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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciencias
Instituto de Fısica Armando Dias Tavares
Valeria de Carvalho Souza
Topicos de teoria de campos com aplicacoes a condensados de
Bose-Einstein
Rio de Janeiro
2014
Valeria de Carvalho Souza
Topicos de teoria de campos com aplicacoes a condensados de Bose-Einstein
Tese apresentada, como requisito parcialpara obtencao do tıtulo de Doutor, ao Pro-grama de Pos-Graduacao em Fısica, da Uni-versidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci
Coorientador: Prof. Dr. Cesar Augusto Linhares da Fonseca Junior
Rio de Janeiro
2014
CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/ REDE SIRIUS /CTC/D
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese, desde que citada a fonte. ___________________________________________________ ____________________________ Assinatura Data
S729 Souza, Váleria de Carvalho. Tópicos de teoria de campos com aplicações a condensados de Bose- Einstein / Váleria de Carvalho Souza - 2014. 75 f.:il. Orientador: Daniel Gustavo Barci. Coorientador: Cesar Augusto Linhares da Fonseca Junior. Tese (Doutorado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1. Condensação de Bose-Einstein -Teses. 2.Teoria de campos (Física) Teses. 3. Matéria condensada - Teses. 4. Simetria quebrada (Física) - Teses. I. Barci, Daniel Gustavo. II. Fonseca Junior, César Augusto Linhares. III. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física Armando Dias Tavares. IV. Título. CDU 530.145
Valeria de Carvalho Souza
Topicos de teoria de campos com aplicacoes a condensados de Bose-Einstein
Tese apresentada, como requisito parcialpara obtencao do tıtulo de Doutor, ao Pro-grama de Pos-Graduacao em Fısica, da Uni-versidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 30 de Outubro de 2014.Banca Examinadora:
Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci (Orientador)Instituto de Fısica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Cesar Augusto Linhares da Fonseca Junior (Coorientador)Instituto de Fısica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Santiago Esteban Perez BergliaffaInstituto de Fısica Armando Dias Tavares - UERJ
Profa. Dra. Zochil Gonzalez ArenasInstituto de Fısica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Humberto Belich JuniorUniversidade Federal do Espırito Santo
Prof. Dr. Daniel Lorenzo Reyes LopesInstituto Militar de Engenharia
Prof. Dr. Paulo Sergio de Abreu BonfimUniversidade do Grande Rio
Rio de Janeiro
2014
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus por me conseder forcas e disposicao para enfrentar os
obstaculos.
Ao meu orientador Daniel G. Barci, que acreditou que eu era capaz de desenvolver
o projeto que ele propos, e que me manteve motivada para trilhar no caminho da fısica
teorica, e por quem eu tenho uma imensa admiracao.
Ao meu co-orientador Cesar Linhares, pela paciencia pelos valiosos ensinamentos
e ajuda nos momentos difıcies.
Ao professor Rudnei Ramos, pelo entusiasmo, incentivo e pela enorme contribuicao
na minha formacao como pesquisadora.
Aos professores Nilson Antunes e Ivan da Cunha Lima, que me fizeram dar os
primeiros passos na ciencia. Foram de grande importancia na minha formacao academica
e influenciaram desicivamente a minha carreira.
A todos os professores do instituto de fısica da UERJ, que de alguma forma cola-
boraram para a realizacao desta tese, mas em especial cito: Roberto Mahon, Vitor Oguri,
Marcelo Chiapparini, Wagner, Luiz Fernando, Marcelo Guimaraes, Jose Soares, Armando
Dias Tavares, Miriam Bracco, Marcia Begali, Zochil Gonzales.
A todos os amigos e funcionarios da pos graduacao e graduacao.
Finalmente, a CAPES e FAPERJ pelo apoio financeiro.
O trabalho bem sucedido em fısica, como em outras profissoes, requer vocacao,
dedicacao aos estudos de forma intensa e contınua representando isso uma satisfacao e
nao um sacrifıcio. Para vencer as dificuldades que aparecem no trabalho de pesquisa, e
importante ter uma atitude otimista, e muita perseveranca.
Belita Koiller
RESUMO
SOUZA, V. C.. Topicos de teoria de campos com aplicacoes a condensados deBose-Einstein. 2014. 75 f. Tese (Doutorado em Fısica) – Instituto de Fısica ArmandoDias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
A tese de doutorado apresenta uma aplicacao de tecnicas de teoria de camposem um sistema da materia condensada. Motivados por experimentos em gases atomicos,apresentamos um estudo sobre misturas binarias de gases atomicos na presenca de umainteracao do tipo Josephson. O foco principal e o estudo de um modelo de dois camposcomplexos nao-relativisticos com simetria O(2). Esta simetria e quebrada por interacoesque produzem um desbalanco nas populacoes das duas especies bosonicas. Estudamos omodelo na aproximacao de campo medio mais flutuacoes gaussianas, usando o formalismode teoria de campos a temperatura finita em tempo imaginario. Os resultados mostramque, num certo intervalo de temperaturas, as duas especies bosonicas condensam a mesmatemperatura crıtica e a fase relativa do condensado e fixa, determinada pela fase do campoexterno aplicado.
Palavras-chave: Condensacao de Bose-Einstein. Teoria de campos (Fısica). Materia
condensada. Simetria quebrada (Fısica).
ABSTRACT
SOUZA, V. C.. Topics of field theory with applications in Bose-Einstein condensates.2014. 75 f. Tese (Doutorado em Fısica) – Instituto de Fısica Armando Dias Tavares,Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
The thesis apresents an applications of field theory techniques in a condensed mat-ter system. Motivated by experiments in atomic gases, we present a study of binarymixture of atomic gases in the presence of an interaction type Josephson. The main focusis the study of a model of two complex fields with non-relativistic symmetry O(2). Thissymmetry is broken by interactions that produce an inbalance in the populations of thetwo species bosonic. We study the model in the mean-field approximattion more gaussianfluctuations, using the formalism of field theory at finite temperature in imaginary time.The results show that in a certain temperature range, the two bosonic species condensethe same critical temperature and the ralative phase of the condensate is fixed and deter-mined by the applied external field phase.
Keywords: Bose-Einstein condensates. Field theory (Physics). Condensed matter.
Broken symmetry (Physics).
LISTA DE ILUSTRACOES
Figura 1 - Potencial efetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 2 - Relacao entre as duas especies de condensados. . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 3 - Fracao condensada ρφ e ρψ como uma funcao da temperatura adimen-
sional T no limite | ν | /ΩR < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 4 - Fracao condensada ρφ e ρψ como uma funcao da temperatura adimen-
sional T no limite ΩR/ | ν |< 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
TQC Teoria quantica de campos
CBE Condensado de Bose-Einstein
EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii
GR Grupo de renormalizacao
DCT Dinamica de campos termicos
LISTA DE SIMBOLOS
µ potencial quımico
ΩR frequencia de Rabi
Ωeff frequencia efetiva de Rabi
| ν | desintonia
Ueff potencial efetivo
SUMARIO
INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 QUANTIZACAO DE CAMPOS ESCALARES . . . . . . . . . . . 14
1.1 Amplitude de carrelacao para campos bosonicos . . . . . . . . . . . 15
1.2 Funcional gerador para campos bosonicos . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Teoria escalar livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Teoria escalar interagente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Acao efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 O potencial efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 O potencial efetivo a um laco para teoria escalar interagente . . . . . . . . 28
2 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FI-
NITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Formalismo de tempo imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Potencial efetivo a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Transicao de fase e restauracao de simetria . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Condensacao de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 POTENCIAL EFETIVO PARA MISTURAS BINARIAS . . . . 49
3.1 Teoria quantica de campos para misturas binarias bosonicas com
acoplamento Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Modelo O(2) com anisotropia Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Teoria de campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Efeitos de flutuacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Avaliacao numerica das densidades dos condensados . . . . . . . . 61
CONCLUSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
APENDICE A – Regularizacao dimensional do potencial efetivo a um
laco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11
INTRODUCAO
Nos ultimos anos, a fısica da Materia Condensada ampliou substancialmente seus
horizontes muito alem de suas fronteiras tradicionais. Isto e mais evidente nas pesquisas
sobre materiais em escalas nano-metricas. Alguns sistemas, aparentemente sem relacao en-
tre si, como heteroestruturas de semicondutores, moleculas organicas e biologicas, micro-
cavidades e cristais fotonicos com gap de banda, dispositivos de um unico eletron, nano-
tubos de carbono e grafeno, estao no foco atual da atividade de pesquisa. Muitos destes
novos materiais estao se tornando importantes em termos de possıveis aplicacoes industri-
ais. Por outro lado, fenomenos fısicos como a supercondutividade (SRIVASTAVA, 2003),
o efeito Hall quantico (STONE, 1992) e a condensacao de Bose-Einstein (GRIFFIN, 1996),
estao sendo atualmente pesquisados nestes novos materiais. Desta forma, novos experi-
mentos e tecnicas teoricas estao sendo aplicadas a novos e desafiantes sistemas. Dentro
destas tecnicas, a “Teoria Quantica de Campos (TQC)”, inicialmente formulada para o
tratamento de problemas da fısica de altas energias, encontra, ha varios anos, terreno fertil
para aplicacoes em sistemas da Materia Condensada e Mecanica Estatıstica (FRADKIN,
2013; TSVELIK, 1995). O sucesso destas aplicacoes e notorio; como exemplos consagrados
e suficiente mencionar a supercondutividade BCS e o comportamento crıtico do modelo
de Ising em tres dimensoes. Recentemente, varios resultados nao menos importantes tem
sido obtidos atraves de aplicacoes de metodos de TQC em sistemas de natureza similar,
em particular, nos assim chamamos “sistemas de baixa dimensionalidade”, como os gases
bidimensionais de eletrons que apresentam efeito Hall quantico, efeito Kondo, sistemas
antiferromagneticos quanticos, supercondutores de alta temperatura critica, nanotubos
de carbono. A TQC e especialmente indicada quando os sistemas de estudo apresentam
correlacoes fortes e as aproximacoes habituais de um corpo (por exemplo, “tight-binding”
e as tecnicas de Hartree e Hartree-Fock) estao no limite da sua aplicabilidade. Exem-
plos destes compostos sao os ja mencionados “cupratos supercondutores”, mas tambem
os sistemas de fermions pesados como os “rutenatos” entre outros. Podemos citar ainda
elementos como o 3He e 4He em condicoes extremas de temperatura e pressao, os quais
se encontram nesta categoria. A aplicacao de tecnicas de TQC em sistemas da Materia
Condensada fornece informacao relevante sobre propriedades termodinamicas e de trans-
porte tanto em equilıbrio quanto fora do equilıbrio termodinamico. Geralmente, a TQC
e usada para construir modelos que exploram a fısica de baixas energias e comprimentos
de correlacao grandes. Isto se torna especialmente importante num regime perto de uma
transicao de fase, tanto classica como quantica onde as tecnicas perturbativas usuais nao
podem ser aplicadas.
Dentro deste contexto esta tese e dedicada ao estudo de alguns aspectos de gases
bosonicos, aplicando a tecnica de teoria de campos conhecida como potencial efetivo a
12
temperatura finita. A ideia basica e que a temperaturas muito baixas, tanto as flutuacoes
quanticas como as termicas sao relevantes, entao, elas tem que ser tratadas simulta-
neamente. A teoria de campos a temperatura e densidade finita formulada em tempo
imaginario e uma tecnica que permite lidar com estes dois tipos de flutuacoes de forma
muito eficiente. Em particular decidimos estudar gases bosonicos interagentes a tempera-
turas muito baixas. Estes sistemas sao muito interessantes devido a riqueza de fases que
apresentam (WILL, 2013). A pesquisa basica nesta area tem crescido muito nos ultimos
anos (SOLTAN-PANAHI. et al., 2011).
Devido a capacidade de aprisionamento optico a temperaturas extremamente bai-
xas, e possıvel estudar uma grande variedades de fenomenos em sistemas compostos de
misturas bosonicas (ANDREWS. et al., 1997; GADWAY, 2010) como tambem fermionicas
(ISKIN, 2011). Importantes efeitos quanticos, como condensacao de Bose-Einstein e su-
percondutividade podem agora ser estudadas de forma controlada em sistema de multiplos
componentes atomicos. Experiencias interessantes com fluıdos quanticos mistos tem sido
feitas com atomos de 87Rb em dois estados hiperfinos diferentes (MYATT. et al., 1997;
HALL. et al., 1998; LIN, 2011). Estes estados podem ser induzidos por um feixe de laser
cuja frequencia possui uma pequena defasagem em relacao a diferenca de energia entre
os nıveis de dois estados hiperfinos. Desse modo e possıvel a transferencia de um estado
hiperfino para o outro produzindo uma interacao do tipo Josephson.
Em geral, uma interacao do tipo Josephson envolve interacoes de um grande
numero de graus de liberdade bosonicos que podem ocupar dois estados quanticos di-
ferentes. Apesar de ter sido originalmente proposto em sistemas supercondutores ( JO-
SEPHSON, 1962) onde os bosons sao os pares de Cooper, existem muitos outros sistemas,
onde estes efeitos aparecem. Uma analise detalhada de diferentes sistemas fısicos que
apresentam interacoes Josephson pode ser encontradas na referencia (BARONE, 2000).
Existem dois tipos de efeito Josephson (LEGGET, 2001): o chamado ”externo”, onde
os dois estados hiperfinos sao separados espacialmente, como por exemplo, em um CBE
preso em um poco duplo (ALBIEZ. et al., 2005; PAPP, 2008; GATI, 2007; LEVY. et al.,
2007) e o ”interno”, onde os dois estados quanticos bosonicos se interpenetram sem qual-
quer distincao geometrica. Um exemplo deste caso sao os experimentos com atomos de
rubıdio citados anteriormente (HALL. et al., 1998). Na presente tese, estamos interessados
principalmente neste ultimo caso.
Propriedades estaticas e dinamicas de misturas binarias bosonicas em diferentes ar-
madilhas geometricas foram estudadas teoricamente, utilizando essencialmente a equacao
de Gross-Pitaeviskii (EGP) (SMERZI, et al., 1997; RAGHAVAN, 1999; SALERNO, 2005).
A EGP, nada mais e que uma equacao de campo medio. Porem, para estudar as pro-
priedades de condensados uniformes, especialmente aquelas questoes relacionadas com as
flutuacoes, como restauracao de simetria, e reentrancias de fase, e mais conveniente re-
alizar o estudo atraves da teoria quantica de campos a densidade e temperatura finita
13
(RAMOS, 2001; PINTO, 2005; PINTO, 2006; CHIEN, 2012). Modelos relacionados com
simetria O(N) tem sido extensivamente estudados, usando aproximacao de N grande e
grupo de renormalizacao (GR) (MOSHE, 2003; CHIEN, 2012). Estes modelos descrevem
sistemas de varias componentes, que conservam o numero de partıculas de cada uma das
especies.
Motivados por esses resultados, decidimos abordar o efeito da interacao Joseph-
son em misturas bosonicas uniformes, que em geral quebrao a conservacao do numero
de partıculas de cada especies, permanecendo apenas a conservacao total de partıculas
(ZIBOLD, 2010; ZAPATA, 1998). Para fazer isso, sera considerado por simplicidade o
modelo O(2), e em seguida sera perturbado com uma interacao Josephson. Este modelo e
analisado atraves da aproximacao de campo medio, mais flutuacoes gaussianas. Observa-
se que, num regime de temperatura bem definida, as duas especies de atomos condensam
a uma mesma temperatura crıtica Tc sendo que a fase relativa e determinada pela fase
de um parametro ν que mede a defasagem de frequencias entre o laser e a diferenca de
energia entre os estados (”detuning”).
A tese esta estruturada da seguinte forma. No capıtulo 2, fazemos uma introducao
a quantizacao de campos escalares dando enfase a tecnica de integral funcional e no
potencial efetivo. No seguinte capıtulo 3, descrevemos a teoria quantica de campos a
temperatura finita, extendendo o estudo do potencial efetivo na presenca de temperatura.
O capıtulo 4 contem a contribuicao original da tese (SOUZA, 2014), e trata do estudo
de misturas binarias de bosons na presenca de interacoes tipo Josephson. Neste capıtulo
sao utilizadas as tecnicas descritas nos dois capıtulos anteriores. Finalmente discutimos
nossos resultados nas conclusoes
14
1 QUANTIZACAO DE CAMPOS ESCALARES
Iniciaremos este capıtulo fazendo uma pequena abordagem da mecanica quantica
(MQ) e da teoria quantica de campos (TQC). A teoria quantica de campos foi desen-
volvida inicialmente para sistemas quanticos relativısticos, porem, nos ultimos anos, os
fısicos da materia condensada tambem sucumbiram aos seus encantos, usando as potentes
ferramentas de calculo fornecidas por ela. A TQC e o melhor formalismo matematico que
temos em maos envolvendo processos de criacao e destruicao de partıculas (SVAITER,
2009).
Para fornecer um melhor entendimento do desenvolvimento proposto na tese, neste
capıtulo faremos uma revisao dos metodos de quantizacao para campos bosonicos e da
construcao do formalismo da integral funcional. Apresentaremos tambem o metodo do
potencial efetivo, uma maneira sistematica para testar a possıvel ocorrencia de quebra
espontanea de simetrias. Dessa forma, apresentamos as bases para trabalhar, posterior-
mente, a temperatura finita.
Entre os diferentes metodos de quantizacao de campos classicos que foram propos-
tos ao longo dos anos, chamaremos a atencao de dois deles: a quantizacao canonica (ou
segunda quantizacao) e, alternativamente, a quantizacao funcional (ou metodo de integrais
funcionais). O metodo de quantizacao canonica e o mais antigo e tem as vantagens de ser
muito intuitivo e de que somente os modos fısicos sao quantizados, manifestando-se assim
a unitariedade do sistema. Porem, a quantizacao funcional parece ser o mais utilizado
pela maioria dos teoricos das partıculas elementares hoje em dia. Este metodo funcional
e o mais adequado para a descricao de fenomenos nao perturbativos, como tunelamento,
instantons, teorias de gauge na rede, etc. Para teorias de gauge, sao particularmente
indispensaveis. E talvez o mais elegante e poderoso de todos os metodos de quantizacao
disponıveis, que se baseia em principios simples:
1. estabelece as simetrias da teoria diretamente;
2. explora a topologia do campo;
3. isola variaveis dinamicas relevantes;
4. e o mais importante, pode facilmente incorporar e descrever os efeitos da tempera-
tura diferente de zero.
De qualquer forma, existe um consenso entre os dois metodos. O metodo funcional conduz
aos mesmos resultados obtidos atraves da quantizacao canonica e ambas formulacoes da
teoria quantica de campos sao equivalentes.
