Transformada de Fourier Discretizada (DFT)

Transformada de Fourier Discretizada (DFT)Sinais e Sistemas - ESP208

Processamento Digital de Sinais - ESP206 e ENG420

Prof. Dr. Fabrıcio Simoes

IFBA

03 de outubro de 2017

Prof. Dr. Fabrıcio Simoes (IFBA) Transformada de Fourier Discretizada (DFT) 03 de outubro de 2017 1 / 25

1 Motivacao

2 Desenvolvimento Matematico da DFTDFT DiretaDFT Inversa

3 Aplicacoes da DFTDeterminando os coeficientes da Serie de FourierEspectro de Frequencia de Sinais Contınuos no Tempo

4 Uso da FFT


Motivacao

A DFT e usada quando:

1 Nao existe uma representacao matematica do sinal discreto x(nT );

2 O sinal for obtido a partir de medicoes.

Importante

E uma solucao computacional da Transformada de Fourier DTFT;


Relacao entre a DTFT e a DFT

n

x[n]

12

3

1 2 3

Xd(ω)

DTFT

−π/T π/T ω

Xd(m)

m

Discretizacao

M Intervalos ∆ω

DFT


Desenvolvimento Matematico da DFT

A DTFT do sinal discreto x(nT ) pode ser encontrada por

Xd(ω) =∞∑

n=−∞x(nT )e−jωnT

A funcao Xd(ω) obtida e contınua e se repete a cada 2π/T . Por sercontınua, nao possui solucao computacional.

DISCRETIZACAO de Xd(ω)

MAS, e possıvel calcular Xd(ω) em alguns valores de ωm.


DFT Direta - Desenvolvimento Matematico

Discretizacao da funcao Xd(ω)

Xd [m] = Xd

(m

2π

MT

)=

∞∑n=−∞

x(nT )e−j(m2π/MT )nT

Xd [m] =∞∑

n=−∞x [n]e−j2πmn/M ,

No qual n e o ındice de tempo, m e o ındice de frequencia e M,numero de amostras da DFT.


DFT Direta - Desenvolvimento Matematico

O eixo contınuo de frequencia e dividido em intervalos de tamanho2π/MT , totalizando M intervalos de tamanho ∆ω.

Xd(m)

m

M amostras

∆ω

0 2π/T

M − 1

A frequencia de cada amostra ωm e dada por

ωm = m∆ω = m

(2π

MT

),m = 0, 1, 2, . . .M − 1


DFT: Exemplo 1

1 Exemplo 4.1 - Livro: Digital Signal Processing - CHEN

2 Considere o sinal discreto x [0] = 1, x [1] = 0, 5 e x [2] = −0, 5 eTempo de Amostragem T = 0, 5.

3 Determine Xd(ω)

Xd(ω) = 1 + je−j1,5ωT sen(0, 5ωT)

4 Determine DFT do sinal discreto

Xd [0] = 1,Xd [1] = 1, 3229e−j0,71,Xd [2] = 1, 3229e−j0,71


Exemplo 2

Calcule a DFT do sinal

x [n] = cos((π/2)n)

para n = 0, 1, 2, 3. Duracao do sinal N =4.

DFT do sinal

Xd [m] =N−1∑n=0

cos((π/2)n)e−j2πmn

4

Resposta

Xd [m] =

{2, m=1,3;0, m=0,2.


DFT Inversa

A DFT inversa de Xd [m] e dada por

x [n] =1

M

M−1∑m=0

Xd [m]e j2πnmM

No qual M e o numero de amostras da DFT Xd [m].


Relacao entre x [n] e x [n]

x [n] = DFT −1[Xd [m]]

Usando a DFT inversa, o sinal x [n] e obtido a partir da equacao

x [n] =1

M

M−1∑m=0

Xd [m]e j2πmnM ,

no qual

Xd [m] =∞∑

k=−∞x [k]e−j2πmk/M



x [n] =1

M

M−1∑m=0

∞∑k=−∞

x [k]e−j2πmk/Me j2πmn/M

x [n] =∞∑

k=−∞x [k]

1

M

M−1∑m=0

e j2πmM

(n−k)

O termo em vermelho corresponde a Serie de Fourier de um trem deimpulsos periodico.

