Trabalho de EEL 030 – Modelagem e Análise de

Sistemas Dinâmicos

Universidade Federal de Itajubá – Campus Avançado de Itabira

Prof. Dair José de Oliveira

Prof. Denis de Carvalho Braga

1 Objetivo

Obter uma representação por função de transferência de segunda ordem, a partir de

um conjunto de dados, empregando a teoria de modelagem e análise de sistemas dinâmicos

e os softwares MATLAB e Simulink.

2 Introdução

Dados os sinais de tempo contínuo t ∈ ℝ 7→ u(t) e t ∈ ℝ 7→ y(t) e um número real

T > 0, chamado de tempo de amostragem, os sinais k ∈ ℤ 7→ u(kT ) e k ∈ ℤ 7→ y(kT ) são

denominados sinais de tempo discreto (ver [2] e [4]), sendo ℝ e ℤ, o conjunto dos números

reais e o conjunto dos números inteiros, respectivamente.

Suponha que é desejado obter um modelo da forma

d2

dt2y(t) + a1

d

dty(t) + a0y(t) = b0u(t) (1)

ou, equivalentemente,

s 7→ G(s) =Y (s)

U(s)=

b0

s2 + a1s+ a0, (2)

que relaciona o conjunto de dados

{(u(kT ), y(kT )) ∈ ℝ2 : k = 0, 1, 2, . . .}. (3)

Este procedimento é conhecido como identificação de sistemas e consiste, neste caso

particular, em determinar os parâmetros reais a0, a1 e b1 a partir de (3). Existem diversas

técnicas para determinação dos parâmetros de uma função de transferência, contudo a

maneira mais simples (e que apresenta mais problemas) é empregar métodos numéricos

para as derivadas.

1

Assim, sendo

D1y(kT ) =y((k + 1)T )− y((k − 1)T )

2T, (4)

uma aproximação para a derivada primeira e

D2y(kT ) =y((k + 1)T )− 2y(kT ) + y((k − 1)T )

T 2, (5)

uma aproximação para a derivada segunda, este problema pode ser estudado mediante a

equação de diferenças

D2y(kT ) + a1D1y(kT ) + a0y(kT ) = b0u(kT ). (6)

No cálculo de a0, a1 e b1, utilizando (3) e (6), o método mais empregado é o dos

mínimos quadrados (ver [1] e [3]).

3 Características do Trabalho

O trabalho será realizado em equipes com 4 alunos e consiste de uma parte teórica e

uma computacional. Para a parte computacional, cada equipe receberá um arquivo do

tipo *.txt contendo um conjunto de dados. A equipe deverá identificar os parâmetros de

uma função de transferência de segunda ordem e realizar algumas simulações.

4 Relatório

Um relatório deverá ser elaborado pela equipe, de acordo com as normas técnicas, e

abordará os seguintes itens:

a) Teoria sobre sinais discretos, classificação de sinais discretos, sistemas discretos e

representações de sistemas discretos;

b) Teoria sobre identificação de sistemas e o método dos mínimos quadrados;

c) Um gráfico com o sinal de entrada amostrado e um gráfico com o sinal de saída

amostrado;

d) Programa no MATLAB que obtém os coeficientes a0, a1 e b0 e a função de transfer-

ência (2), utilizando o conjunto de dados (arquivo do tipo *.txt), a equação (6) e o

método dos mínimos quadrados;

2

e) Gráfico do sinal amostrado e da função t = kT 7→ ys(kT ), solução da equação

de diferenças (6), em uma mesma figura. Neste caso, o sinal de entrada é o sinal

amostrado. Compare os resultados;

f) Função de transferência (2) obtida utilizando o toolbox de Identificação de Sistemas

do MATLAB. Compare com a função de transferência obtida no item (d). Quais as

desvantagens em utilizar aproximações para as derivadas na solução do problema?

g) Modelo por variáveis de estado a partir da função de transferência identificada;

h) A partir da função de transferência de segunda ordem identificada, resolva o pro-

blema de valor inicial

⎧

⎨

⎩

d2

dt2y(t) + a1

d

dty(t) + a0y(t) = b0u(t),

y(0) = 0,

y′(0) = 0,

t ∈ [0, 100] 7→ u(t) = 2quadrada(2�0.1t),

(7)

analiticamente. Resolva também numericamente e compare os resultados;

i) Determine a FFT da solução numérica do problema de valor inicial do item (h).

Observações:

1. Naqueles itens, onde são utilizados comandos do MATLAB, destacar no relatório quais

comandos foram utilizados;

2. Quaisquer programas feitos no MATLAB e Simulink devem ser colocados no texto;

3. O texto do relatório deve conter as respostas referentes aos itens (a) a (i) ligadas de

maneira lógica, ou seja, o texto não deve ser uma simples resposta aos itens (a) a

(i) como se estes fossem independentes;

4. Para o item (a), utilize [2] e [4] ou outra bibliografia qualquer. Já [1] possui uma

linguagem mais simples no entendimento do item (b), embora [3] possua uma teoria

muito mais completa e abrangente;

5. O relatório não deve conter mais que 15 páginas.

5 Apresentação oral

Cada equipe terá 15 minutos de apresentação e no máximo 15 minutos de perguntas

por parte dos professores. Será escolhido, por parte dos professores, um aluno por equipe

para a apresentação.

3

6 Considerações Finais

O trabalho é em grupo de modo que não serão aceitos trabalhos individuais. A entrega

do relatório e da apresentação acontecerá uma semana antes da apresentação.

Referências

[1] Antonio C. Zambroni de Souza, Carlos A. M. Pinheiro, Introdução a Modelagem,

Analise e Simulação de Sistemas Dinâmicos, 1a Edição, Interciência, 2008.

[2] Charles L. Phillips, H. Troy Nagle Digital Control System Analysis and Design, Third

Edition, Prentice Hall, New Jersey, 1995.

[3] Luis Antonio Aguirre, Introdução à Identificação de Sistemas–Técnicas Lineares e

Não Lineares Aplicadas a Sistemas Reais, 3a Edição, Editora UFMG, 2007.

[4] Katsuhiko Ogata, Discrete-Time Control Systems, 2nd Edition, Prentice Hall, New

Jersey, 1995.

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