PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATOLICA DE MINAS GERAIS PUCMINASINSTITUTO DE EDUCAO CONTINUADA IEC

ENSINO DA MATEMTICAPROJETO DE ENSINO:

AS EQUAES DE PRIMEIRO GRAU COM DUAS INCOGNITAS E OS SISTEMAS DE EQUAES

ALUNOS: ARTHUR ZALLIO ALVES PEREIRA E DENISE GOULARTDISCIPLINA: GAAL GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEARPROFESSOR: VITOR LUIZ DE ALMEIDABELO HORIZONTEMINAS GERAIS

21 DE JULHO DE 2014.

PROJETO DE ENSINO:

AS EQUAES DE PRIMEIRO GRAU COM DUAS INCOGNITAS E OS SISTEMAS DE EQUAESTrabalho orientado apresentado disciplina Geometria Analtica e lgebra Linear como parte dos requisitos para obteno do grau de especialistas em Ensino de Matemtica.

Professor: Vitor Luiz de AlmeidaBelo HorizonteJulho / 2014.

INTRODUO Equao uma maneira de resolver situaes nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra equao vem do latimequatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra equao vem do rabeadala, que significa ser igual a, de novo a ideia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores so representados por letras.

A primeira referncia a equaes de que se tm notcias consta do papiro deRhind, um dos documentos egpcios mais antigos que tratam de matemtica, escrito h mais ou menos 4000 anos. Os egpcios trabalhavam com equaes simples, de uma varivel apenas. Suas equaes no eram expressas por nmeros e sinais. Eram escritas nos papiros na forma de problemas, sendo que o elemento desconhecido, a varivel, tinha um nome especial:aha. Esse mtodo de equacionar consistia em atribuir um valor qualquer paraaha. Eram feitos, ento, os clculos com o valor no lugar de aha, e tinha-se um novo resultado para a equao.

J a civilizao babilnica deu um passo frente no campo das equaes. Eles j trabalhavam com sistemas de duas equaes com duas variveis que eram resolvidos por um mtodo muito semelhante ao que ensinado atualmente na escola. Da mesma forma que os egpcios, as equaes babilnicas eram expressas na forma de problemas.

Para resolver o sistema, os babilnios aplicaram tcnicas correspondentes s aritmticas, de modo a encontrar equaes equivalentes s dadas, mas que permitissem, ao final, anular uma das variveis.

Resolvendo sistemas com duas equaes, os matemticos babilnicos desenvolveram dois princpios bsicos da teoria das equaes: i) o princpio da posio: trata-se do princpio de que a posio que os termos ocupam nas equaes fundamental para a soluo do sistema. Se esta posio aquela em que os termos correspondentes ocupam posies iguais, ento o sistema poder ser facilmente resolvido. ii) o princpio da preparao das equaes: trata-se do princpio de que as equaes devem ser "preparadas" de modo que se possa aproveitar o princpio da posio. Isto , trata-se de fazer as modificaes necessrias nas equaes de modo que os termos correspondentes fiquem na mesma posio.

Os gregos resolviam equaes atravs de Geometria. Mas foram os rabes que, cultivando a Matemtica dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resoluo de equaes. Para representar o valor desconhecido em uma situao matemtica, ou seja, em uma equao, os rabes chamavam o valor desconhecido em uma situao matemtica de coisa. Em rabe, a palavra coisa era pronunciada comoxay. Da surge o x como traduo simplificada de palavra coisa em rabe.

No trabalho dos rabes, destaca-se o deAl-Khowarizmi, que resolveu e discutiu equaes de vrios tipos. Al-Khowarizmi considerado o matemtico rabe de maior expresso do sculo IX. Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na histria da Matemtica. Num deles, sobre a arte hindu de calcular,Al-Khowarizmi faz uma exposio completa dos numerais hindus. O outro, considerado o seu livro mais importante,contm uma exposio clara e sistemtica sobre resoluo de equaes.

As equaes ganharam importncia a partir do momento em que passaram a ser escritas com smbolos matemticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francs FranoisVite, no final do sculo XVI. Por esse motivo chamado pai da lgebra. Vite tambm foi o primeiro a estudar as propriedades das equaes atravs de expresses gerais como ax + b = 0. Graas a Vite os objetos de estudo da Matemtica deixaram de ser somente problemas numricos sobre preos das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar tambm as prprias expresses algbricas.

