Trabalho Volumes Finitos-13.08.09

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E ENGENHARIA DE ALIMENTOS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

SOLUÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICAPARA UMA BARRA UNIDIMENSIONAL

Alunos: Fabiola Vignola, Ingrid Dittert e Marcelo Perfeto.

Disciplina: Método dos Volumes Finitos aplicados a Fenômenos de Transporte.

Prof. Dr Antonio Augusto Ulson de Souza.

Profa. Dr.Selene M.A. Guelli Ulson de Souza



FLORIANÓPOLIS, AGOSTO DE 2009.

SUMÁRIO

SUMÁRIO ........................................................................................................................................ ......... .....2

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................................. ........3

1. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA .....................................................................................................................4

2. DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES ................................................................................................5

2.1. HIPÓTESES....................................................................................................................................................52.2. EQUAÇÃO DA E NERGIA...................................................................................................................................5

3. MODELAGEM NUMÉRICA ........................................................................................................................6

3.1. DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA .............................................................................. 73.2. DEFINIÇÃO DA EQUAÇÃO ALGÉBRICA ..............................................................................................................12

4. FLUXOGRAMA DO ALGORITMO COMPUTACIONAL ....................................................................14

5. RESULTADOS ..............................................................................................................................................15

5.1. SOLUÇÃO A NALÍTICA .................................................................................................................................. 155.2. SOLUÇÃO NUMÉRICA....................................................................................................................................18 NAS FIGURAS 8 E 9 ESTÃO DEMONSTRADOS O PERFIL DE TEMPERATURA PARA A BARRA DE ALUMÍNIO QUE FOI OBTIDO ATRAVÉS DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL E JACOBI RESPECTIVAMENTE, CONFORME OBSERVADO ANTERIORMENTE NA SOLUÇÃO ANALÍTICA A CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO É OBTIDA EM TORNO DE 150 S PARA AMBOS OS MÉTODOS...................................18

NAS FIGURAS 12 E 13, ESTÁ REPRESENTADO O ERRO DE CONVERGÊNCIA VERSUS ITERAÇÃO PARA OS MÉTODOS DE GAUSS-SEIDEL E JACOBI RESPECTIVAMENTE.......................................................................................................................205.3. PERFIL DE TEMPERATURA PARA DIFERENTES VALORES DE DIFUSIVIDADE TÉRMICA PARA OS MÉTODOS DE GAUSS-SEIDEL E JACOBI..............................................................................................................................................................215.4. COMPARAÇÃO ENTRE A R ESOLUÇÃO A NALÍTICA E NUMÉRICA............................................................................ 22

6. CONCLUSÕES ...................................................................................................................................... .......23

7. REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ ....24

8. ANEXOS .................................................................................................................................................... ....26

8.1.ALGORITMO COMPUTACIONAL........................................................................................................................ 26

8.2. SOLUÇÃO A NALÍTICA................................................................................................................................... 28

2



LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1. ESQUEMATIZAÇÃO DAS PLACAS PLANAS PARALELAS.................4

FIGURA 3. PERFIL DE TEMPERATURA OBTIDO COM A SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA UMA

BARRA DE ALUMÍNIO. TRIDIMENSIONAL, POSIÇÃO X TEMPO X TEMPERATURA...............15

FIGURA 4. PERFIL DE TEMPERATURA OBTIDO COM A SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA UMA

BARRA DE ALUMÍNIO..................................................................................................................................16

FIGURA 5. PERFIL DE TEMPERATURA PARA DIFERENTES TEMPOS, OBTIDO COM A

SOLUÇÃO ANALÍTICA.................................................................................................................................16FIGURA 6. PERFIL DE TEMPERATURA PARA DIFERENTES VALORES DE DIFUSIVIDADE. .17

FIGURA 7. PERFIL DE TEMPERATURA PARA DIFERENTES VALORES DE DIFUSIVIDADE. .17

FIGURA 8. PERFIL DE TEMPERATURA PARA MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL, OBTIDO COM A

SOLUÇÃO NUMÉRICA.................................................................................................................................18

