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SÉRIE DE FOURIERAna Luíza Mazalotti Teixeira1, Marcel Freitas de Souza2, Victor Nicolau Capacia3
Resumo
As séries de Fourier funcionam como um processo global na resolução de problemas matemáticos, enquanto que uma série de potências apresenta uma funcionalidade é local. Através da série de Taylor de uma função f, obtemos o polinômio de Taylor, o qual dá uma aproximação para a função f nas vizinhanças de um ponto, entretanto esta função f tem que ser obrigatoriamente suave, logo para uma aproximação global, a série de Taylor falha, uma vez que a aproximação de Taylor é local e não global. A série de Fourier é importante também para obter o limite de f em pontos distantes de x, bem como para encontrar valores aproximados para uma integral sobre um intervalo, pois ela trabalha com funções periódicas.
Palavras-chave: Séries de Fourier. Função par. Função ímpar.
1) Introdução
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) foi um importante matemático e físico de origem francesa, que através do seu estudo sobre a propagação de calor em corpos sólidos analisou a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes, mostrando que qualquer função, por maior complexibilidade que possua, pode ser decomposta em uma soma de senos e cossenos, por isso essas séries receberam o nome de séries de Fourier em sua homenagem. As séries de Fourier apresentam vastas aplicações em diversas disciplinas científicas – na física e química quântica, acústica, oceanografia, processamento de sinal –, logo, torna-se indispensável uma análise dirigida das mesmas com a finalidade de compreenderem-se melhor os diversos fenômenos que ocorrem no mundo.
2) Funções periódicas
Uma função f de R em R é periódica, se existe um número p pertencente R tal que para todo x pertencente a R: f(x+p)=f(x). Na figura 2.1 tem-se um exemplo de uma função periódica.
Figura 2.1 Função periódica
1Universidade Feredal Fluminense – UFF, Niterói – RJ, Bra [email protected] Feredal Fluminense – UFF, Niterói – RJ, Bra [email protected]
3Universidade Feredal Fluminense – UFF, Niterói – RJ, Bra [email protected]
Muitas vezes existem vários números com tal propriedade, sendo que o menor número real positivo com essa característica é chamado de período fundamental de f.
Claramente se p é período da função f, todos os seus múltiplos o serão também. Na figura 2.2 ilustra-se tal conceito.
Figura 2.2 Função periódica com período fundamental
3) Série trigonométrica
Uma série de senos e cossenos do tipo:
12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
é dita série trigonométrica, onde na maior parte das aplicações a variável x é real. Estas séries representam funções periódicas de período 2π, e a soma também será uma função periódica de período 2π.
As funções periódicas podem ser representadas por meio de uma série trigonométrica, deste que f(x) satisfaça os requisitos de convergência estabelecidos por meio das condições de Dirichlet.
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
4) Condições de Dirichlet
Apesar de não ser possível ainda determinar quais são as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica, com as condições de Dirichlet é possível garantir a convergência da série para uma função, porém com certa restrição. Essas condições são:
1. A função deve ser contínua, e assim limitada, no intervalo (-π,π) exceto talvez em um número finito de pontos de descontinuidade finita.
Exemplo:
f ( x )=(1 para−π ≤ x ≤ 00 para 0≤ x≤ π
, f ( x+2π )=f (x)
Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0.
2. Dividindo-se o intervalo (-π,π) em um número finito de subintervalos, a função se comportará de forma monótona em cada subintervalo, apresentando um número finito de máximos e mínimos em um período.
5) Ortogonalidade
Dois termos são ditos ortogonais em relação a um período quando o produto interno entre eles for nulo. Tal propriedade é muito usada para a obtenção dos coeficientes de Fourier, tendo em vista que tais coeficientes são calculados através de produtos internos entre dois termos. Por isso através da propriedade de ortogonalidade é possível saber quais produtos serão nulos e quais não, e qual é a condição para isso.
Logo, podem-se estabelecer as seguintes relações de ortogonalidade considerando o intervalo de (-π,π), as quais serão fundamentais na resolução de problemas relacionados a séries de Fourier.
