Trabalho Pratico - Relatório

Escola de Engenharia

RELATÓRIO DE TRABALHO PRÁTICO

PROGRAMAÇÃO LINEAR PROGRAMAÇÃO INTEIRA MODELOS DE FLUXOS EM REDE

Trabalho Pratico 1

Engenharia Civil – Investigação Operacional

Turno P1

Daniel Cruz nº 42922

Edgar Macedo nº 44518

Manuel Miranda nº 42909

Nuno Silva nº 54240

Nuno Vidal nº 35241

Pedro Sanches nº 48776

Maio de 2010

Universidade do Minho Investigação Operacional Escola de Engenharia Mestrado em Engenharia Civil

2

Resumo

O presente trabalho está integrado na disciplina de Investigação Operacional do 2º ano do Mestrado de Engenharia Civil, leccionada na Universidade do Minho. Este relatório tem por objectivo a apresentação dos resultados e conclusões obtidas no trabalho prático proposto.

Para a resolução do primeiro e terceiro exercícios foram tidos em conta os seguintes valores C1 e C2:

C1=3+5+2+4+1=15

C2 =5+4+2+4+0=15

Grupo 1 – Programação Linear

Neste exercício é nos dito que se pretende construir um complexo habitacional e de grandes dimensões, cujo consórcio é composto por três empresas DOG, STD e R&Fog.

A área total disponível para construção do complexo é 1000 hectares, que na nossa resolução será representada pela variável “t”. Adiante será explicado o porque desta decisão.

A partir da informação presente no enunciado assumimos como variáveis de decisão x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2 e z3, representando estas a área de construção adjudicada a cada uma das empresas em cada um dos respectivos tipos de construção.

Na tabela seguinte estão apresentados os lucros (UM/hectare) de cada empresa do consórcio por segmento de construção (área habitacional privada, AHP; área comercial, AC e área total de lazer e equipamentos sociais, ALES) e as respectivas variáveis de decisão associadas.

Tabela 1 - Lucros (UM/hectare) e respectiva variável associada de cada empresa por segmento de construção

AHP AC ALES

DOG 15 x1 45 y1 40 z1

STD 25 x2 35 y2 29 z2

R&Fog 25 x3 15 y3 30 z3

O enunciado apresenta também as seguintes restrições na construção impostas por uma entidade reguladora. A área total habitacional privada (AHP) deve ser superior a 35% da área total disponível, a área total comercial (AC) não pode exceder 45% da área total disponível, e a área total de lazer e equipamentos sociais (ALES) deve ser igual ou superior a metade da soma da AHP com a AC.

O consórcio também definiu cotas (mínima e máxima) de atribuição de áreas de construção às empresas, cujos valores podem são listados na seguinte tabela:


3

Tabela 2 - Cotas (mínima e máxima) de atribuição de áreas de construção

Mínimo Máximo

DOG 45% 50%

STD 30% 35%

R&Fog 15% 20%

As restrições apresentadas vão na prática limitar os valores das nossas variáveis de decisão em função da área total disponível para construção.

1)

A determinação das áreas adjudicadas a cada uma das empresas é feita com o recurso a um modelo de programação linear com uma função objectivo de maximização de lucro, sujeita a diversas restrições.

Recorrendo à tabela 1, obtemos as variáveis de decisão e os respectivos coeficientes na função objectivo, sendo a nossa função objectivo a seguinte:

F.O. max z = 15*x1+25*x2+25*x3+45*y1+35*y2+15*y3+40*z1+29*z2+30*z3

As restrições a considerar são as seguintes:

x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3<=t

Esta restrição limita a área total de construção à área total disponível para construção, aqui representada pela variável “t” por motivos que serão expostos adiante.

x1+x2+x3>=0.35*t

y1+y2+y3<=0.45*t

z1+z2+z3>=0.5*x1+0.5*x2+0.5*x3+0.5*y1+0.5*y2+0.5*y3

Estas restrições são as regras impostas pela entidade reguladora já expostas anteriormente.

x1+y1+z1>=0.45*t

x1+y1+z1<=0.5*t

x2+y2+z2>=0.3*t

y2+y2+y2<=0.35t

x3+y3+z3>=0.15*t

x3+y3+z3<=0.2*t

Estas restrições representam as cotas mínimas e máximas das áreas de construção de atribuídas a cada empresa, definidas pelo consórcio.


