Tópicos de Mecânica Clássica - IMPA · “mec˙New” 2011/10/11 page 1 Prefácio O presente livro é uma sequência natural do material apresentado no texto [Lo] do mesmo autor

Tópicos de Mecânica Clássica

Publicações Matemáticas

Tópicos de Mecânica Clássica

Artur Lopes UFRGS

impa

Copyright 2012 by Artur Lopes

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

Publicações Matemáticas

• Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima

• Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos

• Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo

• Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira

• Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa

• Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo

• Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo

• The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima

• Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva

• Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau

Saldanha

• The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano

• Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca

• Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet

• Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella

• Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez

• Teoria dos Corpos – Otto Endler

• Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. Dias

Carneiro e Salvador Addas Zanata

• Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito –

Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto

• Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J.

Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho

• Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges

• Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce

• Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima

• O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo

• A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione e

Daniel Victor Tausk

• Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster

• Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa

• Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino

• Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho

• O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani

• Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima

• Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G.

Moreira

• A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan Rousseau

• Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles – Frank Neumann

• O Teorema de Sard e suas Aplicações – Edson Durão Júdice

• Tópicos de Mecânica Clássica – Artur Lopes

IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244-0335-4

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Prefacio

O presente livro e uma sequencia natural do material apresentadono texto [Lo] do mesmo autor.

Os primeiros tres capıtulos do texto introduzem conceitos de Te-oria Ergodica e sua relacao com a Mecanica Classica. Nestes capıtulosapresentamos exemplos de sistemas em que aparece o fenomeno KAM.

Como veremos a fundamentacao matematica da Mecanica Es-tatıstica “a la Gibbs” necessita de fato de resultados de Teoria Ergo-dica como o Teorema de Birkhoff. Referimos [Rue] e [PP] ao leitorpara maiores detalhes sobre este assunto.

Os capıtulos de 5 a 6 abordam o Formalismo Simpletico. Parase analisar sistemas mecanicos de maneira intrınseca em variedadesdiferenciaveis se necessita deste formalismo. Estes resultados podemser generalizados (ver [AM]) para dimensao infinita e permitem aanalise da equcao de Korteg-de Vries, etc...

A equacao de Hamilton-Jacobi e sua relacao com o Princıpio deHuyghens e o tema dos capıtulos 7 a 10. Nesta parte do livro eabordado a relacao entre frentes de onda e raios de luz que foi amotivacao principal para a introducao do ponto de vista hamiltonianona Mecanica Classica.

No capıtulo 11 (em conjunto com M. Sebastiani) apresentamosalgumas propriedades de integrais oscilantes que permitem o me-lhor entendimento da otica oscilatoria (que foi abordado no capıtulo10) e que estao tambem relacionadas com o limite semi-classico daMecanica Quantica.

O apendice capıtulo 12 apresenta algumas definicoes e exemplosde aplicacoes de primeiro retorno induzidas em capıtulos, pontosperiodicos hiperbolicos, elıpticos, etc... conceitos estes que aparecemanteriormente no texto.

Referimos o texto [DL] ao leitor para resultados gerais sobreEquacoes Diferenciais Ordinarias que serao aqui utilizados.

Ressaltamos que o livro [FMP] apresenta uma grande quantidadede material de Mecanica Classica de uma maneira muito elegante ecom muitos detalhes nas demonstracoes.


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Indice

1. A Acao Associada a Bilhares Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. O Teorema Ergodico e a Hipotese de Boltzmannn . . . . . . . . . . . 17

3. A Teoria de Aubry para Quasi-Cristais e Exemplos doTipo KAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Formas Diferenciais em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5. Formalismo Simpletico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6. Linhas de Vortex em Mecanica Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . 140

7. E.D.P: Metodo das Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8. E.D.P: Metodo da Solucao Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9. O Princıpio de Huygens em Mecanica Hamiltoniana . . . . . . . . 176

10. A Equacao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11. O Metodo da Fase Estacionaria - em conjunto comMarcos Sebastiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

12. Apendice: Aplicacao de Primeiro Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Bibliografias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247


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Capıtulo 1

A Acao Associada a

Bilhares Convexos

Vamos considerar a seguir bilhares determinados por uma curva con-vexa e sua relacao com fluxos Hamiltonianos. Este exemplo possibili-tara introduzir de maneira natural alguns conceitos basicos do pontode vista estatıstico (nao determinıstico) de se entender a mecanica.

Na proxima secao apresentaremos ao leitor os rudimentos da Te-oria Ergodica. Nos reportaremos a alguns exemplos tratados na pre-sente secao para ilustrar algumas propriedades que la serao descritas.

Considere o movimento livre de uma partıcula de massa 1 no planosujeito a acao do Hamiltoniano

1

2

(p21 + p2

2

).

Como sabemos a trajetoria da partıcula se dara segundo umalinha reta e pelo Teorema da Conservacao da Energia Total (queneste caso, e tambem a Energia Cinetica) a velocidade ao longo datrajetoria tera modulo

√

p21 + p2

2 = c = constante.Vamos descrever alguns resultados basicos na Teoria dos Bilhares

(ver [CM] e [CRZ]).Suponha a existencia de um recipiente circundando a partıcula de

tal modo que vai impedir que a partıcula va embora para o infinito.

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2 [CAP. 1: A ACAO ASSOCIADA A BILHARES CONVEXOS

Mais precisamente, suponha que exista uma curva infinitamentediferenciavel C de Jordan (sem auto-intercecao), que e parametrizadapor g : [0, c] → C ⊂ R

2 no sentido anti-horario, g diferenciavel eg(0) = g(c). Considere a condicao inicial (q0, p0) ∈ R

4 da partıculade tal modo que q0 esteja contida no interior da regiao D delimitadapela curva C e que a velocidade inicial p0 seja tal que ‖p0‖ = 1 (logopor conservacao de energia este modulo se mantera constante igual a1 para sempre).

Vamos supor que a regiao D e estritamente convexa (sem seg-mentos retos), isto e, que dados dois pontos quaisquer q1, q2 ∈ D, osegmento de reta unindo q1 a q2 esta estritamente contido no interiorda regiao delimitada por D.

A evolucao temporal da partıcula

(q(s), p(s)) = (q1(s), q2(s), p1(s), p2(s))

a partir da condicao inicial (q0, p0) = (q10 , q20 , p

10, p

20) ∈ R

4 sera tal quecada vez que a trajetoria q(s) ∈ R

2, s ∈ R colide com a curva C,ela reflete de tal modo que o angulo de incidencia com a tangente acurva C seja igual ao angulo de reflexao (ver Figura 1.1).

Desta maneira, se a trajetoria for tal que q0 esta inicialmentena parte D interior a curva C, ela jamais saira de D. Vamos su-por tambem que as reflexoes sao elasticas, ou seja, nao ha perda deenergia. Sendo assim, este movimento estara restrito a superfıcietridimensional em R

4 determinada por p21 + p2

2 = 1.Este modelo e uma boa aproximacao para o que acontece com as

partıculas de um gas contido em um recipiente fechado. O problemaem que estamos interessados nesta secao e analisar o que acontececom a evolucao temporal (q(s), p(s)) de “uma”partıcula que no tempoinicial s = 0 esta exatamente em q0 ∈ D (ou em C) e com vetorvelocidade p0. Problemas de acustica tambem podem ser modeladospor bilhares.

Considere g : [0, c] → C (c e o comprimento da curva) uma para-metrizacao da curva C pelo comprimento de arco, isto e ‖g′(t)‖ = 1.Vamos supor sem perda de generalidade que a curva C tenha com-primento igual a 1 (caso contrario faca uma mudanca de variaveis),ou seja que c = 1.

Como entre cada batida o movimento e trivial (e descrito poruma linha reta) podemos simplificar o problema tridimensional (na


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superfıcie p21 + p2

2 = 1) para um problema bidimensional em queq0 ∈ C da seguinte maneira: a posicao inicial (q0, p0) ∈ R

4 tal que(p1

0)2+(p2

0)2 = 1 e q0 = (q10 , q

20) ∈ C, pode ser descrita por (t, ϕ) onde

t ∈ [0, 1] e tal que g(t) = q0, e ϕ ∈(−π

2 ,π2

)e o angulo de p0 com

a normal a C em q0 apontando para dentro de C (ver Figura 1.2).Por convencao assumimos que ϕ = −π/2 corresponde a tangente tda curva (orientada no sentido anti-horario).

O vetor p0 sempre aponta para dentro da curva C, logo seu angulocom a normal (apontando para dentro da curva) varia de −π/2 a π/2como foi dito acima.

Por uma questao de conveniencia em vez de ϕ, vamos usar avariavel θ = sinϕ ∈ (−1, 1).

Segundo a convencao g′(t) corresponde a θ = −1.Para descrever com mais exatidao a analogia que existe entre o

modelo do bilhar e propriedades de sistemas hamiltonianos vamosusar a seguinte notacao, vamos associar t = q e θ = p. Sendo assim,denotaremos indistintamente t = q = g(t) e tambem θ = p.

Dada a condicao inicial (t0, θ0), considere a trajetoria (q(s), p(s))(solucao do fluxo Hamiltoniano comecando em (q0, p0) = (t0, θ0))q(s) ∈ D e apos a primeira colisao e respectivo rebote obteremos(q1, p1), q1 ∈ C. Denotaremos por (t1, θ1) os novos valores obtidosnas coordenadas (t, θ) de tal jeito que g(t1) = q1 e exatamente oponto de C onde a trajetoria q(s) determinada por (q(s), p(s)) vaicolidir com C pela primeira vez (ver Figura 1.2). O angulo θ1 eobtido como o valor do seno do angulo (do vetor refletido) com anormal (ver Figura 1.2).

O fato de assumir que a curva C e estritamente convexa implicaque T (t0, θo) = (t1, θ1) esta bem definida e e continua. Devemosassumir que a curva e parametrizada por uma funcao de Classe C2

para que resulte um difeomorfismo a aplicacao de primeiro retorno.Fica assim, determinado um difeomorfismo

T : [0, 1) × (−1, 1) → [0, 1) × (−1, 1),

onde T (t0, θ0) = (t1, θ1).A diferenciabilidade do difeomorfismo e C1.Vamos denotar por

E = [0, 1) × (−1, 1)


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a regiao bidimensional em que T vai estar definida. E representauma secao transversal (ver secao 12 para consideracoes gerais sobreo assunto) na superfıcie tridimensional p2

1 + p22 = 1.

Reduzimos assim um problema com tempo contınuo em dimensao3 para um problema de dimensao 2 com tempo discreto, ou seja adinamica temporal para o fluxo φt, t ∈ R transforma-se na dinamicatemporal para Tn, n ∈ N, onde T : E → E e um difeomorfismo. Estesegundo problema, em princıpio, e mais simples e vai apresentar asprincipais caracterısticas do primeiro.

Para entender o que acontece com com a evolucao temporal φs(q, p),s ∈ R, da partıcula com posicao inicial (q, p) = (t, θ), q ∈ C, bastasaber o que acontece com as sucessivas batidas determinadas por Tem C, ou seja pela orbita de (q, p) = (t, θ) dada por

(t, θ) , T (t, θ) , T (T (t, θ)) , ..., Tn(t, θ) , ...,

pois entre cada batida a trajetoria e uma linha reta. A linha quebradacorrespondendo aos varios rebotes desta evolucao temporal t ∈ R

pode ser facilmente reconstruıda a partir da informacao da orbita de(t0, θ0).

Note que se a fronteira do bilhar for constituıdo por uniao decurvas diferenciaveis como na Figura 1.4 e 2.1, existirao singulari-dades devido aos vertices e isto cria uma pequena dificuldade (quepode ser eliminada conforme veremos na proxima secao) na definicaode T . Alguns destes bilhares (como o da Figura 2.1) chamados dis-persores ou de Sinai (ver [Mar] para definicao), apresentam caos epodem ser rigorosamente analisados adaptando tecnicas de sistemashiperbolicos da Teoria dos Sistemas Dinamicos e Teoria Ergodica (verRo[1]). Os bilhares analisados aqui sao focalizadores (em oposicao aosdispersores) e tambem podem exibir como veremos em alguns casoscomportamento caotico mas para sua analise rigorosa as tecnicas em-pregadas sao de natureza distinta (e na verdade mais difıcil) do queas utilizadas no caso dispersor.

Bilhares sao os exemplos naturais mais simples em que se observacaos (ver Figura 2.2).

Para o leitor familiarizado com a teoria geometrica das equacoesdiferenciais ordinarias (ver [LL] e [So]) esclarecemos que o procedi-mento acima (tomar a iteracao do difeomorfismo T em vez do fluxo


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Figura 1.1:

φt) e similar a tomar uma secao de Poincare (global) para umaequacao diferencial. Neste sentido, a aplicacao T pode ser enten-dida da seguinte maneira. O movimento do bilhar se da na regiaoinvariante tridimensional p2

1 + p22 = 1. A regiao E (secao transversal

de acordo com a secao 12) vai ser constituıda pelos pontos da forma(q, p) onde q esta na curva C (bordo de D) e p e um vetor de norma1 em q e apontando para dentro da curva C.

Dada uma condicao inicial em E, a aplicacao T vai determinar oprimeiro retorno (seguido de uma simetria do angulo de incidenciacom a normal a curva) da trajetoria (que se desloca na regiao tridi-mensional) a secao transversal E (ver Figura 1.5).

Observacao 1.1. Note que em geral se comecarmos com uma con-dicao inicial (q0, p0), e denotando por (pn, qn) = Tn(q0, p0), se se-guirmos os iterados (qn, pn), tentando prever exatamente onde elevai estar no tempo (digamos) 1000, (isto e, qual o valor exato de(q1000, p1000)) enfrentaremos serias dificuldades. Um pequeno errona aproximacao do valor exato de (q1, p1) se propaga para (q2, p2)e assim por diante, fazendo com que a previsao do valor exato de(q1000, p1000) seja bastante difıcil. O ponto de vista acima descritopode ser entendido como o ponto de vista determinıstico. Para o tipode problema que estamos considerando (bilhares em regioes convexas)sera melhor analisar a questao do ponto de vista da analise estatısticadas trajetorias. Para isto sera necessario mostrar que T preservaarea, o que vai ser feito a seguir.


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Notacao: Como estamos identificando t com q = g(t) (para sim-plificar a notacao), denote

S(q0, q1) = ‖q0 − q1‖ = S(q,Q)

(ou alternativamente

S(t0, t1) = ‖g(t0) − g(t1)‖,

onde g(t0) = q = q0, g(t1) = q1 = Q) o comprimento do segmentoligando q0 a q1. Como D e estritamente convexo, este segmento estainteiramente contido em D.

Proposicao 1.1. Seja (q1, p1) = T (q0, p0). Para q0 fixado, ∂S(q0,q1)∂q1

=−p1.

Demonstracao: Como sabemos d<z(t) , z(t)>dt = 2 < z′(t) , z(t) >,

entao usando a notacao descrita acima onde q0 = g(t0) e q1 = g(t1)

∂S(q0, q1)

∂q1=d√< g(t1) − g(t0) , g(t1) − g(t)) >

dt1=

1

‖g(t1) − g(t0)‖< g′(t1) , g(t1) − g(t0) > .

Como ‖g′

(t1)‖ = 1 por hipotese, usando a expressao

< u, v >= ‖u‖‖v‖ cos (angulo formado por u e v),

obtemos que ∂S(q0,q1)∂q1

e o cosseno do angulo entre (g(t1) − g(t)) e

g′(t1), ou seja e igual ao cosseno do angulo de incidencia da partıculaem g(t1) com a tangente g′(t1) neste ponto. Como p1 = θ1 = sinφ1

e o seno do angulo com a normal apos o rebote, concluımos quedS(q0,q1)

dq1= −p1.

A troca de sinal e devido ao angulo refletido.

Analogamente pode se mostrar que para q1 fixado ∂S(q0,q1)∂q0

= p0.Sendo assim S define uma transformacao que preserva area. Seguirado que foi descrito acima que:


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Figura 1.2:

Proposicao 1.2. Fixe dois pontos q1 e q3 em C e considere A(q) =A(t) a funcao de t = q ∈ [0, 1) (estamos usando a notacao, de iden-tificar g(t) = q ∈ C) tomando valores reais, tal que para todo valorq ∈ C,

A(q) = S(q1, q) + S(q, q3) = ‖q1 − q‖ + ‖q − q3‖.

Entao, e equivalente dizer que A(q) = S(q1, q) + S(q, q3) tem umponto crıtico em q2 e dizer que a trajetoria do bilhar em D, sai deq1, colide a seguir com C em q2 ∈ C e finalmente bate em q3 ∈ C.

Demonstracao: Pela ultima proposicao, ∂S(q1,q2)∂q2

= −p2. De

maneira analoga se pode mostrar que ∂S(q2,q3)∂q2

= p2.Sendo assim, a partir do que vimos na ultima proposicao, a condi-

cao da igualdade do angulo de incidencia e o angulo de reflexao entreos segmentos q1, q2 e q2, q3 no ponto q2 e equivalente a dizer que q2satisfaz

∂S(q1, q)

∂q+∂S(q, q3)

∂q= 0.

Esta ultima condicao, por sua vez, e equivalente a A(q) ter q2como ponto crıtico.

A conclusao e que (q1, p1) = T (q0, p0) satisfaz as equacoes

∂S(q0, q1)

∂q= p0

e∂S(q0, q1)

∂q1= −p1.


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Figura 1.3:

Um calculo facil permite obter que

∂2S(q0, q1)

∂q0∂q1=

p0 p1

S(q0, q1)> 0

ou seja,∂2S(t0, t1)

∂t0∂t1=Senθ0Senθ1S(t0, t1)

> 0

Mais tarde retornaremos a analisar esta expressao. Note que po-demos tomar tambem S(q,Q) = −‖q − Q‖ sem que alteremos emnada o que foi descrito acima, apenas fazendo com que

∂2S(q0, q1)

∂q0∂q1< 0.

Mais tarde analisaremos transformacoes T obtidas a partir de Se que satisfazem a ultima expressao acima.

Como vimos no Capıtulo 3 [L], se T (q0, p0) = (q1, p1) e obtidoatraves de uma aplicacao geradora de mudanca de coordenadas

S(q0, q1) tal que ∂2S(q0,q1)∂q0∂q1

6= 0 como acima, entao T preserva area.Note que foi necessario usar as coordenadas θ = sinϕ e nao ϕ paraobter que T : E → E preserva area.

Logo, para tal T vale que para qualquer aberto A, os conjuntosA e T (A) tem a mesma area.


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Figura 1.4:

Definicao 1.1. A aplicacao ‖q1 − q‖ = S(q, q1) : [0, 1]× (−1, 1) → R

e denominada Acao associada ao bilhar definido pela curva C.

Uma conclusao que podemos obter do fato acima demonstradoe que todos os pontos do bilhar sao nao errantes (ver Definicao 5,Capıtulo 3 [L]). Isto segue de imediato do fato que T preserva area edo Teorema de Poincare (Teorema 5, Capıtulo 3).

O Exemplo 13, Capıtulo 1 [L], constituıdo por duas partıculascolidindo num intervalo, pode ser transformado num problema sobretrajetorias no bilhar triangular. A demonstracao que a aplicacao nobordo do bilhar preserva area tambem pode ser aplicada a tal bi-lhar. Concluimos portanto que no caso do sistema de duas partıculascolidindo num intervalo, todos os pontos sao nao errantes.

O fato do difeomorfismo T do bilhar convexo preservar area, per-mitira tambem usar tecnicas probabilısticas na analise das trajetoriasdo sistema mecanico em consideracao. Estes resultados serao apre-sentados na proxima secao.

O resultado acima, sobre conservacao de area e verdadeiro parauma grande classe de interessantes e diferentes tipos de bilhares. Aevolucao das trajetorias do bilhar vai depender no entanto de maneiraessencial da forma da curva C. Vamos mostrar isto atraves de algunsexemplos.

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Figura 1.5:

Definicao 1.2. Dizemos que V : E → R e uma integral primeira deT se V (q, p) e contınua e constante ao longo das orbitas Tn(q0, p0) =(qn, pn).

A existencia de tal V : [0, 1) × (−1, 1) → R implica na existenciade uma integral primeira V para φt em p2

1 + p22 = 1. Isto ocorre

porque, o sistema a tempo contınuo φt na superfıcie tridimensionalp21+p2

2 = 1, e obtido a partir de T apenas acrescentando retas ligandox a T (x). Cada curva invariante em [0, 1) × (−1, 1) determina por-tanto uma superfıcie bidimensional invariante para φt na superfıcietridimensional em p2

1 + p22 = 1.

Exemplo 1.1. O cırculo. Considere C um cırculo de raio 1. Em vezda parametrizacao do cırculo por (cos 2πt, sen 2πt ), 0 ≤ t ≤ 1 vamosusar as coordenadas 0 ≤ s < 2π para a posicao q e −π/2 ≤ ϕ < π/2para o angulo com a normal. No caso do cırculo e facil ver queS(q,Q) = S(s0, s1) = 2 sen ((s1 − s0)/2).

Por propriedades elementares de geometria o angulo ϕ nao va-ria ao longo de uma orbita e T e dado por T (s0, ϕ0) = (s1, ϕ1) =(s0 + 2ϕ0, ϕ0) E facil ver que se a condicao inicial for (s0, ϕ0) =

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(q0, p0) ∈ [0, 2π) × (−π/2, π/2), entao para todo n, Tn(q0, p0) =(qn, pn) e tal que pn = p. Sendo assim se plotarmos varias trajetorias(q, p), T (q, p), T 2, ..., Tn(q, p), onde (q, p) sao diferentes condicoesiniciais, obteremos uma decomposicao do espaco de fase (q, p) ∈[0, 2π) × (−π/2, π/2), da forma apresentada na Figura 1.7.

Logo, a funcao V (q, p) = p (ou seja V (s, ϕ) = ϕ) e constante aolongo de cada orbita. Portanto, tal V e uma integral primeira dobilhar.

Como T (s0, ϕ0) = (s0 + 2ϕ0), φ0) considere apenas a acao de Tna primeira ordenada g(s0) = s0 + 2ϕ0 (mod 1). Se 2ϕ0 for daforma racional vezes 2π e facil ver que todo ponto s0 sera periodico.Caso 2ϕ0 for da forma irracional vezes 2π entao, conforme a proximasecao, ocorre que para qualquer s0 fixado a orbita gj(s0), j > 0 seradensa em [0, 1). Neste ultimo caso, naturalmente, nao existem orbitasperiodicas.

Sendo assim, concluımos que a dinamica da evolucao temporalde Tn(s0, ϕ0) fica completamente entendida e de acordo com a Fi-gura 1.5. Se quisermos podemos mudar novamente coordenadas econsiderar alternativamente o problema nas coordenadas Tn(t0, θ0)obtendo os resultados analogos. Optamos pelas coordenadas (s, ϕ)apenas porque as formulas de T e S neste caso ficam mais simples.

Exemplo 1.2. A elipse. Tomando varias condicoes iniciais (q, p) ∈[0, 1) × (−1, 1) diferentes e tomando as correspondentes orbitas

(q, p), T (q, p), ..., Tn(q, p), ...

obteremos uma decomposicao do espaco de fase (q, p) ∈ [0, 1)×(−1, 1)da forma apresentada na Figura 1.7.

A funcao

V (q, p) =q2 − ǫ2 cos2 ν

1 − ǫ2 cos2 ν

(onde ǫ e a excentricidade da elipse e ν e o angulo de p com o eixo dosx), por sua vez, e constante ao longo das orbitas do bilhar na elipse.

Um exame das curvas de nıvel de tal G nos determina a Figuraque 1.7 descreve orbitas associadas a diversas condicoes iniciais. Damesma maneira como no cırculo algumas curvas de nıvel serao tais

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Figura 1.6:

que as orbitas de condicoes iniciais sobre elas serao densas nela e emalgumas outras curvas tal nao ocorre.

E possıvel mostrar tambem que em algumas curvas de nıvel o tjde (tj , θj) = T (t0, θ0), j > 0 explora densamente on intervalo [0, 1] eem outras nao; a Figura 1.7 e 1.8 ilustra tal fato.

A existencia de tal V : [0, 1)× (−1, 1) → R por sua vez implica naexistencia de uma integral primeira V para φt em p2

1 + p22 = 1. Por-

tanto, da mesma maneira como no caso do cırculo, obtemos neste casouma integral primeira para o sistema a tempo contınuo associado.

Exemplo 1.3. O ovo (ver Figura 1.8). Tomando varias condicoesiniciais (q, p) diferentes e tomando as correspondentes orbitas

(q, p), T (q, p), ..., Tn(q, p)obteremos uma decomposicao do espaco de fase da forma apresentadana Figura 1.8. Note que mesmo que a elipse e o ovo tenham for-mas semelhantes, o espaco de fase do bilhar com fronteira dada peloovo apresentado na Figura 1.8 e bastante diferente dos dois exem-plo anteriores. Este sistema, aparentemente pelo que mostra a Fi-gura 1.8 nao existe funcao contınua V (definida em todo E e nao

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constante) que seja constante em cada orbita Tn(x), n ∈ N paracada x = (q, p) ∈ E.

O Exemplo 1.3 (ver Figura 1.8) mostra uma combinacao de com-portamentos distintos (dependendo da orbita ou seja da condicao ini-cial escolhida); existe uma evidencia numerica que existem algumascurvas invariantes por T e tambem regioes bidimensionais invariantespor T (que nao sao uniao de curvas invariantes conforme Figura 1.8).

Neste caso aparece o que se convenciona chamar de ilhas KAM eque sera analisado mais tarde no texto.

Nas curvas invariantes que aparecem na figura podem haver orbitasperiodicas, trajetorias com orbita densa, etc...

Exemplo 1.4. O estadio circular e o bilhar tal que a curva C tema forma apresentada na Figura 1.4. E constituıdo por duas retasparalelas com comprimento l > 0 e por duas metades de um cırculo.

Tomando apenas “uma certa”condicao inicial (q0, p0) e plotandoa orbita de (q, p) ate ordem n=999, isto e, plotando o conjunto

(q, p), T (q, p), ..., T 999(q, p)

obtemos Figura 1.7 (figura da direita). A orbita T j(q0, p0), j ∈1, 2, ..., n parece se distribuir de maneira uniforme sobre E, istoe o numero de j ∈ 1, 2, ..., n − 1 em um aberto qualquer fixado Adividido por 1000 parece ser proporcional a area de A.

Note que podem existir orbitas no estadio circular que nao temo comportamento acima descrito: por exemplo orbitas periodicas deperıodo dois como aparece na Figura 1.6.

Na verdade para a ”maioria”das condicoes iniciais (q0, p0) as or-bitas no estadio circular T j(q0, p0) terao uma distribuicao uniformecomo no caso da Figura 1.7 (figura da direita). Explicar o sentidoda palavra ”maioria”sera um dos objetivos da proxima secao. Esteexemplo sera um dos assim chamados sistemas ergodicos.

Observacao 1.2. Note que o comportamento da trajetoria Tn(q, p)neste ultimo Exemplo 1.4 e totalmente distinto dos dois primeirosExemplos 1.1 e 1.2, onde cada trajetoria esta confinada a uma curva(um conjunto unidimensional) por causa da integral primeira V .

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Figura 1.7: Espaco de fase respectivamente do cırculo, elipse e esta-dium.

O comportamento descrito pelo Exemplo 1.4 mostra uma situacaoque e tambem diferente do Exemplo 1.3. No presente caso a tra-jetoria Tn(x), x ∈ [0, 1) × (−1, 1) de um ponto escolhido ao acaso noExemplo 1.4 parece tentar explorar toda a regiao bidimensional E.Mais precisamente, a orbita Tn(x) tenta ocupar densamente todoo espaco E = [0, 1)×(−1, 1) e neste caso, nao parece existirem curvasinvariantes para tal T em E.

Este ultimo bilhar Exemplo 1.4 e o prototipo de um sistemaergodico (os Exemplos 1.1, 1.2 e 1.4 nao o sao) conceito que seratornado preciso na proxima secao.

Para finalizar algumas consideracoes gerais sobre bilhares.

Observacao 1.3. Generalizando o que foi afirmado na Proposicao1.2 e facil ver que se q0, q1, q2, ..., qn sao sucessivas batidas em C deuma orbita T j(q0, θ0) entao para q0, qn fixos a funcao

A(x1, x2, ..., xn−1) = S(q0, x1) + S(x1, x2) + ...+

+ S(xn−2, xn−1) + S(xn−1, qn)

A : En−1 → R tem (q1, q2, ..., qn−1) como ponto crıtico. Temos assimuma versao a tempo discreto do princıpio mınima acao. Esta propri-edade sera analisada posteriormente com mais detalhe e tambem emoutros casos similares.

Note que para bilhares focalizadores (como descritos acima) seem vez de considerarmos S(q0, q1) = ||q0 − q1|| tomarmos S(q0, q1) =−||q0 − q1|| determinaremos tambem uma T que descreve a dinamica

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Figura 1.8: O ovo e seu espaco de fase.

do bilhar (troca apenas a orientacao da curva). A condicao obtida

antes ∂2S(q0,q1)∂q0∂q1

> 0 neste ultimo caso troca para ∂2S(q0,q1)∂q0∂q1

< 0. No

caso S(q0, q1) = ||q0−q1|| a condicao de mınimo para A da observacaoacima significa obter trajetorias com mınimo comprimento. No outrocaso o princıpio de mınima acao determina trajetorias com maximocomprimento.

Para bilhares dispersores (ver Figura 2.1) podemos tambem consi-derar S(q0, q1) = ||q0−q1|| ou S(q0, q1) = −||q0−q1|| correspondendo

respectivamente a ∂2S(q0,q1)∂q0∂q1

< 0 e ∂2S(q0,q1)∂q0∂q1

> 0 (observe a troca de

sinal em comparacao com o caso focalizador).

O bilhar descrito pela Figura 2.1 em que o bordo do bilhar econstituıdo por uma serie de curvas diferenciaveis com a concavidadepara fora (que fazem um angulo nao nulo nas intercecoes) e conhecidocomo bilhar de Sinai. Pode-se mostrar que o espaco de fase nestecaso e semelhante ao do caso do estadium, isto e, tomando um pontoinicial (q0, p0) fixado no bordo, os iterados (qn, pn) = Tn(q0, p0) sedistribuem de maneira uniforme no espaco de fase. Referimos o leitora [Si], [Ma] e [Ta] para resultados gerais sobre o assunto.

Alguns tipos diferentes de bilhares sao analisados em [S] e [LS.]

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A conclusao a que chegamos ao fim desta secao e que mesmopara um campo Hamiltoniano sem energia potencial, a dinamica daevolucao temporal do sistema mecanico associado pode ser muitocomplexa, se assumirmos a existencia de um recipiente contendo acondicao inical e com a qual a trajetoria do sistema colide elastica-mente.

Exercıcios

1. Mostre que V (q, p) = p do Exemplo 1.1, e constante ao longodas trajetorias do bilhar no cırculo.

2. Mostre que V (q, p) = q2−ǫ2 cos2 ν1−ǫ2 cos2 ν do Exemplo 1.2, e constante

ao longo das trajetorias do bilhar na elipse.

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Capıtulo 2

O Teorema Ergodico e a

Hipotese de Boltzmann

Nesta secao vamos apresentar de maneira suscinta o Teorema Ergodicoe algumas de suas consequencias. Primeiramente vamos apresentar oTeorema Ergodico com tempo discreto e mais para o fim desta secaoo Teorema Ergodico com tempo contınuo.

Informamos ao leitor que o objetivo da presente secao e apenasapresentar ideias e descrever resultados interessantes. Referimos paraos excelentes textos [M] e [KH] para a fundamentacao matematicarigorosa do que segue abaixo. O autor do presente livro escreveutambem notas [L2] onde estes topicos sao apresentados com todorigor matematico.

Ao fim da presente secao, o Exemplo 2.15 e um dos mais im-portantes deste texto. Neste exemplo, mostraremos que sob certascondicoes, vale a hipotese de Boltzmann (ver consideracoes a seguir)em torno de um ponto de equilıbrio de um sistema integravel.

Como vimos anteriormente quando analisamos o bilhar na Secao1, o entendimento do comportamento das orbitas do fluxo Hamilto-niano

H(q1, q2, p1, p2) = p21 + p2

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restrito a um recipiente delimitado por uma curva C (na qual exis-

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18 [CAP. 2: O TEOREMA ERGODICO E A HIPOTESE DE BOLTZMANN

te um rebote quando a orbita colide com a curva) pode ser obtidopela iteracao de uma aplicacao T induzida em uma secao transversalbidimensional E (pelo primeiro retorno). Vamos apresentar um re-sultado matematico que vai possibilitar entender melhor a evolucaotemporal de tal sistema mecanico. Lembre que o difeomorfismo Tinduzido pelo bilhar em C preserva area, pois e obtido atraves deuma aplicacao geradora S (ver Proposicao 1.2 e Lema 11.1, Capıtulo3 [L]).

Definicao 2.1. Uma probabilidade P definida em um conjunto abertoX do R

n e uma lei que associa a cada subconjunto A ⊂ X um valorP (A) ∈ [0, 1].

Uma probabilidade deve satisfazer tambem as seguintes proprie-dades:

1) P (∅) = 0 (∅ e o conjunto vazio)2) P (X) = 1.

3) P

(

∪∞i=1Ai

)

=∑∞i=1 P (Ai) se os conjuntos Ai forem todos

disjuntos.

Na Secao 10 do Capıtulo 3 (ver Exemplo 51 em [L]), introduzimosum caso particular de probabilidade. Outras serao consideradas aseguir.

Observacao 2.1. Nao dissemos nada a respeito da classe de subcon-juntos A de X onde esta definido tal probabilidade P .

P precisa ser definida numa sigma-algebra (ou seja, uma colecaode conjuntos F tal que

a) X ∈ F ,b) se A ∈ F entao X −A ∈ Fe c) para toda colecao enumeravel An ∈ F vale que ∪nAn ∈ F).

Para nao entrar em detalhes tecnicos, vamos apenas esclarecerque muitas vezes que nem todos os subconjuntos A terao um valor deprobabilidade P (A). Felizmente, os conjuntos A que tem importanciano desenvolvimento que segue terao sempre um valor bem definidode probabilidade. O leitor interessado na formalizacao matematicade tais conceitos, que envolvem Teoria da Medida, sigma-algebras,

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Figura 2.1:

etc..., podem encontrar uma otima exposicao do assunto em [Fe] e[Rud].

A classe de subconjuntos A que vamos necessitar utilizar aqui(e que terao um valor bem definido de probabilidade) incluem entreoutros os abertos com bordo diferenciavel por partes.

Nosso ponto de vista aqui sera apenas dar uma ideia dos conceitosprincipais sem entrar em detalhes matematicos mais sofisticados.

Vamos descrever brevemente agora que tipo de probabilidades Pvamos considerar a seguir.

Considere X ⊂ Rn, subconjunto aberto limitado com o bordo

constituido por uma curva diferenciavel por partes, e uma funcaocontinua nao negativa ψ definida em X, tal que

∫

X

ψ(x)dx =

∫

X

ψ(x)dx1dx2...dxn = 1.

Se A for um conjunto aberto A ⊂ X com o bordo definido poruma curva diferenciavel por partes, utilizando a definicao usual deintegral do Calculo a varias variaveis,

∫

Aψ(x)dx existe e vamos definir

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Figura 2.2:

a probabilidade P = Pψ sobre conjuntos A desta forma por P (A) =∫

Aψ(x)dx.

E facil ver que P satisfaz as leis 1) 2) 3) da Definicao 2.1 acima,para a colecao dos abertos A ⊂ X com bordo diferenciavel por partes(e suas unioes contaveis).

Desta maneira obtemos a partir de ψ uma probabilidade P = Pψdefinida em X associando valores P (A) a subconjuntos abertos A deX com bordo diferenciavel por partes.

Por exemplo, para um paralelepıpedo B = (a1, b2)×(a2, b2)× ...×(an, bn) ⊂ X ⊂ R

n, obteremos que P (B) =∫ b1a1...∫ bn

anψ(x)dx1...dxn.

As probabilidades P que estaremos interessados nesta secao seraosempre do tipo acima descrito P = Pψ. ψ sera denominada densidadeda probabilidade P = Pψ. Se ψ e constante diremos que Pψ e a“probabilidade uniforme”em X. Neste caso,

P (A) =area de A

area de X.

Fixada uma probabilidade P , a classe de conjuntos A ⊂ X so-bre os quais necessitamos definir o que seria a probabilidade P (A),

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Figura 2.3:

no entanto, deve ser maior do que a classe dos abertos com bordodiferenciavel por partes. Sera necessario por exemplo, no TeoremaErgodico, falar sobre certos conjuntos A que nao sao abertos, mastem relevancia no entendimento da evolucao temporal do sistema.Estes conjuntos serao denominados de conjuntos de probabilidadetotal.

Muitos dos resultados que apresentaremos a seguir valem paraprobabilidades mais gerais P (nao so do tipo Pψ), mas para naoentrarmos em problemas tecnicos desnecessarios, vamos considerarapenas probabilidades deste tipo.

Definicao 2.2. Dada uma probabilidade P em X, dizemos que umconjunto A ⊂ X ⊂ R

n tem probabilidade zero para P se para qualquerǫ existe uma sequencia de paralelepıpedos Bi , i ∈ N contidos emX ⊂ R

n tal que A ⊂ ∪∞i=1Bi e

∑∞i=1 P (Bi) < ǫ.

Para conjuntos A deste tipo, sera verdade que P (A) = 0 (ver [Fe]e [Rud]).

O criterio de mostrar que um certo conjunto tem probabilidadezero, mostrando que satisfaz a Definicao 2.2 e extremamente util.

Exemplo 2.1. Considere a probabilidade uniforme em [0, 1], queatribui probabilidade b − a para todo intervalo [a, b] ⊂ [0, 1]. Paraesta probabilidade o conjunto dos racionais em [0, 1], isto e Q∩ [0, 1](ou qualquer conjunto enumeravel) tem probabilidade zero. Isto segue

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do fato que, dado ǫ, os conjuntos da forma Bǫi = Bi, i ∈ N

Bi =

x ∈ [0, 1] | |x− qi| <(

1

2

)iǫ

2

cobrem Q, onde qi ∈ Q∩[0, 1], i ∈ N e uma enumeracao dos racionaisem [0, 1]. Note que o comprimento total coberto pela uniao dos Bi, i ∈N, e menor que ǫ qualquer dado.

Dada a probabilidade P = Pψ em X, a integral de uma funcao ϕ :X → R com respeito a P , e por definicao

∫

Xϕ(x)ψ(x)dx, expressao

que e denotada por∫ϕ(x)dP (x).

Dado um conjunto A vale sempre que∫IA(x)dP (x) = P (A)

Se P e a probabilidade uniforme em X, entao∫ϕ(x)dP (x) =

∫

Xϕ(x)dx

area de X.

Exemplo 2.2. Conjuntos de probabilidade zero aparecem natural-mente na Teoria das Series de Fourier. Suponha que duas funcoes fe g sao iguais em todos os pontos do intervalo [0,1], menos num con-junto A de probabilidade uniforme 0 (no qual podem eventualmente

ser distintos), sendo assim,∫ 1

0f(x)dx =

∫ 1

0g(x)dx. Este fato segue

facilmente da definicao de integral (ver [Li1] e [Fe]). Concluımosentao que duas funcoes que diferem apenas num conjunto de medidazero tem a mesma integral com respeito a dx.

Como as funcoes f(x)ei2πxn e g(x)ei2πnx tambem sao iguais emtodos os pontos do intervalo (0, 1), menos num conjunto A de proba-bilidade 0, entao

∫ 1

0

f(x)ei2πxndx =

∫ 1

0

g(x)ei2πnxdx.

Logo as duas funcoes f e g como acima possuem a mesma seriede Fourier, porque possuem os mesmos coeficientes de Fourier:

1

2π

∫ 1

0

f(x)ei2πxndx =1

2π

∫ 1

0

g(x)ei2πxn , ∀n ∈ Z.

A recıproca tambem e verdadeira: duas funcoes que tem todos oscoeficientes de Fourier iguais sao iguais a menos de um conjunto deprobabilidade dx nula.

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Logo, a Serie de Fourier, nao distingue uma f e g que sao iguaisa menos de um conjunto de probabilidade uniforme zero.

Exemplo 2.3. Seja X = [0, 1] × [0, 1]. Se P (A) = area de A, paracada A ⊂ [0, 1] × [0, 1] (esta probabilidade como vimos antes e cha-mada de uniforme), entao um conjunto tem probabilidade zero paraP , se puder ser coberto por unioes de retangulos tal que a soma dasareas destes retangulos pode ser tomada arbitrariamente pequena.

Exemplo 2.4. Considere em X = [0, 1] o conjunto A obtido da se-guinte maneira. Primeiro retire o terco central do intervalo [0,1],a seguir retire dos dois intervalos que sobraram os tercos do meio.Obteremos assim 4 intervalos. Retire novamente de cada um dos4 intervalos os tercos medios e prossiga assim indefinidamente. Naetapa n teremos ao todo 2n intervalos disjuntos. O conjunto que sobradeste procedimento de retirar infinitamente tercos dos intervalos quevao sobrando, e mostrado de maneira aproximada na Figura 2.3. Esteconjunto e denominado conjunto de Cantor. Considere a probabili-dade P tal que P ([a, b]) = b− a para qualquer intervalo [a, b] ⊂ [0, 1].O conjunto de Cantor tem probabilidade 0 para tal P . Para provaristo, basta cobrir o conjunto de Cantor por uniao de intervalos talque a soma dos intervalos e arbitrariamente pequena.

Note que os 2n intervalos que restam do procedimento na etapan, contem C e tem soma total dos comprimentos igual a 2n 1

3

n. Como

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nconverge a zero, entao o conjunto de Cantor tem probabilidade

zero em [0,1] para a probabilidade uniforme.

O conjunto de Cantor nao e um conjunto aberto. Como o conjuntode Cantor tem probabilidade zero e portanto um conjunto “ralo”(ouseja, muito pequeno) no intervalo [0, 1]. Este conjunto e o exemplomais elementar de fractal (ver definicao em [Fa]).

Note que foi fundamental usar o criterio da Definicao 2.2 paradizer que o conjunto de Cantor tem probabilidade zero.

Os conjuntos de probabilidade zero sao considerados desprezıveisna analise probabilıstica. Ou seja, se uma propriedade e valida paratodos os pontos de E, menos para um conjunto de probabilidade zero,entao do ponto de vista probabilıstico tal propriedade e verdadeira.Se escolhessemos um ponto ao acaso no intervalo [0,1] de acordo com

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a Probabilidade P do ultimo exemplo, este ponto nao estaria no con-junto de Cantor, pois este conjunto tem probabilidade 0.

Definicao 2.3. Para uma certa probabilidade P definida em X, di-zemos que um conjunto B tem probabilidade total para P se X − Btem probabilidade zero para P .

Exemplo 2.5. O conjunto dos irracionais no intervalo [0,1], istoe o conjunto [0, 1] − Q, tem probabilidade total para a probabilidadeuniforme, pois Q ∩ [0, 1] tem probabilidade zero.

Diz-se que uma propriedade e valida em P -quase toda parte, seela e valida num conjunto de probabilidade total para P . Quando sediz que um ponto x e escolhido ao acaso segundo um probabilidadeP , x e na verdade ao acaso dentro de um conjunto de probabilidadetotal B. Este ponto de vista (ou seja se preocupar apenas com o quee verdadeiro P -quase toda parte) e a essencia da Teoria da Probabi-lidade.

Definicao 2.4. Um ponto x escolhido num conjunto de probabili-dade total e denominado de um ponto “generico no sentido proba-bilıstico”(para a probabilidade P ).

Nosso objetivo a seguir e analisar do ponto de vista estatıstico (ouprobabilıstico) a evolucao temporal da orbita Tn(x) de um difeomor-fismo T : X → X. Iremos considerar uma probabilidade P sobre Xe tentaremos fazer afirmacoes que tenham sentido do ponto de vistaprobabilıstico. Isto e, o que se pode dizer para as orbitas Tn(x) sex for escolhido num conjunto de probabilidade total para P? Emoutras palavras, desejamos obter propriedades das orbitas Tn(x) depontos x escolhidos ao acaso de acordo com a probabilidade P (ouseja pontos x genericos).

As probabilidades P que sao uteis para o entendimento da evolucaotemporal das orbitas T : X → X, devem ter algum tipo de relacaocom T .

Esta relacao sera descrita pela proxima definicao.

Definicao 2.5. Dizemos que P probabilidade sobre X e invariantepara um difeomorfismo T se P (T (A)) = P (A) para qualquer conjuntoA ⊂ X.

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Exemplo 2.6. Na ultima secao mostramos que o difeomorfismo Tassociado ao bilhar convexo preserva area em E = [0, 1) × (−1, 1)(Proposicao 1.2, Capıtulo 1). Logo, se P e definido por

P (A) =area de A

2,

entao P e invariante para tal T . Neste caso a densidade ψ(t, θ) = 12 ,

define Pψ = P .

Note que no caso da Figura 2.1 (bilhar dispersor) tınhamos difi-culdade em definir T : E → E porque algumas trajetorias T (t0, θ0)poderiam bater numa quina. Como estamos utilizando um ponto devista probabilıstico ficaremos satisfeitos se T estiver bem definido emum subconjunto K ⊂ E de P -probabilidade total. Em muitos casostal propriedade e verdadeira e a analise dinamica que faz sentido serana verdade de T : K → K (ver [Ma]).

No caso do bilhar dispersor (ou outro qualquer com quinas) con-sidere L = (q0, p0)| tal que T (q0, p0) bate numa quina ou p1 = 1ou −1 (ou seja a reta a partir de q com angulo p intersecta umaquina ou fica tangente a um lado). E facil ver que nos casos mais co-muns o conjunto L e uma curva diferenciavel por partes e tem medidabidimensional em E nula.

Considere agora K = E −∪n∈ZTnL. E facil ver que em K todos

os iterados de Tn estao bem definidos e perdemos do conjunto E umconjunto de medida 0 (pois P (E) = P (K) = 1). Nada foi perdido doponto de vista probabilıstico com esta restricao.

Exemplo: Seja T (x) = x + λ (mod 1), T : [0, 1] → [0, 1], ondeλ e uma constante, entao a probabilidade uniforme (ou seja dx) einvariante para T . Isto segue trivialmente do fato que a inclinacaodo grafico de T e 1, logo para cada intervalo A a imagem T (A) temo mesmo comprimento total (pode ser a uniao de dois intervalos)que A.

Considere agora uma funcao ϕ : E → R, que na maioria das vezesvai representar algum observavel do sistema (por exemplo, o valor daposicao t (neste caso ϕ(t, θ) = t) na curva C do bilhar consideradona secao anterior).

Ao longo da evolucao temporal do sistema comecando em x (ouseja, a orbita x, T (x), T 2(x), ..., Tn(x), ... comecando no ponto x ∈

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Figura 2.4:

E) estaremos interessados em calcular o valor medio de ϕ, denotadopor

ϕm(x) =1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ...+ ϕ(Tm−1(x)))

ao longo da orbita de x do tempo 0 ate o tempo m− 1.Fazendo o numero de iteracoes m tender a infinito, obteremos a

media assintotica media do observavel ϕ ao longo da evolucao tem-poral iniciada em x:

ϕ(x) = limm→∞

1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ...+ ϕ(Tm−1(x))).

Estaremos assim obtendo uma informacao de natureza assintoticadesta evolucao temporal. Um dos topicos de maior interesse daMecanica Estatıstica e saber o que acontece em termos probabilısticos(em x) com as medias temporais ϕ(x) e sua dependencia em x.

O fısico L. Boltzmann estava interessado em entender o sistemade partıculas (da ordem de 1023 partıculas) de um gas delimitado por

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um recipiente fechado. Um sistema com tantas partıculas e difıcil deser analisado do ponto de vista determinıstico. O sistema com ape-nas “uma”partıcula colidindo elasticamente com a fronteira de umaregiao bidimensional que apresentamos na secao anterior ja apresentadificuldades de analise determinıstica como vimos anteriormente (verObservacao 1.1, Capıtulo 1 em [L]). Prever a evolucao temporal deuma partıcula apos decorrido em tempo t muito grande e muito difıcil(devido a acumulacao de erros nas aproximacoes), imagine analisarum numero enorme de partıculas (1023) como acontece em um gasem um compartimento fechado. Sendo assim, faz mais sentido, per-guntar sobre a probabilidade de encontrar uma partıcula numa regiaoD do recipiente. Este e o ponto de vista probabilıstico da Mecanicae que e o objeto da Mecanica Estatıstica. Estaremos interessados emfazer afirmacoes para pontos x “genericos no sentido probabilıstico”.

Para fixar ideias vamos considerar a evolucao temporal

T (x), T 2(x), ..., Tn(x)quando x = (q, p) descreve a posicao de “uma”partıcula de um gasque esta em q com velocidade p. Considere agora ϕ um observavel dosistema (θ, ou temperatura, etc...), isto e, ϕ e uma funcao do espacode fase x = (q, p) ∈ E tomando valores em R. O que se pode dizerdo valor medio ϕ(x)?

A Hipotese Ergodica de Boltzmann: A Hipotese Ergodica deBoltzmann, que foi enunciada por L. Boltzmann no meio do seculoXIX, afirmava que fixado um nıvel de energia H0, este valor ϕ(x) naodeveria depender de x neste nıvel de energia H0 (no caso de um gasnum recipiente fechado).

Bem, a referida hipotese em termos tao amplos nao resultou serverdadeira. Primeiro, vamos tentar entender em termos Matematicosmais precisos o que L. Boltzmann estava querendo afirmar com a suaHipotese Ergodica. Mais tarde, tentaremos esclarecer o que nao foiconfirmado de tal hipotese.

Em termos matematicos mais precisos, o que L. Boltzmann estavaafirmando, na verdade, e que deve existir uma probabilidade naturalP definida no nıvel de energia X = (q, p),H(q, p) = H0, tal quedado uma funcao ϕ sobre X, deveria existir uma constante c tal quepara P -quase todo ponto x no conjunto X (o nıvel de energia H0), o

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valor ϕ(x) e igual a c. P seria uma probabilidade natural invarianteassociada ao sistema de partıculas de um gas. Ou seja, que existiriaum conjunto B contido no nıvel de energia H0 tal que P (B) = 0 epara qualquer x ∈ X − B, deveria ser verdade que ϕ(x) = c. Emoutras palavras, que ϕ e constante para pontos genericos no sentidoprobabilıstico.

O Teorema de Birkhoff que sera apresentado a seguir vai se referira questao mencionada acima.

A evolucao temporal das condicoes iniciais x que sao fisicamenteobservadas no sistema constituido pelo gas sao as trajetorias quecomecam em x, onde x e escolhido num conjunto de probabilidadetotal em relacao a uma probabilidade natural P . Esta propriedade e ofundamento do ponto de vista probabilıstico da Mecancia Estatıstica.A probabilidade P e chamada algumas vezes de estado de Gibbs(terminologia usada em homenagem ao matematico W. Gibbs) dosistema mecanico (ver [Ru], [E], [BS] e [KH] para referencias). Parasimplificar estamos supondo que o gas vai ser descrito por uma unicapartıcula para evitar analisar problemas relativos as colisoes entrepartıculas do gas.

Nao vamos definir aqui o que e um estado de Gibbs, mas queremosapenas mencionar que no caso do bilhar numa curva convexa ele ea probabilidade uniforme em E = [0, 1) × (−1, 1) (conforme Exem-plo 2.6).

Definicao 2.6. Seja P uma probabilidade invariante para um dife-omorfismo T : X → X. Dizemos que P e ergodica se toda vez queT (A) = A, A ⊂ X, entao P (A) = 0 ou P (A) = 1.

Em outras palavras, uma probabilidade P e ergodica quando naoexistem conjuntos invariantes pela acao de T que nao sejam triviais(dizemos que um conjunto A ⊂ X e trivial se P (A) = 0 ou P (A) = 1).

Observacao 2.2. Note que e sempre verdade (ver Definicao 1.2) queP (∅) = 0 (∅ e o conjunto vazio) e P (X) = 1 (onde X e o conjuntoonde P esta definido), e ainda que T (∅) = ∅ e T (X) = X, poristo a necessidade de enunciar a definicao de probabilidade ergodicacomo foi feito acima (e nao apenas dizendo que nao existem conjuntosinvariantes). Os conjuntos X e ∅ sao triviais.

