Transformada Z

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Transformada z

Carlos Alberto Ynoguti

September 14, 2007

Definicao

Definicao

Introducao

Definicao

Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia

Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes

Alguns pares detransformadas z

Transformadas zracionais

Regiao deconvergencia de umatransformada zracional

Transformada zinversa

Propriedades datransformada z

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Introducao

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






3 / 53

n DFT fornece uma representacao no domnio da frequenciapara sinais e sistemas discretos

n Por causa da condicao de convergencia, a DTFT de umasequencia pode nao existir, e desta forma nao podemos usaresta caracterizacao nestes casos

n A transformada z e uma generalizacao da DTFT, que podeexistir para muitas sequencias para as quais nao existe aDTFT.

n O uso das tecnicas da transformada z permite manipulacoesalgebricas simples

Definicao

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






4 / 53

Para uma dada sequencia g[n], sua transformada z, G(z), edefinida como

G(z) = Z{g[n]} =

n=

g[n]zn (1)

onde z = (z) + j(z) e uma variavel complexa.

Relacao entre a DTFT e a transformada z

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






5 / 53

G(z) = Z{g[n]} =

n=

g[n]zn

Se fizermos z = rej, entao temos:

G(rej) =

n=

g[n]rnejn (2)

que pode ser interpretada como a DTFT da sequenciamodificada {g[n]rn}.

n Para r = 1 (isto e, |z| = 1), a transformada z de g[n]reduz-se a` sua DTFT (desde que exista).

n O contorno |z| = 1 e um crculo no plano z de raio unitario,e e chamado de crculo unitario.

Regiao de convergencia

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






6 / 53

n Para uma dada sequencia, o conjunto de valores R de z paraos quais sua transformada z converge e chamada de regiaode convergencia (ROC: region of convergence).

n A serie da eq. (2) converge uniformemente se g[n]rn forabsolutamente somavel, isto e:

n=

|g[n]rn|

Observacoes

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






7 / 53

n A transformada z definida na equacao (1) e uma forma deuma serie de Laurent e e uma funcao analtica em todos ospontos da ROC.

n Isto implica que a transformada z e todas as suas derivadassao funcoes contnuas da variavel complexa z na ROC.

Exemplo 3.22

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






8 / 53

Seja x[n] = nu[n]. Determine sua transformada z e sua regiaode convergencia.

Solucao:

X(z) =

n=

nu[n]zn =

n=0

nzn

A serie acima converge para

X(z) =1

1 z1, |z1| < 1

indicando que a ROC e a regiao anular |z| > ||

Observacao

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






9 / 53

Podemos obter a transformada z de u[n] se fizermos = 1 noexemplo anterior. Neste caso:

U(z) =1

1 z1, |z1| < 1

A ROC de U(z) e entao a regiao anelar |z| > 1.

Note que u[n] nao e absolutamente somavel, e portanto naopossui transformada de Fourier. Entretanto, possui transformadaz.

Exemplo 3.23

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






10 / 53

Encontre a transformada z da sequencia anti-causalx[n] = nu[n 1]

Solucao:

X(z) =

1n=

nzn =

m=1

mzm

= 1zn=0

mzm =1z

1 1z=

1

1 z1, |1z| < 1

onde agora a ROC e a regiao anular |z| < ||

Observacoes

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






11 / 53

n Note dos exemplos anteriores que as transformadas z saoidenticas apesar das sequencias que as originaram seremmuito diferentes entre si. Desta forma, para associarmos umasequencia a` sua transformada z de forma unvoca, devemoslevar em conta tambem a sua regiao de convergencia.

n A transformada de Fourier G(ej) de uma sequencia g[n]converge uniformemente se e somente se a ROC datransformada z de g[n] incluir o crculo unitario.

n Por outro lado, a existencia da transformada de Fourier nemsempre implica a existencia da transformada z. Por exemplo,

hLP [n] =

{1, 0 || c

0, c < || pi

tem transformada de Fourier, mas nao tem transformada z.

Alguns pares de transformadas z

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes






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Sequencia transformada z ROC

[n] 1 z

u[n]1

1 z1|z| > 1

nu[n]1

1 z1|z| > ||

(rn cos0n)u[n]1 (r cos0)z

1

1 (2r cos0)z1 + r2z2|z| > r

(rn sen0n)u[n]1 (r sen0)z

1

1 (2r cos0)z1 + r2z2|z| > r

Transformadas z racionais

Definicao


Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo

Interpretacao fsica




13 / 53

Sistemas LTI

Definicao


Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo

Interpretacao fsica




14 / 53

A transformada z de sistemas discretos LTI sao funcoes racionaisde z1:

G(z) =P (z)

Q(z)=p0 + p1z

1 + + pM1z(M1) + pMz

M

d0 + d1z1 + + dN1z(N1) + dNzN

(5)onde o grau do polinomio no numerador P (z) e M , e o grau dopolinomio no denominador Q(z) e N .