⟨ sen (mx) , sen(nx)⟩=0 sem ≠ n ,ou π se m=n
⟨ sen (mx) ,cos(nx )⟩=0 para quaisquer m en
⟨ cos(mx), cos (nx )⟩=0 se m≠ n , ou π sem=n
Podem-se demonstrar matematicamente as relações expostas acima, veja:
a) ∫−π
π
sen (mx ) sen ( nx) dx=0 ; para (m≠n) inteiros
cos ( m+n )=cosmx cos nx−senmx sen nx
cos ( m−n )=cosmx cosnx+senmx sen nx
senmx sen nx=12 [cos (m−n ) x−xos ( m+n ) x ]
∫−π
π
sen (mx ) sen ( nx ) dx=∫−π
π 12 [cos (m−n ) x−cos (m+n ) x ] dx=0
b) ∫−π
π
sen (mx ) cos (nx ) dx=0 ; para (m≠n) e para (m=n)
sen (m+n )=senmx cosnx+sennx cosmx
sen (m−n )=sen mx cosnx−sennxcos mx
senmx cosnx=12 [ sen (m+n ) x+sen (m−n ) x ]
∫−π
π
sen (mx ) cos (nx ) dx=∫− π
π 12 [ sen (m+n ) x+sen (m−n ) x ] dx=0
c) ∫−π
π
cos (mx ) cos (nx ) dx=0 ; para m≠n
cos ( m+n )=cosmx cos nx−senmx sen nx
cos ( m−n )=cosmx cosnx+senmx sen nx
cos ( m+n )=12 [cos (m+n ) xcos (m−n ) x ]
∫−π
π
cos (mx ) cos (nx ) dx=∫−π
π 12 [cos (m−n ) x−cos (m+n ) x ]dx=0
6) Determinação dos coeficientes da série de Fourier
Supondo que a função satisfaça as condições de Dirichlet, pode-se assegurar que a série convirja uniformemente no intervalo –π ≤ x ≤ π, se isto ocorrer a série convergirá uniformemente para todos os valores de x. Logo, podem-se obter os coeficientes da série de Fourier explorando-se as relações de ortogonalidade.
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿ 1
Integrando-se os dois membros da equação inicial (1) entre (-π,π)
∫−π
π
f ( x ) dx=∫− π
π 12
Ao dx+∑n=1
∞ [∫−π
π
An cosnx dx+∫−π
π
Bn sen nxdx ]∫−π
π
f ( x ) dx=12
Ao∫−π
π
dx=12
Ao (2 π )=Ao .π
Ao= 1π ∫
−π
π
f (x ) dx
Cálculo de an:
Multiplicando-se a equação inicial (1) por cos px, sendo p, número fixo dado e integrando entre (-π,π)
∫−π
π
f ( x ) cos px dx=∫−π
π 12
Ao cos px dx+∑n=1
∞ [∫−π
π
Ancos px cosnx dx+∫−π
π
Bn sen nxcos px dx ]Sendo n = p
∫−π
π
f ( x ) cosnx dx=An∫− π
π
(cosnx )2dx=An . π
An=1π ∫
−π
π
f ( x ) cosnx dx
Cálculo de bn:
Multiplicando a equação inicial por sen px, sendo p, número fixo dado e integrando entre (-π,π)
∫−π
π
f ( x ) sen px dx=∫−π
π 12
Ao sen px dx+∑n=1
∞ [∫−π
π
An sen px cosnx dx+∫−π
π
Bn sensennx dx ]∫−π
π
f ( x ) sen px dx=∫−π
π
Bn(sen nx)2=Bn. π
Sendo n = p
Bn=1π ∫
−π
π
f ( x ) sennx dx
Exemplos:
A) Um exemplo da utilização da série de Fourier de uma função periódica simples é a onda quadrada, que é uma forma de onda básica encontrada frequentemente nas áreas da eletrônica e do processamento de sinais, ela alterna regularmente e instantaneamente entre dois níveis. Na figura 6.1, tem-se um exemplo de uma onda quadrada.
Figura 6.1 Onda quadrada
Pode-se determinar a série de Fourier da onda quadrada exposta na figura 6.1, por meio do uso dos cálculos dos coeficientes analisados nessa seção.
A função apresenta a forma analítica abaixo
f ( x )=(−1 −π ≤ x ≤ 01 0 ≤ x ≤ π
, f ( x+2 π )=f (x )
Logo, pode-se realizar os cálculos referentes aos coeficientes da série de Fourier.