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Figura 2.5:

Exemplo : A transformacao T (x) = x + λ (mod 1), onde λ e umaconstante irracional, T definida no intervalo [0, 1) (ou no cırculo S1)e ergodica para dx.

Seja A tal que T−1(A) = A, entao IA(x) = IT−1(A)(x) = IA(T (x))para todo x ∈ [0, 1).

Expresse IA(x) como Serie de Fourier

IA(x) =

∞∑

n=−∞ane

2πinx.

Como IA(x) = IA(T (x)) temos que

IA(x) =∞∑

n=−∞ane

2πinx =∞∑

n=−∞ane

2πin(x+λ) = IA(T (x)).

Portanto

∞∑

n=−∞ane

2πinx =

∞∑

n=−∞ane

2πinλe2πinx.

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Como os coeficientes de Fourier sao unicos ane2πinλ = an para

todo n ∈ Z. Como λ e irracional entao nλ nao e inteiro para todon (a menos que n = 0). A conclusao e que an = 0 para todo n 6= 0.Portanto IA is constante (a menos de um conjunto de medida zero),mas como so assume os valores 0 ou 1, ela e, a menos de um conjuntode medida zero a funcao constante 0 ou a funcao constante 1. Logoµ(A) =

∫IA(x)dx =

∫0dx = 0 ou µ(A) =

∫IA(x)dx =

∫1dx = 1

(porque funcoes que diferem apenas em um conjunto de medida zerotem a mesma integral).

Se λ e racional T (x) = x+ λ (mod 1) nao e ergodica.

Observacao 2.3. Um gas em um recipiente fechado, ao longo da suaevolucao temporal, tendera a ocupar densamente todo o espaco dis-ponıvel, nao deixando espaco para existirem regioes invariantes. Estaobservacao traduz em termos fısicos aproximados o que o conceito deergodicidade expressa em termos matematicos.

O fato da transformacao bilhar preservar area e do fluxo Hamil-toniano preservar volume os qualificam para os metodos de TeoriaErgodica [A3].

Seja um difeomorfismo T : E → E, P = Pϕ probabilidade inva-riante sobre E para T e ϕ : E → R funcao tomando valores reais(observavel). O proximo resultado e valido em geral e nao precisare-mos assumir que T e a transformacao induzida pelo primeiro retornoa uma secao transversal de um fluxo Hamiltoniano no bilhar convexo.

Um dos resultados Matematicos mais relevantes para a MecanicaEstatıstica e o Teorema Ergodico de G. Birkhoff (1935) que afirma oseguinte:

Teorema 2.1. (Teorema de Birkhoff) Seja ϕ : E → R contınua,P = Pψ probabilidade ergodica para T : E → E e suponha que∫ϕ(y)dP (y) < ∞, entao, existe c ∈ R tal que para todo ponto x,

generico no sentido probabilıstico em relacao a probabilidade P , valeque

c = ϕ(x) = limm→∞

1

m(ϕ(x) + ...+ ϕ(Tm−1(x))).

O valor c pode ser obtido como

c =

∫

ϕ(y)dP (y),

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ou seja, a integral de ϕ em relacao a P .

Para a prova e para consideracoes mais gerais sobre o TeoriaErgodica, referimos o leitor para [PY], [M1], [CFS] e [KH]. Esta Te-oria permite um melhor entendimento de questoes fundamentais daMecanica Estatistica [PP] e [Ru]. O ponto de vista do formalismoDLR da Mecanica Estatistica e descrito em [G].

Em resumo o teorema de Birkhoff diz que existe um conjunto Atal que P (A) = 1 tal que para todo x ∈ A vale que a media temporalassintotica

ϕ(x) = limm→∞

1

m

n−1∑

j=0

ϕ(T j(x))

e igual a integral espacial

∫

ϕ(y)dP (y) =

∫

E

ϕ(y)ψ(y)dy.

Observacao: Mostramos em exemplo anterior que T (x) = x + λ(mod 1) e ergodica para a probabilidade uniforme (a P tal P ([a, b]) =b − a). E facil ver por inducao que Tn(x) = x + nλ (mod 1). Seja[a, b] intervalo qualquer e considere ϕ(x) = I[a,b](x).

Podemos aplicar o teorema ergodico tambem neste caso e concluirque existe K ⊂ [0, 1] tal que P (K) = 1 e para todo x ∈ K

ˆI[a,b](x) = limm→∞

1

m

n−1∑

j=0

I[a,b](Tj(x)) =

∫

I[a,b](y)dP (y) = b− a > 0.

Note que T j(x) ∈ [a, b], se e so se, I[a,b](Tj(x)) = 1. Portanto,

para x ∈ K a orbita Tn(x)|n ∈ Z visita o conjunto [a, b].Logo as orbitas Tn(x)|n ∈ Z, para x quase todo ponto (em

relacao a P ), vao determinar conjuntos densos em [0, 1].

Exemplo 2.7. Considere o estadio circular (l > 2) do Exemplo 1.4e que foi descrito na secao anterior.

Um resultado nao trivial obtido recentemente por [Bu] afirma quea probabilidade natural P (a area) associada ao bilhar no estadio eergodica, isto e, a aplicacao induzida no bordo pelo primeiro retorno

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T : [0, 1) × (−1, 1) → [0, 1) × (−1, 1) e ergodica para a probabilidadeuniforme.

Considere a, b valores em [0,1) e ϕ : E → R a funcao indicadorde A = (a, b) × (−1, 1).

Para A um subconjunto de X, IA(z), a funcao indicador de A, ea funcao tal que IA(z) = 1 se z ∈ A e IA(z) = 0 se z nao esta estaem A.

E facil ver que∫IA(x)ψ(x)dx =

∫

Aψ(x) = P (A).

No caso em consideracao neste exemplo de bilhares em E = [0, 1)×(−1, 1) ψ(x) e constante igual a 1/2.

A funcao ϕ = IA nao e contınua (tem descontinuidades numacurva diferenciavel por partes), mas o Teorema Ergodico tambem evalido para tal tipo de funcao ϕ (ver [M1] e [CFS]).

E facil ver que para x fixo e m ∈ N e ϕ = IA

1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ...+ ϕ(Tm−1(x))

e igual a

#j ∈ 0, 1, ...,m− 1 tal que T j(x) ∈ (a, b) × (−1, 1)m

.

Sendo assim o limite

ϕ(x) = limn→∞

1

m(ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ...+ ϕ(Tm−1(x)) ),

neste caso expressa o valor medio de vezes que a trajetoria comecandoem x bate na regiao do bordo do bilhar compreendida entre g(a) e g(b),(onde g e a parametrizacao do bordo do bilhar). Neste caso ϕ(x)vai descrever o que chamamos de tempo de ocupacao assintotico daregiao A.

O conceito de tempo de ocupacao ja foi apresentado antes naDefinicao 25, Capıtulo 3 [L], mas vamos repeti-lo a seguir.

Definicao 37*: Considere T : E → E difeomorfismo, A ⊂ E ex = (q, p) ∈ E. Dizemos que x tem um tempo de ocupacao assintoticode A igual a oA(x) se existe o limite

limn→∞

# vezes que T j(q, p) ∈ A, j ∈ 1, 2, ..., nn

= oA(x).

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O valor c = ϕ(x) = IA(x) = oA(x) e constante para todo x (forade um conjunto de probabilidade 0) pelo Teorema de Birkhoff, e e

igual a∫ϕdP =

∫IAdP2 = P (A) = area de A = (b − a). Portanto,

gracas ao Teorema Ergodico podemos calcular no Exemplo 2.7 o valorexato do tempo de ocupacao assintotica oA(x) do conjunto A para xquase toda parte; este valor e b− a.

Sendo assim, podemos fazer a seguinte previsao: no bilhar noestadio com l = 2 (que e ergodico), se formos observar a partıculadepois de 1000 rebotes, dentre estes 1000 rebotes, aproximadamenteum numero (b − a)1000 deles foram no arco de curva compreendidoentre g(a) e g(b).

Vamos relembrar agora a Definicao no Capıtulo 1 de ponto perio-dico.

Dizemos que uma orbita Tn(q, p), n ∈ N e periodica se existem ∈ N tal Tm(q, p) = (q, p). Neste caso

Tn(q, p) , n ∈ N = (q, p), T (q, p), ..., Tm−1(q, p).O valor m e denominado perıodo de (q, p).

Observacao 2.4. Note que o resultado sobre o tempo de ocupacaooA(x) = ϕ(x) no estadio l > 0 nao pode ser verdade para todasas condicoes iniciais x = (q, p). Na Figura 1.5, mostramos duas tra-jetorias a e b na parte interna do estadio, que correspondem a orbitasperiodicas para T de perıodo dois, respectivamente (qa, pa), T (qa, pa)e (qb, pb), T (qb, pb). Na Figura 1.6 mostramos tambem no espacode fase (q, p) ∈ [0, 1) × (−1, 1) as duas orbitas acima mencionadas.Estas orbitas naturalmente vao determinar tempos de ocupacao dife-rentes para o conjunto A que aparece na Figura 3.25. O tempo deocupacao assintotico de A para a orbita a e zero e para a orbita b eum.

Note que o comportamento desta duas trajetorias e totalmentedistinto do comportamento da trajetoria descrita pela Figura 1.7 apre-sentada na ultima secao. Para “qualquer ponto inicial x escolhido aoacaso” de acordo com a probabilidade uniforme, a orbita Tn(x) geraa Figura 1.7.

Nao existe contradicao entre a Figura 1.7 e 1.6, pois no ulimocaso a posicao da condicao inicial (q0, p0) e muito particular, e esta

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fora do conjunto de probabilidade total para o qual vale o Teoremade Birkhoff. A explicacao para este fato e que estas duas condicoesiniciais (qa, pa) e (qb.pb) nao serao condicoes “genericas”no sentidoestabelecido pela Definicao 2.4 e pelo Teorema Ergodico. No entanto,se escolhermos ao acaso (de acordo com P uniforme) a condicaoinicial (q0, p0), entao (q0, p0) sera generica e portanto vai satisfazera propriedade que o tempo ocupacao oA para um certo conjunto Afixado, existe e independe da condicao inicial. Isto e o que afirma oTeorema Ergodico para ϕ = IA!

E importante destacar que na analise matematica e probabilısticados bilhares, as orbitas periodicas (principalmente as de perıodo muitoalto) desempenham um papel importantıssimo no entendimento dadinamica das trajetorias.

Exemplo 2.8. No caso do sistema de duas partıculas

x = (x1, x2, v1, v2)

que foi considerado no Exemplo 13 da Secao 4, Capıtulo 1 [L], existeum conjunto A denso (ver Definicao 13, Capıtulo 1 [L]) em R

2 talque quando as massas m1 e m2 sao tais que (m1,m2) ∈ B, entao epossıvel mostrar (ver [KMS]) que a probabilidade natural P associadaao bilhar triangular e ergodica.

Logo, no caso em que (m1,m2) ∈ A, as medias ϕ(x) para qualquerfuncao contınua ϕ definida sobre o bilhar triangular sao as mesmas,independentes da condicao inicial x (contanto que x seja escolhidoao acaso de acordo com a probabilidade P ).

Podemos portanto, analogamente ao procedimento do exemplo an-terior, obter o valor exato oB, onde B corresponde ao evento: aposicao x1 e x2 ao colidirem estao no intervalo (0.2, 0.5). Do Te-orema Ergodico segue que oB = P (B) e oB independe de x (parax num conjunto de probabilidade total). O valor oB pode entao sercalculado facilmente a partir de P .

Quando√m2√m1

∈ Q, o sistema acima considerado nao e ergodico.

Acreditamos que com estes dois ultimos exemplos tenha ficadotransparente a importancia do Teorema Ergodico de Birkhoff para aanalise de propriedades estatısticas das orbitas dos fluxos Hamiltoni-anos.

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Note que se P e ergodica e e sempre positiva em abertos entao parax P-quase toda parte a orbita x, T (x), .., Tn(x), ... e um conjuntodenso; de fato, dado um aberto A como P (A) > 0 entao

0 < P (A) =

∫

IA(x)dP (x) = oA(x) =

limn→∞

1

m(IA(x) + IA(T (x)) + ...+ IA(Tm−1(x)) ).

Neste caso algum IA(T j(x)) e igual a 1.Para um sistema ergodico, o Teorema de Birkhoff descreve a ma-

neira matematica exata como deve ser entendida a hipotese de Boltz-mann.

A teoria de Kolmogorov-Arnold Moser (KAM) (ver [KH] e Secao13, Capıtulo 3 [L]) desenvolvido no meio deste seculo mostrou quepara uma grande quantidade de Hamiltonianos a propriedade da er-godicidade nao e valida. Vamos a seguir, atraves de um exemplo, daruma breve ideia porque nao e verdade a Hipotese de Boltzmann emsua formulacao mais geral.

Consideraremos agora o bilhar no ovo (Exemplo 1.4, Capıtulo 1)e T a aplicacao induzida no bordo do bilhar conforme mostra Figu-ra 1.8.

Observacao 2.5. No caso do bilhar no ovo, existe uma evidencianumerica de haver um uniao finita de curvas fechadas invariantesγi, i ∈ 1, .., n para T (ver Figura 1.8), mostra claramente que tal Tnao e ergodica. Isto porque

( [0, 1) × (−1, 1) ) − ∪iγipossui um conjunto invariante de probabilidade uniforme positiva (porexemplo a uniao das partes internas das γi).

Isto pode ser observado numericamente em um computador, con-siderando orbitas comecando em condicoes iniciais que estao respec-tivamente no interior e no exterior da curva.

Concluımos entao que existe uma evidencia numerica de que talsistema nao e ergodico.

Este fato contraria entao a Hipotese Ergodica de Boltzmann poisT representa a evolucao temporal de uma partıcula de uma gas numrecipiente fechado.

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O leitor poderia argumentar que ja para o bilhar no cırculo (Exem-plo 1.2) o difeomorfismo T nao e ergodico para a probabilidade uni-forme em [0, 1)× (−1, 1) (uma linha horizontal l = (θ0, t) invariantepor T determina em [0, 1) × (−1, 1) duas componentes invariantespor T de medida uniforme nao nulas). Para ser mais preciso, caberessaltar que a Hipotese Ergodica de Boltzmann e em geral relaxadae enunciada para um conjunto denso de possıveis bordos de bilha-res. O exemplo acima e persistente, isto e, para curvas diferenciaveisconvexas γ, que estao C1 proximas da curva do ovo, o espaco defase da aplicacao T induzida pelo bilhar em γ continua a determinarcurvas invariantes. Sendo assim, existem ao menos duas regioes bi-dimensionais invariantes de probabilidade positiva e portanto pode-sedizer que existem bilhares que nao podem ser aproximados por bilha-res tais que o correspondente T seja ergodico para a probabilidadeuniforme em [0, 1) × (−1, 1). Portanto, o exemplo do bilhar no ovonos parece indicar indicar numericamente que a Hipotese Ergodicade Boltzmann nao e verdadeira em geral. No exemplo do estadio cir-cular da secao anterior, por usa vez, a hipotese e confirmada pois osistema e ergodico.

Na verdade nao estamos mostrando matematicamente que a Hi-potese Ergodica de Boltzmann nao e verdadeira, estamos apenas su-gerindo atraves de exemplos e figuras obtidas no computador queexiste uma forte evidencia numerica de que esta hipotese nao e ver-dadeira. Na Teoria KAM se obtem resultados matematicos precisosque mostram exemplos onde a hipotese nao e verdadeira (ver [KH]).

Na Secao 3 vamos mostrar para aplicacao “standard”a existenciade curvas invariantes, e assim dar uma demontracao matematica deque realmente a hipotese ergodica em alguns casos particulares nao everdadeira.

Em alguns outros casos particulares importantes, no entanto, ahipotese de Boltzmann resultou ser verdadeira como por exemplo emvariedades de curvatura constante negativa (ver [KH] e [A2]).

Vamos agora analisar o Teorema Ergodico para tempo continuo.

Definicao 2.7. Considere para todo t (−∞ < t < ∞), uma trans-formacao St do espaco X em si mesmo, St : X → X, que satisfaca aseguinte condicao: para quaisquer t1, t2, St1 St2 = St1+t2 . Chama-remos tal famılia de um sistema dinamico a tempo contınuo.

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Exemplo 2.9. Dada uma equacao diferencial x′ = G(x), x ∈ Rn, o

fluxo φt associado a tal equacao (conforme Definicao 21, Capıtulo 1[L]) e um exemplo de um sistema dinamico a tempo contınuo St = φt.

Exemplo 2.10. Considere α numero real e defina St : R → R porSt(x) = x+ tα, para todo real t. St e um sistema dinamico a tempocontınuo.

Exemplo 2.11. Considere α numero real e defina St : [0, 1) → [0, 1)por St(x) = x + tα (mod 1) para todo real t. Este sistema dinamicosera muito importante em nossas futuras consideracoes.

Definicao 2.8. A probabilidade µ e dita invariante em relacao aosistema dinamico St se, para todo conjunto B ⊂ X e para qualquert real, µ(StB) = µ(B).

Uma maneira equivalente de dizer que uma medida µ e invariantepara St: Para toda funcao contınua φ e para todo t real vale que∫φ(x)dµ(x) =

∫φ(St(x))dµ(x).

O Teorema de Liouville (Teorema 4, Capıtulo 3 [L]) mostra quese φt e o fluxo associado a um Hamiltoniano H, entao para todo t, epara todo aberto A vale que area φt(A) = area de A.

Logo, neste caso, o sistema dinamico St = φt deixa invariante aprobabilidade uniforme.

O Exemplo 33 do Capıtulo 3 [L] mostra um exemplo de proba-bilidade invariante sobre uma curva γ obtida atraves do tempo deocupacao assintotico.

Exemplo 2.12. E facil ver que o sistema dinamico St do Exem-plo 2.11 deixa invariante a probabilidade µ definida sobre [0,1) porµ( [a, b] ) = b − a. Esta probabilidade, como vimos antes se chamaprobabilidade uniforme em [0,1).

Dada uma orbita periodica γ(s), s ∈ [0, b], tal que γ(0) = γ(b)defina a medida µ tal que para toda funcao contınua φ temos

∫

φ(x)dµ(x) =

∫ b

0

φ(γ(s))ds.

A medida µ assim definida e invariante; de fato, para t fixo

∫

φ(St(x))dµ(x) =

∫ b

0

φ(St(γ(s)))ds =

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∫ b

0

φ(St(Ss(γ(0)))ds =

∫ b

0

φ(St+s(γ(0)))ds.

Fazendo a mudanca de variavel s→ s+ t, obtemos

∫

φ(St(x))dµ(x) =

∫ b

0

φ(Ss(γ(0))ds =

∫ b

0

φ(γ(s))ds =

∫

φ(x)dµ(x).

Definicao 2.9. O fluxo St e dito ergodico para µ se para todo con-junto A ⊂ X tal que St(A) = A,∀t ∈ R, entao µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.

Vamos agora considerar St = φt o fluxo associado a um campo devetores Hamiltoniano H em (q, p) ∈ R

2n restrito a uma superfıcie deHamiltoniano H constante.

Suponha que a superfıcie S de energia constante H0 seja com-pacta. Neste caso, como veremos na Secao 5, existe sempre umaprobabilidade invariante P para o fluxo Hamiltoniano φt restrito a su-perfıcie H(q, p) = H0 de Hamiltoniano constante. Esta probabilidadeP e a probabilidade P = PH0

= P k‖∇H‖

com densidade ψ = k‖∇H‖

sobre H(q, p) = H0 (ver Secao 5) onde k e apenas uma constantepara normalizar a probabilidade P .

Tal probabilidade P definida sobre S e positiva em abertos deS, ou seja, dado x ∈ S e ǫ > 0, entao P (B(x, ǫ) ∩ S) > 0, ondeB(x, ǫ) = y ∈ R

2n | |x− y| < ǫ.Vamos tentar colocar a afirmacao de Boltzmann de uma maneira

matematicamente mais precisa do que a que foi feita pelo mesmo noseculo XIX.

A Hipotese Ergodica de Boltzmann: A Hipotese Ergodica deBoltzmann para Hamiltonianos e analoga a anteriormente descrita(no caso em que o tempo e discreto n ∈ N).

A Hipotese Ergodica para Hamiltonianos afirma que para todo va-lor de energia H0, PH0

e ergodico para o fluxo φt restrito aH(q, p) = H0.

E importante nao confundir a acao de fluxo φt sobre o espaco(q, p) ∈ R

2n com a acao (restrita) do fluxo φt sobre uma superfıciede Energia constante H0.

A questao da validade ou nao da Hipotese Ergodica de Boltzmanninfluenciou sobremaneira a Fısica e a Matematica do seculo XX.

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Contra-exemplo 68: Lembre que o fluxo Hamiltoniano φt preservavolume em R

2n ou seja preserva a probabilidade uniforme em cadasubconjunto aberto limitado invariante X ⊂ R

2n. A probabilidadeP em X = R2n neste caso nao e ergodica para φt. Isto porque umsistema com uma integral primeira nao pode ser ergodico (lembre queH e integral primeira) como veremos a seguir.

Se tomarmos o aberto limitado A ⊂ X (com probabilidade posi-tiva para P portanto) dos pontos x ∈ R

2n tal que E1 < H(x) < E2,entao o fluxo Hamiltoniano φt deixa A invariante pelo Teorema deConservacao do Hamiltoniano e no entanto 1 > P (A) > 0. Logo, em-bora o fluxo Hamiltoniano deixe invariante a probabilidade P , nao everdade que P e ergodico para φt.

Outra questao de natureza distinta e: sera que φt e ergodicoquando restrito a uma superfıcie S de energia constante H0?

Teorema 2.2. (Teorema de Birkhoff) Seja um Sistema Dinamico Stdefinido em X, preservando a probabilidade ergodica P = Pψ. Entaopara toda funcao contınua f tal que

∫

Xf(x)dP (x) =

∫

Xf(x)ψ(x)dx <

∞, existe uma constante c e existe um conjunto B de probabilidadetotal tal que para todo ponto x ∈ B

c = limt→∞

1

t

∫ t

0

f(Sτx)dτ = limt→∞

1

t

∫ t

0

f(S−τx)dτ.

O valor c naturalmente depende de f e pode ser obtido como

c =

∫

X

f(y)dP (y) =

∫

X

f(y)ψ(y)dy.

Vamos recordar mais uma vez a definicao de tempo de ocupacaoassintotico (ver Secao 10, Capıtulo 3 [L]), desta vez no caso de tempocontınuo t ∈ R.

Definicao 37**: Dado um conjunto A ⊂ X e uma condicao inicialx ∈ X,

limt→∞

1

t

∫ t

0

IA(Sτx)dτ = oA(x)

e chamado de tempo de ocupacao assintotico de A comecando em x.

Uma consequencia importante do teorema anterior e que, no casode P ser ergodico para St, entao para todo x em um conjunto B de

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probabilidade total para P , a orbita de x pelo sistema dinamico St(x)determina um tempo de ocupacao assintotico de um conjunto abertoqualquer A ⊂ X tal que o(A)(x) = P (A).

Isto e verdade, porque pelo Teorema 2.2, dado um subconjunto Ae considerando f = IA acima obtemos

limt→∞

1

t

∫ t

0

IA(Sτx)dτ =

∫

X

IA(z)dP (z) =

=

∫

A

dP (z) = P (A) = c = constante

para x em um conjunto B de probabilidade total para µ.

Logo, se um sistema e ergodico, existe B tal que P (B) = 1 e parax ∈ B o tempo de ocupacao assintotico de um conjunto aberto A naodepende do valor x.

A analogia do Teorema Ergodico com tempo contınuo t ∈ R parao Teorema Ergodico com tempo discreto n ∈ N visto anteriormentee transparente.

Examinaremos, agora, um tipo importante de sistema dinamicocom tempo contınuo: o grupo de translacoes a um parametro no toro.

Seja X =Torn = S1 ×S1 × ...×S1 (n fatores) o toro de dimensaon. Um ponto desse espaco pode ser representado pelo sistema denumeros complexos z = (z1, z2, ..., zn), |zk| = 1, 1 ≤ k ≤ n. Note quee possıvel escrever zk = e2πixk (xk ∈ R); entao, o mesmo ponto z podeser identificado com o sistema de numeros reais x = (x1, x2, ..., xn) ∈[0, 1)n, definidos mod 1 (neste caso, podemos assumir que 0 ≤ xk <1). A primeira notacao e conhecida como multiplicativa, e a segunda,como aditiva.

Sendo assim iremos identificar o toro com o conjunto [0, 1)n ondeidentificamos faces opostas do paralelepıpedo. Definiremos o sistemadinamico das translacoes no toro Torn pela expressao

Stz = (z1e2πiλ1t, z2e

2πiλ2t, ..., zne2πiλnt)

ou, equivalentemente, com

Stx = (x1 + λ1t( mod 1), x2 + λ2t( mod 1), ..., xn + λnt( mod 1)),

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onde λ1, λ2, ..., λn sao numeros reais fixos. Cada St e dita umatranslacao no toro, e por isso St e chamado um grupo de translacoesa um parametro em Torn, definido pelo vetor λ = (λ1, λ2, ..., λn).

Note que a probabilidade uniforme no toro dµ =∏nk=1 dxk e

invariante em relacao a St. Isto porque, como St(A) e apenas umtransladado de A, ∀A, entao St(A) e A tem a mesma area. Logo Stpreserva o volume dx1...dxn. Note que µ(Torn) = 1. Sendo assim sedefinirmos µ(A) =

∫

Adx1...dxn, a probabilidade uniforme µ resulta

ser invariante para o sistema dinamico St em [0, 1)n.O conjunto dos vetores a(t) = (e2πiλ1t, e2πiλ2t, ..., e2πiλnt), −∞ <

t < ∞, define a trajetoria do zero atraves da evolucao temporal dosistema dinamico St.

O Sistema Dinamico St acima definido e muitas vezes chamadocondicionalmente periodico, sendo λk (1 ≤ k ≤ n) suas frequencias.

Exemplo 2.13. O exemplo mais simples de tais sistemas St foiapresentado nos Exemplos 2.11 e 2.12: para α fixo, St(x) = x +αt(mod1), α 6= 0. Neste caso a probabilidade invariante P e a proba-bilidade uniforme em [0, 1). Uma pergunta natural e quando que P eergodica para tal St.

Vamos mostrar agora que tal P e sempre ergodica para tal St.

Observacao 2.6. Pode-se mostrar (ver [M1]) que um fluxo Ste ergodico para µ, se e so se, vale que para toda funcao f tal que∫

Xfdµ < ∞ e f(St(x)) = f(x) para todo x, entao e porque f(x) =

const. =∫

Xf dµ para um conjunto de pontos x em um conjunto B

de probabilidade total para µ.

Vamos usar o resultado mencionado na observacao acima paramostrar que St e ergodico para a probabilidade uniforme.

Considere fixado um ponto x ∈ [0, 1). Observe que variando t,St(x) percorre todos os valores possıveis y do intervalo [0, 1). Logo,para uma dada funcao f , f(St(x)) = f(x) significa que para todoy ∈ [0, 1), f(y) = f(x). Logo f e constante. Sendo assim pela ultimaobservacao St e ergodico.

Vamos apresentar agora uma outra prova da ergodicidade da Stacima definida, e que vai motivar a demonstracao do proximo teo-rema. Considere um funcao f que seja invariante para St, ou seja,

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f(St(x)) = f(x) para qualquer x ∈ [0, 1). Escreva f em serie deFourier

f(x) =∑

s∈Z

cse2πisx.

Como f e invariante

f(St(x)) =∑

s∈Z

cse2πis(x+αt) =

∑

s∈Zcse

2πisαte2πisx =

=∑

s∈Zcse

2πisx = f(x).

Logo, concluımos pela unicidade da Serie de Fourier de uma funcao,que ∀s ∈ Z,∀t ∈ R, cse

2πisαt = cs, ou seja que se cs 6= 0, para todot vale que e2πiαst = 1. Portanto α s = 0, e como α 6= 0, isto e im-possıvel a menos que s = 0. Portanto, cs = 0 para s 6= 0. Logo f econstante em quase toda parte com relacao a probabilidade uniformeP pois sua serie de Fourier e constante igual a c.

Logo, pela ultima observacao St(x) = x+ αt e sempre ergodico.

Sera que St(x1, x2, .., xn) = (x1 + λ1t(mod1), ..., xn + λnt(mod1))tambem e ergodico para a probabilidade uniforme? A resposta e: nem sempre! Sera necessario assumir alguma hipotese sobre osλ1, .., λn. Estas condicoes serao estabelecidas pelo proximo teorema.

Teorema 2.3. Para que um fluxo condicionalmente periodico St sejaergodico e necessario e suficiente que os numeros λ1, λ2, ..., λn sejamracionalmente independentes, isto e, que igualdades da forma s1λ1 +s2λ2 + ...+ snλn = 0, onde s1, s2, ..., sn ∈ Z sejam possıveis apenasquando s1 = s2 = ... = sn = 0.

Demonstracao:Vamos utilizar o criterio estabelecido pela ultima observacao para

demonstrar o resultado desejado.Primeiro, provaremos a suficiencia. Suponhamos que os numeros

λ1, λ2, ..., λn

sejam racionalmente independentes.Vamos mostrar que qualquer f tal que f(St(x)) = f(x), e tal que

f e constante fora de um conjunto de probabilidade uniforme nula.

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A funcao f em Torn tomando valores reais, pode ser expandidaem uma serie de Fourier que convirja na media quadratica, ou seja,

f(x) =∑

s

cs e2πi(s1x1+s2x2+...+snxn),

onde s = (s1, s2, ..., sn) ∈ Zn, e a soma e tomada sobre a famılias des ∈ Zn.

Da invariancia de f obtemos

f(Stx) =∑

s

cs e2πi[s1(x1+λ1t)+s2(x2+λ2t)+...+sn(xn+λnt)]

=∑

s

cs e2πi(s1λ1+s2λ2+...+snλn)t . e2πi(s1x1+s2x2+...+snxn) = f(x)

=∑

s

cse2πi(s1x1+s2x2+...+snxn),

a menos de um conjunto de probabilidade uniforme zero (lembre quea serie de Fourier de uma funcao f e definida a menos de um conjuntode probabilidade uniforme 0.

Em virtude da unicidade do coeficiente de Fourier,

cs = cse2πi(s1λ1+...+snλn)t,

isto e, para todo s ou cs = 0 ou e2πi(s1λ1+...+snλn)t = 1. A segundaigualdade so e valida quando (s1λ1 + ... + snλn)t = p, onde p ∈ Z.Como t e arbitrario, isto acontece apenas se s1λ1 + ... + snλn = 0,ou seja, se s1 = ... = sn = 0, pois estamos supondo que λ1, ..., λneram racionalmente independentes. Logo, para todo s 6= (0, 0, ..., 0),temos que cs = 0. Note que o argumento nao pode ser aplicado a c0.Portanto, todos os coeficientes de Fourier cs tais que s 6= 0 sao nulos.Logo, temos que f(x) = c0 = constante a menos de um conjunto deprobabilidade zero. Portanto, pela Observacao 2.6, concluımos queP e ergodica.

Agora, provaremos a necessidade. Suponhamos que haja um vetornao-nulo s = (s1, ..., sn) com coordenadas inteiras tais que s1λ1+ ...+snλn = 0. Entao, a funcao f tal que

f(x) = e2πi(s1x1+...+snxn)

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nao e constante (mod 0), mas e invariante em relacao a St pois

f(Stx) = e2πi[s1(x1+λ1t)+...+sn(xn+λnt)]

= e2πi(s1λ1+...+snλn)t.e2πi(s1x1+...+snxn) = f(x).

Portanto, St nao e ergodico, o que e uma contradicao. Assim,completamos a prova do teorema.

Exemplo 2.14. Segue do teorema acima que o sistema dinamico

St(x1, x2) = (x1 + t (mod1), x2 + αt (mod1))

e ergodico, se, e somente se, α e irracional.

Considere agora o Hamiltoniano H(q, p) = p21 + p2

2 + ...+ p2n.

Para p0 = (λ1, λ2, ..., λn) fixado considere o subconjunto D doR

2n constituıdo pelos pontos da forma

(q, p0) = (q1, q2, ..., qn, p1, ..., pn) = (q1, q2, ..., qn, λ1, ..., λn),

onde (q1, q2, ..., qn) ∈ [0, 1]n.Podemos considerar que este sistema Hamiltoniano oriundo de tal

H(q, p) esta definido em q ∈ Rn (mod 1), descrevendo assim um fluxo

Hamiltoniano no toro [0, 1)n.E facil ver que D e invariante para o fluxo Hamiltoniano φt gerado

porH. Por exemplo, D pode ser obtido atraves de superfıcies de nıvelde integrais primeiras do tipo Vi(q, p) = pi = λi. E tambem facil vera projecao π1 (φt ) (onde π1(q, p) = q) do fluxo φt e na verdade igualao St(q) = π1 φt(q, p0) acima descrito.

Como a velocidade p(t) das solucoes (q(t), p(t)) do HamiltonianoH e constante igual a p0 = (λ1, ..., λn) entao podemos pensar queSt e apenas uma mudanca de coordenadas π1 do fluxo Hamiltoni-ano (restrito a D) determinado por tal H. Sendo assim entender aevolucao temporal do sistema dinamico St das translacoes no toro ena verdade entender a evolucao de um sistema mecanico periodicosem energia potencial.

Observacao 2.7. Com relacao ao Teorema acima ha um esclareci-mento importante a fazer: em todos os nossos argumentos, a condicao

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de ergodicidade do fluxo no toro, foi equivalente a independencia ra-cional dos numeros λ1, ..., λn; ora, nem sempre a condicao de inde-pendencia racional dos numeros λ1, ..., λn e verdadeira (por exem-plo, se todos os λi forem racionais). Felizmente, o conjunto dos(λ1, ..., λn) que nao sao racionalmente independentes, tem probabi-lidade zero em relacao a probabilidade de dλ1...dλn em [0, 1)n (verExercıcio 5).

Sendo assim, escolhendo um conjunto de valores (λ1, ..., λn) aoacaso em R

n de acordo com a probabilidade uniforme em dλ1...dλnobteremos um sistema que tem otimas propriedades estatısticas. Por-tanto, do ponto de vista probabilıstico podemos afirmar que o sistemaobservado na natureza (escolhendo os λ1, ..., λn com probabilidade to-tal em R

n) possui propriedades estatısticas otimas para as trajetoriascomecando em x num conjunto de probabilidade total.

Dizemos que um sistema tem propriedades estatısticas otimas separa um conjunto de probabilidade total de condicoes iniciais, as tra-jetorias visitam uma dada regiao A com a mesma frequencia assin-totica.

Note que a afirmacao do sistema ter otimas propriedades estatıs-ticas nao pode ser feita para “todos”os possıveis sistemas λ1, ..., λncondicionalmente periodicos.

Exemplo 2.15. Considere um ponto de equilıbrio de um sistema Ha-miltoniano natural unidimensional H(q, p) = 1

2p2 + V (q) onde V (q)

tem mınimo local em 0. Suponha que d2V (q)dq2 |q=0 > 0. O sistema Ha-

miltoniano em torno do ponto (0, 0) e integravel e as curvas de nıvelpara o Hamiltoniano sao curvas fechadas envolvendo o ponto (0, 0).

Conforme vimos na Secao 7, Capıtulo 3 expressao (3.5) [L], ofluxo Hamiltoniano pode ser localmente escrito em coordenadas acao- angulo (θ, I) atraves da equacao

θ = w(I) , I = 0.

As solucoes deste sistema, como vimos antes sao da forma(θ(t), I(t)) = (θ0 + w(I0) t, I0), onde (θ0, I0) e a condicao inicial.

Logo, em variaveis acao-angulo, o fluxo Hamiltoniano φt restritoa curva de nıvel I = I0 = constante, e da forma φt(θ0, I0) = (θ0 +w(I0)t, I0).

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A partir de φt, considerando apenas a variavel θ, obtemos no nıvelde energia correspondente a I0 o sistema dinamico

St(θ) = θ + w(I0) t (mod 1).

Este sistema dinamico foi analisado anteriormente e e sempreergodico.

Retornando as variaveis (q, p) o resultado analogo sera tambemverdadeiro.

Desta maneira, pelo que vimos acima, o fluxo Hamiltoniano φtrestrito a uma curva de Energia constante, proxima ao ponto deequilıbrio e ergodico. Sendo assim, a Hipotese Ergodica de Boltz-mann e verdadeira neste caso.

Sera que a mesma propriedade e valida para o caso analogo n-dimensional?

Considere agora o sistema n-dimensional H(q, p) = |p|22 + V (q)

com q e p em Rn e suponha que V (q) tenha mınimo local em q =

0 ∈ Rn. Suponha ainda que V (q) = 1

2a21q

21 + .. + 1

2a2nq

2n. Esta

hipotese nao e muito restritiva, na verdade, pode-se mostrar que emum sentido generico, todo campo Hamiltoniano da forma H(q, p) =|p|2 + V (q) que tem mınimo local q0 para V , pode ser represen-tado localmente atraves de mudancas de coordenadas deste forma(ver [A-M] e [Milnor]).

A equacao de Hamilton, neste caso, e separavel em n equacoes

q′′

i − aiqi = 0, i ∈ 1, 2, ..., n.

Nao e difıcil ver que cada plano (qi, pi) e invariante pelo fluxo Ha-miltoniano φt, que cada trajetoria (qi(t), pi(t)) e periodica no plano(qi, pi) e que sao validos em cada um destes planos (qi, pi) os resul-tados que obtivemos na Secao 7, Capıtulo 3 [L], obtendo variaveisacao-angulo (θi, Ii) e frequencias wi = w(Ii) = ai, i ∈ 1, 2, ..., n.O fluxo Hamiltoniano φt em coordenadas acao-angulo e dado por(θi(t), Ii(t)) = (θi0 + ai t (mod1), Ii0).

E facil ver que o conjunto dos (θ1, I1, θ2, I2, ..., θn, In) tal que

I1 = I10 , I

2 = I20 , ..., I

n = In0

define uma superfıcie S invariante para o fluxo Hamiltoniano.

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Logo fixada a condicao inicial (θ10, I10 , θ

20, I

20 , ..., θ

n0 , I

n0 ), de maneira

analoga ao caso unidimensional tratado acima, nas coordenadas(θ1, .., θn) o fluxo Hamiltoniano φt restrito a S se escreve como

St(θ10, ..., θ

n0 ) = (θ1(t), θ2(t), ..., θn(t)) =

= (θ10 + ait(mod1), ..., θn0 + ant(mod1))

e define em S uma translacao St condicionalmente periodica no sen-tido anteriormente considerado.

Pergunta: O fluxo Hamiltoniano e ergodico quando restrito a talsuperfıcie S?

Como veremos, a resposta e afirmativa se os ai sao racionalmenteindependentes.

Note que o resultado a seguir nao e para a superfıcie de Ener-gia constante E, mas para a superfıcie S acima definida (e que estaestritamente contida num nıvel de Energia E).

A partir do Teorema 2.3 e da Observacao 2.7, concluımos que nocaso do sistema mecanico com potencial V (q) = 1

2a21q

21 + ...+ 1

2a2nq

2n,

o fluxo φt = St e ergodico em S se os a1, ..., an sao escolhidos aoacaso de acordo com a probabilidade uniforme. Em funcao do quefoi dito acima no caso de um sistema mecanico real, assumir que osai satisfazem tal propriedade e uma hipotese bastante razoavel.

O resultado obtido para (θ1, I1, ..., θn, In) pode ser tranferido viamudancas de coordenadas para o sistema Hamiltoniano inicial nasvariaveis (q, p). Sendo assim, podemos afirmar neste caso, que lo-calmente em torno do ponto de equilıbrio (0, 0) no plano (q, p), aHipotese de Boltzmann vale para a superfıcie com variavel AcaoIi0, i ∈ 1, 2, .., n constante, se o potencial V (q) = 1

2a21q

21 + ...12a

2nq

2n

e tal que os ai, i ∈ 1, .., n sao escolhidos ao acaso de acordo coma probabilidade uniforme em R

n. Sendo assim, localmente e nestesentido um pouco mais fraco (restricao sobre uma escolha ao acasodos ai), a Hipotese de Boltzmann e verdadeira.

Chamamos a atencao para um fato: a ergodicidade do fluxo Stnao implica a ergodicidade do difeomorfismo T = St para um valor tfixo.

Agora nos concentraremos no estudo de uma das muitas aplicacoesdos sistemas dinamicos no toro: o problema de Lagrange, que surgiu

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de algumas questoes de Mecanica Celeste e que tem estimulado odesenvolvimento da teoria das funcoes quase periodicas.

Considere um sistema constituıdo por n pendulos com hastes detamanhos distintos acoplados um ao outro e com o extremo inicialfixo (ver Figura 2.4). Sejam n numeros complexos a1, a2, ..., an (nvetores no plano). Examinaremos a curva no plano complexo dadapela equacao

z(t) = a1e2πiλ1t + a2e

2πiλ2t + ...+ ane2πiλnt.

O significado geometrico da funcao z e o seguinte: suponhamosque haja um vetor a1 no plano, que o vetor a2 esteja ligado a extre-midade de a1 e que cada um dos outros esteja ligado a extremidadedo anterior. Se a1 girar em torno de sua origem fixa (o ponto (0,0))com velocidade angular constante λ1, a2 girar ao mesmo tempo emtorno de sua origem (a extremidade de a1) com velocidade angular λ2

e assim por diante, a curva dada por z e a trajetoria da extremidadedo vetor an. A Figura 2.5 ilustra o caso em que n = 3.

Suponhamos que z(t) nao se anule para nenhum t. Entao podemosrepresentar z(t) na forma

z(t) = r(t)e2πiφ(t),

onde φ e uma funcao contınua de t (veja a Figura 2.5).Lagrange formulou a seguinte pergunta: “Existe

ω = limt→∞

1

tφ(t),

e, se existir, como podemos determina-lo?” Em outras palavras,com que velocidade angular media a extremidade do vetor an giraem torno da origem do vetor a1?

A resposta, no caso em que

|a2| + |a3| + ...+ |an| < |a1| , (2.1)

e simples de ser obtida, pois φ(t) = λ1t+ α(t), onde α e uma funcaolimitada, ou seja, |α(t)| ≤ αmax. Claramente, temos que ω = λ1.

Isto se deve ao fato que a rotacao limite de z(t) e determinadaapenas por a1, pois as outras hastes sao muito curtas em relacao aa1.

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Se a desigualdade (2.1) nao for valida, o problema torna-se razo-avelmente difıcil, sendo que o proprio Lagrange o resolveu somentecom dois vetores.

Consideraremos, agora o caso generico com n hastes, onde exibi-remos a relacao entre esse problema e a teoria ergodica.

Tomando os logaritmos de ambos os lados da equacao de z(t),obtemos

φ(t) = Re

(1

2πilog z(t)

)

,

(onde Re(z) representa a parte real de z, isto e, Re(a + bi) = a) eentao

dφ

dt(t) = Re

(1

2πi

z′(t)

z(t)

)

= Re

n∑

k=1

λkake2πiλkt

n∑

k=1

ake2πiλkt

=

= Re

n∑

k=1

λk|ak|e2πi(xk+λkt)

n∑

k=1

|ak|e2πi(xk+λkt)

,

onde x = (x1, x2, ..., xn) determina a posicao inicial dos vetores a1,a2, ..., an, ou seja,

ak = |ak|e2πixk , 1 ≤ k ≤ n

(note que, utilizando a igualdade anterior, podemos escrever

z(t) = |a1|e2πi(x1+λ1t) + |a2|e2πi(x2+λ2t) + ...+ |an|e2πi(xn+λnt)).

Consideremos o toro Torn = [0, 1)n e o fluxo condicionalmenteperiodico determinado pelo vetor λ = (λ1, λ2, ..., λn). A medida uni-forme µ no toro (visto como subconjunto do R

n) e invariante para ofluxo como ja vimos antes. Suponhamos inicialmente que os numerosλ1, ..., λn sejam racionalmente independentes, de forma que o fluxocorrespondente seja ergodico.

Usando a notacao aditiva, definamos a seguinte funcao em Torn:

f(x) = f(x1, ..., xn) = Re

n∑

k=1

λk |ak| e2πixk

n∑

k=1

|ak| e2πixk

. (2.2)

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Entao, e valida a igualdade

dφ

dt(t) = f(Stx),

e, por isso,

φ(t2) − φ(t1) =

∫ t2

t1

f(Sτx)dτ.

O limite que desejamos encontrar pode ser, portanto, reescritocomo

limt→∞

φ(t)

t= limt→∞

1

t

∫ t

0

f(Sτx)dτ.

Se a funcao f fosse limitada e contınua, este limite existiria paratodo x ∈Torn e seria, de acordo com o teorema ergodico, igual a

∫

Tornfdµ.

Contudo, o denominador em (2.2) pode se anular. A condicao

n∑

k=1

|ak|e2πixk = 0 (2.3)

e, na verdade, um sistema de duas equacoes em relacao a x1, ..., xn(tanto a parte real como a imaginaria da soma devem ser iguais azero). Isso implica que os pontos onde a equacao (2.3) vale constituemuma subvariedade diferenciavel de codimensao 2 em Torn = [0, 1)n.Portanto, o conjunto de todas as trajetorias que a interceptam e umasubvariedade de dimensao n − 1, e sua probabilidade uniforme em[0, 1)ne zero. Entao, para uma trajetoria escolhida aleatoriamente, aequacao (2.3) nao vale com probabilidade 1. Usando essas considera-coes, suponhamos que o teorema ergodico seja aplicavel e substitua-mos a integral ao longo da trajetoria pela integral sobre o toro.

Temos que

∫

Tornfdµ = Re

∫

Torn

n∑

k=1

λk |ak| e2πixk

n∑

k=1

|ak| e2πixk

dx1dx2...dxn =n∑

k=1

λk |ak|Wk,

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onde

Wk = Re

∫

Torn

e2πixk

n∑

j=1

|aj | e2πixj

dx1...dxn.

E importante interpretarmos esse resultado. Para tal fim, deve-mos reescrever a integral sobre o toro na forma de integrais iteradas,efetuando a integracao em relacao a xk. Entao,

Wk = Re

∫

Torn−1

[∫ 1

0

e2πixk

B + |ak| e2πixkdxk

]

dx1...dxk−1dxk+1...dxn,

onde B e o somatorio de todos os termos tais que j 6= k.Quando xk varia de 0 a 1, o ponto Z = B + |ak| e2πixk descreve

um cırculo C no plano complexo na Figura 2.5. Portanto,

∫ 1

0

e2πixk

B + |ak| e2πixkdxk =

1

2πi |ak|

∫ 1

0

Z ′(xk)

Z(xk)dxk =

1

2πi |ak|

∫

C

1

ZdZ.

A ultima expressao e igual a 1|ak|, se o disco delimitado por Ccontem a origem; caso contrario, e igual a zero.

O cırculo delimita um disco contendo a origem se |B| < |ak|.Logo,

Wk =1

|ak|P(

(x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xn) ∈ Torn−1| |B| < |ak|),

onde P e a probabilidade de Lebesgue em Torn−1.A independencia racional de λ1, ..., λn implica a de

λ1, ..., λk−1, λk+1, ..., λn.

Portanto, o fluxo em Torn−1 tambem e ergodico. Como, nessecaso, o tempo relativo que uma trajetoria escolhida aleatoriamentepermanece em um dado conjunto mensuravel e igual a probabilidadedeste, o resultado obtido pode ser interpretado da seguinte maneira:|ak|Wk e a parte desse tempo em que a rotacao do vetor ak contribuipara a funcao φ.

O problema de Lagrange ilustra um fato que e bastante natural emMecanica Classica: existe um conjunto desprezıvel de situacoes ruins,

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mas para condicoes iniciais fora deste conjunto de probabilidade zero,um resultado bastante forte e preciso do ponto de vista estatısticopode ser enunciado para o sistema mecanico em consideracao.

Exercıcios

1. Mostre que se A = γ for uma curva diferenciavel em [0, 1]×[0, 1],entao A tem probabilidade zero para probabilidade uniforme em[0, 1] × [0, 1].

2. Considere P a probabilidade uniforme em [0, 1]. Mostre que seF e um difeomorfismo de classe C1 de [0, 1] em si mesmo e Atem probabilidade zero, entao F (A) tem probabilidade zero.

3. Seja T (x) = 2x (mod 1), T [0, 1] → [0, 1]. Mostre que T e in-variante e e ergodica para a probabilidade uniforme P . Su-gestao: considere um conjunto A e escreva IA em serie deFourier. A seguir, suponha que T−1(A) = A, e conclua queIT−1(A)(x) = IA T (x) = IA(x). O resultado e obtido igua-lando os correspondentes coeficientes de Fourier de IA e IA T .

4. Mostre que se λ e irracional, entao T (x) = x + λ (mod 1),T [0, 1] → [0, 1], e tal que existe um conjunto K ⊂ [0, 1] tal quepara todo x ∈ K a orbita de x e densa em [0, 1].

5. Mostre que uma superfıcie de dimensao d < n em Rn temprobabilidade uniforme 0 em R

n

6. Mostre que o conjunto dos pontos (x1, x2, ..xn) racionalmenteindependentes tem medida total em R

n.

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Capıtulo 3

A Teoria de Aubry para

Quase-Cristais e

Exemplos do Tipo

KAM

Vamos descrever a seguir uma versao discretizada da Acao de umSistema Hamiltoniano que e semelhante em um certo sentido ao pro-cedimento que utilizamos na secao 11 na qual analisamos bilharesdeterminados por curvas convexas. Neste modelo o fenomeno deno-minado KAM (de Arnold, Kolmogorov e Moser) ira aparecer e iremosfazer uma analise matematica do problema em primeira aproximacao.

Ressaltamos que alguns dos resultados apresentados nesta secaonao estao de todo formalizados de maneira matematicamente rigo-rosa. Nosso objetivo e apresentar algumas das ideias e conceitosprincipais como motivacao para o estudo da Teoria de Aubry-Mather[CRZ], [Au1], [Au2], [CI], [Fat], [M2], [MH], [MF], [dL], [B] e [LC].

A equacao de Hamilton para o Hamiltoniano natural H(q, p) =12p

2 − V (q), q, p ∈ R e

q = p

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54 [CAP. 3: A TEORIA DE AUBRY

p =∂V

∂q.

Trocamos o sinal do potencial V acima apenas para obter ao fi-nal de nossas consideracoes um sistema a tempo discreto dentro danotacao de Aubry [Au1] e [Au2].

Uma versao em diferencas finitas de tal equacao e

qi+1 = qi + pi+1∆t

pi+1 = pi + ∆t∂V

∂qi|qi.

Tomando ∆t = 1, obtemos

G(qi, pi) = (qi+1, pi+1) = (qi + pi+1, pi∂V

∂qi|qi

).

O leitor pode facilmente checar que tal transformacao do planono plano preserva area, bastando para isso mostrar que a matrizJacobian tem determinante 1.

Aplicacoes do tipo acima representam uma versao discretizadadas equacoes de Hamilton e preservam area como veremos em breve(ver Lema 3.1).

Na verdade existe um modelo com real significado fısico que podeser representado por tal aplicacao. Este modelo (ver [B], [MF], [Au1],[Au2] e [Me] para mais detalhes) sera brevemente descrito abaixo.

A teoria que vamos considerar agora aparece na analise de algunsmodelos fısicos para ions mergulhados em plasma. Consideraremostambem alguns exemplos da Teoria KAM que aparecem no modelo.

Nao iremos fazer uma analise completa da equacao das curvasque aparecem nos fenomenos da Teoria KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), mas iremos apenas dar uma visao esquematica de como ana-lisar a equacao associada as curvas KAM em primeira aproximacao.O problema com esta simplificacao permitira ao leitor ter uma ideiaporque aparecem pequenos denominadores e propriedades da Teoriados Numeros (ver [Le] e [Kh] para referencia) e das Series de Fourier(ver [Fi] e [Ju] para referencia) na Teoria. Com esta simplificacaoestaremos evitando certos detalhes tecnicos complicados (mas im-portantes [A2], [H] e [Ba]), e cuja dificuldade esta acima do nıvel quedesejamos manter no presente texto.