Formas alternativas

Definicao


Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo

Interpretacao fsica




15 / 53

G(z) = z(NM)p0z

M + p1zM1 + + pM1z + pM

d0zN + d1zN1 + + dN1z + dN(6)

Esta equacao pode ser escrita de forma fatorada como:

G(z) =p0d0

Ml=1(1 lz

1)Ml=1(1 lz

1)= z(NM)

p0d0

Ml=1(z l)Ml=1(z l)

(7)

n Em z = l, G(l) = 0 z = l sao os zeros de G(z)

n Em z = l, G(l) z = l sao os polos de G(z)

Exemplo

Definicao


Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo

Interpretacao fsica




16 / 53

A transformada z de u[n] e dada por

U(z) =1

1 z1=

z

z 1, |z| > 1

que tem um zero em z = 0 e um polo em z = 1.

Re z

Im z

crculo unitariopolo em z = 1

zero em z = 0regiao de convergencia

Interpretacao fsica

Definicao


Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo

Interpretacao fsica




17 / 53

Seja G(z) =1 2.4z1 + 2.88z2

1 0.8z1 + 0.64z2

Vamos plotar o grafico de 20 log10 |G(z)| no plano complexo:Podemos ver grandes picos em z = 0.4 j0.6928 (polos) egrandes vales em z = 1.2 j1.2 (zeros).

Regiao de convergencia de uma

transformada z racional

Definicao


Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia

Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27

Exemplo 3.27(continuacao)

Exemplo 3.28

Resumindo



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Motivos para estudar a regiao de convergencia

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



19 / 53

n Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.

n Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocrculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no crculo unitario.

n Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.

Posicao da ROC

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



20 / 53

A ROC de uma transformada z racional e limitada pelalocalizacao dos polos. Para entender isto, vamos examinar aROC de u[n], calculada anteriormente:

Re z

Im z

crculo unitariopolo em z = 1

zero em z = 0regiao de convergencia

ROC (area sombreada): regiao do plano z fora do crculocentrado na origem, indo desde o polo em z = 1 ate |z| = .

Exemplo 3.24

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



21 / 53

Determine a ROC da transformada z de h[n] = (0.6)nu[n]

SolucaoDo Exemplo 3.22, temos que:

H(z) =1

1 + 0.6z1=

z

z + 0.6, |z| > 0.6

Re z

Im z

polo em z = 0.6

zero em z = 0

Exemplo 3.25

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



22 / 53

Seja g[n] uma sequencia finita , definida para M n N ,onde M e N sao inteiros nao negativos e |g[n]|

Exemplo 3.26

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



23 / 53

Uma sequencia de lado direito u1[n] com amostras nao nulassomente para n 0 e algumas vezes chamada de uma sequenciacausal. Sua transformada z e dada por:

U1(z) =

n=0

u1[n]zn (9)

Pode-se mostrar que U1(z) converge na regiao exterior ao crculo|z| = R1, incluindo o ponto z = .

Por outro lado, uma sequencia de lado direito u2[n], comamostras nao nulas somente para n M (M um inteiro naonegativo) tem transformada z, U2(z), com M polos em z = ,e portanto sua ROC e exterior ao crculo |z| = R2, excluindo oponto z = .

Exemplo 3.27

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



24 / 53

Uma sequencia de lado esquerdo v1[n] com amostras nao nulassomente para n 0 e geralmente chamada de uma sequenciaanti-causal. Sua transformada z e dada por:

V1(z) =0

n=

v1[n]zn (10)

e converge na regiao interior ao crculo |z| = R3, incluindo oponto z = 0.

Entretanto, uma sequencia de lado esquerdo v2[n], com amostrasnao nulas somente para n N (N um inteiro nao negativo) temtransformada z, V2(z), com N polos em z = 0. Como resultado,sua ROC e interior ao crculo |z| = R4, excluindo o ponto z = 0.

Exemplo 3.27 (continuacao)

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



25 / 53

A transformada z de uma sequencia bilateral w[n] pode serexpressa como:

W (z) =

n=

w[n]zn =n=0

w[n]zn +1

n=

w[n]zn (11)

n O primeiro termo e a transformada z de uma sequencia delado direito, que converge no exterior do crculo |z| = R5.

n O segundo termo e a transformada z de uma sequencia delado esquerdo, que converge no interior do crculo |z| = R6.

n Como resultado, se R5 < R6 a ROC e a regiaoR5 < |z| < R6. Porem, se R5 > R6, a transformada z destasequencia nao existe.

