88
Matemática 8 Trigonometria

Trigo No Me Tria

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Trigo No Me Tria

����������

��� ���������

Page 2: Trigo No Me Tria
Page 3: Trigo No Me Tria

���������� �

���� ����������������������

Page 4: Trigo No Me Tria
Page 5: Trigo No Me Tria

��������������

����

����

���

���������� ������������������������������� ������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������� ������������������������������������������������������

������������ �����!�����"��!#��$�����������������#������������#���� ������������������������� %

&����������������������������������������������������'���������� ������������������������ (

)��������������������������������������*��+,�!� ��������������������������������������������������� ������ ����� ������ � ������� �� ��� � ��� ���������������������������������������������������������������� ������ ����� ������ � ������� �� ��� �������������������������������������������������������������������������� ��

-������!������!�����"��!#�� �������������������������������������������������������������������������������� �&

���������� ������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �%

���.�����.���������!���� ����������������������������������������������������������������������������������� �(��������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������ ������ ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��

������,��� �� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��

����������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �)

���*/���������!������!#�����!�����"��!#������������������������������������������������������������������ �-

��������������������������������!#�����!�����"��!#� ������������������������������������������������ �%

&�����������0�!��!���1������$��!����!�� ����������������������������������������������������������� �������������������� !���"�#����$�������� �������������������������������������������������������������� �������������������� !�%$��������"�#������������ ����������������������������������������������� �������������������� !���"�#����&'�(����� ���������������������������������������������������������������� ��

)��23�� �����!�����"��!#������0�!��!���4���� ���������������������������������������������������������� �-����")�� !���*�������#+� ������������������������������������������������������������������������������������ �,����")�� !���*����(��#+� ������������������������������������������������������������������������������������ �,����")�� !���*������#+� �������������������������������������������������������������������������������������� �,

�������� ��!�"#��$�%���"#�!����������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� &�

����!��������#�� ������������������������������������������������������������������������������������������������� &�

���5!6�����������#�� ��������������������������������������������������������������������������������������������� &�

&����#��5'�� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� &

)�������6�����������0���� ��������������������������������������������������������������������������������� &%

Page 6: Trigo No Me Tria

��������������

��������&��������������!��'(����� ���������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� )�

�������#����!�����"��!#� ���������������������������������������������������������������������������������������� )�

���27'���� ���.���!� ���������������������������������������������������������������������������������������������� )&����"#-����!��������������&���(��������.���� ����������������������������������������������������� ������"#-����!��������������&���(������"#��������������/�0����� ���������������������� ������"#-����!��������������&���(������.�����)��/�1�������(��2��3�(����.�����4����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��

&��23�� �����!�����"��!#���#�������������� �������������������������������������������������������� )%��� 4������ !� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �5����")�� !���*�������#+���α ........................................................................................... �5����")�� !���*����(��#+(��α ............................................................................................. ������")�� !���*������#+��α ................................................................................................. ��

��������)�*��+��"������������������������3�� �����!�����"��!#������0�!��!���4���� ������������������������������������������������������� -�

����4��)�� 6���� �-����#7������#8� ������������������������������������������������������������� ������4��)�� 6���� �-�(��#7���(��#8� �������������������������������������������������������������� ������4��)�� 6���� �-���#7�����#8� ����������������������������������������������������������������� ��

������3�� �����!�����"��!#������� ������������������������������������������������������������������������ --

��������,�-��"����������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 8

���9��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 8

���9������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������� �

&��9������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������ �

)��.�+6!#�����9�� �����!�����"��!#�� �������������������������������������������������������������������� &���� *�� !�29#:+�;���# ������������������������������������������������������������������������������������������� ,����� *�� !�29#:+'���# ���������������������������������������������������������������������������������������������� ,����� *�� !�29#:+���9�#: ������������������������������������������������������������������������������������������� ,����� *�� !�29#:+���9#;�: ���������������������������������������������������������������������������������������� ,,���� *�� !�29#:+�;'���9�#;�: ���������������������������������������������������������������������������� ,5���� *�� !�29#:+�;'(��9�#;�: ���������������������������������������������������������������������������� 5���,� *�� !�29#:+�;'��9�#;�: ������������������������������������������������������������������������������ 5���5� $����� *�� 6�� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5�

./��������0�������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 1,

Page 7: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� �������� �������������

� ������� �������������� ���������� �������� ���� ��������� ��������������������������� �����������������

�������������������������� ��������� ������������������������������� �������������������

��� ����������������� ��������������� ��� ���������������������

!"�� π� ��� #��$������������������%���

�����������������������

&������������$���$���$���$���'������� ��������������(�� ����������������)!"�&� ����������������� �����*+�������������,���$��-

α . β. !"/�)!" ⇒ α.β/� �

+�������������������-�# $����� ���α �β0���������������

�����0��� �����'����������� !"12# �����,$��0������������������

�����0���������������� !"�3����������,���$����������� ������

��� �����������������������������������������������������

�������������� ���������4���������������������������� �������� �������������������

&������������$���4����������%������������������� ���������������� ���� ����� �� ����� ���� 3�������������%��� ������ �� ������ ��

����������$����������$�������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ��'����������5���������������� ������ � ����� � ������� ���������������������������������

������������������ ���������������� �� �������%������ ������� ���� �6���������� ��-

�� /�.��

�������������������������������������������� �2������������� �������� ������

�4�������������������������������������0���������������$���� ������������0� �� �� ����������3��% ��� ����������7�������

�����������������������8�9�:��������������������#�����,�����������:�/8�.9��

���������������������������������������� ������� ;�������������$���������������0��%�������������$���$�������� �������� ���������$������������������������ ����������$����0������������������

���������������������� ���������� ���� ������������ �������� ���������������������������$������� ���-

Page 8: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� ���������

�������������

������������

���� �� ���������� ������ � ������

��������

� ����� �� ���������� ������ � ������

��������

������� �� ���������� ������ � ������

���� ������ � ������

=

=

=

�������������������� � �%����������� ������ � ��� ������ �� ���α� ����6����������������0��� �����������-

��α/ �� /!�<

��α/ �� /!�)

� α/ �� /!�=:

��$���������������������������4����������$��������>���������?���������$���������� ����������������������0�����4�����

@������������������0������������������������������� ������2�������� �� ����� ��� ���� ;���� ����4������������������<�)��!#� ��������������,�����7��������3��% ����

A��� �8�����������������������������0�� �� $��������� � ����� �������'%���4��������� ����������

B�������$����� ���α�β������������������ ���� ����������������� ��� ������������C���

&��������0������������������� � �

����

�� � �

� � ���������������)�

�!�<��������������������#������������������ �������������������������� ����-

��α/ ��� /!�<

��α/ ��� /!�)

� α/ �� /!�=:

A�������������������0���������������������$����0������������������� ���������������������������������������������������� �����(��������������������������������������$���������������������� ����

?� ����� �������� ���� � ��� ����������!"��#$�������������������������������������������0����������

����������������� ����������������������������������������������������������,�����$��������4������

�$��� 0���������� ������ ����� ���������������������� ���� ���������� �������� ����������� ������������ �� ��������������������$������� ���-

���������������� ����� � ������

���� ��� �� � ������=

��� ���������� �����

�� � � ������� � �� �����=

cossec do ângulohipotenusa

cateto oposto ao ângulo=

3���6����������������� �������� ���������8�9�:��������������������������6��������� �<����C����������� ���α�

Page 9: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� �������� �

�������������

������������

cotg43

sec54

cosec53

α

α

α

=

=

=

�� �<

��������������������������������������������������������������D%�������$������������� ���������

������ ���� ���0���������������

α.β/ !"

@����������$��-

EFG

HIE

α

α

=

=

����

EFG

HIE

β

β

=

=

��

��

����

α

α

=

=

����

��

����

β

β

=

=

����

J�������������������$��-��α/��β1��α/��β1� α/��� β ��� α /� β.

���������%�&$���������������

Page 10: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� ���������

�������������

������������

./�������� ����2�!��!��K� ����� ��� ����� ��� ��� ������

��'�������0�:����2�������������������� ���� ������� ��� ������ ���� ���� ����

���������������� ���������������� � ���������!

���������� ������������ �������������������"� �����������#����������$����� ��������

� � � � � �� ���� � � � � �= + ⇒ = + =%��� ���&�'(���"������ ������� ������� ���!

���������������������������)����� �����������*�����+

���, - ./0

���, /1/0

α

β =

���, ����

���, ���

α

β

=

=

��� ���

��� ���

α

β

=

=

!2�K����������������������������������������C������������������������������������������������C���������������289��@��������$��� ���4������������4���,��������� �����8 "����������������������6�����������C���������,����������������������������-��8 "/!�<81��8 "/!�=)1� 8 "/!�)�#

Page 11: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� �������� ��

�����������

������������

���������

����� ����

�� ��� �

°=

⋅ =

���������

����������� ������������������������������������

�� �� ! ! " #$

������� ��� � =

��� ���� ��

� =

���������%��%���������&���'������ �����������(���� ����)���������*��������������

� � � � �� � �= + ⇒ =

����� ��

��

�= = ⇒

����� � ��

⇒ �

� �

���� �= ⇒ �������������

������������������ �������������������������������%�+��������������*��*�������������)

*�����������������������������������������������������������������)�,������������������ ����� %������ ,�� �������� �������� �����+-'�� �����%����� ��%�����,����������������*���������*���������������-.��� *��������

�����/��,��)���0�*���*)�����������1�����������������-�����)�������*������-'��2�3���+����)�,����1�������(�&�����4/�����*�*��*�����������%���*������������)&����5678����*���&��&�*�������9�)� �������������)����3�/4��������������)�1���,������%�+)�'����%��9%���)� *����)� �������� �����������1:��4�����)�*�;��������������������������<�78�*����������*��������*�(����������*��)�������.������,�*��)�������'��34���%�)�*��������������*���-'�����������������7)���*�

=���� ����*����)�,������)� �������,�������1���,������������������������*�����������*��������7)�567���<�7����������),�����������(�3��*�����1��������������������1:��4�����

>(���%����)���������5�����������6)�1����������������1��������%���������������������,�����)�1����'�������)��������,�������� 567)� �� 1����� ���������1���������� (�������+��������������������������������������������1:��4�����,������������*��3�*��)���1��1�����������������1��������&���%�����)���������������������7���<�7�

������������ ������������

Page 12: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� ����������

�������������

������������

3������������� ���� �������� � ������������ �� ��� ���� �� $������������������������ ���9����#����������������� ����$R��%������� ���:#�

K����,$����� ���������������� ���0������ �������� ����������������������������3��% ������������������

3���������$������������$��-��/�� .��⇒��/2S���

∴�/� �

T������������ ����$R��%�������������������� �����-

� � � � � �

� � � �

� � ��

��

��

���

��

= ������ + ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ ∴ =

@������ � ���� $�� � ����� ���4��4����� �� �������� �� $������� ���

����������������4��������� � �3�������������� ������������������������

�� ������� ��

��

� � ��$����� ��

4������������������������3������ �������%��������������

������� �������� �����8!"�9:"�<!"�

&��� $���3��4�������������!��5�)57������������������ ����$R��%����

���� ���:�����4��������������������������-

��8!"/

���

��

� ��

= ⋅ =

��8!"/��

�= =

�� �

� 8!"/

���

� ���

���

��

��

��

= = ⋅ = ⋅ =

��<!"/��

�= =

�� �

��<!"/

���

��

� ��

= ⋅ =

� <!"/��

��

��

��

� �= = ⋅ =�

&��� $���3��4�������������!� &5���������$���������������������� ��

��9������������ ����� � ����������������-

��9:"/ad

aa

= = ⋅ =2

12

22

22

��9:"/ad

aa

= = ⋅ =2

12

22

22

� 9:"/aa

= 1

B��������$������������������������������� ������������������������������������� �������� ������%�����$������%�6���������������

Page 13: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� �������� ��

�������������

������������

./�������� ����2�!��!�� ��������������������������� ��

�������������������������������6�7�

���������8���*9������������������������������������!

��������������� ���������(:;��������� ������ � ���������������6��������� �������(:;� � ������)�9�+

���(:;�&� ���

��

���

⇒ = ⇒ 6�&�< ��

=������ �� � ����� � ����� ����� ���>?����������������� ���@*�������������������!��������!���� � ����A$������������������� ���������� ������������������ ������������9?������������������9���������������A�������(:; ����������B������7"�%���

����(:;�&� ���

��

���

⇒ = ⇒

�7�&�< � ��

!2� B����� ����������C���� ���0������ ��������������4�������� ������� = °�� ����� = °�� ��������C/2 ���3������������������������������������6�7���9�

���������D�)$��������������������������� ���������

���������������������������� ������� ����! ?!�� ��������������"���������� ����������� ���������A���������������������������"�D�������$*� � ������� ��������9�>E��������>E�

�)�����������������"�������� ������ �����������������*+

���(:;�&��� �

� ��

�� �� ���+

⇒ = ⋅ +

�������������������C � ��������9����+

���<:;�&���

� � � ����⇒ =

F��������!���F����FF� ��������+��

�� �� � �

� � �� � ��

⋅ + = ⇒

⇒ + = ⇒ = ⇒9�&�' ��

G����������!�����������������FF� � ����������>E���������� �� �����������+

6�&� � �������B������7���������������� ��������� ���

�����������*+"�8���*9��������������������������������� � �������������������6������������������)��>E����������������� ���������9�� �������� ���������)������� ������ ��������������!9����������������$�����"��������)�9� ���E�

��� �� ��

� ��

° = ⇒ = ⇒7�&�� � ��

�������� ������� ��������6 �7�9� �������E�

������ ��� ���*���� ��� � �� �� � ����' ��"

!8� �L+P@+�@3#A��� ��������C������������ �����C�-

�# � � � �+ + �# � �

�# � � �+ �# <

�# � � �+ +

Page 14: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� ���������

�������������

������������

���������

=��∆��C �����+

����� ��

��

��

� �° = ⇒ = ⇒ =

=��∆�C� �����+

�� ����

/��

� � 0° = ⇒ = ⇒ = =

������� �

�°= ⇒ = ⇒ =��

� �

∴��� �@��������∆��C�����H�7�H�9�&�� � �+��������I

#������"�����"�����$��"%��U���������������������������

��,0���� ������������������� ���������������������,0���'�������'����4�����������������������6������6��������������� �%��� ������� ��� ���������������������� ����

A�� ���� � ���������� ��� �����������$�����������,�������;����0�������������� ��������������������

�������������%���������%���$�����������$����������������������

M�����������������������%��� ������ ���������������������$���$��������������������C�������$��������$���������������6��(�������6���0��

3���6�������� �������6. ��

��

=+� �

����������������6������������������������6���������$��6�≠!�����0����,����������������������6������#�

L� ��

J������������� ���������������������,����� ����������$��'%��������3��������������������� ��������������������� ���������� �������

������������������ �� ���������������3��% ���� ������ � � ������ �������-

�.���/��

���������� ����������� ��� �0������������� ������������������-

ba

ca

aa

ba

ca

� �

�+ = ⇒ ������ + ��

�� =

B�������$��� ��������������(��������������������������0������������ ����$��

��� α.��� α/����� β.��� β/�

3���������������������� $�� � �����$�������������������������� ���6�� ���Q�����������'�-

��� 6.��� 6/�

?6���$������ ��������������C������$����������������������������������� ���������������?������������,������?�����>���������<2!�$�����������������,0���� ������������������������3��

Page 15: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� �������� �!

