atual compreensão. Em tais casos, o ensino e o

aprendizado tornam-se mais exigentes.

Objetivo de ensino foco

Apresentação do problema Engajar os alunos intelectualmente e emocionalmente no desenvolvimento inicial dos conceitos

Explorar e trabalhar sobre as visões dos alunos Testar as visões e compreesões dos alunos sobre as ideias e fenômenos específicos

Introduzir e desenvolver os conceitos

Guiar os alunos a trabalharem com os conceitos científico,

apoiando a intenalização

Fornecer oportunidades para que os alunos falem e pensem

com os novos conceitos, seja individualmente ou em grupo.

Ajudar aos alunos em aplicar e expandir o uso do conceito e

repassar responsabilidade para a sua utilização

Apoiar os alunos na aplicação os conceitos em vários contextos

e repassar responsabilidade para utilizar os conceitos.

Mantendo o desenvolvimento das ideias e conceitos Fornecer um comentário sobre o desdobramento dos

conceitos; ajudar aos alunos a seguirem o desenvolvimento do conceito e verificar como ele se ajusta no curriculo de

modo geral

Formato geral da aula

1) pergunta feita; 2) Estudantes têm tempo para pensar;

3) Estudantes registram ou relatam respostas individuais; 4) Estudantes vizinhos discutem suas respostas;

5) Estudantes registram ou relatam as sua respostas revistas; 6) Feedback para o professor: distribuição de respostas; 7) Explicação da resposta correta;

Caro aluno, está disciplina é conteudista, citando M. A. Moreira: “mas não do tipo conteúdo pelo conteúdo. Conteúdos são importantes, competências sem conteúdos não existem. Mas são importantes do ponto de vista conceitual, fenomenológico e da transferência didática para a sala de aulas do século XXI.

Ministrar uma disciplina não é “dar um livro”. Por exemplo, ministrar uma disciplina de Eletromagnetismo não é “dar o Jackson” ou

“dar o Corson”. Isso não é ensinar, é fazer o aluno repetir o que está no livro, resolver problemas que já estão resolvidos em algum lugar (e.g., internet) e decorar tudo para as provas. Uma disciplina de Eletromagnetismo para professores deve concentrar-se nos conceitos (e.g., campo eletromagnético, força eletromagnética, potencial elétrico, indução eletromagnética, ...) e nos fenômenos





básicos descritos pelas Equações de Maxwell. É claro que algum formalismo é necessário, mas a ênfase não deve estar no

formalismo. Enfim, as possibilidades são muitas. O importante é que os professores alunos aprendam esses conteúdos de maneira significativa e sejam capazes de abordá-los com seus alunos no Ensino Médio. É preciso dizer não ao formalismo. Esses professores não serão

físicos e seus alunos também não. Ensinar Física como se os alunos fossem futuros físicos é um erro cometido desde o PSSC. Poucos serão físicos, talvez mais se a Física for ensinada de outra maneira.

A avaliação

Este é um dos principais problemas do processo ensino-apredizagem. A avaliação não pode ser apenas somativa, baseada em provas de resposta correta. Isso é comportamentalismo. A avaliação deve der também formativa (ao longo do processo) e recursiva (permitir que o aluno refaça tarefas, aproveite o erro). Não devemos cair no lugar comum de “dar a matéria”, cobrá-la nas provas e reprovar grande parte dos alunos dizendo “eu ensinei e eles não aprenderam”. Isso não existe. Só há ensino quando

há aprendizagem. Também não adianta dizer que os alunos estavam mal preparados, não tinham base, e por isso foram reprovados. Sabemos que muitos dos professores de Física estão mal formados, têm deficiências em Física e Matemática. Nosso problema é recuperá-los, ajudá-los a superar tais deficiências. Simplesmente reprová-los é um fracasso não só deles, mas igualmente nosso como docentes do MNPEF. Sem dúvidas, uma tarefa difícil.

Ensino centrado no aluno

Esse enfoque é padrão no discurso educacional contemporâneo, tanto na educação básica, como na superior, tanto nacional como internacionalmente, mas na prática o ensino continua centrado no professor (o modelo da narrativa, o professor como narrador)

que “dá a matéria” (a educação bancária de Freire). O modelo da narrativa é aquele no qual o professor repete (no quadro de giz ou com slides Power Point) o que está no livro, o aluno anota tudo o que pode (ou pede os arquivos eletrônicos), decora e repete nas provas. E se passa nas provas, logo esquece tudo. É preciso abandonar este modelo. O aluno deve participar ativamente, aprender ativamente (active learning). O professor deve dar aulas curtas, miniaulas, e, logo após, propor tarefas (problemas,

questões, mapas conceituais, atividades computacionais,...) a serem resolvidas em pequenos grupos (três ou quatro alunos;

mínimo dois) e cujos resultados são apresentados ao grande grupo ou apenas ao professor que os revisa e devolve com comentários e permite que sejam refeitos. À segunda versão o docente pode atribuir uma nota ou conceito que será computado

para fins de avaliação formativa. Seguramente existem outras alternativas para aumentar a participação dos alunos, mas o importante é o diálogo, a interação social entre alunos e professor e entre os alunos. O ensino no qual o professor fala sozinho, explicando tudo “direitinho”, é

medieval. Não tem sentido no século XXI. Porém centrar o ensino no aluno não significa minimizar o papel docente no processo ensino-aprendizagem. Ao contrário, o papel do professor como mediador é muito mais importante do que o de narrador,

explicador, repetidor. A interação professor-aluno é muito maior quando o ensino é centrado no aluno não no professor.

Criando “fluidez”: Encontrando o balanço entre chatice e ansiedade (adaptado)

Quando planejamos as atividades e tarefas na disciplina que ministramos, frequentemente pensamos em termos do que os

alunos produzirão – listas, relatórios, apresentações, etc... Pesquisas sugerem, no entanto, que fornecendo oportunidades para que os alunos pensem enquanto desenvolvem as suas tarefas pode aumentar o desempenho e o prazer.

Idealmente, os alunos deveriam achar suas tarefas tanto desafiadoras quanto envolventes. Este ideal é às vezes chamado de fluidez. Um aluno experimentando uma fluidez está intrinsecamente motivado, encontrando prazer e recompensa no desempenho da tarefa. Por consequência, pessoas experimentando fluidez – sejam artistas, atletas ou estudantes – gostam do que estão realizando, o que significa que tendem a manter uma concentração intensa, alcançando altos níveis de desempenho. De

acordo com a psicóloga Mihaly Csiksentmihályi, fluidez resulta de um balanço entre as habilidades das pessoas e de desafios. Fornecendo tarefas que desafiam os alunos muito além do nível de suas habilidades atuais leva à ansiedade; fornecer desafios que exigem poucas habilidades leva à chateação. Professores e alunos devem se esforçar para estarem no “canal de fluidez” onde as

habilidades encontram os desafios.





Formulário

Equações de Maxwell Forma diferencial

t

BE

B

Jt

DH

D

0

Forma integral

0..

0.

...

.

C S

S

SC S

S V

SdBdt

dldE

SdB

SdjSdDdt

dldH

dVSdD

Equações constitutivas

Ej

HB

ED

Campos auxiliares

HM

EP

MB

H

PED

m

eo

o

o

Força de Lorentz

t

pdVBjEF

tBjEf

mec

V

mec

Lei de Biot-Savart

V

C

dVr

rjB

r

rldIB

r

rvqB

'ˆ

4

ˆ'

4

ˆ

4

2

2

2

Condições de contorno

tjn

En

Bn

Hn

Dn

.ˆ

0ˆ

0.ˆ

ˆ

.ˆ

Potenciais

jA

r

rmrA

dVrr

rJA

AB

t

AVE

dVrr

rrV

V

o

Vo

2

2

'

ˆ

4)(

'

)'(

4

''

)'(

4

1)(

Energia, momento

2

.