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Considere na reta real o Potencial V (u) periodico de perıodo 1e assuma tambem que V (0) = 0, V ′(0) = 0 e V ′′(u) > 0,∀u ∈(−1/2, 1/2] (ou alternativamente em (0, 1]). Vamos considerar (Fi-gura 3.1) como um caso particular importante o exemplo em que

V (u) =1

2(1 − cos 2πu).

O modelo que vamos analisar e descrito por varios atomos cujaposicao ui ∈ R e descrita por arranjos uii∈Z, onde i ∈ Z. Estesatomos formam uma cadeia e estao acoplados de forma que cadaatomo na posicao ui sofre influencia apenas dos atomos vizinhos nasposicoes ui−1 e ui+1.

Nosso objetivo e analisar os arranjos uii∈Z que tem significadofısico real. A seguir vamos descrever como sao tais arranjos.

O termo de energia cinetica na reta real sera dado por

W (u) =1

2u2,

que vai ser na verdade uma funcao da distancia entre ui+1 e ui. Maisprecisamente, a energia cinetica sera dada por

W (ui+1 − ui) =1

2(ui+1 − ui)

2.

Fazendo um analogia com a Mecanica Classica, o valor ui+1−ui

1faz o papel da velocidade (ou momento) no modelo, e assim por suavez 1

2 (ui+1 − ui)2 desempenha o papel da Energia Cinetica.

A ideia neste modelo e substituir equacoes diferenciais da MecanicaClassica por equacoes de diferencas. Deste modo, de maneira analoga,e natural introduzir um parametro externo λ que vai estabelecer aaltura do poco do potencial λV .

De maneira analoga ao caso classico (nao discretizado), o La-grangiano natural S agindo sobre cada partıcula, e Energia Cineticamenos Energia Potencial, ou seja a acao individualizada ligando ui aui+1 vai ser dada por

S(ui+1, ui) = λV (ui) +W (ui+1 − ui) (3.1)

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Definicao 3.1. Considere um arranjo uii∈Z. Para n < m fixados,a Acao Total do arranjo uii∈Z de n a m e dada por

φ(ui) =

m−1∑

i=n

λV (ui) +W (ui+1 − ui) =

m−1∑

i=n

S(ui+1, ui).

A Acao Total de n a m e a soma das Acoes individuais (3.1) ecorresponde na Mecanica Classica a

∫Sdq.

Definicao 3.2. Um arranjo uii∈Z vai ser minimal para a AcaoTotal, se para todo n e m fixos n < m, e para todo arranjo vi talque vn = un e vm = um vale que

φ(ui) =

m−1∑

i=n

λV (ui) +W (ui+1 − ui) ≤ φ(vi) =

=m−1∑

i=n

λV (vi) +W (vi+1 − vi).

A condicao de um arranjo ser minimal, acima definida, e clara-mente inspirada pelo Princıpio de Mınima Acao (ver Secao 9, Capı-tulo 3 [L]).

Definicao 3.3. Um arranjo uii∈Z e crıtico para a Acao Total separa todo n e m, n < m fixados vale que

∂φ

∂ui= 0, ∀ i ∈ n+ 1,m− 1.

Isto e, um arranjo e crıtico se mantendo os extremos un e um fixose variando as posicoes intermediarias ui, a expressao acima e crıticapara tais variacoes ui. Note a semelhanca da ultima expressao coma Proposicao 1.2 da Secao 1 sobre bilhares convexos.

Todo arranjo minimal e claramente crıtico, embora a recıprocanao seja sempre verdadeira. Na teoria que vamos brevemente des-crever a seguir, do ponto de vista fısico e tambem do ponto de vistamatematico, os resultados interessantes concernem os arranjos mini-mais e nao apenas os arranjos crıticos.

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Os arranjos que sao fisicamente observados no problema acimadescrito sao na verdade os arranjos minimais.

Primeiramente vamos determinar um metodo para encontrar ar-ranjos crıticos.

Note que para um arranjo uii∈Z, cada valor ui, n < i < maparece na acao total φ de n a m em apenas dois termos

S(ui+1, ui) + S(ui, ui−1) =

λV (ui) +W (ui+1 − ui) + λV (ui−1) +W (ui − ui−1).

Para calcular a expressao do arranjo crıtico, derivamos a ultimaexpressao em relacao a ui e considerando V , W como acima, obtere-mos

0 = λV ′(ui) − (ui+1 − ui) + (ui − ui−1).

Logo, obtemos a equacao

0 = λV ′(ui) + 2ui − (ui+1 + ui−1),

a qual toda solucao crıtica uii∈Z deve satisfazer.Sendo assim, obtemos de maneira equivalente

−λ2V ′(ui) = ui −

ui+1 + ui−1

2. (3.2)

Por exemplo, como V (0) = 0 e W (0) = 0, concluımos que oarranjo ui = 0,∀i ∈ Z, e crıtico para acao total.

Uma interpretacao pictorica da expressao (3.1) e que a forca (me-nos a derivada do potencial)

−λ2V ′(ui)

e equilibrada pelo deslocamento de ui da posicao de equilıbrio (pontomedio ui+1+ui−1

2 ) da corda elastica ligando ui−1 a ui+1 (Lei de Hooke)conforme mostra Figura 3.28.

Deste ponto de vista, o arranjo uii∈Z parece descrever umelastico fixo na posicao un e um, em que pela Lei de Hooke, o afasta-mento do elastico na posicao ui da posicao intermediaria ui−1+ui+1

2 ,e equilibrada pela forca criada pelo potencial agindo em cada retax = i.

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O modelo acima descreve exatamente quase-cristais, que sao ob-jeto de estudo recente em Fısica da Materia e da Teoria do Plasma[Au].

Voltemos agora a analisar que propriedades podemos obter sobreos arranjos crıticos definidos acima.

A expressao (3.2) para um arranjo crıtico uii∈Z pode ser ex-pressa numa relacao de tres termos como

ui+1 = λV ′(ui) + 2ui − ui−1.

No modelo em que V (u) = 12 (1−cos 2πu), um arranjo crıtico (ver

Definicao 3.3) pode ser calculado conforme (3.2) por uma relacao detres termos

ui+1 = λπ sin 2πui + 2ui − ui−1.

Logo o arranjo uii∈Z pode ser calculado a partir de u0 e u1

inicial pela relacao de tres termos acima descrita.Passando a uma relacao de pares (ui+1, ui) obtemos

(ui+1

ui

)

= T

(uiui−1

)

=

(2ui + λπ sin 2πui − ui−1

ui

)

a partir de coordenadas iniciais (u1, u0) ∈ R2.

As solucoes crıticas uii∈Z sao obtidas portanto atraves das or-bitas de T .

E natural interpretar o momento pi como uma nova variavel,

pi = ui − ui−1,

em funcao da analogia do problema descrito acima com a versaodiscretizada da Mecanica Classica no espaco de fase (p, q) = (p, u).

Vamos a seguir expressar a aplicacao T mencionada anteriormenteem coordenadas (p, u).

Antes disso, note tambem que se uii∈Z e arranjo crıtico, ui +1i∈Z tambem e arranjo crıtico. Este fato nos sugere considerar osui (mod 1) para simplificar o problema.

Algumas vezes vamos considerar os ui tomados (mod 1) e outrasvezes nao. No primeiro caso (ui, pi) esta em [0, 1)×[0, 1) e no segundocaso (ui, pi) esta em R

2.Para nao confundir o leitor vamos reservar a letra q para u (mod 1).

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Seja qi o valor ui (modulo 1), como pi+1 = ui+1−ui (mod 1) (quee o mesmo que qi+1 − qi (mod 1)), obtemos a transformacao acimadefinida T agindo sobre ( pi, qi) ∈ [0, 1) × [0, 1) como

T

(piqi

)

=

(pi+1

qi+1

)

=

(pi + λπ sin 2πqi (mod 1)pi+1 + qi (mod 1)

)

que e conhecida como a aplicacao padrao, ou standard.Logo a iteracao de uma orbita Tn(p0, q0) = (pn, qn), n ∈ Z a

partir de uma condicao inicial (p0, q0), vai definir na segunda variavelui o arranjo uii∈Z (a menos de um inteiro) a solucao crıtica doproblema acima descrito. Uma infinidade de solucoes qii∈Z saopossıveis, basta tomar diferentes condicoes iniciais (p0, q0). Faremosa seguir (Definicao 3.4, Capıtulo 3) uma restricao que vai determinarum arranjo uii∈Z de maneira unica.

Observo que tomar qi (mod 1) e bastante natural (ou seja suporque o espaco de configuracao e compacto), mas tomar pi (mod 1),em princıpio nao. No caso do modelo de quase-cristais, no entanto,e natural esta segunda hipotese. Estas duas hipoteses de qualquerjeito permitem considerar a iteracao de T num espaco compacto (ouseja fechado e limitado).

Duas trajetorias minimais nao podem se cruzar duas vezes comona Figura 3.2. Esta propriedade e conhecida como a condicao Twist(ver [CRZ] para mais detalhes).

Considerando potenciais V mais gerais (V (u) ou V (q) sempreperiodico de perıodo 1) obterıamos de maneira analoga uma T defi-nida em [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1] por

T

(piqi

)

=

(pi+1

qi+1

)

=

(

pi + λV′

(qi)pi+1 + qi

)

.

Nao estamos colocando o termo (mod 1) na expressao acima, masela esta implıcita no modelo em consideracao.

A aplicacao padrao preserva area. Mostraremos na verdade nocaso mais geral (nao somente para V (q) = 1

2 (1 − cos 2πq)), que aaplicacao T , obtida acima a partir de um potencial V qualquer, pre-serva area. As Figuras desta secao que descrevem iteracoes de T parao caso de V (u) = 1

2 (1−cos 2πu) ocorrem tambem em outras situacoesquando se considera um V geral.

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Vamos usar, a partir de agora, indistintamente as letras q ou u eo contexto vai indicar qual da duas estamos considerando.

Note a semelhanca da aplicacao acima definida com a que apresen-tamos no comeco desta secao e associada a discretizacao da equacaode Hamilton.

Lema 3.1. A aplicacao T dada por

T

(piui

)

=

(pi+1

ui+1

)

=

(

pi + λV′

(ui)pi+1 + ui

)

(3.3)

preserva area.

Demonstracao:Vamos considerar S(Q, q) = S(un+1, un) abaixo.Desejamos mostrar que

∂S

∂un(un+1, un) = −pn

e∂S

∂un+1(un, un+1) = pn+1

A segunda equacao acima descreve trivialmente o que acontececom a variavel pn pela iteracao de T (p, u), pois

S(un+1, un) = λV (un) +1

2(un+1 − un)

2

e pn+1 = (un+1 − un).A equacao das trajetorias crıticas

0 =∂φ

∂un=

∂S

∂un(un+1, un) +

∂S

∂un(un, un−1).

Ora, como vimos

∂S

∂un(un, un−1) = un − un−1 = pn.

Portanto, da equacao da trajetoria crıtica

∂S

∂un(un+1, un) = − ∂S

∂un(un, un−1) = −pn (3.4)

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Logo fica definida atraves de S uma funcao geradora de mudancasde coordenadas

(pn, un) = (p, q) → (pn+1, un+1) = −(P,Q)

atraves de

S(Q, q) = S(un+1, un) = λV (un) +1

2(un+1 − un)

2 =

= λV (q) +1

2(Q− q)2. (3.5)

Note que −(P (q, p), Q(q, p)) preservar area e equivalente a

(P (q, p), Q(q, p))

preservar area.A funcao (pn, qn) → (pn+1, qn+1) assim definida e a T anteri-

ormente considerada. Fica assim determinado (ver Proposicao 17,Capıtulo 3 [L]) que a transformacao T preserva area e e da forma

T

(pnun

)

=

(pn+1

un+1

)

.

onde∂S

∂un(un+1, un) = − ∂S

∂un(un, un−1) = −pn

e∂S

∂un+1(un+1, un) = pn+1.

Existem infinitos possıveis arranjos uii∈Z. Necessitamos imporcondicoes de fronteira do seguinte tipo:

limn−n′→∞

un − un′

n− n′= l

para assim determinar uma solucao crıtica unica a partir de l.

Definicao 3.4. Dada uma configuracao crıtica uii∈Z, o valor ldado por

limn−n′→∞

un − un′

n− n′= l

e chamado distancia media atomica (ou numero de rotacao).

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Na definicao acima devemos considerar u1 e nao qi.Em princıpio nao ha garantia de que exista tal limite para uma

configuracao qualquer. l tambem e chamado de numero de rotacaoda configuracao uii∈Z.

Estamos considerando na expressao acima que os un, un′ nao saotomados (mod 1). Sendo assim l representa uma inclinacao media doconjunto de pontos (i, ui), i ∈ Z, vista com subconjunto de pontosdo R

2.Observe que quanto mais proximo de zero for l, o deslocamento

para a direita de n produzira muitos pontos muito proximos ui (mod1). Neste caso a distancia media entre elementos ui devera ser muitomenor do que para inclinacoes grandes de l. Fica assim justificado onome de distancia media atomica.

Outra interpretracao de l e a seguinte: como un−un′ =∑ni=n′+1 pi,

podemos pensar que l e o momento medio da trajetoria. Isto porque

un − un′

n− n′=

∑ni=n′+1 pi

n− n′.

Propriedade Importante: E possıvel mostrar (ver [Ba]) que fixadol, sob certas condicoes, obtem-se um unico arranjo minimal uii∈Z

(no sentido da Definicao 3.2) com tal valor de distancia media atomical (momento medio).

Fazendo analogia com a Mecanica Classica, fixados posicao e mo-mento medio, desejamos encontrar de maneira unica uma solucaouii∈bfZ (que sera mınima) com aquela posicao inicial e com aquelemomento medio.

No caso λ = 0, entao ui = il+α (linear em i) e solucao, e portanto,ao menos neste caso trivial, sabemos que existe a inclinacao mediaassociada a tal ui.

No caso λ = 0, se l e irracional, a solucao ui = il + α (modulo 1)sera densa em [0,1] (ver [A2]).

A questao relevante no modelo acima descrito e analisar no casogeral λ 6= 0, o arranjo minimal associado a cada valor l. Isto epara cada condicao de fronteira l, deseja-se encontrar propriedadesda solucao minimal com inclinacao media l.

Nesta direcao, o seguinte Teorema (ver [Ba]), que nao sera de-monstrado, e de fundamental importancia.

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Teorema 3.1. Dada uma configuracao uii∈Z mınima, existem le α tal que para qualquer i, os valores ui e il + α (nao estamosconsiderando mod 1) estao no mesmo intervalo [mi,mi + 1] onde mi

e um numero inteiro.

Segue portanto deste teorema que toda solucao minimal tem umvalor de distancia media atomica l.

Definicao 3.5. O valor α acima apresentado e denominado a faseda configuracao crıtica ui.

O proximo teorema vai apresentar um resultado bastante precisosobre as solucoes minimais uii∈Z. Antes necessitamos algumas de-finicoes e resultados da Teoria dos Numeros (ver [A2], [Kh] e [Le]para referencias gerais sobre os topicos que serao considerados aqui).

Definicao 3.6. Um numero l > 0 e do tipo Diofantino se existeγ > 0, r > 2 tal que ∀ p, q ∈ N

∣∣∣∣l − p

q

∣∣∣∣> γ

1

qr. (3.6)

Um numero deste tipo e mal aproximado por racionais , ou seja,ele e “muito irracional”.

Lembre (ver Definicao 2.2, Capıtulo 2) que um subconjunto D dareta tem medida zero se para qualquer ǫ pequeno existe uma cober-tura de D por intervalos [ai, bi], i ∈ N tal que

∑∞i=1(b1 − ai) < ǫ.

Ou seja D e desprezıvel em termos de comprimento, embora possaser um conjunto ate mesmo denso em R (por exemplo o conjunto dosracionais tem medida zero).

Lembre tambem (ver Definicao 2.3, Capıtulo 2) que dizemos queum subconjunto A tem medida total na reta, se o seu complementare desprezıvel, ou seja que o seu complementar tem medida zero.

Observacao 3.1. Se r > 2 e γ > 0 estao fixados, e possıvel mostrar(veja [A2]) que o conjunto de numeros que satisfazem (3.6) na defi-nicao acima, tem medida total em R. Sendo assim, se escolhermosum numero ao acaso de acordo com a probabilidade uniforme emR, este numero sera Diofantino. Nem todos os numeros reais saoDiofantinos.

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Figura 3.1:

Todo numero irracional pode ser aproximado por fracoes contınuas,isto e, x pode ser expresso da seguinte forma

x = n0 +1

n1 + 1n2+

1n3+...

, (3.7)

onde os ni sao numeros naturais.O procedimento e o seguinte: dado x, subtraia sua parte inteira,

obtendo x− n0 ∈ (0, 1). Portanto, 1x−n0

> 1. Seja n1 a parte inteira

de 1x−n0

, logo x1 = 1x−n0

− n1 ∈ (0, 1].

Portanto x = n0 + 1n1+x1

.

Aplique agora o mesmo procedimento a x1, isto e, considere n2 aparte inteira de 1

x1e x2 = 1

x1− n2 ∈ (0, 1] obtendo assim

x = n0 +1

n1 + 1n2+x2

.

Repetindo o mesmo procedimento para x2 e indutivamente assimpor diante obtemos a expansao de x em fracoes contınuas (3.7). Osnumeros x tal que tal procedimento termina em algum instante n(isto e, xn = 0 ou xn = 1) sao os numeros x racionais.

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1 1.5 2 2.5

0

0.5

1

1.5

2

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

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1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

1.6 1.8 2 2.2 2.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 1.5 2 2.5 3

p

0

0.5

1

1.5

2

theta

Seja x irracional e k ∈ N, vamos denotar por

pkqk

= n0 +1

n1 + 1n2+

1

n3+...+ 1nk

o aproximante de ordem k de x, onde pk, qk ∈ N.

O seguinte resultado e demonstrado em [A2].

Teorema 3.2. Para qualquer numero real irracional x, aproximado

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for fracao contınua da forma

x = n0 +1

n1 + 1n2+

1n3+...

ni ∈ N, i ∈ N, e valido que∣∣∣∣x− pk

qk

∣∣∣∣<

1

q2k.

Ou seja r > 2 na definicao de numero Diofantino e uma propri-edade nem sempre satisfeita para x qualquer, mas tomando γ = 1 er = 2 e sempre possıvel aproximar qualquer numero real x por racio-nais pk

qkcomo acima no ultimo Teorema. No que segue, sera essencial

assumir que l e do tipo Diofantino satisfazendo (3.6) com r > 2.

A expansao em fracoes contınuas surgiu inicialmente em Mate-matica como um procedimento eficaz para aproximar um numeroirracional x por numeros racionais. A aproximcao de x de ordem ke obtida quebrando a expansao em fracoes contınuas no termo nk,obtendo assim um numero racional pk

qk.

Em geral a aproximacao por fracoes contınuas e melhor que asoutras maneiras conhecidas (o erro decai como 1

q2k

como se pode ob-

servar pela ultima desigualdade).Posteriormente, a expansao em fracoes contınuas se mostrou util

e fundamental para analisar uma serie de questoes de Aritmetica etambem em questoes de Mecanica Classica e Geometria Diferencial.

Note que quanto maiores forem os ni, maiores serao os correspon-dentes qk, permitindo assim melhores aproximacoes por racionais donumero irracional considerado.

Exemplo 3.1. O numero π e aproximado em fracoes continuas deordem 3 por

p3

q3=

333

106

A aproximacao e de 6 casas decimais.

Exemplo 3.2. O numero real β dado pela razao aurea satisfaz

β = 1 +1

1 + 11+ 1

1+...

=

√5 + 1

2

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e portanto e super mal aproximado por racionais (os qk crescem deva-gar porque os ni = 1 sao os menores possıveis). Logo podemos dizerque a razao aurea e o mais irracional dos numeros reais.

Para mostrar que este numero β tem a expansao em fracoes con-tınuas acima basta observar que β satisfaz a equacao

1 +1

β= β.

Vamos agora apresentar o resultado mais importante desta secaoe que e apresentado de maneira resumida em [Au].

Teorema 3.3. Suponha que l, a distancia media entre atomos, sejairracional para uma certa configuracao minimal uii∈Z, ou seja,uii∈Z satisfaz

(ui − ui+1) + (ui − ui−1) = −λV ′(ui) (mod1). (3.8)

e ainda e mınima no sentido da Definicao 51, Capıtulo 3.Entao existe f monotona crescente tal que

ui = f(il + α) (mod1).

a) Se f e descontınua, o conjunto das descontinuidades e denso.b) Se o numero l e Diofantino, entao existe λcrıtico(l) tal que

para λ < λcrıtico(l) a funcao f e contınua.

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1.6 1.625 1.65 1.675 1.7 1.725

0

0.5

1

1.5

2

1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

1.94 1.96 1.98 2 2.02 2.04 2.06

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

2.275 2.3 2.325 2.35 2.375 2.4

0

0.5

1

1.5

2

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1.06 1.08 1.1 1.12 1.14

0

0.5

1

1.5

2

0.96 0.98 1 1.02 1.04

0

0.5

1

1.5

2

0.86 0.88 0.9 0.92 0.94

0

0.5

1

1.5

2

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25

p

0

0.5

1

1.5

2

theta

A diferenciabilidade de f vai depender da diferenciabildade de Ve tambem do valor λ. Dependendo de λ, em alguns casos f e continuamas nao e diferenciavel, em alguns casos f e apenas diferenciavel declasse Ck e em alguns casos f e analıtica.

E usual e mais pratico, em vez de dizer que existe f como acima,dizer que existe g tal que

ui = f(il + α) = (il + α) + g(il + α). (3.9)

A existencia de f e claramente equivalente a existencia de g. Va-mos a seguir mostrar que existe tal g.

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Figura 3.2:

Observacao 3.2. No caso de haver uma funcao continua f , associ-ado a um certo valor l irracional, as iteracoes da aplicacao padrao Ta partir de um ponto inicial (p0, u0) (ou seja u0, u1) vao determinarum arranjo ui denso (mod 1) em [0, 1], com inclinacao media l etal que a correspondente orbita associada Tn(p0, u0) = (pn, un) deter-mina atraves do conjunto dos seus pontos de acumulacao em R

2 umacurva de Jordan fechada no espaco de fase (p, u). Estas curvas saochamadas de curvas KAM. O exemplo de uma curva KAM aparecenas Figuras 3.3 e 12.12.

Vamos explicar ao leitor como determinar a curva KAM em [0, 1]×[0, 1] no caso acima descrito. Ora (pn, un) = (un − un−1, un), logo(pn, un) = (f(nl + α) − f(nl + α− l), f(nl + α)).

Logo, (pn, un) (mod 1) esta sobre a curva

(f(u) − f(u− l) (mod1) , f(u) (mod1)).

Se l e irracional, il + α determina um conjunto denso (mod 1)de pontos no intervalo (0, 1) e portanto, como afirmamos, o conjuntodos pontos de acumulacao de (un, pn) (mod 1) determina a curva

(f(u) − f(u− l) (mod1) , f(u) (mod1)) , u ∈ (0, 1).

Nem sempre a um valor irracional l vai corresponder uma curvaKAM.

Quando f nao e continua (caso a) do Teorema 3.3, Capıtulo 3),fica entao determinado pelo fecho da orbita Tn(p0, u0) um conjunto“ralo”tipo Cantor (tambem chamado de conjunto de Aubry-Mather)conforme mostra Figura 2.3.

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Demonstracao do item b) do Teorema 3.3: Nao vamos daruma demonstracao completa do item b) do Teorema 3.3, mas apenasanalisar o problema em primeira aproximacao. Vamos considerar λpequeno (λ < λcrıtico) e l Diofantino. Neste caso existira f continuae nosso objetivo a seguir e dar uma ideia aproximada porque talpropriedade e verdadeira (referimos o leitor a [He], [LC], [Ba] e [MF]para uma demonstracao completa).

Vamos ver como aparece de maneira natural a condicao do numerol ser Diofantino no problema em consideracao. Substituindo ui =il + α + g(il + α) na equacao (ui − ui+1) + (ui − ui−1) = −λV ′(ui)obtemos

−λV ′(ui) = il + α+ g(il + α) − ((i+ 1)l + α)

−g((i+1)l+α)+ il+α+ g(il+α)− ((i− 1)l+α)− g((i− 1)l+α) =

2g(il + α) − g(il + α+ l) − g(il + α− l).

Desejamos saber se existe uma g analıtica (ou continua ao menos)satisfazendo a expressao acima

−λV ′

(ui) = 2g(il + α) − g(il + α+ l) − g(il + α− l) (3.10)

Nosso procedimento sera tentar descobrir que tipo de equacaodeve satisfazer tal g na variavel u.

l e irracional, logo os numeros da forma il+α ∈ Z determinam umconjunto denso em [0, 1) (mod 1) conforme foi visto na secao anterior.

Observacao 3.3. No caso geral (λ > λcrıtico) , nem sempre paraum arranjo uii∈Z crıtico e verdade que os ui sao densos no inter-valo [0,1] (embora o conjunto dos il + α seja denso em [0,1] se l eirracional).

Isto se deve do fato que |un+1 − un| ≤ l + 2 (ver Teorema 3.1) eda equacao (3.2)

λV ′(ui) = (ui+1 + ui−1) − 2ui ≤ 2(l + 2),

logo

V ′(ui) ≤2(l + 2)

λ.

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Portanto, se λ for grande, V ′(ui) vai poder assumir apenas valorespequenos. Seja z tal que V ′(z) = 0, entao somente uma pequenavizinhanca A = u|V ′(u) < 4l

λ de z podera ser visitada pela orbitauii∈Z.

Sendo assim, neste caso, o conjunto dos ui nao sera denso em[0, 1). Em muitos destes casos o fecho do conjunto dos ui (mod 1)e um conjunto tipo Cantor de medida zero. Neste caso o raciocınioque faremos a seguir, usando series de Fourier nao se aplica.

No que segue e essencial assumir que os ui (mod 1) sejam densosem [0,1), e isto ocorre quando λ < λcrıtico.

A equacao (3.10) para g em primeira aproximacao e dada por

λV′

(u) = 2g(u) − g(u+ l) − g(u− l). (3.11)

A primeira aproximacao resulta de supor que g(il+α) e pequenoe portanto que ui seja aproximadamente igual a il + α (pois ui −(il + α) = g(il + α)). Como os ui sao densos, podemos substituirna equacao (3.10) os ui e os il + α por u ∈ [0, 1) e obter assim aequacao para g dada por (3.11). Esta aproximacao e verdadeiramentemuito grosseira, mas o esquema da demonstracao matematica comecaresolvendo a equacao em primeira aproximacao e depois resolvendouma sequencia de melhores aproximacoes da equacao (3.10) (ver [H]).Nao demonstraremos esta parte mais sofisticada do teorema aqui enos contentaremos apenas em entender a questao da primeira apro-ximacao. Desta maneira nao entraremos em questoes de dificuldadetecnica bastante grande.

Com as hipotese acima em mente, vamos proseguir na analise daequacao (3.9) para g em primeira aproximacao, ou seja da equacao(3.11) para g.

Expandindo V ′ em Serie de Fourier, obtemos

V ′(u) =∞∑

m=−∞Vme

i2πmu.

Vamos tentar obter g em Serie de Fourier

g(u) =

∞∑

m=−∞gme

i2πmu.

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Substituindo esta expressao na equacao (3.11), obtemos

g(u) = −λ2

∞∑

m=−∞

Vm(1 − cos 2πml)

ei2πmu. (3.12)

Observe a existencia de pequenos denominadores na equacao aci-ma. Isto porque o termo no denominador do quociente de cada termoda serie acima vai ficar proximo de zero, pois cos 2πml vai estar, paracertos valores de m, muito proximo de 1 (isto segue do fato que oconjunto ml, n ∈ Z e denso (mod 1) em [0,1]). Sendo assim nao hagarantia de que para todos valores de u a serie formal (3.12) definidaacima convirja. Note no entanto que Vm tambem vai a zero e podemhaver compensacoes do denominador e numerador de cada termo daserie (3.12).

Se uma serie converge absolutamente, ela converge. Sendo assim,uma condicao suficiente para convergencia da serie (3.12) acima e

∣∣∣∣

Vm1 − cos(2πml)

∣∣∣∣<

K

m1+B(3.13)

K, B > 0, ou seja,

∣∣∣∣

Vm1 − cos 2πml

∣∣∣∣

1/2

<K

m1+B

2

. (3.14)

Ou seja, neste caso, o denominador de cada termo da serie podeser pequeno, mas Vm e menor ainda.

Observacao 3.4. Note que a condicao suficiente acima descrita,exige apenas que na ultima expressao 1+B

2 > 12 . A seguir vamos mos-

trar que tal propriedade e verdadeira para certos numeros l do tipoDiofantino.

Quando 2πml esta proximo de 2π(mod 1), entao pela Formula deTaylor

(1 − cos 2πml) ∼ 1

24π2(lm− n)2

onde n e o inteiro mais proximo de lm (estamos tomando a formulade Taylor em torno de 2πn).

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Logo ∣∣∣∣

Vm1 − cos(2πml)

∣∣∣∣<

Vm

K(4π)2(lm− n)2.

Se assumirmos que V′

(x) e analıtica complexa na faixa em que aparte imaginaria de x e menor que ρ, entao existe k, ρ tal que

|Vm| < k exp−2π|m|ρ (3.15)

Este resultado (3.15) pode ser facilmente obtido da formula in-tegral de Cauchy de Variavel Complexa (ver [N]), e considerandoum contorno retangular no plano complexo passando pelos pontos−π, π, π+ρi,−π+ρi. Integrando neste contorno e usando o fato queas integrais em dois lados do retangulo cancelam, segue o resultado.

Se V′

(z) nao e analıtica, mas apenas ν vezes diferenciavel, entao

|Vm| < k1

mν+1(3.16)

para uma certa constante k1 (ver [Fi] secao 2.8).Logo se V

′

e ν vezes diferenciavel,

∣∣∣∣

Vm1 − cos 2πml

∣∣∣∣

12

≤ k2

m(ν+1)/2(lm− n),

onde k2 e uma constante.Se l e numero Diofantino, de (3.6)

∣∣∣∣l − n

m

∣∣∣∣> γ

1

mr, r > 2.

O valor de r sera especificado em breve.Logo

|lm− n| > γ1

mr−1

ou seja

γ1

|lm− n| < mr−1.

Concluindo∣∣∣∣

Vm1 − cos 2πml

∣∣∣∣

12

< K3mr−1

m(ν+1)/2= K3

1

mν+1

2−r+1

,

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para uma certa constante K3.Tomando ν suficientemente grande

ν + 1

2− r + 1 (3.17)

fica maior que 12 e assim, segundo a Observacao 3.4, segue que (3.14)

e verdadeira e assim a serie de Fourier da g que desejamos obterconverge.

Desta maneira, mostramos que sob certas condicoes existe solucaog contınua (em primeira aproximacao) da equacao (3.9) da curvaKAM (ver Observacao 3.2).

Vamos fazer uma analise mais delicada da questao acima consi-derada.

Estamos interessados em propriedades que sao validas para todol em um conjunto de medida total. Sendo assim, podemos assumirr = 2 + ε com ε pequeno (ver Observacao 3.1 antes do teorema)e concluir que para um conjunto de medida total de valores l (osnumeros Diofantinos), para valores λ menores que λcrıtico, existeuma curva KAM.

Neste caso, se V′

for apenas tres vezes diferenciavel ja obtemosde (3.17) (ver Observacao 3.4) que

3 + 1

2− r + 1 = 2 − 2 − ε+ 1 >

1

2

pois

ε <1

2

Sendo assim se V′

for tres vezes diferenciavel, a condicao (3.13) evalida para tal g e a Serie de Fourier (3.12) de g converge, embora gnao seja necessariamente diferenciavel (apenas contınua).

A conclusao final e que se V′

for tres vezes diferenciavel, entao g(ou seja f) satisfazendo (3.8) e (3.9) existe e contınua e e expressaatraves da Serie de Fourier (3.9) acima descrita.

Se V ′ for mais de tres vezes diferenciavel entao as curvas obtidasserao diferenciaveis. Quanto maior a classe de diferenciabilidade deV ′, maior sera a classe de diferenciabilidade da g que define a curvaKAM.

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E realmente um fato muito interessante o fato que propriedadestopologicas (a existencia de curvas KAM ou a existencia de conjuntosde Cantor invariantes, conforme aparece no conjunto das 16 figuras)dependem de propriedades de diferenciabilidade de V ′ e tambem depropriedades numericas de l.

Considere um valor l de distancia media atomica fixado.Se V ′ for analıtica, entao pode-se mostrar que para pequenos va-

lores de λ, a funcao g e analıtica.Pode-se mostrar que para valores de λ um pouco maiores, a curva

invariante e diferenciavel, mas nao analıtica (mesmo que V ′ sejaanalıtica).

Para valores de λ moderadamente grandes, a aplicacao padraodefinida acima, vai apresentar exemplos em que a g acima consideradae realmente continua mas nao diferenciavel e este fato vai assegurara existencia de curvas KAM nao diferenciaveis.

Em todos os casos considerados acima, existe curva KAM.No conjunto das oito figuras, logo apos a Figura 1.14, para varios

valores de λ, plotamos varias orbitas no espaco de fase de variasaplicacoes padrao T = Tλ associados ao potencial λV (u) = λ 1

2 (1 −cos 2πu).

No conjunto das oito figuras antes da Figura 1.5 mostramos oespaco de fase de varias orbitas para T quando λ = 0. Note a seme-lhanca deste caso com o bilhar no cırculo do Exemplo 1.1, Capıtulo 3.

As figuras do meio das oito correspondem a valores nao muitograndes nem muito pequenos de λ.

A ultima figura do primeiro conjunto mostra o espaco de fase deT para o valor λ que fica localizado um pouco antes da destruicao daultima curva KAM. Esta curva tem numero de rotacao l = β a razaoaurea.

Um fato relevante a ser destacado e que a medida que aumen-tamos λ mais e mais as g associadas a l Diofantinos vao deixandode ser contınuas. Este fenomeno e conhecido como a destruicao dascurvas invariantes em teoria KAM. A medida que estas curvas vaosendo destruidas, aparecem conjuntos ’ralos”tipo Cantor e tambemregioes bidimensionais invariantes (ver Figura 3.32). As regioes bidi-mensionais ocupam uma parte cada vez maior de [0, 1]× [0, 1] ate quefinalmente para valores muito grandes de λ elas parecem ocupar todoo [0, 1] × [0, 1] (ver ultima figura do conjunto dos primeiros oito).

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Figura 3.3:

As dezesseis figuras foram obtidas da seguinte maneira, tomandoum ponto (p0, u0) inicial ao acaso, iteramos 10,000 vezes a condicaoinicial e plotamos esta trajetoria de

(p0, u0), T (p0, u0), ..., T10000(p0, u0).

Observacao 3.5. Note que muitas das evidencias numericas queaparecem nas figuras obtidas em computador nao correspondem sem-pre a conclusoes verdadeiras. Por exemplo, para λ grande, a ultimafigura do conjunto das oito primeiras, mostra que aparentemente osistema e ergodico quando restrito a uma regiao bidimensional (es-cura) de area positiva. Poderia ocorrer que certas orbitas ficam encer-radas em regioes bidimensionais invariantes muito proximas da pro-pria orbita. O que se assemelha a uma orbita que parece ocupar den-samente o espaco de fase, na verdade seria apenas um ponto elıptico(ver definicao na ultima secao do texto, Definicao 12.4) de perıodo

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muito grande. Este fato nao poderia ser percebido pela resolucao docomputador que gerou tais figuras. Tal situacao que parece insolita,de fato corre com alguns parametros da aplicacao “padrao”(ver [Du]).

As figuras obtidas de simulacoes no computador podem ser degrande valia no entendimento da riqueza de fenomenos que aparecemnum sistema mecanico. Note que a Figura 1.8 parece descrever a exis-tencia de pontos elıpticos. Elas por si so, no entanto, nao assegurama veracidade matematica do fenomeno que parecem descrever.

Conclusao: Considere um potencial V analıtico. Para um valorpequeno de λ, nao existem mais curvas invariantes para T com l ra-cional. Elas sao destruidas e dao lugar a orbitas periodicas. Naoexistem tambem curvas com l irracional nao Diofantino. Subsistemvarias curvas KAM com l Diofantino, mas a medida que aumenta-mos λ, mais e mais destas curvas vao sendo destruidas, dando razaoao aparecimento de conjuntos fractais (muito pequenos, quase im-perceptiveis) e a regioes bidimensionais invariantes. Quando umacurva KAM e destruida, aparece em geral uma sequencia alternadade pontos periodicos elıpticos e hiperbolicos (ver ultima figura do se-gundo conjunto). Aparecem assim pontos hipebolicos que geram as-sim um conjunto tipo ferradura (ver [R02] [Ka ][PM]). A secao 6.3 em[DL] descreve este fenomeno. Entremeado neste conjunto, aparecem“ilhas elıpticas”. Estas “ilhas elıpticas” em torno dos pontos elipti-cos, por sua vez, possuem curvas invariantes e cada um desta curvastem numero de rotacao (ou distancia media atomica) l em torno decada ponto elıptico. Estas curvas, por sua vez, se tem numero derotacao l (em torno do ponto elıptico) racional ou nao Diofantino,logo sao destruidas ao aumentar o parametro λ . Restam as cur-vas (em torno deste ponto elıptico) com l Diofantino, as quais vaosendo destruidas a medida que o parametro λ aumenta criando novassequencias de pontos hiperbolicos e elıpticos e assim por diante. Paravalores de λ muito grande, aparentemente, so existe uma regiao bidi-mensional invariante, ou seja a probabilidade uniforme P e ergodicopara T . Dizemos aparentemente, por causa da Observacao 3.5 acima.

Existe uma conjectura que diz que para valores λ grandes, o con-junto de tais λ que determinam T = Tλ nao ergodica, e muito pequenoem termos da medida uniforme em λ ∈ R (ver [Du] para maiores con-sideracoes a respeito do assunto). Este resultado implicaria entao que

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para λ grande, a maioria das transformacoes T seria ergodica para aProbabilidade uniforme.

A evolucao do espaco de fase com o parametro λ descrita acimae o que se chama de fenomeno KAM.

A destruicao das curvas invariantes acima descritas, correspondema destruicao de toros invariantes em torno de pontos elıpticos deaplicacoes de Poincare de primeiro retorno, conforme foi descrito nofim da Secao 7, Capıtulo 1 [L].

Aplicacoes do tipo padrao formam uma classe mais geral de apli-cacoes denominadas de tipo “twist”ou tambem chamadas “aplicacoesque giram para a direita”.

Esta classe de aplicacoes e objeto de intenso estudo nos ultimosanos (ver [MF] e [M2]).

Definicao 3.7. Seja T : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1]× [0, 1], obtida a partirde uma funcao geradora S(x,X), dizemos que T (x, y) e do tipo quegira para a direita, se T = (T1, T2), e existe C > 0 tal que

C <∂T1

∂y< C−1. (3.18)

Tal T preserva area (ou seja, preserva dxdy.

Para aplicacoes do tipo acima podemos considerar o problemaanalogo: determinar as qi onde T (q0, p0) = (qi, p1) tais que se q0,q1, q2, ..., qn sao sucessivas iteradas na variavel q de uma orbitaT j(q0, p0) entao para q0, qn fixos a funcao

A(x1, x2, ..., xn−1) =

= S(q0, x1) + S(x1, x2) + ...+ S(xn−2, xn−1) + S(xn−1, qn),

A : En−1 → R tem (q1, q2, ..., qn−1) como ponto crıtico (ou mınimo),etc....

E facil ver que a aplicacao T definida por (3.3) gira para a direitapois ∂T1

∂u = λV′′

(u) > 0 e e obtida atraves de uma funcao geradoraS(q,Q).

Exemplo 3.3. (Bilhares convexos) Considere como na secao ante-rior a acao S(ui, ui+1) = |ui−ui+1|, ou seja a distancia entre o ponto

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ui e ui+1 no bordo do bilhar, e a acao total de n a m como a soma∑mi=n S(ui, ui+1). As trajetorias do bilhar determinam configuracoes

crıticas para a acao total. A aplicacao T que determinamos para obilhar convexo e portanto analoga a T que estamos considerando napresente secao.

O difeomorfismo T do bilhar convexo e a aplicacao induzida peloprimeiro retorno ao bordo do bilhar convexo. A aplicacao T preservaarea como vimos na Proposicao 17, Capıtulo 3 [L]. E facil mostrar quetal T satisfaz (3.18) (ver [LC] e [CRZ] para prova). Logo, utilizando aS acima, a transformacao T induzida pelas batidas do bilhar no bordode um bilhar convexo define uma aplicacao que gira para a direita.

Seja T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1], obtida a partir de umafuncao geradora S(x,X), dizemos que T (x, y) e do tipo que gira paraa esquerda, se T = (T1, T2), e existe C > 0 tal que

−C−1 <∂T1

∂y< −C.

No caso do bilhar do Sinai (ver definicao na secao 1) se conside-rarmos a acao S(q,Q) = |q − Q| obteremos uma funcao T que girapara esquerda.

Esclarecemos ao leitor que a teoria em que ”minimizamos

S(q0, x1) + S(x1, x2) + ...+ S(xn−2, xn−1) + S(xn−1, qn)

para aplicacoes que giram para a direita”e a mesma teoria em que”maximizamos


para aplicacoes que giram para a esquerda”(ver [LC]).Note no entanto que a teoria em que ”minimizamos


para aplicacoes que giram para a esquerda”e diferente a teoria emque ”minimizamos


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para aplicacoes que giram para a direita”. No primeiro caso estare-mos localizando conjuntos ”proximos”de pontos de sela e no segundoconjuntos ”proximos”de pontos elıpticos. Na ultima figura do pri-meiro conjunto de oito vemos uma alternancia de pontos elıpticos epontos hiperbolicos em cada anel. Fixado uma aplicacao T que girapara a direita ”minimizar”ou ”maximizar”S vai determinar que tipode conjunto estamos tentando encontrar. As curvas KAM aparecemapenas no problema em que minimizamos S.

Sendo assim no caso do bilhar do Sinai (ver definicao na secao1) e mais interessante considerar a acao S(q,Q) = −|q −Q| obtendoassim uma funcao T que gira para direita.

Dada uma orbita periodica de um sistema Hamiltoniano, se aaplicacao de primeiro retorno T tem um ponto fixo elıptico, em geralesta T e localmente uma aplicacao que gira para a direita. Referimoso leitor para [M2] para uma prova deste fato.

A teoria acima possui uma extensao para lagrangianos periodicose mais recentemente foi extendida para lagrangianos Autonomos. Oleitor pode encontrar um texto cobrindo tais assuntos em [CI] e [Fat].

Existe tambem uma teoria analoga para transformacoes expan-sivas e sistemas tipo Anosov (ver [CLT]) em que se considera entreoutras coisas o expoente de Lyapunov.

Sendo assim, esperamos ter convencido ao leitor da importanciado entendimento dinamico das aplicacoes que giram para a direi-ta. Este entendimento possibilitaria a melhor compreensao de variosproblemas importantes da Mecanica Classica. Muito trabalho aindasera requerido para chegar ao entendimento matematico completo dadinamica de tais aplicacoes.

Exercıcios

1. Mostre que a transformacao T associada ao bilhar, consideradana Secao 11, e do tipo que gira para a esquerda.

2. Mostre que os numeros Diofantinos tem probabilidade total nareta.

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Capıtulo 4

Formas Diferenciais em

Variedades

Nesta secao vamos apresentar de maneira resumida as principais pro-priedades das formas diferenciais em variedades diferenciaveis, queserao necessarias para o entendimento da proxima secao que analisarao formalismo simpletico. Referimos a [MC1] para o leitor que desejaruma exposicao mais completa do assunto abordado nesta secao.

O objetivo de considerar formas diferenciais como faremos a se-guir, sera apresentar no futuro (ver proxima secao) uma versao daMecanica Clssica que seja intrınseca, isto e, que seja definida semapelo a coordenadas locais. Lembre que, por exemplo, para definiro campo Hamiltoniano usamos a estrutura do R

2n (necessitamos devariaveis q e p separadas) de maneira essencial. Muitas vezes emproblemas fısicos concretos, nao e natural supor que o sistema emconsideracao seja um subconjunto do R

2n. Isto vai nos conduzir aoconceito de variedade diferenciavel. Para definir o campo Hamiltoni-ano necessitaremos tambem do conceito de formas diferenciais.

Dado p ∈ Rn, chamaremos de espaco tangente a R

n em p, edenotaremos R

np = (TR

n)p, o conjunto de todos os vetores tangentesv do R

n, cuja origem esta localizada no ponto p.

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84 [CAP. 4: FORMAS DIFERENCIAIS EM VARIEDADES

Mais precisamente, v ∈ Rnp determina a classe de todas as curvas

γ(t) ∈ Rn tal que γ(0) = p e γ′(0) = v.

Rnp e um espaco vetorial, e seu dual sera (Rn

p )∗, isto e, o conjunto

de todos as transformacoes lineares f : Rnp → R.

Definicao 4.1. Uma k-forma w em Rnp e por definicao uma funcao

do tipow : Rn

p × Rnp × · · · × R

np

︸︷︷︸

k vezes

→ R

tal que w e linear em cada coordenada.A forma w e dita alternada se ∀ i < j,

w(v1, v2, ..., vi, ..., vj , ..., vk) = −w(v1, v2, ..., vj , ..., vi, ..., vk).

Denotaremos para cada p ∈ Rn por Ωk(Rn

p ), o conjunto dasfuncoes k-lineares alternadas em R

np tomando valores reais.

Note que se houver repeticao de um elemento v na k-upla, entao

w(v1, v2, ..., v, ..., v, .., vk) = −w(v1, v2, ..., v, ..., v, ..., vk)

e portanto w(v1, v2, ..., v, ..., v, ..., vk) = 0.

Exemplo 4.1. Em R3 a 3-forma w tal que w(v1, v2, v3) e o de-

terminante da matriz que tem como colunas (v1, v2, v3) e alternada.Por exemplo, esta 3-forma satisfaz w(v1, v2, v3) = −w(v2, v1, v3) =w(v2, v3, v1).

Exercıcio: Mostre que se v1 e combinacao linear de v2, v3, ..., vn,isto e, v1 =

∑ki=2 αivi, entao w(v1, v2, ..., vn) = 0. Em particular

para uma 2-forma w(v, v) = 0.

Este ultimo conjunto Ωk(Rnp ) com a operacao de soma de funcoes,e multiplicacao por escalar definidas de maneira usual, ((f + g)(x) =f(x) + g(x) e (cf)(x) = cf(x), ∀x ∈ R

np ), e um espaco vetorial.

Exemplo 4.2. Seja dx2 : R3 → R a projecao na segunda coordenada,

dx2(y1, y2, y3) = y2.

Entao, dx2 ∈ R3∗p , para qualquer p ∈ R

3.

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As transformacoes lineares dxi : Rn → R, tal que

dxi(y1, y2, ..., yn) = yi

sao transformacoes (ou funcionais) lineares, que formam uma basepara Ω1(Rnp ).

Observacao 4.1. Ω1(Rnp ) = (Rnp )∗.

Note que dxi satisfaz dxi(ej) = δi,j , i, j = 1, 2, ..., n, onde δi,j = 0se i 6= j e δi,j = 1 se i = j.

Definicao 4.2. Uma 1-forma ou forma exterior de grau 1 em umaberto A do R

n, e uma aplicacao ω definida em A ⊂ Rn tomando

valores em Ω1(Rnp ), que associa a cada ponto p ∈ A ⊂ Rn, uma

funcao linear ω(p) : Rnp → R.

Como dx1, dx2, ..., dxn e base do espaco das transformacoes linea-res, ω(p) podera ser escrito como:

ω(p) = a1(p)dx1 + a2(p)dx2 + ...+ an(p)dxn.

Se cada ai : A ⊂ Rn → R for diferenciavel ∀ p ∈ A ⊂ R

n, diremosque ω e uma 1-forma diferenciavel ou forma exterior diferenciavel degrau 1.

Por abuso de notacao, falaremos de uma forma diferencial em Rn

quando nos referirmos a uma 1-forma diferencial sobre um abertoA ⊂ R

n.

Definicao 4.3. Se ϕ1, ϕ2, ..., ϕk, sao 1-formas lineares, podemosobter um elemento

ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕkde Ωk(Rnp ), definindo:

(ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕk)(v1, v2, . . . , vk) = det([ϕi(vj)]).

Segue das propriedades do determinante, que (ϕ1 ∧ϕ2 ∧ · · · ∧ϕk)e k-linear, alternada. E facil ver que (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk) ∈ Ωk(Rnp ).

Em particular (dx1) ∧ · · · ∧ (dxk) ∈ Ω(Rnp ). Denotaremos (dx1) ∧· · · ∧ (dxk) por (dx1 ∧ · · · ∧ dxk).

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Proposicao 4.1. O conjunto (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik), i1 < i2 <· · · < ik, onde ij ∈ 1, 2, . . . , n, forma uma base para Ωk(Rnp ).

Demonstracao: Primeiramente veremos que os elementos desteconjunto sao linearmente independentes. Suponha que

∑

i1<···<ikai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik = 0.

Considere fixado j1 < ... < jk, ji ∈ 1, 2, . . . , n, tal que o corres-pondente aj1···jk nao seja nulo. Entao para qualquer k-upla de ındicesi1 < ... < ik, dxi1 ∧ · · · ∧ dxik aplicado a (ej1 , . . . , ejk) resulta ser

(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk) =

= det

∣∣∣∣∣∣∣

dxi1(ej1) dxi1(ej2) · · · dxi1(ejk)...

......

...dxik(ej1) dxik(ej2) · · · dxik(ejk)

∣∣∣∣∣∣∣

.

Lembramos que

dxi(ej) =

0, se i 6= j1, se i = j

Logo (dxj1 ∧· · ·∧dxjk)(ej1 , . . . , ejk) = 1 e portanto aj1,...jk(dxj1 ∧· · · ∧ dxjk)(ej1 , . . . , ejk) = aj1,...,jk .

Mantendo-se fixo (ej1 , . . . , ejk) e fazendo-se todas as escolhas pos-sıveis (diferentes desta) para i1 < i2 < · · · < ik, il ∈ 1, 2, . . . , n,obteremos:

−aj1j2···jk =

∗∑

i1<···<ikai1···ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk),

onde o∑∗

significa que evitamos (i1, ..., ik) = (j1, . . . jk) no somatorioacima.

Note agora que se (i1, i2, · · · , ik) e diferente de (j1, ..., jk) entao

(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk) = 0.

Logo,∑

i1<···<ikai1···ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)(ej1 , . . . , ejk) = 0 ⇒ aj1···jk = 0.

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Obtivemos portanto uma contradicao.Logo o conjunto (dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik)p, i1 < i2 < · · · < ik,

onde ij ∈ 1, 2, . . . , n, e linearmente independente em Ωk(Rnp ).

Mostraremos agora que se f ∈ Ωk(Rnp ), entao f e uma combinacaolinear da forma:

f =∑

i1<···<ikai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .

Para vermos isto, basta definirmos ai1···ik = f(ei1 , . . . , eik) (lem-bramos que f e k-linear alternada).

Definicao 4.4. Uma k-forma (ou forma exterior de grau k) em umaberto A, A ⊂ R

n (k ≥ 1) e uma aplicacao ω que a cada p ∈ A ⊂ Rn

associa ω(p) ∈ Ωk(Rnp ).Como vimos na ultima proposicao, ω pode ser escrito como:

ω(p) =∑

i1<···<ikai1···ik(p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik),

ij ∈ 1, 2, . . . , n onde ai1···ik : A ⊂ Rn → R.

Se estas funcoes ai1···ik forem diferenciaveis, ω e chamada umak-forma diferenciavel.

Por abuso de linguagem, as k-formas sobre abertos A do Rn serao

chamadas de k-formas diferenciais em Rn.

Observacao 4.2. A k-upla (i1, . . . , ik), i1 < · · · < ik sera indicadapor I, e a notacao a ser usada a partir de agora sera:

ω =∑

I

aIdxI ,

dxI = dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .Convenciona-se que uma 0-forma diferenciavel em R

n e uma funcaodiferenciavel f : A ⊂ R

n → R.Se ω e ϕ sao duas k-formas,

ω =∑

I

aIdxI , ϕ =∑

I

bIdxI ,

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podemos definir a soma:

ω + ϕ =∑

I

(aI + bI)dxI

e a multiplicacao de ω por escalar c ∈ R

cω =∑

I

c aIdxI .

