Trabalho Lajes - UERJ

Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ

Concreto Armado II

Prof.: Heitor Barreto

Detalhamento de Armaduras de Lajes

1º Semestre - 2008

Julho de 2008 Aluna: Gabriela Ranna

ii

Índice: 1 - Introdução............................................................................................................. 1 2 - Objetivo................................................................................................................ 1 3 - Memória de Cálculos........................................................................................... 1

3.1 - Dados de Cálculo................................................................................................. 1 3.2 - Esquema Estrutural.............................................................................................. 2 3.3 - Pré Dimensionamento.......................................................................................... 2

3.3.1 - Determinação do Cobrimento Mínimo................................................................. 2 3.3.2 - Determinação das Dimensões de Projeto........................................................... 2 3.3.3 - Verificação do Tipo de Armação de Cada Laje................................................... 3 3.3.4 - Cálculo da Altura Útil de Projeto.......................................................................... 3

3.4 - Cálculo das Cargas de Projeto............................................................................ 5 3.4.1 - Carga Permanente............................................................................................... 5 3.4.2 - Carga Acidental................................................................................................... 6 3.4.3 - Carga Total.......................................................................................................... 6

3.5 - Cálculo dos Esforços........................................................................................... 7 3.5.1 - Parâmetros de Cálculo......................................................................................... 7 3.5.2 - Cálculos dos Momentos Fletores......................................................................... 8 3.5.3 - Esforços Cortantes.............................................................................................. 9 3.5.4 - Correção dos Momentos Negativos.................................................................... 10

3.6 - Verificações Prévias para Dimensionamento de Armaduras............................... 11 3.6.1 - Armadura Mínima................................................................................................ 11 3.6.2 - Armadura Máxima............................................................................................... 12 3.6.3 - Bitola Máxima...................................................................................................... 12 3.6.4 - Bitola Mínima....................................................................................................... 12 3.6.5 - Espaçamento Máximo entre Barras.................................................................... 12

3.7 - Dimensionamento de Armaduras........................................................................ 13 3.7.1 - Roteiro para Cálculo das Armaduras.................................................................. 13 3.7.2 - Cálculo dos Momentos Positivos para Lajes armadas em Cruz......................... 14 3.7.3 - Cálculo dos Mom. Pos. para Lajes armadas em Uma só Direção – Laje L2....... 16 3.7.4 - Cálculo dos Momentos Negativos para Lajes armadas em Cruz........................ 18 3.7.5 - Cálculo dos Mom. Neg. para Lajes armadas em Uma só Direção – Laje L6...... 20 3.7.6 - Cálculo dos Momentos Volventes....................................................................... 22

4 - Armadura para Combate de Esforço Cortante.................................................... 22 4.1 - Verificação da Dispensa da Armadura para Combate de Esforço Cortante........ 22

5 - Tabelas de Ferros................................................................................................ 24 5.1 - Ferros Positivos................................................................................................... 24 5.2 - Ferros Negativos................................................................................................. 24 5.3 - Armadura para Momento Volvente...................................................................... 24 5.4 - Resumo de Ferros............................................................................................... 25

6 - Detalhamento das Formas................................................................................. 25 6.1 - Ferros Positivos................................................................................................... 25 6.2 - Ferros Negativos.................................................................................................. 26 6.3 - Momentos Volventes Positivos............................................................................ 27

7 - Bibliografia........................................................................................................... 28 i - Anexo A................................................................................................................ 29 ii - Anexo B................................................................................................................ 30

Concreto Armado II – 1º Semestre de 2008

1

1 – Introdução Estruturas de concreto armado se caracterizam por aproveitarem os benefícios e as propriedades de dois materiais: concreto e aço. Sendo o concreto bastante resistente à compressão e o aço à tração. Este trabalho trata dos cálculos necessários ao correto dimensionamento de quantidades, tamanhos e formato das barras de aço utilizadas em lajes de concreto armado para combater os esforços de tração a que a laje estará submetida durante sua vida útil. 2 – Objetivo De acordo com dados fornecidos (constantes no Anexo A e no Anexo B), calcular os esforços sobre a estrutura dada, a armadura necessária para combatê-los, detalhar esta armadura, fornecer lista de ferros final e detalhar as formas da estrutura. 3 – Memória de Cálculos

3.1 – Dados de Cálculo:

- Utilização: Restaurante; - Revestimento de piso: Tábua de Ipê com espessura de 5cm; - Alvenarias sobre as lajes: Tijolo maciço com espessura de 15cm:

- Sobre as lajes L1 e L4 haverá uma parede com pé-direito de 2,70m e comprimento de 6,00m; - Sobre as lajes L3 e L5 haverá uma parede com pé direito de 2,70m e comprimento de 5,00m; - Sobre a laje L6 haverá um guarda corpo em todo o perímetro com altura de 1,20m.

- Classe de Agressividade Ambiental: CAA-I; - Aço CA-50.


2

3.2 – Esquema Estrutural:

3.3 – Pré-Dimensionamento:

3.3.1 – Determinação do Cobrimento Mínimo:

Classe de Agressividade ambiental: CAA-I - Classe do Concreto: C20 – 20MPa; - Cobrimento Nominal Mínimo: 20mm.

3.3.2 – Determinação das Dimensões de Projeto:

Cada dimensão das lajes será acrescida de 20cm (largura das vigas de projeto) no caso de bordas sem continuidade com outra laje e 10cm (metade da largura da viga de projeto) no caso de lajes com continuidade.

Chamaremos de “l1” a maior dimensão e “l2” a menor.


3

Laje l1 (m) l2 (m) l1 proj (m) l2 proj (m) A proj (m²)

L1 6,00 5,00 6,30 5,30 33,39 L2 10,70 1,80 11,00 2,00 22,00 L3 5,00 4,50 5,30 4,80 25,44 L4 5,00 4,50 5,30 4,70 24,91 L5 6,00 5,00 6,20 5,30 32,86 L6 12,60 1,40 12,60 1,50 18,90

3.3.3 – Verificação do Tipo de Armação de Cada Laje:

As lajes podem ser armadas de duas formas: “Armadura em uma Só Direção” e

“Armadura em Cruz”. Serão armadas em uma só direção as lajes onde, quando se divide a maior dimensão de projeto pela menor, se encontra um resultado maior do que 2 (dois), as armadas em cruz são para os casos onde se encontra um resultado menor do que 2 (dois).

