est presente em diversas situaes cotidianas, sendo considerada um dos mais antigos estudos da humanidade. A relao das medidas de comprimento com os valores dos ngulos surgiu da necessidade de calcular distncias inacessveis, sendo os estudos relacionados Astronomia, Agrimensura e Navegao os primeiros a usarem as relaes trigonomtricas. A Trigonometria (trigono: tringulo e metria: medidas) o estudo da Matemtica responsvel pela relao existente entre os lados e os ngulos de um tringulo. Nos tringulos retngulos (possuem um ngulo de 90), as relaes constituem os chamados ngulos notveis, 30, 45 e 60 que possuem valores constantes representados pelas relaes seno, cosseno e tangente. Nos tringulos que no possuem ngulo reto, as condies so adaptadas na busca pela relao entre os ngulos e os lados. Os estudos iniciais esto relacionados aos povos babilnicos e egpcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Atravs da prtica, conseguiram criar situaes de medio de distncias inacessveis. Hiparco de Niceia (190 a.C 125 a.C) foi um astrnomo grego que introduziu a Trigonometria como cincia, por meio de estudos ele implantou as relaes existentes entre os elementos do tringulo. O Teorema de Pitgoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonomtricos, pois atravs dele que desenvolvemos frmulas tericas comumente usadas nos clculos relacionados a situaes prticas cotidianas. Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaborao dos estudos das funes trigonomtricas, relacionadas aos ngulos e aos fenmenos peridicos. A partir do sculo XV, a modernidade dos clculos criou novas situaes tericas e prticas relacionadas aos estudos dos ngulos e das medidas. Com a criao do Clculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenrio da Matemtica, sendo constantemente empregada em outras cincias, como Medicina, Engenharia, Fsica (ondulatria, ptica), Qumica, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegao entre outras. As turmas de 9 ano do Ensino Fundamental possuem nas grades curriculares os estudos introdutrios envolvendo a Trigonometria no Tringulo Retngulo. O professor deve atender essa necessidade, no intuito de preparar o aluno para os contedos segmentares do Ensino Mdio. Devero ser trabalhadas as posies relativas entre cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa dos ngulos agudos do tringulo retngulo. Na sequncia, as relaes seno, cosseno e tangente sero definidas da seguinte forma: Seno do ngulo indicado: razo entre cateto oposto e hipotenusa. Cosseno do ngulo indicado: razo entre cateto adjacente e hipotenusa. Tangente do ngulo indicado: razo entre cateto oposto e adjacente.

A Trigonometria

senC = a/c cosC = b/c tgC = a/b senA = b/c cosA = a/c tgA = b/a

de extrema importncia discutir com os alunos a presena dos ngulos notveis, esse tipo de ngulo possui valores fixos e so determinantes em casos de aplicaes cotidianas. Os ngulos de 30, 45 e 60 devem ser citados pelo professor e fixados pelos alunos. Os valores das relaes envolvendo esses ngulos so representados por uma tabela de razes trigonomtricas.

Exemplo 1 Um avio, ao decolar, sobe formando com a pista um ngulo de 30. Aps percorrer 700 metros, qual a altura em que ele se encontra do solo? Observe o desenho do esquema:

Ser usada a relao do seno em razo da altura corresponder ao cateto oposto em relao ao ngulo de 30 e a hipotenusa corresponder ao espao percorrido pelo avio.

Exemplo 2 Ao decolar, um avio sobe formando um ngulo de 30 com a pista (horizontal). Na direo do percurso existe uma torre de transmisso de energia eltrica situada a 3km do aeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avio pode colidir com a torre. Esquema da situao:

Usaremos a relao da tangente

O avio no ir colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avio estar a uma altura de 1700 metros. Exemplo 3 Do ponto A, uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ngulo de 60. Determine a altura da torre, sabendo que a pessoa est a 20 metros dela.

A torre tem 34 metros de altura.

Exemplo 4 Uma inclinao tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ngulo de 30. A que altura est situado o ponto mais alto da inclinao?

O ponto mais alto da inclinao est situado a 20 metros do solo.