Exemplo 3.28

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



26 / 53

A sequencia bilateral definida por

x[n] = n

onde pode ser um numero real ou complexo, nao temtransformada z, independentemente do valor absoluto ||, pois

U(z) =n=0

nzn +1

n=

nzn (12)

O primeiro termo da Equacao (12) converge para |z| > ||,enquanto que o segundo termo converge para |z| < ||, eportanto nao ha sobreposicao das ROCs.

Resumindo

Definicao



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo



27 / 53

Seja uma transformada z racional com polos em z = e z = .As ROCs possveis sao:

ReReRe

ImImIm

000

a) sequencia de b) sequencia bilateral c) sequencia delado direito lado esquerdo

Transformada z inversa

Definicao




Expressao geral

Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais

Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos

Metodo 2: divisaolonga

Exemplo 3.35


28 / 53

Expressao geral

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


29 / 53

Para z = rej, G(z) e meramente a transformada de Fourier deg[n]rn. Assim, a transformada inversa de Fourier destasequencia e:

g[n]rn =1

2pi

pipi

G(rej)ejnd (13)

Fazendo z = rej, podemos reescrever a equacao acima como

g[n] =1

2pij

CG(z)zn1dz (14)

onde C e um contorno de integracao anti-horario definido por|z| = r.

Forma alternativa de calculo

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


30 / 53

A integral de contorno permanece inalterada quandosubstitumos C por qualquer contorno C que contenha aorigem. Assim, esta integral pode ser avaliada usando o teoremados resduos de Cauchy:

g[n] =

[resduos de G(z)zn1 nos polos dentro de C] (15)

Vamos ver a seguir dois metodos simples para calcular atransformada z inversa.

Metodo 1: expansao em fracoes parciais

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


31 / 53

n Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um crculo.

n Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.

n Seja G(z) racional expressa como:

G(z) =P (z)

D(z)(16)

onde P (z) e D(z) sao polinomios em z1.

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


32 / 53

Se o grau M do numerador P (z) e maior que o grau N dodenominador D(z) entao podemos dividir P (z) por D(z) ereescrever G(z) como

G(z) =MNl=0

lzl +

P1(z)

D(z)(17)

onde o grau do polinomio P1(z) e menor que o de D(z). Afuncao racional P1(z)/D(z) e chamada uma fracao propria.

Exemplo 3.31

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


33 / 53

Considere a transformada z racional

2 + 0.8z1 + 0.5z2 + 0.3z3

1 + 0.8z1 + 0.2z2

Desde que o grau do numerador e maior que o grau dodenominador, vamos dividir o numerador pelo denominador(usando divisao longa). Com isto, chegamos a:

3.5 + 1.5z1 +5.5 + 2.1z1

1 + 0.8z1 + 0.2z2

Polos simples

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


34 / 53

Suponha que G(z) tenha N polos simples e distintos, localizadosemz = k, 0 k N . Uma expansao em fracoes parciais deG(z) e entao da forma

G(z) =Nl=1

l1 lzl

(18)

onde as constantes l (resduos) sao dadas por

l = (1 lz1)G(z)

z=l

(19)

Cada termo de (19) mtem uma ROC definida por z > |l| e,portanto, uma inversa da forma l(l)

nu[n]. Assim, a inversa deG(z) e dada por

g[n] =Nl=1

l(l)nu[n] (20)

Observacao

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


35 / 53

Note que o procedimento acima, com pequenas modificacoes,pode ser usado para determinar a transformada z inversa de umasequencia nao causal com uma transformada z racional.

Exemplo 3.32

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


36 / 53

Seja a transformada z de uma sequencia h[n] causal dada por

H(z) =z(z + 2.0)

(z 0.2)(z + 0.6)=

1 + 2.0z1

(1 0.2z1)(1 + 0.6z1)(21)

Fazendo a expansao em fracoes parciais de H(z), temos:

H(z) =1

1 0.2z1+

21 + 0.6z1

(22)

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


37 / 53

Usando (19), chegamos a:

1 = (1 0.2z1)H(z)

z=0.2

=1 + 0.2z1

1 + 0.6z1

z=0.2

= 2.75

2 = (1 + 0.6z1)H(z)

z=0.6

=1 + 0.2z1

1 0.2z1

z=0.6

= 1.75

Substituindo 1 e 2 em (22):