15
1.1 Amplitude de carrelacao para campos bosonicos
Iniciaremos esta secao lembrando que em mecanica quantica, trabalha-se no espaco
de posicao x(t) e no espaco de momento p = ∂L/∂x. Em teoria quantica de campos,
trabalhamos com campos φ(x, t) e momentos conjugados π(x, t) = ∂L/∂φ(x, t). Em
teoria quantica de campos, φ(x, t) e uma funcao que desempenha um papel analogo a
x(t) e descreve um numero infinito de graus de liberdade, uma vez que, em cada instante
de tempo, φ tem um valor independente em cada ponto do espaco.
No formalismo canonico, φ(x, t) e π(x, t) transformam-se em operadores. Sendo as-
sim, comecaremos determinando o operador de campo na descricao de Heisenberg φ(x, 0),
no instante de tempo t = 0, e o operador momento conjugado π(x, 0). O autoestado | φ〉do operador de campo satisfaz a equacao de autovalores φ(x, 0) | φ〉 = φ(x) | φ〉, onde
φ(x) e o autovalor de φ, e cumpre tambem as seguintes condicoes de completeza e orto-
gonalidade,∫dφ(x) | φ〉〈φ | = 1,
〈φa | φb〉 = δ [φa(x)− φb(x)] . (1)
Analogamente, o autoestado do operador de momento conjugado e representado por | π〉 e
satisfaz π(x, 0) | π〉 = π(x) | π〉, assim como as condicoes de completeza e ortogonalidade,∫dπ(x)
2π| π〉〈π | = 1
〈πa | πb〉 = δ [πa(x)− πb(x)] . (2)
Na mecanica quantica, a superposicao entre um autoestado do operador posicao e um
autoestado do operador momento e descrito pela expressao 〈x | p〉 = exp[i(p.x)]. De
forma analoga, em teoria de campos, temos a superposicao
〈φ | π〉 = exp
(i
∫d3x (π(x)φ(x))
), (3)
como uma generalizacao natural ao passar de um numero finito de graus de liberdade (N)
na mecanica quantica para um numero continuamente infinito de graus de liberdade na
teoria quantica de campos, fazendo∑N
i=1 pixi −→∫d3x (π(x)φ(x)).
Um outro conceito importante a ser lembrado sao as relacoes de comutacao canonica
entre campos e momentos conjugados, ou seja, as relacoes fundamentais de comutacao,
16
as quais Paul Dirac1 chamou de condicoes quanticas fundamentais (SAKURAI, 1994).
[φ(x, t), π(x′, t)] = iδ(x− x′) (4)
A quantizacao canonica e baseada na algebra de operadores e nas equacoes de
movimento. Nestas condicoes, e preciso escrever um hamiltoniano como um funcional do
campo e do momento conjugado, pois este carrega toda a informacao sobre a situacao
dinamica do sistema
H =
∫d3xH(φ, π). (5)
Aqui, e importante ressaltar que o nosso principal objetivo nesta secao e obter
a expressao da amplitude de correlacao do operador de campo para chegar a integral
funcional. A amplitude de correlacao vai nos indicar o grau de semelhanca entre dois
estados diferentes do sistema. Vamos supor a partir de agora que um dado sistema esta em
um estado inicial | φ0〉 no instante de tempo t = 0. A evolucao temporal deste estado sera
obtida aplicando o operador de evolucao temporal U , tambem conhecido como operador
de Dyson, que levara o estado inicial | φ0〉 para um estado e−iH(tf ) | φ0〉, no instante de
tempo tf . Portanto, a expressao da amplitude de correlacao, para ir do estado | φ0〉 para
um outro estado | φf〉 depois de um tempo tf , sera 〈φ0 | e−iHtf | φ0〉.Para fins estatısticos e preciso considerarmos a situacao em que o sistema volta
para o estado inicial depois de um tempo tf . Um meio pratico para avaliar esta amplitude
consiste em dividirmos o intervalo de tempo [t, tf ] em N subintervalos iguais de duracao
4t = t − tf/(N + 1). Em cada intervalo de tempo vamos inserir um conjunto completo
de autoestados do operador de campo e levando em consideracao as expressoes (1) a (3),
obtemos
〈φ0 | e−iHtf | φ0〉 = limN→∞
∫ [ N∏i=1
dπidφi/2π
]× 〈φ0 | πN〉〈πN | e−iH4t | φN〉〈φN | πN−1〉
× 〈φN−1 | e−iH4t | φN−1〉 × · · ·
× 〈φ2 | π1〉〈π1 | e−iHt | φ1〉〈φ1 | π0〉. (6)
1 Paul Maurice Dirac, e um dos fundadores da mecanica quantica. O formalismo matematico desenvol-vido por ele consiste principalmente de uma algebra nao-comutativa para calcular propriedades dosatomos. Dirac desenvolveu uma teoria relativıstica para os eletrons, previu a descoberta do positronem 1928, e fez importantes contribuicoes para a teoria quantica de campos. Ele recebeu o premioNobel em 1933 (GREINNER, 1998).
17
Das condicoes de completeza e ortogonalidade, podemos escrever
〈φ1 | φ0〉 = δ(φ1 − φ0)
〈φi+1 | πi〉 = exp
[i
∫d3x (πi(x)φi+1(x))
]. (7)
Desde que o limite 4t→ 0, podemos expandir ate o termo de primeira ordem
〈πi | e−iH4t | φi〉 ' 〈πi |(
1− iH4t)| φi〉
= 〈πi | φi〉(
1− iHi4t)
=(
1− iH4t)
exp
[−i∫d3x (πi(x)φi(x))
], (8)
onde Hi =∫d3xH (πi(x)φi(x)). Agora, juntando os ultimos passos,
〈φ0 | e−iHtf | φ0〉 = limN→∞
∫ [ N∏i=1
dπidφi/2π
]δ (φ1 − φ0)
× exp
−i4t
N∑i=1
∫d3x [H(πi, φi)− πi(φi+1 − φi)/4t]
, (9)
com φN+1 = φ0. A vantagem em alternar a insercao de um conjunto completo de autoes-
tados de φ e π e que, dessa forma, o hamiltoniano e avaliado em um unico tempo.
Tomando o limite contınuo na Eq. (9) e fazendo 4t → 0, chegamos finalmente
na expressao mais importante desta secao, a expressao da amplitude de correlacao para
bosons como uma integral funcional,
〈φ0 | e−iHtf | φ0〉 =
∫[dπ]
∫ φ(x,tf )=φ0(x)
φ(x,0)=φ0(x)
[dφ]
× exp
[i
∫ tf
0
dt
∫d3x
(π(x, t)
∂φ(x, t)
∂t−H (π(x, t), φ(x, t))
)]. (10)
Os sımbolos [dφ] e [dπ] definem a medida de integracao funcional e H e a densi-
dade hamiltoniana do sistema. A primeira integral, ou seja, em π nao e restrita, mas a
integracao ao longo de φ, e tal que o campo comeca em φ0(x) em um instante de tempo
t = 0 e termina em φ0(x) no instante de tempo t = tf . Note-se que com este desenvolvi-
mento temos chegado a uma expressao contendo apenas funcoes definidas no espaco de
fases (campos classicos) e nao mais operadores. Assim, passamos da formulacao canonica
a formulacao funcional, que usa outra linguagem e diferentes ferramentas matematicas.
18
1.2 Funcional gerador para campos bosonicos
Nosso objetivo nesta secao e a obtencao do funcional gerador das funcoes de cor-
relacao. O funcional gerador se define a partir da amplitude de correlacao (Eq. (10))
quando o tempo inicial t→ −∞ e o final tf →∞, i.e., a amplitude de correlacao vacuo
a vacuo, em presenca de uma fonte externa J . Dessa forma, temos que
Z[J ] = 〈0,+∞ | 0,−∞〉J . (11)
O termo de fonte J serve para tirar o sistema do vacuo. Sendo assim, pode-se afirmar
que quando nao ha fontes, o sistema estara sempre no estado de vacuo.
No caso que a densidade hamiltoniana H seja uma funcao quadratica do momento,
a integral em π na expressao (10) e Gaussiana e pode, consequentemente, ser integrada.
Dessa forma, podemos definir o funcional gerador como sendo (RYDER, 1985),
Z[J ] =
∫Dφ ei
∫d4x[L(φ)+J(x)φ(x)] (12)
∝ 〈0,+∞ | 0,−∞〉J ,
onde L e a lagrangeana do sistema. Temos definido assim a integral funcional, ou de
trajetorias, que e o formalismo que vamos usar ao longo da tese. Escrever a teoria em
funcao de campos classicos e nao mais de operadores permite-nos fazer um tratamento
mais intuitivo, porem, a dificuldade esta agora em resolver a integral funcional.
Uma vez definido o funcional gerador, as funcoes de correlacao sao calculadas
atraves das derivadas funcionais de Z[J ]. Temos entao que
G(x1, ..., xn) = 〈0 | T (φ(x1)...φ(xn)) | 0〉 =1
in1
Z[0]
δnZ0[J ]
δJ(x1)...δJ(xn)
∣∣∣J=0
. (13)
Z[0] e a constante de normalizacao, que resulta de colocar J = 0 na Eq. (10).
Podemos estabelecer portanto, que o valor esperado do vacuo do produto de or-
denamento temporal e chamado de funcao de Green ou funcao de correlacao de n pontos
da teoria, que pode ser calculada a partir do funcional gerador Z[J ] usando a expressao
anterior, (Eq. (13)).
Vamos considerar a continuacao de uma teoria de campo escalar bosonico rela-
tivıstica que satisfaz a equacao de Klein-Gordon, de modo a ilustrar com um exemplo o
formalismo ate aqui desenvolvido.
19
1.2.1 Teoria escalar livre
Consideremos a lagrangeana de Klein-Gordon para um campo escalar livre rela-
tivıstico, no espaco de Minkowski,
L =1
2(∂µφ) (∂µφ)− m2
2φ2, (14)
onde µ = 0, 1, 2, 3 e assumimos o tensor metrico gµ,ν = gµ,ν = 1,−1,−1,−1 (PESKIN,
1995). Substituindo (14) na expressao geral do funcional gerador, Eq. (13), obtemos,
Z0[J ] =
∫Dφei
∫d4x[ 1
2(∂µφ)(∂µφ)− 1
2m2φ2+J(x)φ(x)]. (15)
Vamos usar a notacao Z0 para designar a teoria livre. Desenvolvendo o primeiro termo
na lagrangeana, Eq. (14), temos que,∫d4x(∂µφ)(∂µφ) =
∫d4x∂µ(φ∂µφ)−
∫d4xφ∂µ∂
µφ
=
∫S
(φ∂µφ) dS −∫d4xφ∂µ∂
µφ, (16)
onde ∂µ∂µ e o operador de D’Alembert. Na expressao acima, o termo de superfıcie vai
desaparecer quando o campo φ→ 0 no infinito. Portanto, a equacao (16) fica estabelecida
da seguinte forma,∫d4x (∂µφ) (∂µφ) = −
∫d4xφ∂µ∂
µφ (17)
e, consequentemente, o funcional gerador e
Z0[J ] =
∫Dφe−i
∫d4x[ 1
2φ(∂µ∂µ+m2)φ−Jφ]. (18)
Uma vez que a lagrangeana e quadratica em φ, a integral funcional e gaussiana
e pode ser resolvida exatamente. Sendo assim, obtemos para o funcional gerador (DAS,
1997; LE BELLAC, 1996),
Z0[J ] = N exp
[− i
2
∫d4xd4yJ(x)4F (x− y)J(y)
], (19)
onde, 4F (x− y) e definido segundo
(∂µ∂
µ +m2)4F (x− y) = −δ4(x− y) (20)
e a constante de normalizacao N = det ((∂µ∂µ)2 +m2)
−1/2.
20
Este funcional gerador vai ser utilizado para gerar as funcoes de Green, ou seja, o
valor esperado do vacuo do produto de ordenamento temporal dos operadores de campos,
na linguagem de quantizacao canonica, da seguinte forma
〈Tφ(x)φ(y)〉 =δlnZ0
δJ(x)δJ(y)
∣∣∣J=0
= 4F (x− y). (21)
4F (x− y) e conhecido como o propagador de Feynman. Para encontrarmos a sua repre-
sentacao e preciso achar a solucao da Eq. (20). Para isso, vamos passar para o espaco de
momento, pois o desenvolvimento e mais facil. Sendo assim, a transformada de Fourier
4F (k) de 4F (x) e dada por
4F (x) =
∫d4ke−ikx4F (k), (22)
onde kx = k0x0 − k.x. Substituindo agora na equacao (20) e usando a representacao da
funcao delta no espaco de Fourier, temos(∂µ∂
µ +m2)4F (x) =
∫d4k
(∂µ∂
µ +m2)e−ikx4F (k)
= −∫
d4k
(2π)4e−ikx = −δ4(x). (23)
Desenvolvemos (∂µ∂µ) e−ikx = (−k2
0 + k2) e−ikx = −k2e−ikx, onde k2 = k20 − k2, de modo
que
(∂µ∂
µ +m2)e−ikx = −
(k2 −m2
)e−ikx. (24)
Igualando agora os integrandos em (23),
−(k2 −m2
)e−ikx4(k) = − 1
(2π)4e−ikx, (25)
temos que, no espaco de momento, o propagador de Feynman e dado por
4F (k) =1
(2π)4
1
k2 −m2. (26)
Portanto, voltando para o espaco de configuracoes, temos que
4F (x) =
∫d4k
(2π)4
e−ikx
k2 −m2 + iε. (27)
Esta integral tem polos em k0 = ±√
k2 +m2 = ±wk, (ε → 0). Note-se que temos
introduzido no denominador o termo iε, que determina o caminho de integracao em torno
dos polos. Esta maneira de contornar os polos e conhecida como prescricao de Feynman.
21
Uma outra maneira de calcular esta integral e trabalhar no espaco euclideano.
Para isso, e feito um giro no eixo do tempo atraves de um angulo δ = π/2. Neste caso,
podemos escrever a variavel tempo como sendo t→ e−iδτ = −iτ e tomando τ → ±∞. O
tempo euclideano e o espaco euclideanos ficam entao,
x4 = it = ix0, (tempo euclideano)
ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 = −4∑
µ=1
(dxµ)2E
4∑µ=1
(dxµ)2E = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 + (dx4)2 (28)
Definimos tambem
k4 = −ik0 ⇒ k2 = k20 − k2 → −(k2
4 + k4) = −(k21 + k2
2 + k23 + k2
4) = −k2E (29)
e
d4kE = dk4d3k = −id4k (30)
Finalmente, no espaco euclideano o propagador de Feynman fica
4F (x) = −i∫d4kE(2π)
1
k2E +m2
. (31)
Dessa maneira, nao tem nenhuma indeterminacao, uma vez que os polos nao estao mais
no eixo real, mas em k4 = ±i√
k2 +m2 = ±iwk.No espaco euclideano, o funcional gerador Z0[J ], Eq. (15), torna-se (utilizando:
d4x→ −id4xE e (∂µφ)2 → −(∂µEφ)2)
Z0[J ]→ Z0E [J ] =
∫Dφe−
∫d4xE 1
2[(∂µEφ)2+m2φ2]−φJ. (32)
1.2.2 Teoria escalar interagente
Na subsecao anterior foi feito um desenvolvimento para quantizar campos livres e
chegamos a expressao para calcularmos as funcoes de Green para uma teoria de campo
escalar livre. No entanto, a maioria dos processos fısicos reais apresentao interacoes entre
os seus campos. Iniciaremos esta secao, entao, com a proposta de passar de uma teoria
de campo escalar livre (Klein-Gordon) para uma teoria de campos escalares com auto-
interacao. Tais condicoes sao obtidas ao escrever potencias superiores de φ descrevendo as
auto-interacoes ou produtos que envolvam diferentes tipos de campos. Em teoria classica,
22
isto conduz a uma equacao de campo nao linear ou sistemas acoplados de equacoes de
campos que sao difıceis de solucionar. Por outro lado, em teoria quantica de campos inte-
ragentes nos deparamos com problemas ainda maiores. Podemos citar como exemplo, as
flutuacoes quanticas que induzem misturas complicadas de diferentes tipos de partıculas.
Vamos comecar escrevendo a lagrangeana de uma teoria com interacoes com duas
componentes, a lagrangeana da teoria livre mais a componente da interacao. Vamos usar
como exemplo uma teoria λφ4,
LT = L0 + Li=
1
2(∂µφ) (∂µφ)− 1
2m2φ2 − λ
4!φ4 (33)
onde L0 e a lagrangeana de Klein-Gordon para campos escalares livres, estudada na
secao anterior, e Li = − λ4!φ4 e a componente de interacao, sendo λ uma constante de
acoplamento adimensional.
Nestas condicoes, o funcional gerador se escreve
Z[J ] =
∫Dφ exp
i
∫d4x [LT (φ) + J(x)φ(x)]
. (34)
Consideraremos que λ e muito pequeno (λ 1). Consequentemente, podemos
fazer uma expansao na equacao do funcional gerador, chegando a expressao
exp
[i
∫d4x (LT + Jφ)
]= exp
[i
∫d4xLi
]exp
[i
∫d4x (L0 + Jφ)
]=
(1− i
∫d4x
λ
4!φ4 + ...
)ei∫d4x(L0+Jφ). (35)
Convenientemente, vamos substituir o campo φ pelo operador 1i
δδJ(x)
, e reescrevemos a
equacao (35) como,
exp
[i
∫d4x (LT + Jφ)
]=
[1− i
∫d4x
λ
4!
(1
i
δ
δJ(x)
)4
+ ...
]exp
[i
∫d4x (L0 + Jφ)
].
(36)
Nestas condicoes, o funcional gerador Z[J ] fica,
Z[J ] =
∫Dφ exp
i
∫d4x [LT + Jφ]
=
[1− i
∫d4x
λ
4!
(1
i
δ
δJ(x)
)4
+ ...
]∫Dφ exp
i
∫d4x [L0 + Jφ]
=
[1− i
∫d4x
λ
4!
(1
i
δ
δJ(x)
)4
+ ...
]Z0[J ]. (37)
23
Re-exponenciando a serie de Taylor,
Z[J ] = e−i∫d4x λ
4!(1i
δδJ(x))
4
Z0[J ]. (38)
1.3 Acao efetiva
A acao efetiva e uma importante ferramenta na teoria quantica de campos, sendo
um funcional que depende do campo e que constitui um analogo da acao na mecanica
classica. Na mecanica classica, as equacoes de movimento sao obtidas a partir da acao
usando o princıpio variacional. Na TQC, exigindo que a acao efetiva seja estacionaria,
podem-se derivar as equacoes de movimento para os valores esperados do vacuo quantico.
