Topologiaespacometri (1)

Anotacoes sobre Topologia de espacos metricos.

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

[email protected]

‡

1

Sumario

1 Topologia de espacos metricos 3

1.1 Espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Desigualdades provenientes da desigualdade triangular . . . . . . . 11

1.2 Normas e produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Produto cartesiano de espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Bolas e esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Bolas no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1 Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2 M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.3 Abertos e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6.1 (A)c = int(Ac). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.2 A = ∂A ∪ int(A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.3 Ponto de acumulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7 Espacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.8 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.8.1 A reta e um espaco conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.8.2 Produto cartesiano de conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.8.3 Conexidade por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.9 Metodo das aproximacoes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.10 Sequencias em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.1 Sequencia eventualmente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2

SUMARIO 3

1.10.2 Conjunto de numeros arbitrariamente grandes . . . . . . . . . . . . 52

1.10.3 Unicidade de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10.4 Sequencias e pseudo-metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.10.5 Sequencias de Cauchy em espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . 54

1.11 Sequencias e propriedades topologicas de espacos metricos . . . . . . . . . 56

1.11.1 Sequencias e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.11.2 Teorema do ponto fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.12 Espacos metricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.12.1 Criterio de Cauchy para convergencia uniforme . . . . . . . . . . . 63

1.13 Espaco de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.13.1 Espaco de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.13.2 Extensao de funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.13.3 Criterio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.13.4 Completamento de um espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.13.5 Espacos metricos topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . 67

Capıtulo 1

Topologia de espacos metricos

1.1 Espaco metrico

m Definicao 1 (Metrica). Seja M um conjunto, dizemos que uma metrica1 d e uma

funcao de M ×M em [0,∞) que a cada par de elementos x, y ∈ M associa um numero

real denotado por d(x, y) chamado de distancia de x ate y (ou de y ate x), tais que sejam

validas as seguintes propriedades para quaisquer x, y, z ∈M

d1) Positividade d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

d2) Simetria d(x, y) = d(y, x)

d3) Desigualdade Triangular d(x, y) + d(y, z) ≥ d(z, x).

b Propriedade 1. Para quaisquer pontos a, b, c ∈M vale

|d(a, b)− d(b, c)| ≤ d(a, c).

ê Demonstracao. Vale d(a, b) − d(b, c) ≤ d(a, c) e −d(a, b) + d(b, c) ≤ d(a, c), de

onde segue a desigualdade. Perceba que usamos apenas a desigualdade triangular para

provar tal propriedade.

1O matematico Maurice Frechet introduziu o conceito de espaco metrico em seu trabalho:Sur quelques

points du calcul fonctionnel

4

CAPITULO 1. TOPOLOGIA DE ESPACOS METRICOS 5

z Observacao 1. A propriedade d2) simetria nao e necessaria como axioma, ela decorre

de d1) e de d3) pois de |d(a, b)−d(b, c)| ≤ d(a, c), tomando c = a tem-se |d(a, b)−d(b, a)| ≤

0 como nao pode ser menor que zero segue que |d(a, b)− d(b, a)| = 0 e d(a, b) = d(b, a).

Alem disso a positividade segue da desigualdade triangular e de que d(x, x) = 0, pois

d(x, y) + d(z, y) ≥ d(x, z)

implica que, tomando z = x

2d(x, y) ≥ 0 ⇒ d(x, y) ≥ 0.

Ou d(a, c) ≥ |d(a, b)− d(b, c)| ≥ 0.

Entao para ser uma metrica e necessario apenas verificar

� d(x, y) = 0 ⇔ x = y

� d(x, y) + d(z, y) ≥ d(x, z)

$ Corolario 1. Em R com a metrica d(a, b) = |a− b|, vale

||a− b| − |b− c|| ≤ |a− c|.

Z Exemplo 1. Se f e injetora entao d(a, b) = |f(a) − f(b)| e uma metrica em R.

Basta provar que vale a positividade, que realmente vale pois d(a, b) = 0 ⇔ f(a) = f(b)

mas como a funcao e injetiva isso implica a = b.

Z Exemplo 2. d(x, y) =√|x− y| e uma metrica em R, pois para ser nula e necessario

que x, y, sendo tambem sempre positiva e valendo a simetria. Vale tambem a desigualdade

triangular pois por desigualdade triangular

|z−y| ≤ |x−y|+ |x−z| ≤ |x−y|+ |x−z|+2√

|x− y|√

|z − x| = (√

|x− y|+√|x− z|)2

tomando a raiz segue que

√|z − y| ≤

√|x− y|+

√|x− z|.


Z Exemplo 3. Seja L12 (R) o conjunto das funcoes reais contınuas tais que∫ ∞

−∞|f(x)|

12dx <∞.

Seja

d(f, g) =

∫ ∞

−∞|f(x)− g(x)|

12dx

entao (L12 (R), d) e um espaco metrico.

Primeiro vamos mostrar que d esta bem definida. Vale que

|f(x)− g(x)| ≤ |f(x)|+ 2|f(x)|12 |g(x)|

12 + |g(x)| = (|f(x)|

12 + |g(x)|

12 )2

tomando raiz segue que

|f(x)− g(x)|12 ≤ |f(x)|

12 + |g(x)|

12

logo por comparacao d(f, g) e finito, alem disso e sempre nao negativo por ser integral de

termos nao negativos. Em geral se a ≤ b+ c entao a12 ≤ b

12 + c

12 com a, b, c nao negativos,

a demonstracao e a mesma que a anterior, usaremos tal propriedade a seguir .

� Se d(f, g) = 0, por continuidade entao a funcao integrada (contınua e nao negativa)

deve ser nula |f(x) − g(x)|12 = 0 o que implica f(x) = g(x)∀x ∈ R logo sao iguais,

e claro que d(f, f) = 0 pois o integrando se anula.

� Vale a simetria pois

d(f, g) =

∫ ∞

−∞|f(x)− g(x)|

12dx =

∫ ∞

−∞|g(x)− f(x)|

12dx = d(g, f).

� Vale a desigualdade triangular pois

|f(x)− g(x)| ≤ |g(x)− h(x)|+ |f(x)− h(x)| ∀x

pelo observacao anterior temos

|f(x)− g(x)|12 ≤ |g(x)− h(x)|

12 + |f(x)− h(x)|

12 ∀x


logo podemos aplicar

∫ ∞

−∞de onde segue

d(f, g) ≤ d(g, h) + d(f, h).

b Propriedade 2. Dada uma metrica d, entao f definida por f(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)tambem e uma metrica.

ê Demonstracao.

� Vale que f(x, y) ≥ 0 pois e razao de termos nao negativos e o denominador nao se

anula.d(x, y)

1 + d(x, y)= 0 ⇔ d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

� A simetria vale pois

f(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)=

d(y, x)

1 + d(y, x)= f(y, x).

� Desigualdade triangular2. Como d e uma metrica, temos que

d(x, y)

1 + d(x, y) + d(y, z)≤ d(x, y)

1 + d(x, y),

pois o denominador na primeira fracao e maior, d(x, y) + d(y, z) + 1 ≥ d(x, y), da

mesma formad(z, y)

1 + d(x, y) + d(z, y)≤ d(z, y)

1 + d(z, y),

agora a funcao de lei f(t) =t

1 + te crescente, pois

t

1 + t=t+ 1− 1

t+ 1= 1− 1

t+ 1,

entao se t cresce o valor1

t+ 1e menor e por isso 1 − 1

t+ 1= f(t) e maior, disso

segue usando a desigualdade triangular que

d(x, z)

1 + d(x, z)≤ d(x, y) + d(y, z)

1 + d(x, y) + d(y, z)=

d(x, y)

1 + d(x, y) + d(y, z)+

d(y, z)

1 + d(x, y) + d(y, z)≤

usando agora em cada parcela desigualdades que obtemos acima, segue que

d(x, y)

1 + d(x, y)+

d(z, y)

1 + d(z, y),

2Agradeco a Ivo Terek, Vinicius Rodrigues e Frank Wan por essa solucao .


por isso temos

≤ d(x, y)

1 + d(x, y)+

d(z, y)

1 + d(z, y),

por isso concluımos que

d(x, z)

1 + d(x, z)≤ d(x, y)

1 + d(x, y)+

d(z, y)

1 + d(z, y).

� Vamos mostrar de outra maneira a desigualdade triangular. Sejam p = d(x, y), q =

d(x, z), r = d(z, y). Como d e metrica temos, p, q, r ≥ 0 e p ≤ q + r implica que

p ≤ q + r + 2qr + pqr︸︷︷︸≥0

,

somando pq + pr + pqr em ambos lados e colocando termos em evidencia segue

p+ pq + pr + pqr︸︷︷︸p(1+q+r+qr)

≤ (q + pq + qr + pqr)︸︷︷︸q(1+p+q+pq)

+(r + pr + qr + pqr)︸︷︷︸r(1+p+q+pq)

,

que implica por fatoracao

p(1 + q)(1 + r) ≤ q(1 + r)(1 + p) + r(1 + p)(1 + q),

dividindo ambos lados por (1 + p)(1 + q)(1 + r) concluımos que

p

1 + p≤ q

1 + q+

r

1 + r

que garante a desigualdade triangular d′(x, y) ≤ d′(x, z) + d′(z, y).

m Definicao 2 (Espaco metrico). Um espaco metrico e um par (M,d), onde M e um

conjunto e d uma metrica. Chamaremos os elementos do espaco metrico de pontos e

simplificaremos a notacao (M,d) para M quando estiver subentendida a metrica usada.

Chamaremos sempre os elementos de um espaco metrico como pontos de M , isto e, se

x ∈M entao x e um ponto de M .

$ Corolario 2. Todo subconjunto X de um espaco metricoM e um espaco metrico com

a mesma metrica.


Um pouco de historia

Maurice Frechet (2 de Setembro de 1878- 4 de Junho de 1973) foi um matematico

Frances. Fez contribuicoes importantes a topologia, introduziu o conceito de espacos

metricos, fez tambem importantes contribuicoes a probabilidade , estatıstica e calculo.

Considere em geralM um espaco metrico arbitrario, caso nao sejam dadas informacoes

adicionais.

Figura 1.1: Maurice Frechet

$ Corolario 3. Sejam (M,d) um espaco metrico e S ⊂ M , considerado a restricao dS

em S × S entao (S, d) e um espaco metrico, pois a positividade, simetria e desigualdade

triangular valem para todos elementos de M logo valem para todos elementos de S pois

para cada x ∈ S tem-se x ∈M , logo as propriedades de S sao herdadas de M.

m Definicao 3 (Metrica induzida-subespaco ). O espaco metrico S na condicao do

exemplo anterior e chamado de subespaco e a metrica ds de metrica induzida.

b Propriedade 3 (Metrica usual da reta.). (R, ||) onde d(x, y) = |x − y| e um espaco

metrico.

ê Demonstracao. O modulo e sempre positivo e sera zero quando x−y = 0, x = y,

logo vale a propriedade d1. Vale que d(x, y) = |x − y| = |y − x| = d(y, x) logo vale a

simetria. E a desigualdade triangular

|x− y|+ |y − z| ≥ |x− z|


vale para modulo, implicando que

d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).

Entao (R, ||) e um espaco metrico.

m Definicao 4 (Pseudo metrica). Uma pseudo metrica e uma funcao de M ×M →

[0,∞) que satisfaz a desigualdade triangular, a simetria , vale sempre d(x, y) ≥ 0, porem

pode valer d(x, y) = 0 com x = y.

Z Exemplo 4. d(x, y) = |x2 − y2| define uma pseudo metrica em R. A distancia

associa sempre valor nao negativo pela presenca do modulo. Porem

d(x, y) = 0 ⇒ |x2 − y2| = |x− y||x+ y|

podendo ser que x = −y, logo nao temos metrica, temos pseudo metrica pois as outras

propriedades sao satisfeitas, simetria

|x2 − y2| = |y2 − x2|

e desigualdade triangular, proveniente da propriedade para modulos

|z2 − y2| ≤ |x2 − y2|+ |x2 − z2|.

b Propriedade 4. Seja d uma pseudo metrica em X. Dados p, q ∈ X, dizemos que

p ∼ q ⇔ d(p, q) = 0. ∼ define uma relacao de equivalencia.

ê Demonstracao.

� Reflexividade. Vale que p ∼ p, pois d(p, p) = 0.

� Simetria. Se p ∼ q entao q ∼ p pois d(p, q) = d(q, p) = 0 por definicao de metrica.

� Transitividade. Suponha p ∼ q e q ∼ s entao p ∼ s, pois por desigualdade triangular

e nao negatividade temos

d(p, q)︸︷︷︸0

+ d(q, s)︸︷︷︸0

≥ d(p, s) ≥ 0

d(p, s) = 0.


m Definicao 5. Dada uma pseudo metrica d em um espaco X, definimos a classe de

de um elemento x ∈ X como

x = {y ∈ x tal qued(y, x) = 0}.

Seja Y = X/ ∼= {x | x ∈ X}, definimos uma metrica em Y como

d(x, y) = d(x, y)

onde x e y sao representantes quaisquer das classes x e y.

b Propriedade 5. A distancia na definicao anterior e uma metrica em Y .

� Positividade. d(x, y) = d(x, y) ≥ 0 sendo nulo apenas quando x esta na mesma

classe de y, logo vale zero apenas quando x = y.

� Vale a simetria pois

d(x, y) = d(x, y) = d(y, x) = d(y, x)

� Vale tambem a desigualdade triangular pois, recaımos na metrica em X.

Falta mostrar apenas que a metrica e bem definida, sejam x, x′, y, y′ representantes de

classes x e y , vamos mostrar que

d(x, y) = d(x′, y′),

isto e , a distancia nao depende dos elementos da classe.

Usamos que

d(x′, y′) ≤ d(x, y) + d(x′, x) + d(y′, y)︸︷︷︸0

de mesma maneira

d(x, y) ≤ d(x′, y′) + d(x′, x) + d(y′, y)︸︷︷︸0

logo d(x′, y′) = d(x, y).

ê Demonstracao.


1.1.1 Desigualdades provenientes da desigualdade triangular

b Propriedade 6. Vale a desigualdade

d(xn, xm) ≤m−1∑k=n

d(xk, xk+1)

ê Demonstracao. Dados os pontos xk, xk+1 e xm, vale por desigualdade triangular

d(xn, xk+1) ≤ d(xn, xk) + d(xk, xk+1)

daı

∆d(xn, xk) ≤ d(xk, xk+1)

aplicandom−1∑

k=n+1

segue

d(xn, xm)− d(xn, xn+1) ≤m−1∑

k=n+1

d(xk, xk+1)


d(xk, xk+1).

b Propriedade 7 (Metrica zero um- Metrica discreta). Seja A um conjunto nao vazio

e x, y elementos arbitrarios de A, entao d : A → R dada por d(x, y) = 0 se x = y e

d(x, y) = 1 se x = y e uma metrica em A.

