Trabalho Sc3a9rie de Fourier

7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier

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SRIE DE FOURIER

Ana Luza Mazalotti Teixeira1, Marcel Freitas de Souza, !ictor "icolau #a$acia%

Resumo

As s&ries de Fourier 'unciona( co(o u( $rocesso )lo*al na resolu+o de $ro*le(as(ate(-ticos, en.uanto .ue u(a s&rie de $ot/ncias a$resenta u(a 'uncionalidade & local0Atra&s da s&rie de Ta2lor de u(a 'un+o ', o*te(os o $olin3(io de Ta2lor, o .ual d- u(aa$roxi(a+o $ara a 'un+o ' nas izin4an+as de u( $onto, entretanto esta 'un+o ' te( .ueser o*ri)atoria(ente suae, lo)o $ara u(a a$roxi(a+o )lo*al, a s&rie de Ta2lor 'al4a, u(aez .ue a a$roxi(a+o de Ta2lor & local e no )lo*al0 A s&rie de Fourier & i($ortante ta(*&(

$ara o*ter o li(ite de ' e( $ontos distantes de x, *e( co(o $ara encontrar alores

a$roxi(ados $ara u(a inte)ral so*re u( interalo, $ois ela tra*al4a co( 'un+5es $eri6dicas0

Palavras-chave: S&ries de Fourier0 Fun+o $ar0 Fun+o ($ar0

1) Introduo

7ean 8a$tiste 7ose$4 Fourier 91:;


2/30

Muitas ezes existe( -rios nB(eros co( tal $ro$riedade, sendo .ue o (enor nB(eroreal $ositio co( essa caracterstica & c4a(ado de $erodo 'unda(ental de '0

#lara(ente se $ & $erodo da 'un+o ', todos os seus (Blti$los o sero ta(*&(0 "a'i)ura 0 ilustra=se tal conceito0

Fi)ura 0 Fun+o

$eri6dica co( $erodo 'unda(ental

3) !rie tri"onom!trica

U(a s&rie de senos e cossenos do ti$oC

nx+Bnsen nxAn cos

1

2Ao+

n=1

& dita s&rie tri)ono(&trica, onde na (aior $arte das a$lica+5es a ari-el x & real0 Estas s&riesre$resenta( 'un+5es $eri6dicas de $erodo G, e a so(a ta(*&( ser- u(a 'un+o $eri6dica de

$erodo G0As 'un+5es $eri6dicas $ode( ser re$resentadas $or (eio de u(a s&rie tri)ono(&trica,

deste .ue '9x? satis'a+a os re.uisitos de coner)/ncia esta*elecidos $or (eio das condi+5es deDiric4let0

nx+BnsennxAn cos

f(x )=1

2Ao+

n=1

#) $ondies de %irichlet

A$esar de no ser $ossel ainda deter(inar .uais so as condi+5es necess-rias esu'icientes $ara .ue u(a 'un+o $ossa ser re$resentada $or u(a s&rie tri)ono(&trica, co( as


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condi+5es de Diric4let & $ossel )arantir a coner)/ncia da s&rie $ara u(a 'un+o, $or&(co( certa restri+o0 Essas condi+5es soC

10 A 'un+o dee ser contnua, e assi( li(itada, no interalo 9=G,G? exceto talez e( u(

nB(ero 'inito de $ontos de descontinuidade 'inita0

Exe($loC

f(x )=(1 para x 00 para 0 x , f(x+2 )=f(x )Esta 'un+o a$resenta, nu( $erodo, a$enas u( $onto de descontinuidade 'inita e(

x>0

0 Diidindo=se o interalo 9=G,G? e( u( nB(ero 'inito de su*interalos, a 'un+o seco($ortar- de 'or(a (on6tona e( cada su*interalo, a$resentando u( nB(ero 'initode (-xi(os e (ni(os e( u( $erodo0

&) 'rto"onalidade

Dois ter(os so ditos orto)onais e( rela+o a u( $erodo .uando o $roduto internoentre eles 'or nulo0 Tal $ro$riedade & (uito usada $ara a o*ten+o dos coe'icientes de Fourier,tendo e( ista .ue tais coe'icientes so calculados atra&s de $rodutos internos entre doister(os0 Hor isso atra&s da $ro$riedade de orto)onalidade & $ossel sa*er .uais $rodutossero nulos e .uais no, e .ual & a condi+o $ara isso0