4

As restrições já apresentadas, são nada mais que limites impostos aos possíveis valores das variáveis de decisão em função da área total disponível para construção, que é igual a 1000 hectares. Contudo, por um motivo de facilidade de cálculo da alínea 3 do problema proposto, foi adicionada a seguinte restrição:

t=1000

Deste modo é possível alterar o valor da área total disponível para construção e todas as restrições que dependem deste valor com a simples alteração desta restrição.

Apesar de não ser necessário para a resolução em software, não nos podemos esquecer de garantir a não negatividade com a seguinte restrição:

x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3>=0

Resumindo, o nosso modelo é o seguinte:

F.O. max z = 15*x1+25*x2+25*x3+45*y1+35*y2+15*y3+40*z1+29*z2+30*z3;

s. a.: x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3<=t;

x1+x2+x3>=0.35*t;

y1+y2+y3<=0.45*t;

z1+z2+z3>=0.5*x1+0.5*x2+0.5*x3+0.5*y1+0.5*y2+0.5*y3;

x1+y1+z1>=0.45*t;

x1+y1+z1<=0.5*t;

x2+y2+z2>=0.3*t;

y2+y2+y2<=0.35*t;

x3+y3+z3>=0.15*t;

x3+y3+z3<=0.2*t;

t=1000;

x1+x2+x3+y1+y2+y3+z1+z2+z3>=0;

Para a resolução foi aplicada esta formulação no software LPSolve como apresentado na ilustração 1 em anexo. Os resultados obtidos estão presentes na tabela 9 em anexo.

A solução obtida é a solução óptima e apresenta um lucro total de 34833,333 (UM) e as

áreas adjudicadas a cada uma das empresas por tipo de construção estão apresentadas na

tabela seguinte.

Tabela 3 - Áreas (hectares) adjudicadas a cada empresa por tipo de construção

AHP AC ALES

DOG 0 200 300

STD 233,333 166,667 0

R&Fog 116,667 0 33,333


5

2)

Na segunda alínea do exercício é indicado que a capacidade de construção no segmento de lazer e equipamentos sociais da empresa R&Fog se encontra limitada a 100 hectares. Perante o nosso modelo, esta restrição pode ser traduzida por uma limitação da variável z3 através da seguinte restrição:

z3 <=100 Analisando os resultados obtidos na alínea anterior conseguimos concluir que esta restrição a partida será redundante, uma vez que na solução óptima obtida no software esta variável não atinge o limite que agora se pretende impor tendo apenas um valor de 33,333.

Adicionando então a nova restrição ao modelo inicial no software LPSolve como exemplificado na ilustração 2 em anexo, obtemos os valores apresentados na tabela 10 em anexo. Como esperado, o resultado final não se alterou, o lucro do consórcio

permanece idêntico (34833,333).

Contudo, como é possível de observar nas tabelas 3 e 5, as áreas adjudicadas a cada empresa variam e estranhamente a variável z3 que inicialmente tinha um valor de 33,333, ao se adicionar um limite de 100, esta atinge este limite na solução óptima.

Tabela 4 - Áreas (hectares) adjudicadas a cada empresa por tipo de construção com restrição extra

AHP AC ALES

DOG 0 266,667 233,333

STD 300 50 0

R&Fog 50 0 100

Isto acontece porque este modelo apresenta várias soluções óptimas, pelo que a introdução desta nova restrição leva a que o modelo seja resolvido por outro “caminho” mas sempre chegando à mesma solução, a solução óptima.