H(z) =2.75

1 0.2z1

1.75

1 + 0.6z1

A transformada z inversa da expressao acima e dada entao por

h[n] = 2.75(0.2)nu[n] 1.75(0.6)nu[n]

Polos multiplos

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


38 / 53

Suponha que G(z) tem um polo em z = v de multiplicidade L, eos N L polos restantes sejam simples e em z = l,1 l N L. A expansao de G(z) tem entao a forma:

G(z) =NLl=0

lzl +

NLl=1

l1 lz1

+Li=1

i(1 vz1)i

(23)

onde as constantes i sao calculadas a partir de:

i =1

(L i)!(v)LidLi

d(z1)Li[(1 vz1)LG(z)

]z=v

, 1 i L

(24)e os resduos l sao calculados usando (19) como anteriormente.

Metodo 2: divisao longa

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


39 / 53

n Para sequencias causais, G(z) pode ser expandida em umaserie de potencias de z1.

n Na expansao, o coeficiente que multiplica zn e entao an-esima amostra de g[n].

n Para G(z) racional, uma forma conveniente de determinar aseerie de potencias e expressar o numerador e o denominadorem termos de polinomios em z1, e entao obter a expansaopor divisao longa.

Exemplo 3.35

Definicao




Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


40 / 53

Calcule a transformada z inversa de

H(z) =1 + 2.0z1

1 + 0.4z1 0.12z2

Fazendo a divisao longa do numerador pelo denominador, temos:

H(z) = 1.0 + 1.6z1 0.52z2 + 0.4z3 0.224z4 +

o que leva a

h[n] = {1.0, 1.6, 0.52, 0.4, 0.224, . . . }, n 0

Propriedades da transformada z

Definicao




Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis

Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41

Transformada z dacorrelacao cruzada

Energia de umasequencia

Observacoes

41 / 53

Algumas propriedades uteis

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

42 / 53

Propriedade Sequencia transformada z ROC

g[n] G(z) Rgh[n] H(z) Rh

conjugacao g[n] G(z) Rgrev. temporal g[n] G(1/z) 1/Rglinearidade g[n] + h[n] G(z) + H(z) inclui Rg Rh

desloc. tempo g[n n0] zn0G(z) Rg, exceto talvez

z = 0 ou z = mult. exp. ng[n] G(z/) ||Rgdif. G(z) ng[n] z dG(z)

dzRg, exceto talvezz = 0 ou z =

convolucao g[n] h[n] G(z)H(z) inclui Rg Rhmodulacao g[n]h[n] 1

2pij

HCG(v)H( z

v)v1dv inclui RgRh

Relacao de Parseval

Xn=

g[n]h[n] =1

2pij

IC

G(v)H(1/v)v1dv

Nota

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

43 / 53

n Rg denota a regiao Rg < |z| < Rg+

n Rh denota a regiao Rh < |z| < Rh+

n 1/Rg denota a regiao 1/Rg+ < |z| < 1/Rg

n RgRh denota a regiao RgRh < |z| < Rg+Rh+

Exemplo 3.38

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

44 / 53

Ache a transformada z e a ROC de v[n] = nu[n] nu[n 1]

Exemplo 3.38

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

44 / 53

Ache a transformada z e a ROC de v[n] = nu[n] nu[n 1]

Solucao:

Denotando x1[n] = nu[n] e x2[n] =

nu[n 1]

X1(z) =1

1 z1, |z| > ||

X2(z) =1

1 z1, |z| < ||

Usando a propriedade de linearidade, chegamos a

V (z) = X1(z) +X2(z) =1

1 z1+

1

1 z1

ROC: se || > || entao a ROC sera a regiao anular|| < z < ||. Caso contrario, a transformada z nao existe.

Exemplo 3.39

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

45 / 53

Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(0n)u[n].

Exemplo 3.39

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

45 / 53

Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(0n)u[n].

Solucao:

Expressando x[n] como a soma de duas sequencias exponenciais,temos:

x[n] =1

2rnej0nu[n] +

1

2rnej0nu[n]

Podemos reescrever a expressao acima como x[n] = v[n] + v[n],onde

v[n] =1

2nu[n]

com = rej0 . A transformada z de v[n] e dada por

V (z) =1

2

1

1 z1=

1

2

1

1 rej0z1, |z| > || = r

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

46 / 53

e a transformada z de v[n] e V (z):

V (z) =1

2

1

1 z1=

1

2

1

1 rej0z1, |z| > || = r

Usando a propriedade de linearidade da transformada z, obtemos:

X(z) = V (z) + V (z) =1

2

(1

1 rej0z1+

1

1 rej0z1

)

=1 r cos(0)z

1

1 2r cos(0)z1 + r2z2, |z| > r

Exemplo 3.40

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

47 / 53

Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n+ 1)nu[n].

