Trigo No Me Tria

Anotaoes sobre trigonometria cRodrigo Carlos Silva de Lima

Universidade Federal Fluminense - [email protected]

1

Sumrio a1 Trigonometria 1.1 5

Denio de funes trigonomtricas por meio de srie de potncias . . . . 5 ca co e e e cos(2x) + 1 2 1.1.1 cos (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 1.1.2 Denio do nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ca u Funoes seno e cosseno e equaoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 11 c c Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 cos(2x) 1.3.1 sen2 (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 cossec(x) 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

cotg (x) + 1 = cossec2 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 T g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.1 1.7.2 1.7.3 tg 2 (x) + 1 = sec2 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 tg(a) + tg(b) tg(a + b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 tg(a).tg(b) Frmulas de Tangente do arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . 18 o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8

1.9

Cotg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . cotg(a)cotg(b) 1 1.8.1 cotg(a + b) = cotg(a) + cotg(b) 1.8.2 cotg(x) 2cotg(2x) = tg(x) . . x 1.8.3 cossec(x) = cotg( ) cotg(x) . 2 Frmulas de Werner . . . . . . . . . . o

1.10 Funoes trigonomtricas inversas c e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10.1 arcsen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.10.2 D[arcsen(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1.10.3 dx = arcsen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 x2 2

SUMARIO

3

1.10.4 Srie de arcsen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e 1.10.5 arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.10.6 D[arccos(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 1.10.7 dz = arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 z2 1.10.8 Relaao entre arccos(x) e arcsen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 c 1.10.9 Srie de arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 e 1.10.10 Funo arctg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ca 1.10.11 Darctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 1 u 1.10.12 dx = arctg( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 + x2 a a a 1.10.13 Srie para arctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 e 1.10.14 Funo arccotg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ca 1.10.15 D[arccotg(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.10.16 Srie de arccotg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 e 1.11 Funao arcsec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 c 1.11.1 D[arcsec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 1.11.2 arcos( ) = arcsec(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 z 1.11.3 Srie de arcsec(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 e 1.12 Funao arccossec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 c 1.12.1 D[arccossec(x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.12.2 Srie de arccossec(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 e 1.13 Integrao de funes trigonomtricas inversas . . ca co e 1.13.1 arcsen(x)dx = xarcsen(x) + 1 x2 . 1.13.2 arccos(x)dx = xarccos(x) 1 x2 . . 1 1.13.3 arctg(x) = xarctg(x) ln(1 + x2 ). . . 2 1 1.13.4 arccotg(x) = xarccotg(x) + ln(1 + x2 ). 2 1.14 Funoes hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . c o . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . 34

1.14.1 Deniao das funoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 c c 1.14.2 Funoes hiperblicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 c o 1.14.3 Srie para arccossech(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 e 1.14.4 Srie de arccotgh(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 e 1.14.5 Representando arccosh(x) por meio de ln . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.14.6 Representando arcsenh(x) por meio de ln . . . . . . . . . . . . . . . 38

SUMARIO

4

1.15 Relaao com complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 c 1.15.1 sen(ix) = isenh(x) e senh(ix) = isen(x). . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.15.2 i.arcsenh(x) = arcsen(ix) e arcsenh(ix) = iarcsen(x). . . . . . . 39 1.15.3 cosh(ix) = cos(x) e cos(ix) = cosh(x). . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.15.4 Identidade fundamental cosh2 (x) senh2 (x) = 1 . . . . . . . . . . . 40 1.15.5 senh(x + y) = senh(x).cosh(y) + senh(y).cosh(x) . . . . . . . . . . 40 1.15.6 tg(ix) = itgh(x) e tgh(ix) = itg(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.15.7 cotgh(ix) = icotg(x) e cotg(ix) = icotgh(x). . . . . . . . . . . . 41 1.15.8 sec(ix) = sech(x) e sech(ix) = sec(x). . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.15.9 sech2 (x) = 1 tgh2 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.15.10 cossech(ix) = icossec(x) e cossec(ix) = icossech(x). . . . . . . 42 1.15.11 cossech2 (x) = cotgh2 (x) 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.15.12 sen(3x) = 3sen(x) 4sen3 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.15.13 cos(3a) = 4cos3 (a) 3cos(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.15.14 tg(3x) = tg(60 x)tg(x)tg(60 + x). cotg() e2i + 1 1.15.15 . . . . . . . . . . = 2i i e 1 ) n ( 1 n n 1.15.16 cos (x) = n cos((n 2k)x) 2 k=0 k 1.16 Trigonometria e recorrncias . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.17 Equaoes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 c e 1.18 Desigualdades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 e

Cap tulo 1 Trigonometria1.1 Denio de funes trigonomtricas por meio de ca co e srie de potncias e ePropriedade 1. As sries e (1)k x2k+1 k=0

(2k + 1)!

(1)k x2k k=0

(2k)!

convergem em toda reta. Demonstrao. Aplicamos o critrio da razo, para a primeira sries temos ca e a e lim k |ak xk | = |x| lim k |ak | = 0 2k+1

1 (2k + 1)! que tambm converge para zero, logo logo o critrio da razo aplicvel e a srie converge e e a e a e com qualquer entrada real x. Para a segunda srie temos o mesmo e lim k |ak xk | = |x| lim k |ak | = 0 2k

pois se k par tem-se ak = 0 e se k e e mpar |x| lim 2k+1 |a2k+1 | = |x| lim

pois se k e mpar tem-se ak = 0 e se k e mpar |x| lim 2k |a2k | = |x| lim tambm converge para zero. e 5

1 que (2k)!

CAP ITULO 1. TRIGONOMETRIA

6

Denio 1 (Funo seno). Denimos a funao seno, por ca ca c sen(x) = para todo x real. Denio 2 (Funo cosseno). Denimos a funao cosseno, por ca ca c cos(x) = para todo x real. Corolrio 1. a (sen(x)) = cosx pois (sen(x)) = Corolrio 2. a (cos(x)) = sen(x) pois (cos(x)) = (1)k (2k)x2k1 k=0 (1)k (2k + 1)x2k k=0 (1)k x2k k=0 (1)k x2k k=0 (1)k x2k+1 k=0

(2k + 1)!

(2k)!

(2k + 1)!

=

(2k)!

= cos(x).

(2k)! =

=

(1)k (2k)x2k1 k=1

(2k)!

=

(1)k x2k1 k=1

(2k 1)!

=

(1)k x2k+1 k=1

(2k + 1)!

= sen(x).

Corolrio 3. a cos(0) = Logo cos(0) = 1. Corolrio 4. a sen(0) = Logo sen(0) = 0.

(1)k 02k k=0

(2k)!

= 1.

(1)k 02k+1 k=0

(2k + 1)!

= 0.


7

Propriedade 2. A funo seno ca e mpar e a funao cosseno par . c e Demonstrao. ca sen(x) = (1)k (x)2k+1 k=0

(2k + 1)!

=

(1)k (x)2k+1 k=0

(2k + 1)!

= sen(x)

cos(x) =

(1)k (x)2k k=0

(2k)!

=

(1)k (x)2k k=0

(2k)!

= cos(x).

Propriedade 3 (Propriedade fundamental). Vale a propriedade sen2 (x) + cos2 (x) = 1 para todo x real. Demonstrao. Seja g(x) = sen2 (x) + cos2 (x), derivando g (x) = 2cos(x)sen(x) ca 2sen(x).cos(x) = 0, logo g(x) constante, como vale cos(0) = 1 e sen(0) = 0 temos e g(0) = 1 = c, logo sen2 (x) + cos2 (x) = 1. Propriedade 4. As funes seno e cosseno so limitadas . co a Demonstrao. ca sen2 (x) + cos2 (x) = |sen(x)|2 + |cos(x)|2 = 1 logo |sen2 (x)| |sen(x)|2 + |cos(x)|2 = 1 |cos2 (x)| |sen(x)|2 + |cos(x)|2 = 1 de |sen2 (x)|, |cos2 (x)| 1 segue |sen(x)|, |cos(x)| 1. Lema 1. Se f (x) = k=0

a ax k, ento se f (0) = f (0) e f (x) = f (x) no raio de conk

vergncia, ento f (x) = 0. e a


8

Demonstrao. Vale que f (0) = f (0) = 0, vamos mostrar que Dn f (0) = 0 n. ca Supondo que D2k f (0) = 0 vamos provar que D2k+2 f (0) = 0, aplicando D2k na identidade f (x) = f (x) tem-se D2k+2 f (x) = D2k f (x), D2k+2 f (0) = D2k f (0) = 0 o mesmo para as derivadas de ordem mpar. Supondo que D2k+1 f (0) = 0 vamos provar que D2k+3 f (0) = 0, aplicando D2k+1 na identidade f (x) = f (x) tem-se D2k+3 f (x) = D2k+1 f (x), D2k+3 f (0) = D2k+1 f (0) = 0 por isso Dn f (0) = 0 n N. Como os coecientes ak da srie de potncias so dados e e a k D por ak = f (0), segue que cada ak nulo, portanto a srie identicamente nula . e e e k! Propriedade 5 (Seno da soma). Para quaisquer a, b R sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a). Demonstrao. Consideramos a funao denida como ca c f (x) = sen(a + x) sen(a).cos(x) sen(x).cos(a) que uma srie de potncia que converge em R, temos que e e e f (0) = sen(a) sen(a).cos(0) sen(0).cos(a) = 0 vale tambm que e f (x) = cos(a+x)+sen(a).sen(x)cos(x).cos(a), f (0) = cos(a)+sen(a).sen(0)cos(0).cos(a) = 0 f (x) = sen(a + x) + sen(a).cos(x) + sen(x).cos(a) = f (x) portanto f satisfaz as condies do lema anterior e da co f (x) = 0 sen(a + x) = sen(a).cos(x) + sen(x).cos(a). Corolrio 5 (Cosseno da soma). Derivando a identidade a

sen(a + x) = sen(a).cos(x) + sen(x).cos(a) tem-se

cos(a + x) = sen(a).sen(x) + cos(x).cos(a).