O lucro do consórcio permanece o mesmo, mas o lucro individual de cada empresa altera-se. Os lucros descriminados de cada empresa antes e depois da nova restrição, são obtidos substituindo o valor das variáveis na tabela 1 e multiplicando pelo lucro por hectare. Por exemplo, segundo o modelo inicial, os lucros por tipo de construção da empresa DOG são os seguintes:

Tabela 5 - Lucro da empresa DOG segundo modelo inicial

AHP AC ALES Lucro total

DOG 15*0

=0 45*233,333 =120001,5

40*116,667 =4666,68

21000

Os lucros descriminados de cada empresa, antes e depois da introdução da restrição estão apresentados nas tabelas 11 e 12 em anexo.


6

A diferença entre os dois modelos é a seguinte:

Tabela 6 - Diferença entre lucros

Diferença entre lucros

DOG 333,333

STD -666,667

R&Fog 333,333

Com esta nova restrição a empresa apresenta que apresenta uma perda de lucros, quando no entanto as outras duas, DOG e R&Fog, apresentam um ganho que somado é igual ao prejuízo da STD.

Perante isto a solução indicada seria as empresas que tiveram um ganho nos lucros, DOG e R&Fog, devolvam essa diferença (333,333 UM de cada uma) à STD de modo a restabelecer o equilíbrio dos lucros individuais do consórcio.

3)

Na terceira alínea vamos avaliar os lucros em função da área total disponível para construção por tipo de construção em incrementos de 50 hectares entre 500 e 1000 hectares para as três empresas.

Para tal vamos utilizar o modelo inicial e o software LPSolve. Foi por este motivo que inicialmente se introduziu a variável “t” como já foi abordado anteriormente. Bastando agora penas variar essa variável entre 500 e 1000 com incrementos de 50, registando os valores obtidos em tabela e multiplicando os valores obtidos pelo lucro por hectare obtemos os valores presentes nas tabelas 11, 12 e 13 presentes em anexo.

Perante os resultados obtidos, podemos concluir que para áreas de construção inferiores a 750 hectares os lucros obtidos pelo consórcio são inferiores a 25000 UM, valores que implicam a desistência do concurso.

Como é possível verificar, os lucros de cada uma das empresas crescem em função da área e como seria de esperar, a empresa DOG é a empresa que apresenta maiores lucros devido à sua maior cota de lucros no consórcio.


7

Grupo 2 – Programação Inteira

Neste exercício é pedido uma formulação de um modelo genérico de programação inteira, mais especificamente um problema de localização.

O modelo tem por objectivo determinar o local onde devem ser colocados um determinado tipo de instalações (armazéns, fabricas ou centros de distribuição por exemplo) de modo a servir um conjunto de clientes distribuídos por vários pontos. A abertura de uma instalação implica um custo fixo (de construção, por exemplo). Existem ainda custos variáveis associados às mercadorias que são transportadas de uma instalação até um determinado cliente.

O enunciado não fornece informações acerca da capacidade das instalações, pelo que assumimos que estes teriam um limite de capacidade de modo a obter um modelo genérico que fosse capaz de satisfazer qualquer situação concreta como se pretende na alínea 2 do exercício.

Para a formulação do modelo genérico são tidos em conta as seguintes orientações:

São conhecidas L potenciais localizações;

A cada localização, 𝑗 = 1, … , 𝐿, está associado um custo fixo 𝑑𝑗 e uma capacidade 𝑢𝑗 ;

Existem N clientes, 𝑖 = 1, … , 𝑁, Cada um com uma procura 𝑝𝑖;

O custo unitário de satisfazer a procura do cliente 𝑖 a partir da localização 𝑗 é de 𝑐𝑖𝑗 ;

𝑦𝑗 = 1, se a localização 𝑗 é selecionada, 𝑗 = 1, … , 𝐿

0, caso contrário

𝑥𝑖𝑗 = procura do cliente 𝑖 satisfeita a partir da localização, 𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑗 = 1, … , 𝐿;

A estrutura do modelo é a seguinte:

Clientes

1 𝑖 N

Localizações

1 𝑐𝑖𝑗 𝑗

L

1)

A definição da nossa função objectivo (1) é feita com base na relação das variáveis binárias, 𝑦𝑖 , e o seu custo fixo, 𝑑𝑗 , associado mais a relação entre as variáveis 𝑥𝑖𝑗 e o

respectivo custo variável, 𝑐𝑖𝑗 , e tem por objectivo a minimização dos custos.