A acao efetiva pode ser tomada como ponto de partida para a discussao de efeitos nao
perturbativos como a quebra espontanea de simetria (GREINER, 1996).
Definimos o potencial W [J ] da seguinte forma,
Z[J ] = exp iW [J ] −→ W [J ] = −i lnZ[J ]. (39)
Na linguagem da teoria de perturbacoes, o funcional W [J ] e conhecido como o funcional
gerador das funcoes de Green conectadas. E simples ver que, analogamente a Eq. (13),
podemos escrever,
G(n)c (x1...xn) = 〈0 | T [φ(x1)...φ(xn)] | 0〉c = (−i)n−1 δnW [J ]
δJ(x1)...δJ(xn)
∣∣∣J=0
, (40)
onde G(n)c e a funcao de Green de n pontos conectada (sem os diagramas de vacuo).
Alternativamente, fazendo a expansao funcional em potencias de J , temos,
W [J ] = (−i)n−1
∞∑n=0
1
n!
∫d4x1...d
4xnJ(x1)...J(xn)G(n)c (x1...xn). (41)
Usando a definicao da funcao de correlacao, Eq. (13), e as equacoes anteriores,
podemos obter, agora em termos do funcional W [J ] e apenas para um campo φ(x), a
funcao de um ponto conectada,
δ
δJ(x)(−i lnZ[J ]) =
δW
δJ(x)= 〈0 | φ(x) | 0〉J = φ(x), (42)
onde φ(x) e o campo classico e representa o valor esperado do vacuo na presenca de
uma fonte J(x). Na equacao acima, pode-se determinar o vacuo quantico tomando o
limite J → 0, podendo este ser diferente do vacuo classico. Na linguagem de mecanica
estatısitica, W [J ] e conhecida como a energia livre de Helmholtz. O campo φ(x) e o
parametro de ordem associado a fonte J(x). Se diz que J(x) e φ(x) sao campos conjugados.
24
Estamos interesados em definir um novo funcional que dependa apenas do parametro
de ordem φ(x), e nao mais da fonte J . Isto e equivalente a definir a energia livre de Gibbs
Γ[φ(x)]. Para isso, vamos usar a transformada funcional de Legendre,
Γ[φ] = W [J ]−∫d4xJ(x)φ(x). (43)
onde a relacao,
δΓ[φ]
δφ(x)= −J(x). (44)
define a equacao de estado do sistema. Usando as definicoes anteriores, e simples ver que
Γ[φ] vira uma constante quando J(x) → 0. Sendo assim, temos que φ e uma solucao da
equacao,
δΓ[φ]
δφ= 0. (45)
Portanto, o vacuo quantico φ(x) e um ponto estacionario de Γ. Na linguagem de teoria
de campos, Γ[φ] e chamada de acao efetiva.
A seguir, vamos ilustrar a aproximacao de campo medio (ponto de sela) mais
flutuacoes gaussianas para calcularmos o funcional gerador e chegar a acao efetiva Γ
usando o modelo de Klein-Gordon. Para isso, avaliaremos W [J ] atraves do metodo do
ponto de sela (ZINN-JUSTIN, 1996) para integrais de caminho. Comecaremos usando a
definicao do funcional gerador Z[J ],
Z[J ] = exp
1
hW [J ]
=
∫Dφ exp
i
h(S[φ, J ])
, (46)
onde, S[φ, J ] =∫d4x(L[φ] + hJφ) e L[φ] = 1
2(∂µφ)2 − V (φ) e a lagrangeana de Klein-
Gordon mais interacoes dadas pelo potencial V (φ). O termo de interacao V (φ) poderia
ser, em particular, λφ4.
O ponto de sela φ0 e aquele em que a acao S[φ, J ] e estacionaria, ou seja,
δS[φ, J ]
δφ
∣∣∣φ0
=δ
δφ
∫d4x
[1
2(∂µφ)2 − V (φ) + hJφ
] ∣∣∣φ0
= 0
= −∂µ∂µφ0 −dV
dφ
∣∣∣φ0
+ hJ = 0. (47)
Esta equacao define o campo φ0[J ] como um funcional de J .
25
Agora, expandindo S[φ, J ] em torno de φ0, obtemos,
S[φ, J ] = S[φ0, J ] +
∫d4x [φ(x)− φ0(x)]
δS[φ, J ]
δφ(x)
∣∣∣φ0
+1
2
∫d4xd4y [φ(x)− φ0(x)]
δ2S[φ, J ]
δφ(x)δφ(y)
∣∣∣φ0
[φ(y)− φ0(y)] + · · · (48)
Fazendo uso da equacao (47) e possıvel escrever a equacao (48) da seguinte forma,
S[φ, J ] = S[φ0, J ] +1
2
∫d4xd4y [φ(x)− φ0(x)]
δ2S
δφ(x)δφ(y)
∣∣∣φ0
[φ(y)− φ0(x)] + · · · (49)
Considerando que a acao e dada por,
S[φ, J ] = −∫d4x
[1
2φ∂µ∂
µφ+ V (φ)− hJφ], (50)
o operador quadratico e,
o(x, y) =δ2S
δφ(x)δφ(y)
∣∣∣φ0
= − [∂µ∂µ + V ′′(φ0)] δ4(x− y). (51)
Fazendo a mudanca φ′ = φ− φ0 na expansao (49), obtemos,
S[φ, J ] = S[φ0, J ]− 1
2
∫d4xφ′(x) [∂µ∂
µ + V ′′(φ0)]φ′(x) + · · · (52)
Substituindo essa expressao no funcional gerador Z[J ], Eq. (46) e descartando os termos
de ordem superior, iremos obter,
eihW [J ] = e
ihS[φ0,J ]
∫Dφ′e
−i2h
∫d4xφ′[∂µ∂µ+V ′′(φ0)]φ′ (53)
Aqui, e conveniente reescalonar2 o campo φ′ em φ′ → h1/2φ e passar para o espaco
euclideano, d4x = −id4xE. Entao, poderemos reescrever a equacao anterior da seguinte
forma,
eihW [J ] = e
ihS[φ0,J ]
∫Dφe−
12
∫d4xEφ[−(∂µ∂µ)E+V ′′(φ0)]φ. (54)
Vamos lembrar a expressao da integracao funcional gaussiana,∫Dφe−
12
∫φoφ = [det o(x, y)]−
12 , (55)
2 Note-se que depois de ser feito esse reescalonamento, o desenvolvimento em h sera equivalente a umaexpansao em lacos da acao efetiva.
26
pois, usando-la, e possıvel escrever a equacao (54) como segue,
eihW [J ] = e
ihS[φ0,J ] [det (−(∂µ∂
µ)E + V ′′(φ0))]−1/2
= Z[J ]. (56)
Dessa maneira, reescrevemos o funcional gerador das funcoes de Green conectadas, Eq. (46),
como,
W [J ] = −ih lnZ[J ] = S[φ0, J ] + ih
2ln [det (−(∂µ∂
µ)E + V ′′(φ0))] , (57)
e usando a identidade3, ln [det o(x, y)] = tr ln[o(x, y)], a expressao (57) fica,
W [J ] = S[φ0, J ] + ih
2tr ln [−(∂µ∂
µ)E + V ′′(φ0)] . (58)
Este resultado e o funcional gerador de funcoes conectadas, ou a energia livre de Helmholtz,
para um campo de Klein-Gordon com intercoes dadas por V (φ) na aproximacao de ponto
de sela mais flutuacoes gaussianas. Note que W [J ] e um funcional de J de forma expli-
cita, atraves de S[J] e tambem de forma implıcita a traves de φ0[J ] dada pela solucao da
equacao de movimento.
Finalmente, realizando a transformada funcional de Legendre indicada em (43),
obtemos a expressao seguinte para a acao efetiva, em termos do parametro de ordem φ,
Γ[φ] = S[φ] + ih
2tr ln
[−(∂µ∂
µ)E + V ′′(φ)]. (59)
No limite em que h→ 0 a acao efetiva Γ[φ] transforma-se na acao classica. Como
foi visto, na aproximacao gaussiana, Γ contem a acao classica S[φ] mais as correcoes
quanticas dadas pelo segundo termo da equacao (59). Em geral, no caso de uma teoria
de campos interagente, a influencia das flutuacoes quanticas transformara Γ[φ] em um
funcional altamente nao local, caracterizado por uma expressao que depende dos valores
simultaneos de φ(x) em muitos pontos diferentes de x, como sera visto mais a frente.
1.3.1 O potencial efetivo
Uma vez obtida a acao efetiva, Eq. (43), na presente secao vamos desenvolver um
metodo para calcularmos correcoes quanticas para algumas quantidades fısicas. Isto e
muito relevante, pois vai nos permitir o estudo da quebra de simetrias e a analise de
como estas correcoes quanticas atingem, por exemplo, o valor esperado do vacuo e da sua
3 Se αi ≡ autovalores de o(x, y), entao det[o(x, y)] =∏
i αi e ln det[o(x, y)] =∑
i lnαi = tr ln o(x, y)
27
importancia na transicao de fase em teoria quantica de campos.
Em teoria quantica de campos, o potencial classico possui um papel fundamen-
tal para estudar questoes envolvendo quebra de simetria. Porem, as vezes as correcoes
quanticas podem mudar o comportamento do potencial classico, desestabilizando o mınimo
desse potencial. Assim sendo, uma quantidade mais indicada para este estudo e o poten-
cial efetivo (Veff ), que contem as correcoes quanticas. Infelizmente, o potencial efetivo
nao pode ser calculado de forma fechada. Devido a isso temos que fazer uma analise
ordem a ordem em teoria de perturbacoes. Este desenvolvimento perturbativo que carac-
teriza o Veff e organizada em forma de quantidades de lacos (ou loops) dos diagramas de
Feynman (DE CALAN, 1998).
Podemos, entao, definir o potencial efetivo como sendo a principal ferramenta
utilizada para estudarmos a transicao de fase e a quebra espontanea de simetria, atraves
do conhecimento de algumas quantidades termodinamicas (PINTO, 2005; PINTO, 2006)
e, com isso, obter a energia do estado fundamental de um sistema quantico, isto e, do
vacuo quantico.
Faremos uma demonstracao detalhada de como chegar a expressao do potencial efe-
tivo atraves de metodos funcionais, fazendo uso do formalismo das integrais de trajetoria
de Feynman4 (FEYNMAN, 2010).
A aproximacao do potencial efetivo e obtida a partir da acao efetiva (Eq. (43)),
considerando constante o campo ou parametro de ordem φ. Para chegarmos a esta apro-
ximacao, supomos que o parametro de ordem varia suavemente e iremos escrever a acao
efetiva Γ[φ] como uma expansao em derivadas do campo classico como segue,
Γ[φ] =
∫d4x
[−Veff (φ) +
1
2Z(φ)∂µφ∂
µφ+ · · ·], (60)
onde Z(φ) e uma funcao arbitraria do campo e Veff nao contem termos em derivadas.
Considerando φ constante na expressao de Γ[φ], para ordem h, e usando a notacao
φ = φc por uma questao de conveniencia, a equacao (59) fica,
Γ[φc] = S[φc] + ih
2tr ln [−(∂µ∂
µ)E + V ′′(φc)]
=
∫d4x [−V (φc)] + i
h
2tr ln [−(∂µ∂
µ)E + V ′′(φc)] , (61)
4 Em relacao aos formalismos de Heisenberg e Schrodinger, anteriormente desenvolvidos, o formalismointroduzido por Feynman em 1948, seguindo ideias de Dirac (BARONE, 2003), e considerado a formamais elegante e com certeza a mais completa quando queremos descrever uma teoria quantica decampos. Por muitos anos Richard Feynman, lecionou mecanica quantica no Califonia TechnologyInstitute - Caltech (FEYNMAN, 2010), usando o formalismo de integrais de trajetoria. Feynmanpropiciou um grande salto na mecanica quantica, na fısica estatıstica e na teoria quantica de camposao introduzir esse formalismo.
28
de onde extraimos a expressao do potencial efetivo,
Veff (φc) = V (φc)− ih
2Ωtr ln [−(∂µ∂
µ)E + V ′′(φc)] .
Devido a que V ′′(φc) e constante, podemos calcular explicitamente o potencial utilizando
o espaco de Fourier. Passando para o espaco dos momento e lembrando que o traco de um
operador e a soma dos seus autovalores, podemos escrever o potencial efetivo da seguinte
forma,
Veff (φc) = V (φc)− ih
2Ω
∑k
ln[k2E + V ′′(φc)
]. (62)
Agora, tomando o limite funcional,
∑k
−→ Ω
∫1
(2π)4d4k = Ωi
∫1
(2π)4d4kE (63)
onde Ω =∫d4x e o volume do espaco-tempo, podemos, finalmente, escrever a expressao
do potencial efetivo como sendo,
Veff (φc) = V (φc) +h
2
∫d4kE(2π)4
ln[k2E + V ′′(φc)
]. (64)
O potencial efetivo transforma-se no potencial classico V (φ) no limite classico
h→ 0. No entanto, a expressao (64) e uma quantidade divergente. Portanto, e importante
definir um processo de regularizacao adequado.
1.3.2 O potencial efetivo a um laco para teoria escalar interagente
A seguir, vamos exemplificar o desenvolvimento da tecnica do potencial efetivo no
modelo de um campo escalar com a seguinte densidade Lagrangeana quadri-dimensional (DAS,
1997):
L[φ] =1
2(∂µφ)2 − m2
2φ2 − λ
4!φ4 (65)
onde, ∂µ e a derivada covariante.
O potencial classico (potencial “tree level”) fica identificado como sendo
V (φ) =m2
2φ2 +
λ
4!φ4 (66)
29
e a sua derivada segunda e
V ′′(φ) = m2 +λ
2φ2. (67)
Usando a definicao feita do potencial efetivo em uma aproximacao gaussiana,
Eq. (64), temos, para este exemplo,
Veff (φc) =1
2m2φ2
c +λ
4!φ4 +
1
2
∫d4kE(2π)4
ln
[k2E +m2 +
λ
2φ2c
]. (68)
Esta expressao representa o potencial efetivo do modelo de um campo escalar com in-
teracao quartica na aproximacao a um laco ou flutuacoes gaussianas. O primeiro termo
desta expressao representa o potencial classico, enquanto que o ultimo termo contem
as flutuacoes quanticas gaussianas. Nesta secao, o potencial efetivo e calculado a T = 0.
Porem, para o estudo de transicoes de fase e preciso calcula-lo a temperatura finita, T 6= 0.
O proximo capıtulo e dedicado a essa teoria.
Convenientemente, vamos destacar o termo logarıtmico para escreve-lo da seguinte
forma∫d4k
(2π)4ln
[k2E +m2 +
λ
2φ2c
]=
∫d4k
(2π)4ln[k2E +m2
]+
∫d4k
(2π)4ln
[1− λ
2
φ2c
k2E +m2
], (69)
de modo que ao substitui-lo novamente em (68) e descartando os termos indepedentes de
φc, obtemos
Veff (φc) =1
2m2φ2
c +λ
4!φ4c +
1
2
∫d4kE(2π)4
ln
[1 +
λ
2
φ2c
k2E +m2
]. (70)
Usando a expansao em serie do logaritmo, ln(1 + x) =∑∞
n=1(−1)n+1n−1xn, e
possıvel escrever a Eq. (70) como uma serie perturbativa em λ,
Veff (φc) =1
2m2φ2
c +λ
4!φ4c +
1
2
∞∑n=1
∫d4kE(2π)4
(−1)n+1
n
(λ2φ2c
k2E +m2
)n
=1
2m2φ2
c +λ
4!φ4c +
λ
4φ2c
∫d4kE(2π)4
1
k2E +m2
− 1
4
(λ2
4φ4c
)∫d4kE(2π)4
1
(k2E +m2)
+ ... (71)
Alternativamente, e possıvel escrever a Eq. (71) como uma expansao a um laco em dia-
gramas de Feynman.
O potencial efetivo representado pela Eq. (71) possui integrais de momentos que
divergem na regiao ultravioleta, isto e, a medida que k → ∞ a integral torna-se infi-
30
nita. O primeiro passo e tornar a teoria finita, i.e., temos que regularizar. Isto e tıpico
de calculos em teoria quantica de campos onde sempre encontramos infinitos ao tentar
calcular correcoes quanticas.
Essas divergencias afetam diretamente a massa e a constante de acoplamento.
Devido a isso sao introduzidos contratermos de renormalizacao. Com a introducao desses
contratermos e possıvel escrever a densidade lagrangeana da seguinte forma,
L[φ] =1
2(∂τφ)2 +
1
2(∇φ)2 +
1
2m2φ2 +
1
2δm2φ2 +
1
4!λφ4 +
1
4!δλφ4 (72)
onde,
V (φ) =1
2
(m2 + δm2
)φ2 +
1
4!(λ+ δλ)φ4 (73)
Para definirmos esses contratermos e necessario escolher um metodo de regularizacao que
satisfaca a teoria. Na literatura, e possıvel encontrar varios metodos de regularizacao
(SVAITER, 2009; COLLINS, 1994), mas, para a analise do problema em questao, uti-
lizaremos a regularizacao por cut-off. Este metodo foi desenvolvido pelo fısico holandes
Hendrik Casimir e sistematizado por Fierz, Boyer (FIERZ, 1960) e seus colaboradores.
Lembrando que a contribuicao equivalente a temperatura igual a zero do potencial
efetivo a um laco pode ser escrita como segue,
V1−laco(φc) =1
2
∫d4kE(2π)4
ln
(k2E +m2 +
λφ2c
2
)(74)
Como foi citado anteriormente, esta integral diverge de forma logarıtmica no regime ul-
travioleta. Para calcula-la teremos que fazer um corte na integral dos momentos, i.e.,
introduziremos um cut-off, em que k2E = Λ2. A introducao desse cut-off ultravioleta e o
mesmo que introduzir um corte em pequenas distancias (KAPUSTA, 1989). Com essa
alteracao a integral torna-se convergente.