�������������

������������

�6��������������22"����������(������������<)"���������������22"#�

������������� ����� ���������� ������������� �������������������������������������������������� ������������ ����

�������������������� ���������������������������������,0����������,��$��

�����,0�6/��,0�� !"V6#

L��������������� ��������� ������������� ����������������� �����$��-

��α/��β ��β/��α

� α/��� β � β/��� α

��α/����β ��β/����α

L���������������������������7������������ ���� ���������� ����������� �����3���6�����������������������������-

������

αα α= = ⋅ = =

����

��

��

�� ��

���������%�� ��������������%���������������������� ���β���,��������������$����������� ���6����$����6≠!�

�����

xx

x=���

3��������������������$�����,0�bc�$������������ ����������������

���cb#����������������� ���������

������������������������������������������������������������,��$������������� ���6������0������-

��� 6/�

�� x/

��� x

x���

7������������������������������������ ������� ���� ������� ������ �����������J�'���$��-

���

������

α

α

α

α

=

=

���

��=

=

�����

����

����

���

���

7��C��� ���������� ������� �����4����������,%������ ���β�

��,��������$��������������� ���6�

EF���E

xx

= �

�����

��� xx

= N

����$�� �'� ���������� ������0������������������� �������������������������0����������

3������Q�6����������0������������$�������0�������� ����������������$�������������A0�������������������� ����� ��������� ������������������������$�������������$����$����������$������6������� ����

�# ��� 6.��� 6/�2# �����,0��6#/��,0�� !"V6#

8# � �6/��� x

x������6�!#

9# ��� 6/�

�� ���x

x

x=���

���6≠!#

:# ��6/�

��� x���6≠!#

<# ����6/�

��� x���6≠!#

Page 16: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� ���������"

�������������

������������

B���� M���������7�� �����������# ��������$����� 6/� � 6.�

%����#!�����������������������0������

������������������������������������������������������4� ��Q�6���0�������� �����������

&�������$��-

�������

xx

x=���

2���� 6.��� 6/�

8�EF���E

xx

= � ��������������������8��

������0���$����6�!�3�������-

������

������

� �

���

� ��

= =+

⇒���

������

������

�x

xx

x

x= +���

��

���� � �� �= +�� ��$�#

�# P����$�������6/��� � 6.��%����#!K���������������������������

�����6��������������������������������������� ��������������,���������0����������,��$���������6≠!�

���������

������

� ��

� ��

= =+

⇒��

� �

���

������������ ���

����

��

= + ⇒�

���

����� 6/��� � 6.���$�#

*����+�#!V�������������������������6��������0�������������������������������������,����������$������������������������������6������0��������������

=#��� 6/� � 6.� ���6≠!#)#����� 6/��� � 6.� ���6≠!#

./�������� ����2�!��!�� ���������������,����� ������

����������������� ��

���������������

���� �� ��� � ���� 3������������������������ ����������� �������������������������� ����

���������J�)����������������)�����������������������!

������������������:;��3:;� ������)����������*���!����������������9?������������������������������� �����E�� �����*��"�I�������������$�������� ��������*��*�����������>?�������������������������������������������������������������"

C������������6������������������������ ��!�������������������)���������� � ��������9����+

'��������6�H������6�&�'�⇒ �� ��� � /

������� + = ⇒

�����⇒ − = − ⇒��� � - � ���

�� ���

� ���� � ���= ±

���������6�K�: ������������������>E�������*�"#���� ������+

��� � ���=

8���*9�������������������������������� ���������������������������9?� � ���������� �!������6 ��������)��>E���������"������+

L������� ���������

��

= = ⇒

���������� � �

����

����

= ⋅ ⋅ ⇒������� � ��

��=

(������������

����

= = ⇒ ������ ����

����

= ⋅ ⇒

������ ���

=

Page 17: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������������� �������� ��

�������������

������������

!2� +������� ��6� �������� $��6 �� ����$��-

�� �

� ��

x x

x x

+ =

− =

����

���

���

���

� ��W�

�W

���������G������!��������>?����������� �������

���� ������+

����� � � �����MN�

��= ⇒ = ⇒

��� � �� ��� �= ⋅

G������������6�H�������6�&�'"�%��� ����������!

��!������6� �����

�O����6 ������+

��� � ����� � /� + ⋅

���

��� =�

����

��� �� ��� ��

/�

+ =

������5�����6�H�4�����6�&�5������� � - ��

� ���

��� � ��= ±

�����6�������� �������@����������� ���= �"

!8� @������������6�����-

�# ?�/� 6.��� 6V��6S����6

�# ������������ �

=⋅� ��

���

���������8���*9���� ������6 �����������������9?�

������������������)��>E��������P��������� ��!*����������������������������6 ���?�������� �����>?�����*�����"

�� �������� �

��� �����

���� �

������

= + − ⋅ ����

� ��� � ��� � � ���� ����

���� �����

� �

= +⋅

= −⋅

� ����� ��� ��

= ⋅ ��������I��&�:

� ��

=⋅

= ⋅

��������

������

��� �

�����

��� ��

��

I��&����6

!9� �KL@+���@3#B ����� �� �6���0�

� �

�− −��� ��xx

x���

�-

�# V� �#��# V2 �#!�# 2

���������

� � ��� ���� �

� � ��� ���� �

��� ���� �

�= − − = − − ���

�� ���� ���� �

� ��� �

��� ����� ���� �

��

�=

−=

⋅ −= =

� �

������� �

!:� �L>J�XD#� ����0� ��� ����������

�$�������������

���� �

����� �

�������� �-

�# ��6 �#����6�# ��� 6 �#� 6�# ��6���������

������� I

Page 18: Trigo No Me Tria

���������� #�����$��������

�������������

������������

�������� � ������������������������7�� ������������������������������

�� ����$������������$����������������� �����������������#!�������������� ����� �������������������������������� ���������� ����

P���������������������������������������%���$����������� ���������� �����������

J��� �������������� ��� � ����������(�������� ������������������������ ���"��-��������������������$������������������������������

A������������������������������ ���������������������������������������������������������������+����

������(������������C����������������������0�������� �� ���� ��� ��������������������������������0��������������������0������������?����������0��������������� �������3������������������������������� ��������������� �������� M�� �����������6���������������������������������4�������������������������������������������0��@����4���$��������4���������������������������:!����,�������������$��� ���������������������"��-�����������������������

��:!�������������������� ����6���������������������

?����������������������������������������� �������������C��������������������������������>���������$���������������������������$����$��������+��������������������������"� �-��������������������� �2������ ���α�

�� �2

A�����$���������������������������������(������������*������

�������������������� ���,���$�������������������.����������� ����������������������$��

�� #/α

+�������$R(����������������������,�� ����� ������� �� ����� ����������� ����� ���� �� ���������(����$����� �� ��� ������� ��� ����� �����������

Page 19: Trigo No Me Tria

���������� #�����$������ ��

�������������

������������

��&�����&�������'�"����B���������������� ����������

��������������0���������� �����������,��� ���������� 0� � �������� � ���,���������$���6�����������������������������������������������6��������������������������������$�������������������������

3����� ���Q������������

����6����3���������0��/������������+������

�0

123 ��������"��-��������'����������

����������������������������������8<!"�

B����������� �8�������$�������

��↔

����↔� �����������������������������

����������(������$��������������������������������$������� ���������������

+�����������C��$��-��� �������/ !"2�� �������/�)!"8�� �������/2=!"9�� �������/8<!"B ����������������� ����������

������Y#��������Z#��������$��

�"/<!Y��Y/<!Z

������ �������$��� ������� �����������(��������������� ����$��������$����������0���������0��(�

���4�����������0������������� �����$���������������������������������� ������0�������������C�����������������6� ���������������J��������������������6������$�������������������6���������������������������������������������������0������Y�����<"�

4,����@�α�β0�����$������������������

������)8"8!Y8 Z��2"98Y9:Z��������������������α.β�αVβ-

������������������������������������������������ ��*!

����� ������� ��������������������������� ���������������� ������6��������6�+

+����$������������������=8Y#�� �����)9Z#�6�����<!�����������������,��

=8Y/<!Y.�8Y/�"�8Y�)9/<!Z.29Z/�Y29Z����'��=8Y)9Z/�"��8.�#Y29Z/�"�9Y29Z&� ��������������%�������

α.β/ <"�9Y29Z

P������� ����������0�������������������������������-

J����������$��$���6������������������$�������������8!Y[98Y�8 Z[9:Z#��$���������������������� ������������������������ �����

K������C��� ��������� �������������������������5����������Z�"��Y�������������������%�����<!�������<!� ������������������������������������� �����Q$���������'%�6�����������������������

Page 20: Trigo No Me Tria

���������� #�����$�������

�������������

������������

7����������������� �����������0�-

α/)8"8!Y8 Z⇒

����α/)2") Y Z���������������α�β���������������

�����������������������$����������� ������������ �����������,���������0�������������� ���-

B���������������

αVβ/5 �(67)(�

����6��!��������������/�����������+�

������0���

��������"��-������������������������(�������������������������9!! ��

7����������������� �9���%����������������������$��-

��� �������/�!! �2�� �������/2!! �8�� �������/8!! �9�� �������/9!! �

� ������� ����� ���� ����� ���������0� ��������������� � �� �����0��������� ������������������������$�� � ������4�4�'�� ���%�����C������������������������������������������������Q�����0����������������%������������������������,��0������(�������!�����������0������������������������

?��������������������6��������������4�����������0��

���� �!�����K��������������������������8

����������������������������"� �-�������������"������������

����������� �:���� ���$��������*��� ���������B� ����� AB' ������� ����������������� ��������������������(�����������$���� #/�����3�������,�������������$�����������������������������$���������9�����+�&���������� ������������������������'���������%������������������������������������(������������������������-

α = ��

&�������$����������������������������(����������X��������2πX�K�����,���� � �����0� ���������� ������ ������������ �� ������� ��������� �����������������������������������������������(��������������������

α π α π= ⇒ =� ���

����

Page 21: Trigo No Me Tria

���������� #�����$������ ��

�������������

������������

+�������������������6C������� �<���������,��$��-

��� �������/��

2�� �������/�

8�� �������/��π ���

9�� �������/2�

A0��������$�����$�������������������������6����������� ����8��9�

*����+�#!VK��������� ������������������������ ����������# ���������������������������������,$�����������������0�������������������������������� ����� ���������������������������������������,��0�������������4����������������������� �������������������0���������������������������0������,����

4,�������A����������(������ �� ����������

���������������������������� ����������α���������������������!�)���+���������������������������α-

���������C���������������)���>E����������� �����

α = = ⇒��

�� ���

α//�:���

2�A��� �������6�����4������������9�������������������(�������� �������������8!"������������������������������������������������������������-

������������������ �����������)��� �����������������

��� ������������Q�"G������������������*�������� �������(<:;

������� �������LπR �����R�������������������)!�Q����"

%��� ������6������ ������� �������� ������+

� � ���

����

� �N�°

⇒ = ⋅ ⇒π π

� �� ��= ≅��

� �π � ��

Page 22: Trigo No Me Tria

���������� #�����$��������

�������������

������������

������!���(��3���$������$������������������

���������� � �� ����������� ������� �����-

3��������������������������������������������������������������������0�������� ������(���������������������$���$������$�����(�����6������� ���������������

���������������������������������0��������%����� �����������,��0��������0�� �����-

�)!"/2!! �/�

4,�������7���������9:"���������� ����-���������

�����

�����

°°

= ⇒ =°⋅

°⇒α

πα

�

���

α π=�

����

����� ���

�� ���°°

= ⇒ =°⋅

°⇒α α

��\��\

���

α = �����

2�+��������������� ���-

���������

��

���� ���

π

πα α

���

���=

°⇒ = ⋅ ° ⇒ ���α&'L:;

K�� ����� ����� �� �����,���� ��������0� � ����������π ������ �)!"����������������6�-

α π α= ⇒ = ⋅ ° ⇒��

� ����

��� ��α = °120

./�������� ����2�!��!��� �������0�����6� ��������� ����

�� ���������(���� ����(������������������������� ������������8!"������������������������������6��������������� ����

������������*����(:;� ������������

����� ����

�����

= ⇒ =α

πα

π

� �����������>E��α = ��

� ����������������������+

α π π= ⇒ = ⇒�� ��

� �6�&�L���

� ����������������>E����������������������������������������������+

Page 23: Trigo No Me Tria

���������� #�����$������ ��

�������������

������������

π π π� � � �

��

=+

⇒ = ⇒ =��

� �

� ��= π�

6�&�L������ ��= π�

!2�������������� ��������������������������4�����������������; ��$��������6���������<49:����

��������������������6��������������>E������ �����

�������9���������B��� ���������6� �����������9���*��?�"

���������������*��?������� ���������������

���������°��

����(:;"

GA����������� ����"�C���������������>E� � �!�������9����+

α α+ = ⋅ °⇒ + = °� �� �� ��������������������α �����!�������������6 �����

� ��������S*������T� ��� ���������������������54��������� ������������'<"

G����!���� � ������������������<:��������� �� ������������ ������������*��E������������������(:;� ���������������������Q��������+

���

����������°

= ⇒��� �����

���

���= °⋅ = ���� = °

°

%��� α = ° = ° °⇒��� �� ��� ����� ���α�&�'LU 4;

�� ����������� � α�&�'LU;�(:V

!8�?������<4��=4�����������������; ������������ �����<:"�3�����#����#4��%����#�6����#���������#�������; ���

����������������� ��� �*����� ���@*��������>?�����

�������"�I��� ���E��)������<4;���������� ����!�������������������������������� ������� ��������������� �����������������)��������������+

=����������>?������� ��������6�→ ������S*������T� ��� �������������������!