ê Demonstracao. Vale d1 pois d(x, y) ≥ 0, pois assume valores 0 ou 1 e vale

tambem d(x, y) = 0 se e somente se x = y pela definicao da funcao.

Vale d2 pois se x = y entao d(x, y) = 1 = d(y, x) se x = y entao d(x, y) = 0 = d(y, x)

entao em todo caso vale a propriedade.

Vale d3

d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)

se x = z entao d(x, z) = 0 e a soma do lado esquerdo sera maior ou igual a zero, por ser

soma de numero nao negativos. Se x = z entao d(x, z) = 1, se ainda x = y nao podemos

ter y = z pois implicaria x = z mas por hipotese temos que x = z, entao se x = y implica

y = z e temos igualdade, se x = y entao d(x, y) = 1 e a soma no lado esquerdo e maior

ou igual a 1.


Seja o conjunto Rn = {(xk)n1 , xk ∈ R} dados os pontos x = (xk)n1 , y = (yk)

n1 e

z = (zk)n1 entao

b Propriedade 8 (Metrica do maximo em Rn.).

dM(x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In}

e uma metrica em Rn. Nesta metrica tomamos o maximo do modulo da diferenca das

coordenadas.

ê Demonstracao.

1. dM(x, y) = 0 ⇔ x = y. Os termos estao em modulo logo nao ha numeros negativos

e se houver algum s ∈ In tal que xs = ys entao xs − ys = 0 e |xs − ys| sera positivo,

logo o maximo do conjunto nao sera 0, portanto para que o maximo seja zero e

necessario que xk = yk para todo k ∈ In daı segue que x = y.

2. Simetria, vale que dM(x, y) = dM(y, x).

dM(x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In} = max{| − 1||yk − xk|, k ∈ In} =

= max{|yk − xk|, k ∈ In} = dM(y, x),

logo vale a simetria.

3. Agora a desigualdade triangular,

dM(x, y) + dM(y, z) ≥ dM(x, z), isto e

max{|xk − yk|, k ∈ In}+max{|yk − zk|, k ∈ In} ≥ max{|xk − zk|, k ∈ In}.

Temos para desigualdade triangular para modulo que

|xv − yv|+ |yv − zv| ≥ |xv − zv|,

onde v ∈ In e o ındice tal que |xv − zv| = max{|xk − zk|, k ∈ In}, s ∈ In o ındice

tal que |xs − ys| = max{|xk − yk|, k ∈ In}. Vale |xs − ys| ≥ |xv − yv| pelo primeiro

ser maximo. Seja tambem t ∈ In o ındice tal que |yt − zt| = max{|yk − zt|, k ∈ In},mais uma vez vale |yt − zt| ≥ |yv − zv| pelo primeiro termo ser o maximo, logo

max{|xk−yk|, k ∈ In}+max{|yk−zk|, k ∈ In} = |xs−ys|+|yt−zt| ≥ |xv−yv|+|yv−zv| ≥


|xv − zv|

como |xv − zv| = max{|xk − zk|, k ∈ In} segue

dM(x, y) + d1(y, z) ≥ d1(x, z)

max{|xk − yk|, k ∈ In}+max{|yk − zk|, k ∈ In} ≥ max{|xk − zk|, k ∈ In}.

Alem disso, temos que

dM(x, y) = dM(x− y, 0) = max{|xk − yk − 0|, k ∈ In},

dS(cx, 0) = max{|cxk|, k ∈ In} = |cxs| = |c||xs| = |c|dM(x, 0).

Entao,

dM(x, 0) = max{|xk|, k ∈ In}

e uma norma.

b Propriedade 9 (Metrica da soma em Rn.).

dS(x, y) =n∑

k=1

|xk − yk|

e uma metrica em Rn.

ê Demonstracao. Vale a positividade poisn∑

k=1

|xk − yk| e soma de elementos nao

negativos logo e nao negativo, se houver algum s ∈ In tal que xs = ys entao |xs − ys| = 0

entao a soma sera maior que zero, para que seja zero e necessario que xk = yk para todo

k ∈ In isso implica x = y.

Vale a simetria

dS(x, y) =n∑

k=1

|xk − yk| =n∑

k=1

| − 1||yk − xk| =n∑

k=1

|yk − xk| = dS(y, x).

Agora a desigualdade triangular vale para todo ındice k ∈ In

|xk − yk|+ |yk − zk| ≥ |xk − zk|

aplicando a soman∑

k=1

segue

n∑k=1

|xk − yk|+n∑

k=1

|yk − zk| ≥n∑

k=1

|xk − zk|


logo

dS(x, y) + dS(y, z) ≥ dS(x, z).

Alem disso temos que

dS(x, y) = dS(x− y, 0) =n∑

k=1

|xk − yk − 0|

dS(cx, 0) =n∑

k=1

|cxk| = |c|n∑

k=1

|xk| = |c|dS(x, 0)

entao

dS(x, 0) =n∑

k=1

|xk|

e uma norma .

b Propriedade 10. B(A,R) = {f : A→ R | f limitada em A} com

d(f, g) = sup{|f(x)− g(x)|, x ∈ A}

e metrica em B(A,R).

ê Demonstracao. Tal metrica e proveniente da norma do sup ||f || = supx∈A

|f(x)|.

1. Vale a positividade pois |f(x) − g(x)| ≥ 0 para todo x se existe x1 ∈ A tal que

f(x1) = g(x1) entao |f(x1) − g(x1)| := b > 0 e o supremo nao sera zero pois 0 nao

e cota superior do elemento b, logo para que o supremo seja zero e necessario que

f(x) = g(x), ∀x ∈ A, assim as funcoes sao iguais.

2. A simetria mais uma vez se da pela presenca do modulo

d(f, g) = sup{|f(x)− g(x)|, x ∈ A} = sup{| − 1||g(x)− f(x)|, x ∈ A} =

= sup{|g(x)− f(x)|, x ∈ A} = d(g, f).

3. Provamos para a norma, pois temos

supx∈A

|f(x) + g(x)| ≤ supx∈A

|f(x)|+ supx∈A

|g(x)|

por propriedade de supremo.


b Propriedade 11. Sejam (dk)n1 , metricas em M e (ck)

n1 uma sequencia de termos nao

negativos com pelo menos um termo nao nulo entao

d(x, y) =n∑

k=1

ckdk(x, y)

define uma metrica em M .

ê Demonstracao.

� Como dk(x, y) ≥ 0, ck ≥ 0 entao ckdk(x, y) ≥ 0 somando

d(x, y) =n∑

k=1

ckdk(x, y) ≥ 0.

Substituindo y por x o resultado e nao nulo, pois temos pelo menos um ındice j tal

que cj > 0 e daı cjdj(x, x) > 0 e todos outros termos sao nao negativos.

� Simetria

d(x, y) =n∑

k=1

ckdk(x, y) =n∑

k=1

ckdk(y, x) = d(y, x).

� Desigualdade triangular, para cada k vale

dk(x, y) + dk(y, z) ≥ dk(x, z)

multiplicando por ck e tomando a soma temos

n∑k=1

ckdk(x, y) +n∑

k=1

ckdk(y, z) ≥n∑

k=1

ckdk(x, z)

d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).

Em especial se d e metrica entao td e metrica, t > 0 real.

1.2 Normas e produto interno

m Definicao 6 (Espaco vetorial normado). Um espaco vetorial V (sobre um corpo

K, real ou complexo) e dito ser normado se para cada elemento v de V e associado um

numero real ∥v∥ tal que valem as propriedades


1.

Positividade ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0.

2.

Produto por constante ∥av∥ = |a|∥v∥.

3.

Desigualdade triangular ∥u+ v∥ ≤ ∥u∥+ ∥v∥.

sendo u ∈ V e a um escalar. Nesse caso dizemos que (V, ∥ ∥) e um espaco vetorial

normado. A norma de um vetor pode ser pensada como o comprimento ou magnitude de

um vetor.

b Propriedade 12. Seja V um espaco vetorial complexo ou real. Se temos uma metrica

d em V , que satisfaz

d(x, y) = d(x− y, 0)

d(cx, 0) = |c|d(x, 0)

entao

||x|| = d(x, 0)

define uma norma em V .

ê Demonstracao.

� Vale a positividade, pois ||x|| = d(x, 0) ≥ 0 e se anula apenas se x = 0.

� Produto por constante ||cx|| = d(cx, 0) = |c|d(x, 0) = |c|||x||.

� Desigualdade triangular, primeiro notamos que d(−y, 0) = | − 1|d(y, 0) = d(y, 0),

por desigualdade triangular de metrica temos

d(x, 0) + d(−y, 0) ≥ d(x,−y) = d(x+ y, 0)

d(x, 0) + d(y, 0) ≥ d(x+ y, 0)

logo

||x||+ ||y|| ≥ ||x+ y||.


b Propriedade 13. Todo espaco vetorial normado (V, ∥ ∥) e um espaco metrico com a

metrica d(x, y) = ∥x− y∥ com x, y ∈ V.

ê Demonstracao.

1. Vale a positividade, pois d(x, y) = ∥x− y∥ = 0 ⇔ x− y = 0, x = y e vale tambem

d(x, y) = ∥x− y∥ ≥ 0.

2. Vale a simetria, pois d(x, y) = ∥x− y∥ e d(y, x) = ∥y−x∥ = |− 1|∥x− y∥ = d(x, y).

3. Vale a desigualdade triangular

d(x, y) + d(x, z) = ∥x− y∥+ ∥ − x+ z∥ ≥ ∥z − y∥ = d(z, y).

$ Corolario 4. Com um produto interno podemos definir uma norma e do espaco

vetorial normado podemos definir um espaco metrico.

$ Corolario 5. O produto interno usual do Rn e definido como

< u, u >=n∑

k=1

x2k

e a norma proveniente desse produto interno e

∥u∥ =√< u, u > =

√√√√ n∑k=1

x2k

a metrica fica

d(u, v) = ∥u− v∥ =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2

vale a desigualdade triangular

∥x− y∥+ ∥x− z∥ ≥ ∥z − y∥

logo

d(x, y) + d(x, z) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2 +

√√√√ n∑k=1

(xk − zk)2 ≥

√√√√ n∑k=1

(zk − yk)2 = d(z, y)


m Definicao 7 (Metrica proveniente da norma). A metrica d(x, y) = ∥x−y∥ no espaco

vetorial normado (V, ∥ ∥) e chamada de metrica proveniente da norma.

b Propriedade 14. Se uma metrica d provem de uma norma, entao d(x + t, y + t) =

d(x, y) ∀ t, x, y ∈ V.

ê Demonstracao. Temos que

d(x+ t, y + t) = ||x+ t− y − t|| = ||x− y|| = d(x, y).

A distancia e invariante por deslocamento por um vetor t.

b Propriedade 15. Em V espaco vetorial normado vale que

||x− y|| ≥ | ||y|| − ||x|| |.

ê Demonstracao. Por desigualdade triangular sabemos que

||x− y|| ≥ ||y|| − ||x|| pois ||x− y||+ ||x|| ≥ ||y||

da mesma maneira

||x− y|| ≥ ||x|| − ||y|| pois ||x− y||+ ||y|| ≥ ||x||

portanto

||x− y|| ≥ | ||y|| − ||x|| |.

b Propriedade 16. A funcao norma fN : V → R com fN(v) = ||v||, V espaco vetorial

normado, e contınua.

b Propriedade 17. Seja o conjunto Rn = {(xk)nk=1, xk ∈ R} , dados os pontos x = (xk)n1

e y = (yk)n1 entao

d(x, y) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2

e uma metrica em Rn.


ê Demonstracao. Vale d1 pois

d(x, y) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2︸︷︷︸

≥0

como soma de numeros positivos e um numero positivo e para que a soma da direita seja

zero e necessario que todas parcelas sejam zero pois caso contrario, se existir uma parcela

positiva a soma tambem sera positiva, daı concluımos que (xk = yk)n1 implicando que

x = y. Vale a propriedade de simetria pois

d(x, y) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2 =

√√√√ n∑k=1

(−1)2(yk − xk)2 =

√√√√ n∑k=1

(yk − xk)2 = d(y, x).

A desigualdade triangular provamos pela propriedade da norma e produto interno.

$ Corolario 6. (Rn, d) e um espaco metrico.

m Definicao 8 (Espaco Euclidiano). O conjunto Rn com a metrica

d(x, y) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2

e chamado de espaco Euclidiano.

m Definicao 9 (Normas equivalentes). Duas normas ||; ∥|1 e ||; ∥|2 sao equivalentes em

A se existem constantes c1 e c2 tais que vale

c1||x∥|1 ≤ ||x∥|2 ≤ c2||x∥|1 ∀x ∈ A.

b Propriedade 18 (Desigualdade de metricas em Rn.). Para quaisquer elementos x, y ∈

Rn vale

dM(x, y) ≤ d(x, y) ≤ dS(x, y) ≤ ndM(x, y)

onde

dM(x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In|}

dS(x, y) =n∑

k=1

|xk − yk|

e

d(x, y) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2.


ê Demonstracao. Primeiro vamos mostrar que dM(x, y) ≤ d(x, y). Como o con-

junto {|xk − yk|, k ∈ In|} e finito, existe s ∈ In tal que dM(x, y) = |xs − ys| e na outra

metrica

d(x, y) =

√√√√ s−1∑k=1

(xk − yk)2 + (xs − ys)2 +n∑

k=s+1

(xk − yk)2 ≥√(xs − ys)2 = |xs−ys| = dM(x, y).

Agora a desigualdade dS(x, y) ≤ ndM(x, y), temos que |xk − yk| ≤ |xs − ys| para todo

k ∈ In, tomando a soman∑

k=1

segue

n∑k=1

|xk − yk|︸︷︷︸dS(x,y)

≤n∑

k=1

|xs − ys| = n|xs − ys| = ndM(x, y).

