TRANSFORMADAS DE FOURIER

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TRANSFORMADAS DE FOURIER

I.

Sinais Peridicos e as Sries de Fourier

O captulo anterior mostrou como os sinais peridicos, tanto no tempo contnuo como no discreto, podem ser representados atravs de sries de exponenciais complexas. Foram determinadas as expresses das sries bem como as suas propriedades. No caso dos sinais a tempo contnuo, foram apresentadas as condies de convergncia da Srie de Fourier. As semelhanas e as diferenas entre as sries foram tambm apresentadas, tendo ficado claro que no caso a tempo contnuo a srie possui um nmero infinito de termos, por existirem infinitos mltiplos da freqncia fundamental, e no caso a tempo discreto a srie possui somente N termos, porque o nmero de freqncias limitado. No caso discreto, sendo N o perodo do sinal, existem somente N freqncias distintas, visto que a cada 2 que so somados a freqncia se repete. Este captulo voltado apresentao das Transformadas de Fourier.

II.

Sinais Aperidicos e as Transformadas de Fourier

Quando sinais aperidicos esto em considerao, as sries de Fourier no mais podem ser utilizadas para a representao dos mesmos. Para estes casos, desenvolveram-se as Transformadas de Fourier tanto para sinais a tempo contnuo como para aqueles a tempo discreto. Quando sinais de durao finita no tempo discreto so considerados, mais uma possibilidade existe de representao a Transformada Discreta de Fourier, que ser vista aps as outras duas. Para compreender as Transformadas de Fourier, supe-se a funo em considerao como sendo a parte no nula de uma funo peridica cujo perodo fosse infinito. Dois exemplos so apresentados a seguir, um referente ao tempo contnuo e o outro ao tempo discreto. Exemplos 01 Funo pulso obtida a partir de uma onda quadrada no tempo contnuo

Considere-se a onda quadrada no tempo contnuo dada por:T T n < t < (n + 1) A ; 2 2 f(t) = T 0 ; (n + 1) < t < (n + 2) T 2 2

Esta onda tem perodo T e durante metadade dele vale A e na outra metade vale zero. Suponha-se que T/2 igual a . Quando o perodo T, a freqncia fundamental dada por 0 conforme a expresso a seguir.0 = 2 TAPavani Sinais & Sistemas Transformadas de Fourier

1

A onda pode ser representada, sob forma grfica, por:f(t)

A

T

t

No caso da figura anterior, T o dobro de , porque a representao da onda quadrada original que ser modificada a seguir. Suponha-se, agora, que o perodo T ser aumentado, mas que ser mantido. Ou seja, a onda continuar valendo A na primeira parte do perodo e zero na segunda. A freqncia fundamental continuar a ser calculada pela expresso anterior, mas o T ser maior e, conseqentemente, a freqncia fundamental menor. A nova representao grfica :f(t)

A

T

t

medida que T crescer, com fixo, a onda vai se aproximando de um pulso de largura e altura A, que comea em t = 0. Quando T se tornar infinito, a funo ser representada de forma grfica por:f(t)

A

t

Nesta situao, freqncia fundamental ser nula e no mais ser possvel representar a funo por uma Srie de Fourier visto que o intervalo de freqncia nulo. Recorre-se, ento, Transformada de Fourier, que trabalha no com srie de exponenciais mas com uma integral de exponencial, na qual a freqncia varrida como uma funo contnua e no mais por mltiplos da freqncia fundamental. Funo pulso obtida a partir de uma onda quadrada no tempo discreto

Considere-se a onda quadra de perodo N0 = 4, na qual durante 2 amostras o sinal vale A e nas outras 2 vale zero. A onda mostrada na figura a seguir e, para ela, a freqncia fundamental dada por:0 = 2 4APavani Sinais & Sistemas Transformadas de Fourier

2

f(k)

A

k

Suponha-se que o perodo da onda ser aumentado para N0 = 8, mas que somente as mesmas duas primeiras amostras sero iguais a A, as demais 6 sero nulas. Ela mostrada no grfico que segue e a nova freqncia fundamental :0 = 2 8f(k)

A

k

Observe-se que a segunda freqncia fundamental menor do que a primeira. Se as duas funes peridicas fossem representadas por Sries de Fourier, cada uma das sries teria as freqncias das exponeciais crescendo com intervalos de freqncias diferentes, sendo o segundo menor do que o primeiro. Se o perodo N0 continuasse crescendo, mantidas somente as duas amostras no nulas originais, no limite seria obtida a funo pulso de largura 2 amostras e altura A, como apresentado na figura que segue.

f(k)

A

k

Quando esta ltima situao ocorresse, a freqncia fundamental estaria reduzida a zero e no seria mais possvel representar a funo atravs de uma srie de exponenciais visto que o intervalo da freqncia seria zero. Como no caso a tempo contnuo, recorre-se Transformada de Fourier, que utiliza uma integral de exponenciais onde a freqncia varrida de forma contnua e no mais a soma de exponenciais em mltiplos da freqncia fundamental. Estes dois exemplos serviram para ilustrar as passagens de funes peridicas para aperidicas e o que acontece com as freqncias fundamentais, que seriam as bases para o clculo das mltiplas para a expanso em srie. Observe-se que, ainda que haja diferena na natureza dos sinais (tempos contnuo e discreto), o conceito aplicado foi o mesmo nos dois casos. Criou-se uma funo aperidica a partir de um perodo de uma funo peridica.

