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TÓPICOS DE REVISÃO

MATEMÁTICA I MATRIZES E DETERMINANTES Prof. Rogério Rodrigues

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MATRIZES

1) Conceito e Apresentação Genérica:

Uma tabela, como a seguinte, dispõe os dados numéricos que objetiva apresentar em linhas (horizontais) e colunas (verticais):

DISCIPLINAS ETAPAS

1a 2a 3a

MATEMÁTICA 25 22 27

LÍNGUA PORTUGUESA 28 19 26

BIOLOGIA 29 16 18

QUÍMICA 12 26 22

As notas nas disciplinas (dispostas em linhas) correspondentes a cada uma das etapas do ano letivo (dispostas em colunas) formam o núcleo objetivo da tabela; esse núcleo é uma matriz, que deverá ser representada assim:

�25 22 2728 19 2629 16 1812 26 22 ou assim 25 22 2728 19 2629 16 1812 26 22�

Se designarmos essa matriz por A, teremos, por exemplos :

-Nota de Matemática da 2a etapa ⇒ a12 = 22 -Nota de Língua Portuguesa da 3a etapa ⇒ a23 = 26 -Nota de Biologia da 2a etapa ⇒ a32 = 16 -Nota de Química da 1a etapa ⇒ a41 = 12 Genericamente, essa matriz seria assim definida: A= (aij )4x3 , em que aij é a nota da disciplina i na etapa j.

número de linhas número de colunas

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Outros exemplos :

a) Matriz B = (bij)2x2 , em que bij = i2 – j.

Neste caso, o formato da matriz é B = � �� �� �� ��� e de acordo com a expressão de bij,

temos:

b11 = 12 – 1 = 0 , b12 = 12 – 2 = -1 , b21 = 22 – 1 = 3 e b22 = 22 – 2 = 2. Logo,

a matriz é B = �1 �13 2 � .

b) Matriz C = (cij)2x3, em que cij = hipotenusa do triângulo retângulo de catetos medindo i e j.

Neste caso, o formato da matriz é C = ���� ��� ������ ��� ���� e de acordo com a descrição de

bij, temos: cij = ��� � �� , pelo Teorema de Pitágoras. Exemplo: c11 = √1� � 1� = √2 .

A matriz é C = �√2 √5 √10√5 2√2 √13!. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE :

Duas matrizes A = (aij )mxn e B = (bij )mxn são iguais, se, e somente se, aij = bij , para todo i e j.

Exemplo : Calcule x e y de modo que � "� 5�3 "� = � #� 52" � 1 �#! . Pela definição anterior, temos x2 = y2 , 2x +1 = -3 ⇒ x = -2 , x = -y ⇒ y = 2

2) Alguns tipos especiais de matrizes:

2.1) Matriz linha: Toda matriz que só possui uma linha.

Exemplo: A = [-1 2 6 0 8] ⇒ matriz 1x5

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2.2) Matriz coluna: Toda matriz que só possui uma coluna.

Exemplo: B = � 0�1 8 4 ⇒ matriz 4x1

2,3) Matriz quadrada: Toda matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas.

Exemplo: C =%0 2 67 1 14 4 9& ⇒ matriz 3x3 (matriz quadrada de ordem 3)

Elementos da diagonal principal (i = j)

Elementos da diagonal secundária

2.4) Matriz Identidade: Matriz quadrada In =(iij), em que iij = '1 , )* � + �0, )* � , � -. Exemplos:

a) I2 = �1 00 1� ⇒ matriz identidade de ordem 2.

b) I3 = %1 0 00 1 00 0 1& ⇒ matriz identidade de ordem 3.

2.5) Matriz triangular: Matriz quadrada cujos elementos situados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

Exemplos:

a) M= �1 09 1� ⇒ matriz triangular de ordem 2.

b) N= %1 7 60 1 60 0 1& ⇒ matriz triangular de ordem 3.

2.6) Matriz diagonal: Matriz quadrada de elementos dij, tais que dij = 0, se i ≠ j.

Exemplo:

D= %8 0 00 1 00 0 4& ⇒ matriz diagonal de ordem 3.

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2.7) Matriz nula: Qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplo:

N = %0 0 00 0 00 0 0& ⇒ matriz nula de ordem 3.

3) Operações elementares:

3.1) Adição:

Dadas duas matrizes de mesma ordem (número de linhas e número de colunas) A= (aij) e B=(bij) , a matriz A + B será C, tal que cij = aij + bij , para todo valor de i e de j naturais e diferentes de zero. Exemplos:

a) �2 51 3� + �0 �21 �2� = �2 � 0 5 � 21 � 1 3 � 2� = �2 32 1�

b) . 3 1�2 4�1 5/ - .7 40 28 2/ = . 3 � 7 1 � 4�2 � 0 4 � 2�1 � 8 5 � 2/ + .�4 �3�2 2�9 3 / 3.2) Multiplicação por número real: Dado um número real k, k≠ 0 e uma matriz M = (mij), o produto de k por M é a matriz P = =(pij) , tal que pij = k. mij , para todo i e todo j, naturais não nulos. Exemplo:

(3). �1 �13 2 � = �3.1 31�123.3 3. 2 � = �3 � 39 6 �

3.3) Matriz transposta: Dada uma matriz A = (aij)mxn, chama-se Transposta de A, indica-se At, a matriz B = (bij)nxm

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tal que bij = aji, para todo i e todo j da matriz A. Exemplo:

Se A = %4 13 03 5& ⇒ At = �4 3 31 0 5� . Observe que os elementos da 1a linha transpostos

viraram elementos da 1a coluna. O mesmo ocorreu com os elementos da 2a linha. Observações: a) Se uma matriz quadrada é igual à sua transposta, então essa matriz é uma Matriz simétrica .

