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Índice 1. Objetivo...................................................... ................................................pág.2 2. Introdução.................................................... ..............................................pág.2 3. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos 3.1. Introdução.................................................... .......................................pág.2 3.2. Aplicações.................................................... .......................................pág.3 3.3. Nomenclaturas e conceitos básicos....................................................pág .4 3.4. Engrenagens conjugadas e interferência............................................pág.8 3.5. Análise de forças em dentes de engrenagens....................................pág.11 3.6. Análise e tensões em dentes de engrenagens...................................pág.12 3.7. Análise das tensões de flexão no pé do dente...................................pág.14 3.8. Análise das tensões devidas ao contato entre os dentes...................pág.16 4. Engrenagens Cilíndricas Helicoidais 4.1. Introdução.................................................... .......................................pág.19 4.2. Análise de Forças em Engrenagens Helicoidais................................pág.21 4.3. Tensões e Resistência em Engrenagens Helicoidais.........................pág.23 Elementos de Máquina – Engrenagens Cilíndricas Página 1

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Índice

1. Objetivo......................................................................................................pág.2

2. Introdução..................................................................................................pág.2

3. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos3.1. Introdução...........................................................................................pág.23.2. Aplicações...........................................................................................pág.33.3. Nomenclaturas e conceitos básicos....................................................pág.43.4. Engrenagens conjugadas e interferência............................................pág.83.5. Análise de forças em dentes de engrenagens....................................pág.113.6. Análise e tensões em dentes de engrenagens...................................pág.123.7. Análise das tensões de flexão no pé do dente...................................pág.143.8. Análise das tensões devidas ao contato entre os dentes...................pág.16

4. Engrenagens Cilíndricas Helicoidais4.1. Introdução...........................................................................................pág.194.2. Análise de Forças em Engrenagens Helicoidais................................pág.214.3. Tensões e Resistência em Engrenagens Helicoidais.........................pág.234.4. Tensões e Resistência na Raiz do Dente...........................................pág.234.5. Tensões e Resistência no Contato entre os Dentes...........................pág.254.6. Considerações Finais..........................................................................pág.26

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1. Objetivo

Este documento tem como objetivo apresentar uma visão detalhada sobre engrenagens cilíndricas de dentes retos e dentes helicoidais, suas aplicações, especificações, normas, nomenclaturas e representações.

Serão explicadas também as relações das dimensões das engrenagens com as velocidades e torques requeridos no projeto, uma análise de tensões e de fadiga nos dentes das engrenagens, forças transmitidas no engrenamento e assuntos extras como materiais utilizados, métodos de fabricação e de lubrificação.

2. Introdução

Engrenagens são elementos rígidos utilizados na transmissão de elementos rotativos entre eixos. Consistem de dois cilindros (chamados “blanks”) nos quais são fabricados os dentes. A transmissão se dá através do contato entre os dentes. Como são elementos rígidos, a transmissão deve atender a algumas características sendo que a principal é a de que não haja qualquer diferença de velocidades entre pontos em contato durante a transmissão do movimento. Eventuais diferenças causariam perda de contato ou travamento.

3. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos

3.1. Introdução

A engrenagem cilíndrica de dentes retos é o tipo mais comum de engrenagem. Possuem os dentes paralelos ao eixo de rotação da engrenagem.

Fig. 1 - Engrenagens cilíndricas de dentes retos

Uma transmissão por engrenagens é composta de dois elementos ou mais. Quando duas engrenagens estão em contato, chamamos de pinhão a engrenagem menor e de coroa a engrenagem maior. Esta denominação não tem relação com o fato de uma delas ser a motora e a outra ser a movida, e sim por conta de suas dimensões.

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A expressão “transmite potência” significa que um dos elementos executa trabalho sobre o outro, em uma determinada taxa. Aparentemente, toda a potência é transmitida, mas na verdade parte dela é perdida com o deslizamento entre os dentes. Na maioria das aplicações de engenharia com transmissão por engrenagens, na verdade não se quer transmitir potência e sim torque, ou seja, a capacidade de realizar um esforço na saída da transmissão.

3.2. Aplicações

Engrenagens cilíndricas de dentes retos podem ser utilizadas em inúmeras aplicações na engenharia. A aplicação mais comum é entre motores, que trabalham em velocidades elevadas, e as cargas, que normalmente não precisam da velocidade angular suprida pelos motores. Motores elétricos normalmente trabalham em velocidades que vão de 870 a 3600 rpm; motores a combustão têm sua faixa ótima de trabalho entre 2000 e 4500 rpm. Como exemplo, uma roda normal de um veículo (0,5 m) trabalha a cerca de 1000 rpm quando a velocidade é de 100 km/h. Um redutor, desprezadas as perdas no engrenamento, é capaz de prover à carga um torque tantas vezes maior que o do motor quanto for a relação de redução, e isso é extremamente vantajoso.