FIGURA 9. PERFIL DE TEMPERATURA PARA MÉTODO DE JACOBI, OBTIDO COM A

SOLUÇÃO NUMÉRICA.................................................................................................................................18

FIGURA 10. ERRO DE ITERAÇÃO PARA MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL.........................................19

FIGURA 11. ERRO DE ITERAÇÃO PARA MÉTODO DE JACOBI.......................................................19

FIGURA 12. ERRO DE CONVERGÊNCIA PARA MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL.............................20

FIGURA 13. ERRO DE CONVERGÊNCIA PARA MÉTODO DE JACOBI...........................................20

FIGURA 14. PERFIL DE TEMPERATURA PARA OS MÉTODOS DE GAUSS-SEIDEL E JACOBI

COM DIFERENTES VALORES DE DIFUSIVIDADE TÉRMICA...........................................................21

FIGURA 15. COMPARAÇÃO DO PERFIL DE TEMPERATURA ENTRE A SOLUÇÃO

ANALÍTICA E NUMÉRICA...........................................................................................................................22

3



1. Definição do problema

Este trabalho faz a análise numérica e analítica de um problema de

condução de calor em uma barra unidimensional com isolamento térmico decomprimento L = 15 cm, com temperatura inicial de 25 ºC, ligada a duas fontes

térmicas, uma em cada extremidade (T1 = 0 ºC e T2 = 100 ºC).

Figura 1. Esquematização das placas planas paralelas.

Utilizou-se método de diferenças finitas com o objetivo de predizer o perfil

de temperatura na barra, bem como a influência da difusividade térmica (α ).

Serão utilizados os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. O método de Jacobi

pertence à classe dos métodos ponto a ponto, que resolve o sistema linear

visitando equação, iterativamente, usando os valores das variáveis do nível

iterativo anterior. Já o método de Gauss-Seidel é essencialmente igual ao de

Jacobi, com a diferença de fazer uso, durante um mesmo ciclo iterativo, de valores

das variáveis já calculadas nesse ciclo. Isso acelera a convergência em relação ao

método de Jacobi, mas retém todas as dificuldades de um método iterativo ponto a

ponto.

4



2. Desenvolvimento das equações

2.1. Hipóteses

1. Regime transiente;

2. Propriedades físicas constantes;

3. Gradiente nulo na direção y e z;

4. Válida a lei de Fourier;

5. Sem geração de calor;

6. Eixo X na horizontal;

7. Coordenadas cartesianas

8. Paredes com isolamento térmico

9. Problema puramente difusivo;

2.2. Equação da Energia

Partindo da equação da conservação da energia para coordenadas

cartesianas na forma unificada para o problema proposto, temos:

φ φ φ φ φ φ φ φ ρ φ ρ φ ρ

φ ρ S

z z y y x x z w

yv

xu

t +

∂∂

Γ ∂∂

+

∂∂

Γ ∂∂

+

∂∂

Γ ∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

)()()(

(1)

Onde:

T =φ ;

pc

k =Γ φ

;

p p cc

qS

µφ φ +='''

Considerando as hipóteses citadas anteriormente a equação (1) se reduz a:

5



∂∂

Γ ∂∂

=∂∂

x xt

φ φ ρ φ (2)

Rearranjando esta equação temos:

∂∂

=∂∂

2

2

x

T

t

T α (3)

Onde α representa a difusividade térmica, dada por:

P

c

k

. ρ α = (4)

Sendo k a condutividade térmica, ρ a massa específica e cp o calor

específico à pressão constante.

A resolução da equação (3) necessita de duas condições de contorno para

direção x e uma condição inicial. A partir destas condições e do equacionamento

demonstrado anteriormente pode-se utilizar diversos métodos numéricos para

calcular o valor aproximado da temperatura em cada ponto do volume de controle.

No início das iterações numéricas é prescrita a condição inicial, e as

condições de contorno do sistema considerado.

