Transformação entre ICRS e ITRS EAC-066: Geodésia Espacialpaulo.borges/Download/... · gravitacionais provocados por forças de atração Terra-Lua e Terra-Sol sobre a protuberância

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IFSULDEMINAS 2018 EAC/Inconfidentes

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EAC-066: Geodésia Espacial

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

Transformação entre ICRS e ITRS

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Objetivo da Aula: Apresentar um estudo da transformação do

referencial celeste (ICRS) para o referencial terrestre (ITRS),

avaliando as equações e os parâmetros de transformações utilizados.

Esta transformação se baseia nos movimentos de precessão,

nutação, movimento do pólo e no tempo sideral. Para o entendimento

desses diferentes conceitos serão apresentadas as equações

utilizadas para o cálculo dos diferentes movimentos, bem como para o

cálculo do tempo sideral.

Serão apresentados ainda os conceitos principais do ICRS e do ITRS

para facilidade de entendimento. Ao final será apresentada a equação

atualmente empregada para a transformação do ICRS para o ITRS,

baseado na nova Resolução IAU 2000 da IUGG, que passou a vigorar

em 1º de janeiro de 2003.

Transformação entre GCRS e ITRS

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Os Movimentos da Terra

Na determinação das coordenadas equatoriais uranográficas deve-se

sempre observar o efeito provocado por alguns movimentos da Terra

e outros fatores, os quais provocam lentas variações nestas

coordenadas em relação ao tempo, geralmente inferiores a 1’ de arco

durante um ano.

Entre as diferentes causas dessas variações podemos citar:

✓ movimento do eixo de rotação da Terra e que causam a precessão

luni-solar e a nutação;

✓ movimento da eclíptica e que ocasiona a precessão planetária;

✓ movimento anual da Terra (translação) que produz a paralaxe

anual e aberração anual;


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✓ movimento próprio das estrelas;

✓ movimento diário da Terra (rotação) que causa a aberração diária e

a paralaxe diária;

✓ refração astronômica dos raios luminosos provenientes dos astros;

✓ movimento da Terra em relação ao seu eixo originando o

movimento do pólo.


Esquerda: Aberração devida à velocidade

V do observador. A diferença 휃 − 휃’ = 𝛼 é

devida à aberração. Direita: Este efeito é

análogo à mudança de direção aparente da

chuva quando corremos ou ficamos parado.

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Movimentos de Rotação (R), Precessão (P) e Nutação (N) do

eixo da Terra:

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Precessão

O movimento de precessão, também chamado de Precessão Luni-

Solar ocorre devido ao fato de a terra não ser esférica e sim achatada

nos pólos. Este movimento é provocado devido a torques

gravitacionais provocados por forças de atração Terra-Lua e Terra-Sol

sobre a protuberância equatorial. Este movimento faz com que o eixo

de rotação terrestre (eixo médio) gire em torno da eclíptica

descrevendo um movimento no sentido retrógrado formando assim,

uma superfície cônica de duas folhas com vértice no centro da Terra

(GEMAEL, C.; ANDRADE, J. B.; 2004).

Devido ao movimento de precessão o eixo de rotação da Terra

descreve um cone no espaço com um ângulo de vértice igual a 23° 27’

uma vez a cada 25.800 anos aproximadamente.


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Precessão

Consequentemente o movimento

de precessão faz com que cada

pólo (pólo médio) descreva no

mesmo período uma circunferência

sobre a esfera celeste cujo centro

(vértice) será o pólo da eclíptica.

Este movimento conhecido como

precessão dos equinócios

apresenta uma variação de 50,3”

ao ano, sendo que 34” ocorre

devido a influência atrativa da Lua.


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Precessão

Segundo GEMAEL e ANDRADE (2004) esta circunferência se

mantém imóvel no espaço (em relação à precessão luni-solar)

enquanto o equador sofre um balanço para conservar-se

(conservação do momento angular) constantemente perpendicular ao

eixo de rotação terrestre sem variação na obliqüidade deste,

obrigando assim o deslocamento do ponto vernal sobre a eclíptica em

sentido contrário ao movimento anual aparente do sol.

Além da precessão Luni-Solar há também a Precessão Planetária,

causada por combinações de perturbações gravitacionais dos outros

planetas do Sistema Solar provocando também uma mudança no

plano da órbita da Terra. Entretanto este movimento é menos intenso.