Considerando a invariancia rotacional, definindo η =| h |2, podemos escrever
V1−laco(φc) =1
2
π2
(2π)4Γ(2)
∫ Λ2
0
dη η ln
(η +m2 +
λ
2φ2c
)(75)
Essa integral podera ser solucionada com a ajuda5 da Ref. (GRADSHTEYN, 1965). Te-
5 Utilizando:∫σ ln(b+ σ)dσ = 1
2 (σ2 − b2) ln(b+ σ)− 12 ( b2
2 − bσ)
31
mos entao,
V1−laco(φc) =1
64π2
[Λ4 −m4φc
]ln[Λ2 +m2φc
]− 1
64π2
[Λ4
2−m2φcΛ
2
]+
1
64π2m4φc ln(m2φc)−
m4φc64π2
ln(Λ2)
=Λ4
64π2ln Λ2 − Λ4
128π2− m4φc
64π2ln
(1 +
m2φcΛ2
)+
Λ4
64π2ln
(1 +
m2φcΛ2
)+m4φc64π2
ln
(m2φc
Λ2
)+m2φcΛ
2
64π2. (76)
Note-se que, para Λ muito grande,
1
64π2Λ4 ln
(1 +
m2φcΛ2
)−→ 1
64π2(m2φc)Λ
2 − 1
128π2m4φc +O
(1
Λ2
)(77)
e
− 1
64π2
(m4φc
)ln
(1 +
m2φcΛ2
)−→ O
(1
Λ
). (78)
Portanto, para Λ→∞ e possıvel reescrever a expressao simplificada,
V1−laco(φc) =1
64π2
(m2(φc)
)2ln
(m2(φc)
Λ
)+
1
32π2
(m2(φc)
)Λ2
− 1
128π2m4(φc). (79)
Usando as equacoes (73) e (79), a expressao do potencial efetivo a um laco ficara da
seguinte forma
V 1−lacoeff (φc) =
1
2(m2 + δm2)φ2
c +1
4!(λ+ δλ)φ2
c +1
32π2
(m2(φc)
)Λ2
+1
64π2m4(φc)
[ln
(m2(φc)
Λ2
)− 1
2
](80)
Uma vez que chegamos a expressao anterior, temos interesse em obter as quantidades
renormalizadas da teoria, ou seja, as quantidades finitas. Para conseguirmos essas quan-
tidades finitas, escolhemos os contratermos de tal modo que o potencial independa do
cut-off, ou seja, vamos escolher
δm2 = − λ
32π2Λ2 − λm2
32π2ln
(m2
Λ2
),
δλ = − 3λ2
32π2ln
(m2
Λ2
)− 3λ2
32π2. (81)
Substituindo agora esses valores na equacao (80), obtemos a expressao do potencial efetivo
32
renormalizado a um laco
V 1−lacoeff (φc) =
m2
2φ2c +
λ
4!φ4c −
3
16
λ2
32π2φ4c −
λm2
128π2φ2c
+1
64π2
(m2 +
λ
2φ2c
)2
ln
(m2 + λ
2φ2c
m2
). (82)
Dessa forma, terminamos todo esse desenvolvimento para a expressao do potencial
efetivo a um laco renormalizado aplicando um cut-off ultravioleta, para uma teoria λφ4.
O mesmo procedimento pode ser utilizado para fermions.
No entanto, em uma teoria de gauge6 (KAPUSTA, 1989; COLLINS, 1994), a
regularizacao aqui proposta, quebra explicitamente a invariancia de calibre7, ou seja,
a invariancia da acao sob algumas simetrias internas da teoria (GREINER, 1996), o
procedimento para esse caso e utilizar um outro metodo de regularizacao (COLLINS,
1994) para tornar a teoria livre de divergencias.
6 Essa teoria tambem e chamada muitas vezes de teoria de Yang-Mills. Ela pode ser abeliana ou nao-abeliana (SAKURAI, 1994), isso vai depender do seu grupo de simetria, que pode ser comutativo ounao-comutativo. Resumidamente, as teorias de Yang-Mills aparecem para descreverem certas interacoesfundamentais da natureza, i.e., as forcas nucleares e o eletromagnetismo (caso abeliano limite) (SO-BREIRO, 2007). Como resultado da renormalizabilidade, as teorias de Yang-Mills obedecem tambemao grupo de renormalizacao (SOBREIRO, 2007; YANG, 1954; WILSON, 1974).
7 Em 1971, G. ’t Hooft et al., acabou com a dificuldade da renormalizacao das teorias de gauge.
33
2 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA
Ao longo dos anos, pode ser percebido um grande interesse na pesquisa de varios
fenomenos usando teoria quantica de campos a temperatura finita. Em teoria quantica de
campos a temperatura finita, as partıculas interagem com o reservatorio termico (banho
termico) e os efeitos termodinamicos tornam-se essencialmente importantes, ao contrario
do que ocorre em teorias de campos a temperatura zero, na qual os efeitos da tempera-
tura sao negligenciados. Podemos definir esses reservatorios termicos como sendo campos
eletricos ou magneticos, ou seja, sao os campos externos e caracterizam o meio. O desen-
volvimento desta teoria so foi possıvel gracas a uniao da mecanica estatıstica e a teoria
de campos. A teoria de campos a temperatura e densidade finitas nasceu em 1950 (LE
BELLAC, 1996) e e conhecida tambem como teoria de campos termica. Matsubara foi o
primeiro a estuda-la em uma aproximacao nao relativıstica, com a qual podem-se descre-
ver fenomenos da materia condensada e da materia nuclear nao relativıstica.
No ano 1965, Fradkin foi o primeiro a estudar teoria de campos a temperatura
finita relativisticamente (LE BELLAC, 1996). No inicio dos anos ′70, surge o interesse no
problema da restauracao de simetrias em altas temperaturas, com isso, novos desenvol-
vimentos foram possıveis. Kirzhnits e Linde (1972), Dolan e Jackiw (1974) e Weinberg
(1974), foram os primeiros a discutir a restauracao da simetria espontaneamente quebrada
em altas temperaturas (KAPUSTA, 1989).
Podemos perceber portanto, que a teoria de campos a temperatura finita e uma te-
oria bastante abrangente, na qual e de extrema importancia a presenca de efeitos termicos.
Esta teoria possui diversos desenvolvimentos formais e fenomenologicos, podendo ser es-
tabelecida por duas vias: atraves do formalismo do tempo imaginario ou pelo formalismo
de tempo real. O formalismo de tempo real e mais amplo e pode ser usado para pesquisar
fenomenos em equilıbrio e fora do equilıbrio. Este formalismo e dividido em outros dois.
O primeiro, introduzido por Schwinger e Keldysh, e desenvolvido atraves de integrais de
trajetoria, tambem denominado de trajetoria temporal fechada (SCHWINGER, 1961). O
outro e mais atual, foi desenvolvido por Takahashi e Umezawa (MATSUMOTO, 1984) e
utiliza o metodo de quantizacao canonica via operadores. Neste caso tambem e possıvel
utilizar integrais de trajetoria e e conhecido como dinamica de campos termicos (DCT).
A base para determinar qual formalismo utilizar depende do cenario fısico que
e descrito. Por exemplo, em sistemas quanticos que apresentam quebra espontanea de
simetria, a analise da transicao de fase para uma fase simetrica pode ser feita examinando
o comportamento do sistema em equilıbrio, para uma gama de valores crescentes de
temperatura. Nesta situacao, o formalismo de tempo imaginario e o mais indicado.
Nosso interesse e aplicar o formalismo de tempo imaginario para a descricao de
bosons nao relativistas. Portanto comecaremos fazendo uma breve introducao do metodo
34
de tempo imaginario para bosons.
2.1 Formalismo de tempo imaginario
A partir de agora, discutiremos sobre um dos mais importantes tratamentos usa-
dos para estudar sistemas em equilıbrio, o formalismo de tempo imaginario proposto por
Matsubara. Neste formalismo, a variavel temporal e imaginaria pura e compacta. Isto e o
tempo imaginario pode variar entre zero e o valor inverso da temperatura β = T−1, onde
T e a temperatura de equilıbrio. De esta forma, a temperatura zero, o formalismo coincide
com uma teoria de campos formulada no espaco euclideano. A dependencia temporal pode
ser incluida nas funcoes de Green atraves de uma continuacao analıtica que sera discu-
tida posteriormente (RIVERS, 1987). Dessa forma, o formalismo de Matsubara apresenta
somente desenvolvimentos temporais de sistemas quanticos em equilıbrio termico e, por-
tanto, nao e adequado utiliza-lo para estudar fenomenos fora do equilıbrio. Sendo assim
e o mais utilizado na determinacao de quantidades em equilıbrio termodinamico.
Comecaremos por rever alguns conceitos gerais sobre o comportamento estatıstico
de um sistema quantico em equilıbrio termico, apos determinar um ensemble apropriado.
Sendo assim, define-se o operador matriz densidade para o sistema
ρ(β) = e−βH, (83)
onde H e o hamiltoniano do sistema. O operador matriz densidade contem toda a in-
formacao de um sistema quantico, pois, alem de descrever misturas estatısticas, tambem
descreve estados puros.
Por conveniencia, vamos usar o ensemble grande canonico
H = H − µN, (84)
com H o operador hamiltoniano e N o operador numero de partıculas. Aqui e interessante
mencionar que o ensemble canonico e utilizado para descrever um sistema em contato com
um reservatorio termico a uma temperatura T . O sistema pode trocar livremente energia
com o reservatorio. Dessa forma, T,N e o volume V sao mantidos fixos. Por outro
lado, no ensemble grande canonico o sistema pode trocar partıculas, bem como energia,
com o reservatorio. Neste ensemble, T, V e o potencial quımico µ sao mantidos fixos.
Podemos considerar em ambos ensembles, β = T−1 como um multiplicador de Lagrange,
que determina a energia media do sistema. Analogamente, µ tambem pode ser identificado
como um multiplicador de Lagrange, mas que determina o numero medio de partıculas do
sistema. Portanto, ao considerar um sistema quantico, onde partıculas podem ser criadas
(por colisoes ou por alguma fonte), interagem e sao destruidas, e mais conveniente calcular
35
observaveis no ensemble grande canonico.
Agora generalizemos os resultados que obtivemos na quantizacao de campos esca-
lares a temperatura zero. Sera estabelecida a quantizacao da integral de trajetoria de um
campo escalar no formalismo de tempo imaginario.
Consideraremos a densidade lagrangiana no espaco de Minkowski
L =1
2(∂µφ) (∂µφ)− 1
2m2φ2 − λ
4!φ4. (85)
Como ja e conhecido, em teoria quantica de campos temos o funcional gerador
Z[J ] = N
∫Dφei
∫d4x[L+Jφ]. (86)
Se consideramos que este sistema esta em equilibrio termodinamico com um banho termico
a temperatura T , a funcao de particao do sistema pode ser escrita de forma semelhante
ao funcional gerador. A diferenca e essencialmente que a teoria deve ser escrita em tempo
imaginario e com condicoes de contorno apropriadas. Escrevemos entao,
Z[β, J ] = Nβ
∫φ(x,τ)=φ(x,τ+β)
Dφ e−SE+∫ β0 dτ
∫d3xJφ. (87)
onde SE e a acao euclideana que pode ser escrita da seguinte forma
SE =
∫ β
0
dτ
∫d3xLE =
∫ β
0
dτ
∫d3x
[1
2
(∂φ
∂τ
)2
+1
2(∇φ)2 +
1
2m2φ2 +
λ
4!φ4
]
=
∫ β
0
dτ
∫d3x
[1
2φ
(− ∂2
∂τ 2−∇2 +m2
)φ+
λ
4!φ4
]. (88)
Note que as integracoes sobre o tempo imaginario sao feitas no intervalo [0, β]. Ainda, a
integracao funcional e realizada com as condicoes de periodicidade
φ(x, τ) = φ(x, τ + β) (89)
De forma analoga ao caso de temperatura zero, o termo de interacao pode ser
escrito em termos de um operador agindo sobre a funcao de particao livre. Dessa forma,
pode-se reescrever Z[β, J ] como
Z[β, J ] = Nβ
∫Dφ
[1− λ
4!
∫ β
0
d4zφ4(z) +O(λ2)
]Z0[β, J ]
= Nβ
[1− λ
4!
∫ β
0
d4z
(δ
δJ(z)
)4
+O(λ2)
]Z0[β, J ]
= Nβ exp
− λ
4!
∫ β
0
d4z
(δ
δJ(z)
)4Z0(β, J) . (90)
36
Onde Z0(β) e a funcao de particao para campos escalares nao interagentes,
Z0(β) =
∫Dφ exp
−∫ β
0
d4x
[1
2φ(x)
(− ∂2
∂τ 2−∇2 +m2
)φ(x)
]. (91)
Sendo esta integral funcional gaussiana pode ser integrada exatamente obtendo
Z0[β, J ] = Z0(β) exp
1
2
∫ β
0
d4xd4yJ(x)4β(x− y)J(y)
. (92)
onde 4β(x − y) =(− ∂2
∂τ2 −∇2 +m2)−1
e o propagador de Matsubara, que satisfaz a
seguinte equacao diferencial(− ∂2
∂τ 2−∇2 +m2
)4β(x− y) = δ(τx − τy)δ3(x− y). (93)
Portanto, no formalismo de tempo imaginario, o propagador de Matsubara e a funcao de
Green termica de dois pontos
4β(x− y) = 〈T [φ(x)φ(y)]〉β = Z−10 (β)
δ2Z0[β, J ]
δJ(x)δJ(y)
∣∣∣J=0
. (94)
Convenientemente, pode-se escrever o propagador de Matsubara em termos de κ> e κ<
4β(x− y, τx − τy) = κ>(x, τx; y, τy)θ(τx − τy) + κ<(x, τx; y, τy)θ(τy − τx), (95)
onde
κ>(x, τx; y, τy) = 〈φ(x, τx)φ(y, τy)〉β,
κ<(x, τx; y, τy) = 〈φ(y, τy)φ(x, τx)〉β. (96)
Devido a periodicidade dos campos temos que
κ>(x, τx; y, τy) = κ<(x, τx − β; y, τy). (97)
chamada tambem relacao Kubo-Martin-Schwinger (KMS).
Para ter uma intuicao fısica do significado deste propagador, e conveniente passar
ao espaco de momento. Para isso escrevemos o propagador como
4β(x− y) =
∫d3k
(2π)3eik(x−y)4β(k, τx − τy), (98)
e dessa forma, temos∫d3k
(2π)3eik(x−y)
(− ∂2
∂τ 2+ k2 +m2
)4β(k, τx − τy) = δ(τx − τy)
∫d3k
(2π)3eik(x−y). (99)
37
Portanto, 4β(k, τx − τy) satisfaz a equacao diferencial(− ∂2
∂τ 2+ k2 +m2
)4β(k, τx − τy) = δ(τx − τy), (100)
com w2 = w2k = k2 + m2. Podemos estabelecer a solucao da Eq. (100), que satisfaz a
relacao Kubo-Martin-Schwinger, Eq. (97),
4β(k, τx − τy) = κ>k (τx − τy)θ(τx − τy) + κ<k (τx − τy)θ(τx − τy), (101)
com
κ>k (τx, τy) =1
2wk
[1 + n(wk)] e
−wk(τx−τy) + n(wk)ewk(τx−τy)
,
κ<k (τx, τy) = κ>k (τy, τx), (102)
onde n(wk) e a distribuicao de Bose-Einstein
n(wk) =1
eβ|wk| − 1. (103)
Note que a distribuicao de Bose-Einstein aparece como uma consequencia de impor
condicoes de periodicidade no tempo imaginario com perıodo β. Se tivessemos imposto
condicoes de anti-periodicidade, a distribuicao seria a de Fermi-Dirac.
Entao, para τε[0, β], temos que 4β(k, τ) = κ>k (τ) e 4β(k, τ) = 4β(k, τ − β). Isto
implica que a transformada de Fourier de 4β(k, τ) no tempo imaginario e definida por
4β(k, τ) = T+∞∑
n=−∞
e−iwnτ4β(k, wn) (104)
onde ωn = 2πnβ sao conhecidas como frequencias de Matsubara para campos bosonicos.
A inversa da equacao (104) e
4β(k, wn) =
∫ β
0
dτeiwnτ4β(k, τ). (105)
Temos entao que o propagador de Matsubara pode ser escrito como
4β(x, τ) = T
+∞∑n=−∞
∫d3k
(2π)3e−i(wnτ−kx)4β(k, wn). (106)
Vemos entao que o efeito da temperatura finita e produzir um espectro discreto para as
frequencias, enquanto que a parte espacial dos momentos permanece contınua. Portanto,
a transformada de Fourier do propagador de Matsubara e dada por
4β(k, wn) =1
w2n + w2
k
. (107)
38
Um exercıcio interessante e instrutivo e o calculo da energia livre para um campo
escalar nao interagente
F = −T lnZ0(β). (108)
A funcao de particao e dada por
Z0(β) =
∫Dφe
−∫ β0 d4x
[12φ(x)
(− ∂2
∂τ2−∇2+m2)φ(x)
]=
[det
(− ∂2
∂τ 2−∇2 +m2
)]−1/2
. (109)
Usando a identidade ln det ≡ tr ln temos que
F = −T ln
[det
(− ∂2
∂τ 2−∇2 +m2
)]−1/2
= 2T tr ln
(− ∂2
∂τ 2−∇2 +m2
)(110)
e, passando para o espaco de momento,
F = 2V T+∞∑
n=−∞
∫d3k
(2π)3ln(w2n + w2
k
). (111)
O somatorio em n pode ser desenvolvido com a ajuda da seguinte expressao,
v(w) =+∞∑
n=−∞
ln(w2n + w2
k
). (112)
Diferenciando esta expressao
∂v(wk)
∂wk=
+∞∑n=−∞
2wk1
w2n + w2
k
, (113)
e utilizando
4β(0) = T+∞∑
n=−∞
1
w2n + w2
=1
2w[1 + 2n(w)] , (114)
obtemos
∂v(wk)
∂wk= 2
1
T
(1
2+
1
eβwk − 1
)(115)
e
v(wk) = 21
T
[wk2
+ T ln(1− e−βwk
)]+ termos indepedentes de wk. (116)
Descartando agora os termos constantes, temos
F = V
∫d3k
(2π)3
[wk2
+ T ln(1− e−βwk
)]. (117)
39
Na equacao acima, o termo indepedente da temperatura e divergente. Porem, este termo
e a energia do ponto zero, que pode ser retirada da integral uma vez que e um termo
constante. Assim, fica
F = V T
∫d3k
(2π)3ln(1− e−βwk
)=
V T
2π2
∫ ∞0
dkk2 ln(
1− e−β(k2+m2)1/2). (118)
Ao fazer m = 0 a integral dos momentos pode ser realizada analiticamente, de modo que,
finalmente,
F =V T
2π2
∫ ∞0
dkk2 ln(1− e−βk
)=−πV T 4
90. (119)
Consequentemente, e possıvel calcular todas as quantidades termodinamicas, pode-
se citar como exemplo
P =−∂F∂V
=π2T 4
90, (120)
que e a pressao de um gas ideal ultra-relativıstico (metade da radiacao de um corpo
negro).