Lo)o, $ode(=se esta*elecer as se)uintes rela+5es de orto)onalidade considerando ointeralo de 9=,?, as .uais sero 'unda(entais na resolu+o de $ro*le(as relacionados as&ries de Fourier0

sen(mx) ,sen(nx)=0 semn,ousem=n

sen(mx) ,cos(nx )=0paraquaisquer m en

cos(mx) , cos(nx) =0 semn,ousem=n

Hode(=se de(onstrar (ate(atica(ente as rela+5es ex$ostas aci(a, eaC

a?

sen (mx ) sen (nx ) dx=0 J $ara 9(Kn? inteiros

cos

(m+n )=cos

mxcos

nxsenmxsennx


4/30

cos (mn )=cos mx cosnx+senmxsennx

sen mxsennx=1

2 [cos (mn )xxos (m+n )x ]

sen (mx ) sen (nx ) dx=

1

2[cos (mn )xcos (m+n )x ] dx=0

*?

sen (mx )cos

( nx) dx=0

J $ara 9(Kn? e $ara 9(n?

sen (m+n )=senmx cosnx+sennxcosmx

sen (mn )=senmx cos nxsen nxcosmx

sen mx cosnx=1

2

[ sen (m+n )x+sen (mn )x ]

sen (mx )cos ( nx) dx=

1

2[ sen (m+n )x+sen (mn )x ] dx=0

c?

cos (mx ) cos (nx ) dx=0 J $ara (Kn

cos (m+n )=cosmx cosnxsenmxsennx

cos (mn )=cos mx cosnx+senmxsennx

cos (m+n )=12[cos (m+n )x cos (mn )x ]


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cos (mx ) cos (nx ) dx=

1

2[cos (mn )xcos (m+n )x ]dx=0

() %eterminao dos coeicientes da s!rie de Fourier

Su$ondo .ue a 'un+o satis'a+a as condi+5es de Diric4let, $ode=se asse)urar .ue as&rie conira uni'or(e(ente no interalo @G x G, se isto ocorrer a s&rie coner)ir-uni'or(e(ente $ara todos os alores de x0 Lo)o, $ode(=se o*ter os coe'icientes da s&rie deFourier ex$lorando=se as rela+5es de orto)onalidade0

nx+BnsennxAn cos

f(x )=

1

2Ao+

n=1

1

Inte)rando=se os dois (e(*ros da e.ua+o inicial 91? entre 9=G,G?

f(x )dx=

1

2Aodx+

n=1

[

Ancos nxdx+

Bnsennx dx]

f(x )dx=12

Ao

dx=1

2Ao (2 )=Ao .

Ao=1

f(x ) dx

#-lculo de anC

Multi$licando=se a e.ua+o inicial 91? $or cos $x, sendo $, nB(ero 'ixo dado e inte)randoentre 9=G,G?

f(x ) cospx dx=

1

2Ao cospx dx+

n=1

[

Ancospx cosnxdx+

Bnsennx cospxdx ]Sendo n $

f(x ) cos nxdx=An

(cos nx)2

dx=An .


6/30

An=1

f(x ) cos nxdx

#-lculo de *nC

Multi$licando a e.ua+o inicial $or sen $x, sendo $, nB(ero 'ixo dado e inte)randoentre 9=G,G?

f(x ) sen pxdx=

1

2Aosen pxdx+

n=1

[

An sen px cosnxdx+

Bnsen sennx dx]

f(x ) sen px dx=

Bn(sen nx)2=Bn.

Sendo n $

Bn=1

f(x ) sennx dx

Exemplos:

A? U( exe($lo da utiliza+o da s&rie de Fourier de u(a 'un+o $eri6dica si($les & a onda.uadrada, .ue & u(a 'or(a de onda *-sica encontrada 're.uente(ente nas -reas da eletr3nicae do $rocessa(ento de sinais, ela alterna re)ular(ente e instantanea(ente entre dois neis0

"a 'i)ura ;01, te(=se u( exe($lo de u(a onda .uadrada0

Fi)ura ;01 Onda .uadrada

Hode=se deter(inar a s&rie de Fourier da onda .uadrada ex$osta na 'i)ura ;01, $or(eio do uso dos c-lculos dos coe'icientes analisados nessa se+o0