Exemplo 5 Um navegador devia viajar durante duas horas, rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se,e navegou duas horas rumo a norte. Tomando, a partir da, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegar ilha? Entre Norte e Nordeste existe um ngulo de 45 Desenhe um tringulo isceles com dois lados de comprimento 2 e ngulo de 45 entre eles

O lado desconhecido x pode ser obtido atravs da Lei dos Cossenos: x = 2 + 2 - 2*2*2*cos45 -----> x = 8 - 8*(V2/2) -----> x = 8 - 4*V2 ------> x ~= 2,4 ----> x ~= V2,4 -----> x ~= 1,5 h ---> x ~= 1 h 30 min Resp: 1h 30 min

Outra soluo: Alguns valores, como so os casos de Raiz[2] ou Raiz[3], Pi, e (nmero de Euler), so, em geral, supostos como conhecidos. Raiz[2]~1,41 e Raiz[3]~1,73. Ficaramos com o problema de resolver Raiz[2,4]

Trigonometria Exerccios Resolvidos

Calcular x e y a partir dos dados da figura. Obs.: "a" e "2a" so os ngulos. R: x = 40 m e y = 90 m Tringulo NBA ----> tg(2a) = y/120 Tringulo MAB ----> tga = x/120 tg(2a) = 2*tga/(1 - tgA) -----> y/120 = 2*(x/120)/[1 - (x/120)] ----> 240*(x/120) = y*(1 - x/14 400) ----> 2x = y*(14400 - x)/14 400 ----> 28 800x = y*(14 400 - x) ----> Equao I

MC = x + 60 NC = y + 60 MN = MC + NC ----> MN = x = 60 + y + 60 -----> MN = x + y + 7 200 MN = (NB - MA) + AB ----> MN = (y - x) + 120 ----> MN = x + y - 2xy + 14 400 Igualando ----> -2xy + 14 400 = 7200 ----> xy = 3600 ----> y = 3600/x ----> Equao II II em I ----> 28 800*x = (3600/x)*(14 400 - x) ----> 28 800x = 3 600*14 400 - 3600x ----> 32 400x = 3 600*14 400 x = 1600 ----> x = 40 ----> y = 90

O Papagaio: O vento conserva o fio esticado e fazendo 60 com a horizontal. Quando se desenrolaram 70 m de fio a que altura estava o papagaio? NOTA: As mos do rapaz esto a 1,80 metros do cho, aproximadamente.

rea da Pirmide. A pirmide regular e a base tem cm de lado. 20

Exprime a rea total da pirmide em funo de .

RESOLUO: =20 20=400 Seja h a altura das faces laterais:

= tg

Portanto

10= h tg

h=

rea de uma face lateral :

A=

= 10h

Logo, rea das 4 Faces=4

e

rea total=400+001. A corda comum de dois crculos que se interceptam vista de seus centros sob ngulos de 90 e 60, respectivamente. Sabendo-se que a distncia entre seus centros igual a 3^1/2 + 1 (raiz quadrada de 3) + 1, determine os raios dos crculos.

Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte problema: O teodolito, um instrumento capaz de medir ngulos, muito usado por agrimensores, engenheiros e topgrafos no clculo de distncias inacessveis. Este instrumento tico mede ngulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus. Para calcular a altura de um prdio, o topgrafo colocou seu teodolito na praa em frente. Ele mediu a distncia do prdio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do prdio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ngulo formado por essa linha visual com a horizontal de 58 graus. Se a luneta do teodolito est a 1,55 m do cho, qual a altura do prdio? (Considere os valores aproximados: sen 58o = 0,85 e cos 58o = 0,53) Soluo: A trigonometria (trigono=tringulo + metria=medida) o ramo da matemtica que trata das relaes entre os lados e ngulos de tringulos. Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 a altura do instrumento e CE = x + 1,55 a altura do prdio.

No tringulo retngulo BDE formado, BE a hipotenusa , DE = x o cateto oposto ao ngulo de 58 graus, BD = 27 o cateto adjacente ao ngulo de 58 graus. Trabalhando com as razes trigonomtricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos: sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27. Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a proporo: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6. Da, vem que: x = 27 1,6 = 43,2. Logo a altura do prdio : 43,2 + 1,55 = 44,75 m..