Estas propriedades determinam que o conjunto das k-formas di-ferenciais em A aberto do R

n e um espaco vetorial.

Definicao 4.5. Se ω e uma k-forma e ϕ uma s-forma, podemosdefinir uma operacao chamada produto exterior ω ∧ ϕ, obtendo umak + s-forma.

Se

ω =∑

I

aIdxI , I = (i1, . . . , ik) k-forma

ϕ =∑

J

bJdxJ , J = (j1, . . . , js) s-forma.

Por definicao,

ω ∧ ϕ =∑

I,J

aIbJdxI ∧ dxJ ,

onde dxI ∧ dxJ = dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjs .

Note que esta definicao e compatıvel com a Definicao 4.3.

Por exemplo, (2dx1+5dx3)∧(5dx2+4dx3) = 10dx1∧dx2+8dx1∧dx3 − 25dx2 ∧ dx3.

Proposicao 4.2. Se ω e uma k-forma, ϕ uma s-forma e θ umar-forma, teremos:

(a) (ω ∧ ϕ) ∧ θ = ω ∧ (ϕ ∧ θ)(b) (ω ∧ ϕ) = (−1)ksϕ ∧ ω(c) ω ∧ (ϕ+ θ) = ω ∧ ϕ+ ω ∧ θ quando r = s.

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Demonstracao: (a) e (c) sao consequencias das definicoes acima.Para o item (b), sejam ω =

∑

I aIdxI e ϕ =∑

J bJdxJ , onde I =(i1, . . . , ik) e J = (j1, . . . , js)

ω ∧ ϕ =∑

I,J

aIbJdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs =

=∑

I,J

aIbJ (−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1∧ dxj1 ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs =

=∑

I,J

(−1)kaIbJdxj1 ∧ dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs ,

fazendo a mesma inversao para dxj2 , dxjn , . . . , dxjs , ao final teremosrealizado este raciocınio s-vezes, teremos s-vezes (−1)k a frente deaIbJ , ou seja, (−1)ks, portanto ϕ ∧ ω = (−1)ksω ∧ ϕ.

Note que uma n-forma diferenciavel w em um aberto A do Rn e

sempre da forma w(x) = c(x) dx1 ∧ dx2 ∧ ...∧ dxn, onde c : A→ R euma funcao diferenciavel.

Fixado x, para determinar c(x), basta tomar w(x)(e1, e2, ..., en) =c(x), onde ei, i ∈ 1, 2, .., n e a base canonica do R

n.

Definicao 4.6. Seja f : A ⊂ Rn → Rm uma funcao diferenciavel,

entao a derivada dfp : Rnp → R

mf(p) induz para cada ponto p ∈ A uma

transformacao linear f∗p : Ωk(Rmf(p)) → Ωk(Rnp ) do seguinte modo:

dado w ∈ Ωk(Rmf(p)), f∗(w) = w1 ∈ Ωk(Rnp ) e tal que

w1(v1, . . . , vk) = f∗p (ω)(v1, . . . , vk) = ω(dfp(v1), dfp(v2), . . . , dfp(vk)),

onde v1, v2, . . . , vk ∈ Rnp .

Fazendo p variar em Rn, obtemos uma aplicacao f∗ que leva k-

formas diferenciais do Rm em k-formas diferenciais do R

n.

Convenciona-se que f∗(g) = g f se g e uma 0-forma do Rm.

Enunciaremos a seguir algumas propriedades de f∗.

Proposicao 4.3. Se f : A ⊂ Rn → Rm e diferenciavel entao:

(a) f∗(ω1 + ω2) = f∗(ω1) + f∗(ω2), onde ω1 e ω2 sao k-formas.(b) f∗(ω1 ∧ ω2) = f∗(ω1) ∧ f∗(ω2) onde ω1 e ω2 sao 1-formas.(c) f∗(gω) = f∗(g)f∗(ω) onde g e uma 0-forma do R

m e ω umak-forma do R

m.

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Demonstracao:

(a) f∗(ω1 + ω2)(p)(v1, v2, . . . , vk) =

= (ω1 + ω2)(f(p))(dfp(v1), . . . , dfp(vk)) =

= ω1(f(p))(dfp(v1, . . . , dfp(vk)) + ω2(f(p))(dfp(v1), . . . , dfp(vk)) =

= f∗(ω1)(p)(v1, . . . , vk) + f∗(ω2)(p)(v1, . . . , vk).

(b) f∗(ω1 ∧ ω2)(p)(v1, v2) = (ω1 ∧ ω2)f(p)(dfp(v1), dfp(v2)) =

= det

∣∣∣∣

ω1 f(p)(dfp(v1)) ω1 f(p)(dfp(v2))ω2 f(p)(dfp(v2)) ω2 f(p)(dfp(v2))

∣∣∣∣=

= det

∣∣∣∣

f∗(ω1)(p)(v1) f∗(ω1)(p)(v2)f∗(ω2)(p)(v1) f∗(ω2)(p)(v2)

∣∣∣∣=

= (f∗(ω1)(p) ∧ f∗(ω2)(p))(v1, v2).

(c) f∗(gω)(p)(v1, . . . , vk) = (gω)(f(p))(dfp(v1), . . . , dfp(vk)) =

= (g f)(p)f∗(ω)(p)(v1, . . . , vk) = f∗(g)(p)f

∗(ω)(p)(v1, v2, . . . , vk).

Estamos prontos agora para mostrar que a operacao f∗ e equiva-lente a substituicao de variaveis.

Seja f : A ⊂ Rn → R

m uma funcao diferenciavel que associa(x1, . . . , xn) a (y1, y2, . . . , ym) da seguinte maneira:

y1 = f1(x1, . . . , xn)y2 = f2(x1, . . . , xn)...ym = fm(x1, . . . , xn).

Seja ω =∑

I aIdyI uma k-forma do Rm, usando a ultima pro-

posicao, temos que: f∗(ω) = f∗(∑

I aIdyI) =∑

I f∗(aI)f∗(dyi1) ∧

f∗(dyi2)∧· · ·∧f∗(dyik). Ora f∗(dyi)(v) = dyi(df(v)) = d(yif)(v) =dfi(v) e f∗(aI) = aI f = aI(f), pois aI e uma o-forma (usamosdefinicao de f∗ para 0-formas). Assim,

f∗(ω) =∑

I

aI(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))dfi1∧dfi2∧· · ·∧dfik

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onde fi e dfi sao funcoes de xj ,

dfi =

n∑

j=1

∂fi∂xj

dxj ,

portanto aplicar f∗ a ω equivale a substituir em ω as variaveis yi esuas diferenciais pelas funcoes xk e df(xk).

Vimos na proposicao anterior que a adicao comuta com a substi-tuicao de variaveis (f∗(ω1 + ω2) = f∗(ω1) + f∗(ω2)) veremos agoraque o produto exterior de duas formas diferenciais quaisquer tambemcomutam com a substituicao de variaveis.

Na Secao 6, Capıtulo 3 [L], quando consideramos mudancas devariavel

F (x, y) = (X(x, y), Y (x, y)),

a expressao de uma forma W na variavel (X,Y ) era calculada navariavel (x, y). O Teorema 16 e a Proposicao 17, Capıtulo 3 [L],sao casos particulares da propriedade geral apresentada pela ultimaexpressao. Por exemplo, expressar a forma diferencial W = dX ∧ dYna variavel (X,Y ) atraves de outra forma diferenciavel w na variavel(x, y) corresponde a tomar w = F ∗(W ), isto e, w = F ∗(dX ∧ dY ) =(∂X∂x dx+ ∂X

∂y dy) ∧ (∂Y∂x dx+ ∂Y∂y dy).

Exercıcio: No caso geral, dados abertos A,B do Rn,o difeomorfismo

f : A → B, e W (y) = c(y) dy1 ∧ ... ∧ dyn uma n-forma diferencialem B, entao a n-forma diferencial w = f∗(W ) em A e dada porw(x) = c(f(x)) (det Df(x)) dy1 ∧ ...∧dyn = z(x) dy1 ∧ ...∧dyn. Istosegue do fato que w(e1, e2, .., en) = z(x).

Proposicao 4.4. Seja f : A ⊂ Rn → R

m uma aplicacao diferencia-vel que a cada (x1, . . . , xn) ∈ A ⊂ R

n, associa

(y1, . . . , ym) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

∈ Rm entao:(a) f∗(ω∧ϕ) = f∗(ω)∧f∗(ϕ), onde ω e ϕ sao formas diferenciais

em Rm.

(b) (f g)∗(ω) = g∗(f∗(ω)), onde g : Rp → Rn e uma aplicacao

diferenciavel.

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Demonstracao: Sejam ω =∑

I aIdyI , ϕ =∑

I bJdyJ .

Sabemos que: ω ∧ ϕ =∑

I,J aIbJdyI ∧ dyJ .

(a) f∗(ω ∧ ϕ) =∑

I,J aI(f1, . . . , fm)bJ (f1, . . . , fm)dfI ∧ dfJ =f∗(ω) ∧ f∗(ϕ)

(b) (f g)∗(ω) =∑

I aI((f g)1, . . . , (f g)m)d(f g)I =

=∑

I aI(f1(g1, . . . , gn), . . . , fm(g1, . . . , gn))dfI(dg1, dg2, . . . , dgn)

= g∗(f∗(ω))

Dada uma 0-forma diferenciavel, ou seja, uma funcao diferenciavel,podemos obter uma 1-forma, efetuando a operacao de derivacao so-bre f . Vamos definir agora uma operacao sobre uma k-forma, a qualchamaremos de diferencial exterior, que associa esta k-forma a uma(k + 1)-forma.

Definicao 4.7. Se ω =∑

I aIdxI e uma k-forma diferencial, a di-ferencial exterior de ω sera a (k + 1)-forma diferencial definida daseguinte maneira:

dω =∑

I

daI ∧ dxI .

Proposicao 4.5. (a) d(ω1 +ω2) = dω1 +dω2, ω1 e ω2 sao k-formas.

(b) d(ω1 ∧ω2) = dω1 ∧ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2, ω1 uma k-forma e ω2

e uma s-forma.

(c) d(dω) = d2ω = 0.

(d) d(f∗(ω)) = f∗(dω), onde ω e uma k-forma em Rm e f : A ⊂

Rn → R

m e uma aplicacao diferenciavel.

Observacao 4.3. O item (d) nos diz que esta operacao de tomarderivada independe das coordenadas que usamos para representar ω.

Demonstracao:

(a) Sejam ω1 =∑

I aIdxI e ω2 =∑

I bIdxI duas k-formas eω1 + ω2 =

∑

I(aI + bI)dxI .

d(ω1+ω2) =∑

I d(aI+bI)∧dxI =∑

I daI∧dxI+∑

I dbI∧dxI =dω1 + dω2

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(b) ω1 =∑

I aIdxI uma k-forma e ω2 =∑

J bJdxJ uma s-forma,ω1 ∧ ω2 =

∑

I,J aIbJdxI ∧ dxJd(ω1∧ω2) =

∑

I,J d(aIbJ)∧dxI ∧dxJ =∑

I,J daIbJ ∧dxI ∧dxJ +∑

I,J aJdbJ ∧ dxI ∧ dxJ =

= dω1 ∧ ω2 + (−1)k∑

I,J aIdbJ (−1)k ∧ dxI ∧ dxJ = dω1 ∧ ω2 +

(−1)kω1 ∧ dω2.

(c) Demonstraremos este item usando inducao em k.Primeiramente provaremos a validade da assercao, para 0-formas.Seja f : A ⊂ R

n → R.

d(df) = d

(n∑

i=1

∂f

∂xidxi

)

=

n∑

i=1

d

(

∂f

∂xi

)

∧ dxi =

=n∑

i=1

(n∑

j=1

∂2f

∂xi∂xjdxj ∧ dxi

)

=

=∑

i<j

∂2f

∂xi∂xjdxj ∧ dxi +

∑

i>j

∂2f

∂xi∂xjdxj ∧ dxi = 0,

pois os coeficientes sao iguais e dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj , portantod(df) = 0.

Suponhamos agora, por hipotese de inducao, que tenhamosd(dω) = 0, para uma k-forma ω, mostraremos que o mesmo vale parauma (k + 1)-forma.

Toda a (k+1)-forma pode ser escrita como soma de (k+1)-formasdo tipo ω ∧ dxi. Pelo que provado no item (a), a soma comuta com adiferenciacao externa, portanto, temos que provar o item (c) apenaspara as (k + 1)-formas do tipo ω ∧ dxi.

d(d(ω ∧ dxi)) = d(dω ∧ dxi + (−1)kω ∧ d(dxi)), ora xi : Rm → R

e uma 0-forma, logo d(dxi)) = 0, sendo assimd(d(ω∧dxi)) = d(dω∧dxi) = d(dω)∧dxi+(−1)kdω∧d(dxi) = 0,

pois d d(ω) = 0 por hipotese de inducao, e d(dxi)) = 0 tambem.

(d) Da mesma forma que fizemos no item (c), a demonstracaosera feita por inducao em k.

Provaremos o resultado inicialmente para uma 0-forma g : Rm → R.

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f∗(dg) = f∗(

m∑

i=1

∂g

∂yidyi

)

=

m∑

i=1

∂g

∂yi

n∑

j=1

∂fi∂xj

dxj =∑

j

∂(g f)

∂xjdxj =

= d(g f) = d(f∗g).

Suponhamos agora que d(f∗ω) = f∗(dω), para ω uma k-formaprovaremos que este resultado e valido para uma k + 1-forma.

Toda a k + 1-forma e escrita como uma soma finita de formas dotipo ω ∧ dxi, mas tanto f∗, como “d”, comutam com a soma (pro-posicoes anteriores), assim, temos apenas que provar este resultadopara k + 1-formas do tipo ω ∧ dxi.

f∗(d(ω∧dxi)) = f∗(dω∧dxi+(−1)kω∧d(dxi)) = f∗(dω∧dxi) =f∗(dω) ∧ f∗(dxi), mas por hipotese de inducao f∗(dω) = d(f∗(ω)).

Portanto,

f∗(d(ω ∧ dxi)) = d(f∗(ω)) ∧ f∗(dxi) =

= d[f∗(ω) ∧ f∗(dxi)] = d(f∗(ω ∧ dxi)).

Definicao 4.8. A integral de uma k-forma diferenciavel w em Rn,

sobre uma superfıcie k-dimensional S ⊂ Rn, parametrizada por uma

unica g(x1, ..., xk), g : U ⊂ Rk → Rn, U simplesmente conexo, (tal

superfıcie e dita simples conforme Definicao 12, Capıtulo 1) e pordefinicao

∫

S

w =

∫

U

wg(x)

(∂g

∂x1,∂g

∂x2, ...,

∂g

∂xk

)

dx1dx2...dxk

Esta definicao engloba todas as definicoes de integral de formadiferencial (integral de linha, de superfıcies, sobre abertos etc.) apre-sentadas na Secao 6, Capıtulo 3.

Observacao 4.4. Note que conforme o exercıcio proposto anterior-mente para uma n-forma diferencial

a(x) dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn

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em Rn, e f : A ⊂ R

n → Rn vale que

f∗x(a(x) dx1 ∧ ... ∧ dxn) = a(f(x)) (det Jac f)(x)dx1 ∧ ... ∧ dxn.

Deste modo se g1 : U1 → S e g2 : U2 → S forem duas cartascoordenadas para S, aplicando este resultado para f = g1 (g2)

−1,segue da formula de mudanca de variaveis que

∫

U1

wg1(x)

(∂g1∂x1

,∂g1∂x2

, ...,∂g1∂xk

)

dx1dx2...dxk =

∫

U2

wg2(x)

(∂g2∂x1

,∂g2∂x2

, ...,∂g2∂xk

)

dx1dx2...dxk.

Logo,∫

Sw independe da escolha da carta coordenada e e assim

um conceito intrınseco.Esta propriedade e similar a que foi considerada na Secao 10,

Capıtulo 3 [L], sobre integrais de superfıcies.

Exercıcio: Mostre que dado f : A ⊂ Rn → A ⊂ Rn e w k-forma

diferencial, entao f∗(w) = w, se e somente se, para toda superfıcieS ⊂ A de dimensao k

∫

S

w =

∫

S

f∗(w).

Para a integral de uma forma diferencial sobre a superfıcie simplesS estar bem definida, devemos fixar uma orientacao sobre S (verCapıtulo 3 [L]).

Para integrar superfıcies k dimensionais nao simples, que sao ob-tidas atraves de varias cartas g, utilizaremos particoes da unidadeque serao apresentadas em breve (ver Definicao 4.25).

Este procedimento sera uma alternativa ao procedimento de co-lar superfıcies k dimensionais simples que foi desenvolvido na secaoCapıtulo 3 [L]. Este procedimento podera tambem ser utilizado paraintegrar formas diferenciais em variedades.

Note que uma n-forma em Rn e sempre da forma a(x)dx1 ∧ dx2 ∧

... ∧ dxn.Definicao 4.9. Uma n-forma diferencial em R

n com a(x) ≥ 0 echamada uma forma volume sobre R

n.

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Figura 4.1:

Note que segue da definicao acima que para uma forma volumew = a(x)dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dxn em R

n, e para um aberto A ⊂ Rn

∫

A

w =

∫

A

a(x)dx1dx2...dxn.

Vamos agora introduzir o conceito de variedade diferenciavel.Seja M um conjunto. Um sistema de coordenadas locais ou carta

local em M e uma aplicacao bijetiva fα : Uα → fα(Uα) de um sub-conjunto Uα ⊂M sobre um aberto fα(Uα) ⊂ R

n.Dizemos que n e a dimensao de fα : Uα → fα(Uα).Para cada p ∈ Uα tem-se fα(p) = (x1(p), ..., xn(p)). Os numeros

xi = xi(p), i = 1, ..., n sao chamados as coordenadas do ponto p ∈Mno sistema fα.

Definicao 4.10. Um atlas de dimensao n sobre um conjunto M euma colecao U de sistemas de coordenadas locais fα : Uα → R

n emM , cujos domınios Uα cobrem M . Os domınios Uα dos sistemas decoordenadas fα ∈ U sao chamados as vizinhancas coordenadas de U .

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Definicao 4.11. Um conjunto M no qual existe um atlas de di-mensao n chama-se uma variedade de dimensao n. Em outras pala-vras, M e uma variedade de dimensao n se, e somente se, cada pontox de M existe fα : Uα → R

n carta local com x ∈ Uα.

Usaremos a seguinte notacao: gα : Vα → Uα ⊂ M e a inversa defα : Uα → Vα ⊂ R

n. Logo Vα e um aberto em Rn.

Sendo assim, um variedadeM de dimensao n pode ser alternativa-mente definida por um atlas U cartas gα : Vα →M , tal que ∪αgα(Vα)cobre todo M e onde para todo α, Vα e aberto de R

n.

Exemplo 4.3. Toda superfıcie M ⊂ Rm de dimensao n e uma va-

riedade de dimensao n.

Dados os sistemas de coordenadas locais fα : Uα → Rm e fβ :

Uβ → Rn no conjunto M , tais que Uα ∩ Uβ 6= ∅, cada ponto p ∈

Uα ∩ Uβ tem coordenadas xi = xi(p) no sistema fα e coordenadasyi = yi(p) relativamente ao sistema fβ .

A correspondencia

(x1(p), ..., xn(p)) ↔ (y1(p), ..., yn(p))

estabelece uma bijecao ϕαβ = fβ f−1α : fα(Uα ∩Uβ) → fβ(Uβ ∩Uα)

que e chamada mudanca de coordenadas.As mudancas de coordenadas sao ditas C∞ se elas sao de Classe

Ck para todo k ∈ N. Todas as variedades, mudancas de coordenadas,funcoes etc., que consideraremos no texto serao assumidas ser declasse C∞.

Definicao 4.12. Um atlas U de dimensao n sobre um conjunto Mdiz-se diferenciavel, de classe C∞ (k ≥ 1), se todas as mudancas decoordenadas ϕαβ = fβ f−1

α , fα, fβ ∈ U sao aplicacoes de classeC∞.

Como ϕαβ = (ϕβα)−1, e ϕβα e diferenciavel segue-se que os ϕαβsao, de fato, difeomorfismos de classe C∞ (ver Figura 4.1). Em par-ticular, se escrevemos ϕαβ : (x1, ..., xn) 7→ (y1, ..., yn), entao o deter-minante jacobiano

det

(

∂yi

∂xj

)

e nao nulo em todo ponto de fα(Uα ∩ Uβ).

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Definicao 4.13. Uma variedade diferenciavel, de dimensao n e classeC∞ e um par ordenado (M,U) onde M e um conjunto e U e um atlasde dimensao n e classe C∞ sobre M .

Na maioria das vezes vamos omitir o U quando nos referimos auma variedade M .

O espaco Rn e naturalmente uma variedade diferenciavel com um

atlas U com uma unica carta fα : Uα = Rn → R

n, onde fα(x) = x.

Definicao 4.14. Uma variedade orientavel M e uma variedade di-ferenciavel que admite um atlas cobrindo toda a variedade e de taljeito que as mudancas de carta coordenadas ϕαβ sempre satisfazema propriedade que que

det

(

∂yi

∂xj

)

> 0.

Figura 4.2:

O conjunto de cartas que satisfazem tal propriedade e chamadode uma orientacao para a variedade. Quando falamos de uma varie-dade M orientavel, estamos implicitamente dizendo que fixamos umaorientacao em M , ou seja que fixamos um atlas como acima.

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Exercıcio: O espaco Rn com o atlas U , constituıdo pelas cartas

f1(x) = x e f2(x) = 2x e uma variedade orientavel.

Exemplo 4.4. O Plano Projetivo P 2 e uma variedade diferenciavelde dimensao dois como veremos a seguir. O plano projetivo P 2 e oconjunto das retas r de R

3 que passam pela origem (0,0,0) de R3.

Uma tal reta e determinada por um ponto (x, y, z) 6= (0, 0, 0) de R3 e

os pontos (λx, λy, λz), λ 6= 0, determinam a mesma reta. Portanto,P 2 e o espaco quociente de R

3−(0, 0, 0) pela relacao de equivalenciaque identifica (x, y, z) com (λx, λy, λz), λ 6= 0; os pontos de P 2, quesao retas r passando pela origem, serao indicados por r = [x, y, z] =(x1, y1, z1)| tal que existe λ 6= 0, tal que (x, y, z) = λ(x1, y1, z1).

Qualquer elemento (x1, y1, z1) ∈ [x, y, z] pode ser tomado comorepresentante da classe, isto e, [x, y, z] = [x1, y1, z1].

Definimos em P 2 subconjuntos U1, U2, U3 por:

U1 = [x, y, z];x 6= 0,

U2 = [x, y, z]; y 6= 0,U3 = [x, y, z]; z 6= 0

e aplicacoes gi : R2 → Ui, i = 1, 2, 3, por:

g1(u, v) = [1, u, v],

g2(u, v) = [u, 1, v],

g3(u, v) = [u, v, 1]

onde (u, v) ∈ R2.

Em termos geometricos, U2 e o conjunto das retas de R3 que

passam pela origem e nao pertencem ao plano xOz.Afirmamos que as funcoes

fα1= g−1

1 , fα2= g−1

2 , fα3= g−1

3 ,

determinam um atlas C∞ sobre P 2. Com efeito, cada aplicacao gi,i = 1, 2, 3, e evidentemente biunıvoca e

⋃

i

gi(R2) = P 2.

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A ultima igualdade segue do fato que dado qualquer reta r, toman-do um ponto (x, y, z) sobre ela e supondo (sem perda de generalidade)que x 6= 0, entao g1(y/x, z/x) = r

Resta mostrar que fαi(Ui ∩ Uj) e aberto em R

2 e que f−1αj

fαi

e aı diferenciavel. Demonstraremos este fato para i = 1, j = 2; osoutros casos sao inteiramente analogos.

Os pontos de fα1(U1 ∩U2) sao da forma (u, v), com u 6= 0, v 6= 0.

Portanto fα1(U1 ∩ U2) e aberto em R

2 e

fα2 f−1

α1(u, v) = fα2

[1, u, v] = g−12

[1

u, 1,

v

u

]

=

(1

u,v

u

)

e evidentemente diferenciavel, como querıamos.Logo, P 2 admite um atlas C∞.Pode-se mostrar que o plano projetivo nao e uma variedade orien-

tavel (ver por exemplo [Li3]).Passaremos agora a estender as variedades diferenciaveis as nocoes

de Calculo diferencial que sao validas em abertos do Rn.

Superfıcies diferenciaveis de dimensao 2 podem ser obtidas via umprocesso de colagem a partir de abertos do R

2 (ver Figuras 4.2 e 4.3).

Definicao 4.15. Seja S uma variedade diferenciavel de dimensao n.Uma funcao ϕ : S → R e diferenciavel em p ∈ S se para algumaparametrizacao gα : Vα → S, Vα ⊂ IRn com p ∈ gα(Vα), tem-se queϕ gα : Vα → R e diferenciavel no ponto g−1

α (p).Diremos que ϕ e diferenciavel em S se e diferenciavel para todo

p ∈ S. A funcao ϕ gα e chamada a expressao de ϕ na parametriza-cao gα.

E claro que esta definicao independe da parametrizacao, pois segβ : Vβ → S e outra parametrizacao, com p ∈ gα(Vα)∩ gβ(Vβ), entao

ϕ gβ = (ϕ gα) (g−1α gβ),

e assim ϕ gβ e diferenciavel, se e somente se, ϕ gα e diferenciavel(pois e composta de aplicacoes diferenciaveis).

Um caso particular importante da definicao acima e dado a seguir.

Definicao 4.16. Seja S uma variedade de dimensao n. Uma curvaλ : I = (−ǫ, ǫ) ⊂ R → S e diferenciavel em t ∈ I se, para alguma

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Figura 4.3:

parametrizacao gα : Vα → S, com λ(t) ∈ gα(Vα), tem que g−1α λ :

I → Rn e diferenciavel em t.A curva g−1

α λ = fα λ e chamada a expressao local de λ naparametrizacao gα.

A verificacao de que esta definicao independe da parametrizacaoescolhida e analoga a anterior.

Gostarıamos agora de definir a nocao de vetor tangente a umavariedade diferenciavel S, e aı encontramos a nossa primeira dificul-dade. Se a variedade S de dimensao n esta contida no meio ambienteRk, entao dada uma curva x(t) cuja imagem esta contida em S faz

sentido x(t+ δt) − x(t) ∈ Rk. A seguir tomando

limδt→0

x(t+ δt) − x(t) ∈ Rk

δt= v ∈ R

k,

obtemos o vetor tangente.Quando S e definida intrinsecamente, S nao e e nem esta contida

num espaco vetorial, logo x(t+ δt) − x(t) ∈ Rk nao faz sentido.

Nosso problema se reduz entao a definir de maneira alternativa ovetor tangente a uma curva diferenciavel λ : I → S. Por exemplo,

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quando S ⊂ R3 e superfıcie de dimensao 2, o vetor tangente de λ

e simplesmente o vetor velocidade λ′(t) de λ, como vetor de R3.

Como nao temos a estrutura ambiente de R3, precisamos destacar

uma propriedade caracterıstica do vetor tangente que nao dependado espaco ambiente.

Para isto, seja v um vetor de R2, com origem em p ∈ R

2 e compo-nentes (α, β). Escolha-se uma curva diferenciavel λ : I = (−ǫ, ǫ) →R

2 com λ(0) = p e λ′(0) = v = (α, β).Se λ(t) = (u1(t), u2(t)), podemos escrever que

α = u′1(0),

β = u′2(0).

Observe-se agora que dada uma funcao ϕ, diferenciavel em umavizinhanca de p, podemos restringir ϕ a λ(t) e tomar a “derivadadirecional”de ϕ em relacao a v, isto e

d(ϕ λ)

dt

∣∣∣∣t=0

=

(∂ϕ

∂u1

du1

dt+

∂ϕ

∂u2

du2

dt

)

t=0

=

=

α

(∂

∂u1

)

t=0

+ β

(∂

∂u2

)

t=0

ϕ.

Desta maneira, a “derivada direcional segundo v”e um operadorL sobre funcoes diferenciaveis que so depende de v. Esta sera a pro-priedade que tomaremos no caso geral para definir o vetor tangentea uma curva.

O vetor v esta associado de maneira unica ao α e β que definemo operador L = Lλ sobre funcoes ϕ tomando valores reais

Lλ(ϕ) = L(ϕ) =

α

(∂

∂u1

)

t=0

+ β

(∂

∂u2

)

t=0

ϕ.

Em outra palavras, optamos por determinar o vetor v por suaacao sobre funcoes diferenciaveis em vez de tomar o objeto geometricov ∈ R

k.Note que o operador acima depende de α e β e nao da expressao

escolhida para λ (lembre que varias possıveis curvas λ tem a mesmatangente v = (α, β)).

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Um vetor tangente sera considerado a seguir como um destes o-peradores L : Dp → R obtidos a partir de um λ, agindo sobre Dp, oconjunto das funcoes ϕ diferenciaveis em p.

Definicao 4.17. Seja λ : I → S uma curva diferenciavel em umavariedade diferenciavel S de dimensao n com λ(0) = p, e seja Dpo conjunto das funcoes ϕ : S → R, diferenciaveis em p. O vetortangente a curva λ no ponto p e a funcao real L = Lλ : Dp → R talque para cada ϕ ∈ Dp,

L(ϕ) =d

dt(ϕ λ)

∣∣∣∣t=0

.

Um vetor tangente em p ∈ S e o vetor tangente de uma curva dife-renciavel λ : I → S, com λ(0) = p.

Muitas curvas distintas λ poderao determinar o mesmo operadorL = Lλ.

Denotaremos por TpS o conjunto de tais vetores tangentes, ouseja de tais operadores L. Algumas vezes, por abuso de linguagem,vamos denotar o vetor tangente L = Lλ por λ′(0), onde λ e um dosλ tais que Lλ = L. Pode-se mostrar (ver consideracoes a seguir) queo espaco TpS de tais L = Lλ para diferentes λ, e um espaco vetorialde dimensao n.

Note que varios λ podem determinar um mesmo L = Lλ. No casode superfıcies de dimensao 2 em R

3, os λ que geram o mesmo L saoaqueles que determinam o mesmo vetor λ′(0) = v ∈ R

3. Isto seguedo fato que os α e β acima ficam neste caso determinados de maneiraunica a partir de v.

Algumas vezes, tais L da Definicao 4.17 serao tambem denotadospor v ∈ TpS.

Fixada uma parametrizacao gα(u1, u2, ..., un), e um ponto p ∈ S

usaremos a notacao

(

∂∂ui

)

0

∈ Dp para denotar o operador L definido

pela curva

x(t) = gα(u1, u2, ..., ui1 , ui + t, ui+1, ..., un),

onde gα(u1, u2, ..., un) = p. Note que x(0) = p.

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Para mostrar que a nocao acima L = Lλ possui as proprie-dades usuais dos vetores tangentes, considere uma parametrizacaogα : Vα → S, com

gα(0, 0, ..., 0) = p.

Seja ϕ uma funcao diferenciavel em uma vizinhanca de p e supo-nhamos que ϕ gα se escreva como ϕ(u1, u2, ..., un). Entao e claroque

λ′(0)(ϕ) =dϕ(u1(t), u2(t), ..., un(t))

dt

∣∣∣∣t=0

=

=

α1

(∂

∂u1

)

0

+ ...+ αn

(∂

∂un

)

0

(ϕ)

onde αi = u′i(0). Decorre daı que

λ′(0) = α1

(∂

∂u1

)

0

+ ...+ αn

(∂

∂un

)

0

onde (∂

∂ui

)

0

, i ∈ 1, ..., n

sao os vetores tangentes em p respectivamente as curvas

ui → λ(0, ..., ui, ..., 0).

Seja T o espaco vetorial gerado por

(∂

∂ui

)

0

, i ∈ 1, 2, ..., n

onde as operacoes sao definidas como operacoes sobre funcoes.Em resumo, como nao podemos falar do vetor tangente da ma-

neira usual para superfıcies, estamos substituindo o vetor tangentepela sua acao sobre funcoes ϕ diferenciaveis.

Lema 4.1. O conjunto Tp(S) dos vetores tangentes v = Lλ a S emp ∈ S coincide com T . O vetor (α1, ..., αn) ∈ R

n definido comoacima, e chamado de expressao local do vetor v segundo a carta gα.A aplicacao que leva (α1, ..., αn) em v e um isomorfismo de espacosvetoriais.

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Demonstracao: Pelo que acabamos de ver Tp(S) ⊂ T . Reciproca-mente, se v ∈ T , entao existem α1, ..., αn ∈ R tal que

v = α1

(∂

∂u1

)

0

+ ...+ αn

(∂

∂un

)

0

.

Seja λ : I → S uma curva, cuja expressao nas coordenadas(u1, u2, ..., un) da parametrizacao gα e u1(t) = αit,... un = αnt.Entao

Lλ = λ′(0) = α1

(∂

∂u1

)

0

+ ...+ αn

(∂

∂un

)

0

,

isto e, v ∈ Tp(S).Decorre daı que a soma de elementos L de Tp(S), definida como

soma de funcoes, e ainda um elemento de Tp(S) e o mesmo se passa

com o produto por um numero real. E imediato verificar que, comestas operacoes, Tp(S) e um espaco vetorial. Alem disso,

(∂

∂u1

)

0

, ...,

(∂

∂un

)

0

sao vetores linearmente independentes que geram Tp(S). PortantoTp(S) tem dimensao n e e chamado o plano tangente de S em p.

A base (∂

∂u1

)

0

, ...,

(∂

∂un

)

0

de Tp(S) e chamada a base associada a parametrizacao f no ponto p.Voltemos a extensao das nocoes de Calculo as variedades diferen-

ciaveis.

Definicao 4.18. Dada uma variedade S, o fibrado tangente a S e oconjunto ∪p∈STp(S) = TS.

Note que o fibrado tangente tem uma estrutura de variedadediferenciavel de dimensao 2n. De fato, dado uma parametrizacaogα,β(u1, ..., un), a funcao Gα,β(u1, ..., un, u1, ..., un) que associa a cada(u1, ..., un) e a cada vetor

(u1, ..., un)

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o operador L definido por por

L = u1

(∂

∂u1

)

0

+ ...+ un

(∂

∂un

)

0

,

determina cartas coordenadas de R2n em TS. Estas cartas, e facil

ver, determinam em TS uma estrutura de variedade diferenciavel.Um campo de vetores G numa variedade M de dimensao n e uma

escolha de um vetor v(p) = G(p) ∈ TpM para todo p ∈M . O campode vetores e diferenciavel se para alguma (todas) carta coordenadafα = g1

α tal que p ∈ Uα, a expressao local de G(p) em Rn (ver Lema

4.1), atraves da carta coordenada fα, em coordenadas locais em Rn

define um campo de vetores diferenciavel em Rn.

Uma curva λ(t) em M e uma solucao da equacao diferencial asso-ciada ao campo de vetores G, com condicao inicial p0 no tempo t0, seλ′(t) = G(λ(t)) e λ(t0) = p0. Passando para cartas locais fα, a exis-tencia e unicidade de solucoes de campos de vetores diferenciaveis Gem variedades segue de imediato do Teorema 10.8 [DL] de existenciae unicidade. A solucao λ(t) em M e obtida atraves da carta coorde-nada fα e da solucao da equacao diferencial de primeira ordem emfα(Uα) ⊂ R

n. Para valores grandes de t (muito maiores que t0) asolucao pode sair fora de uma carta coordenada. A solucao λ(t), nestecaso, e obtida pela expressao em cada carta local e “colada”pedacoa pedaco em M .

Definicao 4.19. Seja uma aplicacao h : S1 → S2 e p ∈ S1. Diz-se que h e diferenciavel em p, se existem sistemas de coordenadasg1 : V1 → S1 e g2 : V2 → S2 com p ∈ g1(V1) e h(p) ∈ g2(V2),tais que g−1

2 h g1 e diferenciavel em g−11 (p). A aplicacao h diz-se

diferenciavel em S1 se for diferenciavel em p para todo p ∈ S1.

De uma maneira analoga ao que consideramos nas definicoes an-teriores, verifica-se que a definicao acima nao depende dos sistemasde coordenadas escolhidas.

Definicao 4.20. Um difeomorfismo h : S1 → S2 e uma aplicacaobijetiva de S1 sobre S2, tal que h e sua inversa h−1 : S2 → S1 saodiferenciaveis.

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Definicao 4.21. A derivada de uma aplicacao diferenciavel h : S1 →S2 em p ∈ S1 e a aplicacao dhp : TpS1 → Th(p)S2 que a cada operador

v = L ∈ TpS1 (agindo em Dp) associa o operador v = L = dhp(v) ∈Th(p)S2 (agindo em Dh(p)), da seguinte maneira: se L = Lλ = λ′(0), para alguma curva λ : I → S1 com λ(0) = p, entao dhp(v) =

(h λ)′(0) = L = Lhλ. E facil ver que dhp independe da curvaλ e que e uma aplicacao linear. Vamos denotar a derivada de hpor dh : TS1 → TS2, repetindo o processo acima em cada pontop ∈ S1, onde TS1 (respectivamente TS2) denota o fibrado tangente aS1 (respectivamente S2).

Observacao 4.5. Com a nocao de diferencial, podemos obter a se-guinte interpretacao da base de Tp(S), associada a uma parametri-zacao gα : Vα → S. Suponhamos que gα(q) = p, q = (0, 0, ..., 0),e sejam e1, ..., en os vetores da base canonica de R

n (e que estaoassociados aos operadores

∂

∂ui,

i ∈ 1, 2, ..., n). Entao

dgαq(ei) =

d

duigα(0, ..., ui, ..., 0)

∣∣∣∣ui=0

= (∂

∂ui)p,

formam um base de TpS, se variamos i ∈ 1, 2, ..., n.Mais precisamente, para i ∈ 1, 2, ..., n fixo e para cada ϕ ∈ Dp

∂

∂ui p(ϕ) =

d

duiϕ gα(0, ..., ui, ..., 0)

∣∣∣∣ui=0

e um elemento da base de TpS.Convem estendermos a definicao de variedade, dada anterior-

mente, de modo a incluir as variedades com “bordo”. A definicaoacima apresentada de variedade diferenciavel nao inclui, por exem-plo, o conjunto M (o cilindro com bordo) dado por

M = (x, y, z) ∈ R3; 1 = x2 + y2, 1 ≥ z0 ≥ 0,

pois a intersecao V ∩M de qualquer vizinhanca V em R3 de um ponto

p = (x, y, z0) do “bordo”de M com M nao e sequer homeomorfa aum aberto de R

2.

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Observamos, entretanto, que V ∩M e homeomorfa a um abertodo semi-plano (u, v) ∈ R

2; v ≤ 0, enquanto que os pontos de Mque nao estao no bordo se comportam como pontos de uma variedadede dimensao 2. Isso nos sugere uma nova definicao de variedade queinclui a situacao mencionada.

Um aberto do Rn e sempre uma variedade de dimensao N .

Chamaremos de semi-espaco superior Hn ⊂ Rn ao conjunto dada

por

Hn = (x1, ..., xn) ∈ Rn;x1 ≥ 0.

Um aberto V de Hn e a intersecao de um aberto U de Rn com

Hn, isto e, V = U ∩Hn.Diremos que uma funcao f : V → R, definida de um aberto V de

Hn e diferenciavel se existir uma funcao f : U → R de um aberto Ude R

n contendo V , tal que a restricao de f a V seja igual a f . Se fe diferenciavel em V a diferencial dfp e definida por dfp = dfp.

Se o aberto V nao contem pontos da forma (0, x2, ..., xn) entao,V e um aberto de R

n e a definicao coincide com a usual. Se p eda forma (0, x2, ..., xn), dfp esta definida para todos os vetores de Rn

com origem p, e nao apenas para os que “apontam”para o semi-espacosuperior Hn. Tomando curvas diferenciaveis em V passando por p, efacil mostrar que a definicao de dfp nao depende da extensao f de f .

A definicao de aplicacao diferenciavel f : V → Rn, V aberto em

Hn e estabelecida de maneira analoga.Daremos agora uma definicao de variedade com bordo, de modo

a incluir a definicao (Definicao 4.13) anterior de variedade como casoparticular.

Definicao 4.22. Uma variedade diferenciavel (de dimensao n) combordo regular e um conjunto M e um atlas de aplicacoes gα : Vα ⊂Hn →M de Vα ⊂ Hn tomando valores em M tais que:

1)⋃

α

gα(Vα) = M

2) para todo par α, β, com gα(Vα)∩gβ(Vβ) = W 6= ∅, os conjuntosg−1α (W ), g−1

β (W ) sao abertos em Hn e as aplicacoes g−1β gα, g−1

α gβ,aı definidas, sao diferenciaveis em Hn (no sentido acima descrito).

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Figura 4.4:

Denotaremos por fα : Uα ⊂M → Hn as inversas dos respectivosgα : Vα →M .

Um ponto p ∈M e chamado um ponto do bordo de M se para umsistema de coordenadas g−1

α = fα : Uα → Hn em torno de p se temg−1α (p) = fα(p) = (0, x2, ..., xn).

Note que para algumas cartas gα podem ter domınio Vα em aber-tos em (x1, ..., xn) |x1 > 0 e outras domınios Vα que possuem pon-tos da forma (0, x2, .., xn).

Estas ultimas cartas vao cobrir pontos do bordo de M .

Exercıcio: O cilindro (x, y, z) |x2 + y2 = 1 , 0 ≤ z ≤ 1 e umavariedade com bordo.

As definicoes de diferenciabilidade de funcoes, plano tangente,orientabilidade, etc., para variedades com bordo sao introduzidas demaneira inteiramente analoga as correspondentes definicoes para va-riedades.

Proposicao 4.6. A definicao de ponto de bordo independe do sistemade coordenadas.

Demonstracao: Seja g1 : V1 → M um sistema de coordenadas emtorno do ponto p do bordo de M tal que g1(q1) = p, onde q1 e daforma (0, x2, ..., xn).

Suponhamos, por absurdo, que em outro sistema de coordenadasg2 : V2 → M se tenha g2(q2) = p, onde q2 e da forma (x1, ..., xn),

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x1 6= 0.Seja W = g1(V1) ∩ g2(V2); aplicacao

g−11 g2 : g−1

2 (W ) → g−11 (W )

e um difeomorfismo. Como q2 e da forma (x1, ..., xn) com x1 6= 0,existe uma vizinhanca U de q2, V ⊂ g−1

2 (W ) que nao intercepta oeixo x1.

Restringindo g−11 g2 a U , teremos uma aplicacao diferenciavel

g−11 g2 : U → Hn

com jacobiano nao nulo em q2 ∈ U . Pelo teorema da funcao inversa(ver [Li1]), g−1

1 g2 leva uma vizinhanca V ⊂ U de q2 em Rn difeo-morficamente sobre uma vizinhanca g−1

1 g2(V ) ⊂ g−11 g2(U) de q1

em Rn; mas entao, g−11 g2(V ) conteria pontos de forma (x1, ..., xn)

com x1 > 0, o que contradiz o fato de g−11 g2(V ) ⊂ g−1

1 (S). Portantoa hipotese de que q2 e da forma (x1, ..., xn) com x1 6= 0 leva a umacontradicao.

O conjunto dos pontos de bordo de M que e, portanto, bem deter-minado, e chamado o bordo de M e indicado por ∂M . Se ∂M = ∅, aDefinicao 4.19 coincide com a Definicao 4.13 de variedade diferencial.

Proposicao 4.7. O bordo ∂M de uma variedade diferenciavel dedimensao n com bordo e uma variedade diferenciavel de dimensaon− 1.

Demonstracao: Seja p ∈ M um ponto do bordo de M e gα :Vα →M um sistema de coordenadas em torno de p, i.e., Vα ⊂ Hn eaberto, gα e biunıvoca e gα(q) = p, onde q = (0, x2, ..., xn) ∈ U .

Seja Zα = Vα∩(x1, x2, ..., xn−1, xn) ∈ Rn;x1 = 0. Identificando

(x1, x2, ..., xn) ∈ Rn;x1 = 0

com Rn−1, Zα e um conjunto aberto de R

n−1.Se denotarmos por gα a restricao de gα a Zα, entao pela Pro-

posicao 4.6, gα(Zα) ⊂ ∂M . E facil ver que a famılia (Zα, gα) euma estrutura diferenciavel em ∂M . A definicao de orientacao eapresentada na Definicao 4.14.

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Proposicao 4.8. Seja M uma variedade com bordo ∂M . Se M eorientavel, uma orientacao de M induz uma orientacao em ∂M .

Demonstracao: Fixemos uma orientacao em M , isto e, escolha-mos uma famılia gα : Vα → M de sistemas de coordenadas tal quegα(Vα) cobre M , e se gα(Vα) ∩ gβ(Uβ) 6= ∅ entao a mudanca decoordenadas tem jacobiano positivo. Consideremos a famılia dos Vαtal que gα(Vα) ∩ ∂M 6= ∅. Como vimos na proposicao anterior, afamılia (Zα, gα) e uma estrutura diferenciavel em ∂M .

Basta entao mostrar que se gα e gβ sao dois sistemas de coorde-nadas tais que gα(Zα) ∩ gβ(Zβ) 6= ∅, a mudanca de coordenadas

uα2 = uα2 (uβ2 , ..., uβn)

...

uαn = uαn(uβ2 , ..., uβn)

satisfaz a condicao∂(uα2 , ..., u

αn)

∂(uβ2 , ..., uβn)

> 0.

Para isso, observamos que a mudanca de coordenadas de gα : Vα→Ma gβ : Vβ →M satisfaz as condicoes

0 = uα2 (0, uβ2 , ..., uβn)

uα2 = uα2 (uβ2 , ..., uβn)

...

uαn = uαn(0, uβ2 , ..., uβn),

e portanto∂(uα1 ...u

αn)

∂(uβ1 ...uβn)

(0, uβ2 , ..., uβn) =

∂uα1

∂uβ1(0, uβ2 , ..., u

β2 )∂(uα2 , ..., u

αn)

∂(uβ2 , ..., uβn)

(0, uβ2 , ..., uβn) > 0.

Alem disso,∂uα1

∂uβ1(0, uβ2 , ..., u

βn) > 0,

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pois uα1 = 0 em (0, uβ2 , ..., uβn) e torna-se negativo com uβ1 . Portanto

∂(uα2 , ..., uαn)

∂(uβ2 , ..., uβn)

> 0.

Toda variedade diferenciavel e uma variedade diferenciavel combordo.

Definicao 4.23. Dada uma variedade diferenciavel com V de di-mensao n, uma k-forma w em V e uma aplicacao k-linear alternadaem cada fibra TzM, z ∈ V . Em outras palavras, wz(v1, v2, ..., vk) paracada z ∈ V fixo, e linear em cada vi, i ∈ 1, 2, ..., n e e tambemalternada.

Por exemplo as 1-formas sao aplicacoes 1-lineares, e assim, paracada z sao transformacoes lineares em cada TzM tomando valoresreais.

Definicao 4.24. Uma k-forma diferenciavel w em uma variedadediferenciavel V e uma k-forma em V tal que para cada carta decoordenadas locais gα : Vα ⊂ V → R

n, nas coordenadas locais(x1, x2, ..., xn), a forma w e expressa como

∑

I

aI(x1, x2, ..., xn)dxI

e os aI(x1, x2, ..., xn) sao diferenciaveis em (x1, x2, ..., xn).Denotamos Ωk(V ) o conjunto das k-formas diferenciaveis em V .

As definicoes introduzidas anteriormente para formas diferenciaisem R

n se estendem de maneira analoga para formas diferenciais emvariedades V .

Por exemplo, a derivada dw de w ∈ Ωk(V ) e uma (k + 1)-formadiferenciavel dw ∈ Ωk+1(V ) tal que em coordenadas locais e igual aderivada de w (em coordenadas locais). Em geral qualquer conceitoque seja local, como derivada, etc. definido em R

n vai se extenderpara uma variedade diferenciavel V de maneira semelhante a maneiraacima utilizada.

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Seja M variedade de dimensao n e N variedade de dimensao r,dada uma aplicacao f : M → N , e uma k-forma diferencial w ∈Ωk(N), f∗(w) ∈ Ωk(M) e obtida atraves da expressao local de f eusando a definicao anterior para f∗p : Ωn(Rr) → Ωk(Rn). Portanto,

f∗(Ωk(N)) ⊂ Ωk(M).

Figura 4.5:

Ainda, se w1 ∈ Ωk(V ) e uma k-forma e w2 ∈ Ωj(V ) e uma j-forma, a (k+ j)-forma w1∧w2 ∈ Ωk+j(V ) e por definicao dada local-mente pelo produto exterior destas duas formas em cartas locais. To-dos estes conceitos estao bem definidos. A forma w1 ∧w2 ∈ Ωk+j(V )e chamada de produto exterior de w1 e w2.

Vamos considerar a partir de agora que o leitor esta familiarizadocom as analogas definicoes de formas diferenciais sobre R

n para asvariedades diferenciaveis M .

Lembre que o suporte de uma k-forma w (respectivamente, umafuncao φ) e o conjunto dos pontos q tal que wq (respectivamente φ)nao e nula.

Uma subvariedade A contida na variedade V , e uma variedade talque seu conjunto de pontos x ∈ A esta contido em V e a aplicacao deinclusao i : A → V e diferencivel (como aplicacao entre variedades).Exigimos ainda que a aplica cao i tenha derivada injetiva me todosos pontos.

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Seja V variedade de dimensao n. Para definir integral de uma k-forma w ∈ Ωk(V ) sobre uma sub-variedade A de dimensao r contidana variedade V (ver Definicao 4.33), necessitaremos de algum cuidadoespecial (integrar nao e um conceito local como derivar). Em primeirolugar, se a forma w que desejamos integrar tem suporte no domınio Uαde uma carta coordenada fα : Uα ⊂ V → R

n, entao a sub-variedadeA, em cordenadas locais x ∈ R

n, vai resultar numa superfıcie dedimensao k em R

n.A integral de w em A e neste caso a integral da forma w em A

(superfıcie n-dimensional) nas coordenadas locais (x1, x2, ..., xn) emRn (ver Definicao 4.8). Nao e difıcil ver que tal conceito esta bem

definido.O problema e como definir integral no caso em que o suporte

da forma w nao cabe inteiramente dentro do domınio de uma cartacoordenada.

Definicao 4.25. Seja M variedade diferenciavel, um conjunto coor-denadas locais fαi

: Uαi⊂ M → R

n, i ∈ N. Considere um conjuntode funcoes diferenciaveis 0 ≤ φi, i ∈ N definidas em M tomando va-lores em R tal que

∑∞i=1 φi(x) = 1 e tal que o suporte de cada φi(q)

esta contido em Uαi. Vamos supor ainda que em cada carta Uαi

ape-nas um numero finito das φj sao nao nulas. Tal conjunto de funcoesφi, i ∈ N e chamada de uma particao da unidade para M .

Pode-se mostrar (ver por exemplo [MC1]) que dada uma variedadediferenciavel M sempre existe uma particao da unidade para M .

A partir de uma particao da unidade podemos definir a integralde uma k-forma w como veremos em breve.

Referimos o leitor a [Li4] para referencias sobre produto internoe formas quadraticas.

Definicao 4.26. Uma estrutura Riemanniana em uma variedade di-ferenciavel M de dimensao n e uma escolha de uma forma quadraticaW (v), v ∈ TMq, q ∈ M definida positiva em cada plano tangenteTMq. Vamos tambem exigir que tal forma quadratica W quando ex-pressa em coordenadas locais gα : Vα ⊂ M → R

m seja tal que oscoeficientes aij(x1, ..., xn) de

n∑

i,j=1

ai,j(x1, ..., xn)vivj

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sejam diferenciaveis em (x1, ..., xn) ∈ gα(Vα).Acima, vi, i ∈ 1, 2, ..., n denota as componentes do vetor tan-

gente v nas coordenadas x = (x1, ..., xn).M munida de tal estrutura e denominada variedade Riemanniana.

Uma forma quadratica W esta sempre associada de maneira unicaa um produto interno < , >=< u, v >, u, v em TMq tal que valeW (v) =< v, v >, ∀v ∈ TMq. Reciprocamente, podemos definir <u, v >, u, v ∈ TMq a partir de W por < u, v >= 1

2 (W (u + v) −W (u) −W (v)).

Denotaremos a variedade diferenciavel M com tal estrutura Rie-manniana por (M, < , > ).