�����'<�����������������������E�"7�→ ��������� �������������������>?��'L�

5������B���"9�→ ������S*������T� ��� ������������������

������������'L������B����������������������������"������������������ �7���)�����������������

)�9���!�

7�&�5�O�(:;�&�'L:;

������E���� �������������>E������W������������� ������������'<�� ���������������������

Page 24: Trigo No Me Tria

���������� #�����$�������

�������������

������������

���������A����<4;"������������ ���������������������� B�����'<��"�#���� ������ ������>?������*�����������6��9���)��>E�����"

����)��� ����������4����������� ������������ ����������������(:; � �����������������������Q��������+

� � ��� �����

°

= ⇒ = �

X��������� ���������������� ����������� ������(:;��������<:��������"

����� �����

�������

� �1°

= ⇒ =

������������������$��� ������������ ����������� �������������)���������������"

���� �

6�H�7�Y�9�&�<4;�⇒ ���

�H�'L:;�Y�<��&�<4;�⇒

����

,&�44;�⇒ ����&�':����

���� �

9�Y��6�H�7��&�<4;�⇒ �<��Y���

�Y�'L:;�&�<4;��⇒

����

,&�'24;�⇒ ��� ���= �����

I�������'<��'U�� ���� ����������E��)���������� ��� ��� ������� �� <4;� ��� ���$���� 6���� �

'<���':����� ���������

� ���"

Page 25: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� �!

�������������

������������

���������������������������������������������������$�������� �������� ���

�� ����� �� �����,��0� �� ��,����� ����������$�������������$��0����;���-���� �������������C������������0������������0�� ����

J�����$�����,����� ������������������� � ��� � ���� �� ��� ����������(�����������0�����������������$���������������%����$�����������,�������� ���� ����

M������������ �������� ������� ������������(��������������������$������������������ � ��� '% ���4����� ���,�� ��� �����������

7�����������(�������������������� ���"��-���� ������������ �� ����������������

M�� ����������������������������������������������������������������� �����

A���6��������������������������������������������������������������������-������������������������������������������������]�������0�����6�� ������������������������,����������������6����������������������6��������������������������$���4����������� ������6������������

L� ����

����$���$��������������������������������������������������������������������$���4�������������������B����������� �������%����0����������������#������������������������������

A� �� ��� 2� ��,��� �� �� � ����������������������������� ������6����������%����

L� ���2

+�������$R(���������������������0������������(���������������6�������������� ������������C� ���0����������� ����� ��������������� ������!#��!��#��V��!#��!�V�#�

?� ����� ������� � ����� ���� ������������$������������ ���������$��������������$�����������������������������������������4��%����

3���������0����������0������������������$����������0�����������������4�������3���6������C������$��������8^��9^$������������0��4����������

Page 26: Trigo No Me Tria

���������� %��������������������"

�������������

������������

���)������'��"������"%����"�����$��"%�_%�����������������Q������0����

������������������������������������������ ��������6��������������6�����������%������������$������`�`����� ���

�������������������� ���8��6a!�����������%Q���������!�+�������%����������������%������,���Q�$�������!�

A� �������0�� �����������������

���������������V � �V��!���2�8��C�������6������

L� ���8

3��������������4������������������� ���������������������� ����6 ����������������������������������������(���������������$��-b ����������'����������������6/!1b ������������6�'���������������

���3����$���������������������'�� ����`6`1

b ��6a!������ ��%������������������������������������4��%���1�6[!������ ��%����������������4��%�������������������� ���9�

L� ���9

B�����3������������������������$�� ���������� ������ ������� � ������������6��������������������������������� �����������

&�������$��������������������������(���� ��� �������������� �� �������������/2πR�����R��������

+������������������������������������������� ����� ��� ���������� ��%� ��������������2π��������+����������(���������$��-b ���������������� �����������2π

���#���%�����������2�����1b �� ���� �� ����������� `6`� �� �����

��� ��������������%������`6`����

������������������� ����������� ��� ����������� � � ��� ���;����������������6��$��������� ���

./�������� ����2�!��!��A��������� �����������������������

��� ��������������!�πc2�π�8πc2�2π�

���������=������������������������� ��� ��������������

�����W�����:��Lπ ���������� ����C��E��������

�� ���*���� ���π π�� ��

��π

"

Page 27: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� ��

�������������

������������

!2� &�����,������������� ��������������� ������������������������$��� ���-

�# 6/�

�# 6�/π�

�# 6/��π

�# 6�/−π�

����������� =�������������!���$��� � ����������������

����� ������������ �� �� �����������������'������� ��������� ������"

� F����������������������!���$��� ��� �����

��� � ���������������������� �������π�

������

������54;�

�� �� ��������� ������ �����*�������������

��� ���������π

�������������'4:;� ����������

����!���$���"

�� =������������$��� �������������� � �����!

����������������� �������π�

�������������<:;�

!8�K�����% ����� ����������������������� �������������������������������� ��� � � ����+����������6∈R ��� $��!≤6[2π�������������������6�������$�� � ������� ������% ��� �'�� ����� ����������

���������J��������������������������� ��������*����������!

�����*������� ��$�������������Q����� ������

Page 28: Trigo No Me Tria

���������� %���������������������

�������������

������������

���π ������������������� ���

� � ����������

���

=������������*��������� ��������� ���������!��������!���$��� ������ � ���������������� ������!

����� π� "�C����)���� � ���������������������

*����������W����������6��������������+

�������� �������

��� �� ��

= =π π π

������� �������

� = π�

�������� �������

��

��

���

= + =π π π

����� �������

� ���

�.

����

= + =π π π

����� �������

������6�&� ����

��

����

π π π+ =

����� ����*�������������6 ��������� ?������A���������>E�+

������ ���� ����� ����

= ������

π π π π π

���������������������������������"%�����"�����$��"%����������������������� ��������

���� ���� ��� ����������� ����� �������� ���������,��������������

3���$�������������������������$���$����� �������������������#�������� � $���$��� ���� ������� �� �������� ����������������%���$��������������������0�������������

B����������� ���:����������������������(������� �������������������J�!�!#� ���� ����%���� A����� $�� � ���� � ���� �����������������������������!#�

L� �:

M�� ����� ��������� �� ��������$������������ �����������������������

6������������→

�����������������������#�������������0��

��6→�������������6→��������� 6→����������#

��������������%�������������6���6#�������#�������������� 6#�

?� ������� �� ��������� $�� ���������������������6�������������������������������6��������������������� �����

U����%���������������4������$�����,������������������������%�����

Page 29: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� ��

�������������

������������

3��� ���������� ����� ��� ����� ���JZ��������������� ���:#������������������0�$�������������,���+����������6��������������������������������,��$����� ������� ���������6�����

��� � ���

�� �����

� ����

�� �� �

� ����

�� �� �

� ���� �

��

= = ⇒ =

= = ⇒ =

= ⇒ =

��� ���

���

�� ����� � ������ �� � ������� ��� ����������������������������������������#��3-������������������6���6�

�������������4������������0�����

������������ 6/�������� �$��'%���������

������?����������������������4��C�������

����$R(������ ����4������ ����� ���JZ��J�#�+�������,���������������$��

����

����

���

�� �� �= ⇒ = ⇒ =

��������

����������������� ������� ������������������������#���������#�$���������������������� 6�

3�������������������������������������� ����������������������� ������������������ ���:�������������������������������� ���������������������(������$�������������� ���<��<��A�����$��������#�������������������������������

L� �<�

L� �<�

L� �<�

L� �<�

Page 30: Trigo No Me Tria

���������� %��������������������

�������������

������������

L� �<�

L� �<�

L� �<

L� �<4

���$R(�������������������������������$����6���������6�����������-

b ���������������� ��� ���<�#� �������������������#0������������'��

��� �; ��� �; ����;

b ������������������ ���<�#�������� ���� �������� ������� ��� 6 a !# �������� ��������6[!#������������� ����������������#�� 6[!#1

b ������������������� ���<�#���������������30��� ��������6[!���6[!#���$�����#�������������������� 6a!#1

b ����������������� ���< #���������������� ��������6[!#�����������������6a!#��������#������������� �������� 6[!#�

U��C���������������$�������b 6/!��6/2π ��� ���<4#�����-

EFG� ����E� ��

��

���b �� �

π ��� ���<�#�����

EFG� ���E ��

� ==

���b 6/� ���<�#�����

EFG �� ���E �� � d

==

���b 6�/��

π ��� ���<�#�����

EFG�� � �E � �

==

���U �����������������$��� ����C���

$��������������������� ��������������

������6/π� ��� ���<�#�6/��π ��� ���<�#�

�����,$���0�4%�������0�������������

�����������→

Page 31: Trigo No Me Tria

���������� ������������������� ��

�����������

������������

��������������������� � ��������������� ��� �� ��������� ���� ������� ���� ������������ �������� ���� ����������� ������������� � ���� �������� ����� ������ �������� �� ��������� ��� ������ ��������� ��� ��� ����� �������� � ����� ������� ���� �� ����� ����������������

���� � ���������������� !��������������������������"�

���

=°⋅ ° + °⋅ °° + °⋅ ° + °

��� ��� ������

�� �� � ��� �� �� �

������ ���

���������

�� � � �� � � �

�=⋅ − + ⋅ −

+ ⋅ += −

� � � �

�# $������= π%

������� ���������������

Ex x

xx=

+

����

� �

��

���

���������

������������� ������� ����������������

�=+

��� �����

��� ���

π π

π π

�� � �� �

��

=− + ⋅

−=

− �= − �

�& '�����������������������������( ��)�������*+�,�����#��+�,�����&�*+�,�������#*�+�( ��)������,�����#�,�����&�,�������-

�������������� ��!�������"������������������������#

$����

�% ����&'()�*�'��"��+'')�,�'����"�-'()�.

> ° =°

<���� ���

�� ���� /��

�cosec %./

��.�0�1�2�1�0�1�2�⇒���*�'

�% ���� &� *� '� �"�� +� ,� '�� ��"� -� .� �����

� ,� '�

"��"�3�.� �� �

�,4���.�0�1�2�1�2�1�2�⇒ ���,�'

������� ���% ��*�'���% ��,�'

�0 12�����$3(��������������������������

����∈ � �� π ���������,�������4���������,�������5��6

���������������1�"����*�'

Page 32: Trigo No Me Tria

���������� %���������������������

�������������

������������

������������ ]�^_� ]

<>

�����

������� ���� �

���� ��><

������ ���� � �� � �

����⋅ < ⇒ ⋅ <

J����������$������*�������6�K�:������6�[�:������6�[�:������6�K�:

���������������������������>?���*����������)����

6�∈�(`���������"

������+�6 ∈�(`���������

!:� �+� �������XD# @� � �� 6 / 8c: ���π π< <� � ����0�� 6����-

�# V9c8 �# =c9�# V8c9 �# V=c9�# :c8� ���������

���6�H�����6�&�'⇒����6�H���

���

��� =

���6�H����

�= �� ⇒����� �����

� =

���� �.

= ± "������6�∈ Fa�������������6�[�:

��������6�&�Y�5P4"

tg xsen x

xsposta tg x= = = ⇒ = −

cos

–– :

4 5

3 54 3 4 3��

� ���������������������������������������������������

��������������>?����� ������������� ���� ��!�����������������"�I������������*�����������B����� ���*�����������������)��������� ������ �����������������������������B�����"

���������

��� � ����������

= =

4��&�(��H�7���⇒��7�&�5

6�∈�Fa�����������⇒���� ���

= −

���'��������*�"��"��+������,���"����"��A��� ����� ��������������������

������������� �������������� ����������������6���������������6����������������������������$���������

B�������������������������Q����������(�����0�������������������0��� ��6������������ Q��� ���� ��6����������������6�������������������������

Page 33: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� ��

�������������

������������

A����� ������$��� ����� ��� ������������������6�������-b ��������� ������������������

π V61b ��������� ������������������

π .61b ��������� ������������������

2π V6����������V6�

��������� ��������������������������������������

���$��������� ���"#���.�/�!����!���!��A��� ����� ��������$����������

������������������0�����6�������������(������������������������������������

K����,$���������$������������������������������-����6���6#�������π V6#����π V6##���������� ���������������-

���π V6#/��6���π V6#/V��6

B�������� ������ $�� � �����# �#�� ��������� �� ���� � ��������������

�����↔

����

↔��(��������������������

+��� # � #� ����� �� ������ ����#���� 6#�#����� �π V6##�����,���$��-

� �π V6#/V� 6

���$��������� ���"#�7������!��.�/������!���!��B��������� ���������������� ���

�� �������������������0�Q��� ������6�������������(���������������� ��������������

K����,������C�����������������������������������������6���6#�����π .6#����π.6##��������������������������0��������$��-

���π .6#/V��6���π .6#/V���6

���������������������������↔

��↔

� ��������������#�#� ���� ������������$R��������������������� ����

+���#��#���������������������#���� 6#�#� ���� �π .6##���,���$��-

� �π .6#/� 6

Page 34: Trigo No Me Tria

���������� %��������������������

�������������

������������

���$��������� ���"#���.�/�!���%�������J�������� ����� ���������������

���������������0�����6���������A�����$��������������!�����������������������������

?����������������������0�-����6����6#�������2π V�6#����2π V6##�

������������������������$��-

���2π V6#/V��6���2π V6#/��6

B�����# ��#� ���������� �������

�������������������� ���↔ ↔

� ���������������������������������������

?��������#�#�����#���� 6#�#����� �2π V6##�����������,��$��-

� �2π V6��/V� 6

B��������������������������6�������������������������V6#�B���������������������������������������������������-

���V6#/V��6���V6#/��6� �V6#/V� 6

?�����������$�������������$������������,��$������������������������ ! � 2π ���� ����������� �� �������� ������������������������ ���b �(����� �������������������

�����0�����6����������� ���6������#1

b �(������� � ��� � ��������������������0�����6�����������6���������#1

b �(���� ����� ������������������������0�Q��� ������6������������

./�������� ����2�!��!��+��������������������� ������

������ ���-�# �:!"