CI: T(x,0) = f(x) = 25 ºC

CC1: T(0,t) = 0 ºC

CC2: T(L,t) = 100 ºC

3. Modelagem Numérica

O uso de técnicas numéricas para a resolução de problemas

complexos de engenharia e de física é hoje, uma realidade, graças ao

desenvolvimento de computadores de alto desempenho e de grande

capacidade de armazenamento. Em função dessa disponibilidade

computacional, que tem vindo a crescer exponencialmente, o

desenvolvimento de algoritmos para a resolução dos mais diversos

problemas tem recebido enorme atenção dos analistas numéricos. Hoje

6



em dia, o engenheiro ou projetista incumbido de resolver um

determinado problema tem à sua disposição, fundamentalmente, três

elementos de análise:

- métodos analíticos;

- métodos numéricos (experimentação numérica) e

- experimentação em laboratório.

Os métodos analíticos apresentam muitas limitações, pois só

podem ser aplicados em problemas cujas hipóteses simplificativas os

desviam demasiadamente do fenômeno físico real e em geometrias

simples. No entanto têm um papel importante no que respeita à

validação dos métodos numéricos.

A tarefa de um método numérico é resolver uma ou mais equações

diferenciais, substituindo as derivadas existentes na equação por

expressões algébricas que envolvem a função incógnita. Um método

analítico que tivesse a habilidade de resolver tais equações permitiria

obter a solução de forma fechada e calcular os valores das variáveis

dependentes num nível infinitesimal, isto é, para um número infinito de

pontos. Por outro lado, quando decidimos fazer uma aproximação

numérica da equação diferencial, aceitamos ter a solução num número

discreto de pontos (vértices da malha), esperando que, quanto maior for

este número de pontos, mais próxima da solução exata será a nossa

solução aproximada (ou numérica) [1].

3.1. Discretização da equação da conservação da energia

O ponto de partida de qualquer método numérico é o modelomatemático, por exemplo, um conjunto de equações diferenciais parciais

e condições de fronteira que regem o processo. A escolha de um modelo

apropriado para a aplicação alvo pode conter simplificações das regras

de conservação exatas. Contudo a seleção das simplificações a efetuar e

a relaxação de determinadas restrições, requer um conhecimento

aprofundado do problema em causa, de forma a evitar cometer erros

graves. Um método numérico normalmente é desenvolvido paraencontrar uma solução aproximada de um conjunto particular de

7



equações, uma vez que é impraticável criar um método de resolução

que seja aplicável em todas as situações. Depois de selecionado o

modelo matemático, tem de se escolher um método de discretização

apropriado, isto é, um método de aproximar as equações diferenciais por

um sistema de equações algébricas para as variáveis do problema que

serão obtidas em localizações discretas no espaço e no tempo [2, 3].

Existem vários métodos sendo os mais conhecidos: Método das

Diferenças Finitas (MDF), Método dos Volumes Finitos (MVF) e Método

dos Elementos Finitos (MEF) [4-5].

O Método de Diferenças Finitas objetiva-se em calcular a derivada de uma

equação, considerando os intervalos, não do ponto de vista infinitesimal, como no

cálculo analítico, mas de forma discretizada em intervalos finitos de dimensão ∆ x ,

efetuando os cálculos por pontos [6]. Toma-se como referência um determinado

ponto, P, e partindo-se deste é feita à expansão da série de Taylor, a qual é

infinita, e por isso é truncada em um determinado termo, de acordo com a ordem

de grandeza do erro que se pode assumir [7]. Para avançar até a convergência de

cada iteração, o ponto P “precisa” de mais informações, e assim as busca de seus

“pontos vizinhos”.

Essa obtenção das informações pode ser feita utilizando-se um dos três

equacionamentos aplicados ao método: Diferenças Finita Avançada, Atrasada ou

Central , para o problema em questão, a solução seguiu a discretização pelo

equacionamento central (CDS) [6].

Diferença Finita Central (CDS): este equacionamento mantém o ponto P no

centro, de maneira a relacioná-lo com os dois outros pontos “a leste” e “a oeste”

(Figura 2).

8



Figura 2. Malha computacional aplicada na discretização.