2.2 Potencial efetivo a temperatura finita
Na secao anterior, foi introduzido um desenvolvimento para o estudo em tempe-
ratura finita no formalismo do tempo imaginario ou formalismo de Matsubara. Agora
iremos exemplificar esse formalismo com o estudo do potencial efetivo a um laco em tem-
peratura finita. Para isso, retornamos na Eq. (74), que e o potencial efetivo no espaco
euclideano a temperatura zero
Veff (φc) =1
2m2φ2
c +λ
4!φ2c +
1
2
∫d4kE(2π)4
ln
[k2E +m2 +
λ
2φ2c
]. (121)
E simples achar a expressao a temperatura finita substituindo a expressao discreta
para a frequencia
k2E −→ w2
n + k2 (122)
onde wn = 2nπβ
, e∫d4kE(2π)4
−→ 1
β
∑n
∫d3k
(2π)3(123)
40
Dessa forma, pode-se escrever o termo a um laco da Eq.(121) a uma temperatura finita
V β
1−laco(φc) =
1
2β
∞∑n=−∞
∫d3k
(2π)3ln
[w2n + k2 +m2 +
1
2λφ2
c
]. (124)
Por simplicidade e conveniente definir a variavel w como
w2 = k2 +m2 +1
2λφ2
c (125)
O calculo do somatorio das frequencias de Matsubara wn na equacao (124), se faz usando
a identidade (116):
∞∑n=−∞
ln(w2n + w2) = 2β
[w
2+
1
βln(1− e−βw
)]+ termos independentes de w (126)
resultando em
V β
1−laco(φc) =
∫d3k
(2π)3
[w
2+
1
βln(1− e−βw
)]. (127)
A equacao acima e composta de duas integrais. O primeiro termo e a contribuicao de
T = 0, e facil checar que∫d3k
(2π)3
w
2=
1
2
∫d4kE(2π)4
ln
[k2E +m2 +
λ
2φ2c
](128)
onde a segunda integral coincide com a equacao (74) que e a contribuicao a um laco do
potencial efetivo a T = 0. Esta contribuicao, como vimos no capıtulo anterior, tem uma
divergencia ultravioleta que deve ser regularizada e absorvida nas constantes renormali-
zadas do modelo.
A segunda integral, e a parte dependente da temperatura. Esta integral, embora
seja complexa de se resolver analiticamente, e perfeitamente definida ja que ela e finita.
Esta e uma caracterıstica geral das teorias de campo a temperatura finita. As divergencias
ultravioletas sempre se encontram no setor de T = 0, sendo que a contribuicao em T 6= 0
e sempre finita.
Dessa forma, ela pode ser resolvida numericamente, ou podem ser realizados di-
ferentes tipos de aproximacoes. E util escrever esta integral em forma adimensional, em
termos de m(φc)β com m2(φc) = m2 + λφ2c
2. Temos entao que
1
β
∫d3k
(2π)3ln(1− e−βw
)=
1
2π2β4JB [m(φc)β] (129)
onde a funcao adimensional JB[y] foi definida como,
JB[y] =
∫ ∞0
dxx2 ln[1− e−
√x2+y2
](130)
41
Esta expressao pode ser util para realizar diferentes tipos de expansoes. Por exemplo para
altas temperaturas y << 1, obtendo-se a expressao (KAPUSTA, 1989; DOLAN, 1974)
JB[y] = −π4
45+π2
12y2 − π
6(y2)3/2 − 1
32y4 ln
y2
ab
− 2π7/2
∞∑l=1
(−1)lζ(2l + 1)
(l + 1)!Γ
(l +
1
2
)(y2
4π2
)l+2
(131)
onde, ab = 16π2 exp(3/2− 2γ)(ln ab = 5.4076) e ζ e a funcao ζ de Rieman.
2.3 Transicao de fase e restauracao de simetria
Uma transicao de fase de segunda ordem e caracterizada por uma quebra es-
pontanea de alguma simetria. Isto e, sendo a lagrangeana simetrica, o estado funda-
mental do sistema quebra essa simetria. A transicao esta caracterizada por uma tem-
peratura crıtica Tc embaixo da qual a simetria e quebrada. Para temperaturas maiores
que a crıtica, a simetria e re-estabelecida, fenomeno que e conhecido como restauracao da
simetria em altas tempertaturas SU(3). O objetivo desta secao e mostrar como podemos
entender esta fısica a partir do potencial efetivo a temperatura finita, e como calcular a
temperatura crıtica Tc.
Para isso, vamos considerar como exemplo uma teoria com interacao λφ4 que se
encontra na fase com simetria quebrada a temperatura zero. Isto e, devemos escolher
m2 < 0. A pergunta e para que temperatura a simetria e restaurada. Para isto usaremos
a expressao do potencial efetivo
Veff (φc) = V T=0eff (φc) + V T 6=0
eff (φc) (132)
O ponto primordial para essa analise, e que o valor de equilıbrio do valor esperado
(parametro de ordem) do campo escalar φ, ou seja, φc = θ(T ) 8 nao corresponde ao
mınimo do potencial efetivo V T=0eff (φc), mas sim ao mınimo do potencial efetivo Veff (φc)
dado pela equacao (132). Dessa maneira, mesmo que o mınimo de V T=0eff (φc) aconteca em
φc = θ0 6= 0 (T < Tc), muitas das vezes, em altas temperaturas, o mınimo do Veff (φc)
ocorre em φc = 0 (T > Tc).
O valor do parametro de ordem φc e definido como sendo um mınimo de Veff da
8 Onde, θ e a configuracao do campo associado ao vacuo.
42
seguinte forma
∂Veff (φc)
∂φc
∣∣∣φc=θ(T )
= 0 (133)
Por outro lado, a temperatura crıtica para restauracao de simetria, Tc sera definida
atraves da condicao θ(Tc) = 0, isto e
∂Veff (φc)
∂φc
∣∣∣φc=0,T=Tc
= 0 (134)
Calcularemos agora a temperatura crıtica usando o petencial effectivo a um laco
calculado na secao anterior. Para T = 0, o potencial apropriadamente regularizado e
V T=0eff =
m2
2φ2c +
λ
4!φ4c +
1
64π2
(m2 +
λ
2φ2c
)2[
lnm2 + λ
2φ2c
µ2− 3
2
](135)
Para a contribuicao a temperatura finita, usamos a expansao em altas temperaturas de-
senvolvida na equacao (131) obtendo
V T 6=0eff (φc) =
−π2
90β4+m2(φc)
24β2− m3(φc)
12πβ− m4(φc)
64π2ln
[m2(φc)β
2
ab
]+O(m6(φc)β
2) (136)
Para proseguir com o calculo e necessario ter cautela. Se fizermos o limite φc → 0
nas expressoes acima, aparecerao termos imaginarios devido ao fato que m2 < 0. Porem,
estes termos sao proporcionais a λ2 e serao cancelados em um calculo a dois lacos. Por
este motivo o limite φc → 0 , T → Tc deve ser feito a ordem λ, desprezando qualquer
termo de ordem superior. Fazendo este procedimento obtemos
Veff (φc) = −| m2 |
2φ2c +
λ
4!φ4c +
T 2
24
λ
2φ2c (137)
Dessa forma, ao utilizar a expressao (133), conseguiremos obter o valor esperado do vacuo
para o campo escalar a temperatura finita como sendo,
θ2(T ) =1
4
(24 | m2 |
λ− T 2
)(138)
Com a expressao acima, podemos obter a temperatura crıtica da transicao de fase,
λT 2c = 24 | m2 | (139)
43
Figura 1 - Potencial efetivo.
Legenda: Comportamento do potencial efetivo abaixo e
acima da temperatura crıtica.
Fonte: MILLA, 2006, f. 30.
2.4 Condensacao de Bose-Einstein
O fenomeno chamado de condensacao de Bose-Einstein, e uma transicao de fase
muito peculiar. A ideia e que num gas de bosons, embaixo de uma certa temperatura
crıtica, um numero macroscopico de partıculas passam a ocupar o estado de mınima ener-
gia correspondendo a um momento zero. O estudo da condensacao de Bose-Einstein e um
fenomeno comum que ocorre na fısica em todas as escalas, a partir da materia conden-
sada a nuclear, das partıculas elementares a astrofısica. Com isso, encontra-se aplicacoes
em varios sistemas. Podemos citar como exemplo os gases de atomos alcalinos (ou gases
fracamente interagentes), hidrogenio de spin polarizado, os metais supercondutores, os
supercondutores de alta temperatura, e os superfluidos
Os gases de atomos alcalinos fornecem oportunidade unica para explorar fenomenos
quanticos em escalas macroscopicas. Sao extremamente conveniente de serem utilizados,
pois torna possıvel obter amostras densas e frias. Consequentemente, o sistema continua
no estado de gas. Portanto sao excelentes candidatos para obter gases no regime quantico.
Ja os metais supercondutores sao caracterizados por fermions que podem se agru-
par formando pares em baixa temperaturas (os pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterısticas individuais para se comportarem como bosons, obtendo assim, a capacia-
dade de se condensarem. A condensacao de Bose-Einstein de pares de fermions tambem
e observado experimentalmente em nucleos atomicos, onde os efeitos do neutron-neutron,
44
proton-proton, neutron-proton emparelhados pode ser visto no expectro de excitacao, bem
com na reducao do momento de inercia. Teoricamente, a condensacao de Bose-Einstein
de pares de nucleos devera desempenhar um papel importante nos interiores das estrelas
de neutrons. A possibilidade de mesons ou pions ou kaons, formando um condensado de
Bose-Einstein nos nucleos de estrelas de neutrons tem sido amplamente discutido, uma
vez que esta teria consequencias de longo alcance para teorias de supernova e a evolucao
de estrelas de neutrons (GRIFFIN, 1996).
Portanto, nos ultimos anos, o estudo da condensacao de Bose-Einstein, tornou-se
uma area cada vez mais ativa de pesquisa, seja do ponto de vista experimental, como
no contexto teorico, exercendo um papel de destaque, e mostra que a compreensao deste
fenomeno e de grande importancia em muitos ramos da fısica.
Mostraremos agora como ocorre o fenomeno de condensacao de Bose-Einstein em
um sistema muito simples usando as ferramentas descritas nesta tese. Consideraremos,
por simplicidade, a teoria de um campo escalar carregado relativista. Neste caso, o campo
Φ e complexo e descreve bosons com cargas positivas e negativas. Para isso escrevemos a
seguinte densidade lagrangeana
L = ∂µΦ∗∂µΦ−m2Φ∗Φ− λ(Φ∗Φ)2 (140)
Nota-se claramente que esta lagrangeana possui uma simetria global U(1). Pode-se dizer
que uma simetria e global, quando as equacoes de movimento, sao invariantes em todos
os pontos do espaco-tempo. Podemos verificar isso, atraves da transformacao de fase,
Φ −→ Φ′ = Φe−iα
Φ∗ −→ Φ∗′ = Φ∗eiα (141)
onde, α e uma constante real que e independente das coordenadas espaciais. A in-
variancia da densidade lagrangeana produz quantidades conservadas. Em teoria quantica
de campos, a relacao entre simetrias e quantidades conservadas e descrita pelo teorema
de Noether. Este teorema impoe que as transformacoes de simetria contınua que deixa
a densidade lagrangeana invariante, acarreta no surgimento de uma corrente de Noether
conservada (PESKIN, 1995). No nosso caso, a densidade de corrente pode ser escrita da
seguinte maneira,
jµ = i (Φ∗∂µΦ− Φ∂µΦ∗) , ∂µjµ = 0 (142)
sendo que a corrente e a carga total conservada sao,
Jµ =
∫d3xjµ(x) e N =
∫d3xj0(x). (143)
45
Em teoria quantica de campos e comum decompormos o campo Φ em suas partes real e
imaginaria,
Φ =φ1 + iφ2√
2−→ Φ∗ =
φ1 − iφ2√2
(144)
Agora, para escrever a densidade hamiltoniana, introduziremos os momentos conjugados
π1 = ∂φ1/∂t = φ1 e π2 = ∂φ2/∂t = φ2. Dessa forma, por meio de uma transformacao
de Legendre, pode-se escrever a seguinte densidade hamiltoniana canonica,
H =1
2π2
1 +1
2π2
2 +1
2(∇φ1)2 +
1
2(∇φ2)2 +
1
2m2(φ2
1 + φ22) +
1
4λ(φ2
1 + φ22)2 (145)
A expressao para a carga conservada e,
N =
∫d3x(φ2π1 − φ1π2) (146)
A funcao de particao no ensamble grande canonico pode-se escrever como ,
Z =
∫[dπ1][dπ2]
∫P
[dφ1][dφ2] exp
[∫ β
0
dτ
∫d3x
(iπ1
∂φ1
∂τ+ iπ2
∂φ2
∂τ−H + µ(φ2π1 − φ1π2)
)](147)
onde o ındice P indica que a integracao nos campos tem que ser realizada com condicoes
periodicas de contorno em um intervalo temporal de 0 a β. Agora, faremos a integracao
sobre os momentos conjugados,
Z = (N ′)2
∫p
[dφ1][dφ2] exp
∫ β
0
dτ
∫d3x
[−1
2
(∂φ1
∂τ− iµφ2
)2
− 1
2
(∂φ2
∂τ− iµφ1
)2]
+
[−1
2(∇φ1)2 − 1
2(∇φ2)2 − 1
2(m2φ1 +m2φ2
2)
]− 1
4λ(φ2
1 + φ22)2 (148)
onde N ′ e uma constante de normalizacao.
Ao analizar a Eq. (148), pode-se observar que essa equacao so podera ser calcu-
lada de fato se a constante de acoplamento for λ 6= 0, dessa forma a integracao tornara
gaussiana.
A coordenada τ e periodica e a coordenada x e restrita no volume finito do sistema.
Dessa forma, e conveniente expandir as componentes reais do campo Φ em uma serie de
Fourier
φ1(x, τ) =√
2ϕ cos θ +
√β
V
∑n
∑p
ei(p.x+wnτ)φ1(n,p).
φ2(x, τ) =√
2ϕ sin θ +
√β
V
∑n
∑p
ei(p.x+wnτ)φ2(n,p). (149)
46
Onde foram destacados os termos constantes do campo p = 0. Os parametros ϕ e
θ nao dependem de (x, τ), e portanto definem o campo no regime infravermelho, ou seja,
φ1(n = 0,p = 0) = φ2(n = 0,p = 0) = 0. Enquanto o valor de ϕ determina a densidade
de particulas no estado p = 0, θ e a fase do condensado. Podemos definir portanto, como
condensacao no limite V → ∞, para temperaturas menores que uma certa temperatura
crıtica Tc, uma quantidade finita das partıculas de um gas de bosons ocupando o mesmo
estado quantico, isto e, a maior parte das partıculas se encontra-se no estado em que
p = 0, conhecido como condensado de Bose-Einstein (CBE).
Retornando na Eq. (148), para substituir as expansoes, Eqs. (149), e depois de
uma integracao por partes, pode-se escrever a expressao da funcao de particao
Z =
[∏n
∏p
∫dφ1(n,p)dφ2(n,p)
]exp(S) (150)
onde
S = βV (µ2 −m2)ϕ2 −∑n
∑p
(φ1(n,p)φ2(n,p))M
(φ1(n,p)
φ2(n,p)
)com
M = β2
(w2n + w2 − µ2 −2µnw
−2µwn w2n + w2 − µ2
)onde, M e uma matriz 2× 2. Realizando as integracoes obtemos,
lnZ = βV (µ2 −m2)ϕ2 + ln(detM)−1/2 (151)
O segundo termo da equacao acima pode ser escrito como sendo,
ln detM = ln
∏n
∏p
β4(w2n + w − µ2)2 + 4µ2w2
n
= ln
∏n
∏p
β2(w2n + (w − µ)2)
+ ln
∏n
∏p
β2(w2n + (w + µ)2)
(152)
Substituindo, a Eq. (152) em (151) obtemos,
lnZ = βV (µ2 −m2)ϕ2 − 1
2
∑n
∑p
lnβ2[w2
n + (w − µ)2]
− 1
2
∑n
∑p
lnβ2[w2
n + (w + µ)2]
(153)
47
Somando sobre as frequencias de Matsubara obtemos a funcao de particao,
lnZ = βV (µ2 −m2)ϕ2
− V
∫d3k
(2π)3
[βw + ln(1− e−β(w−µ)) + ln(1− e−β(w+µ))
](154)
A partir da funcao de particao podemos obter as quantidades termodinamicas do sistema,
isto e, os observaveis da teoria. Entao com a equacao anterior, pode-se escrever a expressao
para a energia livre como sendo,
F = − lnZ
β= V (m2 − µ2)ϕ2
− V
∫d3k
(2π)3
[w +
1
βln(1− e−β(w+µ)) +
1
βln(1− e−β(w−µ))
](155)
Com a expressao da energia livre, e possıvel, analisar a possıvel transicao de fase do sis-
tema. Neste ponto e interessante fazer algumas consideracoes. A integral dos momentos,
so fara sentido, ou seja, so ira convergir se | µ |≤ m. Como e esperado, por causa da
simetria U(1), a energia livre depende do parametro ϕ, porem, esta independe da fase θ.
Como o parametro ϕ nao e predeterminado, ele deve ser considerado como sendo varia-
cional. Portanto, fixando µ e β, o valor de ϕ pode ser obtido extremizando lnZ, sendo
assim,
∂ lnZ
∂ϕ= 2βV (µ2 −m2)ϕ = 0 (156)
Para |µ| < m a unica solucao possıvel e ϕ = 0. Quando | µ |= m, ϕ fica ainda indetermi-
nado.
Para obter o valor do parametro ϕ, quando | µ |= m, usamos a definicao de
densidade de carga ρ = N /V , que deve ser constante devido a simetria U(1), temos entao
que
ρ =1
βV
(∂ lnZ
∂µ
)µ=m
= 2mϕ2 + ρ∗(µ = m) (157)
onde,
ρ∗(µ = m) =
∫d3k
(2π)3
(1
eβ(w−m) − 1− 1
e(w+m) − 1
)(158)
Diante da Eq. (157), percebemos que existe claramente uma separacao entre o conden-
sado de partıculas, ou seja, o estado em que o momento e nulo e as excitacoes termicas,
(flutuacoes) que sao os modos de momento finito. Com a densidade ρ constante, enquanto
a temperatura diminui, o potencial quımico µ dos bosons aumentara, podendo alcancar,
para uma determinada temperatura, um valor maximo µ = m. A este ponto especıfico,
48
chamamos de temperatura crıtica (Tc). Ao reduzir ainda mais a temperatura, ha um
crescimento macroscopico do numero de partıculas que constitui o estado fundamental,
enquanto que a quantidade de partıculas existente no estado excitado (fracao nao conden-
sada) diminui proporcionalmente. Essa ocupacao macroscopica faz com que a contribuicao
estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja maior se compararmos com a
parte nao condensada, ou seja, ρ∗ se tornara inferior a ρ0. Nesta situacao, o condensado
vem dado por
ϕ2 =ρ− ρ∗(β, µ = m)
2m(159)
A partir desta equacao, e facil deduzir uma expresao para a temperatura critica, ja que
nesta temperatura ϕ = 0. Portanto, a temperatura crıtica Tc e determinada implicita-
mente pela equacao
ρ = ρ∗(βc, µ = m) (160)
onde, βc e o inverso da temperatura crıtica de equilıbrio. Esta equacao pode ser resolvida
em dois limites. No limite nao relativıstico a temperatura crıtica e dada por
Tc =2π
m
(ρ
ζ(3/2)
)2/3
, ρ << m3 (161)
No limite oposto, no limite ultrarelativıstico, obtemos
Tc =
(3ρ
m
)1/2
, (ρ >> m3) (162)
Tem que ser levado em conta que estas equacoes foram deduzidas usando um
modelo sem interacao. A presenca de interacoes, mesmo em gases diluidos, pode alterar
muitos aspectos discutidos nesta sesao. No proximo capıtulo discutiremos em detalhe a
condensacao de Bose-Einstein de dois gases na presenca de diferentes tipos de interacoes.