�# ��π

�# 8!!"���������������� ���������������� � ����������

�������� �����+F"������������������������������������6������!

���������\FF"������ ���� ��������������� ��� ������������!

������ �����������9���\FFF"��������������*����������� ���!��������!

������������������������� ��������������� �6! ������� ���� ��������������*������������ �������!����������������������"

�#

���'4:;�&����(:�

���'4:;�&���

Page 35: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� �!

�������������

������������

����'4:;�&�Y�����(:;

����'4:;�&��� ��

���'4:;�&�Y���(:;

���'4:;&V��

�#

��� ��

� ����

π π=

��� ��

� ��

π=

��� ��

� ����

π π=

��� ��

� ��

π =

�� ��

���

π π=

�� ��

�π =

�#

���(::;�&�Y����<:;

���(::;�&�Y���

����(::;�&�����<:;

����(::;�&���

���(::;�&�Y���<:;

���(::;�&�Y �

!2� @� 6 � �� ���� ����������� �� �^$������������$��� 6/!�=:��������-

�# ���π V6#�# ���π .6#������������������� �������������*������������

��!�����6 ������E�� �����*�� � ����6���������� ����������������"

��������6@��������������������������������! @�����L ������+

����6�&�����6�H�'�⇒ ��

��� ������

�=

�����6�&�: <5 ∴�����6�&�: 2

����6�H������6�&�'�⇒ �����6�&�: (<

∴����6�&�: <

Page 36: Trigo No Me Tria

���������� %��������������������"

�������������

������������

�� ����π �Y�6��&����6

���π �Y�6��&�: <

� ����π H�6��&�Y�����6

����π H�6��&�Y�: 2

!8��K?&V3X#B��������6���0����2π c8#.���8π c2#.� �:π c9#�-

�#� ���

�# V�c2�# !�# �c2

�# � �����������

����Lπ c(#/V����π c(#/���

���(π cL#/V'

���4π c5#/���π c5#/ � � �����Lπ P(#.���(π PL#.����4π P5#/

� ��� � �

�+

= =��� ��

� � ��

���������

!9��L>JV@3#��� �������-

��# EFG� EFG�π π�

��

= �

�2# ��� � ���π π�

��

=

�8# �� ��π π�

��

=

�9# ����� �����π π�

��

=

3�������,��$��-�# ���4�����������������# ����������������������# ������������0����������# �������(����0����������# ����0�������������������'� b���� � �������π P<�&����4π P<

����6�&�����π Y6���L� a�������������6�&�Y������π Y6���(� a������������6�&�����π H�6���5� a������� � ���

������6��&�������

����� � �

���� � �

⇒ =π π

������+�C

���-.��(�����"�����$��"%�����*�"��"���/����U����%���$����������������� �����

�� � $�� ��� � �� ��� �$���0���� ����������������������(������������� ������6�����-b �� ���������� 6/�V��� 6��������

���������������,$�������%����������������������$���$�������$������4����������6�

b ��6���0����6/V �� ��������#!

�������'���0�������$���$���������������6$����������������������� ����V�c)�3��������6����������; �������$���0����'�����0���%����'��������������6$��������,���

3���$���������������,��$���������#!������������������ ��������������������������; �����������������������,����� �����������

Page 37: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� ��

�������������

������������

@���6���0�����������������������$����$��������������C�������; ������������%���4���������������������������

K����,$��4%��� ������������ ��������$�����$���������������������� ������������� �� �����%������$��������������,�����$��������������6��

&���.+��"#�!�-�������/8�+�����������������(������������

�����������V�������$���0�;�������������0�����������������$���∈fV���g�

3��������������������������������$���/��α ������

��6/�⇒��6/��αB������6�α ����������������

�� � ������ �� �� ��� �� �� �������� ���������� 0�������������� ����������������0�����6������������

L� ���

�������������� ������,���$�������!≤α [2π�

��� ��������

= ⇔=

=

�����

αα

π α�

&���.+��"#�!�-�������/8�B�����$�������������������(����

��� �����������(������������������C�����������������������������������#�������������V����&� �����������$���0�;�������0�������$���∈fV���g�

A�������������������������������$���/��α ������

��6/�⇒��6/��αB������6�α ����������������

������������������� ������������ ���������� 0�������������� ����������������0�����6���������

L� ��23���$�������������� ����2������

���������$�������!≤α [2π�

��6/��α⇔=

= −

�����

α

π α��

&���.+��"#�!�-������/8�?$�������� ����� �(�����0�����

$���$�����������������@����α ���$���/� α ���������,��$��-

� 6/�⇒ � 6/� αB����6�α���������������� ���

�� �� � ������ �� �� ��� ���� �������� ���������� 0�������������� ����������������0�Q��� ������6��������������������������������#�

L� ��8

Page 38: Trigo No Me Tria

���������� ���������������������

�����������

������������

����������������� ������������≤ α����π������������������ ��

����������α����⇔=

= +

�����

α

α π��

���� � ����������������� ��������≤ �����π���������������� � !����" ���������#" ���������

�" ��������– 12

���������

��

������������ ��������� ���������������������������π��

��

�������������������������������� ���������� ������ ����������� ���������������� !�������������

�����������������������π

��

"��� ��������

���������������� �����

π�

����������� �

����� #��$ �������� ������������#�����������%���

����

���������� �����������#����&������� ������������π�

�'π

���π�%� π�

�������(��

�������

��

π π�� � =

��� $%&'(�)� ����"� *������� �� �� � +������� � � ��������≤���≤��π

���������

"���)π �*��+π �*,�,�)������������������ ����≤���≤��π,������(

����������- ������� +������� � +���������.�������/���������������-��������� ������ ��������#�����������./��#�!� ��0����� ��1�����#�������������������./��� � �����������

����� ��#�����0��'�0�%�2����

Page 39: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� ��

�������������

������������

� ����������)B������������e��� ����������������@9�+

y senx

y senx

= ⇒ =

= ⇒ =

���

���

�� ��

��

��

=���������������������� ��� �������������*�����*�������������B������6 �����������+

� �� � �� �= = =π π π�

��

��

� � � �

�����

�� = ������

π π π�����

� �

!9�@�6 � ���$��!≤6[2π� ���������$�������6������������� ���-

�# ��6/V��# ��6/!

�# ��6/��

���������

��

G��������������*��������������������������������� ��������+

�6�& π�

�� ���������*�����:�����6��������!���� ��������!��� ��������� ������������������������@9��������>E��+

��6�&�π�

������������6�&��

π

��

��������������*����� �

�����6��������!����

����������������@9�+

��6�&� π�

����� 6�&� ��

π

!:� �3K+�@3#��������C,����$����0���6.��� 6/!1!≤ 6≤ 2π�����������-

�# π�# 2π�# 8π�# 9π�# :π�������������6�H������6�&�:�⇒�����6�O��'�H�����6��&�:

Page 40: Trigo No Me Tria

���������� %�������������������

�������������

������������

����6�&�:����'�H�����6�&�:�⇒�����6�&�Y'

G����&�π PL�H�(π PL�H�π �&�Lπ��H�π �&�(π���������

!<� @����6�����������$��!≤6[2π����������$������ �����-

�# � 6/��# � 6/!�# � 6/V ����������

��

����������*����������������������������� �����@9��������>E������������E�+

6�&� π�

�� 6�&� ��

π

J�*�����:�����6���������������������!�����������+

6�&�: �� 6�&�π

��

C���������������������������������������� ��!���� ������@9��������>E������

�6�&���π

���� x = �

π

!=�3�����������6 ��� $��!≤ 6 [ π��������� � ��� �� ��C,� �� �$���0�

��� �� = �

���������Z���� �������� ���L�������*������*������� ���

���������6 �����+:�≤�6�[�π��⇒��:�≤�L6�[�LπC�����>E��)������������������� �����+

�� �� �= � ⇒���� ����� �

� �

� �

=

= −

�����

Page 41: Trigo No Me Tria

���������� %������������������� �

�������������

������������

C���������������������� ����*�������+

��

��

��

��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

=

=

=

=

����

����

=

=

=

=

����

����

π

π

π

π

π

π

π

π

%��� ��������������@9��������������+

� = + + + =π π π π π�

��

G�&�Lπ

Page 42: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �

�������������

������������

����������������� �!������������������������A����;�����������'�������������

��������� �� ������0��� ��,�� ��� ����������������� ����0����%���������������������4��������������������� �����������$������������������������ ������������������������ ������'����

B��������$����0���������������������� ���� ��� ��������� ������ �������� ��������0��������,������� ������������������� !"������������������� ��������� ����������������������(�����

���"��������%�������������� �� ��� � ��( ����� ��

������� ����J���J�C�JfC���$�������4������������%������� ������ �����J��&�JC�&���

B�������$���������� ������� � ��� � �������� ��������������������� ���J���J�C ��������� ���������������������H�������� ���JfC����������������������������������������H�����-

EFG � �� � ����

��+ = = ⇒N

����.#/Cf

���� �� � ����

��+ = = ⇒N

����.#/Jf

�������������� ���J�C����������������������������� �������-

EFG�� ����

��= = ⇒�

�C/��

����� ����

��= = ⇒�

J�/��

L� ����

A�>������������������$�������� ��� ����� ��������������������������������� ����������0������������������0�����C��������$�������������0��������������� ������������ ��

������ ����� 0����$������ /���� /�������,$��������� ��� 0����������

�����������������������������������������

A� �� ���2� ���������������� ���������� ������� ��� ����������������������������������� �P������������������������ �������� ����J�R��CG������������������0��B�������$��� ����� ��� � ��� ������� �(����� ��������������������

Page 43: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �

�������������

������������

�������������-b ������� ����CG-

EFG�EFG

� ����

���

= = ⇒ �G/�����1

�������

� ����

���

= = ⇒CG/�����1

b �������� ���J�R-

EFG���E�

� ����

���

= = ⇒�R/�����1

������

� ����

���

= = ⇒JR/������

L� ���2

J����������������$������.#/Cf�B����������� ���2�������������������6���0�����-

����.#/�R.CG⇒����.#/���S��.���S���

+�������.#/Jf������������ ���2�����������$��-

����.#/JRV�G⇒����.�#/���S��V���S��

����$����6 ≠ !��������� ���6�

�%���������������� 6/��� �����

3�������������������������������

,������ ������������� ������������������� ���-

� ��.#/��� � ����� �

� �� �

++

� ��.#/EFG� ��E� EFG� ��E���E� ��E� EFG� EFG�

� � � �� � � �

⋅ + ⋅⋅ ⋅�

��������������������������������������0����������������������-

��

���� ���� ���� ��������

�������� ����

��� ������� ����

��� ��� ���

���� �

� �� �

� �� �

� �� �

� �� �

+ =

⋅⋅

+ ⋅⋅

⋅⋅

−⋅⋅

���� ���� ��

� �� �� �� �

+ =+

− ⋅�?���������������� ����������

$��-����.#/���S��.���S�������.�#/���S��V���S��

���� ���� ��

� �� �� �� �

+ =+

− ⋅� <��=�>�?≠≠≠≠≠ @

���0"1�����������%��@�'����6V7#/��f6.�V7#g�������������;�����'%���4���������

��-���6V7#/��6S���V7#.���V7#S��6�������,����������0����^$�����������V7#/���7����V7#/V��7�����-���6V7#/��6�S��7.�V��7#S��6�

���-���6V7#/��6S��7V��7S��6A @�'����6V7#/��f6.�V7#g�������������;�����'%���4����������-���6�Y�7#/��6S���V7#V��6S���V7#�������,����������0����^$�����������V7#/��7����V7#/V��7�����-���6V7#/��6S��7V��6�S�V��7#�

���-

Page 44: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#����

�������������

������������

���6�Y�7#/��6S��7.��6S��73�������,�������� ����������������

�����,��������������������-� �6V7#/� f6.�V7#g�������������;��

����������0��������

� �6V7#/��� ����� ���� � �� �+ −

− ⋅ −� �� �N

������������0����^$��������-� �V7#/V� 7

&� ��� �6V7#/��� ���� ��� � �� �+ −

− ⋅ −� �� �� ����-

� �6V7#/��� ����� ���� � �� �−

+ ⋅�

3����������������� ������������C���$��-

����V#/���S��V��S��������Y�#/���S��.���S��

� ��V#/��� ����� ���� � �� �

−+ ⋅�

<��=�B�?≠≠≠≠≠ @

./�������� ����2�!��!��+������������������������������

������=:"��������������������*��U4;� �����������������(:;

H�54;"��������6@��������6 ���?������� ���!����

�������������� ��������+

g ���U4;/���8!".9:"#⇒

���U4;�&����(:;�����54;�H����54;�����(:;

������⇒ ����U4;�&���

��

��

��

⋅ + ⋅ ⇒

������������U4;�&�� ��+

b ����U4;�&������(:;�H�54;���⇒����U4;�&�����(:;�O�����54;�Y����(:;�O����54;��⇒

����U4;�&���

��

��

��

⋅ − ⋅ ��⇒

������U4;�&�� ��−

g ���U4;�&�����(:;�H�54;���⇒

���U4;�&��� �� ����� �� �� ����

°+ °− °⋅ °

�⇒

���U4;�&�

��

� ���

� ��

� ��

+

− ⋅=

+

−��⇒

���U4;�&�� �� �

� �� �

+−

⋅ ++

��⇒

��������U4;�&�L�H� �

!2�@����6�7�� ���� �����������

�$����6/��

���7/�����������������

��������������6�H�7�������������������������� ���$�����$���������������

���7������6"������ ������ � ������������������������H��������&�'�����������������������E������� ���������������������+g ����6�H������6�&�'��⇒

�����6�&�����

����

− =

∴������6�&����

g ����7�H������7�&�'��⇒

����7�&�����

����

− =

∴�����7�&����

� �������!�����*�������������������6 ���E��������������� ������+

Page 45: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� !

