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Notas de Aula de Transferência de Calor Prof. L. A. Sphaier Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada (LMTA) Laboratório de Termociências (LATERMO) Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal Fluminense Tel.: 21-2629-5577 email: [email protected] online: www.sphaier.com Versão 0.3.16 Fevereiro de 2014

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  • Notas de Aula deTransferncia de Calor

    Prof. L. A. Sphaier

    Laboratrio de Mecnica Terica e Aplicada (LMTA)Laboratrio de Termocincias (LATERMO)Departamento de Engenharia Mecnica

    Universidade Federal Fluminense

    Tel.: 21-2629-5577email: [email protected]: www.sphaier.com

    Verso 0.3.16Fevereiro de 2014

  • Sumrio

    Observaes iv

    I Introduo 1

    1 Introduo Transmisso de Calor 2

    2 Energia e as Leis da Termodinmica 14

    II Conduo 24

    3 Equao geral da conduo de calor 25

    4 Conduo unidimensional em regime permanente 40

    5 Resistncias trmicas 54

    6 Transferncia de calor em aletas 67

    7 Conduo transiente: anlise por parmetros concentrados 81

    8 Conduo transiente: parmetros concentrados melhorados (avanado) 92

    9 Problemas em mais de uma varivel: introduo ao mtodo de separao devariveis (avanado) 93

    10 Conduo unidimensional transiente (avanado) 95

    11 Conduo bidimensional permanente (avanado) 97

    12 Formulaes hbridas com parmetros concentrados melhorados (avanado) 99

    III Conveco 100

    13 Introduo transferncia de calor por conveco 101

    i

  • SUMRIO ii

    14 Derivao das equaes de transporte (avanado) 115

    15 Interpretao das equaes de transporte 128

    16 Equaes de camada limite laminar 138

    17 Anlise de escalas em camada limite laminar 155

    18 Solues integrais para camada limite laminar (avanado) 162

    19 Camda limite: soluo por similaridade (avanado) 173

    20 Efeitos da turbulncia 187

    21 Camada limite: efeito do gradiente de presso (avanado) 190

    22 Escoamento laminar em dutos e canais 191

    23 Introduo transferncia de calor no escoamento laminar em dutos e canais 205

    24 Transferncia de calor no escoamento turbulento em dutos e canais (avanado)231

    25 Transferncia de calor no escoamento em desenvolvimento (avanado) 232

    26 Escoamentos com perfis de velocidade e condies de aquecimento diferentes(avanado) 235

    27 Grupos adimensionais em conveco forada 242

    28 Correlaes em conveco forada em escoamentos externos 250

    29 Correlaes em conveco forada no escoamento em dutos e canais 257

    30 Introduo a trocadores de calor 262

    31 Conveco natural: equaes de camada limite 276

    32 Conveco natural em placa plana vertical: anlise de escalas 286

    33 Conveco natural em placa plana vertical: soluo integral (avanado) 293

    34 Conveco natural laminar: soluo por similaridade 294

    35 Correlaes em conveco natural externa 299

    36 Conveco natural interna (avanado) 303

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • SUMRIO iii

    IV Radiao 304

    37 Introduo transferncia de calor por radiao 305

    38 Propriedades radiativas de superfcies 320

    39 Radiao em superfcies isotrmicas difusas com fator de forma unitrio 335

    40 Fatores de forma entre superfcies difusas (avanado) 343

    41 Transferncia de calor entre superfcies difusas e cinzentas (avanado) 348

    Apndices 353

    A Exerccios Suplementares 354

    B Tensor de tenses 359

    C Respostas para exerccios 360

    Referncias Bibliogrficas 388

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • Observaes

    1. As sees e captulos rotulados como avanado contm material destinado aoscursos de ps-graduao (mestrado e doutorado), e no so cobrados na gradua-co.

    iv

  • Parte I

    Introduo

    1

  • Notas de Aula #1:

    Introduo Transmisso de Calor

    Verso 0.3.6 5/12/12

    1.1 Conceitos iniciais

    1.1.1 Comparao entre termodinmica e transmisso de calor

    Em Termodinmica aprende-se que energia transferida entre um sistema e sua vizi-nhana (na forma de calor e trabalho). Todavia, trabalha-se com estados de equilbrio(normalmente calcula-se a energia trocada entre um estado inicial e final), desconside-rando a existncia de gradientes de temperatura. Com isto no possvel obter-se in-formaes sobre a velocidade ou o tempo percorrido durante a transferncia de energia.Ou seja, a termodinmica por si s capaz de fornecer uma viso macroscpica (ou glo-bal), contento portanto um nvel menor de informao sobre o processo em questo. Natermodinmica no preocupa-se com os mecanismos que proporcionam a transfernciade energia/calor.

    J em Transferncia de Calor1, no consideram-se apenas estados de equilbrio, po-dendo haver gradientes de temperatura. Utiliza-se uma abordagem mais elaboradapara o mecanismo de transmisso de energia, sendo portanto possvel obter um maiornvel de informao, como por exemplo a velocidade e o tempo associados transfe-rncia de energia (quantifica-se a taxa com que a transferncia de calor ocorre). Pode-seento dizer que a o estudo da transferncia de calor permite uma anlise microscpica(ou local), fornecendo portanto informaes mais detalhadas sobre o processo conside-rado. No entanto o contedo de termodinmica base para o estudo da transmisso decalor, sendo portanto imprescindvel um bom entendimento deste.

    1.1.2 Diferentes escalas

    Ao calcular ou medir a densidade2 de um gs considerando o volume de uma esferade raio r centrada em um ponto fixo, diferentes resultados sero obtidos dependendodo tamanho de r (chamado de raio de amostragem), como est ilustrado na figura 1.1.

    1ou Transmisso de Calor2neste texto o termo densidade tambm utilizado com o significado de massa especfica.

    2

  • 1. Introduo Transmisso de Calor 3

    Aumentando r continuamente desde zero, existir uma faixa inicial de r onde apenasuma molcula deste gs estar includa no volume considerado. Nesta faixa a densi-dade tende a cair (aps a molcula ter sido includa no volume), at que o raio r en-contre outras molculas. No momento em que outras molculas so includas no raiode amostragem, a densidade d um salto, devido a massa adicional includa no volumeconsiderado. Seguindo este raciocnio, percebe-se que a medida que varia-se o raio, adensidade medida (ou calculada) oscila notavelmente. Todavia, aps um nmero signi-ficativo de molculas serem includos no raio de amostragem, o valor da densidade ficaestvel (constante). Se r continua sendo aumentado, aps certo valor, o valor da den-sidade comear a variar novamente. Entretanto esta variao deve-se ao fato do valordo raio ser suficientemente grande para comear a incorporar variaes macroscpicasna mdia.

    Figura 1.1: Variao da densidade com o raio de amostragem

    Cada uma destas regies (distinguidas pelos valores de r ) podem ser classificadasemdiferentes escalas, de acordo com o que observado na densidademedida/calculada:

    Macro-escala (macroscpica): pode ocorrer uma variao devido distribuioespacial em nvel macroscpico.

    Micro-escala (microscpica): a densidade permanece constante.

    Molecular: Ocorrem flutuaes moleculares devido distribuio das molculas.

    Ainda, deve-se mencionar uma escala conhecida com nano-escala. Ela pode ser in-terpretada como uma escala de interface entre o limite do contnuo e a escala molecu-lar.

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 4

    Apesar da anlise da variao da densidade anteriormente apresentada ter sido feitapara um gs, o mesmo pode ser feito para lquidos e slidos. Em gases, as molculasesto bastante espaadas, e existe vcuo entre estas; por isso fica mais fcil de racio-cinar inicialmente com este estado. Em slidos e lquidos o espaamento molecular mnimo; entretanto lembrando que a distribuio de massa em tomos bastante no-uniforme (a massa concentrada perto dos ncleos), fica claro que ao medir ou calculara densidade da forma anterior um resultado similar ser obtido.

    1.1.3 Perguntas e respostas

    Abaixo so respondidas, de maneira sucinta, trs perguntas relevantes introduo dotema transmisso de calor:

    O que calor? Calor a energia em trnsito devido uma diferena de temperatura.Basta que haja uma diferena de temperatura, para que haja transferncia de calor.

    Como calor transmitido? Novamente, basta que haja uma diferena de temperatura(um gradiente de temperatura) para que haja transmisso. H trs modos detransmisso de calor: Conduo, Conveco e Radiao. Na realidade os trs mo-dos ocorrem de forma combinada (simultnea)3. Difuso est ligada transmissode energia por contato. A difuso adicionada ao movimento do meio resulta naconveco (semmovimento tem-se conduo apenas). A radiao ocorre indepen-dente do meio (material).

    Qual a relevncia do estudo de Transmisso de Calor? A grande maioria dos proces-sos industriais dependem do estudo do tema. Em especial pode-semencionar pro-cessos que envolvam gerao e converso de energia. O conhecimento de trans-misso de calor de extrema importncia para o projeto e operao de motores,turbinas, condensadores, evaporadores, caldeiras, recuperadores, regeneradores,e uma diversidade de equipamentos. Alm destas aplicaes, o estudo deste tema importantssimo para problemas relacionados ao meio ambiente, rea biom-dica, em alimentos, em culinria entre diversas outras reas.

    1.1.4 Modos de Transferncia de Calor

    Como engenheiros importante entender os mecanismos fsicos por trs dos modos detransmisso de calor, para que se possa quantificar corretamente as taxas de transfern-cia de energia. Abaixo listam-se os trs diferentes modos, e so includas caractersticasque diferenciam cada um:

    Conduo: Transferncia de energia por difuso, no nvel molecular, devido ape-nas agitao molecular.

    3Na verdade, a radiao ocorre em paralelo com a conduo ou conveco, uma vez que conveco umacombinao da conduo com o transporte adicional devido ao movimento macroscpico do meio.

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 5

    Conveco: Existe um movimento do meio como um todo (como ocorre em umfluido emmovimento), alm do nvelmolecular, perceptvel macroscopicamente.4.Este modo inclui a difuso de calor com taxas adicionais de transferncia energ-tica devido ao movimento do meio. Enquanto no houver movimento do fluido,s ocorre transferncia de calor por conduo.

    Radiao: um fenmeno de natureza eletromagntica (ondas eletromagnticas),similar luz. Neste modo o calor no necessita de um meio (matria) para sertransmitido, se propagando no vcuo (na verdade a radiao se propaga melhorno vcuo do que em ummeio). Qualquer substncia com temperatura finita (T > 0Kelvin) emite radiao trmica.

    Deve-se ressaltar que alguns autores apenas consideram dois modos de transmissode calor, a conduo e a radiao. A justificativa para tal que a conveco envolve omesmo mecanismo que a conduo (difuso trmica), porm permite que haja movi-mento no meio. Neste texto os trs modos acima sero considerados, a fim de facilitar oaprendizado dos contedos.

    1.1.5 Quantificao

    Para comear a quantificar a transferncia de calor, definem-se as seguintes quantida-des, seguidas de suas unidades:

    Q Calor trocado (ou energia transferida), [J].

    Q Taxa de transferncia de calor (ou vazo de calor), [W].

    q 00 Fluxo de calor, [W/m2].