Os estudos relacionados s equaes estabeleceram mtodos resolutivos para as equaes do 1 grau, 2 grau, 3 grau, 4 grau e nas maiores ou iguais ao grau 5. A lgebra considerada pea fundamental na Matemtica moderna, contribuindo na elaborao e resoluo de clculos complexos. As inmeras aplicaes esto presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao desenvolvimento humano, como Engenharia, Fsica, Qumica, Biologia, Arquitetura, Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administrao, Informtica entre outros. Atualmente as equaes so usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicao financeira, para fazer a previso do tempo, etc.

(IV) TEMAS A SEREM ABORDADOS: Equao do primeiro grau com duas incgnitas; Funes lineares; Sistemas de equaes; Plano cartesiano; Resoluo grfica de sistemas de equaes.(V) JUSTIFICATIVA: Justificar, por meio de um texto, a relevncia dos temas escolhidos. Fundamentar, atravs de citaes de matemticos e educadores matemticos, as justificativas apresentadas (citar de acordo com as normas da ABNT);

Os sistemas de equao so ferramentas muito comuns na resoluo de problemas em vrias reas (matemtica, qumica, fsica, engenharia) e aparecem sempre em concursos e exames, como o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, so resolvidos com certa facilidade o que causa muitas vezes uma desateno, por parte do aluno, j que ele no tem dificuldade para encontrar a soluo do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade est na armao e principalmente na soluo final da questo. A maioria dos alunos possu muita dificuldade de entender os conceitos da resoluo e tambm na associao dos grficos com os resultados obtidos. E uma atividade que envolva uma mdia, neste caso o Winplot, pode ajudar e muito na visualizao e assim na compreenso do contedo.O software Winplot uma ferramenta importante construo do conhecimento prtico, que alm de fornecer a visualizao grfica das equaes tambm possibilita interpretao geomtrica das possveis solues do sistema linear.A capacidade de aprender do aluno est diretamente ligada na abordagem adequada e na utilizao da tecnologia como um recurso que auxilia no processo, ligando o conhecimento pedaggico do contedo da disciplina, que deve ser refletido, analisado e aperfeioado constantemente.

(VI) OBJETIVOS: Apresentar os objetivos gerais e especficos dos temas a serem abordados;

(i) Objetivos Gerais:

Promover o ensino das equaes de primeiro grau com duas incgnitas e abordar a resoluo de problemas atravs a construo de sistema de equaes e analisar graficamente as solues.

(ii) Objetivos Especficos:

Entender, historicamente, a importncia da lgebra e das equaes;

Reconhecer as estrutura algbrica de uma equao;

Perceber que toda a equao pode ser escrita na forma explicita e implcita;

Entender os mtodos algbricos de resoluo de sistemas de equaes;

Ser capaz de efetuar construir o grfico de uma equao de primeiro grau com duas incgnitas;

Ser capaz de construir o grfico de sistema de equaes;

Saber identificar a soluo do sistema de equao e classific-lo;

Fazer com que os alunos percebam os diferentes tipos de grficos;

Ajudar na visualizao dos diferentes tipos de grficos, tanto em considerao ao coeficiente m, como o coeficiente n da equao do primeiro grau: y = mx+n;

Utilizar o programa Winplot para a construo dos grficos.

(VII) METODOLOGIA ADOTADA: Descrever a metodologia que ser utilizada para a

execuo das atividades;

Esta atividade destinada aos alunos do 7o. e 8o. ano do Ensino Fundamental. Primeiramente o professor deve trabalhar em sala de aula com os conceitos de equao, sistema de equao e plano cartesiano. Aps ser lecionada a teoria, pode ser aplicada a atividade que envolve o programa Winplot, com durao de 3h/aula, para o 9 ano do Ensino Fundamental.

A atividade pode ser desenvolvida individualmente, em dupla dependendo da quantidade de computadores disponveis para esta atividade e para os alunos possam compartilhar ideias e informaes sobre a atividade.Esse projeto deve ser dividido em duas etapas: a primeira com durao de uma aula e a segunda com durao de duas aulas.