Fig. 2 - Utilização de engrenagens cilíndricas de dentes retos na redução do motor elétrico de um torno mecânico.

Outra aplicação das engrenagens cilíndricas retas é a utilização delas junto a uma cremalheira, onde conseguimos através desse sistema transformar movimento de rotação em translação.

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Fig. 3 - Sistema Pinhão-cremalheira

3.3. Nomenclaturas e conceitos básicos

A figura 4 mostra um par de dentes de uma engrenagem e as principais designações utilizadas em sua especificação e seu dimensionamento.

Fig. 4 - Nomenclatura – Engrenagens Cilíndricas Retas

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Pelo desenho vamos ter os seguintes termos:

Circunferência Primitiva – É uma circunferência teórica sobre a qual todos os cálculos são realizados. As circunferências primitivas de duas engrenagens acopladas são tangentes. O diâmetro dessa circunferência é chamado de diâmetro primitivo d i.

Passo frontal (p) – É a distância entre dois pontos homólogos medida ao longo da circunferência primitiva.

Módulo (m) – É a relação entre o diâmetro primitivo e o numero de dentes de uma engrenagem. O módulo é à base do dimensionamento de engrenagens no sistema internacional. Duas engrenagens acopladas possuem o mesmo módulo.

Fig. 5 - Relação entre o módulo (m) e o tamanho do dente

Passo diametral ou “diametral pitch” (P) – É a grandeza correspondente ao módulo no sistema inglês. É o numero de dentes por polegada.

Altura da cabeça do dente (a) – É a distância radial entre a circunferência primitiva e a circunferência da cabeça.

Largura do dentado (b). Altura do pé ou profundidade (d) – É a distância radial entre a circunferência

primitiva e a circunferência do pé. Altura total do dente (ht) – É a soma da altura do pé com a altura da cabeça, ou

seja, ht=a+d. Circunferência de base - É a circunferência em torno da qual são gerados os

dentes. Ângulo de pressão ou de ação (φ) – É o ângulo que define a direção da força que

a engrenagem motora exerce sobre a engrenagem movida.

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Fig. 6 – Mostra que o pinhão exerce uma força na coroa, formando um ângulo φ com a tangente comum as circunferências primitivas tracejadas.

Equações básicas:

m=d i

Z i

[1]

onde Zi é o número de dentes da engrenagem i.

p=π d i

Z i

=πm [2]

P=Zi

d i

=25 ,4m

[3]

O diâmetro da circunferência de base (db) é calculado por:

db=d cosφ [4]

Um par de engrenagens onde o pinhão gira com rotação de np rpm e a coroa com rotação

de nc rpm apresenta a seguinte relação cinemática:

np

nc

=Zc

Z p

=d i

d p

[5]

Engrenagens que se acoplam devem ter o mesmo módulo (ou “diametral pitch”) a fim de que os espaços entre os dentes sejam compatíveis. É fácil notar que, se as engrenagens não tiverem o mesmo passo circular, o primeiro dente entra em contato, mas o segundo já não mais se acoplará ao dente correspondente. Como o passo, por definição,

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é diretamente proporcional ao módulo, as engrenagens devem ter módulos iguais. O módulo pode ser entendido como uma medida indireta do tamanho do dente.

Os módulos são normalizados para permitir o maior intercâmbio de ferramentas de fabricação. Isso não significa que os módulos tenham que ser os recomendados, mas é mais fácil encontrar ferramentas para confeccionar engrenagens com os seguintes módulos padronizados (mm):

0,2 ≤ m ≤ 1,0 variação de 0,1 mm 16,0 ≤ m ≤ 24,0 variação de 2,0 mm1,0 ≤ m ≤ 4,0 variação de 0,25 mm 24,0 ≤ m ≤ 45,0 variação de 3,0 mm4,0 ≤ m ≤ 7,0 variação de 0,5 mm 45,0 ≤ m ≤ 75,0 variação de 5,0 mm7,0 ≤ m ≤ 16,0 variação de 1,0 mm

Módulos mais usados: 1 – 1,25 – 1,5 – 2 – 2,5 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 10 – 12 – 16 – 20 – 25 – 32 – 40 – 50 mm.Segunda escolha: 1,125 – 1,375 – 1,75 – 2,25 – 2,75 – 3,5 – 4,5 – 5,5 – 7 – 9 – 11 – 14 – 18 – 22 – 28 – 36 – 45 mm.