Exemplo: S = %8 6 06 1 50 5 4& e St == %8 6 06 1 50 5 4& ⇒ S é simétrica.

b) Se uma matriz quadrada é igual ao oposto da sua transposta, então essa matriz é uma Matriz Antissimétrica .

Exemplo: S = % 0 6 7�6 0 5�7 �5 4& e - St = % 0 6 7�6 0 5�7 �5 4& ⇒ S é antissimétrica.

4) Multiplicação e Inversão de matrizes; 4.1) Multiplicação de matrizes: Exemplo introdutório : Um técnico monta computadores equipados com componentes em três modelos diferenciados; veja a tabela seguinte:

MODELO A MODELO B MODELO C HD de 30 gb 1 2 3 Unid. Remov. 2 3 4

Como a demanda por esses pc’s é grande, o técnico deve prover seu estoque de componentes de modo a atender as encomendas. Nos meses de janeiro, fevereiro e março, as encomendas foram as da tabela abaixo:

Janeiro fevereiro março MODELO A 5 4 2 MODELO B 2 2 3

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MODELO C 1 2 4 Como montar uma tabela que indique os números de componentes necessários para atender as encomendas? Veja a tabela abaixo:

Janeiro fevereiro março HD de 30 gb 1.5 + 2.2 + 3.1 1.4 + 2.2 + 3.2 1.2 + 2.3 + 3.4 Unid. Remov. 2.5 + 3.2 + 4.1 2.4 + 3.2 + 4.2 2.2 + 3.3 + 4.4

E os números pedidos serão os da tabela:

Janeiro fevereiro março HD de 30 gb 12 14 20 Unid. Remov. 20 22 29

Observe que: 1o) as três tabelas são associadas às matrizes

A= �1 2 32 3 4� ⇒ matriz 2x3 com formato componentes x modelos

B = %5 4 22 2 31 2 4& ⇒ matriz 3x3 com formato modelos x meses

C = � 3. 5 � 4. 2 � 5. 1 3. 4 � 4. 2 � 5. 2 3. 2 � 4. 3 � 5. 44. 5 � 5. 2 � 6. 1 4. 4 � 5. 2 � 6. 2 4. 2 � 5. 3 � 6. 4�

C= �12 14 2020 22 29� ⇒ matriz 2x3 com formato componentes x meses

2o) De fato, temos:

A.B = C , ou seja, �1 2 32 3 4� . %5 4 22 2 31 2 4& = �12 14 2020 22 29�

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No cálculo da matriz C, os primeiros fatores das multiplicações, em negrito, são os elementos das linhas de A e os segundos fatores são os elementos das colunas de B. Então, multiplica-se respectivamente, os elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos de cada coluna da segunda matriz. Daí, tem-se, por exemplo, c11 = (linha 1 de A) x (coluna 1 de B) = a11. b11 + a12. b21 + a13. b31 = 12 c12 = (linha 1 de A) x (coluna 2 de B) = a11. b12 + a12. b22 + a13. b32 = 14 3o) A multiplicação só foi possível porque o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. 4o) A matriz produto (C) ficou com o número de linhas da primeira (A) e com o número de colunas da segunda(B). 5o) A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A.B ≠ B.A. Outro exemplo :

%1 02 41 3&.�1 13 4� = %1,1 � 0,3 1.1 � 0.42,1 � 4.3 2.1 � 4.41.1 � 3.3 1.1 � 3.4& = % 1 114 1810 13& 4.2) Inversão de matrizes: A matriz identidade In , definida no item 2.4, página 03, é também chamada de Matriz unidade, uma vez que ela é o elemento neutro na multiplicação de matrizes. Observe:

a) %7 � 8* 9& . �1 00 1� = %7 � 8* 9& e �1 00 1�. %7 � 8* 9& = não existe

b) %1 0 00 1 00 0 1&.%7 �8 * 9: ; � & = %7 �8 * 9: ; � & e %7 �8 * 9: ; � &. %1 0 00 1 00 0 1& = %7 �8 * 9: ; � & No conjunto dos números reais, o inverso de um número x não nulo, é o número y, tal que x.y = y.x = 1 (elemento neutro na multiplicação de reais). Do mesmo modo, pode-se definir: A inversa de uma matriz quadrada de ordem n A é A-1 , também de ordem n, tais que A. A-1 = A-1.A = In (matriz unidade de ordem n)

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Exemplo: Determine, se existir, a inversa da matriz < + �0 25 1�.