Laje l1 proj (m) l2 proj (m) l1/l2 Tipo de Armadura L1 6,30 5,30 1,19 Armadura em Cruz L2 11,00 2,00 5,50 Armadura em 1 Direção L3 5,30 4,80 1,10 Armadura em Cruz L4 5,30 4,70 1,13 Armadura em Cruz L5 6,20 5,30 1,17 Armadura em Cruz L6 12,60 1,50 8,40 Armadura em 1 Direção

3.3.4 – Cálculo da Altura Útil de Projeto:

Para cada uma das lajes do projeto é calculada uma “Altura Estimada – h”. A altura útil de projeto será a maior altura estimada “h” dentre as lajes de projeto e será aplicada a todas as lajes.

32

2

ϕϕ ×=

Lh

Onde: - h : Altura útil estimada; - 2L : Menor dimensão de projeto da laje;

- 2ϕ : Determinado em função dos vínculos nos apoios e do tipo de armadura utilizada, conforme NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto-Procedimento. No caso de armação em cruz o valor de 2ϕ deve ser interpolado usando-se os dados da tabela da NBR 6118;

- 3ϕ : Determinado em função do tipo de laje e do aço utilizado.

Tabela 01 – Dimensões de Projeto

Tabela 02 – Tipo de Armadura


4

Classificação do Aço

Lajes Maciças

Lajes Nervuradas

CA-25 35 25 CA-32 33 22 CA-40 30 20 CA-50 25 17 CA-60 20 15

Obs.: Os valores indicados com “*” não devem ser utilizados para casos onde for verificado que a laje é armada em uma só direção.

Laje l1 proj (m) l2 proj (m) Tipo de Armadura 2ϕ 3ϕ h (m) L1 6,30 5,30 Armadura em Cruz 1,72 25 0,12

L2 11,00 2,00 Armadura em 1 Direção

- Laje duplamente engastada

1,70 25 0,05

L3 5,30 4,80 Armadura em Cruz 1,76 25 0,11 L4 5,30 4,70 Armadura em Cruz 1,75 25 0,11 L5 6,20 5,30 Armadura em Cruz 1,73 25 0,12

L6 12,60 1,50 Armadura em 1 Direção

- Laje em Balanço 0,50 25 0,12

Tabela 03 – Determinação de 3ϕ

2.21.7 1.7

2.01.71.9

1.71.7

1.71.7

1.42.0 1.8

1.41.31.3

1.71.4

1.41.3

1.21.9 1.7

1.11.01.0

1.51.1

1.11.0

0.51.7 1.4

0.50.60.5

1.10.5

0.70.5

0.5*1.7 1.3

0.5*0.50.3*

1.00.5*

0.60.5*

maiorL

menorL

Tabela 04 – Determinação de 2ϕ

Tabela 05 – Valores de h estimado


5

Portanto, conforme a tabela 05, a altura útil de projeto, ou seja, a espessura considerada para todas as lajes de projeto será de 12cm.

3.4 – Cálculo das Cargas de Projeto:

3.4.1 – Carga Permanente:

a) Peso Próprio:

O peso próprio por m² de laje é o resultado da multiplicação do peso específico do concreto armado (25kN/m³) pela espessura da laje. É o mesmo para todas as lajes.

23 /312,0/25 mkNmmkNPP

hPP Conreto

=×=

×= γ

b) Carga Devida a Revestimentos:

As lajes costumam ser revestidas por algum tipo de pavimentação. No caso deste

projeto o revestimento do piso será de tábuas de Ipê com 5cm de espessura. A carga do revestimento por m² de laje é o resultado da multiplicação do peso

específico do revestimento pela sua espessura. É o mesmo para todas as lajes. Conforme a tabela 01 da NBR 6120 – Cargas para Cálculo de Estruturas de

Edificações, o peso específico do Ipê é de 10kN/m³.

23 /5,005,0/10Re

Re

mkNmmkNv

espv Ipê

=×=

×= γ

c) Carga Devida à Alvenaria:

As alvenarias, que por ventura existam sobre as lajes, também têm caráter de

cargas permanentes. A carga da alvenaria por m² de laje é o resultado da multiplicação do peso

específico da alvenaria pela sua área, dividida pela área total da laje. Varía para cada laje.

No caso deste projeto foi especificada alvenaria de tijolo maciço com 15cm de espessura.

Conforme a tabela 01 da NBR 6120 – Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações, o peso específico do tijolo maciço é de 18kN/m³.

Laje l1 proj (m) l2 proj (m) PD Alv.(m) Comp.Alv. (m)

Esp.Alv. (m)

P.Esp. Tijolo

(kN/m³)

Carga Alvenaria (kN/m²)

L1 6,30 5,30 2,70 6,00 0,15 18 1,31 L2 11,00 2,00 0,00 0,00 0,00 18 0,00 L3 5,30 4,80 2,70 5,00 0,15 18 1,43 L4 5,30 4,70 2,70 6,00 0,15 18 1,76 L5 6,20 5,30 2,70 5,00 0,15 18 1,11 L6 12,60 1,50 1,00 15,40 0,15 18 2,20

Tabela 06 – Carga de Alvenaria


6

d) Carga Permanente Total:

A carga permanente total é a soma das cargas devidas ao peso próprio, revestimentos e alvenarias de cada laje.

Laje Carga

Peso Prop. (kN/m²)

Carga Revest. (kN/m²)

Carga Alvenaria (kN/m²)

Carga Permanente Total (kN/m²)

L1 3,00 0,50 1,31 4,81 L2 3,00 0,50 0,00 3,50 L3 3,00 0,50 1,43 4,93 L4 3,00 0,50 1,76 5,26 L5 3,00 0,50 1,11 4,61 L6 3,00 0,50 2,20 5,70

3.4.2 – Carga Acidental:

Carga acidental é a carga por m² normatizada pela NBR-6120 que relaciona um certo valor ao uso esperado da laje que está sendo calculada.