As dimensões ae d, mostradas na figura 4, também têm valores recomendados.Para a altura da circunferência de cabeça é recomendado utilizar a=m. Para a profundidade da circunferência de pá é recomendado utilizar d=1,25m .

O diâmetro da circunferência de base é obtido através do ângulo de pressão φ que pode assumir valores de 20º, 22,5º e 25º. O primeiro valor é utilizado na grande maioria das vezes, a ponto de já ser considerado um valor padrão. O ângulo de 25º ainda é utilizado em engrenagens fabricadas na América do Norte.

Sistema Ângulo de pressão (º) Altura da cabeça do dente

Altura do pé do dente

Normal 20 1.m 1,25.m

22,5 1.m 1,25.m

25 1.m 1,25.m

Rebaixado 20 0,8.m 1.m

Tabela de padrões de dentes – m = módulo

A recomendação para a largura do dentado b é que seja no mínimo 9 vezes o módulo e no máximo 14 vezes. Para o raio de concordância no pé do dente a recomendação é que seja de um terço do módulo.

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3.4. Engrenagens conjugadas e interferência

Tanto o pinhão como a coroa devem trabalhar de forma que a velocidade tangencial no circulo primitivo seja a mesma, sob pena de violar a hipótese de que os elementos são rígidos.

Assim, uma transmissão por engrenagens pode ser imaginada como que formada por dois cilindros em contato sem deslizamento, com diâmetros iguais aos dos círculos

primitivos das engrenagens. A figura 7 abaixo mostra essa idealização. Nela, w p é a

velocidade angular do pinhão e w c é a velocidade angular da coroa.

Fig. 8 – Idealização da transmissão como cilindros em contato

Como a transmissão é feita pelo contato entre os dentes, é necessário definir um perfil para os dentes que permita que a relação entre as velocidades angulares (R) seja constante durante o funcionamento. A relação de velocidades pode ser dada pela equação:

R=wp

w c

=dc

d p

[6 ]

Essa relação é o inverso da relação entre os diâmetros, ou seja, a coroa sempre trabalha com menor rotação.

Diversos perfis atendem a restrição de que a relação entre as velocidades angulares seja constante. No entanto, apenas um deles tem aplicação universal e é relevante para o nosso estudo, que é o chamado perfil envolvental. Quando os perfis de dente são projetados para produzir um razão de velocidade angular constante durante o engrenamento, diz-se que o mesmo tem ação conjugada. Uma razão de velocidades angulares constantes requer uma razão de raios primitivos constante. As linhas de ação de cada ponto de contato instantâneo devem passar pelo mesmo ponto fixo (P).

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Fig. 9 – Idealização da transmissão utilizando perfis envolventes

O ângulo φ é chamado de ângulo de pressão ou de ação; o ponto de contato entre os cilindros é chamado de ponto primitivo P; a reta ab é chamada de linha de ação ou de forças; a relação entre os raios de cada circunferência de base e de sua circunferência primitiva correspondente é o cos φ.

O perfil envolvente é caracterizado pela curva envolvente que pode ser obtida pelo desenrolar de um fio em torno de um cilindro, como em um carretel.

Vantagens dos perfis envolventes:

Fabricação fácil por conta dos perfis dos dentes apresentarem uma única curvatura; O engrenamento continua correto mesmo quando a distancia entre eixos aumenta

ou diminui à causa do desgaste ou deslocamento dos mancais ou das deformações dos elementos de transmissão;

O ângulo de pressão se mantém constante durante todo o engrenamento; Os dentes apresentam uma base mais robusta que as cicloidais de mesmo módulo.

Desvantagens:

Sendo os perfis dos dentes constituídos por uma única curva convexa, a superfície de contato será limitada a uma faixa muito estreita e, consequentemente, as pressões serão elevadas, o que acarreta um rápido desgaste se estiver em um continuo movimento.

OBS.: Devido a isso e ao fato dos dentes possuírem uma base robusta, as engrenagens envolventes são mais empregadas como engrenagens de FORÇA.

Além dos perfis envolventes, podemos ter também perfis cicloidais. A ciclóide é ainda usada como forma de dente em alguns relógios de pulso e de parede.