Na primeira etapa o professor vai passar um exemplo para que os alunos se familiarizem com o software. Nesta etapa ser realizado um exerccio detalhado apresentando os principais comandos que sero necessrios para o desenvolvimento da segunda etapa da atividade

Na segunda etapa os alunos desenvolveram o exerccio proposto pelo professor com o intuito de aplicar os conhecimentos tericos e prticos aprendidos e fixando o contedo atravs da visualizao grfica proporcionada pelo software.Caber ao professor o papel de mediador do aprendizado, auxiliando e orientando os alunos durante o desenvolvimento da atividade.(VIII) ATIVIDADES PROPOSTAS: Descrever, passo a passo, as atividades propostas;

No item "(VIII) Atividades propostas" entenda-se a descrio da atividade e a execuo dos comandos necessrios passo-a-passo, como, por exemplo,

Atividade 1

Equao de 1 grau com duas variveis

Sabemos que uma equao do 1 grau com duas variveis possui infinitas solues. Cada uma dessas solues pode ser representada por um par ordenado (x,y).

Dispondo de dois pares ordenados de uma equao, podemos represent-los graficamente num plano cartesiano, determinando, atravs da reta que os une, o conjunto das soluo dessa equao.

I. Data as seguintes equaes com duas incgnitas, estabelea quais so de primeiro grau.

a) 3x y 6 = 0 b) y = 2x 3

c) x2 xy 3 = 1d) y = x2 4

e) 2x 1 = y

f) x + y 2 = 0Resposta: a, b, e, f.II. Reescreva, quando necessrio, as equaes de primeiro grau do exerccio anterior, na forma explicita em relao a varivel y.

a) y = 3x 6

b) y = 2x 3

c) x2 xy 3 = 1

d) y = x2 4

e) y = 2x 1

f) y = 2 x

III. Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada equao do exerccio anterior.

a) y = 3x 6 ( c.a. = 3; c.l.= 6b) y = 2x 3 ( c.a. = 2; c.l.= 3c) x2 xy 3 = 1

d) y = x2 4

e) y = 2x 1 ( c.a. = 2; c.l.= 1f) y = 2 x( c.a. = 1; c.l.= 2IV. Para cada equao, determine dois pares ordenados que a solucione.

a) y = 3x 6 ( (0, 6), ( 2, 0)b) y = 2x 3 ( (2, 1), (1, 1)c) x2 xy 3 = 1

d) y = x2 4

e) y = 2x 1 ( (1, 1), ( 2, 3)f) y = 2 x( (0, 2), ( 2, 4)V. Esboce os grficos determinando os pontos em que o grfico intercepta os eixos cartesianos.

i. Abra a janela do Winplot;

ii. Escolha a opo 2D;

iii. Na barra de ferramentas, escolha a opo Equao e, depois, escolha a opo Explicita. Dentro dessa ltima, no campo f(x) = escreva a equao e clique em ok. Nesta janela possvel editar cor e espessura da linha.iv. Na janela Inventario que aparecer, clique em equao para que seja inserida legenda com a equao.

v. Repita este processo para as demais equaes.

vi. Para determinar as intersees com o eixo x, na barra de ferramentas, escolha a opo Um e, depois, escolha a opo Zeros...vii. Na janela zeros, escolha uma equao e clique em marcar ponto. Repita este processo para as demais equaes.

viii. Para determinar as intersees com o eixo y, na barra de ferramentas, escolha a opo Um e, depois, escolha a opo Traos...

ix. Na janela trao, escolha uma equao e clique em marcar ponto. Repita este processo para as demais equaesVI. Verifique se os pares ordenados (3; 3); (0; 3); (0; 0); (-3; 3) (1; 1); (3; 5); (2; 0); so solues.i. Na barra de ferramentas, escolha a opo Equao e, depois, escolha a opo Ponto. Dentro dessa ltima, escolha a opo (x, y). Abrir uma janela onde ser possvel preencher os valores para x e para y do ponto desejado. Nesta janela possvel editar cor e espessura da linha.

ii. Repita este processo para os demais pontos.

a) y = 3x 6 ( (-3; 3)b) y = 2x 3 ( (3; 3), (0; 3)c) x2 xy 3 = 1

d) y = x2 4

e) y = 2x 1 ( (1; 1), (3; 5)f) y = 2 x ( (1; 1), (2; 0)VII. Verifique quais pares ordenados so a soluo de duas ou mais equaes.

i. Para determinar as intersees entre as equaes, na barra de ferramentas, escolha a opo Dois e, depois, escolha a opo Intersees...

ii. Na janela intersees, escolha duas equaes para que seja marca a interseo e clique em marcar ponto. iii. Repita este processo para as demais equaes.