No caso deste projeto as lajes serão usadas como um restaurante. De acordo com a NBR 6120, tabela 02, a carga acidental para restaurantes é de

3kN/m². Para lajes em ambientes externos, sujeitas a chuvas, devemos considerar uma

carga acidental extra equivalente a 20cm de água, ou seja 2kN/m². Isto acontecerá neste projeto à laje L6.

3.4.3 – Carga Total:

É o somatório das cargas permanentes e acidentais.

Laje Carga

Permanente Total (kN/m²)

Carga Acidental (kN/m²)

Carga Total

(kN/m²)

L1 4,81 3,00 7,81 L2 3,50 3,00 6,50 L3 4,93 3,00 7,93 L4 5,26 3,00 8,26 L5 4,61 3,00 7,61 L6 5,70 5,00 10,70

Tabela 07 – Total de Carga Permanente

Tabela 08 – Carga Total


7

3.5 – Cálculo dos Esforços:

3.5.1 – Parâmetros de Cálculo:

Para todas as lajes armadas em cruz usaremos o método da Tabelas de Marcus para relacionar os parâmetros necessários aos cálculos dos momentos positivos e negativos.

Largamente utilizadas no cálculo aproximado de lajes maciças, as Tabelas de Marcus possuem coeficientes que dependem das condições de apoio e da relação entre os vãos, baseando-se na comparação dos resultados obtidos pelo processo das grelhas com os da teoria das placas (Cunha e Souza, 1998).

De acordo com as Tabelas de Marcus as lajes são classificadas em “casos” de acordo com suas condições de apoio.

Para cada caso acima descriminado existe uma tabela relacionando um valor λ a

parâmetros −++XYX nmm ,, e −

Yn . Sendo:

00,2≤=X

Y

L

Lλ

Laje Caso λλλλ mx+ my

+ nx- ny

- L1 3,00 1,19 0,0366 0,0258 0,0834 0,0589 L2 - 5,50 - - - - L3 3,00 1,10 0,0322 0,0266 0,0743 0,0614 L4 3,00 1,13 0,0337 0,0264 0,0775 0,0607

L5 3,00 1,17 0,0356 0,0260 0,0815 0,0596

L6 - 8,40 - - - -

Tabela 09 – Parâmetros das Tabelas de Marcus


8

3.5.2 – Cálculos dos Momentos Fletores:

Seguem abaixo as fórmulas usadas para cálculo dos momentos fletores em cada laje e as definições dos termos utilizados.

a) Lajes Armadas em Cruz - Xl : Comprimento da laje no eixo horizontal;

- Yl : Comprimento da laje no eixo vertical;

- +XM : Momento positivo máximo na direção de Xl ;

- +YM : Momento positivo máximo na direção de Yl ;

- −XM : Momento negativo máximo na direção de Xl ;

- −YM : Momento negativo máximo na direção de Yl ;

- p : Carga total; - g : Carga permanente; - q : Carga acidental;

2XXX lpmM ××= ++ 2YYY lpmM ××= ++ 2XXX lpnM ××= −− 2YYY lpnM ××= −−

b) Lajes Armadas em uma Só Direção

b.1) Lajes Bi-Engastadas (neste caso, na direção de Xl ): Laje L2

24

2X

X

lpM

×=+

12

2X

X

lpM

×=−

b.2) Lajes em Balanço (neste caso na direção de Yl ): Laje L6 Para lajes em balanço com guarda-corpo na periferia, devemos considerar para

cálculo do momento total, além da carga distribuída pela laje, uma carga vertical aplicada no eixo do guarda-corpo igual ao peso do próprio guarda-corpo somado a uma carga de 2kN e uma carga horizontal aplicada no topo do guarda-corpo de 0,8kN.

Carga vertical: kNp

kNespmhp

V

tijoloCorpoGuardaCorpoGuardaV

70,42)1815,000,100,1(

2)1(

=+×××=

+×××= −− γ

Carga Horizontal: kNpH 80,0=

CorpoGuardaHCorpoGuarda

YVY

Y hpesp

lplp

M −−− ×+

−×+

×=

22

2


9

Laje L1 Laje L2 Laje L3 Laje L4 Laje L5 Laje L6

Car

gas

e V

ãos

Teó

ricos

g(kN/m²) 4,81 3,50 4,93 5,26 4,61 5,70

q(kN/m²) 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 5,00

p(kN/m²) 7,81 6,50 7,93 8,26 7,61 10,70

lx(m) 5,30 2,00 5,30 5,30 5,30 12,60

ly(m) 6,30 11,00 4,80 4,70 6,20 1,50

Mom

. F

leto

res

(p)

-

(kN

m/m

) Mx(+) 8,029 1,083 7,173 7,819 7,610 -

My(+) 5,660 - 5,925 6,125 5,558 -

Mx(-) 18,297 2,167 16,551 17,982 17,422 -

My(-) 12,922 - 13,677 14,084 12,740 19,789

Mom

. F

leto

res

(100

% g

) -

(kN

m/m

) Mx(+) 4,945 0,583 4,459 4,979 4,610 -

My(+) 3,486 - 3,684 3,901 3,367 -

Mx(-) 11,268 1,167 10,289 11,451 10,554 -

My(-) 7,958 - 8,503 8,969 7,718 6,413

Mom

. F

leto

res

(70%

q)

- (k

Nm

/m) Mx(+) 2,159 0,350 1,899 1,988 2,100 -

My(+) 1,522 - 1,569 1,557 1,534 -

Mx(-) 4,920 0,700 4,383 4,572 4,808 -

My(-) 3,474 - 3,622 3,581 3,516 3,938

3.5.3 – Esforços Cortantes:

Os esforços cortantes em cada laje serão calculados de acordo com o “Teorema

das Linhas de Ruptura”. Este teorema divide cada laje em áreas de contribuição de acordo com o tipo de apoio em cada um dos quatro lados da laje.

Tabela 10 – Momentos Fletores


10

Segue abaixo planilha relacionando os lados das lajes aos seus respectivos

cortantes:


Car

gas

e V

ãos

Teó

ricos

p(kN/m²) 7,81 6,50 7,93 8,26 7,61 10,70

lx(m) 5,30 2,00 5,30 5,30 5,30 12,60

ly(m) 6,30 11,00 4,80 4,70 6,20 1,50

Rea

ções

U

nif.D

istr

ib.

