TRANSFORMADAS DE FOURIER

APavani Sinais & Sistemas – Transformadas de Fourier 1

TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAASS DDEE FFOOUURRIIEERR II.. SSiinnaaiiss PPeerriióóddiiccooss ee aass SSéérriieess ddee FFoouurriieerr O capítulo anterior mostrou como os sinais periódicos, tanto no tempo contínuo como no discreto, podem ser representados através de séries de exponenciais complexas. Foram determinadas as expressões das séries bem como as suas propriedades. No caso dos sinais a tempo contínuo, foram apresentadas as condições de convergência da Série de Fourier. As semelhanças e as diferenças entre as séries foram também apresentadas, tendo ficado claro que no caso a tempo contínuo a série possui um número infinito de termos, por existirem infinitos múltiplos da freqüência fundamental, e no caso a tempo discreto a série possui somente N termos, porque o número de freqüências é limitado. No caso discreto, sendo N o período do sinal, existem somente N freqüências distintas, visto que a cada 2π que são somados a freqüência se repete. Este capítulo é voltado à apresentação das Transformadas de Fourier. IIII.. SSiinnaaiiss AAppeerriióóddiiccooss ee aass TTrraannssffoorrmmaaddaass ddee FFoouurriieerr Quando sinais aperiódicos estão em consideração, as séries de Fourier não mais podem ser utilizadas para a representação dos mesmos. Para estes casos, desenvolveram-se as Transformadas de Fourier – tanto para sinais a tempo contínuo como para aqueles a tempo discreto. Quando sinais de duração finita no tempo discreto são considerados, mais uma possibilidade existe de representação – é a Transformada Discreta de Fourier, que será vista após as outras duas. Para compreender as Transformadas de Fourier, supõe-se a função em consideração como sendo a parte não nula de uma função periódica cujo período fosse infinito. Dois exemplos são apresentados a seguir, um referente ao tempo contínuo e o outro ao tempo discreto. Exemplos 01 φ Função pulso obtida a partir de uma onda quadrada no tempo contínuo Considere-se a onda quadrada no tempo contínuo dada por:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+<<+

+<<=

2T

2)(n t 2T

1)(n ; 0

2T

1)(n t 2T

n ; Af(t)

Esta onda tem período T e durante metadade dele vale A e na outra metade vale zero. Suponha-se que T/2 é igual a τ. Quando o período é T, a freqüência fundamental é dada por ω0 conforme a expressão a seguir.

T2

0π

=ω


A onda pode ser representada, sob forma gráfica, por: No caso da figura anterior, T é o dobro de τ, porque é a representação da onda quadrada original que será modificada a seguir. Suponha-se, agora, que o período T será aumentado, mas que τ será mantido. Ou seja, a onda continuará valendo A na primeira parte do período e zero na segunda. A freqüência fundamental continuará a ser calculada pela expressão anterior, mas o T será maior e, conseqüentemente, a freqüência fundamental menor. A nova representação gráfica é:

À medida que T crescer, com τ fixo, a onda vai se aproximando de um pulso de largura τ e altura A, que começa em t = 0. Quando T se tornar infinito, a função será representada de forma gráfica por:

Nesta situação, freqüência fundamental será nula e não mais será possível representar a função por uma Série de Fourier visto que o intervalo de freqüência é nulo. Recorre-se, então, à Transformada de Fourier, que trabalha não com série de exponenciais mas com uma integral de exponencial, na qual a freqüência é varrida como uma função contínua e não mais por múltiplos da freqüência fundamental. φ Função pulso obtida a partir de uma onda quadrada no tempo discreto Considere-se a onda quadra de período N0 = 4, na qual durante 2 amostras o sinal vale A e nas outras 2 vale zero. A onda é mostrada na figura a seguir e, para ela, a freqüência fundamental é dada por:

42

0π

=ω

A

τ T t

f(t)

… …

A

τ T t

f(t)

… …

A

τ t

f(t)

… …


Suponha-se que o período da onda será aumentado para N0 = 8, mas que somente as mesmas duas primeiras amostras serão iguais a A, as demais 6 serão nulas. Ela é mostrada no gráfico que segue e a nova freqüência fundamental é:

82

0π

=ω

Observe-se que a segunda freqüência fundamental é menor do que a primeira. Se as duas funções periódicas fossem representadas por Séries de Fourier, cada uma das séries teria as freqüências das exponeciais crescendo com intervalos de freqüências diferentes, sendo o segundo menor do que o primeiro. Se o período N0 continuasse crescendo, mantidas somente as duas amostras não nulas originais, no limite seria obtida a função pulso de largura 2 amostras e altura A, como apresentado na figura que segue. Quando esta última situação ocorresse, a freqüência fundamental estaria reduzida a zero e não seria mais possível representar a função através de uma série de exponenciais visto que o intervalo da freqüência seria zero. Como no caso a tempo contínuo, recorre-se à Transformada de Fourier, que utiliza uma integral de exponenciais onde a freqüência é varrida de forma contínua e não mais a soma de exponenciais em múltiplos da freqüência fundamental. Estes dois exemplos serviram para ilustrar as passagens de funções periódicas para aperiódicas e o que acontece com as freqüências fundamentais, que seriam as bases para o cálculo das múltiplas para a expansão em série. Observe-se que, ainda que haja diferença na natureza dos sinais (tempos contínuo e discreto), o conceito aplicado foi o mesmo nos dois casos. Criou-se uma função aperiódica a partir de um período de uma função periódica.

A

k

f(k)

… …

A

k

f(k)

… …

A

k

f(k)

… …


φ Transformada de Fourier para sinais a tempo contínuo A Transformada de Fourier para sinais a tempo contínuo é utilizada para representar sinais aperiódicos. φ Transformada de Fourier para sinais a tempo discreto A Transformada de Fourier para sinais a tempo discreto é utilizada para representar sinais aperiódicos. Nos dois casos, tempos contínuo e discreto, a função aperiódica é vista como uma função periódica para a qual o período tende a infinito. IIIIII.. TTrraannssffoorrmmaaddaa ddee FFoouurriieerr ppaarraa SSiinnaaiiss nnoo TTeemmppoo CCoonnttíínnuuoo Considere-se um sinal f(t) definido como:

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

= T t ; 0

T t ; qualquer)t(f

a

a (1)

Esta é uma função aperiódica. Suponha-se que se quer construir, a partir dela, uma função fp(t), periódica de período T, que deve ser maior do que 2 Ta, naturalmente. Repete-se a função a cada T instantes de tempo, utilizando f(t) e preenchendo com 0, em cada período, o tempo que falta para completar o período. Para a nova função, fp(t), pode-se calcular a Série de Fourier visto ser ela periódica. A Série de Fourier foi determinada no capítulo anterior e é representada por:

∑=∑=∞

−∞=

π∞

−∞=

ω

k

t)0T/2(jkk

k

t0jkk e ape ap)t(fp (2.a)

dt e)t(fpT1

dt e)t(fpT1

ap Tt)0T/2(jk

Tt0jk

k ∫=∫= π−ω− (2.b)

Nas expressões (2a.&b) a letra p designa a função e os correpondentes coeficientes espectrais na função periódica criada. Considerando o período inteiro para cálculo o intervalo [-T/2, T/2], a expressão (2.b) pode ser reescrita como:

∫=∫=−

π−−

ω−2

T

2T

t)0T/2(jk2

T

2T

t0jkk dt e)t(fp

T1

dt e)t(fpT1

ap (3)

Mas f(t) é nula fora do intervalo [-Ta, Ta], logo, pode-se escrever:

∫=∫=−

π−−

ω−2

T

2T

t)0T/2(jk2

T

2T

t0jkk dt e)t(f

T1

dt e)t(fT1

ap (4)

A expressão (4) pode ser escrita porque a contribuição ao integrando só é não nula no intervalo [-Ta, Ta]. Ao substitutir-se fp(t) por f(t), não se está acrescentando área ao integrando. A expressão (4) pode ser modificada para:

ktj2

T

2T

tj2T

2T

t0jkk a Tdt e)t(fdt e)t(fdt e)t(f ap T =∫=∫=∫= ∞

∞−ω−

−ω−

−ω− (5)


Na expressão (5):

Os limites de integração foram trocados para -∞ e ∞ porque a função f(t) é nula para |t| > Ta.

