Tringulo de PitgorasPitgoras (850 a 507 a.C.) nasceu na ilha de Samos, na Grcia. Pitgoras, como ponto central dos seus ensinamentos, tinha uma viso da harmonia do universo, que se baseava nos nmeros e nas frmulas de matemtica abstracta. Assim, Pitgoras desejava encontrar a "harmonia matemtica" em todas as coisas. Por exemplo, ele descobriu que a soma de todos os ngulos de um tringulo era sempre igual soma de dois ngulos retos. Finalmente, sabias que o conhecido Teorema de Pitgoras j tinha sido descoberto? verdade! No entanto, ele foi a primeira pessoa que a conseguiu provar matematicamente. Pitgoras descobriu uma propriedade importante para o tringulo retngulo (tringulo que contm um ngulo de 90). Antes de mais, vamos dar nomes aos lados de um tringulo retngulo: catetos so os dois lados adjacentes ao ngulo de 90 e hipotenusa o lado oposto a esse mesmo ngulo.

c = hipotenusa a = cateto b = cateto

Teorema de Pitgoras: num tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos.

c = a + bVamos agora demonstrar o Teorema de Pitgoras. O que se pretende demonstrar que: dado um tringulo retngulo de catetos a e b e hipotenusa c (HIPTESE) temos c = a + b.

Consideremos um quadrado de lado a + b. O quadriltero [ABCD] que se obtm unindo os pontos A, B, C e D um quadrado, j que: os lados so todos iguais a c pois, como se pode ver, eles so as hipotenusas de tringulos retngulos iguais (os 4 tringulos que se obtm ao fazermos esta decomposio so iguais pelo caso LAL).

os ngulos so todos retos. Observando a figura seguinte podemos chegar a essa concluso, visto que os ngulos 1 e 2 so complementares. Os ngulos 1 e 3 tm a mesma amplitude, visto que entre ngulos geometricamente iguais a lados iguais opem-se ngulos iguais. Logo, o ngulo 4 mede 90.

Faamos agora outra decomposio do quadrado de lado a + b. Nesta decomposio obtemos tambm 4 tringulos retngulos de catetos a e b e hipotenusa c.

Se retirarmos o que igual s duas decomposies que fizemos do quadrado de lado a + b, obtemos:

As reas destas duas figuras tm de ser iguais, j que, elas resultam de decomposies do mesmo quadrado, ao qual foram retiradas partes iguais. Logo, c = a + b, como queramos demonstrar. Repara no seguinte exemplo:

Como podes ver, o quadrado do cateto mede 3 somado com o quadrado do cateto que mede 4 igual ao quadrado da hipotenusa que mede 5:

3 + 4 = 5Nunca te esqueas que o Teorema de Pitgoras s aplicado ao tringulo retngulo.

No espao, o Teorema de Pitgoras diz que o quadrado da medida da diagonal de um paraleleppedo retngulo igual soma dos quadrados das trs dimenses das arestas.

Razes Trigonomtricas de um Tringulo RetnguloOs primeiros gemetras sabiam que o ngulo reto era um dos conceitos bsicos da geometria. Euclides sabia-o tambm e na sua obra Elementos deu a seguinte definio: "Quando uma linha reta traada sobre outra linha reta determina ngulos adjacentes iguais entre si, cada um dos ngulos diz-se reto, e a linha reta diz-se perpendicular aquela que intersecta". Com base na seguinte figura,

Pelo Teorema de Pitgoras temos que e e, portanto, sen + cos = 1

, donde

. Ora,

Frmula Fundamental da Trigonometria Dividindo a frmula fundamental por cos e sabendo que

temos que . Analogamente, dividindo por sen e dado que

vem que . Estas frmulas so consideradas frmulas bsicas da trigonometria e permitem deduzir, sem recorrer ao auxlio de tabelas ou de mquinas de calcular, os valores exactos de todas as razes trigonomtricas de um ngulo, desde que se conhea uma delas.

Exemplo: Supor que. . Ento,

Crculo TrigonomtricoCrculo Trigonomtrico um crculo de centro na origem do referencial e raio igual unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.

Consideremos sobre o crculo trigonomtrico de centro O, os pontos A e B escolhidos como a figura indica.

Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-retas OA e OB, o par (OA,OB) define um ngulo.