9

Corolrio 6. Se a = b temos a sen(2a) = sen(a).cos(a) + sen(a).cos(a) = 2sen(a).cos(a). Propriedade 6. cos(2x) = cos2 (x) sen2 (x) Demonstrao. ca cos(2x) = cos(x + x) = cos(x).cos(x) sen(x).sen(x) = cos2 (x) sen2 (x).

1.1.1

cos2 (x) =

cos(2x) + 1 . 2cos2 (x) = cos(2x) + 1 . 2

Propriedade 7.

Demonstrao. cos(2x) = cos2 (x) sen2 (x) e sen2 (x) = 1 cos2 (x) substituindo ca cos(2x) = cos2 (x) 1 + cos2 (x) cos(2x) + 1 = 2cos2 (x) Corolrio 7. a cos(2x) = 2cos2 (x) 1 Propriedade 8. Existe a > 0 tal que cos(a) = 0. Demonstrao. Suponha por absurdo que no exista tal a, ento vale que cos(x) > ca a a 0 x, pois caso existisse x tal que cos(x) 0 ento pelo fato do cosseno ser cont a nua existiria a tal que cos(a) = 0. como vale [sen(x)] = cos(x) > 0 ento seno crescente em a e [0, ), sendo x1 > x2 tem-se sen(x1 ) > sen(x2 ) 1sen(x2 ) > 1sen(x1 ) 1 sen(x2 ) > 1 sen(x1 ) cos(x2 ) > cos(x1 ) cos(2x) + 1 = cos2 (x). 2

logo cosseno decrescente e sendo limitada, existe c [0, 1) tal que ex

lim cos(x) = c,

da mesma maneira como seno crescente e limitada existe b (0, 1] tal que ex

lim sen(x) = b,


10

usando as identidades cos(2x) = 2cos2 (x) 1 e sen(2x) = 2sen(x)cos(x) no limite tem-se 1 c = 2c2 1 (c 1)(c + )2 = 0 2 b = 2cb 1 e b = 0, isso contraria o que j notamos para tais a 2 nmeros, ento chegamos num absurdo!, logo existe a tal que cos(a) = 0. u a da c = 1, pois no pode ser c = a

1.1.2

Denio do n mero . ca u

Denio 3 (Nmero .). Existe a > 0 tal que cos(a) = 0 tal que cos(x) > 0 para ca u x [0, a), pois cosseno cont e nua e como cos(0) = 1 deve existir um intervalo em que seja positiva. Denimos = 2a. Vale cos( ) = 0. 2 Corolrio 8. sen(x) crescente em [0, ), pois nesse intervalo vale [sen(x)] = cos(x) > a e 2 0. Corolrio 9. Vale sen( ) = 1 pois a 2 sen2 ( ) + cos2 ( ) = 1 = sen2 ( ) 2 2 2 a como sen(x) crescente em [0, ) e sen(0) = 0 ento o valor de sen( ) deve ser positivo e 2 2 e da relaao acima c sen( ) = 1. 2 Corolrio 10. Da identidade a sen(2a) = 2sen(a).cos(a). tomando a = segue 2

sen() = 2sen( ).cos( ) = 0. 2 2


11

Corolrio 11. Da identidade a cos(2x) = cos2 (x) sen2 (x) tomando x = tem-se 2 cos() = cos2 ( ) sen2 ( ) = 1. 2 2 Corolrio 12. Da identidade a sen(2a) = 2sen(a).cos(a). tomando a = segue sen(2) = 2sen().cos() = 0. Corolrio 13. Da identidade a cos(2x) = cos2 (x) sen2 (x) tomando x = tem-se cos(2) = cos2 () sen2 () = 1. Corolrio 14. As funoes seno e cosseno so per a c a odicas de per odo 2

cos(x + 2) = cos(x)cos(2) sen(x)sen(2) = cos(x) sen(x) + 2) = sen(x)cos(2) + cos(x)sen(2) = sen(x).

1.2

Funoes seno e cosseno e equaes diferenciais c co

Propriedade 9. Sejam f e g duas funoes de R em R derivveis, satisfazendo f (0) = 0 c a , g(0) = 1 e f (x) = g(x) g (x) = f (x) ento f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x)x. a


12

Demonstrao. ca Considere a funao denida de R em R com lei c h(x) = (f (x) sen(x))2 + (g(x) cos(x))2 vamos mostrar que tal funo identicamente nula. Primeiro, vale que ca e h(0) = (f (0) sen(0))2 + (g(0) cos(0))2 = 0.00 11

Agora derivamos a funao c h (x) = 2(f (x) cos(x))(f (x) sen(x)) + 2(g (x) + sen(x))(g(x) cos(x)) substituindo as condioes f (x) = g(x) e g (x) = f (x) segue c h (x) = 2(g(x) cos(x))(f (x) sen(x)) + 2(f (x) + sen(x))(g(x) cos(x)) = 0A A

logo h(x) constante, devendo ser 0 que implica f (x) = sen(x), g(x) = cos(x). e

1.31.3.1

Cossenosen2 (x) = 1 cos(2x) . 21 cos(2x) . 2

Propriedade 10. Para todo x vale sen2 (x) =

Demonstrao. De cos(2x) = cos2 (x) sen2 (x) e cos2 (x) + sen2 (x) = 1 segue que ca cos2 (x) = 1 sen2 (x), substituindo na primeira temos cos(2x) = 1 sen2 (x) sen2 (x), cos(2x) = 1 2sen2 (x) cos(2x) = 1 2sen2 (x) cos(2x) 1 = 2sen2 (x) 1 cos(2x) = 2sen2 (x) sen2 (x) = Corolrio 15 (Frmula de diviso). a o a x sen( ) = 2 1 cos(x) . 2 1 cos(2x) . 2


13

Propriedade 11. sen(a b) = sen(a).cos(b) sen(b).cos(a) Demonstrao. ca sen(a b) = sen(a)cos(b) + sen(b).cos(a) = sen(a).cos(b) sen(b).cos(a) pela funao seno ser c mpar e cosseno par. Propriedade 12. A funao cosseno peridica de per c e o odo 2. cos(x + 2) = cos(x). Propriedade 13 (Zeros da funao cosseno). c cos(x) = 0 x = Propriedade 14 (Valores especiais). k , k Z. 2

X Angulo de 30 ,

3 cos( ) = . 6 2 2 cos( ) = . 4 2 2 cos( ) = . 4 2

X Angulo de 45 ,

X Angulo de 60 ,

X

cos(0) = 1.X

cos() = 1.


14

1.4

Seno

Propriedade 15 (Zeros da funao). sen(x) = 0 x = k k Z. c Propriedade 16 (Valores especiais).

X Angulo de 30 , 1 sen( ) = . 6 2 X Angulo de 45 , 2 sen( ) = . 4 2 3 sen( ) = . 4 2

X Angulo de 60 ,

X

sen( ) = 1. 2X

cos(

3 ) = 1. 2

Usando essas propriedades bsicas vamos demonstrar outras a Propriedade 17. Para todo k inteiro vale cos( Demonstrao. ca cos( Propriedade 18. sen(d ) = cos(d). 2 + k) = cos( )cos(k) sen( ).sen(k) = 0. 2 2 2 + k) = 0. 2


15

Demonstrao. ca sen(d Propriedade 19. cos(d Demonstrao. ca cos(d Propriedade 20. cos( x) = cos(x) Demonstrao. ca cos( x) = cos()cos(x) sen().sen(x) = cos(x). Exemplo 1. Mostrar que cos4 (x) sen4 (x) = 2cos2 (x) 1. Temos que cos4 (x) sen4 (x) = [cos2 (x) sen2 (x)][cos2 (x) + sen2 (x)] = cos2 (x) sen2 (x) da a identidade segue do fato que sen2 (x) = 1 cos2 (x). Corolrio 16 (Frmula de diviso). a o a x cos(x) + 1 cos( ) = . 2 2 Corolrio 17. Com as frmulas de diviso de seno e cosseno, dividindo temos a o a x 1 cos(x) tg( ) = . 2 1 + cos(x) Exemplo 2 (ITA-1967). Se sen(x) = 1 ento quanto vale sen(2x)? a 3 Se sen(x) = 1 ento x = a + 2k da 2x = + 2 + 2k cujo seno sen(2x) = e 2 sen() = 0. ) = cos(d).cos( ) sen( )sen(d) = sen(d) 2 2 2 ) = sen(d) 2 ) = sen(d).cos( ) + cos(d).sen( ) = cos(d) 2 2 2


16

1.5

cossec(x)

Propriedade 21. Vale cossec(x) = Corolrio 18. cossec(x) a e mpar. 1 x = k, k Z. sen(x)

1.5.1

cotg 2 (x) + 1 = cossec2 (x).

Propriedade 22. Vale a identidade cotg 2 (x) + 1 = cossec2 (x). Demonstrao. ca cotg 2 (x) + 1 = cos2 (x) cos2 (x) + sen2 (x) 1 +1= = = cossec2 (x). 2 (x) 2 (x) sen sen sen2 (x)

1.6

Sec(x)

Propriedade 23. Vale que Sec(x) = Corolrio 19. sec(x) par. a e 1 k x = . cos(x) 2

1.7

T g(x)

Propriedade 24. Vale que tg(x) = Corolrio 20. tg(x) a e mpar . sen(x) k , x = . cos(x) 2


17

1.7.1

tg 2 (x) + 1 = sec2 (x).