A equação (3) deve ser discretizada e escrita de forma algébrica para que

possa ser resolvida computacionalmente. Neste trabalho foi utilizado o método de

diferenças finitas como citado anteriormente, para se obter as aproximações

algébricas da equação diferencial parcial de conservação da energia.

A série de Taylor pode ser aplicada similarmente para funções ƒ ( x + ∆ x ) e

ƒ ( x − ∆ x ) em torno de um ponto x de acordo com as expressões abaixo:h

...!3!2

)()(3

3

32

2

2

+∆

∂

∂+

∆

∂

∂+∆

∂

∂+=∆+

x

x

f x

x

f x

x

f x f x x f

x x x

(5)

...!3!2

)()(3

3

32

2

2

+∆

∂

∂−

∆

∂

∂+∆

∂

∂−=∆−

x

x

f x

x

f x

x

f x f x x f

x x x

(6)

Através da malha computacional podemos fazer:

W

E

P

f x x f

f x x f

f x f

=∆−=∆+

=

)(

)(

)(

Agora substituindo ƒ(x) por ƒP, ƒ(x + ∆ x) por ƒE e ƒ(x - ∆ x) por ƒW, nas

equações (5) e (6), subtraindo as mesmas (equação (5) – equação (6)) e

aplicando diferenças centrais, é possível obter a derivada de primeira ordem:

9



x

f f

x

f W E

P ∆

−=

∂

∂

2 (7)

Esta forma é conhecida como “diferenças centrais” e leva em conta um

ponto anterior e outro posterior a x. Outra forma de se obter a derivada de primeira

ordem é quando as informações locais se propagam com influência do ponto

imediatamente anterior ou posterior ao domínio de cálculo. Nas equações (5) e (6)

é possível se ignorar os termos de ordem mais elevada, com isso obter a derivada

de primeira ordem:

Ponto imediatamente posterior ao domínio de cálculo:

x

f f

x

f P E

P ∆

−=

∂

∂

+

(8)

Ponto imediatamente anterior ao domínio de cálculo:

x

f f

x

f W P

P ∆

−=

∂

∂

−

(9)

Sob estes formatos a derivada de primeira ordem é conhecida como

“upwind”. Entretanto, esta derivada de primeira ordem upwind é menos precisaque a derivada de primeira ordem de diferenças centrais, pois o primeiro termo

truncado na derivação desta contém ∆ x 2 em comparação com ∆ x das duas

últimas sob o formato upwind.

É possível obter a derivada de segunda ordem através da soma das

equações (5) e (6). Com a substituição de ƒ(x) por ƒ P, ƒ(x + ∆ x) por ƒE e ƒ(x - ∆ x)

por ƒW a derivada de segunda ordem pode ser escrita da seguinte forma:

22

2 2

x

f f f

x

f P W E

P ∆

−+=

∂∂

(10)

E para variação da função ƒ com o tempo é escrita a seguinte

expressão:

t

f f

t

f t

P

t t

P

P ∆+

=∂∂ ∆+

(11)

10



11



3.2. Definição da equação algébrica

Substituindo as derivadas da equação (3) pelos termos discretizados

equivalentes apresentado anteriormente:

t

T T

t

T t

P

t t

P

∆−

=∂∂ ∆+

(12)

22

2 2

x

T T T

x

T t t

P

t t

W

t t

E

∆

−+=

∂

∂ ∆+∆+∆+

(13)

Substituindo as equações (12) e (13) na equação (3) obtemos:

∆

−+=

∆

− ∆+∆+∆+∆+

2

2

x

T T T

t

T T t t

P

t t

W

t t

E

t

P

t t

P α (14)

É possível rearranjar a equação obtida da seguinte forma:

t t

W W

t t

E E

t t

P P

t

P T aT aT aT ∆+∆+∆+ ++= (15)

A tabela abaixo apresenta os termos equivalentes da equação (15), a qual

foi utilizada para os cálculos do perfil de temperatura da barra.