Seja M-1 = �7 � 8�, caso ela exista. Então, pela definição anterior, tem-se: �0 25 1�. �7 � 8� = = �7 � 8�. �0 25 1� + �1 00 1� ⇒ �5 27 � 58 2� � 8� = �1 00 1� E daí, tem-se 5b = 1 ⇒ b = 1/5 , 5d = 0 ⇒ d = 0 , 2a +b = 0 ⇒ 2a + 1/5 = 0 ⇒ a = -1/10

e 2c + d = 1 ⇒ 2c + 0 = 1 ⇒ c = 1/2. A inversa pedida é A-1 = ��1/10 1/51/2 0 ! . 5) COMPLEMENTO: Propriedades das operações: 5.1) Para a adição de matrizes valem as seguintes propriedades: ►Comutativa : A + B = B+A , sendo A e B matrizes de mesma ordem. ►Associativa : A + (B + C) = (A + B) + C , sendo A, B e C matrizes de mesma ordem. ►Elemento Neutro: A + N = A , sendo N a matriz nula com a mesma ordem de A. ►Elemento Simétrico : A + (A’) = N, sendo N a matriz nula com a mesma ordem de A. 5.2) Para a multiplicação de número real por matriz valem as seguintes propriedades: ►Associativa : a . (b . A) = (a . b).A, sendo A uma matriz e a e b números reais. ►Distributiva : a.(A + B) = a.A + a.B e (a + b). A = a.A + b.A , sendo A uma matriz e a e b números reais. 5.3) Para a multiplicação de matrizes valem as seguintes propriedades: ►Associativa : A.(BC) = (AB).C ►Distributiva à direita em relação à adição: (A + B).C = AC + BC. ►Distributiva à esquerda em relação à adição: C(A + B) = CA + CB. ►Associativa com número real : k.AB = AkB = ABk. *************************************************** ********************* Exercícios Propostos: 1) Determine cada matriz definida a seguir:

a) A = (aij)2X2 , em que aij = 2i – j2 .

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b) B = (bij)3X2 , em que bij = i + 2j .

c) C = (cij)3X3 , em que cij = i2 - j.

d) D = (dij)2X3 , em que dij = i2 - j2.

e) E = (eij)3X2 , em que eij = i + 2j, se i - j < 0 e eij = i – 2j, se i – j ≥ 0.

f) F = (fij)3X3 , em que fij = 2 + i.j , se i < j e eij = 2 – i.j , se i ≥ j.

g) G = (gij)2X3 , em que gij = i2 + 1, se i < 1 - j e gij = j2 - 1, se i ≥ 1 - j.

h) H = (hij)2X2 , em que hij = gij .

i) K = (kij)2X2 , em que kij = gji .

j) L = (l ij)3X2 , em que lij = gij - 1 .

j) M = (mij)3X2 , em que mji = lji + 2 .

j) N = (nij)3X3 , em que nij= mij - lij .

2) Montar a matriz P = (pij)3X3, em que pij é o perímetro do retângulo de base i e altura j. Qual e a soma dos elementos da diagonal principal?

3) Montar a matriz S = (sij)3X2, em que sij é a área do retângulo de base i e altura j.

4) Montar a matriz R = (rij)2X5, em que rij é o segundo termo da PA, cujo primeiro termo é i e a razão é j.

5) Montar a matriz T = (tij)2X2, em que tij é o quarto termo da PG, cujo segundo termo é i e a razão é j.

6) Montar a matriz V = (vij)4X4, em que vij é a soma dos 20 termos da PA cujo primeiro termo é i e o vigésimo é j.

7) Na matriz U = �6 8 105 7 9 �, uij é a quantidade de chip’s do tipo j utilizados na

montagem do computados modelo i. Quantos chip’s do tipo 3 serão necessários para montar, em determinado dia, 5 computadores modelo 1 e 6 computadores modelo 2?

8) Na matriz Y = %2 3 21 5 40 2 6&, yij é o número de faltas de um determinado aluno na

disciplina i e na etapa j. Montar uma matriz Z = (zij) , em que zij seja o total de faltas i na disciplina j.

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9) Uma tabela de preços de uma pizzaria é uma matriz que tem nas linhas, em ordem crescente, os sabores presunto, calabreza, frango, marguerita, vegetariana e rúcula com mussarela. Nas colunas, em ordem crescente, a tabela traz os tamanhos brotinho, média, grande e gigante. Sabe-se que os preços de todas as pizzas brotinho formam uma PA de razão igual a R$ 4,00 a partir do primeiro sabor, que custa R$ 12,00, e os preços por cada tamanho em cada sabor formam uma PA de razão igual a R$ 9,00. Considere a matriz W = =(wij) associada a essa tabela de preços. Se numa noite o dinheiro arrecadado com as vendas é dado pela expressão 12w11 + 8w23 + 6w34 + 5w42, determine

a) a lista de pizzas vendidas;

b) O total de dinheiro arrecadado.