Propriedade 25. Vale a identidade tg 2 (x) + 1 = sec2 (x). Demonstrao. De tg 2 (x) = ca tg 2 (x) + 1 = Corolrio 21. a 1 tg 2 (x) +1 = cos2 (x). sen2 (x) tem-se cos2 (x) .

sen2 (x) sen2 (x) + cos2 (x) 1 +1= = = sec2 (x) 2 (x) 2 (x) cos cos cos2 (x)

1 sen2 (x) 2 2 Corolrio 22. Da identidade 2 a = cos (x) multiplicando por tg (x) = tg (x) + 1 cos2 (x) segue tg 2 (x) = sen2 (x). tg 2 (x) + 1

1.7.2

tg(a + b) =

tg(a) + tg(b) 1 tg(a).tg(b)tg(a + b) = tg(a) + tg(b) 1 tg(a).tg(b)

Propriedade 26.

Demonstrao. ca tg(a) + tg(b) = sen(a) sen(b) sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) sen(a + b) + = = = cos(a) cos(b) cos(a)cos(b) cos(a)cos(b) = porm e 1 tg(a)tg(b) = 1 portanto tg(a + b) = tg(a) + tg(b) . 1 tg(a).tg(b) cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) cos(a + b) sen(a) sen(b) = = cos(a) cos(b) cos(a)cos(b) cos(a)cos(b) tg(a + b)cos(a + b) cos(a)cos(b)


18

1.7.3

Frmulas de Tangente do arco metade o

Propriedade 27. Valem as identidades 1. sen(x) = 2. 2tg( x ) 2 tg(x) = . 2( x ) 1 tg 2 3. cos(x) = Demonstrao. ca 1. Usamos que 1 + tg 2 (x) = sec2 (x) 2tg(x) 2sen(x) 2 = cos (x) = 2sen(x)cos(x) = sen(2x). 1 + tg 2 (x) cos(x) x x 2. Dividimos a expresso anterior por cos(x) = cos2 ( ) sen2 ( ) da a 2 2 tg(x) = 2tg(x) . 1 tg 2 ( x ) 2 1 tg 2 ( x ) 2 1 + tg 2 ( x ) 2 2tg( x ) 2 1 + tg 2 ( x ) 2

3. Dividimos seno por tangente, chegando ao resultado.

1.8

Cotg(x)

Propriedade 28. Vale que cotg(x) = cos(x) 1 = , x = k. sen(x) tg(x)


19

1.8.1

cotg(a + b) =

cotg(a)cotg(b) 1 cotg(a) + cotg(b)cotg(a + b) = cotg(a)cotg(b) 1 cotg(a) + cotg(b)

Propriedade 29.

Demonstrao. ca

cotg(a) + cotg(b) =

cos(a) cos(b) sen(b)cos(a) + sen(a)cos(b) sen(a + b) + = = = sen(a) sen(b) sen(a)sen(b) sen(a)sen(b) = cos(a + b) cotg(a + b)sen(a)sen(b)

porm e cotg(a)cotg(b) 1 = portanto tg(a + b) = tg(a) + tg(b) . 1 tg(a).tg(b) cos(a) cos(b) cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) cos(a + b) 1= = sen(a) sen(b) sen(a)sen(b) sen(a)sen(b)

1.8.2

cotg(x) 2cotg(2x) = tg(x)

Propriedade 30. cotg(x) 2cotg(2x) = tg(x) Demonstrao. ca cotg(x) 2cotg(2x) = cos(x) cos(2x) 2 = sen(x) sen(2x)

usando que cos(2x) = 2cos2 (x) 1 e sen(2x) = 2sen(x)cos(x) ( ) cos(x) (2cos2 (x) 1) cos(x) (2cos2 (x) 1) 1 2cos2 (x) 1 = 2 = = cos(x) = sen(x) 2sen(x).cos(x) sen(x) sen(x).cos(x) sen(x) cos(x) ( 2 ) ( ) 1 cos (x) 2cos2 (x) + 1 1 cos2 (x) + 1 = = = sen(x) cos(x) sen(x) cos(x) usando sen2 (x) = 1 cos2 (x) 1 = sen(x) ( sen(x).sen(x) cos(x) ) = sen(x) = tg(x). cos(x)


20

1.8.3

x cossec(x) = cotg( ) cotg(x) 2x cossec(x) = cotg( ) cotg(x) 2

Propriedade 31.

cos(2x) + 1 Demonstrao. Da identidade ca = cos2 (x), temos cos(x) = 2 que implica x cos(x) + 1 cos( ) = 2 2 1 cos(2x) da identidade sen2 (x) = , tem-se 2 1 cos(x) x sen( ) = . 2 2 Temos

cos(2x) + 1 , 2

cos( x ) x cos(x) 2 cotg( ) = cotg(x) = x , 2 sen( 2 ) sen(x) cos(x) + 1 2 cos(2x) + 1 2 x cotg( ) cotg(x) = . . = 2 2 1 cos(x) 2 1 cos(2x) cos(x) + 1 1 cos(2x) + 1 1 = . . = 1 1 cos(x) 1 1 cos(2x) multiplicando a primeira frao por 1 cos(x) e a segunda por 1 cos(2x) no nuca merador e no denominador 1 + cos(x) 1 cos(x) 1 + cos(2x) 1 cos(2x) = = 1 cos(x) 1 cos(2x) pela propriedade de produto de raizes e por sen2 (x) = 1 cos2 (x) 1 cos2 (x) 1 cos2 (2x) sen(x) sen(2x) sen(x) 2sen(x).cos(x) = = = = 1 cos(x) 1 cos2(x) 1 cos(x) 1 cos(2x) 1 cos(x) 1 cos(2x) usando agora que 2sen2 (x) = 1 cos(2x) = sen(x) 2sen(x).cos(x) sen(x) cos(x) sen2 (x) cos(x) + cos2 (x) 1 = = = . 2 (x) 1 cos(x) 2sen 1 cos(x) sen(x) (1 cos(x))(sen(x)) sen(x)


21

1.9

Frmulas de Werner o

Propriedade 32 (Frmulas de Werner). Valem as identidades o 1. sen(p) sen(q) = 2sen( 2. sen(p) + sen(q) = 2sen( 3. cos(p) + cos(q) = 2cos( 4. cos(p) cos(q) = 2sen( conhecidas como frmulas de Werner. o Demonstrao. ca 1. Das identidades sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a) (I) sen(a b) = sen(a).cos(b) sen(b).cos(a) (II) subtraindo as expresses o sen(a + b) sen(a b) = sen(b).cos(a) sen(a + b) sen(a b) = cos(a).sen(b) 2 p+q pq ).sen( ). 2 2 p+q pq ).cos( ) 2 2 p+q pq ).cos( ) 2 2 pq p+q ).cos( ) 2 2

p+q tomando a + b = p e a b = q, tem-se p + q = 2a da = a e de p q = 2b 2 pq tem-se = b , substituindo na expresso anterior a 2 p+q pq .cos . sen(p) sen(q) = 2sen 2 2 Essa identidade pode ser escrita como sen(p) sen(q) = 2sen pq p+q+ .sen 2 2


22

2. Somando I e II temos sen(a + b) + sen(a b) = 2sen(a).cos(b) sen(p) + sen(q) = 2sen( 3. Das identidades cos(a + b) = cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) (III) cos(a b) = cos(a).cos(b) + sen(b).sen(a) (IV ) somando as relaes co cos(a + b) + cos(a b) = 2cos(a)cos(b) cos(p) + cos(q) = 2cos( 4. Tomando a subtraao de III e IV tem-se c cos(a + b) cos(a b) = 2sen(a)sen(b) cos(p) cos(q) = 2sen( p+q pq )sen( ). 2 2 pq p+q )cos( ). 2 2 p+q pq ).cos( ). 2 2

Propriedade 33. Se f (0) = 0 e f (x) par ento f e a e mpar. Demonstrao. Vamos mostrar que f (x) = f (x) . Seja g(x) = f (x) + f (x), ca vale que g(0) = 0 e g (x) = f (x) + f (x) = f (x) + f (x) = 0. Logo g constante, valendo ento g(x) = 0x. e a Corolrio 23. Se f (0) = 0 ento podemos tomar h(x) = f (x) f (0) que ser a a a mpar, pois vale h(0) = f (0) f (0) e h (x) = f (x) par, ento vale e a

h(x) = h(x)


23

f (x) f (0) = f (x) + f (0) implicando que f (x) = 2f (0) f (x). Ento se f (x) par vale a e f (x) = 2f (0) f (x).

1.101.10.1

Funoes trigonomtricas inversas c earcsen(x).

Denio 4 (arcsen(x)). A funao f de [ , ] [1, 1] dada por f (x) = sen(x) ca c 2 2 injetora e bijetora, pois crescente nesse intervalo valendo Dsen(x) = cos(x) > 0. e e Denimos ento a funao inversa de sen(x) que chamada de arco seno [1, 1] [ , ], a c e 2 2 com a seguinte lei y = arcsen(x) sen(y) = x. Devemos observar bem que a deniao feita para valores de x tais que |x| 1. c e Exemplo 3. Quanto vale arcsen(0) ? arcsen(0) = y ento sen(y) = 0, como sen(0) = 0 a segue que arcsen(0) = 0. Exemplo 4. Quanto vale arcsen(1) ? arcsen(1) = y ento sen(y) = 1, como sen( ) = 1 a 2 segue que arcsen(1) = . 2

1.10.2

D[arcsen(x)]

1 . Propriedade 34. D[arcsen(x)] = 1 x2 Demonstrao. Tomando arcsen(x) = y ento sen(y) = x, derivando y cos(y) = 1 ca a 1 e da y = como cos2 (y) = 1 sen2 (y) segue que cos(y) = 1 sen2 (y) e cos(y) 1 . y = 1 x2


24

Propriedade 35. A funao de lei arcsen(x) c e mpar. Demonstrao. Seja f (x) = arcsen(x)+arcsen(x), vale f (0) = 0, derivando segue ca que 1 1 f (x) = + =0 2 1x 1 x2

logo f (x) = 0 valendo arcsen(x) = arcsen(x).