..2

1

2oo

VV

emem

em

EcIS

dVSdVp

SBD

Ejw

BHDEu

wt

uS

uvS

HES

Ondas

Z

BEk

vBE

t

EE

02

Relatividade especial t=to

-1

=(1-2)

1/2

=v/c

L= -1

Lo

x’=(x-vt) y’=y

z’=z

t’=(t-vx/c2)

42222

22

cmcpE

TmcmcE

ump

Transformações de velocidades

2

'

2

'

2

'

1

1

1

c

Vv

vv

c

Vv

vv

c

Vv

Vvv

x

zz

x

y

y

x

xx

Valores numéricos Carga do elétron (módulo): e

=1,610-19

C

Permeabilidade do vácuo: o =

410-7

H/m

Permissividade do vácuo: o =

8,85410-12

F/m

1/4o = 8,988109 Nm2/C2

Velocidade da luz no vácuo: c =(oo)-

1 = 2,99810

8 m/s

Zo =(o/o)1/2

= 120 377





Formulário

Delta de Dirac

R

ox

n

nn

on

n

Rxdx

fddxxx

dx

dxf

xxdx

dx

axaxa

ax

a

rara

o

)1()()(

)()(

)()(2

1)(

)()(

22

Relações entre os unitários

ˆˆcos

ˆcosˆcosˆˆ

ˆˆcoscosˆcosˆ

ˆ

ˆcosˆˆ

ˆˆcosˆ

ˆ

ˆcosˆˆ

ˆˆcosˆ

senrz

senrsenseny

senrsenx

zz

yxsen

ysenx

zz

seny

senx

Coordenadas cartesianas

zz

fy

y

fx

x

ff

dxdydzdV

zdxdyydxdzxdydzSd

zdzydyxdxld

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Coordenadas cilíndricas

)()()(1

)(

ˆˆ21

ˆ21

ˆˆ1ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2

2

2

2

22

oooo

z

zzrr

zvvv

vv

vvv

zz

ffff

dzdddV

zdddzddzdSd

zdzddld

Coordenadas esféricas

)()cos(cos)(1

)()()(csc

)(

ˆcscˆ1ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2

2

2

2

ooo

oooo

rrr

rrr

rr

f

r

f

rr

r

ff

ddrdsenrdV

rdrddrdrsenrddsenrSd

drsenrdrdrld

vetores

)()()(

)()()(

BACCABCBA

ACBBACCBA

Operador Nabla

AAA

f

A

ABBABAABBA

fAAfAf

BAABBA

fAAfAf

ABBA

ABBABA

fggffg

2)()(

0)(

0)(

)()()()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)(

Integrais

S C

S C

SV

SV

SV

lfdfSd

ldvSdv

SfddVf

vSddVv

SdvdVv





Aula 1 – revisão sucinta de análise vetorial Nome:______________________________________________________________________________

Dica para um bom rendimento neste curso: pontualidade e assiduidade! 1- Qual é o módulo do vetor V = 1i + 2j – 2k ? A) ( ) -3 B) ( ) +3 C) ( ) 5 D) ( ) 1 2- Dados os vetores A = 1i + 1j – 1k e B = -1 i + 1j+ 1k . Seja o vetor C=A - 2B, então C é dado por: A) ( ) -3i + 1j + 3k; B) ( ) 3i + 1j – 3k; C) ( ) -3i -1j – 3k; D) ( ) 3i - 1j – 3k; 3- (produto escalar) Ainda sobre os vetores do item anterior o produto A.B é: A) ( ) -2; B) ( ) +3; C) ( ) +1; D) ( ) -1; 4- Qual o ângulo entre os vetores A e B no exercício anterior? A) ( ) cos

-1 1/3;

B) ( ) cos-1

-1/3; C) ( ) cos

-11/2;

D) ( ) cos-1

-1/2;

5- (produto vetorial) E o produto AB resulta em: A) ( ) 2j+2k; B) ( ) 2i+2j; C) ( ) 2i-2k; D) ( ) 2i+2k;

6- Seja ijk o tensor de Levi-Civita. O valor de 123132 é igual a a) ( ) 1 b) ( ) -1 c) ( ) 0

7- Qual é a expressão equivalente à )( cba

?

A) ( ) ijklmjalbmcjei

B) ( ) ijklmjajblcmel

C) ( ) ijmlkjaiblcmej

D) ( ) ijklmj aiblcmek





Aula 1 – revisão de álgebra vetorial (para casa- entregar na próxima aula, Favor não insistir)

“O dever de casa cria um senso de responsabilidade, além de reforçar o que foi vista na escola. Mas é preciso ser prazeroso, nunca massacrante” Marieta Severo

Repassando responsabilidade para o aluno: A etapa final do processo de aprendizagem envolve o professor fornecendo oportunidades para o aluno tentar e praticar as ideias científicas por si próprios. Esta etapa de aplicar as ideias deve ser realizada pelos alunos, com o apoio e suporte do professor. Inicialmente o aluno trabalhará em situações e problemas familiares, antes de gradualmente passar para contextos novos e não familiares. Conforme os alunos desenvolvem competência e confiança, o professor gradualmente repassa responsabilidade ao aluno. Este conceito de repassar responsabilidade segue diretamente do conceito Vygotskiano de aprendizagem, passando do desempenho assistido para o não assistido.

1- Mostrar que os vetores a, b e c podem ser permutados ciclicamente no produto misto, isto é:

).().().( acbbaccba

. Dica: utilize o tensor de Levi-Civita

Problemas adicionais (não é necessário entregar)

2- Mostre que em R3: a) ii= 3; b) ijijk= 0; c) ipqjpq =2ij; d) ijkijk=6

3- Use a antissimetria de ijk para mostrar que A.(AB)=0





Aula 2 – revisão sucinta de cálculo diferencial Nome:______________________________________________________________________________

1- O gradiente de f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 é: A) ( ) 2xi+2yj+2zk; B) ( ) 2i+2j+2k; C) ( ) xi+yj+zk; D) ( ) 2xi+2j+2zk;

2- Qual o vetor que melhor representa o gradiente da energia potencial gravitacional no ponto P?

A) ( )

B) ( ) C) ( )

D) ( ) +

E) ( ) +

3- A figura abaixo representa superfícies equipotenciais. Qual é o vetor que melhor representa o gradiente

no ponto P?

A)( )

B) ( )

C) ( )

D) ( ) +

E) ( ) +

4- A divergência de v = x

2 i + 3xz

2 j -2xz k é:

A) ( ) 2x-2z; B) ( ) 2x+2z; C) ( ) 2; D) ( ) 0;

5- Seja k uma constante positiva. Qual dos campos vetoriais abaixo é solenoidal?

A) ( ) kzjyixk ˆˆˆ

B) ( ) kzjyixk ˆˆˆ 222

C) ( ) kxjziyk ˆˆˆ

D) ( ) kzjxixk ˆˆˆ

6- A alternativa que indica o sinal do fluxo nas três situações abaixo é, respectivamente:

a) ( ) +. +, + b) ( ) 0,+,- c) ( ) +,+, - d) ( ) 0, +, 0

7- O rotacional de jxiyv ˆˆ

é:

a) ( ) 2i b) ( ) 2j c) ( )2k d) ( )-2k





8- A alternativa que corretamente indica a direção do rotacional da função abaixo é:

a) ( ) +z b) ( ) –z c) ( ) +x d) ( )-x e) ( )+y

9- Correlacione:

A) ( ) z

ky

jx

i

ˆˆˆ

(nabla)

B) ( ) z

ky

jx

i

ˆˆˆ

(gradiente)

C) ( ) z

A

y

A

x

AA zyx

(divergência)

D) ( ) A

(rotacional)

I) Opera em campos vetoriais e produz um resultando escalar que indica a tendência do campo de fluir a partir de um ponto. II)Opera em um campo vetorial e produz um vetor que indica a tendência do campo de circular em torno de um ponto.

III) Representa um operador diferencial de múltiplos propósitos que pode operar em campos escalares ou vetoriais produzindo grandezas escalares ou vetoriais IV) Opera em campos escalares e produz uma grandeza vetorial que indica a taxa de variação espacial do campo em um ponto e a direção de maior aumento naquele ponto.

Aula 2 – para casa (entregar na próxima aula)

1-Encontre os gradientes das seguintes funções:

a) f(x,y,z) =x2 + y2 + z2 b) f(x,y,z) =x2y3z4 c) f(x,y,z) =ex seny (lnz)

2) Considere que r seja o vetor separação de um ponto fixo (x’,y’,z’) até o ponto (x,y,z) e que r é o seu comprimento. Mostre que:

a) rr

22

b) 2

ˆ1

r

r

r





Aula 3 – Segundas derivadas e cálculo integral

Nome:______________________________________________________________________________

1- (segundas derivadas) Indique quais das operações abaixo não fazem sentido (negrito indicam funções vetoriais). a) ( ) grad(div f)

b) ( ) grad(rot f

)

c) ( ) rot (div f)

d) ( ) div (rot f

)

e) ( ) div(grad f

)

f) ( ) grad(grad f)

2- (divergência do gradiente) Qual é a divergência do gradiente de f(x,y,z) = x2 + y

2 + z

2 ?

a) ( ) 0 b) ( ) 6 c) ( ) 3 d) ( ) -6

3- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)

a) ( ) ).().( AA

b) ( ) ).(2 FF

c) ( ) 0)(

F , sempre!

d) ( ) 0).( F

e) ( ) 0)(

g , sempre!

