TRANSFORMADAS DE FOURIER - uel.br .TRANSFORMADAS DE FOURIER Material para complementar 2001 Organizado

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  • TRANSFORMADAS DE FOURIERMaterial para complementar 2001

    Organizado no dia 6 de Maio de 2003

    Curso de Ciencias da Computacao

    Prof. Ulysses Sodre

  • ii

    Copyright c2002 Ulysses Sodre. Todos os direitos reservados.email: email: Esta compilacao foi realizada no dia 6 de Maio de 2003.

    Este material pode ser usado por docentes e alunos desde que citada a fonte, mas nao pode servendido e nem mesmo utilizado por qualquer pessoa ou entidade para auferir lucros.

    Para conhecer centenas de aplicacoes da Matematica, visite a Home Page:

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    Ora, a fe e o firme fundamento das coisas que se esperam e aprova das coisas que nao se veem. Porque por ela os antigosalcancaram bom testemunho. Pela fe entendemos que os mun-dos foram criados pela palavra de Deus; de modo que o visvelnao foi feito daquilo que se ve. HEBREUS 11:1-3, Bblia Sagrada.

  • CONTEUDO iii

    Conteudo

    1 Sinais periodicos, simetrias e Series de Fourier 11.1 Perodos e frequencias de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Duracao de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Um sinal simples (senoide) no domnio do tempo . . . . . . . . . . . . 21.4 Exemplo com um sinal sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Tres tipos importantes de simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Serie de Fourier com coeficientes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Serie de Fourier com coeficientes complexos . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Condicoes para a existencia de uma serie de Fourier . . . . . . . . . . . 51.9 Simetria de meia-onda e coeficientes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Exemplo de sinal com simetria de meia-onda . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Simetria de meia-onda e coeficientes complexos . . . . . . . . . . . . . 71.12 Simetrias par e mpar e coeficientes complexos . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Espectros discretos de frequencia 92.1 Um sinal simples no domnio da frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Motivos para estudar espectros de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Representacoes de um sinal periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Espectros discretos de sinais periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Exemplo grafico em que o perodo e igual a duracao . . . . . . . . . . . 112.6 Exemplo em que a duracao e menor do que o perodo . . . . . . . . . . 132.7 Funcao sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 O ultimo exemplo a luz da funcao sinc(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Conceitos importantes da Analise Matematica 183.1 Funcoes integraveis (segundo Riemann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Funcoes absolutamente integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Exemplos de funcoes absolutamente integraveis . . . . . . . . . . . . . 183.4 O espaco de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Informacoes sobre o espaco de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Alguns teoremas importantes da Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.6.1 Integral por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6.2 Integral por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6.3 Teorema do valor medio para integrais . . . . . . . . . . . . . . 203.6.4 Derivada sob o sinal de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.6.5 Regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4 Transformada de Fourier 214.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Definicao de Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Transformada de Fourier e funcoes absolutamente integraveis . . . . . 224.4 Transformada de Fourier em funcao de f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Transformada de Fourier em funcao de x . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.6 Transformada de Fourier da funcao caracterstica . . . . . . . . . . . . . 234.7 Exemplo com uma funcao exponencial decrescente . . . . . . . . . . . 244.8 Exemplo com uma funcao exponencial crescente . . . . . . . . . . . . . 24

  • CONTEUDO iv

    5 Espectros contnuos da Transformada de Fourier 255.1 Espectros, Amplitude e Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    6 Propriedades da Transformada de Fourier 266.1 Translacao no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Translacao na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3 Homotetia (escala) na variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    7 Transformada Inversa de Fourier 29

    8 Transformadas direta e inversa de Fourier 308.1 Pares de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 Propriedades Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.4 Exemplo complexo com um par de transformadas . . . . . . . . . . . . 31