(kN

/m²)

Q1 8,279 2,167 8,406 13,133 12,100 20,750

Q2 12,418 2,167 12,609 8,756 8,067 -

Q3 11,403 1,904 10,230 6,773 16,209 -

Q4 17,104 1,904 6,820 10,160 10,806 -

3.5.4 – Correção dos Momentos Negativos:

Duas lajes contínuas entre si costumam ter momentos negativos também

diferentes entre si. É necessário calcular o momento que será empregado para o dimensionamento das armaduras negativas. Segue abaixo regra de correção dos momentos negativos:

( )

×

+≥−

MAIORM

MMM

8,02

21


Mom

. Fle

tore

s (p

) -

(k

Nm

/m)

M (-) esq 18,297 2,167 17,982 2,167 12,922 13,677

M (-) dir 2,167 16,551 2,167 17,422 14,084 12,740

M (-) médio 10,232 9,359 10,074 9,794 13,503 13,209 0,8M (-) maior 14,637 13,240 14,385 13,937 11,267 10,942

M (-) corrigido 14,637 13,240 14,385 13,937 13,503 13,209

Mom

. Fle

tore

s (1

00%

g)

- (k

Nm

/m) M (-) esq 11,268 1,167 11,451 1,167 7,958 8,503

M (-) dir 1,167 10,289 1,167 10,554 8,969 7,718

M (-) médio 6,218 5,728 6,309 5,860 8,463 8,110 0,8M (-) maior 9,015 8,231 9,161 8,443 7,175 6,802

M (-) corrigido 9,015 8,231 9,161 8,443 8,463 8,110

Mom

. Fle

tore

s (7

0% q

) -

(kN

m/m

) M (-) esq 4,920 0,700 4,572 0,700 3,474 3,622

M (-) dir 0,700 4,383 0,700 4,808 3,581 3,516

M (-) médio 2,810 2,541 2,636 2,754 3,528 3,569 0,8M (-) maior 3,936 3,506 3,657 3,846 2,865 2,898

M (-) corrigido 3,936 3,506 3,657 3,846 3,528 3,569

Tabela 11 – Esforços Cortantes

Tabela 12 – Momentos Fletores Negativos Corrigidos


11

3.6 – Verificações Prévias para Dimensionamento de Armaduras:

3.6.1 – Armadura Mínima:

A área mínima de aço é calculada de acordo com a NBR 6118. É uma relação

entre a área mínima necessária de aço e a área total de concreto da seção. a) Amadura Negativa:

%150,0

25

tanRe

.

=⇒

−MIN

CConcreto

gularSeção

NegativaArm

ρ

cmhh

cmb

mcmhbA

Util

MINMINS

12

100

/80,112100100

150,0 2

===

=××=××≥− ρ

b) Armadura Positiva Armada em Cruz:

%1005,0%150,067,067,0

25

tanRe

.

=×=×=⇒

−MINS

CConcreto

gularSeção

PositivaArm

ρρ

cmhh

cmb

mcmhbA

Util

MINMINS

12

100

/206,112100100

1005,0 2

===

=××=××≥− ρ

c) Armadura Secundária para Laje Armada em uma Só Direção:

=××⇒=×=×

×

≥−

−

mcmhb

mcm

A

A

MIN

PRINCIPALS

SECUNDARIAS

/9,0100

075,0%075,0%150,05,05,0

/9,0

%20

2

2

ρ


12

3.6.2 – Armadura Máxima:

A área máxima de aço é calculada de acordo com a NBR 6118. É uma relação entre a área máxima possível de aço e a área total de concreto da seção.

cmhh

cmb

mcmhbA

Util

MAXS

12

100

/00,4812100100

0,4%0,4 2

===

=××=××≤−

3.6.3 – Bitola Máxima:

As barras das armaduras de flexão não devem superar 1/8 da altura útil das lajes.

cmhh

cmb

mmcmh

Util

Util

12

100

0,1550,18

12

8

===

===≤φ

Sendo assim, a bitola comercial máxima será:

mkgPcmAmmComercial /963,0227,15,12 5,12

25,12 =⇒=⇒= φφφφ

3.6.4 – Bitola Mínima:

Para evitar amassamento e deslocamento das barras devido ao trânsito de trabalhadores sobre as armaduras das lajes, convenciona-se o uso de bitolas mínimas, sendo:

- Para armações positivas: mmMIN 3,6φφ ≥ ;

- Para armações negativas: mmMIN 0,8φφ ≥ .

3.6.5 – Espaçamento Máximo entre Barras:

Visado à proteção integral da estrutura, nas regiões de maiores momentos das

lajes o espaçamento máximo da armadura principal é calculado da seguinte forma:

=×=×≤

cmh

cms

UtilMAX 241222

20

Vamos adotar o menor valor, ou seja, 20cm. Para armaduras secundárias adota-se o espaçamento máximo como, no mínimo 3

barra por metro, ou seja, 33cm. Vamos adotar 30cm.


13

3.7 –Dimensionamento de Armaduras:

3.7.1 – Roteiro para Cálculo das Armaduras

A partir da base de dados pertinente a cada laje devemos verificar o Domínio de

trabalho desta estrutura e, em seguida, determinar a área mínima de aço para garantir o bom funcionamento da mesma.

Para cada laje é necessário que se faça uma verificação com, pelo menos, duas bitolas de barras. A bitola que se mostrar mais econômica será a utilizada.

Abaixo segue roteiro de dimensionamento e detalhamento: a) Base de Dados:

4,1.)(

5,95,212

255202

0,10

0,2

/000.20

12

100

'

'

2

×==−=−=

=+=+=

==

=

==

actMomentoCarMM

cmdhd

mmCd

mm

cmC

cmkNF

cmh

cmb

KD

Util

EstimadoNom

Estimado

Nom

CK

Util

φφφ

b) Verificação do Domínio: De acordo com o valor de MDK a laje estará em um

determinado domínio.

CD

DMD Fdb

MK

××=

2

c) Área de Aço: Calculamos no mínimo duas bitolas e seus respectivos

espaçamentos mínimos.