Note que cada carta local gα determina uma metrica Riemanniana

n∑

i,j=1

ai,j(x1, ..., xn)vivj

em um aberto no Rn no sentido anteriormente considerado (ver De-

finicao 1, Secao 2 e Definicao 20, Secao 7 do Capıtulo 2.)

Proposicao 4.9. Toda variedade diferenciavel admite uma metricaRiemanniana.

Demonstracao: Sejam fi : Ui→Rn coordenadas locais e φi : M→R

funcoes diferenciaveis que determinam uma particao da unidade.Se v e vetor tangente a M no ponto p e se p ∈ Ui, denotaremos

vi1 , ..., vin as coordenadas de v segundo fi.Seja Wi(v) = v2

i1+ ... + v2

inse v ∈ Ui e Wi(v) = 0 se v nao esta

em Ui.Entao W =

∑φWi e uma metrica Riemanniana em M . Para

provar isto, basta lembrar que a soma anterior e localmente finita.

O comprimento de uma curva γ(t), t ∈ [a, b] contida em M eobtida considerando varias cartas fi : Ui → R

n, i ∈ 1, ..., s de talmodo que o traco da curva γ esteja contido em ∪si Ui , pois γ[a, b] ecompacto (ver Definicao 4.32, Capıtulo 3). A seguir, dividimos [a, b]em intervalos [a, a1], [a1, a2], [a2, a3], ..., [as−1, b] que definem umaparticao de [a, b] de tal modo que γ[ai, ai+1] ⊂ Ui. Podemos calcularo comprimento de γ[ai, ai+1] passando a uma carta local fi : Ui → R

n

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(use a Definicao 18, Secao 7, Capıtulo 2 para o comprimento de umacurva γ|[ai,ai+1] segundo uma metrica Riemanniana num aberto doRn). O comprimento de γ, denotado por ‖γ‖, e por definicao asoma dos comprimentos das curvas γ[ai, ai+1]. Pode-se mostrar queeste procedimento esta bem definido, isto e, nao depende das cartasescolhidas.

Vamos apresentar as seguir algumas definicoes e propriedades deespacos metricos. Referimos o leitor a [Li2] para uma exposicao com-pleta sobre o topico.

Definicao 4.27. Um espaco metrico M e um conjunto munido comuma funcao d(x, y), x, y ∈ M , d : M ×M → R, chamada distancia(ou metrica) tal que

a) d(x, y) ≥ 0 e ainda vale que d(x, y) = 0, se e so se, x = y;b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈M ;c) d(x, y) = d(y, x).Vamos denotar tal espaco por (M,d).

Exemplo 4.5. Quando considerarmos M o espaco Rn, entao d(x, y)

= ‖x− y‖ (onde ‖ ‖ e a norma Euclidiana) define uma metrica, istoe, as propriedades a), b), c) acima sao satisfeitas para tal d. Paraabertos do R

n, se nada for dito, estaremos considerando a metricad(x, y) = ‖x− y‖.

Definicao 4.28. Um aberto A no espaco metrico (M,d) e um con-junto A ⊂M tal que ∀x ∈ A, existe ǫ > 0 tal que

y ∈M | d(x, y) < ǫ ⊂ A.

Definicao 4.29. Um conjunto F contido em (M,d) e dito fechadose o conjunto M − F e aberto.

Definicao 4.30. Uma aplicacao contınua F : M1 → M2, entre doisespacos metricos (M1, d1) e (M2, d2), e uma aplicacao F tal que, paratodo ponto x ∈ M1, vale que para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que sed(x, y) < δ entao d(f(x), f(y)) < ǫ.

Definicao 4.31. Um homeomorfismo h entre os espacos metricos(M1, d1) e (M2, d2) e uma aplicacao bijetiva tal que h e h−1 saocontınuas.

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Uma cobertura de um espaco metrico M e uma colecao de abertosAi contidos em M (onde i varia num conjunto qualquer de ındices)tal que M ⊂ ∪iAi.

Definicao 4.32. Um espaco metrico M e dito compacto se toda co-bertura por abertos admite uma subcobertura finita.

Exemplo 4.6. Para uma superfıcies S de dimensao k em Rn, sempre

podemos considerar a metrica induzida pelo Rn, ou seja d(x, y) = ‖x−

y‖, x, y ∈ S define uma metrica em Rn. E possıvel mostrar que toda

superfıcie S que e fechada no espaco Rn e que seja tambem limitada

(isto e, existe K ∈ R tal que ∀x, y ∈ S, d(x, y) ≤ K) e compactacom relacao a tal metrica. Logo, neste caso, e possıvel selecionara partir de um atlas qualquer de S, um novo atlas com apenas umnumero finito de cartas coordenadas. Isto porque, o domınio Uα decada carta coordenada de um atlas e um aberto de S e S e compacta.

Dada uma variedade diferenciavel M com uma estrutura Rieman-niana, vamos mostrar que sempre e possıvel obter uma metrica (nosentido da Definicao 4.24) a partir da metrica Riemanniana.

Exemplo 4.7. Considere (M,< , >) variedade Riemanniana. E-xiste uma distancia natural d = d< ,> em M associada a estruturaRiemanniana < , >, definida para (x, y) ∈M por

d(x, y) = inf‖γ‖ | γ[a, b] →M,

γ e curva em M ligando γ(a) = x a γ(b) = y.

E possıvel mostrar que tal d define realmente uma metrica em M(ver [MC1] [Li3]).

Vamos supor a partir deste momento pelo resto do texto que avariedade M que vamos considerar esteja equipada com uma metricaRiemanniana < , > e com a distancia d = d< ,> associada a estruturaRiemanniana < , > do Exemplo 4.7.

Sempre se pode equipar uma variedade M com uma estruturaRiemanniana como vimos na Proposicao 4.9 acima.

Quando falarmos de um aberto em M variedade Riemanniana,estaremos nos referindo a Definicao 4.28 e usando a distancia d acimadescrita.

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E facil mostrar que toda variedade diferenciavel compactaM (comuma metrica Riemanniana) admite um atlas com um numero finitode cartas coordenadas. Isto segue do fato que os domınios das cartascoordenadas locais Uαi

sao abertos de M .

Dada uma estrutura Riemanniana numa variedade V , sempre queconsiderarmos A subvariedade de V (ver Definicao 4.33, Capıtulo 3),estaremos considerando em A a estrutura Riemanniana obtida pelarestricao da estrutura Riemanniana de V a A.

Definicao 4.33. Quando dizemos que A e uma subvariedade da va-riedade V (que possui uma metrica Riemanniana < , >), estamosquerendo dizer que o subconjunto de pontos de A esta contido emV , que a funcao inclusao i : (A, d1) → (V, d2) tal que i(x) = x eum homeomorfismo de A sobre i(A) ⊂ V (com respeito a metrica d1

associada a estrutura Riemanniana induzida em A e d2 a metrica as-sociada a estrutura Riemanniana em V ) e ainda que para todo p ∈ Aa derivada dip : TpA→ TpV e injetiva.

Suponha que A seja subvariedade da variedade V . Quando dize-mos que A e compacta, isto significa que estamos considerando em Aa distancia d< ,> = d< ,>A

obtida pela metrica Riemanniana < , >A,restricao da metrica Riemanniana de V a A. Sendo assim e possıvelmostrar que A esta contida numa uniao finita de domınios Uαi

de car-tas de V . Na proxima definicao estaremos utilizando as consideracoesfeitas acima.

Exemplo 4.8. Um exemplo de espaco metrico e o conjunto F dasfuncoes contınuas F = f | f : (a, b) → R

n, f contınua , com adistancia d tal que d(f, g) = supremo ‖f(x) − g(x)‖x∈(a,b), ondef, g ∈ F .

Exemplo 4.9. Um exemplo de espaco metrico e o conjunto F∗ dasfuncoes C1, F∗ = f | f : (a, b) → R

n, f e de classe C1, coma distancia d tal que d(f, g) = supremo ‖f(x) − g(x)‖ , ‖f ′(x) −g′(x)‖x∈(a,b), onde f , g ∈ F∗.

A distancia do Exemplo 4.9 foi anteriormente considerada naSecao 2, Capıtulo 2.

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Figura 4.6:

Definicao 4.34. Dizemos que um conjunto B contido em um espacometrico M e denso em (M,d), se para todo x ∈ M e ǫ > 0, existey ∈ B tal que d(x, y) ≤ ǫ.

A definicao acima generaliza a Definicao 13, Capıtulo 1 e e aDefinicao 6, Capıtulo 3.

Muitas das propriedades interessantes de um sistema mecanico,embora nao acontecam para todos os possıveis sistemas, sao no en-tanto verdadeiras para sistemas que estao num subconjunto densoB de tais sistemas (ver por exemplo no fim da Secao 7, Capıtulo 1,Exemplo 13, Capıtulo 1, consideracoes apos Definicao 13, Capıtulo 1e consideracoes antes do Teorema 5, Capıtulo 3).

Apos as consideracoes anteriores, estamos agora prontos para defi-nir a integral de uma forma diferencial numa variedade diferenciavel.

Definicao 4.35. Dada uma k-forma diferenciavel w ∈ Ωk(V ) navariedade Riemanniana diferenciavel V de dimensao r e uma particaoda unidade φi, i ∈ N para V , a integral da k-forma w em uma sub-variedade diferenciavel compacta A, A ⊂ V de dimensao k (k ≤ r) e

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dada por∫

A

w =∞∑

i=1

∫

A

φi(q)wq.

Cada uma das integrais da soma da expressao da direita esta bemdefinida pois a k-forma φi w tem suporte em finitas Ui, domınio dacarta coordenada xi.

Pode-se mostrar que tal conceito esta bem definido e a integralnao depende da particao da unidade φi, i ∈ N escolhida (ver [MC1]).

Exercıcio: Mostre que dado f : V → V , V variedade diferenciavel, ew k-forma diferencial sobre V , entao f∗(w) = w, se e somente se, paratoda subvariedade S ⊂ V de dimensao k, vale que

∫

Sw =

∫

Sf∗(w).

O resultado principal desta secao e o Teorema de Stokes, que valeem grande generalidade e que sera apresentado a seguir.

Teorema 4.1. (Teorema de Stokes) Considere V variedade Rieman-niana diferenciavel de dimensao r. Dada uma n-forma diferenciavelw ∈ Ωn(V ), n ≤ r − 1 e uma variedade compacta C de dimensaon+ 1 com bordo ∂(C) de dimensao n, C subvariedade de V , entao

∫

C

dw =

∫

∂C

w.

Para sermos mais precisos deverıamos escrever a expressao acimacomo: ∫

C

dw =

∫

∂C

i∗w,

onde i e a inclusao de ∂(C) em V (ver Definicao 4.33).No caso em que o bordo de C tenha varias componentes cone-

xas, no Teorema acima, devemos considerar em cada uma delas umaorientacao. Este procedimento de expressar ∂(C) como soma de com-ponentes orientadas, por exemplo, ∂(C) = G1 +G2 +G3, em que asorientacoes das variedades Gi de dimensao n dependem duma ori-entacao da superfıcie C, foi descrito acima na Proposicao 4.8 (vertambem Secao 5, Capıtulo 3).

O teorema de Stokes vai dizer no caso do exemplo mencionadoacima que ∫

C

dw =

∫

G1

w +

∫

G2

w +

∫

G3

w.

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Referimos o leitor a [MC1] para uma demonstracao do teoremaacima.

Vamos considerar agora um exemplo de variedade diferenciavel(que vai ser importante para o que segue) obtida a partir de outravariedade diferenciavel M . Vamos definir agora o fibrado cotangentea variedade M .

Definicao 4.36. Para cada q ∈ M fixado, TMq e o espaco vetorialtangente a M em q. Considere T ∗Mq o conjunto das transformacoeslineares de TMq em R. O conjunto T ∗M e por definicao o conjunto∪qT ∗Mq. Este conjunto sera denominado fibrado cotangente a varie-dade M .

Vamos assumir que M possua uma estrutura Riemanniana < , >.Vamos agora equipar T ∗M com um atlas diferenciavel a partir de umatlas diferenciavel de M .

Dado q ∈ M considere < , >q=< , >. E facil ver que para cadaq fixo e l ∈ T ∗Mq, existe um unico η = ηl ∈ TMq tal que para todoz ∈ TMq, l(z) =< η, z >.

Fica assim definida uma aplicacao que leva l em ηl e que estabeleceum isomorfismo de T ∗Mq em TMq.

Como estamos supondo que M possui uma estrutura Riemanni-ana < , >, se fα : Uα ⊂ M → R

n e carta coordenada local, entaoXα : ∪x∈Vα

T ∗Mx → R2n dado por Xα(q, l) = (fα(q), dfαq

(ηl)) definecarta coordenada local.

E possıvel mostrar (ver [Li3]) que variando as possıveis cartaslocais fα, as correspondentes cartas Xα assim obtidas definem umaatlas diferenciavel para T ∗M .

Chama-se de fibra tangente sobre q o conjunto dos v ∈ TMq.Considere M variedade de dimensao n. Fixada uma carta fα :

Uα → Rn de M , tal que fα(x) = q, x ∈ Uα ⊂M, q = (q1, q2, ..., qn) ∈

Rn, e i ∈ 1, 2, ..., n considere a aplicacao projecao πi, tal que

πi(q, p) = qi.Fica assim definida a transformacao linear dqi : TMq → R dife-

rencial de tal πi. Estas transfromacoes dqi formam uma base doconjunto das transformacoes lineares de TMq em R. Sendo assim,dada uma transformacao linear p : TMq → R e usual denotar tal pem coordenadas locais q = fα(x) como p = p1dq1 + ...+ pndqn.

Chama-se de fibra cotangente sobre q o conjunto dos p ∈ T ∗Mq.

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Um vetor v tangente a T ∗M em (q, p) e portanto um elemento emT (T ∗M ) que pode ser identificado com todas as curvas (q(t), p(t))tal que (q(0), p(0)) = (q, p) e ainda que (q′(0), p′(0)) determinam omesmo v ∈ T (T ∗M ) (ver Definicao 4.17).

Exercıcios

1. Mostre que a esfera x2 + y2 + y2 = 1 em R3 admite um atlas

C∞ que a torna uma variedade orientavel.

2. Mostre que o conjunto dos planos passando pela origem em R3

possui uma estrutura de variedade diferenciavel.

3. Calcule dF para a transformacao F : S → S, onde S e a esferade centro (0,0,0) e raio 1 em R

3 e F (x, y, z) = (−x,−y, z).

4. Calcule a integral da 2-forma diferencial w = x1dx1 ∧ dx2 +x2dx2 ∧ dx3 + x3dx3 ∧ dx4 em Ω(R4) sobre a superfıcie de di-mensao 2 dada por x2

1 + x22 + x2

3 + x24 = 1 e x1 = 0.1.

5. Calcule a integral de dp1 ∧ dq1 + dp2 ∧ dq2 sobre a superfıcie dedimensao dois q21+q22+p2

1+p22 = 1 e q1 = 0.1 em (q1, q2, p1, p2) ∈

R4.

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Capıtulo 5

Formalismo Simpletico

Nosso objetivo nesta secao e apresentar a equacao de Hamilton demaneira intrınseca, ou seja de uma maneira que seja independentede coordenadas locais. Usaremos para isto o formalismo das formasdiferenciais. Vamos considerar nesta secao sistemas autonomos. Ossistemas nao autonomos serao analisados na proxima secao.

Na Mecanica Hamiltoniana as variaveis posicao e momento saoindependentes (na Mecanica Lagrangeana a posicao e a velocidadenao sao independentes). Este ponto de vista e desejavel na MecanicaQuantica [ABC].

Em primeiro lugar vamos considerar o espaco dual de Rn. Lembreque este espaco, denotado por R

n∗, e por definicao o espaco dastransformacoes lineares l : R

n → R (ver Definicao 4.36).Para cada ponto q do R

n considere Rnq o espaco tangente a R

n

em q e Rn∗q o espaco cotangente em q.

Uma base de Rn∗q e dada por dq1, dq2, ..., dqn.

O conjunto dos elementos (q, l) onde q ∈ Rn e l ∈ R

n∗q e chamado

de fibrado cotangente e e denotado por T ∗Rn = ∪qRn∗q .

Note que Rn∗ = T ∗

Rn e uma variedade de dimensao 2n.

Nesta secao vamos introduzir o estudo de sistemas Hamiltonia-nos em variedades no caso em que o Hamiltoniano nao dependa dotempo t.

Na proxima secao vamos considerar o caso nao autonomo.

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124 [CAP. 5: FORMALISMO SIMPLETICO

Em primeiro lugar cumpre destacar que a expressao

q =∂H

∂pp = −∂H

∂q, (5.1)

(q, p) ∈ R2n, usa explicitamente a estrutura do R

2n, em que dividi-mos algumas coordenadas como p e outras como q. Caso tenhamos aintencao de definir um Hamiltoniano e as equacoes de Hamilton (emsistemas mecanicos em que o espco de configuracao e uma variedadediferenciavel M) de uma maneira analoga a (5.1), e necessario ex-pressar tais equacoes de uma maneira independente da estrutura doR

2n.Para este fim sera natural introduzir formas diferenciais para ex-

pressar as equacoes de (5.1).Considere

J =

(0 E−E 0

)

onde E e a matriz identidade em Rn. Sendo assim J e uma matriz

2n× 2n.Note que J2 = −I (a matriz identidade). J vai ser a expressao

matricial local do que vamos chamar abaixo de forma simpletica.No caso em que n = 1 obtemos

J =

(0 1−1 0

)

Considere agora a 2-forma diferencial

w(z, v) = 〈Jz, v〉 =

= zn+1v1 + zn+2v2 + ...+ z2nvn − z1vn+1 − z2vn+2 − ...− znv2n,

z, v ∈ R2n onde 〈, 〉 e o produto interno Euclidiano. Note que w

e alternada. Tal forma diferencial sera denominada mais tarde desimpletica.

Para cada valor de i ∈ 1, 2, ..., n, considere a 2-forma dpi ∧dqi nas variaveis (q, p) = (q1, q2, ..., qn, p1, p2, ..., pn) ∈ R

2n. Noteque para η = (η1, ..., ηn, ηn+1, ..., η2n), θ = (θ1, ..., θn, θn+1, ..., θ2n) aexpressao de dpi ∧ dqi quando aplicado a estes vetores e dada por

dpi ∧ dqi(η, θ) = θiηn+i − ηiθn+i.

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Logo w pode ser escrita como w(η, θ) =∑ni=1 dpi ∧ dqi(η, θ) =

dp ∧ dq(η, θ).Observe agora que dado H(v, w) : R

2n → R

J

∂H∂q1...∂H∂qn∂H∂p1...∂H∂pn

=

∂H∂p1...∂H∂pn

− ∂H∂q1

...− ∂H∂qn

.

Sendo assim as Equacoes de Hamilton em R2n podem ser escritas

de maneira compacta como

(q, p) = J(∇H) = (∂H

∂p1, ...,

∂H

∂pn,−∂H

∂q1, ...,

∂H

∂qn).

J(∇H) define assim o campo de vetores Hamiltoniano.Como sabemos,

dH =∂H

∂q1dq1 + ...+

∂H

∂qndqn +

∂H

∂p1dp1 + ...+

∂H

∂pndpn

e uma 1-forma diferencial em ∈ R2n. Seja um vetor η ∈ R

2n,

η = (η1, ..., η2n).

Note que

dH(η) =n∑

i=1

∂H

∂qiηi +

n∑

i=1

∂H

∂piηn+i =

⟨

(ηn+1, ..., η2n,−η1, ...,−ηn),(

∂H

∂p1, ...,

∂H

∂pn,−∂H

∂q1, ...,−∂H

∂qn

)⟩

=

〈Jη, J(∇H)〉 = w(η, J(∇H)).

Em outras palavras ε = J(∇H) = (∂H∂p ,−∂H∂q ) e o unico vetor em

R2n tal que para todo η, vale que w(η, ε) = dH(η).

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Observacao 5.1. Podemos portanto afirmar que ε =

(

∂H∂p ,−∂H

∂q

)

e

o unico vetor tal que para todo η ∈ R2n

w(η, ε) = (dp1 ∧ dq1 + ...+ dpn ∧ dqn) (η, ε) = dH(η).

A expressao acima e a que realmente pode ser tratada de maneiraintrınseca para fins de definicao do campo de vetores Hamiltonianocomo veremos a seguir.

Vamos definir o Campo Hamiltoniano de maneira intrınseca emuma variedade n-dimensional.

Dada uma superfıcie de configuracao M , o campo Hamiltonianopara ser definido de maneira intrınseca, devera ser definido sobre V ,onde V e o fibrado cotangente T ∗M = V .

Definicao 5.1. Sobre uma variedade V de dimensao 2n, diz-se queuma 2-forma w em V e nao degenerada se para todo x ∈ V , vale que∀ ε ∈ TxV 6= 0 existe um η ∈ TxV tal que wx(η, ε) 6= 0.

Definicao 5.2. Uma forma w e chamada de forma simpletica sobreuma variedade V se w satisfaz dw = 0 e e tambem nao degenerada.Uma variedade V com uma 2-forma simpletica w e chamada de umavariedade simpletica e sera denotada por (V,w).

Exemplo 5.1. A 2-forma∑ni=1 dpi ∧ dqi define uma estrutura sim-

pletica sobre R2n.

Lembre que um campo de vetores G em uma superfıcie V dedimensao r e uma escolha de um vetor tangente G(x) ∈ TVx paracada x ∈ V .

Como vimos anteriormente, nesta secao,

(q, p) = J(∇H) =

(∂H

∂p,−∂H

∂q

)

= G(q, p),

define o campo de vetores Hamiltoniano.

Vamos a seguir definir campos de vetores Hamiltonianos sobrevariedades simpleticas.

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Definicao 5.3. Considere uma variedade simpletica (V,w). Paracada vetor ε ∈ TVx tangente a variedade simpletica (V,w) no pontox, associamos a 1-forma wε tal que

∀ η ∈ TVx, wε(η) = w(η, ε).

Denote por A : TV → T ∗V a aplicacao tal que A(ε) = wε, ondeε ∈ TVx e wε ∈ T ∗Vx foi definida acima.

Observe que A e isomorfismo linear entre dois espacos vetoriaisde mesma dimensao. Isto porque, A e injetiva de TVx no espaco das1-formas em TV ∗

x , isto e, A(ε) = 0 implica que ε = 0 (isto seguefacilmente de ∀ ε 6= 0 existe um η tal que wx(η, ε) 6= 0, ε, η ∈ TVx).

Considere agora In a inversa de A

In : TV ∗ → TV.

Definicao 5.4. Dado H : V → R qualquer, onde (V,w) e uma vari-edade simpletica, o campo Hamiltoniano em M determinado por He por definicao In(dH). Isto e, para x ∈ V fixo In(dH) = ε ∈ TVx,onde wε(η) = w(η, ε) = dH(η), ∀η ∈ TVx. Fica definido assim umcampo de vetores ε(x) = G(x) para todo x ∈ V , que sera denominadocampo de vetores Hamiltoniano associado a H.

A definicao acima e absolutamente natural apos as consideracoesque fizemos anteriormente nesta secao (ver Observacao 5.1). Conside-rando H(q, p) definido sobre (q, p) ∈ T ∗

Rn e w = dp∧dq recuperamos

a expressao do campo Hamiltoniano quando estamos nas coordenadaslocais de R

2n.Observe que para diferentes estruturas simpleticas w sobre a mes-

ma variedade V , podemos ter diferentes campos Hamiltonianos.Note que dH (e uma transformacao linear agindo em TMx) e w

(e uma transformacao bilinear agindo em TMx) sao definidos intrin-secamente, logo o vetor ε foi definido de maneira intrınseca.

Vamos agora usar coordenadas locais x = (q, p) em V = T ∗M(ver Definicao 4.36), p = p1dq1 + ...+ pndqn transformacao linear deTMq em R (M variedade de configuracao) e denotar x = (x1, ..., x2n)por

x = (q1, ..., qn, p1, ..., pn)

e vetores tangentes por

(q′1, ..., q′n, p

′1, ..., p

′n) ∈ T (T ∗M )x.

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Proposicao 5.1. Seja M variedade de dimensao n. O fibrado cotan-gente T ∗M , tem uma estrutura simpletica natural w. Essa estruturasimpletica w, em coordenadas locais e dada por dp1∧dq1+dp2∧dq2+...+ dpn ∧ dqn.

Demonstracao: Considere p : TMq → R uma transformacao lineare (q, p) ∈ T ∗M .

Vamos primeiramente definir uma 1-forma v em T ∗M . A 2-formaw = dv, derivada de tal forma v sera a forma simpletica que busca-mos.

Seja ε ∈ T (T ∗M)(q,p) um vetor tangente do fibrado cotangenteno ponto (q, p) onde p ∈ T ∗Mq.

Um vetor tangente ε em T (T ∗M)(q,p) e representado por umacurva (q(t), p(t)) ∈ T ∗M, t ∈ (−ǫ, ǫ), tal que (q′1, ..., q

′n, p

′1, ..., p

′n) =

(q′(0), p′(0)) = ε e (q(0), p(0)) = (q, p).Considere agora a projecao π : T ∗M → M tal que π(q, p) = q.

Para ε um vetor em T (T ∗M), temos que dπ(ε) ∈ TM (pois dπ :T (T ∗M) → TM e a derivada da projecao π).

Definimos a 1-forma v em T ∗M por

v(ε) = p(dπ(ε)) , ∀ε ∈ T (T ∗M)(q,p).

Afirmamos que esta 1-forma v em coordenadas locais se escrevecomo pdq =

∑ni=1 pidqi.

Vamos mostrar agora a afirmacao mencionada acima. Considerecoordenadas locais (q, p) para T ∗M .

Por definicaoπ : T ∗M →M

(q, p) → q = (q1, q2, ..., qn)

Logo dπ : T (T ∗M) → TM e apenas (dq1, dq2, ..., dqn). Logodπ(ε) = (q′1, ..., q

′n).

A transformacao linear p definida em TMq tem coordenadas locais

p1, p2, ..., pn,

isto e p e a transformacao p1dq1 + p2dq2 + ...+ pndqn.Finalmente, v(ε) = p(dπ(ε)) = piq

′1 + ...+ p2q

′2 =

∑ni=1 pidqi(ε).

Fica portanto demonstrada a afirmacao que v = pdq.

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Considere agora w = dv.E claro que dw = ddv = 0 (ver Proposicao 4.5, Capıtulo 2).Note que em coordenadas locais w =

∑ni=1 dpi ∧ dqi = dp ∧ dq.

E facil ver tambem que w e nao degenerada, pois se ε = (ε1, ..., ε2n) 6=0, entao existe εi 6= 0 (suponhamos que i esteja entre os primeiros n dovetor ε para simplificar a notacao que segue). Portanto w(η, ε) 6= 0,onde η = (η1, ..., η2n) e escolhido de tal modo que ηj = 0, paraj 6= n + i e ηn+i = 1 (este fato segue da forma local de w(z, v) =<Jz, v >=

∑ni=1 dpi ∧ dqi).

Se o termo nao nulo εi esta entre os ultimos n elementos do vetorε, um raciocınio analogo pode ser aplicado.

Concluımos assim que w como definida acima e uma forma sim-pletica.

Um resultado mais geral que o anterior, mas que nao sera demons-trado no texto e o teorema de Darboux (ver [A1] para prova).

Teorema 5.1. (Teorema de Darboux) Dada uma variedade simpleticaV de dimensao 2n e uma forma simpletica w, para todo ponto x ∈ V ,e possıvel encontrar um sistema de coordenadas fα em torno de xtal que fα : Uα → R2n, fα(x) = (q1, q2, ..., qn, p1, p2, ..., pn), tal quenestas coordenadas w e da forma

∑ni=1 dpi ∧ dqi = dp ∧ dq.

Vamos mostrar agora um resultado muito importante.Seja (M,w) uma estrutura simpletica e H : TM∗ → R Hamilto-

niano. Assuma que In(dH) define o campo de vetores HamiltonianoG(x) e seja φt : T ∗M → T ∗M o correspondente fluxo de difeomorfis-mos associado ao campo, isto e,

d

dt

∣∣∣∣t=0

φtx = In(dH)(x) = G(x).

Esse fluxo se chama o fluxo Hamiltoniano associado ao Hamilto-niano H.

Uma variedade diferenciavel A de dimensao dois com bordo esimplesmente conexa se ela e difeomorfa a um aberto simplesmenteconexo do R

2.

Teorema 5.2. O fluxo Hamiltoniano φt sobre TM∗ preserva a es-trutura simpletica natural w = dp ∧ dq, isto e, (φt)

∗w = w.

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Demonstracao: Temos que mostrar (ver exercıcio apos Definicao4.35) que qualquer subvariedade (que sem perda de generalidade po-demos assumir ser simplesmente conexa) A de dimensao 2, A ⊂ T ∗Mcom bordo diferenciavel por partes e tal que

∫

A

w =

∫

φt(A)

w.

Considere a superfıcie de dimensao 3 , A × (0, τ) ⊂ T ∗M × R esua imagem pelo fluxo φt,

Jτ = ∪t∈(0,τ) ∪x∈A (φt(x), t) ⊂ T ∗M × R,

entao, ver Figura 4.4,

∂Jτ = −(∪t∈(0,τ) ∪x∈∂A (φt(x), t) + φτA−A.

Denotaremos ∪t∈(0,τ) ∪x∈∂A (φt(x), t) = Bτ , que e a superfıcie dedimensao 2 (que depende de τ).

Note que w e uma forma diferencial em TM∗ e assim podemospensar que e uma forma diferencial sobre TM∗ ×R que nao dependeda segunda variavel. Quando formos usar a seguir o teorema de Sto-kes, lembre que a contribuicao da integral em ∪t∈(0,τ)∪x∈δA(φt(x), t),nao vai depender do t na parte (., t) acima. Sendo assim, para simpli-ficar a notacao, algumas vezes vamos omitir a parte correspondentea t nas integrais abaixo.

Primeiro, vamos mostrar que

d

dτ

∫

Bτ

w =

∫

φτ (∂A)

dH =

∫

(φτ (δA),τ)

dH,

isto e, vamos mostrar equivalentemente que

∫

Bτ

w =

∫ τ

0

(∫

φt(∂A)

dH

)

dt.

Seja f(s), 0 < s ≤ 1 parametrizacao de ∂A.Entao ϕ(s, t) = (φt(f(s)), t) = φt(f(s)), 0 < s ≤ 1, 0 < t < τ ,

define uma parametrizacao da superfıcie Bτ de dimensao 2.

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Por definicao de integral de uma 2-forma diferencial

∫

Bτ

w =

∫ τ

0

∫ 1

0

w(η, ε)dsdt

onde

ε =∂ϕ

∂te

η =∂ϕ

δs,

pois ϕ(s, t) = φt(f(s)) parametriza Bτ .Note que ε e o vetor que define o campo Hamiltoniano.Por definicao de campo Hamiltoniano

dH(η) = dH(∂ϕ

∂s) = w(η, ε)

(ver Definicao 5.4).Logo

∫ τ

0

(∫

φt(∂A)

dH

)

dt =

∫ τ

0

(∫ 1

0

dH

(

∂ϕ(s, t)

∂s

)

ds

)

dt =

∫

Bτ

w.

Assim concluımos que

d

dτ

∫

Bτ

w =

∫

φτ (∂A)

dH.

Ora pelo Teorema de Stokes,

∫

φt(∂A)

dH =

∫

∂(φt(∂A))

H = 0

pois ∂(φt(∂(A))) = ∅.Logo

∫

Bτ

w

e constante.

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Quando τ → 0,∫

Bτw converge a

∫

∂Aw = 0 (afinal estamos in-

tegrando uma 2-forma em uma superfıcie com regiao bidimensionalconvergindo a uma curva quando τ vai a zero).

Logo ∫

Bτ

w = 0 (5.2)

para todo τ .Como w e simpletica satisfaz dw = 0 entao:

0 =

∫

Jτ

dw. (5.3)

Pelo teorema de Stokes∫

Jτ

dw =

∫

∂Jτ

w =

∫

φτ (A)

w −∫

A

w −∫

Bτ

w. (5.4)

Juntando as expressoes (5.3) e (5.4) obtemos

0 =

∫

Jτ

dw =

∫

∂Jτ

w =

∫

φτ (A)

w −∫

A

w −∫

Bτ

w.

Como o termo∫

Bτw e zero por (5.2) concluımos que

∫

φτ (A)

w =

∫

A

w,

ou seja, φt preserva a forma simpletica w.

Definicao 5.5. Dizemos que uma k-forma diferencial w e um inva-riante integral absoluto para g : T ∗M → T ∗M se

∫

g(C)

w =

∫

C

w

para toda variedade C de dimensao k contida em T ∗M .Equivalentemente, w e invariante integral absoluto para g : T ∗M →

T ∗M se g∗(w) = w.

A proposicao anterior mostrou que g∗(w) = w quando g = φt eo fluxo Hamiltoniano para t fixo obtido a partir de H e w a formasimpletica natural (Proposicao 5.1).

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Exemplo 5.2. Se g preserva area em R2 entao w = dq ∧ dp e um

invariante integral absoluto de g.

Proposicao 5.2. Se w1 e w2 sao invariantes integrais de g, entaow1 ∧ w2 tambem e invariante integral de g.

Demonstracao: Segue imediatamente do fato que

g∗(w1 ∧ w2) = (g∗w1) ∧ (g∗w2) = w1 ∧ w2

(ver Proposicao 4.3 c)).

A 2n-forma diferencial (w)n define um elemento de volume emT ∗M (ver Definicao 4.9). Note que em coordenadas locais

wn = (dp ∧ dq)n = dp1 ∧ dp2 ∧ ... ∧ dpn ∧ dq1 ∧ dq2 ∧ ... ∧ dqn.

Proposicao 5.3. O fluxo Hamiltoniano φt preserva o elemento devolume (w)n.

Demonstracao: Segue imediatamente do fato que g∗(wn) = (g∗w)n

= (w)n, quando g = φt, t fixo, e do Teorema 5.2.

Definicao 5.6. Uma transformacao g, g : T ∗M → T ∗M que pre-serva w, isto e, g∗w = w, e dita canonica.

Note que se g e canonica, g tambem preserva o elemento de volume(w)n, pois g∗(wn) = (g∗w)n = (w)n.

Definicao 5.7. Uma k-forma w e dita invariante relativo para g :T ∗M → T ∗M se ∫

∂C

w =

∫

g(∂C)

w

para toda subvariedade C de dimensao k com bordo contida em T ∗M .

Proposicao 5.4. Se w e invariante relativo para g : T ∗M → T ∗Mentao dw e invariante absoluto para g.

Demonstracao: Seja w invariante relativo e C subvariedade de di-mensao k + 1 com bordo ∂(C) contida em T ∗M . Note que o bordode ∂(C) e vazio.

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Logo pelo Teorema de Stokes∫

C

dw =

∫

∂C

w =

∫

g(∂C)

w =

∫

∂(g (C))

w =

∫

g(C)

dw.

Logo, concluımos que dw e invariante absoluto.

Vamos agora demonstrar a versao simpletica do teorema de con-servacao do Hamiltoniano. Observe como a demonstracao fica abre-viada atraves do uso do formalismo simpletico.

Teorema 5.3. (Lei de Conservacao de Energia) A funcao H e cons-tante ao longo das trajetorias do fluxo Hamiltoniano.

Demonstracao: A derivada direcional de H na direcao θ e dH(θ).Por definicao In(dH) e o Campo Hamiltoniano. Seja entao η =In(dH).

Entao dH(η) = w(η, In(dH)) = w(η, η) = 0 (pois como w ealternada w(η, η) = −w(η, η)).

Logo, H e constante ao longo do fluxo Hamiltoniano.

Dado um Hamiltoniano H(q, p), q ∈M , variedade m-dimensional,vamos mostrar agora que existe uma densidade natural 1

‖∇H(x)‖ que

define uma medida invariante para o fluxo Hamiltoniano restrito auma superfıcie (2m− 1) dimensional de Energia total constante.

Considere uma superfıcie S de dimensao m − 1 em Rm. Dadom-vetores v1, v2, ..., vm em R

m, o volume determinado por estes ve-tores e expresso por dx1 ∧ ...∧ dxm(v1, v2, ..., vm) (ver Definicao 4.3).O procedimento natural de induzir em S uma maneira de medir vo-lume m − 1 dimensional em cada plano TSx e o seguinte: dadosu1, u2, ..., um−1 ∈ TSx, definimos o volume w(u1, ..., um−1) determi-nado por u1, .., um−1 como

w(u1, ..., um−1) = dx1 ∧ ... ∧ dxm(η, u1, u2, ..., um−1),

onde η e o vetor normal unitario (aqui estamos usando a metricaRiemanniana) em S.

Geometricamente falando, estamos considerando um paralelepı-pedo m dimensional com altura η e dizendo que o volume m − 1dimensional da base e o volume m-dimensional do paralelepıpedoη, u1, .., um−1 (isto porque η tem altura 1).

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As consideracoes geometricas feitas acima devem esclarecer o lei-tor para o procedimento que sera utilizado na proxima proposicao.

Vamos denotar por wn a forma volume usual em R2n = dq1 ∧ ...∧

dqn ∧ dp1 ∧ ... ∧ dpn.Proposicao 5.5. Seja M = R

n variedade Riemanniana de dimensaon com a metrica Riemanniana definida por <, >. Considere umHamiltoniano H(q, p) e w forma simpletica natural (ver Proposicao56, Capıtulo 3) sobre R

2n = V = T ∗M = T ∗(Rn). Entao a formaw ((2n − 1)-forma diferencial) sobre uma superfıcie compacta E =(q, p) |H(q, p) = c (2n−1 dimensional) de Hamiltoniano constante(assuma que ‖∇H(x)‖ nao se anule em E) dada por

wx(v2, v3, ..., v2n) =1

‖∇H(x)‖wnx (ηx, v2, ..., v2n)

e invariante para φt restrito a esta superfıcie E.

Demonstracao: Para c ∈ R fixo considere a variedade de dimensao2n− 1

Ec = E = x ∈ T ∗M |H(x) = c.Como sabemos pelo Teorema de Conservacao do Hamiltoniano,

E e invariante por φt.A forma wn e forma volume sobre T ∗M . Se M for o R

2n entaown = dp1 ∧ ... ∧ dpn ∧ dq1 ∧ ... ∧ dqn. A forma volume natural sobrea superfıcie E de dimensao 2n− 1 e a forma w tal que ∀ x ∈ E

wx(v2, ..., v2n) = wnx (ηx, v2, ..., v2n)

onde ηx e o vetor normal a E (estamos assumindo uma orientacaoem E) com norma 1 (estamos assumindo que existe uma metricaRiemanniana, ou seja, que 〈ηx, ηx〉 = ‖ηx‖2 = 1).

Considere sobre E a 2n− 1 forma diferencial

wx =1

‖∇H(x)‖ wx,

isto e,

wx(v2, v3, ..., v2n) =1

‖∇H(x)‖wnx (ηx, v2, ..., v2n).

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Vamos mostrar que w = φ∗t (w) para qualquer t ∈ R. Logo φt vaideixar invariante uma forma volume sobre E.

Antes, mostramos na Secao 2, Capıtulo 3 que H φt = H, ∀t ∈ R.Logo

dH dφt(x) = dH.

Portanto, ∀η ∈ T ∗Mx,

〈∇Hφt(x), dφt(x)(η)〉 = (dH dφt(x))(η) = dH(η) = 〈∇Hx, η〉.

Aplicando a ultima expressao a η = ∇Hx, obtemos 〈∇Hx,∇Hx〉 =‖∇Hx‖2 = 〈∇Hφt(x), dφt(x)(∇Hx) 〉.

Como ∇H e normal a variedade E, temos que

ηx =∇Hx

‖∇Hx‖e

ηφt(x) =∇Hφt(x)

‖∇Hφt(x)‖.

Logo a ultima igualdade pode ser reescrita como

‖∇H(x)‖‖∇Hφt(x)‖

=

⟨

∇Hφt(x)

‖∇Hφt(x)‖, dφt(x)(ηx)

⟩

= 〈ηφt(x), dφt(x)(ηx)〉.

Logo a projecao de dφt(x)(ηx) sobre ηφt(x) e

‖∇H(x)‖‖∇Hφt(x)‖

.

Sendo assim

dφt(x)(ηx) =‖∇Hx‖

‖∇Hφt(x)‖ηφt(x) + z1

onde z1 ∈ TEφt(x).Note que se v2, v3, ..., v2n e uma base de TEφt(x), entao existem

αi, i ∈ 2, ..., 2n tal que

z1 =

2n∑

i=2

αivi.

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Logo

wnφt(x)(z1, v2, v3, ..., v2n) = wnφt(x)

(2n∑

i=2

αivi, v2, ..., v2n

)

=

2n∑

i=2

αiwnφt(x)

(vi, v2, v3, ..., vi, ..., v2n) = 0.

E facil ver a partir da ultima expressao que para qualquerv2, v3, ..., vn ∈ TEφt(x), w

nφt(x)

(z1, v2, ..., v2n) = 0.Portanto, para qualquer v2, v3, ..., vn ∈ TEφt(x)

wnφt(x)(dφt(x)(ηx), v2, ..., v2n) = wnφt(x)

(

‖∇Hx‖‖∇Hφt(x)‖

ηφt(x), v2, ..., v2n

)

.

(5.5)Vamos agora mostrar que φ∗t w = w.Ora, φ∗t (x)(w)(v2, ..., v2n) = wφt(x)(dφt(x)(v2), ..., dφt(x)(v2n))

=1

‖∇Hφt(x)‖wnφt(x)

(ηφt(x), dφt(x)(v2), ..., dφt(x)(v2n))

=1

‖∇Hx‖wnφt(x)

(

‖∇Hx‖‖∇Hφt(x)‖

ηφt(x), dφt(x)(v2), ..., dφt(x)(v2n)

)

=1

‖∇Hx‖wnφt(x)

(dφt(x)(ηx), dφt(x)(v2), ..., dφt(x)(v2n))

=1

‖∇Hx‖wnx (ηx, v2, ..., v2n).

A ultima igualdade segue de φ∗t (x)(wn) = wn (Proposicao 5.3,

Capıtulo 3) e a penultima de (5.5).Concluımos portanto que w define uma densidade invariante para

φt restrito a superfıcie de Hamiltoniano constante Ec. Este fato seguede que

wx(v2, v3, ..., v2n) =1

‖∇H(x)‖wnx (ηx, v2, ..., v2n)

e invariante para φt, t ∈ R.

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Para obter uma probabilidade a partir de w devemos multiplicarw pela constante k = 1∫

Ew

.

Deixamos a cargo do leitor estender o resultado acima para varie-dades simpleticas.

Para concluir esta secao, vamos agora descrever o procedimentonatural para se obter um Hamiltoniano a partir de uma LagrangianoL(q, q), definido sobre uma variedade de configuracao M , q ∈ M ,q ∈ TMq.

Para um Lagrangiano L, e para (q, q) fixo, vamos considerar queo momento p ∈ R

n∗q e dado por p = dL

dq (q, q), isto p e a transformacao

linear derivada de L em relacao a q no ponto (q, q).Sendo assim, fixada a base dq1, dq2, ..., dqn, a 1-forma diferencial

(famılia de transformacoes lineares dependendo de q) p = ∂L∂q nesta

base e dada por

p =∂L

∂q1dq1 + ...+

∂L

∂qndqn.

Desta maneira dLdq quando expressa na base dq1, dq2, ..., dqn, de-

termina o que anteriormente chamavamos de momento p.Sendo assim, para cada q fixo fica associado a q ∈ R

n de maneirabem definida um elemento p ∈ R

n∗q (contanto que a condicao da

Observacao 4, Capıtulo 3), que vai ser o momento.Uma questao importante e a seguinte: como obterH(q, p), (q, p) ∈

T ∗M , a partir de L(q, q), (q, q) ∈ TM .Para (q, q) fixo considere p = ∂L

∂q ∈ T ∗Mq.Para q fixo obtemos assim uma associacao de q com p, defi-

nindo uma aplicacao Bq : TVq → T ∗Vq tal que Bq(q) = p. Esta

aplicacao e bijetiva se por exemplo ∂2L∂q > 0, conforme a Observacao

4, Capıtulo 3.Vamos supor no que segue que tal Bq seja bijetivo para todo

q ∈ V .Considere um Lagrangiano L(q, q). Para (q, p) fixados, definimos

H(q, p) como

H(q, p) = p(B−1q (p)) − L(q,B−1

q (p)) = p(q) − L(q, q),

onde Bq(q) = p.Acima, p(B−1

q (p)) significa aplicar a transformacao linear p novetor tangente q = B−1

q (p).

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Note que o Lagrangiano e naturalmente definido no fibrado tan-gente TM de uma variedade M de configuracao, enquanto que oHamiltoniano e naturalmente definido no fibrado cotangente T ∗Mda variedade de configuracao.

Conclusao: Dada uma funcaoH(q, p) definida no fibrado cotangentea uma variedade M e possıvel definir um campo de vetores sobre ofibrado cotangente denominado campo Hamiltoniano. Isto porque, ofibrado cotangente tem uma estrutura simpletica natural.

Quando desejamos fazer alguma conta, podemos considerar umcerto sistema de coordenadas locais e assim obter resultados sobre osistema.

E mais natural proceder de maneira intrınseca como foi feitoacima, pois nao existe razao para um certo sistema de coordenadasser privilegiado em relacao aos outros.

As trajetorias deste campo de vetores podem ser definidas tambemcomo os extremais da acao

∫

γpdq onde os extremos do caminho γ

estao fixos em γ(t1) = a, γ(t2) = b.Este campo nao e determinado por um unico possıvel Hamilto-

niano H, pois podemos somar a esta funcao uma forma w tal quedw = 0, e claramente a Definicao 96 nao vai alterar o campo Hamil-toniano que vamos obter.

Dada uma funcao sobre o fibrado tangente a uma variedade M ,podemos obter um sistema Lagrangiano sobre o fibrado tangente. Amaneira de relacionar os dois sistemas foi descrita acima.

Exercıcios

1. Para o Hamiltoniano do pendulo sem atrito, calcule para cadanıvel de energia constante a densidade ψ do Teorema 63.

Assuma que o nıvel de energia nao passe pelo ponto (0,0) ou(π, 0).

2. Mostre que o toro S1 × S1 admite um estrutura simpletica.

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Capıtulo 6

Linhas de Vortex em

Mecanica Hamiltoniana

Nesta secao vamos considerar apenas campos Hamiltonianos nao au-tonomos H(q, p, t). Vamos desenvolver o formalismo que permitedefinir neste caso as equacoes de Hamilton de maneira intrınseca.

O ponto de vista sera intrınseco e o leitor pode perceber que asas demostracoes utilizando tal ponto de vista serao simples e naoenvolvem demasiado calculo.

Proposicao 6.1. Dado uma 2-forma w em R2n+1, existe ξ 6= 0 tal

que w(ξ, η) = 0, ∀ η ∈ R2n+1.

Demonstracao: Uma forma diferencial e por definicao alternada,portanto e dado por w(ξ, η) = 〈Aξ, η〉 onde A e matriz alternada.Ora o determinante de tal matriz (2n + 1) × (2n + 1) e zero poisA∗ = −A e detA = detA∗ = det(−A) = (−1)2n+1 detA = −detA.

Logo existe um auto-vetor ξ 6= 0 com auto-valor 0 e, portanto,w(ξ, η) = 〈Aξ, η〉 = 〈0, η〉 = 0.

Definicao 6.1. Uma 2-forma e dita nao singular se

dimξ ∈ R2n+1|w(ξ, η) = 0,∀ η ∈ R2n+1 = 1.

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Definicao 6.2. Dada uma 2-forma w nao singular, em cada ponto doR2n+1, o subespaco de dimensao 1 definido por algum ξ da Proposicao6.1 e chamada direcao de vortex.

Definicao 6.3. Seja w 2-forma diferencial nao singular. Uma curvadiferenciavel em R

2n+1 cuja tangente em cada ponto esta na direcaode vortex naquele ponto da 2-forma w e chamada uma linha de vortexda 2-forma w.

Os teoremas de existencia e unicidade de equacoes diferenciaisordinarias asseguram localmente a existencia das linhas de vortex,bastando para isso assumir condicoes de suavidade (C∞) da 2-formaw nao singular. Observe que enquanto a solucao de uma equacao dife-rencial depende do tempo de maneira bem definida, a linha de vortexe uma curva, para a qual poderıamos ter varias parametrizacoes peloparametro t.

As linhas de vortex determinam o que se chama um campo delinhas e nao um campo de vetores (ver [MC3]).

Proposicao 6.2. Considere em R2n+1 o Hamiltoniano H(p, q, t), a

1-forma w1 = pdq −Hdt e a 2-forma w2 = dw1. Entao as solucoesdo sistema Hamiltoniano

q =dH

dpp = −dH

dq

sao linhas de vortex de w2.

Demonstracao: Suponha que w2 seja nao singular. Sendo assimbasta mostrar que ξ = (Hp,−Hq, 1) em (q, p, t) e direcao de vortex da2-forma w2 no ponto (q, p, t). Primeiro mostraremos este ultimo fato,e deixaremos ao leitor o trabalho de mostrar que w2 e nao singular.

Ora, denote η por (q1, p1, t1)

w2(ξ, η) = dw1(ξ, η) =

(

dp∧dq− dH

dp(dp∧dt)− dH

dq(dq∧dt)

)

(ξ, η) =

= [(−Hqq1 −Hpp1) −Hp(Hqt1 − p1) −Hq(−Hpt1 − q1) = 0.

Logo ξ = (Hp,−Hq, 1) e a direcao de vortex e as solucoes dep = Hp e q = −Hq sao curvas de vortex.

Exercıcio: Mostre que a forma w2 definida acima e nao singular.

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142 [CAP. 6: LINHAS DE VORTEX EM MECANICA HAMILTONIANA

Exemplo 6.1. Vamos calcular em um exemplo a forma w2 = dw1

quando w1 = pdq −Hdt. Seja

H(p, q) =p2

2+ω2

0

2q2

o Hamiltoniano do oscilador harmonico. Logo

w1 = pdq −Hdt = pdq −(p2

2+ω2

0

2q2)

dt

e w2 = dw1 = dp ∧ dq − pdp ∧ dt− qw20dq ∧ dt.

Ora,

q =dH

dp= p

p = −dHdq

= −ω20q.

Neste caso, temos realmente para η = (q1, p1, t1) eξ = (Hp,−Hq, 1) = (p,w2

0q, 1) que

w2(ξ, n) = [dp ∧ dq − pdq ∧ dt− qω20dq ∧ dt] (ξ, n) =

(−ω20qq1 − pp1) − p(−ω2

0qt1 − p1) − qω0(pt1 − q1) = 0.

Este exemplo serve apenas como ilustracao do resultado mais geralanteriormente demonstrado.

A conclusao importante do resultado que obtivemos acima e quee possıvel expressar as curvas solucoes do Hamiltoniano atraves deformas diferenciais, sem usar a estrutura global do R

2n+1. Isto per-mitira introduzir as equacoes de Hamilton (caso nao autonomo) emuma variedade diferenciavel M . Deixamos a cargo do leitor fazer talextensao.

Considere em R2n+1 duas curvas fechadas γ1 e γ2 tal que γ2 e

obtida aplicando o fluxo Hamiltoniano a curva γ1 (ver Figura 4.5).

Definicao 6.4. Duas curvas fechadas na situacao acima serao de-nominadas de “relacionadas pelo fluxo Hamiltoniano”.

Definicao 6.5. A forma w1 = pdq−Hdt sera chamada de invariantede Poincare-Cartan.

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Teorema 6.1. Sejam γ1 e γ2 duas curvas fechadas relacionadas pelofluxo Hamiltoniano, entao

∮

γ1pdq −Hdt =

∮

γ2pdq −Hdt.

Demonstracao: Seja w1 = pdq −Hdt a forma de Poincare-Cartan,entao pelo Teorema de Stokes,

∫

σ

dw1 =

∫

γ1

w1 −∫

γ2

w1

onde σ e o tubo bidimensional que tem como bordo as duas curvasγ1 e γ2 orientadas na direcao positiva.

As curvas γ1 e γ2 da Figura 4.5 correspondem respectivamente aγ1 e −γ2.