�������������

������������

����6�H�7��&����6�O�����7�H����7�O�����6��⇒

����6�H�7��&�����

���

���

⋅ + ⋅ ��⇒

����6�H�7��&������ ���+

�����������������*�����������6�H�7� � �������9����+

����6�H�7��&��

������ �+⇒

����6�H�7��&� ������ ����� ���� ����⋅ − ⋅

��⇒

�����6�H�7��&� ����

��

��

���

⋅ − ⋅��⇒

����6�H�7��&���

�� � ��� � ��� � �−

⋅ ++

��⇒

����6�H�7��&����� �� � ����+

−��⇒

���6.h#/−+�� � ��

!8�+������������������������������ �������:"�

������������������9�����'4;������ ��������)��>�

<:;�Y�54;������ 54;�Y�(:;"�G������9����������W�����)������ ������� �� ����������6 ���?������� ��!�����������������)��>� ����������������!������������+g ���'4;�&�����54;�Y�(:;���⇒

���'4;�&����54;�O�����(:;�Y����(:;�O�����54;

���'4;�&���

��

��

��

⋅ − ⋅ ��⇒

���������'4;�&�� ��−

g ����'4;�&������54;�Y�(:;���⇒����'4;�&�����54;�O�����(:;�H����54;�O����(:;

����'4;�&���

��

����

⋅ + ⋅ ��⇒

����������'4;�&�� ��+

g ���'4;�&�����54;�Y�(:;�

���'4;�&������ ������ ����� �����

°− °− °⋅ °

�&�� �

� � ��

+ ⋅��⇒

���'4;�&�

� ��

� ��

� �� �

� �� �

+= −

+⋅ −

−��⇒

���������'4;�&�L�Y� �

!9�@������$��� ��/8�� �/2����������� ���V#

������������������!������������������������ ���

�����*���������������� � ������)�9�

��������Y���&��

���� ��− ��⇒

��������Y���&�� ���� �������� ����

� � �� �

+ ⋅−

=+ ⋅

−�⇒

���������Y���&�U

!:��P��i��,���@3#

+�������- 7/����28".�#V���:="V�#

���������

����'L(;�H����&����'L(;�������H����������'L(;

����4U;�Y����&����4U;�������Y����������4U;

Page 46: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� "

�������������

������������

������'L(;�&�'2:;�Y�4U; ���E������'L(;�&����4U;������'L(;�&�Y�����4U;"

I��E�+7�&�����'L(;�Y����4U;��������YY������'L(;�H�����4U;������7�&�:�O�������Y�:�O������&�:

����������7�&�:

!<��L�����@3#

A� ����� ��� ����� ������� � ������

�� ��� �����2. � ����������������

���@�'�C��������������$���C/���+������� �α.β#���$��α�β0���������������������������� ���� �� �

���������

1

1

AC

B

�1 3�

D

�� ���

��������������� � �� �

α β=+

��� � ��� ��

� � ���

� � � �

α β+

+

− ⋅= +

++

��������������������= +⋅

−−

= =�� �� �

�� �

� ��

��

������+� �

!=�+�������%���������� �������6��

A

75°

4

B

C

���������

������ ���

���U4;�&����

���&�5�O����U4;

���&�5�O�����(:;�H�54;�

���&�5����(:;�O�����54;�H����54;�O�����(:;�

���&�5�O���

��

��

��

⋅ + ⋅���

���

���&� � �+

����U4;�&����

���&�5�O�����U4;

���&�5�O������54;�H�(:;�

���&�5�O������54;�O�����(:;�Y����54;�O����(:;�

���&�5�O���

��� ��

��

⋅ ⋅���

���

���&� � � �

h���&�� � � � �

�� � � �+

= =��

������+�h���&�L��"�"

Page 47: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �

�������������

������������

�����%��0���3�������,������������������ ���

��������������������������,�������6���������,��������������������,�����������������/��

����������-����.�#/����.�#/��2�⇒��2�/���S���.���S���⇒

��2�/2���S���

����.�#/����.�#/��2�⇒��2�/���S���V���S���⇒

��2�/����V����

� ��.�#/� ��.�#/� 2�⇒

�� ���� ������ ���

�� ������ �

��

��

� �

=+

− ⋅

=−

X�������� � �6����� $����������������������� �����������������0�-

�# ��2�/2���S���2# ��2�/����V����

8# � 2�/�

�� �

�� ��� �

�−

≠���

*����+�#!&��������$������.����/����6����

0���������������������������������# ����/�V�����

��2�/����V����?��0�-

��2�/�V2����2# ����/�V�����

��2�/����V����?��0�-

��2�/2����V�

./�������� ����2�!��!��@��������$������ ���θ ���$��

![θ[π�������� ����!�<������������

���������������������� ������2θ����������������������θ�&�: < ������*9�����θ���������

��������������������θ������θ �����*������������!������������+

g ����θ + �����θ��&�'�⇒: (<�H������θ��&�'⇒�����θ = : <5��∴ ���θ = : 2

g �� ������

�� ���

�� ��

θ θθ

θ θ

= ⇒

= ⇒ =

8����9��������6 ���?��������9����� ��������������������� ������+

g ���Lθ�&�L����θO�����θ�&�L�O�: <�O�: 2��⇒ �����Lθ & 0,96g ����Lθ�&������θY�����θ�⇒

����Lθ&�: <5�Y�: (<�⇒����Lθ�&�: L2

g ��� � ��� ��

��� � ����� �����

��������

�� � ���

�θ θ

θ

θ

θ

=−

= ⋅−

= ⇒

!2� @���� ��6 V �� 6 /i�������������26������0���i�

���������I�*����������������������������������6!

���E������ ������+����6�Y�����6����&��e���⇒

����6�Y�L����6�O�����6�H������6��&�e�

���������6�H������6��&�' � ����������*����������������������+

Page 48: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �

�������������

������������

'�Y�L����6�O�����6��&��e���⇒

Y����L6��&��e���Y�'�⇒

���L6�&�'�Y�e�

!8� �L>J�@3#X������ � ������$������ ��� ����������-

�#��� � =��

���$��� �≤ ≤� π

�#��6/��26���$��� �≤ ≤� π

��������������� �≤ ≤� π

�� ���� ��

����

� �

�� �

= ⇔ =

= → = ������

π

π π π

� ���6�&�����L6�⇔ ����6�&�'�Y�L�����6�⇔

⇔ + − = ⇔

= − ⇒ =

= ⇒ = =

= ������

���� � ���� � �

���� � � ��

���� ��

�� � �

�� ��� ��

π

π π

π π π

!9�B���������������� ����

���������

�� ����

� ��

�� ��

��

��

� �

���

��

��

α αα

α

� �

� �

=−

=⋅

− ����

=

+ = → =

��������1����������*����?������������������������������

���� ���������������.��$����V��$����.��$����������3������������������� ������;�����������0�� ������0�-

����.*#/���S��*.��*S����M#����V*#/���S��*V��*S����MM#����.*#/���S��*V���S��*�MMM#����V*#/���S��*.���S��*�MJ#?��0�����-M.MM-

����.*#.����V*#/2���S��*MVMM-

����.*#V����V*#/2��*S���MMM.MJ-

����.*#.����V*#/2���S��*MMMVMJ-

����.*#V����V*#/V2���S��*J�������������� ���-

� � �� � �

� �

���� �

X���������������������������-

�� �

� �� �

��

�� �

@������������$������ �������������������������-

Page 49: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �

�������������

������������

���� ���� ���� � � �

���� ���� ���� � � �

� �� � � �

� � ���� �

���� �

� ���������������

� �������

�������

� ���������������

���������������

�� �

�� �

�� �

� �

���

���

��� ��� ��� ���

��� ��� �

$��0���;��������������0��4,����L������-�#��9!�.��2!�

�#��2!�V���!�

�#��)!�.��2!�

�#��=!�V��:!�

�#��:!�.��)!�

�#�.��2!�

%����#!�#��9!�.��2!�/

= +���

��� ⋅���

���⇒� �� ��

��� ��

����

� � � �

��� �

��9!�.��2!�/2��8!�S���!�

�#��2!�V���!�/

=���

��� ⋅

+���

���⇒� �� ��

��� ��

����

� � � �� ���

��2!�V���!�/2��:�S���:�

�#��)!�.��2!�/

=+�

����� ⋅���

���⇒� �� ��

��� ��

���� ��� �� � � �

��)!�.��2!�/2��:!�S��8!�

�#��=!�V��:!�/

=+�

����� ⋅���

���⇒� �� �� ��

��� ��

���� ���

� � � �

��=!�V��:!�/V2��<!�S���!�

�#��:!�.��)!�//��:!�.���!� /

=+�

����� ⋅���

���⇒� �� ��

��� ��

���� ��� �� � � �

���:!�.��)!�/2��8!�S��2!�

�#�.��2!�/��!�.��2!�/

=+�

����� ⋅���

���⇒� � ��

�� ��

���� ��� �� � �

��!�.��2!�/2���!�S���V�!�#�����V�!�#/���!�

���-�.��2!�/2����!�

./�������� ����2�!��!��@������������6���0��

���� ���� �

��

��� �����

���������

����� �� ��

�� �� � ��

����

� � � �

�=

+���

��� ⋅���

���

������� ����

����

� �

��

I�&�L����L4�

!2�L��������6���0��h/���.2��2�.��8����������7�&������H����(��H�L����L�

� � ��� � ���

�� � ���

������=+��

����

�� +

7�&�L����L��O������Y���H�L����L�����������Y���&������ �����+7�&�L����L���������H�'�7�&�L����L���������H�����:�

� ������ � ��

�� � ��

� ������������ ����

Page 50: Trigo No Me Tria

�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#����!

�������������

������������

� � ����� �� ��

�= ⋅

!8��L?M�@3#

@����������������� � ���� �

� � �� �

�� � ���

�����-

�# � 6�# ��6�# ��6�# � 86�# ���

���������

��� � ���� �� � �

��

� ���

� ���� � ����

��� � � ��� � �

��� � � � ��

��

��

� ��

��

=

+���� ⋅

−����

���� ⋅

+����

=

������� C

!9� �3K+�@3#7�������������������������6���0���=!�.��8!���������-�#2��2:���:�

�#2��2:���:�

�#2��2:���:�

�#2��2:���:�

�#���������������U:��&�����L:� �����+���U:��H�����(:��&�����L:��H�����(:��&

���

���������

����

� �

������ ��

����

�� � ��

������ ������

� � � �

Z��������Y4��&�����4 �����+���U:��H�����(:��&�L�����L4��O�����4�

������� �!:�7��������������������6���0�

����6��h/���6V���86����������7�&�����6�H����(6��O�����6�Y����(6�

� ���� � ���

�� � ���

� ��� � ���

�� � ���

����

�����

���

� � �����

���

��

7�&�L����L6�O������Y6��O�L�����Y6��O�����L67�&�iL����L6�O�����L6j�iL�����Y6��O������Y6�j7�&����56�O�����YL6����������YL6��&�Y�����L6� �����+7�&�Y����56�O����L6

Page 51: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ���� !�

�������������

������������

�����������D% �������$��� ���� ���������� ����

2π[6[2π������������������������������ �����������A����������������C����������������������������(����������������������������������������������������������

j��������������6���������������$��6≥2π��6≤V2π��������������6�������3���������� ������������������������������� � ��������������������� ������ �����������4��%�����4��%������������6a!��6[!����������������

B�����3������������4������6������������6���������� ��������������������������30�����������6���6#�

+���������0���������������6�����������3���������� ��������������������,���� ��������������-

+�6/�������3@��6/����������3

7 6/��� �

���� �����$����6≠ !

+�� 6/������� � �����$����6≠ !

@��6/�

���� �����$����6≠ !

+���6/�

��� � �����$����6≠ !

���������������6������������������������������ ����������1������������������������������ ������������������ ������ �������� ������ ����� $���4�������������������������������

4,����

�^# ��������������������������3���������� �����������

2^# �������3� ������������������-

�/�k����������0���������.2π/2k����������0���������.9π/8k����������0���������.<π/9k����������0��������������������������������������������V2π/�k����������0��� ������V9π/2k����������0��� ������V<π/8k����������0��� ����������������������������������������

� 2���%����"�����$��"%�@������ ��������������� ��

�����������$��!≤��[2π���,���$������������������������0����������3�

+4����� �� ��� ����������� �����'�������������������-

� � � ����� ������

= + ⋅ ∈�

�π�

���-i/! ⇒ � / �� �������������������0�

���������3#i/�⇒ �/��.2π�� ��������������0�

���������3#

��������"�����������������#$�����%����

Page 52: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ����!�

�������������

������������

i/2⇒ �/��.9π�������������������0����������3#

�����������������������������i/V�⇒ �/��V2π�������������������

�0��� �������3#i/V2⇒ �/��V9π�� ��������������

�0��� �������3#�����������������������������

@������ ��������������� �����������$��!"≤��[8<!"���,���$������������������������0����������3�

+4����� �� ���� ��� ���������� �����'�������������������-

� � � ����� ������

= + ⋅ ° ∈�

�� �

i/ ! ⇒ � / �� �������������������0����������3#

i/�⇒ �/��.8<!"�� ���������������0����������3#

i/2⇒ �/��.=2!"��������������������0����������3#

����������������������������i/V�⇒ �/��V8<!"�����������������

���0��� �������3#i/V2⇒ �/��V=2!"�� ������������

���0��� �������3#������������������������������������������� �����$������

�������������0����������3�� �������� ����������1���������������������������������������������������������������������������������4����������������������0���3�

4,������� )!"+������������������8<!"����0�-

)!"/8k�����������������������3�2<!"/�k����������������3�3∈8^$���������

2����π ���

+������������������2π���/��π ����

���0�-

���π ��� /9k����������0������������

�����3�

��π ���/�k����������0����������3�

3∈2k$���������

8� V2!!!"+������������������8<!"