Temos que ter em conta que os custos fixos precisam de ser activados e contabilizados apenas uma vez, pelo que utilizamos variáveis binárias para tal efeito. Uma vez que os custos fixos, 𝑑𝑗 , dependem de 𝑦𝑖 , e esta apenas toma os valores 0 ou 1 (como

demonstrado pela equação 4), quando 𝑦𝑖 = 0 o custo fixo associado vai ser anulado.

Como restrições temos que garantir a procura de cada um dos clientes, 𝑝𝑖, que é feito com recurso à equação (2).

Uma vez que a cada localização possui uma determinada capacidade, é necessário então entrar com este limite e para tal utilizamos a equação (3), que em simultâneo associa a capacidade à variável binária, de modo a activar o limite de capacidade apenas no caso de a localização ser seleccionada.


8

Dito isto, o nosso modelo genérico é o seguinte:

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑧 = 𝑑𝑗𝑦𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗

𝐿

𝑗 =1

𝑁

𝑖=1

𝐿

𝑗 =1

(1)

s.a.:

𝑥𝑖𝑗 = 𝑝𝑖 ; 𝑖 = 1, … , 𝑁

𝐿

𝑗 =1

(2)

𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑢𝑗𝑦𝑗 ; 𝑗 = 1, … , 𝐿

𝑁

𝑖=1

(3)

𝑦𝑗 ∈ 0,1 , 𝑗 = 1, … , 𝐿 (4)

𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 ; 𝑗 = 1, … , 𝐿 (5)

Se por exemplo o problema não se tratar um problema com capacidades, consideramos

o seguinte: -a procura de cada cliente, 𝑝𝑖, é igual a um; -a oferta ou capacidade de cada

localização, 𝑢𝑗 , é igual ao numero de clientes.

Deste modo estamos a limitar a capacidade de cada localização ao número de clientes e assim o modelo é capaz de solucionar problemas de localização sem capacidades explícitas.

2)

Para avaliar experimentalmente o modelo criado anteriormente, podemos recorrer a um exercício fictício como o apresentado de seguida.

Exercício fictício:

Uma determinada empresa de distribuição pretende definir onde localizar os armazéns a partir dos quais serão abastecidos cinco clientes. Para tal, seleccionou três potenciais localizações (A,B,C).

• Na tabela apresentada são dados os custos inerentes à abertura de um armazém em cada uma potenciais das localizações e o custo de cada cliente ser abastecido a partir de cada armazém.

• Quais as localizações que devem ser seleccionadas de forma ao custo total ser mínimo?

• A partir de que (quais) armazém(éns) deve ser abastecido cada um dos clientes?

Cliente

Custo Fixo Capacidade 1 2 3 4

Armazém

A 30 100 5 5 4 4

B 32 120 2 4 4 3

C 35 110 1 2 2 2

Procura 53 40 37 25


9

Para a resolução deste exercício vamos primeiro formular o seu modelo com base no modelo genérico criado anteriormente, e depois introduzimos os dados no software LPSolve de modo a obter a solução mais rapidamente.