49
3 POTENCIAL EFETIVO PARA MISTURAS BINARIAS
No capıtulo anterior, foram abordadas propriedades de equilibrio de condensados
de Bose-Einstein com um unico estado quantico macroscopiamente ocupado. No presente
capıtulo, trataremos multiplos componentes de gases quanticos. A motivacao essencial e
o estudo de misturas binarias de gases quanticos, os quais sao criados em laboratorio a
temperaturas extremamente baixas, pode-se estudar de forma experimental tanto propri-
edades estaticas quanto dinamicas. O foco principal e estudar interacoes entre diferentes
especies de bosons as quais sao formadas por um mesmo elemento quımico em dois estados
diferentes na sua estrutura hiperfina. Este capıtulo contem a contribuicao original desta
tese cujo conteudo pode se encontrar na referencia (SOUZA, 2014).
3.1 Teoria quantica de campos para misturas binarias bosonicas com
acoplamento Josephson
Consideramos duas especies bosonicas representadas por dois campos escalares
complexos φ(x, t) e ψ(x, t). O modelo e definido pela acao,
S =
∫d3xdt Lψ + Lφ + LI (163)
onde Lψ e Lφ, sao densidades lagrangeanas nao relativısticas para cada uma das especies,
Lψ = ψ∗(i∂t −
∇2
2m+ µψ
)ψ (164)
Lφ = φ∗(i∂t −
∇2
2m+ µφ
)φ (165)
sendo, µφ = µ+hΩR e µψ = µ−hΩR, os potenciais quımicos. µ controla a densidade total
de partıculas enquanto que a frequencia de Rabi ΩR controla a densidade relativa de cada
especie. Escolhemos a mesma massa para cada especie, uma vez que estamos interessados
em misturas composta por um unico tipo de atomo em dois estados hiperfinos diferentes.
A densidade lagrangeana de interacao pode ser dividida da seguinte maneira,
LI = Lc + LJ (166)
Na equacao acima, o primeiro termo, Lc, contem tanto as interacoes (ou acoplamen-
tos) entre os dois campos gψφ, como tambem as auto-interacoes (ou auto-acoplamentos) gψ
e gφ, que preservam o numero de partıculas em cada especie individualmente. Escrevemos
50
entao,
Lc = −gψ2
(ψ∗ψ)2 − gφ2
(φ∗φ)2 − gφψψ∗ψφ∗φ (167)
onde as constantes de acoplamentos sao, gψ = 4πaψ/m, gφ = 4πaφ/m e gφψ = 8πaφψ/m,
sao escritas em termos de comprimento de espalhamento da onda s, ou seja, aψ, aφ de cada
especie, e o comprimento de espalhamento entre as duas especies, aφψ. Esta interacao e
invariante sob transformacoes do grupo Uφ(1)⊗ Uψ(1).
O segundo termo da Eq. (166), LJ , nao conserva o numero de partıculas de cada
especies individualmente, no entanto, conserva o numero total de partıculas. Este termo
quebra explicitamente a simetria da densidade lagrangeana, Eq. (167), tornando Uφ(1)⊗Uψ(1) → Uφ+ψ(1). Dessa forma, podemos descrever um gas em dois estados quanticos
diferentes, permitindo a transferencia de partıculas entre cada estado. Habitualmente,
chamamos este segundo termo de interacao Josephson ja que a interacao deve acoplar as
fases dos dois campos complexos. Sendo assim, a forma mais simples para LJ pode ser
escrita como,
LJ = νψ∗φ+ ν∗φ∗ψ − gJ2
(ψ∗ψ∗φφ+ φ∗φ∗ψψ) (168)
Na equacao acima o termo quadratico (interacao de um corpo) e proporcional a ν,
e o termo quartico e a interacao de dois corpos. No geral, esses dois termos tem origens
diferentes. O primeiro termo na Eq. (168), pode ser obtido por meio de dois feixes de
laser de propagacao oposta que acopla dois estados hiperfinos internos do mesmo atomo
bosonico. O laser e sintonizado a uma frequencia levemende diferente da separacao entre
os dos estados hiperfinos. Esta diferenca, ou desintonia (”detunning”) e parametrizada por
ν. Considerando os dois estados hiperfinos como sendo um espaco de iso-spin, este termo
aparece como uma interacao efetiva spin-orbita (EISBERG, 1979). O segundo termo na
Eq. (168), representa o espalhamento da onda s, onde o estado interno hiperfino dos
atomos nao e conservado. Na ausencia de ν, este tipo de processo e improvavel, pois
ambos os estados hiperfinos sao energeticamente bem separados. No entanto, na presenca
de um laser com uma pequena desintonia entre as diferencas de frequencias, uma pequena
constante de acoplamento poderia produzir resultados qualitativamente diferentes.
Aspectos do diagrama de fase do modelo das densidades lagrangianas nao rela-
tivısticas Lψ, Lφ e Eq. (168), que nao possuem o acoplamento Josephson (LJ = 0),
foram anteriormente estudadas na Ref. (PINTO, 2005). A analise de campo medio, em
temperatura zero, conduz a algumas restricoes sobre as constantes de acoplamento. Por
exemplo, para que os dois campos possam condensar simultaneamente deve se cumplir
que
gφgψ − g2ψφ > 0 (169)
51
Nestas condicoes, em T = 0, pode-se escrever as densidades dos condensados em
termos dos potenciais quımicos (PINTO, 2005),
ρΦc =
gΨµΦ − gµΨ
gΨgΦ − g2ψφ
, ρΨc =
gΦµΨ − gµΦ
gΦgΨ − g2ψφ
(170)
Se a condicao, Eq. (169) for violada, os dois condensados nao coexistem e tendem a
separar espacialmente.
Flutuacoes termicas bem como quanticas, nao altera este comportamento geral.
No entanto, a presenca de acoplamento Josephson altera qualitativamente o diagrama de
fase do modelo. Por esta razao, abordamos os efeitos dos termos de interacao como na
Eq. (168) no diagrama de fase.
3.2 Modelo O(2) com anisotropia Josephson
Aqui o principal interesse e estudar os efeitos do acoplamento Josephson Eq. (168)
sobre o diagrama de fase de uma mistura binaria descrita pelo modelo da secao anterior.
Este modelo tem um diagrama de fase muito abrangente, dependendo dos valores relativos
das constantes de acoplamento e temperatura. No entanto, existe um ponto de maxima
simetria onde a analise fica mais simples. Por uma questao de simplicidade, vamos analisar
o modelo (163)-(168), neste ponto, dado por, gφψ = gφ = gψ = g e ΩR = 0, ν = 0 e gJ = 0.
Com isso, na Eq. (167), o termo de interacao entre os campos tem forma simples,
Lc = −g2
(ψ∗ψ + φ∗φ)2 (171)
Neste ponto de maxima simetria, o sistema tem alem de uma simetria de fase
Uφ(1) ⊗ Uψ(1), tambem tem uma simetria O(2) correspondendo as rotacoes no espaco
de isospin (φ, ψ). Por esta razao, este modelo e chamado de modelo O(2) complexo nao
relativıstico. Sendo assim, por um lado, o numero de partıculas de cada uma das especies
e conservado indepedentemente. Alem disso, as duas especies sao indistinguiveis neste
ponto, uma vez que, qualquer rotacao das misturas das duas especies tem exatamente a
mesma acao.
Em seguida, quebra-se a simetria O(2), considerando um termo proporcional a ΩR
e um termo de Josephson, da forma,
Lν = νψ∗φ+ ν∗φ∗ψ ∝ ΩR (172)
Para simplificar, na Eq. (168), ignora-se o termo de interacao entre as duas especies
de condensados, ja que em princıpio e de ordem mais elevada do que o termo de auto-
acoplamento.
52
A estrutura deste modelo e claramente visualizada atraves da definicao de novos
campos (ϕ1, ϕ2), obtidos a partir de uma rotacao dos campos originais dada por,(ϕ1
ϕ2
)= M
(φ
ψ
)(173)
onde a matriz de rotacao pode ser escrita como,
M =
(Ωeff−ΩR
D− νD
ν∗
D
Ωeff−ΩRD
)(174)
com
D =
√(Ωeff − ΩR)2 + | ν |2 (175)
E facil comprovar que det(M) = 1.
Com esta transformacao, a densidade lagrangeana toma seguinte forma,
L = ϕ∗1
(i∂t −
∇2
2m+ µ+
)ϕ1 + ϕ∗2
(i∂t −
∇2
2m+ µ−
)ϕ2 −
g
2(ϕ∗1ϕ1 + ϕ∗2ϕ2)2 (176)
onde, µ± = µ±√
Ω2R+ | ν |2.
Embora os termos proporcionais a ν e ΩR na Eq.(172) quebra a simetria O(2) e
Uφ(1)⊗Uψ(1), o sistema ainda possui uma simetria Uϕ1(1)⊗Uϕ2(1), nas novas variaveis.
Isto significa que o numero de partıculas associadas com cada uma das especies en-
trelacadas ϕ1 e ϕ2 sao conservadas independentemente. Este comportamento e con-
sequencia da simetria O(2), do termo de interacao entre os dois campos (171). Nao e
dıficil de perceber, que no caso de desequilibrio da interacao quartica, gψφ 6= g, mediante
a rotacao de iso-spin, um termo proporcional a ϕ1ϕ1ϕ∗2ϕ∗2, sera gerado, quebrando desta
forma a simetria Uϕ1(1)⊗ Uϕ2(1)→ U(1).
Curiosamente, a Eq. (176), nao depende de ΩR e ν independentemente, mas
somente da frequencia efetiva de Rabi, Ωeff =√
Ω2R+ | ν |2.
E interessante, saber a forma da matriz de rotacao (174) em dois diferentes limites.
Se o parametro ν e muito menor do que a frequencia de Rabi ΩR, | ν | ΩR temos que
M =
(|ν|
2ΩR−eiαν
e−iαν |ν|2ΩR
)(177)
onde definimos, ν =| ν | exp(iαν). E evidente que a mistura e proporcional a ν2ΩR
+
O ((| ν | /2ΩR))2. No limite extremo de ν → 0 as duas especies estao desacopladas como
e esperado.
53
Por outro lado, no limite | ν | ΩR
M =
1√2
(1− ΩR
2|ν|
)− eiαν√
2(
1+ eiαν2|ν|
)e−iαν√
2
(1 + ΩR
2|ν|
)1√2
(1− ΩR
2|ν|
) (178)
No limite extremo, ΩR → 0, os campos sao simetricamente entrelacados, dependendo
apenas da fase de ν, αν :
ϕ1 =1√2
(φ− eiανψ
)ϕ2 =
1√2
(e−iανφ+ ψ
)(179)
Neste ponto especial ΩR = 0, os dois campos estao entrelacados indepedentemente dos
valores de | ν |. Pequenos valores de ΩR, produzem correcoes da ordem ΩR/ | ν |.
3.3 Teoria de campo medio
Analisaremos o modelo da secao anterior em uma aproximacao de campo medio.
Agora e escrito as equacoes de Gross-Pitaeviskii para cada campo,(i∂t −
∇2
2m+ µ+ − g (ϕ∗1ϕ1 + ϕ∗2ϕ2)
)ϕ1 = 0(
i∂t −∇2
2m+ µ− − g (ϕ∗1ϕ1 + ϕ∗2ϕ2)
)ϕ2 = 0 (180)
Buscando solucoes estaticas e uniformes para ϕ1,2(x, t) ≡ ϕ01,2, achamos as seguintes
equacoes algebricas,(µ+ − g
[| ϕ0
1 |2 + | ϕ02 |2])ϕ0
1 = 0(µ− − g
[| ϕ0
1 |2 + | ϕ02 |2])ϕ0
2 = 0 (181)
Evidentemente que os dois campos ϕ1 e ϕ2 nao podem condensar simultaneamente,
uma vez que uma solucao ϕ01,2 6= 0 nao existe para ν 6= 0, ΩR 6= 0. Em vez disso, temos
duas solucoes,
ϕ01 = 0 ←→ | ϕ0
2 |2= µ−/g ou
ϕ02 = 0 ←→ | ϕ0
1 |2= µ+/g (182)
Portanto, neste modelo a uma temperatura T = 0, apenas um condensado uniforme
pode existir. Se admitimos uma solucao, ϕ02 = 0, e utilizando M−1, dada pela inversa da
54
Eq. (174), fica simples retornar aos campos originais, obtendo,
φ0 =Ωeff − ΩR√
(Ωeff − ΩR)2 + | ν |2ϕ0
1
ψ0 = − ν∗√(Ωeff − ΩR)2 + | ν |2
ϕ01 (183)
onde φ0 e ψ0 sao as amplitudes dos condensados dos campos φ(x) e ψ(x) respectivamente.
A primeira observacao e que as duas especies φ e ψ condensam simultaneamente,
e a fase relativa entre estes condensados ∆α e fixada pela fase do parametro ν,
∆α = αν + π (184)
Alem disso, a fracao do condensado de ambas as especies e muito diferente, dependendo
da relacao entre ΩR e | ν |.E interessante parametrizar ΩR e | ν | da seguinte maneira,
ΩR =∆µ
2sin θ (185)
| ν | =∆µ
2cos θ (186)
com 0 ≤ θ ≤ π/2. Usando esta parametrizacao, a relacao entre os dois condensados toma
a seguinte forma,
Uma questao importante e como as flutuacoes termicas afetam a estrutura geral
do modelo, isto e, do campo medio. Para isso, e considerado o potencial efetivo
Ueff (ϕ01, ϕ
02) = U0(ϕ0
1, ϕ02) + ∆µ(ϕ0
1, ϕ02, T ) (187)
onde U0 e o potencial despido, isto e, potencial classico e ∆U contem os efeitos das
flutuacoes. Duas simetrias importantes restringem a forma geral deste potencial. De um
lado, a simetria U(1) ⊗ U(1), implica que o potencial efetivo e uma funcao de | ϕ01 |2
e | ϕ02 |2. Por outro lado, uma vez que a simetria O(2) e quebrada pelos parametros ν
e ΩR, ou ∆µ = µ+ − µ−, o potencial deve ser uma funcao de, χs =| ϕ01 |2 + | ϕ2
2 |2
e χa =| ϕ01 |2 − | ϕ0
1 |2, independentemente. O subındice s e a define, simetrica e
antisimetrica, respectivamente. Temos entao o potencial efetivo,
Ueff = U0(χs, χa) + ∆U(χs, χa, T ) (188)
Minimizando a Eq.(188) e assumindo que os dois condensados ϕ01 6= 0 e ϕ0
2 6= 0,
55
Figura 2 - Relacao entre as duas especies de condensados.
Legenda: Para θ → φ/2 ou | ν |→ 0, com ΩR 6=, somente um
condensado sobrevive.
Fonte: A autora, 2014.
encontramos imediatamente
µ+ +∂∆U
∂χs− g
(| ϕ0
1 |2 + | ϕ02 |2)
+∂∆U
∂χa= 0 (189)
µ− +∂∆U
∂χs− g
(| ϕ0
1 |2 + | ϕ02 |2)− ∂∆U
∂χa= 0 (190)
Estas equacoes tem como consequencia,
∆U(T ) = −1
2∆µ(T )χa + F(χs, T ) (191)
onde, F e uma funcao arbitraria. Como nao ha nenhuma razao para esperar uma funcao
linear ∆U ∼ χa, conclui-se que neste modelo, os dois campos ϕ1 e ϕ2 nao podem condensar
simultaneamete, desde que ∆µ(T ) 6= 0.
Veremos na proxima secao que, estudando em detalhe as flutuacoes termicas, po-
deria haver uma reentrancia da simetria O(2), na qual ∆µ(T ) = 0, em temperaturas
extremamente baixas Tr Tc, mudando desta forma a estrutura da solucao do campo
medio.
56
3.4 Efeitos de flutuacoes
Para estudar flutuacoes termicas bem como quanticas, comecamos por considerar
a teoria de campo a temperatura finita do modelo Eq. (176)
SE =
∫ β
0
dτ
∫d3x ϕ∗1
(∂τ −
∇2
2m− µ+
)ϕ1 + ϕ∗2
(∂τ −
∇2
2m− µ−
)ϕ2
− g
2(ϕ∗1ϕ1 + ϕ∗2ϕ2)2 . (192)
A funcao de particao do modelo,
Z(β) =
∫Dϕ1Dϕ
∗1Dϕ2ϕ
∗2e−SE+
∫d3xdτ ~J.~ϕ
= e−βVW [β,J ] (193)
onde foi introduzida uma fonte ~J , a fim de calcular funcoes de correlacao. A medida de
integracao funcional contem a condicao de contorno bosonica implıcita no tempo eucli-
deano ϕ(0, x) = ϕ(β, x). W [β, ~J ] = 1βV
lnZ e a chamada energia livre de Helmholtz do
sistema.
O principal objetivo desta secao e calcular W [β, J ], na aproximacao a um laco ou
em campo medio mais flutuacoes gaussianas. Como discutido na ultima secao, esperamos
que pelo menos em uma certa regiao de temperaturas, as flutuacoes nao modifiquem a
estrutura geral do campo medio. Com isto em mente, a fim de calcular W [β, J ], substi-
tuimos na Eq.(193) a seguinte decomposicao,
ϕ1(x, t) = ϕ01 + ϕ1(x, τ) (194)
ϕ2(x, t) = ϕ2(x, τ) (195)
em que∫d3xϕ1,2 = 0 e ϕ0
1(J) e uma solucao de
δSEδϕ1
∣∣∣ϕ1=ϕ0
1,ϕ2=0= J
δSEδϕ2
∣∣∣ϕ1=ϕ0
1,ϕ2=0= 0
onde escolhemos ~J=cte na direcao ϕ1.