A 'un+o a$resenta a 'or(a analtica a*aixo

f(x )=(1 x 01 0 x , f(x+2 )=f(x)

Lo)o, $ode=se realizar os c-lculos re'erentes aos coe'icientes da s&rie de Fourier0


7/30

1dx+0

1 dx

0

Ao=1

f(x ) dx=1

cosnxdx+0

cosnxdx

0

nx dx=

1

f(x) cos

An=1

An=( sen (0 )+sen(n)n )+(sen (n)sen(0)

n )=0

sennxdx+0

sennxdx

0

Bn=1

f(x ) sennx dx=1

Bn=(cos (0 )cos (n)

n )(cos (n)cos (0)

n )= 2n

[1cos (nx)]

Se n 'or i)ual a u( nB(ero $ar bn=0 , e se n 'or i)ual a u( nB(ero ($ar

bn= 4

n 0

Lo)o, $ode=se o*ter a s&rie de Fourier da 'un+o '9x? co(o sendo i)ual aC

f(x ) 4

sen (x )+ 4

3sen (3x )+ 4

5 sen (5x )+ 4

7 sen (7x)+ 4

9 sen (9x )


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8? Dada a 'un+o a*aixo, $ode=se o*ter u(a re$resenta+o e( s&rie de Fourier, co(o 'oirealizado0

f(x )=( para x 0

x para0 x , f(x+2 )=f(x)

#-lculo da AoC

Ao=

f(x ) dx= 1[

0

dx+0

x dx]

Ao=1

{ [x ]

0

+1

2[x2 ]0

}=

2

#-lculo de AnC

An=

f(x ) cosnx dx=1[

0

cosnx dx+0

x cosnx dx]

An=1

{n[sen nx ]0 +0

x cosnxdx}= 10

x cos nxdx

An=1

0

x cosnx dx=1

{1n[x sennx ]0+ 1n0

sennxdx}An=

1

0

x cosnxdx=1

{1n2[ cosnx ]0}= 1 n2[1(1)n ]

#-lculo de 8nC

Bn=

f(x ) sennx dx= 1[

0

sennxdx+0

x sennx dx ]Bn=

1

{n[ cosnx ]0 +0

x sen nxdx }=1{[1(1)n ]

n +

0

x sennx dx}

#-lculo de 0

x sennx dx


9/30

0

x sennx dx=1n

[x cosnx ]0+

1

n

0

cosnx dx=(1)n+1

n +

1

n2[sennx ]0

=

(1)n+1

n

Bn=[1(1)n ]+(1)n+1

n

Hortanto, a s&rie de Fourier de '9x? & da 'or(aC

nx+n=1

{ [1(1)n ]+(1)n+1n }sennx

f(x )=

4

+1

n=1

[1(1)n ]n2

cos

*) Funes pares e +mpares

U(a 'un+o H9x? & dita $ar .uando H9=x? H9x?0 Ou sea, a 'un+o & si(&trica e(rela+o ao eixo ertical0 "a 'i)ura :01, $ode=se eri'icar u(a 'un+o $ar0

Fi)ura :01 Si(etria $ar

U(a 'un+o I9x? & dita ($ar .uando I9=x? =I9x?0 Ou sea, & si(&trica e( rela+o ori)e(0 "a 'i)ura :0, $ode=se eri'icar u(a 'un+o ($ar0

Fi)ura:0 Si(etria ($ar

Hode(=se esta*elecer as se)uintes $ro$riedades co( rela+o s 'un+5es $ares e ($aresC

1, A so(a de 'un+5es $ares & u(a 'un+o $ar0Exe($loC Dada a so(a de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as $ares, o resultado ser-u(a 'un+o $ar .9x?


10/30

.9x? '9x? )9x?

.9=x? '9=x? )9=x?

.9x? .9=x?

2, A so(a de 'un+5es ($ares & u(a 'un+o ($ar0Exe($loC Dada a so(a de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as ($ares, o resultado ser-u(a 'un+o ($ar .9x?

.9x? '9x? )9x?

.9=x? = '9x? = )9x?

.9x? = .9x?

3, O $roduto de duas 'un+5es $ares & u(a 'un+o $ar0Exe($loC Dada o $roduto de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as $ares, o resultado ser-

u(a 'un+o $ar .9x?