Os dados do exercício são os seguintes:

São conhecidas 3 potenciais localizações (A, B e C);

A cada localização, 𝑗 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, está associado um custo fixo 𝑑𝑗 e uma capacidade 𝑢𝑗 ;

Existem 4 clientes, 𝑖 = 1, … ,4, cada um com uma procura 𝑝𝑖;

O custo unitário de satisfazer a procura do cliente 𝑖 a partir da localização 𝑗 é de 𝑐𝑖𝑗 ;

𝑦𝑗 = 1, se a localização 𝑗 é selecionada, 𝑗 = 𝐴, 𝐵, 𝐶

0, caso contrário

𝑥𝑖𝑗 = procura do cliente 𝑖 satisfeita a partir da localização, 𝑖 = 1, … ,4; 𝑗 = 𝐴, 𝐵, 𝐶;

A formulação que obtemos é a seguinte:

𝐹. 𝑂. 𝑀𝑖𝑛 𝑧 = 30𝑦𝐴 + 32𝑦𝐵 + 35𝑦𝐶 + 5𝑥1𝐴 + 5𝑥2𝐴 + 4𝑥3𝐴 + 4𝑥4𝐴 + 2𝑥1𝐵 + 4𝑥2𝐵 + 4𝑥3𝐵

+ 3𝑥4𝐵 + 1𝑥1𝐶 + 2𝑥2𝐶 + 2𝑥3𝐶 + 2𝑥4𝐶

𝑠. 𝑎. : 𝑥1𝐴 + 𝑥1𝐵 + 𝑥1𝐶 = 53

𝑥2𝐴 + 𝑥2𝐵 + 𝑥2𝐶 = 40

𝑥3𝐴 + 𝑥3𝐵 + 𝑥3𝐶 = 37

𝑥4𝐴 + 𝑥4𝐵 + 𝑥4𝐶 = 25

𝑥1𝐴 + 𝑥2𝐴 + 𝑥3𝐴 + 𝑥4𝐴 ≤ 100𝑦𝐴

𝑥1𝐵 + 𝑥2𝐵 + 𝑥3𝐵 + 𝑥4𝐵 ≤ 120𝑦𝐵

𝑥1𝐶 + 𝑥2𝐶 + 𝑥3𝐶 + 𝑥4𝐶 ≤ 110𝑦𝐶

𝑦𝑗 ∈ 0,1 , 𝑗 = 𝐴, 𝐵, 𝐶

𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 , 𝑖 = 1, … ,4; 𝑗 = 𝐴, 𝐵, 𝐶

Os dados foram introduzidos no software como demonstrado na ilustração 3 em anexo. Os resultados obtidos foram os seguintes estão discriminados na tabela 16 em anexo.

Como podemos observar, o modelo desenvolvido na alínea anterior permite resolver qualquer problema de localização.


10

Produto 1 x 18

Produto 2 x 15

Produto 1 x 24

Produto 2 x 15

Produto 1 x 21

Produto 2 x 21

Produto 1 x 26

Produto 2 x 16Produto 1 x 19

Produto 2 x 17 Produto 1 x 21

Produto 2 x 18

Grupo 3 – Modelos de Fluxos em Rede

Neste exercício pretendemos minimizar os custos da produção de uma empresa. Estes custos variam em função do produto (produto 1, produto 2), do mês (1º mês, 2º mês, 3º mês), e em função do horário (horário normal, horário extraordinário).

Estamos sujeitos a uma produção máxima variável em cada mês, e temos procuras diferentes para cada produto e para cada mês. Como os custos variam pretende-se produzir os produtos quando o preço por unidade é mínimo, mas ao produzir mais produtos que o procurado, estes tem de ser armazenados para o mês seguinte, o custo de armazenar varia com o mês e com o produto em causa, assim a produção será condicionada também pelo custo de armazém. No 3º mês pretende-se ficar sem produtos no armazém.