SDZ

DS dK

MA

σ××=

2


14

3.7.2 – Cálculo dos Momentos Positivos para Lajes armadas em Cruz

As lajes armadas em cruz terão momentos positivos nos dois sentidos, ou seja, x e y.

Abaixo segue planilha com todas as lajes armadas em cruz, seus dimensionamentos e detalhamentos de suas respectivas armaduras:

Laje L1 Laje L3 Laje L4 Laje L5

Dad

os d

e cá

lcul

o

b (cm) 100 100 100 100

h (cm) 12 12 12 12

Fck (kN/cm²) 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00

Fcd (kN/cm²) 14.285,71 14.285,71 14.285,71 14.285,71

Fyd (kN/cm²) 43,48 43,48 43,48 43,48

Cnom (cm) 2,00 2,00 2,00 2,00

φφφφest (mm) 10,0 10,0 10,0 10,0

d' (cm) 2,5 2,5 2,5 2,5

d=h-d' (cm) 9,5 9,5 9,5 9,5

As,min (cm²/m) 1,80 1,80 1,80 1,80

As,max (cm²/m) 48,00 48,00 48,00 48,00

φφφφmáx (mm) 15,0 15,0 15,0 15,0

φφφφmáx,com (mm) 12,5 12,5 12,5 12,5

smáx (cm) 20 20 20 20

Arm

adur

a P

ositi

va (

Dir.

x)

- D

imen

sion

amen

to e

Det

alh

amen

to

Mk+ (kNm/m) 8,029 7,173 7,819 7,610

Md+ (kNm/m) 11,241 10,042 10,947 10,654

Kmd 0,087 0,078 0,085 0,083

Domínio 2 2 2 2

Kz 0,946 0,952 0,947 0,949

As (cm²/m) 2,877 2,554 2,799 2,718

L (f.ext vigas) (m)

5,40 5,40 5,40 5,40

Comprim.Tot./ Barra (m)

5,35 5,35 5,35 5,35

Opções: 1ª Op. 2ª Op. 1ª Op. 2ª Op. 1ª Op. 2ª Op. 1ª Op. 2ª Op.

φφφφ (mm) 8,0 6,3 8,0 6,3 8,0 6,3 8,0 6,3

Aφ (cm²) 0,503 0,312 0,503 0,312 0,503 0,312 0,503 0,312

s calc (cm) 17,5 10,8 19,7 12,2 18,0 11,1 18,5 11,5

s adot (cm) 17,5 10,0 17,5 10,0 17,5 10,0 17,5 10,0

Barras / m 6 11 6 11 6 11 6 11

Pφ (kg/m) 0,395 0,245 0,395 0,245 0,395 0,245 0,395 0,245 Peso Total

(kg/m) 12,680 14,418 12,680 14,418 12,680 14,418 12,680 14,418

Tabela 13 – Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras Positivas das Lajes Armadas em Cruz


15

Arm

adur

a P

ositi

va (

Dir.

y)

- D

imen

sion

amen

to e

Det

alh

amen

to

Mk+ (kNm/m) 5,660 5,925 6,125 5,558

Md+ (kNm/m) 7,924 8,295 8,575 7,781

Kmd 0,061 0,064 0,067 0,060

Domínio 2 2 2 2

Kz 0,963 0,961 0,959 0,963

As (cm²/m) 1,992 2,090 2,165 1,956

L (f.ext vigas) (m)

6,40 4,90 4,90 6,40

Comprim.Tot./Barra (m)

6,35 4,85 4,85 6,35


φφφφ (mm) 8,0 6,3 8,0 6,3 8,0 6,3 8,0 6,3

Aφ (cm²) 0,503 0,312 0,503 0,312 0,503 0,312 0,503 0,312

s calc (cm) 25,3 15,7 24,1 14,9 23,2 14,4 25,7 16,0

s adot (cm) 20,0 15,0 20,0 12,5 20,0 12,5 20,0 15,0

Barras / m 6 7 6 9 6 9 6 7

Pφ (kg/m) 0,395 0,245 0,395 0,245 0,395 0,245 0,395 0,245 Peso Total

(kg/m) 15,050 10,890 11,495 10,694 11,495 10,694 15,050 10,890

Tabela 13 (Continuação) – Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras Positivas das Lajes

Armadas em Cruz


16

3.7.3 – Cálculo dos Momentos Positivos para Lajes armadas em Uma só Direção – Laje L2

As lajes armadas em uma só direção terão momentos positivos somente no

sentido principal. No caso deste projeto, a laje L2 terá armadura positiva principal no sentido de x.

Como não se deve deixar o concreto trabalhar sozinho, devemos prever uma armadura secundária na outra direção. Sendo a área desta armadura igual a 20% da área da armadura principal e seu espaçamento máximo de 33cm (vamos adotar 30cm).

Abaixo segue planilha com o dimensionamento e detalhamento da laje L2:

Laje L2

Dad

os d

e cá

lcul

o

b (cm) 100

h (cm) 12

Fck (kN/cm²) 20.000,00

Fcd (kN/cm²) 14.285,71

Fyd (kN/cm²) 43,48

Cnom (cm) 2,00

φφφφest (mm) 10,0

d' (cm) 2,5

d=h-d' (cm) 9,5

As,min (cm²/m) 1,80

As,max (cm²/m) 48,00

φφφφmáx (mm) 15,0

φφφφmáx,com (mm) 12,5

smáx (cm) 20

Tabela 14 – Dimensionamento e Detalhamento da Armadura Positiva da Laje Armada em uma Só Direção

(L2)


17

Arm

adur

a P

ositi

va (

Dir.

x)

- D

imen

sion

amen

to e

Det

alh

amen

to Mk

+ (kNm/m) 1,083

Md+ (kNm/m) 1,516

Kmd 0,012

Domínio 2

Kz 0,995

As (cm²/m) 0,369

As-Principal

(cm²/m) 1,800

L (f.ext vigas) (m) 2,20


2,15

Opções: 1ª Op. 2ª Op.