.9x? '9x? 0 )9x?

.9=x? '9=x? 0 )9=x?

.9=x? '9x? 0 )9x?

.9x? .9=x?

#, O $roduto de duas 'un+5es ($ares & u(a 'un+o $ar0Exe($loC Dada o $roduto de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as ($ares, o resultadoser- u(a 'un+o $ar .9x?

.9x? '9x? 0 )9x?

.9=x? '9=x? 0 )9=x?

.9=x? = '9x? 09= )9x??

.9=x? '9x? 0 )9x?

.9x? .9=x?

&, O $roduto de u(a 'un+o $ar $or u(a 'un+o ($ar & u(a 'un+o ($ar0Exe($loC Dada o $roduto de u(a 'un+o '9x?, sendo essa $ar, $or u(a 'un+o )9x?,sendo essa ($ar, o resultado ser- u(a 'un+o .9x? ($ar

.9x? '9x? 0 )9x?.9=x? '9=x? 0 )9=x?

.9=x? '9x? 09= )9x??

.9=x? = '9x? 0 )9x?

.9=x? = .9x?

(, Toda 'un+o ' '9t? $ode ser deco($osta na so(a0 '9t? '$9t? 'i9t? , onde ' $ '$9t?& u(a 'un+o $ar e 'i 'i9t? & u(a 'un+o ($ar0

Lo)o, $ode=se a$licar os conceitos enunciados a ci(a $ara a o*ten+o da

re$resenta+o e( s&rie de Fourier de u(a 'un+o0 Hortanto, a s&rie de Fourier de u(a 'un+o$eri6dica $ar '9x?, .ue $ossui $erodo G, & u(a s&rie de Fourier e( cossenos0


11/30

nx

An cos

f(x )=1

2Ao+n=1

#o( coe'icientesC

Ao=2

0

f(x )dx

An=2

0

f(x) cosnx dx

#onsiderando '9x? $ar, te(=se .ueC

nx+BnsennxAn cos

f(x )=12

Ao+n=1

f(x )=1

2Ao+

n=1

[An cos (nx )+Bnsen(nx)]

#o(o ' & $ar '9=x? '9x?nxBn sennx

Ancos

f(x )=f(x )=12

Ao+n=1

So(ando as duas e.ua+5es a*aixoCnx+BnsennxAn cos

f(x )=12

Ao+n=1


12/30

nxBnsennxAn cos

f(x )=1

2Ao+n=1

Lo)oCnx

Ancos

2 f(x )=Ao+2n=1

nx

An cos

f(x )=Ao

2+

n=1

Hor outro ladoC

An=

1

f(x )cos

nxdx

#o(o '9x? e cos 9nx? so 'un+5es $ares, te(=se .ueC

An=1

[

0

f(x )cos nxdx+0

f(x ) cosnx dx]

1[

0

f(x ) cos (nx ) d(x )+0

f(x )cos nxdx

]

1

[

0

f(x ) cosnx dx+0

f(x )cos nxdx ]

1

[20

f(x ) cosnx dx

]


13/30

An=2

0

f(x) cosnx dx

A s&rie de Fourier de u(a 'un+o $eri6dica ($ar '9x?, .ue $ossui $erodo G, & u(as&rie de Fourier e( senos0

f(x )=n=1

(Bn sennx)

#o( coe'icientesC

Bn=2

0

f(x )sennxdx

#onsiderando '9x? ($ar, te(=se .ueC

nx+BnsennxAn cos

f(x )=12

Ao+n=1

f(x )=1

2Ao+n=1

[An cos (nx )+Bnsen (nx )]

#o(o ' & ($ar, '9=x? = '9x? te(=se .ueC

f(x )=1

2Ao+

n=1

[An cos (nx )Bnsen (nx )]

Su*traindo as e.ua+5es a*aixoC

nx+BnsennxAn cos

f(x )=1

2Ao+

n=1

f(x)=12

Ao+n=1

[An cos (nx )Bnsen (nx )]

Lo)oC


14/30

nx

Bn sen

2 f(x )=2n=1

nx

Bnsen

f(x )=n=1

Hor outro ladoC

Bn=1

f(x ) sennx dx

#o(o '9x? e sen 9nx? so 'un+5es ($ares

Bn=1

[0

f(x ) sennx dx+0

f(x ) sennx dx]