Provamos d(x, y) ≤ ds(x, y), que e equivalente a mostrar√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2 ≤n∑

k=1

|xk − yk|

temos

(n∑

k=1

|xk−yk|)2 =n∑

k=1

|xk−yk|n∑

k=1

|xk−yk| =n∑

k=1

|xk−yk|n∑

l=1

|xl−yl| =n∑

k=1

n∑l=1

|xl−yl||xk−yk|

=∑

(k,l)∈In×In

|xk − yk||xl − yl| =n∑

k=1

(xk − yk)2 +

∑(k,l)∈In×In,k =l

|xk − yk||xl − yl|

logon∑

k=1

(xk − yk)2 < (

n∑k=1

|xk − yk|)2 ⇒

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2 ≤n∑

k=1

|xk − yk|.

b Propriedade 19. Seja ||x||∞ = maxk∈In

|xk|, vale que

limp→∞

||x||p = ||x||∞

onde

||x||p = (n∑

k=1

|xk|p)1p .

ê Demonstracao. Vale que

(||x||p∞)1p ≤ ||x||p ≤ (n||x||p∞)

1p

tomando p→ ∞ por sanduıche segue o resultado.


1.2.1 Produto cartesiano de espacos metricos

b Propriedade 20. Dados n espacos metricos (Mk)n1 com metricas (dk)

n1 respecti-

vamente, entao as funcoes abaixo sao metricas no produto cartesianon∏

k=1, C

Mk, onde

x = (xk)n1 e y = (yk)

n1

Metrica do maximo

d1(x, y) = max{dk(xk, yk) |k ∈ In}

Metrica da soma

d2(x, y) =n∑

k=1

dk(xk, yk)

Metrica Euclidiana

d(x, y) =

√√√√ n∑k=1

[dk(xk, yk)]2.

ê Demonstracao. Cada dk(xk, yk) e um numero real, como ja demonstramos que

tais propriedades valem para numeros reais entao essa propriedade e verdadeira.

1.3 Bolas e esferas

Sejam a um ponto de um espaco metrico M e r um numero real e X um subespaco

de M .

m Definicao 10 (Bola aberta). Definimos bola aberta de centro a e raio r no subespaco

X de M como o conjunto

BX(a, r) := {x ∈ X | d(x, a) < r}.

m Definicao 11 (Bola fechada). Definimos a bola fechada de centro a e raio r no

subespaco X de M como o conjunto

BX [a, r] := {x ∈ X | d(x, a) ≤ r}.

A Bola fechada tambem pode ser denotada por BX(a, r) ou Br[a].


m Definicao 12 (Esfera). Definimos a esfera de centro a e raio r no subespaco X de

M como como o conjunto

SX(a, r) := {x ∈ X | d(x, a) = r}.

Caso X =M , omitimos o ındice M e escrevemos B(a, r), B[a, r], S(a, r).

Z Exemplo 5. Em Rn,as bolas e esferas sao os conjuntos

B(a, r) := {x ∈ Rn | ∥x− a∥ < r}

B[a, r] := {x ∈ Rn | ∥x− a∥ ≤ r}

que e chamada tambem de disco n-dimensional de centro a e raio r

S(a, r) := {x ∈ Rn | ∥x− a∥ = r}.

O disco B[0, 1] := {x ∈ Rn | ∥x − a∥ ≤ r} de centro 0 e raio 1 e chamado o disco

unitario de Rn.

m Definicao 13. Denotamos especialmente

Sn−1 = S(0, 1) = {x ∈ Rn | ∥x∥ = 1}.

b Propriedade 21. Vale que B′M ⊂ Bs ⊂ B ⊂ BM em Rn onde as bolas sao de mesmo

centro a e raio r, excluindo B′M que e de raio

r

ne centro a.

ê Demonstracao. x ∈ B′m entao |x − a|M <

r

n⇒ n|x − a|M < r, usamos as

desigualdades das metricas

|x− a|M ≤ |x− a| ≤ |x− a|S ≤ |x− a|M < r.

b Propriedade 22. Valem as identidades

SX(a, r) = S(a, r) ∩X

BX [a, r] = B[a, r] ∩X

BX(a, r) = B(a, r) ∩X.


b Propriedade 23.

B[a, r] = S(a, r) ∪B(a, r)

com uniao disjunta.

ê Demonstracao. Vamos mostrar que S(a, r) e B(a, r) sao disjuntos. Seja x ∈S(a, r) entao d(x, a) = r e x /∈ B(a, r), pois teria que ser d(x, a) < r. Agora seja x ∈ B[a, r]

entao d(x, a) < r ou d(x, a) = r, se d(x, a) = r entao x ∈ S(a, r) logo pertence a uniao,

caso d(x, a) < r entao x ∈ B(a, r) que pertence a uniao, em todo caso vale x na uniao entao

B[a, r] ⊂ S(a, r)∪B(a, r) . Agora seja x ∈ S(a, r)∪B(a, r) se d(x, a) < r entao x ∈ B[a, r]

se d(x, a) = r tambem, entao S(a, r) ∪B(a, r) ⊂ B[a, r] valeB[a, r] = S(a, r) ∪B(a, r).

$ Corolario 7. B(a, r) ⊂ B[a, r] e S(a, r) ⊂ B[a, r].

$ Corolario 8. a ∈ B(a, r), pois como r > 0 segue que d(a, a) = 0 < r daı pela definicao

de bola aberta a ∈ B(a, r).

$ Corolario 9. a ∈ B[a, r].

m Definicao 14 (Ponto isolado). Um ponto a ∈ M e dito um ponto isolado se existe

r > 0 real tal que B(a, r) = {a}.

b Propriedade 24. Seja E espaco vetorial normado, E = {0}, entao E nao possui

pontos isolados na metrica associada a norma.

ê Demonstracao. Vamos mostrar que para todo r > 0 real, existe um elemento

x = a na bola B(a, r), tomando z =ry

2||y||com y vetor nao nulo, tem-se

|z| = r||y||2||y||

=r

2

tomando x = a+ z temos que x = a pois z nao e nulo e temos x ∈ B(a, r) pois d(x, a) =

||x− a|| = ||z|| = r

2< r.

m Definicao 15 (Espaco discreto). M e dito discreto se todo ponto de M e ponto

isolado.

m Definicao 16 (Conjunto discreto). Um conjunto X e discreto quando o espaco X

com a metrica induzida e um espaco discreto.


m Definicao 17 (Espaco limitado). Seja M um espaco metrico e A ⊂ M , entao A e

dito limitado se existe c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ A.

Z Exemplo 6. X ⊂ Rn e limitado quando esta contido em alguma bola B[a, r].

b Propriedade 25. Toda bola B[a, r] esta contida em uma bola do tipo B[0, n], o

mesmo valendo para bolas abertas.

ê Demonstracao. Tomamos n = r + |a|. Sendo x ∈ B[a, r] vale |x − a| ≤ r ⇒|x| ≤ |x− a|+ |a| ≤ r + |a|, logo x ∈ B[a, r] ⇒ x ∈ B[0, n].

m Definicao 18 (Aplicacao limitada). f : A → Rn e limitada, A ⊂ Rn quando

f(A) ⊂ Rn e limitado.

b Propriedade 26. Toda bola aberta ou fechada e um conjunto convexo em um espaco

normado.

ê Demonstracao. Dados a, b ∈ B[x0, r] temos |a−x0| ≤ r e |b−x0| ≤ r, vale ainda

x0 = tx0 + (1− t)x0, daı

|(1− t)a+ tb− x0| = |(1− t)a+ tb− tx0 − (1− t)x0| = |(1− t)(a− x0) + t(b− x0)| ≤

(1− t)|a− x0|+ t|b− x0| ≤ (1− t)r + tr = r.

logo o conjunto e convexo.

m Definicao 19 (Distancia de um ponto a um conjunto). Seja E um subconjunto nao

vazio de um espaco metrico M . Definimos a distancia de x ∈M ate E, como

infz∈E

d(x, z) = d(x,E).

b Propriedade 27. Vale que d(x,E) = 0 ⇔ x ∈ E.

ê Demonstracao.

⇐) Se x ∈ E, existe uma sequencia (xn) ∈ E com xn → x, logo para n suficientemente

grande vale d(xn, x) < ε por isso d(x,E) = 0, pois se fosse um numero maior que zero,

poderıamos tomar xn com d(xn, x) menor que esse numero, entao o ınfimo nao seria uma

cota inferior.

⇒) Suponha que x /∈ E, entao temos r > 0 tal que Br(x) ∩E = ∅ logo para qualquer

z ∈ E temos d(z, x) ≥ r por isso nao podemos ter d(x,E) = 0.


m Definicao 20 (Diametro de um conjunto limitado). Seja A ⊂ M um conjunto

limitado, definimos seu diametro por

diam(A) = sup{d(x, y) |x, y ∈ A}.

Como A e limitado, o conjunto de numeros reais {d(x, y) |x, y ∈ A} e limitado superior-

mente por isso possui supremo, entao a definicao faz sentido.

m Definicao 21 (Diametro de um conjunto ilimitado). Quando A nao e limitado

escrevemos diam A = ∞.

b Propriedade 28. Seja E um espaco vetorial normado real ou complexo com E = {0},

com a metrica proveniente da norma, entao E nao e limitado.

ê Demonstracao. Suponha que E seja limitado, entao existe uma constante k > 0

tal que d(w, v) ≤ k para todos w e v em E, isto e, ∥w − v∥ ≤ k. Sejam dois elementos

x = y ∈ E com ∥x − y∥ = u, temos que u > 0, podemos tomar λ real, tal que λu > k,

λx, λy sao ainda vetores de E e

∥λx− λy∥ = |λ|∥x− y∥ = λu > k

o que contradiz a suposicao de ser limitado.

b Propriedade 29. Se X e Y sao limitados em M , entao X ∪ Y e limitado em M .

ê Demonstracao. Fixamos x1, y1 ∈ X, Y , por M ser limitado existe M1 > 0 tal

que d(x, x1) < M∀x ∈ X da mesma forma existe M2 > 0 tal que d(y, y1) < M∀y ∈ Y.

Entao dados x ∈ X, y ∈ Y arbitrarios temos que

d(x, y) ≤ d(x, x1) + d(x1, y1)︸︷︷︸C

+d(y1, y) ≤M1 + C +M2.

Logo a uniao e limitada.

b Propriedade 30. Toda bola aberta B(a, r) e um conjunto limitado e seu diametro

nao excede 2r.

ê Demonstracao. Tomando x, y ∈ B(a, r) temos pela desigualdade triangular

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r.


b Propriedade 31. Em Rn vale que diamB(a, r) = 2r.

ê Demonstracao.

Ja sabemos que 2r e uma cota superior para distancia entre dois elementos da bola,

agora vamos provar que e a menor cota superior, suponha uma outra cota s < 2r, podemos

tomarε

2> 0 suficientemente pequeno tal que s < 2(r − ε

2) = 2r − ε < 2r e os pontos

a− r +ε

2e a+ r − ε

2que pertencem a bola, porem a distancia entre os dois pontos e√

(2)2(ε

2− r)2 = 2(r − ε

2) = 2r − ε

que e maior que a cota superior suposta, logo temos um absurdo e 2r e realmente o

supremo e portanto o diametro do conjunto.

Z Exemplo 7. O diametro do retangulo P = [a, b]× [c, d] e

diam(P ) =√

(b− a)2 + (d− c)2 := v

pois podemos tomar uma bola com centro no ponto de encontro das diagonais do retangulo

e de raio com medida igual a metade do comprimento da diagonal, o retangulo esta contido

propriamente na bola que possui diametro v, porem tambem temos pontos no retangulo

cuja distancia e v, que sao, por exemplo, (a, d) e (b, c).

b Propriedade 32. Se A ⊂ B entao diam(A) ≤ diam(B).

ê Demonstracao. A propriedade vale pois temos

{d(x, y) | x, y ∈ A} ⊂ {d(x, y) | x, y ∈ B}

pois A ⊂ B, logo por propriedade de supremo temos

sup{d(x, y) | x, y ∈ A} ⊂ sup{d(x, y) | x, y ∈ B},

isto e, diam(A) ≤ diam(B).

b Propriedade 33. Vale que diam(A) = diam(A) ∀A ∈ Rn.

ê Demonstracao.[1] Seja c = diam(A). Existem x, y ∈ A tais que

||x− y| − c| < ε

2


da mesma forma existem v e w em A tais que

||v − w| − |x− y|| < ε

2

daı por desigualdade triangular temos

||v − w| − c| ≤ ||v − w| − |x− y||+ ||x− y| − c| < ε

2+ε

2= ε

logo vale diam(A) = diam(A) .

ê Demonstracao.[2] Prova no caso de espacos metrico E. Como vale E ⊂ E, segue

que diamE ≤ diamE. Por outro lado, sejam x, y ∈ E entao existem x′, y′ em E, tais que

d(x, x′) ≤ ε

2, d(y, y′) ≤ ε

2

daı

d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′) + d(y′, y) ≤ d(x′, y′) +ε

2+ε

2

d(x, y) ≤ d(x′, y′) + ε ≤ ε+ diam(E)

logo por propriedade de supremo diam(E) ≤ diam(E) + ε como vale para todo ε temos

diam(E) ≤ diam(E) e daı com a outra desigualdade segue que sao iguais.

b Propriedade 34. Se K ⊂ Rn e compacto entao existem x0, y0 ∈ K tais que

diam(K) = |x0 − y0|.

ê Demonstracao.

Seja f : K → K → R com f(x, y) = |x − y|, a funcao e contınua, como K × K

e subconjunto compacto de Rn × Rn = R2n existe um ponto (x0, y0) ∈ K × K tal que

f(x0, y0) = sup{|x− y| ∈ K ×K} = diam(K).

1.4 Bolas no plano complexo

m Definicao 22 (Disco aberto). Definimos o disco aberto de centro z0 e raio r por

∆(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| < r}.

O disco aberto e a bola aberta de centro z0 e raio r.


m Definicao 23 (Disco fechado). Definimos o disco fechado de centro z0 e raio r por

∆(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| ≤ r}.

O disco fechado e a bola fechada de centro z0 e raio r.

m Definicao 24 (Disco aberto deletado). Definimos o disco aberto deletado de centro

z0 e raio r por

∆∗(z0, r) = {z ∈ C | 0 < |z − z0| < r}.

m Definicao 25 (Cırculo). Definimos o Cırculo de centro z0 e raio r por

∆∗(z0, r) = {z ∈ C | |z − z0| = r}.

1.4.1 Isometria

m Definicao 26 (Imersao isometrica). Sejam M,N espacos metricos uma funcao

f :M → N

e uma imersao isometrica sse

dM(x, y) = dN(f(x), f(y))

onde a primeira metrica e em M e a segunda em N , para todos x, y ∈ M . A imersao

isometrica preserva distancias.