φφφφ (mm) 8,0 6,3

Aφ (cm²) 0,503 0,312

s calc (cm) 27,9 17,3

s adot (cm) 20,0 15,0

Barras / m 6 7

Pφ (kg/m) 0,395 0,245

Peso Total (kg) 5,096 3,687

Arm

adur

a S

ecun

dária

(D

ir. y

) -

Dim

ensi

onam

ento

e D

etal

ham

ento

20%Aprinc (cm²/m)

0,360



11,05


φφφφ (mm) 8,0 6,3

Aφ (cm²) 0,503 0,312

s calc (cm) 139,7 86,7

s adot (cm) 30,0 30,0

Barras / m 4 4

Pφ (kg/m) 0,395 0,245

Peso Total (kg/m) 17,459 10,829

Tabela 14 (continuação) – Dimensionamento e Detalhamento da Armadura Positiva da Laje Armada em

uma Só Direção (L2)


18

3.7.4 – Cálculo dos Momentos Negativos para Lajes armadas em Cruz

As lajes armadas em cruz terão momentos negativos nos dois sentidos, ou seja, x e y, onde houver continuidade com outra laje.

Abaixo segue planilha com todas as lajes armadas em cruz, seus dimensionamentos e detalhamentos de suas respectivas armaduras negativas:

Limite L1/L2 Limite L2/L3 Limite L4/L2 Limite L2/L5

Dad

os d

e cá

lcul

o

b (cm) 100 100 100 100

h (cm) 12 12 12 12

Fck (kN/cm²) 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00

Fcd (kN/cm²) 14.285,71 14.285,71 14.285,71 14.285,71

Fyd (kN/cm²) 43,48 43,48 43,48 43,48

Cnom (cm) 2,00 2,00 2,00 2,00

d=h-d' (cm) 9,5 9,5 9,5 9,5

As,min (cm²/m) 1,80 1,80 1,80 1,80

As,max (cm²/m) 48,00 48,00 48,00 48,00

φφφφmáx,com (mm) 12,5 12,5 12,5 12,5

smáx (cm) 20 20 20 20

Arm

adur

a N

egat

iva

(Dir.

x)

- D

imen

sion

amen

to e

Det

alh

amen

to

Mk+ (kNm/m) 14,637 13,240 14,385 13,937

Md+ (kNm/m) 20,492 18,536 20,139 19,512

Kmd 0,159 0,144 0,156 0,151

Domínio 3 2 2 2

Kz 0,896 0,907 0,898 0,901

As (cm²/m) 5,399 4,857 5,209 5,152

Vão Teórico - Esq/Acima (m)

5,30 2,00 5,30 2,00

L - Esq/Acima (m) 1,33 0,40 1,06 0,50

Vão Teórico - Dir/Abaixo (m)

2,00 5,30 2,00 5,30

L - Dir/Abaixo (m) 0,40 1,33 0,50 1,06

L - Adotado (m)

1,33 1,33 1,06 1,06

Gancho (m) 0,05 0,05 0,05 0,05


2,75 2,75 2,22 2,22


φφφφ (mm) 8,0 10,0 8,0 10,0 8,0 10,0 8,0 10,0

Aφ (cm²) 0,503 0,785 0,503 0,785 0,503 0,785 0,503 0,785

s calc (cm) 9,3 14,5 10,4 16,2 9,7 15,1 9,8 15,2

s adot (cm) 7,5 12,5 10,0 15,0 7,5 15,0 7,5 15,0

Barras / m 14 9 11 7 14 7 14 7

Pφ (kg/m) 0,395 0,617 0,395 0,617 0,395 0,617 0,395 0,617 Peso Total (kg /m) 15,208 15,271 11,949 11,877 12,277 9,588 12,277 9,588

Tabela 15 – Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras Negativas das Lajes Armadas em Cruz


19

Limite L1/L4 Limite L3/L5

Dad

os d

e cá

lcul

o

b (cm) 100 100

h (cm) 12 12

Fck (kN/cm²) 20.000,00 20.000,00

Fcd (kN/cm²) 14.285,71 14.285,71

Fyd (kN/cm²) 43,48 43,48

Cnom (cm) 2,00 2,00

d=h-d' (cm) 9,5 9,5

As,min (cm²/m) 1,80 1,80

As,max (cm²/m) 48,00 48,00

φφφφmáx,com (mm) 12,5 12,5

smáx (cm) 20 20

Arm

adur

a N

egat

iva

(Dir.

y)

- D

imen

sion

amen

to e

Det

alh

amen

to

Mk+ (kNm/m) 13,503 13,209

Md+ (kNm/m) 18,904 18,493

Kmd 0,147 0,143

Domínio 2 2

Kz 0,904 0,907

As (cm²/m) 5,063 4,936


5,30 4,80

L - Esq/Acima (m) 1,33 1,20


4,70 5,30

L - Dir/Abaixo (m) 0,94 1,06

L - Adotado (m)

1,33 1,20

Gancho (m) 0,05 0,05


2,75 2,50

Opções: 1ª Op. 2ª Op. 1ª Op. 2ª Op.

φφφφ (mm) 8,0 10,0 8,0 10,0

Aφ (cm²) 0,503 0,785 0,503 0,785

s calc (cm) 9,9 15,5 10,2 15,9

s adot (cm) 7,5 15,0 10,0 15,0

Barras / m 14 7 11 7

Pφ (kg/m) 0,395 0,617 0,395 0,617

Peso Total (kg/m) 15,208 11,877 10,863 10,798

Tabela 15 (continuação) – Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras Negativas das Lajes

Armadas em Cruz


20

3.7.5 – Cálculo dos Momentos Negativos para Lajes armadas em Uma só Direção – Laje L6

As lajes armadas em uma só direção terão momentos negativos somente no

sentido principal. No caso deste projeto, a laje L6 terá armadura positiva principal no sentido de y.

Como não se deve deixar o concreto trabalhar sozinho, devemos prever uma armadura secundária na outra direção. Sendo a área desta armadura igual a 20% da área da armadura principal e seu espaçamento máximo de 33cm (vamos adotar 30cm).