1

M

M−1∑m=0

e j2πmnM =

∞∑r=−∞

δ[n − rM]︸︷︷︸p[n]



Reescrevendo a equacao de x [n] para n − k, obtem-se:

x [n] =∞∑

k=−∞x [k]

∞∑r=−∞

δ[n − rM − k]︸︷︷︸p[n−k]

Considerando a equacao da convolucao discreta

x [n] =∞∑

k=−∞x [k]p[n − k] = x [n] ~ p[n],

Identificamos que

x [n] = x [n] ~∞∑

r=−∞δ[n − rM]︸︷︷︸p[n]



x [n] =∞∑

r=−∞x [n − rM]

˜x [n] e uma versao periodida de x [n].

Por exemplo, considere o sinal x [n] com Transformada de FourierXd(ω).

n

x[n]

12

3

1 2 3

N Amostras



Dado que M ≥ N, x [n] = x [n] para n = 0, 1, . . . ,M − 1.

n

x[n]

12

3

1 2 3

12

3

M Amostras

12

3

. . . . . .

Para M < N, x [n] 6= x [n]

Aliasing

n

x[n]

12

3

1 2 3

12

3

M Amostras

. . .

N


Equacoes da DFT - Revisao.

DFT Direta e Inversa

Xd [m] =N−1∑n=0

x [n]e−j2πmn/M

x [n] =1

M

M−1∑m=0

Xd [m]e j2πmnM


x [n] =

{x [n] para 0 ≤ n ≤ M − 1;0 caso contrario.

Relacao entre M e N para evitar aliasing time

M ≥ N


Aplicacoes da DFT


Determinando os coeficientes da Serie de Fourier

Equacao dos coeficientes cmd da Serie de Fourier

cmd =1

N

N−1∑n=0

x [n]e j2πmn/N ,

em que x [n] e um sinal periodico com perıodo N.

Conhecendo a equacao da DFT, a equacao dos coeficientes cmd podeser reescrita como

cmd =DFT [x [n]]

N,

para uma DFT de N amostras.


Usando o Octave

Considere o sinal discreto x = {2, 5;−0, 4; 1;−2} que se repete acada 4 amostras (N = 4).

Usando o comando DFT, obtem-se:

cmd = {0.27500 + 0.00000i ; 0.37650− 0.40093i ; 1.47000−0.00000i ; 0.37650 + 0.40093i}


Espectro de Frequencia de Sinais Contınuos no Tempo

Sejam os sinais contınuo x(t) e discreto x(nT ) dados pela equacao

x(nT ) = x(t)|t=nT

Se T e suficientemente pequeno,

X (ω) = F [x(t)] =

{TFd [x(nT )] = TXd(ω) para |ω| ≤ π/T ;0 para |ω| > π/T .

Mas, computacionalmente, pode ser encontrado usando DFT

X (ω) =

{T DFT [x(nT )] para |ω| ≤ π/T ;0 para |ω| > π/T .


Espectro de Fourier de Sinais Continuos no Tempo

No calculo do espectro de x(t), tres questoes precisam serconsideradas:

a) Aliasing na frequencia: Se x(t) nao e limitado em banda, o tempo deamostragem T deve ser escolhido de modo a minimizar o aliasing ;

b) Resolucao na frequencia: O intervalo ∆ω entre as amostras de Xd [m] edado por 2π

MT , no qual M ≥ N. Quanto menor ∆ω, melhor arepresentacao de X (ω)

c) Efeito do truncamento: Se for de duracao infinita, o sinal x(t) precisaser truncado para um tamanho L = NT , no qual N e o numero deamostras de x(nT ) e L, a duracao truncada do sinal x(t). Quantomaior L, menor o efeito do truncamento.


Exemplo 4.6 - CHEN

Considere o sinal contınuo x(t) = e−0.1t para t ≥ 0, um sinal deduracao ilimitada;

Inicialmente, considere N = 5 e T = 2.


Analisando o Efeito do Tempo de Amostragem T


Uso da FFT


Usando FFT

Rotina no MatLab (Octave) para determinacao da FFT do sinal x [n].

X=fft(x,M);X=fftshift(X);aux=length(X);m=round(-aux/2):round(aux/2)-1;w=(2π/(aux*T))*m;


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