Transformada Discreta de Fourier - cin.ufpe.brcin.ufpe.br/~cabm/pds/PDS_Aula06_DFT.pdf · Transformada Discreta de Fourier Espectrograma O espectrograma é uma representação visual

Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Transformada Discreta de Fourier

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Transformadas

� O uso de transformadas serve para observar características de um sinal que já estavam presentes nele, mas que podem não ser observáveis em um domínio

� Assim, as transformadas conseguem levar o sinal para outro domínio e trazê-lo de volta ao domínio original.� Transformada de Fourier

� Transformada Wavelet

� Transformada do Cosseno

� ...

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Transformada de Fourier

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e-jwπ: kernel da transformada


Transformada de FourierPropriedades

� Linearidade:� a.f(t) + b.g(t) ↔ a.F(w) + b.G(w)

� Deslocamento no tempo� f(t - t0) ↔ e-j2πwt0.F(w)

� Deslocamento na frequência:� f(t)ej2πw0t ↔ F(w – w0)

� Escalonamento:� f(a.t) ↔ (1/|a|)F(w/a)

� Convolução no tempo:� f(t)*g(t) ↔ F(w).G(w)

� Convolução na frequência:� f(t).g(t) ↔ (1/2π)F(w)*G(w)

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A Série Discreta de Fourier

� Considere uma sequência x[n] que é periódica de período N:� x[n] = x[n + k.N], qualquer k inteiro

� Da análise de Fourier, sabemos que funções periódicas podem ser sintetizadas como uma combinação linear de exponenciais complexas cujas frequências são múltiplas (ou harmônicas) da frequência fundamental (no caso 2π/N)

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� Da periodicidade no domínio da frequência da transformada de Fourier discreta no tempo, concluímos que existe um número finito de harmônicos:

� as frequências {(2π/N)k, k = 0, 1, 2, ...., N-1}

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� Assim, a sequência periódica x[n] pode ser expressa como:

� onde {X[k], k = 0, ±1, ....} são chamados de coeficientes da série discreta de Fourier:

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, n = 0, ±1, ....

, k = 0, ±1, ....



� x[n] é a sequência discreta no domínio do tempo

que descreve os valores amostrados da variável

contínua x(t) e N é o número de amostras da

sequência da entrada

� Observe que X[k] também é uma sequência

periódica com período fundamental igual a N

� Ou seja, X[k + N] = X[k]

� As equações anteriores são a representação

discreta em série de Fourier de sequências

periódicas

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� Por conveniência de notação, podemos chamar:

� Assim, temos:

� Equação de Análise:

� Equação de Síntese:

9



� Exemplo:

� Encontre a representação em série de Fourier

da sequência:

� x[n] = {...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, ....}

� O período fundamental da sequência é N = 4

� Assim, W4 = e-j2π/4 = e-jπ/2 = cos(-π/2) + j.sen(-

π/2) = 0 + j.(-1) = -j

10



� Exemplo (cont.):

� Agora:

� Assim:

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� Uma outra forma de ver a transformada discreta

de Fourier é através de uma representação em

matrizes

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X e x são vetorescoluna



� WN é chamada de Matriz DFS

� No MatLab:

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function [Xk] = dfs (xn, N)

n = [0:N-1];

k = [0:N-1];

WN = exp(-j*2*pi/N);

nk = n'*k;

WNnk = WN.^nk;

Xk = xn*WNnk; >> xn = [0 1 2 3]; N = 4;

>> Xk = dfs(xn, N)

Xk = 6 -2 + 2i -2 - 0i -2 - 2i



� Inversa:

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function [xn] = idfs(Xk, N)

n = [0:N-1];

k = [0:N-1];

WN = exp(-j*2*pi/N);

nk = n'*k;

WNnk = WN.^(-nk);

xn = (Xk*WNnk)/N; Para o Xk anterior, temos:

>> xn = idfs(Xk, N)

xn = 0 - 0i 1 - 0i 2 - 0i 3 + 0i



� A DFT de uma sequência de N-pontos é dada por:

� X[k] também é uma sequência de N-pontos, ou seja, ela

não é definida fora do intervalo de 0 ≤ k ≤ N – 1

� A IDFT é dada por:

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, 0 ≤ k ≤ N – 1

, 0 ≤ n ≤ N – 1



� Como antes:

� Assim, temos:

� Equação de Análise:

� Equação de Síntese:

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� 1) Linearidade

� a.x1[n] + b.x2[n] ↔ a.X1[k] + b.X2[k]

� Obs:

� Se x1[n] e x2[n] são sequências de durações

diferentes (N1-pontos e N2-pontos, por exemplo),

escolha N3 = max(N1, N2)

� Se, por exemplo, N1 < N2, então X1[k] é a DFT

de x1[n] aumentada de (N2 – N1) zeros

� Zero padding

Transformada Discreta de FourierPropriedades

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� 2) Deslocamento de uma sequência

� x[n – m] ↔ WNkmX[m]

� 3) Dualidade

� Se x[n] ↔ X[k], então X[n] ↔ N.x[-k]

