TRELIÇAS - Passei Direto

TRELIÇAS

São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.

Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.

Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o

Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.

Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós.

Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a

condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo.

Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais

esforços serão denominados de N.

1º Condição de Treliça Isostática:

2 . n = b + ѵ Sendo

2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣM = 0 (Momento fletor)

Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário

+ -

3º Métodos dos Nós

Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos

nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.

Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos

nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação

considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de

sinais para tais reações.

Calma, nos exercicios verá que é fácil.

Por Convenção os sinais das forças das barras são: + TRAÇÃO

� n = nº de nós

� b = quantidade de barras

� ѵ = nº de reações (Verticais e Horizontais)

- COMPRESSÃO

Treliça Esquemática

Exercícios

1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos

Nós.

1º Passo Condição de Isostática

2.n = b+ν

2.6 = 9+3

12 = 12 OK

2º Passo Reações de Apoio

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)

HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0

VA+VE = 200 KN VA = 400÷4

100+VE = 200 KN VA = 100 KN

VE = 200-100

VE = 100 KN

3º Passo Método dos Nós

Decomposição das forças

Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

NAB

VA

NAF

NAB

VA

NAF

ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+NAB = 0 NAF = 0

100+NAB = 0

NAB = -100 KN

Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0

-50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0

-NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN

NBF = 70,7 KN

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-100-NCF = 0 -NCB+NCD = 0

NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0

NCD = - 50 KN

Nó “F” Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFC+NFB.sen45°+NFD.sen45° = 0 -NFB.cos45°+NFD.cos45°-NFA+NFE = 0

-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE = 0

NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN

50

NBA

NBC

NBF

NBF NBA NBF

50

NBC

100

NCF

NCD NCD NCB

NCF

100

NCB

NFD

NFE NFE NFA NFA

NFC NFB

NFB NFC NFD

NFB NFD

NDF

NFD = 70,7 KN

Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NED+100 = 0 0-HE = 0

NED = -100 KN HE = 0 KN

Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0

-50-70,7.sen45°+100 = 0 -(-50)-70,7.cos45° = 0

-50-50+100 = 0 50-50 = 0

0 = 0 0 = 0

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS

(KN) ESFORÇO

NAB -100 COMPRESSÃO

NED -100 COMPRESSÃO

NAF 0 -

NEF 0 -

NBC -50 COMPRESSÃO

NDC -50 COMPRESSÃO

VE

HE HE NEF

VE

NEF

NED NED

NDC

50 50

NDF

NDF NDE

NDE

NDC

NBF 70,7 TRAÇÃO

NDF 70,7 TRAÇÃO

NCF -100 COMPRESSÃO


Nós.


2.n = b+ν

2.5 = 7+3

10 = 10 OK



HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0

60+HB = 40 -HA.2+120 = 0

HB = 40-60 HA = 120÷2

HB = -20 KN HA = 60 KN




ΣFV = 0 ΣFH = 0

VB-NBA-NBC.sen26,57° = 0 -HB+NBC.cos26,57° = 0

20-NBA-22,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = 0

NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57°

NBC = 22,36 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NAB+NAC.sen26,57° = 0 HA+NAC.cos26,57°+NAE = 0

10+NAC.sen26,57° = 0 60+(-22,36).cos26,57°+NAE = 0

NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0

NAC = -22,36 KN NAE = -40 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NEC = 0 -NEA+NED = 0

-(-40)+NED = 0

NED = -40 KN


VB

NBA

NBC

NBA

NBC HB

VB

NBC

HB

NAB

NAC

NAE

HA

NAB

NAC HA NAE

NAC

NEC

NEA

NEC

NED NEA NED

NCB

40

NCB

NCB

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°-NCA.cos26,57°+NCD.cos26,57° = 0

22,36.sen26,57°-(-22,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-22,36.cos26,57°-(-22,36).cos26,57°+44,7.cos26,57°=0

10+10-NCD.sen26,57°=0 -40-20+20+40 = 0

NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0

NCD = 44,7 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-20+NDC.sen26,57° = 0 -NDC.cos26,57°-NDE = 0

-20+44,7.sen26,57° = 0 -44,7.cos26,57°-(-40) = 0

-20+20 = 0 -40+40 = 0

0 = 0 0 = 0


(KN) ESFORÇO

NAB 10 TRAÇÃO

NBC 22,36 TRAÇÃO

NAC -22,36 COMPRESSÃO

NAE -40 COMPRESSÃO

NEC 0 -

NED -40 COMPRESSÃO

NCD 44,7 TRAÇÃO

NCD

NCA

NCA 40

NCE

NCD

NCA NCE NCD

20

NDE

NDC NDC

NDC

NDE

20


Nós.


