TOPOGRAFIA

CÁLCULO DE ÁREAS

Fundamental para planejamentos de engenharia, agricultura, loteamentos, limites de preservação ambiental, levantamentos cadastrais para compra e venda, partilha, escrituras, etc.

AVALIAÇÃO DE ÁREAS

As áreas topográficassão projeções horizontais das obras projetadas e executadas pela engenharia.

� Analíticos;

� Computacionais;

Processos de Cálculo

AVALIAÇÃO DE ÁREAS

� Computacionais;

� Gráficos;

� Mecânicos;

� Mistos.

PROCESSOS ANALÍTICOS

Foram os primeiros métodosdesenvolvidos para o cálculo de área depoligonais. São baseados em fórmulasmatemáticas, limitantes da figura.

� Fórmula de Gauss

PROCESSOS ANALÍTICOS

� Fórmula de Gauss

� Método de Bezout

� Método de Poncelet

� Método de Simpson

(Áreas delimitadas por poligonais regulares: triângulos, trapézios, etc)

Basea-se na soma e subtração da área detrapézios formados pelos vértices e projeçõessobre os eixos N, E.

FÓRMULA DE GAUSS

sobre os eixos N, E.Essa operação pode ser expressa por

diferentes equações, como a equação a seguir,que utiliza a propriedade distributiva.

×−××= ∑ ∑= =

++

n

i

n

iiiii NEENS

1 1115,0

Exemplo: Base dos trapézios no eixo “E”

1

23

FÓRMULA DE GAUSS

N

E

+ + - - =

1

4

5

S = 0,5 x [ (E2-E1) x (N1+N2) + (E3-E2) x (N3+N2) + (E4-E3) x (N4+N3)

Exemplo: Base dos trapézios no eixo “E”

FÓRMULA DE GAUSS

N1

N1

N2

N2

N3

N3

N4

N4

N5

N5

E1-E5 (<0)

E2 –E1

E3-E2E4-E3

E5-E4 (<0)

+ (E4-E3) x (N4+N3) + (E5-E4) x (N5+N4)+ (E1-E5) x (N1+N5)]

(uma das formas da fórmula de Gauss)

1. Preencher a tabela (matriz), com os valores

das coordenadas adotando um sentido,

horário ou anti-horário.

FÓRMULA DE GAUSS - EXEMPLO

2. Proceder com a multiplicação N x E (X x Y)

da seguinte forma:

FÓRMULA DE GAUSS - EXEMPLO

Não esquecer de repetir o valor das coordenadas do primeiro ponto ao final da

tabela.

3. A área da figura do exemplo (triângulo), será

determinada pela equação de Gauss:

FÓRMULA DE GAUSS - EXEMPLO

( )XY-XY-XY-XY+XY+XY×0,5=S CABCABACCBBAABC

O valor da Área deve ser sempre positivo, se negativo, multiplique por -1.

( ) ( )2

2-1=Sou 2-1×0,5=S

XY-XY-XY-XY+XY+XY

ABCABC

2

CABCAB

1

ACCBBA

∑∑∑∑

∑∑

444 3444 21444 3444 21

(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n qualquer (par ou ímpar) esse método

interpreta a curva com uma série de trapézios dealtura d.

MÉTODO DE BEZOUT

++×= ∑−

=

1

12

n

ii

no yyy

dS

d d d d d d d d

yo y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7yn

onde: ∑yi = y1 + y2 + y3 + ...+ yn – 1 (Internos)

(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n par, interpreta a curva como uma série

de trapézios de altura 2d.

( ) +−+− )(1n yyyy

MÉTODO DE PONCELET

( )

+−++××= −−

=∑

4

)(2 11

1

1

nnon

ii

yyyyydS

onde: ∑yi = y1 + y3 + y5 + ...+ yn - 1 (Ímpares)

(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n par, interpreta a curva como uma série

de trechos de parábola de base 2d, e calcula-se aárea por integração.

MÉTODO DE SIMPSON

onde: ∑yp= y2 + y4 + y6 + ...+ yn – 2 (pares)

∑yi= y1 + y3 + y5 + ...+ yn – 1 (Ímpares)

( )ipn0 y×4+y×2+y+y×

3

d=S ∑∑

MÉTODO DE SIMPSON

PROCESSOS COMPUTACIONAIS

A partir de uma mesa digitalizadora acoplada a um computador que disponha de um editor de desenho

PROCESSOS COMPUTACIONAIS

editor de desenho (AutoCAD ou similar), fornece-se as coordenadas (x,y) de pelo menos dois pontos. O cursor passa a fornecer coordenadas reais.

O programa utiliza a fórmula de Gauss, já que o contorno da figura é na realidade uma poligonal de muitos lados.

LENTE DE AUMENTO

PROCESSOS COMPUTACIONAIS

cursor

MIRA DO CURSOR

256.342, 651.976

PROCESSOS GRÁFICOS

� TRANSFORMAÇÃO GEOMÉTRICA

� FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA

PROCESSOS GRÁFICOS

� FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA

� DIVISÃO DE QUADRÍCULAS

� FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

Consiste em transformar as poligonais regulares emum triângulo de área equivalente.

E

D

C

D

E

D

C

TRANSFORMAÇÃO GEOMÉTRICA

N A B M N MA B

Para recordar:Teorema de Heron para determinar a área de qualquertriângulo.

c)(p-×b)(p-×a)(p-p×=SΔ

onde:

a,b, c os catetos do triângulo2

cb+a+=p

(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste em efetuar a divisão da figura em

faixas de espessura constante (e), medindo-se aslarguras (li) dessas faixas.

FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA

∑⋅=i

ileS

(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste na contagem direta dos quadrados

mutiplicados pela área deles. Pode-se utilizarmilimetrado para facilitar a tarefa.

DIVISÃO EM QUADRÍCULAS

∑=i

iAS

(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste em dividir a área em figuras

geométricas equivalentes: retângulos, triângulos etrapézios, de modo a compensar as áreas que ficaramdentro e fora da figura geométrica.

FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

24

∑=i

iAS

Para relembrar

FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

PROCESSO MECÂNICO

O planímetro é um equipamento que possui dois braços articulados com um pólo numa extremidade, que deve permanecer fixo, e um cursor na outra, devendo percorrer todo o contorno da área, retornando ao ponto inicial.

PLANÍMETRO

Um tambor giratório no mesmo braço do cursor, situado na extremidade oposta, faz girar um ponteiro sobre o círculo de leitura. Pode-se demonstrar que o giro do tambor, e portanto a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo contorno percorrido.

PLANÍMETRO

Esquema de operação

PLANÍMETRO

Esquema de operação

PLANÍMETRO

PLANÍMETRO

S – áreaLf – leitura finalLi – leitura inicialk – constante do aparelho

)L(Lk×=S if -

PLANÍMETRO

Para determinar o valor de k, sugere-se planimetrarn vezes uma área S conhecida.

++×= ∑−

=

1

12

n

ii

no yyy

dS