    O calor total trocado entre dois instantes ti e t f pode ser relacionado com a taxa detransferncia de calor atravs de:

    Q|t fti =Zt fti

    Q dt (1.1)

    A taxa de transferncia de calor que passa por uma determinada superfcie de reaAs pode ser calculada fazendo:

    Qn =ZAsq 00n dAs (1.2)

    onde q 00n representa o fluxo de calor normal a cada ponto da superfcie considerada.Aqui vale a pena enfatizar a notao utilizada. O ponto (como em Q) significa uma

    quantidade por unidade de tempo, ou seja, uma medida de taxa de variao. Asduas linhas em q 00 indicam uma quantidade por unidade de rea. De maneira similar,

    4Em ingls utiliza-se o termo bulk motion, referindo-se a um movimento com caractersticas macroscpi-cas.

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 6

    uma nica linha indicaria uma quantidade por unidade de comprimento (ou altura,ou profundidade) e trs linhas indicariam uma quantidade por unidade de volume.Seguindo esta regra de notao, fica claro que q 00 uma quantidade por unidade detempo e por unidade de rea. Em geral, fluxos so unidades que tm esta caracterstica:so taxas de variao temporal (ou vazes) por unidade de rea.

    1.2 Transferncia de Calor por Conduo

    Este modo de transferncia de calor est ligado atividade molecular. Em conduo (oudifuso trmica) ocorre movimento apenas na escala molecular (cintica molecular). Aenergia transferida no meio considerado atravs da interao entre as molculas (mo-vimento aleatrio), e este fenmeno chamado de difuso. Portanto, no hmovimentonos nveis micro- e macroscpicos, ou seja s h movimento no nvel molecular. A pro-priedade termo-fsica que mede a capacidade que um material tem de conduzir calor a condutividade trmica. A figura 1.2 mostra diferentes valores de condutividade trmicaencontrados para diferentes materiais.

    Vale ressaltar, tambm, que medida que a temperatura de um gs aumentada,a interao molecular tambm aumenta, e isto faz com que o meio consiga transferirenergia por difuso com maior intensidade. A tabela 1.1 apresenta a condutividade tr-mica para diferentes gases, mostrando como esta aumenta a medida que a temperatura aumentada.

    Tabela 1.1: Condutividade trmica de gases (mW/mK)100 K 200 K 300 K 400 K 500 K 600 K

    Metano 9.9026 21.802 34.479 50.076 68.524 88.889Etano 3.4561 10.488 21.126 35.953 53.783 73.350Propano 2.4171 8.9969 18.492 30.902 46.277 64.467Butano 8.5006 16.749 28.204 42.867 60.737Amnia 19.670 24.988 37.130 53.052 68.551Argnio 6.3522 12.427 17.683 22.332 26.527 30.372Hlio 73.632 117.90 155.90 190.29 222.23 252.33Hidrognio 68.059 132.27 185.63 233.94 280.40 327.99Nitrognio 9.9841 18.623 25.828 32.181 38.123 43.901Oxignio 9.2232 18.367 26.635 34.673 42.738 50.729gua 18.571 26.148 35.559 46.230Dixido de Carbono 16.747 25.110 33.465 41.533Monxido de Carbono 10.021 19.199 26.545 32.833 38.431 43.562

    Situaes similares podem ser observadas em lquidos, sendo que nestes casos asmolculas esto bem mais prximas, e portanto h maior interao. Por isso, lquidosapresentam, normalmente, maiores condutividades trmicas quando comparados a ga-ses. A tabela 1.2 apresenta condutividades trmicas para diferentes lquidos saturados.Como pode-se observar, a condutividade trmica em lquidos tem uma tendncia de

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 7

    Figura 1.2: Faixas de condutividade trmica para diferentes materiais.

    diminuir com a temperatura.

    Tabela 1.2: Condutividade trmica de lquidos saturados (mW/mK)

    200 K 300 K 400 K 500 K 600 Kgua 610.28 683.64 644.05 495.46amnia 803.14 480.25 216.00 butano 149.19 103.94 70.526 hexano 154.97 125.48 96.301 70.105 heptano 153.82 130.74 106.32 81.714

    Em slidos algo semelhante ocorre, todavia, as molculas esto amarradas umass outras, podendo vibrar. Esta vibrao no nvel molecular difundida de molculapara molcula. Na teoria molecular, a difuso de calor se d por ondas induzidas pelomovimento molecular. Em materiais metlicos (ou bons condutores em geral) existeuma difuso adicional devido presena de eltrons livres (os mesmos que aumentam

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 8

    a condutividade eltrica). J em materiais isolantes (ou maus condutores em geral) noh eltrons livres e portanto o transporte trmico s devido s vibraes moleculares(movimento de ondas vibratrias). A tabela 1.3 apresenta condutividades trmicas paradiferentes slidos metlicos.

    Tabela 1.3: Condutividade trmica de slidos metlicos (W/mK)

    200 K 400 K 600 K 800 K 1000 Kalumnio 237 240 231 218 ouro 323 311 298 284 270ferro 94 69.5 54.7 43.3 32.3cobre 413 393 379 366 352chumbo 36.7 34.0 31.4 nquel 107 80.2 65.6 67.6 71.8platina 72.6 71.8 73.2 75.6 78.7prata 430 425 412 396 379titnio 24.5 20.4 19.4 19.7 20.7

    A tabela 1.4 apresenta condutividades trmicas de materiais slidos5 no metlicos,medidas 300 K (com exceo de neve e gelo, onde as medidas so 273 K). Com-parando as condutividades desta tabela com as dos slidos metlicos, observa-se cla-ramente uma diferena nos valores. Vale observar tambm que em materiais no soisotrpicos comomadeira (carvalho, na tabela), apresentam diferentes propriedades emdiferentes direes.

    Tabela 1.4: Condutividade trmica de slidos no-metlicos (W/mK)

    material condutividadealgodo 0.06areia 0.27asfalto 0.062borracha (macia) 0.13borracha (rgida) 0.16carvalho (radial) 0.19carvalho (transversal) 0.17concreto 1.4gelo 1.88granito 2.79neve 0.049papel 0.180teflon 0.35vidro 1.4

    A figura 1.3 ilustra o efeito da variao da temperatura sobre a condutividade tr-

    5Alguns materiais desta tabela podem no ser considerados como slidos; todavia, sem haver deformaodo material, para a transmisso de calor estes podem ser considerados slidos.

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 9

    mica de diferentes materiais. Como pode-se observar, em gases, a condutividade tr-mica aumenta com a temperatura.

    Figura 1.3: Efeito da variao da temperatura sobre a condutividade trmica de diferen-tes materiais.

    Os dados das tabelas aqui apresentadas foram retirados de Bejan e Krauss [1], comexceo da ltima, que foram retirados de Incropera e De Witt [2]. Vale observar aqui,que com exceo das ltimas tabela (para slidos) a condutividade trmica apresen-tada em mili-Watts por metro por Kelvin. As figuras foram retiradas de zisik [3] e deBatchelor [4].

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 1. Introduo Transmisso de Calor 10

    1.2.1 Lei de Fourier (1822)

    Em experimentos, Fourier6 observou a seguinte proporcionalidade entre o gradiente detemperatura e o fluxo de calor:

    q 00 / TL

    (1.3)

    Onde a constante de proporcionalidade, k a anteriormente mencionada condutividadetrmica. Como o gradiente de temperatura pode variar com x, a Lei de Fourier entoescrita na forma diferencial (ou seja, localmente):

    q 00x kdTdx

    (1.4)

    Naturalmente, para distribuies lineares de T (x) pode-se escrever:

    q 00x = kT2T1

    L(1.5)

    onde L = x2 x1. Neste casos (considerando k constante), o fluxo de calor no variacom x.

    1.3 Transferncia de Calor por Conveco

    Neste modo de transmisso de calor, alm do mecanismo de difuso molecular, a ener-gia tambm transferida pelo movimento macroscpico/microscpico (na escala docontnuo).

    A transferncia de calor por conveco classificada de acordo com o mecanismomotriz do escoamento, podendo ser forada ou livre. Em conveco forada, o movi-mento gerado por algum agente externo. Em conveco livre (ou natural) o prpriocampo de temperaturas gera diferenas em densidades que levam ao movimento domeio. Na realidade sempre ir existir uma mistura das duas (conveco mista).

    1.3.1 Lei de Resfriamento de Newton

    Independente do tipo de conveco pode-se utilizar a relao conhecida como a Lei deResfriamento de Newton7 para quantificar as trocas trmicas por conveco:

    q 00s! f = h (Ts Tf ) (1.6)

    onde h chamado de coeficiente de transferncia de calor por conveco [W/m2K].O transporte trmico por conveco um mecanismo mais complicado que a con-

    duo de calor devido ao movimento adicional do meio. A simplicidade da Lei de

    6em homenagem ao pesquisador Jean Baptiste Joseph Fourier.7em homenagem ao pesquisador Isaac Newton.

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 11

    Resfriamento de Newton no esconde isto, pois toda a complexidade associada a con-veco est embutida na determinao do coeficiente h. Deve-se ressaltar tambm que atemperatura Tf uma temperatura associada ao fluido. Como o campo de temperaturano fluido, na realidade, varia desde a temperatura do slido (na interface slido-fluido)at outro valor (longe da parede), diferentes mtodos para se escolher Tf existem. Estaescolha ir depender do tipo de escoamento. A tabela 1.5 apresenta valores tpicos parao coeficiente de transferncia de calor por conveco:

    Tipo de escoamento h, W/(m2C)Conveco Natural com T = 25C

    placa vertical de 25 cm imersa em ar 5placa vertical de 25 cm imersa em leo de motor 37placa vertical de 25 cm imersa em gua 440

    Conveco Forada

    Ar a 25C e 10 m/s sobre uma placa plana de 10 cm 40Ar em escoamento cruzado em torno de um cilindro (dimetro 1 cm) 85leo em escoamento cruzado em torno de um cilindro (dimetro 1 cm) 1800gua (vazo de 1 kg/s) dentro de um tubo com 2.5 cm de dimetro 10500

    Ebulio de gua a uma atmosfera

    Ebulio em piscina normal 3000Ebulio em piscina no fluxo de calor crtico 35000Ebulio em filme 300

    Condensao de vapor dgua a uma atmosfera

    Condensao em filme em tubos horizontais 900025000Condensao em filme em superfcies verticais 400011000Condensao em gotas 60000120000

    Tabela 1.5: Valores de h para diferentes situaes.

    1.4 Transferncia de Calor por Radiao

    Abaixo so listadas algumas caractersticas do modo de transferncia de calor por radi-ao:

    Calor na forma de radiao trmica emitido por qualquer corpo que esteja a umatemperatura maior que zero Kelvin.

    Todos materiais emitem; todavia, neste curso apenas slidos sero considerados.

    A energia transportada na forma de ondas eletromagnticas (ftons), da mesmamaneira que a luz.

    No necessria a presena de um meio para a sua propagao (na verdade aradiao trmica se propaga melhor no vcuo).