4- (fluxo de um campo vetorial) Um campo de velocidade v existe em uma região do espaço. Uma

superfície fechada S é dividida em quatro seções, S1, S2, S3 e S4. Existe uma fonte localizada externamente próxima à superfície fechada e de S1; podem existir outras fontes ou sumidouros próximos das outras superfícies Sn, mas nenhum está dentro de S. O que pode concluir quanto

a , o fluxo através de S1 ?

a) ( ) 1 > 0; b) ( ) 1 = 0; C) ( ) 1 < 0; D) ( ) Nada se pode afirmar quanto a 1 sem outras informações adicionais;

5- (fluxo de um campo vetorial) Qual das seguintes sentenças sobre o fluxo através das quatro superfícies é correta?

a) ( ) pelo menos um dos n deve ser negativo;

b) ( ) pelo menos um dos n deve ser positivo; c) ( ) pelo menos um dos n deve ser nulo; d) ( ) Se (a) é correto, então (b) também é. e) ( ) Ou (a) ou (b) é correto, mas não ambos.

6- (integral de caminho) O valor de C

ldjyxix

).ˆˆ( , onde C é o caminho ao longo da reta que

une o ponto (0,0) até (1,0) e a reta que passa por (1,0) até (1,1) , é: a) ( ) -2 b) ( ) -1 c) ( ) 0 d) ( ) 1 e) ( ) 2





7- (integral de superfície) água fluindo na direção com uma taxa Tx = 3yz litros.min-1

.m-2

. Qual é fluxo total de água através de uma área retangular com cantos em (0,0,0), (0,3,0), (0,0,2) e (0,3,2) m? a) ( ) 9 litros/min b) ( ) 18 litros/min c) ( ) 27 litros/min

8- (fluxo de um campo vetorial) Medições indicam que 1 + 2 > 0. Desta informação podemos concluir que

a) ( ) 3 = 4 b) ( ) 3 = - 4 c) ( ) 3 > 4 d) ( ) 3 < -4

9- (integral de volume) Se a densidade =dm/dV é uma função da posição dada por =5xyz kg.m-3

, qual é a massa em um volume limitado pelos planos x =0, x=2m, y=0, y=4m, z=0, z=6m? a) ( ) 1440 kg b) ( ) 240 kg c) ( ) 720 kg d) ( ) 360 kg

10- O quê define uma força conservativa?

a) ( ) 0. SdF

ou 0 F

b) ( ) a força deve ser de fricção c) ( ) a força deve ser nuclear d) ( ) a força deve ser eletromagnética

e) ( ) 0. rdF

ou 0 F





Aula 3 – para casa (entregar na próxima aula)

1) calcule a integral de linha da função v = x2 i + 2yz j +y

2 k da origem até o ponto (1,1,1) por três caminhos

diferentes:

a) (0,0,0)(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1) b) (0,0,0)(0,0,1)(0,1,1)(1,1,1) c) Uma linha reta; d) Qual é a integral de linha em torno de caminho fechado que segue o caminho (a) e volta pelo caminho

(b)?

2) Calcule a integral de volume da função T=z2 para o tetraedro com cantos em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Problemas adicionais (não é necessário entregar) Para casa: Probs. 1.53, 1.54, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58 do Livro texto (Griffiths)

3) Calcule o Laplaciano das funções a seguir: A- f (x, y, z) = x

2 + 2xy + 3z + 4

B- g(x, y, z)=senx.seny.senz C- h(x, y, z)=e

-5xsen4y.cos3z

D- v (x, y, z)=x2i+3xz

2j-2xzk

4) Prove que a divergência de um rotacional é sempre zero. Verifique para a função va = x2 i + 3xz2 j – 2xz k.

5) Prove que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Verifique para a função f=x2y3z4





Aula 4 – Equações de Maxwell Nome:______________________________________________________________________________

1) (equações constitutivas) Num certo meio anisotrópico e numa dado sistema de coordenadas cartesianas, o tensor permissividade elétrica é

0

0

0

ij

. Se o campo elétrico é

expresso como kEjEiEE ˆˆˆ000

, calcule

o vetor deslocamento.

A) ( ) kEjEiED oooˆˆˆ

B) ( ) kEjEiED oooˆ2ˆ2ˆ2

C) ( ) kEjEiED oooˆ2ˆ2ˆ2

D) ( ) kEjEiED oooˆ2ˆ2ˆ2

2) (Lei de Gauss da eletricidade) Considere duas superfícies esféricas concêntricas, S1 com raio a e S2 com raio 2a, ambas centradas na origem. Existe uma carga +q na origem e mais nenhuma

outra. Compare o fluxo 1 através de S1 com o

fluxo 2 através de S2

A) ( ) 1 = 42

B) ( ) 1 = 22

C) ( ) 1 = 2

D) ( ) 1 = 2/2

3) (lei de Gauss da eletricidade, para discussão) Suponha que seja nula a carga total contida no interior de uma superfície Gaussiana. Podemos concluir, da Lei da Gauss, que o campo deve ser zero em todos os pontos da superfície? Será verdadeira a recíproca desta afirmação, isto é, se E for nulo em todos os pontos de uma superfície fechada, então também é nula a carga total nela contida?

3) (Lei de Gauss do magnetismo) A equação div B =0 implica que existe um vetor A, tal que:

A) ( ) A=rotB; B) ( ) B=rotA; C) ( ) B=divA; D) ( ) A=divB; E) ( ) B=div(rotA);

4) (Lei de Faraday da Indução) O circuito ao lado está em uma região de campo magnético que está entrando na folha de papel e decrescendo em magnitude a uma taxa de 150 tesla/segundo, conforme ilustrado. A leitura do amperímetro é:

A) ( ) 0,15 A; B) ( ) 0,35 A; C) ( ) 0,50 A; D) ( ) 0,65 A; E) ( ) 0,80 A;

5) As figuras abaixo mostram, em várias situações, o campo elétrico e o campo magnético induzido. Determine em cada caso se o módulo do campo elétrico está aumentando ou diminuindo.

A) B) C) D)

6) Se a carga magnética existisse e se fosse conservada, quais das equações de Mawell deveriam ser modificadas? a) ( ) somente a Lei de Gauss da eletricidade b) ( ) somente a Lei de Gauss do magnetismo c) ( ) somente a lei de Faraday d) ( ) A lei de Gauss da eletricidade e a lei de Ampère e) ( ) A lei de Gauss do magnetismo e a lei de Faraday





7) (para discutir em sala) Quando empurramos um imã na direção de uma espira (figura a), o agente que causa o movimento do imã sofrerá sempre a ação de uma força resistente, o que o obrigará à realização de um trabalho a fim de conseguir efetuar o movimento desejado. A) Explique o aparecimento dessa força resistente. B) Se cortamos a espira (fig. b), será necessário realizar trabalho para movimentar o imã?

Aula 4– Equações de Maxwell (para casa- entregar na próxima aula, Favor não insistir)

1- Obtenha as equações de onda para os campos elétrico e magnético no vácuo e na ausência de fontes: Dica: Aplique o rotacional em ambos os lados da lei de Faraday e na lei da Ampère.

0

0

2

22

2

22

t

BB

t

EE

oo

oo





Aula 5 – A formulação do potencial (ref. Griffiths seção 10.1) Nome:_______________________________________________________________________

Dica para um bom rendimento neste curso: pontualidade e assiduidade!

Questão de motivação: O potencial de fato é uma grandeza (campo) real, ou apenas um artifício matemático?

1- Dado um campo magnético B=Bok, qual das opções abaixo melhor representa as linhas de campo do vetor potencial A?

A)( )

B)( )

C)( )

D)( )

2- O campo magnético dependente do tempo de um solenoide infinito de raio d e n espiras por unidade de

comprimento, cujo eixo de simetria coincide com o eixo z é B=B(t)k, onde B(t)=ni(t). Se a corrente varia

linearmente com o tempo de acordo com a relação i(t)=t, qual é a corrente induzida em um anel metálico de raio D concêntrico ao solenóide com resitência R ?

