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Transformada de Fourier Discretizada (DFT)Sinais e Sistemas - ESP208
Processamento Digital de Sinais - ESP206 e ENG420
Prof. Dr. Fabrıcio Simoes
IFBA
03 de outubro de 2017
Prof. Dr. Fabrıcio Simoes (IFBA) Transformada de Fourier Discretizada (DFT) 03 de outubro de 2017 1 / 25
1 Motivacao
2 Desenvolvimento Matematico da DFTDFT DiretaDFT Inversa
3 Aplicacoes da DFTDeterminando os coeficientes da Serie de FourierEspectro de Frequencia de Sinais Contınuos no Tempo
4 Uso da FFT
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Motivacao
A DFT e usada quando:
1 Nao existe uma representacao matematica do sinal discreto x(nT );
2 O sinal for obtido a partir de medicoes.
Importante
E uma solucao computacional da Transformada de Fourier DTFT;
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Relacao entre a DTFT e a DFT
n
x[n]
12
3
1 2 3
Xd(ω)
DTFT
−π/T π/T ω
Xd(m)
m
Discretizacao
M Intervalos ∆ω
DFT
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Desenvolvimento Matematico da DFT
A DTFT do sinal discreto x(nT ) pode ser encontrada por
Xd(ω) =∞∑
n=−∞x(nT )e−jωnT
A funcao Xd(ω) obtida e contınua e se repete a cada 2π/T . Por sercontınua, nao possui solucao computacional.
DISCRETIZACAO de Xd(ω)
MAS, e possıvel calcular Xd(ω) em alguns valores de ωm.
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DFT Direta - Desenvolvimento Matematico
Discretizacao da funcao Xd(ω)
Xd [m] = Xd
(m
2π
MT
)=
∞∑n=−∞
x(nT )e−j(m2π/MT )nT
Xd [m] =∞∑
n=−∞x [n]e−j2πmn/M ,
No qual n e o ındice de tempo, m e o ındice de frequencia e M,numero de amostras da DFT.
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DFT Direta - Desenvolvimento Matematico
O eixo contınuo de frequencia e dividido em intervalos de tamanho2π/MT , totalizando M intervalos de tamanho ∆ω.
Xd(m)
m
M amostras
∆ω
0 2π/T
M − 1
A frequencia de cada amostra ωm e dada por
ωm = m∆ω = m
(2π
MT
),m = 0, 1, 2, . . .M − 1
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DFT: Exemplo 1
1 Exemplo 4.1 - Livro: Digital Signal Processing - CHEN
2 Considere o sinal discreto x [0] = 1, x [1] = 0, 5 e x [2] = −0, 5 eTempo de Amostragem T = 0, 5.
3 Determine Xd(ω)
Xd(ω) = 1 + je−j1,5ωT sen(0, 5ωT)
4 Determine DFT do sinal discreto
Xd [0] = 1,Xd [1] = 1, 3229e−j0,71,Xd [2] = 1, 3229e−j0,71
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Exemplo 2
Calcule a DFT do sinal
x [n] = cos((π/2)n)
para n = 0, 1, 2, 3. Duracao do sinal N =4.
DFT do sinal
Xd [m] =N−1∑n=0
cos((π/2)n)e−j2πmn
4
Resposta
Xd [m] =
{2, m=1,3;0, m=0,2.
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DFT Inversa
A DFT inversa de Xd [m] e dada por
x [n] =1
M
M−1∑m=0
Xd [m]e j2πnmM
No qual M e o numero de amostras da DFT Xd [m].
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Relacao entre x [n] e x [n]
x [n] = DFT −1[Xd [m]]
Usando a DFT inversa, o sinal x [n] e obtido a partir da equacao
x [n] =1
M
M−1∑m=0
Xd [m]e j2πmnM ,
no qual
Xd [m] =∞∑
k=−∞x [k]e−j2πmk/M
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Relacao entre x [n] e x [n]
x [n] =1
M
M−1∑m=0
∞∑k=−∞
x [k]e−j2πmk/Me j2πmn/M
x [n] =∞∑
k=−∞x [k]
1
M
M−1∑m=0
e j2πmM
(n−k)
O termo em vermelho corresponde a Serie de Fourier de um trem deimpulsos periodico.