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  • 1. Introduo Transmisso de Calor 12

    1.4.1 Lei de Stefan-Boltzmann

    O fluxo de calor associado radiao emitida por um Corpo Negro8 (emissor perfeito)pode calculado pela Lei de Stefan-Boltzmann9:

    q 00e,cn = T 4s (1.7)

    onde a constante de Stefan-Bolztmann (= 5.6697108 W/(m2K4)). Para um corporeal, a radiao emitida escrita em termos da radiao mxima emitida mesma tem-peratura, ou seja:

    q 00e = " q 00e,cn = "T 4s (1.8)

    onde " a propriedade radiativa conhecida como emissividade.Se uma superfcie Ts est totalmente envolta por uma vizinhana Tviz a radiao

    incidente desta vizinhana igual a radiao de corpo negro Tviz , ou seja:

    q 00i = T 4vi z (1.9)

    todavia, apenas parte da radiao incidente sobre a superfcie absorvida, de acordocom a absortividade da superfcie, :

    q 00abs = q 00i = T 4vi z (1.10)

    Contabilizando a energia que perdida e absorvida pela superfcie, pode-se calcularo fluxo lquido de calor ganho pela superfcie:

    q 00vi z!s = q 00abs q 00e = T 4vi z "T 4s

    (1.11)

    Para casos mais simples, a Lei de Kirchoff 10 resulta em "=:

    q 00vi z!s = "T 4vi z T 4s

    (1.12)

    a relao acima pode ser reescrita na forma da lei de resfriamento de Newton, com umcoeficiente de transmisso de calor por radiao, hr :

    q 00vi z!s = hr (Tviz Ts) (1.13)

    onde hr ento dada por

    hr = " (Tviz +Ts)T 2vi z +T 2s

    (1.14)

    8o termo Corpo Negro ser introduzido em detalhes nas notas de aula da parte de Radiao Trmica.9em homenagem aos pesquisadores Jozef Stefan e Ludwig Eduard Boltzmann.10em homenagem ao pesquisador Gustav Robert Kirchoff.

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 1. Introduo Transmisso de Calor 13

    Para casos com |Tviz Ts | Ts (pode-se aproximar Tviz Ts), o coeficiente pode sersimplificado para:

    hr 4"T 3s (1.15)

    Exerccios

    1.1. Em no mximo uma pgina, escreva sobre a importncia do estudo de Transmis-so de Calor, citando exemplos (desde de processos industriais at coisas simplesdo dia a dia) que envolvem mecanismos de Transmisso de Calor. Resposta.

    1.2. Faa um resumo do contedo do apresentado nestas notas de aula, respondendoas questes o que calor?, como ele transmitido?, e qual as diferenas esemelhanas entre Termodinmica e Transmisso de Calor? Resposta.

    1.3. Explique a relao do modos de transferncia de calor e processo de difuso tr-mica. Resposta.

    1.4. Em um meio com grandes deformaes quais modos de transmisso de calor po-dem ocorrer? justifique. Resposta.

    1.5. necessrio que um corpo esteja em repouso para que ocorra transferncia decalor apenas por conduo? justifique. Resposta.

    1.6. Explique porque materiais metlicos possuem condutividade trmica em geralmaior que materias no metlicos. Quais as diferenas e semelhanas encontradasem metais slidos e lquidos? Resposta.

    1.7. correto afirmar que a condutividade trmica em gases ( presso constante),em geral, aumenta com a temperatura? Por qu? O mesmo ocorreria a volumeconstante? Por qu? Compare o comportamento de gases com lquidos. Resposta.

    1.8. Pode-se afirmar que a condio de contorno com o coeficiente de transfernciade calor por conveco muito pequeno tende a condio de isolamento trmico?Justifique. E com h muito grande? Resposta.

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • Notas de Aula #2:

    Energia e as Leis da Termodinmica

    Verso 0.3.9 10/09/13

    2.1 Lei Zero da Termodinmica

    A lei zero da termodinmica, que recebeu esta numerao pois foi postulada aps aprimeira e segunda leis, diz que se os corpos A e B estiverem em equilbrio trmico, eos corpos B e C tambm estiverem em equilbrio trmico, ento A e C tambm estaroem equilbrio trmico.

    2.2 Energia em diferentes formas

    A energia total (i.e. em todas as possveis formas) associada um dado volume podeser escrita dividida nas seguintes parcelas:

    Etot =U + K + + Eoutras (2.1)

    onde U corresponde a energia interna trmica, e K e correspondem s energias cin-ticas e potenciais mecnicas. Como as energias de maior interesse em cincias mec-nica so as trmicas e mecnicas, as demais formas de energia so agrupadas no termoEoutras. Este termo conteria por exemplo as seguintes formas:

    Eoutras = Equi + Enuc + Eelet + (2.2)

    Define-se ento a energia termo-mecnica como as parcelas trmicas e mecnicas:

    E = Etot Eoutras =U + K + (2.3)

    Desta forma, uma variao na energia E estar relacionada com variaes nas suas par-celas:

    E = Etot Eoutras = U + K + (2.4)

    14

  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 15

    e tambm, a taxa de variao de E ser ento dada por:

    dEdt

    = dEtotdt

    dEoutrasdt

    (2.5)

    2.3 Gerao e energia termo-mecnica

    O ltimo termo da equao (2.5), representa a converso de energia proveniente deoutras formas em energia termo-mecnica. Como o foco principal em transmisso decalor no so estas demais formas de energia, comumente chama-se o ltimo termo deenergia gerada:

    Eg ,V = dEoutrasdt (2.6)

    onde o sinal negativo indica que para haver um aumento das parcelas trmica e mec-nicas, deve haver uma reduo nas outras formas de energia. O subscrito V includopara indicar que a gerao de energia na forma acima deve-se a transformaes energ-ticas dentro do volume considerado. Isto permite que a equao (2.5) seja escrita como:

    dEdt

    = dEtotdt

    + Eg ,V (2.7)

    2.4 Variao da energia total

    Para que as formas de energia anteriormente descritas sejam no nulas necessrioassoci-las a um dado volume finito de matria. Uma vez que isto seja feito, observa-seque para haver variao da energia total Etot necessrio que haja alguma interao comagentes externos a este volume escolhido. O volume considerado pode ser escolhido dediferentes formas, mas independente desta escolha, a taxa de variao da energia totalassociada a este volume dada por:

    dEtotdt

    = Etot,e Etot,s (2.8)

    onde Etot,e e Etot,s representam as taxas de transferncia de energia em todas as pos-sveis formas entrando e saindo do volume considerado. Ento, a taxa variao daenergia total igual taxa lquida de energia que entra no volume.

    2.5 Balano de energia

    Utilizando as equaes (2.5) e (2.8) um balano geral de energia pode ser escrito como:

    dEdt

    = Etot,e Etot,s + Eg ,V, (2.9)

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  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 16

    fornecendo uma expresso para avaliar-se a taxa de variao da energia termo-mecnica.As interaes Etot,e e Etot,s so fenmenos superficiais pois representam a interao

    do volume considerado com os agentes externos, e este contato naturalmente se d nafronteira do volume considerado. Os demais termos na equao de balano so volu-mtricos, pois ocorrem dentro do volume considerado.

    Separando Etot,e e Etot,s em uma parcela relativa a energia trmica e mecnica e outrarelacionada outras formas de energia tem-se:

    Etot,e = Ee + Eoutras,e (2.10a)Etot,s = Es + Eoutras,s (2.10b)

    pode-definir um termo de gerao de energia, i.e. converso de outras formas de energiaem trmica e mecnica, que inclui efeitos volumtricos e superficiais:

    Eg = Eg ,V + Eoutras,e Eoutras,s = dEoutrasdt + Eoutras,e Eoutras,s (2.11)

    Consequentemente o balano geral de energia pode ser reescrito na forma:

    dEdt

    = Ee Es + Eg . (2.12)

    2.6 Sistema e volume de controle

    Um sistema1 definido como sendo um conjunto de matria fixa e definida. Ou seja, emum sistema, considera-se sempre o mesmo conjunto de matria. Desta forma a massade um sistema no pode variar:

    dmdt

    sist

    = 0. (2.13)

    Um volume de controle (abreviado v.c.) definido como um volume arbitrrio atravsdo qual matria pode se movimentar. Portanto, na fronteira de um volume de controle(denominada superfcie de controle) pode haver passagem de massa, o que permite que amassa de um volume de controle varie de acordo com:

    dmdt

    v.c.

    = me ms . (2.14)

    onde me e ms representam as vazes em massa entrando e saindo do volume de con-trole.

    No estudo de termodinmica os termos sistema aberto e sistema fechado so comu-mente utilizados, sendo diretamente associados com volumes de controle e sistemas,respectivamente. Todavia, neste texto, os termos sistema e volume de controle sero

    1Outro termo frequentemente utilizado para se referir a um sistema volume material ou corpo material.

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  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 17

    utilizados.

    2.7 Regimes permanente e transiente

    O balano de energia descrito pela equao (2.12) envolve a derivada no tempo (dE/dt).Quando esta derivada nula, o balano representa a transferncia de energia em regimepermanente ou estacionrio. Para os casos onde a derivada no-nula, o regime ditotransiente. O mesmo se aplica para a derivada dm/dt na equao (2.14). Ou seja, pararegime permanente, pode-se escrever:

    me ms = 0, (2.15)Ee Es + Eg = 0. (2.16)

    2.8 Primeira Lei da Termodinmica

    A Primeira Lei da Termodinmica quantifica as transferncias de energia na forma decalor e trabalho. Devido a diferena fundamental entre sistemas e volumes de controle,diferentes formulaes so obtidas para cada caso.

    2.8.1 Primeira Lei para sistemas

    Para sistemas no h massa cruzando a superfcie do volume considerado. Portanto, asinteraes de energia na fronteira do sistema (entrando e saindo) so escritas na formade taxas de transferncia de calor e taxas de realizao de trabalho:

    Ee = Qe +We , Es = Qs +Ws , (2.17)

    e desta forma, a taxa lquida de entrada de energia no sistema dada por:

    Ee Es = (Qe Qs)+ (We Ws), (2.18)

    Definindo a taxa lquida de calor fornecida ao sistema e a taxa lquida de realizao detrabalho sobre o sistema pelas expresses abaixo:

    Q = (Qe Qs), W = (We Ws), (2.19)

    o balano de energia ento escrito na seguinte forma:dEdt

    sist

    = Q+W + Eg (2.20)

    A definio de taxa de realizao de trabalho diferentes do que encontrado emalguns livros de termodinmica, pois nestes textos, assume-se a conveno que o tra-

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  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 18

    balho positivo quando realizado pelo sistema. Na definio anterior, naturalmente,assume-se que o trabalho positivo quando realizado sobre ou sistema, ou seja, o traba-lho positivo corresponde a uma energia fornecida ao sistema. No h definio corretaou errada para a taxa de trabalho; o importante adotar uma forma e ser consistentecom a escolha feita.

    2.8.2 Primeira Lei para volumes de controle

    Para volumes de controle, existe a possibilidade de massa cruzar as superfcies do vo-lume em questo. Portanto, a taxa de transferncia de energia nas fronteiras de umvolume de controle no ser devida apenas calor e trabalho. Contabilizando as par-celas de energia transferida devido a transferncia de massa na superfcie de controle,escreve-se:

    Ee = Qe + We + Ue + Ke + e + Eg ,e , (2.21a)Es = Qs + Ws + Us + Ks + s + Eg ,s , (2.21b)

    desta forma, o balano de energia para volumes de controle escrito na seguinte forma:dEdt

    v.c.

    = Q + W + U + K + + Eg , (2.22)

    onde as taxas lquidas de transferncia de energia interna, cintica e potencial, devido transferncia de massa na superfcie de controle so dadas por:

    U = (Ue Us), K = (Ke Ks), = (e s), (2.23)

    e o termo Eg agora contabiliza a variao na vazo de outras formas de energia devidoao fluxo de massa:

    Eg = dEoutrasdt + Eoutras,e Eoutras,s . (2.24)

    Os termos U , K e representam as taxas liquidas de transferncia de energia paradentro do volume de controle associadas transferncia de massa atravs do volume decontrole (me e ms). Taxas de transferncia associadas ao movimento de matria atravsda superfcie do volume de controle so denominadas taxas advectivas, ou seja, U , K e representam taxas de adveco de energia2 lquidas para dentro do volume de controle.