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Precessão

Tomando-se como referência os quasares (fontes extragalácticas),

devido à precessão planetária, o eixo de rotação apresenta uma

variação de 20" ao ano, mudando assim sua posição, enquanto que a

normal ao plano da órbita varia apenas 0.5" na esfera celeste.

Combinando-se os dois movimentos de precessão (Precessão Luni-

Solar e Precessão Planetária), determina-se assim o movimento

chamado de Precessão Geral.


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Precessão

Para se determinar o efeito da precessão com uma precisão da ordem

de 1” sobre as coordenadas equatoriais uranográficas pode-se utilizar

das equações a seguir:

𝜕𝛿

𝜕𝑡= 𝑛 ∗ cos 𝛼

𝜕𝛿

𝜕𝑡= 𝑚 + 𝑛 ∗ sen𝛼 ∗ tan 𝛿

onde 𝑚 = 3,07419 𝑠/𝑎𝑛𝑜 e 𝑛 = 20,0383 𝑠/𝑎𝑛𝑜 ou 1.33589 𝑠/𝑎𝑛𝑜 .

Tomando-se como referência o ano 2000, estas equações são válidas

para uma variação de 20 anos para mais ou para menos. A variação

das coordenadas equatoriais ascensão reta (𝛼) e declinação (𝛿) são

expressas em segundos de tempo e segundos de arco,

respectivamente.


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Precessão

Observa-se que a precessão do eixo é muito lenta. De maneira aproximada, a

variação de 𝛼 é da ordem de 3s por ano e a de δ de uns 20"/ano. A seguir,

uma figura descrevendo a variação da posição dos pólos celestes devida à

precessão. A figura da esquerda mostra a situação no presente, com o pólo

norte celeste coincidindo aproximadamente com a estrela Polaris. Daqui a

milhares de anos, o mesmo pólo celeste coincidirá aproximadamente com

a estrela Vega.


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Precessão

As equações apresentadas anteriormente nos permitem o cálculo aproximado

do efeito da precessão. Segundo o IERS Technical Notes nº 13, o modelo

matemático utilizado para a determinação da precessão está em função de

parâmetros denominados quantidades de precessão:

−𝑧 , 휃 𝑒 −휁

Assim, para se determinar as posições médias em uma época de

interesse a partir da época de referência 𝑡0 em 𝐽2000, deve-se utilizar

a matriz de precessão que é dada por:

𝑃 = 𝑅3 −𝑧 𝑅2 휃 𝑅3 −휁


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Precessão

Segundo MONICO (2008), as quantidades de precessão são

determinadas a partir das seguintes expressões:

onde o parâmetro 𝑡 representa o intervalo, em séculos julianos de

36525 dias solares médios, entre a época de referência 𝐽2000 e a

época da observação.

𝑡 = Τ𝑇𝑇 − 𝐽2000 𝐷𝐼𝐴𝑆 36525,0 = 𝑇𝑇 − 2451545,0 /36525,0

𝑡 = Τ𝐽𝐷 + 𝑇𝑇 ℎ /24 − 2451545,0 36525,0


32 "017998,0"30188,0"2181,2306 ttt ++=

32 "041833,0"42665,0"3109,2004 ttt −−=32 "018203,0"09468,1"2181,2306 tttz ++=

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Precessão

Aplicando-se a transformação referente à precessão, os resultados

serão apresentados no Sistema Celeste Médio, com o equador e o

ponto vernal denominados de equador médio e ponto vernal médio.

Para se determinar o equador e o ponto vernal verdadeiro e,

consequentemente o Sistema Celeste Verdadeiro, deve-se aplicar a

transformação referente ao movimento de nutação. A partir da

introdução da Resolução IAU 2000 pela IUGG, que passou a ser

utilizada a partir de 1º de janeiro de 2003, houve uma mudança nos

modelos de precessão e nutação, sendo que a correção da precessão

e nutação passou a determinar o que hoje é chamado de Sistema

Celeste Intermediário. Assim o pólo celeste realizado é determinado

de CIP (Celestial Intermediate Pole) em substituição ao CEP (Celestial

Ephemeris Pole).


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Nutação

Assim como a órbita da Terra, por não ser circular, provoca variações

periódicas na distância Terra-Sol, o mesmo ocorre com a Lua,

fazendo com que a intensidade das forças de atração tenha variações

periódicas. Como o plano da órbita da lua não coincide com a

eclíptica, salienta-se que por este motivo também haverá alterações

periódicas na direção das forças atrativas.

