Transformada Discreta de Fourier - cict.· Processamento Digital de Sinais Transformada Discreta de

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  • ProcessamentoDigitaldeSinais

    TransformadaDiscretadeFourier

    Prof.Dr.CarlosAlbertoYnoguti

  • JeanBaptisteJosephFourier

    Nascimento:21demarode1768emAuxerre,Bourgogne,Frana

    Morte:16demaiode1830emParis,Frana

  • Introduo

    AanlisedeFourierumafamliadetcnicasmatemticas,todaselasbaseadasnadecomposiodesinaisemsenides.

    ATransformadaDiscretadeFourier(DiscreteFourierTransformDFT)omembrodafamliautilizadoparasinaisdigitalizados.

    ADFTtemversesrealeimaginria.NestecursoiremosfocarprincipalmenteaversorealdaDFT.

  • Classificaodesinais

    Ossinaispodemserclassificadossegundovrioscritrios.Porexemplo:

    sinaiscontnuosoudiscretos

    sinaisperidicosouaperidicos

    EstesdoiscritrioslevamaosquatroelementosdafamliadetransformadasdeFourier:

    Sinaiscontnuoseaperidicos:TransformadadeFourier

    Sinaiscontnuoseperidicos:SriedeFourier

    Sinaisdiscretoseaperidicos:TransformadadeFourierdeTempoDiscreto(DTFT)

    Sinaisdiscretoseperidicos:TransformadaDiscretadeFourier(DFT)

  • FamliaFourier

    TransformadadeFourier(aperidico,contnuo)

    SriedeFourier(peridico,contnuo)

    TransformadadeFourierdeTempoDiscreto(aperidico,discreto)

    TransformadaDiscretadeFourier(peridico,discreto)

  • Observaes

    TodososquatromembrosdafamliadetransformadasdeFourierassumemqueossinaissobanlisetmduraoinfinita.

    ParaanalisarossinaiscomumcomputadorouumDSP,ossinaistmnecessariamentequeterduraofinita.

    Destaforma,temosquefazercomqueossinaispareamterduraoinfinita.

    Istopodeserfeitodeduasmaneiras: Considerarqueosinalnuloforadointervalodeanlise

    (aperidicoDTFT)

    Considerarqueosinalserepeteperiodicamente(peridicoDFT)

  • Oquefuncionanaprtica

    ParaprocessarossinaisusandoumcomputadorouDSP,ossinaisdevemestarnaformadigital(discretos).

    Pararepresentarsinaisaperidicossonecessriasinfinitassenides,oqueinviabilizaousodaDTFT.

    Emoutraspalavras,computadoresspodemlidarcomsinaisdiscretosefinitosemcomprimento.

    Concluso:anicatransformadaquepodeserutilizadanaprticaaDFT.

  • Decomposioemsenides

    cossenos

    senos

    decomposio

    sntese

    UmsinaldeN=16pontos...

    ...podeserdecompostoemN/2+1=9sinaiscossenoidaiseN/2+1=9sinaissenoidais,cadaumcom16pontos.

  • Porqueusarsenides?

    Existeminfinitasformasdeondaquepodemserusadasnadecomposio:ondaquadrada,triangular,etc.

    Arazoparaaescolhadassenidesapropriedadedefidelidadesenoidal:senidesqueentramemumsistemalinearsaemcomosenidescom(possveis)mudanasnaamplitudeefase,masmantendoafrequnciaoriginal.

    Estapropriedadebastantetil(comoveremosaseguir),eapenasassenidesapossuem.

    Emresumo,outrasdecomposiessopossveis,masnosoteis.

  • NotaoeformatodaDFTreal

    ConverteumsinaldeNpontosnodomniodotempoem2sinaisde(N/2+1)pontosnodomniodafrequncia.

    Osinaldeentrada(tempo)contmasamostrasdosinalaserdecomposto,eossinaisdesada(frequncias)contmasamplitudesdossenosecossenos.

    0 N1

    x[n] 0

    0 N/2

    N/2

    DFTdireta

    DFTinversa

    ReX[f]

    ImX[f]

    (amplitudesdoscossenos)

    (amplitudesdossenos)

    Domniodotempo Domniodafrequncia

  • Observaes

    Asinformaescontidasnodomniodafrequnciasoexatamenteasmesmasdodomniodotempo,squedeformadiferente.

    TempoFrequncia:decomposio,anlise,DFTdireta.