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Fig. 10 - Engrenamento externo com perfil cicloidal Fig. 11 - Engrenamento externo com perfil envolvente

Interferência entre duas engrenagens existe quando o contato entre os dentes ocorre fora do perfil gerado. A interferência deve ser evitada no dimensionamento de engrenagens. Para evitar interferência devem ser determinados os números mínimos de dentes:

O número mínimo de dentes que um pinhão pode ter (Zp) para evitar interferência é:

Zp=2k

(1+2mG) sen2φ

(mG+√mG2 +(1+2mG

❑) sen2φ)[7 ]

k=1 para engrenagens normais e k=0 ,8 para engrenagens rebaixadas;

mG=Zc /Z p=¿Relação do número de dentes do pinhão e da coroa.

Exemplo: mG=4 ;k=1 ;φ=20° . O número mínimo de dentes Zp=15 ,4=16dentes. Assim, um pinhão de

16 dentes poderá se acoplar com uma coroa de 64 dentes sem que haja interferência.

O número máximo de dentes (Zc¿ que uma coroa pode se acoplar com um pinhão com

número de dentes igual a Zp sem que haja interferência é:

Zc=Z p2 sen2φ−4k2

4k−2Z p sen2φ

[8]

Exemplo: Para um pinhão com 13 dentes, k=1 ;φ=20 ° . Zc=16 ,45=16 dentes. Para este pinhão, o

número máximo de dentes que a coroa pode ter sem que haja interferência são 16 dentes.

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3.5. Análise de forças em dentes de engrenagens

A primeira definição necessária ao projeto de um sistema de redução é a carga que se deseja transmitir. Essa definição permite estimar a potência necessária para a fonte (motor, turbina, etc) e, em muitos casos a própria fonte. Surgem então questões básicas de projeto, tais como: dada a rotação de entrada e saída do redutor, quantos pares de engrenagens devo usar? Definido o número de pares, qual a relação de redução que devo utilizar em cada par? Engrenagens cilíndricas de dentes retos normalmente são empregadas com relações de redução de até três por par.

É sempre importante lembrar que a potência dissipada pelo atrito aumenta proporcionalmente ao número de pares em contato em uma redução. O calor gerado dessa perda deve ser retirado do sistema, sob pena de que um aumento significativo na temperatura comprometa o lubrificante e causa falhas prematuras.

Agora vamos analisar as forças atuantes no dente de engrenagem:

Eixos e árvores: a, b, c, ... Engrenagens: 1, 2, 3...

Exemplos: F23=Forç aque aengrenagem2exerce sobreaengrenagem3.

F4a=For ç aqueaengrenagem 4 exercesobre aárvore a .

A direção e tipo de forças atuantes serão indicados pelas letras em superescritos:x , y , z – Direção; t = tangencial; r = radial; a= axial.

Exemplo: F23t =Forç a tangencial queaengrenagem 2exercesobre aengrenagem3.

As forças atuantes em um par de engrenagens cilíndricas retas estão mostradas na figura 12. As engrenagens transmitem força ao longo da linha de ação, que forma o ângulo φ mostrado.

Fig. 12 – Forças em engrenagens cilíndricas retas.

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As forças atuantes nas engrenagens podem ser decompostas nas direções radiais (

F32r ) e tangenciais (F32

t ) como mostrado na figura 13:

Fig. 13 – Forças tangencial e radial em engrenagens cilíndricas retas.

Observe que somente a componente tangencial transmite potência (Força útil).

A componente radial tende a separar as árvores. Fazendo F t=W t, o torque transmitido (

T ) pelas engrenagens pode ser calculado por:

T=W t .d2

[9]

A potência transmitida (H) pode ser calculada pela equação:

H=W t .V=T .ω [10 ]

Onde V=¿ velocidade tangencial da engrenagem, sendo V=πdn; ω = velocidade angular da engrenagem.

3.6. Análise e tensões em dentes de engrenagens

Engrenagens podem falhar basicamente por dois tipos de solicitação: a que ocorre no contato, devido à tensão normal, e a que ocorre no pé do dente, devido a flexão causada pela carga transmitida. A fadiga no pé do dente causa a quebra do dente, o que não é comum em conjuntos de transmissão bem projetados. Geralmente, a falha que ocorre primeiro é a por fadiga de contato.

A figura 14 mostra um modelo por elementos finitos das tensões no contato. A parte que tende ao vermelho mostra as maiores tensões em magnitude (Von Mises) e a parte em azul as menores. Esse modelo corresponde exatamente ao resultado obtido por outras técnicas, como a fotoelasticidade, e mostra as tensões que levam às falhas citadas.

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Fig. 14 – Modelagem Numérica das tensões nos dentes de engrenagens cilíndricas retas.