ω entrou em lugar de k ω0. Defina-se:

ktj a Tdt e)t(f )j(F =∫=ω ∞

∞−ω− (6.a)

F(jω) é o envelope da função que contém os coeficientes da Série de Fourier, que são a sua amostragem nos valores k ω0. Assim, pode-se escrever:

)jk(FT1

)j(FT1

a 00kk ω=ω=ω=ω

(7)

Substitua-se (7) em (2.a) para se obter:

∑ ωωπ

=∑ ωπ

ω=∑ ω=∑ ω=

∞

−∞=

ω∞

−∞=

ω∞

−∞=

ω∞

−∞=

ω

k

t0jk00

k

t0jk0

0

k

t0jk0

k

t0jk0 e )F(jk

21

e )F(jk2

e )F(jkT1

e )F(jkT1

)t(fp

(8) Suponha-se que T ∞. Quando isto acontecer, fp(t) f(t) e ω0 0. Assim, o somatório em kω0 transforma-se em integral em dω. A expressão (8) pode, então, ser reescrita para representar f(t) quando T ∞:

∫ ωωπ

= ∞∞−

ω d e )j(F21

)t(f tj (9.a)

onde F(jω) é dado por (6.a). φ Expressões da Transformada de Fourier para sinais aperiódicos no tempo contínuo Com as expressões (6.a) e (9.a), define-se o par Transformada de Fourier da função aperiódica f(t). Expressões da Transformada de Fourier de um sinal aperiódico no tempo contínuo As expressões que seguem são chamadas de par da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier ou integral de Fourier ou equação de análise:

∫=ω ∞∞−

ω− dt e)t(f )j(F tj (6.a)

A Transformada Inversa ou equação de síntese:

∫ ωωπ

= ∞∞−

ω d e )j(F21

)t(f tj (9.a)

São utilizadas as seguintes representações para a Transformada e sua Inversa:

] f(t) [ )j(F F=ω (6.b)

] )F(j [ (t)f ω= -1F (9.b)


Observe-se que quando se estudam Transformadas de Laplace e Transformadas Z, elas também são caracterizadas por pares – as transformadas e as transformadas inversas. Como estão em consideração os sinais no tempo contínuo, faz-se um paralelo com a Transformada de Laplace, cujo par é:

dt e )t(f)s(F -st∫= ∞∞− (10.a)

∫π

= ∞+σ∞−σjj

st ds e )s(F2j1

)t(f (10.b)

As expressões (10.a&b) são, respectivamente, a Transformada de Laplace e a Transformada Inversa da função f(t). Nelas, a variável s é:

ω+σ= js (10.c) Se, nas expressões (10.a&b), em s a parte real for tornada nula, chega-se às expressões da Transformada de Fourier (6.a) e (9.a). A prova desta afirmativa é deixada como problema. Examinem-se as expressões da Transformada de Fourier do sinal aperiódico f(t) e considere-se o sinal fp(t), periódico e gerado a partir do sinal original. Os coeficientes da Série de Fourier de fp(t) podem ser obtidos amostrando de forma igualmente espaçada a Transformada de Fourier de f(t). φ Convergência da Transformada de Fourier para sinais aperiódicos no tempo contínuo Assim como nos casos da Transformada Z e da Série de Fourier, precisam ser determinadas as condições de convergência da Transformada de Fourier para sinais aperiódicos no tempo contínuo. O estabelecimento da Transformada de Fourier se deu para sinais aperiódicos de duração limitada, f(t); t ∈ [-Ta, Ta], e nula fora dele. Mas é possível estender a aplicabilidade da Transformada de Fourier a outros tipos de sinais aperiódicos, desde que atendidas as condições de convergência. Para estabelecer as condições de convergência, será usada a condição de a energia do erro (entre a função e sua representação a partir da Transformada de Fourier) ser nula. Observe-se que a energia do erro foi o mesmo critério usado para estabelecer a convergência da Série de Fourier dos sinais periódicos no tempo contínuo. Considere-se o par da Transformada de Fourier estabelecido anteriormente:

∫=ω ∞∞−

ω− dt e)t(f )j(F tj (6.a)

∫ ωωπ

= ∞∞−

ω d e )j(F21

)t(f tj (9.a)

Suponha-se, porém, que ao calcular a Transformada Inversa não se chegue a f(t), mas a uma outra função fa(t) que a aproxima:

∫ ωωπ

= ∞∞−

ω d e )j(F21

)t(fa tj (11)

Deseja-se estabelecer sob que condições fa(t) e f(t) são iguais.


Suponha-se, inicialmente, que f(t) tem energia finita; sob esta circunstância, f(t) é absolutamente integrável e (6.a) converge. A condição de energia finita, conforme apresentada no capítulo anterior, é:

∫ ∞<∞∞− dt )t(f 2 (12)

Defina-se o erro entre as funções fa(t) e f(t):

)t(f)t(fa)t( −=ε (13) Quando (12) for verificada, é possível demonstrar que:

∫ ∞<ε∞∞− dt )t( 2 (14)

E, sendo assim, fa(t) pode divergir de f(t) em alguns pontos, mas como no caso da Série de Fourier, não existe diferença de energia entre elas. Continuando o paralelo com a Série de Fourier, existe um conjunto alternativo de três condições suficientes para que uma função possua uma Transformada de Fourier. São elas:

A função f(t) é absolutamente integrável, traduzida pela expressão: ∫ ∞<∞

∞− dt )t(f (15)

Em qualquer intervalo finito de tempo o número de variações da função é limitado, ou

seja, o número de máximos e mínimos da função em um período é finito.

Em qualquer intervalo finito de tempo o número de descontinuidades é limitado e cada uma das desconitunidades é finita.

Observe-se que as condições são equivalentes às condições de Dirichlet, determinadas para a Série de Fourier. A seguir, as Transformadas de Fourier de algumas funções especiais serão apresentadas, utilizando a mesma metodologia de estudo das outras transformadas. φ Transformada de Fourier da função impulso unitário no tempo contínuo Considere-se, inicialmente, a função impulso unitário no tempo contínuo, aplicada na origem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=δ

=∞≠

=δ

∫∞+

∞-1dt (t)

0t ; 0t ; 0

(t) (16)

Aplique-se a expressão da Transformada de Fourier quando a função for o impulso (16):

1dt e )t( ] (t) [ )j( tj =∫ δ=δ=ωΔ ∞∞−

ω−F (17)

Caso se fosse desenhar os diagramas de módulo e fase de Δ(jω), o diagrama de módulo seria igual a 1 para todo o espectro, denotando que todas as freqüências contribuem com igual peso para a composição do sinal.


Considere-se o impulso deslocado de τ unidades de tempo e aplique-se a Transformada de Fourier:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=τδ

τ=∞τ≠

=τδ

∫∞+

∞-1dt )-(t

t ; t ; 0

)-(t (18)

ωτ−∞

∞−ω− =∫ τ−δ=τδ=ωΔ jtj e 1dt e )t( ] )-(t [ )j(d F (19)

Observe-se que nenhum dos resultados encontrados é uma surpresa visto que resultados análogos foram encontrados para as Transformadas de Laplace e Z. φ Transformada de Fourier da função pulso unitário no tempo contínuo A Transformada de Fourier do degrau não é computada, diretamente, porque ela não é absolutamente integrável, violando pois uma das condições. Em seu lugar, determina-se a Transformada de Fourier do pulso unitário, que pode ser visto como a diferença entre duas funções degrau unitário. Uma alternativa existe para o cálculo da Transformada de Fourier do degrau unitário, caso seja permitido expressar Transformadas de Fourier com impulsos na freqüência. Esta alternativa será mostrada mais adiante. Defina-se o pulso unitário:

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

=a

a

T t ; 0 T t ; 1

)t(p (20)

Aplica-se a Transformada à expressão (20) para se obter:

∫ ∫ωω

====ω ∞∞−

ωω aTaT-

atj-tj- Tsen 2dt edt e )t(p] p(t) [ )P(j F (21)

A última parte da expressão (21) é designada função amostra (sampling function) ou função sinc (sinc function). Definição 1: Função amostra (sampling function) ou função sinc (sinc function) A função amostra é a Transformada de Fourier da função pulso unitário de largura 2 Ta, centrada na origem, e é dada por:

∫ ∫ωω

====ω ∞∞−

ωω aTaT-

atj-tj- Tsen 2dt edt e )t(p] p(t) [ )P(j F (21)

A função tem a forma do gráfico da figura 1, ainda que os valores não correspondam devido aos fatores de escala, visto que o gráfico foi traçado para a forma normalizada:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

==

0x ; x

x sen0x ; 1

f(x) (21.norm)


Figura 1 – Função amostra ou sinc – de http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html Calculem-se alguns pontos importantes dela:

ω = 0

a0

aa

0

a

T21

T cos T2

d)d(

d

)T d(sen

2P(j0) =ω

=

ωωωω

==ω

=ω

(21.a)

Assim, este é o valor de seu maior máximo, o que ocorre na freqüência ω = 0.