2.n = b+ν

2.8 = 13+3

16 = 16 OK



HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0

VA = 6-3 VB = 48÷16

VA = 3 t VB = 3 t



Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0

N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-5).cos36,87°+N12 = 0

N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t

N13 = -5 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N23 = 0 -N21+N24 = 0

-4+N24 = 0

N24 = 4 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N13

VA

N12

VA

N12

HA

N13

HA

N13

N23

N24 N21

N23

N21 N24

N32

N34

N34

N31

N35

N31

N35

2 N35

2

N31 N32 N34

-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0

-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(-5).cos36,87°+N35.cos36,87° = 0

-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4 = 0

(-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4

N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87°

N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5 ”2”

Sistema de Equações Substituindo na equação “1” ou “2”

“1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5

“2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5

2N34 = -3,33 N35 = -5+1,67

N34 = -3,33÷2 N35 = -3,33 t

N34 = -1,67 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -N53.cos36,87°+N57.cos36,87° = 0

-2- (-3,33).sen36,87°-(-3,33).sen36,87°-N54 = 0 -(-3,33).cos36,87°+N57.cos36,87° = 0

-2+2+2-N54 = 0 2,66+N57.cos36,87° = 0

N54 = 2 t N57 = -2,66÷cos36,87°

N57 = -3,33 t

+

N54

N57 N53

N53 N57

2 2

N53 N54 N57


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-N43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0

+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-1,67).cos36,87° = 0

-1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0

N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t

N47 = 1,67 t

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as

barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela.


(t) ESFORÇO

N13 = N87 -5 COMPRESSÃO

N12 = N86 4 TRAÇÃO

N24 = N64 4 TRAÇÃO

N23 = N67 0 -

N34 = N74 -1,67 COMPRESSÃO

N35 = N75 -3,33 COMPRESSÃO

N54 2 TRAÇÃO

N47

N46 N42

N45 N43 N43 N45 N47

N42

N43

N46

N47


Nós.


2.n = b+ν

2.7 = 11+3

14 = 14 OK



HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0

HA = -HB HA = 24÷3

HB = -8 t HA = 8 t




ΣFV = 0 ΣFH = 0

VB-N51-N56.sen26,57° = 0 -HB+N56.cos26,57° = 0

6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° = 0

-N51+6-4 = 0 N56 = 8÷cos26,57°

N51 = 2 t N56 = 8,94 t

VB

N56

HB

VB

HB N56

N51 N51 N56


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N15+N16.sen45° = 0 HA+N12+N16.cos45° = 0

2+N16.sen45° = 0 8+N12+(-2,83).cos45° = 0

N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0

N16 = -2,83 t N12 = - 6 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°=0 -N65.cos26,57°-N61.cos45°+N67.cos26,57°=0

-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(-2,83).cos45°+N67.cos26,57°=0

-2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0

N62 = 1 t N67 = 6÷cos26,57°

N67 = 6,7 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° = 0

1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-2,23).cos26,57° = 0

N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0

N27 = -2,23 t N23 = -4 t

N15

N16

HA HA N12

N15 N16

N16

N12

N62

N67 N61

N65

N67

2 2

N61 N62 N67

N65

N65

N61

N26

N27

N21 N21 N23

N26 N27

N27

N23


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N37 = 0 -N32+N34 = 0

-(-4)+N34 = 0

N34 = -4 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°-N72.cos26,57°+N74.cos26,57°=0

-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(-2,23).cos26,57°+4,47.cos26,57°=0

-2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0

N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0

N74 = 4,47 t


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° = 0

-2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0

-2+2 = 0 +4-4 = 0

0 = 0 0 = 0

N37

N32 N32 N34

N37

N34

N73

N74 N72

N76

N74

2 2

N72 N73 N74

N76

N76

N72

N43

N47

2 2 N47

N47

N43


(t) ESFORÇO

N51 2 TRAÇÃO

N56 8,94 TRAÇÃO

N16 -2,83 COMPRESSÃO

N12 -6 COMPRESSÃO

N62 1 TRAÇÃO

N67 6,7 TRAÇÃO


N23 -4 COMPRESSÃO

N37 0 -

N34 -4 COMPRESSÃO

N74 4,47 TRAÇÃO


Nós.