$ Corolario 10. Toda imersao isometrica e injetiva, pois se f(x) = f(y) entao d(f(x), f(y)) =

0 e d(f(x), f(y)) = d(x, y) = 0 logo x = y.

m Definicao 27 (Isometria). Isometria e uma imersao isometrica sobrejetiva. Entao

isometria e uma funcao bijetora que preserva distancias.


1.5 Conjuntos abertos

Sejam A um subconjunto de M e a ∈ A.

m Definicao 28 (Ponto interior). O ponto a e dito ser ponto interior de A, quando

existir r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.

Z Exemplo 8. Em C um ponto z ∈ A e interior de A quando existe r > 0 tal que

∆(z, r) ⊂ A.

m Definicao 29 (Interior). Chamamos de interior de A o conjunto dos pontos interiores

de A e denotamos por int(A). int(A) tambem pode ser denotado por A◦.

b Propriedade 35. Se A ⊂ B entao int(A) ⊂ int(B).

ê Demonstracao. Pois x ∈ int(A) entao existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ A ⊂ B entao

x ∈ int(B).

1.5.1 Fronteira

m Definicao 30 (Ponto fronteira). Seja A ⊂ M. a ∈ M e chamado ponto de fronteira

de A se

∀r > 0, a B(a, r) ∩ A = ∅, B(a, r) ∩ CA︸︷︷︸M\A

= ∅.

m Definicao 31 (Fronteira). Fronteira de A e o conjunto de todos os pontos fronteira

de A, denotamos esse conjunto pelo sımbolo ∂A.

m Definicao 32 (Aberto). O conjunto A e dito aberto quando todos seus pontos sao

pontos interiores, intA = A. Vale sempre que intA ⊂ A, entao para mostrar que A e

aberto, basta mostrar que A ⊂ intA.

b Propriedade 36. Dado A ⊂M entao

∂A = ∂(CA).


ê Demonstracao. As definicoes de a ∈ ∂A e a ∈ ∂(CA) sao identicas, pois a

segunda e

∀r > 0, a B(a, r) ∩ CA = ∅, B(a, r) ∩ C(CA)︸︷︷︸=A

= ∅.

1.5.2 M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA)

b Propriedade 37. Sendo A um subconjunto de M , vale

M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA)

onde a uniao e disjunta.

ê Demonstracao. Dado A ⊂ M e a ∈ M , uma das possibilidades ocorre exclusi-

vamente existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A (nesse caso a ∈ intA), ou existe r > 0 tal que

B(a, r) ⊂ CA (nesse caso a ∈ intCA), ou ainda para todo r > 0 vale B(a, r) ∩ A = ∅ e

B(a, r) ∩ CA = ∅ (neste caso a ∈ ∂A).

b Propriedade 38. A ⊂M e aberto sse A ∩ ∂A = ∅.

ê Demonstracao. Se A e aberto entao vale A ∩ ∂A = ∅, pois para todo a ∈ A

existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A logo nao pode ocorrer B(a, r) ∩ CA = ∅. Agora se vale

A ∩ ∂A = ∅, significa que se a ∈ A entao a /∈ ∂A, entao existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.

b Propriedade 39. Em qualquer espaco metrico M , uma bola aberta B(a, r) e um

conjunto aberto.

ê Demonstracao. Dado x ∈ Br(a) vamos mostrar que existe s > 0 tal que

Bs(x) ⊂ Br(a). Para isso e necessario mostrar que se y ∈ Bs(x) implica y ∈ Br(a), isto e,

d(y, x) < s implica d(y, a) < r, mas pela desigualdade triangular tem-se

d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a)

podemos tomar s de tal maneira que

d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < r

daı d(y, x) < r − d(x, a), tomamos entao s = r − d(x, a) > 0.


b Propriedade 40. Se B(a, r) ⊂ A entao B(a, r) ⊂ intA.

ê Demonstracao. Temos que mostrar que todo ponto x ∈ B(a, r) ⊂ A e ponto

interior, mas mostramos na propriedade anterior que dado x ∈ B(a, r) existe s > 0 tal que

B(x, s) ⊂ B(a, r) ⊂ A, logo todo ponto x nessas condicoes e interior e vale B(a, r) ⊂ intA.

b Propriedade 41. Dado A ⊂M . intA e aberto em M .

ê Demonstracao. Dado x ∈ intA, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A logo B(x, r) ⊂intA. Vale entao int(intA) = intA, propriedade de idempotencia .

b Propriedade 42. M e aberto em M .

ê Demonstracao. Para todo x ∈M vale que B(a, r) ⊂M , pois

B(a, r) = {x ∈M | d(x, a) < r}

e por definicao um subconjunto de M .

b Propriedade 43. Se G ⊂ E, G aberto entao G ⊂ Int(E), isto e,

∫(E) e o menor

subconjunto aberto de E.

ê Demonstracao. De G ⊂ E segue que int(G)︸︷︷︸G

⊂ int(E), portanto G ⊂ Int(E) .

b Propriedade 44. O vazio e aberto em M .

ê Demonstracao. Se o vazio nao fosse aberto em M , haveria algum ponto nele que

nao e ponto interior, o que e absurdo pois o vazio nao possui pontos.

b Propriedade 45. M\B[a, r] e aberto em M .

b Propriedade 46. A interseccao de um numero finito de conjuntos abertos e um

conjunto aberto.

ê Demonstracao.

Sejam (Ak)n1 conjuntos abertos, entao

n∪k=1

Ak e aberto. Seja x ∈n∪

k=1

Ak, entao existem

(rk > 0)n1 tais que Brk(a) ⊂ Ak e tomando r < rk ∀k segue que Br(a) ⊂ Brk(a) ∀k logo

Br(a) ⊂n∪

k=1

Ak, entao o conjunto e aberto.


b Propriedade 47. A uniao arbitraria de conjuntos abertos e um conjunto aberto.

ê Demonstracao. Sejam (Ak)k∈B abertos para todo k ∈ B entao∪k∈B

Ak

e aberto. Dado x ∈∪k∈B

Ak entao x ∈ Ak para algum k entao existe rk > 0 tal que

Brk(a) ⊂ Ak, implicando que Brk(a) ⊂∪k∈B

Ak, logo a uniao e aberta.

b Propriedade 48. Um subconjunto A ⊂M e um conjunto aberto ⇔ e uniao de bolas

abertas.

ê Demonstracao. Um subconjunto A ⊂ M aberto e uniao de bolas abertas, pois

dado x ∈ A podemos escrever

A =∪x∈A

{x}

mas cada x ∈ A esta contido numa bola aberta B(x, rx) ⊂ A, por A ser aberto, logo vale

tambem A =∪x∈A

{x} ⊂∪x∈A

B(x, rx) ⊂ A ,logo A =∪x∈A

B(x, rx).

Se A e reuniao de bolas abertas entao A e aberto , pela propriedade anterior.

b Propriedade 49. Dado um conjunto finito A ⊂M entao M\A e aberto.

m Definicao 33 (Vizinhanca). Um conjunto V e uma vizinhanca do ponto a quando

a ∈ intV.

b Propriedade 50. A intersecao de um numero finito de vizinhancas de a e uma

vizinhanca de a.

1.5.3 Abertos e continuidade

b Propriedade 51. Sejam f : M → N contınua e A ⊂ N um aberto entao f−1(A) e

aberto.

ê Demonstracao.

b Propriedade 52. Sejam M,N espacos metricos. f : M → N e contınua ⇔ para

todo aberto A ∈ N , f−1(A) e um subconjunto aberto de M .


b Propriedade 53. O produto cartesianon∏

k=1

Ak de conjuntos abertos AK ∈ Mk e um

subconjunto aberto de M =n∏

k=1

Mk.

m Definicao 34 (Funcao aberta). Uma funcao f :M → N e dita aberta quando para

todo A ⊂M aberto f(A) e aberto.

1.6 Conjuntos fechados

m Definicao 35 (Ponto Aderente). Um ponto a ∈ M e dito aderente ao conjunto

A ⊂M quando

∀ε > 0, ∃ x ∈ A | d(a, x) < ε.

Um ponto a e aderente a um conjunto A se existe em A elementos arbitrariamente

proximos de a.

$ Corolario 11. Todo ponto a ∈ A e aderente ao conjunto A, pois d(a, a) = 0.

m Definicao 36 (Fecho). O fecho de A ⊂M e o conjunto A dos pontos deM aderentes

ao conjunto A.

b Propriedade 54.

a ∈ A ⇔ ∀r > 0, Br(a) ∩ A = ∅.

ê Demonstracao. ⇒). Seja a ∈ A, logo vale que para todo r > 0 existe x ∈ A tal

que d(x, a) < r, daı existe x ∈ A tal que x ∈ Br(a), logo a intersecao e sempre nao vazia.

⇐). Se vale ∀r > 0, Br(a) ∩ A = ∅, entao ∀r > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < r,

daı a ∈ A.

b Propriedade 55. a /∈ A⇔ a ∈ int(Ac).

ê Demonstracao. ⇒). Se a /∈ A vale que existe r > 0 tal que Br(a) ∩ A = ∅, daıtodo x ∈ Br(a) nao pertence a A logo pertence a Ac, daı a ∈ int(Ac).

⇐). Se a ∈ int(Ac) entao existe r > 0 tal que Br(a) ⊂ Ac, logo existe r > 0 tal que

Br(a) ∩ A = ∅ entao a /∈ A.


1.6.1 (A)c = int(Ac).

$ Corolario 12. (A)c = int(Ac). Pois a /∈ A⇔ a ∈ (A)c ⇔ a ∈ int(Ac) .

Concluımos entao que (A)c e um conjunto aberto.

Z Exemplo 9. Nao vale em geral que int(A) = int(A), pois podemos tomar A = Q,

temos int(Q) = ∅ e Q = R , logo int(Q) = R nao valendo entao a igualdade.

Z Exemplo 10. A e int(A) podem ter fechos diferentes, como e o caso de A = {a}.

int(A) = ∅ com fecho vazio e fecho de A e A.

b Propriedade 56. Dado E ⊂M espaco metrico entao vale

M \ int(E) =M \ E.

Ou seja

int(E)c = (Ec).

ê Demonstracao.

x ∈ (Ec) ⇔ ∀ε > 0 | B(x, ε) ∩ Ec = ∅ ⇔

∼ (∃ε > 0 | B(x, ε) ∩ Ec = ∅) ⇔∼ (∃ε > 0 | B(x, ε) ⊂ E) ⇔

∼ (x ∈ int(E)) ⇔ x ∈ int(E)c.

Como querıamos mostrar.

ê Demonstracao.[2]

Vamos provar as duas inclusoes de conjuntos.

M \ int(E) ⊂ M \ E). Seja x ∈ M \ int(E) entao x /∈ int(E), isto e, para qualquer

r > 0 nao vale Br(x) ⊂ E que equivale a dizer

Ar := Br(x) ∩ (M \ E) = ∅ ∀r > 0

supondo que x ∈ Ar entao x /∈ E daı x ∈M \E e por isso x ∈M \ E. Caso x nao pertenca

a nenhum Ar, entao podemos tomar pontos em A 1n, formando uma sequencia de pontos

em M \ E que converge para x e por isso x ∈M \ E o que termina a demonstracao.

M \ E ⊂M \ int(E)).


Sendo x ∈M \ E, temos que existe sequencia em M \E que converge para x, por isso

para qualquer r > 0 temos

Ar := Br(x) ∩ (M \ E) = ∅ ∀r > 0

o que vimos na demonstracao anterior ser equivalente a x ∈M \ int(E)).

b Propriedade 57. ∂A ⊂ A .

ê Demonstracao. Para todo ponto a ∈ ∂A vale

∀r > 0 B(a, r) ∩ A = ∅.

$ Corolario 13. Da identidade M = intA ∪ ∂A ∪ int(CA) e de CA = int(CA), tem-

se que A ⊂ M , mas A nao possui elementos em int(CA), alem disso ∂A ⊂ A, entao

A = intA ∪ ∂A.

b Propriedade 58.

∅ = ∅.

êDemonstracao. Caso contrario ∅ teria algum ponto nao aderente, o que e absurdo.

b Propriedade 59.

M =M.

ê Demonstracao. Pois para cada a ∈M , tem-se d(a, a) = 0 < r.

b Propriedade 60.

A ⊂ A.

ê Demonstracao. Pois d(a, a) = 0 , logo todo a ∈ A satisfaz a ∈ A.

b Propriedade 61.

A ⊂ B ⇒ A ⊂ B.

ê Demonstracao. Seja a ∈ A entao ∀r > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < r, mas

x ∈ A implica x ∈ B logo a ∈ B.


$ Corolario 14. Se vale A ⊂ B e B e fechado entao A ⊂ A ⊂ B pois A ⊂ B = B e daı

segue o resultado. Isso significa que A e o menor conjunto fechado que contem A.

b Propriedade 62. Se Bn =n∪

k=1

Ak entao Bn =n∪

k=1

Ak, se B =∞∪k=1

Ak entao∞∪k=1

Ak ⊂ B

e nem sempre vale a igualdade.

ê Demonstracao. Vale que∞∪k=1

Ak ⊂ B en∪

k=1

Ak ⊂ Bn. Dado um ponto x ∈ Ak

existe uma sequencia de pontos (xn) em Ak com lim xn = x ela tem elementos em Bn (

ou B) daı seu limite pertence a Bn (ou B).

Mostramos agora que Bn ⊂n∪

k=1

Ak, seja x ∈ Bn, entao existe um sequencia (xn) em Bn

com limxn = x, existe algum Ak que deve conter uma infinidade de elementos de (xn) logo

tal Ak possui uma subsequencia de (xn), que converge, pois subsequencia de sequencia

convergente e convergente e portanto x ∈ Ak, como x tomado em Bn e arbitrario segue

a inclusao Bn ⊂n∪

k=1

Ak como ja mostramos que Bn ⊃n∪

k=1

Ak entao temos a igualdade de

conjuntos

Bn =n∪

k=1

Ak.

Se tomamos Ak = {1k} entao

∞∪k=1

Ak =∞∪k=1

Ak

e B possui um elemento que nao esta em tal reuniao, que e o elemento nulo 0, pois1

n→ 0.

m Definicao 37 (Conjunto denso). A ⊂M e denso em M quando A =M.

m Definicao 38 (Conjunto fechado). F ⊂M e fechado em M quando M \ F e aberto

em M .

$ Corolario 15. M e fechado em M , pois M \M = ∅ que e aberto em M .

$ Corolario 16. ∅ e fechado em M , pois M \ ∅ =M e aberto em M .

b Propriedade 63. Dado qualquer conjunto A, A e fechado em M .