    2Comumente chamadas de energia advectada.

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  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 19

    2.9 Foras conservativas e no-conservativas

    Qualquer fora f pode ser separada emumparcela conservativa e outra no-conservativa:

    f = f c + f nc. (2.25)

    Da mesma maneira, a taxa de realizao de trabalho pode ser escrita em termos deparcelas conservativas e no-conservativas:

    W = Wc + Wnc, (2.26)

    representando a taxa de realizao de trabalho das foras conservativas, e a taxa derealizao de trabalho das foras no-conservativas, respectivamente.

    Neste momento, deve-se recapitular alguns princpios de conservao de energiamecnica. Um destes que a variao da energia potencial igual ao oposto (ou seja,com o sinal trocado) do trabalho das foras conservativas3:

    ddt

    = Wc (2.27)

    Isto mostra que ao considerar a variao da energia de um corpo sob ao de traba-lhos de foras, deve-se tomar cuidado ao contabilizar as interaes de foras conserva-tivas e variaes de energia potencial.

    Considerando um sistema isotrmico, isobrico, e adiabtico, o balano de ener-gia reduz-se apenas ao simples balano de energia mecnica. Estando de acordo coma equao (2.27), o balano de energia mecnica diz que o trabalho das foras no-conservativas igual variao da energia mecnica total, ou seja:

    dKdt

    + ddt

    = Wnc (2.28)

    Apesar da equao no envolver as interaes trmicas, ela mostra que a taxa de tra-balho utilizada na equao (2.20) deve apenas conter o trabalho das foras no-conser-vativas, visto que o trabalho das foras conservativas j contabilizado na variao daenergia potencial, de acordo com a equao (2.27). Ou seja, o princpio de conservaoda energia termo-mecnica, para sistemas, deve ser escrito na forma:

    dEdt

    sist

    =dUdt

    + dKdt

    + ddt

    sist

    = Q+Wnc+ Eg (2.29)

    ou na seguinte forma: dUdt

    + dKdt

    sist

    = Q+Wnc+Wc+ Eg (2.30)

    3considerando que as foras conservativas so relacionadas ao tipo de energia potencial considerada, porexemplo, fora conservativa gravitacional e energia potncia gravitacional

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  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 20

    e o mesmo racioncnio deve ser extendido para volumes de controle.

    2.10 Relao entre quantidades globais e locais

    A relao entre quantidades globais e locais est ligada a propriedades intensivas eextensivas, as quais so descritas abaixo.

    2.10.1 Propriedades extensivas e intensivas

    Propriedades extensivas so quantidades que dependem da quantidade de matria, ouseja, que variam com a quantidade de massa considerada. Exemplos de grandezas ex-tensivas so energia, quantidade de movimento, e inclusive a prpria massa.

    Propriedades intensivas so quantidades que independem da quantidade de mat-ria. Exemplos so temperatura, velocidade, e massa especfica. Para toda propriedadeextensiva existir uma propriedade intensiva (como foi o caso da massa especfica, an-teriormente citada). Estas propriedades recebem o nome de propriedades especficas.Um exemplo tradicional de propriedades intensivas derivadas de propriedades ex-tensivas energia, nas diferentes formas. Como as propriedades podem variar espa-cialmente, a relao entre as formas intensivas e extensivas estabelecida para umaquantidade de massa diferencial:

    dU = udm, dK = eK dm, d = edm, (2.31)

    onde a prpria massa para uma quantidade diferencial escrita em funo da massaespecfica associada ao volume diferencial considerado:

    dm = dV. (2.32)

    Duas outras propriedades termodinmicas que aparecem em formas intensivas eextensivas so a entalpia4 e entropia:

    dI = i dm, dS = sdm. (2.33)4Em transferncia de calor, o smbolo utilizado para entalpia I , ao invs de H (utilizado em termodin-

    mica).

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  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 21

    2.10.2 Relaes integrais volumtricas

    A relao entre quantidades diferenciais (locais) e quantidades no volume todo (globais)so dadas por relaes integrais envolvendo o volume V considerado:

    U =ZVu dm =

    ZVudV, (2.34a)

    K =ZVeK dm =

    ZVeK dV, (2.34b)

    =ZVe dm =

    ZVedV, (2.34c)

    I =ZVi dm =

    ZVi dV, (2.34d)

    S =ZVs dm =

    ZVsdV. (2.34e)

    A gerao de energia (convertida de outras formas de energia) tambm um termovolumtrico, sendo definido em termos da gerao local por unidade de volume g 000:

    Eg =ZVg 000dV. (2.35)

    Outras quantidades que aparecem em formas locais e globais so foras e assimcomo o trabalho destas foras. A relao entre a fora resultante atuando sobre umvolume V, assim como a taxa de realizao de trabalho sobre o volume so dadas por:

    f v =ZVd f v =

    ZVf 000v dV (2.36)

    Wv =ZVdWv =

    ZVv d f v =

    ZVv f 000v dV (2.37)

    onde f 000v representa a fora por unidade de volume atuando sobre cada elemento dife-rencial dV, e v representa a velocidade de cada um destes elementos. Os subscritos vutilizados nas equaes anteriores se referem a foras e trabalhos volumtricos. Forasvolumtricas, tambm conhecidas como foras de corpo ou foras de massa, so forasde ao a distncia. Naturalmente a taxa de trabalho Wv representa o trabalho realizadopor estas foras.

    2.10.3 Relaes integrais superficiais

    As quantidades associadas a interaes na fronteira do volume considerado tambmexistiro em formas globais e locais. Globalmente, estas quantidades representam a taxade transferncia lquida total atravs da fronteira do sistema. Localmente, considera-sea taxa de transferncia associada a uma rea diferencial da fronteira do volume consi-derado. A taxa de transferncia de massa (ou vazo mssica) global relacionada com

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 22

    a local atravs de:

    m = me ms =ZSdm =

    ZSm00 dA (2.38)

    onde o termo m00 representa a vazo em massa por unidade de rea para dentro dovolume V.

    A taxa de transferncia de calor global lquida (para dentro de V) relacionada coma taxa local atravs de:

    Q = Qe Qs =ZSdQ =

    ZSQ 00 dA (2.39)

    onde Q 00 representa a taxa de transferncia de calor por unidade de rea5 para dentrode V.

    2.11 Segunda Lei da Termodinmica

    A segunda lei da termodinmica para um sistema pode ser escrita na seguinte forma:dSdt

    sistZSsist

    1TdQ (2.40)

    onde a temperatura deve ser obrigatoriamente dada em unidades absolutas (Kelvin ouRankine).

    2.12 Balano de energia em uma superfcie

    Uma superfcie uma regio que possui rea mas no possui volume. Logo esta nopossui massa e portanto, no pode haver taxa de variao de grandezas associadas aquantidade de matria de uma superfcie. Conseqentemente, o balano de energia emuma superfcie simplesmente obtido da equao (2.12), zerando os termos de taxa devariao volumtricas:

    0 = Ee Es + Eg , (2.41)

    onde o termo de gerao Eg naturalmente no incluiria a parcela volumtrica:

    Eg = Eoutras,e Eoutras,s . (2.42)

    Ou seja, como era de se esperar, a taxa de energia que entra em uma superfcie devese igualar a taxa que sai. Se no h massa cruzando a superfcie, a Primeira Lei da

    5Naturalmente este termo representa o componente do fluxo de calor, definido em outras notas de aula,para dentro do volume considerado.

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  • 2. Energia e as Leis da Termodinmica 23

    Termodinmica para esta superfcie dada por:

    Qe Qs + We Ws + Eg = 0. (2.43)

    Se massa pode cruzar esta superfcie o balano de massa dado por:

    0 = me ms , (2.44)

    e a Primeira Lei da Termodinmica dada por:

    Qe + We + Ue + Ke + e + Eg = Qs + Ws + Us + Ks + s (2.45)

    Exerccios

    2.1. Partindo de um enunciado geral de conservao de energia, encontre a variaoda energia interna (U ) de um sistema fechado, sem gerao interna de energia,onde a nica troca de energia com o exterior uma taxa transferncia de calorfornecida constante (Q0). Resposta.

    2.2. Partindo de um enunciado geral de conservao de energia, encontre a variaoda energia interna (U ) de um sistema fechado, sem gerao interna de energia,onde o sistema perde calor para as redondezas a uma taxa igual a sua energiainterna. Resposta.

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • Parte II

    Conduo

    24

  • Notas de Aula #3:

    Equao geral da conduo de calor

    Verso 0.3.11 13/05/13

    3.1 Balano de energia

    Para a derivao da equao da conduo de calor, parte-se de um balano de ener-gia. Devido ao modo de transferncia de calor considerado, o meio por onde o calorse propaga no pode exibir movimento relativo entre pontos interiores. Desta maneirapode-se tanto utilizar a abordagem de sistema ou de volume de controle1. Como discu-tido nas notas de aula 2, a taxa de variao da energia termo-mecnica para um sistemapode ser escrita na forma:

    dEdt

    = dUdt

    + dKdt

    + ddt

    = Q+Wnc+ Eg (3.1)

    ou utilizando a forma alternativa:

    dUdt

    + dKdt

    = Q+Wnc+Wc+ Eg (3.2)

    onde Eg s inclui efeitos volumtricos pois no h massa cruzando a superfcie do sis-tema.

    Para sistemas estticos, naturalmente, a variao da energia cintica e potencial, as-sim como a taxa de trabalho de qualquer fora, so sempre nulos pois no hmovimentoalgum. Para estes casos fcil verificar que o balano de energia escrito anteriormentereduz-se a:

    dUdt

    = Q + Eg (3.3)

    A equao anterior foi derivada para casos estticos. Todavia, devido ao fato da condu-o de calor estar relacionada meios sem movimento relativo, os volumes considera-dos, se no estiverem parados, estaro em movimento de corpo rgido. Devido a estetipo de movimento, pode-se mostrar mesmo para os casos fora de repouso, a equao

    1este preferencialmente estando fixo ao meio, de forma que no haja massa cruzando as fronteiras dovolume de controle.

    25

  • 3. Equao geral da conduo de calor 26

    de balano (3.3) novamente obtida. A seguir, apresenta-se esta demonstrao paracasos em movimento de translao.

    3.1.1 Sistemas com movimento de translao

    Utilizando um balano de foras para um volume em movimento de corpo rgido (ouseja, sem taxas de deformaes) escrito na forma da segunda lei de Newton:

    mdvdt

    = f c + f nc (3.4)

    Tomando o produto escalar de (3.4) com a velocidade v :

    m v dvdt

    = v f c + v f nc (3.5)

    a qual pode ser reescrita na forma:

    mddt

    v v2

    = v f c + v f nc (3.6)

    Os termos na equao anterior so, respectivamente, a taxa de variao da energiacintica, e as taxa de realizao de trabalho (sobre o volume considerado) das foras deconservativas e no-conservativas, respectivamente:

    mddt

    v v2

    = dK

    dt(3.7a)

    v f c = Wc (3.7b)v f nc = Wnc (3.7c)

    Isto mostra que a taxa de trabalho das foras atuando sobre o sistema igual taxa devariao da energia cintica:

    dKdt

    = Wc + Wnc (3.8)

    Finalmente, subtraindo (3.8) de (3.2), chega-se a expresso obtida para o meio em re-pouso:

    dUdt

    = Q + Eg (3.3)

    Para casos com rotao uma anlise similar pode ser feita, levando novamente equao (3.3).