Uma torre vertical, construda sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de ao, esticado, liga o topo da torre at o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60. Qual o comprimento do cabo? Soluo: Temos um tringulo retngulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ngulo de 60. Como o sen 60 = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo : x = 50/3 = 50(3)/3 . Se considerarmos 3 = 1,7 , ento x = 28,4m.

(UERJ) Um barco navega na direo AB, prximo a um farol P, conforme a figura abaixo.

(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alli. Matemtica e Vida. So Paulo, editora tica, 1990).

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcao ao farol, forma um ngulo de 30 o com a direo AB. Aps a embarcao percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcao ao farol, forma um ngulo de 60 o com a mesma direo AB. Seguindo sempre a direo AB, a menor distncia entre a embarcao e o farol ser equivalente, em metros, a: (A) 500 (B) 5003 (C) 1.000 (D) 1.0003

Soluo: A menor distncia do barco ao farol o segmento de reta perpendicular a direo AB que forma os tringulos retngulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distncia do barco ao farol e seja x a distncia do barco ao ponto B. A razo trigonomtrica y / x a tangente do ngulo de 60 o. De modo anlogo, a razo y / (1000 + x) a tangente de 30 o.

Como a tg60 o = 3 e tg30 o = (3) / 3 , vem que, y = x3 . Ento, (3) / 3 = y / (1000 + x) = (x3) / (1000 + x). "Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equao pela 3, ficamos com 1000 + x = 3x. Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500. Assim, y = 5003. A alternativa (B) a correta. Nota: Considerando 3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m. (PRF) Os vrtices do tringulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, uma papelaria, uma relojoaria e uma farmcia, estando as distncias representadas em metro:

A distncia entre a papelaria e a farmcia, em km, :

(A) 0,0007

(B) 0,007

(C) 0.07

(D) 0,7

(E) 7,0

Soluo: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos: x2 = 82 + 32 - 2(8)(3)cos 60o = 64 + 9 - 48 = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo, (B) a alternativa correta. De outra maneira, poderamos usar a condio de existncia do tringulo (desigualdade triangular): |8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) a opo correta.

(UEMA) Uma indstria que est se instalando s margens de uma rodovia precisa trazer energia eltrica para as suas dependncias. O local mais prximo onde h rede eltrica um ponto inacessvel momentaneamente por meio terrestre; mas visvel de onde se instalar a indstria. A indstria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmisso de energia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medio de ngulos, e com uma trena, efetua as medies constantes da figura abaixo, em que A o ponto onde se localizar a indstria e C o ponto de ligao rede eltrica j existente.

A distncia em linha reta da indstria ao ponto de interligao rede eltrica ? Soluo: Construindo, no ABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:

1000 = AH + BH = x cos 45o + y cos 60o = x2/2 + y/2 CH = h = y sen 60o = x sen 45o, o que implica em y = x2/3 ento, 2000 = x2 + x2/3 Logo, o valor procurado, em metros, x = (20003) / (2)(3 + 1) = (10006) / (3 + 1). Se considerarmos 6 = 2,45 e 3 = 1,732 , teremos x = 896 m.

(PUC-SP) Sabe-se que a medida em graus de um dos ngulos internos de um tringulo retngulo. Se sen = k+1/2, cos = k e a hipotenusa do tringulo mede 20 cm, determine a sua rea. Soluo: Sendo y o cateto oposto ao ngulo e x o cateto adjacente ao ngulo, temos que: sen = y /20 = k + 1/2 e cos = x/20 = k Ento: y = 20k + 10 e x = 20k Usando o Teorema de Pitgoras , ficamos com: sen2 + cos2 = 1 , ou seja, (k + 1/2)2 + k2 = 1 O que implica em: 8k2 + 4k - 3 = 0 Resolvendo esta equao encontramos: k = -1/4 - (7)/4 (no serve) ou k = -1/4 + (7)/4 Logo: x = (-5 + 57) cm e y = (5 + 57) cm Assim, a rea = xy/2 = 150/2 = 75 cm2.

O ciclo trigonomtrico um crculo cujo centro est localizado na origem do plano cartesiano e seu raio mede 1. usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ngulos) com medidas quaisquer (maiores que 90, por exemplo). Observe ciclo trigonomtrico abaixo.