2.n = b+ν

2.5 = 7+3

10 = 10 OK



HA = 0 VA+VB = 10+20 -VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0

VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4

VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN

VA = 12,5 KN



NAC

HA HA NAE

NAC

NAC

NAE

ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+NAC.sen53,13° = 0 HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0

12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-15,63).cos53,13° = 0

NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN

NAC = -15,63 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0

-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0

-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88 = 0

NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26 KN

NCE = 3,13 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-NEC.cos53,13° = 0

3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-(+3,13).cos53,13° = 0

NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,88-1,88 = 0

NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN


VA VA

NCE NCA

NCD

10 10

NCA NCE

NCA NCD

NCE

NED

NEB NEA

NEC

NEA

NEC

NEB

NED

NEC NED

NDB NDE

20 20

NDE NDB

NDC NDC

NDB

NDE

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-NDC+NDB.cos53,13°=0

-20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-11,26)+(-21,88).cos53,13°=0

-20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,88+12,26-13,13 = 0

NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0

NDB = -21,88 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

VB+NBD.sen53,13° = 0 -NBD.cos53,13°-NBE = 0

17,5+(-21,88).sen53,13° = 0 -(-21,88).cos53,13°-13,14 = 0

0 = 0 0 = 0


(KN) ESFORÇO

NAC -15,63 COMPRESSÃO

NAE 9,38 TRAÇÃO

NCE 3,13 TRAÇÃO

NCD -11,26 COMPRESSÃO

NED -3,13 COMPRESSÃO

NEB 13,14 TRAÇÃO

NDB -21,88 COMPRESSÃO

VB

NBE

NBD NBD

NBD

NBE

VB


Nós.


2.n = b+ν

2.5 = 7+3

10 = 10 OK



HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0

HB = -HA HB = 360÷0,9

HA = - 400 KN HB = 400 KN



ΣFV = 0 ΣFH = 0

NBA = 0 HB+NBD = 0

400+NBD = 0

NBD = -400 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0

225-0-NAD.sen36,87° = 0 -400+NAC+375.cos36,87 = 0

NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN

NAC = 375 KN


NAB

NAD

HA HA NAC

VA

NAC

NAD

NAB

NBA

HB HB NBD

NBA

NBD

VA

NAD

NDC

NDE NDB

NDA

NDB

NDA

NDE

NDA NDC

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0

375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0

NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0

NDE = -100 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0

-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0

-150+225-NCE.sen36,87° = 0 -100+100 = 0

NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0

NCE = 125 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0

-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0

-75+75 = 0 -100+100 = 0

0 = 0 0 = 0

NCE

NCD

150 15

NCD NCE

NCA NCA

NCE

NED

NEC

75 75 NEC

NEC

NED


(KN) ESFORÇO

NBA 0 -

NBD -400 COMPRESSÃO

NAD 375 TRAÇÃO

NAC 100 TRAÇÃO

NDC -225 COMPRESSÃO

NDE -100 COMPRESSÃO

NCE 125 TRAÇÃO


Nós.


2.n = b+ν

2.8 = 13+3

16 = 16 OK



HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0

4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0

VE = 8-4 VA = 16a÷4a

VE = 4 KN VA = 4 KN



ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF = 0

4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF = 0

NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN

NAB = -8 KN

VA

NAB

NAF

NAB

NAB

NAF

VA

Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0

NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0

NFG = 6,9 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 -NBA.cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0

NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(-8).cos30°+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0

NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 6,9+NBC.cos30°+NBG.cos30° = 0

NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0 NBC.cos30°+NBG.cos30° = -6,9

(NBC-NBG).sen30° = 0 (NBC+NBG).cos30° = -6,9

NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = -6,9÷cos30°

NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8 ”2”


“1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0

“2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 0

2NBC = -8 NBG = -4 KN

NBC = -8÷2

NBC = -4 KN

4

NFA NFA NFG

NFB

NFG

4

NFB

NBF

NBG

NBG

NBA

NBC

NBA

NBC

NBC

NBA NBF NBG

+


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 -NCB.cos30°+NCD.cos30° = 0

-(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° = 0

2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30° = 0

NCG = 4 KN NCD = -3,5÷cos30°

NCD = -4 KN

Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-NGF+NGH = 0

-4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°-6,9+NGH = 0

NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5-6,9+NGH = 0

NGD = -4 KN NGH = 6,9 KN

NCG

NCD NCB

NCB NCD

NCB NCG NCD

NGD

NGH NGF

NGC NGB NGB NGC NGD

NGF

NGB

NGH

NGD


barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas.


