Transformada Discreta de Fourier Prof. José Mauricio Neto [email protected] 1 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Engenharia Elétrica Centro

Transformada Discreta de Transformada Discreta de FourierFourier

Prof. José Mauricio [email protected]

1

Universidade Federal da ParaíbaDepartamento de Engenharia ElétricaCentro de Energias Alternativas e Renováveis

• Para um sinal discreto não periódico x[n], de tamanho L:

2

2 , 0,..., 1k k LL

[ ] ( )Fx n X

1

0

( ) [ ] , 0,1, 2,...., 1L

j n

n

X x n e k L

Transformada Discreta de Fourier

• L = 5 k = 0,1,2,3,4

3

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ]

21 (2 / 5) [ ]542 (4 / 5) [ ]5

63 (6 / 5) [ ]5

84 (8 / 5) [ ]5

n

j n

n

j n

n

j n

n

j n

n

k X x n

k X x n e

k X x n e

k X x n e

k X x n e

2 , 0,..., 1k k LL



• Módulo e Fase

4

0

1

2

3

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ] (0)

21 (2 / 5) [ ] (2 / 5)542 (4 / 5) [ ] (4 / 5)5

63 (6 / 5) [ ] (6 / 5)5

84 (8 / 5) [ ] (8 / 5)5

j

n

jj n

n

jj n

n

jj n

n

j n

n

k X x n X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X

4je

• Resolução da TDF:

5

0

1

2

3

4

0 0 (0)

21 (2 / 5)542 (4 / 5)5

63 (6 / 5)5

84 (8 / 5)5

j

j

j

j

j

k X e

k X e

k X e

k X e

k X e

02L


• A Transformada de Fourier para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por:

7

2 , 0,..., 1k k NN

1

0

( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1N

j n

n

X x n e k N

1

0

1[ ] ( ) , 0,1, 2,..., 1N

j n

k

x n X e n NN

[ ] ( )Fx n X Notação:


13

Resumo das Formulas da Transformada Discreta de FourierResumo das Formulas da Transformada Discreta de Fourier

14

Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier

2 fs

f (Hz)

( )2

sff Hz

0 02 ; sffN N

• Para uma sequência x[n], 0nN-1, a DFT é dada por:

15

12 /

0

1

0

( ) [ ] , 0,1,2,...., 1

( ) [ ]

Nj kn N

n

NknN

n

X k x n e k N

X k x n W

Desenvolvimento da Formula da DFT

0 1 2 ( 1)

2 /

( ) [0] [1] [2] ... [ 1]

2 2cos sin

k k k k NN N N N

j NN

X k x W x W x W x N W

W e jN N

16

12 /

0

1

0

1[ ] ( ) , 0,1, 2,...., 1

[ ] ( )

Nj kn N

k

Nkn

Nk

x n X k e n NN

x n X k W

Inversa da DFT

0 1 2 ( 1)1[ ] (0) (1) (2) ... ( 1)n n n N nN N N Nx n X W X W X W X N W

N

• Para uma sequência discreta x[n] obtida através da amostragem de um sinal analógico x(t) e truncada utilizando uma janela com comprimento T0=NT, em que T é o Tempo de amostragem e N é o numero de pontos dos dados amostrados.

• O tempo para a janela de dados é

T0=NT

17

Análise do Espectro

18


• Para uma sequência x[n], n=0,1,...,(N-1), com DFT:

• A partir do calculo dos coeficientes da DFT (número complexo) pode ser determinada:

– Amplitude do espectro– Fase do espectro– Potência do espectro

19


1

0

( ) [ ] , 0,1, 2,...., 1N

nkN

n

X k x n W k N

• Amplitude do espectro:

• Pode-se modificar a amplitude do espectro para um lado da representação espectral dobrando a amplitude, mantendo o termo DC em k=0.