Tabela 1.Termos da equação da conservação da energia discretizada.Termo Termo Equivalente

P a

t x

x

∆+∆∆

α 22

2

12



E a

t x

t

∆+∆

∆

α

α

22

W a

t x

t

∆+∆

∆

α

α

22

Aplicando à equação (15) o método de Jacobi, obtém-se a seguinte

equação:

( ) ( ) ( )it t xT ait t xT anit xT ait t xT E E P

,,1.,,1.,,)1,,( ∆+−+∆+++=+∆+

(16)

E para o método de Gauss-Seidel, obtém-se a seguinte equação:

( ) ( ) ( )1,,1.,,1.,,)1,,( +∆+−+∆+++=+∆+ it t xT ait t xT anit xT ait t xT W E P

(17)

Onde:

x é o comprimento da barra;

t o tempo;

i o número da iteração;

ni a última iteração realizada no passo de tempo.

13



4. Fluxograma do Algoritmo Computacional

Abaixo segue o fluxograma do modelo numérico, o qual foi resolvido através

de um algoritmo computacional desenvolvido em Matlab® versão 7.7.0.471(R2008b) (ANEXO1).

14

α α



5. RESULTADOS

5.1. Solução Analítica

Aplicando o método de separação de variáveis na equação (3) obtém-se a

seguinte solução na forma analítica para as condições de contorno do problema.

A Figura 3 apresenta o gráfico tridimensional do perfil de temperatura para

uma barra de alumínio obtido através da solução analítica feita pelo programa

Wolfram Mathematica 7.0, onde podemos observar que apartir de 60 s

começamos a ter uma condição próxima do equilíbrio. Através da Figura 4 e 5,

podemos ter uma melhor visualização da condição de equilíbrio que em torno de

150 s é obtida.

Figura 3. Perfil de temperatura obtido com a solução analítica para uma barra de

alumínio. Tridimensional, posição x tempo x temperatura.

15



Figura 4. Perfil de temperatura obtido com a solução analítica para uma barra dealumínio.

2 4 6 8 1 0 1 2 1x c m

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0

T0

C

P e r f i l d eT e m p. b a r r ad eA l u m

1 5s

4 0s

2 0s

1 0s

5 . 0s

2 . 0s

1 . 0s

0 . 1s

T e m

Figura 5. Perfil de temperatura para diferentes tempos, obtido com a solução analítica.

Na Figura 6 e 7 está representado o perfil de temperatura para diferentes

valores de difusividade térmica (α ) para alguns metais, nos tempos de 2 e 60 s

respectivamente. Observa-se que conforme aumenta o valor de α , onde seus

valores estão representados na Tabela 2, mais rápido é atingido o estado

estacionário.

16



Tabela 2. Difusividade térmica para diferentes metais.Metais α (cm2. s-1)

Aço 0,125Chumbo 0,235

Latão 0,265

Alumínio 0,881Cobre 1,122Prata 1,743

0 2 4 6 8 1 0 1 1x c m0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0

T0

C

P e r f i l d eT e m p e

P r a

C o

A l u m

L a t

C h u

A ç

D i f u s . T é r m

Figura 6. Perfil de temperatura para diferentes valores de difusividade

térmica no tempo de 2 segundos, obtido com a solução analítica.

0 2 4 6 8 1 1 1x c m0

2

4

6

8

1 0

T0

C

P e r f i l d eT e m p e

P r a

C o

A l u m

L a

C h u

A ç

D i f u s . T é r m

Figura 7. Perfil de temperatura para diferentes valores de difusividade

térmica no tempo de 60 segundos, obtido com a solução analítica.

17



5.2. Solução Numérica

Nas Figuras 8 e 9 estão demonstrados o perfil de temperatura para a barra

de alumínio que foi obtido através do método de Gauss-Seidel e Jacobi

respectivamente, conforme observado anteriormente na solução analítica acondição de equilíbrio é obtida em torno de 150 s para ambos os métodos.

Figura 8. Perfil de temperatura para método de Gauss-Seidel, obtido com a soluçãonumérica.

Figura 9. Perfil de temperatura para método de Jacobi, obtido com a solução numérica.