    FrequnciaTempo:sntese,DFTinversa.

    OnmerodeamostrasnodomniodotempogeralmenterepresentadopelaletraN,sendoqueNgeralmentepotnciade2,porcausadomododerepresentaodigital(binrio),eporqueoalgoritmodaFFToperacomumnmerodeamostrasquedeveserpotnciade2.

  • Avarivelindependentenodomniodafrequncia

    0 N/2

    0 0.5

    0 fs/2

    0

    N

    fs

    Hz

    Emtermosdefraodafrequnciadeamostragem

    Emtermosdafrequnciarealdosinal

    Emtermosdafrequnciaangulardosinal

    EmtermosdonmerodepontosdaDFT

  • Exemplo

    Ocorreumpiconaamostracorrespondenteaondice19quandotomamosaDFTde256deumsinalqualquer.a) Qualeafrequnciadopicoexpressacomoumafraoda

    frequnciadeamostragem?necessrioconhecerafrequnciadeamostragempararesponderaestaquesto?

    b) Qualeafrequnciadopicoexpressacomofrequncianatural?

    c) Qualataxadeamostragemseopicocorrespondea21,5kHznosinalanalgico?

    d) Qualafrequnciadasenide(emHz)seataxadeamostragemde100kHz?

  • FunesbasedaDFT

    AsondassenoidaisecossenoidaisusadasnaDFTsocomumentementechamadasdefunesbasedaDFT.

    AsadadaDFTumconjuntodenmerosquerepresentamasamplitudesdestessenosecossenos.

    AsomadestesvriossenosecossenosponderadospeloscoeficientesdaDFTgeraosinaloriginalnodomniodotempo.

  • Pontosimportantes

    AsfunesbasedaDFTsogeradasapartirde:

    ondeckaondacossenoidalcujaamplitudedadaporReX[k],eskasenidecujaamplitudedadaporImX[k].

    kdeterminaafrequnciadecadasenide.Porexemplo,k=5correspondeaumasenide(oucossenide)quecompleta5ciclosemNpontos.

    CadaumadestassenidesecossenidesdeveterNpontos,demodoqueasomadestasresultenosinaloriginaldeNpontos.

    ck [i ]=cos 2 ki /N sk [i]=sen 2 ki /N

  • Exemplo

    c0es0:cossenosesenoscom0cicloscompletosemN=32pontos

    c2es2:cossenosesenoscom2cicloscompletosemN=32pontos

    c10es10:cossenosesenoscom10cicloscompletosemN=32pontos

    c16es16:cossenosesenoscom16cicloscompletosemN=32pontos

  • Observaes

    c0:ondacossenoidaldeamplitude1efrequnciazero.ReX[0]correspondeentoaonvelDCdosinal.

    s0:sinalcompostosdezeros.Desdequenoinfluinasntesedosinalnotempo,ImX[0]assumesempreovalor0.

    c16:cossenoquerealiza16ciclosemNpontos.Correspondeaumaondasenoidalamostradanospicos.

    s16:senoquerealiza16ciclosemNpontos.Correspondeaumaondaamostradanoscruzamentosporzero.PortantoImX[N/2]=ImX[0]=0.

  • Questo

    SeexistemNamostrasentrandoeN/2+1+N/2+1=N+2amostrassaindo,deondeveioainformaoextra?

    Duasdasamostrasdesadasonulasenocarregaminformao:ImX[0]eImX[N/2]

  • EquaesdeSnteseDFTinversa

    Problema:reconstruirosinaloriginalnodomniodotempoatravsdacombinaolineardesenosecossenos.

    onde:

    x [i ]=k=0

    N /2

    Re X [k ]cos 2 k i /N k=0

    N /2

    Im X [k ]sen 2 k i /N

    Re X [k ]=Re X [k ]

    N /2

    Im X [k ]=Im X [k ]

    N /2

    Re X [0 ]=Re X [0 ]

    N

    Im X [0 ]=Im X [0 ]

    N

  • Exemplo

    Odomniodafrequnciadeumsinaldadopor:

    partereal:1,2,3,3,1,2,1,1,2parteimaginria:0,1,2,0,0,0,2,1,0

    a)AqualcomprimentodeDFTestesinalcorresponde?b)Calculeasamplitudesdossenosecossenosparareconstruirosinalnodomniodotempo.c)Qualamdiadosinalnodomniodotempo(nvelDC)?