Exemplo 3.40

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

47 / 53

Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n+ 1)nu[n].

Solucao:

Seja x[n] = nu[n]. Assim, podemos escrever

y[n] = nx[n] + x[n]

A transformada z de x[n] e dada por

X(z) =1

1 z1, |z| > ||

Usando a propriedade de diferenciacao, a transformada z denx[n] e:

zdX(z)

dz=

z1

(1 z1)2, |z| > ||

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

48 / 53

Finalmente, usando a propriedade de linearidade, obtemos:

Y (z) =1

1 z1+

z1

(1 z1)2=

1

(1 z1)2, |z| > ||

Exemplo 3.41

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

49 / 53

Determine a transformada z inversa de

G(z) =z3(

z 12) (z + 13

)2 , |z| > 12

Exemplo 3.41

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

49 / 53

Determine a transformada z inversa de

G(z) =z3(

z 12) (z + 13

)2 , |z| > 12Solucao:

Como a ROC e exterior ao crculo de raio 1/2, a transformadainversa e uma sequencia de lado direito.

Fazendo a expansao em fracoes parciais de G(z), temos:

G(z) =0.36

1 12z1

+0.24

1 + 13z1

+0.4(

1 + 13z1)2

Os dois primeiros termos tem transformada inversa dada por0.36(0.5)nu[n] e 0.24(1/3)nu[n], respectivamente.

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

50 / 53

Para determinar a inversa do terceiro termo, observamos que atransformada z de n(1/3)nu[n] e dada por

zd

dz

(1/

(1 +

1

3z1

))=

1

3z1/

(1 +

1

3z1

)2Desta forma, a inversa de 1/(1 + (1/3)z1)2 e dada por3(n 1)(1/3)n1u[n 1]. Finalmente, a inversa de G(z) edada por:

g[n] =

[0.24

(

1

3

)n+ 0.36

(1

2

)n]u[n]+

0.36(n 1)

(

1

3

)nu[n 1]

Transformada z da correlacao cruzada

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

51 / 53

Sejam duas sequencias g[n] e h[n], com transformadas z dadaspor G(z) e H(z), respectivamente.Suponha ainda que a ROC de G(z) e Rg e a ROC de H(z) e Rh.Podemos escrever a correlacao cruzada entre g[n] e h[n] como:

rgh[l] = g[n] h[l]

Usando a proriedade de reversao temporal, notamos que atransformada z de h[l] e H(z1). Usando o teorema daconvolucao, temos:

Z{rgh[l]} = G(z)H(z1)

com a ROC dada por pelo menos por Rg Rh.

Energia de uma sequencia

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

52 / 53

Podemos usar a relacao de Parseval para calcular a energia deuma sequencia. Fazendo g[n] = h[n] na expressao da Tabela depropriedades, chegamos a:

n=

g2[n] =1

2pij

C

G(z)G(z1)z1dz

onde C e um contorno fechado na ROC de G(z)G(z1).

Observacoes

Definicao





Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

53 / 53

n Se a ROC de G(z) inclui o crculo unitario, entao a ROC deG(z1) tambem ira incluir o crculo unitario.

n Se uma sequencia e absolutamente somavel, ela temtransformada de Fourier, e portanto a ROC de suatransformada z inclui o crculo unitario. Neste caso,podemos fazer z = ej, o que faz com que possamossubstituir a integral circular pela expressao da transformadainversa de Fourier:

n=

|g[n]|2 =1

2pi

pipi

|G(ej)|2d

DefinioIntroduoDefinioRelao entre a DTFT e a transformada zRegio de convergnciaObservaesExemplo 3.22ObservaoExemplo 3.23ObservaesAlguns pares de transformadas z

Transformadas z racionaisSistemas LTIFormas alternativasExemploInterpretao fsica

Regio de convergncia de uma transformada z racionalMotivos para estudar a regio de convergnciaPosio da ROCExemplo 3.24Exemplo 3.25Exemplo 3.26Exemplo 3.27Exemplo 3.27 (continuao)Exemplo 3.28Resumindo

Transformada z inversaExpresso geralForma alternativa de clculoMtodo 1: expanso em fraes parciais Exemplo 3.31Plos simplesObservaoExemplo 3.32 Plos mltiplosMtodo 2: diviso longaExemplo 3.35

Propriedades da transformada zAlgumas propriedades teisNotaExemplo 3.38Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 Transformada z da correlao cruzadaEnergia de uma sequnciaObservaes

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Transformada Z