Ao= 1π ∫
−π
π
f (x ) dx= 1π
¿
An=1π ∫
– π
π
f ( x )cos nxdx= 1π
¿¿¿
An=( – sen (0 )+sen (−nπ )nπ )+( sen (nπ )−sen (0)
nπ )=0
Bn= 1π ∫
−π
π
f ( x ) sennx dx= 1π
¿
Bn=( cos (0 )−cos (−nπ )nπ )−( cos (nπ )−cos (0)
nπ )= 2nπ [1−cos (nx)]
Se n for igual a um número par bn=0, e se n for igual a um número ímpar bn= 4nπ .
Logo, pode-se obter a série de Fourier da função f(x) como sendo igual a:
f ( x ) 4π
sen ( x )+ 43 π
sen (3 x )+ 45 π
sen (5 x )+ 47π
sen (7 x )+ 49π
sen (9 x )
B) Dada a função abaixo, pode-se obter uma representação em série de Fourier, como foi realizado.
f ( x )=(−π para−π ≤ x≤ 0x para0 ≤ x≤ π
, f ( x+2 π )=f (x )
Cálculo da Ao:
Ao=∫−π
π
f ( x )dx=1π [– π∫
−π
0
dx+∫0
π
xdx ]Ao= 1
π {– π [ x ]−π0 +1
2[ x2 ]0
π}=−π2
Cálculo de An:
An=∫− π
π
f ( x ) cosnx dx= 1π [– π∫
–π
0
cosnx dx+∫0
π
xcos nxdx ]An=1
π {– πn
[ sennx ]−π0 +∫
0
π
xcos nxdx }=1π∫0
π
xcos nx dx
An=1π∫0
π
xcosnx dx= 1π {1
n[ x sen nx ]0
π+ 1n∫0
π
sennx dx}An= 1
π∫0π
xcosnx dx= 1π {−1
n2 [cos nx ]0π}= 1
π n2 [1−(−1)n ]
Cálculo de Bn:
Bn=∫−π
π
f ( x ) sennxdx=1π [– π∫
– π
0
sennx dx+∫0
π
x sen nxdx ]Bn= 1
π {πn
[ cosnx ]−π0 +∫
0
π
x sen nx dx}= 1π {π [1−(−1)n ]
n+∫
0
π
x sennx dx }
Cálculo de ∫0
π
x sen nxdx
∫0
π
x sen nxdx=−1n
[ xcos nx ]0π+ 1
n∫0π
cosnx dx=π (−1)n+1
n+ 1
n2 [ sennx ]0π=
π (−1)n+1
n
Bn=[1−(−1)n ]+(−1)n+1
n
Portanto, a série de Fourier de f(x) é da forma:
f ( x )=−π4
+ 1π ∑
n=1
∞ [1−(−1)n ]n2 cosnx+¿∑
n=1
∞ { [1−(−1)n ]+(−1)n+1
n }sennx ¿
7) Funções pares e ímpares
Uma função P(x) é dita par quando P(-x) =P(x). Ou seja, a função é simétrica em relação ao eixo vertical. Na figura 7.1, pode-se verificar uma função par.
Figura 7.1 Simetria par
Uma função I(x) é dita ímpar quando I(-x) = -I(x). Ou seja, é simétrica em relação à origem. Na figura 7.2, pode-se verificar uma função ímpar.
Figura7. 2 Simetria ímpar
Podem-se estabelecer as seguintes propriedades com relação às funções pares e ímpares:1. A soma de funções pares é uma função par.
Exemplo: Dada a soma de uma função f(x) por g(x), ambas pares, o resultado será uma função par q(x)
q(x) = f(x) + g(x)q(-x) = f(-x) + g(-x)q(x) = q(-x)
2. A soma de funções ímpares é uma função ímpar.Exemplo: Dada a soma de uma função f(x) por g(x), ambas ímpares, o resultado será uma função ímpar q(x)
q(x) = f(x) + g(x)q(-x) = - f(x) - g(x)q(x) = - q(x)
3. O produto de duas funções pares é uma função par.Exemplo: Dada o produto de uma função f(x) por g(x), ambas pares, o resultado será uma função par q(x)
q(x) = f(x) . g(x)q(-x) = f(-x) . g(-x)q(-x) = f(x) . g(x)
q(x) = q(-x)
4. O produto de duas funções ímpares é uma função par.Exemplo: Dada o produto de uma função f(x) por g(x), ambas ímpares, o resultado será uma função par q(x)
q(x) = f(x) . g(x)q(-x) = f(-x) . g(-x)q(-x) = - f(x) .(- g(x))q(-x) = f(x) . g(x)q(x) = q(-x)
5. O produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar.Exemplo: Dada o produto de uma função f(x), sendo essa par, por uma função g(x), sendo essa ímpar, o resultado será uma função q(x) ímpar
q(x) = f(x) . g(x)q(-x) = f(-x) . g(-x)q(-x) = f(x) .(- g(x))q(-x) = - f(x) . g(x)q(-x) = - q(x)
6. Toda função f = f(t) pode ser decomposta na soma. f(t) = f p(t) + f i(t) , onde f p = f p(t) é uma função par e f i = f i(t) é uma função ímpar.