ω tal que a função passa pelo primeiro ponto nulo

0T sen a =ω (21.b) Como ω = 0 é um ponto de máximo, deve-se procurar o ponto em que o arco vale ± π.

aa T

Tπ

±=ω∴π±=ω (21.c)

Como o gráfico da função amostra é simétrico, esta é a razão pela qual aparece ±.

Outros pontos especiais Os outros pontos especiais são máximos e mínimos (que acontecem em múltiplos ímpares de π/2) e pontos nulos (que acontecem em múltiplos de π). φ Transformada de Fourier da função exponencial aplicada na origem Considere-se a função exponencial:

⎪⎩

⎪⎨⎧

<>>=

0 t ; 00 a 0, t ; ef(t)

at- (22)

Esta função vale 1 em t = 0 e 0 em t = ∞. A função é representada na figura 2.


Figura 2 – Função exponencial Aplica-se a Transformada de Fourier à expressão (22) para se obter:

0 a ; ja

1)ja(

edt edt e edt e )t(f] f(t) [ )F(j

0

t)j(a-

0t)j(a-

0tj--attj- >

ω+=

ω+−=∫ ∫=∫===ω

∞ω+∞∞−

∞ ω+∞ ωωF

(23) Esta é a primeira função complexa que foi determinada – nos casos do impulso unitário na origem e do pulso, as respectivas transformadas eram reais. Examine-se a transformada através de seu módulo e de sua fase.

Módulo

22 )()a(

1ja

1)j(F

ω+=

ω+=ω (24)

Como o módulo é uma função par, a análise feita para ω > 0 será válida para ω < 0. Quando ω for próximo de 0, o módulo valerá 1/a e este será seu maior valor. À medida que ω crescer, o módulo diminuirá até chegar próximo de 0, quando ω tender a ∞. Derivando-se o módulo com respeito a ω e igualando a 0, determina-se a expressão:

0

)()a(

)()a(

2 21

d

)j(Fd3

223

22

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω+

ω−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω+

ω−=

ω

ω (25.a)

Assim, o módulo passa por seu máximo, como afirmado anteriormente, no ponto de ω = 0. No ponto de máximo, o o valor do módulo é:

a1

a1

)j(F ==ω (25.b)

Um ponto interessante de ser observado é ω = a.

a22

2a

1

)a()a(

1jaa

1)ja(F

22==

+=

+= (26)

1

t

f(t)


Assim, verifica-se que no ponto ω = a o módulo vale 70.7% de seu valor máximo. A expressão (26) vale tanto para ω positivo quanto negativo, visto que o módulo é uma função par.

Fase

aarctg )j(F

ω−=ωΦ (27)

Volte-se à expressão (23) para a análise da fase. A fase é uma função ímpar, logo a análise deve ser feita para ω > 0 e ω < 0. Seja ω > 0, quando ω for próximo de 0, a fase será 0o, visto que a parte imaginária será desprezível frente o valor de a. Aliás, por ser uma função ímpar, tem que ser nula em 0. À medida que ω crescer, a parte imaginária crescerá enquanto a real é constante, quando ω tender a ∞ a fase tenderá a -90o. Seja ω < 0, a análise para ω próxima de 0 é a mesma, mas assim que ω se tornar não nulo, o sinal de ω será negativo, invertendo o sinal da tangente, e a fase será positiva. Quando o valor de ω tender a ∞ a fase tenderá a 90o. Examinando o ponto ω = a, como foi feito no caso do módulo:

o45 1 arctg aa

arctg )j(F −=−=−=ωΦ (28)

Quando ω for negativo, a expressão se torna:

o45 1- arctg a-a

arctg )j(F =−=−=ωΦ (29)

φ Transformada de Fourier da função exponencial simétrica ao eixo vertical Considere-se a função exponencial:

0a ; ef(t)ta-

>= (30) Esta é simétrica ao eixo vertical e vale 1 para t = 0 e tenderá a 0 para | t | ∞. Ela é representada na figura 3.

Figura 3 – Função exponencial simétrica ao eixo vertical Aplica-se a Transformada de Fourier à expressão (30) para se obter:

∫ ∫ ∫+∫====ω ∞∞−

∞∞−

∞ ω∞

ωωω0

tj--at0-

tj-attj-t-atj- dt e edt e edt e edt e )t(f] f(t) [ )F(j F (31)

1

t

f(t)


22

j

0

t)ja(00

0

)tj-(at)ja(t)ja(

a

a2)ja(

1ja

1)ja(

e)j-(a

edt edt e)j(F

ω+=

ω+−+

ω−=

ω++∫ ∫

ω=+=ω

∞ω+−

∞−∞−

∞ω

ω+−ω−

(32) Esta transformada é real e positiva, assim só é necessária a análise do módulo, visto que a fase é 0 para ω ∈ (-∞, ∞). O módulo terá seu máximo em ω = 0.

a2

a

a2)0j(F

2== (33)

Quando ω cresce em módulo, o denominador cresce enquanto o numerador permanece fixo. Assim, o módulo diminui com módulo de ω crescente. Quando ω tender a ∞, F(j∞) tenderá a 0. φ Transformada de Fourier da função exponencial imaginária Considere-se a função exponencial imaginária:

t0jef(t)

ω= (34)

Para determinar esta transformada, recorre-se a um artifício baseado na Transformada de Fourier Inversa. Suponha-se que é conhecida a Transformada de Fourier de uma função g(t) e que esta transformada é:

)()j(G 0ω−ωδ=ω (35) Para determinar a função g(t), utilize-se a expressão da Transformada Inversa:

t0jtj0

tj e21

d e )(21

d e )j(G21

)t(g ω∞∞−

ω∞∞−

ω

π=∫ ωω−ωδ

π=∫ ωω

π= (36)

Observe-se que:

)t(g 2)t(f π= (37) Assim, pode-se escrever:

)( 2)j(F 0ω−ωδπ=ω (38) Este resultado é importante visto que a função (34), exponencial imaginária, é uma função periódica de freqüência fundamental ω0. Assim, percebe-se que a Transformada de Fourier de uma função periódica de freqüência fundamental ω0 é um impulso de área 2π na respectiva freqüência. Sob forma gráfica, o espectro é mostrado na figura 4.


Figura 4 – Transformada de Fourier da exponencial imaginária de freqüência fundamental ω0 φ Transformada de Fourier da função exponencial imaginária em um intervalo limitado Considere-se a função exponencial imaginária no intervalo [-T, T]:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤≤−=

ω

T t ; 0 T t T ; ef(t)

t0j (39)

Aplica-se a Transformada de Fourier à expressão (39) para se obter:

T

T0

t)0j(-TT

t)0j(-TT

tj-t0jtj-

)(je

dt edt e edt e )t(f] f(t) [ )F(j−

ω−ω∞∞− −

ω−ω−

ωωω

ω−ω−∫ ∫ =∫ ====ω F (40)

)(jee

)(jee

)(je

)F(j0

)T)(0j(T)0j(-

0

)T)(0j(-T)0j(-T

T0

t)0j(-

ω−ω−−

=ω−ω−

−=

ω−ω−=ω

ω−ωω−ω−ω−ωω−ω

−

ω−ω (41)

)(jT)-( sen jT)-( cos)T-( sen j)T-( cos

)(jee

)F(j0

0000

0

)T)(0j(T)0-j(

ω−ω−ωω−ωω−ωω−ωω

=ω−ω−

−=ω

ω−ωω−ω

(42)

)()T-( sen 2

)(jT)-( sen j)T-( sen j

)F(j0

0

0

00ω−ωωω

=ω−ω−

ωω−ωω−=ω (43)

Como nos casos das Transformadas de Laplace e Z, e no da Série de Fourier, as Transformadas de Fourier possuem propriedades. A seguir são apresentadas algumas delas; as provas das propriedades são deixadas como exercícios aos alunos. φ Linearidade Sejam dois pares Transformadas de Fourier: f1(t) ↔ F1(jω) (44.a) f2(t) ↔ F2(jω) (44.b) Defina-se:

constantes e ; )t(f )t(f )t(g 212211 ααα+α= (45) A Transformada de Fourier de g(t) é:

∞ (2π)

ω0 t

G(jω)


)j(F )j(F )j(G 2211 ωα+ωα=ω (46) φ Deslocamento no tempo Seja o par Transformada de Fourier: f(t) ↔ F(jω) (47) Defina-se:

)t(f)t(g τ−= (48) A Transformada de Fourier de g(t) é:

)F(j e)j(G j ω=ω ωτ− (49) φ Deslocamento na freqüência Seja o par Transformada de Fourier: f(t) ↔ F(jω) (47) Defina-se:

)jj(F)j(G 0ω−ω=ω (50) A função g(t) é:

(t)f e)t(g t0jω= (51) φ Derivação Seja o par Transformada de Fourier: f(t) ↔ F(jω) (47) Defina-se:

dt)t(df

)t(g = (52)

A Transformada de Fourier de g(t) é:

)F(j j)j(G ωω=ω (53) φ Integração Seja o par Transformada de Fourier: f(t) ↔ F(jω) (47) Defina-se:

∫ ∞− ττ= t d )(f)t(g (54)



)( F(0) )F(j j1

)j(G ωδπ+ωω

=ω (55)

φ Convolução Sejam dois pares Transformadas de Fourier: f1(t) ↔ F1(jω) (44.a) f2(t) ↔ F2(jω) (44.b) Defina-se:

τ∫ ττ−== ∞ d )(f )t(f )t(f *)t(f )t(g t- 2121 (56)


)j(F )j(F )j(G 21 ωω=ω (57) φ Conjugação Seja o par Transformada de Fourier: f(t) ↔ F(jω) (47) Defina-se:

)t(*f)t(g = (58) A Transformada de Fourier de g(t) é:

)(-jF )j(G * ω=ω (59) φ Conjugação simétrica Seja o par Transformada de Fourier da função real f(t): f(t) ↔ F(jω) (47) Neste caso verifica-se:

)(jF )j(F * ω=ω− (60) A propriedade da integração permite determinar a Transformada de Fourier de um degrau unitário (que será infinita em um ponto) a partir da Transformada de Fourier do impulso. Relembre-se que o impulso é a derivada do degrau, logo o degrau é a integral do impulso. φ Transformada de Fourier da função degrau unitário na origem Considere-se o impulso unitário, como definido anteriormente e aqui repetido por conveniência. O impulso unitário é dado por (16):


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=δ

=∞≠

=δ

∫∞+

∞-1dt (t)

0t ; 0t ; 0

(t) (16)

Cuja Transformada de Fourier é:

1dt e )t( ] (t) [ )j( tj =∫ δ=δ=ωΔ ∞∞−

ω−F (17)

Relembre-se a relação que existe entre o impulso unitário e o degrau unitário:

ττδ= ∫∞−

t

1- )d()t(u (61)

Aplicando a propriedade da integração:

)( j1

)( (0) )j(j1

)j(U 1 ωδπ+ω

=ωδΔπ+ωΔω

=ω− (62)

Assim, a transformada é impulsional. IIVV.. TTrraannssffoorrmmaaddaa ddee FFoouurriieerr ppaarraa SSiinnaaiiss nnoo TTeemmppoo DDiissccrreettoo Os passos a serem seguidos na determinação da Transformada de Fourier para sinais no tempo discreto são similares aos da seção III, quando foi tratado o caso do tempo contínuo. Suponha-se uma função f(k) de duração finita, logo aperiódica.

⎩⎨⎧ ≤≤

= intervalo do oraf ; 0Kk K- ; qualquer

)k(f ba (63)

Em (63), Ka e Kb são inteiros. Suponha-se, como ilustração que a função é representada de forma gráfica pela figura 5.

Figura 5 – Função aperiódica no tempo discreto Como no caso do tempo contínuo, uma função periódica é construída, utilizando f(k) e escolhendo um período maior do que (Ka+Kb+1), que é o número de amostras de f(k). Seja a função periódica de período K, fp(k), representada sob forma gráfica na figura 6.

k

f(k)

… …

-Ka Kb


Figura 6 – Função periódica construída a partir da aperiódica no tempo discreto Para a nova função, fp(k), pode-se calcular a Série de Fourier visto ser ela periódica. A Série de Fourier foi determinada no capítulo anterior e é representada por:

∑=>=<

π

Kn

k)K/2(jnn e ap)k(fp (64.a)

e)k(fpK1

apKk

k)K/2(jnn ∑=

>=<

π− (64.b)

Nas expressões (64a.&b), a letra p designa a função e os correpondentes coeficientes espectrais na função periódica criada. Um período inteiro (K amostras) da função periódica contém as (Ka+Kb+1) amostras de f(k), sendo as demais amostras zeros. Como (64.b) deve ser calculada sobre um período inteiro, o somatório pode ser substituído em função de f(k), devido aos zeros:

nk

k)K/2(jnbK

aKk

k)K/2(jnn a e)k(f

K1

e)k(fK1

ap =∑=∑=∞

−∞=

π−

−=

π− (65)

Defina-se a função:

( ) ∑=∞

−∞=

ω−ω

k

kjj e)k(f eF (66.a)

Ou, sob a forma compacta, pode-se escrever: ( ) ] f(k) [ eF j F=ω (66.b)

Comparando (65) e (66.a), percebe-se que o somatório em (65) é a amostragem de (66.a) nos pontos:

K2

n n 0π

=ω=ω (67.a)

πω

=2K

1 0 (67.b)

O expoente em (65) cresce com o contador n. A cada unidade de n o expoente aumenta ω0 unidades. A expressão (65) pode ser reescrita com a substituição de (66.a):

)e(FK1

a jn

ω= (68)

k

fp(k)

… …

K -K Kb -Ka


Esta expressão pode ser levada à série, no lugar de apn = an, e 1/K pode ser substituído por (67.b), dando origem a:

( ) ( ) ( )∑ ωπ

=∑π

ω=∑=

>=<

πω

>=<

πω

>=<

πω

Kk

k)K/2(jnj0

Kk

k)K/2(jnj0

Kk

k)K/2(jnj e eF 21

e eF2

e eFK1

)k(fp (69)

Esta função é periódica com período K amostras. Fazendo-se K aumentar até que K ∞, a freqüência ω0 0, o somatório em (69) transforma-se em integral e a função fp(k) passa a ser a f(k) original. A expressão é então:

( )∫ ωπ

= πωω

2kjj d e eF

21

)k(f (70.a)

Assim, determina-se o par Transformada de Fourier para sinais a periódicos no tempo discreto. Expressões da Transformada de Fourier de um sinal aperiódico no tempo discreto As expressões que seguem são chamadas de par da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier ou equação de análise:

( ) ∑=∞

−∞=

ω−ω

k

kjj e)k(f eF (66.a)


( )∫ ωπ

= πωω

2kjj d e eF

21

)k(f (70.a)

São utilizadas as seguintes representações para a Transformada e sua Inversa: ( ) ] f(k) [ eF j F=ω (66.b)

( )[ ] eF (k)f jω= -1F (70.b)

Observa-se que a expressão (66.a) representa uma função periódica de ω, sendo o período 2π. Esta é uma diferença frente ao caso contínuo, ou seja, no caso discreto a função se repete a cada 2π, logo, o módulo e a fase se repetem. Observe-se que quando se estudam Transformadas de Laplace, Transformadas Z e Transformadas de Fourier para sinais no tempo contínuo, elas também são caracterizadas por pares – as transformadas e as transformadas inversas. Como estão em consideração os sinais no tempo discreto, faz-se um paralelo com a Transformada de Z, cujo par é:

k-

kz )k(f)z(F ∑=

∞

−∞= (71.a)

dzz )z(F2j1

)k(f 1-k∫π

= (71.b)


As expressões (71.a&b) são, respectivamente, a Transformada de Z e a Transformada Z Inversa da função f(k). Nelas, a variável z é uma variável complexa, representada na sua forma polar por:

ω= je rz (71.c) Se, nas expressões (71.a&b), em z o raio for tornado unitário, chega-se às expressões da Transformada de Fourier (66.a) e (70.a). A prova desta afirmativa é deixada como problema. Examinem-se as expressões da Transformada de Fourier do sinal aperiódico f(k) e considere-se o sinal fp(k), periódico e gerado a partir do sinal original. Os coeficientes da Série de Fourier de fp(k) podem ser obtidos amostrando de forma igualmente espaçada a Transformada de Fourier de f(k). φ Convergência da Transformada de Fourier para sinais aperiódicos no tempo discreto Assim como nos casos da Transformada Z, da Série de Fourier e da Transformada de Fourier para sinais no tempo contínuo, precisam ser determinadas as condições de convergência da Transformada de Fourier para sinais aperiódicos no tempo discreto. O estabelecimento da Transformada de Fourier se deu para sinais a aperiódicos de duração limitada, f(k); k ∈ [-Ka, Kb], e nula fora dele. Mas é possível estender a aplicabilidade da Transformada de Fourier a outros tipos de sinais aperiódicos, desde que atendidas as condições de convergência. As condições de convergência são:

A função f(k) é absolutamente somável, traduzida pela expressão:

∞<∑∞

−∞= )k(f

k (72)

ou

A função f(k) tem energia finita, traduzida pela expressão:

∞<∑∞

−∞= )k(f

2

k (73)

A seguir, as Transformadas de Fourier de algumas funções especiais serão apresentadas, utilizando a mesma metodologia de estudo das outras transformadas. φ Transformada de Fourier da função impulso unitário no tempo discreto Considere-se, inicialmente, a função impulso unitário no tempo discreto, aplicada na origem:

⎩⎨⎧

=≠

=δ0k ; 10k ; 0

(k) (74)

Aplique-se a expressão da Transformada de Fourier quando a função for o impulso (74):

( ) 1e )k(e )k(f ] (k) [ ek

kj

k

kjj =∑ δ=∑=δ=Δ∞

−∞=

ω−∞

−∞=

ω−ω F (75)

Caso se fosse desenhar os diagramas de módulo e fase de Δ(ejω), o diagrama de módulo seria igual a 1 para todo o espectro, denotando que todas as freqüências contribuem com igual peso para a composição do sinal. O diagrama de fase seria nulo para todas as freqüências visto que a fase de um real positivo é nula.


Considere-se o impulso deslocado de ρ unidades de tempo e aplique-se a Transformada de Fourier:

⎩⎨⎧

ρ=ρ≠

=ρδk ; 1k ; 0

)-(k (76)

( ) ωρ∞

−∞=

ω−∞

−∞=

ω−ω =∑ ρ−δ=∑=ρδ=Δ j-

k

kj

k

kjj e 1e )k(e )k(f ] )-(k [ ed F (77)

Observe-se que nenhum dos resultados encontrados é uma surpresa visto que resultados análogos foram encontrados para as Transformadas de Laplace, Z e de Fourier para sinais no tempo contínuo. φ Transformada de Fourier da função pulso unitário no tempo discreto Considere-se a função pulso unitário no tempo discreto, centrada na origem (como no caso contínuo visto anteriormente) e de duração (2N+1) amostras:

⎩⎨⎧ ≤≤−

=intervalo do fora ; 0

N k N ; 1p(k) (78)

( ) Nj)1N(jj0jj)1N(jNjN

Nk

kjj ee...eee...eee 1 ] p(k) [ eP ω−−ω−ω−ω−ω−ωω

−=

ω−ω ++++++++=∑== F

( )N)( sen jN)( cos1)]-(N[ sen j1)]-(N[ cos...)( sen j)( cos

1)( sen j)( cos...1)]-(N[ sen j1)]-(N[ cosN)( sen jN)( cos eP j

ω−ω+ω−ω++ω−ω++ω+ω++ω+ω+ω+ω=ω

( ) 1)( cos 2...1)]-(N[ cos 2N)( cos 2 eP j +ω++ω+ω=ω (79)

A Transformada de Fourier da função pulso unitário centrado na origem é, como no caso do tempo contínuo, uma função real. φ Transformada de Fourier da função exponencial/geométrica aplicada na origem Considere-se a função exponencial:

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<≥=

0 k ; 01 a 0, k ; af(k)

k (80)

( )) sen( a j)] cos( a1[

1

ae1

1)ae(e a ] (k)f [ eF

j0k

kj

0k

kjkj

ω+ω−=

−=∑=∑==

ω−

∞

=

ω−∞

=

ω−ω F (81)

A expressão (81), claramente, mostra que a Transformada de Fourier é periódica. Esta é a primeira função complexa que foi determinada – nos casos do impulso unitário na origem e do pulso, as respectivas transformadas eram reais. A expressão (80) colocou como restrição que o módulo de a deve ser menor do que a unidade, mas não colcou restrições sobre seu sinal. Examine-se a transformada através de seu módulo e de sua fase.

Módulo


( )22

j

)] sen( a[)] cos( a1[

1) sen( a j)] cos( a1[

1 eF

ω+ω−=

ω+ω−=ω (82)

A expressão (82) deve ser analisada para os 2 casos possíveis – a positivo e a negativo.

a positivo ω = 0

( )a1

1

] a1[

1 eF

2

0j

−=

−= (83.a)

ω = π

( )a1

1

] a1[

1 eF

2

j

+=

+=π (83.b)

Observe-se que o valor do módulo em (83.a) é maior do que o de (83.b). Ressalte-se que |a|<1, assim o módulo é positivo (como tem que ser!!) e o denominador de (83.a) é menor devido à subtração. ω = 2π

( )a1

1

] a1[

1eF

2

2j

−=

−=π (83.c)

A expressão (83.c) permite visualizar a periodicidade.

a negativo ω = 0

( )a1

1

] a1[

1 eF

2

0j

+=

+= (84.a)

Observe-se que este valor corresponde, no caso de a positivo, ao da freqüência ω = π. ω = π

( )a1

1

] a1[

1 eF

2

j

−=

−=π (84.b)

Observe-se que este valor corresponde, no caso de a positivo, ao da freqüência ω = 0.

Fase

( ))] cos (a1[

) (sen aarctg eF j

ω−ω

−=Φ ω (85)


A fase é uma função ímpar, logo a análise deve ser feita para ω > 0 e ω < 0. Seja ω > 0, quando ω for próximo de 0, a fase será 0o, visto que a parte imaginária será desprezível frente o valor de a. Aliás, por ser uma função ímpar, tem que ser nula em 0. Como no caso do módulo, a função é periódica, o que é facilmente observável pelos seno e cosseno na expressão. Ainda, como no caso do módulo, a diferença de sinal de a vai fazer com que a fase seja diferente em cada uma das situações (a positivo e a negativo). φ Transformada de Fourier da função exponencial imaginária Considere-se a função exponencial imaginária:

k0jef(k)

ω= (86)

Esta função é periódica no tempo k. Quando foi estudada a exponencial imaginária no tempo contínuo (com freqüência ω0), determinou-se que sua transformada era um impulso em ω = ω0. Isto significava que somente aquela freqüência era necessária para representar o sinal, visto que era a freqüência do sinal. O mesmo ocorre com a caso discreto, mas agora, existe a periodicidade. A prova é deixada como exercício, a Transformada de Fourier da exponencial imaginária é:

( ) [ ] ∑ π−ωωδπ=∑==∞

∞=

ω∞

−∞=

ωω

r0

kj-

k

k0jj )r2-( 2e ef(k)eF F (87)

Como nos casos das Transformadas de Laplace, Z e de Fourier para sinais no tempo contínuo, e no da Série de Fourier, as Transformadas de Fourier para os sinais a tempo discreto possuem propriedades. A seguir são apresentadas algumas delas; as provas das propriedades são deixadas como exercícios aos alunos. φ Linearidade Sejam dois pares Transformadas de Fourier:

( ) eF)k(f j11

ω↔ (88.a)

( ) eF)k(f j22

ω↔ (88.b) Defina-se:

constantes e ; )k(f )k(f )k(g 212211 ααα+α= (89) A Transformada de Fourier de g(k) é: ( ) ( ) ( ) eF eF eG j

22j

11j ωωω α+α= (90)

φ Periodicidade Seja par Transformadas de Fourier:

( ) eF)k(f jω↔ (91) A Trasnformada de Fourier F(ejω) é sempre periódica de período 2π. ( ) ( ))2(jj eF eF π+ωω = (92)


φ Deslocamento no tempo Seja o par Transformada de Fourier:

( ) eF)k(f jω↔ (91) Defina-se:

)k(f)k(g ρ−= (93) A Transformada de Fourier de g(k) é: ( ) ( ) eF e eG jjj ωωρ−ω = (94)

φ Deslocamento na freqüência Seja o par Transformada de Fourier:


( ) ( ) ( )0(j0jjj eFeFeG ω−ωω−ωω == (95) A função g(k) é:

(k)f e)k(g k0jω= (96) φ Diferença Como estão em consideração os sinais no tempo discreto, não se pode tratar de operações de derivação e de integração, como no caso contínuo. Assim, devem ser usados os seus correspondentes no tempo discreto – a diferença e a acumulação. Seja o par Transformada de Fourier:


)1k(f)k(f)k(g −−= (97) A Transformada de Fourier de g(k) é: ( ) ( ) ( )ωω−ω −= jjj eF e1eG (98)