1.10.3

1 dx = arcsen(x). 1 x2 1 dx = arcsen(x). 1 x2 1 . seja y = arcsen(x) temos seny = x deri1 x2

Exemplo 5. Mostrar que

Vamos mostrar que (arcsen(x)) = vando y .cosy = 1, y = 0

1 1 = (fazer gura depois.) cosy 1 x2 arcsen(x) est denido com |z| 1 , com esses valores vale az

1 dx = arcsen(z) arcsen(0) = arcsen(z). 1 x2

1.10.4Temos

Srie de arcsen(x) . e (1)k (2k)!xk 1 = (k!2 )4k 1 + x k=0

logo

(2k)!x2k 1 = (k!2 )4k 1 x2 k=0

integrando de [0, y] 0 y

1 (2k)!y 2k+1 dx = arcsen(y) = . ((k)!2 )4k (2k + 1) 1 x2 k=0

arcsen(y) =

k=0

y 2k+1 . 4k (2k + 1)k

(2k)


25

1.10.5

arccos(x)

Denio 5 (arcsen(x)). A funao f de [0, ] [1, 1] dada por f (x) = cos(x) ca c e injetora e bijetora, pois decrescente nesse intervalo valendo Dcos(x) = sen(x) < 0 em e [0, ], pois o seno positivo nesse intervalo. Denimos ento a funao inversa de cos(x) e a c que chamada de arco cosseno [1, 1] [0, ], com a seguinte lei e y = arccos(x) cos(y) = x. Devemos observar bem que a deniao feita para valores de x tais que |x| 1. c e Exemplo 6. Quanto vale arccos(0)?. Temos que arccos(0) = y ento cos(y) = 0, mas a temos cos( ) = 1, logo y = . 2 2 Exemplo 7. Quanto vale arccos(1)?. Temos que arccos(1) = y ento cos(y) = 1, mas a temos cos(0) = 1, logo y = 0. 1 1 1 Exemplo 8. Quanto vale arccos( )?. Temos que arccos( ) = y ento cos(y) = , mas a 2 2 2 1 temos cos( ) = , logo y = . 3 2 3

1.10.6

D[arccos(x)]

1 Propriedade 36. Vale D[arccos(x)] = . 1 x2 Demonstrao. Tomando y = arccos(x) tem-se cos(y) = x e da y sen(y) = 1 logo ca 1 sen(y) como sen(y) = 1 cos2 (x) tem-se sen(y) = 1 x2 ento a y = 1 y = . 1 x2 Corolrio 24. Como a derivada de arccos(x) par e 2arccos(0) = , segue que a e arccos(x) = arccos(x)


26

1.10.7

1 dz = arccos(x) 1 z2

Propriedade 37. Vale

1 1 dz = arc cos(x) pois D[arccos(x)] = , como 1 z2 1 z2 a funao denida para valores |x| 1, vale c e1

1 dz = arccos(1) arccos(x) = arccos(x). 1 z2 x 1 1 1 1 1 Exemplo 9. Calcular a integral dz. Vale dz = arccos( ) = 1 1 2 1 z2 1 z2 2 2 . 3

1.10.8

Relao entre arccos(x) e arcsen(x) ca arcsen(x). 2

Propriedade 38. Vale arccos(x) =

1 Demonstrao. Valem as identidades D[arccos(x)] = ca e D[arcsen(x)] = 1 x2 1 , logo 1 x2 D[arccos(x) + arcsen(x)] = 0 isso implica que a funao constante, tomando um valor, digamos x = 0, segue c e arccos(0) + arcsen(0) = c = arcos(0) = de onde segue que arccos(x) = arcsen(x). 2 2

1.10.9

( ) 2k y 2k+1 k segue que Como valem arccos(x) = arcsen(x) e arcsen(y) = k (2k + 1) 2 4 k=0 (2k) k y 2k+1 arccos(x) = . 2 k=0 4k (2k + 1)

Srie de arccos(x) . e


27

1.10.10

Funo arctg ca

Denio 6 (arctg(x)). A funo f de [ , ] R dada por f (x) = tg(x) injetora e ca ca e 2 2 bijetora, pois crescente nesse intervalo valendo Dtg(x) = sec2 (x) 0. Denimos ento e a a funao inversa de tg(x) que chamada de arco tangente R [ , ], com a seguinte c e 2 2 lei y = arctg(x) tg(y) = x. Exemplo 10. Alguns valores especiais sen 3 3 arctg = , pois tg = = 3 3 cos 3 3 sen 1 6 arctg = , pois tg = = 6 6 cos 3 6 arctg(1) = , pois tg = 1. 4 4 arctg(0) = 0, pois tg(0) = 0.

32 3 = 3= . 2 1 3 1 2 1 = . 2 3 3

1.10.11

Darctg(x)x2 1 . +1

Propriedade 39. Vale D[arctg(x] =

Demonstrao. Se arctg(x) = y ento tg(y) = x, derivando ambos lados tem-se ca a 1 y sec2 (y) = 1 logo y = . Da identidade sec2 (y) = tg 2 (y) + 1 ento sec2 (y) = x2 + 1 a sec2 (y) de onde segue 1 y = 2 . x +1 Corolrio 25. A funao de lei arctg(x) a c e mpar pois vale arctg(0) = 0 e D[arctg(x)] e par. arctg(x) = arctg(x).

1.10.12

1 u 1 dx = arctg( ) a2 + x2 a a a2 1 u du = arctg( ) 2 +u a a

Propriedade 40.


28

1 u 1 u Demonstrao. Vamos calcular a derivada de arctg( ), temos que arctg( ) = y ca a a a a u u logo ay = arctg( ), tg(ay) = , podemos tomar assim um tringulo com cateto oposto ao a a a ngulo ay como u e adjacente como a, assim temos por teorema de Pitgoras a2 + u2 = h2 a a a a2 1 a2 + u2 h = a2 + u2 e cos(ay) = assim cos2 (ay) = 2 e = = a + u2 cos2 (ay) a2 a2 + u2 u sec2 (ay), agora voltando a tangente, temos tg(ay) = derivando ambos lados em u, a 1 1 ay .sec2 (ay) = , y sec2 (ay) = 2 substituindo a expresso da secante segue a a a a2 + u2 1 y. = 2 2 a a 1 , assim y = 2 a + u2 Exemplo 11. Calcule x2 dx. 1 + x2 2 x2 x +11 1 dx = dx = 1 dx = x arctgx + c. 2 2 1+x 1+x 1 + x2

1.10.13

Srie para arctg(x) e k=0

arctg(x) = Sabemos que 0 y

(1)k

x2k+1 2k + 1

1 dx = arctg(y) 1 + x2

da transformando em srie tem-se e y (1)k y 2k+1 k 2k (1) x dx = . 2k + 1 0 k=0 k=0

1.10.14

Funo arccotg ca

Denio 7 (arctg(x)). A funao f de [0, ] R dada por f (x) = cotg(x) injetora e ca c e bijetora, pois decrescente nesse intervalo valendo Dcotg(x) = cossec2 (x) 0. Denie mos ento a funao inversa de cotg(x) que chamada de arco tangente R [0, ], com a a c e seguinte lei y = arccotg(x) cotg(y) = x.


29

Exemplo 12. Quanto vale arccotg(0)? arccotg(0) = y logo cotg(y) = 0, implicando y= . 2

1.10.15

D[arccotg(x)]1 . x2 + 1

Propriedade 41. D[arccotg(x)] =

Demonstrao. Tomando arccotg(x) = y tem-se cotg(y) = x, derivando em relao ca ca ` x, segue y cossec2 (x) = 1, usando a relaao cotg 2 (x) + 1 = cossec2 (x) segue que a c y = 1 . x2 + 1

Corolrio 26. Como a derivada de arccotg(x) par e 2arccotg(0) = segue que a e arccotg(x) = arccotg(x). Propriedade 42. Vale a relaao c arccotg(x) = Demonstrao. Vale D[arccotg(x)] = ca bas temos D[arccotg(x) + arctg(x)] = 0 ento a arccotg(x) + arctg(x) = c tomando x = 0 segue arccotg(0) = c = logo arctg(x) = arctg(x). 2 2 arctg(x). 2 x2 1 1 e D[arctg(x] = 2 , somando am+1 x +1


30

1.10.16bas temos

Srie de arccotg ex2 1 1 e D[arctg(x] = 2 , somando am+1 x +1

Demonstrao. Vale D[arccotg(x)] = ca

D[arccotg(x) + arctg(x)] = 0 ento a arccotg(x) + arctg(x) = c tomando x = 0 segue arccotg(0) = c = logo arctg(x) = Da identidade arctg(x) = arctg(x) segue que 2 x2k+1 arccotg(x) = (1)k 2 k=0 2k + 1 arctg(x). 2 2

1.11

Funo arcsec(x) ca

Denio 8 (arcsec(x)). A funo f de [0, ) ( , ] (, 1] [1, ) dada ca ca 2 2 por f (x) = sec(x) bijetora, pois crescente nesses intervalos valendo Dsec(x) = e e sec(x)tg(x) 0, pois em [0, ) vale tg(x) 0 e sec(x) 0 e em ( , ] vale tg(x) 0 e 2 2 sec(x) 0 logo o produto no negativo e ela positiva no primeiro intervalo e negativa e a e no segundo. Denimos ento a funo inversa de sec(x) que chamada de arco secante a ca e (, 1] [1, ) [0, ) ( , ], com a seguinte lei 2 2 y = arcsec(x) sec(y) = x. Exemplo 13. Quanto vale arcsec(1)? arcsec(1) = y logo sec(y) = 1, o unico valor poss y = 0, logo vel e arcsec(1) = 0. Exemplo 14. Quanto vale arcsec(1)? arcsec(1) = y logo sec(y) = 1, o unico valor poss y = , logo vel e arcsec(1) = .