18



Nas figuras 10 e 11 estão representados os erros de iteração versus

posição para ambos os métodos, onde podemos observar que como foram

estipuladas as condições de contorno o erro no inicio e no final da barra é zero e

quanto mais se aproxima do centro da barra, este erro aumenta. Vale ressaltar,

que quanto mais se aproxima do estado estacionário menor é o erro, e este valor é

praticamente o mesmo para ambos os métodos.

Figura 10. Erro de iteração para método de Gauss-Seidel.

Figura 11. Erro de iteração para método de Jacobi.

19



Nas figuras 12 e 13, está representado o erro de convergência

versus iteração para os métodos de Gauss-Seidel e Jacobi respectivamente.

Figura 12. Erro de convergência para método de Gauss-Seidel.

Figura 13. Erro de convergência para método de Jacobi.

20



5.3. Perfil de temperatura para diferentes valores de difusividade térmica

para os métodos de Gauss-Seidel e Jacobi

O perfil de temperatura obtido com os métodos de Gauss-Seidel e Jacobipara diferentes valores de difusividade térmica estão representados na figura 14,

onde se observa que não há diferença significativa entre os métodos, entretanto é

observado, como citado anteriormente na discussão da solução analítica,

conforme se aumenta o valor de α , mais rápido é atingido o estado estacionário.

Figura 14. Perfil de temperatura para os métodos de Gauss-Seidel e Jacobi com

diferentes valores de difusividade térmica.

21



5.4. Comparação entre a Resolução Analítica e Numérica

Através da Figura 15, onde é feito a comparação entre os métodos

numéricos e o analítico, para diferentes tempos, pode-se observar que ambos os

resultados numéricos se aproximam muito do resultado analítico.

Figura 15. Comparação do perfil de temperatura entre a solução analítica e numérica.

22



6. CONCLUSÕES

Os resultados obtidos com os métodos numéricos se aproximaram do

resultado obtido com a solução analítica, observando-se a validação destesmétodos através do perfil de temperatura para a barra de alumínio.

Analisando-se o perfil de temperatura para diferentes difusividades térmicas

(α ) observou-se que para valores maiores o estado estacionário é atingido em um

menor tempo.

23



7. REFERÊNCIAS

[1] Gonçalves, N. D. F.; Método dos Volumes Finitos em Malhas Não-Estruturadas,Dissertação de mestrado do Departamento de Matemática Aplicada /

Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do

Porto 2007.

[2] Blasek, J.; Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications; Elsevier;

2001.

[3] Batchelor, G.K.; An Introduction to Fluid Dynamics; Cambridge University Press;

1967.

[4] Demirzic; Muzaferija, S.; Peric, M.; Benchmark Solutions of Some Structural

Analysis Problems Using Finite-Volume Method and Multigrid Acceleration;

International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 40, 1893-1908;

1997.

[5] Gois, J. P.; Estácio, Kémelli Companharo; Oishi, Cassio Machiavelli;

Berttoni, Vanessa; Botta, Vanessa Avansini; Nagamine, Andre; Kurokawa,

Fernando Akira; Federson, Fernando; Aplicação de Volumes Finitos na

Simulação Numérica de Contaminação em Lençóis Freáticos; ICMC/USP –

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Departamento de

Computação e Estatística, SP, Brasil.

[6] Versteeg, H. K.; Malalasekera, W.; An Introduction to Computational

Fluid Dynemics – The Finite Volume Method; Longman Scientific &

Technical; 1995.

[7] Patankar, Suhas V.; Numerical Heat Transfer and Fluid Flow;

Hemisphere Publishing Corporation, 1980.