10) Considere apenas as matrizes definidas no exercício 1. Determine a matriz X e/ou a matriz Y tais que

a)X = 2A – H + 3K

b)X = -B – 3L – 5M

c) C – X = N – 2F

d) 3X – G = 5D

e) X = 2A – 3HT

f) X = -BT + 2GT

g) C – 2X = 3NT

h) (L – M) + 2X = L - DT

i) 2(3A – K + X) = - HT

j) '2> � ? + 2@> – ? + 2BC - 11) Multiplique, se possível, as matrizes dadas em cada caso a seguir:

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a) %�1 4�2 0�1 2& . �5 1 01 1 1� b) �3 24 1�.� 5 5�2 4� c) D 102�3E . F4 2G d) %1 �8 02 2 41 1 �1&.%1 00 11 2& e) %324&.�0 1 31 1 4� f) � 0 2 11 2 42 0 1 1 3 1 . %�4�1�2& 12) Resolva, se possível, cada equação a seguir:

a) �" 15 3�.� 1 3"� � 1 1� = � 7 720 8� b) A = � " �12 � 3� e A2 = �7 " � 30 11 �

13) Determine, se possível, o(s) par(es) ordenado(s) do tipo (x , y) que soluciona(m) cada Equação a seguir:

a) � 3 2 1 5�. �"#� = � 1�4� b) � 5 �13 2 �. �"#� = � 31 � c) � 9 6 6 4�. �"#� =

� 128 � d) %2 �1 31 �5 23 �2 3& . ."#H/ + % 9�3 8 & e) ) %1 �1 35 2 22 �1 3& . ."#H/ + % 07 1 &

Questões Abertas de Vestibulares :

1) (UFMG) - Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região e a matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura: Milho Soja Feijão

A = �50 20 2040 10 30� X Y Z

B = %2 3 21 5 40 2 6&

P Q

Milho Soja Feijão

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1. CALCULE a matriz C = AB. 2. EXPLIQUE o significado de C23 , o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.

2) (CEFET - MG) – Se a matriz A = �2 51 "� é a inversa de B = � 3 #�1 2�, calcule a

diferença (x – y). 3) (UFV – Viçosa) –

4) (Unicamp – SP) – Uma matriz real quadrada P é dita Ortogonal se Pt = P-1, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo, Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que P-1P = I em que I é a matriz identidade.

P = %�1/3 �2/3 �2/3�2/3 7 �1/3�2/3 2/3 &

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b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo.Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A-1b.

Q =

IJJJK� �� � �� � √���� � �� √��√�� √� � 0 LMM

MN, R = %2 0 00 �2 00 0 √2& , b = % 6�2 0&

5) (UFRS) – Considere o quadrado da figura I e o paralelogramo da figura II. Figura I Figura II y v 3

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1 x 0 u 0 1 -1

-1

� 7 � 8�. �"#� = � OP � � 7 � 8�. �11� = � �1 2� Se as coordenadas cartesianas (u , v) dos vértices do paralelogramo são obtidas das coordenadas cartesianas (x , y) dos vértices do quadrado pelo produto matricial anterior, calcule os valores de a, b, c e d.

6) (PUC – GO) – Calcule x tal que a matriz A= � 1 2 0 "� seja igual à sua inversa.

7) (UFBA) – Considere as matrizes A = %1 21 12 1& e B = = %3 �12 03 1 &. Sabendo que X é uma

matriz simétrica e que AX = B, determine 12y11 - 4y12, sendo Y = (yij) = X-1. 8) (ITA – SP) – Determine a∈R, de modo que o produto das matrizes reais 2x2 A =

= � 3Q �1 �1 3Q� e B = �7QR� 8QR� 7 2R� � seja uma matriz inversível.

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9) (Unifesp – SP) – Considere a matriz A = %1 0 22 )*S" 00 2 �T)"&, onde x varia no conjunto

dos reais. Calcule a) o determinante de A; b) o valor máximo e o valor mínimo desse determinante. Questões Fechadas de Vestibulares : 1) (ITA – SP) – Seja A uma matriz real 2x2. Suponha que α e β sejam dois números reais distintos e V e W duas matrizes reais 2x1 não nulas, tais que AV = αV e AW = = βW. Se a,b ∈ R são tais que aV + bW é igual à matriz nula 2x1, então a + b vale a) 0 b) 1 c) -1 d) 1/2 e) -1/2 2) (UFOP – MG) - Considere a matriz

M =

1 15 cos 75 cos

1 15sen 75sen

2 0 0

oo

oo

Então , podemos afirmar que :

a) M é inversível e det M = 2

3 . b) M é inversível e de t M = 3 .

c) M é inversível e det M = 0 . d) M é inversível e det M =

e) M é inversível e det M = 2

1 .

3) (UFJF – MG) - Considerando a equação matricial

=

7- 12

6- 4

c b

4 1.

5 3-

2 a em

que a , b e c são números reais , pode mos afirmar que :

a) c + b = 4 . b) a é um número positivo . c) não existem a , b e c que satisfazem à equação matricial dada . d) c não é um número inteiro.

4) (UFSJ –São João Del Rey) – Se A-1 = %1 0 �22 1 34 2 5 & é a inversa da matriz A e Se b =

=%213&, então a soma de todas as entradas da matriz X, tal que AX = b, é

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a) 25 b) 35 c) 55 d)45 5) (UFV – Viçosa) – Conforme J. L. Pastore Mello (Folha de São Paulo, 01 de Janeiro de 2004), uma forma alternativa de definir o conjunto dos números complexos consiste na utilização do conceito de matriz e suas operações, da forma abaixo:

Dada uma matriz quadrada � 7 � 7�, em que a e b são números reais, I = �1 00 1� representa a unidade e U = � 0 1 �1 0 � representa a unidade imaginária. Assim, podemos

identificar o número complexo z = a + bi pela matriz Z= aI + bU. Utilizando essa

identificação, é CORRETO afirmar que o produto das matrizes � 2 3�3 2� e �5 �66 5 � representa o seguinte número complexo:

a) 28 + 3i. b) 3 + 28i. c) 3 = 28i. d) 28 – 3i.