A integral de ∫

σ

dw1 = 0,

pois o vetor (−Hp,Hq, 1), tangente a superfıcie com bordo σ, se anulapara a forma dw1. Isto se deve a uma Proposicao que foi anterior-mente demonstrada.

Considere agora uma curva γ1 contida em um plano t1 = cons-tante.

Sendo assim, considerando o campo (−Hp,Hq, 1) e a sua evolucaocom t, e facil ver que a curva γ2 que se obtem aplicando o fluxoφt a curva γ1, e tal que γ2 tambem esta contida em um plano t =constante, digamos t = t1. Neste caso, a proposicao acima diz apenasque ∫

γ1

pdq =

∫

γ2

pdq.

Isto porque ∫

γ1

Hdt =

∫

γ2

Hdt = 0,

uma vez que nao existe componente na direcao t para os vetorestangentes a γ1 ou γ2.

Observe que todas as consideracoes que fizemos acima sao validasem variedades diferenciaveis. Em outras palavras, nao usamos emnenhum momento propriedades do espaco R

2n+1.

Proposicao 6.3. O fluxo (−Hq,Hq, 1) preserva volume em R2n+1.

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144 [CAP. 6: LINHAS DE VORTEX EM MECANICA HAMILTONIANA

Demonstracao: Seja γ1 curva fechada simples contida em t1 =constante e γ2 outra curva obtida pela evolucao do fluxo no tempot2.

Entao pelo teorema de Stokes em R2n ≡ R

2n × t1, temos∫

γ1

pdq =

∫ ∫

∆1

dp ∧ dq

onde ∆1 e a regiao de R2n ≡ R2n × t1 tal que δ∆1 = γ1 (ver Fi-

gura 4.5). Da mesma forma se φt(∆1) = ∆2 entao δ∆2 = γ2 emR2n = R

2n × t2, e ainda pelo teorema de Stokes∫

γ1

pdq =

∫ ∫

∆2

dp ∧ dq.

Como vimos antes∫

γ1

pdq =

∫

γ2

pdq,

logo segue-se que∫ ∫

∆1

dp ∧ dq =

∫ ∫

∆2

dp ∧ dq.

Como o resultado vale para qualquer ∆1 (note que φt(∆1) = ∆2

e φt(γ1) = γ2) concluımos que φt preserva dp ∧ dq. Como

(dp ∧ dq)n = dp1 ∧ ... ∧ dpn ∧ dq1 ∧ ... ∧ dqn,

concluımos que o fluxo Hamiltoniano φt em R2n preserva volume.

Observe que o resultado acima foi provado para HamiltonianosH(q, p, t) que dependem do tempo. Ja havıamos mostrado antes esteresultado, o teorema de Liouville, mas a demonstracao acima podeser aplicada tambem a ao fibrado cotangente T ∗M de uma variedadediferenciavel M .

Deixamos a cargo do leitor extender os resultados acima obtidosno R

n para variedades diferenciaveis M de dimensao n.

Conclusao: A partir de um Hamiltoniano H(q, p, t), definido sobreo produto cartesiano do fibrado tangente a uma variedade M por R,

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foi possıvel definir um campo de vetores Hamiltoniano sobre o fibradocotangente a M .

Este campo de vetores pode tambem ser caracterizado como osextremais de

∫

γpdq−Hdt, em que os extremos (e os tempos) γ(t1) = a

e γ(t2) = b estao fixos.Este campo nao e determinado por um unico possıvel Hamiltoni-

ano H, pois podemos somar a esta funcao uma forma w = dG, e osvalores da acao irao se alterar por uma valor fixo G(b)−G(a). Logo,irao determinar os mesmos extremais.

Exercıcio

1. Considere o Hamiltoniano H(q, p, t) = p2 + q2 + t. Calcule aslinhas de vortex em R

3 para tal Hamiltoniano.

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Capıtulo 7

Equacoes Diferenciais

Parciais: Metodo das

Caracterısticas

Para analisar com mais profundidade a equacao diferencial de Hamil-ton-Jacobi necessitaremos primeiro analisar alguns aspectos da teoriageral das equacoes diferenciais de primeira ordem. Referimos o leitorpara [Jo], [I] e [Ju] para uma exposicao mais completa sobre o assunto.

Nosso objetivo nas proximas secoes, sera explicar a relacao dasfrentes de ondas com raios de luz. Esta relacao e um dos pontoscentrais na formulacao da Mecanica Hamiltoniana.

Primeiramente, necessitaremos analisar alguns topicos da teoriadas equacoes diferenciais parciais.

Vamos comecar analisando um exemplo bem simples que vai an-tecipar as principais propriedades dos exemplos mais complexos deequacoes diferenciais que serao analisados a seguir.

Considere a equacao diferencial parcial de 1a ordem

x∂u

∂x+ y

∂u

∂y= 0. (7.1)

Desejamos encontrar quem e a funcao u(x, y) que satisfaz tal

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equacao. Em geral existem infinitas solucoes, pois se u e solucaoentao βu+ α tambem e solucao (β, α ∈ R sao constantes quaisquer).

Observe que se u e solucao de (7.1), entao u(x, y) = B determinauma curva cuja tangente (x′, y′) em (x, y) e colinear com (x, y). Istoporque

∇u =

(

∂u

∂x,∂u

∂y

)

e normal a curva de nıvel e por hipotese de u ser solucao de (7.1),

〈(x, y),∇u〉 = 0.

Vamos tentar determinar a expressao analıtica de tais curvas

u(x, y) = constante = B.

Suponha que possamos obter a mencionada curva atraves da ex-pressao u(x, y(x)) = B onde y(x) e obtido a partir de x pelo Teoremada Funcao Implıcita. Temos, portanto, que (1, y′(x)) e tangente a estacurva, logo a partir do que afirmamos acima devemos ter que

y′(x)

1=y(x)

x.

Logoy′(x)

y(x)=

1

x,

e portanto,d

dx(log y(x)) =

d

dxlog x.

Sendo assim, log(y(x)) = log x+c, c ∈ R, e finalmente y(x) = ax paraalgum a ∈ R. Logo u e constante em semi retas passando pela origem,e portanto as curvas de nıveis de u sao tais semi-retas. Observe queem (x, y) = (0, 0) nao podemos fazer as consideracoes acima.

Note que se estabelecermos como condicao de fronteira os valoresde u em uma curva diferenciavel Γ que e cortada por cada uma dassemi-retas y = ax em apenas um ponto da curva Γ, pelo que de-duzimos anteriormente, os valores da “possıvel”(ainda nao sabemosse existe) solucao u ficam necessariamente determinados. O valor

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148 [CAP. 7: METODO DAS CARACTERISTICAS

u(x, y) tem que ter o valor de u, oriundo da condicao de fronteira,na intercecao da reta y = ax com a curva Γ. Isto e, se este ponto deintercecao for (x0, y0), entao escolheremos o valor u(x, y) para todoponto (x, y) desta semi-reta y = ax, como u(x, y) = u(x0, y0). Com auniao deste feixe de retas cobre um aberto do plano, entao podemosdefinir u em um subconjunto aberto do plano.

Vamos mostrar que a u assim definida na verdade e realmentesolucao de (7.1).

Fixado (x, y), pela maneira como estamos definindo u, a reta y =ax e curva de nıvel de u, logo ∇u e perpendicular a esta reta. Como(x, y) esta nesta reta, segue que < ∇u, (x, y) >= 0. Logo a u definidaacima realmente satisfaz a equacao diferencial (7.1).

Em geral o problema que pode ocorrer e que a curva Γ (ondee fixada a condicao de fronteira) intercepte uma destas semi-retasy = ax em mais de um ponto. Neste caso poderıamos ter o problemade nao poder obter u de maneira bem definida. Se nao ocorrer estasituacao, no entanto, entao o problema esta bem posto e a solucaoexiste e esta bem definida (e unica) da maneira como foi escolhidoacima.

Em outras palavras, a condicoes natural inicial (ou de fronteira)do problema de Cauchy deve ser fixar o valor de u em uma curva Γque intercepta cada semi-reta passando pela origem em apenas umponto.

Agora vamos analisar a equacao linear geral de primeira ordem.Considere a equacao diferencial parcial de 1a ordem em R

2

a(x, y)∂u

∂x+ b(x, y)

∂u

∂y= 0. (7.2)

Gostarıamos de encontrar a solucao desta equacao de uma ma-neira semelhante a utilizada no exemplo anterior.

Da maneira analoga como no exemplo anterior, primeiro resolve-remos o sistema de equacoes diferenciais ordinarias de 1a ordem

dx

dt= a(x, y)

dy

dt= b(x, y). (7.3)

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Observe agora o que acontece com a restricao de u (solucao de(7.2)) as solucoes de (7.3):

d

dtu(x(t), y(t)) =

∂u

∂xx′ +

∂u

∂yy′ =

∂u

∂xa(x, y) +

∂u

∂yb(x, y) = 0.

Logo u e constante ao longo das solucoes de (7.3).

Sendo assim, se (x(t), y(t)) e uma solucao de (7.3), entao

〈∇u(x(t), y(t)), (x(t), y(t))〉 = 0.

Logo, cada curva (x(t), y(t)) deve satisfazer a propriedade que(x(t), y(t)) esta na reta tangente a curva u(x, y) = c.

Se tomarmos agora uma curva Γ cortando em um e so um pontocada curva solucao de (7.3), e fixando os valores de u em Γ de-terminaremos a solucao u(x, y) (pois u e constante em solucoes de(7.3)). Do mesmo modo como no exemplo anterior, basta dar o va-lor u(x, y) = u(x0, y0) para cada (x, y) sobre uma curva γ solucaode (7.3) tal que Γ ∩ γ = (x0, y0). Uma curva com tais propriedadesdefine a condicao natural de fronteira do problema.

Definicao 7.1. As curvas solucoes de (7.3) sao chamadas curvascaracterısticas de (7.2).

Exemplo 7.1. Considere a equacao

y∂u

∂x− x

∂u

∂x= 0, (7.4)

com a condicao de fronteira (ou inicial) u(s, 0) = s2, 0 ≤ s.Uma outra maneira de especificar a condicao de fronteira acima

e estabelecer que esta fixa uma curva em R3 dada por

(x(s), y(s), u(s)) = (s, 0, s2),

no espaco das variaveis (x, y, u). Esta maneira, na verdade, e a queusaremos na sequencia desta secao.

Neste caso a equacao diferencial ordinaria que define as carac-terısticas e

x = y

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Figura 7.1:

y = −x.As solucoes desta equacao sao do tipo

(x(t), y(t)) = (r cos(t),−r sin(t)).

Para cada valor s considere (xs(t), ys(t)) a solucao da equacao di-ferencial ordinaria com condicao inicial (s, 0). Pelo que vimos acima,devemos escolher u(xs(t), ys(t)) = u(s, 0) = s2. Em outras palavras,u e constante em cırculos.

Se usarmos coordenadas (s, t) entao u(s, t) = s2, ou alternativa-mente em coordenadas polares u(r, θ) = r2.

Se desejarmos encontrar a solucao u na variavel (x, y), ou seja

obter u(x, y), devemos substituir r =√

x2 + y2, θ = arctan y/x emu(r, θ) e obter u(x, y) = x2 + y2. Fica assim determinada a solucaodo problema (7.4) por um metodo que se baseou fundamentalmentenas curvas caracterısticas.

Vamos considerar novamente o caso geral (7.2).

Definicao 7.2. Dada a equacao diferencial parcial

a(x, y)∂u

∂x+ b(x, y)

∂u

∂y= 0,

chamamos de superfıcie integral da equacao diferencial uma superfıciena variavel (x, y, u) ∈ R

3 obtida como grafico de u(x, y), onde u esolucao da equacao diferencial.

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Observacao 7.1. Uma condicao necessaria e suficiente para queuma superfıcie S ⊂ R

3 seja uma superfıcie integral de (7.2) e quepara cada (x, y, u) ∈ R

3, o vetor (a(x, y), b(x, y), 0) esteja no planotangente a superfıcie S em (x, y, u). Isto porque como o vetor nor-mal η = (∂u∂x ,

∂u∂y ,−1) e ortogonal a superfıcie em (x, y, u) (isto e, η e

perpendicular ao plano tangente), entao

〈η, (a, b, 0)〉 =∂u

∂xa+

∂u

∂yb+ 0 = 0.

Portanto, segue que (a, b, 0) estar no plano tangente a S em (x, y, u)e uma condicao necessaria e suficiente para S ser superfıcie integral.

Esta relacao e valida para a equacao linear (7.2). Vamos definirem breve superfıcie integral para uma EDP qualquer e neste caso aanalogoa relacao sera mais complexa.

Dada a equacao diferencial (7.2), uma maneira geometrica de ob-ter o conjunto de pontos S que define uma superfıcie integral para estaequacao e satisfazendo uma condicao de fronteira inicialmente fixadae a seguinte: para cada condicao inicial (x(s), y(s), u(s)), considere(xs(t), ys(t)) curvas caracterısticas (solucao de (7.3)) com condicaoinicial no tempo t = 0 igual a (x(s), y(s)). Considere em R

3 a su-perfıcie S obtida pela uniao das curvas

(xs(t), ys(t), u(s)),

onde s, t variam sem restricao (ver Figura 4.6).

Pictoricamente, para obter S, estamos varrendo a condicao inicial

(x(s), y(s), u(s))

com curvas caracterısticas, ou seja solucoes de (7.3).Vamos mostrar agora que realmente tal superfıcie S assim obtida

e uma superfıcie integral de (7.2) com a condicao de fronteira dada.E obvio que S satisfaz a condicao de fronteira.Suponha agora que (x, y) possa ser obtido como (xs(t), ys(t)) para

algums valor de s, t. Para cada s fixo, o vetor

(dxs(t)

dt,dys(t)

dt,du(s)

dt

)

= (x′s(t), y′s(t), 0) = (a(x, y), b(x, y), 0)

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esta no plano tangente a S em (x, y, u). Sendo assim pela Observacao45, S determina superfıcie integral satisfazendo a condicao de fron-teira.

Note que foi necessario supor que (xs(t), ys(t)) cobre um abertodo R

2 para poder concluir a afirmacao acima. Na verdade (s, t) de-veria ser considerado como novas coordenadas adaptadas a solucaodo problema. Voltando as antigas coordenadas (x, y) por mudancade variavel podemos obter

u(s(x, y), t(x, y)) = u(x, y)

como funcao de (x, y).O procedimento acima e a essencia do metodo das caracterısticas.

Encontramos a solucao u de uma EDP resolvendo uma EDO. E maisconveniente pensar no conjunto geometrico S ⊂ R

3 de pontos dografico da solucao u em vez de diretamente com u(x, y) pois assim po-demos ter a liberdade de considerar coordenadas (s, t) mais apropri-adas (em funcao das caracterısticas) e finalmente encontrar a solucaofinal u em coordenadas (x, y) apenas atraves de um procedimento demudancas de coordenadas.

Vamos agora considerar o caso geral de uma equacao diferencialparcial de primeira ordem.

Considere uma funcao diferenciavel de Classe C2, F : R5 → R,

F (x, y, z, p, q).

No contexto que vamos considerar a seguir z vai expressar a funcaoz(x, y) (sera portanto uma variavel dependente) solucao da EDP quesera definida a partir de F e

p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y

(serao tambem dependentes).A equacao diferencial parcial geral de primeira ordem pode ser

expressa atraves da condicao

0 = F

(

x, y, z(x, y),∂z

∂x,∂z

∂y

)

= F (x, y, z, p, q), (3.55)

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Figura 7.2:

para uma certa F fixada.Dada uma curva (x(s), y(s), z(s), p(s), q(s)), a < s < b (que faz o

papel de condicao de fronteira) desejamos encontrar a solucao z(x, y)da EDP geral de primeira ordem de tal jeito que a solucao z(x, y)satisfaca a condicao de fronteira z(x(s), y(s)) = z(s). Os valores(q(s), p(s)) devem satisfazer certas condicoes como veremos a seguir.

Definicao 7.3. Uma superfıcie integral da equacao diferencial parcialF = 0 e uma superfıcie S em R

3 tal que e grafico de uma funcaoz(x, y) que satisfaz

F (x, y, z(x, y), zx(x, y), zy(x, y)) = 0.

Encontrar superfıcies integrais equivale a resolver (3.55).Nesta secao, vamos desenvolver metodos geometricos que se apli-

cam a situacoes bem gerais e que sao semelhantes aos anteriormenteusados. Atraves da condicao de fronteira, vamos escolher condicoesiniciais e a seguir vamos varre-las com feixes de caracterısticas (queserao adequadamente definidas) e assim finalmente iremos identificar

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Figura 7.3:

uma superfıcie integral S. Encontrar a solucao final em uma certavariavel (por exemplo (x, y)) e apenas uma questao de mudanca decoordenadas.

Procedendo de maneira semelhante a que fizemos antes, as carac-terısticas serao obtidas como curvas solucoes de equacoes diferenciaisordinarias de tal jeito que F (x, y, z, p, q) e constante igual a zero aolongo destas curvas solucoes (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)). Nosso obje-tivo inicial e encontrar a equacao diferencial ordinaria em R5 que vaidefinir solucoes com estas propriedades.

Afirmamos que se desejarmos que (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)) satis-faca a propriedade acima descrita F (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)) = 0,entao esta curva deve satisfazer:

dx

dt= Fp (7.5)

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dy

dt= Fq (7.6)

dz

dt= pFp + qFq. (7.7)

Mais duas equacoes serao adicionadas mais tarde para dpdt e dq

dt .

Primeiro queremos justificar a necessidade de assumir que as tresequacoes acima sejam satisfeitas.

Para (x0, y0, z0) fixados, resolvemos em p a equacao

F (x0, y0, z0, p, q(p)) = 0.

A equacao do plano tangente a superfıcie integral S passando por

(x0, y0, z0)

determina que

(z − z0) = p(x− x0) + q(y − y0) =∂z

∂x(x0, y0) +

∂z

∂y(x0, y0).

Sendo assim, teremos (z − z0) = p(x− x0) + q(p)(y − y0).

Derivando a ultima expressao em p obtemos

0 = (x− x0) + (y − y0)dq

dp. (7.8)

Derivando em p a equacao F (x0, y0, z0, p, q(p)) = 0 obtemos

Fp + Fqdq

dp= 0. (7.9)

Eliminandodq

dp

das duas ultimas equacoes ((7.8) e (7.9)), obtemos

x− x0

Fp=y − y0Fq

.

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Assumindo agora que a curva (x(t), y(t), z(t)) esta na superfıcieintegral e que (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0) entao

FpFq

=x(t) − x0

y(t) − y0=

x(t)−x0

ty(t)−y0

t

.

Fazendo o limite em t tender a zero, obtemos

x′(t)

Fp=y′(t)

Fq.

Isto justifica tomar x′(t) = Fp e y′(t) = Fq.Vamos agora justificar z′ = pFp + qFq.Ora

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt= px′ + qy′.

Como assumimos que x′ = Fp e y′ = Fq, concluımos que z′ =Fpp+ Fqq.

Concluımos portanto que (7.5), (7.6) e (7.7) sao condicoes naturaispara as caracterısticas.

Seja a equacao diferencial ordinaria em R5 dada por

dx

dt= Fp (7.10)

dy

dt= Fq (7.11)

dz

dt= pFp + qFq (7.12)

dp

dt= −Fx − pFz (7.13)

dq

dt= −Fy − qFz (7.14)

Estas equacoes sao denominadas equacoes das caracterısticas.

Definicao 7.4. As solucoes do sistema de equacoes diferenciais or-dinarias acima sao denominadas de caracterısticas.

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Nosso objetivo e mostrar que F e constante ao longo das carac-terısticas.

Antes porem, devemos justificar a escolha das equacoes das ca-racterısticas.

Ora (7.10), (7.11) e (7.12) sao nada mais que (7.5), (7.6) e (7.7).Devemos portanto justificar apenas (7.13) e (7.14).

Suponha que (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)) pertence ao conjunto depontos de uma superfıcie integral. Ora p(x(t), y(t)) e q(x(t), y(t))satisfazem

dp

dt= px

dx

dt+ py

dy

dt= pxFp + pyFq (7.15)

edq

dt= qx

dx

dt+ qy

dy

dt= qxFp + qyFq. (7.16)

Derivando F (x, y, z, p, q) = 0 em relacao a x obtemos

0 =

︷︸︸︷

Fx + Fz∂z

∂x+Fp

∂p

∂x+ Fq

∂q

∂x

= Fx + Fzp︸︷︷︸

+Fppx + Fqqx. (7.17)

Derivando F (x, y, z, p, q) = 0 em relacao a y obtemos

0 =

︷︸︸︷

Fy + Fz∂z

∂y+Fp

∂p

∂y+ Fq

∂q

∂y

= Fy + Fzq︸︷︷︸

+Fppy + Fqqy (7.18)

Como∂2z

∂y∂x= py = qx =

∂2z

∂x∂y

entao juntando (7.15) e (7.17) e juntando (7.16) e (7.18) derivamos(7.13) e (7.14), ou seja,

dp

dt= −Fx − Fzp

dq

dt= −Fy − Fzq.

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Fica assim justificado (7.13) e (7.14) e portanto as equacoes dascaracterısticas. Vamos entao considerar a equacao diferencial or-dinaria nao linear em R

5 dada por (7.10), (7.11), (7.12), (7.13) e(7.14). Denotaremos tal equacao por r′ = G(r) onde r ∈ R

5 eG : R

5 → R5.

Vamos voltar agora a considerar o problema de Cauchy que esta-vamos interessados em resolver, ou seja F (x, y, z, p, q) = 0 com umacerta condicao de fronteira dada por (x(s), y(s), z(s), p(s), q(s)). De-sejamos encontrar pelo metodo das carcterısticas z(x, y) satisfazendoas condicoes iniciais

(x(s), y(s), z(s), p(s), q(s)).

Observacao 7.2. Note que estas 5 quantidades nao podem ser esco-lhidas independentemente pois devem obedecer as relacoes

dz

ds=∂z

∂x

dx

ds+∂z

∂y

dy

ds= p

dx

ds+ q

dy

ds

eF (x(s), y(s), z(s), p(s), q(s)) = 0.

Sendo assim a condicao inicial sera dada apenas por(x(s), y(s), z(s)). Os valores (p(s), q(s)) devem ser escolhidos satis-fazendo as equacoes acima.

Por exemplo, se escolhemos z(s) constante sobre (x(s), y(s)), entaoas duas equacoes acima sao F (x(s), y(s), z(s), p(s), q(s)) = 0 ep(s)x′(s) + q(s)y′(s) = 0.

Como dissemos antes, a maneira correta de entender a condicaoinicial na verdade e a seguinte, dada uma curva γ no plano, parame-trizada por (x(s), y(s)) escolhemos os valores de z (ou u) em γ. Istoequivale a escolher de fato a condicao (x(s), y(s), z(s)).

Vamos agora encontrar a solucao pelo metodo das caracterısticas.Para cada valor s fixado considere a curva em R

5

(xs(t), ys(t), zs(t), ps(t), qs(t)) =

solucao de r′ = G(r) com condicao inicial

r(0) = (x(s), y(s), z(s), p(s), q(s)).

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Figura 7.4:

Denotaremos por

x = x(s, t) = xs(t)

y = y(s, t) = ys(t)

z = z(s, t) = zs(t)

p = p(s, t) = ps(t)

q = q(s, t) = qs(t)

os valores obtidos com o procedimento acima.Vamos considerar agora a superfıcie S ⊂ R

3 obtida varrendo acondicao de fronteira (x(s), y(s), z(s)) por curvas (xs(t), ys(t), zs(t))obtidas a partir das curvas caracterısticas. Vamos mostrar que a Sassim definida e uma superfıcie integral.

Para mostrar que S define uma superfıcie integral, vamos agoraderivar

F (xs(t), ys(t), zs(t), ps(t), qs(t))

em relacao a t.

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Usando as equacoes das caracterısticas

dF

dt= Fx

dx

dt+ Fy

dy

dt+ Fz

dz

dt+ Fp

dp

dt+ Fq

dq

dt=

= FxFp +FyFq +Fz(pFp + qFq)−Fp(Fx + pFz)−Fq(Fy + qFz) = 0.

Logo F e constante e nao depende de t. Como assumimos que

(x(s), y(s), z(s))

esta na superfıcie integral e (p(s), q(s)) foram escolhidos de tal jeitoque F (x(s), y(s), z(s), p(s), q(s)) = 0, concluımos que

F (xs(t), ys(t), zs(t), ps(t), qs(t)) = 0

para qualquer s, t. Logo S e superfıcie integral satisfazendo a condicaode fronteira. S pode ser definida como a superfıcie bidimensionaldefinida por (xs(t), ys(t), zs(t)) (ver [Jo]).

Suponha que (x(s, t), y(s, t)) cobre um aberto do plano (x, y), in-jetivamente em (s, t). Uma condicao suficiente para tal propriedadeocorrer localmente e (x′(s), y′(s)) nao ser colinear com (Fp, Fq) =(x′(t), y′(t)) sobre a curva de condicoes iniciais. Se conseguirmos in-verter a relacao entre as variaveis (x(s, t), y(s, t)), obtendo(s(x, y), t(x, y)), poderemos expressar a solucao z(x, y) como

z(x, y) = z(s(x, y), t(x, y)),

onde z(s, t) = zs(t) foi obtida acima (ver [Jo]).

O conceito de superfıcie integral permite pensar de maneira geo-metrica, sem se preocupar com as variaveis (x, y), e assim descrevera solucao em coordenadas mais naturais que sao (s, t). Finalmente,podem obter z(x, y) atraves do desenvolvimento acima.

A equacao de Hamilton-Jacobi e uma equacao diferencial parcialde primeira ordem, e o metodo das caracterısticas e um procedimentonatural para calcular solucoes desta equacao.

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Exercıcios

1. Calcule a equacao das caracterısticas para a equacao diferencialparcial de Hamilton-Jacobi

0 = 1 −H

(

x, y,∂z

∂x,∂z

∂y

)

= F (x, y, z, zx, zt).

2. Encontre as caracterısticas da equacao diferencial parcial x2zx+y2zy = 0, z(x, y) ∈ R, (x, y) ∈ R

2. A seguir determine umacurva de condicoes iniciais tal que esteja bem definida a solucaodo problema de Cauchy.

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Capıtulo 8


Parciais: Metodo da

Solucao Completa

Na secao anterior usamos o metodo das caracterısticas para resolver aequacao diferencial parcial geral de primeira ordem F (x, y, z, p, q)=0.Nesta secao vamos nos concentrar no metodo da solucao completapara resolver (3.55). Este metodo tambem sera importante para acorreta analise da equacao de Hamilton-Jacobi.

Antes disso devemos analisar envoltorias de curvas e sua relacaocom a propagacao de ondas. Primeiramente no entanto, vamos ana-lisar o caso mais simples de envoltorias de funcoes de uma variaveltomando valores reais.

Considere f(x, c) = fc(x) uma famılia a um parametro c ∈ R, defuncoes, como por exemplo fc(x) = sin(x+ c).

Definicao 8.1. Dada uma famılia de curvas fc, a envoltoria dascurvas (x, fc(x)) e o bordo da regiao de dimensao 2 obtida em R

2

pela uniao de todas as curvas (x, fc(x)), c ∈ R.

Vamos mostrar que no caso do exemplo acima mencionado a en-voltoria e a uniao das retas y = 1 e y = −1.

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Para cada x0 ∈ R fixado, os dois pontos da envoltoria que estaosituados na reta vertical passando por x0 podem ser determinados daseguinte maneira: considere para cada possıvel valor de c os possıveisvalores f(x0, c). Estes valores f(x0, c) vao determinar um intervalo depossıveis valores. Os valores extremos deste intervalo devem corres-ponder ao supremo e ao ınfimo de g(c) = f(x0, c), onde g e encaradocomo uma funcao da variavel c. Logo tomando os dois valores c =cx0

tal que g′(c) = 0 (ou seja ∂f∂c = 0) temos que f(x, cx0

) esta naenvoltoria da famılia fc.

Exemplo 8.1. Para fc(x) = sin(x+ c), obtemos do desenvolvimentoacima a equacao

0 =∂f

∂c(x, c) = cos(x+ c),

logo

(x+ c) =π

2ou − π

2,

portanto, teremos fc(x) = sin(x+ c) = 1 ou fc(x) = sin(x+ c) = −1.Logo a envoltoria da famılia fc e a uniao das retas y = −1 e y = 1

(ver Figura 7.1).

Exemplo 8.2. (Transformada de Legendre) Seja f : R → R e afamılia de retas em R

2

g(x, p) = gp(x) = xp− f(p).

p faz o papel do parametro da famılia de funcoes gp.Para cada p ∈ R fixado xp − f(p) e a equacao de uma reta na

variavel x. A envoltoria u desta famılia de retas e encontrada daseguinte maneira: encontre p0 tal que

∂g

∂p(x, p0) = 0,

a seguir tomeu(x) = xp0 − f(p0).

Dado x, estas equacoes equivalem a escolher p tal que x = f ′(p)e u(x) = xp− f(p), ou seja, u e a Transformada de Legendre de f .

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164 [CAP. 8: METODO DA SOLUCAO COMPLETA

Figura 8.1:

Alternativamente, podemos expressar as condicoes acima na ma-neira mais familiar ao leitor, conforme Secao 3 deste capıtulo: u(x) ea transformada de Legendre de f se

u(x) = supp∈R

xp− f(p).

Vamos analisar agora famılias de superfıcies em R3 parametriza-

das por c ∈ R. Por exemplo f(c, x, y) = fc(x, y) = sin(x + c) + y,c ∈ R.

Definicao 8.2. A envoltoria da famılia de superfıcies cujo grafico e(x, y, fc(x, y)) e por definicao o bordo da regiao de dimensao 3 obtidacomo uniao dos pontos do R

3 da forma (x, y, fc(x, y)).

Para cada (x, y) o ponto da envoltoria da forma (x, y, z) e aqueletal que z = fc0(x, y), onde se g(c) = fc(x, y) entao c0 e obtido como o

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maximo ou mınimo para g na variavel c. Em outras palavras devemosencontrar c0 = c0(x, y) tal que g′(c0) = 0, ou seja c0 tal que

∂f

∂c(c, x, y) = 0,

e a seguir considerar (x, y, z) onde z = fc0(x, y).A funcao u(x, y) = fc0(x,y)(x, y) define entao atraves do seu grafico

(x, y, u(x, y)) a envoltoria da famılia. fc

Exemplo 8.3. Seja fc(x, y) = sin(x + c) + y, entao c = c(x,y) devesatisfazer

∂f

∂c(c, x, y) = cos(x+ c) = 0.

Ou seja,

x+ c =π

2ou x+ c = −π

2,

logo

z = sin

(π

2

)

+ y = 1 + y ou z = sin

(

−π2

)

+ y = −1 + y.

A envoltoria da famılia e, portanto, a uniao de dois planos (x, y, 1+y) e (x, y,−1 + y).

Agora vamos voltar a considerar o problema de resolver equacoesdiferenciais parciais.

A equacao diferencial parcial geral de 1a ordem para a funcaode duas variaveis z(x, y) e suas derivadas zx = p e zy = q pode serescrita como

F (x, y, z, p, q) = 0, (8.1)

onde F : R5 → R tem derivadas parciais de segunda ordem contınuas.Considere a condicao de fronteira dada por uma curva (x(t), y(t), z(t)).

Um exemplo de tal tipo de equacoes diferenciais e F (x, y, z, p, q) =(z − px − qy)2 + (1 + p2 + q2) = 0. Este exemplo sera analisado embreve.

Nosso objetivo inicial sera obter novas solucoes de F = 0 a partirde famılias de solucoes de F = 0.

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O fato de z(x, y) ser solucao de (8.1) nos da uma relacao no ponto(x0, y0, z0) entre

p =∂z

∂x(x0, y0, z0) e q =

∂z

∂y(x0, y0, z0).

Vamos considerar agora uma famılia fc(x, y) = z = f(x, y, c) desolucoes de (8.1), ou seja, para cada c fixado, z(x, y) = fc(x, y) esolucao de F = 0.

Vamos mostrar que a envoltoria desta famılia de solucoes nos de-termina uma outra solucao de F = 0.

A funcao g(x, y) cujo grafico e a envoltoria da famılia pode serobtida da seguinte maneira: para (x, y) fixados, encontre c0 tal que

∂f

∂c(x, y, c0) = 0, (8.2)

e entao obteremos z = g(x, y) = f(x, y, c0).Note que c0 = c0(x, y) na verdade depende de (x, y).A envoltoria g sera f(x, y, c(x, y)) e satisfara entao a equacao

∂g

∂x=∂f

∂x+∂f

∂c

∂c

∂x=∂f

∂x

e∂g

∂y=∂f

∂y+∂f

∂c

∂c

∂y=∂f

∂y.

Como fc(x, y) e solucao de (8.1) entao para fc(x, y) = fc(x,y)(x, y)= g(x, y) a relacao F (x, y, fc(x, y), p, q) = 0 e valida e portanto

F (x, y, g(x, y), p, q) = 0

pois

p =∂f

∂x=∂g

∂xe q =

∂f

∂y=∂g

∂y.

Portanto g tambem satisfaz a equacao diferencial parcial (8.1).Note que nas consideracoes acima, nada foi dito sobre condicoes defronteira.

Obter mais uma solucao g a partir de uma famılia fc nao pa-rece contribuir muito para a solucao geral do problema (8.1). No

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entanto, se considerarmos famılias a dois parametros de solucoesz(x, y) = fa,b(x, y) = f(x, y, a, b), estaremos obtendo atraves de en-voltorias uma informacao nao trivial como veremos a seguir. O pontofundamental e que desejamos encontrar solucoes da EDP, F = 0, massujeita a uma certa curva de valores de fronteira (x(s), y(s), z(s))dada. Uma famılia a um parametro de solucoes nao permite isto, esera necessario considerar famılias a dois parametros.

Escolha uma famılia a um parametro (a(s), b(s)) no espaco deparametros (a, b). Esta famılia sera determinada em breve no texto.

Considere a famılia a um parametro s ∈ R, z = f(x, y, a(s), b(s))e sua envoltoria (ver expressao (8.2)) z = f(x, y, a(s), b(s)) (onde ssatisfaz 0 = ∂f

∂s = ∂f∂aa

′ + ∂f∂b b

′) que e tambem uma solucao de F = 0como vimos antes .

Vamos mostrar agora que dada uma curva de condicoes iniciaisem R3

(x(s), y(s), z(s)),

podemos tentar obter uma superfıcie integral que contenha tal curvaa partir de uma escolha conveniente de (a(s), b(s)).

Seja entao (x(s), y(s), z(s)) uma curva, a qual desejamos encon-trar uma superfıcie integral que a contenha.

Considere as duas equacoes

z(s) − f(x(s), y(s), a, b) = 0 (8.3)

z′ − ∂f

∂xx′(s) − ∂f

∂yy′(s) = 0 (8.4)

obtendo assim uma relacao de a e b em funcao de s (para s fixadotemos duas equacoes a duas incognitas). Obtemos assim a(s) e b(s)de tal jeito que satisfazem (8.3) e (8.4).

Com essa escolha de a(s) e b(s) vamos determinar uma famıliaa um parametro que vai determinar atraves da sua envoltoria umasupefıcie integral passando por (x(s), y(s), z(s)).

Considere a famılia a um parametro

z = fs(x, y) = f(x, y, a(s), b(s)) (8.5)

e como vimos acima a sua correspondente equacao da envoltoria

z = f(x, y, a(s0), b(s0)) (8.6)

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Figura 8.2:

onde s0 = s0(x, y) satisfaz

0 =∂f

∂s=∂f

∂aa′(s) +

∂f

∂bb′(s). (8.7)

Seja g(x, y) a envoltoria da famılia (8.5), isto e:

g(x, y) = f(x, y, a(s0(x, y)), b(s0(x, y))),

onde s = s0(x, y) e obtido para (x, y) fixo satisfazendo (8.7).

Note que conforme ja vimos antes, e sempre verdade que tal en-voltoria g(x, y) determina uma superfıcie integral que e solucao daEquacao Diferencial Parcial. A questao que nos interessa e se acurva inicialmente dada pertence a superfıcie integral S que obti-vemos. Afirmamos que (x(s), y(s), z(s)) esta na superfıcie integralda envoltoria g(x, y), ou seja satisfaz (8.6) e (8.7). Isto e verdadepois (8.6)

z(s) = f(x(s), y(s), a(s), b(s))

vem de (8.3) e da maneira como s foi escolhido.

Devemos mostrar agora que (8.7) e (8.4) sao equivalentes.

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Ora de (8.3) z(s) = f(x(s), y(s), a(s), b(s)), logo derivando emrelacao a s

z′(s) =∂f

∂xx′(s) +

∂f

∂yy′(s) +

∂f

∂aa′(s) +

∂f

∂bb′(s)

A expressao (8.4) nos diz que

z′ =∂f

∂xx′(s) +

∂f

∂yy′(s)

portanto∂f

∂aa′(s) +

∂f

∂bb′(s) = 0.

Isto mostra que (8.7) e equivalente a (8.4).Logo se a(s) b(s) satisfazem (8.3) e (8.4), entao obtemos atraves de

g(x, y) acima, envoltoria da familia fs, a solucao da EDP satisfazendoa condicao de fronteira dada.

Portanto dado uma curva (x(s), y(s), z(s)) em R3, atraves do

metodo exposto acima, podemos obter uma superfıcie integral quea contenha.

Definicao 8.3. Uma famılia fa,b(x, y) a dois parametros (a, b) desolucoes de (8.1) e chamada uma solucao completa de (8.1).

O metodo descrito acima, que permite atraves de uma famılia adois parametros (uma solucao completa conforme a definicao acima)encontrar uma superfıcie integral a partir de condicoes de fronteira echamado de metodo da solucao completa.

Exemplo 8.4. Vamos resolver agora, atraves do metodo da solucaocompleta a EDP

(

u− ∂u

∂xx− ∂u

∂yy

)2

−(

1 +

(∂u

∂x

)2

−(∂u

∂y

)2)

= 0.

Isto e F (x, y, z, p, q) = (z − px − qy)2 − (1 + p2 + q2) = 0. Seja afamılia a dois parametros a e b (com a2 + b2 < 1)

z =−a

√

1 − (a2 + b2)x+

−b√

1 − (a2 + b2)y+

1√

1 − (a2 + b2)= fa,b(x, y)

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de solucoes (uma solucao completa).Dada a curva z = 1, x = 1/2 cos θ, y = 1/2 sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π

entao (8.3) significa:

z =−ax− by + 1√

1 − (a2 + b2),

ou seja,√

1 − (a2 + b2) +a

2cos θ +

b

2sin θ − 1 = 0. (8.8)

Ja (8.4) significa

0 − (a)√

1 − (a2 + b2)

(− sin θ)

2+

−b2

cos θ√

1 − (a2 + b2)= 0,

ou seja,

a sin θ − b cos θ = 0. (8.9)

De (8.8) e (8.9) se obtem a(θ) = 4/5 cos θ, b(θ) = 4/5 sin θ.Logo a solucao que buscamos z(x, y) (envoltoria da famılia a um

parametro θ)

z = −4

3x cos θ − 4

3y sin θ +

5

3

que fornece como solucao o cone

z = −4

3

√

x2 + y2 +5

3.

A equacao de Hamilton-Jacobi e de primeira ordem, e o metodo dasolucao completa sera utilizado em breve para analisar tal equacao.

Anteriormente estavamos considerando envoltorias de funcoes. A-gora iremos considerar envoltorias de curvas, obtendo resultados quetambem serao muito importantes em Mecanica Hamiltoniana.

Vamos agora considerar famılias de curvas. Estas curvas seraodadas implicitamente.

Definicao 8.4. A envoltoria de uma famılia de curvas dadas impli-citamente sera a curva que define o bordo da uniao de todas as curvasda famılia.

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Considere a famılia a um parametro de curvas implicitamente da-das por f(x, y, α) = 0, α ∈ R. Para cada α, 0 = fα(x, y) = f(x, y, α)define implicitamente na variavel (x, y) uma curva da famılia. Comoencontrar a curva C (ou curvas) que determinam a envoltoria dafamılia fα?

Teorema 8.1. Se a famılia a parametro α de curvas determinadapor

fα(x, y) = f(x, y, α) = 0

tem uma curva envoltoria, entao esta curva pode ser encontrada im-plicitamente atraves da equacao que se obtem substituindo α = αx,y,solucao de

∂f(x, y, α)

∂α= 0. (8.10)

em f(x, y, α) = 0.Fica assim determinado implicitamente a envoltoria por

0 = g(x, y) = F (x, y, αx,y).

Demostracao: Supondo por exemplo

∂f

∂y(x, y, α) 6= 0

entao para (x, y, α) perto de (x, y, α) tem-se

f(x, y, α) = 0 ⇔ y = g(x, α)

com g diferenciavel. Pelo resultado anterior (8.2), a envoltoria dafamılia de curvas gα(x) e dada por

∂g

∂α(x, α) = 0.

Como f(x, g(x, α), α) = 0 para todo (x, α) proximo de (x, α), obtem-se, diferenciando com relacao a α,

0 =∂f

∂y(x, g(x, α), α)

∂g

∂α(x, α) +

∂f

∂α(x, g(x, α), α)

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e em particular, em (x, α):

0 =∂f

∂y(x, g(x, α), α)

∂g

∂α(x, α)

︸︷︷︸

=0

+∂f

∂α(x, g(x, α)︸︷︷︸

=y

, α) =∂f

∂α(x, y, α),

i.e., a envoltoria das curvas e dado equivalentemente por

∂f

∂α(x, y, α) = 0.

O caso∂f

∂x(x, y, α) 6= 0

e analogo.

Exemplo 8.5. Vamos encontrar a envoltoria da famılia de cırculos

f(x, y, α) = x2 + y2 − 2αx− 2αy + α2 = 0

usando o ultimo Teorema.Esta famılia representa cırculos de raio ‖α‖ centrados nos pontos

da reta diagonal (α, α), ou seja, a famılia (x− α)2 + (y − α)2 = α2.Ora

∂f

∂α= −(2x+ 2y − 2α) = 0,

logo α = (x+y). Substituindo α = αx,y por (x+y) em f(x, y, α) = 0,obtemos 0 = f(x, y, α) = (x−α)2+(y−α)2−α2 = y2+x2−(x+y)2 =−2xy.

Obtemos portanto a equacao da envoltoria como xy = 0, ou sejaa equacao retas que definem os eixos de x e dos y. Geometricamentee bem facil se observar que realmente os eixos do x e y sao a solucaodo problema (ver Figura 7.2).

Vamos agora aplicar o resultado acima em uma situacao que seraextremamente importante na teoria de propagacao de ondas.

Exemplo 8.6. Seja uma funcao φ : R2 → R tal que para cada T ,

φ(x, y) = T determina uma curva de nıvel diferenciavel ΣT .

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Suponhamos que φ tem a seguinte propriedade: para T , ∆ > 0 acurva ΣT+∆ e obtida como a envoltoria por cırculos de raio ∆ sobrea curva ΣT (ver Figuras 7.3 e 7.4).

Vamos mostrar que a funcao φ deve satisfazer a equacao

1 =

(

∂φ

∂x

)2

+

(

∂φ

∂y

)2

. (8.11)

Esta equacao e conhecida como equacao eikonal da otica geome-trica.

Seja (x1(α), x2(α)) uma parametrizacao de ΣT . Entao a famılia

f(x, y, α) = (x1(α) − x)2 + (x2(α) − y)2 − ∆2 = 0

vai definir implicitamente a equacao de cırculos (na variavel (x, y))de raio ∆, centrados nos pontos da curva ΣT .

As Figuras 8.1 e 8.2 dao uma ideia dos distintos envoltorios ob-tidos a partir de um objeto unidimensional generico.

Como vimos antes a envoltoria da famılia e obtido como a curvana variavel (x, y) que satisfaz as equacoes ∂f

∂α = 0 e f(x, y, α) = 0.Sendo assim obtemos as equacoes:

0 =∂f

∂α= 2(x1(α) − x)x′1(α) + 2(x2(α) − y)x′2(α),

e (x1(α) − x)2 + (x2(α) − y)2 = ∆2.Resolvendo o sistema acima vamos encontrar (x(α), y(α)) para-

metrizacao de ΣT+∆ dependendo do ponto (x1(α), x2(α)) sobre acurva ΣT . O ponto (x(α), y(α)) esta na envoltoria e dista ∆ de(x1(α), x2(α)).

Da equacao [(x1(α)−x(α))x′1(α)+ (x2(α)− y(α))x′2(α)] = 0 con-cluımos que para todo ∆(x1(α) − x(α), x2(α) − y(α)) e perpendicu-lar ao vetor tangente (x′1(α), x′2(α)). Em outras palavras, (x1(α) −x(α), x2(α) − y(α)) e normal a ΣT para todo ∆.

Como sabemos v∆ = −((x1(α) − x(α)), x2(α) − y(α)) para todo∆ (pequeno) e colinear com ∇φ (que e perpendicular a superfıcie denıvel) e v∆ tem sempre norma ∆.

Portanto,∇φ‖∇φ‖ =

v∆‖v∆‖ .

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Como ⟨

∇φ, ∇φ‖∇φ‖

⟩

= ‖∇φ‖,

entao ⟨

∇φ, v∆∆

⟩

= ‖∇φ‖.

Ora

〈∇φ, u〉 = 〈∇φ, (u1, u2)〉 = lim∆→0

φ(x+ u1∆, y + u2∆) − φ(x, y)

∆,

logo

‖∇φ‖ =

⟨

∇φ, v∆∆

⟩

=

lim∆→0

1

∆

[

φ

(

x1(α) + ∆

(

x(α) − x1(α)

∆

)

,

x2(α) + ∆

((y(α) − x2(α))

∆

)

− φ(x1(α), x2(α))

]

lim∆→0

1

∆[φ(x(α), y(α)) − φ(x1(α), x2(α))] = lim

∆→0

∆ + T − T

∆= 1.

Sendo assim, ‖∇φ‖ = 1, ou seja,

(

∂φ

∂x

)2

+

(

∂φ

∂y

)2

= 1.

Concluımos, portanto, que uma funcao φ satisfazendo a proprie-dade das envoltorias por cırculos de mesmo raio para as superfıciesde nıvel ΣT , deve satisfazer a equacao diferencial parcial acima.

Esta equacao foi denominada anteriormente de Equacao de Ha-milton-Jacobi autonoma para o Hamiltoniano H(q, p) = p2

1+p22. Esta

equacao nao e linear. Para resolve-la vamos aplicar os metodos paracalcular as solucoes de equacoes diferenciais parciais de 1a ordem naolineares a partir de condicoes de fronteira que consideramos antes.

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Figura 8.3:

Exercıcio

1. Calcule pelo metodo da solucao completa a solucao da equacaodiferencial parcial

(∂S

∂x

)2

+1

4

(∂S

∂y

)2

= 1,

com a condicao inicial (x(s), y(s), S(s)) = (s, 0, 1).

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Capıtulo 9

O Princıpio de Huygens

em Mecanica

Hamiltoniana

Vamos analisar a seguir a evolucao de uma frente de onda em umplano (o caso mais geral em R

n e semelhante). Para fixar ideias,vamos supor que desejamos analisar a seguinte questao: largamosuma pequena pedra ou um galho de arvore na superfıcie de um lagoem repouso. A superfıcie do lago sera entao percorrida por umafrente de onda que se propaga a partir da excitacao inicial causadapela pedra ou galho (ver respectivamente Figuras 8.1 e 8.2).

Vamos denotar por Σt a posicao espacial em R2 da frente de onda

no tempo t.Observe nas Figuras 8.1 e 8.2 que a frente de onda Σt+∆ e (a parte

externa da) envoltoria por cırculos de raio ∆ centrados na frente deonda Σt. Essa propriedade e observada na natureza e em essenciaexpressa o seguinte fato. A frente de onda Σt+∆ poderia ser obtidalancando ao mesmo tempo t varias pedrinhas sobre a posicao dafrente de onda Σt. Esperando decorrer o tempo ∆ cada pedrinhaindividualmente cria um cırculo (de raio ∆) de frente de onda. Aenvoltoria destes cırculos determina a frente de onda Σt+∆.

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Essa propriedade e o que se denomina (em termos simplificados)o princıpio de Huygens.

O mesmo princıpio e tambem valido para a propagacao da luz apartir de um ponto p0 onde acendemos a luz no tempo inicial t0. Aluz tem velocidade finita e a separacao entre a regiao iluminada numtempo T e a regiao ainda nao iluminada e a frente de onda.

Em certos cristais a luz nao se propaga em linha reta e as frentesde onda nao sao necessariamente cırculos. Podem haver direcoes emque a luz tem mais facilidade de se propagar. Este fato se deve muitasvezes a estrutura molecular do cristal e e conhecido como anisotropia,ou nao-homogeneidade do meio.

Para descrever matematicamente a evolucao da frente de onda,vamos supor que existe uma funcao S(x, t), S : R

n × R → R que vaidescrever de maneira implıcita a posicao da frente de onda, isto e,dado t1 ∈ R, t1 > 0, S(x, t1) = 0, vai definir a hipersuperfıcie Σt1 emRn, que define a frente de onda no tempo t1. Vamos supor sempre

que(

∂S

∂x1

)2

+

(

∂S

∂x2

2)

+ ...+

(

∂S

∂xn

)2

6= 0.

Referimos o leitor para [BF] e [Jo] para uma explanacao maiscompleta dos topicos a serem apresentados a seguir.

Exemplo 9.1. Considere S(x, t) =√

x21 + ...+ x2

n − t, entao parat > 0 a frente de onda Σt sera a esfera com raio t, ou seja, o conjuntodos (x1, ..., xn) tal que

√

x21 + ...+ x2

n − t = 0.

No caso n = 2, a funcao S descreve a evolucao da frente deonda de uma pequena pedra lancada no tempo t = 0 na superfıciede um lago (na posicao (0, 0)). E facil ver geometricamente que apropriedade da envoltoria das curvas de nıvel por cırculos e verdadepara tal S. Estamos neste caso supondo que a propagacao da onda eisotropica e homogenea (vamos definir estes conceitos mais precisa-mente em breve).

Note que tal S satisfaz a equacao diferencial

(∂S

∂x1

)2

+

(∂S

∂x2

)2

= −∂S∂t

= 1,

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178 [CAP. 9: O PRINCIPIO DE HUYGENS EM MECANICA HAMILTONIANA

ou equivalentemente

√(∂S

∂x1

)2

+

(∂S

∂x2

)2

= −∂S∂t

= 1.

Note que esta equacao corresponde a equacao de Hamilton-Jacobipara o Hamiltoniano H(q, p) =

√

p21 + p2

2. Este fato sera analisadocom mais detalhe em breve.

Exemplo 9.2. Considere para x ∈ R2, S(x, t) =

√

x21 + 4x2

2 − t,

entao as frentes de onda sao elipses√

x21 + 4x2

2 − t = 0. Nesse casoestaremos descrevendo a evolucao da frente de onda de um disturbioinicial no tempo 0 feito no ponto (0,0). A propagacao nao e ho-mogenea pois a onda se propaga mais rapidamente na direcao x1.

S satisfaz neste caso a equacao diferencial

(∂S

∂x1

)2

+1

4

(∂S

∂x2

)2

= −∂S∂t,

ou equivalentemente

√(∂S

∂x1

)2

+1

4

(∂S

∂x2

)2

= −∂S∂t.

Note que esta equacao corresponde a equacao de Hamilton-Jacobi as-

sociada ao Hamiltoniano H(q, p) =√

p21 + 1

4p22.

Este exemplo sera analisado mais uma vez em breve.

Neste texto estaremos analisando, prioritariamente, propagacaohomogenea e isotropica. Sendo assim, a frente de onda Σt+∆ e ob-tida como a envoltoria de cırculos de mesmo raio com centro emΣt. No outro caso terıamos que fazer envoltorios com elipses e a ex-centricidade de tais elipses depende da posicao no caso de um meionao-homogeneo e anisotropico.

Considere uma S(x, t) : Rn+1 → R, que define implicitamente a

posicao das frentes de onda conforme definimos anteriormente. Parasimplificar nossas consideracoes vamos supor ainda mais que existaS(x) : Rn → R tal que S(x, t) = S(x) − t (esta expressao e analoga

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a expressao S(q, t) = S(q) − wt que usamos anteriormente quandoestavamos analisando solucoes da equacao de Hamilton-Jacobi naSecao 8, Capıtulo 3 [L]).