(KN) ESFORÇO

NAB = NED -8 COMPRESSÃO

NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO

NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO

NFB = NHD 4 TRAÇÃO

NBC = NDC -4 COMPRESSÃO

NBG = NDG -4 COMPRESSÃO

NCG 4 TRAÇÃO


Nós.


2.n = b+ν

2.10 = 17+3

20 = 20 OK



HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-400.2a-400.1a = 0

1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a

VJ = 2000-1000 VF = 1000 N

VJ = 1000 N



400

NAB

400

NAB

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-400-NAF = 0 NAB = 0

NAF = -400 N


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° + NFG = 0

NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 -848,5.cos45°+NFG = 0

NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N

NFB = -848,5 N

Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

NGB = 0 -NGF+NGH = 0

-600+NGH = 0

NGH = 600 N


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45° = 0

NAF NAF

NFA

NFB

NFG

NFA NFB

NFB

NFG

VF VF

NGH NGF

NGB NGB

NGF NGH

NBA

NBH

NBF

NBC

NBF NBC

400

NBG

NBH

NBF NBG NBH

NBA

400

-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(-848,5).cos45°+282,8.cos45°=0

-400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 = 0

NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N

NBH = 282,8 N


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0

NCH = -400 N -(-800)+NCD=0

NCD = -800 N


barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas.


(N) ESFORÇO

NAB = NED 0 -

NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO

NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO

NFG = NJI 600 TRAÇÃO

NGB = NID 0 -

NGH = NIH 600 TRAÇÃO

NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO

NBC = NDC -800 COMPRESSÃO

NCH -400 COMPRESSÃO

NCB

NCD NCB NCD

400

NCH NBG

400


Nós.


2.n = b+ν

2.6 = 8+4

12 = 12 OK



HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 = 0

HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0

VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6

VE = 20,25 KN



ΣFV = 0 ΣFH = 0

NAC = 0 -9+NAB = 0

NAB = 9 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0

-NBD-(-11,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0

NAC

9 NAB NAB

NAC

Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como

as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre

sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não é solicitada.

Os cálculos mostrarão essa teoria.

9

NBA

NBC NBC

NBD NBC NBD

NBA

-NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87° = 0

NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87°

NBC = -11,25 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 -9+NCB.cos36,87°+NCD = 0

0-NCE+(-11,25).sen36,87° = 0 -9+(-11,25).cos36,87°+NCD = 0

NCE = -6,75 KN -9-9+NCD = 0

NCD = 18 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 0

6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =0

6,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87°

NDF = 20,25 KN NDE = -22,5 KN


NCA

NCB

NCD

NCA NCB

NCB

NCD

NCE NCE

9 9

NDC

NDE

NDE

NDB

NDF NDE NDF

NDC

NDB

NEC

NED

NEC NED

NED HE HE

ΣFV = 0 ΣFH = 0

VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 0

20,25+(-6,75)+(-22,5).sen36,87° = 0 HE+(-22,5).cos36,87° = 0

20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok

0 = 0


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFD-VF = 0 -HF = 0

20,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok

0 = 0


(KN) ESFORÇO

NAB 9 TRAÇÃO

NAC 0 -

NCE -6,75 COMPRESSÃO

NCD 18 TRAÇÃO

NBD 6,75 TRAÇÃO

NBC -11,25 COMPRESSÃO

NDF 20,25 TRAÇÃO

NDE -22,5 COMPRESSÃO

VE VE

HE confirmada

NFD NFD

HF

VF VF

HF confirmada

HF


Nós.


2.n = b+ν

2.6 = 9+3

12 = 12 OK



HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 = 0

HF = -HC HF = 720÷4,5

HC = -160 KN HF = 160 KN



ΣFV = 0 ΣFH = 0

NDA-100 = 0 NDE = 0

NDA = 100 KN

100

NDA

NDE

NDE

100

NDA


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 NAB.cos22,62°+NAE.cos22,62° = 0

NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62° = 0

(NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE = 0÷cos22,62°

NAB-NAE = 100÷sen22,62°

NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0 ”2”


“1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0

“2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 0

2NAB = 260 NAE = -130 KN

NAB = 260÷2

NAB = 130 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED-NEA.cos22,62° = 0

NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(-130).cos22,62° = 0

NEB = 50 KN NEF = -120 KN

NAB

NAE

NAB

NAB

NAE

NAD NAD NAE

+

NEB NEA

NEF

NEA NEB

NEF NED NED

NEA


ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF-NFB.cos39,81° = 0

NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160-NFB.cos39,81° = 0

NFC = 33,3 KN NFB = -40÷cos39,81°

NFB = -52 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

+NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 -NBA.cos22,62°+NBC.cos22,62°+NBF.cos39,81° = 0

