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08/11/2016 1 Transferência de calor por convecção Escoamento sobre cilindros e esferas 2 º. semestre, 2016 Transferência de calor 2 Cilindros e esferas Um escoamento externo muito comum envolve o movimento de um fluido na direção normal ao eixo de um cilindro circular, como mostrado na Fig. abaixo. Pontos importantes: a) Ponto de estagnação frontal: o fluido da corrente livre é levado ao repouso (u =0), com um corresponde aumento de pressão; b) A partir desse ponto (com aumento de x) a pressão diminui e a camada limite se desenvolve sob a influência de um gradiente de pressão favorável (dp/dx <0); c) Na distância angular θ=90° a velocidade é máxima e a pressão é mínima; d) Em θ=180º, a velocidade volta a ser zero e a pressão é máxima.

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1

Transferência de calor por convecção

Escoamento sobre cilindros e esferas

2º. semestre, 2016

Transferência de calor

2

Cilindros e esferas

Um escoamento externo muito comum envolve o movimento de um fluido na direção normal ao eixo de um cilindro circular, como mostrado na Fig. abaixo.

Pontos importantes:a) Ponto de estagnação frontal: o fluido da corrente livre é levado ao repouso (u∞=0), com um corresponde aumento de pressão;b) A partir desse ponto (com aumento de x) a pressão diminui e a camada limite se desenvolve sob a influência de um gradiente de pressão favorável (dp/dx <0);c) Na distância angular θ=90° a velocidade é máxima e a pressão é mínima;d) Em θ=180º, a velocidade volta a ser zero e a pressão é máxima.

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Cilindros e esferas

Ao contrário do que acontecia na placa plana, as velocidades V e u∞ não são iguais, pois u∞ depende agora da distância x do ponto de estagnação. Assim, u∞ tem um comportamento oposto ao da pressão p(x).

A partir do ponto de estagnação, o fluido acelera devido ao gradiente de pressão favorável (du∞/dx >0) quando dp/dx<0, atinge uma velocidade máxima quando dp/dx=0 e desacelera (du∞/dx <0) devido ao gradiente de pressão desfavorável, dp/dx>0.

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Cilindros e esferas

A medida que o fluido desacelera, o gradiente de velocidade na superfície (du/dy) em y=0 acaba se tornando igual a zero. Esse local é conhecido como ponto de separação ou descolamento da camada limite.

Isso é, o fluido próxima à superfície não possui momento suficiente para superar o gradiente de pressão e a continuação do movimento à jusante se torna impossível. Depois do ponto de separação, a camada limite se desprende da superfície e forma uma espécie de esteira de fluido na região do escoamento, que passa a ser caracterizado pela formação de vórtices e um escoamento altamente irregular.

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Cilindros e esferas

A figura abaixo apresenta as características complexas do escoamento externo sobre cilindros.

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Cilindros e esferas

A ocorrência de transição da camada-limite, que depende do número de Reynolds, influencia significativamente a posição do ponto de separação.

onde o comprimento característico para esse tipo de escoamento é o diâmetro do cilindro, D.

O número de Reynolds crítico para um escoamento sobre um cilindro circular ou uma esfera é aproximadamente igual a Recr ≈ 2x105. Isso é, a camada limite permanece laminar para cerca de Re ≤ 2x105 e se torna turbulenta para Re ≥ 2x105.

Obs.: à medida que Re aumenta, o ponto de separação da camada-limite é retardado.

(1)

νµρ VDVD

RecL ==

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Cilindros e esferas

- Para Re ≤≤≤≤ 1: o escoamento é quase simétrico em torno do diâmetro transversal do cilindro (escoamento ideal). Forças de inércia são desprezíveis. Não há descolamento da camada limite. O calor é transmitido apenas por condução. Vórtices começam a surgir periodicamente para Re ≈40.

- Para Re ≈≈≈≈ 100: a esteira aumenta e os vórtices, que podem ter um tamanho comparável com D, se separam alternadamente em ambos os lados do cilindro e se estendem a uma distância do cilindro.

- Re<105: a camada limite permanece laminar e o descolamento da camada limite ocorre em uma posição angular de aproximadamente θ≈80º, medidos a partir do escoamento.

- Re>105: camada limite de transição está presente. O escoamento na camada limite torna-se turbulento enquanto ainda está colado à superfície e o ponto de separação se move em direção à parte posterior em θ≈140.