    8.4.1 Transformada direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.4.2 Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    9 Convolucao de Funcoes 349.1 Produto de transformadas e a convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.2 Definicao de convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.3 Propriedades da convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349.4 Alguns exerccios importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    10 A distribuicao delta de Dirac 3510.1 Elementos gerais sobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.2 Funcao degrau unitario e funcao caracterstica . . . . . . . . . . . . . . 3610.3 A distribuicao como limite de funcoes reais . . . . . . . . . . . . . . . 3610.4 Mais rigor matematico com a distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.5 Propriedades da distribuicao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.6 Propriedade grafica de com a convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    11 Transformada de Fourier da convolucao 3911.1 Transformada de Fourier da distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    12 Transformadas de Fourier de Derivadas 4012.1 Transformadas de derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    13 Solucao da Equacao do Calor 4113.1 Observacao sobre este material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

  • Secao 1 Sinais periodicos, simetrias e Series de Fourier 1

    1 Sinais periodicos, simetrias e Series de Fourier

    1.1 Perodos e frequencias de sinais

    Um sinal (ou funcao) s = s(t) e dito periodico, se existe um menornumero real positivo T , denominado perodo fundamental para este si-nal, tal que para todo t R:

    s(t) = s(t + T )

    O perodo T de um sinal caracteriza o numero de T radianos necessariospara que o sinal s = s(t) volte a ter a mesma forma inicial.Para um sinal T -periodico, a medida do inverso de T :

    f0 =1

    T[Hertz]

    e denominada a frequencia fundamental deste sinal. Este numero,mede o numero de vezes que ocorre a repeticao deste sinal no perodoT .

    Figura 1: Grafico da senoide s(t) = 3 cos(2t /2)

    Para o sinal do grafico acima, temos que f0 = 1/. A frequencia funda-mental f0, medida em [rad/s], e a velocidade do sinal para dar 1 voltacompleta no perodo T . Como uma volta completa mede 2 radianos,definimos a frequencia angular deste sinal como:

    =2

    T= 2f0

  • 1.2 Duracao de um sinal 2

    Para o sinal s(t) = 3 cos(2t /2), temos que = 2, o que significa ques = s(t) se repete 2 vezes enquanto o parametro t percorre um intervalode comprimento 2, por exemplo, o intervalo [0, 2].Na literatura, e bastante comum encontrarmos a frequencia angular indicada simplesmente como a frequencia.

    1.2 Duracao de um sinal

    Se um sinal s = s(t) e T -periodico, definimos a duracao d deste sinalcomo o tempo que o sinal nao se anulou dentro do perodo T .

    1.3 Um sinal simples (senoide) no domnio do tempo

    Um sinal simples pode ser representado graficamente por uma funcaosinusoidal (senoide ou cossenoide) e pode ser escrito na forma geral

    s(t) = A0 + C1 cos(t + )

    Os quatro parametros que caracterizam este sinal, sao:

    1. A0 e a altura media do sinal em relacao ao eixo das abscissas.

    2. C1 e a amplitude do sinal que e a altura da oscilacao.

    3. e a frequencia angular [rad/s] que indica a medida de umavolta completa no perodo T do sinal.

    4. e o angulo de fase ou o deslocamento da fase, que mede o quantoa curva esta deslocada horizontalmente para a direita.

    Da trigonometria elementar, temos que:

    cos(t + ) = cos(t) cos() sin(t) sin()logo

    s(t) = A0 + C1[cos(t) cos() sin(t) sin()]Para reduzir a expressao acima, tomamos:

    A1 = C1 cos() e B1 = C1 sin()e com estes novos parametros, escrevemos

    s(t) = A0 + A1 cos(t) + B1 sin(t)

    Mostramos assim que, todo sinal sinusoidal pode ser expresso comouma combinacao linear de cos(.) e sin(.), deslocado de uma medidavertical A0. Se os valores de A1 e B1 sao dados, podemos obter C1 e oangulo de fase .

  • 1.4 Exemplo com um sinal sinusoidal 3

    1.4 Exemplo com um sinal sinusoidal

    Como uma senoide tem a forma geral s(t) = A0 + C1 cos(t + ) toma-remos o sinal

    s(t) = 3 cos(2t

    2

    )Neste caso, a amplitude e igual a 3, a frequencia angular e 2, o angulode fase e /2 e A0 = 0 o que indica que a translacao vertical destesinal