Como resultante destas e de outras diferentes causas surge o

movimento de nutação, o qual pode ser descrito como sendo uma

pequena oscilação periódica e, portanto, não uniforme, do eixo de

rotação da Terra. Pode-se definir também a nutação como sendo a

parte irregular do movimento de precessão.


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Nutação

Movimentos previsíveis do eixo de rotação terrestre em escalas de

tempo (períodos) de 300 anos ou menos são combinados para formar

o que chamamos de nutação.

Segundo o modelo de nutação mais atual, este efeito é composto de

106 termos harmônicos envolvendo senos e cossenos com diferentes

frequências, em sua maioria efeitos secundários de torque

gravitacional do Sol e da Lua, mais 85 correções devidas a efeitos

planetários. Dentre os principais termos da nutação citam-se: um

termo de período igual a 18,6 anos (período de precessão da órbita da

Lua), um termo de 182,6 dias (meio ano), um outro de 13,7 dias (meio

mês) e um de 9,3 anos (período de rotação do perigeu lunar).


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Nutação

A nutação pode ser decomposta em uma série de movimentos

ondulatórios, de longo período (18,6 anos até 35 dias) e de curto

período (menos de 35 dias).


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Nutação

Para se determinar as correções para nutação com precisão da ordem

de 1" sobre as coordenadas equatoriais uranográficas, pode-se utilizar

das seguintes equações:

onde Δ𝛼 e Δ𝛿 são adicionadas às coordenadas médias (já corrigidas

para precessão), resultando nas chamadas coordenadas aparentes

(ou verdadeiras). Na expressão acima, ε é a obliquidade da eclíptica,

cujo valor pode ser obtido, dia a dia, no Astronomical Almanac.


( ) −+= tancostancos sensen

+= sensen cos

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Nutação

Os termos de nutação em longitude eclíptica ∆𝜓 e obliquidade

eclíptica ∆휀 , respectivamente, são também encontrados em anuários

como o Astronomical Almanac, ou calculados a partir da teoria de

nutação, levando-se em conta os dois termos dominantes.

∆𝜓 = −17,1996"∗sen(Ω) +0,2062"∗sen(2Ω) − 1,3187" ∗ 𝑠𝑒𝑛 2𝐹 − 2𝐷 + 2Ω +⋯+ 𝑑𝜓

∆휀 = 9,2025" ∗ cos(Ω) − 0,0895" ∗ cos(2Ω) + 0,5736" ∗ cos 2𝐹 − 2𝐷 + 2Ω +⋯+ 𝑑휀

∆𝜓 e ∆휀 são obtidos em segundos de arco.


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Nutação

Segundo MONICO (2008), para se determinar o Sistema Celeste

Verdadeiro, a nutação é determinada através da matriz de nutação,

dada por:

onde

휀 = obliquidade da eclíptica;

Δ휀 = nutação em obliquidade;

Δ𝜓 = nutação em longitude

Δ휀 e Δ𝜓 são denominados de quantidade de nutação e ε é dado por:


( ) ( ) ( ) 131 RRRN −−−=

32 "001813,0"00059,0"815,46"448,21'2623 ttt +−−=

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Nutação

As quantidades de nutação são derivadas da Teoria da

Nutação da IUA (International Astronomical Union), utilizando-

se de um modelo elástico da Terra, em vez de um modelo da

Terra Rígida, e obtidas a partir de uma expansão em série

envolvendo 64 e 106 coeficientes, para Δ휀 e Δ𝜓 ,

respectivamente.

Δ𝜓 = −17,1996∗ sin Ω +0,2062 ∗ sin 2Ω − 1,3187 ∗ sin 2𝐹 − 2𝐷 + 2Ω +⋯+ 𝑑𝜓

Ω = 450160,398036" − 6962890,2665"𝑡 + 7,4722"𝑡² + 0,007702"𝑡³+. . . +

𝐹 = 93,27209062° + 1739527262,8478" ∗ 𝑡 − 12,7512" ∗ 𝑡2 − 0,001037" ∗ 𝑡3 +⋯+

𝐷 = 297,85019547° + 1602961601,2090"∗t − 6,3706" ∗ 𝑡2 + 0,006593" ∗ 𝑡3 +⋯+


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Movimento do Polo

Ao movimento do eixo de rotação terrestre em torno do eixo de inércia

máxima, denomina-se Movimento do Pólo. Este movimento é

caracterizado por uma variação na posição relativa de um observador

com relação ao eixo de rotação ocasionado por movimentos internos e

deformações na forma da Terra.