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 27

    3.2 Relao entre quantidades locais e globais

    Os termos volumtricos, calculados para um sistema com volume V so dados por:

    U =ZVdU =

    ZVu dm =

    ZVudV (3.9)

    Eg =ZVg 000dV (3.10)

    Os termos de superfcie so escritos em termos da superfcie do sistema S e do vetorfluxo de calor:

    Q =ZSdQ =

    ZSq 00n dA =

    ZS(q 00n)dA (3.11)

    A figura 3.1 ilustra as quantidades locais e globais que aparecem nas equaes ante-riores.

    Figura 3.1: Volume de controle para derivao da equao da conduo.

    3.2.1 Equao integral da energia

    Partindo do balano de energia dado pela equao (3.3), e substituindo os termos pelasintegrais da seo anterior, obtm-se:

    ddt

    ZVudV=

    ZS(q 00n)dA+

    ZVg 000dV (3.12)

    A equao obtida representa uma formulao integral para a transferncia de calor porconduo.

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 3. Equao geral da conduo de calor 28

    3.3 Equao diferencial da conduo de calor

    Partindo da formulao integral obtida anteriormente e reconhecendo que no h vari-ao no volume do sistema, pode-se escrever:Z

    V

    @

    @t(u)dV=

    ZS(q 00n)dA+

    ZVg 000dV (3.13)

    O prximo passo combinar as integrais. Para tal ser necessrio transformar aintegral de superfcie em uma integral no volume.

    3.3.1 Transformao da integrais de superfcie

    O teorema da divergncia (ou teorema de Gauss2) para um vetor f qualquer, em umvolume V delimitado por uma superfcie S orientada por um vetor normal n escritocomo: Z

    Sf n dA=

    ZVr f dV (3.14)

    Desta forma, pode-se escrever o termo da taxa de transferncia de calor em termosdo volume do sistema: Z

    Sq 00n dA=

    ZVrq 00 dV (3.15)

    3.3.2 Equao em termos do fluxo de calor e energia interna

    Aplicando o teorema da divergncia na equao de balano energtico, obtm-se:ZV

    @

    @t(u)dV=

    ZVrq 00 dV+

    ZVg 000dV, (3.16)

    a qual pode ser rearrumada, fornecendo:ZV

    @

    @t(u)+rq 00 g 000

    dV= 0 (3.17)

    Para que a equao acima seja vlida para um volume arbitrrio (um corpo qual-quer, com qualquer tamanho ou geometria), necessrio que o integrando seja zero,levando a:

    @

    @t(u)=rq 00+ g 000 (3.18)

    Aplicando a regra da derivada do produto no lado esquerdo, obtm-se:

    @u@t

    + u @@t

    = rq 00 + g 000 (3.19)2em homenagem ao pesquisador Johann Carl Friedrich Gauss.

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 3. Equao geral da conduo de calor 29

    Para meios sem movimento relativo (sem deformao), a conservao da massa re-quer que:

    @

    @t= 0 (3.20)

    fazendo com que a conservao de energia seja escrita na seguinte forma:

    @u@t

    = rq 00 + g 000. (3.21)

    3.3.3 Relao entre energia interna e temperatura

    Introduzindo o calor especfico, para substncias incompressveis e gases ideais, umavariao infinitesimal na energia interna pode ser escrita em termos de uma variao detemperatura:

    du = cv dT = c dT, ento @u@t

    = c @T@t

    , (3.22)

    isto faz com que a equao para a transferncia de energia possa ser escrita em termosda temperatura.

    c@T@t

    = rq 00 + g 000. (3.23)

    Naturalmente para materiais incompressveis (lquidos e slidos), o calor especficoa presso constante e a volume constante podem ser igualados e portando um nicosmbolo c utilizado (cp = cv = c):

    c@T@t

    =rq 00+ g 000. (3.24)

    3.3.4 Lei de Fourier

    A equao obtida anteriormente ainda no permite que a distribuio de temperaturaseja calculada, uma vez que no se tem uma relao entre o fluxo de calor e a distribuiode temperatura.

    A Lei de Fourier, baseada nas observaes experimentais de Jean Baptiste JosephFourier publicadas em 1822, relaciona o fluxo de calor com o gradiente de temperaturade um meio atravs do coeficiente de proporcionalidade k, denominado condutividadetrmica:

    q 00 = k gradT = krT (3.25)

    A equao acima vlida para materiais isotrpicos, ou seja, materiais cujas pro-priedades independem da direo. Para casos mais gerais como meios anisotrpicos, a

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 3. Equao geral da conduo de calor 30

    condutividade trmica (at ento um escalar) substituda por um tensor (de segundaordem) de condutividade trmica.

    3.3.5 Equao geral da conduo de calor

    Aps substituir as relaes para o fluxo de calor e energia interna, chega-se a seguinteequao:

    c@T@t

    =r(krT )+ g 000 (3.26)

    Quando a condutividade trmica for constante a equao pode ser simplificada:

    c@T@t

    = kr2T + g 000, (3.27)

    e reescrita na seguinte forma

    1

    @T@t

    =r2T + g000

    k. (3.28)

    Onde a difusividade trmica, definida por = k/( cp ).

    3.3.6 Sistemas de coordenadas cartesiano, cilndrico e esfrico

    Em cada sistema de coordenadas, a equao da conduo de calor escrita de formadiferente, como mostrado abaixo.

    Coordenadas cartesianas:

    c@T@t

    = @@x

    k@T@x

    + @@y

    k@T@y

    + @@z

    k@T@z

    + g 000 (3.29)

    Coordenadas polares-cilndricas:

    c@T@t

    = 1r@

    @r

    r k

    @T@r

    + 1r 2

    @

    @

    k@T@

    + @@z

    k@T@z

    + g 000 (3.30)

    Coordenadas polares-esfricas:

    c@T@t

    = 1r 2

    @

    @r

    r 2k

    @T@r

    +

    + 1r 2 sen()

    @

    @

    sen()k

    @T@

    + 1r 2 sen2()

    @

    @

    k@T@

    + g 000 (3.31)

    A equao da conduo de calor representa o mecanismo de transporte trmico den-tro de qualquer corpo. Todavia, para poder calcular a distribuio de temperatura nocorpo (assim como qualquer outra quantidade relacionada) necessrio especificar con-dies de contorno na superfcie do corpo e uma condio inicial. A especificao da

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 3. Equao geral da conduo de calor 31

    condio inicial feita sem a menor dificuldade, bastando conhecer a distribuio ini-cial de temperatura no domnio analisado (i.e. V). As condies de contorno podemrequerer um pouco mais de esforo.

    3.4 Condies de contorno

    3.4.1 Condies de contorno reais

    Ao especificar condies de contorno na superfcie da regio analisada deve-se des-crever os fenmenos que ocorrem na superfcie. Do lado do meio onde h conduoapenas, um fluxo de calor normal a superfcie deixa (ou chega) o meio. Do outro lado,na prtica, pode haver uma mistura de conduo (ou conveco) e radiao. Diferentessituaes so descritas abaixo, com diferentes tipos de regies em contato com o meioque troca calor por conduo.

    Vcuo

    Se o meio onde h conduo est em contato com uma regio onde h vcuo, o calortrocado na superfcie s pode ser por radiao, e portando escreve-se:

    q 00n = q 00r ad = (T 4s T 4vi z ) (3.32)

    onde a segunda igualdade corresponde um caso idealizado onde a vizinhana podeser tratada como um corpo negro.

    Fluido em escoamento Lei de Resfriamento de Newton

    Se a regio adjacente ao meio analisado for um fluido opaco, s h transferncia de calorpor conveco deixando a superfcie. Portanto, escreve-se:

    q 00n = q 00conv = h (Ts Tf ) (3.33)

    onde Ts corresponde a temperatura da superfcie slida e Tf temperatura do fluido. Oparmetro e h denominado o coeficiente de transferncia de calor por conveco e expressoacima denominada a Lei de Resfriamento de Newton. No caso mais geral, ambos h e Tfpodem variar com a posio no contorno e com o tempo.

    Para casos onde a conveco dominante (radiao desprezvel) a equao acimapode tambm ser aplicada.

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 32

    Meio opaco parado em relao ao meio original

    Se do outro lado da superfcie do meio analisado h um outro, opaco, meio parado (emrelao ao original) s pode haver conduo. Desta forma escreve-se:

    q 00n = q 00cond ,B (3.34)

    onde q 00cond ,B representa o fluxo de calor por conduo (na direo normal da superf-cie) para dentro do meio externo ao meio original, denominado B . Utilizando a Lei deFourier, a equao anterior pode ser reescrita na forma:

    (krT )n = (kB rTB )n (3.35)

    onde n orientado para fora do meio original (para dentro de B), e kB e TB so a con-dutividade trmica e temperatura do meio B .

    Para completar este tipo de condio de contorno necessrio uma outra equao.Dentro desta classe existem duas possibilidades. A primeira envolve contato trmicoperfeito entre as regies. Isto ocorreria quando pelo menos uma das regies for umfluido, ou entre dois slidos perfeitamente encaixados (superfcies paralelas e per-feitamente polidas). Todavia, no contato entre duas superfcies slidas, em geral, nohaver contato trmico perfeito devido s irregularidades nas superfcies.

    Havendo contato perfeito existir continuidade de temperatura e T = TB na interfaceentre os dois meios. Quando o contato trmico for imperfeito, haver uma discontinui-dade de temperatura na interface e um coeficiente de transferncia de calor atravs docontato (hc ) utilizado. Para os dois casos, na interface, escreve-se:

    T = TB , para contato perfeito (3.36)q 00n = hc (T TB ), para contato imperfeito (3.37)

    Vale a pena ressaltar que este caso pode ser aplicado em situaes onde a conduo dominante em relao a radiao.

    Fluido transparente (em movimento)

    Neste caso pode haver transferncia de calor por radiao e conveco. O fato do fluidoser (perfeitamente) transparente implica que este no participa na radiao, de formaque a conveco e radiao ocorrem de maneira independente. Desta forma, o fluxo decalor que deixa a superfcie do meio original pode ser escrito na forma:

    q 00n = q 00r ad + q 00conv = (T 4s T 4vi z ) + h (Ts Tf ) (3.38)

    onde, novamente, a segunda igualdade corresponde um caso idealizado onde a vizi-nhana pode ser tratada como um corpo negro.

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 33

    Meio transparente parado em relao ao meio original

    Neste caso pode haver transferncia de calor por radiao e conduo, onde a hiptesede um meio totalmente transparente implica que estes processos ocorram de maneiraindependente. Assim sendo, o fluxo por conduo que deixa o meio original (ondehipoteticamente s h conduo) dado por:

    q 00n = q 00r ad + q 00cond ,B , (3.39)

    e como em um caso anterior, ambos os casos com contato trmico perfeito e imperfeitopodem ocorrer.

    3.4.2 Condies de contorno lineares

    Para facilitar o clculo da transferncia de calor, assim como para ter um bom entendi-mento inicial sobre o assunto, comum utilizar verses lineares de condies de con-torno. Estas condies de contorno lineares aparecem em trs tipos: Dirichlet (primeirotipo), Neumman (segundo tipo) e Robin (terceiro tipo), descritas abaixo.

    Condio de Dirichlet

    A condio de Dirichlet3 a mais simples, e, como uma condio inicial, consiste emespecificar a temperatura no contorno:

    T (x , t ) = Ts , para x 2 S (3.40)

    Onde x o vetor posio. Naturalmente, a temperatura no contorno do corpo deve serconhecida, podendo esta tambm variar com o tempo e posio no contorno. Na prticaa condio de contorno de Dirichlet atingida para troca trmica por conveco comh!1, como ocorre em situaes onde o fluido est mudando de fase (e.g. ebulio). Acondio de Dirichlet tambm chamada de condio com temperatura prescrita, pois atemperatura deve ser conhecida e especificada.