V2!!!"/<k����������0��� ��������������3�

Page 53: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ���� !�

�������������

������������

V2!!"/�k����������0��� �������3�3∈2^$��������

9� � ���π ���

+���������������������

π π��� ���= �

� ���π/9k��������� ��������������3�

� ��π/�k��������� �������3�

3∈8^$���������

*����+�#$���#@����6�����������������$��!

≤6�[2π, ��,���$��6/6� .iS2π�i∈l���6�����!����� �� ���� ������� �������� 3 ��6��������� �� 6�# �� �������� �����������

4,����B������������������������3

���� �����������6�������-

� �= + ⋅π π�

2# T����� ����$���������������,0���� ��������������������������������������������#�����$��2�����$��V2���������������������������������������������0����������������������������

4,�����

�� +������� EFG���π

EFG EFG EFG���

�� �

��

π π π= = =

Page 54: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ����!

�������������

������������

2� +������� ������π

��� ��� � ��� ����

�� �

π π π= = =

���-3�����(�������"�����./�����#�6����!�� �����������!�����0����@�'�������� ���� 6���������������

��������0������������� �����#����������3���������� �����������

��������������������30�-��� � � � � � � � � ���� � � � �

� � � � �� � � �π π π π+ +

3��� ������������ ����� ���������� ��0�������������� ��,0�2π� �������������������������3�������6���0�-

� � � � �= + ⋅ ∈�

�π�

4,������� ?6���0� ������ ���� �������

��������-

� � � �= + ⋅ ⋅ ∈� �π�2� ?6���0� ������ ���� �������

�������*-

� � � �= + ⋅ ∈π π�

� �

8� ?6���0� ������ ���� ���������������Y-

� � � �= + ⋅ ∈π π� �9� ?6���0� ������ ���� �������

�������*Y-

Page 55: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ���� !!

�������������

������������

� � � �= + ⋅ ∈��

�π π�

*����+�#!7��������������

� � � �= + ⋅ ∈� �π π�

����./�����#�6����!�� �����������!���./�����!�!��!���9�������@�'������������6����������������

��������0������������� �����#�������3���������T��6�������������������������������� �����������

���������������3��T0��������-

� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � �π π π π π+ +

3������������������������������� ��0����������������,0�π� �������������������������3��T�������6���0�-

� � � � �= + ⋅ ∈�

π�4,������� ?6���0� ������ ���� �������

�����������Y-

� � � �= + ⋅ ∈� π�

2� ?6���0� ������ ���� ��������������*��*Y-

� � � �= + ⋅ ∈π π�

8� ?6���0� ������ ���� ��������������P��A� ������$���P ���

��������π ��� �

� � � �= + ⋅ ∈��π π�

*����+�#!

7��������������� � � �= + ∈� �π π�

����./�����#�6����!�� �����������!���0�����+��9�2�!���������:��;������0�����*�����+���������������3��3��3������3�

$������������������ �������������������� ����

@�'�������� ���� 6�����������������������0������������� �����#�����������������������

Page 56: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ����!"

�������������

������������

��������������������0�-

��� � � � � � � �

� � � ���

��

��

��

��

��

��

� � � �

� � �

� � � � �

� � � � �

⋅ ⋅

+ + ⋅ + ⋅

π π π

π π π

3���������������������������

��� ��0����������������,0��π�

�������

��������������������������������6���0�-

� � �G

� �= + ⋅ ∈�

�π �

4,������� ?6���0� ������ ���� �������

���������*��Y��*Y-

� � � �= + ⋅ ∈� ��π �

2� ?6���0� ������ ���� ��������������P��P��P��P���P�����������������% ����� �����������$���P����

��������-

� � � �= + ⋅ ∈π π�

��

*����+�#!?6����������6����� ����$�����

��� �������,���� �� ����������������� ���%�������������������������0����6������$��������������

4,����?6���0� ������ �������������

�����3�3Y������������������0�����6�

������������$���3������������

3��������������6���0�-

� � ��= + ∈π π� �

���� �

A�������������-

� � � � � � �= + ⋅ = + ⋅ ∈π π π π�

O ��

O �

Page 57: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ���� !�

�������������

������������

./�������� ����2�!��!���(�������������������0��������

������

�# �2!!" �# ���

π

�# V�!2!"���������

!2�+���������� � �� ��� ����6���*+�?L���4�6% ����� ����#�

��� � �6���0� ������ ���� ���������������-�# �

��������� � ��� � �∈ ⋅ �π

�# P

��������� � ��� � �∈ + ⋅π π�

�# +

��������� � ��� � �∈ + ⋅��

�π π

�# ������������� � ��� � �∈ π

�# *��?

��������� � ��� � �∈ +π π�

�# *��L

��������� � ��� � �∈ ± + ⋅π π�

O

# ���P�����A

��������� � ��� � �∈ π�

4# ���*��+�����?��L

��������� � ��� � �∈ π�

!2�B���������������������'����

� � � ��� � � �= = ∈������� �π

�# < �# �# = �#�!�# )���������

� =���

������� �� � � � ��

���

� ��

��

���������

!8� @��/)9!"��/���������-

�# ����.�#

Page 58: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ����!�

�������������

������������

�# � ��V�#���������

�� ������H���&�����'L:;�H�L5:;��&����(<:;�&&����:;�&�:

� ������Y���&�����'L:;�Y�L5:;��&�����Y'L:;��&&����L5:;�&����<:;�&� �

���-.��(�����"�����$��"%��%�������������' ��*����!�"#�D% ������� �$����� ��� ����������

�������� ������������������������������� ������������ ���$��������������������������������������������������������������� ���������������������������������� �$�����������������'����X�

���.+��"#�!�-�������/8���αααααB������6�α ��������������

������������������� ������������ ���������� 0�������������� ����������������0�����6������������

���������������C��-

sen x sen

x kou

x k k Z

= ⇔

= + ⋅

= + ⋅ ∈

�����

α

α π

π α π

�� �

4,�����

�� X��������X-��86/��

%����#!

EFG � EFG � EFG�NO

��

� � �π

?��0�-

��

�� �� � �π

π

��

��

�x k= + ⋅π π π�

���-

��

� ��π π

����

��

� � � �� � ����

O�

π π�

2� X��������X-��)6/��96%����#!)6/96.iS2π��)6/πV96.iS2π���-

x k ou x k= ⋅ = + ⋅π π π� �� �

8� X����������� �� �� π -��26/��6

%����#!C26/6.iS2π⇒6/iS2π �M#��

� ��

��

� � � � �� � � � � � �π ππ π

� �MM#

Page 59: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ���� !�

�������������

������������

L�,����i/����V��!���2�������6���0��M#�����-

6/����V2π�!�2π�9π����L�,����i/����V��!���2�8�������6���0�

�MM#�����-

����� �� � � � � ����π π

ππ π

� ���

��

*������ � ������ �� ���������� �� �� π ����-

��� � � � ���

��

ππ

π

*����+�#!-A��6�����������������������$����0��'��������Q/D+�������������������� ������ ���#$�� ����������4������������������#!�������%�

���.+��"#�!�-�������/8���αααααB������6�α ��������������

���������������������� ������������� ����������0������������������������������0�����6���������

���������������C��-

��� ��� �� � � �� � �� � � α α πO Ζ4,������� X��������X-2���86#.�/!%����#!

2���86#.�/!⇒���86#/���

������� ���

��

π� ��������������-

���86#/�������

���-

���

���

��

��

��

� � ��

� � � � � �

�� � � � �� ��

� �� ��

ππ

π π

π π� mΖ

2� X��������X-���86#/���26#%����#!

+����� �26# / ��π�

�� ����� �������

�������-

���86#/��π�

�� �����

���-

��

� �� � �������� �

ππ�

���'�-

��

� ���

��

� � � � �� � � � � � �π

ππ π

��

��

� ��

�� � � � �� � � � � � � �� �π

ππ

π

� � � � � I�� � � � �� �π π��

n

� �� � � �� � �π

π�

� Ζ

8� X��������X-���86#.��6/!%����#!���86#.��6/!⇒���86#/V��6&��������$�����V6#/V��6�����-���86#/���V6#

A��������-EFG � ��� � ��E� � �� �� �π

� ����� �π�

�����������������-

Page 60: Trigo No Me Tria

���������� ����������������������������

�����������

������������

���� � �����

� �� �����

π

������

��

�� � ��� ������ �

ππ

������

��

��

��

�� �

� �

� � � � �

��

� � � ��

� � � ��

��

� � � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � �

ππ

ππ

ππ

π π

ππ

π π

� � �

� � �Ζ

���� ������ � ���� � � � � ααααα ����������α�����������������

���������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������

��!������������"��������#����α ⇔���#�α�$�%�π��%�∈ &

��������

'� (��)����(��*+ ,- . /011

�������

2����*+��

��

π� / ����������)��

�� �� �� ��

= ������ π �������

���

��� �

��� �

� � ��

� � � � � �

� � � � �

� � � � �

ππ

π π

π π3 4 5 Ζ

6� (��)����(���������7������

������

�������

�������7������

������ � � ��

���� � ��

�� �

�8���

��

��

�� � � �� �

π π

��������#�6�%�π9�#�:��∈�(;���#�6�%�π��%�∈�&<

���������� ����������='��2��������(>8�����?��������@�����

���� ���

��

� ����

����

��

�� π;A�$�6%π�������Bπ;A�$�6%πC�% ∈ &D� π;6�$�6%π�������Bπ;A�$�6%πC�%�∈�&�� π;E�$�6%π�������Bπ;E�$�6%πC�%�∈�&�� π;'6�$�6%π ������''π;'6�$�6%πC�%�∈�&� Bπ;'6�$�6%π�������Fπ;'6�$�6%πC�% ∈�&

���������

��� �� � ��

��� ��π π��

�� = ⇒

�� � � � � � � �� �

�� � ��

����

π π ππ π π π

= +

= +

���

��

�� �� �� � ��

��

��= + + = +π π π π π π

Page 61: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ���� "�

�������������

������������

�� �� �� �� ���

��= + = +π π π π

��� �� � .

��= + = +π π π π

������� �

!2�K?&�3X� ������ ���� �� �$���0�

��� � �� ������

�#π

ππ

π�

���

�� � �� I� � �I�� �

�#��

���

�π

ππ

π� � � � ��

�#��

���

�π

ππ

π� � � � ��

�#π

ππ

π�

���

�� � �� I� � �I�� �

�#��

����

�π

ππ

π� � � � ��

���������

���� ��� ��

�� ��� � ��� ��

= ���� = �

���

π π

� ��

� � �� � ��

� � �� �= + ⋅ = + ⋅ ∈π π π π

���������J�"Y�8����� ����������������������

� ��

� � �� �= ± + ⋅ ∈π π

!8�X������-�� �� �� ��

�������������(6��&�����πP(�

����

����

� �� � � ����� �

= +

= +

= ∈ = + ⋅ ∈

π π

π π

π π

!9�P��i��,���@3�(��6���0� ����������6�����

$���2���6.��6#/:-

�#� ��π

π�

�#�ππ

��

�#� ��π

π�

�#�ππ

��

�#���������������L������6�H����6��&�4

� ��� � ���� �

�+���

��� =

Page 62: Trigo No Me Tria

��������!� �������������&��+,����� ����"�

�������������

������������

� ��� � �����

�� +�

����� =

L�����6�Y�4�����6�H�L�&�:����6�&�7�⇒�L7��Y�47�H�L�&�:7�&�L����7�&�'PL

���� ��

= ��������6�&�L���E�����*���

���� ����

� ����

π

����= ± +π π

� �� � � ���� � � �= ∈ = ± + ∈π π

���������!:�J�����@3K���$������� �q���������������

�����������������+#���������������������� �� �0��������� ��(���� � �������������4����������0��� ��������������������������Q��(4��������40���������������/!#���������=24����������/=2#�B�����������������6�����

���� ����0�� � ��� �� �� � ������

��

π π� ��

$�� � ������� ����� ���4���#�����������;���C������������0��_��#�����������������+#�����������

�#X�������$���0���� �π π��

��

����� /������

�∈f!�29g��#����������������������%6��������

���� �4��%��� ��$���� ����������������������������������������0��

������������#���+

��� ��� ��

���

π π π+��

�� =

π π��� �

�+ = + ⇔ = ∈π π

��� � ��� � ���� �

�������∈�i: L5j �a�&�c'Ld"������ �� ������� ��� � �� *����� �$6���� ��

)��>E����� �� ����� �

�� � � ����� �

π π �����

������������ �

�� � ���π π+�

��� = ⇒ =

����� ����� ��������$6�������������)����'4�H�4�O�&�L:����������������(�H�'L�&�'4�"

!<�3K+�@3B���'��������0����$���0����26#.���26Vπc9#/!����![6[π�-

�#π π��

����������

�#∅

�# � � � � � �� � � �������� �

π π�� �

�#�����

�#π π�

��

�������

���������

������� ��� �� ��

������� ���� �� ��

������� ��� ��� �

�� ����

�� � � ��� �

��� �� ������������

���

+ ��

�� = ⇒

= ��

�� ⇒ = �

���

= + + = ��

�� +

= + =

= +

π

π π

π π π π π

π π π π π

π π

� �

� ��

x k

x ou x �

e�&�:�⇒�6�&�πP'<e�&�'�⇒�6�&�3πP'<

e�&�L�⇒�6�&��� �� ����π π> � �

���� ���

= ������

π π

������� �

Page 63: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������ ��

�����������

������������

������������ ������������������������������ ��������� � �������� ���� ������

�������� ��� ���� ��������� ��� ������� �������� ����� ���������� ��������� �� ������������������������������������������ �� ��������������������������� �� � ���������������������!