Calcule: sen 150 = ..................... cos 225 = ..................... sen 1950 = ..........

Soluo: A medida do raio do crculo trigonomtrico 1. Assim , as hipotenusas dos tringulos retngulos formados pelos ngulos na figura mede 1. Como resultado, temos que o seno do ngulo fica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal. Como radianos (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma regra de trs, segue que: sen 150 = sen (5/6) = 1/2 cos 225 = cos (5/4) = (-2) / 2 Como 1950 = 5360 + 150, descontando as voltas, temos: sen 1950 = sen 150 = sen (5/6) = 1/2.

(UERJ) Voc sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos x podem ser representados, respectivamente, por : sen x x e cos x 1 - x2 / 2. A partir da informao acima, assinale a opo que contm o valor mximo da expresso: sen x + cos x. (A) 1 (B) -1 (C)3/2 (D)-3/2

Soluo: Seja a funo trigonomtrica f(x) = sen x + cos x.

Se o valor de x est expresso em radianos, ento podemos considerar, aproximadamente, f(x) = x + 1 - x2 / 2 = (-x2 / 2 )+ x + 1 , que uma funo quadrtica (polinmio do segundo grau).

Temos que o valor mximo de uma funo f(x) = ax2 + bx + c , - / 4a, onde = b2 - 4ac. Calculando delta encontramos = (1)2 - 4(-1 / 2)(1) = 3. Assim, o valor mximo da expresso : (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) a alternativa correta.

1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30)

2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 60)

3.

Observando a figura seguinte, determine:

4. Um foguete lanado a 200m/s, segundo um ngulo de inclinao de 60 (ver figura). Determinar a altura do foguete aps 4s, supondo a trajetria retilnea e a velocidade constante.

Trigonometria no tringulo retngulo 11) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x

a) b) 02) Na cidade de pisa, Itlia, est localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente, a torre faz, na sua inclinao, um ngulo de 74 com o solo. Quando o sol est bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distncia se encontra o ponto mais alto da torre em relao ao solo? (dados: sen 74 = 0,96 cos 74 = 0,28 e tg74 = 3,4) a) 55 m b) 15 m c) 45 m d) 42 m e) 51 m

03) (UFSC) Num vo entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede at o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes de 43 m e o vo entre elas de 12 m, determine o ngulo, em graus, que a rampa formar com o solo. 04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. 05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x

AD = x DC = x - 38 BD = y 06) Com base na figura abaixo correto afirmar:

01. h = 2 m 02. h = 3 m 04. a = (1 + 3) m 08. O tringulo ACD issceles 16. O lado AC mede 6 m 07) Um barco navega seguindo uma trajetria retilnea e paralela costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia visto do barco segundo um ngulo de 20 com sua trajetria. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular trajetria do barco. Qual a distncia do barco costa? (sen 20 = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20 = 0,36)

08) Determine o valor de x e y na figura abaixo:

09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifcio conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prdio, devemos somar 1,65m a:

a) b cos b) a cos c) a sen d) b tg e) b sen 10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distncia AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

01. AC = 10 km 02. AD = 2,5 km 04. BC = 53 km 08. O ngulo BD mede 60 16. A velocidade mdia do barco de 15 km/h

11) 9 cm, o segmento (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = DF mede, em cm:

a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6 2 2 12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 raiz da equao (cos )x (4cossen )x + (3/2)sen = 0, sendo e os ngulos agudos indicados no tringulo retngulo da figura abaixo.

Pode-se afirmar que as medidas de e so respectivamente: a) /8 e 3/8 b) /6 e /3 c) /4 e /4 d) /3 e /6 e) 3/8 e /8 13) Calcular as medidas dos ngulos internos do tringulo ABC indicado pela figura abaixo:

14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, esto situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um o ponto C, na outra margem do rio, est situado de tal modo que o ngulo CAB mede 75 e o ngulo ACB o mede 75 . Determine a largura do rio. 15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da figura. Conhecendo-se o ngulo , o comprimento L do lado AB, em centmetros, :

h = 123 cm y = 21 cm = 30