� 4) Simetria

� Quando a sequência do sinal for real, então X[N

− m]* = X[m]

� Ou seja basta que calculemos as componentes de

X[m] para 0 ≤ m ≤ N/2


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� 5) Convolução periódica


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� Exemplo:


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>> n = 0:99;

>> fs = 200;

>> Ts=1/fs;

>>x=cos(2*pi*20*n*Ts + pi/4) + 3*cos(2*pi*40*n*Ts - 2*pi/5) + 2*cos(2*pi*60*n*Ts + pi/8);

>> X = fft(x);

>> m = 0:length(X) - 1;

>> subplot(3, 1, 1); stem(x); xlabel('n');ylabel('x(n)');title('Sequencia');

>> subplot(3, 1, 2); stem(m*fs/length(X), abs(X), 'b'); ylabel('magnitude');

>> xlabel('frequencia (Hz)'); title('Magnitude da Resposta em Frequencia');

>> subplot(3,1,3); stem(m*fs/length(X), angle(X), 'b'); ylabel('Angulo');

>> xlabel('frequencia (Hz)'); title('Fase');

x é real




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� Observe que, como o sinal x[n] é real, a magnitude da

resposta em frequência apresenta uma imagem

refletida

� Assim, precisamos apenas da primeira metade dela


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� Podemos fazer:


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>> half_m = 0:ceil(length(X)/2);

>> stem(half_m*fs/length(X), abs(X(half_m + 1)), 'b');

>> ylabel('magnitude');

>> xlabel('frequencia (Hz)'); title('Magnitude da Resposta em Frequencia');




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� Para a fase, o padrão também aparece mas refletido no

eixo da frequência; novamente, só precisamos de

metade da plotagem


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Transformada Discreta Bi-Dimensional de Fourier

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DFT


Transformada Discreta Bi-Dimensional de Fourier

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� Espectrograma

� O espectrograma é uma representação visual

dos harmônicos de um sinal de entrada em

função do tempo

� Do ponto de vista de implementação, temos um

janelamento do sinal de entrada tomando a

transformada de Fourier de cada parte e

plotando ela

28Carlos Alexandre Mello – [email protected] 28


� Espectrograma

� A forma mais comum de representarmos um

espectrograma é através de um gráfico bi-

dimensional onde a abscissa corresponde ao

tempo e a ordenada à frequência

� Uma terceira dimensão indica a amplitude de

cada frequência e é normalmente associada a

uma cor

� Com isso, o espectrograma pode ser visto como uma

imagem



� Espectrograma: Exemplo (sinal de voz)









� Espectrograma

� Normalmente, espectrogramas são gerados

através do cálculo do quadrado da magnitude

da STFT (Short-Time Fourier Transform –

Transformada de Fourier de Tempo Curto) do

sinal

� Podemos interpretar esse valor como a

densidade espectral de potência



� Espectrograma

� Sem informação de fase

� Não há clara interpretação

� Permite analisar sinais não-estacionários,

considerando-os localmente estacionários

� Questões relacionadas às janelas:

� Que tipo de janela?

� Qual o tamanho? (pode implicar em zero padding)

� Sobreposição?



� Espectrograma

� Variação na Janela (Hamming)


>> x = abs(fft(hamming(512).*y2, 1024));>> z = 10*log10(abs(fft(hamming(512).*y2, 1024)));>> figure, subplot (2, 1, 1); plot (x);>> subplot (2, 1, 2); plot (z);

dB


� Espectrograma

� Variação na Janela (Hanning)


>> x = abs(fft(hanning(512).*y2, 1024));>> z = 10*log10(abs(fft(hanning(512).*y2, 1024)));>> figure, subplot (2, 1, 1); plot (x);>> subplot (2, 1, 2); plot (z);

dB


� Espectrograma

� Variação na Janela (Retangular)


>> x = abs(fft(rectwin(512).*y2, 1024));>> z = 10*log10(abs(fft(rectwin(512).*y2, 1024)));>> figure, subplot (2, 1, 1); plot (x);>> subplot (2, 1, 2); plot (z);

dB


� Espectrograma

� Sobreposição (em geral 25 a 75%)



� Espectrograma

� Sobreposição


>> load chirp>> spectrogram (y, 256, 250, 1e3, 'yaxis');>> figure, spectrogram (y, 256, 0, 1e3, 'yaxis');


� Espectrograma

� O tipo da janela afeta a forma do espectro em

cada região analisada

� O tamanho da janela afeta a suavidade do

espectro

� Janela curta → espectrograma de banda larga

� Janela longa → espectrograma de banda estreita



� Espectrograma


Janela: 128

Sobreposição: 120


� Espectrograma


Janela: 256

Sobreposição: 250


� Espectrograma


Janela: 512

Sobreposição: 500


� Espectrograma


45Carlos Alexandre Mello – [email protected] 45Carlos Alexandre Mello – [email protected]


� Referências:

� Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle,

J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000

� Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989

� Digital Signal Processing Using MatLab and

Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007

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