Trabalho de Teoria m3

UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ

HELOISA DA SILVA ANDRIOLLI

PEDRO ROUSSELET CRIZEL

RENATO DE SOUSA FERNADES

RELATÓRIO PESQUISA SOBRE CABOS E ARCOS

Itajaí

2011

UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ

HELOISA DA SILVA ANDRIOLLI

PEDRO ROUSSELET CRIZEL

RENATO DE SOUSA FERNANDES

RELATÓRIO PESQUISA SOBRE CABOS E ARCOS

Trabalho apresentado como requisito para

obtenção de nota referente à média três (M3) na

disciplina de Teoria das Estruturas, ressaltando que

o mesmo é requerido pelo prof. Andriei José Beber;

Eng. Civil; MSc.; Dr.

Itajaí

2011

Sumário

Lista de figuras

INTRODUÇÃO

O estudo realizado abordará o funcionamento e a determinação dos esforços

internos solicitantes em sistemas estruturais de forma ativa, cabos e arcos especificamente.

Apontando assim, os conceitos que definem o funcionamento desses sistemas estruturais,

bem como as expressões e os procedimentos necessários para a determinação de seus

esforços internos solicitantes.

1. CABOS

1.1. INTRODUÇÃO

As estruturas formadas por cabos têm sua aplicação bastante difundida em obras

de engenharia civil, como pontes pênseis, linhas de transmissão, os cabos tensores para

torres elevadas e coberturas pênseis, além dos teleféricos. De acordo com SHAEFFER

(1984), depois das cavernas, a tenda é a mais antiga forma de moradia, existindo evidências

de abrigos feitos de pele e ossos de mamute, por mais de 40 mil anos, na Ucrânia.

Estes elementos são conhecidos como estruturas retesadas (esticadas) pela razão

de se obter o bom funcionamento do sistema. Aplica-se de forma indevida o uso de termos

como “estruturas tensionadas”, “protendidas” e até mesmo a mais corrente “tensoestrutura”,

pelo simples fato de que possuem ambiguidade conceitual para finalidade de entendimento.

As “estruturas tensionadas”, designada aos cabos, não estão sujeitas à compressão devido

à natureza de seu comportamento, porém a palavra “tensão” aborda todos os estados de

solicitação interna.

Uma vantagem explicita no âmbito das estruturas retesadas é o peso próprio deste

tipo de estrutura. Sendo o peso específico da estrutura, que a grosso modo, pode ser duas

ordens menor de grandeza em relação ao concreto armado e de uma ordem menor em

relação a uma estrutura convencional de aço, torna-se um empecilho para o projeto quando

atuada a força de vento sobre os cabos, uma vez que estes não possuem uma estabilidade

aeroelástica efetiva para este tipo de carregamento.

Quanto aos materiais utilizados na concepção dos cabos, ou até mesmo ausência

de um material adequado, criou-se uma dificuldade analítica de grandes proporções,

levando ao retardamento do uso por uma longa data. Foi a partir do século passado, com o

conhecimento mais afundo dos aços de alta resistência, que o desenvolvimento destes

elementos retesados foram explorados de forma devida.

Os cabos têm sua ampla aplicação devido à funcionalidade quanto à transmissão

dos esforços e sustentação de cargas. A fim de analisar os cabos de forma relacionar força

sobre o cabo e sua inclinação, é suposto então o cabo ser perfeitamente flexível e sua forma

inextensível. Sendo os cabos elementos lineares capazes de suportar as cargas

desenvolvendo somente esforços axiais de tração. O cabo adquire uma forma de equilíbrio

que varia com a posição e a quantidade de cargas quando solicitado por um carregamento,

assim, para cada conjunto de carregamento, tem-se uma determinada forma. “A forma que o

cabo adquire corresponde exatamente ao caminho que as forças percorrem até chegar aos

apoios, e que esse caminho recebe o nome de funicular”. (REBELLO, Yopanan C. P. 2003).

1.2. TIPOS DE CABOS

Os cabos são estruturas lineares com grande desempenho aos esforços de tração.