A figura 15 mostra duas engrenagens com falha por fadiga de contato. Esse tipo de falha pode ser avaliada pelo que convencionou-se chamar de critério de durabilidade superficial. A figura da esquerda mostra o estágio inicial da falha. Esses pequenos sulcos, chamados pites segundo nomenclatura brasileira recente, são formados na região próximo a linha primitiva do dente, que é definida pelo diâmetro primitivo. Surgem nessa região porque a velocidade de deslizamento entre os dentes anula-se no ponto primitivo.

Fig. 15 – Falha por fadiga de contato em dentes de engrenagens cilíndricas de dentes retos.

Para entendermos a questão do deslizamento entre os dentes, consideremos a figura 14, e supomos que as engrenagens estejam trabalhando com o pinhão (superior) movendo a coroa, da esquerda para a direita, lentamente. Quando os dentes entram em contato, é fácil notar que existe uma compressão na direção radial devido ao deslizamento. Quando os dentes estão deixando o contato, a tensão se inverte e passa a tração na direção radial. Como os elementos são rígidos, existe um pequeno deslizamento entre as superfícies dos dentes, tanto na entrada quanto na saída dos dentes em contato. Como existe a inversão no sentido do deslizamento, existe um ponto no qual esse deslizamento será zero e isso ocorre quando o contato é na linha primitiva. Já que o lubrificante depende

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do movimento relativo entre as superfícies para atuar (efeito elasto-hidrodinâmico), nessa região a separação dos elementos em contato não é adequada. Por isso, os pites ocorrem ao longo dessa linha.

A figura 15 ainda mostra o mesmo tipo de falha após a progressão. Nesse caso, a falha de fadiga por contato aumenta de tamanho e partes maiores são arrancadas da superfície. O termo em inglês para o que acorre é "Spalling", cuja melhor tradução para o português é cavitação, o que não descreve adequadamente o fenômeno.

3.7. Análise das tensões de flexão no pé do dente

As tensões no pé do dente podem ser de tração ou compressão. A figura 16 mostra que, para a força aplicada, a tensão será de tração no filete da direita e de compressão no da esquerda.

Fig. 16 – Esquema de forças em engrenagens cilíndricas de dentes retos.

O modelo atual para avaliação das tensões no pé do dente baseia-se nos estudos de Lewis (1892), que propôs um modelo simplificado considerando a carga aplicada na ponta do dente, com distribuição uniforme na largura do denteado, sem concentração de tensões, desprezando a carga radial e as forças de deslizamento.

Com base na proposição de Lewis, a Associação Americana de Fabricantes de Engrenagens (AGMA), sugere a equação 11 para o cálculo das tensões no pé do dente:

σ=F t

m.b . J. K v .K 0. Km[11]

Nessa equação, a variável J é o fator geométrico. Esse fator pode ser determinado a partir do gráfico mostrado na figura 17, para ângulo de pressão de 20 °. A curva inferior deve ser utilizada quando a razão de contato for pequena ou quando se deseja projetar com maior segurança, mas de forma não otimizada. As curvas superiores dependem do número de dentes da engrenagem conjugada e levam em consideração a distribuição das cargas quando são utilizadas as dimensões recomendadas para a cabeça e pé do dente.

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Fig. 17 – Fator geométrico J para cálculo das tensões no pé do dente.

O fator de impacto ou de velocidades K v é aplicado para levar em consideração o efeito das tolerâncias de fabricação nos choques sofridos pelos dentes devidos às diferenças dimensionais. Assim, depende da forma de fabricar e do tipo de ferramenta. A figura 18 dá o valor desse fator para condições usuais de aplicação e velocidade. Esta última é levada em conta porque influencia na energia dissipada no choque.

Fig. 18 – Fator de impacto K v para o cálculo das tensões no pé do dente.

O fator de sobrecarga K0 leva em conta os choques decorrentes da fonte de acionamento (motor) e da carga. Para a maioria dos casos é suficiente classificar os

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choques em pequenos, médios ou intensos. A tabela 2 mostra os valores recomendados para cada uma das situações.

O fator de correção para a precisão da montagem Km é utilizado para incluir o efeito de alinhamento ou outras condições do arranjo que não permitam o contato em toda a extensão da largura do denteado. Os valores recomendados são dados na tabela 3.

Choques Gerados pela Carga

Fonte de Potência

Uniformes Moderados Intensos

Uniformes 1,00 1,25 1,75

Leves 1,25 1,50 2,00

Médios 1,50 1,75 2,25

Tabela 2 – Fator de correção para sobrecarga devido aos choques K0.

Largura da Face (mm)

Características da montagem e do dispositivo.

