1. Introdução

Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com

dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão. São

utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço axial e

que gerem menor ruído. A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva

dos dentes é maior do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda

é devida ao engrenamento gradual dos dentes.

A figura 1 mostra um conjunto de redução com esse tipo de engrenamento. As

engrenagens têm os dentes inclinados em sentido oposto uma da outra, para permitir

o engrenamento sem que os dentes se cruzem. Se imaginarmos o conjunto em

movimento, é fácil observar o engrenamento gradual. Considere a engrenagem da

direita movendo a da esquerda: a parte do dente mais próxima da face frontal das

engrenagens entra em contato primeiro e o restante do dente vai gradualmente

entrando em contato com o resto do dente conjugado.

Também é possível observar que o rolamento entre os dentes ocorre num plano

inclinado em relação à face do conjunto. Assim, o perfil evolvente deve ser gerado em

torno de um cilindro que também está inclinado em relação aos eixos das

engrenagens.

Figura 1. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados (Helicoidais)

Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre em

um plano inclinado em relação ao eixo dos elementos. Para suportar esses esforços

deve-se rever a utilização de mancais de escora ou mancais radiais, como os

rolamentos de contato angular.

Uma providência de projeto bastante comum é a montagem de uma redução com dois

pares de engrenagens, cada conjunto gerando esforços axiais em uma direção. Com

engrenagens semelhantes, os esforços axiais resultantes serão mínimos. A figura 2

mostra esse tipo de montagem.

Figura 2. Montagem de um Par de Engrenagens Helicoidais para evitar Esforço Axial

Um esquema dos dentes e das variáveis envolvidas no estudo das engrenagens

helicoidais é mostrado na figura 3. Nessa figura,ψ é o ângulo de hélice, que define a

inclinação dos dentes em relação ao eixo das engrenagens; p é o passo; pn é o passo

normal ou ortogonal; pa é o passo axial e b é a largura da engrenagem. A variável b’,

não mostrada, é utilizada para a largura efetiva dos dentes, que em engrenagens

helicoidais depende do ângulo de hélice.

Figura 3. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais

importantes

A figura 3 também mostra os planos RR e NN. O primeiro é o plano perpendicular ao

eixo da engrenagem e o segundo é perpendicular aos dentes. A visão dos dentes em

cada plano é diferente. A figura 4 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura,

∅ n é o ângulo de pressão normal ou ortogonal e ϕ é o ângulo de pressão. Pode-se

notar que os ângulos são diferentes. O ângulo normal é o que realmente está no plano

de rolamento e é normalizado.

Embora o perfil dos dentes deva ser evolvental nesse plano, dificuldades de fabricação

impedem que isso ocorra. Pequenas diferenças são levadas em conta no

dimensionamento através da modificação dos fatores geométricos.

Figura 4. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano NN

da figura 3; à direita, corte no Plano RR

Com as figuras 3 e 4 é possível descrever as relações entre as diversas variáveis.

Assim, o passo normal pode ser calculado por:

Pn=p∗cosΨ [ 1 ]

O ângulo de pressão normal é dado por:

tanϕn=tan ϕ∗cosΨ [ 2 ]

E o módulo normal, que é diretamente proporcional ao passo normal, é dado por:

mn=m∗cosΨ [ 3 ]

2. Análise de Forças em Engrenagens Helicoidais

Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano inclinado NN.

Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de ambos os dentes, também

deve estar nesse plano. Devido à essa inclinação, três componentes de força são

gerados. As componentes radiais (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de

transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial. Embora sejam

importantes no dimensionamento da transmissão com um todo (eixos, engrenagens,

selos, mancais, ...) aparecem apenas indiretamente nos cálculos das tensões nos

dentes. De fato, uma vez que os ângulos de hélice e pressão para um conjunto de

redução são fixos e definem a relação entre as forças, o efeito de cada uma pode ser

incluído na força tangencial (Ft), que é a que define o torque que está sendo

transmitido. A figura 5 permite determinar as relações entre as forças. Nessa figura é

mostrada uma vista superior da engrenagem helicoidal e os dentes nos planos RR e

NN.

Figura 5. Esquema para a determinação das relações entre as Forças em Engrenagens

Helicoidais

A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema.

Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de

acionamento (motor). Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da

engrenagem, que não está disponível no início de um projeto. Uma estimativa inicial

do raio pode ser obtida levando-se em conta as recomendações de projeto descritas

na apostila para engrenagens cilíndricas de dentes retos, que relacionam a distância

entre centros e a redução desejada com as dimensões. Supondo o raio conhecido,

pode-se obter a velocidade e, com a potência, calcular a força tangencial conforme a

equação:

F t=WV

[ 4

]

A figura 5 mostra que a relação entre Ft e Fr é dada por:

F r=F t∗tan ϕ [ 5 ]

A força axial Fa, gerada pela inclinação dos dentes e pelo contato no plano inclinado,

depende do ângulo de hélice conforme a equação 5. A relação mostrada nessa

equação pode ser vista no esquema de forças no centro da figura. Nesse esquema

também pode ser vista a força que causa flexão no pé do dente, cujo símbolo é Fb e

cuja relação com a força tangencial é mostrada na equação 7.

Fa=F t∗tanψ [ 6 ]

Fb=F t

cosψ [ 7 ]

A força no contato entre os dentes é composta dos componentes axial, tangencial e

radial e pode ser obtida por:

F=Fb

cosϕn

=F t

cosψ∗cosϕn

[

8 ]

3. Tensões e Resistência em Engrenagens Helicoidais

Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões

relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser

transmitida. A figura 6 mostra um modelo foto-elástico de um dente em pexiglass em

contato com outro de um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as

linhas de deformação (ou tensão) geradas pelos esforços. A diminuição do

espaçamento dessas linhas significa uma maior concentração de tensões.