Que tipo de restricoes tal funcao S deve satisfazer?Suponha, 0 = S(x, t) = S(x)− t, para t fixo, vai descrever a curva

que estabelece a frente de onda no tempo t. Pelo princıpio de Huygensa curva de nıvel no tempo t+∆ e obtida como a envoltoria de cırculos(o meio e homogeneo e isotropico) de raio ∆ e centrados sobre a curvade nıvel no tempo t. Esta situacao, no caso do plano, e exatamenteaquela que analisamos na secao anterior e sabemos portanto que nestecaso S deve satisfazer a equacao da eikonal

(

∂S

∂x1

)2

+

(

∂S

∂x2

)2

= 1.

E possıvel tambem mostrar no caso geral do Rn, que a funcao S

deve satisfazer(

∂S

∂x1

)2

+

(

∂S

∂x2

)2

+ ...+

(

∂S

∂xn

)2

= 1.

Esta equacao e tambem denominada equacao da eikonal e e umcaso particular de equacao de Hamilton-Jacobi autonoma (ver (3.13)Secao 8, Capıtulo 3 [L]). A relacao desta equacao com a equacao deHamilton sera o objetivo das nossas proximas consideracoes.

A relacao entre raios de luz e frentes de onda vai nos possibili-tar entender a razao da introducao do ponto de vista de “frentes deonda” de Hamilton de entender a Mecanica Classica. Vamos a seguirexplicar melhor esta relacao.

Na verdade este ponto de vista e, nada mais nada menos, que oprincıpio de Huygens para a Mecanica Hamiltoniana.

Voltando ao caso geral, considere S(x, t) que vai descrever paracada tempo t, a frente de onda no tempo t atraves da curva obtidaimplicitamente pela equacao S(x, t) = 0.

Suponha que x(t) vai descrever uma curva em Rn tal que ∀ t ∈ R,

x(t) ∈ Σt. Em outras palavras, x(t) vai estar sempre na frente deonda. Sendo assim, S(x(t), t) = 0, ∀ t ∈ R, t > 0 e, portanto,

∂S

∂x1x′1 +

∂S

∂x2x′2 + ...+

∂S

∂xnx′n +

∂S

∂t= 0

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ou seja

〈∇S, x′〉 = −∂S∂t.

Observacao 9.1. Considere S(x, t) que descreve atraves de S(x, t) =0 a evolucao temporal de uma frente de onda causada por uma fontepontual luminosa localizada em um ponto x0. Para t fixo, a en-voltoria dos caminhos z(s), s ∈ [0, t] (todos com velocidade constante‖z′(s)‖ = 1, s ∈ (0, t)) com ponto inicial x0 = z(0) e ponto final z(t)determina a frente de onda. Um caminho x(s) entre tantos possıveisz(s), que esta localizado de tal jeito que x(t) esta na frente de ondaS(x, t) = 0 vai representar o raio de luz fisicamente observavel. Estecaminho x(s) e o que realmente se chama de raio de luz.

Ora, ∇S e perpendicular a Σt, logo a componente do vetor x′(t)na direcao ∇S

‖∇S‖ (normal a frente de onda) e

−∂S∂t

‖∇S‖ .

Em geral, nem sempre ∇S, o gradiente da funcao frente de ondaS, e x′(t), o vetor tangente ao raio de luz x(t), sao colineares, mas seo meio e homogeneo e isotropico, isto acontecera como veremos embreve.

Definicao 9.1. A velocidade de propagacao da frente de onda e pordefinicao o vetor velocidade de propagacao normal a superfıcie Σt,ou seja

−∂S∂t

‖∇S‖2∇S.

Definicao 9.2. O modulo do vetor velocidade de frente de onda edado por

−∂S∂t

‖∇S‖ > 0.

O modulo do vetor frente de onda e a grandeza mais importanteque vai descrever a evolucao temporal da frente de onda. A lei quedetermina tal evolucao sera descrita a seguir.

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Assuma agora que S(x, t) = φ(x)−t, isto significa que a velocidadede propagacao da onda e

−∂S∂t

‖∇S‖ =1

‖∇S‖ =1

‖∇φ‖ .

Como ja vimos antes no caso do plano, se o princıpio de Huygense verdadeiro para φ entao ‖∇φ‖ = 1.

Sendo assim, assumir que S(x, t) e da forma φ(x) − t e assumirque a velocidade de propagacao da frente de onda e igual a 1. Sedesejassemos analisar uma situacao em que a velocidade da frentede onda e w entao deverıamos tentar encontrar S do tipo S(x, t) =φ(x) − wt.

Neste caso, e facil ver que a equacao que descreve tal S e√

‖∇S‖ = w.

Fica portanto justificado porque e bastante comum quando bus-camos encontrar solucoes da equacao de Hamilton-Jacobi tentar en-contrar solucoes da forma S(q, t) = S(q) − wt.

Vamos analisar agora a propagacao de ondas de um ponto de vistabastante geral. Vamos descrever a lei fısica que S(x, t) deve satisfazer.

O modulo do vetor velocidade da propagacao da onda deve sa-tisfazer uma lei que e chamada de propriedade constitutiva do meiocontınuo. Essa lei, que como veremos a seguir e bastante natural,envolve uma funcao H0(x, p), onde x ∈ R

n, (mas definida apenaspara valores unitarios, ou seja p ∈ R

n, ‖p‖ = 1) que vai descreverpropriedades microscopicas do meio. A lei determina que o modulodo vetor velocidade de propagacao da onda

−∂S∂t

‖∇S‖satisfaca

−∂S∂t

‖∇S‖ = H0

(

x,∇S‖∇S‖

)

. (9.1)

A equacao diferencial parcial acima estabelece uma dependenciade ∂S

∂t em x e no vetor unitario ∇S‖∇S‖ . Esta dependencia e estabele-

cida por H0 e expressa uma lei agindo a nıvel local (microscopico)

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no sistema em consideracao. H0 vai descrever a falta de homogenei-dade e anisotropia (ou nao) que existe no meio. Esta lei local (9.1)vai determinar propriedades globais (macroscopicas) do sistema (porexemplo a forma das frentes de onda a partir de uma perturbacaoinicial em um certo ponto do meio) como veremos a seguir.

Atraves de consideracoes de natureza fısica e geometrica e naturalagora estabelecer que H seja homogenea na segunda variavel, ou seja,que

H(x, λp) = λH0(x, p). (9.2)

Por exemplo, se estivermos analisando uma metrica Riemamnni-ana < , > como Hamiltoniano, e mais natural neste caso, considerarH =

√< , > em vez de H =< , >. Desta maneira a integral

∫

γHdt

de uma curva γ depende apenas do traco da curva (dos pontos dacurva) e nao da parametrizacao utilizada.

∀λ ∈ R, ou seja que para um vetor nao unitario, H tem umadependencia linear no comprimento do vetor p. Sendo assim a partirde (9.1), a equacao constitutiva do meio para S(x, t) que descreve aevolucao de uma frente de onda torna-se

∂S

∂t+ ‖∇S‖H0(x,

∇S‖∇S‖ ) =

∂S

∂t+H(x,∇S) = 0. (9.3)

Esta equacao foi denominada anteriormente (Definicao 26, Secao8, Capıtulo 3 [L]) de equacao de Hamilton-Jacobi.

O Hamiltoniano H desempenha portanto na Mecanica Hamilto-niana o papel da lei constitutiva do meio na propagacao de frentesde onda.

Se S(x, t) for da forma S(x, t) = φ(x)− t, entao a equacao acimatorna-se

0 =∂S

∂t+H(x,∇S) = −1 +H(x,∇φ),

ou seja H(x,∇φ) = 1.

Esta equacao foi denominada em (3.13) na Secao 8, Capıtulo 3[L], de equacao de Hamilton-Jacobi autonoma.

Como dissemos antes, no caso isotropico e homogeneo, devemosconsiderar a metrica Euclidiana H(x, p) =

√

p21 + p2

2 e entao teremos

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a equacao

−∂S∂t

= H(x,∇S) =

√(∂S

∂x1

)2

+

(∂S

∂x2

)2

.

Se S(x, t) = φ(x) − t, entao a equacao acima significa

1 =

(

∂φ

∂x1

)2

+

(

∂φ

∂x2

)2

.

A conclusao portanto e que a equacao constitutiva

0 =∂S

∂t+H(x,∇S)

e apenas uma descricao geral do princıpio de Huygens e determinauma equacao do tipo Hamilton-Jacobi.

SeH no caso bidimensional e dado porH(x, p) =√

p21 + p2

2, entaoesta ultima equacao e a equacao da eikonal.

Sendo assim a equacao de Hamilton-Jacobi, neste caso particu-lar, expressa a lei constitutiva do meio e esta equacao determina apropagacao de frentes de onda num meio homogeneo e anisotropico.

Podemos extrapolar o raciocınio acima e pensar que o Hamilto-niano H(x, p) determina uma lei constitutiva no espaco da variavelx (de configuracao), e que a equacao de Hamilton-Jacobi descrevefrentes de onda de solucoes do sistema mecanico.

A dependencia deH0(x, p) em p caracteriza a anisotropia do meio.

Definicao 9.3. No caso em que H0(x, p) nao depende de p, o meioe dito isotropico.

Definicao 9.4. Se H0(x, p), por sua vez nao depende de x, dizemosque o meio e homogeneo.

Exemplo 9.3. Seja o Hamiltoniano H(q, p) = a(q)p21 + 2c(q)p1p2 +

b(q)p22 (ou H(q, p) =

√

a(q)p21 + 2c(q)p1p2 + b(q)p2

2), q = (x1, x2), p =(p1, p2), e suponha que exista solucao da forma S(q, t) = S(q)−t paraa EDP de Hamilton-Jacobi associada, entao

0 = −1 +H(q, p) =∂S

∂t+H(q, p) =

∂S

∂t+√

H(q, p)

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vai descrever em geral a evolucao de frentes de onda no plano em ummeio anisotropico e nao homogeneo.

Note que no caso de propagacao de ondas num meio contınuo, porcausa de (9.2), o H(q, p) deve ser

H(q, p) =√

a(x)p21 + 2c(x)p1p2 + b(x)p2

2,

mas como vimos na equacao acima, tanto faz tomar a raiz quadradaou nao, para fins de calcular a equacao de Hamilton-Jacobi.

Voltaremos a analisar este exemplo em breve.

Acreditamos que neste momento tenha ficado transparente a rela-cao do princıpio de Huygens com a Mecanica Hamiltoniana, em par-ticular com a equacao de Hamilton-Jacobi. A propagacao de frentesde onda e a inspiracao principal para este ponto de vista da MecanicaClassica.

Uma boa justificativa porque os raios de luz podem ser inter-pretados como geodesicas aparece na Observacao 9.1 e subsequenteconclusao no fim da proxima secao.

A questao relevante do ponto de vista Fısico e a seguinte: consi-dere um sistema Hamiltoniano definido por H(q, p) e

(q(t), p(t)) = (x1(t), x2(t), p1(t), p2(t))

solucao do problema mecanico. Desejamos analisar a partir de umafrente de onda de condicoes iniciais de posicao e velocidade (q, p) =(q(s), p(s)) = (x1(s), x2(s), p1(s), p2(s)), s ∈ (a, b), a evolucao destafrente de onda com o tempo t segundo o sistema mecanico. Isto e,desejamos descobrir a funcao

(q(s, t), p(s, t)) = (x1(s, t), x2(s, t), p1(s, t), p2(s, t)) =

= (xs1(t), xs2(t), p

s1(t), p

s2(t))

que determina a posicao da condicao inicial

(q(s), p(s)) = (x1(s, 0), x2(s, 0), p1(s, 0), p2(s, 0))

apos decorrido tempo t.

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Em outras palavras gostarıamos de determinar a evolucao tem-poral de um feixe (uma frente de onda) de condicoes iniciais. Comoveremos a seguir, a Mecanica Hamiltoniana permite tal tratamento.

Vamos agora analisar a evolucao de frentes de onda de condicoesiniciais no espaco de fase da Mecanica Hamiltoniana.

Considere um Hamiltoniano H, por exemplo

H(q, p) = U(q) +1

2

2∑

i=1

p2i = U(x1, x2) +

1

2

2∑

i=1

p2i (9.4)

sendo assim, a equacao

0 =∂S

∂t+H

(

q,∂S

∂q

)

=∂S

∂t+H(q,∇S)

de Hamilton-Jacobi, obtida anteriormente na Mecanica Hamiltonianae analoga a equacao que descreve a evolucao de uma onda em um meiocontınuo.

Note que para um sistema mecanico em geral da forma (9.4), aexpressao (9.2) nao e verdadeira.

Supondo por separacao de variaveis que S e da forma S(q, t) =φ(q)−t, entao a equacao diferencial parcial F = 0 associada a equacaode Hamilton-Jacobi e

0 = F (x1, x2, φ, p1, p2) = U(x1, x2) +1

2(p2

1 + p22) − 1 =

U(x1, x2) +1

2((∂φ

∂x1)2 +

(∂φ

∂x2)2)

− 1 = H(x1, x2, p1, p2) − 1,

onde

p1 =∂φ

∂x1, p2 =

∂φ

∂x2.

Vamos voltar a considerar um Hamiltoniano qualquer a partirdeste momento.

A equacao diferencial parcial nao linear de Hamilton-Jacobi

H(q, p) − 1 = H(q,∇φ) − 1 = 0,

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pode ser resolvida atraves do metodo das caracterısticas como foidesenvolvido na Secao 7. As equacoes das caracterısticas para a Fdefinida acima neste caso sao

x′1 =∂F

∂p1=∂H

∂p1

x′2 =∂F

∂p2=∂H

∂p2

φ′ = p1∂F

∂p1+ p2

∂F

∂p2

p′1 = − ∂F

∂x1= − ∂H

∂x1

p′2 = − ∂F

∂x2= − ∂H

∂x2(9.5)

As primeiras duas e as ultimas duas equacoes acima definem assolucoes do campo de vetores Hamiltoniano no plano (x1, x2, p1, p2).

Logo as caracterısticas de equacao de Hamilton-Jacobi projetadasno espaco (x1, x2, p1, p2) sao as solucoes das equacoes de Hamilton.

O Teorema de Hamilton-Jacobi (Teoremas 22 e 23), que apre-sentamos na Secao 9 [L], afirma que se pode passar diretamente dasolucao completa para as caracterısticas da EDP de Hamilton-Jacobi.

A terceira equacao de (9.5) afirma que as caracterısticas (solucoesda equacao de Hamilton) (x1(t), x2(t), p1(t), p2(t)) sao tais que afuncao

φ(x1(t), x2(t))

satisfazdφ

dt=

2∑

i=1

piHpi=

2∑

i=1

piFpi.

Note que o resultado sobre caracterısticas acima e valido paraum Hamiltoniano qualquer H(q, p) e nao apenas para Hamiltonianosnaturais do tipo H(q, p) = 1

2

∑ni=1 p

2i + V (q).

O metodo que vamos descrever a seguir vai determinar a evolucaode uma frente de onda (q(s, t), p(s, t)) a partir de (q(s), p(s)). Destamaneira poderemos determinar a evolucao temporal de feixes de con-dicoes iniciais do problema mecanico (ver Propriedade Importante

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a seguir). Esta questao e fundamental em Mecanica Estatıstica eMecanica Quantica (ver [OA]). A propriedade importante descrita aseguir, nao e para um sistema mecanico qualquer, mas apenas paraum sistema associado a uma metrica Riemanniana. Lembre que emuitas vezes possıvel transformar por mudanca de parametro tempo-ral um problema mecanico em um problema geometrico (ver Teorema20 e Corolario 21, Capıtulo 2 [L]).

Propriedade Importante: Seja o Hamiltoniano

H(q, p) = a(q)p21 + 2c(q)p1p2 + b(q)p2

2

q = (x1, x2), p = (p1, p2), e seja S(q, t) = φ(q)−t solucao da respectivaequacao de Hamilton-Jacobi

0 =∂S

∂t+H

(

q,∂S

∂q

)

,

ou seja φ satisfaz

1 = H

(

q,∂φ

∂q

)

,

e a condicao inicial (ou de fronteira) (q(s), φ(s)) = (q(s), 1).Entao S(x1, x2, t0) = S(x, t0) = 0 vai determinar para cada t0

fixo, a posicao de q(s, t1) = (x1(s, t1), x2(s, t1)), t1 = t1(t0), dascurvas

(xs1(t), xs2(t)),

projecao no plano (x1, x2) das curvas (xs1(t), xs2(t), p

s1(t), p

s2(t)), solucao

do campo Hamiltoniano comecando no tempo t = 0 em

(x1(s), x2(s), p1(s), p2(s)),

s ∈ (a, b). Note que p(s) = (p1(s), p2(s)) deve satisfazer a Observacao7.2 da Secao 7.

A Propriedade Importante segue do seguinte fato:

S(x, t) = S(x1, x2, t) = S((x1(s, t), x2(s, t), t)

depende apenas de t (linearmente em t de fato) e as caracterısticassao as solucoes do problema mecanico como vimos acima.

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Seja φ(x1, x2) solucao da equacao de Hamilton-Jacobi

0 = H(x1, x2, p1, p2) − 1 = H(q,∇φ(p)) − 1 = F (x1, x2, φ, p1, p2),

que sera analisada a seguir pelo metodo das caracterısticas.A funcao φ(x1(s, t), x2(s, t)) satisfaz

d (φ(x1(s, t), x2(s, t))

dt=

∂φ

∂x1x1s

′(t) +∂φ

∂x2x2s

′(t) =

p1Hp1 + p2Hp2 = p1(2a(q)p1 + 2c(q)p2) + p2(2c(q)p1 + 2b(q)p2) =

2H(q(s, t), p(s, t)).

E facil ver pela Observacao 46 que para o Hamiltoniano

H(q, p) = a(q)p21 + 2c(q)p1p2 + b(q)p2

2,

a condicaoF (x1(s), x2(s), φ(s), p1(s), p2(s)) =

= H(x1(s), x2(s), p1(s), p2(s)) − 1 = 0

significa que H(q(s, 0), p(s, 0)) = 1 para todo s.Pelo Teorema de conservacao do Hamiltoniano (Teorema 2, Capı-

tulo 3 [L]) H(q(s, t), p(s, t)) e constante igual a 1. Logo, para todo s

d (φ(x1(s, t), x2(s, t))

dt= 2.

Concluımos portanto que

dS(x, t)

dt=d(φ(x) − t)

dt= 2 − 1 = 1.

Se assumirmos φ(x1(s, 0), x2(s, 0)) = φ(x1(s), x2(s)) = 1, ∀s ∈(a, b) entao S(x1(s, t), x2(s, t), t) = 1 + t.

Fica assim justificada a afirmacao da Propriedade Importanteacima enunciada. Em breve apresentaremos exemplos em que uti-lizaremos a propriedade acima descrita (Exemplos 9.5, 9.6 e 9.7).

Considere agora o caso particular em que H(x, p) = p21 + p2

2, Ssolucao da equacao da eikonal

(∂S

∂x1

)2

+

(∂S

∂x2

)2

= 1

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com a condicao inicial da frente de onda na posicao

q(s) = (x1(s), x2(s)) ∈ R2

dada. Entao, pela Propriedade Importante φ(x) − t = S(x, t) = 0,vai descrever implicitamente a posicao espacial da frente de onda notempo t1.

Vamos considerar no tempo t = 0, condicoes iniciais (x1(s), x2(s))e perguntar a posicao desta frente de onda apos decorrido tempo t.Vamos utilizar o resultado mencionado pela Propriedade Importantevisto anteriormente.

Vamos tentar resolver este problema atraves dos dois metodosdesenvolvidos antes: o metodo da integral completa e o metodo dascaracterısticas.

Primeiro vamos aplicar o metodo das caracterısticas.Usando a notacao da Secao 7, a Equacao diferencial parcial de 1a

ordem nao linear(

∂φ

∂x1

)2

+

(

∂φ

∂x2

)2

= 1

pode ser expressa como 0 = F (x1, x2, φ, p1, p2) = 1 − (p21 + p2

2) =1 − (φ2

x + φ2y) onde p1 = φx e p2 = φy.

Vamos analisar neste caso a expressao das equacoes das carac-terısticas da EDP, F (x1, x2, φ, p1, p2) = 0 . Neste caso, a equacaoe

p21 + p2

2 − 1 = 0,

ou seja, neste caso F (p1, p2) = p21 + p2

2 − 1.Usando a expressao das equacoes das caracterısticas obtemos

dx1

dt= 2p1

dx2

dt= 2p2

dφ

dt= 2p2

1 + 2p22

dp1

dt= 0

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dp2

dt= 0. (9.6)

Observacao 9.2. Note que no caso acima, o vetor gradiente dafrente de onda ∇φ = p e colinear com x′.

Observacao 9.3. Das equacoes das caracterısticas acima, as carac-terısticas (x1(t), x2(t), φ(t), p1(t), p2(t)) devem portanto satisfazer

d2x1

dt2=

d

dt

(

dx1

dt

)

=d

dt(2pi) = 0

ed2x2

dt2=

d

dt

(

dx2

dt

)

=d

dt(2p2) = 0.

Note que os valores p1(t) e p2(t) sao constantes.Da equacao acima segue que x1(t) e x2(t) sao lineares em t, ou

seja, x1(t) = 2p1t+ c1 e x2(t) = 2p2t+ c2.A conclusao e que a projecao das caracterısticas no plano x =

(x1, x2) sao linhas retas.Finalmente, φ′(t) = 2p2

1 + 2p22 = 2(p2

1 + p22) = 2 × 1 = 2, pois por

hipotese p21 + p2

2 = 1.Logo φ(t) = 2t+ c3.Sendo assim, concluımos finalmente que as caracterısticas sao re-

tas em R5.

Vamos agora usar os resultados obtidos anteriormente para cal-cular solucoes da EDP via o metodo das caracterısticas.

Exemplo 9.4. Vamos calcular a solucao da equacao diferencial par-cial

(

∂φ

∂x1

)2

+

(

∂φ

∂x2

)2

= 1,

sujeita as condicoes

(x1(s), x2(s), φ(s), p1(s), p2(s)) = (cos s, sin s, 1, cos s, sin s).

Observe que p1(s) e p2(s) sao compatıveis com (x1(s), x2(s), φ(s))como e necessario assumir no problema em consideracao (Secao 7).

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As caracterısticas ja foram calculadas acima, e portanto as carac-terısticas (xs1(t), x

s2(t), φ

s(t), ps1(t), ps2(t)) obtidas a partir das condicoes

iniciais

(cos s, sin s, 1, cos s, sin s),

sao

xs1(t) = 2p1(s)t+ cos s = 2 cos(s)t+ cos(s)

xs2(t) = 2p2(s)t+ sin s = 2 sin(s)t+ sin(s)

φs(t) = 2t+ 1

ps1(t) = cos s

ps2(t) = sin s.

Observacao 9.4. Note que a partir de p(s) = (p1(s), p2(s)) fixado, ovetor ps(t) = (ps1(t), p

s2(t)) nao se altera, ou seja neste caso particular,

o momento se conserva.Antes de expressar a funcao φ nas coordenadas (x1, x2), devemos

relacionar as coordenadas (s, t) e as coordenadas (x1, x2).Ora, (x1(s, t), x2(s, t)) = (cos s(2t+1), sin s(2t+1)), logo x2

1+x22 =

cos2 s(2t+ 1)2 + sin2 s(2t+ 1)2 = (2t+ 1)2.Portanto,

t =1

2

(√

x21 + x2

2 − 1)

e como x1 = cos s(2t+ 1) entao

s = arccosx1

2t+ 1= arccos

x1√

x21 + x2

2

.

Em conclusao

(s(x1, x2), t(x1, x2)) =

(

arccosx1

√

x21 + x2

2

,1

2

(√

x21 + x2

2 − 1

))

.

Como φ(s, t) = 2t + 1, concluımos que a solucao φ(x1, x2) satis-fazendo as condicoes iniciais pre-fixadas e φ(x1, x2) =

√

x21 + x2

2.Sugerimos ao leitor calcular φ2

x1+ φ2

x2para testar e certificar-se

que realmente a φ acima descrita satisfaz φ2x1

+ φ2x2

= 1.

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A evolucao de (q(s, t), p(s, t)) a partir da frente de onda no tempot = 0, dada por (q(s), p(s)) = (cos(s), sin(s), cos(s), sin(s)) pode serseguida para tempos t subsequentes atraves de φ, isto e, φ(q1, q2) = tdetermina a posicao no tempo t da frente de onda acima considerada.

A conclusao neste caso, e que as frentes de ondas sao cırculos como mesmo centro.

Exemplo 9.5. Vamos agora tentar encontrar a solucao da equacaodiferencial parcial φ2

x+φ2y = 1 atraves do metodo da solucao completa.

Devemos tentar primeiramente encontrar uma famılia fa,b(x1, x2) adois parametros (a, b) ∈ R

2 de solucoes de φ2x + φ2

y = 1.Vamos tentar encontrar a solucao pelo metodo de separacao de

variaveis. Suponhamos que φ possa ser escrita da forma φ(x1, x2) =f(x1) + g(x2).

Substituindo φ na equacao φ2x1

+ φ2x2

= 1, obtemos f ′(x1)2 +

g′(x2)2 = 1.

Como f ′(x1)2 = 1−g′(x2)

2, entao f ′(x1) nao depende de x1. Logof ′(x1) e constante. Da mesma forma g′(x2) tambem e constante.

Como f ′(x1)2 + g′(x2)

2 = 1, podemos escrever f ′(x1) = cos a eg′(x2) = sin a.

Portanto, f(x1) = x1 cos a+ c1 e g(x2) = x2 sin a+ c2.Finalmente concluımos que

f(x1, x2, a, b) = f (a,b)(x1, x2) = x1 cos a+ x2 sin a+ b

e uma famılia completa de solucoes da equacao diferencial parcialφ2x1

+ φ2x2

= 1.

Exemplo 9.6. Vamos agora encontrar a solucao de φ2x1

+ φ2x2

= 1com as condicoes iniciais (x1(s), x2(s), φ(s)) = (cos s, sin s, 1), 0 ≤t ≤ 2π.

Como vimos antes no paragrafo sobre envoltorias, primeiro deve-mos encontrar (a(s), b(s)) solucao de

1 = z(s) = x1(s) cos a(s) + x2(s) sin a(s) + b(s)

= cos s cos a(s) + sin s sin a(s) + b(s) (9.7)

e

0 = z′(s) =∂f

∂x1x′1(s) +

∂f

∂x2x′(s) = (− cos a(s) sin s+ sin a(s) cos s).

(9.8)

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E facil derivar que a(s) = s, b = 0 sao as solucoes do sistema(9.7) e (9.8).

Devemos portanto considerar a famılia a um parametro s, dadapor

f t(x1, x2) = x1 cos a(s) + x2 sin a(s) + 0 = x1 cos s+ x2 sin s.

A envoltoria desta famılia nos permitira obter a solucao z(x1, x2).Fixe (x1, x2) ∈ R

2, vamos encontrar quem e s(x1,x2) que satisfaz

0 =∂f

∂s= −x1 sin s+ x2 cos s

e f(x1, x2) = x1 cos s+ x2 sin s.Seja θ e r > 0 tal que x1 = r cos θ e x2 = r sin θ.Logo

0 = −x1 sin+x2 cos s = −r cos θ sin s+ r sin θ cos s = −r sin(s− θ),

implica que

s(x1,x2) = arctanx2

x1.

Portanto, u(x1, x2) = x1 cos s(x1,x2) + x2 sin s(x1,x2) =

= x1x1

r+ x2

x2

r=

x21 + x2

2√

x21 + x2

2

=√

x21 + x2

2.

Sendo assim obtivemos a solucao da equacao da eikonal com acondicao inicial (q(s), p(s), 1) utilizando o metodo da solucao com-pleta.

A partir da solucao da equacao de Hamilton-Jacobi u, sabemospela Propriedade Importante que podemos determinar a evolucao dasfrentes de onda de solucoes do sistema mecanico (q(s, t), p(s, t)) apartir de condicoes iniciais (q(s), p(s)).

Exemplo 9.7. Seja a matriz

M =

(a c

c b

)

,

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positiva definida e que define uma metrica Riemanniana

L = 〈Mv, v〉 = av21 + 2cv1v2 + bv2

2 .

Neste caso, (ver (3.1) na Secao 2, Capıtulo 3 [L])

H(x, p) =1

4〈M−1p, p〉

e o Hamiltoniano associado ao Lagrangiano L dado pela metrica Ri-emanniana (com coeficientes a, b, c constantes). Note que 1

4M−1

tambem e positiva definida.Sendo assim, se S(q, t) e da forma S(q) − t, a equacao

0 =∂S

∂t+H(x,∇S) =

∂S

∂t+

1

4〈M−1∇S,∇S〉 =

−1 +

⟨1

4M−1∇S,∇S

⟩

= −1 +

√

1

4〈M−1∇S,∇S〉

vai descrever a evolucao de frentes de onda em um meio homogeneomas nao isotropico.

Note que H tambem define uma forma quadratica positiva defi-nida, pois se M e positiva definida, M−1 tambem e.

Das equacoes das caracterısticas obtemos que p(t), q(t) sao cons-tantes pois a equacao diferencial definida por F nao depende de z, x1, x2.Sendo assim o vetor normal as distintas superfıcies de nıvel (evo-luindo no tempo) a partir de um vetor inicial dado e constante.

Se assumirmos por exemplo que

1

4M−1 =

(1 00 1/4

)

,

ou seja que

M =

(1/4 00 1

)

,

entao a equacao de Hamilton-Jacobi associada e

0 = −1 +

(∂S

∂x1

)2

+1

4

(∂S

∂x2

)2

.

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Uma solucao de tal equacao ja foi considerada no exemplo S(x, t) =√

x21 + 4x2

2 − t.Neste caso um disturbio inicial no ponto (0,0) vai gerar frentes de

onda com forma de elipses. Um propriedade macroscopica, a formada frente de onda, e entao determinada por uma propriedade mi-croscopica.

S descreve a evolucao em um meio homogeneo anisotropico.

Exemplo 9.8. Uma metrica Riemanniana pode ter os coeficientes

a(x1, x2), b(x1, x2), c(x1, x2)

dependendo da variavel (x1, x2). Considerando L o Lagrangiano as-sociado a metrica Riemanniana

L = a(x1, x2)p21 + 2c(x1, x2)p1p2 + b(x1, x2)p

22,

e seu correspondente Hamiltoniano H (ver (3.1) Secao 2, Capıtulo 3).Entao a equacao constitutiva natural ao problema e dado por

−∂S∂t

= H(x,∇S)

ondeH(x, p) = H(x1, x2, p1, p2) =

1

4

b(x1, x2)p21 − 2c(x1, x2)p1p2 + a(x1, x2)p

22

ac− b2.

Para simplificar a notacao, podemos reescrever a expressao acimaconsiderando

a =1

4

b

ab− c2, c =

1

4

−cab− c2

, b =1

4

a

ab− c2.

Obtemos assim o Hamiltoniano

H(x, p) = a(x1, x2)p21 + 2c(x1, x2)p1p2 + b(x1, x2)p

22. (9.9)

Supondo S(x, t) = t − φ(x) temos entao a equacao de Hamilton-Jacobi para tal H (ou para

√H, tanto faz)

1 = a(x1, x2)p21 + 2c(x1, x2)p1p2 + b(x1, x2)p

22,

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onde p1 = φx1, p2 = φx2

.

Sendo assim a equacao constitutiva do meio (ou seja a equacaode Hamilton-Jacobi) determina a equacao diferencial parcial 0 =F (x1, x2, φ, p1, p2) = a(x1, x2)p

21 + 2c(x1, x2)p1p2 + b(x1, x2)p

22 − 1,

onde p1 = φx1e p2 = φx2

.

Note que F nao depende de φ, mas depende neste caso de x1 ex2. Sendo assim, as equacoes das caracterısticas nao determinaraomais (como no Exemplo 9.4) que p(t) e constante. Isto se deve adependencia de H(x, p) em x e em p. A falta de homogeneidade eisotropia do meio e descrita pela metrica Riemanniana L (ou maisprecisamente pela metrica Riemanniana H). Note que neste casonao estamos considerando nenhum termo correspondente a energiapotencial. O Hamiltoniano neste caso e dado pelo modulo ao quadra-dado do vetor velocidade considerando a norma descrita pela metricaRiemanniana. Lembre que para fins de calculo do traco das curvassolucoes do sistema (ver Secao 7), tanto faz tomar a raiz quadradaou nao na expressao do Hamiltoniano acima.

Afirmamos que as geodesicas desta metrica Riemanniana nas co-ordenadas (q, p) desempenharao o papel das caracterısticas, pois aequacao das caracterısticas para

0 = F (x1, x2, z, p1, p2) = a(x1, x2)p21 +2c(x1, x2)p1p2+b(x1, x2)p

22−1

sao

x′1(t) =∂F

∂p1= 2ap1 + 2cp2

x′2(t) =∂F

∂p2= 2cp1 + 2bp2

p′1(t) = − ∂F

∂x1

p′2(t) = − ∂F

∂x2.

e determinam as equacoes das equacoes geodesicas. Esta afirmacaofoi demonstrada anteriormente para um Hamiltoniano qualquer, istoe, mostramos que as caracterısticas sao as trajetorias do sistema Ha-miltoniano (que no caso em consideracao so possui energia cinetica).

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As geodesicas sao portanto as caracterısticas da equacao diferen-cial parcial

0 = F (x1, x2, z, p1, p2) = a(x1, x2)p21+2c(x1, x2)p1p2+b(x1, x2)p

22−1.

A velocidade da luz e finita e apos uma normalizacao podemossupor que esta velocidade e igual a 1, sendo assim, fixado um pontoinicial q0 onde no tempo 0 se acende a luz, a frente de onda

∑

T e oconjunto dos pontos de plano (x1, x2) que distam T de q0.

As envoltorias por raios de luz (ou por geodesicas) determinam asfrentes de ondas num cristal conforme Observacao anterior.

A conclusao final e que as geodesicas fazem o papel dos raios deluz e das caracterısticas. Esta conclusao traduz fielmente a relacaoentre a Mecanica Hamiltoniana e a propagacao de frentes de onda.

Note que no caso da metrica Riemanniana da esfera, a frente deonda

∑

T emitida a partir de um polo q0, apos um certo tempo T0

ira colapsar no outro polo (ver Figura 3.10 b)).Este fenomeno, que nem sempre ocorre, e denominado de criacao

de causticas. Em termos matematicos dizemos que o aparecimentodas causticas esta associado a existencia de pontos conjugados. Refe-rimos o leitor a [MC3] para maiores consideracoes sobre este topico.

Exercıcio: No caso da metrica hiperbolica

1

2

(x1

2

x22

+x2

2

x22

)

,

o momento p1 = ∂L∂x1

= x1

x22

6= x1. Calcule a equacao de Hamilton-

Jacobi associada.

Observacao 9.5. Em geral, para um H como acima (9.9), oriundode uma metrica Riemanniana

(x′1, x′2) = (2ap1 + 2cp2, 2cp1 + 2bp2). (9.10)

Logo em geral x′ e p′ nao sao colineares.

No caso da metrica Euclidiana, no entanto, x e p sao colineares(ver Observacao 48).

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Observacao 9.6. As equacoes das caracterısticas afirmam, no casode uma metrica Riemanniana geral, as geodesicas sao as caracterıs-ticas (projetadas em (x1, ..., xn)). Uma frente de onda

∑

t causadapor uma perturbacao pontual em q0 e constituıdo pelo conjunto dospontos que distam t de q0.

Note que p e perpendicular a frente de onda, pois ∇S = p, mas ovetor q nao necessariamente (se o meio nao for homogeneo e aniso-tropico) conforme mostra a expressao (9.10) na Observacao 9.5 (verFigura 8.3).

Em conclusao, podemos afirmar que as consideracoes feitas ante-riormentes sobre raios da luz e geodesicas como geradores de frentesde onda, foi a inspiracao para o ponto de vista de Hamilton de ten-tar analisar a Mecanica Classica atraves de um ponto de vista deperturbacao por frentes ondas de um meio contınuo.

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Capıtulo 10

A Equacao da Onda

O que chamamos de raio de luz nas secoes anteriores, correspondiaa geodesicas de uma metrica Riemanniana. Na verdade, uma carac-terıstica importante do raio de luz fısico real e o seu carater ondu-latorio, o qual nao foi considerado na nossa analise anterior [Lu].

A luz e um fenomeno eletromagnetico, que obedece as equacoesde Maxwell (ver [Go]). A partir desta equacao, pode se mostrar quea luz obedece a equacao da onda em R

3.

Abstraindo o carater ondulatorio da luz, conseguimos nas secoesanteriores entender o relacionamento da Acao com as frentes de ondae as geodesicas.

Vamos descrever agora brevemente a luz (por abuso de linguagemvamos chamar de raio de luz) como uma onda e relacionar o que foidescrito anteriormente com este novo ponto de vista (ver Observacao10.2 ao fim desta secao).

Referimos o leitor para [Go] para referencias gerais sobre o as-sunto.

Para isto necessitaremos considerar a equacao da onda em R3

∂2φ

∂x21

+∂2φ

∂x22

+∂2φ

∂x23

− η2

c2∂2φ

∂t2= 0 (10.1)

onde η e uma constante.

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200 [CAP. 10: A EQUACAO DA ONDA

A solucao φ(x1, x2, x3, t) vai descrever a evolucao da onda em ummeio com ındice de refracao η. O valor c e a velocidade da luz que euma constante universal.

Vamos primeiro tentar entender o que representa enfim um raiode luz no tempo t0 e relacionar tal conceito com a equacao acima. Oraio de luz (individualizado) no tempo t0 vai ser representado por

φ(x1, x2, x3) = φ(x1, x2, x3, t0) =

= φ0ei (<x , r >−w t0) = φ0e

i ( 〈 ( x1,x2,x3 ) , ( r1,r2,r3 ) 〉−w t0 ), (10.2)

onde φ0 e uma constante, r = (r1, r2, r3) e um vetor constante e wa constante que vai determinar a frequencia da oscilacao temporal.Existe uma relacao entre w e r que sera descrita em breve.

Vamos agora tentar explicar ao leitor porque e natural considerartal φ para descrever um raio de luz (individualizado).

φ0 determina a amplitude do raio de luz.O raio de luz “individualizado”descrito acima e tal

∑

c

= (x1, x2, x3) |φ(x1, x2, x3, t0) = c

t0, c ∈ R, determina planos perpendiculares a direcao (r1, r2, r3).Um raio de luz no tempo t0 e portanto descrito por uma serie de

planos, por isso e tambem denominado de uma onda plana.Note que para um t0 fixo o raio de luz contem uma informacao

em todo o espaco de posicoes R3 (sao os varios planos de nıvel).

O leitor pode observar que qualquer funcao g(α), onde

α = 〈(x1, x2, x3), (r1, r2, r3)〉 =< x, r >

tambem determinaria planos como superfıcies de nıvel.Para descrever o raio de luz, assumimos tambem uma periodi-

cidade espacial (o raio de luz tem um carater ondulatorio) de φ.Isto explica o termo ei <x,r> na expressao acima para φ. Em vezde usar senos e cossenos estamos usando a notacao complexa paraei 〈 (x1,x2,x3),(r1,r2,r3) 〉 que e mais compacta. A periodicidade espacialde φ vai depender do modulo

2π

‖r‖ .

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Vamos denominar este valor do perıodo de fase otica.Sendo assim, para t0 fixo, o valor de φ se repete espacialmente na

direcao r com perıodo 2π‖r‖ .

Esta periodicidade espacial vai acontecer tambem de maneira tem-poral para x fixo quando variarmos t0. Isto e expresso pelo termoei wt0 na expressao φ = φ0e

i(〈x,r〉−wt) = φ0ei〈x,r〉e−iwt. Logo para x

fixo, de tempos em tempos (com frequencia w) repetem-se os valoresde φ.

Fica assim descrito de maneira geral como devemos entender oraio de luz individualizado φ(x, t) = φ0e

i(〈x,r〉−wt). Para cada w er fixos, associamos um raio de luz φ = φr,w. Tal φ = φ(x, t) =φ0e

i(〈x,r〉−wt) e uma funcao que depende de (x, t).Considere w fixo e uma funcao f(x) = ft0(x) que vai descrever

um feixe da raios de luz no tempo t0.A variavel real α = 〈x, r〉 como vimos antes vai determinar uma

periodicidade em ei〈x,r〉 = eiα e sendo assim podemos encara-lo comoum gerador de funcoes f(x) na variavel x via Transformada de Fou-rier. Ou seja f(x) vai ser uma combinacao de φr para diferentes r (ouseja um feixe de raios individualizados de luz φr dado pela expressao(10.2)). Mais precisamente, dado f(x), considere a transformada de

Fourier f(r) tal que f(x) =∫f(r)(ei<r,x>)dr.

Logo

f(x, t) = f(x) e−i w t = (

∫

f(r)(ei<x,r>)dr)e−iwt =

∫

f(r)ei(<x,r>−wt)dr (10.3)

vai representar um feixe de raios de luz (note que w e constante eindepende de r).

f e determinada pela distribuicao (ver [Ju] para definicao) f .O que chamamos de luz e na verdade uma combinacao dos raios

de luz individuais (10.2) dados por φ0ei(α−wt) = φ0e

i(〈x,r〉−wt) viatransformada de Fourier como acima.

Se f e o Delta de Dirac no ponto r0 com massa φ0, entao

f(x)e−iwt = φ0ei<x,r0>e−iwt = φ0e

i(<x,r0>−wt).

Recuperamos assim o raio de luz individualizado (10.2).

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O raio individualizado φ0ei(α−wt) e na verdade uma abstracao

do ponto de vista Fısico. A luz, quando observada, em geral e um“pacote”com varios raios de luz individualizados (10.2), como apareceem (10.3).

Para a correta definicao do raio de luz, falta ainda mais umarestricao. Vai existir uma relacao entre ‖r‖ e w que vai advir daequacao da onda anteriormente apresentada.

Vamos agora relacionar o raio de luz com a equacao da onda. Oraio de luz fisicamente observado e tambem solucao da equacao daonda (ver [Go]).

Substituindo o raio de luz “individualizado”φ(x, t) = φ0ei(〈r,x〉−w t)

na equacao da onda

∆φ− η2

c2∂2φ

∂t2= 0,

η constante, obtemos que φ e solucao da equacao acima no caso emque

‖r‖ =η w

c. (10.4)

Sendo assim, existe uma relacao entre a periodicidade espacial ‖r‖e a periodicidade temporal w, determinada pela equacao diferencialparcial acima.

A igualdade (10.4) acima e chamada de relacao de dispersao. Fi-nalmente, com esta relacao entre w e r, o raio de luz fica precisamentebem definido.

Como sabemos, a equacao da onda acima descrita (10.1) e linear.Sendo assim, uma combinacao linear f(x)e−w i t de tais funcoes raiode luz individualizados φ = φr (via Transformada de Fourier) tambemvai ser solucao da equacao linear da onda

∂2φ

∂x21

+∂2φ

∂x22

+∂2φ

∂x23

− η2

c2d2φ

dt2= 0,

η constante.Fica portanto esclarecido em que sentido φ = f(x)e−i w t (um feixe

de raios de luz) e solucao da equacao da onda com η fixo.Vamos agora investigar o caso em que η(x) nao e constante, e e

fracamente variavel (ver Observacao 10.1 a seguir) com a posicao x.A otica geometrica e o ramo da ciencia interesssado em analisar

o caso em que η e fracamente variavel com a posicao. Uma relacao

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muito interessante e importante com a equacao de Hamilton-Jacobivai aparecer.

Considere η(x) uma funcao no R3 e a equacao

dφ2

dx21

+dφ2

dx22

+dφ2

dx23

− η2(x)

c2d2φ

dt2= 0 (10.5)

A analise que vamos fazer neste caso corresponde aos raios de luzem um meio nao homogeneo.

Uma solucao φ para a equacao com η variavel, nao vai mais nestecaso ser uma onda plana. A solucao que se busca e da forma

φ = eA(x)+i(S(x) k0−w t). (10.6)

w e uma constante, eA(x) vai representar a amplitude, o termoei S(x) k0 representa as frentes de onda espaciais (antes quando S erada forma

S(x) = 〈x, r〉estas frentes de onda eram planas) e k0 e uma constante. O termoe−i w t representa a periodicidade temporal. A(x) e S(x) tomam va-lores reais.

Fica assim descrito de maneira esquematica a informacao que nostraz a expressao do raio de luz φ num meio em que η varia composicao.

O problema em consideracao supoe que no infinito η e constante,ou seja, que a regiao em que η(x) depende de x esta localizada apenasem um aberto limitado.

Logo, para pontos x muito distantes, vale que a onda φ(x, t) secomporta como uma onda plana. Logo, para tais pontos x, a solucao(10.6) deve ser da forma (10.3). Sendo assim, vale tambem a relacaode dispersao (10.4) mencionada anteriormente.

Neste caso e usando a notacao acima, esta relacao significa

k20 =

w2

c2. (10.7)

Vamos tentar agora relacionar a teoria descrita acima com a Te-oria de Hamilton-Jacobi. Em particular desejamos tentar entendermelhor o papel desempenhado por S.

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Ora ∇φ = φ∇(A + ik0S) e ∆φ = φ[∆(A + ik0S) + ‖∇(A +ik0S) ‖2].

Esta ultima expressao e igual a

∆φ = φ[∆A+ ik0∆S + ‖∇A‖2 − k20 ‖∇S‖2 + 2ik0 〈∇A,∇S〉 ].

A equacao da onda (usando (10.6)) torna-se entao

ik0 [ 2〈∇A,∇S〉+ ∆S ]φ+ [∆A+ ‖∇A|‖2 − k20 ‖∇S‖2 + η2k2

0 ]φ = 0.

Como A, S sao reais, a equacao da onda representa

∆A+ ‖∇A‖2 + k20 ( η2 − ‖∇S ‖2 ) = 0

e∆S + 2 〈∇A,∇S〉 = 0.

Logo, se S e A satisfazem tais equacoes, φ descreve um raio deluz.

Observacao 10.1. Vamos assumir agora que k20 e muito grande em

termos relativos com a parte ∆A + ‖∇A‖2. Esta hipotese traduzem termos matematicos precisos a afirmacao que “η(x) e fracamentevariavel com a posicao x”feita anteriormente.

Portanto, com esta hipotese,

∆A+ ‖∇A‖2

k20

+ (η2 − ‖∇S‖2) = 0

significa aproximadamente que η2 − ‖∇S‖2 = 0, ou seja, que S sa-tisfaz a Equacao de Hamilton-Jacobi

(∂S

∂x1

)2

+

(∂S

∂x2

)2

+

(∂S

∂x3

)2

= η2(x). (10.8)

Esta equacao e a Equacao de Hamilton-Jacobi (9.3) para o Ha-miltoniano

H(q, p) = p21 + p2

2 + p23 − η2(x) + 1. (10.9)

Sendo assim, como vimos antes a funcao S solucao da equacao(10.8) acima, deve corresponder a Acao de um sistema mecanico.

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O termo η corresponde a falta de homogeneidade do meio no casodos raios de luz num cristal.

Por exemplo, se η e constante igual a 1, a partir de (10.8) determi-namos que S deve satisfazer a equacao de Hamilton-Jacobi autonomaassociada ao Hamiltoniano p2

1+p22+p2

3, ou seja a equacao da eikonal.Note que uma vez que se obtem S, a funcao A satisfazendo

∆S + 2 〈∇A,∇S〉 = 0,

pode ser facilmente obtida por integracao. Desta maneira, com ashipoteses acima, obtemos a solucao

φ = eA(x)+i(S(x) k0−w t).

Observacao 10.2. O Lagrangiano associado a tal Hamiltoniano(10.9) e

L(q, p) = 4(p21 + p2

2 + p23) + η2(x) − 1.

Pelo Teorema de Mauperitus (Teorema 20, Secao 7, Capıtulo 2)o problema mecanico associado a tal Lagrangiano, e equivalente aconsiderar um Lagrangiano da forma

L(x1, x2, x3, p1, p2, p3) = 〈M(x)(p1, p2, p3), (p1, p2, p3)〉,

onde M(x) e uma matriz positiva definida que depende da posicao x.Ou seja, as equacoes da equacao de Hamilton do sistema (10.9) saogeodesicas (a menos de reparametrizacao do tempo) de uma metricaRiemanniana L (ver Secao 6, Capıtulo 2 [L]).

Conclusao: Concluımos que o S que aparece na expressao do feixeda raios de luz φ deve ser aproximadamente igual a solucao da equacaode Hamilton-Jacobi para um problema de Mecanica Classica (se k0

for tomado bem grande). Portanto, S corresponde aproximadamentea acao de um sistema mecanico. No limite, tomando k0 = ∞, entaoS e realmente a acao de um sistema mecanico definido pelo Hamil-toniano (10.9), como descrito acima. As superfıcies com S constantevao representar superfıcies de fase constante. A Teoria de Hamilton-Jacobi nos diz entao que a Mecanica Classica corresponde a OticaGeometrica (fazendo um limite em que k2

0 vai a ∞). Este tipo deresultado e essencial na Teoria semi-classica da Mecanica Quantica.

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Finalmente, a partir do que foi dito acima, podemos justificar asconsideracoes das secoes anteriores onde afirmamos que o raio de luzdeve ser visto como uma geodesica, na verdade corresponde a suporque o raio de luz (10.3) que consideramos nesta secao esta situadoem um meio em que k2

0 e muito grande (mais precisamente k0 = ∞).Essa relacao compatibiliza dois pontos de vista que no passado

foram antagonicos: o ponto de vista de Newton que a luz e um raiocorpuscular e o ponto de vista de Hamilton que a luz e na verdadeuma frente de onda.

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Capıtulo 11

O Metodo da Fase

Estacionaria e suas

Aplicacoes em Otica

por Artur Lopes e Marcos Sebastiani

11.1 Introducao

Vamos considerar aqui funcoes C∞ definidas em semi-reta reaise tomando valores complexos F (τ) : (d,+∞) → C onde d e umaconstante real.

Definicao 11.1. H(τ) e de decrescimento rapido se para todo N valeque H(τ)τN → 0 quando τ → ∞ e o mesmo e valido para as deri-

vadas de ordem k de H, ou seja para todo N vale que dkH(τ)dτk τN→0,

quando τ → ∞.

Definicao 11.2. F (τ) e G(τ) tem mesmo comportamento assintoticose F (τ) − G(τ) e de decrescimento rapido e utiliza-se a notacao

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208 [CAP. 11: O METODO DA FASE ESTACIONARIA

F (τ) ∼ G(τ)

Duas funcoes F e G que tem o mesmo comportamento assintoticosao quase que indistinguıveis para valores de τ grandes.

O τ tem o significado de frequencia em Otica e no Eletromag-netismo. Estamos interessados entao apenas em situacoes em que afrequencia τ vai a infinito, ou seja, quando ela e muito grande. Nestecontexto, se H(τ) tem decrescimento rapido, podemos dizer que paraτ grande podemos substituir ela pela funcao nula (H(τ) ∼ 0).

Nosso objetivo principal e analisar o assintotico de expressoes daforma

F (τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτφ(x)dx

quando τ vai para infinito [1], [5], [6], [7] e [8].Para se ter uma breve ideia da complexidade do problema consi-

dere φ(x) = x: note que neste caso quando τ esta fixo, mas e muitogrande, o termo eiτx oscila muito com x, ou seja, uma pequena va-riacao de x faz variar bastante eiτx; a ideia heurıstica basica aqui eque essas oscilacoes irao produzir cancelamentos e um comportantobem definido aparece disto tudo quando τ vai a infinito.

Em Otica o f(x) representa a amplitude, τ a frequencia e o φ(x)a fase de uma onda que e descrita pela expressao acima [3], [4] e[8]. O limite quando τ vai a infinito conduz a assim chamada OticaGeometrica [2] Section 9-8 .

Vamos assumir em todo o texto que f e de classe C∞.Uma outra importante aplicacao do calculo do assintotico de tais

integrais e no estudo do limite semi-classico da Mecanica Quantica:neste caso τ = 1/h e h vai a zero [3], [5] e [2].

Como decorrencia natural do que vamos analisar no texto vamosapresentar brevemente a fundamentacao matematica da teoria dasseries nao convergentes. H. Poincare foi o primeiro matematico aintroduzir tais series.