1

[

0

f(x ) sen(nx)d (x)+0

f(x ) sennx dx]

1

{

0

[f(x )] [sen (nx )][d (x)]+0

f(x ) sennx dx}

1

[0

f(x ) sen(nx)dx+0

f(x ) sennxdx ]

Bn=2

0

f(x )sennxdx

Exemplos:

S&rie de Fourier de u(a 'un+o $ar


15/30

A? Dada a 'un+o a*aixo, $ode=se o*ter u(a re$resenta+o e( s&rie de Fourier, co(o 'oirealizado0

f(x )=

( x

para0 x

2x

p a r a x 2

, f(x+2 )=f(x)

#o(o '9x? & u(a 'un+o .ue a$resenta si(etria co( rela+o ao eixo ertical 9x>?,ela & considerada u(a 'un+o $ar, $ortanto $ode=se utilizar os recursos (ostrados co( rela+oa 'un+5es $ares nesse t6$ico0 Ou seaC

Bn=0

Ao=2

0

f(x ) dx=2

0

x

dx=

2x2

22 ]0

=1

An=2

0

f(x) cosnx dx= 2

0

x

cosnx dx=

2

2

0

x cosnx dx

An=

( 0 paran par

4

n2

2 paranmpar

A re$resenta+o da s&rie de Fourier 'icaC

f(x )=12

4

2(cosx+ 19 cos 3x+ 125 cos 25x+)

S&rie de Fourier de u(a 'un+o ($ar

8? Hode=se de(onstrar a utiliza+o da s&rie de Fourier $ara 'un+o ($ar $or (eio da an-lise da'un+o dente de serra0

Fi)ura :0% S&rie de Fourier de u(a 'un+o ($ar


16/30

f(x )=x para


17/30

T

2 a G * 91?

T2 =a G * 9?

So(ando=se essas duas e.ua+5es desco*ri(os .ue *>, su*stituindo o alor de * e(91? te(osC

T

2 a GJ aT

2 G, lo)o

t 9T

2 G? xJ x 92

T ? t

Ex$ressando a ari-el t e( 'un+o de x, te(os f( t)=f(T2 x) , .ue & de'inida nointeralo 9=G, G?0

nx+BnsennxAn cos

f( t)=f(T2 x )=12Ao+n=1

OndeC

Ao=1

f( T2 x)dx

An=1

f(T

2 x)cosnx dx

Bn=1

f(T2 x )sennx dx

Hara si($li'icar os c-lculos 'az=se x=2

T t e dx=

2

T dt


18/30

f( t)=12

Ao+n=1

Ancos( 2 nT t)+Bnsen( 2 nT t)

OndeC

Ao=1

T2

T

2

f(t)2

T dt

Ao=2

TT

2

T

2

f( t) dt

An=2

TT2

T

2

f( t)cos ( 2ntT )dt

Bn=2

TT

2

T

2

f( t) sen( 2nt

T )dt

Exemplos:

A? U( exe($lo uso da s&rie de Fourier & no estudo da onda trian)ular, .ue & u(a es$&cie *-sicade 'or(a de onda no=senoidal .ue rece*eu este no(e deido ao seu 'or(ato se(el4ante a u(trin)ulo0 "a 'i)ura


19/30

x dx+0

1

x dx

1

0

Ao=1

11

1

f(x )dx=

Ao=1

11

1

f(x )cos (nx)dx=1

0

xcos (nx )dx+0

1

x cos (nx)dx

An=[ 1

(n)2cos ( 0 )+ 1

nsen (n) 1

(n)2cos (n) ]

+ 1

(n)2sen (n)+

1

(n)2cos (n)

1

(n)2cos (0 )

[ 1( n)2 1(n)2 cos (n) ]+[ 1(n)2 cos (n) 1(n)2 ]

2

(n)2[cos (n)1 ]

Se n 'or i)ual a u( nB(ero $ar an=0 , e se n 'or i)ual a u( nB(ero ($ar

an=4

(n)2 0

Bn=1

11

1

f(x ) sen(nx)dx=1

0

x sen (nx)dx+0

1

x sen (nx)dx

Bn=[ 1(n)2 sen ( 0 ) 1ncos (n) 1(n)2 sen(n)]+1n

cos (n)+ 1

(n)2sen (n)