Conservando os termos de segunda ordem nas flutuacoes, obtemos,
Z(β) = e−βV U0(ϕ01)
∫[Dδϕ] e−
∫dτd3x
∑ij δϕ
∗i S
(2)ij δϕj (196)
57
onde, o potencial classico e escrito como segue,
U0 = −µ+ | ϕ01 |2 +
g
2| ϕ0
1 |4 (197)
A medida de integracao e dada por
[Dδϕ] = Dδϕ1Dδϕ∗1Dδϕ2Dδϕ
∗2 (198)
e o kernel quadratico,
S(2)ij =
δ2SEδϕ∗jδϕi
∣∣∣ϕ1=ϕ0
1,ϕ2=0(199)
Integrando as flutuacoes quadraticas, encontramos a expressao para a energia livre,
W [J, β] = U0 + ∆W (200)
com,
∆W [J, β] =1
2ln det S(2) (201)
Devido a estrutura particular do condensado, (ϕ01 6= 0, ϕ0
2 = 0), a matriz S na base
(Re(δϕ1), Im(δϕ1), Re(δϕ2), Im(δϕ2)) e separada em dois blocos de 2× 2,
S(2) =
[S
(2)a 0
0 S(2)b
](202)
com,
Sa(2)
=
[−∇2
2m− µ+ + 3g | ϕ0
1 |2 i∂τ
−i∂τ −∇2
2m− µ− + g | ϕ0
1 |2
](203)
e
Sb(2)
=
[−∇2
2m− µ+ + g | ϕ0
1 |2 i∂τ
−i∂τ −∇2
2m− µ− + g | ϕ0
1 |2
](204)
Agora e possıvel ir para o espaco dos momentos, para dessa forma calcular o determinante
da matriz. Com isso e possıvel obter o seguinte resultado,
∆W =1
2ln detS(2)
=1
2β
∞∑n=−∞
∫d3q
(2π)3ln(w2n + E2
1
) (w2n + E2
2
)(205)
58
onde, wn = 2nπ/β, sao as frequencias de Matsubara. Com,
E1 =
√(q2
2m− µ− + 3g | ϕ0
1 |2)(
q2
2m− µ+ + g | ϕ0
1 |2)
(206)
e
E2 =q2
2m− µ− + g | ϕ0
1 |2 (207)
Para calcular o somatorio das frequencias de Matsubara, e preciso fazer uso da seguinte
expressao,
1
β
∑n
ln(w2n + E2
i
)= Ei +
2
βln(1− e−βEi
)(208)
obtemos,
∆W =1
2
∫d3q
(2π)3
∑i
Ei +
2
βln(1− e−βEi
), (209)
E interessante notar que, se substituimos o valor de campo medio para ϕ01 dado, pela
Eq.(182) nas Eqs. (206) e (207), obtemos imediatamente,
E1 =
√(q2
2m
)(q2
2m+ 2g | ϕ0
1 |2)
(210)
e
E2 =q2
2m+ Ω2
R+ | ν |2 (211)
As equacoes, (210) e (211), sao as energias de excitacoes habituais, calculadas na apro-
ximacao de Bogoliubov. A Eq. (210) e o modo de Goldstone associado com a quebra de
simetria Uϕ1(1), enquanto que a Eq. (211) e o modo correspondente as flutuacoes fora do
condensado.
E util expressar a energia livre em termos do parametro de ordem,
ϕ =δW
δJ= ϕ0
1 +1
2Tr
[1
S(2)
δS(2)
δϕ01
δϕ01
δJ
](212)
A nıvel de campo medio, o parametro de ordem e exatamente a solucao do campo medio
ϕ01. No entanto, quando as flutuacoes sao levadas em conta, o resultado e diferente, dado
por Eq. (212).
Definimos a energia livre de Gibbs como um funcional do parametro de ordem ϕ,
fazendo uma transformacao de Legendre,
Γ[β, ϕ] = ϕJ −W (213)
59
onde, δΓ/δϕ = J . Em Eq. (213), J e uma funcao do parametro de ordem ϕ, obtido
invertendo a Eq. (212). Fazendo explicitamente a transformada de Legendre a ordem
dominante nas flutuacoes, obtemos
Γ[β, ϕ] = µ+ | ϕ |2 −g
2| ϕ |4
− 1
2
∫d3q
(2π)3
∑i
Ei +
2
βln(1− e−βEi
)(214)
A Eq. (214) e a energia livre de Gibbs, calculada em campo medio mais flutuacoes
gaussianas, ou na linguagem de teoria quantica de campos, a acao efetiva a um laco.
A amplitude do condensado ϕm e calculada minimizando a energia livre,
∂Γ[β, ϕ]
∂ϕ
∣∣∣∣ϕ=ϕm
= 0. (215)
Usando a eq. (214) e definindo o potencial quımico efetivo µ+ = g|ϕm|2 achamos uma
expressao µ+ em funcao do potencial quımico original µ+ e a temperatura:
µ+ = µ+ −1
2
∫d3q
(2π)3×
×
(
2 q2
2m+ µ+
)(1 + 2n(E1))√(
q2
2m
)(q2
2m+ 2µ+
)+ 1 + 2n(E2)
(216)
onde, n(Ei) e a distribuicao de Bose para a energia Ei com i = 1, 2.
A densidade total de partıculas de cada uma das especies ϕ1 e ϕ2, e dada por,
ρϕ1 =∂Γ
∂µ+
=µ+
g− 1
2
∫d3q
(2π)3
q2/2m
E1
(1 + 2n(E1))
− 1
2
∫d3q
(2π)3(1 + 2n(E2)) (217)
ρϕ2 =∂Γ
∂µ−=
1
2
∫d3q
(2π)3(1 + 2n(E2)) (218)
Usando a relacao entre µ+ e µ−, dada pela equacao (216), finalmente chegamos,
ρϕ1 =µ+
g+
1
2
∫d3q
(2π)3
q2
2m+ µ+
E+
coth (βE+/2) (219)
ρϕ2 =1
2
∫d3q
(2π)3coth (βE−/2) (220)
60
com
E+ =
√(q2
2m
)(q2
2m+ 2µ+
)(221)
E− =q2
2m+ µ+ − µ− (222)
A partir da Eq. (221) fica evidente que o modo de Goldstone e preservado a uma tem-
peratura finita, como deve acontecer. Desde que ρϕ1 e ρϕ2 sao constantes, as Eqs. (219),
(220), (221) e (222), sao equacoes acopladas para as variaveis µ+ e µ−, como uma funcao
da temperatura.
As expressoes, (219) e (220) possuem as divergencias ultravioletas usuais de uma
teoria de campos em T = 0. Como e bem conhecido, as flutuacoes termicas sao sempre
convergentes. A maneira usual de lidar com essas divergencias e regularizar a integral e
depois renormalizar as constantes despidas, µ+, µ−, g a fim de obter resultados finitos.
Um procedimento conveniente, no caso escalar nao relativistico, e o metodo de cut-
off. Este metodo limita as integrais de momento fazendo uso de um cut-off ultravioleta,
0 ≤| ~q |≤ Λ. Os resultados sao obviamente dependentes de Λ. No entanto, se comecarmos
os calculos com constantes renormalizadas µR± = µ± + δµ±(Λ), pode-se ajustar δµ±(Λ)
para conseguir um resultado independente de Λ. No final pode-se realizar com seguranca o
limite Λ→∞. Apos este procedimento, as expressoes renormalizadas podem ser escritas
como segue,
ρϕ1 =µ+
g+
(mµ+)3/2
3π2+
∫d3q
(2π)3
q2
2m+ µ+
E+ (eβE+ − 1)(223)
ρϕ2 =
∫d3q
(2π)3
1
eβE− − 1(224)
A Eq.(223), define implicitamente a densidade do condensado ϕm(T ), ou equivalente-
mente, o potencial quımico efetivo, µ+(T ). Esta equacao coincide com a densidade obtida
a partir de uma potencial efetivo a um laco de um unico campo auto-interagente(PINTO,
2006). A Eq. (224) determina a frequencia efetiva de Rabi, Ωeff (T ) = (µ+ − µ−) /2 =
∆µ/2.
A temperatura crıtica Tc, e facilmente calculada fixando µ+ = 0 na Eq. (223),
obtendo portanto a expressao habitual para um gas ideal nao relativista,
Tc =2π
m
(ρϕ1
ζ(3/2)
)2/3
(225)
onde, ζ(3/2) ∼ 2.612. Esperamos correcoes de Tc somente na aproximacao de dois lacos.
61
A Eq. (224) da origem a correcoes de temperatura das interacoes Josephson. Uma
vez que, E− representa as excitacoes com gap Ω2eff = Ω2
R+ | ν |2 6= 0, a integral em Eq.
(224) pode ser feita de maneira segura no limite classico, obtendo,
ρϕ2 ∼1
4√
2π(mT )3/2 e
∆µT (226)
Em termos de densidades constantes ρϕ1 e ρϕ2 e temperatura crıtica Tc, dada pela
Eq. (225), obtemos a partir de Eq. (226)
∆µ = T ln
[(ρϕ1
ρϕ2
)(T
Tc
)3/2]
(227)
Esta expressao nos mostra as interacoes efetivas ΩR e ν na presenca de flutuacoes de
temperaturas. Os parametros sao fixados pelas densidades relativas ρϕ1/ρϕ2 . Uma vez
que, ∆µ > 0, este calculo e valido apenas para,
T
Tc>
(ρϕ2
ρϕ1
)2/3
(228)
Surpreendentemente, existe uma temperatura mınima TR = (ρϕ1/ρϕ2)2/3Tc, onde, ∆µ(TR) =
0 e a simetria O(2) e restaurada. Portanto, a nossa analise de campo medio nao e valida
para temperaturas T ≤ TR. A fim de ter a estrutura do condensado dada por (183), pre-
cisamos fixar ρϕ2/ρϕ1 < 1 e TR < T < Tc. Esta interessante reentrancia de fase nao e um
artifıcio da aproximacao classica usada para calcular a integral na Eq. (224). Na verdade,
resolvendo a integral usando metodos numericos, encontramos o mesmo comportamento
geral.
Na proxima secao, seram calculados numericamente as fracoes condensadas como
funcoes de temperatura para diferentes valores dos parametros.
3.5 Avaliacao numerica das densidades dos condensados
Para calcular o perfil da densidade do condensado, reescrevemos a Eq. (223) na
forma adimensional. Para isso, vamos definir a fracao do condensado ρc = µ+/(gρϕ1). A
temperatura adimensional e definida como, T = T/Tc. Introduzimos tambem o parametro
de diluicao nϕ1 = ρϕ1a3, onde a e o comprimento de espalhamento da onda-s. Usando
62
essas definicoes, podemos escrever a Eq. (223) da seguinte forma,
1 = ρc +8
3π1/2n1/2ϕ1ρ3/2c +
4
π1/2ζ(3/2)T 3/2
∫ ∞0
dyyy2 + 2ζ(3/2)2/3n
1/3ϕ1 ρcT
−1√y2 + 4ζ(3/2)2/3n
1/3ϕ1 ρcT−1
×(ey√y2+4ζ(3/2)2/3n
1/3ϕ1
ρcT−1 − 1
)−1
(229)
E simples de verificar se o limite nϕ1 → 0 conduz a um resultado de gas ideal,
ρc = 1− T 3/2. O segundo termo de r.h.s. da Eq. (229) produz a deplecao quantica de um
condensado, enquanto que o terceiro termo representa a dependencia da temperatura.
Resolvendo numericamente a Eq. (229), podemos obter a fracao do condensado
ρc(T ) para diferentes valores do parametro nϕ1 . A partir deste resultado, e razoavelmente
simples calcular as fracoes dos condensados para os campos φ e ψ, usando as Eqs. (183).
Definimos as fracoes do condensado para os campos φ e ψ com ρcφ =| φ0 |2
/ (ρϕ1 + ρϕ2) e ρcψ =| ψ0 |2 / (ρϕ1 + ρϕ2), onde escolhemos a densidade total de partıculas,
ρφ + ρψ = ρϕ1 + ρϕ2 , para normalizar as fracoes. Em seguida, usamos as Eqs. (183).
Existem dois regimes interessantes para se concentrar. Para | ν | /ΩR 1, a fracao do
condensado torna-se,
ρcφ ∼(
1− ρϕ2
ρϕ1
)(| ν |2ΩR
)2
ρc (230)
ρcψ ∼(
1− ρϕ2
ρϕ1
)ρc (231)
O primeiro fator compensa as normalizacoes de ρcφ,ψ e ρc. Para obte-lo, e considerado
ρϕ2/ρϕ1 < 1 e desprezamos os termos proporcionais a (ρϕ2/ρϕ1)2. A fracao do condensado
e determinada pelo fator (| ν | /2ΩR)2 e as proximas correcoes para as Eqs. (230) e (231),
sao termos proporcionais a (| ν | /2ΩR)4.
Na figura 3, mostramos o perfil tıpico de ambos os condensados, onde fixamos
nϕ1 = 10−5 e | ν | /2ΩR = 0.24. Observe que ρcφ e fortemente diminuido pelo fator ν/ΩR
e tende a desaparecer no limite | ν |→ 0. Uma observacao interessante e que o fator
| ν | /ΩR nao e corrigido por variacoes de temperatura. Esta e uma consequencia direta
da simetria O(2) da interacao de dois corpos.
Por outro lado, no regime oposto figura 4, ΩR/ | ν | 1, as densidades dos
condensados de ambas as especies sao essencialmente iguais, com pequenas correcoes
dadas por,
ρcφ0∼ 1
2
(1− ρϕ2
ρϕ1
)(1− ΩR
| ν |
)ρc (232)
63
Figura 3 - Fracao condensada ρφ e ρψ como uma funcao da
temperatura adimensional T no limite | ν | /ΩR < 1.
Legenda: A linha solida representa ρcψ, dada pela Eq.(231),
enquanto a linha tracejada e representada por ρcφ, e
dada por Eq.(230). Fixamos, nϕ1 = 10−5,
ρϕ2/ρϕ1 = 10−1 e | ν | /2ΩR = 0.24.
Fonte: A autora, 2014.
64
Figura 4 - Fracao condensada ρφ e ρψ como uma funcao da
temperatura adimensional T no limite ΩR/ | ν |< 1.
Legenda: A linha solida representa ρcψ, dada pela Eq.(231),
enquanto a linha tracejada e representada por ρcφ, e
dada por Eq.(230). Fixamos, nϕ1 = 10−5,
ρϕ2/ρϕ1 = 10−1 e | ν | /2ΩR = 0.24.
Fonte: A autora, 2014.
65
ρcψ0∼ 1
2
(1− ρϕ2
ρϕ1
)(1 +
ΩR
| ν |
)ρc (233)
onde descartamos correcoes de ordem, (ΩR/ | ν |)2. Mostramos as curvas, na Figura 4,
para nϕ1 = 10−5, ρϕ2/ρϕ1 = 10−1 e ΩR/ | ν |= 0.02.
66
CONCLUSAO
Nesta tese apresentamos uma aplicacao de tecnicas de teoria quantica de campos
para estudar sistemas da materia condensada. Estudamos sistemas de dois campos esca-
lares complexos a temperatura e densidade finita. Para isto, usamos o potencial efetivo a
um laco, calculado no formalismo de tempo imaginario.
Motivados por experimentos em misturas bosonicas compostas de um unico ele-
mento quımico em dois estados hiperfinos diferentes, abordamos o problema de proprie-
dades de equilıbrio de uma mistura uniforme de dois campos bosonicos em presenca de
interacoes do tipo Josephson as quais acoplam as fases dos campos.
Consideramos uma teoria quantica de campos, formada por dois campos comple-
xos bosonicos nao relativısticos com interacoes quarticas locais. Este sistema tem um
diagrama de fases muito rico e difıcil de ser abordado na sua totalidade. Por este motivo
decidimos estudar um sistema simplificado. Observamos que existe um ponto especial nas
constantes de acoplamento onde, alem da simetria de fase U(1)⊗ U(1), surge uma outra
simetria O(2), relacionada com as rotacoes no espaco de isospin (φ, ψ). Esta simetria
faz com que a analise das flutuacoes fique mais simplificado. Na ausencia da interacao
de Josephson, este modelo apresenta geralmente uma separacao de fases. No entanto,
as interacoes que quebram explicitamente a simetria U(1)⊗ U(1)⊗O(2) modificam este
comportamento.
Portanto, estudamos um modelo com simetria O(2), perturbado minimamente
atraves do acoplamento Josephson, que desequilibra a populacao de cada especie transfe-
rindo carga entre ambas especies. Estas interacoes sao parametrizadas pela frequencia de
Rabi ΩR e o parametro ν que mede a dessintonia do lase aplicado em relacao a separacao
de frequencias das duas especies.
Fazendo uma rotacao no espaco de isospin (φ, ψ)→ (ϕ1, ϕ2), mostramos que existe
uma direcao para a qual a simetria de fase U(1)⊗U(1) e recuperada, e somente uma das
especies bosonicas (por exemplo, ϕ1) poderia eventualmente condensar. Desse modo, a
densidade de pertıculas de cada especie bosonica ρϕ1 e ρϕ2 e conservada indepedentemente.
Naturalmente, a simetria O(2) e ainda quebrada, desde que a diferenca entre os potenciais
quımicos seja ∆µ = µ+ − µ− = 2Ωeff 6= 0. Nesta nova base, calculamos a acao efetiva
a um laco (a energia livre de Gibbs) como uma funcao de um parametro de ordem do
condensado e a temperatura. Desta forma, ao minimizar a energia livre, obtivemos a
fracao do condensado. Para obter os perfis dos condensados dos campos originais, fazemos
uma rotacao para retornarmos a base original (φ, ψ). Esta rotacao depende somente
da razao ΩR/ | ν |. E interessante notar que devido a simetria O(2) da interacao de
dois corpos, as flutuacoes apenas renormalizam a frequencia efetiva de Rabi, Ωeff =√Ω2R+ | ν |2, enquanto que a razao ΩR/ | ν |, permanece inalterada. Assim os coeficientes
67
da rotacao de isospin sao indepedentes da temperatura. Nas figuras 3 e 4 mostramos os
perfis dos condensados ψ e φ como funcao da temperatura para diferentes valores do
parametro ΩR/ | ν |. Verifica-se claramente que para | ν | /ΩR → 0, existe apenas
a presenca de um condensado, enquanto que no limite oposto, ΩR/ | ν |→ 0, ambos
condensados sao essencialmente iguais, com pequenas correcoes de ordem Ω/ | ν |. Um
resultado interesante e que, independendtemente dos valores da fracao condensada, os
dois condensados tem suas fases determinadas pela fase do parametro de dessintonia ν.
Ou seja que, ajustando a fase do laser aplicado e possivel conseguir dois condensados com
sua diferenca de fase perfeitamente determinada.