    Condio de Neumman

    A condio de Neumman4 implica que o fluxo de calor fornecido q 000 no contorno deveser conhecido:

    q 00n = q 000 , para x 2 S (3.41)

    lembrando, que o mesmo pode variar com a posio e tempo.

    3em homenagem ao matemtico alemo Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.4em homenagem ao matemtico alemo Carl Gottfried Neumann.

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 34

    Condio de Robin

    A condio de Robin5 aplica-se a casos onde a superfcie do corpo troca calo com umfluido e tambm formulada especificando o fluxo de calor no contorno. Entretanto ofluxo no contorno escrito em funo de uma diferena de temperatura:

    q 00n = h (T Tf ), para x 2 S (3.42)

    onde Tf a temperatura do fluido e h o coeficiente de transferncia de calor porconveco.

    3.5 Adimensionalizao da equao da conduo

    A adimensionalizao de um problema uma forma de reduzir o nmero de parme-tros no qual sua soluo depende a um mnimo. Nesta seo demonstra-se como senormalmente adimensionaliza a equao da conduo. A forma cartesiana utilizada,e considera-se uma regio delimitada por:

    0 x L, 0 y H , 0 z W. (3.43)

    Desta forma, natural que as coordenadas espaciais adimensionais sejam definidas demodo a ficar entre uma faixa normalizada (ou seja, entre zero e um):

    = xL, = y

    H, = z

    W, (3.44)

    garantindo que:

    0 1, 0 1, 0 1. (3.45)

    A temperatura normalmente adimensionalizada, baseando-se em valores mximo emnimo caractersticos ao problema em questo. Desta forma, de uma maneira geral,pode-se escrever:

    = T TminTmaxTmin . (3.46)

    Ao substituir as relaes (3.44) e (3.46) na equao (3.29), considerando o caso compropriedades constantes, obtm-se:

    c@

    @t= kL2

    @2

    @2+ kH2

    @2

    @2+ kW 2

    @2

    @2+ g

    000

    TmaxTmin (3.47)

    comum tambm que uma comprimento caracterstico de difuso seja escolhido, S, e

    5em homenagem ao matemtico francs Victor Gustave Robin.

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 35

    baseado neste comprimento, o tempo seja adimensionalizado na forma:

    = t S2

    , (3.48)

    onde = k/( c) a difusividade trmica. Com a definio deste tempo adimensional aequao (3.47) pode ser reescrita na forma:

    @

    @= K2x

    @2

    @2+ K2y

    @2

    @2+ K2z

    @2

    @2+G (3.49)

    onde Kx , Ky e Kz so razes de aspecto e G a gerao de calor adimensionalizada, defi-nidos por:

    Kx = LS , Ky =HS, Kz = WS , G =

    g 000 S2

    k (TmaxTmin) , (3.50)

    onde fica claro que, se S for escolhido como um dos comprimentos L, H ouW , um dosparmetros de razo de aspecto deixam de ser necessrios pois a razo resulta em um.Por exemplo, para um problema uni-dimensional (sem dependncia em y ou z), o com-primento de difuso caracterstico seria a prpria dimenso L, levando aos seguintesparmetros e variveis adimensionais:

    = xL, = T Tmin

    TmaxTmin , =t L2

    , G = g000L2

    k (TmaxTmin) , (3.51)

    resultando na seguinte equao adimensionalizada:

    @

    @= @

    2

    @2+G (3.52)

    A forma escolhida para adimensionalizar a varivel temporal (eq. (3.48)) comumem problemas de difuso, pois a escala resultante do produto S2/ (que naturalmentetem unidade de tempo) uma escala caracterstica para o valor do tempo em problemasde difuso. Em outras palavras, quando = 1 espera-se que o problema esteja prximodo regime permanente, como se a durao do regime transiente fosse, approximada-mente de t = S2/.

    A forma = t /S2 tem a mesma forma do adimensional conhecido como nmerode nmero de Fourier, Fo, de modo que alguns autores utilizam Fo no lugar de nasequaes anteriores. Todavia, neste texto dado preferncia a varivel para descreverum valor de tempo adimensional varivel.

    Em outras situaes, o tempo de processo conhecido. Ao considerar um processoiniciado em um tempo inicial t0 e terminado em um tempo final t f , o tempo pode seradimensionalizado da forma:

    = t t0t f t0 . (3.53)

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 3. Equao geral da conduo de calor 36

    Com esta adimensionalizao a equao da conduo resultante :

    1Fo

    @

    @= K2x

    @2

    @2+ K2y

    @2

    @2+ K2z

    @2

    @2+G (3.54)

    onde o parmetro Fo o prprio nmero de Fourier definido como:

    Fo = (t f t0)S2

    . (3.55)

    Deve ser observado que, na equao (3.54), o valor da varivel , similar s variveisespaciais, tambm fica no intervalo 0 1.

    Exerccios

    3.1. Partindo das expresses para o gradiente e divergente, escreva a equao geralda conduo nos diferentes sistemas de coordenadas (cartesiano, polar-cilndricoe polar esfrico). Resposta.

    3.2. Derive a equao geral da conduo considerando um corpo rgido em movi-mento arbitrrio (com translao e rotao). Resposta.

    3.3. Para valores do coeficiente de transferncia de calor por conveco (h) muitogrande, pode-se afirmar que a condio de contorno tende a condio de tem-peratura prescrita? O que ocorreria para valores muito pequenos de h? Justifiqueas respostas. Resposta.

    3.4. Em materiais isotrpicos pode-se afirmar que o vetor fluxo de calor ocorre nomesmo sentido e direo do gradiente de temperatura? O mesmo ocorreria emmateriais anisotrpicos? Justifique as respostas. Resposta.

    3.5. Indique as respectivas unidades no S.I.: 1. vazo ou taxa de transferncia de calor;2. fluxo de calor; 3. divergente do fluxo de calor; 4. taxa de transferncia de calor;5. condutividade trmica; 6. difusividade trmica; 7. calor especfico. Resposta.

    3.6. Em relao ao contato trmico imperfeito entre duas superfcies slidas pode-se afirmar que h diferena entre a temperatura observada nas duas superfcies?H diferena entre o fluxo de calor observado nas duas superfcies? Justifique asrespostas. Resposta.

    3.7. Lembrando que omecanismo de conduo de calor regido pela seguinte equaogeral:

    c@T@t

    =r (krT )+ g 000

    Discuta o significado da equao acima, fornecendo uma interpretao para cadatermo. Mencione leis e hipteses simplificadoras que resultam na forma apresen-tada acima. Resposta.

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 37

    3.8. Simplifique a equao da conduo para casos em regime permanente, sem gera-o interna de energia, considerando tambm que a condutividade trmica podeser tratada como constante, e discuta o balano energtico resultante. Resposta.

    3.9. Considere a conduo de calor sem gerao de energia em uma viga de perfilretangular LW , feita de um material isotrpico. A viga longa de tal forma quea transferncia de calor pode ser considerada apenas nas direes x e y . Sabe-seque as superfcies laterais da viga (x = 0 e x = L) so mantidas, respectivamente atemperaturas T0 e TL , que h um fluxo de calor q 000 fornecido superfcie inferior(y = 0), e que a superfcie superior troca calor por conveco com um fluido (h e Tfconhecidos). Fornea a formulao matemtica para o problema considerando queno instante inicial a distribuio de temperatura T = f (x, y). Resposta.

    3.10. Na anlise da conduo de calor em uma barra longa onde as extremidades po-dem ser tratadas como adiabticas, a transferncia de calor na direo z pode serdesprezada e o problema reduzido a uma formulao bidimensional. Respondaas seguintes questes:

    (a) Fornea a formulao matemtica em regime permanente, para casos comcondutividade trmica uniforme, sem gerao de energia interna. Considereque h isolamento trmico em x = L e um fluxo de calor uniforme q 000 em x = 0.Considere tambm que a temperatura mantida constante (T0) em y = 0 e quea superfcie y =W troca calor com um fluido temperatura constante Tf . Ocoeficiente de transferncia de calor por conveco h tambm constante.

    (b) Para as mesmas condies dadas no item anterior, qual ser a distribuio detemperatura T (x, y) para casos com q 000 = 0 e h = 0?

    Resposta.

    3.11. Considere a conduo de calor em regime permanente com propriedades constan-tes em um cilindro slido de comprimento L cuja seo transversal meia circun-ferncia de raio R. Considere que h isolamento trmico em z =H , e que um fluxode calor uniforme q 000 fornecido em z = 0. Considere tambm que a temperatura mantida constante (TR ) em r = R, e que a superfcie plana restante (y = 0) trocacalor com um fluido temperatura constante Tf . O coeficiente de transferncia decalor por conveco h tambm constante.

    (a) Partindo da equao geral da conduo, obtenha a equao diferencial paraa variao de temperatura nos pontos internos do corpo considerado, utili-zando o sistema de coordenadas cartesiano.

    (b) Repita o item anterior para o sistema de coordenadas polar-cilndrico.

    (c) Utilizando o sistema cartesiano, complete a formulao matemtica do pro-blema fornecendo as condies de contorno, indicando as regies em que

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 38

    cada equao vlida, inclusive para a equao para os pontos internos (ob-tida no tem 1).

    (d) Repita o item anterior para o sistema de coordenadas polar-cilndrico.

    Resposta.

    3.12. Considere a conduo de calor sem gerao de energia em uma esfera de raio Re condutividade trmica k (constante) flutuando em um reservatrio dgua queencontra-se temperatura Tl . A densidade da esfera tal que exatamente metadedela fica imersa na gua enquanto a outra metade est exposta ao ar ambiente(temperatura Tg ) e recebe radiao solar uma taxa uniforme Qrad . Sabendo queos coeficientes de transferncia de calor por conveco com a gua e o ar so dadospor hl e hg e que nenhuma radiao incide sobre a parte da esfera imersa na gua,fornea a formulao matemtica para o problema em regime permanente e sem geraode energia. Resposta.

    3.13. Considere a conduo de calor sem gerao de energia em regime permanente emum tronco de cone de altura H possuindo condutividade trmica constante, k. Abase do cone tem dimetro D e encontra-se sob uma superfcie cuja a tempera-tura mantida Tb , porm existe contato trmico imperfeito com o coeficiente hcsendo conhecido. O topo do tronco de cone tm dimetro d e est isolado ter-micamente. A superfcie curva mantida temperatura constante TR . Fornea aformulao matemtica para o problema escolhendo o sistema de coordenadas maisapropriado. Resposta.

    3.14. Considere a conduo de calor sem gerao de energia em regime permanente emum corpo composto de um oitavo de esfera de raio R possuindo condutividadetrmica constante. A base do corpo encontra-se sobre uma superfcie cuja a tem-peratura mantida em um valor Tb , porm existe contato trmico imperfeito como coeficiente hc sendo conhecido. As duas superfcies verticais planas so aqueci-das, recebendo, cada uma, uma potncia de Q0. A superfcie esfrica troca calorcom o ar ambiente por conveco (Tar e har conhecidos). Fornea a formulao ma-temtica para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropriado.Resposta.