ê Demonstracao. Ja mostramos que M \A = int(M \A) como o interior e aberto,

segue que A e fechado.

$ Corolario 17. Se A = A entao A e fechado.

b Propriedade 64. Se A e fechado entao A = A.

ê Demonstracao. Se A e fechado, vale queM \A e aberto, daıM \A = int(M \A)mas vale que M \ A = int(M \ A) daı M \ A =M \ A o que implica A = A.

$ Corolario 18. A e fechado sse A = A.

$ Corolario 19 (Idempotencia). A e fechado, entao A = A.

b Propriedade 65. B[a, r] e fechado.

b Propriedade 66. ∂A e fechado.

ê Demonstracao. Vale a identidade M = intA ∪ ∂A ∪ intCA, logo M \ ∂A =

intA ∪ intCA que e aberto, logo ∂A e fechado.

b Propriedade 67. Um subespaco A de Rn e sempre fechado (topologicamente).

ê Demonstracao. Se A e Rn nada precisamos mostrar, tomaremos entao A = Rn

nao vazio.

Seja A o espaco, tome uma base dele (vk)m1 , complete para uma base de Rn, (vk)

n1 .

Seja y ∈ Ac, vamos mostrar que y e ponto interior de Ac. y se escreve como y =n∑

k=1

ckvk,

tomamos sua projecao x sobre A, x =m∑k=1

ckvk, dado qualquer outro ponto x′ = x de A a

distancia dele ate y e maior que a distancia de x ate y pois tomando x′ =m∑k=1

c′kvk

d(x′, y) =

√√√√ m∑k=1

(c′k − ck)2 +n∑

k=m+1

c2k >

√√√√ n∑k=m+1

c2k = d(x, y)

pois nem todo c′k = ck por tomarmos x = x′ entao se tomamos Bε(y) com ε < d(x, y)

entao Bε(y) ⊂ Ac por isso tal conjunto e aberto o que implica A ser fechado. (ajeitar

solucao)


1.6.2 A = ∂A ∪ int(A).

b Propriedade 68. Vale que

A = ∂A ∪ int(A).

ê Demonstracao. Temos que M = intA∪ ∂A∪ int(M \A) e M \A = int(M \A),daı segue

A = ∂A ∪ int(A).

b Propriedade 69. A ⊂M finito e fechado.

ê Demonstracao. Seja A = {ak | k ∈ In}, sabemos que A ⊂ A, suponha que exista

a ∈ A tal que a /∈ A, entao tem que valer: ∀ε > 0 existe x ∈ A tal que d(x, a) < ε, porem

nao existe x ∈ A tal que d(x, a) < min{d(a, ak) k ∈ In}, entao se a /∈ A tem-se que a /∈ A.

Daı A = A, logo todo conjunto finito e fechado.

b Propriedade 70. Seja Ek, k ∈ I uma famılia de conjuntos, entao vale

(∪k∈I

Ek)c

︸︷︷︸A

=∩k∈I

(Eck)︸︷︷︸

B

.

ê Demonstracao. A ⊂ B).

Seja x ∈ A entao

x /∈∪k∈I

Ek ⇔ ∀k x /∈ Ek ⇔ ∀k x ∈ Eck ⇔ x ∈ B.

B ⊂ A).

Se x ∈ B entao

∀ k, x ∈ Eck ⇔ ∀k x /∈ Ek ⇔ x /∈ A.

b Propriedade 71. A uniao finita de conjuntos fechados e um conjunto fechado.

ê Demonstracao. Sejan∪

k=1

Fk uniao de fechados, entao tomando seu complementar

temosn∩

k=1

(F ck )

que e aberto, portanto a uniao e um fechado.


b Propriedade 72. A interseccao arbitraria de conjuntos fechados e um conjunto fe-

chado.

ê Demonstracao. Seja∩k∈I

Fk intersecao arbitraria de fechados, entao tomando seu

complementar ∪k∈I

(Fk)c

e uma uniao arbitraria de abertos, logo e um aberto, por isso a intersecao e fechada.

Z Exemplo 11. Um conjunto com apenas um ponto e fechado, pois M \ {y} = A e

aberto. Pois se for vazio ja segue o resultado, se nao existe x ∈ A, tomamos r tal que

d(x, y) > r logo a bola Br(x) ⊂ A. Logo a uniao de um numero finito de elementos e

fechada.

Z Exemplo 12. Uniao arbitraria de fechados pode nao ser fechado, como e o caso de

∪x∈(0,1)

{x} = (0, 1)

nao e fechado em R.

b Propriedade 73 (Conjuntos fechados e funcao contınua). f :M → N e contınua ⇔

f−1(F ) e um conjunto fechado para qualquer F ∈ N fechado.

1.6.3 Ponto de acumulacao

m Definicao 39 (Ponto de acumulacao). Dado um conjunto A ⊂M , um ponto a ∈M

e dito ponto de acumulacao de A

∀r > 0, B(a, r) ∩ (A \ {a}) = ∅.

Pontos de acumulacao tambem sao chamados de pontos limite. Pontos que nao sao

de acumulacao sao pontos isolados.

m Definicao 40 (Conjunto perfeito). Um conjunto e dito perfeito se e fechado e sem

pontos isolados.


b Propriedade 74. Seja P ⊂ Rn um conjunto perfeito, entao P e nao enumeravel.

ê Demonstracao. Suponho por absurdo que P seja enumeravel. Seja (xk) uma

enumeracao dos elementos de P . Seja V1 uma bola tal que V1 ∩ P = ∅, construımos uma

sequencia de bolas (Vk) tais que Vk ∩ P = ∅,

1. Vk+1 ⊂ Vk

2. xn /∈ Vn+1

Seja Kn = Vn ∩P , Kn e compacto por ser fechado e limitado, Kn e nao vazio, Kn+1 ⊂Kn pois

Vn+1 ⊂ Vn ⊂ Vn

e∞∩k=1

Kk = K compacto, K = ∅, pois os Kn satisfazem propriedade da intersecao finita,

temos que xn /∈ Kn+1 logo∞∩k=1

Kk

nao possui pontos de P , o que e absurdo, portanto P nao pode ser enumeravel.

b Propriedade 75. Seja x ∈ M um ponto limite de E ⊂ M , entao toda vizinhanca

aberta de x possui infinitos pontos de E.

ê Demonstracao. Suponha que Br(x)\{x} tenha uma quantidade finita de pontos

de E, entao existe um deles z cuja distancia d(x, z) e mınima, definindo s =d(z, x)

2> 0

temos um absurdo pois x e ponto limite e a bola

Bs(x)

deve possui ponto de E diferente de x, absurdo.

$ Corolario 20. Conjuntos finitos nao possuem ponto limite. Pois conjunto que pos-

suem pontos limite sao infinitos.

m Definicao 41 (Conjunto derivado). O conjunto dos pontos limite de E ⊂ M e

chamado de conjunto derivado e denotado por E ′.

b Propriedade 76. E ′ e fechado.


ê Demonstracao. Seja (xn) em E ′ com limxn = x. Vamos mostrar que x ∈ E ′.

Suponha que x /∈ E ′ entao x e ponto isolado de E, existindo r > 0 tal que Br(x)∩E = {x}.Como lim xn = x existe xn ∈ E ′ tal que d(xn, x) <

r

2e como xn ∈ E ′ existe y ∈ E tal que

d(y, xn) <r

2, y = x, por desigualdade triangular temos que

d(y, x) ≤ d(y, xn) + d(xn, x) <r

2+r

2= r

logo temos y = x em Br(x) ∩ E o que e absurdo. Portanto x ∈ E ′, o conjunto e fechado.

b Propriedade 77. F e fechado ⇔ F = F ∪ F ′.

ê Demonstracao. F e fechado ⇔ contem todos os seus pontos aderentes, logo deve

conter tambem seus pontos de acumulacao.

b Propriedade 78. Vale que E e E tem os mesmos pontos limite, isto e ,E ′ = (E)′.

ê Demonstracao. Temos que E ′ ⊂ E′pois E ⊂ E logo todo ponto limite de E

tambem e de E. Mostramos agora a outra inclusao.

Seja x ∈ E′vamos mostrar que x ∈ E ′. Existe (xn) em E \ {x} tal que limxn = x,

como xn ∈ E \ {x} existe yn ∈ E com d(xn, yn) <ε

2e d(xn, y) < d(xn, x) (logo yn = x),

logo para n grande podemos tomar d(xn, x) <ε

2e daı

d(yn, x) ≤ d(xn, yn) + d(xn, x) <ε

2+ε

2= ε

lim yn = x e yn ∈ E \ {x}, portanto x e ponto de E ′.

Z Exemplo 13. Nao e verdade que E e E ′ tem os mesmos pontos limite, isto e,

nao vale sempre que E ′ = (E ′)′. Seja por exemplo E = { 1n, n ∈ N}, temos E ′ = {0} e

(E ′)′ = ∅.

Z Exemplo 14. Construa um conjunto compacto cujo conjunto de pontos limite seja

enumeravel. Podemos tomar trivialmente o conjunto {1}, que e compacto por ser limitado

e fechado, que nao possui ponto limite, logo seu conjunto de pontos limite e o vazio, que e

enumeravel. Para um exemplo nao trivial podemos considerar { 1nn ∈ N}∪{0} o conjunto

e fechado e limitado, logo e compacto (em R essa e uma caracterizacao de compacto), seu

conjunto de pontos limite e {0} que e enumeravel .


Z Exemplo 15. Construa um conjunto de R com exatamente 3 pontos limite. O

conjunto { 1

n+ 2,

1

n+ 2+ 1,

1

n+ 2+ 2, n ∈ N} possui tres pontos de acumulacao que sao

os numeros 1, 2 e 3. Os elementos do conjunto sao pontos isolados.

b Propriedade 79. Se A e aberto em Rn entao A ⊂ A′.

ê Demonstracao. Seja x ∈ A, vamos mostrar que x ∈ A′. Como x ∈ A e A e

aberto, temos Br(x) ⊂ A para algum r > 0 real, Br(x) possui infinitos pontos. Existe

n0 ∈ N tal que para n > n0 temos B 1n(x) ⊂ Br(x). Podemos construir uma sequencia

(yk) de pontos nas bolas B 1n(x) com yk = x ∀k ∈ N , vale que lim yn = x logo x ∈ A′.

Z Exemplo 16. Caso A seja fechado podemos nao ter A ⊂ A′, como e o caso de

A = {x} ⊂ Rn. Pois A′ = ∅ e nao vale {x} ⊂ ∅.

Z Exemplo 17. Abertos e fechados sao relativos ao espaco em que estao contidos.

Por exemplo (1, 2) e aberto em R, porem nao e aberto em R2. (0, 1] e fechado em (0,∞).

[0, 1) e aberto em [0,∞).

b Propriedade 80. Seja X ⊂ M . E ⊂ X e aberto em X ⇔ ∃G ⊂ M aberto tal que

E = X ∩G.

ê Demonstracao.

⇒). Se E ⊂ X for aberto em X, entao faz ∈ E, existe rz tal que

Bxrz(z) ⊂ E.

Definimos G =∪z∈E

Br(z), G e aberto em M , por outro lado

E =∪z∈E

Bxr (z) =

∪z∈E

(Br(z) ∩X) = X ∩∪z∈E

Br(z) = X ∩G.

⇐).

Se E = G ∩ X , se z ∈ E entao z ∈ G por isso existe r > 0 tal que Br(z) ⊂ G, daı

Br(z) ∩X ⊂ G ∩X e Bxr (z) ⊂ E, logo E e aberto.


1.7 Espacos topologicos

m Definicao 42 (Topologia). Uma topologia num conjunto X e uma colecao P de

partes de X chamados de abertos da topologia que satisfazem as seguintes propriedades

� ∅ e X pertencem a P .

� Se (Ak ∈ P )n1 entaon∩

k=1

Ak ∈ P.

� Dada uma famılia arbitraria de conjuntos Ak ∈ P para k ∈ L entao∪k∈L

Ak ∈ P.

m Definicao 43 (Espaco topologico). Um espaco topologico e um par (X,P ) onde

X e um conjunto e P e uma topologia de X. Quando fica subentendida a topologia P ,

podemos escrever apenas X para simbolizar o espaco topologico.

m Definicao 44 (Espaco de Hausdorff). Um espaco topologico X e chamado de espaco

de Hausdorff quando para cada par x e y distintos em X existem abertos Ux e Uy tais que

x ∈ Ux , y ∈ Uy e Ux ∩ Uy = ∅.

m Definicao 45 (Topologia indiscreta). Dado um conjunto X a topologia {∅, X} = P e

chamada de topologia indiscreta. Tambem chamada de topologia caotica ou antidiscreta.

m Definicao 46 (Topologia discreta). Dado um conjunto X a topologia P (X) = P do

conjunto das partes de X e chamada de topologia discreta.

m Definicao 47 (Espaco topologico metrizavel). Um espaco topologico P e metrizavel,

se e possıvel definir uma metrica em P , que gera a mesma topologia.

b Propriedade 81. A topologia indiscreta nao e metrizavel, por exemplo considerando

X = {1, · · · , n}. Deverıamos ter que X \ {1} fosse aberto, porem nao e na topologia.

ê Demonstracao.

Z Exemplo 18 (Topologia discreta). Sendo X qualquer podemos definir P (x) = P ,

chamada de topologia indiscreta, todos subconjunto e aberto. Caso X = {1, · · · , n}, por

exemplo, com a metrica zero-um todo subconjunto e aberto, entao e compatıvel com a

topologia, e a topologia e metrizavel.


1.8 Conjuntos conexos

m Definicao 48 (Conjuntos separados). Dois conjuntos A e B sao ditos separados num

espaco metrico M , se

A ∩B = ∅ = B ∩ A.

$ Corolario 21. Conjuntos separados sao disjuntos, pois B ⊂ B e o mesmo com A

logo A ∩ B = ∅. Porem a recıproca nao vale, por exemplo Q e R \Q sao disjuntos e nao

sao separados assim como [0, 1] e (1, 2). Entao temos uma condicao necessaria porem nao

suficiente.

Z Exemplo 19. (0, 1) e (1, 2) sao separados .

b Propriedade 82. Dois conjuntos fechados disjuntos sao separados.

ê Demonstracao. Vale A ∩B = ∅ e como sao fechados A ∩B = ∅ , A ∩B = ∅.

b Propriedade 83. Dois conjuntos abertos disjuntos sao separados.