173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(-52).cos39,81°=0

66,5-50-50+33,5=0 NBC.cos22,62°-120-40 = 0

0=0 NBC = 160÷cos22,62°

NBC = 173 KN


ΣFV= 0 ΣFH = 0

VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0

100-(+33,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0

100-33,3-66,7=0 -160+160 = 0

0=0 0 = 0

NFC NFB

HF

NFB NFC

HF NFE NFB

NFE

NBF

NBA

NBC

NBC NBC

NBE

NBF

NBA NBE NBF

NBA

NCB

HC HC

VC

NCF NCB NCF

NCB

VC


(KN) ESFORÇO

NDA 100 TRAÇÃO

NDE 0 -

NAE -130 COMPRESSÃO

NAB 130 TRAÇÃO

NEB 50 TRAÇÃO

NEF -120 COMPRESSÃO

NFC 33,3 TRAÇÃO

NFB -52 COMPRESSÃO

NBC 173 TRAÇÃO


Nós.


2.n = b+ν

2.10 = 17+3

20 = 20 OK



HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0

VA+13,5 = 30 VB = 135÷10

VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN

VA = 16,5 KN



N12

N13

N12

N12

N13

HA HA

ΣFV = 0 ΣFH = 0

VA+N12.sen45° = 0 HA+N13+N12.cos45° = 0

16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(-23).cos45° = 0

N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN

N12 = -23 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N32 = 0 -N31+N32.cos71,57°+N34 = 0

-16,3+0.cos.71,57°+N34 = 0

N34 = 16,3 kN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N42 = 0 -N43+N42.cos71,57°+N45 = 0

-16,3+0.cos.71,57°+N45 = 0

N45 = 16,3 kN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°-N23.cos71,57°+N26+N25.cos45°+N24.cos71,57° = 0

VA VA

N32

N34

N32

N32

N34

N31 N31

N42

N45

N42

N32

N34 N43

N31

N25

N21

N26

N26

15

N23

N25

N21 N23 N24

N21

15

N24 N25

N24 N23

-15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°-0+N26+2,29.cos45°+0=0

N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0

N25 = 2,29 KN N26 = -17,88 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

-15-N65 = 0 -N62+N67 = 0

N65 = -15 KN -(-17,88)+N67 = 0

N67 = -17,88 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°-N54+N57.cos45°+N58 = 0

2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°-16,3+18,9.cos45°+N58 = 0

N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 = 0

N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN

N57 = 18,9 KN


15

N67

15

N67

N65 N65

N62 N62

N57

N58 N54

N56 N52 N52 N56 N57

N54

N52

N58

N57

N87

N89

N87

N87

N89

N85 N85

ΣFV = 0 ΣFH = 0

N87 = 0 -N85+N87.cos71,57°+N89 = 0

-4,5+0.cos.71,57°+N89 = 0

N89 = 4,5 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 = 0

N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°-4,5+N910 = 0

N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0

N97 = -14,23 KN


ΣFV = 0 ΣFH = 0

N107 = 0 -N107-N109 = 0

-0-N109 = 0

N109 = 0


N97

N910

N97

N910

N98

N97

VB VB

N98

N107 N107

N109

N109

N107

ΣFV = 0 ΣFH = 0

-N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°-N78.cos71,57°+N79.cos71,57°+N710.cos45° = 0

-18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,88)-(+18,9).cos45°-0+(-14,23).cos71,57°+0=0

-13,5+13,5 = 0 17,88-13,36-4,5 = 0

0 = 0 0 = 0


(KN) ESFORÇO

N12 -23 COMPRESSÃO

N13 16,3 TRAÇÃO

N34 16,3 TRAÇÃO

N42 0 -

N32 0 -

N45 16,3 TRAÇÃO

N52 2,29 TRAÇÃO



N65 -15 COMPRESSÃO

N58 4,5 TRAÇÃO

N57 18,9 TRAÇÃO

N87 0 -

N89 4,5 TRAÇÃO


N910 0 -

N107 0 -

N710

N76

N78

N710

N75 N78 N79

N75 N79 N710 N79 N78

N75

N76

Bibliografia

INTRODUÇÃO À ISOSTÁTICA, autor Eloy Ferraz Machado Junior, 2007

Apostila “MECÂNICA DOS MATERIAIS”, autor Ricardo Gaspar, 2005

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