6) (UFV – Viçosa) - Sejam as matrizes A = �1 22 6� e � " �1�1 # !, onde x e y são

números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é: a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4

7) (UFV – Viçosa) – Considere as matrizes A = � 1 2�6 8�, I = �1 00 1� , X = �"#� e

O = �"#�. O conjunto solução da equação (A − 4I ).X = O é formado por pontos de

uma reta de coeficiente angular igual a: a) 1/2 b) – 3/2 c) – 1/2 d) 5/2 e) 3/2

8) (UFOP – MG) – Dadas as matrizes A = � 7 1�1 1 7� e B = �1 �1 00 1 0�, sabe-se que

A.Bt = � 3 4�2 1� . O valor de a + b é

a) 3 b) 7 c) 10 d) 11 9) (ITA – SP) - Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então, [(A + B)t]2 é igual a a) (A + B)2 b) 2(At.Bt) c) 2(At + Bt) d) At + Bt e) At.Bt 10) (UFV – Viçosa) – Considerando - se a matriz A3x3 cujo termo geral é dado axy = = (-1) x+y , é correto afirmar que

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a) A = -At b) A é inversível c) a11 + a22 + a33 d) axy = cos(x + y)π e) a11 + a21 + a331 DETERMINANTES

1) Determinantes e Sistemas Lineares (conceito empírico) :

A resolução de sistemas lineares com duas incógnitas com o uso de matrizes tem registros históricos milenares, que remontam aos chineses das mais antigas dinastias, mas a Teoria dos Determinantes teve sua origem em meados do século XVII.

Considere o sistema '7" � # + �8" � *# + 9- . Explicitando-se a incógnita x na primeira

equação:

x = U R VWQ e substituindo esse resultado na segunda equação :

XU R XVWQ � *# + 9 ⇒

⇒ dc – dby + eay = af ⇒ y(ae – bd) = af – cd ⇒ y = QY R UXQZ R VX . Substituindo-se esse

resultado na primeira equação, tem – se x = UZ R VYQZ R VX .

Observe que o sistema está associado às seguintes estruturas matriciais:

► D = [7 8 *[ ⇒ coeficientes das incógnitas. O produto dos elementos da diagonal

principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o denominador dos resultados de x e y anteriores.

► Dx = \� 9 *\ ⇒ Na estrutura anterior, substitui-se a coluna relativa aos coeficientes

de x pela coluna de termos independentes de x e y. O produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o numerador do resultado de x anterior.

► Dy = [7 �8 9[ ⇒ Na estrutura anterior, substitui-se a coluna relativa aos coeficientes

de y pela coluna de termos independentes de x e y. O produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o numerador do resultado de y anterior.

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Pode-se registrar o que é conhecido como Regra de Cramer :

Dado o sistema '7" � # + �8" � *# + 9- , em que a,b,c,d,e, f ∈R, tem-se como conjunto solução

S = ]1�* � 97* � 8 , -79 � �87* � 82^ -em que ae – bd ≠ 0. De modo mais funcional, temos

►x = __̀ e y =

_a_ , em que D = [7 8 *[, Dx = \� 9 *\ * Dy = [7 �8 9[ , sendo D ≠ 0.

Exemplo: Resolver o sistema '2" � 5# + 8" � 3# + �7- . Temos D = [2 51 �3[ + �6 � 5 + � 11 , Dx = [ 8 5�7 �3[ + �24 � 35 + 11 * Dy = [2 81 �7[ = -14- 8 = - 22 . Logo, x =

__̀ = ��R�� + �1 e y = _a_ + �22�11 + 2

S = {(-1 , 2)}

As estruturas matriciais D , Dx e Dy são chamadas de determinantes 2x2. Operacionalmente, temos para uma matriz 2x2 :

Se A = �7�� 7��7�� 7��� ⇒ det A = [7�� 7��7�� 7��[ = a11.a22 – a12.a21

2) Definição de determinante para matrizes de ordem n < 4 :

Consideremos o conjunto de todas as matrizes reais quadradas A de ordem n, n = 1, 2, 3. Chama-se Determinante de A, indica-se det A, o número real resultante de operações com os elementos de A, assim determinadas:

1o) Se n = 1 ⇒ A = [a11] ⇒ det A = |7��| = a11 ;

2o) Se n = 2 ⇒ A = �7�� 7��7�� 7��� ⇒ det A = [7�� 7��7�� 7��[ = a11.a22 – a12.a21

3o) Se n = 3 ⇒ A = %7�� 7�� 7��7�� 7�� 7��7�� 7�� 7��& ⇒ det A = c7�� 7�� 7��7�� 7�� 7��7�� 7�� 7��c = (a11.a22.a33 +

+ a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a11.a21.a33)