A) ( ) (D2/R)dB/dt

B) ( ) (d2/R)dB/dt

C) ( ) (D2/R)di/dt

D) ( ) (d2/R)di/dt

3- (campo magnético) Dados os potencias V(r,t)=0 e A(r,t)=Aox

2tk, calcule o campo elétrico correspondente

a) ( ) +2Aoxtj b) ( ) -2Aoxtk c) ( ) -2Aoxtj d) ( ) -2Aoxtk

4- (campo elétrico) Calcule o campo elétrico correspondente aos potenciais do item anterior a) ( ) +Aox2j b) ( ) –Aox

2j

c) ( ) +Aox2k

d) ( ) –Aox2k

5- Usando a lei de Gauss na forma diferencial, calcule a densidade volumar de carga do campo elétrico do

item anterior

a) ( ) -2oAox b) ( ) +2oAox c) ( ) 0

6- Usando a lei de Ampère generalizada, calcule a densidade de corrente j(r,t) a partir dos campos elétrico

e magnético.

a) ( ) +(2Aot/o)k

b) ( ) +(2Aot/o)j

c) ( ) –(2Aot/o)k d) ( ) +(2Aot/o)k

7- Assinale a alternativa correta:





A) ( ) o campo elétrico E é sempre irrotacional; B) ( ) o campo elétrico E eletrostático tem rotacional não nulo; C) ( ) a grandeza E + ∂A/∂t é sempre irrotacional;

D) ( ) a grandeza -V - ∂A/∂t é sempre irrotacional; E) ( ) o campo elétrico é sempre conservativo;

8- O potencial vetor tem dimensões de: A) ( ) Força/unidade de carga; B) ( ) trabalho/unidade de carga; C) ( ) momento/unidade de carga; D) ( ) energia/unidade de carga;

9- Em uma região onde o potencial eletrostático é uniforme, o vetor potencial é representado pela onda

plana A(t)=Aoeit

, onde Ao é constante . Então, a amplitude do campo elétrico Eo e a densidade de

energia eletromagnética média u=Eo2/2 são dados, respectivamente por:

A) ( ) -Ao i, -(Ao)2/2

B) ( ) Ao i, (Ao)2/2

C) ( ) -Aoi, (Ao)2/2

D) ( ) Aoi, -(Ao)2/2

10 – (Transformação de calibre) Realizando uma transformação de calibre aplicando a função = -

Qt/4or para os potenciais V(r,t)=-Q/4or e A(r,t)=0, obtêm-se o potencial vetor

a) ( ) A’=-(Qt/4or3)r

b) ( ) A’=+(Qt/4or2)r

c) ( ) A’=-(Qt/4or2)r

d) ( ) A’=+(Qt/4or3)r

11- E o potencial elétrico fica

a) ( ) V’=+2Q/4or

b) ( ) V’=-Q/4or c) ( ) V’=+Q/4or d) ( ) V’=0

12- Indique se verdadeiro (V) ou falso (F) a) ( ) os potenciais A e A’ que se diferenciam entre si por uma transformação de calibre produzem o

mesmo campo (mesmos efeitos físicos) b) ( ) ao somarmos uma constante ao potencial vetor obtemos os mesmos efeitos físicos

c) ( ) Ao somarmos um função rot ao potencial vetor obtemos os mesmos efeitos físicos

Resumo:

tVV

AA

t

AVE

ldASdB

AB

S C

'

'

.

Calibre de Coulomb

0. A

Calibre de Lorentz

0.

t

VA

Equação de onda não homogênea 2V=-/ 2A=-j 2 2 -2/t2





Aula 5 - Para casa (entregar na próxima aula, favor não insistir)

1- Utilizando o calibre de Coulomb .A = 0, e aplicando rotacional em B = A, mostre que 2A = -J.

Lembre-se da aula 2.

Problemas adicionais (para estudar para a prova)

2- Encontre os campos e as distribuições de carga e de corrente correspondentes a V(r,t) = 0 e A(r,t)=-

(qt/4or3)r . Note que r/r é o vetor unitário na direção radial em coordenadas esféricas. Lembre-se de

usar a expressão do operador nabla em coordenadas esféricas.

3- Suponha que V =0 e A(r,t)= Ao sen(kx-t)j, onde Ao, e k são constantes. Encontre E e B, e verifique se

satisfazem as equações de Maxwell no vácuo. Que condição tem de ser imposta a e k ?

4- Use a função de calibre = -(qt/4or) para transformar os potenciais do problema (1) e comente o resultado.

5- Utilizando a forma integral S C

ldASdB

. e considerações de simetria, determine um potencial

vetor em todos os pontos do espaço onde, em coordenadas cilíndricas, a indução magnética seja dada por

a) B=Bok

b) B=B ()k

c) B=Bo

d) B=B()

Resp:a) A()=(Bo/2); b)

0

)(ˆ1duuB ; c) A()=(-Bo)k; d)

0

)(ˆ duuBk





Aula 6 – Potenciais retardados (ref. Griffiths seção 10.2)

Nome:_______________________________________________________________________________ Lembre-se: Assiduidade e pontualidade!

Não é interessante o fato de que elétrons oscilando em estrelas distantes fazem oscilar os elétrons em nossos olhos? Newton concebia a física em termos de campos de ação à distância instantâneos. Será? Você já notou o atraso quando um repórter se comunica com outro repórter do outro lado do mundo ?

1- Para velocidade de propagação infinita, equação de d’Alembert

2

22

t

VV se reduz a

(lembre-se c2 = ()

-1) :

a) ( ) 02

22

t

VV (equação de onda homogênea)

b) ( )

V2 (equação de Poisson)

c) ( ) 02 V (equação de Laplace) d) ( ) ficaria inalterada

2- Uma carga pontual q está situada em r’=(1 m,0 m,0 m). Qual é o potencial elétrico em r= (0 m, 0m, 1m)?

a) ( ) o

qV

4

b) ( )

o

qV

24

c) ( ) o

qV

2

d) ( ) o

qV

8

3- Sejam r = xi+yj+zk e r’=x’i+y’j+z’k então r =|r-r’| é igual a:

A) ( ) [(x-x’)2 -(y-y’)2 -(z-z’)2]1/2; B) ( ) [(x+x’)2 +(y+y’)2 +(z+z’)2]1/2; C) ( ) [(x+x’)2 -(y+y’)2 -(z+z’)2]1/2; D) ( ) [(x-x’)2 +(y-y’)2 +(z-z’)2]1/2;

4- Se o tempo retardado é dado por tr =t- R/c, então tr/x é A) ( ) +(x-x’)/cR; B) ( ) -(x+x’)/cR; C) ( ) +(x+x’)/cR; D) ( ) -(x-x’)/cR;

5- Ainda sobre o tempo retardado, pode-se afirmar que /tr é igual a:

A) ( ) -/t;

B) ( ) /t;

C) ( ) (1/c)/t;

D) ( ) –(1/c)/t;





6- No caso estático, o campo elétrico

dV

rrc

trj

rrc

rrtr

rr

rrtrtrE

V

rrr

'

223 '

),'(

'

','

'

','

4

1),(

se reduz à:

a) ( )

dVrrc

rrtr

rr

rrtrtrE

V

rr

'

23'

','

'

','

4

1),(

b) ( )

dVrr

rrtrtrE

V

r

'

3'

','

4

1),(

c) ( )

dVrrc

rrtrtrE

V

r

'

2'

','

4

1),(

7- Em pontos próximos à distribuição, a distância |r-r’| entre o observador e a fonte é suficientemente

pequena (o que equivale a fazer c=), então o campo elétrico é aproximadamente descrito como

a) ( )

dVrrc

rrtrtrE

V

r

'

2'

','

4

1),(

b) ( )

dVrrc

trj

rr

rrtrtrE

V

rr

'

23 '

),'(

'

','

4

1),(

c) ( ) dVrrc

trjtrE

V

r

'

2 '

),'(

4

1),(

8- Em pontos distantes das fontes (os termos de r

-2 caem mais rápido do que os de r

-1), o campo elétrico é

aproximadamente descrito como:

a) ( )

dVrrc

rrtr

rr

rrtrtrE

V

rr

'

23'

','

'

','

4

1),(

b) ( )

dVrrc

trj

rr

rrtrtrE

V

rr

'

23 '

),'(

'

','

4

1),(

c) ( )

dVrrc

trj

rrc

rrtrtrE

V

rr

'

22 '

),'(

'

','

4

1),(

9- No caso estático, o campo magnético

'

'

','

'

','

4),(

'

33dV

rrc

rr

t

trj

rr

rrtrjtrB

V

rr

se reduz a

a) ( )

''

','

4),(

'

3dV

rrc

rr

t

trjtrB

V

r

b) ( ) '

'

','

4),(

'

3dV

rr

rrtrjtrB

V

r

c) ( ) a expressão acima não se aplica ao caso estático





Resumo:

'

'

','

'

','

4),(

''

),'(

'

','

'

','

4

1),(

''

,'

4),(

'

','

4

1),(

'

33

'

223

'

'

dVrrc

rr

t

trj

rr

rrtrjtrB

dVrrc

trj

rrc

rrtr

rr

rrtrtrE

dVrr

trjtrA

rr

dVtrtrV

V

rr

V

rrr

V

r

V

r

Aula 6 – Potenciais retardados (para casa, entregar na próxima aula)

1- Obtenha a expressão para os campos :

33

2223

'

'

'

'

4),(

''

),'('

'

),'('

'

),'(

4

1),(

rrc

rrj

rr

rrjtrB

dVrrc

trjrr

rrc

trrr

rr

trtrE rrr

a partir dos potenciais retardados. Dica:

t

f

rrc

rrtrf

t

u

rrc

rrtru

t

u

rrc

rrtru

r

r

r

'

'),(

'

'),(

.'