Logo, pode-se aplicar os conceitos enunciados a cima para a obtenção da representação em série de Fourier de uma função. Portanto, a série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em cossenos.
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
Com coeficientes:
Ao= 2π∫0
π
f ( x ) dx
An= 2π∫0
π
f ( x )cos nxdx
Considerando f(x) par, tem-se que:
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
f (−x )=12
Ao+∑n=1
∞
[ An cos (−nx )+Bn sen (−nx )]
Como f é par f(-x) = f(x)
f (−x )=f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
Somando as duas equações abaixo:
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
Logo:
2 f ( x )=Ao+2∑n=1
∞
¿¿
f ( x )= Ao2
+∑n=1
∞
¿¿
Por outro lado:
An=1π ∫
−π
π
f ( x ) cos nx dx
Como f(x) e cos (nx) são funções pares, tem-se que:
An=1π [∫
– π
0
f ( x ) cosnx dx+∫0
π
f ( x ) cosnx dx ]¿ 1
π [∫π0
f (−x ) cos (−nx ) d (−x)+∫0
π
f ( x ) cosnx dx ]¿ 1
π [∫π0
−f ( x ) cosnx dx+∫0
π
f ( x )cos nxdx ]¿ 1
π [2∫0π
f ( x )cos nxdx ]An=2
π∫0π
f ( x )cos nxdx
A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em senos.
f ( x )=∑n=1
∞
(Bn sennx )
Com coeficientes:
Bn=2π∫0
π
f ( x ) sennx dx
Considerando f(x) ímpar, tem-se que:
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
f (−x )=12
Ao+∑n=1
∞
[ Ancos (−nx )+Bn sen (−nx ) ]
Como f é ímpar, f(-x) = - f(x) tem-se que:
−f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
[ Ancos (nx )−Bn sen (nx ) ]
Subtraindo as equações abaixo:
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
−f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞
[ Ancos (nx )−Bn sen (n x ) ]
Logo:
2 f ( x )=2∑n=1
∞
¿¿
f ( x )=∑n=1
∞
¿¿
Por outro lado:
Bn=1π ∫
−π
π
f ( x ) sennx dx
Como f(x) e sen (nx) são funções ímpares
Bn=1π [∫
−π
0
f (x ) sen nxdx+∫0
π
f ( x ) sen nx dx ]¿ 1
π [∫π
0
f (−x ) sen (−nx )d (−x )+∫0
π
f ( x ) sennx dx ]
¿ 1π {∫
π
0
[−f ( x ) ] [−sen (nx ) ] [−d( x)]+∫0
π
f ( x ) sennx dx}¿ 1
π [∫0π
f ( x ) sen (nx)dx+∫0
π
f ( x ) sennx dx ]Bn=2
π∫0π
f ( x ) sennx dx
Exemplos:
Série de Fourier de uma função par
A) Dada a função abaixo, pode-se obter uma representação em série de Fourier, como foi realizado.
f ( x )=(xπ
para0 ≤ x ≤ π
2− xπ
paraπ ≤ x ≤ 2 π, f ( x+2 π )=f (x )
Como f(x) é uma função que apresenta simetria com relação ao eixo vertical (x=0), ela é considerada uma função par, portanto pode-se utilizar os recursos mostrados com relação a funções pares nesse tópico. Ou seja:
Bn=0
Ao=2π∫0
π
f ( x ) dx=2π∫0
π xπ dx=
2 x2
2 π 2 ]0
π
=1
An=2π∫0
π
f ( x )cos nxdx= 2π∫0
π xπ
cosnx dx= 2π 2∫
0
π
xcosnx dx
An=( 0 para n par−4n2 π2 para nímpar
A representação da série de Fourier fica:
f ( x )=12− 4
π 2 (cos x+ 19
cos3 x+ 125
cos 25 x+…)
Série de Fourier de uma função ímpar
B) Pode-se demonstrar a utilização da série de Fourier para função ímpar por meio da análise da função dente de serra.