ê Demonstracao. Suponha sem perda de generalidade que exista a ∈ A∩B, entao

a ∈ B, porem a /∈ A, pois A e B sao disjuntos. Como B e aberto existe r > 0 tal que

Br(x) ⊂ B. Como a ∈ A existe (xn) em A tal que lim xn = a, daı para n > n0 temos

d(xn, a) < r e isso implica xn ∈ Br(x) ⊂ B, daı xn ∈ A e B o que e absurdo pois sao

disjuntos. Entao A ∩B = ∅ e o mesmo para A ∩B.

b Propriedade 84. Seja f : M → N uma funcao contınua e A,B separados abertos

na imagem de f entao f−1(A) = A0 e f−1(B) = B0 sao separados.

ê Demonstracao. A0 e B0 sao abertos, pois f e contınua e sao disjuntos, pois se

x ∈ A0 ∩ B0 entao f(x) ∈ A ∩ B = ∅ o que e absurdo, entao os conjuntos sao separados,

pois abertos disjuntos

m Definicao 49 (Cisao de um espaco metrico). Uma cisao de M e a decomposicao

M = A ∪B

onde A ∩B = ∅ e A e B sao conjuntos abertos.


b Propriedade 85. A e B sao abertos e fechados em M .

ê Demonstracao. Vale que M \ A = B como B e aberto, segue que A e fechado,

da mesma maneira M \B = A daı B e fechado pois A e aberto.

m Definicao 50 (Cisao trivial). Cisao trivial de M e a cisao M = A∩B onde A ou B

e o conjunto vazio. Logo o outro conjunto deve ser o proprio espaco M .

$ Corolario 22. Todo espaco metrico admite a cisao trivial.

m Definicao 51 (Espacos metricos conexos). Um espaco M e dito conexo quando ele

admite apenas a cisao trivial.

m Definicao 52 (Espacos metricos desconexos). Um espacoM e dito desconexo quando

ele admite pelo menos uma outra cisao alem da trivial.

b Propriedade 86. Se M for um espaco metrico conexo, com pelo menos dois pontos

entao M e nao enumeravel.

ê Demonstracao. Sejam x, y ∈M e r = d(x, y).

Tome 0 < r′ < r. Se nao existir z ∈ M tal que d(z, x) = r entao A = Br′(x) e

B = M \ Br′(x) sao abertos nao-vazios, separados e A ∪ B = M . A e B sao abertos e

fechados entao A ∩ B = A ∩ B = A ∩ B = ∅ e daı temos cisao nao trivial para o espaco.

Por isso existe z tal que d(x, z) = r. podemos repetir o argumento para todo t em (0, r),

disso concluımos que M e nao enumeravel, pois possui um subconjunto em bijecao com

um conjunto nao enumeravel.

$ Corolario 23. Todo conjunto unitario A = {a} e conexo, pois podemos escrever

apenas A = A ∪ ∅.

Z Exemplo 20.

b Propriedade 87. Todo espaco M nao unitario que possui pelo menos um ponto

isolado e desconexo.


ê Demonstracao. Dado um ponto isolado a do espaco M existe r > 0 tal que

B(a, r) = {a}, temos nesse caso que B(a, r) e aberto e fechado, daı vale que M \ B(a, r)

e aberto e nao vazio , temos entao a cisao nao trivial

M = (M \B(a, r)) ∪B(a, r).

b Propriedade 88. Se M e conexo e A ⊂ M tem fronteira vazia entao A = M ou

A = ∅.

ê Demonstracao. Valem as identidades

M = intA ∪ ∂A ∪ int(M \ A)

A = ∂A ∪ int(A)

como ∂A e vazia, segue que M = intA ∪ int(M \ A), como a uniao e disjunta e M e

conexo, temos entao uma particao que devera ser a trivial, daı intA e vazio ou int(M \A)e vazio. Se a primeira ocorre implica que A = int(A) e vazio, logo A e vazio, ou entao

pelo mesmo argumento M \ A e vazio, que implica M = A.

b Propriedade 89. f : M → N e contınua e sobrejetiva, entao, M conexo implica N

conexo.

êDemonstracao. Suponha uma cisao paraN = A∪B, entaoM = f−1(A)∪f−1(B),

como A e B sao abertos f−1(A) e f−1(B) sao abertos, pois f e contınua, logo temos uma

cisao deM , comoM e conexo ele admite apenas a cisao trivial, daı f−1(A) ou f−1(B) sao

vazios, o que implica A ou B vazios, logo N e conexo, por admitir apenas a cisao trivial.

$ Corolario 24. f :M → N e contınua e A conexo em M entao f(A) e conexo em N .

$ Corolario 25. f :M → N homeomorfismo entao M conexo sse N conexo.

$ Corolario 26. (a, b) e conexo pois e homeomorfo a R.

b Propriedade 90. O fecho de um conjunto conexo e um conjunto conexo, isto e, se

A e conexo em M entao A e conexo em M .


ê Demonstracao. Seja A ⊂ M conexo tal que A = M , vamos provar que M e

conexo. Escrevemos M = B ∪ C, daı A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) (as partes sao conjuntos

abertos e disjuntos), como A e conexo, entao (B ∩ A) = ∅ ou (C ∩ A) = ∅, mas como A

e denso em M , segue C = ∅ ou B = ∅, logo M admite apenas a cisao trivial, logo M e

conexo. A e denso em A, sendo A conexo, implica A conexo.

$ Corolario 27. [a, b], [a,∞) e (−∞, a] sao conexos em R.

$ Corolario 28. Se A e conexo e denso em M entao M e conexo.

b Propriedade 91. Sejam A,B tais que A ⊂ B ⊂ A. Se A e conexo entao B tambem

e conexo.

ê Demonstracao. Seja V o fecho de A em B, daı V = A ∩ B = B, isto e , A e

denso em B. V e conexo e portanto B e conexo.

1.8.1 A reta e um espaco conexo

b Propriedade 92. A reta e um espaco conexo.

ê Demonstracao. Suponha uma cisao nao trivial R = A∪B. Sejam a ∈ A e b ∈ B,

tais que a < b , definimos o conjunto F = {x ∈ A |x < b}, tal conjunto e nao vazio, pois

a ∈ A, tambem e limitado superiormente pois b e uma cota superior, entao ele possui um

supremo, que chamaremos de c. Pela definicao de sup temos que para todo ε > 0 existe

x ∈ F (logo x ∈ A) tal que c− ε < x ≤ c, daı c ∈ A = A, pois A e fechado, nao podemos

ter c = b pois os conjuntos sao disjuntos, logo temos c < b, entao c ∈ F , mas como A e

aberto, segue que existe ε > 0, tal que (c − ε, c + ε) ⊂ A e c + ε < b, daı os pontos de

(c, c+ ε) pertencem a F o que contradiz o fato de c ser o supremo.

1.8.2 Produto cartesiano de conexos

b Propriedade 93. O produto cartesiano

M =n∏

k=1

Mk

e conexo ⇔ cada Mk e conexo.


ê Demonstracao.

⇒).

A projecao Pk :M →Mk e continua e sobrejetiva, entaoM conexo implicaMk conexo.

$ Corolario 29. Rn e conexo, pois R e conexo.

1.8.3 Conexidade por caminhos

m Definicao 53 (Caminho em espaco metrico). Um caminho em M , espaco metrico, e

uma funcao contınua f : [0, 1] →M.

m Definicao 54 (Extremos do caminho). Os pontos f(0) = a e f(1) = b em M sao

ditos extremos do caminho. a e chamado de ponto inicial ou origem e b o ponto final ou

fim do caminho f . Dizemos nesse caso que o caminho a liga a e b.

m Definicao 55 (Caminho fechado). f e um caminho fechado quando f(0) = f(1).

m Definicao 56 (Conexidade por caminhos). M e conexo por caminhos quando quais-

quer dois pontos de M podem ser ligados por um caminho contido em M .

b Propriedade 94. Se M e conexo por caminhos entao e conexo.

ê Demonstracao. Suponha que M nao fosse conexo, entao M = A ∪ B. Dados

a ∈ A, b ∈ B existe caminho f : [0, 1] →M tal que f(0) = a, f(1) = b entao

f−1(M) = f−1(A) ∪ f−1(B)

seria uma cisao de [0, 1] o que e absurdo.

b Propriedade 95. Seja A ⊂ E. E conexo, A nao vazio, aberto e fechado em E, entao

A = E.

ê Demonstracao. Temos que Ac e aberto e fechado em E e

A ∪ Ac = E

e uniao disjunta, logo cisao do conjunto, portanto Ac = ∅ pois A nao pode ser vazio, daı

A = E.


b Propriedade 96. Seja (Xk)k∈I famılia arbitraria de conexos em M . Se a ∈ xk ∀k

entao X =∪k∈I

Xk e conexo.

ê Demonstracao. Seja X = A∪B uma cisao, a ∈ A, A∩Xk e B ∩Xk sao abertos

em Xk, logo

Xk = (Xk ∩ A) ∪ (Xk ∩B)

e uma cisao de Xk. Como Xk e conexo e a ∈ A ∩Xk entao Xk ∩B = ∅ ∀k

B = (∪

xk) ∩B =∪

xk ∩B) = ∅

X e conexo.

1.9 Metodo das aproximacoes sucessivas

m Definicao 57 (Ponto fixo). Um ponto fixo de f : M → N , e um ponto x ∈ M tal

que f(x) = x.

m Definicao 58 (Contracao). Uma funcao f :M → N e uma contracao quando existe

c, tal que 0 ≤ c < 1, tal que vale

d(f(y), f(x)) ≤ cd(x, y) ∀x, y ∈M.

$ Corolario 30. Toda contracao e uniformemente contınua.

b Propriedade 97. Se uma contracao f possui ponto fixo, entao ele e unico.

ê Demonstracao. f nao admite dois pontos fixos distintos, pois se a = f(a) ,

b = f(b) e vale

d(f(y), f(x)) ≤ cd(x, y) ∀x, y ∈M

com 0 ≤ c < 1, entao

d(a, b) ≤ d(f(a), f(b)) ≤ cd(a, b)

daı d(a, b) ≤ cd(a, b), d(a, b)(1− c) ≤ 0, como 1− c > 0, concluımos que d(a, b) = 0, logo

a = b.


1.10 Sequencias em espacos metricos

Denotaremos sempre M como espaco metrico.

m Definicao 59 (Sequencia). Dado um conjunto M , uma sequencia em M e uma

funcao de N em M , xn : N →M. Que sera denotada pelos mesmo sımbolos da sequencia

em R.

Uma sequencia em Rn e definida dando-se n sequencias de numeros reais.

m Definicao 60 (Subsequencia). Uma subsequencia, e a restricao de uma sequencia a

um subconjunto infinito de N .

m Definicao 61 (Sequencia Limitada). Uma sequencia (xn) e limitada quando existe

v > 0 tal que

d(xn, xm) ≤ v

para todo n,m ∈ N.

Em Rn uma sequencia e limitada se existe uma bola que contem todos os termos da

sequencia, que e equivalente a dizer que |xk| < c ∀k ∈ N.

m Definicao 62 (Sequencia constante). Dado um espaco conjunto nao vazio M e

a ∈M , podemos definir a sequencia constante de termo xn = a, para todo n natural.

Z Exemplo 21. A sequencia constante e limitada, pois d(xn, xm) = d(a, a) = 0 ≤ v.

b Propriedade 98. Toda subsequencia de uma sequencia limitada e limitada.

m Definicao 63 (Limite de sequencia). Dado a ∈M dizemos que limxn = a quando

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε.

Podemos no caso usar a mesma notacao de limites de sequencias de numeros reais.

Se tal elemento a existe em M , diz-se que a sequencia e convergente, se nao existe a

sequencia e dita divergente.

Z Exemplo 22 (Limite de sequencia nos complexos).


$ Corolario 31. Se lim xn = a entao ∀ε > 0, B(a, ε) contem todos xn , pois

∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ d(xn, a) < ε

daı xn ∈ B(a, ε).

$ Corolario 32. A sequencia constante de termo xn = a e convergente e tem-se limxn =

a, pois d(xn, a) = d(a, a) = 0 < ε.

1.10.1 Sequencia eventualmente constante

m Definicao 64 (Sequencia eventualmente constante). Uma sequencia (xn) e eventu-

almente constante quando existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica xn = xn0 .

b Propriedade 99. Se a e ponto isolado e limxn = a, entao (xn) e eventualmente

constante.

ê Demonstracao. Se a e ponto isolado entao existe ε > 0 tal que d(xn, a) <

ε implica xn = a, tomando tal ε na sequencia, implica que existe n∈N tal que n >

n0 d(xn, a) < ε) logo xn = a.

Z Exemplo 23. Se uma sequencia de numeros inteiros converge entao ela e constante

a partir de certo ponto, pois os inteiros sao pontos isolados em R. Isso implica tambem

que se uma sequencia de inteiros converge, ela converge para um numero inteiro.

$ Corolario 33. Toda sequencia (xn) eventualmente constante e convergente, pois existe

n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn = a daı d(xn, a) = 0 < ε, daı limxn = a.

b Propriedade 100. Num espaco metrico M discreto uma sequencia e convergente sse

e eventualmente constante.

ê Demonstracao. Dada uma sequencia convergente em M , ela deve convergir para

um ponto isolado, logo e eventualmente constante, agora dada uma sequencia eventual-

mente constante ela e convergente.

b Propriedade 101. Se um espaco metrico possui pelo menos dois pontos a e b distintos,

entao existe nele sequencias divergentes.


ê Demonstracao. definimos xn = a se n par e xn = b se n e ımpar, se tal sequencia

fosse convergente em M ela iria convergir para a ou b, se ela convergisse para a, por

exemplo, terıamos que ter que para n grande d(xn, a) < d(a, b) o que implicaria xn = a

para n grande, o que nao ocorre, se fosse para b poderıamos usar o mesmo argumento.

1.10.2 Conjunto de numeros arbitrariamente grandes

m Definicao 65 (Conjunto de numeros arbitrariamente grandes). Um conjunto A ⊂ N

e dito ter numeros arbitrariamente grandes, quando para todo n0 natural, for possıvel

encontrar n ∈ A tal que n > n0.

m Definicao 66 (Conjunto de todos numeros arbitrariamente grandes). Um conjunto

A ⊂ N e dito ter todos numeros arbitrariamente grandes, quando existe n0 natural, tal

que n > n0 implica n ∈ A.

1.10.3 Unicidade de limite

b Propriedade 102 (Unicidade de limite). O limite quando existe e unico.