Abaixo segue planilha com o dimensionamento e detalhamento da laje L6:

L6

Dad

os d

e cá

lcul

o

b (cm) 100

h (cm) 12

Fck (kN/cm²) 20.000,00

Fcd (kN/cm²) 14.285,71

Fyd (kN/cm²) 43,48

Cnom (cm) 2,00

d=h-d' (cm) 9,5

As,min (cm²/m) 1,80

As,max (cm²/m) 48,00

φφφφmáx,com (mm) 12,5

smáx (cm) 20

Tabela 16 – Dimensionamento e Detalhamento da Armadura Negativa da Laje Armada em Uma Só

Direção (L6)


21

Arm

adur

a N

egat

iva

(Dir.

y)

- D

imen

sion

amen

to e

Det

alh

amen

to

Mk+ (kNm/m) 19,789

Md+ (kNm/m) 27,705

Kmd 0,215

Domínio 3

Kz 0,851

As (cm²/m) 7,882


2,00

L - Esq/Acima (m) 0,40


1,50

L - Dir/Abaixo (m) 0,38

L - Adotado (m)

0,40

Gancho (m) 0,05


2,00


φφφφ (mm) 8,0 10,0

Aφ (cm²) 0,503 0,785

s calc (cm) 6,4 10,0

s adot (cm) 5,0 10,0

Barras / m 21 11

Pφ (kg/m) 0,395 0,617

Peso Total (kg/m) 16,590 13,574

Arm

adur

a S

ecun

dária

(D

ir. y

) -

Dim

ensi

onam

ento

e D

etal

ham

ento

20%Aprinc (cm²/m)

1,576



12,65


φφφφ (mm) 8,0 10,0

Aφ (cm²) 0,503 0,785

s calc (cm) 31,9 49,8

s adot (cm) 30,0 30,0

Barras / m 4 4

Pφ (kg/m) 0,395 0,617

Peso Total (kg/m) 19,987 31,220

Tabela 16 (continuação) – Dimensionamento e Detalhamento da Armadura Negativa da Laje Armada

em Uma Só Direção (L6)


22

3.7.6 – Cálculo dos Momentos Volventes

Como as lajes, as vigas e os pilares formam uma estrutura monolítica de concreto ocorre o chamado “momento volvente” nos cantos das lajes onde os vãos sã maiores que 4m.

Este momento volvente empurra a ponta da laje para cima, sendo necessário que seja prevista uma malha positiva e outra negativa para combatê-lo.

Esta malha terá 20% do comprimento do menor vão e sua bitola será a mesma da armadura positiva para o maior momento da laje.

Neste projeto as únicas lajes que precisam de armadura para combate de momento volvente são a L1 e a L3.

Segue abaixo planilha com dimensionamento e detalhamento para as lajes acima citadas:

Laje L1 Laje L3

Arm

adur

a P

ositi

va lx (m) 5,30 5,30

ly (m) 6,30 4,80

L arm.mom .volv. (m) 1,06 0,96

φφφφAdotado p/ As+ (mm) 8,0 8,0

s Adotado p/ As+ (cm) 17,5 17,5

Nº Barras 6 6

Arm

adur

a N

egat

iva lx (m) 5,30 5,30

ly (m) 6,30 4,80

L arm.mom.volv. (m) 1,06 0,96

φφφφAdotado p/ As+ (mm) 8,0 8,0

s Adotado p/ As+ (cm) 17,5 17,5

Nº Barras 6 6

4 – Armadura para Combate de Esforço Cortante

4.1 – Verificação da Dispensa da Armadura para Combate de Esforço Cortante:

Conforme a NBR 6118, item 19.4.1, a armadura transversal de combate aos

esforços cortantes pode ser dispensada quando a força cortante de cálculo SDV for

menor ou igual à resistência de projeto ao cisalhamento 1RDV . A resistência de projeto para lajes sem armadura ativa é dada conforme

expressão a seguir: Onde: - RDτ : Tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;

Tabela 17 – Dimensionamento e Detalhamento da Armadura para Combate do Momento Volvente

db)40ρ(1.2kτV w1RdRd1 ××+××=


23

- k : Coeficiente que varia de acordo com a armadura e a espessura da laje ( dk −= 6,1 quando mais de 50% da armadura inferior estende-se até o apoio);

- 1ρ : Taxa de armadura longitudinal que se estende até Necbld −+ além, da seção

considerada; - Wb : Largura útil da seção;

- d : Altura útil. Abaixo expressão para cálculo de RDτ :

4,1

3,07,025,0 32

CKRD

F×××=τ

Os cálculos da verificação da dispensa das armaduras para combate de esforço

cortante seguem em planilha abaixo:

VSd < VRd1 Laje L1 Laje L2 Laje L3 Laje L4 Laje L5 Laje L6

Dad

os d

e C

álcu

lo b (cm) 100 100 100 100 100 100

h (cm) 12 12 12 12 12 12

d (cm) 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5

Fck (kN/m²) 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

Fct,m (kN/m²) 221,04 221,04 221,04 221,04 221,04 221,04

Fctk,inf (kN/m²) 154,73 154,73 154,73 154,73 154,73 154,73

Fctd (kN/m²) 110,52 110,52 110,52 110,52 110,52 110,52

Ver

ifica

ção

na

Dire

ção

x

As1 (cm²) 3,018 1,872 3,018 3,018 3,018

Na

dire

ção

x a

Laje

L6

te

m a

rmad

ura

secu

ndár

ia

VK,máx (kN) 17,104 1,904 10,230 10,160 16,209

VSd,máx (kN) 23,945 2,666 14,322 14,224 22,693

ττττRd (kN/m²) 276,302 276,302 276,302 276,302 276,302

k = 1.6-d(m) 1,505 1,505 1,505 1,505 1,505

ρρρρ1 0,003 0,002 0,003 0,003 0,003

VRd1 (kN) 52,43 50,52 52,43 52,43 52,43

Status OK! OK! OK! OK! OK!

Ver

ifica

ção

na

Dire

ção

y

As1 (cm²) 2,184

Na

dire

ção

y a

Laje

L2

te

m a

rmad

ura

secu

ndár

ia 2,184 2,184 2,184 1,872

VK,máx (kN) 12,418 12,609 13,133 12,100 20,750

VSd,máx (kN) 17,385 17,652 18,387 16,940 29,050

ττττRd (kN/m²) 276,302 276,302 276,302 276,302 276,302

k = 1.6-d(m) 1,505 1,505 1,505 1,505 1,505

ρρρρ1 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002

VRd1 (kN) 52,43 52,43 52,43 52,43 52,43

Status OK! OK! OK! OK! OK!