0 a 50,8 Até 152 Até 228Até 407

Montagens precisas, pequena folga nos mancais, deflexões mínimas e engrenagens de precisão.

1,3 1,4 1,5 1,8

Montagens não tão cuidadosas, engrenagens com fabricação não tão precisas, contato ao longo de toda a largura do dente.

1,6 1,7 1,8 2,2

Montagem e precisão de forma a que não haja contato ao longo de toda a largura do dente.

Acima de 2,2

Tabela 3 – Fator de correção para precisão de montagem Km.

3.8. Análise das tensões devidas ao contato entre os dentes

As teorias de contato são baseadas principalmente nos estudos de Hertz publicados em 1881. Hertz calculou a distribuição de tensões em sólidos elásticos de dimensões simples. O cálculo das tensões nos dentes de engrenagens é baseado em seu modelo para cilindros em contato.

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Os problemas no contato não se limitam às tensões. De fato, se os dentes estiverem deslizando sob elevada pressão, poderá haver transferência de material entre eles ("scoring"). Além disso, a presença de partículas estranhas no lubrificante, ou vindas do próprio desgaste do material ou geradas pela contaminação, pode causar abrasão nas superfícies. Os sulcos causados pela abrasão podem modificar significativamente a estabilidade da lubrificação e intensificar o problema. Para a abrasão, a filtragem do óleo durante o trabalho resolve o problema na maior parte das vezes. Para evitar a transferência de material um lubrificante com a viscosidade adequada é a melhor solução. Para os problemas de pite, somente o projeto adequado e uma manutenção criteriosa podem resolver.

A equação para o cálculo das tensões superficiais no contato, baseada nos estudos de Hertz e modificadas por Buckingham, é mostrada a seguir. Nessa equação, os coeficientes K i são os mesmos apresentados anteriormente. O valor da constante

geométrica I é dado na equação 13. O coeficiente elástico C p depende dos materiais em contato e é dado na tabela 4. As demais variáveis foram definidas anteriormente.

σ H=C p .¿

I=R . senφ . cosφ2.(R+1)

[13]

Material do Pinhão

Material da Coroa

Aço Ferro FundidoBronze

(E=121GPa)Bronze

(E=110Gpa)

Aço 191 166 162 158

Ferro Fundido 166 149 149 145

Tabela 4 – Valores para o coeficiente elástico C p

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4. Engrenagens Cilíndricas de dentes Helicoidais

4.1. Introdução

Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão. São utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço axial e que gerem menor ruído. A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva dos dentes é maior do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda é devida ao engrenamento gradual dos dentes.

Os dentes helicoidais são paralelos entre si, mas obliquo em relação ao eixo de engrenagem. Já os dentes retos são paralelos entre si e paralelos ao eixo de engrenagem. Ambos servem para transmitir rotação entre eixos paralelos, sendo a de dentes helicoidais transmissora também de rotação entre eixos reversos. Elas funcionam mais suavemente que as engrenagens cilíndricas de dentes retos e, por isso, o ruído é menor.

A figura 1 mostra um conjunto de redução com esse tipo de engrenamento. As engrenagens têm os dentes inclinados em sentido oposto uma da outra, para permitir o engrenamento sem que os dentes se cruzem. Se imaginarmos o conjunto em movimento, é fácil observar o engrenamento gradual. Considere a engrenagem da direita movendo a da esquerda: a parte do dente mais próxima da face frontal das engrenagens entra em contato primeiro e o restante do dente vai gradualmente entrando em contato com o resto do dente conjugado. Também é possível observar que o rolamento entre os dentes ocorre num plano inclinado em relação à face do conjunto. Assim, o perfil evolvente deve ser gerado em torno de um cilindro que também está inclinado em relação aos eixos das engrenagens.

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Figura 1. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados (Helicoidais)

Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre em um plano inclinado em relação ao eixo dos elementos. Para suportar esses esforços deve-se prever a utilização de mancais de escora ou mancais radiais, como os rolamentos de contato angular. Uma providência de projeto bastante comum é a montagem de uma redução com dois pares de engrenagens, cada conjunto gerando esforços axiais em uma direção. Com engrenagens semelhantes, os esforços axiais resultantes serão mínimos. A figura 2 mostra esse tipo de montagem.

Figura 2. Montagem de um Par de Engrenagens Helicoidais para evitar Esforço Axial

Um esquema dos dentes e das variáveis envolvidas no estudo das engrenagens helicoidais é mostrado na figura 3. Nessa figura, é o ângulo de hélice, que define a inclinação dos dentes em relação ao eixo das engrenagens; p é o passo; pn é o passo normal ou ortogonal; pa é o passo axial e b é a largura da engrenagem. A variável b’, não mostrada, é utilizada para a largura efetiva dos dentes, que em engrenagens helicoidais depende do ângulo de hélice.