1
M
M−1∑m=0
e j2πmnM =
∞∑r=−∞
δ[n − rM]︸ ︷︷ ︸p[n]
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Relacao entre x [n] e x [n]
Reescrevendo a equacao de x [n] para n − k, obtem-se:
x [n] =∞∑
k=−∞x [k]
∞∑r=−∞
δ[n − rM − k]︸ ︷︷ ︸p[n−k]
Considerando a equacao da convolucao discreta
x [n] =∞∑
k=−∞x [k]p[n − k] = x [n] ~ p[n],
Identificamos que
x [n] = x [n] ~∞∑
r=−∞δ[n − rM]︸ ︷︷ ︸p[n]
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Relacao entre x [n] e x [n]
x [n] =∞∑
r=−∞x [n − rM]
˜x [n] e uma versao periodida de x [n].
Por exemplo, considere o sinal x [n] com Transformada de FourierXd(ω).
n
x[n]
12
3
1 2 3
N Amostras
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Relacao entre x [n] e x [n]
Dado que M ≥ N, x [n] = x [n] para n = 0, 1, . . . ,M − 1.
n
x[n]
12
3
1 2 3
12
3
M Amostras
12
3
. . . . . .
Para M < N, x [n] 6= x [n]
Aliasing
n
x[n]
12
3
1 2 3
12
3
M Amostras
. . .
N
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Equacoes da DFT - Revisao.
DFT Direta e Inversa
Xd [m] =N−1∑n=0
x [n]e−j2πmn/M
x [n] =1
M
M−1∑m=0
Xd [m]e j2πmnM
Relacao entre x [n] e x [n]
x [n] =
{x [n] para 0 ≤ n ≤ M − 1;0 caso contrario.
Relacao entre M e N para evitar aliasing time
M ≥ N
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Aplicacoes da DFT
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Determinando os coeficientes da Serie de Fourier
Equacao dos coeficientes cmd da Serie de Fourier
cmd =1
N
N−1∑n=0
x [n]e j2πmn/N ,
em que x [n] e um sinal periodico com perıodo N.
Conhecendo a equacao da DFT, a equacao dos coeficientes cmd podeser reescrita como
cmd =DFT [x [n]]
N,
para uma DFT de N amostras.
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Usando o Octave
Considere o sinal discreto x = {2, 5;−0, 4; 1;−2} que se repete acada 4 amostras (N = 4).
Usando o comando DFT, obtem-se:
cmd = {0.27500 + 0.00000i ; 0.37650− 0.40093i ; 1.47000−0.00000i ; 0.37650 + 0.40093i}
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Espectro de Frequencia de Sinais Contınuos no Tempo
Sejam os sinais contınuo x(t) e discreto x(nT ) dados pela equacao
x(nT ) = x(t)|t=nT
Se T e suficientemente pequeno,
X (ω) = F [x(t)] =
{TFd [x(nT )] = TXd(ω) para |ω| ≤ π/T ;0 para |ω| > π/T .
Mas, computacionalmente, pode ser encontrado usando DFT
X (ω) =
{T DFT [x(nT )] para |ω| ≤ π/T ;0 para |ω| > π/T .
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Espectro de Fourier de Sinais Continuos no Tempo
No calculo do espectro de x(t), tres questoes precisam serconsideradas:
a) Aliasing na frequencia: Se x(t) nao e limitado em banda, o tempo deamostragem T deve ser escolhido de modo a minimizar o aliasing ;
b) Resolucao na frequencia: O intervalo ∆ω entre as amostras de Xd [m] edado por 2π
MT , no qual M ≥ N. Quanto menor ∆ω, melhor arepresentacao de X (ω)
c) Efeito do truncamento: Se for de duracao infinita, o sinal x(t) precisaser truncado para um tamanho L = NT , no qual N e o numero deamostras de x(nT ) e L, a duracao truncada do sinal x(t). Quantomaior L, menor o efeito do truncamento.
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Exemplo 4.6 - CHEN
Considere o sinal contınuo x(t) = e−0.1t para t ≥ 0, um sinal deduracao ilimitada;
Inicialmente, considere N = 5 e T = 2.
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Analisando o Efeito do Tempo de Amostragem T
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Uso da FFT
Prof. Dr. Fabrıcio Simoes (IFBA) Transformada de Fourier Discretizada (DFT) 03 de outubro de 2017 24 / 25
Usando FFT
Rotina no MatLab (Octave) para determinacao da FFT do sinal x [n].
X=fft(x,M);X=fftshift(X);aux=length(X);m=round(-aux/2):round(aux/2)-1;w=(2π/(aux*T))*m;
Prof. Dr. Fabrıcio Simoes (IFBA) Transformada de Fourier Discretizada (DFT) 03 de outubro de 2017 25 / 25