Num cabo ideal, os esforços de compressão, cortantes, de flexão e de torção não são

resistidos pelo mesmo.

Na realização do estudo estático, adota-se a hipótese que os cabos são

completamente flexíveis, ou seja, possuem momento fletor e esforço cortante nulos ao longo

de todo o comprimento. Sendo assim, os cabos ficam submetidos apenas aos esforços

normais de tração.

A forma de um cabo é dependente do tipo de carregamento que está sendo

aplicado ao mesmo e se o carregamento for muito superior ao peso próprio do cabo pode

ser desprezado nos cálculos. A geometria de um cabo deformado por um carregamento é

denominado de forma funicular do cabo.

Existem tipos de formas funiculares diferentes para cada carregamento, exemplos:

Figura 1 – Formas Funiculares de cabos submetidos a diferentes carregamentos.

< http://pet.ecv.ufsc.br/site/downloads/apoio_did%E1tico/ECV5219%20-%20An%E1lise%20Estrutural

%20I.pdf>

A catenária possui uma geometria mais baixa que a parábola devido ao peso ficar

concentrado nas extremidades.

Figura 2 – Esquema de comparação entre a forma funicular da Catenária e da Parábola.

< http://pet.ecv.ufsc.br/site/downloads/apoio_did%E1tico/ECV5219%20-%20An%E1lise%20Estrutural

%20I.pdf>

Nos casos em que a flecha (f) e o vão entre as extremidades (L) tiver a relação de (f

/ L) ≤ 2, constata-se que as formas de catenária e parábola são praticamente iguais. Sendo

assim, nestes casos é usado a forma da parábola para determinação dos pontos

geométricos ao longo do cabo.

1.3. BREVE HISTÓRICO

Praticamente todos os povos nômades da antiguidade das regiões áridas, e até

mesmo os povos nômades da atualidade, fizeram e fazem uso de tendas como elementos

de moradia. Dentre todas as tendas, a que mais se destaca é a tenda negra do Oriente

Médio, a qual, por ter sua rigidez garantida pela protensão do tecido de cobertura, é o tipo

que mais se aproxima das tendas contemporânea protendidas do século XX.

Os primeiros indícios do aparecimento de tendas são datados à cerca de 3000 a.C.,

pelos assírios e egípcios. Já em 480 a.C., os persas se utilizavam das tendas como

elementos luxuosos para o abrigo do rei Xerxes. Os gregos se apropriaram desta tenda

após a batalha de Plataea, e com o tempo passou a ser aplicado aos cenários de Odeon e

aos teatros.

Assim como as tendas, as pontes pênseis flexíveis são umas das estruturas mais

antigas desenvolvidas pelo homem. Embora a construção se baseasse num conhecimento

empírico, com materiais usualmente utilizados (cordas, cânhamo e bambu), há alguns

indícios de que a China possuía pontes com correntes de ferro, o que aparenta ser

relativamente moderno para sua época, já que estes registros datam mais dois séculos

antes da era cristã.

Seguindo a mesma lógica das pontes chinesas, a Europa só se viu inserida neste

contexto de pontes constituídas de correntes metálicas a partir da metade do século XVII.

Nos Estados Unidos a grande eficiência estrutural do aço forjado, definida pela resistência e

trabalhabilidade, começou a ser explorada no início do século XIX por James Finley,

construtor de pontes.

Com a redução dos efeitos dinâmicos, como o do vento, por exemplo, devido ao

enrijecimento do tabuleiro, os projetistas que sucederam Finley passaram se guiar no

comportamento estático, chegando ao ponto de afirmarem que a partir de um dado vão, as

pontes seriam intrinsecamente estáveis, prescindindo de qualquer forma de enrijecimento. O

colapso da ponte de Tacoma, em 1940, quebrou esta nova tendência de projeto que até

então era inovadora. Com o desfecho da ponte de Tacoma, criou-se a percepção que

somente a compreensão do comportamento aerodinâmico das pontes pênseis era

insuficiente. A partir desse incidente, a necessidade de conhecimento gerou um salto

tecnológico, possibilitando os projetistas vencerem vãos cada vez maiores.