18

Observação : Essa última regra, conhecida como Regra de Sarrus, pode ser memorizada através do seguinte dispositivo:

a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas:

7�� 7�� 7��7�� 7�� 7��7�� 7�� 7�� 7�� 7��7�� 7��7�� 7��

b) No primeiro par de parênteses da expressão estão os produtos dos elementos situados nas posições paralelas à diagonal principal, assinaladas em azul e no segundo par de parênteses, os produtos dos elementos situados nas posições paralelas à diagonal secundária, assinalados em vermelho:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Exemplo :

Calcule o determinante 8 + c2 1 10 3 �11 1 2 c. Então, temos: 3 -2 0

2 1 1 2 1

0 3 -1 0 3

1 1 2 1 1

12

-1

0

19

d = (12 – 1 + o) – (3 – 2 + 0) = 11 = 1 = 10.

Observação : Ao invés de repetir as duas primeiras colunas à direita, pode-se repetir as duas primeiras linhas em baixo e seguir o mesmo procedimento.

3) Cofator de um elemento numa matriz quadrada:

Dada uma matriz quadrada A= (aij) de ordem n , chama-se Cofator de uma entrada aij o número real

Cof (aij) = (-1)i + j .Dij

Em que Dij é o determinante gerado pela supressão da linha e da coluna do elemento aij.

Exemplo : Considere as matrizes A = �2 17 5� e B = %0 3 �21 5 43 4 2 &. Calcule

a) Cof (a22); Cof (a22) = (-1)2+2|2| = 1.2 = 2. b) Cof (b32);

Cof (b32) = (-1)3+2[0 �21 4 [= -1.(0 + 2) = -2.

c) O valor da expressão D = a11. Cof (a11) + a12. Cof (a12) e o determinante da matriz A ; 1o) D = 2.(-1)1+1.|5| + 1. .(-1)1+2.|7| = 10 – 7 =3 2o) D = 2.5 – 1.7 = 10 – 7 = 3 d) O valor da expressão D = b11. Cof (b11) + b12. Cof (b12) + b13. Cof (b13) e o determinante da matriz B.

1o) D = 0.(-1)1+1.[5 44 2[ + 3.(-1)1+2.[1 43 2[ - 2.(-1)1+3.[1 53 4[ = 1.(10 – 16) -3.(2 – 12) –

- 2(4 – 15) = 30 + 22 = 52. 1o) D = 0 + 36 – 8 + 30 - 0 – 6 = 52

20

Observação :

Nos itens c e d do exemplo anterior, antecipamos um resultado importantíssimo, por seu grau de generalidade : trata-se do Teorema de Laplace , usado para calcular determinantes de qualquer ordem.

4) O Teorema de Laplace : O determinante de uma matriz quadrada de ordem n é a soma dos produtos parciais de cada elemento de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Exemplos :

1) Calcule o determinante c4 0 23 �1 53 4 1c com o Teorema de Laplace.

Vamos escolher uma fila a primeira coluna. Então, temos :

c6 0 25 �1 55 4 1c + 4.(-1)1+1[�1 5 4 1[ + 0.(-1)1+2[ 3 5 3 1[ + 2. (-1)1+3[3 �1 3 4 [ = 4(-1 – 20) –

- 0(3 – 15) +2(12 + 3) = -84 + 12 + 30 = -42. É claro que a melhor escolha de fila aponta para a linha ou coluna que tiver mais zeros; Para elementos nulos, não é preciso calcular cofator.

2) Use o Teorema de Laplace para calcular o determinante d = d 3 01 00 22 �1- -3 21 14 23 0d . Aplicando o Teorema de Laplace à segunda coluna do determinante, temos:

d = 0 + 0 + 2.(-1)3+2c3 3 21 1 12 3 0c+(-1),(-1)4+2 c3 3 21 1 10 4 2c= -2(0+6+6-4-9-0)-1(6+8+0-12-

3 3 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 - 6) = 2 + 4 = 6. 5) Processos Complementares:

21

5.1) Determinante da Matriz de Vandermonde: Uma matriz quadrada é chamada de Matriz de Vandermonde se: 1o) Todos os elementos da primeira linha são iguais a 1; 2o) Todas as colunas têm seus elementos em progressão geométrica na ordem crescente das linhas. Exemplos :

a) A = %1 1 12 4 �14 16 1 & b) B = D 1 13 19 127 1- - 1 12 �14 18 �1E

O determinante da Matriz de Vandermonde é o produto das diferenças estabelecidas da direita para a esquerda na segunda linha da matriz. Vejamos os determinantes das matrizes acima: a) det A = (-1 – 4)(-1 – 2)(4 – 2) = (-5)(-3)(2) = 30. b) det B = (-1- 2)(-1 -1)(-1 – 3)(2 – 1)(2 – 3)(1 – 3) = (-3)(-2)(-4)(1)(-1)(-2) = -48. 5.2) Regra de Chió: Se numa matriz quadrada A o elemento a11 é igual a 1, pode-se reduzir a ordem do determinante e calculá-lo mais facilmente com o seguinte procedimento: 10) Exclui-se a linha e a coluna do elemento a11; 2o) De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos elementos das filas excluídas que estão em posições perpendiculares a ele. Exemplos :

a) c1 1 12 4 �14 16 1 c = [ 4 � 2,1 �1 � 2,116 � 4,1 1 � 4,1 [ = [ 2 �312 �3[ = - 6+36 = 30.

b) D 1 13 49 127 1- - 1 12 �14 18 �1E = c 4 � 3.1 2 � 3.1 �1 � 3.11 � 9.1 4 � 9.1 1 � 9.11 � 27.1 8 � 27.1 �1 � 27.1c = c 1 �1 �4�8 �5 �8�26 �19 �28c =

= [ �5 � 8 �8 � 32�19 � 26 �28 � 104[ = [�13 �40�45 �132[ = 1.716 – 1800 = - 84.