1

(n)2sen(0)


20/30

1

ncos (n) 1

ncos (n)=0

Lo)o, $ode=se o*ter a s&rie de Fourier da 'un+o '9x? co(o sendo i)ual aC

f(x ) 124

2cos(x)

4

9 2cos (3x )

4

252cos(5 x)

4

492cos (7x )

8? Hode=se de(onstrar a utiliza+o da s&rie de Fourier $ara 'un+o $ar $or (eio da an-lise da

'un+o $eri6dica f(x )=x2

, cuo $erodo da 'un+o & 1, ou sea, T 10

Fi)ura


21/30

f(x )=13+

4

2

n=1

(1)n

n2

cos(nx)

0) udana de intervalo

Hode=se )eneralizar o conceito de S&ries de Fourier $ara 'un+5es dentro de u(interalo ar*itr-rio 9a,*?, onde a e * so nB(eros reais0 Inicial(ente considerar=se o caso

$articular de u( interalo 9=$,$?0

f(x )=12

Ao+1

Ancos( nxp)+Bn sen( nxp)

Onde os coe'icientes da s&rie de Fourier so i)uais aC

An=1

pp

p

f(x )cos(nxp)dx

Bn=1

pp

p

f(x ) sen( nxp)dx

A discusso aci(a $ode ser ada$tada $elo es$a+o euclidiano c$ [a , b ] 0 #o( e'eito,

caso considere=se 2p=ba , a s&rie de Fourier $ode ser escrita da se)uinte 'or(aC

f(x )=1

2Ao+

1

[Ancos( 2 nxba)+Bnsen( 2nxba)]

Onde os coe'icientes da s&rie de Fourier $ara o res$ectio interalo so i)uais aC

Ao= 2

baa

b

f(x ) dx


22/30

An= 2

baa

b

f(x ) cos(2 nxba)dx

Bn= 2

baa

b

f(x ) sen( 2 nxba)dx

1) !ries em senos e cossenos

As 'un+5es $eri6dicas co( si(etria $ar e ($ar e suas res$ectias re$resenta+5es $or(eio de s&ries de Fourier 'ora( analisadas na se+o :, e $ode=se a$urar .ue se u(a 'un+o &

$ar e $eri6dica, ento essa $ode ser ex$andida e( u(a s&rie de Fourier de cossenos e caso a'un+o sea ($ar e $eri6dica, ento essa $ode ser ex$andida e( u(a s&rie de Fourier desenos0

Hor conse)uinte, $ode=se desenoler u(a s&rie de Fourier de u(a 'un+o ' de'inida

no interalo [a , b ] sendo essa re$resenta+o con4ecida co(o ex$anso e( (eio $erodo0

Sea a 'un+o '9x? de $erodo T=2 a , caso a 'un+o '9x? sea $ar a s&rie de Fourier

'ica re$resentada da se)uinte (aneiraC

f(x )=12

Ao+n=1

[Ancos

(

nx

a

)]#o( coe'icientes i)uais aC

Ao=2

a

0

a

f(x ) dx

An=2

a0

a

f(x ) cos

(nx

a

)dx

"a 'i)ura 1>01 o*sera=se u(a 'un+o '9x? de'inida no interalo [0,a ]

Fi)ura 1>01 Fun+o '9x?


23/30

E'etuando=se u( $rolon)a(ento $eri6dico $ar, a 'un+o '9x? anterior $ode serre$resentada )ra'ica(ente $ela 'i)ura 1>00

Fi)ura 1>0 Hrolon)a(ento $eri6dico $ar de '9x?

#onsiderando=se a 'un+o '9x? co(o sendo ($ar, a s&rie de Fourier 'icar-

re$resentada da se)uinte 'or(aC

f(x )=n=1

[Bnsen (nxa) ]#o( coe'iciente i)ual aC

Bn=2

a0

a

f(x ) sen( nxa)dx

Realizando=se u( $rolon)a(ento $eri6dico ($ar, a 'un+o '9x? re$resentada na'i)ura 1>01 $ode ser re$resentada )ra'ica(ente $ela 'i)ura 1>0%0

Fi)ura 1>0% Hrolon)a(ento $eri6dico ($ar de '9x?