'),(.

Problemas adicionais (não é preciso entregar)

2- Num meio uniforme de propriedades constitutivas e ,uma corrente alternada superficial flui ao longo de um plano ilimitado com densidade superficial dada, em coordenadas cartesianas, por

j(z,t)=k(z)costj, onde k e são uniformes e constantes. Não há cargas livres.

a) Use argumentos de simetria e

V

r

rr

dVttrjtrA

'

'),'(

4),(

para concluir que o potencial vetor é

do tipo A=A(z,t)j. b) Escreva a equação de d’Alembert unidimensional a que obedece o potencial vetor;

c) Suponha que a solução geral dessa equação de d´Alembert seja do tipo A(z,t)=Ao(z)costj e obtenha a equação de Helmoltz inomogênea unidimensional a que obedece a parte espacial do potencial vetor;

d) Resolva essa equação de Helmoltz e encontre a solução geral do potencial vetor local e instantâneo; e) Dessa solução geral, selecione a parte que corresponde ao potencial retardado em cada região e escreva

sua expressão geral; [lembretes: 2cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b), 2senacosb=sen(a+b)+sen(a-b)] f) Determine, em todos os pontos e em todos os instantes, o potencial vetor retardado normalizado a zero

no plano da corrente e no instante inicial;





Dica: (z) é a delta de Dirac: (z-zo) = 1 se z = zo e (z-zo) = o se z zo. R

oo zfdzzzzf )()()( se

zo pertence à R e R

o dzzzzf 0)()( se zo não pertence à R.





Aula 7 – Potenciais de Lienard-Wiechert (ref. Griffiths seção 10.3) Nome:________________________________________________________________

OBS: Por falta de tempo, vamos pular este tópico

Quais são os potenciais de uma carga que se move? Os potenciais de Liénard-Wichert constituem a espinha dorsal em nosso estudo da eletrodinâmica. Eles descrevem completamente (a menos de efeito quânticos) os campos relativisticamente corretos de uma carga pontual num movimento arbitrário.

Estas expressões foram obtidas em parte pelo físico francês Alfred-Marie Liénard em 1898 e de forma independente pelo físico alemão Emil Wiechert em 1900. Veremos que um trem se aproximando, aparenta ter um comprimento maior do que realmente é.

A aurora é um fenômeno provocado por elétrons provenientes do vento solar

colidindo com moléculas da atmosfera. Uma visão ingênua é considerar que os campos produzidos pelos elétrons são meramente uma imagem dos campos retardados. Nesta aula aprenderemos a calcular os potenciais de Lienard-

Wichert, ou seja os “fantasmas” do passado da partícula.

1- Um observador em r=5i-2j+3k recebe notícia de uma carga pontual em ro = 2i-2j+3k. O atraso é

(considere c=3108 m/s)

A) ( ) 1 ns; B) ( ) 10 ns; C) ( ) 0,1 ns; D) ( ) 100 ns;

2- Se uma carga pontual que se move com velocidade constante passa pela pela origem em t = 0, ou seja,

ro(t)=vt, o tempo retardada tr=t-r/c , onde r=|r-ro| obedece à equação: A) ( ) r2 +2r.vtr+v2tr

2 =c2(t2+2ttr+tr2);

B) ( ) r2 -2r.vtr+v2tr2 =c2(t2-2ttr+tr

2); C) ( ) r2 -2r.vtr+v2tr

2 =c2(t2+2ttr+tr2);

D) ( ) r2 +2r.vtr+v

2tr

2 =c

2(t

2-2ttr+tr

2);





Aula 7 – O potencial de Lienard-Wiechert (para casa. Entregar na próxima aula) Nome:________________________________________________________________

1- Uma partícula de carga q move-se em um círculo de raio a uma velocidade angular constante

. Assuma que o círculo está no plano xy, centrado na origem e no tempo t =0 a carga está em (x=a, y=0), no eixo x positivo. Encontre os potenciais de Lienard-Wiechert para pontos no eixo z.





Aula 8 – Radiação de uma carga acelerada Nome:________________________________________________________________________

Motivação: O quê os fenômenos abaixo têm em comum? Antena dipolar: Uma imagem vale por mil palavras

Bremsstrahlung e produção de raios-X

Radiação dipolar

Espalhamento Rayleigh e o azul do céu

Radiação síncrotron

Polarização de microondas

Radiação térmica, porque e como os

corpos emitem radiação

Visão humana. A molécula retinal

As cores dos carotenóides

A cor do salmão ? Astaxantina

1- A dependência com a distância à fonte de componente do campo elétrico responsável pela radiação é: a) ( ) 1/r

4

b) ( ) 1/r3 c) ( ) 1/r2 d) ( ) 1/r

2- A intensidade de radiação de um dipolo elétrico é proporcional a sen2/r

2, em que é o ângulo entre o

momento dipolar elétrico e o vetor posição r. Um dipolo elétrico radiante repousa sobre o eixo z (sem momento dipolar está na direção z). Seja I1 a intensidade da radiação a uma distância r1 e no ângulo

1=90o. Qual a intensidade em termos de I1 em r2 = 3r1 e 2=90

o?

a) ( ) 3I1 b) ( ) I1/3 c) ( ) I1/9 d) ( ) I1

3- O mesmo para r2 = 2r1 e 2=45o a) ( ) I1/2 b) ( ) I1/4 c) ( ) I1/8 d) ( ) I1/16

4- Espalhamento Rayleigh e o azul do céu. No espalhamento da luz por partículas dielétricas de tamanho

<< (comprimento de onda da luz), a luz incidente induz na partícula um momento de dipolo oscilante

com frequência da luz. Com violeta ~1,8 vermelho, a componete azul da luz solar é espalhada com intensidade n vezes maior que a luz vermelha, onde n é aproximadamente igual a

a) ( ) 2 b) ( ) 4 c) ( ) 8 d) ( ) 10





5- A taxa de emissão de radiação média, 3

42

12 c

pW

o

o

, em termos do comprimento de onda fica:

a) ( ) 3

42

12 c

pW

o

o

b) ( ) 43

2

12 c

pW

o

o

c) ( ) 4

23

3

4

o

ocpW

6- Qual a partícula que emite raios-X por bremsstrahlung com maior eficiência para uma dada velocidade? A) ( ) próton; B) ( ) partículas alfa; C) ( ) elétrons; D) ( ) nêutrons;

7- (azul do céu) Para um dipolo elétrico oscilante na direção z, a aceleração é dada por a=-2z, onde é a

frequência angular. A partir da Fórmula de Larmor, estime dependência da potência irradiada com o

comprimento de onda do dipolo

A) ( ) dE/dt~ 4;

B) ( ) dE/dt~ -4;

C) ( ) dE/dt~ 2;

D) ( ) dE/dt~ ;

8- O céu é azul porque as moléculas no ar atuam como A) ( ) espelhos que refletem principalmente luz azul; B) ( ) prismas que refratam principalmente luz azul; C) ( ) lentes que transmitem altas frequências da luz mas absorvem frequências baixas; D) ( ) ressonadores que espalham as altas frequências da luz visível;

9- Qual a direção de maior emissão de radiação em um tubo de raios catódicos na figura abaixo

( ) perpendicular à superfície do tubo ( ) paralela à superfície do tubo ( ) é isotrópica ( ) a 45o com a normal da superfície do tubo

10- Dizemos que a luz é elasticamente espalhada se:

A) ( ) a frequência da luz espalhada é maior do que a da luz incidente;

B) ( ) a frequência da luz espalhada é menor do que a da luz incidente;

C) ( ) a frequência da luz espalhada é igual a da luz incidente; Referências: H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 3, cap.12 Resumo

242

22

16 rcZ

senp

dt

dE

oorad

Zo=(o/o)1/2

Fórmula de Larmor

3

22

3

2

66 c

aq

c

p

dt

dEW

oorad

3

42

12 c

pW

o

o





Podemos considerar todas as ondas eletromagnéticas como geradas por antenas de tamanhos diferentes: ondas de radio por grandes antenas, microoondas por antenas menores, infravermelho, visível e ultravioleta por antenas com dimensões atômicas, raios gamas por antenas de dimensões nucleares.