31

1.11.1

D[arcsec(x)]1 . |x| x2 1

Propriedade 43. D[arcsec(x)] =

Demonstrao. Tomando arcsec(x) = y tem-se sec(y) = x, derivando em relao ` ca ca a x, segue y tg(y)sec(y) = 1, usando a relaao tg 2 (x) + 1 = sec2 (x) segue que c y = Propriedade 44. Vale que arcsec(x) + arcsec(x) = . Demonstrao. Seja g(x) = arcsec(x) + arcsec(x), ento g(1) = arcsec(1) + ca a arcsec(1) = derivando segue que g (x) = 1 1 + 21 |x| x |x| x2 1 1 . |x| x2 1

1.11.2

1 arcos( ) = arcsec(z) z

1 Propriedade 45. Vale que arcos( ) = arcsec(z). z 1 Demonstrao. Considere a funao de lei f (z) = arcos( ) arcsec(z), vale f (1) = ca c z arcos(1) arcsec(1) = 0. Vamos derivar a funo agora ca f (z) = 1 (z) 1 1 1 = =0 2 z z2 1 z z2 1 z z2 1 z z2 1 1 arcos( ) = arcsec(z). z

logo f (z) = c = f (1) = 0 implicando que

1.11.3

(2k) 1 k y 2k+1 Das identidades arcos( ) = arcsec(z) e arccos(x) = segue que z 2 k=0 4k (2k + 1)

Srie de arcsec(x). e

(2k) k . arcsec(z) = 2 k=0 z 2k+1 4k (2k + 1)


32

1.12

Funo arccossec(x) ca

Denio 9 (arccossec(x)). A funao f de [ ca c

, 0) (0, ] (, 1] [1, ) dada 2 2 por f (x) = cossec(x) bijetora, pois decrescente nesses intervalos valendo Dcossec(x) = e e cossec(x)cotg(x) 0 (argumentar), alm disso no primeiro intervalo a funao negativa e c e e no segundo a funo positiva. Denimos ento a funao inversa de cossec(x) que ca e a c e chamada de arco cossecante (, 1] [1, ) [ , 0) (0, ], com a seguinte lei 2 2 y = arccossec(x) cossec(y) = x.

Exemplo 15. Quanto vale arccossec(1)? arccossec(1) = y logo cossec(y) = 1, o unico valor poss y = , logo vel e 2 arccossec(1) = . 2 Exemplo 16. Quanto vale arccossec(1)? arccossec(1) = y logo cossec(y) = 1, o unico valor poss y = , logo vel e 2 arccossec(1) = . 2

1.12.1

D[arccossec(x)]1 . |x| x2 1

Propriedade 46. D[arccossec(x)] =

Demonstrao. y = arccossec(x) ento cossec(y) = x, derivando ambos membros ca a tem-se y cotg(y).cossec(y) = 1 usando a relaao cotg 2 (x) + 1 = cossec2 (x) segue que c y = Propriedade 47. Vale a identidade 1 arccossec(z) = arcsen( ). z 1 Demonstrao. Tomando a funo de lei f (z) = arccossec(z) arcsen( ), temos ca ca z f (1) = arccossec(1) arcsen(1) = = 0. 2 2 1 . |x| x2 1


33

Derivamos a funao c

1 z f (z) = + =0 21 2 z2 1 z z z 1 logo arccossec(z) arcsen( ) = c = arccossec(1) arcsen(1) = 0 implicando z 1 arccossec(z) = arcsen( ). z Propriedade 48. Se f (c) = f (c) para alguma constante c e f (x) par ento f e a e mpar. Demonstrao. Vamos mostrar que f (x) = f (x) . Seja g(x) = f (x) + f (x), ca vale que g(c) = 0 e g (x) = f (x) + f (x) = f (x) + f (x) = 0. Logo g constante, valendo ento g(x) = 0x. e a Corolrio 27. Vale arccossec(1) = arccosec(1) e D[arccossec(z)] par ento a funao a e a c e mpar.

( ) 2k y 2k+1 1 k Da identidade arccossec(z) = arcsen( ) e da srie arcsen(y) = e segue z 4k (2k + 1) k=0 que (2k) k . arccossec(z) = k (2k + 1)z 2k+1 4 k=0

1.12.2

Srie de arccossec(z). e

1.131.13.1

Integrao de funoes trigonomtricas inversas ca c e arcsen(x)dx = xarcsen(x) +

1 x2

Propriedade 49. Vale que

arcsen(x)dx = xarcsen(x)+ 1 x2 pois derivando temos

x 2x arcsen(x) + + = arcsen(x). 2 1x 2 1 x2


34

1.13.2 arccos(x)dx = xarccos(x) Propriedade 50. Vale que

1 x2

arccos(x)dx = xarccos(x) 1 x2 pois derivando temos

x 2x arccos(x) + = arccos(x). 2 1x 2 1 x2

1.13.3

1 arctg(x) = xarctg(x) ln(1 + x2 ). 2 1 arctg(x) = xarctg(x) ln(1 + x2 ), pois derivando 2 x2 x 2x = arctg(x). + 1 2x(1 + x2 )


arctg(x) +

1.13.4

1 arccotg(x) = xarccotg(x) + ln(1 + x2 ). 2 1 arctg(x) = xarctg(x) ln(1 + x2 ), pois derivando 2 x2 x 2x + = arccotg(x). + 1 2x(1 + x2 )


arccotg(x)

1.141.14.1

Funoes hiperblicas c oDenio das funoes ca c

Denio 10 (Seno hiperblico). Denimos a funao de R em R , chamada de seno ca o c hiperblico pela lei o senh(x) = ex ex . 2

Propriedade 53 (Seno hiperblico o e mpar). senh(x) = ex ex ex ex = = senh(x). 2 2

Denio 11 (Cosseno hiperblico). Denimos a funao de R em R , chamada de cosseno ca o c hiperblico pela lei o cosh(x) = ex + ex . 2


35

Propriedade 54 (Cosseno hiperblico par). o e cosh(x) = ex + ex ex + ex = = coshx. 2 2

Denio 12 (Tangente hiperblica). ca o tgh(x) = Denio 13 (Cotangente hiperblica). ca o cotgh(x) = cosh(x) senh(x) senh(x) cosh(x)

Propriedade 55. O seno hiperblico uma funo crescente. o e ca Demonstrao. Vale que ca senh (x) = logo a funao crescente. c e Denio 14 (Secante hiperblica ). ca o sech(x) = 1 . cosh(x) ex + ex = cosh(x) > 0 2

Tal funao par por sua relaao com cosh(x). c e c Denio 15 (Cossecante hiperblica ). ca o cossech(x) = 1 . seh(x)

Tal funao c e mpar por sua relao com senh(x). ca

1.14.2

Funoes hiperblicas inversas c o

Denio 16 (Inversa do seno hiperblico). O seno hiperblico crescente, logo a funo ca o o e ca bijetora, assim denimos de maneira unica sua inversa e arcsenh(x) = y senh(y) = x que chamada de arco seno hiperblico . e o


36

Denio 17 (Inversa do cosseno hiperblico). O cosseno hiperblico par, logo se existe ca o o e x tal que cosh(x) = t ento cosh(x) = cosh(x) = t, ento a funao no bijetora e no a a c a e a podemos denir sua inversa de maneira unica. A funao inversa denida para x 1. c e arccosh(x) = y cosh(y) = x. Exemplo 17. Quanto vale arccosh(1)? arccosh(1) = y ento cosh(y) = 1, vale para a y = 0, logo arccosh(1) = 0. Denio 18 (Inversa da tangente hiperblica). ca o arctgh(x) = y tgh(y) = x. Denio 19 (Inversa da cotangente hiperblica). ca o arccotgh(x) = y cotgh(y) = x. Propriedade 56. 1 arccotgh(x) = arctgh( ). x 1 Demonstrao. Se tgh(y) = x ento cotgh(y) = implicando que arctgh(x) = y e ca a x 1 . arccotg( ) = y x Denio 20 (Inversa da cossecante hiperblica). ca o arccossech(x) = y cossech(y) = x. Propriedade 57. 1 arccossech(x) = arcsenh( ). x 1 Demonstrao. Se senh(y) = x ento cossech(y) = implicando que arcsenh(x) = ca a x 1 y e arccossech( ) = y. x Denio 21 (Inversa da secante hiperblica). ca o arcsech(x) = y sech(y) = x.


37

Propriedade 58. 1 arcsech(x) = arccos( ). x 1 Demonstrao. Se cosh(y) = x ento sech(y) = implicando que arccosh(x) = y ca a x 1 e arcsech( ) = y. x

1.14.3

Srie para arccossech(x) e

1 Da identidade arccossech(x) = arcsenh( ) e da srie arcsenh(y) = e x k=0 temos (2k) (1)k k arccossech(x) = (2k + 1)4k x2k+1 k=0

(2k)k

(1)k y 2k+1 (2k + 1)4k

1.14.4

Srie de arccotgh(x). e

x2k+1 1 Das identidades arccotgh(x) = arctgh( ) e arctgh(x) = . segue que x 2k + 1 k=0 arccotgh(x) = k=0

1 . (2k + 1)x2k+1

1.14.5Vale

Representando arccosh(x) por meio de ln .cosh(t) =x

et + et 2

tomando et = u, ca mos na equao de segundo grau ca u2 2ux + 1 = 0 que possui soluo da forma ca et = u = x aplicando o logaritmo segue que t = ln(x x2 1) x2 1) x2 1

arccosh(x) = ln(x para x 1.