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Coeficiente de atrito e força de arrasto

A natureza do escoamento sobre um cilindro ou esfera afeta fortemente a força de arrasto, FD, e consequentemente o coeficiente de arrasto total, CD. Esta força terá duas componentes: uma devido à tensão de cisalhamento na camada limite (forças de atrito), e outra devido ao diferencial de pressão na direção do escoamento, que resulta na formação da esteira. O coeficiente de atrito (ou arrasto) é definido como:

onde Af é a área frontal do cilindro ou esfera (área projetada no plano perpendicular à velocidade a montante)

==

2222 VA

F

VC

f

DsD

ρρ

τ(2)

D

L

DLA cil,f = (3)

4

2DA esf,f

π= (4)

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Coeficiente de atrito e força de arrasto

Os coeficientes médios de arrasto, CD, para escoamento cruzado sobre um único cilindro liso circular e uma esfera são mostrados na figura abaixo. As curvas exibem comportamentos diferentes em diferentes faixas de Re.

- Para Re ≤≤≤≤ 1: o escoamento é viscoso e o coeficiente de arrasto diminui com o aumento do Re. Para uma esfera, CD = 24/Re. Não existe separação do escoamento nesse regime;- Para Re ≈≈≈≈ 10: começa ocorrer separação na parte de trás do corpo, com desprendimento de vórtice começando com Re ≈≈≈≈ 90. A região de separação aumenta com o aumento de Re, até cerca de Re = 103. Nesse ponto, o arrasto deve-se principalmente (≈≈≈≈ 95%) ao arrasto de pressão.

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Coeficiente de atrito e força de arrasto

- O coeficiente de arrasto continua a diminuir no intervalo entre 10 <Re <103. A diminuição de CD não implica necessariamente a diminuição de FD, uma vez que FD é proporcional ao quadrado da velocidade e que a velocidade aumenta com Re.- Na faixa 103 <Re <105 o coeficiente de arrasto mantém-se relativamente constante. O escoamento na camada limite é laminar mas o escoamento na região de separação atrás do cilindro ou esfera é altamente turbulento.- Entre 105 <Re <106 há uma súbita queda CD pois o escoamento da camada limite torna-se turbulento, o que move o ponto de separação mais para trás do corpo, reduzindo o tamanho da esteira

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Coeficiente de atrito e força de arrasto

O efeito da rugosidade superficial em uma esfera ou cilindro diminui o coeficiente de arrasto, como mostrado na figura abaixo. No entanto, isso depende do valor de Re.

Para corpos perfilados, no entanto, a rugosidade superficial aumenta o coeficiente de arrasto em escoamentos turbulentos.

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Os escoamentos em cilindros e esferas, em geral, envolvem a separação do escoamento, o que torna o tratamento analítico difícil. Portanto, esses escoamentos devem ser tratados de forma experimental ou numérica.

1. Correlação de Hilpert (para cilindros):

onde os valores de C e m são tabelados em função da faixa de Re.

Obs.: Todas as propriedades devem ser avaliadas a Tfilme = (Ts+T∞)/2.

Coeficiente de transferência de calor: cilindros

(5)31/m PrReC

k

DhNu ==

ReD C m0,4 - 4 0,989 0,3304-40 0,911 0,385

40-4.000 0,683 0,4664.000-40.000 0,193 0,61840.000-400.00 0,027 0,805

Tabela 1. Constantes da equação (5). Corresponde à Tabela 7.3 (Incropera).

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Coeficiente de transferência de calor: cilindros

1. Correlação de Hilpert (para cilindros): para o caso de outras geometrias

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2. Correlação de Zhukauskas (para cilindros):

onde os valores de C e m são tabelados em função da faixa de Re.

Obs.: Todas as propriedades são avaliadas à temperatura do fluido, T∞ , exceto Prp

que é avaliada na temperatura da parede, Tp. Além disso, Se Pr <= 10, n=0,37 e se Pr>10, n=0,36.

Coeficiente de transferência de calor (cilindros)

(6)

ReD C m1,0 - 40 0,75 0,4

40 – 1.000 0,51 0,5103 – 2x105 0,26 0, 62x105 - 106 0,076 0,7

Tabela 2. Constantes da equação (6). Corresponde à Tabela 7.4 (Incropera).

41/

p

nm

Pr

PrPrReC

k

DhNu

== Válida para 0,7<Pr<500 e 1<ReD <106

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3. Correlação de Churchill e Bernstein (para cilindros):

Essa correlação é válida para uma ampla faixa de Re e Pr, e é recomendada para (RePr) > 0,2. Propriedades na temperatura do filme.

Obs.: Todas as propriedades devem ser avaliadas a Tfilme = (Ts+T∞)/2.

Coeficiente de transferência de calor (cilindros)

(7)

( )[ ]5485

4132

3121

0002821

401

62030

//

//

//

.

Re

Pr/,

PrRe,,Nu

++

+=

16

1. Correlação de Whitaker (para esferas):

Obs.: Todas as propriedades são avaliadas à temperatura do fluido, T∞ , exceto µp

que é avaliada na temperatura da parede, Tp.