Observe-se que este resultado é análogo ao das Transformadas Z dos respectivos sinais, ou seja:

( ) )z(F z1)z(G 1−−= (99) φ Acumulação


Seja o par Transformada de Fourier:


∑=−∞=

k

r)r(f)k(g (100)

Observe-se que, a partir de a partir de (100), é possível escrever:

)1k(g)k(g)k(f −−= (101) A Transformada de Fourier de g(k) é:

( ) ( ) ( ) ∑ π−ωδπ+−

=∞

−∞=

ωωω−

ω

n

jjj

j )n2(eF eF e1

1eG (102)

A demonstração da expressão da Transformada de Fourier da acumulação não é direta. φ Convolução Sejam dois pares Transformadas de Fourier:

( ) eF)k(f j11

ω↔ (88.a)

( ) eF)k(f j22

ω↔ (88.b) Defina-se:

∑ ρρ−==−∞=ρ

k2121 )(f )k(f )k(f *)k(f )k(g (103)

A Transformada de Fourier de g(k) é: ( ) ( ) ( )ωωω = j

2j

1j eF eFeG (104)

φ Conjugação Seja o par Transformada de Fourier:


(k)*fg(k) = (105) A Transformada de Fourier de g(k) é: ( ) ( )ωω = -j*j eF eG (106)

φ Conjugação simétrica


Seja o par Transformada de Fourier da função real f(k):

( ) eF)k(f jω↔ (107) Neste caso verifica-se: ( ) ( )ωω− = j*j eF eF (108)

Como no caso dos sinais a tempo contínuo, em que a propriedade da integração permitia determinar a Transformada de Fourier de um degrau unitário (que será infinita em um ponto) a partir da Transformada de Fourier do impulso, o mesmo se dará no caso dos sinais a tempo discreto. No caso destes últimos, a propriedade a ser usada é a acumulação. Para que estes conceitos sejam compreendidos, é necessário que se relembrem relações apresentadas no capítulo 1 e aqui repetidas por conveniência. Elas dizem respeito às relações existentes entre as funções impulso e degrau unitários no tempo discreto. As funções degrau e impulso unitários, no tempo discreto, são relacionadas através das expressões:

∑ δ=∞=

k

-r1- (r)(k)u (cap1.20)

1)(ku(k)u(k) 11- −−=δ − (cap1.21)

A primeira (cap1.20) representa o degrau unitário como uma acumulação do impulso unitário e a segunda o impulso unitário como uma diferença de degraus. Observa-se que as funções pulso podem ser representadas como diferenças de degraus com deslocamentos superiores a uma unidade de tempo. φ Transformada de Fourier da função degrau unitário na origem Considere-se o impulso unitário no tempo discreto, aplicada na origem:

⎩⎨⎧

=≠

=δ0k ; 10k ; 0

(k) (74)

Cuja Transformada de Fourier é:

( ) 1e )k(e )k(f ] (k) [ ek

kj

k

kjj =∑ δ=∑=δ=Δ∞

−∞=

ω−∞

−∞=

ω−ω F (75)

Relembre-se a relação entre o impulso e o degrau dada por (cap1.20) e aplique-se a propriedade da acumulação. Obtém-se, então, a Transformada de Fourier do degrau unitário aplicado na origem.

( ) ∑ π+ωδπ+−

=∞

−∞=ω−ω−

−rj

j1 )r2(

e1

1eU (109)

Assim, a transformada, como no caso contínuo, é impulsional. Exemplo 02


φ Função composta por dois pulsos não unitários Considere-se a função representada sob forma analítica por:

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤

=intervalos dos fora ; 0

30 k 21 e 10 k 1 ; 15f(k)

Observe-se que esta funcão ser composta por dois pulsos de largura 10 amostras, separados por um conjunto de 10 amostras nulas. As amplitudes dos pulsos são 15. Serão dois segmentos cujas transformadas deverão ser somadas (linearidade da Transformada de Fourier). Além disto, a função não é simétrica com respeito à origem, como foi o caso do pulso unitário de largura 2N+1 calculado anteriormente. Para que se aproveite o resultado anterior, será necessário que se aplique a propriedade do deslocamento no tempo. Ainda, é importante observar que a altura dos pulsos é 15, logo a propriedade da linearidade deverá ser aplicada por duas razões – pela composição por dois segmentos de pulsos e também devido à amplitude. O resultado para um pulso unitário de lagura N e amplitude 1 foi calculado anteriormente e é dado por: ( ) 1)( cos 2...1)]-(N[ cos 2N)( cos 2 eP j +ω++ω+ω=ω

Quando a largura for 10 e a altura for 15, o resultado será: ( ) 15)( cos 30...) (9 cos 30) (10 cos 30 eP j +ω++ω+ω=ω

A expressão anterior será a base para determinar as transformadas dos dois segmentos. O primeiro será obtido dele através de um deslocamento de 11 unidades de tempo. Logo, sua transformada será:

( ) [ ] ωω +ω++ω+ω= -j11j1 e 15)( cos 30...) (9 cos 30) (10 cos 30 eP

O segundo será obtido dele através de um deslocamento de 21 unidades de tempo. Logo, sua transformada será:

( ) [ ] ωω +ω++ω+ω= -j21j2 e 15)( cos 30...) (9 cos 30) (10 cos 30 eP

Assim, a Transformada de Fourier da nova função será: ( ) [ ] ( )ωωω ++ω++ω+ω= -j21-j11j ee 15)( cos 30...) (9 cos 30) (10 cos 30 eP

VV.. TTrraannssffoorrmmaaddaa DDiissccrreettaa ddee FFoouurriieerr Como mencionado anteriormente, os sinais no tempo discreto de duração finita, além da representação por Transformada de Fourier, podem ser também representados pela Transformada Discreta de Fourier. A Trasnformada Discreta de Fourier é conhecida pela sigla DFT – Discrete Fourier Transform. A DFT se diferencia, fundamentalmente, da Transformada de Fourier dos sinais no tempo discreto por ser calculada em função de intervalos discretos da freqüência. Ressalte-se que, no caso da Transformada de Fourier dos sinais no tempo discreto, a freqüência ω ∈ R. Na DFT a


freqüência será calculada através de um contador (n ∈ Z) de intervalos de freqüência. Sob este aspecto, ela guarda similaridade com a Série de Fourier, ainda que esta se aplique a sinais periódicos. A DFT é muito usada em filtragem e em processamento digital de sinais devido à existência de métodos computacionais para o cálculo rápido da mesma, conhecidos pela sigla FFT – Fast Fourier Transform. Para a derivação da DFT, volta-se à Série de Fourier de sinais periódicos no tempo discreto, usando como artifício a criação de uma função periódica com período igual à duração da função (de duração finita) a qual se quer representar através da DFT. Observe-se que esta mesma técnica foi utilizada no caso da Transformada de Fourier de uma sinal no tempo discreto, quando, ao final, fazia-se o período tender a infinito. No caso presente, mostra-se, depois, que a representação em série corresponde à DFT do sinal que é igual ao período da função periódica. φ Passos para conceituar a DFT Para que se conceitue a DFT, serão utilizados alguns passos. Para simplificar a notação, definam-se os símbolos:

K2

jK eW

π−

= (110.a)

nkK2

jnkK eW

π−

= (110.b)

Passo 1 – Série de Fourier de um sinal periódico no tempo discreto Considere-se um sinal periódico no tempo discreto:

)rKk(fp)k(fp += (111) A função em (111) é uma seqüência periódica de período K ∈ Z e de período fundamental K0 ∈ Z. Como estudado no capítulo anterior, ela pode ser representada por uma Série de Fourier:

∑=>=<

π

0Kn

k0K

2jn

n e a)k(fp (112.a)

Expressão dos coeficientes, coeficientes de Fourier ou dos coeficientes espectrais de fp(k) é:

∑=>=<

π−

0Kk

k0K

2jn

0n e )k(fp

K1

a (112.b)

Como as funções exponenciais imaginárias discretas são periódicas de período 2π, o número de termos na série é finito e igual ao número de amostras que compõem o período fundamental, logo, K0. Para simplificar a notação, passe-se a representar o período fundamental por K e tomem-se os somatórios de um período no intervalo [0, K-1]; use-se, também, a expressão (110.b) e as fórmulas se transformam em:


∑=∑=−

=

−

=

π1K

0n

kn-Kn

1K

0n

kK2

jnn W ae a)k(fp (112.c)

∑=∑=−

=

−

=

π− 1K

0k

knK

1K

0k

kK2

jnn W)k(fp

K1

e )k(fpK1

a (112.d)

Com a finalidade de padronização à literatura sobre DFT, as seguintes modificações são aplicadas às expressões (112.c&d): an Fp(n) 1/K sai da expressão de an e vai para a expressão de fp(k) Assim, as expressões se tornam:

∑=∑=−

=

−

=

π1K

0n

kn-K

1K

0n

kK2

jnW p(n)F

K1

e p(n)FK1

)k(fp (112.e)

∑=∑=−

=

−

=

π− 1K

0k

knK

1K

0k

kK2

jnW )k(fpe )k(fp)n(pF (112.f)

Este é o par de definição da Série de Fourier da função periódica com a nova notação. Guarde-se, temporariamente, este resultado.