Enquanto houve uma evolução contínua das pontes, as tendas ficaram

praticamente estagnadas, voltando a serem mais difundidas na Europa e Estados Unidos já

próximo ao século XIX. A empresa Stromeyer, por exemplo, foi estabelecida em 1872, na

Alemanha, mantendo-se atuante até hoje na fabricação de grandes tendas.

Em 1952, na Carolina do Norte, pode-se apontar a construção da Arena de Raleigh

como sendo elemento fundamental na modernidade das estruturas retesadas. Com um vão

de 95 metros, sua cobertura consiste em dois conjuntos de cabos de aço, quase que

ortogonais entre si, formando uma superfície parabolóide hiperbólica, levando em

consideração o princípio que as tendas tradicionais já empregavam no passado.

2. ARCOS

2.1. INTRODUÇÃO

As estruturas formadas por arcos são largamente utilizadas na construção civil, em

pontes de arcos, para vencer grandes vãos, além de portas, janelas, aquedutos e usados

ainda como elementos de composição tridimensional de abóbadas.

Os arcos são elementos que, se em sua forma ideal (arco funicular, por exemplo),

sofrem somente esforços de compressão. Por causa destes esforços de compressão,

possuem uma seção transversal de maior dimensão quando comparados aos cabos, logo,

possuem um peso próprio mais elevado que gera assim esforços de flexão e cisalhamento.

Assim como os cabos, os arcos geram reações horizontais nos apoios, mesmo

quando submetidos a carregamentos verticais. A intensidade das reações horizontais varia

inversamente com a altura do arco. As estruturas comprimidas podem vir a sofrer com o

fenômeno de flambagem. Para garantir que a estrutura não sofra flambagem, aumenta-se a

inércia da mesma.

Assim como os cabos, os arcos geram reações horizontais nos apoios, mesmo

quando submetidos a carregamentos verticais. A intensidade das reações horizontais varia

inversamente com a altura do arco.

De acordo com Torroja (1996), “Se a coluna é arquitetura pura, o arco é

engenharia; ou melhor dito, -para distanciar de toda interpretação profissional, se a coluna é

arte, o arco é técnica; sem que isto queira dizer, nem que a coluna falte técnica, nem que o

arco seja incapaz de uma belíssima expressão estética”.

2.2. TIPOS DE ARCOS

No que diz respeito aos tipos de arcos destacam-se em diferentes formas, cada

qual com suas peculiaridades e características. A escolha do arco a ser utilizado depende

da finalidade do seu uso, tanto estática quanto esteticamente. Os carregamentos a que o

arco será submetido acabam influenciando no seu dimensionamento, tanto como o vão a

ser vencido ou o tipo de material a ser utilizado.

Os principais tipos de arco são:

Arco semi-circular: este arco também conhecido como arco romano, é um arco bi-

apoiado, com a relação horizontal para vertical de 2:1, respectivamente. Por este tipo

arco possuir esta relação não é aconselhável para vencer grandes vãos;

Figura 3 – Esquema de um arco semi-circular.

Arco elíptico: o arco possui formado de elipse como o seu nome sugere, pode conter

dois ou mais apoios e viavél para vencer tanto vãos largos como curtos devido à sua

utilização em sua forma estreita ou larga.

Figura 4 – Esquema de um arco elíptico.

Arco parabólico: o arco em forma de parábola é do ponto de vista estrutural, o tipo

mais adequado de arco. Isto deve-se ao ser formato coincidir com o diagrama de

momentos fletores o que faz com que as tensões de flexão na estrutura sejam

elimanadas;

Figura 5 – Esquema de um arco parabólico.

< http://www.fec.unicamp.br/~estruturastubulares/vivencia/img15.jpg>

Arco Hipebólico: este arco possui forma de hipérbole e devido à dificil realização

desta geometria não é usualmente encontrado.