Figura 7.3 Série de Fourier de uma função ímpar
f ( x )=x para−π<x<π f ( x+2 π )= f (x )
Nesse caso, como a função é ímpar An=Ao=0, assim basta calcular Bn.
Bn= 42 π∫0
π
x sen (nx ) dx= 2π∫0
π
x sen (nx ) dx
Bn=−2π [cos (nπ )]
Bn=−2 (−1)n
n
A representação da série de Fourier fica:
f ( x )=−2∑n=1
∞ (−1)n
nsen(nx)
8) Funções com períodos arbitrários
É possível representar funções de qualquer período sob a forma de Série de Fourier, para tanto é preciso utilizar uma mudança de variável. Estando f(t) definida no intervalo (−T
2, T
2 ), tem-se que:
- π < x < π
−T2
<t< T2
x = - π; t = −T
2
x = π; t = T2
Para fazer a mudança de intervalo definimos t em função de x:t = ax+b
T2 = a π + b (1)
−T2 = -a π + b (2)
Somando-se essas duas equações descobrimos que b=0, substituindo o valor de b em (1) temos:
T2 = a π; a=
T2 π, logo
t = (T2 π) x; x = (
2 πT ) t
Expressando a variável t em função de x, temos f (t )=f ( T2
πx ), que é definida no
intervalo (-π, π).
f ( t )=f ( T2π
x)=12
Ao+∑n=1
∞
¿¿
Onde:
Ao= 1π ∫
−π
π
f ( T2 π
x )dx
An=1π ∫
−π
π
f ( T2 π
x )cos nxdx
Bn=1π ∫
−π
π
f ( T2π
x )sennx dx
Para simplificar os cálculos faz-se x=2πT
t e dx=2πT
dt
f ( t )=12
Ao+∑n=1
∞ [An cos( 2 nπT
t)+Bn sen( 2 nπT
t)]Onde:
Ao= 1π ∫
−T2
T2
f ( t ) 2πT
dt
Ao= 2T ∫
−T2
T2
f ( t ) dt
An= 2T ∫
−T2
T2
f ( t ) cos( 2nπtT )dt
Bn= 2T ∫
−T2
T2
f (t ) sen (2 nπtT
)dt
Exemplos:
A) Um exemplo uso da série de Fourier é no estudo da onda triangular, que é uma espécie básica de forma de onda não-senoidal que recebeu este nome devido ao seu formato semelhante a um triângulo. Na figura 8.1, há a representação gráfica de uma onda triangular, cujo período é igual a 1. (T = 1)
Figura 8.1 Onda triangular
A função apresenta a forma analítica abaixo:
f ( x )=(−x −1≤ x≤ 0x 0≤ x≤ 1
, f ( x+2 π )=f (x)
Realizando os cálculos referentes aos coeficientes da série de Fourier.
Ao=11∫−1
1
f (x ) dx=¿
Ao=11∫−1
1
f (x ) cos (nπx)dx=∫−1
0
−x cos (nπx )dx+∫0
1
x cos (nπx)dx
An=−[ 1(nπ )2
cos (0 )+ 1nπ sen (−nπ )− 1
(nπ )2cos (−nπ )]
+[ 1(nπ )2
sen (nπ )+ 1(nπ )2 cos (nπ )− 1
(nπ )2 cos (0 )]
¿−[ 1(nπ )2
−1
(nπ )2cos (−nπ )]+[ 1
(nπ )2 cos (nπ )− 1(nπ )2 ]
¿ 2(nπ )2 [cos ( nπ )−1 ]
Se n for igual a um número par an=0, e se n for igual a um número ímpar an= −4(nπ )2 .