24



25



8. ANEXOS

8.1.Algoritmo Computacional

%Problema de Difusão em uma barra metálica%Fabiola Vignola, Ingrid Maria Dittert, Marcelo Wigg Perfeto%Disciplina: Método de Volumes Finitos Aplicado a Fenômenos de Transporte clear %limpar variáveisclc %limpar tela %Parâmetros da Simulaçãoalfa=0.881; %difusividade térmicadx=0.1; %variação da distânciaL=15; %comprimento da barra

dt=1; %variação do tempot=151; %tempo em segundosni=1000; %número de iteraçõesTf=0; %temperatura fonte friaTq=100; %temperatura fonte quenteTin=25; %temperatura inicial da barra %Calculos de entradant=t/dt; %número de passos no temponx=L/dx; %número de volumes de controleap=((dx^2)/((dx^2)+(2*alfa*dt))); %termo da eq. discretizadaae=((alfa*dt)/((dx^2)+(2*alfa*dt))); %termo da eq. discretizadaaw=ae; %termo da eq. discretizada

%Condições iniciaisfor x=1:nx

T(x,1)=Tin;T(1,1)=Tf;T(nx,1)=Tq;

end %Solução do problemafor t=2:nt

To(:,t)=T(:,t-1); for i=1:ni if i==1

Ti(:,i)=To(:,t); end for x=1:nx if x==1

Ti(x,i+1)=Tf; elseif x==nx

Ti(x,i+1)=Tq; else

Ti(x,i+1)=ap*To(x,t)+ae*Ti(x+1,i)+aw*Ti(x-1,i+1); %Gauss-Seidel end end

Conv(:,i+1)=abs((Ti(:,i+1)-Ti(:,i))/(Tq-Tf));

ErIteracao(:,i+1)=abs((Ti(:,i+1)-Ti(:,i))/(Tq-Tf)); if Conv(:,i+1)<10^(-6) break

26



end end

T(:,t)=Ti(:,i);ErConv(1:nx,t)=Conv(:,i+1);

end

%Representações gráficasfigure;hold onn=linspace(0,L,150);plot(n,T(1:nx,1),'-.k'),title('\it{Perfil de Temp. barra de Alumínio(Gauss-Seidel)}','FontSize',12),ylabel('T (°C)'),xlabel('X(cm)'),legend('C.I.','2.0s','5.0s','10s','20s','60s','150s'),set(gca,'XTick',[0 2.5 5.0 7.5 10 12.5 15]);plot(n,T(1:nx,3),'B'),legend('C.I.','2.0s','5.0s','10s','20s','60s','150s');plot(n,T(1:nx,6),'G'),legend('C.I.','2.0s','5.0s','10s','20s','60s','150s');plot(n,T(1:nx,11),'R'),legend('C.I.','2.0s','5.0s','10s','20s','60s','150

s');plot(n,T(1:nx,21),'C'),legend('C.I.','2.0s','5.0s','10s','20s','60s','150s');plot(n,T(1:nx,61),'M'),legend('C.I.','2.0s','5.0s','10s','20s','60s','150s');plot(n,T(1:nx,t),':k'),legend('C.I.','2.0s','5.0s','10s','20s','60s','150s');hold offfigure;hold onn=linspace(0,L,150);plot(n,ErConv(1:nx,3),'g'),title('\it{Erro de Convergencia Vs. Posição (Gauss-Seidel)}','FontSize',12),ylabel('Erro'),xlabel('X

(cm)'),legend('2.0s','10s','60s','150s'),set(gca,'XTick',[0 2.5 5.0 7.5 10 12.515]);plot(n,ErConv(1:nx,11),'r'),legend('2.0s','10s','60s','150s');plot(n,ErConv(1:nx,61),'b'),legend('2.0s','10s','60s','150s');plot(n,ErConv(1:nx,t),'m'),legend('2.0s','10s','60s','150s');hold offfigure;hold onn=linspace(0,L,150);plot(n,ErIteracao(1:nx,3),'g'),title('\it{Erro de iteração Vs. Posição(Gauss-Seidel)}','FontSize',12),ylabel('Erro'),xlabel('X(cm)'),legend('2.0s','10s','60s','150s'),set(gca,'XTick',[0 2.5 5.0 7.510 12.5 15]);plot(n,ErIteracao(1:nx,11),'r'),legend('2.0s','10s','60s','150s');plot(n,ErIteracao(1:nx,61),'b'),legend('2.0s','10s','60s','150s');plot(n,ErIteracao(1:nx,t),'k'),legend('2.0s','10s','60s','150s');

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8.2. Solução Analítica

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Trabalho Volumes Finitos-13.08.09