38

1.14.6Vale

Representando arcsenh(x) por meio de ln .senh(t) =x t

et et 2

tomando e = u, ca mos na equao de segundo grau ca u2 2uy 1 = 0 que possui soluo da forma ca et = u = y aplicando o logaritmo segue que t = ln(y y 2 + 1) y 2 + 1) y2 + 1

arcsenh(y) = ln(y +

tomamos o valor positivo e y pode ser qualquer valor real.

1.15

Relao com complexos caeix eix = isenx 2 eix + eix = cos(x). 2

A partir da identidade eix = cos(x) + isen(x) seguem as identidade

1.15.1

sen(ix) = isenh(x) e senh(ix) = isen(x).

Corolrio 28. a senh(ix) = isen(x) isen(ix) = senh(i2 x) = senh(x) = senh(x) multiplicando ambos lados por i sen(ix) = isenh(x)


39

logo sen(ix) = isenh(x) senh(ix) = isen(x).

1.15.2

i.arcsenh(x) = arcsen(ix) e arcsenh(ix) = iarcsen(x).

Da identidade isenh(y) = sen(iy) segue que iy = arcsen(isenh(y)) , tomando y = arcsenh(x) segue que iarcsenh(x) = arcsen(ix). Substituindo x por ix acima, segue iarcsenh(ix) = arcsen(x) = arcsen(x) multiplicando por i de ambos lados tem-se arcsenh(ix) = iarcsen(x).

1.15.3

cosh(ix) = cos(x) e cos(ix) = cosh(x).

Da identidade eix + eix = cosx 2 segue cosh(ix) = cos(x) cos(ix) = cosh(i2 x) = cosh(x) = cosh(x). cosh(ix) = cos(x) cos(ix) = cosh(x).


40

1.15.4

Identidade fundamental cosh2 (x) senh2 (x) = 1

Propriedade 59. Vale cosh2 (x) senh2 (x) = 1. Demonstrao. Da identidade cos2 (x) + sen2 (x) = 1, tomando x por ix ca cosh2 (x) + i2 senh2 (x) = 1 da cosh2 (x) senh2 (x) = 1. Propriedade 60. Vale senh(x + y) = senh(x).cosh(y) + cosh(x).senh(y)

1.15.5

senh(x + y) = senh(x).cosh(y) + senh(y).cosh(x)

Demonstrao. Sabemos a identidade sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x), ca trocando x por ix e y por iy tem-se sen(ix + iy) = isenh(x + y) = isenh(x).cosh(y) + isenh(y).cosh(x) cortando i em cada lado tem-se senh(x + y) = senh(x).cosh(y) + senh(y).cosh(x) Corolrio 29. Tomando x = y na propriedade anterior segue a senh(2x) = 2senh(x).cosh(x). Propriedade 61. Vale cosh(x + y) = cosh(x).cos(y) + senh(x).senh(y). Demonstrao. Da identidade cos(x + y) = cos(x).cos(y) sen(x).sen(y), tomando ca ix e iy tem-se cosh(x + y) = cosh(x).cosh(y) isenh(x).isenh(y) = cosh(x).cosh(y) + senh(x).senh(y). Corolrio 30. Tomando x = y na propriedade anterior, tem-se a cosh(2x) = cosh2 (x) + senh2 (x). .


41

1.15.6

tg(ix) = itgh(x) e tgh(ix) = itg(x).tgh(ix) = senh(ix) isen(x) = = itg(x). cosh(ix) cos(x) senh(x) senh(x) = = tgh(x) cosh(x) cosh(x)

itg(ix) = tgh(x) = multiplicando ambos lados por i

tg(ix) = itgh(x) tgh(ix) = itg(x).

1.15.7

cotgh(ix) = icotg(x) e cotg(ix) = icotgh(x).1 1 e cotgh(x) = segue tg(x) tgh(x)

Como temos cotg(x) =

1 1 cotgh(x) = cotg(ix) = = tg(ix) itgh(x) i assim cotg(ix) = multiplicando por i temos icotg(ix) = cotgh(x) por i novamente icotgh(x) = cotg(ix) de onde segue cotg(ix) = icotgh(x) substituindo i por ix cotg(x) = cotg(x) = icotgh(ix) cotg(x) = icotgh(ix) multiplicando por i cotgh(ix) = icotg(x) cotg(ix) = icotgh(x). cotgh(x) i


42

Essas identidades sero importantes pois , dada uma identidade trigonomtrica poa e demos deduzir uma identidade hiperblica ou dada uma hiperblica deduzir uma trigoo o nomtrica. e

1.15.8

sec(ix) = sech(x) e sech(ix) = sec(x).sech(ix) = 1 1 = = sec(x). cosh(ix) cos(x)

Substituindo i por ix sech(x) = sech(x) = sec(ix) ento vale a sec(ix) = sech(x) sech(ix) = sec(x).

1.15.9

sech2 (x) = 1 tgh2 (x).

Corolrio 31. Da identidade tg 2 (x) + 1 = sec2 (x) tem-se trocando x por ix e usando as a relaes complexas co sech2 (x) = 1 tgh2 (x).

1.15.10

cossech(ix) = icossec(x) e cossec(ix) = icossech(x).cossech(ix) = 1 1 cossec(x) = = senh(ix) isen(x) i

multiplicando por i2 segue cossech(ix) = icossec(x). Substituindo x por ix segue cossech(x) = cossec(x) = icossec(ix) logo cossech(x) = icossec(ix)


43

multiplicando por i segue icossech(x) = cossec(ix)

1.15.11

cossech2 (x) = cotgh2 (x) 1.

Corolrio 32. Da identidade cotg 2 (x) + 1 = cossec2 (x) substituindo x por ix segue a cotgh2 (x) + 1 = cossech2 (x) logo cossech2 (x) = cotgh2 (x) 1. Exemplo 18. Mostrar que 2 2 2 senh(3x) = 9( senh(x))3 + 3( senhx). 3 3 3 Mostrar essa identidade equivalente a demonstrar e 2 8 8 senh(3x) = 9 (senh(x))3 + 2senhx = (senh(x))3 + 2senhx 3 3.9 3 multiplicando ambos termos por 3 2senh(3x) = 8(senh(x))3 + 6senhx dividindo por 2 senh(3x) = 4(senh(x))3 + 3senhx. Chamando ex = A e ex = A1 , temos 4(senh(x))3 + 3senhx = 4 = A A1 (A A1 )3 + 3( )= 4.2 2 .

(A3 3A2 A1 + 3A.A2 A3 + 3A 3A1 ) (A3 + A3 ) (e3x + e3x ) = = = senh3x 2 2 2


44

1.15.12

sen(3x) = 3sen(x) 4sen3 (x).

Corolrio 33. Substituindo x por ix chegamos em outra relao a ca 2 2 2 senh(3ix) = 9( senh(ix))3 + 3( senhix) 3 3 3 como senh(3ix) = isen3x e senh(ix) = isenx substituindo temos 2 2 2 isen(3x) = 9(i)( sen(x))3 + 3i( senx) 3 3 3 anulando os fatores i segue a identidade 2 2 2 sen(3x) = 9( sen(x))3 + 3( senx) 3 3 3 sen3 (x) = 3sen(x) sen(3x) 4

sen(3x) = 3sen(x) 4sen3 (x). Exemplo 19. Partindo da identidade trigonomtrica e sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa de onde segue sen(ia + ib) = isenh(a + b) = senia.cosib + senib.cosia = isenha.coshb + isenhb.cosha logo senh(a + b) = senha.coshb + senhb.cosha caso b = a senh(2a) = 2senha.cosha Exemplo 20. Mostrar que 2 2 2 cosh(3x) = 9( cosh(x))3 3( coshx) 3 3 3 fazendo manipulaoes semelhantes as que zemos para senh(x) podemos mostrar que c e equivalente a identidade cosh(3x) = 4(coshx)3 3coshx


45

que vamos demonstrar 4(coshx)3 3coshx = 4 x x 3 3 x x 1 (e +e ) (e +e ) = (e3x +3e2x ex +3ex e2x +e3x 3ex 3ex ) = 2.4 2 2 = (e3x + e3x ) = cosh(3x). 2

Corolrio 34. Usando a relao cosh(ix) = cosx temos a ca 2 2 2 cosh(3ix) = 9( cosh(ix))3 3( coshix) 3 3 3 2 2 2 cos(3x) = 9( cos(x))3 3( cosx). 3 3 3

1.15.13

cos(3a) = 4cos3 (a) 3cos(a).

Corolrio 35. Multiplicando a identidade a 2 2 2 cos(3x) = 9( cos(x))3 3( cosx) 3 3 3 por i temos 2 2 2 i cos(3x) = 9i( cos(x))3 3( icosx) 3 3 3 agora multiplicando e dividindo o termo com 9i por i2 /i2 e usando que i2 = 1 segue 2 2 2 icos(3x) = 9( icos(x))3 3( icosx) 3 3 3 de onde segue a identidade cos(3a) = 4cos3 (a) 3cos(a).

1.15.14

tg(3x) = tg(60 x)tg(x)tg(60 + x).