"� ������������������������������������������������� �������������������������#$����%&�������'�������������� �����!

(���� �������� �� ������ ���������� ��������������������� �������� ������������������������������ ����� �� � ��������������������������������!

���� ������������������������������������"������� �������� ������ ������ #��

���������&���� ��������������� ����)*+���+,�� ���� ��� ��� � ���� �� �� �� ��'�������#��������� �+&!

-��!�+

����������������������������������������.�� � ������ ������� ��� #������� �������������������������� �����&�����!

�� ����������������#�&����� ���#�&��� ����������������� ������� ����#�&���� ������������� / ����� �� ���� ��������� ���!

��������

+! 0������ �������������� �%���

�����

1�≤� �$�2π!�������

��� �� �����������������������������������������������������.�����

3 4 5 4= ∈ < <������6 π π

787

2! " �1�≤� �$�2π�������� ������.��������

��������������� ��� � ≤ ��!

������������������ �������������� �������

���������������� ���������� �

��� � ��� �≤ ⇒ ≤ ≤��

��

��

9

���������� ������������������������

Page 64: Trigo No Me Tria

��������"� -��.��'������������������"

�������������

������������

��������� ����� ��������������������� ��,�� $�� � ���'���� ����0� �����$���0�����������-

� � � � ��= ∈ ≤ ≤� � W�π

��

��

���

�π π π π≤ ≤ ≤ <x ou x �

�����0�-

� = ∪ ∪� � � � � � � � ���

��

��

���

π π π π π

����*��+��"���!��������/<������/=�A���6�������������������#�

������,������������∈fV���g#����������������������������������6������������������������������� ���2�

L� �2

?�� �����������������������������'������0����������������#$����

A� �����������4��%���� ������������� ������������������#����������#$��������������������������$������������0���������

4,������� 3���!≤6[2π������������$���0�

��6[!�

%����#!

���������� ��������������������������'��������0�-

� � �= ∈ < <� � �π πO

�O

2� X��������6≥��

�����$��!≤6[2π�

%����#!

@� ������������� ������������������������������������������������������������ �����������4��%���������������� �������������-

� � � � ��= ∈ ≤ ≤� � Wπ

��

�π π≤ <� �

Page 65: Trigo No Me Tria

��������"� -��.��'������������������ "!

�������������

������������

����*��+��"���!�������/<�����/=�M������������ �� ��6��� ��� ����� �

��������������������������6��������� ���8�

L� �8

?�� �����������������$������������������������������������ ������������������������������������ �0���'��������� ��������������������������$�� ������������� ��6��� ��� ���� �����������������������#$����

��; ��� ������� �����������4��%���������������� ��������� ���������#����������#$��������%�0�#��������

4,�����

�� 3���!≤6[2π��������� 6[��

%����#!

+���������������������������������-

� � � � ��= ∈ ≤ <� � W�π

π π π π�

��

��

�< < < <� � �

2� X������� 6≥������π[6[2π�%����#!

3���$�������� ��������� ������������ ��� ��������������� ������������������,��$��-

� � � �= ∈ ≤ <� � ���

��

π π

8� 3�������6���$��!≤6[2π�������������$���0�� �6V � S� 6[!�

%����#!L�,����h/ � 6������� ����������

���$���0��������������-

� �� � ⋅ <

��6���0���2^ ����� �� � ⋅ #���

��C,��������h/!��h/ � �����������������������h����������3�������-

� � �� � ⋅ < ⇒ < <

K����,$��h/� 6��������������������$���0�![� 6[ � �

Page 66: Trigo No Me Tria

��������"� -��.��'������������������""

�������������

������������

+��������������������������������0������������������'��������0�

� � � �= ∈ < <� � ��π

��

π π< < ���

�����.��(����"�����$��"%������'3�������������$�������� ����������

��X�������������������������������������� f!1 2πg �������� ������������������������ 2iπ ���� ������� �������������

4,�����C

�� X��������6a��

A����������f!12πg�����0��π π�

< <� �

�����0� �����-π π π π�

� ��

�+ < + ∈� � � � ��

2� X��������6[��

A����������f!12πg�����0��-

��

��

�≤ < < ≤� �� �π π π

�����0� �����-

��

�� � � I�π π π≤ < +

��

� � �π π π π+ < ≤ + ∈� � � � ��

8� X��������6a��

A����������f!12πg�����0��-

��

��

�≤ < < ≤� �� �π π π

Page 67: Trigo No Me Tria

��������"� -��.��'������������������ "�

�������������

������������

�����0� �����-

��

�� � � I�π π π≤ < +

��

� � �π π π π+ < ≤ +� � �

$����������������������������-

��

� ��

�π π π π π+ < < +���� +� � �

����������-

� �π π π π�

��

�+ < < + ∈� � � � �

9� X��������6[��

A� ��������� f!1 2πg � ����0� �-π π�

��

< <� �

�����0� �����-

π π π π�

� ��

�+ < < + ∈� � � � ��

:� X������� 6a��

A����������f!12πg�����0��-

π π π π� �

��

��

< < < <� �� �

�����0� �����-

π π π π�

��

�+ < < +� � � I�

��

� ��

�π π π π+ < < + ∈� � � � ��

?������0�����������������-

π π π π� �

+ < < + ∈� � � � ��

<� X������� 6[��

Page 68: Trigo No Me Tria

��������"� -��.��'������������������"�

�������������

������������

A����������f!12πg�����0��-

�� �

��

≤ < < <� �� � ��π π π

��

�π π< ≤�

�����0� �����-

π π π π�

� ��

�+ < < +� � � ��

��

� ��

�π π π π π+ < < +���� + ∈� � � � ��

3��������������������-

π π π π�

��

+ < < + ∈� � � � ��

./�������� ����2�!��

!�� �K?&�3X#� ���$���0� EFG��

N�

���� ≥ �

����� �≤ ≤� π ����������������������-�# � � �π π� ≤ ≤��# π π� �� � �≤ ≤��# π π� �� � �≤ ≤��# π π� �� � �≤ ≤��# π π� �� �≤ ≤�

���������

π π�

��

��

≤ ≤ ⇒

π π�

� ��

≤ ≤

���������

!2� �L>J�@3#X���������� � ���$���0�2��6≤������������f!12πg�������-

�#π π π π� �

��

��

≤ ≤ ≤ ≤� I� �

�# ≥ π

�#π π�

≤ ≤�

�#π π�

≤ ≤�

�# ≤ ��

���������

����� � ���� ��

≤ ⇒ ≤

s x R x= ∈ ≤ <�������π π

���

��������C

!8� X���������$���0�2���6[��616∈X���������

L�����6�Y����6�[�:

Page 69: Trigo No Me Tria

���������� ������������������������ ��

�����������

������������

� � � � �� ��

�� �= ∈ < <��� +π π π

��

�� � �� �� �π π π π+ < < + ∈ ���

���� �������� � �������� � �� �+ +

�� ���θ = � ����� � ≤ ≤θ π �������������������������� �������������!

�� "#

≤ <θ π����

π θ π�

�$

< <

%�π θ π� �

< ≤ ����π θ π� �

≤ ≤

��π θ π�

≤ ≤

���������

� �� ��� �� + + =θ

∆ = ⋅ ⋅� �� � � � ��� θ

∆ = �� � ���θ

��� ��� ������� ������ ������ ����� ∆ � �� �����

�� ���� � ����� ����θ θ< ⇒ < ⇒

⇒ > ⇒ >���� � ��� ��

θ θ

�� ����� ��� � ≤ ≤θ π � ������

"#

≤ ≤θ π

������� !

�&� '���()�� �� ���������� �� � ≤ �� *���

� �∈ �

���������

�� � � �� ��� �≤ ⇒ ≤ ≤

� � � � �� ��

��= ∈ ≤ ≤ +��� π π π

�� ��

�� � ��

��π π π π+ ≤ ≤ +

�� ��

�� � � �� �� �π π π π+ ≤ ≤ + ∈ ���

Page 70: Trigo No Me Tria

���������� ����������������������

�����������

������������

���������������������������� ���������������

���� ��������� ��� �� ��� �� ��� ���������� ����������������� ������������������ ������������������ ��������� ������������������ ����������

����������������������������� �������� ���������� ����������������� ���� ���� �!� ������� ������ ����� � ���� ���"�������������� ������������������ ���������

� ������������ �������������������������# ��� �������������������� �$��������

������������� ������������� �����%�&�� ���'� ���� �

(����� �������� ��������� ������� �����)������������ ������*�+�&�� �������� !� ���,�

#�&�,

''� ��������������-�"���������� ����������������.��������������/���� ���������� ��������������� �������������������������

���� ��$�� π0

��������� ������������1/

��� ��������� ���������������������

�������� ��$�� �2π �

���������� !� ������������*�+�&�� ����3

'��&�41/�/5

'''� ���� ��������� ��������������.���������� �$������ ���� ���� �*�+� &� � � �� ������ �� ���������"����������������� ��.�������� �������������������������������������.����������������� !� �����������������3

6�����)� ��� ����� ��������� ���������*��� ��+�����3

����������������������.������������ � ������ ����������7���8π���������������� ������.���������� �$���*�+�&�� ����������∈�,�����������$����� 9����

���������� ���������������������

Page 71: Trigo No Me Tria

���������� /��'������������������ ��

�������������

������������

MJ� ���F�������������������C���������0���6#/��6����������������0��������0�����;����-

K������0�h/��6#��������������C�������4���������0�����;������6�������������������$�������,�� ����������6.�#/��6#��������6∈��B�������������$������������������0���4�����������C���������0��@�����$�����6.2π#/��6����0��

���F���"��#!"=,?J���� �:πππππ�M���6������� ������� �%����������������0�����;�����2π��2π�

J� ��������������������������������������0���6#/��6������������������������0���������0�C�����

K������0�h/��6#��������������C�������4�����"��#!������V6#/��6#��������6∈C����4�����"��#!F�������V6#/V��6#��������6∈C�@�����$�����V6#/V���6#����0��

����0�"=,?J���,����"��#!F�����

�� 4������������-��"#�.��������:>/?8���/���������� "��#! � ���� ����0�

$����������������������6�������h/��6�M� E�F��

+�����6������������� ����6 �������,���$������C�������6#/��6�����'����X�

�/XMM� G�8���H�����

@�����$�����6����������%6����� ������$�����6�������������

$���������������������������������������0�!�,���#��������C����� ����V��$�����6 ��������������� ���������������������0�π�

��������'������� ������6#/��6�-M�/fV���g

MMM� I��"��3�������������� �%����������0���������� ��� ��6# / �� 6� �������������������������������%���������������������������������������� �%���������������'��������������-

&�����,��������������������������6���6#�����-

*����+�#!�������� �%�������������������������������!�2π��4�������� ��������� �%����������0���6#/��6����6∈X�������0��������;����

Page 72: Trigo No Me Tria

���������� /��'��������������������

�������������

������������

MJ� ���F�@�����$�����6.2π#/��6����0�����C�������6#/��6�2π�M��6������������� �%����������������0��������;�����2π��2π�

J� ��������@�����$�����V6#/���6#����0�������0�"=,?J��, ����"��#!����

�� 4�������������-��"#�.��������:>/?8��/@�����$��� ��� ��������������

��������,0��������������������������

���-���� �����=���

���6≠!

���������������������6� �≠ +π π�

i∈X����� �����6�����������?��0��������������������0�-

��

�� ����

� �

� � � �

��������� �

∈ ≠ + ∈ →

→ =

ππ

M� E�F��+���� 6�6���$�������6≠!����0�����C���������0���6#/� 6�-

� � � � � �� � � �∈ ≠ + ∈π π

MM� ��# H�����+������������� ���������������������������$���$����������������-

M�/gV∞�∞f

MMM� I��"��B �%������ ����0� ��6#/ � 6������������������������������������������%��������������������������������������������������6�����������������C����

*����+�#$���# B �%���� �0� ��� ��� �� ����

= π π�

��

� ������������������ �= +π π�

2# �����������������������6/!�6 /π � ��� ��� ���;��� � � �%��������6#/� 6������������������0������������ ���;�����π��π�j

MJ� ���F�+���� �6.π#/� 6�����$���$���6�����������������C��������C���������0���6#/� 6��/π.

J� ��������+�����6#/� 6���V6#/� �V6#/V� �6#����0���V6#/V��6#���������������0���6#/� 6�C�����

Page 73: Trigo No Me Tria

���������� ��������������������� ��

�����������

������������

���� � ����������������� ������� ��������������������������

������ ��

�� !�"�#����#�� !�"�#�����#�� !�"�#�����#$#�����#%� !�"�����&��� !�"�&������

���������

������� ��&� �'��(��)�����*�������������%�������

������%�������+��������������������������,���,�� -�.�)����� ����-/��/0����/��1�������

�� ����-/���������%����������� π2

%� ����-/�/����%���/��������� %����%��%������3�����%��

���������

������������� ���� ��

< < π

������������ ������������������∴���������

������� �

�4� ���.������ 5�%��� ��� ���.��� !� "� ��� �!�"������0�������3��������/�����.��%�%������� 63��������������������/��� 7����������/������/��������%�%��%����������� 7���������/�����/�&��������%� 7���������/�����/��/�8������������� 7���������/�����/�4��������

���������

��������

Page 74: Trigo No Me Tria

���������� /��'�������������������

�������������

������������

!9� �L��3�@3#3��������∈f!�πg����#/�V�� �� ����������%������ �%�����������������6���6#���������6#/��6����� �� ����#�*����������%��� ��� �%���� �� � ������ �� ��6� �� 6# ���

∈������

π π� �� ������� ���2#�

����-

�#� �

�−

�#��

�#��

�#��

�# ������������$��� ���� �������������)����>?��������!