Para casa (entregar na próxima aula. Favor não insistir) 1- Leia o texto abaixo e faça um pequeno resumo em português (~1 parágrafo)

Fundamentals of Atmospheric Radiation: An Introduction with 400 Problems. Craig F. Bohren and Eugene E. Clothiaux cap.3 Scientific knowledge grows like the accumulation of bric-a-brac in a vast and disordered closet in a house kept by a sloven. Few are the attempts at ridding the closet of rusty or broken or obsolete gear, at throwing out redundant equipment, at putting things in order. For example, spurious distinctions still are made between reflection, refraction, scattering, interference, and diffraction despite centuries of accumulated knowledge about the nature of light and matter. Why do we think of specular (mirror-like) reflection as occurring at surfaces rather than because of them whereas we usually do not think of scattering by particles in this way? One reason is that we can see and touch the surfaces of mirrors and ponds. Another reason is the dead hand of traditional approaches to the laws of specular reflection and refraction. The empirical approach arrives at these laws as purely geometrical statements about what is observed, and a discreet silence is maintained about underlying causes (always a safe course). The second approach is by way of continuum electromagnetic theory: reflected and refracted waves satisfy the partial differential equations of the electromagnetic field (the Maxwell equations). Perhaps because this approach, which yields the amplitudes and phase of waves, entails imposing conditions at boundaries, reflected and refracted waves are mistakenly thought to originate from boundaries rather than from all the matter they enclose. This second approach comes to grips with the nature of light but not of matter, which is treated as continuous. The third approach is to recognize explicitly that reflection and refraction are consequences of scattering of waves by discrete matter (grifo meu). When the optically smooth interface between optically homogeneous media is illuminated, the reflected and refracted waves are superpositions of vast numbers of secondary waves excited by the incident wave. Moreover, every molecule, not just those at or near the interface, contributes to the total. Thus reflected and refracted light is, at heart, an interference pattern of light scattered by discrete molecules. The fourth approach is to recognize the discreteness of both matter and radiation fields. This is the method of quantum electrodynamics, presumably the most rigorous but, alas, nearly impossible to apply except for very simple systems (e.g., the hydrogen atom). No optics textbook would be complete without sections on interference and diffraction, a distinction without a difference: there is no diffraction without interference. Moreover, diffraction is encumbered with many meanings: a synonym for scattering; small deviations from rectilinear propagation; wave motion in the presence of an obstacle; scattering by a flat obstacle; any departure from geometrical (ray) optics; scattering near the forward direction; and scattering by a periodic array. A term with so many meanings has no meaning. Even the etymology of diffraction is of little help, coming from a Latin root meaning to break, the origin of fraction, fracture, fractal, and fracas. There is no fundamental difference between diffraction and scattering. Scattering by a sphere is sometimes called diffraction by a sphere. For many years we have offered a million-dollar prize to anyone who can devise a detector that distinguishes between scattered and diffracted waves, accepting the one but rejecting the other. So far no one has collected, and the money continues to draw interest in a numbered Swiss bank account. The only meaningful distinction is that between approximate theories. What are called diffraction theories often obtain answers at the expense of obscuring if not completely distorting the physics of the interaction of light with matter. For example, an illuminated slit in an opaque screen may be the mathematical source but it is not the physical source of a so-called diffraction pattern. Only matter in the screen can give rise to secondary waves that superpose to yield the observed pattern. Yet generations of students have been taught that empty space is the source of the radiation from a slit. To befuddle them even more, they also have been taught that two slits give an interference pattern whereas one slit gives a diffraction pattern. But every pattern of scattered light called a diffraction pattern is a consequence of interference. And every theory bearing the label diffraction is a wave theory because only such theories can account for interference. A distinction must be made between a physical process and the superficially different theories used to describe it. There is no fundamental difference between specular reflection and refraction by films, diffraction by edges or slits, and scattering by particles. All are consequences of light exciting matter to radiate. The only difference is in how this matter is arranged in space and the approximate theories sufficient for a quantitative description of the scattered light. Different terms for the same physical process are incrustations deposited during the evolution of our understanding of light and its interaction with matter.

2- Com base na figura abaixo e com que aprendemos em aula, responda: Luzes de nevoeiro em automóveis muitas vezes são amarelas. Talvez haja boas razões para isso. Seja como for, várias razões foram dadas. Aqui está uma de um site que responde perguntas sobre ciência. "É importante que os faróis de nevoeiro sejam de um cor (ao invés





de branca) porque os diferentes comprimentos de onda (cores) de luz visível se dispersam diferentemente nas gotículas de nevoeiro. Este fenômeno é conhecido como "dispersão", porque as diferentes cores de luz de uma imagem irão se separar umas das outras. . . Se você iluminar a estrada com um único comprimento de onda (cor) de luz, as imagens dos objetos que você vai ver ainda tornar-se-ão um pouco embaçadas por causa do espalhamento da luz pelo nevoeiro, mas pelo menos você não vai ter os problemas extra de dispersão. Então, se queremos usar apenas um comprimento de onda de luz, que comprimento de onda que devemos usar? Acontece que a luz com comprimentos de onda curtos é espalhada mais do que a luz com comprimentos de onda longos. Assim, um comprimento de onda longo é o melhor. "Discutir essa explicação à luz do que foi vista nesta aula e o que você sabe sobre o nevoeiro (como o termo é usado por meteorologistas e da maioria das pessoas).

Figura: Measured skylight spectrum (near zenith). The visible spectrum is divided into six regions to which color names are given. Although the spectrum peaks in the violet, skylight is perceived to be blue.

Problemas adicionais (não é preciso entregar) 3- Em um modelo clássico, os átomos não deveriam ser estáveis. Por quê? Utilizando a fórmula de Larmor,

estime a taxa de emissão de energia por um elétron no átomo de Bohr. 4- Você e sua equipe de engenharia estão encarregados de estabelecer uma rede de telefonia sem fio para

uma pequena aldeia em uma região montanhosa. A antena transmissora de uma estação é uma antena de dipolo elétrico localizada no topo da montanha a uma altura H acima do nível do mar. Há uma montanha na vizinhança que está a uma distância D da antena e também está a uma altura H acima do nível do mar. Naquela localização, um membro da equipe mede a intensidade do sinal como Io. Qual deveria ser a intensidade do sinal na aldeia que está localizada ao nível do mar e a d do pé da montanha?

5- Considere um dipolo elétrico sobre o eixo z: p=poeit

, onde po=(Qod)k (vide figura). A corrente I através do fio é:

a) ( )- iQoeit

; b) ( ) iQoe-it

; c) ( ) iQoeit

; d) ( ) Qoeit

;

6- Se uma onda proveniente do dipolo oscilante do item anterior se propaga no vácuo, o potencial retardado no ponto P é:





a) ( )

r

eQ

r

eQtrV

o

crti

o

o

crti

o

44),(

)()(

b) ( )

r

eQ

r

eQtrV

o

cr

ti

o

o

cr

ti

o

44),(

)()(

c) ( )

r

eQ

r

eQtrV

o

cr

ti

o

o

cr

ti

o

44),(

)()(

d) ( )

r

eQ

r

eQtrV

o

crti

o

o

crti

o

44),(

)()(

7- O potencial vetor no ponto P é (Io é a amplitude da corrente) :

a) ( )

k

r

eItrA

crti

o ˆ4

),( 0

b) ( )

k

r

eItrA

crti

o ˆ4

),( 0

c) ( )

k

r

eItrA

crti

o ˆ4

),( 0

d) ( )

k

r

eItrA

crti

o ˆ4

),( 0

8- Qual das opções abaixo indicam corretamente a intensidade de espalhamento para as cores indicadas A) ( ) violeta < azul< verde<amarelo<laranja<vermelho; B) ( ) azul< violeta < verde<amarelo<laranja<vermelho; C) ( ) violeta > azul> verde>amarelo>laranja>vermelho; D) ( ) azul> vermelho> verde>amarelo>laranja;

9- A detecção de ondas de rádio pode ser realizada com uma antena de dipolo elétrico ou uma antena

circular. Verdadeiro ou falso: A) ( ) A antena de dipolo elétrico funciona de acordo com a lei de Faraday; B) ( ) Se uma onda de rádio linearmente polarizada s aproxima frontalmente de você de forma tal que seu

campo elétrico oscila verticalmente, para melhor detectar esta onda a normal ao plano da antena circular deveria ser orientada ou para a direita ou para a esquerda;

C) ( ) Se uma onda de rádio linearmente polarizada se aproxima de você de forma tal que seu campo elétrico oscila em um plano horizontal, para melhor detectar esta onda usando uma antena de dipolo, a antena deveria ser orientada verticalmente.