Corolrio 36. Das identidades cos(3x) = 4cos3 (x) 3cos(x) e sen(3x) = 3sen(x) a 4sen3 (x), segue que tg(3x) = sen(x)(3 4sen2 (x)) 3sen(x) 4sen3 (x) = = 4cos3 (x) 3cos(x) (cos(x))(4cos2 (x) 3)


46

= tg(x) porm e

( 3 sen2 (x)) 4 (cos2 (x) 3 ) 4

sen(60 x)sen(60 +x) = (sen(60 )cos(x)sen(x)cos(60 ))(sen(60 )cos(x)+sen(x)cos(60 )) = 3 1 = cos2 (x) sen2 (x) 4 4 3 sen2 (x), da 4 3 mesma maneira podemos mostrar que cos(60 x)cos(60 + x) = cos2 (x) . 4 usando que cos2 (x) = 1 sen2 (x) segue que sen(60 x)sen(60 + x) = Corolrio 37. Da identidade tg(3x) = tg(60 x)tg(x)tg(60 + x), temos aX com x = 10 temos

3 = tg(10 )tg(50 )tg(70 ), 3

X x = 15 implica

1 = tg(15 )tg(45 )tg(75 )X tomando x = 20 tem-se

3 = tg(20 )tg(40 )tg(80 ). 1 Corolrio 38. Como1 cos(20 )cos(40 )cos(80 ) = (demonstre) e 3 = tg(20 )tg(40 )tg(80 ) a 8 3 segue que sen(20 )sen(40 )sen(80 ) = . 8 Exemplo 21. Partindo da identidade tg(a + b) = temos que tg(ia + ib) = itgh(a + b) =1

tga + tgb 1 tga.tgb

tgha + tghb tgia + tgib =i 1 tgia.tgib 1 itgha.itghb

Resolvido no texto sobre produtrios o


47

logo itgh(a + b) = i logo tgha + tghb . 1 + tgha.tghb tgha + tghb 1 + tgha.tghb

tgh(a + b) = Exemplo 22. Da identidade cotg(a + b) = segue cotg(ai + bi) = icotgh(a + b) = logo (i)cotgh(a + b) =

cotga.cotgb 1 cotga + cotgb

cotgai.cotgbi 1 icotgha.(i)cotghb 1 = cotgai + cotgbi (i)cotgha + (i)cotghb (i)cotgha.(i)cotghb 1 (i)(cotgha + cotghb) cotgha.cotghb 1 . (cotgha + cotghb)

cotgh(a + b) =

Propriedade 62. A funao senh(x) injetiva. c e Demonstrao. Temos que senh(x) = ca ex ex , derivando temos (senh(x)) = 2

ex + ex > 0 para todo x, logo uma funo crescente e por isso injetora. e ca 2

1.15.15

cotg() e2i + 1 = 2i i e 1e2i + 1 cotg() = 2i i e 1

Propriedade 63.

Demonstrao. ca Valem as identidades e2ix 1 eix eix = sen(x) = 2i 2iexi e2ix + 1 eix + eix = cos(x) = 2 2exi


48

como cotg(x) = logo

e2ix + 1 2iexi e2ix + 1 i cos(x) = = xi 2ix 1 2ix 1 sen(x) 2e e 1 e e2ix + 1 cotg(x) = 2ix . i e 1

Frmulas para cos(nx) e sen(nx). o Da identidade eix = cosx + isenx segue einx

= cos(nx) + isen(nx) = (cosx + isenx) =

n

n (n) k=0

k

(cosx)nk (i)k (senx)k

Podemos dividir os inteiros em [0, n] com a seguinte ciso, A como sendo o conjunto a dos pares em [0, n] e B como sendo o conjunto dos mpares em [0, n] e como temos i2k sendo real e i2k+1 sendo complexo, igualamos a parte real e complexa na identidade anterior, para chegar em (n) cos(nx) = (cosx)nk (i)k (senx)k k KA (n) isen(nx) = (cosx)nk (i)k (senx)k k KB n1 ( 2

cos(nx) =

k=0

) n (cosx)n2k (1)k (senx)2k 2k

n1 2

sen(nx) = Propriedade 64.

(k=0

) n (cosx)n2k1 (1)k (senx)2k+1 2k + 1

(( ) ( )) n 2n 1 2n cos (x) = 2n1 + cos(2kx) n nk 2 k=12n

1

cos

2n+1

1 (x) = 2n 2

(( ) ( )) n 2n + 1 2n + 1 cos(x) + cos[(2k + 1)(x)] n+1 nk k=1


49

Demonstrao. Primeiro o caso par. Por induao sobre n. n = 1 temos ca c (( ) ( )) 1 2 1 21 cos (x) = 21 + cos(2kx) = (1 + cos(2x)). 2 1 1k 2 k=12

1

Supondo a validade para n (( ) ( )) n 2n 1 2n + cos (x) = 2n1 cos(2kx) 2 n nk k=12n

1

vamos provar para n + 12n+2

cos

(( ) ( )) n+1 2n + 1 2n + 2 (x) = 2n+1 + cos(2kx) 2 n+1 n+1k k=1 1 1 + cos(2x) tem-se 2

multiplicando a hiptese da induao por cos2 (x) = o c cos2n+2 (x) = 1 = 2n 2

( )) ( ) ( ) n (( ) n 2n 2n 2n 1 2n 1 cos(2kx) = cos(2kx)cos(2x) + + cos(2x)+ nk nk n n k=1 k=1 cos(a + b) + cos(a b) = cos(a).cos(b) 2 ) ) ( (( n 2n 2n 1 1 1 + cos(2x) + cos(2(k + 1)x) = 2n nk n 2 2 k=1 ( )) ( ) ( ) n n 1 2n 2n 1 2n + cos(2kx) = cos(2(k 1)x) + + nk nk n 2 k=1 k=1 1 = 2n 2 ( ) (( ) n+1 2n 2n 1 1 cos(2x) + cos(2(k)x) + n 2 k=2 n+1k

usamos agora a relao ca

( ) ( ) ( ) ( )) n1 n 1 2n 1 2n 2n 1 2n + + cos(2(k)x) + + cos(2kx) = 2 n1 2 k=1 n1k n nk k=1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2n) 1 2n 2n 1 1 2n + 1 1 2n + 1 2n 1 usamos que + = = e que = n 2 n1 n 2 n 2 n+1 n 2 ( ( ) ( ) n+1 1 1 2n + 1 1 2n = 2n + cos(2(k)x) + 2 2 n+1 2 k=1 n+1k ( ) ( )) n1 n 2n 2n 1 cos(2(k)x) + cos(2kx) = + 2 k=1 n1k nk k=1

CAP ITULO 1. TRIGONOMETRIA ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2n 1 1 2n + 2 2n 2n usando agora que + + = 2 n1k nk 2 n+1k 2 n+1k ( ( ( ) ( ) ) 1 1 2n + 1 1 2n 1 2n = 2n + cos(2(n + 1)x) + + cos(2nx) 1 0 2 2 n+1 2 2 ) ( )) ( n1 1 2n + 2 2n + + cos(2nx) = cos(2(k)x) 2 k=1 n+1k 0 ( ( ) ( ) 1 1 2n + 1 1 2n + 2 = 2n + cos(2(n + 1)x) + 2 2 n+1 2 0 ( ) ( )) n1 1 2n + 2 1 2n + 2 cos(2(k)x) + cos(2nx) = + 2 k=1 n+1k 2 1 ( ( ) ( ) n+1 1 1 2n + 1 1 2n + 2 = 2n + cos(2(k)x) = cos2n+2 (x). 2 2 n+1 2 k=1 n+1k Caso mpar. Multiplicamos o caso par por cos(x).

50

( )) (( ) n 2n 2n 1 cos (x) = 2n1 cos(2kx)cos(x) = cos(x) + nk 2 n k=1 ( ) ( )) (( ) n n 2n 2n 2n 1 1 1 1 cos((2k+1)x) + cos((2k1)x) = = 2n1 cos(x)+ nk nk 2 n 2 k=1 2 k=1 ( ) ( ( ) n 2n 1 1 2n + 1 1 = 2n1 cos((2k + 1)x) + cos(x) + nk 2 2 n+1 2 k=12n+1

1

( ) ( ( ) ( )) n1 2n + 1 1 2n + 1 1 2n 1 = 2n1 cos(x) + cos((2k + 1)x) + cos((2n + 1)x) = nk 2 2 n+1 2 k=1 2 0 ( ( ) ( )) n 1 1 2n + 1 1 2n + 1 = 2n1 cos(x) + cos((2k + 1)x) = cos2n+1 (x). 2 2 n+1 2 k=1 nk 1 Corolrio 39. Fazendo x = 0 tem-se a ( ) n ( 2n ) 2n 1 2n1 =2 nk n k=1n (2n + 1) k=1

( )) n1 1 2n + cos((2k + 1)x) = 2 k=0 n1k

nk

=2

2n

( ) 2n + 1 . n+1


51

Tomando x =

2 ) ( ) ( n 2n 1 2n k = (1) n nk k=1

Corolrio 40. Podemos integrar a (( ) n sen(2kx) ( 2n )) 2n 1 x+ cos (x)dx = 2n1 2 n 2k nk k=12n

1

cos2n+1

1 (x)dx = 2n 2

((

) n sen[(2k + 1)(x)] (2n + 1)) 2n + 1 sen(x) + n+1 2k + 1 nk k=1 ( n ( )) 2n (2k)sen(2kx) nk k=1

Corolrio 41. Podemos derivar a Dcos (x) = 2n

1 22n1

Dcos

2n+1

1 (x) = 2n 2

( )) (( ) n 2n + 1 2n + 1 (2k + 1)sen[(2k + 1)(x)] sen(x) + nk n+1 k=1

Corolrio 42. Das identidades, a ( )) (( ) n 2n 2n 1 cos (x) = 2n1 + cos(2kx) nk 2 n k=12n