Bn=11∫−1
1
f ( x ) sen (nπx )dx=∫−1
0
−x sen (nπx)dx+∫0
1
x sen (nπx)dx
Bn=−[ 1(nπ )2
sen (0 )− 1nπ cos (−nπ )− 1
(nπ )2sen(−nπ)]
+[−1nπ cos (nπ )+ 1
(nπ )2sen (nπ )− 1
(nπ )2sen(0)]
¿ 1nπ
cos (nπ )− 1nπ
cos (nπ )=0
Logo, pode-se obter a série de Fourier da função f(x) como sendo igual a:
f ( x ) 12− 4
π2 cos(πx )− 49 π 2 cos(3 πx)− 4
25 π2 cos (5 πx )− 449 π2 cos (7 πx )…
B) Pode-se demonstrar a utilização da série de Fourier para função par por meio da análise da função periódica f ( x )=x2, cujo período da função é 1, ou seja, T = 1.
Figura 8.2 Função periódica f ( x )=x2
Nesse caso, como a função é par Bn=0, logo basta calcular o valor de Ao e An.Cálculo da Ao:
Ao=42∫0
1
x2dx ¿ 23
Cálculo de An:
An=42∫0
1
x2cos (nπx ) dx=42 [ 1
nπsen (nπ )+ 2
(nπ )2cos (nπ )− 2
(nπ )3sen (nπ )−0−0− 2
(nπ )3 sen (0)]An= 4
(nπ )2 cos (nπ )
A representação da série de Fourier fica:
f ( x )=13+ 4
π2 ∑n=1
∞ (−1)n
n2 cos(nπx )
9) Mudança de intervalo
Pode-se generalizar o conceito de Séries de Fourier para funções dentro de um intervalo arbitrário (a,b), onde a e b são números reais. Inicialmente considerar-se o caso particular de um intervalo (-p,p).
f ( x )=12
Ao+∑1
∞ [An cos( nπxp )+Bn sen( nπx
p )]Onde os coeficientes da série de Fourier são iguais a:
An= 1p ∫
−p
p
f (x ) cos ( nπxp )dx
Bn= 1p ∫
−p
p
f (x ) sen ( nπxp )dx
A discussão acima pode ser adaptada pelo espaço euclidiano cp [ a , b ]. Com efeito, caso considere-se 2 p=b−a, a série de Fourier pode ser escrita da seguinte forma:
f ( x )=12
Ao+∑1
∞ [ An cos( 2nπxb−a )+Bn sen ( 2nπx
b−a )]Onde os coeficientes da série de Fourier para o respectivo intervalo são iguais a:
Ao= 2b−a∫a
b
f ( x ) dx
An= 2b−a∫a
b
f (x ) cos( 2nπxb−a )dx
Bn= 2b−a∫a
b
f ( x ) sen ( 2nπxb−a )dx
10) Séries em senos e cossenos
As funções periódicas com simetria par e ímpar e suas respectivas representações por meio de séries de Fourier foram analisadas na seção 7, e pode-se apurar que se uma função é par e periódica, então essa pode ser expandida em uma série de Fourier de cossenos e caso a função seja ímpar e periódica, então essa pode ser expandida em uma série de Fourier de senos.
Por conseguinte, pode-se desenvolver uma série de Fourier de uma função f definida no intervalo [ a , b ] sendo essa representação conhecida como expansão em meio período.
Seja a função f(x) de período T=2a, caso a função f(x) seja par a série de Fourier fica representada da seguinte maneira:
f ( x )=12
Ao+∑n=1
∞ [ An cos( nπxa )]
Com coeficientes iguais a:
Ao=2a∫0
a
f ( x )dx
An=2a∫0
a
f (x ) cos ( nπxa )dx
Na figura 10.1 observa-se uma função f(x) definida no intervalo [ 0 , a ]
Figura 10.1 Função f(x)
Efetuando-se um prolongamento periódico par, a função f(x) anterior pode ser representada graficamente pela figura 10.2.
Figura 10.2 Prolongamento periódico par de f(x)
Considerando-se a função f(x) como sendo ímpar, a série de Fourier ficará representada da seguinte forma:
f ( x )=∑n=1
∞ [Bn sen( nπxa )]
Com coeficiente igual a:
Bn=2a∫0
a
f (x ) sen ( nπxa )dx
Realizando-se um prolongamento periódico ímpar, a função f(x) representada na figura 10.1 pode ser representada graficamente pela figura 10.3.
Figura 10.3 Prolongamento periódico ímpar de f(x)
Exemplos:
A) Dada a função abaixo, pode-se obter uma representação em série de Fourier com uma expansão par.