Arco Gótico: A geometria desde arco é essencialmente religiosa e é comumente

encontrado nas grandes catedrais européias. Ele possui uma ponta(ogiva)

apontando para cima no seu topo, o que era entendido como uma proximidade com

deus.

Figura 6 – Esquema de um arco gótico.

< http://www.mat.uel.br/geometrica/php/img/gif/dg_ex_re/Aula8t/4/21.gif>

2.3. BREVE HISTÓRICO

O uso dos arcos surgiu na antiguidade com a civilização, na Babilônia, Grécia

Antiga, antigo Egito e Assíria o empregando em estruturas de drenagem e abóbodas

(abóbodas - conjunto de arcos tri-dimensional).

Mais tarde, os romanos foram responsáveis pelo emprego do arco em grande

escala, conquistando com isso maiores vãos, e edifícios de dimensões monumentais.

Estabeleceram o arco como alternativa estrutural. É neste passo da História que o arco de

volta perfeita, semicircular assentado em pilares, se propaga.

Durante o período medieval podem-se evidenciar os estudos desenvolvidos por

Villard de Honnecourt, que formulou regras de dimensionamento e de técnicas construtivas.

Neste estudo estava incluso metodologias de implantação de estruturas e de levantamento

geométrico, bem como técnicas de construção de arcos e corte de pedra.

Com o estilo gótico, difunde-se um novo estilo de arco que se crê ter sido

empregado anteriormente pelos assírios. Este estilo é evidenciado pelas formas

geométricas, compostas de linhas e círculos, ficando o dimensionamento dos elementos

externos ao cargo de regras empíricas.

Leonardo da Vinci pela primeira vez, ao fim do século XV, em investigação sobre a

resistência dos materiais, desenvolveu o Princípio dos Trabalhos Virtuais, onde desenvolveu

os conceitos de vetores e decomposição destes e empregou o tirante a fim de absorver o

impulso horizontal ao nível de arranque. Em 1638, Galileu foi o primeiro a considerar a

análise da resistência de uma estrutura, desenvolvendo estudos sobre tração e flexão de

elementos estruturais no intuito de responder a questão “Qual o valor da carga de ruptura de

um elemento?”.

Philippe de La Hire ao fim do século XVII e início do XVIII foi o primeiro a aplicar os

conceitos da estática a arcos e abóbadas. Em 1731, La Hire criou um mecanismo de

colapso possível para uma estrutura real, a fim de fundamentar as regras de proporção

geométrica para o dimensionamento de estruturas de suporte de arcos e abóbadas, que

consistia em dois cortes simétricos de 45⁰ a partir do centro do semicírculo. Previa que a

parte central exerceria uma força capaz de promover o deslocamento sobre as juntas

fraturadas, empurrando a estrutura de suporte para o exterior. Contudo, La Hire não

considerou de forma conveniente o atrito, analisado por Coulomb anos mais tarde.

Dois anos após o experimento de Philippe de La Hire falhar, Danyzy demonstrou

que ao aplicar cargas, desenvolviam-se depressões nos arcos através da formação de

rótulas e não por deslizamento, contrariando assim os estudos de La Hire.

Somente em 1773 que Coulomb desenvolveu estudos sobre a análise dos arcos,

estando explícito o mecanismo de colapso mais provável e os valores limites dos impulsos

correspondentes. Assim como Danyzy, Coulomb provou que o único modo de gerar um

colapso na estrutura seria através da formação de rótulas.

A partir do final do século XVIII foi possível desfrutar de um conhecimento mais

amplo dos materiais e da teoria mecânica, mesmo que ainda fossem aplicadas as regras de

dimensionamento de arcos e abóbadas de forma empírica.

Nas últimas décadas, observou-se a evolução da capacidade computacional, o que

provocou uma maximização positiva dos resultados, culminando na diminuição dos erros

relativos à análise de estruturas.