Tabela 18 – Dimensionamento e Detalhamento da Dispensa de Armadura para Combate ao Esforço Cortante


24

5 – Tabelas de Ferros

5.1 – Ferros Positivos:

Nome Quant. L unit.(cm) L total (m) Espaç.

(cm) Bitola (mm)

Massa Nom. (kg/m)

Peso total (kg)

N01 37 535 197,95 17,5 8,0 0,395 78,19 N02 77 215 165,55 15,0 6,3 0,245 40,56 N03 28 535 149,80 17,5 8,0 0,395 59,17 N04 28 535 149,80 17,5 8,0 0,395 59,17 N05 37 535 197,95 17,5 8,0 0,395 78,19 N06 37 635 234,95 15,0 6,3 0,245 57,56 N07 8 1105 88,40 30,0 6,3 0,245 21,66 N08 47 485 227,95 12,5 6,3 0,245 55,85 N09 47 485 227,95 12,5 6,3 0,245 55,85 N10 37 635 234,95 15,0 6,3 0,245 57,56 N11 5 1255 62,75 30,0 6,3 0,245 15,37 N12 42 150 63,00 30,0 6,3 0,245 15,44

Total (kg) 594,57

5.2 – Ferros Negativos:


(cm) Bitola (mm)

Massa Nom. (kg/m)

Peso total (kg)

N13 56 275 154,00 12,5 10,0 0,617 95,02 N14 33 275 90,75 15,0 10,0 0,617 55,99 N15 33 222 73,26 15,0 10,0 0,617 45,20 N16 43 222 95,46 15,0 10,0 0,617 58,90 N17 37 275 101,75 15,0 10,0 0,617 62,78 N18 37 250 92,50 15,0 10,0 0,617 57,07 N19 138 200 276,00 10,0 10,0 0,617 170,29 N20 6 1265 75,90 30,0 8,0 0,395 29,98

Total (kg) 575,24

5.3 – Armadura para Momento Volvente:


(cm) Bitola (mm)

Massa Nom. (kg/m)

Peso total (kg)

N21 12 106 12,72 17,5 8,0 0,395 5,02 N22 12 96 11,52 17,5 8,0 0,395 4,55 N23 12 106 12,72 17,5 8,0 0,395 5,02 N24 12 96 11,52 17,5 8,0 0,395 4,55

Total (kg) 19,15


25

5.4 – Resumo de Ferros:

Bitola (mm) L total (m) Peso total

(kg) 6,3 1.305,50 319,85 8,0 819,88 323,85 10,0 883,72 545,26

Total (kg) 1.188,96

6 – Detalhamento das Formas

6.1 – Ferros Positivos:


26

6.2 – Ferros Negativos:


27

6.3 – Momentos Volventes Positivos:


28

7 – Bibliografia:

7.1 – NBR 6118 - 2004 – Projetos de Estruturas de Concreto; 7.2 – NBR 6120 - 1980 – Cargas para Cálculos de Estruturas de

Edificações; 7.3 – Apostila de Concreto Armado – Versão 2007/2008 – Autor: Professor Heitor Barreto.


29

Anexo A – Lista de Chamada da Turma de Concreto Armado II – 1º Semestre de 2008

Disciplina:Concreto Armado II Turma:1 Periodo:2008/1

Nome do Aluno Matrícula 01 ABEL RAMOS MACHADO 200320527111 02 ALAN ROCHA DE FARIA 200110627311 03 BRUNO GUIMARAES VIEIRA 200110802811 04 BRUNO MENDES LOPES 200121085811 05 CARINA LEAL 200410194411 06 DANIELE PEREIRA BATISTA 200410252511 07 DAVID VERLY DA FONSECA 200310097411 08 DIEGO MARQUES RAMOS 200121016011 09 FABIO SOARES DE LIMA 200310317711 10 FELIPE OZORIO MONTEIRO DA GAMA 200410196811 11 FERNANDA SANTOS SATYRO 200420521511 12 GABRIELA RANNA THEODORIO DA SILVA 200120983811 13 IGOR SANTOS MOURA 200410295711 14 LEONARDO TRAJANO DE MENEZES 200410290111 15 LUIS FELIPE MACIEL FERREIRA 200220543811 16 MARCELA DINIZ PONTES 200121088311 17 MARCELLA NEGREIROS GUIMARAES 200120925211 18 MARCOS AURELIO THULER 200121050511 19 MICHELE EZECHIELLO DA SILVA 200220413211 20 RAUL GONCALVES SEVERO 200110625511 21 RICARDO DE CARVALHO MORAES 200420402711 22 RICARDO LEONARDO PIMENTEL 199729175911 23 ROGERIO JOSE FERNANDES DE REZENDE 199810806814 24 SIDCLEI GOMES GONCALVES 200420368111 25 SIMONE SANTOS AMARAL 199810811214 26 TASSIANA DUARTE DA ROCHA 200420340611 27 WAGNER ACCIOLY DA SILVA 200010312411 28 WALTER ALVES SAMPAIO 200220565611


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Anexo B – Enunciado do 2º Trabalho para a Turma de Concreto Armado II – 1º Semestre de 2008

UERJ - CONCRETO ARMADO II TRABALHO DE LAJES - 1º Semestre 2008

A figura abaixo representa a planta do pavimento-tipo de um edifício comercial. Pede-se: • Desenho de formas da estrutura • Desenho de armadura das lajes • Memória de cálculo

Dados: • Aço CA-50 Nº A (m) B (m) C (m) D (m) E (m) F (m) Utilização Piso Alvenarias CAA 12 6,0 4,5 4,5 6,0 5,0 5,0 Restaurante Tábua ipê

esp=5 cm Tijolo maciço esp=15 cm L1=L4 comp=6 m L3=L5 comp=5 m pd=2,7 m, L6 h=1,0 m

I

esp = espessura comp = comprimento pd = pé direito h = altura CAA = classe de agressividade ambiental

Documents

Trabalho Lajes - UERJ