20


1 (0) , 0

2 ( ) , 1,..., / 2k

X kNAX k k N

N

2 21 1| ( ) | Re ( ) Im ( )

0,1,2,...., 1

kA X k X k X kN N

k N

• Fase do espectro:

21


1

0

( ) [ ] , 0,1, 2,...., 1N

nkN

n

X k x n W k N

1 Im ( )tan

Re ( )

0,1,2,...., 1

k

X kX k

k N

• Potência do espectro:

• Trasladando-se para o espectro de interesse:

22


2 2 22 2

1 1| ( ) | Re ( ) Im ( )

0,1,2,...., 1

kP X k X k X kN N

k N

22

22

1 | (0) | 0

2 | ( ) | 1,..., / 2k

X kNP

X k k NN

• Para a sequência discreta, com frequência de amostragem fs = 100 amostras/s, determine a amplitude, fase e potência do espectro.

23

Exemplo 2

2 2

1

2 22

1Re ( ) Im ( )

Im ( )tan

Re ( )

1 Re ( ) Im ( )

0,1,2,...., 1

k

k

k

A X k X kN

X kX k

P X k X kN

k N

• Para a sequencia discreta x[n] ={1, 2, 3, 4}, com N=4, os coeficientes da DFT são:

24

Exemplo 2

Amplitude do espectroFase do espectroPotência do espectro

25

Amplitude Fase Potência

26

• Trasladando-se a amplitude para o espectro de interesse:

27

1 (0) , 0

2 ( ) , 1,..., / 2k

X kNAX k k N

N

• Considere um sinal senoidal com f0=1Hz, com 32 amostras

28

Estimação de Espectros usando Funções de Janelas (Window Functions)

N=32 amostras

• Se for usado uma janela de N=16 amostras que é um múltiplo de dois ciclos de onda. A janela seguinte repetirá a onda com continuidade e a DFT é:

29


• Se for usado uma janela de N=18 amostras, que não é um múltiplo de um ciclo de onda (2,25 ciclos), a segunda janela repetirá a primeira janela com descontinuidade, e a DFT é:

30


31

Uma única componente de frequência (o esperado)

Componente da frequência principal e harmônicos (que não existem no sinal original), denominado de Vazamento Espectral (Espectral Leakage), devido a que a amplitude é descontínua no domínio do tempo.

• Para reduzir o efeito do vazamento espectral, uma função de janela pode ser usado cuja amplitude se reduz de forma suave e gradual (próximo a zero) nos extremos da janela.

• Aplicando a função de janela w[n] para a sequência discreta x[n], se obtém uma nova sequência xw[n]:

32


[ ] [ ] [ ], 0,1,..., ( 1)wx n x n w n n N

33

Redução da descontinuidade

34

Redução do Vazamento Espectral

Transformada de Fourier

35

Funções de Janelas (Window Functions)

• Janela Retangular

• Janela Triangular

• Janela de Hamming

• Janela de Hanning

36

Funções de Janelas (Window Functions)

• Para a sequência discreta x[0]=1, x[1]=2, x[2]=3 e x[3]=4, e dada uma frequência de amostragem fs=100amostras/s, Ts=0,01s, determinar a amplitude, fase e potência do espectro, usando a janela triangular

37

Exemplo 3

• Para N=4

38

Exemplo 3

• A nova sequência é

• A DFT de xw[n] para k=0,1,2,3:

39

Exemplo 3

0 1 2 34 4 4 4( ) [0] [1] [2] [3]k k k k

w w w wX k x W x W x W x W

• A resolução do espectro é

• Determinação da Amplitude, Fase e Potência

40

Exemplo 3

0100 25

4sff HzN

• Simetria e Periodicidade

Propriedades da DFT

41

Propriedades da DFT

42

Propiedades de la TDF

43

Propriedades da DFT

44

Propriedades da DFT

45

Propriedades da DFT

46

2c s

c

ff

Propriedades da DFT

47

• O espectro de interesse para o filtro passa-baixos é ilustrado entre as frequências de 0 a fs/2

48

t

x(t)

A/D

fs = Frequência de amostragem (sampling)

Ts = 1/fs = Tempo entre amostras discretas

n

X[n]

0 1 n

X[n]

0 1

N = número de amostras

N-1

Considerações de Sistemas de Aquisição do Sinal

49

t

x(t)

A/D

n

X[n]

0 1 n

X[n]

0 1

N = número de amostras

N-1

fs = 10 kHzTs = 1/fs = 0.1 ms (Tempo de amostragem)N = 100 amostrastwindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

fs = Frequência de amostragem (sampling)

Ts = 1/fs = Tempo entre amostras discretas

50

t

x(t)