3. ANÁLISE DE EXERCÍCIOS

3.1. 1ª Questão – Comportamento dos sistemas estruturais de forma ativa

Conforme o que já foi comentado acerca do comportamento de cabos e arcos,

quando em suas formas ideais os mesmos deverão apresentar momento fletor e esforço

cortante nulos ao longo de seu comprimento, estando assim submetidos apenas a esforços

normais. Os cabos devem estar submetidos apenas à esforços de tração, enquanto os arcos

estarão recebendo esforços de compressão.

São estruturas flexíveis, diferentemente das vigas, por exemplo, e o seu formato

coincide com o fluxo dos carregamentos aplicados sobre eles. Em arcos, a linha “natural”

dos esforços é a linha funicular de pressão e em cabos, a linha funicular de tração.

Nos cabos, este mecanismo conhecido como “linha funicular”, faz com que o sistema

estrutural assuma a sua forma devido aos esforços nele aplicados. Alguns exemplos de

cabos e linhas funiculares específicas estão representados na Figura 1, no item 1.2 (Tipos

de cabos).

3.2. 2ª Questão – Determinação das reações de apoio em cabos.

3.2.1. Cabo com duas cargas concentradas aplicadas em seu terço médio.

Figura 7 – 2ª Questão

Disponível em: <http://pet.ecv.ufsc.br/site/downloads/apoio_did%E1tico/ECV5219%20-%20An

%E1lise%20Estrutural%20I.pdf>.

Aplicando-se as equações de equilíbrio no plano tem-se que:

∑Fx=0

∑Fy=0

∑Mz=0

Portanto:

∑Fx=0 → Ax+Bx=0 → Ax=Bx=H

∑Fy=0 → Ay+By=2 P

Como Ay=By :

Ay+By=2 P → Ay=2P−By=P

∑M A=0 → PL3

+P (2 L )

3−By .=0 → By=Ay=P

Para a descoberta da reação horizontal é necessária a utilização de mais uma

equação de equilíbrio, utilizando-se das propriedades dos cabos, onde os mesmos não

deverão sofrer momento fletor em nenhum ponto. Sendo assim, faz-se uma seção no ponto

onde se deseja analisar e aplica-se a equação. Neste caso foi analisado o ponto C.

Figura 8 – Seção de análise



∑MC=0 → −Hf + PL3

−By .=0 → H=Ax=Bx=PL3 f

Visando a comprovação das equações utilizadas, aplicou-se a estrutura em questão

no software Ftool, com a utilização de valores para as distâncias e cargas aplicadas,

conforme demonstrado na Figura 9.

Figura 9 – Estrutura em estudo representada no Ftool

Encontrou-se então as reações e o diagrama de esforço normal (de acordo com o

comportamento dos cabos, os diagramas de momento fletor e esforço cortante

apresentaram-se com valores nulos ao longo da estrutura):

Figura 10 – Reações e diagrama de esforço normal.

É interessante observar a relação entre cabos e vigas de mesmo vão e

carregamento. Em tal situação, ambos apresentariam as mesmas reações de apoio vertical.

Ao mesmo tempo, é possível criar uma relação entre o momento fletor máximo da viga e o

empuxo horizontal do cabo, o que recomenda a utilização de uma viga de substituição para

a realização do cálculo de cabos.

Aycabo=Ay viga

Bycabo=Byviga

H=Mmáxviga

f

3.2.2 Cabo com força distribuída uniformemente ao longo do comprimento do cabo


Aplicando-se as equações de equilíbrio no plano tem-se que:

∑Fx=0 → Ax+Bx=0 → Ax=Bx=H

∑Fy=0 → Ay+By=2 P

Como Ay=By :

Ay+By=ql → Ay=ql−By=ql2

∑M A=0 → −qL

2. L+By .L=0 → By=Ay=q L2

2 L=qL

2

Aplicando-se novamente o método da análise da seção, desta vez cortando no

centro da estrutura analisada, obteve-se que:

Figura 12 – Seção de análise

Sendo assim:

∑M=0 → −qL

2.L2

+Hf + qL2.L4=0 → H=Ax=Bx=q L2

8 f

3.3. 3ª Questão – Determinação das reações de apoio e força normal máxima em um cabo

em um exemplo de aplicação


Primeiramente transforma-se a carga distribuída volumétrica em carga distribuída

linear, multiplicando-a pela largura de sua área de influência no cabo. Para transformá-la em

uma carga concentrada, tal carga deverá então ser multiplicada pelo comprimento da

passarela. Com a aplicação das equações de equilíbrio no plano chega-se ao seguinte:

∑Fy=0 → Ay+By=[( 5kNm

+ 5kNm ) .1,5m] .25m → Ay+By=375kN

Devido a simetria do cabo tem-se que Ay=By , e portanto :

Ay=By=3752

→ Ay=By=187,5kN

Já para o cálculo de empuxo horizontal, utiliza-se da relação entre o cabo e a viga de

substituição. Descobre-se o momento máximo através do empuxo horizontal da questão

anterior e aplica-se a equação de igualdade.

H=Mmáxviga

f

Como H=q L2

8, então:

q L2

8 f=Mmáxviga

f→ Mmáxviga=

q L2

8

Empregando-se os valores do exemplo:

H=( q L2

8 )f

→ H=

[ 15. (25 )2

8 ]5

→ H=234,375kN

Para a descoberta do esforço normal máximo, mais uma vez é necessário o uso da

relação entre um cabo e uma viga de substituição. Neste caso observa-se que o a variação

do esforço normal no eixo y no cabo coincide com o esforço cortante na viga de

substituição. Logo:

N= [ (Nx )2+(Ny )2 ]1 /2

N=[ (H )2+(Vsviga )2 ]1 /2

Com o valor do esforço cortante máximo descoberto através de cálculo e verificado

pelo Ftool (Figura 14), é encontrado o esforço normal. O esforço normal no cabo será

máximo quando o esforço cortante na viga de substituição for máximo.

Figura 14 – Esforço cortante na viga de substituição

N=[ (H )2+(Vsviga )2 ]1 /2

Nmáx=[ (H )2+(Vsmáxviga )2 ]1 /2

Nmáx=[ (234,375 )2+ (187,5 )2 ]1/2

Nmáx=300,15kN

3.4. 4ª Determinação das reações de apoio em um arco e análise de seu funcionamento


Para o cálculo das reações de apoio em um arco, utiliza-se as equações de equilíbrio

no plano:

∑Fx=0 → Ax=0

∑Fy=0 → Ay+By=P → Ay=By=P /2

∑Ma=0 → By . L−P .L2=0 → Ay=By=P /2

Para que o arco funcione como linha de pressão é necessário que o mesmo

apresente uma forma que impeça o surgimento de esforços de flexão. Para que isto

aconteça o formato do arco deverá coincidir com o seu diagrama de momentos fletores.

Dessa forma, considera-se, do ponto de vista estrutural, o arco parabólico como o tipo mais

adequado.

4. ANÁLISE ESTRUTURAL

4.1 ANÁLISE DE UM ARCO COM CARGA CONCENTRADA

Será aqui detalhado o processo para a obtenção das reações de apoio e

determinação das equações dos esforços internos solicitantes de um arco bi-apoiado com

carga concentrada.

Figura 16: Diagrama de corpo livre de arco bi-apoiado



4.1.1 REAÇÕES DE APOIO

ΣF x=0→Ax=0

ΣF y=0→ A y+By=0

ΣM A=0→ (B y .2 . R )− (P . R )=0→By=PR2R

=P2

A y+P2

−P=0→ Ay=P2

4.1.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES:

Devido ao fato da variação da direção da curva do arco, a análise dos esforços

internos solicitantes deve prever essa variação, utilizando-se da combinação de

coordenadas x e y, bem como de seus equivalentes trigonométricos seno e cosseno.

O esforço normal em um arco será perpendicular a seção, enquanto o esforço

cortante deste arco será ortogonal ao esforço normal.