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Figura 3. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes

A figura 3 também mostra os planos RR e NN. O primeiro é o plano perpendicular ao eixo da engrenagem e o segundo é perpendicular aos dentes. A visão dos dentes em cada plano é diferente. A figura 4 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura, n é o ângulo de pressão normal ou ortogonal e é o ângulo de pressão. Pode-se notar que os ângulos são diferentes. O ângulo normal é o que realmente está no plano de rolamento e é normalizado. Embora o perfil dos dentes deva ser evolvental nesse plano, dificuldades de fabricação impedem que isso ocorra. Pequenas diferenças são levadas em conta no dimensionamento através da modificação dos fatores geométricos.

Figura 4. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano NN da figura 3; à direita, corte no Plano RR

Com as figuras 3 e 4 é possível descrever as relações entre as diversas variáveis.Assim, o passo normal pode ser calculado por:

Pn=P.cosΨ

O ângulo de pressão normal é dado por:

E o módulo normal, que é diretamente proporcional ao passo normal, é dado por:

Mn=M cosΨ

4.2. Análise de Forças em Engrenagens Helicoidais

Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano inclinado NN. Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de ambos os dentes, também deve estar nesse plano. Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial. Embora sejam importantes no dimensionamento da transmissão com um todo (eixos, engrenagens, selos, mancais, ...) aparecem apenas indiretamente nos cálculos das tensões nos dentes. De fato, uma vez que os ângulos de hélice e pressão para um conjunto de redução são fixos e definem a

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relação entre as forças, o efeito de cada uma pode ser incluído na força tangencial (Ft), que é a que define o torque que está sendo transmitido. A figura 5 permite determinar as relações entre as forças. Nessa figura é mostrada uma vista superior da engrenagem helicoidal e os dentes nos planos RR e NN.

Figura 5. Esquema para a determinação das relações entre as Forças em Engrenagens Helicoidais

A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento (motor). Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não está disponível no início de um projeto. Uma estimativa inicial do raio pode ser obtida levando-se em conta as recomendações de projeto descritas na apostila para engrenagens cilíndricas de dentes retos, que relacionam a distância entre centros e a redução desejada com as dimensões. Supondo o raio conhecido, pode-se obter a velocidade e, com a potência, calcular a força tangencial conforme a equação:

A figura 5 mostra que a relação entre Ft e Fr é dada por:

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A força axial Fa, gerada pela inclinação dos dentes e pelo contato no plano inclinado, depende do ângulo de hélice conforme a equação 5. A relação mostrada nessaequação, pode ser vista no esquema de forças no centro da figura. Nesse esquema também pode ser vista a força que causa flexão no pé do dente, cujo símbolo é Fb e cuja relação com a força tangencial é mostrada na equação 7.

A força no contato entre os dentes é composta das componentes axial, tangencial eradial e pode ser obtida por:

4.3. Tensões e Resistência em Engrenagens Helicoidais

Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser transmitida. A figura 6 mostra um modelo foto-elástico de um dente em pexiglass em contato com outro de um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as linhas de deformação (ou tensão) geradas pelos esforços. A diminuição do espaçamento dessas linhas significa uma maior concentração de tensões. Observando a figura é possível identificar a raiz do dente e o ponto de contato entre os dentes como os pontos de maior tensão, conforme já visto no estudo de engrenagens de dentes retos.

Figura 6 - Modelo Foto-elástico da Distribuição de Tensões em Dentes de Engrenagens

4.4. Tensões e Resistência na Raiz do Dente

A equação 9 mostra o cálculo das tensões no pé do dente em engrenagens helicoidais, conforme recomendado pela Associação Americana dos Fabricantes de Engrenagens (AGMA), órgão regulador nessa matéria na América do Norte. Consiste

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basicamente na mesma equação apresentada para dentes retos e, portanto, valem as mesmas considerações, a menos de duas pequenas modificações. Engrenagens Helicoidais, devido ao formato dos dentes, não são tão sensíveis ao desalinhamento, principalmente se houver uma sobreposição de dentes em contato, isto é, mais de um dente estiver em contato em cada momento, o que é o esperado. Assim, o fator que leva em consideração a montagem, Km, não precisa ter os valores recomendados pela tabela 2 do texto sobre engrenagens cilíndricas de dentes retos. A AGMA recomenda um valor 7 % menor, ou seja, recomenda a inclusão de um multiplicador de valor 0,93 na equação.