Passo 2 – Transformada de Fourier de um sinal aperiódico no tempo discreto Suponha-se, agora, a função aperiódica, no tempo discreto, igual a um período de fp(k). Designe-se esta função f(k) e calcule-se a sua Transformada de Fourier, como feito anteriormente neste capítulo. A única suposição é que esta transformada exista. A Transformada é:

( ) ∑=∞

−∞=

ω−ω

k

kjj e)k(f eF (66.a)

A Transformada Inversa é:

( )∫ ωπ

= πωω

2kjj d e eF

21

)k(f (70.a)

Passo 3 – Amostragem da Transformada de Fourier obtida no passo 2

Gere-se, a partir de (66.a), uma nova seqüência na freqüência discreta amostrando a expressão em pontos:

nK2π

=ω (113)

Na seção anterior, mostrou-se que a Transformada de Fourier de um sinal aperiódico no tempo discreto é periódica com período 2π. Assim, a nova seqüência na freqüência Fpa(n) será periódica de período 2π.


( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

π

π=ω

ω nK2

j

nK2

j eFeF)n(Fpa (114)

Ao fazer-se esta amostragem, foram obtidos K coeficentes, periódicos e de período 2π.

Passo 4 – Associem-se os coeficientes amostrados no passo 3 a uma Série de Fourier Suponha-se que, com os coeficentes amostrados (114), vai ser construída uma Série de Fourier:

∑=∑=−

=

−−

=

π1K

0n

knK

1K

0n

knK2

jW)n(Fpa

K1

e)n(FpaK1

)k(fpa (115)

Expresse-se a Transformada de Fourier de f(k), dada por (66.a), em função de um contador m. É somente uma mudança de notação.

( ) ∑=∞

−∞=

ω−ω

m

mjj e)m(f eF (116)

Amostre-se (116) e substitua-se em (115):

∑⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑=

−

=

−∞

−∞=

π1K

0n

knK

m

nmK2

j-We )m(f

K1

)k(fpa (117)

Trocando a ordem dos somatórios:

∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑=

∞

−∞=

−

=m

1K

0n

m)-n(k-KW

K1

)m(f)k(fpa (118)

Devido à ortogonalidade das funções, o somatório dentro dos colchetes é:

∑ +−δ=∑∞

−∞=

−

= r

1K

0n

m)-n(k-K )rKmk(W

K1

(119)

A passagem de (118) para (119) pode ser, facilmente, entendida se se observar que o somatório no colchete é nulo sempre que k ≠ m e será não nulo sempre que o expoente for um múltiplo inteiro de 2π. Logo:

nr 2n m)(k K2

π=−π

(119.a)

Kr mk =− (119.b)

Logo, haverá uma série infinita de valores (para todos os r inteiros) que satisfazem (119.b) e que dão origem à expressão (119). Substituido (119) em (118):

∑ ∑ +−δ∑ =∑ +−δ=∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞= r mm r)rKmk( )m(f)rKmk()m(f)k(fpa (120)


∑ +=∞

−∞=r)rKk(f)k(fpa (121)

A expressão anterior pode ser interpretada como a convolução da função de duração finita f(k) com o trem de impulsos:

∑ +δ=∞

−∞=r)rKk(*)k(f)k(fpa (122)

A expressão (122) mostra que fpa(k) é uma função periódica de período K, visto que os impulsos assim se repetem. Ao mesmo tempo, ela foi gerada a partir da amostragem do espectro (Transformada de Fourier) da função periódica f(k), em um número arbitrário de amostras, K, desejado para período da onda periódica a ser criada. A seguir é apresentado um exemplo. Exemplo 03 Suponha-se a função aperiódica apresentada no gráfico: Determine-se a sua Transformada de Fourier e amostre-se a mesma com K = 3. Ao determinar-se a função periódica cuja Série de Fourier é obtida com os coeficientes amostrados, a função é a do gráfico a seguir. Se a amostragem fosse com K = 4, a função seria: Se a amostragem fosse com K = 2, a função seria:

k

f(k)

A

… …

k

f(k)

A

… …

k

f(k)

A

… …


Ainda que as amostragens da Transformada de Fourier sejam as mesmas, a nova função não tem um período igual à f(k) original. Supondo que a amostragem da Transformada de Fourier de f(k) tenha, no mínimo, o número de amostras igual a K, então um período da fpa(k) reconstitui f(k), ou seja:

⎩⎨⎧ −<<

= contrário caso ; 01Kk 0 ; )k(fpa

)k(f (123)

Com esses passos dados, é possível passar ao conceito da Transformada Discreta de Fourier. φ A definição da DFT Seja uma função de duração finita f(k):

⎩⎨⎧ ≤≤


1-Kk0 ; qualquer)k(f (124)

Para alguns tipos de cálculo, quando K não for par, completa-se a seqüência com (M-N) zeros até que se atinja um M par. A esta seqüência, associe-se uma função periódica fp(k):

∑ +=∞

−∞=r)rKk(f)k(fp (125)

A função f(k) pode ser recuperada de fp(k) através da extração de um período. A Transformada Discreta de Fourier de f(k) é dada por:

∑=−

=

1K

0k

knKW )k(fp)n(Fp (126.a)

E a Transformada Inversa é:

∑=−

=

1K

0n

kn-KW )n(Fp

K1

)k(fp (126.b)

Os valores de F(n) são os da amostragem da Transformada de Fourier de f(k), nos pontos de freqüência dada por (113). As expressões (126.a&b) foram estabelecidas para as funções periódicas; para as correspondentes de duração finita, as expressões se transformam para:

k

f(k)

A

… …


⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤∑=−

=contrário caso ; 0

1-Kn 0 ; W )k(f)n(F1K

0k

knK (127.a)

⎪⎩

⎪⎨⎧

∑ ≤≤=−

=contrário caso ; 0

1-K k 0 ; W )n(FK1

)k(f1K

0n

kn-K (127.b)

Como a função original é de duração finita (é nula antes de k = 0 e depois de k = K-1) e o espectro será analisado só de 0 a 2π (implicando no intervalo n = 0 a n = K-1), simplificam-se as expressões para gerar o par de DFT: Expressões da Transformada Discreta de Fourier de um sinal de duração finita no tempo discreto As expressões que seguem são chamadas de par da Transformada Discreta de Fourier. A DFT ou equação de análise:

∑=−

=

1K

0k

knKW )k(f)n(F (127.a)


∑=−

=

1K

0n

kn-KW )n(F

K1

)k(f (127.b)

São utilizadas as seguintes representações para a Transformada e sua Inversa:

] f(k) [ )n(F DFT= (128.a)

[ ] )n(F FT (k)f -1D= (128.b) Observe-se que o espectro é analisado no intervalo (0, 2π), mas se fosse calculado para outros pontos fora deste intervalo, seria não nulo por refletir a periodicidade do espectro da Transformada de Fourier do sinal aperiódico, da qual é amostragem. No que diz respeito à f(k), fora no intervalo ela é nula. φ Transformada de Fourier da função impulso unitário no tempo discreto Considere-se a função impulso unitário no tempo discreto, aplicada na origem:

⎩⎨⎧

=≠

=δ0k ; 10k ; 0

(k) (74)

Para determinar uma DFT é necessário escolher o período da função periódica que tem a função em consideração como período. Escolha-se, inicialmente, K = 2.

1e (k)e (k)W (k)] (k) [ )n(1

0k

knj-1

0k

kn22

j-1

0k

kn2 =∑ δ=∑ δ=∑ δ=δ=Δ

=

π

=

π

=DFT


Observe-se que a DFT do impulso unitário será 1 qualquer que seja o valor de n ∈ [ 0, 1 ]. Escolha-se, agora, K = 3.

