TRIGONOMETRIA ESFÉRICA (TEO 1)

É a parte da Trigonometria que estuda a solução dos diversos problemas ligados aos

triângulos formados em Superfícies Esféricas, cujos lados são arcos de Circunferências

Máximas.

1. CONCEITOS PRELIMINARES

DIEDRO (ÂNGULO DIEDRO): é a figura formada por dois semiplanos que têm a mesma

reta origem, chamada aresta do diedro, enquanto que os dois semiplanos são chamados faces.

O ângulo diedro é medido pelo ângulo plano formado por duas retas situadas, cada uma,

numa das faces, e perpendiculares à aresta. Logo, os ângulos diedros podem ser retos, agudos

ou obtusos, isto é, 00 < med(ângulo diedro) < 1800 . (Vide modelo em cartolina)

TRIEDRO: é a figura espacial formada por 3 planos que concorrem em um mesmo ponto e se

interceptam 2 a 2. O ponto comum é chamado vértice , os planos são as faces do triedro, e as

interseções dos planos, 2 a 2, são as arestas do triedro. Os ângulos planos situados nas faces do

triedro, cujos lados são as arestas e cujos vértices coincidem com o vértice do triedro, são

chamados ângulos das faces(ou faces) . Um triedro é composto, então, de 3 diedros (Vide

modelo em cartolina). Apresenta as seguintes propriedades:

1a) uma face qualquer é menor que a soma das outras duas.

2a) a soma dos ângulos das faces de um triedro < 3600 .

3a) 1800 < a soma dos ângulos diedros de um triedro < 5400

ÂNGULO ESFÉRICO: é o ângulo formado, na superfície da esfera, pela interseção de arcos

de círculos máximos; os arcos dos círculos máximos são chamados lados e o ponto de

interseção é o vértice do ângulo esférico. Um ângulo esférico é medido pelo ângulo diedro

formado pelos planos que contém os círculos máximos.

A seção plana de uma esfera é um círculo, chamado círculo máximo se o plano interceptor

passa pelo centro da esfera, e círculo mínimo, em caso contrário.As extremidades do diâmetro

da esfera perpendicular ao plano interceptor são chamados PÓLOS do círculo máximo.

Por dois pontos distintos A e B de uma superfície esférica, que não sejam extremidades de um

diâmetro, passa um único arco de circunferência máxima; o arco AB dessa circunferência é a

menor distância que os liga sobre a superfície esférica. Na Figura 1 abaixo, temos:

Ângulo esférico  = ângulo diedro formado pelas faces PNAPS e PNBPS , de aresta PNOPS

Logo: âng. esf. Â = âng. plano X = arco AB , cujo pólo PN é o vértice do âng. esf. Â

TRIÂNGULO ESFÉRICO: é a figura formada, na superfície da esfera, por 3 arcos de

círculos máximos que se cortam dois a dois; os arcos das circunferências são os lados do

triângulo e os pontos de interseção são os vértices do triângulo e dos ângulos esféricos

formados. Só estudaremos os triângulos esféricos cujos lados e ângulos não excedam 1800 .

A todo triângulo esférico corresponde um triedro , cujas arestas são raios da esfera em cujo

centro está o vértice do triedro: os lados do triângulo são medidos pelos ângulos (planos) das

faces do triedro, e os ângulos do triângulo são medidos pelos ângulos diedros do triedro.

ARESTAS: raios OA, OB, OC FACES: planos AOB, AOC, BOC

LADOS: AÔB = arco AB = c AÔC = arco AC = b BÔC = arco BC = a

ÂNGULOS: Â = diedro de faces AOB e AOC (aresta OA)

^B = diedro de faces BOA e BOC (aresta OB)

^C = diedro de faces COA e COB (aresta OC)

Propriedades dos triângulos esféricos:

1a) Um lado é menor que a soma dos outros dois lados e maior que sua diferença.

2a) 00 < a soma dos três lados < 3600 .

3a) Se dois lados são iguais, os ângulos a eles opostos são também iguais, e reciprocamente.

4a) Se dois lados são diferentes, os ângulos a eles opostos são também diferentes, e o maior

ângulo está oposto ao maior lado, e reciprocamente.

5a) 1800 < a soma dos três ângulos esféricos internos < 5400 .