O problema pode ser representado pelo seguinte esquema:

3º mês2º mês1º mês

Produto 1 x 19

Produto 2 x 15

Produto 1 x 22

Produto 2 x 13

Produto 1 x 17

Produto 2 x 15

Produto 1 x 24

Produto 2 x 14Produto 1 x 20

Produto 2 x 17 Produto 1 x 22

Produto 2 x 18

Produção (origem)

Lim

ite

pro

duçã

o

Ho

rári

o N

orm

al

Ho

rári

o E

xtra

ord

inár

io

+2 +1

+2 +1

Custo Armazém

+1 +2

+2 +1

+1 +2

+2 +1

Custo Armazém

Procura (destino) - 4un Produto 1 -4un Produto 2



Lim

ite

pro

duçã

o

Lim

ite

pro

duçã

o


11

X2

X4

X6

X8

X14

X16

X18

X20X10

X12 X22

X24

As variáveis de decisão são as seguintes:

Formulação do problema:

Função objectivo, (minimizar custos provenientes da produção e armazenamento)

𝑀𝑖𝑛 𝑧 = 19𝑥1 + 18𝑥2 + 15𝑥3 + 15𝑥4 + 22𝑥5 + 24𝑥6 + 13𝑥7 + 15𝑥8 + 20𝑥9 + 19𝑥10

+17𝑥11 + 17𝑥12 + 17𝑥13 + 21𝑥14 + 15𝑥15 + 21𝑥16 + 22𝑥17 + 21𝑥18 + 18𝑥19

+18𝑥20 + 24𝑥21 + 26𝑥22 + 14𝑥23 + 16𝑥24

Restrições de produção, (A produção está limitada a quantidades distintas em horário normal e horário extraordinário, e varia com o mês)

1º 𝑚ê𝑠 = 𝑥1 + 𝑥3 + 𝑥9 + 𝑥11 + 𝑥17 + 𝑥19 ≤ 10𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥10 + 𝑥12 + 𝑥18 + 𝑥20 ≤ 3

2º 𝑚ê𝑠 = 𝑥5 + 𝑥7 + 𝑥21 + 𝑥23 ≤ 8𝑥6 + 𝑥8 + 𝑥22 + 𝑥24 ≤ 2

3º 𝑚ê𝑠 = 𝑥13 + 𝑥15 ≤ 10𝑥14 + 𝑥16 ≤ 3

Restrições de procura, (a empresa pretende satisfazer os clientes mas não pretende produzir em excesso, a procura é diferente em cada mês e para cada produto)

1º 𝑚ê𝑠 = 𝑥1 + 𝑥2 = 5x2 + x4 = 3

2º 𝑚ê𝑠 = 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥9 + 𝑥10 = 3𝑥7 + 𝑥8 + 𝑥11 + 𝑥12 = 5

3º 𝑚ê𝑠 = 𝑥13 + 𝑥14 + 𝑥17 + 𝑥18 + 𝑥21 + 𝑥22 = 4𝑥15 + 𝑥16 + 𝑥19 + 𝑥20 + 𝑥23 + 𝑥24 = 4

3º mês2º mês1º mês

X1

X3

X5

X7

X13

X15

X17

X19X9

X11 X21

X23

Ho

rári

o

No

rmal

Ho

rári

o

Ext

rao

rdin

ário


12

O modelo de resolução do problema em Excel encontra-se em anexo e a solução obtida é a seguinte:

Tabela 7 - Resultados obtidos

F.O. 387

Produzido Restrição de produção

Normal 1º mês 8 <= 10

Extraordinario

3 <= 3


Extraordinario

0 <= 2


Extraordinario

0 <= 3

Tabela 8 - Valores das variaveis de decisão

Variaveis decisão

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

Custo 19 18 15 15 22 24 13 15 20 19 17 17

Produção 2 3 3 0 0 0 5 0 3 0 0 0

x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24

Custo 17 21 15 21 22 21 18 18 24 26 14 16

Produção 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0

Na tabela 7 podemos observar as quantidades produzidas em cada mês em horário normal ou extraordinário, e concluir que no 2º mês e no 3º mês a produção em horário extraordinário tem custos elevados e consequentemente são desfavoráveis para a nossa função objectivo.