1e (k)e (k)W (k)] (k) [ )n(2

0k

kn32

j-2

0k

kn32

j-2

0k

kn3 =∑ δ=∑ δ=∑ δ=δ=Δ

=

π

=

π

=DFT

Observe-se que a DFT do impulso unitário será 1 qualquer que seja o valor de n ∈ [ 0, 2 ]. Este resultado é igual ao primeiro. Do ponto de vista do cálculo, isto ocorre porque somente em k = 0 o impulso é não nulo e sempre o mesmo termo do somatório é calculado; ele é sempre igual a 1. Do ponto de vista do conceito de DFT, isto ocorre porque a Transformada de Fourier do impulso unitário na origem é 1 para todo o espectro, logo, não faz diferença a maneira como ela é amostrada. Exemplos 04 φ Pulso unitário na origem Considere-se a função pulso unitário no tempo discreto, aplicada na origem e com duas amostras:

⎩⎨⎧ ∈


1] 0,[ k ; 1(k)p

Inicialmente, calcula-se a DFT com K = 2.

nj-1

0k

knj-1

0k

kn22

j-1

0k

kn2 e1e (k)pe (k)pW (k)p] p(k) [ )n(P π

=

π

=

π

=+=∑=∑=∑== DFT

Observe-se que, neste caso, a DFT é complexa e depedente do ponto de freqüência que será calculada. Determinem-se os pontos:

211)0(P =+=

011)1(P =−= Calcule-se, agora, a DFT com K = 3.

n32

j-2

0k

kn32

j-2

0k

kn32

j-2

0k

kn3 e1e (k)pe (k)pW (k)p] p(k) [ )n(P

π

=

π

=

π

=+=∑=∑=∑== DFT


211)0(P =+=

83.66 je 123

j21

23

j21

132

sen j32

cos1)1(P =+=+−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+= (fase em graus)

83.66 j-e 123

j21

23

j21

134

sen j34

cos1)2(P =−=−−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝


Calcule-se, agora, a DFT com K = 4.


n2

j-3

0k

kn2

j-3

0k

kn42

j-3

0k

kn4 e1e (k)pe (k)pW (k)p] p(k) [ )n(P

π

=

π

=

π

=+=∑=∑=∑== DFT


211)0(P =+=

45 je 1j1j012

sen j2

cos1)1(P =+=++=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝


( ) ( ) 011 sen j cos1)2(P =−=π+π+=

83.66 je 123

j21

23

j21

123

sen j23

cos1)3(P =+=+−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝


φ Segmento de rampa na origem Considere-se a função no tempo discreto, aplicada na origem apresentada a seguir:

⎩⎨⎧ ∈


2] 0,[ k ;k (k)f

Calcule-se a DFT com K = 3.

n32

j-n32

j-2

0k

kn32

j-2

0k

kn32

j-2

0k

kn3 e 2e0e (k)fe (k)pW (k)f] f(k) [ )n(F

ππ

=

π

=

π

=++=∑=∑=∑== DFT

Os pontos de freqüência são:

3 210 )0(F =++=

96.34 je 123

j21

23

j21

32

sen j32

cos0)1(F =+−=+−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+=

263.66 je 123

j21

23

j21

34

sen j34

cos0)2(F =−−=−−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+=

VVII.. EExxeerrccíícciiooss PPrrooppoossttooss Os exercícios propostos têm o objetivo de fixar os conceitos e exercitar a manipulação das expressões e relações entre as funções. 01. Prove as propriedades da Série de Fourier para sinais a tempo contínuo. 02. Prove a Relação de Parseval para sinais a tempo contínuo. 03. Prove as propriedades da Série de Fourier para sinais a tempo discreto.


04. Prove a Relação de Parseval para sinais a tempo discreto. 05. Prove que, se nas expressões da Transformada de Laplace (10.a&b), σ = 0, chega-se às

expressões da Transfomada de Fourier (6.a) e (9.a). 06. Demonstre as propriedades da Transformada de Fourier dos sinais no tempo contínuo. 07. Obtenha a Série de Fourier para sinais no tempo contínuo a partir da Transformada de

Fourier da exponencial imaginária. 08. Prove que, se nas expressões da Transformada Z (71.a&b), r = 1, chega-se às expressões

da Transfomada de Fourier (66.a) e (70.a). 09. Demonstre as propriedades da Transformada de Fourier dos sinais no tempo discreto. 10. No desenvolvimento da Transformada de Fourier dos sinais a tempo contínuo, uma das

funções para as quais se determinou a transformada foi o pulso unitário centrado na origem. Para ela, determinou-se que a Transformada de Fourier é uma função real – é a função amostragem ou sinc. Considere que a função a ser estudada é uma função pulso unitário, mas que não está centrada na origem, que ela tem a mesma largura da anterior, mas está à direita do zero, dada por:

⎩⎨⎧ <<


T2 t0 ; 1)t(p a

Determine a sua Transformada de Fourier fazendo todas as contas, como se as Propriedades não fossem conhecidas. Compare o resultado com a do pulso unitário, de mesma largura, centrado na origem. 11. No desenvolvimento da Transformada de Fourier dos sinais a tempo discreto, uma das

funções para as quais se determinou a transformada foi o pulso unitário centrado na origem. Para ela, determinou-se que a Transformada de Fourier é uma função real. Considere que a função a ser estudada é uma função pulso unitário, mas que não está centrada na origem, que ela tem a mesma largura da anterior, mas está à direita do zero, dada por:

⎩⎨⎧ ≤≤


N 2 k 0 ; 1p(k)

Determine a sua Transformada de Fourier fazendo todas as contas, como se as Propriedades não fossem conhecidas. Compare o resultado com a do pulso unitário, de mesma largura, centrado na origem. VVIIII.. AAggrraaddeecciimmeennttoo Agradeço ao Eduardo Costa, aluno da disciplina em 2005.2, pela excelente revisão que fez deste capítulo. Sem a contribuição dele, sem dúvida, estas notas seriam bem piores.


VVIIIIII.. RReeffeerrêênncciiaass φ Alan V Oppenheim & Ronald W Schafer

Discrete-time Signal Processing Prentice-Hall, USA, 1989 φ Alan V Oppenheim & Alan S Willsky, with S Hamid Nawab

Signals & Systems 2a edição, Prentice-Hall, USA, 1996 φ Nhan Levan

Systems & Signals 1a edição, Optimization Software, Inc, Publications Division, USA, 1983 φ Richard C Dorf & James A Svoboda

Introduction to Electric Circuits 5a edição, John Wiley, USA, 2001 φ Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/ Capturado em agosto de 2007 AAppêênnddiiccee 11 –– AAllgguummaass TTrraannssffoorrmmaaddaass ddee FFoouurriieerr ddee SSiinnaaiiss nnoo TTeemmppoo CCoonnttíínnuuoo A seguir são apresentadas Transformadas de Fourier de alguns dos sinais mais usuais no tempo contínuo. φ Impulso unitário na origem [ ] 1 )t( =δ F (A1.01)

φ Impulso unitário fora da origem

[ ] ωτ=τ−δ -je 1 )t( F (A1.02) φ Pulso unitário centrado na origem

[ ]ωω

= aTsen 2 )t(p F (A1.03)

φ Exponencial na origem

0 a ; ja

1 at-e >

ω+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡F (A1.04)

φ Exponencial imaginária

)-( 2 tj-

e 00 ωωδπ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ωF (A1.05)


φ Degrau unitário na origem

)( j1

)( (0) )j(j1

)j(U 1 ωδπ+ω

=ωδΔπ+ωΔω

=ω− (A1.06)

AAppêênnddiiccee 22 –– AAllgguummaass TTrraannssffoorrmmaaddaass ddee FFoouurriieerr ddee SSiinnaaiiss nnoo TTeemmppoo DDiissccrreettoo A seguir são apresentadas Transformadas de Fourier de alguns dos sinais mais usuais no tempo discreto. φ Impulso unitário na origem

1 ] (k) [ =δF (A2.01) φ Impulso unitário fora da origem

[ ] ωρ=ρ−δ -je 1 )k( F (A2.02) φ Pulso unitário centrado na origem ( ) 1)( cos 2...1)]-(N[ cos 2N)( cos 2 eP j +ω++ω+ω=ω (A2.03)

φ Exponencial/geométrica na origem

) sen( a j)] cos( a1[1

ae1

1 ] a [

jk

ω+ω−=

−=

ω−F (A2.04)

φ Exponencial imaginária

∑ π−ωωδπ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞

∞=

ω

r0

k0j)r2-( 2eF (A2.05)

φ Degrau unitário na origem

( ) ∑ π+ωδπ+−

=∞

−∞=ω−ω−

−rj

j1 )r2(

e1

1eU (A2.06)

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