O ponto O o vrtice do ngulo e as semi-retas OA e OB so, respectivamente, o lado origem e o lado extremidade. H dois sentidos de percurso num crculo: ngulo positivo (ou direto) o ngulo gerado no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio.

ngulo negativo (ou indireto) o ngulo gerado no sentido dos ponteiros do relgio.

A um ngulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se ento ngulo orientado.

LINHAS TRIGONOMTRICAS

P o ponto de interseco do lado extremidade do ngulo com o arco que limita o crculo trigonomtrico. O seno de a ordenada do ponto P. O co-seno de a abcissa do ponto P. C o ponto de interseco do lado extremidade do ngulo com o eixo das tangentes. A tangente de a ordenada do ponto C. D o ponto de interseco do lado extremidade do ngulo com o eixo das cotangentes. A co-tangente de a abcissa do ponto C.

Enquadramento de seno e do co-senoO sinal de uma razo trigonomtrica depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto associado ao crculo trigonomtrico. Para todo o ,

Para todo o ,

Reduo ao 1 quadranteObservando atentamente no crculo trigonomtrico cada uma das situaes em causa, possvel concluirmos algumas relaes importantes entre as relaes trigonomtricas de certos ngulos. ngulos do 1 Quadrante ngulos Complementares: e 90-

Os pontos P e Q do crculo trigonomtrico, respectivamente associados a e a 90-, so simtricos em relao reta de equao y = x. Da resulta que a abcissa de um a ordenada do outro e reciprocamente, isto ,

ngulos do 2 Quadrante ngulos que diferem de 90: e 90 +

A abcissa de Q simtrica da ordenada de P, e a ordenada de Q igual abcissa de P, isto ,

ngulos Suplementares: e 180 -

Os pontos P e Q do crculo trigonomtrico, respectivamente associados a e 180- , so simtricos em relao ao eixo das ordenadas. Da resulta que as ordenadas de P e Q so iguais e as suas abcissas so simtricas, isto ,

ngulos do 3 Quadrante ngulos que diferem de 180: e 180 +

Os pontos P e Q do crculo trigonomtrico, respectivamente associados a e a 180 + , so simtricos em relao a O. Da resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas so simtricas, isto ,

ngulos que somados valem 270: e 270 -

ngulos do 4 Quadrante ngulos que diferem de 270: e 270 +

ngulos Simtricos: e

Os pontos P e Q do crculo trigonomtrico, respectivamente associados e , so simtricos em relao ao eixo das abcissas. Da resulta que as abcissas de P e Q so iguais e as suas ordenadas so simtricas, isto ,

OBS.: As relaes que acabamos de estudar so vlidas qualquer que seja a amplitude do ngulo (em graus ou radianos).

Valores de algumas razes trigonomtricas:0 sen 0 30 45 60 90 1 1 0

cos tg cotg 0 1 1 0

Frmulas TrigonomtricasFrmula Fundamental Frmulas Secundrias

Frmulas de Adio

Frmulas de Duplicao

Frmulas de Bisseco

Frmulas de Transformao

OBS.: As frmulas anteriores no so vlidas se os denominadores tomarem valores nulos.

Problemas ResolvidosNesta pgina so apresentados alguns problemas relacionados com o tringulo retngulo. Para os resolver aplica os teus conhecimentos de trigonometria.

1. Uma cegonha tem o ninho num poste de alta tenso com20 metros de altura (onde foi colocada uma placa especial para a cegonha no correr nenhum risco). V um alimento no cho e voa em direco a ele numa inclinao de 35. Qual a extenso do voo da ave?

Soluo: 1. Uma vez que nos dado o ngulo de 35 e a medida do cateto adjacente aesse ngulo e se pretende a medida da hipotenusa, o melhor calcular o cos 35. Sabemos que

A extenso do voo da ave de aproximadamente 24,4 metros.

2. Qual o ngulo de elevao da Lua quando numanoite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra de uma pessoa com 1,80 m mede 3 metros?

Soluo: 2. O melhor calcular o valor da tg , uma vez que nos dada a medida docateto adjacente e a medida do cateto oposto.

O ngulo de aproximadamente 31.

3. Determina a altura do Padro dosDescobrimentos atendendo aos dados = 2 = 39 Distncia do Padro P ao aparelho T = 60 m.

Soluo: 3. Como a altura do padro dos descobrimentos a soma da altura a com aaltura b, ento determinemos esses valores.