ê Demonstracao. Sejam lim xn = a e limxn = b, entao existe x ∈ N tal que n > x

implica d(xn, a) <ε

2e existe y ∈ N tal que n > y implica d(xn, b) <

ε

2, somando ambas

e usando desigualdade triangular temos

d(a, b) ≤ d(xn, b) + d(xn, a) < ε

daı d(a, b) = 0, de onde segue a = b.

b Propriedade 103. Se lim xn = a entao toda subsequencia de (xn) converge para a.

$ Corolario 34. Se lim xn = a entao ∀p ∈ N , lim xn+p = a.

$ Corolario 35. Se uma sequencia possui duas subsequencias que convergem para

limites distintos entao a sequencia e divergente.

b Propriedade 104. Seja o conjuntoM =n∏

k=1

Mk, uma sequencia (xn) emM converge

sse as sequencias coordenadas convergem.


b Propriedade 105. Se lim xn = x e lim yn = y entao lim d(xn, yn) = d(x, y).

ê Demonstracao. Valem as desigualdades

d(xn, yn) ≤ d(x, yn) + d(x, xn)

d(x, yn) ≤ d(y, yn) + d(x, y)

usando as duas desigualdades tem-se

d(xn, yn) ≤ d(x, xn) + d(y, yn) + d(x, y)

como xn → x e yn → y existe n0 tal que n > n0 implica d(x, xn) + d(y, yn) ≤ ε, logo

d(xn, yn) ≤ ε+ d(x, y)

d(xn, yn)− d(x, y) ≤ ε

logo a sequencia converge.

b Propriedade 106. Seja f : M → M uma isometria e x0 ∈ M , definindo uma

sequencia como x1 = f(x0), xn+1 = f(xn), entao se a sequencia (xn) converge vale f(x0) =

x0.

ê Demonstracao. Supondo limxn = a. Vale

d(xk+1, xk+2) = d(f(xk), f(xk+1)) = d(xk, xk+1)

∀ k ∈ N , tomando f(k) = d(xk, xk+1), vale entao f(k + 1) = f(k)

∆f(k) = 0 ⇒n−1∑k=0

∆f(k) = f(n)− f(0) = 0 ⇒ f(n) = f(0)

logo

d(xn, xn+1) = d(x0, x1)

∀n ∈ N , pela continuidade da funcao distancia segue

lim d(xn, xn+1) = d(lim xn, limxn+1) = d(a, a) = 0 = d(x0, x1)

daı segue que xn = x0 para todo n ∈ N , em particular x1 = f(x0) = x0.

Vamos provar por inducao que vale xn = x0 para todo n natural. Para n = 0 esta

provado, suponha que vale xn = x0, vamos provar que xn+1 = x0, vale

d(xn, xn+1) = d(x0, x1) = 0

, logo xn = xn+1 = x0.


1.10.4 Sequencias e pseudo-metrica

b Propriedade 107. Seja d uma pseudo-metrica em M . d e uma metrica em M sse

∀(xn)convergente com d possui um unico limite.

ê Demonstracao. Se d e metrica temos a unicidade de limite como ja foi demons-

trado. Temos que provar agora que se ∀(xn) convergente possui limite unico entao d e

metrica. Usaremos a contrapositiva, que e d nao e metrica implica que existe (xn) con-

vergente que nao possui limite unico. Se d e pseudo-metrica nao sendo metrica, existem

a e b ∈ M , a = b tais que d(a, b) = 0 , se nao, ela seria metrica. Definimos a sequencia

(xn) com xn = a com n par e xn = b se n ımpar, vale d(xn, a) = 0 e d(xn, b) = 0, pois

para qualquer valor xn = a ou xn = b as distancias sao nulas. Logo vale lim xn = a e

limxn = b, pois para qualquer ε > 0 e n ∈ N tem-se d(xn, a) = 0 < ε e d(xn, b) = 0 < ε.

1.10.5 Sequencias de Cauchy em espacos metricos

m Definicao 67 (Sequencia de Cauchy). Uma sequencia (xn) num espaco metrico M

e uma sequencia da Cauchy quando

∀ε > 0, ∃n0 > 0 | m,n > n0 ⇒ d(xm, xn) < ε.

b Propriedade 108 (Toda sequencia convergente e de Cauchy). Toda sequencia con-

vergente e de Cauchy.

ê Demonstracao. Como a sequencia (xn) converge, seja a o seu limite, entao

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N |n,m > n0 ⇒ d(xm, a) <ε

2, d(xn, a) <

ε

2

por desigualdade triangular segue que

d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(xn, a) <ε

2+ε

2= ε

logo (xn) e de Cauchy.

Z Exemplo 24. Nem toda sequencia de Cauchy e convergente.

b Propriedade 109. Toda sequencia de Cauchy e limitada.


ê Demonstracao. Seja (xn) uma sequencia de Cauchy, entao dado ε = 1, existe

n0 ∈ N tal que m,n > n0 implica d(xm, xn) < 1, daı o conjunto {xn|n > n0} e limitado

e como o conjunto {xn|n ≤ n0} e limitado, segue que sua uniao, que e o conjunto dos

termos da sequencia e um conjunto limitado.

$ Corolario 36. Se a sequencia nao e limitada, entao nao e de Cauchy.

Z Exemplo 25. Nem toda sequencia limitada e de Cauchy. Por exemplo a sequencia

de termos dados por xn = 0 se n par e xn = 2 se n ımpar na reta, e uma sequencia

limitada, porem vale que d(xn, xn+1) = |xn+1 − xn| = 2. Entao ela nao e uma sequencia

de Cauchy.

b Propriedade 110. Se uma sequencia de Cauchy possui uma subsequencia conver-

gente, entao ela e convergente e converge para o mesmo limite da subsequencia.

ê Demonstracao.

Sejam (xn) uma sequencia de Cauchy em (xnk)k uma subsequencia com lim

kxnk

= a.

Vale lim xn = a pois

∀ε > 0∃p ∈ N | nk > p⇒ d(xnk, a) <

ε

2

por (xn) ser de Cauchy ∃q ∈ N | m,n > q ⇒ d(xm, xn) <ε

2tomando n0 = max p, q vale que ∀n > n0 existe nk > n0 d(xnk

, a) <ε

2e d(xn, xnk

) <ε

2e por desigualdade triangular

d(xn, a) ≤ d(xn, xnk) + d(xn, a) <

ε

2+ε

2= ε

logo limxn = a.

b Propriedade 111. Toda funcao uniformemente contınua, transforma sequencias de

Cauchy em sequencias de Cauchy.

ê Demonstracao. Como a funcao e uniformemente contınua temos que

∀ε > 0,∃δ > 0 | d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε

e pela sequencia ser de Cauchy, tem-se que existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica

d(xn, xm) < δ, daı d(f(xn), f(yn)) < ε, logo ela transforma sequencias de Cauchy em

sequencias de De Cauchy.


b Propriedade 112. Sejam (xn), (yn) sequencias de Cauchy em um espaco metrico

entao zn = d(xn, yn) e de Cauchy, logo convergente.

ê Demonstracao. Dadoε

2> 0 existe n0 tal que m ≥ n ≥ n0 temos d(xm, xn) <

ε

2,

existe n1 ∈ N tal que m ≥ n > n1 temos d(yn, ym) <ε

2, tomando n2 > n0 + n1 temos as

duas desigualdades.

Temos que

|d(xm, ym)− d(xn, yn)| ≤ d(xm, xn) + d(ym, yn) ≤ε

2+ε

2= ε

logo (zn) e de cauchy.

1.11 Sequencias e propriedades topologicas de espacos

metricos

1.11.1 Sequencias e continuidade

b Propriedade 113 (Sequencias e continuidade). f :M → N e contınua em a sse ∀(xn)

com lim xn = a implique lim f(xn) = f(a), isto e, funcoes contınuas comutam limite de

sequencias

lim f(xn) = f(lim xn).

b Propriedade 114 (Sequencias e fecho). Seja A ⊂ M . a ∈ A sse existe (xn) ∈ A tal

que lim xn = a.

b Propriedade 115 (Sequencias e conjuntos densos). A ⊂ M e denso M , sse todo

ponto ∀a ∈M ∃(xn) em A tal que limxn = a.

b Propriedade 116 (Sequencias e pontos de acumulacao). a e ponto de acumulacao

de A sse existe (xn) em A de pontos distintos, tais que lim xn = a.

m Definicao 68. Dizemos que (xn) converge subsequentemente para x se possui sub-

sequencia (xnk) que converge para x.


b Propriedade 117. Seja E o conjunto dos limites subsequenciais entao E e fechado.

ê Demonstracao. Seja y ponto limite de E, escolhemos n1 tal que xn1 = y, se

esse ponto nao existir, E consiste de apenas um ponto e o conjunto e fechado. Seja

delta = d(y, xn1). Suponha que ja escolhemos n1, n2, · · · , nk−1 como y e ponto limite de

E, existe z ∈ E tal que

d(z, y) <δ

2k,

como z ∈ E, existe nk tal que

d(nk, z) <δ

2k,

daı

d(y, xnk) ≤ d(y, z) + d(z, xnk

) =δ

2k−1

mas isso quer dizer que limk→∞

xnk= y ⇒ y ∈ E.

1.11.2 Teorema do ponto fixo de Banach

⋆ Teorema 1 (Teorema do ponto fixo de Banach, sobre pontos fixos de contracoes). Se

M e completo entao toda contracao f :M →M possui um unico ponto fixo a ∈M.

ê Demonstracao. Basta mostrar que existe um ponto fixo, pois a unicidade segue

do fato de ser contracao . Tomamos x0 ∈M e definimos x1 = f(x0), xn+1 = f(xn) ∀n ∈ N.

Suponha que lim xn = a, como f e contınua temos

limxn+1 = a = lim f(xn) = f(a)

daı f(a) = a, logo a e ponto fixo de f .

(xn) e de Cauchy, pois vale

d(xk+1, xk+2) = d(f(xk), f(xk+1)) ≤ c d(xk, xk+1)︸︷︷︸g(k)

daı Qg(k) ≤ c aplicandon−1∏k=0

segue

g(n) ≤ cng(0); d(xn, xn+1) ≤ cnd(x0, x1)

logo ( por uma desigualdade valida para metricas)


d(xk, xk+1) ≤m−1∑k=n

ckd(x0, x1) ≤cn

1− cd(x0, x1)


de lim cn = 0 concluımos que (xn) e de Cauchy, logo convergente.

A passagemm−1∑k=n

ck ≤ cn

1− c

vale poism−1∑k=n

ck = cnm−1−n∑k=0

ck ≤ cn∞∑k=0

ck =cn

1− c.

b Propriedade 118. Sejam M espaco metrico completo e T : M → M. Se existe

m ∈ N tal que Tm e uma contracao, entao T admite um unico ponto fixo.

ê Demonstracao. Como Tm : M → M e contracao e M e completo, entao Tm

possui um unico ponto fixo pelo teorema anterior, digamos a, Tm(a) = a, vale tambem

que Tm(Tm(a)) = Tm(a) = a e Tm(Tm+1(a)) = T (a), logo por propriedade de contracao

temos

d(a, T (a)) = d( Tm(Tm(a)), Tm(Tm+1(a)) ) ≤ c d( (Tm(a), Tm+1(a) ) = c d(a, T (a))

logo vale

d(a, T (a)) ≤ c d(a, T (a)) ⇒ d(a, T (a))︸︷︷︸≥0

(1− c)︸︷︷︸>0

≤ 0

daı d(a, T (a)) = 0, logo a = T (a), assim T possui o mesmo ponto fixo de Tm. Supondo

por absurdo que T possua 2 pontos fixos a = b, entao Tm(a) = a e Tm(b) = b o que

implicaria que Tm possui dois pontos fixos, o que e absurdo pois Tm e contracao .

b Propriedade 119. Seja F : X → X contınua, X completo, tal que Fm e uma

contracao para algum m ∈ N entao existe um unico p ∈ X ponto fixo de F , alem disso

ele e atrator.

ê Demonstracao. Pelo resultado anterior ja sabemos que F possui um unico ponto

fixo, porem iremos dar outra demonstracao.

Como Fm e contracao entao ∃p ∈ X ponto fixo atrator, Dado n ∈ N existem kn e rn

com 0 ≤ rn < m tais que

n = mkn + rn

por divisao euclidiana, como rn e limitada temos que se n→ ∞ entao kn → ∞, temos


limkn→∞

(Fm)k(x) = p ∀x ∈ X

tem-se tambem que F rn(x) ∈ X

limkn→∞

(Fm)kn(F rn(x)) = p

pois todas subsequencias com 0 ≤ rn < m convergem para o mesmo ponto, disso segue

que

limn→∞

F n(x) = p

p e atrator para F , por outro lado

p = limF n(F (x)) = limF (F n(x)) = F (limF n(x)) = F (p)

logo p e ponto fixo.

m Definicao 69 (ε- ponto fixo.). x e ε-ponto fixo de f : X → X se

d(f(x), x) < ε.

b Propriedade 120. Se f : X → X for contınua, X compacto e f tem ε-ponto fixo

∀ε > 0 entao existe x ∈ X tal que

f(x) = x,

isto e, f possui ponto fixo.

ê Demonstracao. Tome εk > 0 para cada εk existe xk com d(xk, f(xk)) < εk. Como

X e compacto, podemos supor que xk → x, pois (xk) possui subsequencia convergente

em X.

Dado ε > 0 temos que para k suficientemente grande vale que ambos os termos

d(x, xk), d(xk, f(xk)), d(f(xk), f(x))

podem ser tomados menores queε

3, o primeiro pois xk → x o segundo pois f possui

ε-ponto fixo e o terceiro por continuidade de f , entao temos por desigualdade triangular

d(x, f(x)) ≤ d(x, xk) + d(xk, f(xk)) + d(f(xk), f(x)) <ε

3+ε

3+ε

3= ε

como ε e arbitrario entao d(x, f(x)) = 0 e daı x = f(x).


b Propriedade 121. Seja S um conjunto e f : S → S tal que ∀ x0 ∈ S a sequencia

f(xn) = xn+1 tem um ponto fixo. Entao existe uma metrica para X tal que

1. X e compacto.

2. f e uma contracao .

b Propriedade 122 (Perturbacao da identidade). Seja f : U ⊂ Rn → Rn uma con-

tracao, entao

ψ(x) = x+ f(x)

e um homeomorfismo de U em um aberto de Rn.

ê Demonstracao. Primeiro observamos que ψ e uniformemente contınua, por ser

soma de funcoes uniformemente contınuas.