Para um observador qualquer, o movimento do pólo tem o efeito de

mudar sua latitude e sua longitude, que por sua vez é necessária nas

transformações de coordenadas terrestres para celestes. O IERS

(International Earth Rotation Service) define um sistema de referência

terrestre baseado em um eixo de referência, chamado de IERS

Reference Pole (IRP).


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Movimento do Polo

Segundo GEMAEL e ANDRADE (2004) a precessão pode ser

razoavelmente modelada, enquanto a nutação e o movimento do pólo

exigem um monitoramento contínuo, o que vem sendo realizado

graças à contribuição dada pelo IERS, o qual utiliza as mais modernas

e precisas técnicas: LLR, SLR, VLBI, Doppler e GPS.

A principal componente do movimento do pólo tem um período de 430

dias, denominada de Chandler, com uma amplitude de 0,1” a 0,2”,

correspondente na terra rígida ao período de Euller, de 305 dias. Uma

segunda componente de período anual e de menor amplitude também

é observada, causada devido ao deslocamento de massas no oceano

e na atmosfera. Aliada às duas componentes citadas, soma-se uma

terceira, presumivelmente secundária, formando-se assim a trajetória

que descreve o pólo, chamada de Polodia.


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Movimento do Polo

A soma da componente de Chandler com as componentes irregulares

é publicada semanalmente no IERS Bulletin A, juntamente com

previsões para vários meses de antecipação.

De posse das coordenadas do pólo (𝑥𝑃, 𝑦𝑃), publicados pelo IERS ou

estimadas a partir das próprias observações, e do tempo sideral

verdadeiro de Greenwich (GST), pode se determinar a componente 𝑆utilizada na transformação do ICRS (IERS Celestial Reference

System) para o ITRS (IERS Terrestrial Reference System), a qual será

apresentada mais adiante.


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Tempo Sideral

Excluindo-se pequenos movimentos (precessão, nutação, ...) pode-se

tomar como referência reguladora do tempo universal as estrelas ou o

Ponto Vernal, uma vez que este apresenta um movimento tão

pequeno (movimento retrógrado na ordem de 50,3” ao ano) que pode

ser considerado como sendo um astro fixo no espaço.

Ao intervalo que decorre entre duas culminações sucessivas do ponto

vernal pelo mesmo semimeridiano denomina-se Dia Sideral. Define-se

ainda como Hora Sideral, o ângulo horário do ponto vernal (GEMAEL,

C.; ANDRADE, J. B.; 2004). O dia sideral tem a duração de 24 horas

siderais e começa às 00h 00min 00s, no instante da passagem do

meridiano superior do lugar pelo ponto vernal. Cada hora tem 60

minutos e cada minuto tem 60 segundos siderais.


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Tempo Sideral

O tempo sideral 𝑇𝑆 local que, por definição, é igual ao ângulo horário do ponto vernal , pode ser obtido através de:

𝑇𝑆 = 𝛼 + 𝑡

onde 𝛼 representa a ascensão reta do astro (obtida por consulta das

suas efemérides).

Por outro lado, S pode ser obtido a partir de:

𝑇𝑆 = 𝑇 + ∆𝑇

Onde 𝑇 e ∆𝑇 representam a indicação do relógio e o estado do

relógio, respectivamente.


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Tempo Sideral

Para calcular o ângulo horário, observador tem que conhecer o estado

do relógio num instante anterior, bem como a marcha do relógio (taxa

de variação do estado do relógio), e registrar a indicação do relógio no

momento da observação.

Em consequência da precessão, a duração do dia sideral é da ordem

de oito milissegundos menor que a duração determinada a partir de

um ponto realmente fixo no espaço. Entretanto, esta diferença se

mantém constante, ao contrário das variações periódicas impostas

pela nutação.

Assim, faz-se necessário distinguir dois tempos siderais: o tempo

sideral aparente e o tempo sideral médio.


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Tempo Sideral

Tempo Sideral aparente (𝑇𝑆𝐴): é o tempo determinado pelo movimento

diurno do ponto vernal verdadeiro e que está sujeito às variações

periódicas da nutação.