4. De acordo com os dados da figura ao lado esabendo que o escadote fechado tem 2 m de altura, determine a distncia entre a lmpada e o topo do escadote.

Soluo: 4.

Determinemos a altura do escadote aberto

Logo, a distncia entre a lmpada e o topo do escadote , aproximadamente, 70 cm.

5. O Eduardo e a Maria resolveram ir ao jardim Zoolgico e combinaramencontrar-se junto aos rpteis s 15 horas. Por acaso, chegaram ambos antes da hora marcada e foram dando umas voltas para fazer tempo. A Maria foi primeiro aos pssaros, passou pelo caf, pelas girafas a pelos macacos antes de chegar aos rpteis. O Eduardo foi direito aos lees, passou pelas girafas e seguiu para os rpteis. Qual dos dois andou mais?

A Maria andou 250+450+60 =760 at aos macacos. Dos macacos aos rpteis andou x e x=60+130 donde x=143,2. Logo, a Maria andou 760+143,2=903,2. O Eduardo andou y at chegar aos lees. Ora, y=250+ 250 donde y=353,5. Depois andou z at chegar s girafas, sendo z=(250+335)+300 donde z=657,4. Logo, o Eduardo andou 353,5+657,4+130=1140,9 at chegar aos rpteis. Como vs foi o Eduardo quem andou mais

Soluo: 5.

6. Em casa do Timteo h uma sala retangular quetem o cho coberto de quadrados de lado 10 cm. Um dos lados contm 93 quadrados e o outro 231. Timteo traa uma linha reta unindo os dois cantos opostos. Quantos quadrados mede essa linha?

Soluo: 6.ao outro.

Consideremos a linha reta de um canto

Pelo Teorema de Pitgoras vem que a=930+2310 e portanto, a=2490,180716

ou falsas cada uma das afirmaes: a) Num tringulo retngulo a soma dos catetos igual hipotenusa. b) Num tringulo retngulo a soma dos catetos igual hipotenusa ao quadrado. c) Num tringulo retngulo a soma do quadrado dos catetos igual hipotenusa ao quadrado. d) Num tringulo retngulo sempre verificvel o Teorema de Pitgoras.

7. Diz se so verdadeiras

Soluo: 7. a) Falsa

b) Falsa c) Falsa d) Verdadeira

8. "Num tringulo retngulo a hipotenusa sempre o maior dos lados".Diz se esta afirmao verdadeira ou falsa e apresenta argumentos que a validem ou a refutem.

Soluo: 8. A afirmao verdadeira. 9. O tringulo [ABC] um tringulo retngulo e [BC] perpendicular a [AC].Completa as seguintes igualdades:a) [AB] + ...... = [AC] b) [AB] = ...... + ...... c) [DC] + ...... = ......

Soluo: 9.a) b) c)

[AB] + [BC] = [AC] [AB] = [AD] + [DB] [DC] + [BD] = [BC]

10. Resolve a seguinte equao trigonomtrica:a) b)

c)

Soluo: 10.a)

com K Z.

b)

com K Z.

c) ComoEnto

11. Recorrendo ao crculo trigonomtrico exprime em funo de sen b e cos b aseguinte expresso:

11.Como

ento,

12. Prova que, para todo o a e b, se tem: 12.e Ento

Pela frmula fundamental da trigonometria, temos que

13. Verifica se a bengala da figuracabe dentro da caixa.

13.

A diagonal da base da caixa mede 85cm, pois pelo teorema de Pitgoras

x = 75 + 40 x = 7225 x = 85 Logo a bengala cabe na caixa.

14. Uma aranha encontra-se no canto superior A de umsalo retangular, com 20 m de comprimento, 15 m de largura e 10 m de altura. Olhando ao longe, depara-se-lhe um petisco apetitoso no canto mais longnquo do salo, em G. Qual o comprimento de fio de teia mnimo que a aranha ter de tecer para conseguir atingir o to desejado almoo?

Para responder, precisas de saber o Teorema de Pitgoras no espao. Ser que s capaz de orientar a aranha at ao seu petisco?

14.

O caminho mais curto o segmento [AG], que a hipotenusa do tringulo retngulo interno no salo O segmento [EG] a diagonal da base, ento [EG] = 15 + 20 [EG] = 225 + 400 = 625 [EG] = 25 Ento [AG] = 10 + 25 = 725 [AG] = 27 O caminho mais curto entre a aranha e o petisco de 27m.