����� �������� ��+

���� � ��

��

���� � ���

���

���� � ���

���

��

� ��

π π

π π

π π

���� −����

− − − ����

���

���

���� −���� = − =

������� I

���&� 1"%�����4��(�����"�����$��"%��&���-��"#�:>/?8�@���/B����������������������6��������������������� ��������0�h/��6����������≠ !����0���6#/�.��6�������������������������C����#�����.��

6≠ �.���V6#�V��.��6#≠ �.���V6#�T����������'������� ��������������� ����h/��6������������������

����'������� ������6#/�.��6�

M�/fV�.���.�g

����� �%��������6#/�.��6������������������������ �%������h/��6����������������������������,�������������������'������������ ������

4,������� ������������0���6#/2.��6$����������C������� ��� �%��������C�������������

%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV�.2��.2g⇒ M�/f��8g>�%����-����6�

3�������-����������3��C���-�/2π

Page 75: Trigo No Me Tria

���������� /��'������������������ �!

�������������

������������

2� ������������0���6#/V�.��6$����������C������� ��� �%��������C��������������

%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV�V���V�g⇒ M�/fV2�!g>�%����-

3�������-����������3��C���-�/2π

Page 76: Trigo No Me Tria

���������� /��'�������������������"

�������������

������������

&���-��"#�:>/?8%���/B���������≠ !#�����������������6�

������� ��� ���� ����0�h/ ��6�+����������� ����h/��6����������������������������'������� ������6#/���6�-

M�/fV���g

����� �%��������6#/���6����������%���������;������������������������������������������fV���g�

U ��������������������$���$���������������������+��������� ��������0������������������������"�������+�� ����������������������������2^�6�������� ����

4,����������������0���6#/8��6$�������

���C������� ��� �%��������C�������������%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV8�8g>�%����-�� ���3�������-��V6#/8���V6#/V8��6/V��6#�������6#�C�����3��C���-�/2π

&���-��"#�:>/?8���>�/?B��������������������������6������

������F�������0�h/��6������6/!⇒ 6/!���C����������;���#

�6/2π ⇒ 6/�π�

�������������;���#

+������������ ��������,���$���

���C�������6#/����6#��/�π�

4,������� ������������0���6#/���26#$����

�������C������� ��� �%��������C��������������

%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-����6�3�������-��V6#/���V26#/V���26#/V��6#�������6#�C�����

3��C���-�/��π/π

Page 77: Trigo No Me Tria

���������� /��'������������������ ��

�������������

������������

2� ������������0���6#/������� $����

�������C������� ��� �% �������C��������������

%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-����6�

3�������-

��V6#/��−���� = − �

���

��� � �

∴��V6#/V��6#⇒ ��6#�C�����

3��C���-�/���

π/9π

&� �-��"#�:>/?8���>/@�?B����������������������6��������

�%����������0�h/��6�������������� ��������������������� ���������������������������������'������������ ������

4,�����

�� ������������0���6#/�� +����

π� $����

�������C������� ��� �%��������C��������������

%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-

+ = ⇒ = −π π�

����C����������;���#

+ = ⇒ =π π π�

� ��

������ �� ���

��;���#

Page 78: Trigo No Me Tria

���������� /��'��������������������

�������������

������������

3�������-

�� − +���� ≠ +��

�� ��� π π

� � �

�� − +���� ≠ − +��

�� ��� π π

� �

?��0���0�������������3��C���-�/2π2� ������� � ����0� ��6# / ��

−����

π� $����������C������� ��� �%�����

���C�������������%����#!

���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-

− = ⇒ =π π�

����C����������;���#

− = ⇒ =π π π�

� ���������������;���#

3��C���-�/2π

3�������-�� − −���� ≠ −��

�� ��� π π

� �

��� − −���� ≠ − −��

�� ��� π π

� � ����0����0�������������

&�&�-��"#�:>/?8�@%���>�/@�?>%A≠��≠?

��;��������������*�+���?�������C��$������������0�

��6#/�.�����6.�#�����-���C���-�/XM�� ��-M�/fV�.���.�g>�%����-

�6.�/!⇒ = − ��

�����������;���#

�6 . � / 2π ⇒ =��π�

G�

− ������ ��

��;���#������ ������� $�� � ��������� ��

��;�������������������������'�������� ��������0���0��������$�����$�����[!����;��������%����������

3�������-

Page 79: Trigo No Me Tria

���������� /��'������������������ ��

�������������

������������

������ �������� ��V6# � �������� �����6#-

��V6#/��6#⇒ ����0������V6#/V��6#⇒ ����0�C������V6#≠ ��6#���V6#≠ V��6#⇒ ����0���

���������

3��C���-�/�π�

4,������� ������������0���6#/�.2���26#

$����������C������� ��� �%��������C�������������

%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV2.��2.�g⇒ M�/fV��8g>�%����-26/!⇒ 6/!�����������;���#26/2π ⇒ 6/π ����������;���#

3�������-�0������������

� � ��� �� � ��� �� � � �� � � �

= +− = −���

� �� �

3��C���-�/��π/π

2� ������������0�

��6#/V�V2�� � +����

π� $����������C����

��� ��� �%��������C�������������%����#!���C���-�/XM�� ��-

− + = − =+ = − − = −

���⇒ = −

� �� �

� � �� � �

� ��� �

>�%����-

� �+ = ⇒ = −π π�

�����������;���#

� �+ = ⇒ =π π π�

� ��

����������;���#

Page 80: Trigo No Me Tria

���������� /��'�������������������

�������������

������������

3�������-�0������������

� � ��� �

� � ��� �

� �

� �

= − − +����

− = − − − +����

����

���

N�

N ��

π

π

3��C���-�/��

�π π=

&�)�-��"#�:>/?8�@%���>�/@�?>%≠��≠?��;���������%�� ��������������

�0������������*�+���?����������������������C��$������������0�

��6#/�.�����6.�#�����-���C���-�/XM�� ��-M�/fV�.���.�g>�%����-

�� � � ��

+ = ⇒ = −� �������������;���#

�� G ��

G�

+ = ⇒ = −� �π π ������ ��

����;���#�������������$�����������������

��;�������������������������'�������� ��������0���0��������$�����$�����[!������;��������%����������

3�������-����������������V6#��������������6#-��V6#/��6#⇒ ����0������V6#/V��6#⇒ ����0�C������V6#≠ ��6#���V6#≠ V��6#⇒ ����0���

���������

3��C���-�/�π�

4,����������� � ����0� ��6# / 8 . 2 ���26Vπ #

$����������C������� ������C���� �%�����%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV2.8�2.8g/f��:g

3��C���-�/� �

�π π π�

= =

>�%����-

� ��

���

� � ������

� ����

− = ⇒ =

+ =

����

���

π π

π π π

� �

� �

������� �

������� �

Page 81: Trigo No Me Tria

���������� /��'������������������ ��

�������������

������������

&�,�-��"#�:>/?8�@%��>�/@�?��≠ !��≠ !#E�F��C3��� $�� �6��� ��6#� � ������ $��

����6.�#≠ !�M����������$�����-

�� G � � �+ ≠ + ∈π π�

����

�/ � � �� � � � �∈ + ≠ + ∈������� �π π

���F�C���������������6#/�.�� ��6.�#

�(� ���� �%���� ��� ���0� ����� ���;����

����

�� G � G�

+ = ⇒ = −� ���C�������� ���;���#

�� G � G� �

+ = ⇒ = − +π π

����������� ���;���#

?��0������C������%-

� �� �

�� �

= − +���� −

−���� =π π �

���'��

��

= π

4,������� ���������0��������������6#/�.2� 26�����������-�#���C����#���C���%����#!

�#�� � �

� � � �≠ ⇒ ≠ +π π π π

����

�/ � � � � � �∈ ≠ + ∈������� �π π

� �

�#�/π π�

=�

2� ���������0������������

��6#/V8V2� � +����

π� �����������-

�#���C����#���C���%����#!

�#� � � �+ ≠ + ⇒ ≠π π π π� �

����

�/ � � � � � �∈ ≠ ∈� �π� �

Page 82: Trigo No Me Tria

���������� /��'��������������������

�������������

������������

�#� ��= = ⇒ =π π π

8� ���������0������������

��6#/� �6Vπ�#����������-

�#���C����#���C����# �%����%����#!

�#� � � � � �� � � � � � �π π

ππ

π� �

��

�/ � � � � � �∈ ≠ + ∈������� ��

�π π

�#� ��� � � �

π ππ

�%����

������ � �

����

� � � �

� �

���

��

π π

ππ

π�

��

���

&�1������-��"���-�/��'(�01234�5*����1�25�31*≠��≠3

?������������C��������C��������������������������6#/�.���� ��6.�#�����≠!��≠!�

E�F��-

+������ ��6.�#/���� �

� ��� �

��� �� �++

������

���������6.�#≠!����'���6.�≠iπ�����/o6∈Xc�6.�≠iπ�i∈lp���F�-B���C�������6#/�.���� ��6.�#�

�/π�

Page 83: Trigo No Me Tria

���������� /��'������������������ ��

�������������

������������

--�/��'(�01234�5*���1�25�3�1*≠��≠3?������������C��������C�����

�������������������6#/�.�����6.�#����≠!��≠!�

���C���-

+�������6.�#/�

���� ��� + ������

���������6.�#≠!����'��

�6.�≠π�.iπ�

����

�/o6∈Xc�6.�≠π�.iπ�i∈lp

3��C���-B���C�������6#/�.�����6.�#���

---�/��'(�01234�5*�����1�25�31*≠��≠3

?������������C��������C������������������������6#/�.�������6.�#�����≠!��≠!�

���C���-

+���������6.�#/�

��� �� �� �+������

�����������6.�#≠!����'���6.�≠iπ�����/o6∈Xc�6.�≠iπ�i∈lp

./�������� ����2�!��!��?������ �%������������C�����

��� �������C�����������-�#��6�#h/8.��6���������

���C�&�RF��&�iY'\�'j �&�Lπ��C�&�RF��&�iL �5j �&�Lπ

!2� ?������ �%������������C���� ���� �������C���������0�-

h/�� � −����

π�

���������

Page 84: Trigo No Me Tria

���������� /��'�������������������

�������������

������������

C�&�RF��&�iY'\�'j �&�Lπ

!8��P��i��,��V@3#B���C���������0�

�������� �= ��

��EFG� �

�� π �-

�# π �#π�

�# 2π �#π�

�#π�

���������

� �= ��

��EFG� �

�� π

e�&�L����)��������6� �����

��

� �= ⇒ = ⇒ =� ��

π π π

���������

!9��K3LVX@#B���'������� ���������0�)�-X→X������������)�6#/2��6V8������������-

�# fV�1�g �#fV�1:g�# fV:1:g �#fV:1V�g�# fV:1�g�����������&�Y(\��&�LF��&�iY�H�� ��H����j�&�iYL�H��Y(�\�L�H��Y(�j&&iY4 �Y'j������+��

!:�B��������C�������� �������C�������������������� �%����

�# ��6�# 7/���26#

���������

�0 ��3�2

�2

y

x

1

–1y = cos x

y = cos (2x)

�� C�&�R\�F��&�iY'\�'j\� �&�Lπ� C�&�R\�F��&�iY'\�'j\� �&�π!<�?������ �%������������C���������

�������C���������0�-7/2S��6

���������

!=� �K��V?@# B ���C��� �� ����0�-

� � �� � ���� ������

��

�� �-

�# )π �# 8π�# =π �# 2π�# <π���������

� � �� � ���= +����� �

��

Page 85: Trigo No Me Tria

���������� /��'������������������ �!

�������������

������������

e�&����

����)��������6� �����

��

� �= ⇒ = ⇒ =� ���

�π π π

���������!)��L+P@+�@3#@�'������0�)��X��X

����������� ) �6# /�.9 ��6�B���'������� ���������0������������-

�# fV81:g �#f819g�# f81:g �#fV�1�g�# fV819g�����������&�'�&�5F��&�iY�H��\��H��j�&�iY( �4j������+��

! �?������ �%����������������6�����

�����C������� ������C�����# 7/V2.��6�# 7/V��6���������

�0 2�3�2

�2

y

x

1

–1

–2

–3

2

D =

Im =

p =

y = sen x

R

[–3; ]

2

–1

y = –2 + sen x

y y = cos x

�0 ��x

1

–1

–2

2 D =

Im =

p =

R

[–1; ]

2

1

y = – cos x

3�2

�2

�!��P��i��,���@3#B���C��������'�������� ��������0������������h/� 26����������C����M����'������� ���0���������������-

�# � � � � � �= ∈ ≠������ =� �� π

�# � � � � � �= ∈ ≠ ≠������ =� � � �� π π

���

�# � � � � �= =

�#� � � � �= ∈ ≠ + ∈������ =� �

�� �� �

π π� �

�# � � � � � �= =

���������

�� � �

� � � � ���� �≠ + ⇒ ≠ + ∈π π π π

%��� �C�&� � � � � � �∈ ≠ + ∈������� �π π

� �

F�&�R

���B��������C���������0�h/���� �� �

������������ �(6�≠ :(6≠ eπ

6≠�π�

Page 86: Trigo No Me Tria

���������� /��'�������������������"

�������������

������������

?6��(��������� ����

(6≠ +π π�

6≠ +π π� �

5�6

3�2

7�6

11�6

�6

�2

0

�3

2�6

��2

5�2

R���������������)��������π�

C�&�RY�π������� \�� �∈

�2��������C���������0�h/8V2� �86#

���������

(6≠ +π π�

� �≠ +π π� �

5�6

3�2

7�6

11�6

�6

�2

=����������)��>E���E��6�����$�����*�����������6$����"

C�&� � � � � � �∈ ≠ + ∈������� �π π

� �

Page 87: Trigo No Me Tria

���������� ��������������������� ��

�����������

������������

Page 88: Trigo No Me Tria

���������� �����������������������

�����������

������������