22

6) Propriedades dos determinantes : a) O valor de um determinante é zero se ele possui - uma fila (linha ou coluna) de zeros; - duas filas do mesmo tipo iguais (duas linhas ou duas colunas); - duas filas, do mesmo tipo, tais que uma é múltipla da outra. b) Se uma única fila de um determinante é multiplicada por um real k não nulo, então, o valor do determinante fica multiplicado também por k. c) Se duas filas do mesmo tipo são trocadas de posição entre si num determinante, então, o sinal desse determinante se inverte. d) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. e) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, ou seja, det(A.B) = det(A).det(B) f) Se A-1 é a inversa da matriz A, então, det (A-1) = 1/det A. g) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal prtincipal. h) O determinante de uma matriz não se altera quando uma fila é multiplicada por um real k, não nulo, e o resultado é somado com outra fila do mesmo tipo. i) Se um determinante tem uma fila que é combinação linear de outras duas do mesmo tipo, então esse determinante é igual a zero. Exercícios Propostos : 1) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:

a) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j.

b) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2.

c) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for ímpar.

d) Determinante da matriz I2 (identidade de ordem 2).

e) Determinante da matriz D = ��3 �45 3 � . 2) Se m = [2 41 5[ e n = [ 3 0�4 4[, calcule o valor da expressão m2 – n2.

3) Se p = [" 4" "[ e q = [ 3 4�3 3[ , calcule x tal que p = q.

23

4) Se a = [2 11 0[ , b = [2 41 5[ e c = [2 71 5[ , resolva a equação ax2 + bx + c = 0.5) Se p

= [8 44 4[ e q = e3 ��5 1e , calcule log q p.

5) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir:

a) ' 3" – # + 52" � 5# + 9- c) ' 5" + 2# � 7" � 5# + �17- b) ' " – 4# + 32" � 2# + �4- d) ' 3" – 7 + # " � 5# + �6- 6) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir:

a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 156 pés. Quantos são os patos e quantos são os porcos?

b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 118 rodas. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento?

c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais. Se alguém saca 260 reais e leva 11 notas, quantas notas de cada espécie ele leva?

d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 176,00. Se cada suco custa R$ 1,50 e cada salgado custa R$ 2,00, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos?

7) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:

a) Determinante da matriz A = (aij)3X3, em que aij = -2i2+ j.

b) Determinante da matriz B = (bij)3X3, em que bij = - ( i + j)2.

c) Determinante da matriz C = (cij)3X3, em que cij = 2i – j , se i for par e cij = i +2 j, se i for ímpar.

d) Determinante da matriz I3 (identidade de ordem 3).

e) Determinante da matriz %2 �1 20 5 14 4 1&.

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8) Se m = %3 �3 21 0 11 4 1&. e n = %5 1 24 5 10 4 1&., calcule o valor da expressão m + n2.

9) Se p = % " �" 60 0 "�4 4 4&. e q = %2 �1 20 5 14 �2 4&. , calcule x tal que p = q.

10) Se a = %1 0 00 5 14 4 1& , b = %1 �1 00 1 14 1 2& e c = %1 �1 20 5 15 �2 9& , resolva a equação ax2 +

bx + c = 0.

11) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir:

a) Num cofre há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos totalizando 16 moedas e R$ 4,45. Se o número de moedas de 50 centavos é o dobro do número de moedas de 25 centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre?

b) Num estacionamento, há 22 veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento?

12) No plano cartesiano, três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estarão alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se

c"f #f 1"g #g 1"h #h 1c = 0

a) Verifique se os pontos A(1, -3), B(5, 1) e C(0, -4) estão alinhados.

b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, 3), Q(1, 5) e C(0, 1) pertençam a uma mesma reta.

c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-1, -2m) e T(0, -1) sejam vértices de um triângulo.

13) Se c7 �8 * 9: ; � c = 2, determine o valor de cada determinante a seguir:

25

a) c7 2 �8 2* 9: 2; � c b) c� 79 * 8� ; :c c) c3: 3; 3�8 * 9�7 � ��c d) c�7 �8 �: * ;� 9 � c e)

c2 2� 27�* �9 �83; 3� 3:c 14) Sabendo que m = c7 �8 * 9: ; � c, d = 2a , e = 2b e f = 2c, determine os valores de x

tais que m = =[" 11" " [. 15) Calcule o valor do determinante a seguir: c1 1 12 3 54 9 25c . 16) Para quais valores de x o determinante

1 0 1

0 x 0

1 0x

é positivo?