Os resultados para as variáveis de decisão e custos relativos encontram-se na tabela 8, e como esperado as variáveis de decisão com maior valor são as que tem custos reduzidos.

Por exemplo, a empresa no primeiro mês deve produzir 5 unidades em horário normal e 3 unidades em horário extraordinário do produto 1, das quais 3 unidades do produto 1 são armazenadas para o mês seguinte, enquanto as outras são vendidas. Do produto 2 deve produzir 3 unidades em horário normal e nenhuma em horário extraordinário e as 3 são vendidas. Assim no total foram produzidos 11 produtos das quais 3 são armazenados para o segundo mês.

Foram produzidas 11 unidades no primeiro mês, 8 no segundo mês e 5 no terceiro mês, correspondendo como esperado as 24 unidades procuradas.


13

ANEXOS – Grupo 1

Ilustração 1 - Formulação introduzida em LPSolve

Tabela 9 - Resultados obtidos em LPSolve

Variables result

34833,3333333333

x1 0

x2 233,333333333333

x3 116,666666666667

y1 200

y2 116,666666666667

y3 0

z1 300

z2 0

z3 33,3333333333333

t 1000


14

Ilustração 2 - Formulação introduzida em LPSolve com restrição extra

Tabela 10 - Resultados obtidos em LPSolve com restrição extra

Variables result

34833,3333333333

x1 0

x2 300

x3 50

y1 266,666666666667

y2 50

y3 0

z1 233,333333333333

z2 0

z3 100

t 1000


15

Tabela 11 - Lucros das empresas a partir do modelo inicial


DOG 0 200 300 21000

STD 233,333 166,667 0 9916,667

R&Fog 116,667 0 33,333 3916,667

Tabela 12 - Lucros das empresas a partir do modelo com restrição extra


DOG 0 266,667 233,333 21333,33

STD 300 50 0 9250

R&Fog 50 0 100 4250

Tabela 13 – Lucros por tipo de construção de cada empresa em função da área de construção

Área = 500 Área = 550 Área = 600 Área = 650

Variables result Variables result Variables result Variables result

17416,67 19158,33 20900 22641,67

x1 0 x1 0 x1 0 x1 0

x2 116,6667 x2 128,3333 x2 140 x2 151,6667

x3 58,33333 x3 64,16667 x3 70 x3 75,83333

y1 100 y1 110 y1 120 y1 130

y2 58,33333 y2 64,16667 y2 70 y2 75,83333

y3 0 y3 0 y3 0 y3 0

z1 150 z1 165 z1 180 z1 195

z2 0 z2 0 z2 0 z2 0

z3 16,66667 z3 18,33333 z3 20 z3 21,66667

t 500 t 550 t 600 t 650

Lucros Lucros Lucros Lucros

DOG 10500 DOG 11550 DOG 12600 DOG 13650

AHP 0 AHP 0 AHP 0 AHP 0

AC 4500 AC 4950 AC 5400 AC 5850

ALES 6000 ALES 6600 ALES 7200 ALES 7800

STD 4958,333 STD 5454,167 STD 5950 STD 6445,833

AHP 2916,667 AHP 3208,333 AHP 3500 AHP 3791,667

AC 2041,667 AC 2245,833 AC 2450 AC 2654,167


R&Fog 1958,333 R&Fog 2154,167 R&Fog 2350 R&Fog 2545,833

AHP 1458,333 AHP 1604,167 AHP 1750 AHP 1895,833

AC 0 AC 0 AC 0 AC 0


TOTAL 17416,67 TOTAL 19158,33 TOTAL 20900 TOTAL 22641,67


16

Tabela 14 - Lucros por tipo de construção de cada empresa em função da área de construção