Exemplos:

A? Dada a 'un+o a*aixo, $ode=se o*ter u(a re$resenta+o e( s&rie de Fourier co( u(a

ex$anso $ar0


24/30

Fi)ura 1>0 Hrolon)a(ento $eri6dico $ar

f(x )=x ,0 x

#-lculo de AoC

Ao= 4

20

x dx=2

[

x2

2

]0

=2

[

2

20

]=

#-lculo de AnC

An= 4

2

0

x cosnx dx=2

[xnsennx+ 1n2 cosnx ]0

= 2

n2

[ cosn1 ]

An=

(

0 paran par

4

n2

para nmpar

Hortanto, a re$resenta+o da 'un+o e( s&rie de Fourier 'icaC

f(x )=

2

4

cosx

4

9 cos3x

4

25 cos5x

8? Dada a (es(a 'un+o do exe($lo anterior $ode=se realizar u(a ex$anso $eri6dica ($ar,sendo .ue o resultado o*tido & exata(ente o alor encontrado $ara a 'un+o dente de serra, a.ual - 'oi a*ordada anterior(ente no t6$ico re'erente a 'un+5es $ares e ($ares0 Suare$resenta+o & da 'or(aC

f(x )=2n=1

(1)n

n sen(nx )

11) !rie de Fourier na orma complea

A s&rie de Fourier $ode ser ex$ressa ta(*&( na 'or(a co($lexa, nessa 'or(a oster(os so re$resentados co(o 'un+5es ex$onenciais, ao in&s de sere( re$resentados e(ter(os de 'un+5es tri)ono(&tricas co(o era( anterior(ente0


25/30

#onsiderando u(a 'un+o '9x? de'inida no interalo (T2 ,T

2 ) sua re$resenta+o na'or(a tri)ono(&trica & i)ual a

f( t)=12

Ao+n=1

[Ancos(2 n

T x)+Bnsen(

2 nT

x )]

#o( coe'icientes i)uais aC

Ao=2

TT2

T

2

f(x ) dx

An=2

TT

2

T

2

f(x ) cos( 2nT)dx

Bn=2

TT2

T

2

f(x ) sen(2n

T )dx

Hela de'ini+o de ex$onencialC

ex+iy=ex [cos (y )+isen(y )]

Lo)oC

e2nix

T =[cos( 2nixT )+ isen(2 nixT )] 1e2nix

T =[cos(2 nixT )isen( 2nixT )]

So(ando as 'un+5es 1 e C

cos(2 nixT )=12 [e2 nix

T +e2 nix

T ] %


26/30

Su*traindo a e.ua+o da e.ua+o 1, e le(*rando .ue i=1

i , lo)oC

sen (2nix

T )=i

2 [e2nix

T e2nix

T

]

Su*stituindo as e.ua+5es % e no so(at6rio da e.ua+o da s&rie de Fourier na 'or(atri)ono(&trica , te(=se .ueC

n=1

[An cos(2 nT x )+Bnsen ( 2nT x)]=n=1

An

2[e

2 nix

T +e2 nix

T ] iBn2

[e2 nix

T e2 nix

T ]

n=1

[ (AniBn)2 e2 nix

T +(An+iBn)

2e2 nix

T ]De'inindo o coe'iciente #n co(oC

Cn=1

2(AniBn)

E ta(*&(C

Cn=1

2(An+iBn )

Assi( a e.ua+o $ode ser reescrita co(o sendoC

n=1

[An cos

(2 n

T

x

)+Bnsen

(2n

T

x

)]=

n=1

[Cne2 nix

T + Cne2 nix

T ]

Hode=se o*serar .ue os coe'icientes da s&rie de Fourier na 'or(a tri)ono(&trica $ara