A/D

n

X[n]

0 1 n

X[n]

0 1 N-1

fs = 10 kHzTs = 1/fs = 0.1 ms (Tempo de amostragem)N = 100 amostrastwindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

DFT

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

Código em Matlabclc, close all, clearfs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Periodo de amostragem (sampling)N = 100; %Numero de amostras em twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do sinal (Hz)x = sin(2*pi*fo*t);%Aplicando a FFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;plot(omega,abs(X))xlabel('omega (rad)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')

51

Propriedades da DFT

• Simetria• Período igual a 2*

52

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

omega (rad)

|FFT

|

Espectro de x(n)

2

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk NN

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n) DFT

N=100fs=10 kHzfo = 1 kHz

Transformação de escalas de (rad) para frequência em Hertz

53

2 fsOmega f(Hz)

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

omega (rad)

|FFT

|

Espectro de x(n)

2

fs/2

fsf (Hz)

( )2

sff Hz

Código em Matlab

fs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Tempo de amostragem (sampling)N = 100; %Numero de amostras em twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz)x = sin(2*pi*fo*t);%Aplicando a DFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;Hertz = omega*fs/(2*pi);figureplot(Hertz,abs(X))xlabel('f(Hz)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')figureplot(n,x)xlabel('n')ylabel('x(n)')

54

Realizando a Transformação

55

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

f(Hz)

|FFT

|

Espectro de x(n)

fs/2 fsfo

• Simetria com respeito a fs/2• Período igual a fs• Largura de Banda de

interesse é igual ao intervalo [0, fs/2]

BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz]

DFT de um sinal com ruído branco Gaussiano

• Valor médio = 0 • Desvio padrão = 0.1

56

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

5

10

15

20

25

30

35

40

%Codigo em MATLABr = 0 + 0.1*randn(1,1000);figure,hist(r,100)

Código em MATLABfs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Tempo de amostragem(sampling)N = 100; %Numero de amostras en twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz)r = 0 + 0.1*randn(1,N); %ruido branco Gaussianox = sin(2*pi*fo*t)+r;%Aplicando a DFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;Hertz = omega*fs/(2*pi);figureplot(Hertz,abs(X))xlabel('f(Hz)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')figureplot(n,x)xlabel('n')ylabel('x(n)')

57

DFT do ruído branco Gaussiano

58

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FFT

|

Espectro de x(n)

DFT do ruído

Código em MATLABfs = 10000; %Frequencia de AmostragemTs = 1/fs; %Tempo de amostragem(sampling)N = 100; %Numero de amostras en twindow%Vetor de Tempon = 0:1:(N-1); %Tempo discreto nt = n*Ts; %Tempo discreto t (s)fo = 1000; %Frequencia do señal (Hz)r = 0 + 0.1*randn(1,N); %ruido branco Gaussianox = sin(2*pi*3*fo*t)+sin(2*pi*fo*t)+r;%Aplicando a DFTX = fft(x);k = 0:1:(N-1);omega = 2*pi*k/N;Hertz = omega*fs/(2*pi);figureplot(Hertz,abs(X))xlabel('f(Hz)')ylabel('|FFT|')title('Espectro de x(n)')figureplot(n,x)xlabel('n')ylabel('x(n)')

59

DFT de 2 sinais senoidais

• fo = 1 kHz• f1 = 3 KHz

60

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FFT

|Espectro de x(n)

Que contecerá se a frequência do sinal de entrada f1 é superior a fs/2 = 5000 Hz ??

• Para fo = 1000 Hz• Se f1 = 6000 Hz• Teorema de Amostragem fs2fmax fs/2fmax• 5000 fo e f1 SE OBSERVA QUE NÃO SE SATISFAZ O TEOREMA DE AMOSTRAGEM

610 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FFT

|

Espectro de x(n)

fo Simetria de fof1Simetria de f1

Análise de Espectro

• Projeto de Filtros Digitais. Por exemplo, passa-faixa centrado em 4000 Hz

65

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FFT

|

Espectro de x(n)

Espectro em Frequência

Filtro Passa-Faixa

Documents

Transformada Discreta de Fourier Prof. José Mauricio Neto [email protected] 1 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Engenharia Elétrica Centro