Área = 700 Área = 750 Área = 800 Área = 850

Variables result Variables result Variables result Variables result

24383,33 26125 27866,67 29608,33

x1 0 x1 0 x1 0 x1 0

x2 163,3333 x2 175 x2 186,6667 x2 198,3333

x3 81,66667 x3 87,5 x3 93,33333 x3 99,16667

y1 140 y1 150 y1 160 y1 170

y2 81,66667 y2 87,5 y2 93,33333 y2 99,16667

y3 0 y3 0 y3 0 y3 0

z1 210 z1 225 z1 240 z1 255

z2 0 z2 0 z2 0 z2 0

z3 23,33333 z3 25 z3 26,66667 z3 28,33333

t 700 t 750 t 800 t 850

Lucros Lucros Lucros Lucros

DOG 14700 DOG 15750 DOG 16800 DOG 17850

AHP 0 AHP 0 AHP 0 AHP 0

AC 6300 AC 6750 AC 7200 AC 7650


STD 6941,667 STD 7437,5 STD 7933,333 STD 8429,167

AHP 4083,333 AHP 4375 AHP 4666,667 AHP 4958,333

AC 2858,333 AC 3062,5 AC 3266,667 AC 3470,833


R&Fog 2741,667 R&Fog 2937,5 R&Fog 3133,333 R&Fog 3329,167

AHP 2041,667 AHP 2187,5 AHP 2333,333 AHP 2479,167

AC 0 AC 0 AC 0 AC 0


TOTAL 24383,33 TOTAL 26125 TOTAL 27866,67 TOTAL 29608,33


17

Tabela 15 - Lucros por tipo de construção de cada empresa em função da área de construção

Área = 900 Área = 950 Área = 1000

Variables result Variables result Variables result

31350 33091,67 34833,33

x1 0 x1 0 x1 0

x2 210 x2 221,6667 x2 233,3333

x3 105 x3 110,8333 x3 116,6667

y1 180 y1 190 y1 200

y2 105 y2 110,8333 y2 116,6667

y3 0 y3 0 y3 0

z1 270 z1 285 z1 300

z2 0 z2 0 z2 0

z3 30 z3 31,66667 z3 33,33333

t 900 t 950 t 1000

Lucros Lucros Lucros

DOG 18900 DOG 19950 DOG 21000

AHP 0 AHP 0 AHP 0

AC 8100 AC 8550 AC 9000

ALES 10800 ALES 11400 ALES 12000

STD 8925 STD 9420,833 STD 9916,667

AHP 5250 AHP 5541,667 AHP 5833,333

AC 3675 AC 3879,167 AC 4083,333

ALES 0 ALES 0 ALES 0

R&Fog 3525 R&Fog 3720,833 R&Fog 3916,667

AHP 2625 AHP 2770,833 AHP 2916,667

AC 0 AC 0 AC 0

ALES 900 ALES 950 ALES 1000

TOTAL 31350 TOTAL 33091,67 TOTAL 34833,33


18

ANEXOS – Grupo 2

Ilustração 3 - Formulação introduzida em LPSolve

Tabela 16 -Resultados obtidos com software LPSolve

Variables result

294

ya 0

yb 1

yc 1

x1a 0

x2a 0

x3a 0

x4a 0

x1b 20

x2b 0

x3b 0

x4b 0

x1c 33

x2c 40

x3c 37

x4c 0

ANEXOS – Grupo 3

Tabela 17 - Modelo de resolução do problema em Excel

Variaveis decisão

F.O. 387

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24

Custo 19 18 15 15 22 24 13 15 20 19 17 17 17 21 15 21 22 21 18 18 24 26 14 16 Restrição de produção

1º mês 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 8 <= 10

0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 3 <= 3

2º mês 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 8 <= 8

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 <= 2

3º mês 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 <= 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 3

2 3 3 0 0 0 5 0 3 0 0 0 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0

Restrição de procura

1º mês 2 3 5 = 5

3 0 3 = 3

2º mês 0 0 3 0 3 = 3

5 0 0 0 5 = 5

3º mês 4 0 0 0 0 0 4 = 4

1 0 0 0 3 0 4 = 4

Documents

Trabalho Pratico - Relatório