10- Um transmissor emite ondas eletromagnéticas usando uma antena de dipolo elétrico orientada verticalmente. (a) Um receptor para detectar as ondas também usa uma antena de dipolo elétrico que está a uma milha (1600 m) da antena transmissora e à mesma altitude. Como deveria ser orientada a antena de dipolo elétrico receptora para otimizar a recepção do sinal? (b) Um receptor para detectar estas ondas usa uma antena circular que está a uma milha da antena transmissora e à mesma altitude. Como deveria ser orientada a antena circular para otimizar a recepção do sinal?

11- Uma estação de rádio usa uma antena de dipolo elétrico vertical com radiodifusão a 1,20 MHz e tem uma potência total de 500 kW. Calcule a intensidade do sinal a uma distância horizontal de 120 km da estação.

12- Regulamentações exigem que as estações de rádio licenciadas limitem a potência de sua radiodifusão para evitar interferência com sinais de estações distantes. Você está encarregado de verificar a conformidade com a lei. A uma distância de 30,0 km de uma estação de rádio que tem radiodifusão a





partir de uma antena de dipolo elétrico vertical a uma frequência de 800 kHz, a intensidade da onda

eletromagnética é 2,00 10-13

W/m2. Qual é a potência total irradiada pela estação?

13- Ondas eletromagnéticas são produzidas por cargas aceleradas. A taxa de emissão de energia de uma

partícula com carga q e aceleração a é dada por dE/dt =(q2a

2/6oc

3), onde c é a velocidade da luz. A)

verifique se esta equação está dimensionalmente correta. B) Sabendo que um próton se desloca em um acelerador de partículas com energia cinética de 6,0 MeV, percorrendo uma órbita circular de raio igual a 0,750 m, qual é a fração de sua energia ele irradia por segundo? C) Considere agora um elétron se deslocando nessa órbita com o mesmo raio e com a mesma velocidade. Qual é a fração de sua energia que ele irradia por segundo?

14- Modelo clássico do átomo de hidrogênio. Podemos considerar que o elétron de um átomo de hidrogênio está em uma órbita circular com raio igual a 0,529 nm e energia cinética de 13,6 eV. Caso o elétron se comportasse de maneira tradicional, qual seria a quantidade de energia que ele deveria irradiar por segundo? (vide o problema anterior) O que esse resultado informa a respeito do modelo da física clássica para descrever o átomo?

15- Quando um avião voa diretamente sobre uma emissora de rádio que usa uma antena com dipolo elétrico vertical, um receptor de rádio dentro do avião não detecta nenhum sinal de rádio. Por quê?





Aula 9 – Teoria Especial da relatividade I Nome:______________________________________________________________________________

1- Um piloto em uma nave espacial se distanciando da Terra a 0,86c envia um sinal laser para a Terra. O piloto mede a velocidade v do sinal laser como sendo

a) ( ) v<c b) ( ) v=c c) ( ) v>c

2- O povo da Terra mede a velocidade v do sinal laser como sendo

a) ( ) v<c b) ( ) v=c c) ( ) v>c

3- Se você estivesse viajando com velocidade comparável à velocidade da luz com respeito às estrelas, você ... a) ( ) Saberia porque sua massa iria aumentar; b) ( ) Saberia porque seu coração iria bater mais devagar;

c) ( ) Saberia porque você encolheria; d) ( ) Todas as afirmativas acima;

e) ( ) Você não poderia dizer a sua velocidade pelas mudanças em você;

2) Considere dois referenciais inerciais. Quando observadores situados nos dois referenciais medem as grandezas abaixo, quais são

as medidas que devem fornecer os mesmos resultados numéricos? a) ( ) a distância entre dois eventos;

b) ( ) O valor da massa de um próton; c) ( ) a velocidade da luz;

d) ( ) o intervalo de tempo entre dois eventos; e) ( ) a primeira lei de Newton; f) ( ) a ordem dos elementos na tabela periódica

g) ( ) o valor da carga do elétron

3) Use a expansão binomial, (1+x)n = 1+nx+.... (para x<<1), para encontrar aproximações válidas para v<<c para e

-1

a) ( )2

2

2

2

21

1;

21

c

v

c

v

b) ( )2

2

2

2

11

;1c

v

c

v

c) ( )2

2

2

2

21

1;

21

c

v

c

v

d) ( )2

2

2

2

11

;1c

v

c

v

4) (dilatação do tempo) Se você estivesse se movendo numa espaçonave em alta velocidade em relação à Terra, você notaria alguma

diferença em sua própria pulsação? E na pulsação das pessoas que ficaram na Terra?

5) (dilatação do tempo) Talvez lhe pareça que a dilatação do tempo é incoerente com o princípio da relatividade. Pois se o observador no solo disser que o relógio do trem está lento, o observador no trem poderá, com a mesma razão, dizer que o relógio

no solo é que está lento – afinal, do ponto de vista do trem, é o solo que está em movimento. Quem tem razão? a) ( ) O observador no trem;

b) ( ) O observador no solo;

c) ( ) Ambos; d) ( ) Nenhum deles;

6) (dilatação do tempo) O tempo médio de vida de múons estacionários é de o=2,2 s. O tempo médio de vida dos múons de alta

velocidade produzidos por raios cósmicos é de =16,0 s no referencial da Terra. Determine =v/c em relação à Terra dos múons produzidos pelo raio cósmico.

a) ( )2

1

o

b) ( )2

1

o

c) ( )2

o

d) ( )

o1





7) (dilatação do tempo) Uma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro quando é surpreendida pela passagem de

um trem relativístico. No interior de um dos vagões um passageiro dispara um pulso de laser em direção à parte traseira do vagão. (I) a velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora do trem é: a) ( )maior; b) ( )menor; c)( ) menor. (II) O tempo que o pulso leva para chegar à extremidade posterior do vagão, medido pelo passageiro, é o tempo próprio? A)( )sim; B)( ) não. (III) A relação entre o tempo medido pelo passageiro e o tempo medido pela pessoa que está do lado de fora é dada por

t=to ? A) ( )sim; b) ( )não.

8) (dilatação do tempo) O intervalo de tempo próprio entre dois eventos (almoço de hoje e o almoço de amanhã), é o mesmo a despeito do caminho (espaço-tempo) entre estes eventos

A)( ) Verdadeiro;

B) ( ) falso;

9) (dilatação do tempo) Se você vê uma pessoa viajando no espaço com metade da velocidade da luz, você verá o relógio desta pessoa

a) ( ) Trabalhando na metade de seu ritmo normal; b) ( ) Mais lento do que a metade de seu ritmo normal;

c) ( ) Mais lento, mas não reduzido à metade de seu ritmo normal; d) ( ) Trabalhando no seu ritmo normal; e) ( ) Correndo para trás no tempo;

10) (contração de Lorentz) Uma nave espacial de 20 m de comprimento (como medido por um piloto na nave espacial) viaja a

velocidade constante e passa por uma plataforma espacial de 40 m de comprimento (como medido por um trabalhador na plataforma). O trabalhador mede o comprimento da nave, à medida que ela passa, como sendo 18m. Com que velocidade a nave

está passando pela plataforma?