3

APavani Sinais & Sistemas Transformadas de Fourier

Transformada de Fourier para sinais a tempo contnuo

A Transformada de Fourier para sinais a tempo contnuo utilizada para representar sinais aperidicos. Transformada de Fourier para sinais a tempo discreto

A Transformada de Fourier para sinais a tempo discreto utilizada para representar sinais aperidicos. Nos dois casos, tempos contnuo e discreto, a funo aperidica vista como uma funo peridica para a qual o perodo tende a infinito.

III.

Transformada de Fourier para Sinais no Tempo Contnuo

Considere-se um sinal f(t) definido como: qualquer ; t < Ta f(t) = 0 ; t > Ta

(1)

Esta uma funo aperidica. Suponha-se que se quer construir, a partir dela, uma funo fp(t), peridica de perodo T, que deve ser maior do que 2 Ta, naturalmente. Repete-se a funo a cada T instantes de tempo, utilizando f(t) e preenchendo com 0, em cada perodo, o tempo que falta para completar o perodo. Para a nova funo, fp(t), pode-se calcular a Srie de Fourier visto ser ela peridica. A Srie de Fourier foi determinada no captulo anterior e representada por:fp(t) = apk e jk0t

k =

=

k =

apk e

jk(2 / T0 )t

(2.a)

apk =

1 1 jk0t jk(2 / T0 )t dt = dt fp(t)e fp(t)e T T T T

(2.b)

Nas expresses (2a.&b) a letra p designa a funo e os correpondentes coeficientes espectrais na funo peridica criada. Considerando o perodo inteiro para clculo o intervalo [-T/2, T/2], a expresso (2.b) pode ser reescrita como:apk = 1 T 1 T jk0t jk(2 / T0 )t dt = dt 2 fp(t)e 2 fp(t)e T T 2 T T 2

(3)

Mas f(t) nula fora do intervalo [-Ta, Ta], logo, pode-se escrever:apk = 1 T 1 T jk0t jk(2 / T0 )t 2 dt = dt T f(t)e 2 f(t)e T T T2 2

(4)

A expresso (4) pode ser escrita porque a contribuio ao integrando s no nula no intervalo [-Ta, Ta]. Ao substitutir-se fp(t) por f(t), no se est acrescentando rea ao integrando. A expresso (4) pode ser modificada para:2 T apk = T f(t)e 2 T jk0t 2 dt = T f(t)e jt dt = f(t)e jt dt = T ak 2 T

(5)

4

APavani Sinais & Sistemas Transformadas de Fourier

Na expresso (5): Os limites de integrao foram trocados para - e porque a funo f(t) nula para |t| > Ta. entrou em lugar de k 0. Defina-se: F( j) = f(t)e jt dt = T ak

(6.a)

F(j) o envelope da funo que contm os coeficientes da Srie de Fourier, que so a sua amostragem nos valores k 0. Assim, pode-se escrever:ak = 1 1 F( j) =k = F( jk0 ) 0 T T

(7)

Substitua-se (7) em (2.a) para se obter:fp(t) = 1 1 1 jk t jk t jk t jk t F(jk0 ) e 0 = F(jk0 ) e 0 = 0 F(jk0 ) e 0 = 0 F(jk0 ) e 0 T k = 2 k = 2 k = k = T (8)

. Quando isto acontecer, fp(t) f(t) e 0 0. Assim, o somatrio em Suponha-se que T k0 transforma-se em integral em d. A expresso (8) pode, ento, ser reescrita para : representar f(t) quando T f(t) = 1 jt d F( j) e 2 (9.a)

onde F(j) dado por (6.a). Expresses da Transformada de Fourier para sinais aperidicos no tempo contnuo

Com as expresses (6.a) e (9.a), define-se o par Transformada de Fourier da funo aperidica f(t).

Expresses da Transformada de Fourier de um sinal aperidico no tempo contnuo

As expresses que seguem so chamadas de par da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier ou integral de Fourier ou equao de anlise: F( j) = f(t)e jt dt

(6.a)

A Transformada Inversa ou equao de sntese:f(t) = 1 j t d F( j) e 2

(9.a)

So utilizadas as seguintes representaes para a Transformada e sua Inversa:F( j) = F [ f(t) ] f(t) = F -1 [ F(j) ]5

(6.b) (9.b)APavani Sinais & Sistemas Transformadas de Fourier

Observe-se que quando se estudam Transformadas de Laplace e Transformadas Z, elas tambm so caracterizadas por pares as transformadas e as transformadas inversas. Como esto em considerao os sinais no tempo contnuo, faz-se um paralelo com a Transformada de Laplace, cujo par : F(s) = f(t) e-st dt

(10.a) (10.b)

f(t) =

1 + j F(s) est ds j2 j

As expresses (10.a&b) so, respectivamente, a Transformada de Laplace e a Transformada Inversa da funo f(t). Nelas, a varivel s :s = + j

(10.c)

Se, nas expresses (10.a&b), em s a parte real for tornada nula, chega-se s expresses da Transformada de Fourier (6.a) e (9.a). A prova desta afirmativa deixada como problema. Examinem-se a