  • EquaesdeanliseDFTdireta

    OmtodoclssicoparaadeterminaodoscoeficientesdaDFTodacorrelao.

    Resumidamente,paradetectarumaformadeondaconhecidacontidaemumoutrosinal,multipliqueosossinaisesomeospontosdoprodutoresultante.

    Esteprocedimentoforneceumnmeroqueumamedidadasimilaridadeentreosdoissinais.

    Destaforma,asequaesdeanlisedaDFTfornecemcoeficientesquesoumamedidadasimilaridadeentreosinalsobanliseecadaumadassenidesecossenides.

  • DFTdireta

    Cadaamostranodomniodafrequnciaencontradamultiplicandoseosinalnodomniodotempopelaondasenoidaloucossenoidalemquesto,esomandoosresultados.

    Emoutraspalavras,oscoeficientesReX[k]eImX[k]sooresultadodacorrelaoentreosinalecadaumadasfunesbase,paraumdeslocamentoigualazerodamquinadecorrelaovistaanteriormente.

    ReX [k ]=i=0

    N1

    x [i]cos 2 k i /N ImX [k ]=i=0

    N1

    x [i ]sen 2 k i /N

  • Exemplo

    CalculeaDFTde4pontosdosinalx={1,2,3,4}.

  • Notaopolar

    Odomniodafrequnciaconsistedeumgrupodeamplitudesdesenosecossenos.

    Estaformaderepresentaoconhecidacomonotaoretangular.

    Alternativamente,podemosrepresentarodomniodafrequnciaemnotaopolar.

    Nestaforma,ReX[]eImX[]sosubstitudasporMagX[]eFaseX[],representandoamagnitudeeafasedeX[].

    MagX[]eFaseX[]sosubstitutosparapardeReX[]eImX[],isto,paracalcularMagX[0]eFaseX[0],precisamossomentedeReX[0]eImX[0],eassimpordiante.

  • ConversoRetangularPolar

    FaseX [k ]=arctg ImX [k ]ReX [k ] MagX [k ]=ReX 2[k ]ImX 2[k ]

    ReX [k ]=MagX [k ]cos FaseX [k ]

    ImX [k ]=MagX [k ]sen FaseX [k ] ReX

    ImXMagX

    FaseX

    Re

    Im

  • Informaonaformapolar

  • Problemascomanotaopolar

    Existemalgunsproblemasnumricosquandolidamoscomanotaopolar:

    Faseemradianosouemgraus

    Divisoporzeronoclculodafase

    Arcotangenteincorreta

    Fasedesinaisdebaixamagnitude

    Ambiguidadedafasede2

    Ambiguidadedafasede

  • RadianosvsGraus

    Afasepodeserexpressaemgraus(de1800a+1800)ouemradianos(dea+).

    Amaioriadaslinguagensdeprogramaousaafaseemradianos.

    Fontedemuitoserrosdeimplementao.

  • Divisoporzeronoclculodafase

    Quandoaparterealnula(ReX[k]=0),temosumafasede900ou+900(ou+),dependendodosinaldaparteimaginria.

    Afrmuladafaselevaaumadivisoporzero,oquecausaerroemtempodeexecuo.

    Fcilmentecontornvelatravsdeestruturascondicionais(if).

    FaseX [k ]=arctg ImX [k ]ReX [k ] ReX

    ImXMagX

    FaseX

    Re

    Im

  • Erronoarcotangente

    1

    1

    Re Re

    Im Im

    1

    1

    =450

    =1350

    FaseX [k ]=arctg ImX [k ]ReX [k ] =arctg 11 =450

    FaseX [k ]=arctg ImX [k ]ReX [k ] =arctg 11 =450

  • Erronoarcotangente(cont.)

    Esteerroacontecesemprequeaparterealnegativa.Paracorrigilo,devemosadotaroseguinteprocedimento:

    Setantoaparterealcomoaparteimaginriaforemnegativas,devemossubtrair1800(ouradianos)dafasecalculada.

    Seaparterealnegativaeaparteimaginriapositiva,devemossomar1800(ouradianos)fasecalculada.

    Comoidentificaresteerro:seafasevariarnointervalo(900,900)aoinvsdenointervalo(1800,+1800),vocestcalculandoafasedeformaerrada.

  • Fasedesinaisdebaixamagnitude

    Quandoumsinal