Uma segunda diferença leva em consideração o fato de que o perfil dos dentes no plano ortogonal não é exatamente evolvental. O fator J para engrenagens helicoidais inclui essa diferença. Esse fator é obtido do gráfico da figura 7 para uma engrenagem cuja conjugada tenha 75 dentes. Para engrenagens cuja conjugada tenha qualquer outro número de dentes, a figura 8 mostra o fator de correção que deve ser utilizado. Os dados de entrada na figura 7 são o número de dentes na engrenagem onde se quer conhecer a tensão e o ângulo de hélice. Para a figura 8 é necessário utilizar também o número de dentes da engrenagem conjugada.

Figura 7 - Fator Geométrico J para Engrenagens Helicoidas com Conjugada de 75 dentes

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A resistência à flexão no pé do dente é calculada exatamente da mesma maneira que para engrenagens de dentes retos. A equação 5 da apostila que trata desse tipo de engrenagem é repetida aqui, na equação 10. Todos os fatores e variáveis estão descritosna apostila citada.

4.5. Tensões e Resistência no Contato entre os Dentes

As tensões no contato entre os dentes de engrenagens helicoidais também são calculadas basicamente da mesma forma que para dentes retos. Novamente, a recomendação da AGMA para o fator montagem deve ser incluída. Uma segunda recomendação leva em consideração o número médio de dentes em contato, representado pelo valor CR na equação. O valor de CR é chamado também de razão de contato e pode ser calculado pela equação 11.

O termo rij na equação anterior representa um raio: quando i é substituído por a, representa o raio da cabeça do dente; quando i é substituído por b, representa o raio de base; quando j é substituído por p, representa o pinhão; quando j é substituído por c, representa a coroa. Assim, rap é o raio da cabeça do dente do pinhão, e assim por diante. O termo C é a distância entre centros, ou a soma dos raios primitivos dos dois elementos. O passo da base pb é dado pela equação 12.

No cálculo da tensão no contato também deve ser incluída a largura real b’, já que o contato ocorre no plano normal, ao longo de toda a largura. Essa largura pode ser calculada dividindo a largura do denteado b pelo cosseno do ângulo de hélice. Assim, a equação para o cálculo da tensão fica:

Da mesma forma que para as tensões na raiz do dente, não há modificação para a forma de calcular a resistência à fadiga no contato. A equação 8 da apostila de engrenagens cilíndricas de dentes retos é repetida abaixo para facilitar o uso desta apostila. Os fatores multiplicadores foram definidos na apostila citada.

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4.6. Considerações Finais

Engrenagens helicoidais são as mais utilizadas na construção de caixas de câmbio automotivas e redutores industriais atualmente. O custo total um pouco mais elevado é suplantado pela sua simplicidade de fabricação e pelas vantagens sobre as de dentes retos.

Algumas características de suas variáveis principais devem ser ressaltadas:

O ângulo de pressão normalizado é o ângulo normal n e não o ângulo. O valor do primeiro é, normalmente, 20°.

O módulo normal mn também deve seguir os valores recomendados para o módulo m, conforme a apostila de engrenagens de dentes retos, embora seja possível encontrar uma grande quantidade de conjuntos de redução não normalizados.

Da mesma forma que para engrenagens de dentes retos, é sempre recomendável procurar valores reais para as resistências ao invés de usar as estimativas propostas nas equações 10 e 13.

O ângulo de hélice, embora possa ter valor de até 30°, assume muito comumente o valor de 15°.

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Bibliografia

1. Antunes, Auteliano dos Santos Júnior. Apostila Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos. 1º ed. Campinas: Unicamp, 2002. 25p.

2. Antunes, Auteliano dos Santos Júnior. Apostila Engrenagens Cilíndricas Helicoidais. 1º ed. Campinas: Unicamp, 2002. 10p.

3. Shigley, Joseph Edward. Elementos de Máquinas 2. 3º Ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros técnicos e Científicos Editora S.A., 1984. 699p.

4. ABNT, NBR 6684, Engrenagens cilíndricas (dentes retos e helicoidais). Julho 1981. 21p.

5. ABNT, NBR 6174, Definições gerais de engrenagens (terminologia). Dezembro 1980. 13p.

6. ftp://www.demec.ufmg.br/ema100/Engrenagens%20-%20Conceitos%20B %E1sicos.pdf

7. Protec. Desenhista de Máquinas. 46º Ed. São Paulo: Editora F. Provenza. 1991.

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