1

cos

2n+1

1 (x) = 2n 2

(( ) ( )) n 2n + 1 2n + 1 cos(x) + cos[(2k + 1)(x)] n+1 nk k=1

trocando x por ix (( ) ( )) n 2n 1 2n + cosh(2kx) cosh (x) = 2n1 n nk 2 k=12n

1

cosh

2n+1

1 (x) = 2n 2

(( ) ( )) n 2n + 1 2n + 1 cosh(x) + cosh[(2k + 1)(x)] n+1 nk k=1


52

Propriedade 65. cos((2n + 1)x) =n k=0 n k=1

cos

2k+1

(x)(1)

n+k

( ) 4k n+k (2n + 1) 2k + 1 2k ( ) 22k1 n + k 1 (n) . k 2k 1

cos(2nx) = (1) + Corolrio 43. Tomando x = 0. an k=0

n

cos (x)(1)

2k

n+k

1=

(1)

n+k

( ) n+k 4k (2n + 1) 2k + 1 2k ( ) 22k1 n + k 1 (n) . k 2k 1

1 = (1) +

n

n k=1

(1)

n+k

1.15.16

n ( ) 1 n cos (x) = n cos((n 2k)x) 2 k n k=0

Exemplo 23. Outra maneiran n n (n) (n) (n) kix ix(n+k) kix ix(n+k) ) = e e = e e = eix(2kn) k k k k=0 k=0 k=0

(e + e

ix

ix n

porm eix + eix = 2cos(x), de onde segue en (n) 2 .cos (x) = eix(2kn) k k=0 n n

como o resultado deve ser real a soma na parte complexa deve ser nula, ento vale an (n) k=0

k

sen(x(2k n)) = 0.

en ( ) 1 n cos (x) = n cos((n 2k)x). 2 k=0 k n


53

Corolrio 44. Podemos integrar e derivar facilmente cosn (x) a n ( ) n ( ) 1 n 1 n n Dcos (x) = n D[cos((n 2k)x)] = n (n 2k)[sen((n 2k)x)] 2 k=0 k 2 k=0 kn ( ) 1 n D cos (x) = n (n 2k)[sen((2k n)x)] 2 k=0 k n n

aplicando a integral segue n ( ) n ( ) 1 n 1 n 1 n cos (x)dx = n [cos((n2k)x)]dx = n [ sen((n2k)x)]dx 2 k=0 k 2 k=0 k (n 2k) n ( ) 1 n 1 cos (x)dx = n [ sen((n 2k)x)]dx. 2 k=0 k (n 2k) n

Exemplo 24. Sabemos que eix eix = 2isen(x) , elevamos a potncia n e (e eix ix n n (n) ) = eixk eix(n+k) (1)n+k = (2i)n senn (x) k k=0 n n

n (n) (2i) sen (x) = eix(n+2k) (1)n+k k k=0

separamos o caso par do mpar, para 2n temos 2n 2n (2n) (2n) ix(2n+2k) 2n+k n n 2n e (1) = eix(2n+2k) (1)k = (4 )(1) sen (x) = k k k=0 k=0 nesse caso a parte complexa deve ser nula e a soma deve ser o valor da parte real da ) 2n ( 1 2n sen (x) = n cos[(2n 2k)(x)](1)n+k 4 k=0 k2n

e

2n (2n) sen[(2n 2k)(x)](1)k = 0. k k=0

Tomando agora o caso n mpar, tem-se (2)2n+1

(1) .isen

n

2n+1

(x) =

2n+1 ( k=0

) 2n + 1 ix(2n1+2k) e (1)k+1 k


54

agora a parte real deve ser nula e a parte complexa fornece a soma sen e2n+1 2n+1 ( 2n + 1) 1 (x) = sen[(2n + 1 2k)x](1)k+n (2)2n+1 k=0 k 2n+1 ( k=0

) 2n + 1 cos[(2n + 1 2k)x](1)k = 0. k

Ento valem as expresses a o2n+1 ( 2n + 1) 1 (x) = sen[(2n + 1 2k)x](1)k+n (2)2n+1 k=0 k

sen

2n+1

) 2n ( 1 2n sen (x) = n cos[(2n 2k)(x)](1)n+k . 4 k=0 k2n

Corolrio 45. Podemos derivar e integrar as expresses chegando em a o ) 2n ( 1 2n 1 sen (x)dx = n sen[(2n 2k)(x)](1)n+k 4 k=0 k (2n 2k)2n

) 2n ( 1 2n Dsen (x) = n (2n 2k)sen[(2k 2n)(x)](1)n+k 4 k=0 k2n 2n+1 ( 2n + 1) 1 (x) = (2n + 1 k)cos[(2n + 1 2k)x](1)k+n (2)2n+1 k=0 k

Dsen

2n+1

sen2n+1

2n+1 ( 2n + 1) 1 1 (x)dx = 2n+1 cos[(2n + 1 2k)x](1)k+n (2) k (2n + 1 2k) k=0

1.16

Trigonometria e recorrncias e

Exemplo 25. Da identidade 2cos2 (x) = 1 + cos(2x)


55

tem-se 4cos2 (x) = 2 + 2cos(2x), 2cos(x) =

2 + 2cos(2x), podemos tomar 2cos(x) =

a(n + 1) da 2cos(2x) = a(n) e temos a recorrncia e a(n + 1) = 2 + 2a(n)

a(n + 1) = 2cos(f (n + 1)) implica a(n) = 2cos(f (n)), com f (n + 1) = x, tem-se f (n) = 2x c logo f (n) = 2f (n + 1), cuja soluao f (n) = n ento a soluo geral da recorrncia c e a ca e e 2 a(n) = 2cos( Assim temos a(0) = 2cos(c) a(1) = 2 + 2cos(c) a(2) = 2 + 2 + 2cos(c) a(n) conta n ra zes. Propriedade 66 (Recorrncia de cos(n)). Vale a identidade e cos[(n + 1)] = cos(n).2.cos() cos((n 1)). Demonstrao. ca Da identidade cos(n ) = cos(n).cos() + sen(n).sen() tem-se sen(n).sen() = cos(n).cos() cos(n ) somando cos(n).cos() em ambos lados segue cos(n).cos() sen(n).sen() = 2cos(n).cos() cos(n )cos(n+)

c ). 2n

logo cos(n + ) = 2cos(n).cos() cos((n 1)). Propriedade 67. Se cos() racional ento cos(n) racional para todo n Z. e a e


56

Demonstrao. Basta provar para n N , pois cosseno funao par. Para n = 0 e ca e c n = 1 a propriedade se verica. Supondo a validade para t < n + 1, vamos provar que cos((n + 1)) racional. Usamos a recorrncia e e cos[(n + 1)] = 2cos(n).cos() cos((n 1)) como cos((n + 1)) soma de racionais, ento um nmero racional. e a e u Corolrio 46. Se existe n N tal que cos(n) irracional ento cos() tambm a e a e e irracional. 3 Corolrio 47. cos(1 ), cos(2 ), cos(3 ), cos(5 ) so irracionais, pois cos(30 ) = a a e 2 irracional .

Propriedade 68. Se x +

1 1 = 2cos() ento xn + n = 2cos(n). a x x

Demonstrao. Provemos por induo sobre n, para n = 1 a proposiao verdadeira, ca ca c e consideremos verdadeira para qualquer valor menor que n + 1 e vamos provar para n + 1 (segunda forma de induo). ca 2cos(n).2cos() = (xn + 1 1 1 1 )(x + ) = xn+1 + n+1 + xn1 + n1 xn x x x2cos((n1))

da xn+1 + 1 xn+1 = 2(cos(n).2.cos() cos((n 1)))

usando a recorrncia de cosseno segue e xn+1 + 1 xn+1 = 2cos((n + 1)) .

1.17

Equaes trigonomtricas co e

Exemplo 26. Resolver a equao ca sen4 (x) + cos4 (x) = 1 num ciclo.


57

Usamos que cos2 (x) = 1 sen2 (x) substituindo tem-se sen4 (x) + (1 sen2 (x))2 = 1 = sen4 (x) + 1 2sen2 (x) + sen4 (x) sen4 (x) = sen2 (x) para sen(x) = 0 temos x = 0, , para sen(x) = 1 temos x = e para sen(x) = 1 temos 2 3 x= logo so 4 solues da equao. a co ca 2 Exemplo 27. Sejam sen(a) cos(a) = c1 e = c2 , calcule tg 2 (a) e tg 2 (b). sen(b) cos(b) Temos que sen(a) = c1 sen(b) e cos(a) = c2 cos(b), da

sen2 (a) + cos2 (a) = 1 = c2 sen2 (b) + c2 cos2 (b) = sen2 (b) + cos2 (b) 1 2 que implica

(c2 1)sen2 (b) = (1 c2 )cos2 (b) 1 2 logo 1 c2 2 . c2 1 1

tg 2 (b) =

1.18

Desigualdades trigonomtricas e

Propriedade 69. Vale que |sen(nx)| n|sen(x)| para qualquer x real e n natural. Demonstrao. Dado k inteiro qualquer, temos que ca sen(kx + x) = sen(kx)cos(x) + sen(x)cos(kx) |sen((k + 1)x)| = |sen(kx)||cos(x)| + |sen(x)||cos(kx)| |sen(kx)| + |sen(x)| portanto |sen((k + 1)x)| |sen(kx)| |sen(x)|


58

aplicando

n1 k=1

de ambos lados por soma telescpica segue o

|sen(nx)| |sen(x)| (n 1)|sen(x)| |sen(nx)| nsen(x).

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