Observando a figura é possível identificar a raiz do dente e o ponto de contato entre os

dentes como os pontos de maior tensão, conforme já visto no estudo de engrenagens

de dentes retos.

Figura 6 - Modelo Foto-elástico da Distribuição de Tensões em Dentes de Engrenagens

3.1. Tensões e Resistência na Raiz do Dente

A equação 9 mostra o cálculo das tensões no pé do dente em engrenagens

helicoidais, conforme recomendado pela Associação Americana dos Fabricantes de

Engrenagens (AGMA), órgão regulador nessa matéria na América do Norte. Consiste

basicamente na mesma equação apresentada para dentes retos e, portanto, valem as

mesmas considerações, a menos de duas pequenas modificações. Engrenagens

Helicoidais, devido ao formato dos dentes, não são tão sensíveis ao desalinhamento,

principalmente se houver uma sobreposição de dentes em contato, isto é, mais de um

dente estiver em contato em cada momento, o que é o esperado. Assim, o fator que

leva em consideração a montagem, Km, não precisa ter os valores recomendados

pela tabela 2 do texto sobre engrenagens cilíndricas de dentes retos. A AGMA

recomenda um valor 7 % menor, ou seja, recomenda a inclusão de um multiplicador

de valor 0,93 na equação.

σ=F t

b∗m∗J∗KV∗K0∗(0,93∗Km)

[ 9 ]

Uma segunda diferença leva em consideração o fato de que o perfil dos dentes no

plano ortogonal não é exatamente evolvental. O fator J para engrenagens helicoidais

inclui essa diferença. Esse fator é obtido do gráfico da figura 7 para uma engrenagem

cuja conjugada tenha 75 dentes. Para engrenagens cuja conjugada tenha qualquer

outro número de dentes, a figura 8 mostra o fator de correção que deve ser utilizado.

Os dados de entrada na figura 7 são o número de dentes na engrenagem onde se

quer conhecer a tensão e o ângulo de hélice. Para a figura 8 é necessário utilizar

também o número de dentes da engrenagem conjugada.

Figura 7 - Fator Geométrico J para Engrenagens Helicoidas com Conjugada de 75 dentes.

Figura 8 – Multiplicador para Correção do Fator Geométrico da figura 7 para Conjugadas de

Número de Dentes diferentes de 75.

A resistência à flexão no pé do dente é calculada exatamente da mesma maneira que

para engrenagens de dentes retos. A equação que trata desse tipo de engrenagem

está demonstrada na equação 10.

Sn=S ' n∗CL∗CG∗CS x2∗kr∗k t∗kms [10 ]

3.2. Tensões e Resistência no Contato entre os Dentes

As tensões no contato entre os dentes de engrenagens helicoidais também são

calculadas basicamente da mesma forma que para dentes retos. Novamente, a

recomendação da AGMA para o fator montagem deve ser incluída. Uma segunda

recomendação leva em consideração o número médio de dentes em contato,

representado pelo valor CR na equação. O valor de CR é chamado também de razão

de contato e pode ser calculado pela equação 11.

CR=¿¿ [11]

O termo rij na equação anterior representa um raio: quando i é substituído por a,

representa o raio da cabeça do dente; quando i é substituído por b, representa o raio

de base; quando j é substituído por p, representa o pinhão; quando j é substituído por

c, representa a coroa. Assim, rap é o raio da cabeça do dente do pinhão, e assim por

diante. O termo C é a distância entre centros, ou a soma dos raios primitivos dos dois

elementos. O passo da base pb é dado pela equação 12.

pb=π∗d∗cos∅

N=p∗cos∅

[12]

No cálculo da tensão no contato também deve ser incluída a largura real b’, já que o

contato ocorre no plano normal, ao longo de toda a largura. Essa largura pode ser

calculada dividindo a largura do denteado b pelo cosseno do ângulo de hélice. Assim,

a equação para o cálculo da tensão fica:

σ H=C p∗¿ [13]

Da mesma forma que para as tensões na raiz do dente, não há modificação para a

forma de calcular a resistência à fadiga no contato. A equação 8 da apostila de

engrenagens cilíndricas de dentes retos é repetida abaixo para facilitar o uso desta

apostila. Os fatores multiplicadores foram definidos na apostila citada.

SH=Sfe∗CLI∗CR

[14]

4. Considerações Finais

Engrenagens helicoidais são as mais utilizadas na construção de caixas de câmbio

automotivas e redutores industriais atualmente. O custo total um pouco mais elevado é

suplantado pela sua simplicidade de fabricação e pelas vantagens sobre as de dentes

retos. Algumas características de suas variáveis principais devem ser ressaltadas:

O ângulo de pressão normalizado é o ângulo normal fn e não o ângulo. O valor

do primeiro é, normalmente, 20°.

O módulo normal mn também deve seguir os valores recomendados para o

módulo m, conforme a apostila de engrenagens de dentes retos, embora seja

possível encontrar uma grande quantidade de conjuntos de redução não

normalizados.

Da mesma forma que para engrenagens de dentes retos, é sempre

recomendável procurar valores reais para as resistências ao invés de usar as

estimativas propostas nas equações 10 e 13.

O ângulo de hélice, embora possa ter valor de até 30°, assume muito

comumente o valor de 15°.