Figura 10.4 Prolongamento periódico par
f ( x )=x , 0≤ x ≤ πCálculo de Ao:
Ao=4
2 π∫0π
x dx= 2π [ x2
2 ]0
π
=2π [ π2
2 −0]=π
Cálculo de An:
An= 42 π∫0
π
x cosnx dx=2π [ x
nsennx+ 1
n2 cosnx ]0
π
= 2n2 π
[ cosnπ−1 ]
An=( 0 paran par−4n2 π
para nímpar
Portanto, a representação da função em série de Fourier fica:
f ( x )= π2−4
πcos x− 4
9πcos3 x− 4
25 πcos5 x−…
B) Dada a mesma função do exemplo anterior pode-se realizar uma expansão periódica ímpar, sendo que o resultado obtido é exatamente o valor encontrado para a função dente de serra, a qual já foi abordada anteriormente no tópico referente a funções pares e ímpares. Sua representação é da forma:
f ( x )=−2∑n=1
∞ (−1)n
nsen(nx)
11) Série de Fourier na forma complexa
A série de Fourier pode ser expressa também na forma complexa, nessa forma os termos são representados como funções exponenciais, ao invés de serem representados em termos de funções trigonométricas como eram anteriormente.
Considerando uma função f(x) definida no intervalo (−T2
, T2 ) sua representação na
forma trigonométrica é igual a
f ( t )=12
Ao+∑n=1
∞ [ An cos( 2 nπT
x)+Bn sen (2nπT
x)]Com coeficientes iguais a:
Ao= 2T ∫
−T2
T2
f ( x ) dx
An= 2T ∫
−T2
T2
f ( x ) cos( 2 nπT )dx
Bn= 2T ∫
−T2
T2
f ( x ) sen ( 2nπT
)dx
Pela definição de exponencial:
ex +iy=ex [cos ( y )+isen( y)]
Logo:
e2nπix
T =[cos ( 2 nπixT )+isen( 2nπix
T)] 1
e−2 nπix
T =[cos( 2nπixT )−isen(2nπix
T)] 2
Somando as funções 1 e 2:
cos ( 2nπixT )=1
2[e 2 nπix
T +e−2 nπix
T ] 3
Subtraindo a equação 2 da equação 1, e lembrando que i=−1
i , logo:
sen( 2 nπixT )=−i
2[e 2 nπix
T −e−2 nπix
T ] 4
Substituindo as equações 3 e 4 no somatório da equação da série de Fourier na forma trigonométrica , tem-se que:
∑n=1
∞ [An cos( 2 nπT
x )+Bn sen( 2nπT
x)]=∑n=1
∞ An2
[e2nπixT +e
−2nπixT ]− iBn
2[e 2nπix
T −e−2 nπix
T ]
¿∑n=1
∞ [( An−iBn)2
e2 nπix
T +( An+ iBn)2
e−2 nπix
T ]Definindo o coeficiente Cn como:
Cn=12
( An−iBn )
E também:
Cn=12
( An+iBn )
Assim a equação pode ser reescrita como sendo:
∑n=1
∞ [An cos( 2 nπT
x )+Bn sen( 2 nπT
x)]=∑n=1
∞ [Cn e2 nπix
T +Cn e−2 nπix
T ]
Pode-se observar que os coeficientes da série de Fourier na forma trigonométrica para
o intervalo (−T2
, T2 ) são iguais a:
An= 2T ∫
−T2
T2
f ( x ) cos( 2nπT )dx= 2
T ∫−T
2
T2
f ( x )cos (−2nπT )dx=A−n
Bn= 2T ∫
−T2
T2
f ( x ) sen (2nπT )dx= 2
T ∫−T
2
T2
f ( x ) sen (−2nπT )dx=−B−n
Portanto:
Cn=12
( An+iBn )=Cn=12 ( A−n−i B−n )=C−n
Por conseqüência, o somatório é igual a:
∑n=1
∞ [An cos( 2 nπT
x )+Bn sen( 2 nπT
x)]=∑n=1
∞ [Cn e2 nπix
T +C−n e−2 nπix
T ]
Fazendo n variar em todo o conjunto dos números naturais, exceto zero, então:
∑n=0
∞ [An cos (2 nπT
x )+Bn sen( 2 nπT
x)]=∑n∈Z¿
Cn e2 nπix
T
Os coeficeintes Co e Cn podem ser calculados pelas equações:
Cn= 1T ∫
−T2
T2
f ( x ) e−2 nπix
T dx , nϵ Z¿
Co= 1T ∫
−T2
T2
f ( x )dx
Desse modo, a série de Fourier na forma complexa para um intervalo arbitrário
(−T2
, T2 ) é igual a:
f ( x )=Co+ ∑n∈ Z¿
Cn e2nπix
T
Exemplos:
A) Pode-se representar a onda quadrada do exemplo 6.1 como uma série de Fourier complexa, sendo a representação da função na forma analítica a seguinte:
f ( x )=(−1 −π ≤ x ≤ 01 0 ≤ x ≤ π
, f ( x+2 π )=f (x )
Através das fórmulas obtidas para o cálculo dos coeficientes da série de Fourier demonstrados anteriormente, logo:
Cn= 1T ∫
−T2
T2
f ( x ) e−2 nπix
T dx=¿ 12 π ∫
−π
π
f ( x )e−inx dx ¿
¿ 12 π [∫
−π
0
−e−nix dx+∫0
π
e−nix dx ]¿ 1
2 π [ 2¿−1
¿ (e inπ+e−inπ )]
¿ 12 π [ 2
¿ −2¿ cos (nπ ) ]
¿ 1inπ [1−cos (nπ ) ]
¿ inπ [cos ( nπ )−1 ]
Cn=( 0 sen é par−2inπ
sen é ímpar
Co= 1T ∫
−T2
T2
f ( x )dx=¿ 12 π ∫
− π
π
f ( x ) dx=¿ 12 π [∫
−π
0
−1dx+∫0
π
1 dx ]= 12 π
[−π+π ]=0¿
Logo, a representação da série de Fourier na forma complexa da onda quadrada é igual:
f ( x ) …− 2i5 π
e−5 ix− 2i3 π
e−3 ix−2 iπ
e−ix−2 iπ
e ix− 2i3 π
e3 ix− 2i5 π
e5 ix …
B) Pode-se representar a onda triangular já analisada anteriormente na forma de uma série de Fourier complexa como está demonstrado abaixo:
f ( x )=(−x −1 ≤ x≤ 0x 0≤ x≤ 1
, f ( x+2 π )=f (x)
Cálculo de Cn:
Cn= 1T ∫
−T2
T2
f ( x ) e−2 nπix
T dx=¿ 12∫−1
1
f ( x ) e−inπxdx=¿ 12 [∫
−1
0
−x e−inπx dx+∫0
1
xe−inπx d x ]¿¿
Cn=12 [−( ix
nπ+ 1(nπ)2 )e−inπx|−1
0
+ ( ixnπ
+ 1(nπ)2 )e−inπx|0
1 ]
Cn=12 [ −1
(nπ)2 +(−inπ
+ 1(nπ )2 )einπ+( i
nπ+ 1
(nπ )2 )e−inπ− 1(nπ )2 ]
Cn=12 [ −2
(nπ)2 +2 cosnπ(nπ)2 ]= 1
(nπ )2 [ cosnπ−1 ]
Deve-se calcular Co separamente, pois se aplicarmos n = 0 na equação acima o resultado será nulo, pois há uma divisão por zero.
Co=12∫−1
1
f ( x )dx=¿ 12 [∫
−1
0
−x dx+∫0
1
x d x ]=12
¿
Logo, a representação da função é:
f ( x )=…− 225π 2 e−5 iπx− 2
9 π 2 e−3 iπx− 2π 2 e−iπx+1
2− 2
π2 e iπx− 29 π2 e3 iπx−…
Conclusão
Pode-se percebe que os estudos desenvolvidos por Jean Baptiste Joseph Fourier ultrapassaram os limites da barreira dos problemas relacionados à condução do calor, e apresentam uma grande importância nas resoluções de problemas práticos relacionados à física e à engenharia, sendo que podemos citar como exemplo o cálculo da intensidade da corrente de um circuito elétrico sujeito a uma força eletromotriz variável periódica e a deflexão de uma viga uniformemente carregada com uma carga q por unidade de comprimento.
Bibliografia
Apostila Série de Fourier 2010. Butkov, Eugene - Física Matemática - editora Guanabara Koogan, 1988 Notas de Aulas - Série de Fourier - Professor Fabiano José dos Santos, PUC-MG. Barata, João Carlos Alves - Física Matemática - Universidade de São Paulo, 2005.