Tempo Sideral Médio (𝑇𝑆𝑀): é o tempo determinado pelo movimento

diurno do ponto vernal médio e que está isento às variações

periódicas da nutação.

Estes dois tipos de tempos siderais estão registrados no Astronomical

Almanac para todos os dias do ano, a partir das 00 h do Tempo

Universal (TU), onde se adiciona o índice “0” aos símbolos 𝑇𝑆𝐴 e 𝑇𝑆𝑀.

A partir da diferença entre os dois tempos determina-se a equação

dos equinócios:

𝑇𝑆𝐴 − 𝑇𝑆𝑀 = 𝑄


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Tempo Sideral

Segundo MCCARTHY (1996) in MONICO (2008), o tempo sideral

verdadeiro de Greenwich (GST), utilizado na transformação do ITRS

para o ICRS, é determinado a partir da equação:

𝐺𝑆𝑇 = 𝐺𝑀𝑆𝑇 + ∆𝜓 cos 휀 + 0,00264" sen Ω + 0,000063" sen 2Ω

𝐺𝑀𝑆𝑇 = 𝐺𝑀𝑆𝑇0ℎ𝑈𝑇1 + 𝑟 𝑈𝑇1 − 𝑈𝑇𝐶 + 𝑈𝑇𝐶

𝐺𝑀𝑆𝑇0ℎ𝑈𝑇1 = 6ℎ41𝑚50,54841𝑠 + 8640184,812866𝑠 ∙ 𝑇𝑢 + 0,093104𝑠 ∙ 𝑇𝑢2 − 6,2𝑠 ∙ 10−6 ∙ 𝑇𝑢3

𝑟 = 1,002737909350795 + 5,9006 ∙ 10−11 ∙ 𝑇𝑢 − 5,9 ∙ 10−15 ∙ 𝑇𝑢2

𝑇𝑢 = Τ𝐽𝐷 + 𝑈𝑇1 ℎ /24 − 2451545,0 36525,0


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Tempo Sideral

onde o termo do numerador da equação para cálculo de número de

𝑇𝑢 corresponde ao número de dias decorridos a partir da época de

referência 𝐽2000 (1º de janeiro de 2000 às 12 h de UT1), tomado

sobre os valores 0,5; 1,5..., e é a longitude média do nodo

ascendente do plano orbital da Lua.

Ω = 450160,398036" − 6962890,2665"𝑡 + 7,4722"𝑡² + 0,007702"𝑡³+. . . +

Os termos que envolvem na primeira equação para cálculo do 𝐺𝑆𝑇

passaram a constar nos padrões do IERS a partir de 1º de janeiro de

1997.


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Transformações

A transformação entre o referencial celeste ICRS e o referencial

terrestre ITRS é efetuada a partir de uma sequência de rotações, o

que implica a consideração da precessão (𝑃), da nutação (𝑁), a

rotação e a orientação da Terra (𝑆), sendo esta última obtida a partir

do movimento do pólo e da determinação do tempo sideral verdadeiro

de Greenwich (𝐺𝑆𝑇).

Segundo MONICO (2000), a equação utilizada para a transformação

do ICRS para o ITRS é dada por:

em que Ԧ𝑋𝑇 e Ԧ𝑋𝐶 são os vetores posicionais nos sistemas terrestre e

celeste.


→→

= CT XSNPX

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A determinação dos valores de 𝑃 e 𝑁 foram apresentados

anteriormente. Para se determinar o valor de 𝑆, utiliza-se a seguinte

equação:

Onde:

𝐺𝑆𝑇 = tempo sideral verdadeiro de Greenwich;

𝑥𝑃, 𝑦𝑃 = coordenadas do pólo, publicadas pelo IERS.


( ) ( ) ( )GSTRyRxRS PP 312 −−=

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As matrizes de rotação 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3 são obtidas a partir de:

para os ângulos 𝑥𝑃, 𝑦𝑃 e 𝛾 = 𝐺𝑆𝑇 , para um sistema cartesiano

dextrogiro com rotação no sentido horário.


−

=

)cos()sin(0

)sin()cos(0

001

)(1

PP

PPP

yy

yyyR

−

=

)cos(0)sin(

010

)sin(0)cos(

)(2

PP

PP

P

xx

xx

xR

−=

100

0)cos()sin(

0)sin()cos(

)(3

yR

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Transformações de Acordo com a Resolução IAU2000

Desde 1º de janeiro de 2003, a partir da nova Resolução IAU 2000

pela IUGG, o procedimento tradicional de transformação do ICRS para

o ITRS descrito, que é baseado no equinócio vernal e no tempo

sideral verdadeiro de Greenwich, foi substituído, baseando-se

atualmente no CEO (Celestial Ephemeris Origin) e na determinação

de 휃 (ângulo de rotação da Terra), de maneira a apresentar uma

relação linear com o UT1.