E importante estabelecer em que regiao dos parametros os calculos realizados sao
consistentes. O calculo realizado nao e valido para qualquer valor da temperatura. De
fato, verificou-se que existe uma reentrancia de simetria O(2) em uma temperatura es-
pecıfica Tr, para qual, Ωeff (Tr) = 0. Esta temperatura, depende essencialmente do
numero de partıculas que desequilibram as duas especies ρϕ1/ρϕ2 . Abaixo desta tempe-
ratura, a solucao de campo medio utilizada e instavel sob as flutuacoes termicas. Assim
nossa abordagem e valida para Tr < T < Tc. Por outro lado, os resultados apresentados
nesta tese sao validos desde que, a interacao de dois corpos seja invariante sob rotacao
de isospin. Considere por exemplo um pequeno desvio do modelo O(2), gψ = gψ = g,
mas gψφ = g + ∆g. Neste caso, na base (ϕ1, ϕ2) sera gerado um termo proporcional a
∆g(ϕ∗1ϕ∗1ϕ2ϕ2). Portanto, embora tenhamos ignorado este tipo de termos no modelo origi-
nal, eles vao ser gerados no caso de uma interacao de dois corpos mais geral. Assim, para
∆g 6= 0, nao existe nenhuma direcao no espaco de isospin em que a simetria U(1)⊗U(1)
seja recuperada. Esta fato, torna o estudo das flutuacoes quanticas e termicas mais difıcil.
Esta tese incentiva duas linhas naturais de pesquisa. Por um lado, e interessante
estudar a energia livre de Gibbs, ou o potencial effectivo, para o caso mais geral em
que a interacao de dois corpos nao tem simetria O(2). O calculo das flutuacoes neste
caso e mais difıcil ja que podem existir dois condensados com fases acopladas. Tambem,
e importante ter presente que, nos experimentos, o condensado nunca e homogeneo, ja
que as armadilhas usadas para conter o gas, provocam inomogeneidades. Uma extensao
natural no calculo das fracoes do condensado e levar em conta as armadilhas no modelo
original proposto.
68
REFERENCIAS
ALBIEZ, M. et al. Direct observation of tunneling and nonlinear self-trapping in a single
bosonic Josephson juction. Phys. Rev. Lett., New York, v.95, p. 010402, July 2005.
ANDREWS, M. R. et al. Observation of interference between two Bose condensates.
Science, Massachusetts, v.175, p. 637, 1997.
BARCI, D. G.; FRAGA, E. S.; RAMOS, R. O. A nonequilibrium quantum field theory
description of the Bose-Einstein condensate. Phys. Rev. Lett., New York, v. 85, p.
479-482, 2000.
BOLLINI, C. G.; GIAMBIAGI, J. J.; DOMINGUES, A. G. Analitic regularization and
the divergences of quantum field theories. II Nuovo Cim., [S.l.], v. 31, p. 550-561, 1964.
BARONE, A.; KULIK, I. O. Quantum mesoscopic phenomena and mesoscopic devices
in microeletronics. NATO Science serie C, [S.l.], v.559, p. 301, 2000.
BARONE, F. A.; BOSCHI-FILHO, H.; FARINA, C. Three methods for calculating the
Feynman propagator. American Association of Physics Teacher, New York, v. 71, p.
483-491, 2003.
BROWN, L. H.; MACLAY, G. J. Phys. Rev. D, New York, v. 184, p. 1272, 1969.
COLLINS, J. An introduction to renormalization, the renormalization group, and the
operator-product expasion. 1st ed. New York: Cambridge University Press, 1994. 388 p.
CHIEN, Chin-Chun; COOPER, F.; TIMMERMANS, E. Large-N approximation for
single and two-component dilute Bose gases. Phys. Rev. A, New York, v. 86, p. 023634,
2012.
DAS, A. Finite temperature field theory. Singapure: World Scientific, 1997. 775 p.
DE CALAN, C.; MALBOUISSON, A. P. C.; SVAITER, N. F. On The temperature
depedent coupling constant in the vector N-component model. An exact solution for
D=3. Phys. Lett. A, [S.l.], v. 13, n. 22, p. 1757, 1998.
DOLAN, L.; JACKIW, R. Symmetry behavior at finite temperature. Phys. Rev. D, New
York, v. 9, n. 12, p. 3320, 1974.
DOWEKER, J. S.; CRITCHElEY, R. Effective lagrangian and energy-momentum
tensor in the sitter space. Phys. Rev. D, New York, v. 13, n. 12, p. 3224, June 1976.
EISBERG, R.; RESNICK, R.. Fısica quantica. Rio de Janeiro: Campus, 1979. 928 p.
69
FEYNMAN, R. P.; HIBBS, A. R. Quantum mechanics and path integrals. USA: Mac
Graw-Hill, 2010. 372 p.
FIERZ, M. Helv. Phys. Acta, USA, v. 33, p. 855-858, 1960.
FRADKIN, E. Field theories of condensed matter systems. 2ed. New York: Cambridge
University Press, 2013. 838 p.
GADWAY, B. et al. Superfluidity of interacting bosonic mixtures in optical lattice. Phys.
Rev. Lett., New York, v.105, p. 045303, may 2010.
GATI, R.; OBERTHALER, M. K. A bosonic Josephson junction. Journal of Physics B:
At. Mol. Opt. Phys., USA, v.40, n. 10, p. R61-R89, May 2007.
GRADSHTEYN, I. S.; RYZHIK, I. M. Table of integrals, series and product . 7th ed.
USA: Academic Press, 1965. 1200 p.
GREINNER, W. Classical eletrodynamics. 2nd ed. Berlin: Springer, 1998. 569 p.
GREINER, W.; REINHARDT, J. Field quantization. 2nd ed. Berlin: Springer, 1996.
458 p.
GRIFFIN, A.; SNOKE, D.W.; STRINGARI, S. Bose-Einstein condensation. USA:
Cambridge University Press, 1996. 616 p.
HALL, D. S. et al. Dynamic of component separation in a binary mixture of Bose-Einstein
condensates. Phys. Rev. Lett., New York, v.81, n. 8, p. 1539, August 1998.
HALL, D. S. et al. Measurements of relative phase in two-component Bose-Einstein
condensates. Phys. Rev. Lett., New York, v.81, n. 8, p. 1543, August 1998.
HAWKING, S. W. Comm. Math. Phys., USA, v.55, p. 149, 1977.
ISKIN, M.; SA DE MELO, C. A. R. Two-species fermions mixtures with population
imbalance. Phys. Rev. Lett., New York, v.97, p. 045602, 2011.
JOSEPHSON, B. D. Possible new effects in superconductive tunneling. Phys. Lett., [S.l.],
v.1, n. 7, p. 251, july 1962.
KAPUSTA, J. I. Finite temperature field theory. 1st. New York: Cambridge University
Press, 1989. 225 p.
LE BELLAC, M. Thermal field theory. UK: Cambridge University Press, 1996. 272 p.
LEGGET, A. J. Bose-Einstein condensation in the alkali gases: some fundamental
concepts. Rev. Mod. Phys., USA, v.73, n. 2, p. 307, April 2001.
70
LEVY, S. et al. The a.c. and d.c. Josephson effects in a Bose-Einstein condensate.
Nature, USA, v.449, p. 579-583, October 2007.
LIN, Y. J.; JIMENEZ-GARCIA, K.; SPIELMAN, I. B. Spin-orbit coupled Bose-Einstein
condensates. Nature, USA, v.471, p. 83, 2011.
MATSUMOTO, H.; UMEZAWA, H. Thermal field dynamics of a quantum algebra.
Phys. Lett. A, New York, v. 103, p. 405-407, July 1984.
MILLA Y. W. Metodos de teorias quantica de campos aplicados ao estudo das transicoes
de fase em filmes e fios supercondutores. 86 p. Tese (Doutorado em fısica) — Centro
Brasileiro de Pesquisas Fısicas, Rio de Janeiro, 2006.
MYATT, C. J. et al. Producting of two overlapping Bose-Einstein condensates by
sympathetic cooling. Phys. Rev. Lett., USA, v.78, n. 4, p. 586, 1997.
MOSHE, M.; ZINN-JUSTIN, J. Quantum field theory in the large N limit. A Review
Phys. Reports, USA, v. 385, p. 69-228, 2003.
PAPP, S. B.; PINTO, J. M.; WIEMAN, C. E. Studying a dual-species BEC with tunable
interaction. Phys. Rev. Lett., New York, v.101, p. 040402, February 2008.
PESKIN, M. E.; SCHRODER, D. V. An introduction to quantum field theory. 2nd ed.
Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 1995. 865 p.
PINTO, M. B.; RAMOS, R. O.; DE SOUZA, F. F. Transition temperature for weakly
interacting homogeneous Bose gas. Phys. Rev. B, New York, v.64, p. 014515, 2001.
PINTO, M. B.; RAMOS, R. O.; PARREIRA, J. E. Phase transition patterns in
relativistic and nonrelativistic multi-scalar field models. Phys. Rev. Lett. D, New York,
v. 71, n. 15, p. 123519, 2005.
PINTO, M. B.; RAMOS, R. O. Symemetry aspects in nonrelativistic multi-scalar field
models and aplications to a coupled two-species dilute Bose gas. Phys. A, London, v. 39,
n. 21, p. 6687-6693, 2006.
RAGHAVAN, S. Coherent oscillations between two weakly coupled Bose-Einstein
condensates: Josephson effects π oscilations, and macroscopic quantum self- trapping.
Phys. Rev. Lett., New York, v.59, n. 1, p. 620, January 1999.
RIVERS, R. J. Path integral method in quantum field theory. 1st ed. UK: Cambridge
University Press, 1987. 339 p.
RYDER, L. H. Quantum field theory. 2nd ed. UK: Cambridge University Press, 1985.
502 p.
71
RUGGIERO, J. R.; VILLANI, A.; ZIMERMAN, A. H. Some comments on the
applications of analitic regularization to the casimir forces. Physical A, Amesterdam, v.
13, n. 5, p. 761-763, 1980.
SAKURAI, J. J.; TUAN FUN, S. F. Modern quantum mechanics. Revised edition .
Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 635 p.
SALERNO, M. Localized modes of binary mixtures of Bose condensate in nonlinear
optical lattice. Laser Physics, USA, v.4, p. 620, 2005.
SCHWINGER, J. S. Brownian motion of a quantum oscilator. Mathmatical Physics,
USA, v. 2, p. 407, 1961.
SMERZI, A. et al. Quantum coherent atomic tunneling between two trapped
Bose-Einstein condensates. Phys. Rev. Lett., New York, v.79, p. 4950, December 1997.
SOBREIRO, R. F. Aspectos nao perturbativo das teorias de Yang-Mills. 167 p. Tese
(Doutorado em fısica) - Instituto de Fısica Armando Dias Tavares — Universidade do
Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007.
SOLTAN-PANAHI, P. et al. Multi-component quantum gases in spin-depedent hexagonal
lattice. Nature Physics, USA, v.7, p. 434-440, october, 2011.
SOUZA, V. C.; GONZALEZ ARENAS, Z.; BARCI, D. G.; LINHARES, C. A. Bosonic
binary mixtures with Josephson-type interaction. arXiv:0410.0894, 2014.
SRIVASTAVA, J. K.; RAO, S. M. Modelos and methods of high-tc superconductivity.
USA: Nova Science, 2003. 418 p.
STONE, M. Quantum Hall Effect. USA: World Scientific, 1992. 371 p.
SVAITER, N. F. Finite size effect in thermal field theory. Jornal of mathematical, USA,
v.45, p. 4521, 2004.
SVAITER, N. F. Topicos em teoria quantica de campos 1. Sao Paulo: Livraria da fısica,
2009. 267 p.
TSVELIK, A. M. Quantum field theory in condensed matter physics. 1st. New York:
Cambridge University Press, 1995. 348 p.
WILL, S. From atom optics to quantum simulation: interacting bosons and fermions in
three-dimensional optical lattice potentials. New York: Springer, 2013. 257 p.
WILSON, K. G. Confinement of quarks. Phys. Rev. D, New York, v.10, p. 2445, October
1974.
72
YANG, N. C.; MILLS, R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance.
Phys. Rev. , New York, v. 96, n. 1, p. 96, october 1954.
ZAPATA, I.; SOLS, F.;LEGGET, A. J. Josephson effect between trapped Bose-Einstein
condensates. Phys. Rev. A, New York, v. 57, n. 1, p. 28, January 1998.
ZIBOLD, T. et al. Classical bifurcation at the transition from Rabi to Josephson
dynamics. Phys. Rev. Lett., New York, v. 105, p. 204101, November 2010.
ZINN-JUSTIN, J. Quantum Field theory and critical phenomena. 3rd ed. New York:
Claredon Oxford, 1996. 571 p.
73
APENDICE A – Regularizacao dimensional do potencial efetivo a um laco
Apos a introducao da regularizacao por cut-off estabelecida por Casimir, outros
metodos surgiram como forma alternativa de renormalizar uma teoria de campos. A
princıpio, podemos encontrar os seguintes metodos que encontram-se divididos em duas
partes, a saber: o metodo local e os metodos globais (SVAITER, 2009). Primeiramente,
podemos destacar, o metodo das funcoes de Green (BROWN, 1969); este metodo e essen-
cialmente local. Os metodos globais sao: o metodo da extensao analıtica da funcao zeta
de Riemman (RUGGIERO, 1980) e a regularizacao dimensional (BOLLINI, 1964). Ha,
tambem os metodos introduzidos por Dowker e Critchtey (DOWKER, 1976) e tambem
por Hawking (HAWKING, 1977), que estao relacionados a regularizacao de determinan-
tes, que nao sera abordado.
A regularizacao dimensional 9, que e o metodo que sera abordado nas proximas
linhas, esta baseada nos estudos de Bollini e Giambiagi (BOLLINI, 1964), ’t Hooft, Velt-
man e outros (COLLINS, 1994), onde o parametro regulador e neste caso a dimensao do
espaco-tempo. Este metodo consiste em formular a teoria em um numero arbitrario de
dimensoes, e fazer uma extensao analıtica onde o numero de dimensoes e tratado como
uma variavel complexa. Desta forma, podemos tratar as integrais em laco dos momentos
na expressao do potencial efetivo, tomando o limite d → 4. As divergencias da integral
originam-se em forma de singularidades com polos da forma 1d−4
e tem que ser eliminados
por meio de um procedimento de renormalizacao adequado.
O metodo consiste essencialmente em trocar as integrais 4-dimensionais pela inte-
gral em dimensao d como segue,∫d4k
(2π)4−→ (µ2)2− d
2
∫ddk
(2π)d(234)
onde o fator (µ2)2− d2 e introduzido para equilibrar a dimensao da medida de integracao e
µ e uma escala arbitraria com dimensao de massa. Nosso objetivo, a partir de agora e,
calcular o potencial efetivo usando regularizacao dimensional. Nesse caso, a expressao do
potencial efetivo a um laco podera ser reescrita da seguinte maneira,
V1−laco =
1
2(µ2)2− d
2
∫ddk
(2π)dln[k2 +m2(φc)
](235)
onde, m2(φc) = m2 + λ2φ2c .
9 A regularizacao dimensional e a tecnica mais conveniente para estudar calculos perturbativos (ZINN-JUSTIN, 1996)
74
E conveniente fazer a derivada do potencial efetivo a um laco em relacao a m2(φc),
V ′1−laco =
∂V1−laco
∂m2(φc)=
1
2(µ2)2− d
2
∫ddk
(2π)d1
k2 +m2(φc)(236)
Desta forma, a integral pode ser realizada utilizando a formula∫ddk
(k2)α
(k2 +M2)β= π
d2 (M2)
d2
+α−βΓ(α + d2)Γ(β − α− d
2)
Γ(d2)Γ(β)
(237)
onde Γ(z) sao as funcoes gamma. Com a expressao (237), e possıvel reescrever a equacao
(236) como sendo,
V ′1−laco =
1
2(µ2)2− d
2πd2
(2π)d[m2(φc)
] d2−1
Γ
(1− d
2
)(238)
ou
V ′1−laco =
1
2(µ2)2− d
2πd2
(2π)d[m2(φc)]
d2
d2
Γ
(1− d
2
)=m4(φc)
32π2
[m2(φc)
4πµ2
] d2−2 Γ
(2− d
2
)d2
(1− d
2
) (239)
Integrando esta equacao em relacao a m2(φ), escrevemos o potencial efetivo como,
V1−laco =
m4(φc)
32π2
[m2(φc)
4πµ2
]εΓ(ε)
(2− ε)(ε− 1)(240)
onde definimos d = 4− 2ε. A funcao Γ(ε) tem um polo em ε = 0, esta e a divergencia ul-
travioleta que queremos tratar. Para isto, se considerarmos ε como um numero complexo,
podemos fazer um desenvolvimento em serie de Laurent da funcao Gamma da seguinte
forma,
Γ(z) =1
z− γE +O(z), z → 0 (241)
onde γE ' 0.5772 · · · e a constante de Euler-Mascheroni. Dessa forma a equacao (240) e
escrita como uma expressao contendo polos em ε, tornando-se,
V1−laco =
m4(φc)
64π2
−[
1
ε− γE + ln(4π)
]+ ln
m2(φc)
µ2− 3
2+O(ε)
(242)
Desta forma, a divergencia ultravioleta do potencial efetivo fica isolada no polo na
variavel ε.
A ideia agora e, da mesma forma que na regularizacao por cut-off usada na tese,
definiremos contratermos de modo de absorver as divergencias nos parametros de massa
75
e da constante de acoplamento. Usando os contratermos,
δm2 =λm2
32π2
[1
ε− γE + ln(4π)
](243)
δλ =3λ2
32π2
[1
ε− γE + ln(4π)
](244)
A expressao final para o potencial a um laco, escrita em termos dos parametros
renormalizados,
V1−laco =
1
64π2m4(φc)
[lnm2(φc)
µ2− 3
2
](245)
Finalmente, podemos escrever a expressao do potencial efetivo a um laco renorma-
lizado atraves da regularizacao dimensional como sendo,
V1−lacoeff =
m2
2φ2c +
λ
4!φ4c +
1
64π2
(m2 +
λ
2φ2c
)2[
lnm2 + λ
2φ2c
µ2− 3
2
](246)
E interessante notar que o procedimento para determinar os contratermos nao e
unico. Nos calculos anteriores usamos o metodo chamado de ”substracao mınima mo-
dificada”. A razao disto e que ao subtrair constantes infinitas, sempre pode se somar
uma quantidade finita arbitraria. Na literatura existem varios metodos para realizar esta
subtracao. A diferenca entre eles e a definicao da escala de energias µ. Um estudo mais
aprofundado sobre a determinacao desta escala, pasa pelo estudo do grupo de renorma-
lizacao (ZINN-JUSTIN, 1996).