Como o arco varia sua direção junto com a variação do θ, supõe-se um infinitésimo

do arco como sendo uma reta, transferindo a reação A y e colocando-a em função do ângulo

θ.

Figura 17: Carregamentos em função de θ

Empregando-se o método da seções, encontra-se as seguintes equações para os

esforços internos solicitantes:

- Esforço normal:

ΣF H=0→N S+P2. cosθ

NS=−cosθ ∙P2

- Esforço cortante:

ΣFV=0→−V S+senθ ∙P2=0

V S=senθ ∙P2

- Momento fletor:

Figura X: Braços de alavanca dos momentos

ΣM S=0→M S−P2∙ a=0

Colocando “a” em função de “R” e “θ”:

a=R−b

cosθ= bR→b=R ∙cosθ

a=R . (1−cosθ )

M S=P2.R . (1−cos θ )

Com as equações é possível determinar os diagramas dos esforços internos

solicitantes do arco, como demonstrado na Figura X.

Figura 18: Diagramas dos esforços internos solicitantes



4.2 ANÁLISE DE UM ARCO COM CARGA DISTRIBUÍDA

Empregando os procedimentos utilizados para o exemplo anterior, foi estudado um

arco com carga distribuída, como apresentado na Figura 19:

Figura 19: Diagrama de corpo livre de arco bi-apoiado



4.2.1 REAÇÕES DE APOIO

ΣF x=0→Ax=0

ΣF y=0→ A y+By=[q .2 .R ]

ΣM A=0→ (B y .2 . R )− (q .2. R ² )=0→By=q .R

A y+P2

−P=0→ Ay=P2

A y+ [q .R ]− [q .2. R ]=0→ A y=q . R

4.2.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES

- Esforço normal:

ΣF N=0→NS1+[cosθ ∙q (x) ∙R ]−[q (x) ∙R ∙ (1−cosθ ) ∙cosθ ]=0

NS 1=−[cosθ ∙q(x )∙ R ]+[q (x) ∙R ∙ (1−cos θ ) ∙cos θ ]

Esforço cortante:

ΣFV=0→−V S 1+[ senθ ∙q(x )∙ R ]−[ q(x )∙ R ∙ (1−cosθ ) ∙ senθ ]

V S 1=[senθ ∙q (x) ∙R ]−[q( x) ∙R ∙ (1−cosθ ) ∙ senθ ]

Momento fletor:

ΣM S1=0→M S1−[q ( x ) ∙ R ∙R ∙ (1−cos θ ) ]+[q (x ) ∙R ∙ (1−cos θ ) ∙ R ∙ (1−cosθ )2 ]

M S1= [q ( x ) ∙ R2 ∙ (1−cosθ ) ]−{q ( x )2

∙ [R ∙ (1−cosθ ) ]2}

Derivando-se a função de momento fletor em relação à “θ” obtém-se:

dM (θ)dθ

=[q ( x ) ∙R2 ∙ senθ ]−[q ( x ) ∙R2 ∙ (1−cosθ ) ∙ senθ ]

Diferentemente do que foi observado na disciplina de Teoria das Estruturas, a

derivada do momento fletor não representa o esforço cortante. Justifica-se tal ocorrência

pelo fato de que o esforço cortante é a derivada da função momento fletor em relação à “θ”

(variável que descreve o comprimento do eixo da peça), então analisando o infinitésimo do

arco (ds), é preciso considerar também a variável “R” (relação entre o ponto analisado e o

centro do arco), com a seguinte relação ds=R ∙dθ. Sendo assim, a equação correta seria a

expressão encontrada acima, multiplicada por R

dM (θ )dθ

(derivadadomomento em relaçãoàθ )

dθds

(derivadadeθem relaçãoaoarco )

Deve-se ressaltar que a forma ideal de apoio da estrutura calculada acima seria

feita através de 2 apoios rotulados fixos, com uma rótula em seu ponto mais elevado, de

forma que, neste ponto de maior exigência o momento passaria a ser nulo, preservando-se

a isostaticidade da estrutura.