    3.15. Considere a conduo de calor com gerao de energia em regime permanente emuma esfera oca com raios internos e externos dados, respectivamente por Ri e Re .O corpo possui condutividade trmica constante. A superfcie interna da esferarecebe calor uniformemente a uma vazo conhecida Qi . A superfcie externa trocacalor com um fluido a temperatura Tf e coeficiente convectivo h, ambos cons-tantes. Sabendo que a gerao de energia varia com e , fornea a formulaomatemtica para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropri-ado. Em seguida, simplifique o problema para o caso sem gerao de energia,indicando onde ocorre a maior temperatura. Resposta.

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  • 3. Equao geral da conduo de calor 39

    3.16. Considere a conduo de calor sem gerao de energia em regime permanente emum slido de revoluo, composto basicamente de dois cilindros macios concn-tricos com dimetros diferentes. A parte inferior tem dimetro maior D e alturaL, enquanto a poro superior tem dimetro d e altura l , totalizando uma alturatotal de L+ l . Na base deste corpo uma vazo uniforme de calor Q0 aplicada,enquanto as superfcies restantes so resfriadas por conveco (com um escoa-meneto temperatura Tf e coeficiente h). Fornea a formulao matemtica parao problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropriado. Em seguidaindique onde ocorrer a maior temperatura e a menor temperatura deste corpo.Qual o efeito do comprimento l +L sobre a temperatura superficial deste corpo(aumenta ou diminui?). Justifique as respostas. Resposta.

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  • Notas de Aula #4:

    Conduo unidimensional em regimepermanente

    Verso 0.3.10 09/09/13

    4.1 Introduo

    A equao da conduo de calor, na forma geral (vetorial), independente do sistema decoordenadas dada por:

    c@T@t

    = r (krT ) + g 000 (4.1)

    Utilizando coordenadas cartesianas a equao toma a forma:

    c@T@t

    = @@x

    k@T@x

    + @@y

    k@T@y

    + @@z

    k@T@z

    + g 000 (4.2a)

    J em coordenadas polares-cilndricas tem-se:

    c@T@t

    = 1r@

    @r

    r k

    @T@r

    + 1r 2

    @

    @

    k@T@

    + @@z

    k@T@z

    + g 000 (4.2b)

    e em coordenadas polares-esfricas chega-se a:

    c@T@t

    = 1r 2

    @

    @r

    r 2k

    @T@r

    + 1r 2 sen()

    @

    @

    sen()k

    @T@

    + 1r 2 sen2()

    @

    @

    k@T@

    + g 000 (4.2c)

    4.1.1 Hipteses simplificadoras

    Hipteses fundamentais para conduo unidimensional em regime permanente:

    Regime Permanente: no h variao temporal (@/@t = 0), e portanto no podehaver acmulo de energia no sistema.

    Conduo unidimensional (1D): A transferncia de calor ocorre predominante-mente em uma direo preferencial, de modo que a taxa de transferncia de calor

    40

  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 41

    nas demais direes pode ser desprezada. Com isto, s pode haver variao detemperatura nesta direo preferencial.

    Hipteses adicionais:

    Condutividade trmica constante: por mais que a condutividade trmica de ummaterial possa variar com a temperatura, assume-se que um valor mdio (por-tanto constante) pode ser utilizado para facilitar a anlise. Esta hiptese permiteque as equaes diferenciais obtidas para os diferentes sistemas de coordenadaspermaneam lineares e possam ser resolvidas da forma aqui apresentada.

    Gerao interna de energia uniforme: Para os casos aqui considerados a geraode energia no varia espacialmente, sendo portanto uma constante. Ou seja g 000 =g 0000

    4.1.2 Equaes resultantes

    Coordenadas cartesianas:

    ddx

    kdTdx

    + g 0000 = 0 (4.3a)

    Coordenadas polares-cilndricas:

    1r

    ddr

    r k

    dTdr

    + g 0000 = 0 (4.3b)

    Coordenadas polares-esfricas:

    1r 2

    ddr

    r 2k

    dTdr

    + g 0000 = 0 (4.3c)

    4.2 Condies de contorno

    As solues anteriores foram calculadas assumindo-se a existncia de temperaturas co-nhecidas nas duas superfcies que limitam a camada de material onde a transferncia decalor est sendo analisada. Todavia, outras condies de contorno podem ser prescritas,e um estudo das diferentes condies de contorno encontra-se a seguir.

    4.2.1 Condio de contorno de Dirichlet (1o tipo)

    Como condies de contorno de Dirichlet envolvem apenas a especificao da tempe-ratura no contorno, a dificuldade mnima, especialmente em casos unidimensionais.Para coordenadas cartesianas a temperatura T (x) no contorno de um corpo delimitadopor x1 x x2 dada por:

    T (x1) = T1, T (x2) = T2, (4.4)

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 42

    e para coordenadas polares (cilndricas ou esfricas), T (r ) no contorno (em um corpodelimitado por r1 r r2) dada por:

    T (r1) = T1, T (r2) = T2 (4.5)

    Todavia, em sistemas de coordenadas com curvatura (cilndrico e esfrico), casos envol-vendo r = 0 devem ser tratados separadamente, como discutido na Seo 4.4.

    4.2.2 Fluxo de calor em uma superfcie

    Para condies de contorno de Neumann e Robin (segundo e terceiro tipo) necessrioespecificar do fluxo de calor na direo normal em uma superfcie. Portanto, discute-seagora o clculo do fluxo de calor em superfcies para problemas unidimensionais.

    O vetor fluxo de calor, nos sistemas de coordenadas cartesiano, polar-cilndrico epolar-esfrico respectivamente dado por:

    q 00 = q 00x ex + q 00y e y + q 00z ez = k@T@x

    ex k @T@y

    e y k @T@z

    ez , (4.6a)

    q 00 = q 00r er + q 00 e + q 00z ez = k@T@r

    er kr@T@

    ek @T@z

    ez , (4.6b)

    q 00 = q 00r er + q 00 e + q 00 e = k@T@r

    er kr@T@

    e kr sen()@T@

    e, (4.6c)

    onde os vetores unitrios nas direes radiais dos sistemas cilndricos e esfricos nocorrespondem a mesma direo.

    A expresso abaixo resulta no fluxo de calor para fora de um elemento de superfcie:

    q 00n = q 00n = q 00saindo (4.7)

    pois o vetor normal aponta para fora. Para calcular o fluxo de calor para dentro de umasuperfcie, deve-se inverter o sentido direo do vetor normal, o que corresponde a umamudana de sinal:

    q 00entrando = q 00(n) = q 00n = q 00n (4.8)

    Na direo x e nas direes radiais dos sistemas de coordenadas cilndrico e esfricoo vetor normal dado por:

    nx = nx ex , nr = nr er , (4.9)

    onde, como o vetor normal unitrio, os valores de nx e nr s podem ser 1 ou 1. Destaforma o fluxo de calor na direo x para dentro de uma superfcie orientada por n

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 43

    dado por:

    q 00entrando,x = q 00nx = q 00(nx ex ) = q 00x nx = k@T@x

    nx (4.10a)

    De maneira similar, na direo radial nos sistemas cilndrico e esfrico tem-se:

    q 00entrando,r = q 00nr = q 00(nr er ) = q 00r nr = k@T@r

    nr (4.10b)

    Para um corpo cujo o volume descrito por x1 x x2 os fluxos entrando nas posi-es x = x1 e x = x2 dado por:

    q 00entrando|x=x1 =k@T@x

    nx

    x=x1

    =k@T@x

    (1)x=x1

    = k@T@x

    x=x1

    (4.11a)

    q 00entrando|x=x2 =k@T@x

    nx

    x=x2

    =k@T@x

    (+1)x=x2

    =k@T@x

    x=x2

    (4.11b)

    De maneira anloga, nos sistemas polares, para um corpo cujo o volume descrito porr1 r r2 tm-se:

    q 00entrando|r=r1 =k@T@r

    nr

    r=r1

    =k@T@r

    (1)r=r1

    = k@T@r

    r=r1

    (4.12a)

    q 00entrando|r=r2 =k@T@r

    nr

    r=r2

    =k@T@r

    (+1)r=r2

    =k@T@r

    r=r2

    (4.12b)

    Neste momento vale a pena ressaltar que os componentes do fluxo de calor nas dire-es x (sistema cartesiano) e r (sistemas polares), representam o fluxo de calor na direoe sentido do eixo considerado. Ou seja, se q 00x for positivo, isto indica que a transfernciade calor ocorre no sentido de x; caso este seja negativo a transferncia de calor se d nosentido oposto. Naturalmente, o mesmo vale para q 00r nos sistemas polares.

    4.2.3 Condio de contorno de Neumann (2o tipo)

    A condio de contorno de Neumann corresponde a especificar o fluxo de calor na su-perfcie do corpo. Para problemas unidimensionais, isto equivale a especificar o fluxode calor em duas posies x = x1 e x = x2 (para o sistema cartesiano), ou r = r1 e r = r2(para os sistemas polares).

    Conhecendo o fluxo de calor entrando em um corpo delimitado por x1 x x2 (nosistema cartesiano), as condies de contorno so escritas na seguinte forma:

    kdTdx

    x=x1

    = q 00entrando,1,kdTdx

    x=x2

    = q 00entrando,2 (4.13a)

    Nos sistemas cilndrico e esfrico uma situao anloga (para um corpo delimitado

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  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 44

    por r1 r r2) escrita na seguinte forma:

    kdTdr

    r=r1

    = q 00entrando,1,kdTdr

    r=r2

    = q 00entrando,2 (4.13b)

    Um ponto que deve-se atentar em relao a condies de contorno de Neumann, que o balano de energia deve ser sempre satisfeito. Para regimes transientes isto notorna-se um grande problema, pois a energia interna do sistema (e portanto a tempera-tura) pode variar com o tempo. Todavia, em regime permanente, o balano energticorequer que a taxa de transferncia de calor lquida para dentro do sistemamais a taxa degerao interna se iguale a zero. Se o balano energtico no for satisfeito isto significaque o problema no pode estar em regime permanente.

    Para problemas unidimensionais, o calor entrando em um ladomenos o calor saindodo outro, mais a energia gerada tem que resultar em zero. Se a taxa de gerao deenergia for nula, a taxa de ganho de calor em uma superfcie, tem que ser igual a taxade perda de calor na outra superfcie. Ou seja, para g 000 = 0,

    A1 q00entrando,1 = A2 q 00entrando,2 = A2 q 00saindo,2 = A1 q 00saindo,1 (4.14)

    onde as reas A1 e A2 representam as reas perpendiculares ao fluxo de calor nas fron-teiras do corpo (x1 e x2 para o sistema cartesiano e r1 e r2 para os sistemas polares). Parauma parede plana, a rea constante, resultando em:

    q 00entrando,1 = q 00saindo,2 (4.15)

    Para um parede cilndrica em regime em permanente sem gerao de energia deve-serespeitar:

    r1 q00entrando,1 = r2 q 00saindo,2 (4.16)

    enquanto para uma parede esfrica nas mesmas condies deve-se respeitar:

    r 21 q00entrando,1 = r 22 q 00saindo,2 (4.17)

    4.2.4 Condio de contorno de Robin (3o tipo)

    Condies de contorno de Robin tambm envolvem a especificao de fluxos de calorno contorno, porm estes dependem da temperatura, atravs da Lei de Resfriamento deNewton. Como o nome diz, a lei de resfriamento, lembrando que esta fornece ento ocalor perdido por uma superfcie, de acordo com a frmula:

    q 00saindo = h (T Tf ), (4.18)

    onde a temperatura T a temperatura na superfcie e Tf a temperatura do fluido. O

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  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 45

    fator h o coeficiente de transferncia de calor por conveco (o qual sempre positivo).Observe portanto que para um fluido mais quente que a superfcie, o valor de q 00saindotorna-se negativo indicando que a superfcie est recebendo calor do fluido.