a) ( ) vc/100

b) ( ) vc/10

c) ( ) v c/2

d) ( ) v=c e) ( ) v > c

11) (contração de Lorentz). Sobre o item anterior, o piloto mede o comprimento da plataforma como sendo

a) ( ) 36m b) ( ) 38m c) ( ) 42 m d) ( ) 44 m

12) (Transformações de Lorentz) Indique se verdadeiro (V) ou falso (F):

a) ( ) O comprimento de um corpo é máximo quando este está em repouso em relação ao observador. Quando se move com

velocidade v em relação ao observador, seu comprimento se contrai na direção de seu movimento de um fator 1/, enquanto as

direções perpendiculares ao movimento permanecem inalteradas; b) ( ) Relógios em movimento em relação ao observador andam mais rápido; c) ( ) Rélogios com movimento relativo um em relação ao outro parecem diferir entre si por uma constante de fase que depende da

sua localização, ou seja, não estão sincronizados;

13) (Simultaneidade) Dois eventos A e B são simultâneos e ocorrem na mesma posição no referencial S. Em qualquer outro referencial

S’, a) ( ) os eventos ocorrem na mesma posição, mas podem ocorrer em tempos diferentes b) ( ) os eventos ocorrem em posições diferentes, mas ainda são simultâneos

c) ( ) os eventos são simultâneos e também ocorrem na mesma posição d) ( ) os eventos não são nem simultâneos nem ocorrem na mesma posição

14) ( simultaneidade) Dois eventos A e B são simultâneos, mas ocorrem em posições diferentes no referencial S. Em um referencial S’,

a) ( ) os eventos podem ser simultâneos e ocorrer na mesma posição b) ( ) os eventos podem ser simultâneos ou ocorrer na mesma posição, mas não ambos c) ( ) os eventos não podem ser simultâneos, mas podem ocorrer na mesma posição d) ( ) os eventos não podem ser simultâneos e nem podem ocorrer na mesma posição

15) ( simultaneidade) Dois eventos A e B não são simultâneos, mas ocorrem na mesma posição no referencial S. Em um referencial S’,

a) ( ) os eventos podem ser simultâneos e ocorrer na mesma posição

b) ( ) os eventos podem ser simultâneos ou ocorrer na mesma posição, mas não ambos c) ( ) os eventos podem ser simultâneos, mas não podem ocorrer na mesma posição

d) ( ) os eventos não podem ser simultâneos, mas podem ocorrer na mesma posição e) ( ) os eventos não podem ser simultâneos e nem podem ocorrer na mesma posição

16) (transformação de velocidades) Uma nave espacial está se distanciando da Terra a 0,90 c. A velocidade da Terra, medida pela nave

espacial é, de a) ( ) 0 b) ( ) 0,45 c c) ( ) 0,90c d) ( ) 1,9c





17) (transformação de velocidades) Uma nave espacial, que está se distanciando da Terra a 0,60 c, dispara dois mísseis, um para a

frente e outro para trás. Ambos os mísseis são disparados com uma velocidade de 0,80c relativa à nave. O míssil disparado para longe da Terra tem uma velocidade v1 relativa à Terra, onde

a) ( ) v1 < 0,6c

b) ( ) 0,6c< v1 < 0,8c c) ( ) 0,8c< v1 < c d) ( ) v1 = 1,4c e) ( ) v1 > 1,4c

18) (transformação de velocidades) o míssil disparado em direção à Terra tem uma velocidade v2 relativa à Terra, onde

a) ( ) v2 < 0,2c

b) ( ) 0,2c< v2 < 0,6c c) ( ) 0,6c< v2 < 0,8c

d) ( ) v2 = 0,2c e) ( ) 0,8c< v2 < c

Resumo:

t=to -1=(1-2)1/2

=v/c

L= -1

Lo

x’=(x-vt) y’=y z’=z

t’=(t-vx/c2)

x=(x’+vt’) y=y’ z=z’

t=(t’+vx’/c2)

Há muitas afirmações em relatividade que podem causar confusão ao não iniciado. Diferença entre observar e ver: uma observação é aquilo que um observador registra depois de fazer a correção para o tempo que o sinal demora a chegar. O que se vê, portanto, não é igual ao que se observa. Uma observação não pode ser feita com uma câmera – ela é uma reconstrução artificial após o fato, quando todos os dados são considerados. Ou seja, um observador é um conjunto infinito de relógios distribuídos no espaço, em repouso e sincronizados entre si.

Aula 9 – para casa 1- Escreva uma carta (por exemplo ao seu vizinho ou parente próximo) explicando a ele o que seria

diferente em nossa vida cotidiana se a velocidade da luz fosse 10 m/s em vez de 3108 m/s.

2- A equação da frente de onda esférica de um pulso luminoso que parte da origem no instante t = 0 é x2 +

y2 + z

2- (ct)

2 = 0. Use a transformação de Lorentz para demonstrar que a frente de onda do pulso em

qualquer referencial S’ que esteja se movendo com velocidade constante em relação a S também é esférica. (sugestão: mostre que a equação de onda em S’ é x’

2 + y’

2 + z’

2- (ct’)

2 = 0)





Aula 10 – Teoria Especial da relatividade II Nome:______________________________________________________________________________ Motivação: Como podemos descrever o movimento consistentemente para todos os observadores? Resposta: com quadrivetores!

1- Qual a matriz que descreve a transformação de Galileo

'3

'2

'1

'0

3

2

1

0

x

x

x

x

x

x

x

x

z

y

x

ct

;

a) ( )

1000

0100

001

0001

v b) ( )

1000

0100

001

001

v

v

c) ( )

1000

0100

0010

001 v

d) ( )

1000

0100

001

0001

cv

2- Para cada quadrivetor contravariante a existe um quadrivetor dual covariante a obtido através da

relação a=ga (não se esqueça da notação de Einstein!), onde g é um tensor fundamental, chamado

de tensor métrico. Qual é a expressão correta para o tensor métrico?

a) ( )

1000

0100

0010

0001

b) ( )

1000

0100

0010

0001

c) ( )

1000

0100

0010

0001

3- Escreva a matriz que descreve a transformação de Lorentz ao longo do eixo y; 3) Encontre a matriz que descreve a transformação de Lorentz com velocidade v ao longo do eixo x seguida por uma transformação de Lorentz com velocidade v ao longo do eixo y. É importante a ordem na qual a transformação é realizada?

4- Evento A acontece no ponto xA (xA = 5, yA = 3, zA=0) e tempo tA dado por ctA =15; evento B ocorre em (10,8,0) e ctB = 5, ambos no sistema S. Qual é o intervalo invariante entre A e B?

a) ( ) 50 m b) ( )-50m c) ( ) 25m d) ( )-25m

5- Há algum sistema inercial no qual eles ocorrem simultaneamente? Se positivo, encontre a sua

velocidade (módulo e direção ) em relação a S. a) ( ) não b) ( ) sim, v=

6- Há alguma sistema inercial no qual eles ocorrem no mesmo ponto? Se positivo, encontre a sua velocidade em relação a S.





7- Dois eventos ocorrem no espaço-tempo contínuo. O evento A possui coordenadas (0, 1 m, 2 m, 3 m) e o evento B ocorre em (1 m, 2 m, 3m, 0), onde a primeira coordenada é xo = ct. Calcule a distância própria entre estes dois eventos. a) ( ) 1m; b) ( ) 2m; c) ( ) 3

1/2 m; d) ( ) 2

1/2 m; e) ( ) 5

1/2 m.

8- Determine a velocidade da partícula no diagrama de Minkowski abaixo

a) ( ) v = c b) ( ) v= 2c c) ( ) v= c/2 d) ( ) v= 0

9- Quais os eventos são simultâneos? a- ( ) evento A e evento B; b- ( ) evento A e evento C; c- ( ) evento B e evento C;

10- Quais os eventos que ocorrem na mesma coordenada espacial? a- ( ) evento A e evento B; b- ( ) evento A e evento C; c- ( ) evento B e evento C;

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

C

A

ct(m)

x(m)

linha do universo

B

presente

Aula 10 – Teoria Especial da relatividade II (para casa)

1- (entregar na próxima aula) Mostre que a aceleração de uma partícula no referencial S’, obtida

calculando ax’=dvx’/dt’ é dada por

3

23

'

1

cVv

aa

x

xx

.

2- Uma partícula está se movendo com velocidade 0,9c ao longo do eixo x’’ do referencial S’’, que está se movendo velocidade 0,9c no sentido positivo do eixo x’ do referencial S’. O referencial S’ está se movendo com velocidade 0,9c no sentido positivo do eixo x do referencial S. (a) Determine a velocidade




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Tópicos de Física Clássica II