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Sendo assim a transformação do ICRS para o ITRS na época 𝑡 da

observação será efetuada a partir da equação:

𝑋𝑇 = 𝑊 𝑡 𝑅 𝑡 𝑄 𝑡 𝑋𝐶

onde 𝑊(𝑡), 𝑅(𝑡) e 𝑄(𝑡) são as matrizes de rotação resultante do

movimento do pólo, o ângulo de rotação da Terra e o movimento

do pólo celeste no sistema celeste (precessão e nutação),

respectivamente.

Onde 𝑊 𝑡 , 𝑅 𝑡 e 𝑄 𝑡 são as matrizes de transformação

resultantes do movimento polar, da rotação da Terra em torno do

eixo do pólo e do movimento do pólo celeste no sistema celeste

(precessão e nutação), respectivamente.


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O parâmetro t utilizado nas expressões é definido pela equação:

𝑡 = Τ𝑇𝑇 − 𝐽2000 𝐷𝐼𝐴𝑆 36525,0 = 𝑇𝑇 − 2451545,0 /36525,0

𝑡 = Τ𝐽𝐷 + 𝑇𝑇 ℎ /24 − 2451545,0 36525,0

Esta definição é consistente com a Resolução C7 (1994) da IAU

que recomenda a época 𝐽2000,0 seja definida para o geocentro na

data de 1º Janeiro de 2000 às 12:00 h (𝑇𝑇 = 2451545,00 𝑇𝑇).

Conforme a Resolução B1.6, as quantidades de precessão e

nutação a serem usadas na matriz de transformação s devem ser

baseadas nos modelos de precessão-nutação 𝐼𝐴𝑈 2000 𝐴 ou

𝐼𝐴𝑈 2000 𝐵 , conforme a precisão requerida. O primeiro

proporciona precisão da ordem de 0,2 𝑚𝑎𝑠, enquanto o segundo

esse valor aumenta para 1,0 𝑚𝑎𝑠.


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A matriz 𝑊 𝑡 é obtida a partir da seguinte equação:

𝑊 𝑡 = 𝑅3 𝑠′ 𝑅2 −𝑥𝑝 𝑅1 −𝑦𝑝

Onde 𝑠’ é uma quantidade que proporciona a posição do TEO

(Terrestrial Efhemeris Origin) no ITRS. O valor de 𝑠’ pode ser

obtida pela expressão:

𝑠′ = −0,0015𝑎𝑐12

+ 𝑎𝑎2 𝑡

Os termos 𝑎𝑐 e 𝑎𝑎 são as amplitudes médias (em segundos de

arco) das oscilações anuais e Chandlerianas (componentes do

movimento do pólo), respectivamente no período considerado.


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Entretanto, o valor de s’ apresenta resultados significativos para

grandes variações no movimento do pólo e será menor que

0,4 𝑚𝑎𝑠 até o fim do próximo século, mesmo que as oscilações

anuais e Chandlerianas atinjam valores da ordem de 0,500 e

0,100 , respectivamente. Utilizando as amplitudes médias das

oscilações anuais e Chandlerianas o valor de s’ pode ser dado por:

𝑠′ = −47𝜇𝑎𝑠 ∙ 𝑡

Onde 𝜇𝑎𝑠 representa microssegundos de arco.

A matriz 𝑅 𝑡 é obtida a partir do ângulo de rotação da Terra 휃.

Esse ângulo é medido sobre o equador do CIP, entre o CEO

(Celestial Ephemeris Origin) e o TEO.


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O ângulo de rotação 휃 é obtido a partir da relação convencional

com UT1, definido pela equação:

휃 𝑇𝑢 = 2𝜋 0,7790572732640 + 1,00273781191135448𝑇𝑢

Onde 𝑇𝑢 = 𝐷𝑎𝑡𝑎 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑒𝑚 𝑈𝑇1 − 2451545

com 𝑈𝑇1 = 𝑈𝑇𝐶 + 𝑈𝑇1 − 𝑈𝑇𝐶 . Os termos CEO e TEO, de

acordo com a Resolução B1.8 da IAU2000, referem-se a origens

não sujeitas a rotação no CGRS e ITRS, respectivamente.