    Assim sendo, para um corpo delimitado por x1 x x2 (no sistema cartesiano) tro-cando calor com fluidos 1 e 2 de ambos os lados, as condies de contorno so escritasna seguinte forma:

    kdTdx

    x=x1

    = q 00entrando,1 = q 00saindo,1 = h1(T (x1)Tf ,1), (4.19a)kdTdx

    x=x2

    = q 00entrando,2 = q 00saindo,2 = h2(T (x2)Tf ,2), (4.19b)

    Nos sistemas cilndrico e esfrico uma situao anloga (para um corpo delimitadopor r1 r r2) escrita na seguinte forma:

    kdTdr

    r=r1

    = q 00entrando,1 = q 00saindo,1 = h1(T (r1)Tf ,1), (4.20a)kdTdr

    r=r2

    = q 00entrando,2 = q 00saindo,2 = h2(T (r2)Tf ,2), (4.20b)

    4.3 Conduo 1D permanente em paredes planas e curvas

    4.3.1 Parede plana

    Paredes planas so encontradas uma variedade de aplicaes. O diagrama para estetipo de situao com condies de Dirichlet mostrado na figura 4.1

    Figura 4.1: Representao de conduo em uma parede plana com condies de con-torno de Dirichlet.

    A equao da conduo unidimensional de calor em regime permanente (com k

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  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 46

    constante), no sistema de coordenadas cartesiano tem a seguinte soluo geral:

    T (x) = g0000

    2kx2 + C1 x+C2 (4.21a)

    q 00x = kdTdx

    = g 0000 x kC1 (4.21b)

    Condies de Dirichlet

    Com condies de contorno de Dirichlet, dadas por:

    T (0) = T0 e T (L) = TL , (4.22a)

    a soluo para a distribuio de temperatura resulta em

    T (x) = g0000

    2kx2 +

    g 0000 L2k

    + TL T0L

    x + T0, (4.22b)

    e o fluxo de calor dado por:

    q 00x = kdTdx

    = g 0000 x g 0000 L2

    + k TL T0L

    . (4.22c)

    4.3.2 Parede curva: cilindro oco

    Paredes curvas podem ser encontradas em tubulaes e reservatrios esfricos (ou comparte esfrica). O diagrama para este tipo de situao com condies de Dirichlet mostrado na figura 4.2

    Figura 4.2: Representao de conduo em uma parede curva com condies de con-torno de Dirichlet.

    A equao da conduo unidimensional de calor em regime permanente (com k

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 47

    constante), no sistema de coordenadas cilndrico tem a seguinte soluo geral:

    T (r ) = g0000

    4kr 2 + C1 log(r )+C2 (4.23a)

    q 00r = kdTdr

    = g 0000r2 krC1 (4.23b)

    Condies de Dirichlet

    Com condies de contorno de Dirichlet, dadas por:

    T (Ri ) = Ti e T (Re ) = Te , (4.24a)

    a soluo para a distribuio de temperatura resulta em

    T (r ) = g0000

    4kr 2 +

    (Te Ti ) + g 0000

    R2e R2i4k

    !log(r )

    log(Re/Ri )+

    + Ti log(Re )Te log(Ri )log(Re/Ri )

    + g 0000R2i log(Re )R2e log(Ri )

    4k log(Re/Ri ), (4.24b)

    e o fluxo de calor dado por:

    q 00r =g 00002r k

    (Te Ti ) + g 0000

    R2e R2i4k

    !1

    r log(Re/Ri ). (4.24c)

    4.3.3 Parede curva: esfera oca

    A equao da conduo unidimensional de calor em regime permanente (com k cons-tante), no sistema de coordenadas esfrico tem a seguinte soluo geral:

    T (r ) = g0000

    6kr 2 + C1

    r+ C2 (4.25a)

    q 00r = kdTdr

    = g 0000r3+ kr 2

    C1 (4.25b)

    Condies de Dirichlet

    Com condies de contorno de Dirichlet, dadas por:

    T (Ri ) = Ti e T (Re ) = Te , (4.26a)

    a soluo para a distribuio de temperatura resulta em

    T (r ) = g0000

    6kr 2

    Te TiRe Ri + g

    0000Re +Ri6k

    Re Rir

    +

    + Re Te Ri TiRe Ri + g

    0000

    R2i +Re Ri +R2e6k

    , (4.26b)

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  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 48

    e o fluxo de calor dado por

    q 00r =g 00003r k

    Te TiRe Ri + g

    0000Re +Ri6k

    Re Rir 2

    . (4.26c)

    4.4 Conduo 1D permanente em corpos macios

    As solues para os casos de conduo de calor em corpos macios, esto associadas acasos onde o fluxo de calor pela origem nulo.

    4.4.1 Cilindro macio

    Analisando o caso do cilindromacio, como omdulo de log(r ) tende a infinito para r = 0, necessrio que a constante C1, na equao (4.23a), seja nula para que uma soluorealstica seja obtida. Ento a soluo para o problema de conduo de calor reescritana seguinte forma:

    T (r ) = g0000

    4kr 2 +C2, para 0 r R, (4.27a)

    e o fluxo de calor dado por:

    q 00r =g 00002r, (4.27b)

    onde deve-se ressaltar que o fluxo no depende da constante C2, e portanto da condiode contorno aplicada em r =R.

    Condio de contorno de Dirichlet em r =R

    Quando a temperatura na superfcie cilndrica dada pela condio de contorno deDirichlet

    T (R) = TR , (4.28a)

    a distribuio de temperatura expressa na forma:

    T (r ) = g0000

    4k(r 2R2)+TR . (4.28b)

    A expresso acima fornece um perfil parablico de temperatura em r . Entretanto sea gerao de energia for nula, percebe-se que a soluo constante obtida:

    T (r ) = TR , (4.28c)

    e o fluxo de calor resultante nulo. De fato, isto j era esperado uma vez que noh energia gerada, nem acumulada, e todo o contorno do corpo mantido a mesma

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  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 49

    temperatura TR .

    4.4.2 Esfera macia

    Para o caso de uma esfera macia, como r1 tende a infinito para r = 0, a constante C1,na equao (4.25a), deve ser igual a zero. Desta forma a soluo reduzida a:

    T (r ) = g0000

    6kr 2 + C2, para 0 r R, (4.29a)

    e o fluxo de calor dado por:

    q 00r =g 00003r, (4.29b)

    onde, novamente, deve-se ressaltar que o fluxo no depende da constante C2, e portantoda condio de contorno aplicada em r =R.

    Condio de contorno de Dirichlet em r =R

    Se a temperatura na superfcie esfrica for dada pela condio de contorno de Dirichlet

    T (R) = TR , (4.30a)

    a distribuio de temperatura expressa na forma:

    T (r ) = g0000

    6k(r 2R2)+TR . (4.30b)

    A expresso acima fornece um perfil parablico de temperatura em r . Entretanto sea gerao de energia for nula, percebe-se que a soluo constante obtida:

    T (r ) = TR , (4.30c)

    e o fluxo de calor resultante nulo. De fato, isto j era esperado uma vez que noh energia gerada, nem acumulada, e todo o contorno do corpo mantido a mesmatemperatura TR .

    4.4.3 Anlogo em coordenadas cartesianas: parede isolada emum lado

    Para uma parede plana isolada em x = 0, a constante C1 na soluo dada pela equa-o (4.21a) nula, resultando em:

    T (x) = g0000

    2kx2 +C2, para 0 x L. (4.31a)

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  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 50

    e o fluxo de calor dado por:

    q 00x = g 0000 x, (4.31b)

    onde, igual observado em corpos esfricos e cilndricos macios, deve-se ressaltar queo fluxo no depende da constante C2, e portanto da condio de contorno aplicada emx = L.

    Condio de contorno de Dirichlet em x = L

    Quando a temperatura na superfcie x = L dada pela condio de contorno de Dirichlet

    T (L) = TL , (4.32a)

    a distribuio de temperatura expressa na forma:

    T (x) = g0000

    2k(x2L2)+TL . (4.32b)

    A expresso acima fornece um perfil parablico de temperatura em x. Entretanto sea gerao de energia for nula, percebe-se que a soluo constante obtida:

    T (x) = TL , (4.32c)

    e o fluxo de calor resultante nulo. De fato, isto j era esperado uma vez que noh energia gerada, nem acumulada, e todo o contorno do corpo mantido mesmatemperatura TL .

    Exerccios

    4.1. Calcule a distribuio de temperatura T (x) e o fluxo de calor q 00x para o problemade conduo unidimensional permanente em uma parede plana com proprieda-des e gerao de energia constantes, para as nove possveis combinaes de con-dies de contorno, como descrito abaixo:

    (a) T (0)= T0, T (L)= TL(b) T (0)= T0, k T 0(L)= q 00L(c) T (0)= T0, k T 0(L)= h (T (L)Tf )(d) k T 0(0)= q 000 , T (L)= TL(e) k T 0(0)= q 000 , k T 0(L)= q 00L(f) k T 0(0)= q 000 , k T 0(L)= h (T (L)Tf )(g) k T 0(0)= h (T (0)Tf ), T (L)= TL

    Verso Preliminar 0.3.16 Prof. L. A. Sphaier

  • 4. Conduo unidimensional em regime permanente 51

    (h) k T 0(0)= h (T (0)Tf ), k T 0(L)= q 00L(i) k T 0(0)= h0 (T (0)Tf ,0), k T 0(L)= hL (T (L)Tf ,L)

    Explique o que ocorre de diferente no caso 4.1e. Resposta.

    4.2. Calcule a distribuio de temperatura T (r ) e o fluxo de calor para o problemade conduo unidimensional permanente sem gerao para os quatro casos de pa-redes curvas: (a) parde cilndrica com temperatura conhecida no lado interno econveo no externo; (b) parede cilndrica com um fluxo de calor conhecido nolado externo e conveco no lado interno; (c) parede esfrica com temperatura co-nhecida no lado interno e um fluxo de calor prescrito no lado externo; (d) paredeesfrica isolada de um lado e com conveco no outro. Resposta.

    4.3. Resolva a equao de conduo de calor unidimensional permanente sem geraode energia para um cilindro com raios interno e externos Ri e Re . As tempera-turas nas superfcies interna e externa so mantidas a Ti e Te , respectivamente.Considere propriedades constantes. Calcule tambm os fluxos de calor e a taxa detransferncia de calor nas superfcies interna e externa. Considere que o cilindrotem comprimento L. Resposta.

    4.4. Resolva a equao da conduo de calor unidimensional permanente em uma es-fera oca com raios interno e externos Ri e Re , considerando propriedades cons-tantes e gerao de energia uniforme. As temperaturas nas superfcies interna eexterna so mantidas a Ti e Te . Fornea a distribuio de temperatura, o fluxo decalor e a taxa de transferncia de calor na direo radial. Resposta.

    4.5. Repita o problema anterior para uma parede cilndrica (ou seja, um cilindro oco)e um parede esfrica (esfera oca). Resposta.

    4.6. Encontre a distribuio de temperatura T (r ) em um cilindro oco sem gerao deenergia recebendo calor uniformemente taxa Qe em sua superfcie externa (r =re ). Considere tambm que a superfcie interna (r = ri ) troca calor com um fluido temperatura Tf com coeficiente convectivo h. Mostre que a taxa de transfernciade calor para o fluido na superfcie interna Q