Dados a, b ∈ U vale que

||ψ(a)− ψ(b)|| = ||a− b+ f(a)− f(b)|| ≥ ||a− b|| − ||f(a)− f(b)|| ≥ (1− λ)||a− b|| ⇒

||ψ(a)− ψ(b)|| ≥ (1− λ)||a− b||,

||a− b|| ≤ ||ψ(a)− ψ(b)||(1− λ)

.

onde λ e a constante de continuidade uniforme de f . A desigualdade acima implica que

se ψ(a) = ψ(b) entao a = b, portanto ψ e injetora, sendo bijetora sobre sua imagem.

Agora iremos mostrar que a inversa ψ−1 e uniformemente contınua, na desigualdade

||a− b|| ≤ ||ψ(a)− ψ(b)||(1− λ)

, tomamos a = ψ−1(x), b = ψ−1(y), entao

||ψ−1(x)− ψ−1(y)|| ≤ ||x− y||(1− λ)

.

Agora queremos demonstrar que ψ(U) e um aberto de Rn. Seja w ∈ ψ(U), queremos

mostrar que existe Bε(w) ⊂ ψ(U). Definimos Ew(x) = w − f(x). Temos que

Ew(x) = x⇔ x = w − f(x) ⇔ x+ f(x) = w ⇔ ψ(x) = w.

Seja δ > 0 tal que Bδ[z] ⊂ U , entao


||Ew(x)−z|| = ||w−f(x)−z|| ≤ ||w−f(z)−z||+||f(z)−f(x)|| = ||w−ψ(z)||+λ||z−x|| ≤

||w − ψ(z)||︸︷︷︸<(1−λ)δ

+λδ = δ

se x ∈ Bδ[z] e ||w − ψ(z)|| ≤ (1− λ)δ . Entao temos que ||Ew(x)− z|| ≤ δ. Entao temos

Ew : Bδ[z] → Bδ[z], mas

||Ew(x)− Ew(y)|| = ||f(y)− f(x)|| ≤ λ||x− y||

pelo teorema do ponto fixo de Banach (pode ser aplica, pois a bola fechada e completa)

Ew tem um unico ponto fixo, existe um unico x ∈ Bλ[z] tal que Ew(x) = x, portanto

existe um unico x ∈ Bδ[z] tal que ψ(x) = w. Como o argumento vale para qualquer

w ∈ B(1−δ)(ψ(z)) = B entao B ⊂ ψ(U) e ψ(U) e aberto.

1.12 Espacos metricos completos

m Definicao 70 (Espaco metrico completo). Um espaco metricoM e completo quando

toda sequencia de Cauchy em M e convergente.

Z Exemplo 26. O espaco dos numeros racionais com a metrica usual, nao e um

espaco completo, pois dentro dos racionais existe sequencias que convergem para numero

irracionais.

Z Exemplo 27. Nem todo espaco metrico discreto e completo, pois por exemplo o

conjunto A = { 1n|n ∈ N}, temos a sequencia de termo xn =

1

nque e uma sequencia de

Cauchy em A mas seu limite, zero, e um valor nao contido em A.

m Definicao 71 (Metrica uniformemente discreta). Uma metrica d num espaco metrico

M e dita uniformemente discreta quando, existir ε > 0 tal que se x, y ∈ M e d(x, y) < ε

entao x = y.

$ Corolario 37. Se d no espaco metrico (M,d) e uniformemente discreta, entao toda

sequencia de Cauchy em M e convergente, pois d(xm, xn) < ε implica xm = xn logo todos


os termos a partir de certo ındice sao constantes, logo a sequencia e convergente e o espaco

e completo.

$ Corolario 38. Sejam M e N espacos metricos e f um Homeomorfismo uniforme,

entao M e completo sse N e completo. Pois um Homeomorfismo uniforme e uma funcao

bijetora, tal que f e sua inversa sao uniformemente contınuas, entao pela proposicao ja

demonstrada, se por exemplo M e completo a funcao f leva sequencias de Cauchy em M

em sequencias de Cauchy em N .

b Propriedade 123. A reta e um espaco metrico completo.

ê Demonstracao.

b Propriedade 124. Um subespaco fechado F de um espaco metrico completo M e

completo.

ê Demonstracao. Dada uma sequencia de Cauchy (xn) em F , existe limxn = a ∈M , como F e fechado em M , segue que a ∈ F. Logo F e completo.

b Propriedade 125. Um subespaco completo de qualquer espaco metrico e fechado.

ê Demonstracao. Sejam A o subespaco eM o espaco metrico. Dado uma sequencia

(xn) em A , tal que lim xn = a ∈ M entao (xn) e de Cauchy e vale lim xn = b ∈ A, daı

a = b pela unicidade de limite , logo A e fechado.

b Propriedade 126. M ×N e completo ⇔ M e N sao completos.

$ Corolario 39.n∏

k=1

Mk e completo ⇔ cada Mk e completo.

$ Corolario 40. Rn e completo, pois R e completo e vale Rn =n∏

k=1

R.

b Propriedade 127.∞∏k=1

Mk e completo ⇔ cada Mk e completo.

m Definicao 72. Sejam A um conjunto e g : A→M uma funcao. Definimos

Bg(A,M) = {f : A→M | d(f, g) = supx∈A

d(f(x), g(x)) <∞}.

b Propriedade 128. Se M e completo entao Bg(A,M) e completo.


1.12.1 Criterio de Cauchy para convergencia uniforme

b Propriedade 129 (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme). Seja M com-

pleto. fn : A→M converge uniformemente em A ⇔

∀ε > 0,∃n0 ∈ N | m,n > n0 ⇒ d(fm(x), fn(x)) < ε, ∀x ∈ A.

1.13 Espaco de Banach

Sejam E,F espacos vetoriais normados. Usaremos a notacao L(E,F ) para designar o

conjunto das funcoes lineares contınuas de E em F .

b Propriedade 130. L(E,F ) e um espaco vetorial com a norma

∥f∥ = sup{∥f(x)∥ ; x ∈ E, |x| = 1}.

b Propriedade 131. Se F e completo entao L(E,F ) e completo

b Propriedade 132. Se M e completo entao Bg(A,M) e completo.

ê Demonstracao.

m Definicao 73 (Espaco de Banach). Um espaco de Banach e um espaco vetorial

normado completo .

Z Exemplo 28. Rn e um espaco de Banach.

⋆ Teorema 2. Todo espaco vetorial normado de dimensao finita e de Banach.

Z Exemplo 29. O conjunto P [0, 1] das funcoes polinomiais p : [0, 1] → R e um espaco

vetorial. Tomando a norma ∥p∥ = supt∈[0,1]

|p(t)|. Com essa norma o espaco P [0, 1] nao e

completo pois a sequencia de polinomios pn =n∑

k=0

xk

k!converge para a funcao contınua ex

que nao e um polinomio.


1.13.1 Espaco de Hilbert

m Definicao 74 (Espaco de Hilbert). Um espaco vetorial H, munido de um produto

interno e completo em relacao a norma definida por esse produto interno e chamado de

espaco de Hilbert.

1.13.2 Extensao de funcoes contınuas

m Definicao 75 (Extensao de funcao). Dados A,B tal que A ⊂ B, uma funcao F :

B → C e dita uma extensao de f : A → C, quando F (x) = f(x) para todo x ∈ A, nesse

caso escrevemos F |A = f.

m Definicao 76 (Extensao de funcoes contınuas). Dizemos que f contınua se estende

continuamente a M , quando f possui uma extensao F : M → N contınua. Se f e

uniformemente contınua e F uniformemente contınua, entao a extensao e dita extensao

uniformemente contınua.

b Propriedade 133. Seja f : A → N contınua tal que A = M . Se f admite extensao

contınua F :M → N entao para cada a ∈M existe o limite limx→a

f(x).

ê Demonstracao. Para todo a ∈ M faz sentido falar em limx→a

f(x) pois A e denso

em M . Se f admite extensao contınua F : M → N , entao existe o limite limx→a

F (x) =

F (a), dada uma sequencia de pontos (xn) em A com lim xn = a e por continuidade vale

F (xn) = f(xn) , limF (xn) = F (a) = lim f(xn), logo limx→a

f(x) = F (a) (o limite existe)

pelo criterio de sequencias para limite e continuidade.

b Propriedade 134. Nas condicoes da propriedade anterior, se para cada a ∈M existe

o limite limx→a

f(x) entao f admite extensao contınua F :M → N .

ê Demonstracao. Para cada a ∈ M definimos limx→a

f(x) = F (a), nesse caso F e

contınua.

$ Corolario 41. Uma extensao contınua F : M → N de uma aplicacao contınua

f : X → N , X denso em M e unica, pois para todo a ∈M deve valer

limx→a

f(x) = F (a)


porem o limite e unico.

Z Exemplo 30. Nem toda funcao pode ser extendida continuamente. Por exemplo

f : (2, 3) → R dada por f(x) =1

(x− 2)(x− 3)nao pode ser estendida em qualquer

conjunto que contenha [2, 3], pois nao existem os limites quando x→ 2 e x→ 3, se fosse

contınua teria que valer por exemplo limx→2

f(x) = f(2) .

b Propriedade 135. Seja f : E ⊂ R → R contınua, com E fechado. Existe g : R → Rn

contınua tal que g|E = f.

ê Demonstracao. Se E for fechado, Ec e aberto entao

Ec =∪n∈A

In

onde In = (an, bn), sao intervalos disjuntos, por propriedade de abertos da reta e A e um

conjunto enumeravel. Agora definimos a extensao.

g(x) =

f(x) se x ∈ E

f(an) +f(bn)− f(an)

bn − an(x− an) se x ∈ In

com essa definicao g e contınua, sendo extensao de f .

1.13.3 Criterio de Cauchy

b Propriedade 136. Sejam f : A→ N , N completo, a ∈ A, entao limx→a

f(x) existe sse

∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, d(x, a) < δ, d(y, a) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε.

ê Demonstracao. Se limx→a

f(x) = L entao

∀ε > 0,∃δ > 0 | x, y ∈ A, d(x, a) < δ, d(y, a) < δ ⇒ d(f(x), b) <ε

2, d(f(y), b) <

ε

2

tomando a desigualdade triangular segue

d(f(x), f(y)) ≤ d(f(y), b) + d(f(x), b) <ε

2+ε

2= ε

logo nessas condicoes d(f(x), f(y)) < ε.

Para toda sequencia de pontos (xn) em A com limxn = a, com as condicoes dadas a

sequencia (f(xn)) e de Cauchy em N , e como N e completo ela converge o que implica

que existe o limite limx→a

f(x).


b Propriedade 137. Sejam f : A→ N uniformemente contınua, A =M e N completo,

entao f possui uma extensao uniformemente contınua F :M → N.

ê Demonstracao. Como f e uniformemente contınua, vale

∀ε > 0∃δ > 0 | d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε

logo se dado a ∈M fixo arbitrario e vale d(x, a) <δ

2, d(y, a) <

δ

2, segue por desigualdade

triangular que

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(y, a) <δ

2+δ

2= δ

daı d(f(x), f(y)) < ε e pelo criterio de Cauchy existe limx→a

f(x) = F (a), logo ∀a ∈ M ,

F :M → N e contınua.

Vamos provar agora que F :M → N e uniformemente contınua.

Sejam u, v ∈ M tal que d(u, v) < δ, como A e denso em M , existem sequencias (xn)

e (yn) em A tal que limxn = u e lim yn = v. Pela continuidade da funcao distancia vale

que para n grande d(yn, xn) < δ de onde segue que d(f(xn), f(yn)) <ε

2pela continuidade

uniforme da f . Assim para u, v ∈M

d(u, v) < δ ⇒ lim d(f(xn), f(yn))︸︷︷︸≤ ε

2

= d(lim f(xn), lim f(yn)) = d(F (u), f(V )) ≤ ε

2< ε.

Logo F e uniformemente contınua.

$ Corolario 42. Seja f : A → B um homeomorfismo uniforme, com A = M , B = N ,

M e N completos. Entao f admite extensao F : M → N , onde F e um homeomorfismo

uniforme.

b Propriedade 138. Seja f : A → B uma isometria tal que A = M e B = N , ambos

M e N completos. Entao f se extende a uma isometria F :M → N.

ê Demonstracao. Isometrias sao funcoes uniformemente contınuas, logo existe um

unico homeomorfismo uniforme F : M → N que estende f . Dados x ∈ M e y ∈ N ,

como A e B sao densos em M e N respectivamente, entao existem sequencias (xn) em A

e (yn) ∈ B tais que limxn = x, lim yn = y. Daı

lim d(xn, yn) = d(x, y) = lim d(f(xn), f(yn)) = d(f(x), f(y))

logo F e uma isometria.


1.13.4 Completamento de um espaco metrico

m Definicao 77 (Completamento). Um completamento de M e um par (M, f) onde

M e completo e f : M → M e uma imersao isometrica(preserva distancias, mas nao e

necessariamente sobrejetiva) com f(M) = M .

Z Exemplo 31. R e um completamento de Q.

b Propriedade 139. Se M e completo, entao para todo A ⊂ M seu fecho A e um

completamento de A.

Z Exemplo 32. [0, 1] e um completamento de (0, 1).

b Propriedade 140 (Existencia de completamento). Todo espaco metrico possui um

completamento.

b Propriedade 141. O completamento do produto cartesiano M ×N e M × N .

1.13.5 Espacos metricos topologicamente completos

Z Exemplo 33. O conjunto (−1, 1) com a metrica induzida da reta, nao e completo,

mas a funcao definida nele na reta dada por f(x) =x

1− |x|e um homeomorfismo sobre

R que e completo.

b Propriedade 142. Todo subconjunto aberto de um espaco metrico completo e ho-

meomorfo a um espaco metrico completo.

b Propriedade 143. Seja B =∞∩k=1

Ak, onde cada Ak ⊂ M e aberto e M e completo.

B e homeomorfo a um espaco metrico completo.

mDefinicao 78 (Espaco metrico topologicamente completo). Um espaco metrico (M,d)

e dito topologicamente completo quando e homeomorfo a um espaco metrico completo.

m Definicao 79 (Conjunto Gδ). A ⊂ M e um Gδ quando A =∞∩k=1

Ak onde cada Ak e

aberto.


m Definicao 80 (Conjunto Gδ absoluto ). M e um Gδ absoluto quando todo A ⊂ N

isometrico a M e um Gδ em N .

b Propriedade 144. Um espaco metrico e topologicamente completo ⇔ e um Gδ

absoluto.

b Propriedade 145. (fn) nao converge uniformemente em A para f ⇔ dado ε > 0

existem subsequencia (fnk) de (fn) e (xk) em A tais que

d(fnk(xk), f(xk)) ≥ ε0 ∀ k ∈ N.

ê Demonstracao.

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