o interalo (T2 ,T

2 ) so i)uais aC

An= 2TT

2

T

2

f(x ) cos(2nT)dx=

2TT

2

T

2

f(x ) cos(2 nT )dx=An


27/30

Bn=2

T

T2

T

2

f(x ) sen

(

2n

T

)dx=

2

T

T2

T

2

f(x ) sen

(

2n

T

)dx=Bn

HortantoC

Cn=1

2(An+iBn )=Cn=1

2(Ani Bn )=Cn

Hor conse.P/ncia, o so(at6rio & i)ual aC

n=1

[An cos

(2 n

T x

)+Bnsen

(2nT

x

)]=n=1

[Cne2 nix

T +Cn e2 nix

T

]Fazendo n ariar e( todo o conunto dos nB(eros naturais, exceto zero, entoC

n=0

[An cos(2nT x )+Bnsen (2nT x)]=n Cne2nix

T

Os coe'iceintes #o e #n $ode( ser calculados $elas e.ua+5esC

Cn=1

TT2

T

2

f(x ) e2nix

T dx,n

Co=1

TT

2

T

2

f(x ) dx

Desse (odo, a s&rie de Fourier na 'or(a co($lexa $ara u( interalo ar*itr-rio

(T2 , T2 ) & i)ual aC

f(x )=Co+n

Cn e2 nix

T

Exemplos:


28/30

A? Hode=se re$resentar a onda .uadrada do exe($lo ;01 co(o u(a s&rie de Fourier co($lexa,sendo a re$resenta+o da 'un+o na 'or(a analtica a se)uinteC

f(x

)=(1 x 0

1 0 x , f

(x+

2 )=

f(x)

Atra&s das '6r(ulas o*tidas $ara o c-lculo dos coe'icientes da s&rie de Fourierde(onstrados anterior(ente, lo)oC

f(x ) e2nix

T dx= 1

2

f(x ) einx dx

Cn=1

TT2

T

2

1

2 [0

enix dx+0

enix

dx]

1

2 [ 21 ( ein+ein)]

1

2 [ 22 cos (n) ]

1

in[ 1cos (n)]

i

n[cos (n)1 ]

Cn=( 0 sen ! par2 in

sen ! mpar


29/30

f(x ) dx= 12

f(x ) dx= 12[

0

1dx+0

1dx]= 12[+]=0

Co=1

TT2

T

2

Lo)o, a re$resenta+o da s&rie de Fourier na 'or(a co($lexa da onda .uadrada &i)ualC

f(x ) 2 i

5 e

5 ix2 i

3 e

3 ix2i

e

ix2 i

e

ix 2i

3 e

3ix2 i

5 e

5ix

8? Hode=se re$resentar a onda trian)ular - analisada anterior(ente na 'or(a de u(a s&rie deFourier co($lexa co(o est- de(onstrado a*aixoC

f(x )=(x 1 x 0x 0 x1 , f(x+2)=f(x)

#-lculo de #nC

f(x ) einx dx=12 [1

0

x einx dx+0

1

x einx

d x ]f(x ) e

2nixT dx=

1

21

1

Cn=1

TT2

T

2

Cn=1

2 [(ixn+ 1(n)2 )einx|10

+(ixn+ 1(n)2 )einx|0

1

]Cn=

1

2 [ 1(n)2+(in+ 1(n)2 )ein+( in+ 1(n)2 )ein 1(n)2 ]


30/30

Cn=1

2 [ 2(n)2+ 2cosn(n)2 ]= 1(n)2[cosn1 ]

Dee=se calcular #o se$ara(ente, $ois se a$licar(os n > na e.ua+o aci(a oresultado ser- nulo, $ois 4- u(a diiso $or zero0

f(x ) dx= 12 [1

0

x dx+0

1

xd x ]=12Co=

1

21

1

Lo)o, a re$resenta+o da 'un+o &C

f(x )= 2

252e

5 ix 2

9 2e3 ix

2

2eix+

1

22

2e

ix 2

92e

3 ix

$oncluso

Hode=se $erce*e .ue os estudos desenolidos $or 7ean 8a$tiste 7ose$4 Fourier

ultra$assara( os li(ites da *arreira dos $ro*le(as relacionados condu+o do calor, ea$resenta( u(a )rande i($ortncia nas resolu+5es de $ro*le(as $r-ticos relacionados 'sica e en)en4aria, sendo .ue $ode(os citar co(o exe($lo o c-lculo da intensidade dacorrente de u( circuito el&trico sueito a u(a 'or+a eletro(otriz ari-el $eri6dica e ade'lexo de u(a i)a uni'or(e(ente carre)ada co( u(a car)a . $or unidade deco($ri(ento0

4i.lio"raia

A$ostila S&rie de Fourier >1>0 8utQo, Eu)ene = Fsica Mate(-tica = editora uana*ara oo)an, 1

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Trabalho Sc3a9rie de Fourier