(-4, 6), (-1, -3), (-0,6; -4,2), (1,7; 0,3), (1, 1)VIII. Existe algum par ordenado que soluo da equao y = 2x 3 e y = 2x 1 contemporaneamente?

No, pois as equaes representam duas retas paralelas. IX. O que foi representando no grfico de cada uma das equaes?

a) y = 3x 6 ( reta decrescenteb) y = 2x 3 ( reta crescentec) x2 xy 3 = 1

d) y = x2 4

e) y = 2x 1 ( reta crescentef) y = 2 x ( reta decrescenteAtividade 2

Na matemtica a teoria de sistemas lineares um ramo da lgebra linear, mas tambm possui grande aplicao, podemos encontrar vrios usos dos sistemas lineares (na fsica, economia, engenharia, biologia, geografia, navegao, aviao, cartografia, demografia, astronomia).

O sistema linear tambm pode ser conceituado como um sistema de equaes do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equaes possuem apenas polinmios em que cada parcela tem apenas uma incgnita.Antes de tudo necessrio entender o que significa resolver um sistema de equaes. Resolver um sistema de duas equaes com duas variveis consiste em determinar um par ordenado (valores de x e de y) que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, ambas as equaes.Na maioria das vezes, podemos resolver um sistema utilizando qualquer um dos mtodos existentes. Contudo, sempre muito bom saber fazer a escolha pelo mtodo mais rpido e seguro.

Um sistema de duas equaes do primeiro grau, a duas incgnitas, pode ser classificado levando em conta o nmero de solues:Possvel determinadoPossvel indeterminadoImpossvel

Uma nica soluoInfinitas soluesNenhuma soluo

Retas concorrentesRetas coincidentesRetas paralelas

I. Utilizando o Winplot, esboce o grfico dos sistemas de equaes com duas incgnitas e classifique-os com base no grfico construdo.

a)

Sistema possvel indeterminadob)

Sistema possvel determinadoc)

Sistema impossvelEm cada caso, proceda da seguinte maneira:

i. Abra a janela do Winplot;

ii. Escolha a opo 2D;

iii. Na barra de ferramentas, escolha a opo Equao e, depois, escolha a opo Implcita. Dentro dessa ltima, digite a equao no campo indicado e clique em ok. Nesta janela possvel editar cor e espessura da linha.

iv. Na janela Inventario que aparecer, clique em equao para que seja inserida legenda com a equao.

v. Para determinar as intersees entre as equaes, na barra de ferramentas, escolha a opo Dois e, depois, escolha a opo Intersees...

vi. Na janela intersees, escolha duas equaes para que seja marca a interseo e clique em marcar ponto.

vii. Repita este processo para os demais sistemas.

II. Dado o sistema abaixo, faa o que se pede:Gabriela comeu 3 sanduiches e 1 suco e gastou R$ 15,40. Felipe comeu 1 sanduiche e 2 sucos e gastou R$ 8,30.

a) Formalize e resolva o sistema.

b) Qual o preo de cada sanduiche? E do suco?Preo do sanduiche: R$ 4,50

Preo do suco: R$ 1,90c) Utilizando o Winplot, esboce o grfico dos sistemas de equaes com duas incgnitas e classifique-os com base no grfico construdo.i. Abra a janela do Winplot;

ii. Escolha a opo 2D;

iii. Na barra de ferramentas, escolha a opo Equao e, depois, escolha a opo Implcita. Dentro dessa ltima, digite a equao no campo indicado e clique em ok. Nesta janela possvel editar cor e espessura da linha.

iv. Na janela Inventario que aparecer, clique em equao para que seja inserida legenda com a equao.

v. Para determinar as intersees entre as equaes, na barra de ferramentas, escolha a opo Dois e, depois, escolha a opo Intersees...

vi. Na janela intersees, escolha duas equaes para que seja marca a interseo e clique em marcar ponto.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: Apresentar as referncias bibliogrficas utilizadas (segundo as normas da ABNT);IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemtica elementar: volume 4: sequncias, matrizes, determinantes e sistemas. 8aed. So Paulo: Atual, 2013.

IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemtica elementar: volume 7 : geometria analtica. 6a. ed. So Paulo: Atual, 2013.MARASCHINI, Walter; PALMA, Mauro. Multi Format - Moduli per la formazione matemtica nel biennio: Volume 5 bis. Turim: Paravia, 2000.ROQUE, Tatiana.Histria da Matemtica -Uma Viso Crtica, Desfazendo Mitos e Lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.