A matriz 𝑄 𝑡 é obtida a partir da seguinte expressão:

𝑄 𝑡 =1 − 𝑎𝑋2 −𝑎𝑋𝑌 𝑋−𝑎𝑋𝑌 1 − 𝑎𝑌2 𝑌−𝑋 −𝑌 1 − 𝑎 𝑋2 + 𝑌2

∙ 𝑅3 𝑠


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Onde 𝑎 =1

2+

1

8𝑋2 + 𝑌2 . As coordenadas 𝑋 e 𝑌 proporcionam a

posição do CIP no CGRS, baseadas nos modelos IAU2000A e

IAU2000B. A quantidade 𝑠 proporciona a posição do CEO no

equador do CIP. O valor de s é dado por:

𝑠 𝑡 =−𝑋𝑌

2+ 94 + 3808,35𝑡 − 119,94𝑡2 − 72574,09𝑡3 + Σ𝑘𝐶𝑘 sen 𝑎𝑘 +

+ 1,71𝑡 senΩ + 3,57𝑡 cos 2Ω + 743,53𝑡2 senΩ +

+56,91𝑡2 sen 2𝐹 − 2𝐷 + 2Ω + 9,84𝑡2 sen 2𝐹 + 2Ω − 8,85𝑡2 sen 2Ω


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Os argumentos da equação Σ𝑘𝐶𝑘 sen 𝑎𝑘 são dados por:


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As quantidades 𝑋 e 𝑌 são dadas por:

𝑋 = ത𝑋 + 𝜉0 − 𝑑𝛼0 ത𝑌

𝑌 = ത𝑌 + 휂0 − 𝑑𝛼0 ത𝑋

Onde 𝜉0 e 휂0 são os offsets do pólo celeste na época de referência

J2000,0 e 𝑑𝛼0 é a ascensão reta do equinócio médio da época J2000,0

no CRS.

𝑑𝛼0 = −0,01460 ± 0,00050 “

𝜉0 = −0,0166170 ± 0,0000100 “

휂0 = −0,0068192 ± 0,0000100 “

As quantidades ത𝑋 e ത𝑌 são dadas por:

ത𝑋 = sen𝜔 sen𝜓ത𝑌 = −sen 𝜖0 cos𝜔 + cos 𝜖0 sen𝜔 cos𝜓

𝜖0 = 84381,448“

Que é a obliquidade da eclíptica na época J2000,0.


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O quantidade 𝜔 refere-se à inclinação da eclíptica referente ao

equador verdadeiro na época da observação e 𝜓 é a longitude

eclíptica. Estas quantidades são dadas por:

𝜔 = 𝜔𝐴 + Δ𝜖1𝜓 = 𝜓𝐴 + Δ𝜓1

As quantidades 𝜓𝐴 e 𝜔𝐴 são as quantidades de precessão em

longitude e obliquidade referente à eclíptica na época da observação e

Δ𝜓1 e Δ𝜖1 são os ângulos de nutação em longitude e obliquidade

referente à eclíptica na época da observação. Seus valores podem ser

obtidos a partir das seguintes expressões:

Δ𝜓1 sen𝜔𝐴 = 𝛥𝜓 sen 𝜖𝐴 cos 𝜒𝐴 − 𝛥𝜖 sen𝜒𝐴

Δ𝜖1 = Δ𝜓 sen 𝜖𝐴 se𝑛 𝜒𝐴 − Δ𝜖 cos 𝜒𝐴𝜒𝐴 corresponde à precessão planetária no equador.


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As expressões compatíveis com os modelos de precessão e nutação

da IAU2000A são:


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MONICO, J. F. G. Posicionamento pelo GNSS: Descrição,

fundamentos e aplicações. São Paulo: UNESP, 2008. 476 p.

McCARTHY, D. D. IERS Standards (1992), IERS Technical Note 13,

Central Bureau of IERS- Observatoire de Paris, 150p., 1992.

McCARTHY D. D. IERS Standards (2000), IERS Technical Note 23,

Central Bureau of IERS- Observatoire de Paris, 138p., 2003.

GEMAEL, C.; ANDRADE, J. B. Geodésia Celeste. Curitiba: Ed. UFPR,

2004. 389p.

http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/index.php


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