17) Calcule cada determinante a seguir:

a)

3- 1 0 4

2 1 1 2

1 3 1- 0

3 2 2 1

b)

3- 1 0 2

2 3 1- 0

2 1 1- 1

1 2 3 3

c)

1- 27 8 1

1 9 4 1

1- 3 2 1

1 1 1 1

d)

0 1 1 2 2

2- 0 3 2 1

1 3 0 0 0

2- 1 2 2 1

1- 3 2 1 1

18) Resolva cada equação a seguir:

a) 9 xx

3 x x

1 1 1

42

2 = 0 b)

42

2

x3x 27 8

3x x 9 4

x x 3 2

1 1 1 1

= 0

19) Calcule o determinante da matriz M =

h g f

e d c

b a 1

, sabendo que h g

e d = 4 ,

h f

e c = 2 e cg - fd = -3.

26

20) Calcule os valores reais de x tais que

x-2 0 0 0

2 3 x0 0

2 1 1- 0

1 2 3x

+ = 0.

Questões Abertas de Vestibulares:

1) (UFRN) – Na equação a seguir, envolvendo determinantes, encontre os valores reais de x.

x0 0

3 1- 0

0 1 2

+ 2 x 2-

03x 1

1 x 0

= 14

2) (UFPR) – Dadas as matrizes A =

1 0

2 2-

1- 2

e B =

−1 1 2

3 2 1 , e sendo N = 50 + Det

(A.B), encontre o valor de N.

3) (UFOP – MG) – A = (aij)3X4,com aij =

=+≠+

4 j i se , 1-

4 j i se , 1 e B = (bij)4X3 , com bij =

=+≠+

4 j i se , 1-

4 j i se , 1.

Calcule o determinante de A.B.

4) (UFOP – MG) – Considere a matriz A = (aij)2x2, em que aij = tg2 [(π/6)i]+cot2[(π/6)j.

a) Calcule o determinante de A.

b) Calcule AB, sendo B = �2 00 2�.

5) (UFOP – MG) – Considere a matriz M = % 0 0 2)*S5" )*S" 3�T)5" �T)" 4&, com x ∈ [0 , 2π].

Então, resolva a equação det M = 0.

6) (UFOP – MG) – Considere a matriz S = %)�� )�� )��)�� )�� )��)�� )�� )��& dada pela expressão

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sij = i 0 )* � j �� � � )* � + �� – � )* � k �- . Então, resolva a inequação det S > 3x2 .

Questões Fechadas de Vestibulares :

1) (CEFET –MG) - O(s) valor(es) de x para que c1 2 "" 0 �1" �2 �3c = -8 é (são)

a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3 2) (CEFET –MG) - Sendo A = (aij ), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij + + j2, então, o determinante de A é a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 3) (UFOP – MG) - Considere a matriz

M =

1 15 cos 75 cos

1 15sen 75sen

2 0 0

oo

oo

Então , podemos afirmar que :

a) M é inversível e det M = 2

3 .

b) M é inversível e de t M = 3 . c) M é inversível e det M = 0 . d) M é inversível e det M = 1 .

e) M é inversível e det M = 2

1 .

4) (UFOP – MG) - Considere a matriz M = c 1 " 3" 3 " � 1" � 1 1 " c. A equação det M = 0

tem como solução: a) três raízes racionais. b) duas raízes irracionais e uma racional.

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c) apenas uma raiz racional. d) duas raízes racionais e uma irracional. e) três raízes irracionais 5) (UFOP – MG) - A matriz A, dada a seguir, é igual à oposta da sua transposta, ou seja, A = −At .

A = ." # H1 " l2 0 " / Seu determinante vale: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 6) (UFV – Viçosa) - Na matriz quadrada A = (aij ) de ordem 2, os elementos a11, a12 , a21 e a22 , nesta ordem, apresentam a seguinte propriedade: “Os três primeiros estão em progressão aritmética e os três últimos em progressão geométrica, ambas de mesma razão”. Se a12 = 2, o determinante de A vale: a) 4 b) – 4 c) 0 d) 8 e) – 8

7) (UFV – Viçosa) -Seja f: R→R definida por f(x) = det ��2"� 53 2mn�. Então, o maior

valor de f é a) – 11 b) – 10 c) – 13 d) – 12 e) – 15 8) (UFSJ – São João Del Rey- MG) – Analise as afirmações abaixo.

I – O determinante da matriz %0 0 10 1 01 0 0& é igual a 1.

II – O produto matricial % 2�1/35 & . F1/2 �3 1/5G é uma matriz identidade.

III – O sistema linear de incógnitas x. y e z o7�" � 7�# � 7�H + 0 �" � �# � �H + 0 �" � �# � ��H + 0 - poderá não ter

solução, dependendo dos valores de seus coeficientes. IV - Uma matriz identidade e uma matriz quadrada nula são matrizes simétricas. Com base nessa análise, é CORRETO o que se afirma

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a) apenas em IV. b) apenas em I e IV. c) apenas em I e II. d) em I, II, III e IV.

9) (CEFET –MG) – A soma das raízes da equação %1 1 �32 " 12 1 " & = 0 é

a) -5 b) -4 c) 1 d) 3 e) 5 10) (UFV – Viçosa) – Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det (2a) = det (A2), então o valor de det A a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 1

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