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11.2 Fase Estacionaria

Proposicao 11.1. Seja f ∈ C∞0 (IR), ou seja uma funcao C∞ com

suporte compacto, entao

F (τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτxdx

e de decrescimento rapido.

Demonstracao: De fato, segue de propriedades de Series de Fourier(apenas integracao por partes) que

F (τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτxdx =

−1

iτ

∫ ∞

−∞

df(x)

dxeiτxdx

e repetindo a integracao por parte n vezes, obtemos

F (τ) =−1n

(iτ)n

∫ ∞

−∞

dnf(x)

dnxeiτxdx.

Entao |τnF (τ)| ≤ (b− a)Maxa≤x≤bdnf(x)dnx , onde o intervalo (a, b)

contem o suporte de f e a, b sao constantes reais.Logo F (τ)τn e limitada para todo n, portantoF (τ)τn−1 tende a zero para todo n quando τ vai a infinito. Re-

sultado analogo vale para as derivadas k-esimas. Logo, tal F (τ) temdecrescimento rapido.

Utilizando o ponto de vista de equivalencia ∼, podemos dizer, doponto de vista da Definicao 11.2 que podemos substituir F (τ) por 0para τ grande, ou seja

F (τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτxdx ∼ 0.

Vamos agora analisar em geral outros tipos de funcoes F (τ), comopor exemplo

F (τ) =

∫ ∞


onde φ(x) e uma funcao qualquer que supomos doravante analıtica.No exemplo anterior φ(x) = x.E possıvel mostrar mais geralmente que:

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Proposicao 11.2. Se φ′

(x) nao tem zeros no suporte de f entaovale que

F (τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτφ(x)dx ∼ 0.

Demostracao: Para cada τ tal que φ′

(τ) = 0, podemos escolher umintervalo aberto Uτ = (τ−ǫ, τ+ǫ) disjunto do suporte de f . Por outrolado, para cada τ tal que φ

′

(τ) 6= 0 podemos escolher um intervaloaberto Uτ = (τ − ǫ, τ + ǫ) tal que φ

′

(x) 6= 0,∀x ∈ Uτ . Tomandouma particao da unidade subordinada ao recobrimento assim obtido,basta provar que

∫ a

b

f(x)eiτφ(x)dx ∼ 0,

quando (a, b) contem o suporte de f e φ′

(x) 6= 0 em [a, b]. O resultadosegue da proposicao 1 pela mudanca de coordenadas φ(x) = y.

Se φ′

(a) = 0, φ′′

(a) 6= 0 dizemos que a e ponto estacionario or-dinario (e crıtico nao degenerado para φ). Se φ

′

(a) = 0, φ′′

(a) = 0dizemos que a e ponto de caustica.

Um caso importante foi estudado por Fresnel, que corresponde aφ(x) = x2. Neste caso x = 0 e ponto estacionario ordinario para φ.

Lembre que

∫ ∞

−∞eix

2τdx =1√τ

∫ ∞

−∞eiy

2

dy =

√π√τeiπ/4

Desejamos calcular

F (τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτx

2

dx

Ora

F (τ) − f(0)

√π√τeiπ/4 =

∫ ∞

−∞f(x)eiτx

2

dx− f(0)

∫ ∞

−∞eiτx

2

dx =

= limR→∞

∫ R

−R(f(x) − f(0))eiτx

2

dx.

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211

Seja g(x) tal que f(x)−f(0) = xg(x), onde g ∈ C∞(R) e g′

= cx2

para x fora do suporte de f .Ora

∫ R


2

dx =

∫ R

−Rxg(x)eiτx

2

dx =

eiτx2

g(x)

2iτ|x=Rx=−R − 1

2iτ

∫ R

−Rg

′

(x)eiτx2

dx.

Se R e grande, g(R) = − f(0)R e g(−R) = f(0)

R .Decorre daı que

limR→∞

∫ R


2

dx = − 1

2iτ

∫ ∞

−∞g

′

(x)eiτx2

dx.

Sendo assim,

F (τ) = eiπ/4f(0)√πτ−1/2 +

i

2τ

∫ ∞

−∞g

′

(x)eiτx2

dx.

Note que por hipotese de g, para cada τ fixo

i

2τ

∫ ∞

−∞g

′

(x)eiτx2

dx

e uma constante finita; esta integral vai a zero quando τ vai a infinito.Como τ−1 vai a zero mais rapido que τ−1/2 quando τ vai a infi-

nito, o termo f(0)√πτ−1/2 domina o termo i

2τ

∫∞−∞ g

′

(x)eiτx2

dx naconvergencia a zero de F (τ) quando τ vai a infinito.

Fazendo o mesmo procedimento m vezes obtemos:

Proposicao 11.3. Para todo m vale que se F (τ) =∫∞−∞ f(x)eiτx

2

dx,entao

F (τ) =m∑

k=0

eiπ/4√π(i/2)k

f2k(0)

(2k)!!τ−k−1/2+

+(i/(2τ))m+1

∫ ∞

−∞h(x)eiτx

2

dx,

onde h(x) e uma funcao em C∞ tal que h(x)x2 e limitada e onde(2k)!! = 2 4 6...(2(k − 1)) (2k).

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A funcao h acima e obtida recursivamente seguindo o procedi-mento do caso m = 1. O termo dominante na convergencia a zero daexpressao acima e de ordem τ−1/2. Podemos afirmar que em primeiraaproximacao o termo dominante de F (τ) e eiπ/4f(0)

√πτ−1/2.

Gostarıamos de fazer m tender a infinto para se ter entao umaexpressao completa de F (τ) em serie, mas este procedimento podeincorrer em problemas de convergencia da serie; esta e a razao paraintroduzir a seguir o conceito de uma serie convergir assintoticamentea uma funcao F (τ).

Definicao 11.3. Dizemos que∑∞

0 gk(τ) converge assintoticamentea F (τ) ∈ C se fixados quaisquer r, s, existe M tal que para m fixo,m ≥M

(drF (τ)

drτ−

m∑

k=0

drgk(τ)

drτ)τs

e limitada quando τ → ∞.

Usaremos a notacao F (τ) ∼ ∑∞0 gk(τ) que estende a notacao

anterior.Note que a serie acima nao converge na maioria dos casos pelo

teorema de E. Borel [8]; os termos f2k(0)(2k)!! podem ser qualquer coisa!!!

A expressao acima, no entanto, faz completo sentido matematico,se interpretada de acordo com a ultima definicao.

Observamos que por definicao F (τ)′ ∼∑∞

0 g′

k(τ)Usando a notacao acima, podemos concluir das consideracoes an-

teriores que

F (τ) ∼∞∑

k=0

eiπ/4√π(i/2)k

f2k(0)

(2k)!!τ−k−1/2 (11.1)

Quando na definicao acima falamos em derivada r-esima de Festamos pensando na expressao formal da derivada, ou seja, por e-xemplo para r = 1 usamos que

F ′(τ) =

∫ ∞

−∞ix2f(x)eiτx

2

dx

quando

F (τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτx

2

dx.

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213

Mais geralmente, por inducao

F (j)(τ) =

∫ ∞

−∞(ix2)jf(x)eiτx

2

dx.

Note que dependendo de f o termo√π(i/2)k f

2k(0)(2k)!! pode ser qual-

quer coisa. De qualquer modo atraves de (1), no caso φ(x) = x2, fo-mos capazes de caracterizar o comportamento assintotico de F paraτ grande.

Vamos apresentar a seguir, a tıtulo de ilustracao, um exemploque embora nao seja exatamente o caso considerado acima da a ideiaexata das questoes que desejamos analisar aqui.

O caso que vamos apresentar a baixo tem a vantagem de utilizarapenas resultados elementares de Calculo Diferencial e Integral.

Considere a funcao F (τ) tomando valores reais como funcao davariavel τ (vamos estar interessados apenas em valores grandes de τ):

F (τ) =

∫ ∞

0

e−τx

1 + xdx.

Note que F (τ) vai a zero quando τ vai a infinito.Note que a principal diferenca do caso acima para o caso anteri-

ormente considerado da fase estacionaria (consideramos agora o casoparticular que corresponde na notacao anterior a f(x) = 1/(1 + x) eφ(x) = x), e que consideramos e−τx e nao e−iτx; no entanto as ideiasbasicas que funcionam num caso funcionam no outro.

Vamos mostrar que tal funcao F para valores grandes de τ podeser aproximada por uma serie de potencias que tem uma expressaobem simples:

∞∑

n=0

(−1)nn!

τn+1.

Observe que tal serie nao e convergente!!! A utilidade de consi-derar tal serie deriva do seguinte fato: F (2) e mal aproximado por∑∞n=0

(−1)nn!2n+1 , mas F (10) (neste caso τ = 10 pode ser considerado

grande) e aproximado com erro percentual de menos de 0, 0006 por∑3n=0

(−1)nn!10n+1 , ou seja os primeiros tres termos de

∑∞n=0

(−1)nn!10n+1 sao

tais que |∑3n=0

(−1)nn!10n+1 − F (10)| ≤ F (10)0, 0006.

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Desejamos enfatizar que estamos dizendo acima que F (τ) e apro-

ximado por∑∞n=0

(−1)nn!τn+1 apenas para valores grandes de τ !!!

A seguinte definicao para F tomando valores reais e analoga aanteriormente considerada para F tomando valores complexos.

Definicao 11.4. Dizemos que∑∞

0 gk(τ) converge assintoticamentea F (τ) ∈ R, quando τ vai a infinito, se fixados quaisquer r, s, existeM tal que para m fixo, m ≥M

|drF (τ)

drτ−

m∑

k=0

drgk(τ)

drτ|τs

e limitada quando τ → ∞.Neste caso dizemos que

F (τ) ∼∞∑

n=0

gn(τ).

Existe uma diferenca fundamental entre series convergentes∑∞n=0 anτ

n = G(τ) e series assintoticas, quando τ vai a infinito,∑∞n=0 anτ

n ∼ F (τ).

No primeiro caso, dado ǫ e τ , existe N tal que |∑Nn=0 anτ

n −G(τ)| < ǫ, enquanto no segundo caso, dado ǫ e N existe K > 0 tal

que |∑Nn=0 anτ

n−F (τ)| < ǫτ−N para τ > K. Note que o K dependede ǫ e N ; estamos considerando na aproximacao um erro percentualque leva em conta a grandeza do valor de τ utilizado.

Sendo assim, o que ocorre de fato no caso nas series assintoticas,e que para τ fixo a proximacao e boa para N pequeno, mas fica ruimpara N de ordem maior que τ .

No nosso caso gn(τ) = (−1)nn!τn+1 e afirmamos que

F (τ) ∼∞∑

n=0

(−1)nn!

τn+1,

Vamos elaborar um pouco sobre o sentido do ∼; mais exatamentevamos considerar a questao apenas para r = 0.

Ora,

1 − (−1)NxN

1 + x= 1 − x+ x2 − · · · + (−1)N−1xN−1,

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portanto, para todo x

1

1 + x=N−1∑

0

(−1)nxn +(−1)NxN

1 + x.

Usando a expansao acima na forma integral de F obtemos

F (τ) =

N−1∑

n=0

(−1)nn!

τn+1+ (−1)N

∫ ∞

0

e−τxxN

1 + xdx.

Note que a parte esquerda do somatorio acima coincide com os

primeiros N termos de∑∞n=0

(−1)nn!τn+1 , sendo assim o erro na aproxi-

macao de F por∑∞n=0

(−1)nn!τn+1 e

EN (τ) = (−1)N∫ ∞

0

e−τxxN

1 + xdx,

logo

|EN (τ)| =

∫ ∞

0

e−τxxN

1 + xdx <

∫ ∞

0

e−τxxN

1dx =

N !

τN+1,

Visto de outro modo

|F (τ) −N−1∑

n=0

(−1)nn!

τn+1|τN+1 ≤ N !

e N ! e uma constante.Sendo assim, na Definicao 11.4, dado s = N +1 devemos escolher

M = N . Note que para s = N + 1 fixado, a constante N ! e muitogrande (se N e grande) mas fixa.

Acreditamos que com o exemplo acima ficou claro o sentido daafirmacao

F (τ) ∼∞∑

n=0

(−1)nn!

τn+1,

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11.3 Fase nao degenerada

Voltamos agora a considerar o caso em que F toma valores com-plexos.

Vamos considerar agora o caso em que φ(x) possui varios pon-tos crıticos isolados p1, p2, .... Sejam Vi respectivamente vizinhancasdisjuntas dos pontos pi.

Considere Um colecao de abertos tal que ∪m,iUm ∪ Vi = R, talque pi nao esta em nenhum Um e ainda que a cobertura de R sejalocalmente finita.

Seja θm, ǫi uma particao da unidade subordinada a particao. Es-tamos usando a notacao que θm tem suporte em Um e ǫi tem suporteem Vi.

Sendo assim

F (τ) =∑

m

∫ ∞

−∞θm(x)f(x)eiτφ(x)dx+

∑

m

∫ ∞

−∞ǫm(x)f(x)eiτφ(x)dx.

Observamos que ambas as somas sao finitas e que basta pela Pro-posicao 11.2 examinar

∑

m

∫ ∞

−∞ǫm(x)f(x)eiτφ(x)dx.

ou seja, basta examinar individualmente

H(τ) =

∫ ∞


quando o suporte de f esta em um intervalo (−δ, δ) e 0 e ponto crıticoisolado de φ (podemos transladar o problema e colocar o ponto crıticono ponto 0).

No caso em que 0 e nao degenerado φ′(0) = 0, φ′′(0) 6= 0), existeuma mudanca de coordenadas local x = x(y) tal que φ(x(y)) = y2.Neste caso recaımos na Proposicao 11.3, pois

H(τ) =

∫ ∞

−∞f(x)eiτφ(x)dx =

∫ ∞

−∞f(x(y))eiτy

2

x′(y)dy

=

∫ ∞

−∞g(y)eiτy

2

dy.

(11.1)

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Vamos considerar com mais detalhe agora o caso em que todosos pontos crıticos de φ sao nao-degenerados. Neste caso, temos queescolher com mais cuidado os intervalos abertos Um, Vj .

E claro que φ(x)− φ(pj) = (x− pj))2ψj(x), onde ψj e analıtica e

ψj(pj) = 12φ

′′(pj). Seja µj = sgnφ′′(pj). Definimos a nova variavel

y = (x− pj)√

µjψj(x)

na vizinhanca de pj . Temos

dy

dx(pj) > 0.

Tomamos Vj = (pj − δj , pj + δj) tal que seja valida a mudanca devariavel neste intervalo. Depois escolhemos os Um tais que

Um ∩(

pj −δj2, pj +

δj2

)

seja vazio para todos m e j. Nestas condicoes:

∫ +∞

−∞ǫj(x)f(x)eiτφ(x)dx =

∫ pj+δj

pj−δj

ǫj(x)f(x)eiτφ(x)dx =

= eiτφ(pj)

∫ pj+δj

pj−δj

ǫj(x)f(x)eiτ(φ(x)−φ(pj))dx =

= eiτφ(pj)

∫ y(pj+δj)

y(pj−δj)

ǫj(x(y))f(x(y))eiµjτy2 dx

dydy =

= eiτφ(pj)

∫ +∞

−∞

⌊

ǫj(x(y))f(x(y))dx

dy

⌋

eiµjτy2

dy,

onde ǫj(x(y)) = 1 na vizinhanca de 0. Seja:

cjk =

d2k

[

f(x(y))dxdy

]

dy2k(0).

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Observamos que os cjk podem ser efetivamente calculados porqueas derivadas de x(y) calculam-se derivando sucessivamente a identi-dade y = (x− pj)

√

µjψj(x) respeito de y.

1o¯ caso) φ′′(pj) > 0. Neste caso, µj = 1. Pelo visto antes,

∫ +∞

−∞ǫj(x(y))f(x(y))

dx

dyeiτy

2

dy ∼ √πei

π4

+∞∑

k=0

(i

2

)kcjk

(2k)!!τ−k−

12 .

2o¯ caso) φ′′(pj) < 0. Neste caso, µj = −1. Observemos que:

∫ +∞

−∞g(y)e−iτy

2

dy =

∫ +∞

−∞g(y)eiτy2dy

para toda g ∈ C∞0 (IR). Entao,

∫ +∞

−∞ǫj(x(y))f(x(y))

dx

dye−iτy

2

dy ∼ √πe−i

π4

+∞∑

k=0

(

− i

2

)kcjk

(2k)!!τ−k−

12 .

Finalmente,∫ +∞

−∞f(x)eiτφ(x)dx ∼

∼ √π

+∞∑

k=0

(i

2

)k[

eiπ4

∑

φ′′(pj)>0

eiτφ(pj)cjk+(−1)ke−iπ4

∑

φ′′(pj)<0

eiτφ(pj)cjk

]

τ−k−12

(2k)!!.

Por definicao

cj0 = f(pj)dx

dy(0) = f(pj)

[dy

dx(pj)

]−1

=f(pj)

√

µjψj(pj)=

√2f(pj)

√

|φ′′(pj)|.

Logo, da anterior resulta:

∫ +∞

−∞f(x)eiτφ(x)dx =

=

[√

2π∑

φ′′(pj)>0

f(pj)ei(τφ(pj)+

π4)

√

|φ′′(pj)|+√

2π∑

φ′′(pj)<0

f(pj)ei(τφ(pj)−π

4)

√

|φ′′(pj)|

]

τ−12 +0(τ−1)

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para τ → +∞.Fica entao determinado o termo dominante de F (τ) como o termo

a esquerda da ultima linha (vai a zero como τ−12 ).

11.4 Aplicacao as integrais de Airy generalizadas

Seja

F (τ) =

∫ +∞

−∞eiτφ(x)dx

onde φ(x) e um polinomio, a coeficientes reais, do qual todos os pon-tos crıticos sao nao degenerados e cujo grau e n ≥ 2.

Lema 11.1. A integral precedente converge para todo τ ∈ IR, τ > 0e define uma funcao C∞ de τ em (0,+∞).

Seja I um intervalo que contem no seu interior todas as raızes deφ(x), φ′(x) e φ′′(x). Seja f ∈ C∞

0 (IR) tal que f(x) = 1 se x ∈ I. Sejag(x) = 1 − f(x).

Entao

∫ +∞

−∞eiτφ(x)dx =

∫ +∞

−∞f(x)eiτφ(x)dx+

∫ +∞

−∞g(x)eiτφ(x)dx.

Como f tem suporte compacto o Lema 11.1 segue imediatamentedo lema seguinte, que provaremos depois.

Lema 11.2.∫ +∞

−∞g(x)eiτφ(x)dx,

τ > 0, converge e define uma funcao C∞ de τ que tem decrescimentorapido para τ → +∞.

O Lema 11.2 nos diz tambem, que para ter o desenvolvimentoassintotico de F (τ) basta ter o de

∫ +∞

−∞f(x)eiτφ(x)dx.

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Mas este ultimo se calcula como antes, observando ainda que f = 1na vizinhanca de cada ponto crıtico de φ.

Vamos aplicar o anterior a funcao de Airy

Ai(t) =1

2π

∫ +∞

−∞cos

(1

3ω3 + tω

)

dω

e estudar seu comportamento para t→ ±∞.Consideremos primeiro para t→ −∞.Entao consideramos, para t→ +∞, a funcao:

G(t) = Ai(−t) =1

2π

∫ +∞

−∞cos

(1

3ω3 − tω

)

dω.

Mudando de variavel: t = τ23 obtemos

F (τ) = G(τ23 ) =

1

2π

∫ +∞

−∞cos

(1

3ω3 − τ

23ω

)

dω.

Mudemos agora a variavel de integracao: ω = τ13 (1 + x):

F (τ) =τ

13

2π

∫ +∞

−∞cos

[1

3τ(1 + x)3 − τ(1 + x)

]

dx

=τ

13

2π

∫ +∞

−∞cos

(1

3x3 + x2 − 2

3

)

τdx.

Logo,

F (τ) =τ

13

2πRe

∫ +∞

−∞eiτ

(

13x3+x2− 2

3

)

dx

e estamos no caso anterior com:

φ(x) =1

3x3 + x2 − 2

3.

Os pontos crıticos sao p1 = −2 e p2 = 0. Temos que:

φ(p1) =2

3, φ′′(p1) = −2, φ(p2) = −2

3, φ′′(p2) = 2.

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Obtemos:

F (τ) =τ

13

2πRe

[(√2πei

(

− 23τ+ π

4

)

√2

+√

2πei

(

23τ−π

4

)

√2

)

τ−12 + 0(τ−1)

]

= π− 12 τ−

16 cos

(2

3τ − π

4

)

+ 0(τ−23 )

Logo,

G(t) = π− 12 t−

14 cos

(2

3t

32 − π

4

)

+ 0(t−1)

resultado que melhora o de Olver pagina 103 mas que resulta tambemde Olver pagina 392.

O mesmo metodo aplicado a Ai(t) para t → +∞ mostra queAi(t) ∼ 0 para t→ +∞.

Prova do Lema 11.2. Vamos notar C∞k (IR) os espaco das funcoes

C∞f : IR→ IC tais que, para todo j = 0, 1, · · · , vale

djf

dxj= 0(|x|−k)

para x→ ±∞.Por exemplo, se f ∈ C∞(IR) e se existe K > 0 tal que

f(x) =p(x)

q(x)

se |x| ≥ |K|, onde p, q sao polinomios e (grau q-grau p) ≥ k, entaof ∈ C∞

k (IR).Alem disso, se f ∈ C∞

k ((IR) e p(x) e um polinomio de grau m ≤ kentao p(x)f(x) ∈ C∞

k−m((IR).

Afirmacao: Para cada k = 1, 2, 3, · · · existe h ∈ C∞k (IR) tal que

∫ +∞

−∞g(x)eiτφ(x)dx = µ(τ)

∫ +∞

−∞h(x)eiτφ(x)dx

(τ > 0) onde µ(τ) = cte.τ−r com r ≥ k.

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Com efeito,∫ +∞

−∞g(x)eiτφ(x)dx =

1

iτ

∫ +∞

−∞

g(x)

φ′(x)eiτφ(x)iτφ′(x)dx

(

g(x)

φ′(x)∈ C∞(IR)

porque g e nula sobre um aberto que contem os zeros de φ′

)

. Logo,

∫ +∞


1

iτ

[g(x)

φ′(x)eiτφ(x)

]+∞

−∞+i

τ

∫ +∞

−∞g1(x)e

iτφ(x)dx

onde

g1(x) =p(x)

q(x)

para |x| bastante grande, com p, q polinomios e grau q-grau p = n(lembremos que (g(x) = 1 para |x| bastante grande). Logo, comog(x) = 1 para |x| bastante grande e grau φ′ ≥ 1,

∫ +∞


i

τ

∫ +∞

−∞g1(x)e

iτφ(x)dx

onde g1(x) ∈ C∞n (IR). Iterando este procedimento, decorre a afirmacao.

Da afirmacao com k = 2, ja resulta que∫ +∞

−∞g(x)eiτφ(x)dx

e convergente e define G : (0;+∞) → IC.Seja dado m(= 0, 1, 2, ...). Tomamos k > mn+2. Pela afirmacao:

G(τ) = µ(τ)

∫ +∞

−∞h(x)eiτφ(x)dx

onde a integral converge absolutamente, junto com todas as suasderivadas respeito de τ ate a ordem m. Como µ(τ) = constante τ−r

com r ≥ k, decorre daı que G(τ) e derivavel ate a ordem m e

djG

djτ= 0(τ−k)

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223

para 0 ≤ j ≤ m. Como m e arbitrario, G ∈ C∞(0,+∞) e G ∼ 0.

11.5 Fase com Pontos de Caustica

O anterior da conta do caso em que os pontos crıticos sao naodegenerados.

Supondo, por outro lado, que o ponto crıtico seja degenerado(caustica), existe uma mudanca de coordenadas local tal que φ(x(y)) =ym, m ≥ 3.

Vamos portanto analisar o caso φ(x) = xm, m ≥ 3 (o caso φ(x) =−xm e obtido a partir deste por conjugacao).

Vamos assumir inicialmente, para simplificar, que f possa ser es-crito como f(x) = xkg(x), onde g e constante igual a 1 numa vizi-nhanca de 0.

Como φ(x) = xm,m ≥ 3, temos entao para cada k fixo que que

Fk(τ) =

∫ ∞

−∞xkg(x)eiτx

m

dx =

∫ ∞

−∞f(x)eiτx

m

dx

satisfaz

F ′k(τ) =

∫ ∞

−∞ixmf(x)eiτx

m

dx = 1/(mτ)

∫ ∞

−∞(xf(x)) (ixm−1mτeiτx

m

)dx.

Integrando por partes,

F ′k(τ) = −1/(mτ)

∫ ∞

−∞(xf(x))′ eiτx

m

dx =

−1/(mτ)

∫ ∞

−∞f(x)eiτx

m

dx− 1/(mτ)

∫ ∞

−∞xf ′(x) eiτx

m

dx =

−1/(mτ)Fk(τ) − 1/(mτ)

∫ ∞


m

dx.

Ou seja,

mτF ′k(τ) + Fk(τ) = −

∫ ∞


m

dx.

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Ora,

xf ′(x) = kxkg(x) + xk+1g′(x) = kf(x) + xk+1g′(x).

Como 0 nao esta no suporte de g′(x), a Proposicao 11.2 nos dizfinalmente que mτF ′

k(τ) + (k + 1)Fk(τ) e de decrescimento rapido.Como Fk esta ımplicito na ultima equacao, nao sabemos ainda

determinar o assintotico de Fk(τ) =∫∞−∞ xkg(x)eiτx

m

dx, onde g econstante igual a 1 numa vizinhanca de 0, mas sabemos que satisfazmτF ′

k(τ)+(k+1)Fk(τ) ∼ 0. Vamos a seguir determinar o assintoticode Fk(τ), mas antes precisamos uma definicao que vai contemplar apossibilidade de termos o conceito de uma serie nao convergente sersolucao de uma equacao diferencial (no sentido assintotico).

Definicao 11.5. Sejam p0(τ), p1(τ), .., pn(τ) polinomios. Dizemosque a funcao C∞, y(τ), e solucao da equacao diferencial assintoticalinear

pn(τ)dny(τ)

dτn+ ...+ p1(τ)

dy(τ)

dτ+ p0(τ)y(τ) ∼ 0,

sen∑

j=0

pj(τ)djy(τ)

dτ j

e de decrescimento rapido.

A partir da definicao acima note que as consideracoes feitas ante-riormente mostram que Fk(τ) e solucao de

mτdy(τ)

dτ+ (k + 1)y(τ) ∼ 0,

ou equivalentemente

mτdy(τ)

dτ+ (k + 1)y(τ) = b(τ)

onde b(τ) e de decrescimento rapido.Uma solucao particular da equacao acima e

y(τ) =−1

mτ−(k+1)/m

∫ ∞

τ

x(k+1−m)/mb(x)dx

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que e de decrescimento rapido.A solucao geral e cτ−(k+1)/m + y(τ).Decorre daı que existe constante ck tal que Fk(τ) e assintotica-

mente equivalente a

ckτ−(k+1)/m. (11.2)

Concluımos portanto a analise do assintotico de

Fk(τ) =

∫ ∞

−∞xkg(x)eiτx

m

dx

no caso em que g e constante igual a 1 numa vizinhanca de 0. O valordas constantes ck devem ser determinados em cada caso.

Vamos agora analisar o caso um pouco mais geral de f(x) =xkg(x) (sem hipoteses sobre g) com g qualquer em C∞

0 , mas paraisto precisamos antes da seguinte:

Proposicao 11.4. Dado g ∈ C∞0 e N ≥ 0 existe K ≥ 0 tal que

τNdj

dτ j

∫ ∞

−∞xkg(x)eiτx

m

dx = τNdj

dτ j

∫ ∞

−∞f(x)eiτx

m

dx

e limitada para τ → ∞ e para todo j se k ≥ K.

Demonstracao: Se k ≥ m, integrando por partes temos

∫ ∞

−∞xkg(x)eiτx

m

dx = 1/(miτ)

∫ ∞

−∞xk−m+1g(x)iτmxm−1eiτx

m

dx =

−1/(miτ)

∫ ∞

−∞(xk−m+1g(x))′eiτx

m

dx

e (xk−m+1g(x))′ = xk−mh(x) onde h(x) esta em C∞0 , o que permite

iterar o calculo. O resultado segue de derivar a expressao variasvezes.

O caso em que φ(x) e analıtica (nao so da forma xm) e obtidoa partir da proposicao 4 e atraves de mudanca de variavel como em(2) acima. Isto da conta do caso F (τ) =

∫∞−∞ xkg(x)eiτφ(x)dx com

g ∈ C∞0 .

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Vamos agora, finalmente, analisar o caso mais geral de um f(x)qualquer e φ(x) analıtica, isto e, o caso F (τ) =

∫∞−∞ f(x)eiτφ(x)dx

com f ∈ C∞0 .

Escreva

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ ak−1x

k−1 + xkg(x)

onde g ∈ C∞0 .

Podemos substituir na analise f(x) por f(x)h(x) onde h(x) temsuporte em uma pequena vizinhanca de 0 (usando uma particao daunidade) ou seja, basta analisar o assintotico de

F (τ) =

∫ ∞

−∞h(x)(a0+a1x+a2x

2+...+ak−1xk−1+xkg(x))eiτφ(x)dx =

∫ ∞

−∞(h(x)a0+h(x)a1x+h(x)a2x

2+...+h(x)ak−1xk−1+xkh(x)g(x))eiτφ(x)dx.

Para o assintotico dos primeiros termos usamos (3) e para o termo

∫ ∞

−∞xkh(x)g(x)eiτφ(x)dx

usamos a Proposicao 11.4.Resulta portanto que para F (τ) =

∫∞−∞ f(x)eiτφ(x)dx com f ∈

C∞0 . existe desenvolvimento assintotico da forma

F (τ) =

∞∑

k=0

ckτ−(k+1)/m.

O primeiro valor ck nao nulo do desenvolvimento acima, carac-teriza o termo principal de decaimento de F (τ) quanto τ → ∞, ouseja ckτ

−(k+1)/m e o termo principal do ponto de vista assintotico.O valor de tal k e denominado de expoente inicial ou invariante deMalgrange. Referimos o leitor para [8] onde sao apresentadas consi-deracoes gerais sobre tal invariante.

O texto acima ilustra de maneira breve a fundamentacao matema-tica da teoria das series de potencias nao convergentes e sua relacaocom as integrais oscilantes e otica.

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Capıtulo 12

Apendice - Aplicacao de

Primeiro Retorno para


Ordinarias

Considere uma equacao diferencial ordinaria x′ = f(x) definida parax num aberto A em que f e de classe C1. Vamos supor que as solucoesx(t) estao sempre definidas para todo t real. Por definicao, para t fixo,φt(x) = y quando a solucao x(t) de x′(t) = f(x(t)), x(0) = x e talque x(t) = y.

Podemos considerar entao o fluxo φt : A → A, para todo t real.φt e um difeomorfismo de A em A.

Recomendamos o leitor a [DL] e [So] para resultados gerais sobreequacoes diferenciais ordinarias e sistemas Hamiltonianos.

Uma solucao x(t) de x′ = f(x) e dita periodica se existe t > 0 talque x(t) = x(0), ou seja φt(x) = x. Fica assim determinada a orbitaperiodica γ = φs(x)|s ∈ [0, t).

Uma secao local de x, e um conjunto V obtido pela intersecao deum hiperplano de dimensao n − 1 V ⊂ R

n (um espaco afim n − 1

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228 [CAP. 12: APENDICE: APLICACAO DE PRIMEIRO RETORNO

Figura 12.1:

dimensional) passando por x, com uma vizinhanca U ⊂ Rn de x(V = H ∩ U), tal que f(y) 6∈ H (colocando a origem do vetor noponto y, conforme figuras 12 e 13), ∀y ∈ V = H ∩ U .

Observacao 12.1. Se V secao local em x, entao os vetores f(y) 6= 0para todo y em V .

Seja γ uma orbita periodica de perıodo t0 e V = H ∩ U secaolocal passando por x ∈ γ. Podemos definir a aplicacao T de V emH, que associa v ∈ V a y = T (v) tal que y e o menor valor t > 0,tal que φt(v) ∈ H. Note que T (x) = x = φt0(x). Logo como φt(x) econtınuo em t e em x entao T esta bem definido para V secao localpequena passando por x (ver Figuras 29 e 30).

Se T (x) = x dizemos que x e ponto fixo de T .

A aplicacao T e denominada de aplicacao de primeiro retorno dasecao local V . A aplicacao de primeiro retorno permite analisar ocomportamento das orbitas vizinhas de γ.

Note que os tempos de primeiro retorno de pontos em x(t) (de-finido γ) e de outras solucoes y(t) proximas (comecando na secao

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Figura 12.2:

V ) nao sao os mesmos (apenas aproximadamente os mesmos pelacontinuidade do fluxo)

De fato, por exemplo se T (v) = v para todo v ∈ V , concluımosque todas as orbitas de x

′

= f(x) que passam por V sao periodica.

Vamos supor definida uma aplicacao diferenciavel z(u) = v defi-nida num aberto u ∈ V ⊂ R

n−1 bijetiva sobre v ∈ V ⊂ Rn. Assim,

podemos expressar T nas novas coordenadas u como T : V → Vcomo T (u) = z−1 (T (z(u)) ). Podemos supor sem perda de generali-dade que z(0) = x. Quando falarmos da acao de T em V , estaremosna verdade falando da acao de T em V e quando falarmos em xestaremos nos reportando ao u = 0.

Nas Figuras 12.1 e 12.2 mostramos um exemplo em que o campode vetores esta definido no plano e portanto H tem dimensao 1.

A razao para tudo isto e que podemos falar agora na derivadaDT (v) da funcao T . Para sermos absolutamente precisos deverıamos

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Figura 12.3:

falar da derivada DT (u) de Rn−1 mas modulo a identificacao acimanao vamos mais a partir de agora destacar tal diferenca.

Na Figura 12.4 as orbitas em torno de γ tem uma tendencia a seafastarem de γ.

Note na Figura 12.3 que as orbitas em torno de γ tem umatendencia a se aproximarem de γ.

Por sua vez, na Figura 12.5 as orbitas em torno de γ tem umatendencia a se afastarem de γ por uma lado e a se aproximarem deγ por outro lado.

Este comportamento e capturado pela aplicacao de primeiro re-torno T . A Figura 12.6 ilustra a aplicacao de primeiro das equacoesdiferenciais que tem como espaco de fase respectivamente as Figuras12.3, 12.4 e 12.5.

Note a posicao do grafico de T em relacao a diagonal ∆ na Figura12.6.

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Figura 12.4:

O ponto fundamental e que nao pode ocorrer o que aparece naFigura 12.7, pois os vetores f(x) sempre apontam para o mesmo lado(ver Figura 12.8).

Definicao 12.1. Se a derivada DT (x) da aplicacao de primeiro re-torno T (associada ao ponto fixo x) definida na secao local V daorbita γ tiver todas as raızes do polinomio caracterıstico com modulomenor que 1, entao a trajetoria γ e chamada de orbita periodica atra-tora.

Teorema 12.1. Se x e tal que a derivada DT (x) da aplicacao deprimeiro retorno T (associada ao ponto fixo x) definida na secaolocal V da orbita γ tiver todas as raızes do polinomio caracterısticocom modulo menor que 1, entao a iteracao Tn(v) = xn de um pontov ∈ H converge ao ponto fixo x quando n vai a infinito.

Demonstracao: Como o fluxo e de classe C1 (pois o campo e declasse C1) pode-se mostrar que a matriz derivada DT (v) varia conti-nuamente com v ∈ V . Desta maneira, para uma vizinhanca pequenaB de V , |DT (v)| < c < 1 para todo v ∈ B. Logo pela desigualdadedo valor medio (ver [Li1]) |T (x)−T (v)| < c|x−v| (T e uma contracao

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Figura 12.5:

Figura 12.6:

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Figura 12.7: A figura descrita acima nao pode ocorrer de Γ e umasecao transversal

quando definida numa pequena vizinhancaM de x conforme definicaoque aparece no Capıtulo 3). Sendo assim, como Tn(x) = x, porinducao |x− Tn(v)| < cn|x− v| e concluımos que Tn(v) → x quandon→ ∞.

No caso f bidimensional e portanto T unidimensional a condicaoacima significa apenas que |T ′

(x)| < 1. Neste caso, as orbitas dassolucoes da equacao diferencial que cortam V se aproximam de γconforme o teorema acima.

O papel dos autovalores da matriz DT da aplicacao de primeiroretorno T (associada a uma orbita periodica) serem em modulo menorque 1 desempenha um papel analogo ao dos autovalores da derivadaDF do campo de vetores F no caso de pontos de equilıbrio.

Se todos autovalores de DT tem modulo menor que 1 entao pode-mos dizer que γ se comporta assim como uma especie de “poco” (emanalogia com pontos de equilıbrio tipo poco) atraindo as trajetorias(com tempo crescente) com condicoes iniciais em um aberto proximo

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de si. Tal γ e um exemplo do que se chama um atrator periodico emequacoes diferenciais.

Definicao 12.2. Se a derivada DT (x) de T em x (ponto fixo deT ) tiver todas raızes do polinomio caracterıstico maiores que 1, atrajetoria γ e chamada de orbita periodica repulsora.

No caso unidimensional a condicao acima significa apenas que|T ′

(x)| > 1.Nesse caso, as orbitas das solucoes da equacao diferencial que

cortam V se afastam de γ. Podemos dizer que γ se comporta comouma especie de ”fonte”(em analogia com pontos de equilıbrio tipofonte) repelindo (com o tempo crescente) as trajetorias com condicoesiniciais proximas de si. Tal γ e um exemplo do que se chama umrepulsor em equacoes diferenciais.

O papel da secao local e basicamente discretizar o tempo. Adinamica de φt(x) em torno de γ pode ser analisada pela dinamicade Tn(v) na secao local.

Note por exemplo que apenas partir do grafico T do ultimo casoda 12.5 podemos deduzir que neste caso as trajetorias das solucoesperto de γ se aproximam por um lado e se afastam pelo outro. Tudoisto segue apenas da analise da secao local e da aplicacao de primeiroretorno. Note que neste caso T ′(x) = 1.

Se o fluxo preserva area entao nao pode ocorrer nem 12.4 nem12.3.

Outra maneira de discretizar o tempo e considerar φ1(y) = F (y).F como vimos e um difeomorfismo e podemos obter varias proprie-dades de φt(x) atraves dos iterados Fn(x) = φn1 (x) = φn(x).

Este ponto de vista de analisar a dinamica de uma equacao dife-rencial atraves de uma secao local T ou de um difeomorfismo F , temproduzido uma serie de resultados importantes na Teoria dos SistemaDinamicos. O tempo torna-se uma variavel discreta e nao contınua.

A hipotese de os autovalores da aplicacao de primeiro retorno Tem x terem todos modulo menor que 1 desempenha no caso de orbitasperiodicas uma papel analogo a hipotese de todos os autovalores deDf(x0) terem parte real negativa quando x0 e de equilıbrio.

Antes de prosseguirmos desejamos enfatizar que numa secao trans-versal Γ local os vetores f(v) (com v ∈ Γ) apontam todos semprepara um mesmo lado. Sendo assim as trajetorias solucoes x(t) da

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Figura 12.8:

equacao diferencial x′ = f(x) que batem na secao Γ entram semprepelo mesmo lado e saem pelo outro. Mais exatamente, “nao” podeocorrer algo do tipo descrito pela Figura 35.

A Figura 12.13 descreve o que deve ocorrer em duas batidas sub-sequentes numa secao transversal T da trajetoria x(t) solucao daequacao diferencial.

Podemos considerar a partir de um Hamiltoniano H(p, q) definidoem R

2n tomando valores reais a equacao de Hamilton (Definicao 3,Capıtulo 3 [L]). Obtemos assim uma EDO em R

2n. Os conceitosdescritos acima podem ser aplicados neste caso.

Vamos agora descrever brevemente como pode ser rico o compor-tamento dinamico das trajetorias do fluxo de uma equacao diferencialautonoma em torno de uma orbita periodica. Referimos o leitor para[DL], [PM] e [R] para demonstracao dos resultados que vamos consi-derar a seguir. Nosso objetivo nesta secao e tao somente ilustrar comfiguras alguns dos comportamentos que caracterizam tais sistemasem R

3.

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Considere uma secao transversal P passando por z0 = z(t0) per-tencente a uma trajetoria periodica z(t) ∈ Rn de uma equacao di-ferencial de primeira ordem x′ = G(x) (neste caso o vetor tangentez

′

(t0) nao esta em P ). Na Figura 12.9 mostramos a aplicacao T in-duzida por P de primeiro retorno no caso do R

3. Esta transformacaoT : P → P de primeiro retorno esta definida localmente em umavizinhanca V em torno de z0, de tal jeito que para y ∈ V ⊂ P ,T (y) = x(t1) ∈ P , onde t1 e o valor do tempo na primeira vez que atrajetoria x(t) (solucao de x

′

= G(x) tal que x(0) = y) retorna a P .O plano P e chamado de secao transversal em z(t0).

Figura 12.9:

Vamos considerar a seguir especificamente o caso tridimensional,ou seja a aplicacao T de primeiro retorno para z(t), orbita periodicapara x

′

= G(x), G : R3 → R3, como mostra a Figura 12.9 ou 12.10.

O comportamento das trajetorias em torno da orbita periodicapode ser analisado atraves da aplicacao T definida em uma vizinhancade z0 = z(t0) em P , onde neste caso P e um plano bidimensional.Note que T e um difeomorfismo local em torno de z0 = z(t0) ∈ P .

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Note tambem que z0 e ponto fixo para T , isto e, T (z0) = z0.

Definicao 12.3. Dizemos que a orbita periodica z(t) ∈ R3 e hiper-bolica, se DT (z0) tem todos autovalores reais (no caso sao dois) commodulo diferente de 1. O ponto z0 sera dito ponto fixo hiperbolicopara a aplicacao T de primeiro retorno.

Definicao 12.4. Dizemos que a orbita periodica z(t) ∈ R3 e elıptica,se DT (z0) tem os autovalores (no caso sao dois) com modulo iguala 1. O ponto z0 sera dito ponto fixo elıptico para a aplicacao T deprimeiro retorno.

Os dois casos acima descrevem situacoes excludentes e que cobremtodas as possibilidades (note que se os dois autovalores sao igual a 1,dizemos que o ponto e elıptico)

Figura 12.10:

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Figura 12.11:

Definicao 12.5. O conjunto estavel de z0, ponto fixo hiperbolico paraT de primeiro retorno a P , e o conjunto dos pontos y ∈ P tal que

limn→∞

Tn(y) = z0.

Este conjunto e denotado por γe(z0).

Definicao 12.6. O conjunto instavel de z0, ponto fixo hiperbolicopara T de primeiro retorno a P , e o conjunto dos pontos y ∈ P talque

limn→−∞

Tn(y) = z0.

Este conjunto e denotado por γi(z0).

Na Figura 12.9 mostramos a posicao dos dois conjuntos em tornodo ponto hiperbolico z0. E possıvel mostrar para z0 hiperbolico quequando a matriz DT (z0) possui um autovalor real maior que 1 outro

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real menor que 1 (ver [PM], [Ro2]) entao os conjuntos γi(z0) e γe(z0)sao realmente curvas passando por z0 e a dinamica em torno desteponto e descrita pela Figura 12.9. Mais exatamente, as condicoesiniciais y ∈ γe(z0) convergem a z0 atraves da evolucao temporalTn, n > 0 e as condicoes iniciais y ∈ γi(z0) convergem a z0 paraa evolucao temporal com tempo negativo Tn(y), n < 0.

Figura 12.12:

Se z0 e tal que a matriz DT (z0) possui os dois autovalores commodulo menor que 1 (ver [PM], [Ro2]), entao a dinamica em torno

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deste ponto z0 e descrita por um atrator (ver [DL]). Mais exatamente,as iteracoes Tn(z) para z condicao inicial convergem a z0.

Este fenomeno nao ocorre num sistema Hamiltoniano autonomopois o fluxo preserva volume 2n dimensional (Capıtulo 3 [L]).

Figura 12.13:

E tambem possıvel mostrar para z0 hiperbolico que quando a ma-triz DT (z0) possui os dois autovalores modulo maior que 1 (ver [PM],[Ro2]), entao a dinamica em torno deste ponto z0 e descrita por umrepulsor (ver [DL]). Mais exatamente, as iteracoes T−n(z), n > 0 de zcondicao inicial convergem a z0. As iteracoes positivas Tn(z0), n > 0,saem de qualquer vizinhanca de z0 para n suficientemente grande.

Pontos y fora de γe(z0) e fora de γi(z0) possuem a propriedadeque Tn(y), para algum n positivo e para algum n negativo, vao sair

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fora da vizinhanca V em trono de z0 onde T pode ser definida.

Observacao 12.2. E possıvel mostrar que a Figura 12.9 ilustra tam-bem localmente o espaco de fase das iteracoes de K(x) = dT (z0)(x)(onde dT (z0) = DT (z0) e a matriz derivada de T ) em torno do pontofixo K(0) = 0 no caso hiperbolico. Mais precisamente, Kn(y) para di-ferentes y (condicoes iniciais em uma vizinhanca de 0 ∈ R2) tambemtem uma evolucao temporal semelhante a Figura 12.9, que e a figurada evolucao temporal em torno de z0 ∈ P do sistema nao linearizadoT (x) : P → P .

Em resumo, localmente em torno de um ponto hiperbolico z0, adinamica de T e de seu linerizado dT sao semelhantes (ver [PM] e[Ro2] para demonstracao).

Na Figura 12.14 mostramos uma orbita periodica em R3 em que

aparece o fenomeno da ferradura. Isto segue do fato da varieda-de estavel e variadade instavel de um ponto x0 se interceptarem.Mostramos na Figura 12.15 como se comporta a transformacao dePoincare T na secao transversal. Neste caso e possıvel mostrar queocorrem infinitas orbitas periodicas para o campo de vetores. Maisprecisamente se mostra que existem infinitos pontos periodicos paraT de perıodos arbitrariamente grandes (ver [Ro2]).

Este fenomeno descoberto por H. Poincare no problema dos trescorpos teve grande impacto na Mecanica Classica e na moderna Te-oria dos Sistemas Dinamicos. Ele ilustra a grande complexidadedinamica que ocorre nesta situacao (ver[Ro2] para mais detalhes).

Nas Figuras 12.10, 12.11 e 12.12 mostramos um exemplo do quepode acontecer em alguns casos para a evolucao temporal de pon-tos elıpticos. Cada ponto inicial y tem a tendencia de rodar emtorno de z0 ao longo de sua evolucao temporal Tn(y), n > 0. Nestecaso, o comportamento de T e aproximadamente o comportamentoda evolucao temporal de Kn(x), n > 0, onde K e a derivada de T emz0, K = dT (z0) da transformacao de primeiro retorno T da orbitaelıptica z(t).

Observacao 12.3. E importante destacar que, diferentemente docaso hiperbolico (ver Observacao 12.1 e Figura 8.3), nem sempre aevolucao temporal em torno de um ponto fixo elıptico vai seguir aevolucao temporal Kn(x) da derivada K = dT (z0), sugerida pela

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Figura 12.14:

Figura 12.12. Fenomenos extremamente complexos podem suceder nocaso de uma orbita elıptica e estes exemplos sao descritos na assimchamada teoria KAM (ver [HK]).

A Figura 12.9 descreve o que acontece com as trajetorias do fluxoφt do campo de vetores x

′

= G(x) em torno de uma orbita periodicahiperbolica z(t).

A Figura 12.12, mostra o que aconteceria se a orbita periodicaelıptica fosse tal que a T de primeiro retorno tivesse em torno de z0um comportamento descrito pela Figura 3.3. Neste caso haveria umcontınuo de toros envolvendo z(t), cada toro sendo invariante pelofluxo (fenomeno KAM). O fenomeno de destruicao de toros invari-

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Figura 12.15:

antes por perturbacoes e de fundamental importancia em SistemasDinamicos [HK].

Definicao 12.7. Seja um difeomorfismo T : A→ A, entao um pontox tal que exista n > 0 satisfazendo Tn(x) = x e dito ponto periodico.O menor de tais possıveis valores n > 0 e chamado de perıodo de x.

Um ponto fixo e um caso particular de ponto periodico.Na Figura 12.13 mostramos a trajetoria periodica x(t) (ver Defini-

cao 22) de um campo de vetores G e mostramos tambem como podeaparecer de maneira natural um ponto periodico x (ver Definicao12.7) proximo ao ponto fixo para a aplicacao de primeiro retorno T(no caso um ponto de perıodo 2) associada a uma orbita periodicaz(t) do campo de vetores G.

Se x e periodico para T , entao

T j(x), j ∈ N = x, T (x), T 2(x), ..., Tn−1(x).

Note que se x e periodico para T com perıodo n, entao

x, T (x), T 2(x), .., Tn−1(x)

tambem sao pontos periodicos para T e tem perıodo n.O conjunto x, T (x), T 2(x), .., Tn1(x) e chamado de orbita do

ponto periodico x por T

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Definicao 12.8. Um ponto periodico x do difeomorfismo F comperıodo n e dito hiperbolico, se x e ponto fixo hiperbolico para T = Fn.

E facil ver que se x e periodico hiperbolico, cada ponto pertencentea sua orbita tambem e hiperbolico.

Definicao 12.9. O conjunto estavel (respectivamente instavel) γe(x)(respectivamente γi(x)) de um ponto periodico hiperbolico x e a uniaodos conjuntos estaveis (respectivamente instaveis) de sua orbita.

Definicao 12.10. Um ponto periodico x do difeomorfismo F comperıodo n e dito elıptico, se x e ponto fixo elıptico para T = Fn.

Um fluxo que preserva area no plano tem propriedades especiais.Fixada uma secao transversal H a aplicacao de primeiro retorno deveser a identidade; nao pode ocorrer o que e descrito pela Figura 12.3e 12.4. Isto porque a area da regiao A seria maior do que a area daregiao B e o fluxo φt (para t o tempo de primeiro retorno da trajetoriax(t)) levaria A em φt(A) = B (aproximadamente). Note que os tem-pos de retorno de pontos em x(t) e de outras solucoes y(t) proximas(comecando na secao) nao sao os mesmos (apenas aproximadamenteos mesmos pela continuidade do fluxo).

Definicao 12.11. Uma secao H transversal ao fluxo (definido poruma equacao diferencial x′ = f(x)) e dita global quando para qualquerponto x no espaco A onde esta definida a equacao diferencial valeque existe t > 0 e s < 0 tal que φt(x) ∈ H e φs(x) ∈ H, onde φ e ofluxo. Neste caso a ”toda”a dinamica do fluxo da equacao diferencialx′ = f(x) pode ser capturada pela aplicacao de primeiro retorno Tdefinida em H.

Nosso objetivo acima foi apenas descrever de maneira sumariao que acontece em torno das orbitas periodicas z(t) de um sistemamecanico. Como vimos, este comportamento depende fundamental-mente da aplicacao de primeiro retorno T induzida em uma secaotransversal P passando por z0.

O estudo da iteracao de difeomorfismos e extremamente impor-tante na Teoria dos Sistemas Dinamicos e sua analise permite o enten-dimento da aplicacao T de primeiro retorno a uma secao transversal.Esta Teoria permite tambem analisar a dinamica de F = φt0 , t0 fixo,onde φt e o fluxo associado a um campo de vetores.

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A partir do que foi discutido acima, o leitor pode assim percebera extrema complexidade que pode suceder na evolucao temporal dascondicoes iniciais y em torno de uma orbita periodica de uma equacaodiferencial, em especial dos sistemas Hamiltonianos.

Nao foi possıvel apresentar provas dos resultados acima descritos,pois isto implicaria em ter que escrever nesta secao um livro com-pleto de Sistemas Dinamicos. Nosso objetivo foi apenas apresentaralgumas ideias centrais que aparecem na pesquisa atual envolvendo oentendimento da dinamica global de Sistemas Mecanicos. Referimoso leitor para [DL], [So], [PM], [R], [M], [CL], [S] e [HS] para referenciassobre varios aspectos da Teoria dos Sistemas Dinamicos.

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Tópicos de Mecânica Clássica - IMPA · “mec˙New” 2011/10/11 page 1 Prefácio O presente livro é uma sequência natural do material apresentado no texto [Lo] do mesmo autor