4.2. ANÁLISE ESTRUTURAL DO CABO.

Para iniciar a análise estrutural de um cabo, deve-se primeiramente calcular as

reações de apoio. Os sistemas estruturais utilizando cabos geram nos apoios um empuxo

horizontal, exigindo que os seus vinculos sejam 2ª ordem. Deve-se levar em conta também

as condições de equilibrio da estática, para determinação das reações, não esquecendo que

o momento fletor sempre será nulo devido à flexibilidade dos cabos. As três equações de

equilibrio a serem respeitadas são:

∑Fx=0

∑Fy=0

∑Mz=0

Adicional às equações de equilibrio será necessária uma quarta equação para a

determinação do empuxo horizontal nos apoios. Levando em conta que o momento fletor é

nulo ao longo do cabo, escolhe-se um ponto arbitrário ao longo do mesmo e faz-se a análise

do momento à esquerda ou direita do ponto.

Desta forma encontra-se o empuxo horizontal nos apoios. É também importante

ressaltar que quanto menor for a flecha de um arco (distância da extremidade vertical até ao

alinhamento dos apoios), maior será o empuxo nos apoios.

Para fins de cálculo de reações verticais em um cabo, é possivel compara-lo com

uma viga de mesmo comprimento e carregamento. Através desta comparação observa-se

que as reações de apoio vertical são idênticas, respeitando o comprimento do vão e os

carregamentos. Além da igualdade de reações verticais, também observa-se uma relação

entre o diagrama de momento fletor da viga de comparação e o empuxo horizontal nos

apoios do cabo.

Após a determinação das reações de apoio avança-se para o cálculo dos esforços

internos solicitantes, no caso dos cabos somente os esforços normais de tração. Para a

determinação dos esforços internos é utilizado o método das seções, e destaca-se que os

esforços de tração máximos são geralmente encontradados nas extremidades do arco,

próximo aos apoios, devido a componente vertical da tração ser muito elevada nestes

pontos.

Para o cálculo de esforços de tração derivados de carga pontuais é observado o

seguinte exemplo:

Figura 20 – Cálculo de Esforços Internos.

Disponível em: <http://pet.ecv.ufsc.br/site/downloads/apoio_did%E1tico/ECV5219%20-

%20An%E1lise%20Estrutural%20I.pdf>.

Trecho AC (0 ≤ x < L/3)

ΣFx = 0 NACx = PL / 3f;

ΣFy = 0 NACy = P, logo

(NAC)² = (NACx)² + (NACy)² ;

NAC = [(PL / 3f)² + P²] ½.

Trecho CD (L/3 ≤ x < 2L/3)

ΣFx = 0 NCD = H = PL / 3f;

ΣFy = 0 P – P = 0, equilíbrio satisfeito.

Para o Trecho DB, temos que o NAC=NDB, devido a simetria do arco e dos carregamentos.

Nos exercicios resolvidos no item seguinte será demonstrado mais detalhadamente

as etapas de cálculo de um cabo e a determinação de esforços internos de um cabo

subtimetido a uma carga distribuida uniformemente.

CONCLUSÃO

Após o desenvolvimento deste trabalho pôde-se observar as principais diferenças e

similaridades entre cabos e arcos. Assim, foi possível perceber como funciona cada um dos

sistemas e quais os procedimentos necessários para calcular as reações de apoio e os

esforços internos solicitantes em cada um

Os cabos têm sua ampla aplicação devido à funcionalidade quanto à transmissão

dos esforços e sustentação de cargas. Sendo os cabos elementos lineares capazes de

suportar as cargas, desenvolvendo somente esforços axiais de tração. Assim como os

cabos, os arcos geram reações horizontais nos apoios, mesmo quando submetidos a

carregamentos verticais.

Por fim, ressalta-se a importância da realização da atividade proposta, onde

complementa-se a matéria estudada em sala de aula, além de relacionar os temas

estudados com o conhecimento prévio adquirido durante as aulas.

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Trabalho de Teoria m3