Coeficiente de transferência de calor (esferas)

(8)

41

403250 060402

++=p

,D

,D PrRe,Re,Nu

µµ

Válida para 0,7<Pr<380 e 3,5<ReD <105 e 1<µ/µp <3,2

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Uma das principais aplicações desse tipo de escoamento é em trocadores de calor (evaporadores, condensadores, fan-coils, etc).

Nessa análise, o diâmetro externo do tubo, D, é utilizado com comprimento característico.

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

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O arranjo dos tubos do feixe é caracterizado pelo passo transversal, ST, pelo passo longitudinal, SL, e pelo passo diagonal, SD.

O passo diagonal é determinado a partir da equação:

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

(9)

22

2

+= T

LDSSS

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Quando o fluido entra no feixe de tubos, a área de escoamento diminui de A1=STLpara AT=(ST-D)L entre os tubos e, consequentemente, aumenta a velocidade de escoamento.

Nos feixes de tubos, as características do escoamento são dominadas pela velocidade máxima, Vmax, que ocorre dentro do feixe de tubos, em vez da velocidade de aproximação, V. Assim, o número de Reynolds é definido como:

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

(10)

νµρ DVDV

Re maxmax ==

20

A velocidade máxima é determinada a partir da exigência da conservação da massa para escoamento permanente incompressível. Para arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre na área mínima de escoamento entre os tubos. Assim:

pois:

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

(11)VDS

SV

T

Tmax −

=

Tmax AVVA ρρ =1 (12)

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No arranjo escalonado, o fluido se aproxima através da área A1, passa através da área AT e depois através da área 2AD, uma vez que ele passa em torno dos tubos na próxima linha.

Assim, se 2AD > AT, a velocidade máxima ainda ocorre em AT entre os tubos e a relação para Vmax, dada pela Eq. (11) é válida.

Se 2AD < AT, a velocidade máxima ocorre na seção transversal diagonal e, portanto:

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

( )VDS

SV

D

Tmax −

=2

(13)

22

Existem diversas correlações para feixe de tubos. Uma delas, proposta por Zukauskas, tem a forma:

As propriedades devem ser calculadas na temperatura média:

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

(14)

41/

p

nm

Pr

PrPrReC

k

DhNu

==

Escalonado

Em linha

2saientra

mTT

T+= (15)

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As relações apresentadas na tabela anterior são válidas para feixes de tubos com 16 ou mais linhas. Tais relações podem ser utilizadas para valores menores, através da relação:

onde F é um fator de correção, dado na tabela abaixo:

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

(16)uNFNu LN, =

Em linha

Escalonado

24

A taxa de transferência de calor pode ser obtida pela lei de resfriamento de Newton, utilizando uma diferença de temperaturas adequada. Assim:

onde a diferença de temperatura média logarítmica é dada por:

sendo Ts a temperatura na superfície do tubo. Resolvendo a Eq. (17) para a Tsai:

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

(17)( )entsaipmls TTcmThAq −== &∆

(18)

( ) ( )( )( )

−−

−−−=

sais

ents

saisentsml

TT

TTln

TTTTT∆

( )

−−−=

p

sentsssai cm

hAexpTTTT

&

(19)

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A taxa de massa é calculada como:

onde NT é o número de tubos em um plano transversal e L é o comprimento dos tubos.

Da mesma forma, a área total de tubos é dada por:

onde N é o número total de tubos do feixe, calculado como:

onde NL é o número de tubos na seção longitudinal (na direção do comprimento do feixe de tubos)

Coeficiente de transferência de calor (feixe de tubos)

(20)

(21)DLNAs π=

( )LSNVm TTρ=&

TL NNN = (22)

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1. Um longo fio de alumínio de 3 mm de diâmetro é extrudado a uma temperatura de 370 °C. O fio é submetido ao escoamento cruzado de ar, a 30 °C, com uma velocidade de 6 m/s. Determinar a taxa de transferência de calor a partir do fio para o ar, por metro de comprimento, quando ele é inicialmente exposto ao ar.

2. Ar deve ser resfriado na seção de um evaporador de um refrigerador, passando por um feixe de tubos de 8 mm

de diâmetro externo e com 0,4 m de comprimento, dentro dos quais um fluido refrigerante vaporiza a -20 °C. O ar aproxima-se do feixe de tubos na direção normal a 0 °C e 1 atm, com uma velocidade média de 4 m/s. Os tubos são dispostos em linha, com passos longitudinal e transversal SL = ST = 15 mm. Existem 30 fileiras de tubos na direção do escoamento, com 15 tubos em cada uma. Determine a capacidade de refrigeração do sistema.

Exemplos:

370 °°°°C