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tRIGONOMETRIA MARISTA

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COLGIO MARISTA DE MACEI NAP NCLEO DE APOIO PEDAGGICO 2008MDIOMATUTINOIII09/2008 JOO ARAJO MATEMTICA TRIGONOMETRIA I - RELAES MTRICAS NUM TRINGULO RETNGULO Elementos: Relaes Mtricas 1. Num tringulo, o quadrado da medida da hipotenusa igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. (Teorema de Pitgoras) 2.Numtringuloretngulo,oquadradodamedidadecadacatetoigualao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeo do cateto sobre ela. 3.Numtringuloretngulo,oquadradoda medida da altura relativa hipotenusa igual ao produto das medidas das projees dos catetos sobre a hipotenusa. 4.Numtringuloretngulo,oprodutodamedidadahipotenusapelamedidadaalturarelativaaela igual ao produto das medidas dos catetos.

ALUNO(A) ANOENSINOTURMATURNOUNIDADEDATA DISCIPLINAPROFESSOR(A) II RELAES MTRICAS NUM TRINGULO QUALQUER 1. Tringulo acutngulo - O quadrado da medida de um lado oposto a um ngulo igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas de um desses lados pela medida da projeo do outro sobre ele.2. Tringulo obtusngulo - O quadrado da medida de um lado oposto a um ngulo obtuso igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, mais o dobro do produto da medida de um desses lados pela medida da projeo do outro sobre ele. III RAZES TRIGONOMTRICAS NO TRINGULO RETNGULO 1. O seno de um ngulo a razo entre a medida do cateto oposto a esse ngulo e a medida da hipotenusa. 2. O cosseno de um ngulo a razo entre a medida do cateto adjacente a esse ngulo e a medida da hipotenusa. 3. A tangente de um ngulo a razo entre a medida do cateto oposto a esse ngulo e a medida do cateto adjacente. Tabela

ngulo

304560 Seno cosseno Tangente 1

IV RELAES TRIGONOMTRICAS NUM TRINGULO QUALQUER 1. Lei dos cossenos Num tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses doislados pelo cosseno do ngulo aposto ao primeiro lado, ou seja: a) a2=b2+c2- 2 b c . cos b) b2=a2+c2-2 a c . cos c) c2=a2+b2- 2 a b . cos 2. Leis dos senos Em todo tringulo, as medidas dos seus lados proporcionais aos senos dos lados opostos. V REA DE UM TRINGULO Num tringulo qualquer, a rea igual ao semiproduto das medidas de dois lados pelo seno do ngulo formado por esses lados. Estudo de Circunferncia VI ARCO DE CIRCUNFERNCIA Arco de circunferncia cada uma das partes em que uma circunferncia fica dividida por dois de seus pontos. VII NGULO CENTRAL

UnindoospontosAeBaocentrodacircunferncia,determinamosongulo central Utilizando as mesmas medidas para um arco unitrio (arco de medida igual a 1) e seu correspondente ngulo central, dizemos queas medidas do arco e do ngulo central que o determina so iguais. Obs.: note que a medida de um arco no representa a medida do comprimento desse arco. Ex.: Obs.: Cada arco determina um ngulo e cada ngulo determina um arco. Por isso, as unidades utilizada para medir arcos so os mesmos usados para medir ngulos. VIII UNIDADES DE MEDIDAS Grau Um grau definido como a medida do ngulo central subtendido por um arco igual a 1/360, da circunferncia que contm o arco. - Um minuto igual a 1/60 - Um segundo igual a 1/60 do minuto. Smbolos grau ( ) minuto ( ) segundo ( ) Radiano Medida de um ngulo central subtendido por um arco igual ao raio da circunferncia que contm o arco. Obs.: Seja a circunferncia de raio r e o segmento AB que a representa. - O comprimento da circunferncia dado por : C = 2 t r IX MEDIDAS DE NGULOS E ARCOS GrauGradoRadiano 90100 180200t 270300 3604002t X COMPRIMENTO DE UM ARCO Consideremos a figura A medida do ngulo o em radianos igual ao quociente entre o comprimento S do arco pelo raio da circunferncia. Ou seja:

01. CIRCUNFERNCIA ORIENTADA: Uma circunferncia se diz orientada quando se escolhe um sentido de percurso. Obs.: Convenciona-se como positivo o sentido anti-horrio. 02. ARCO ORIENTADO: todo arco definido sobre uma circunferncia orientada. Arco AB ( + ) 03. ARCO NULO: todo arco cujo comprimento zero; e a origem e a extremidade so coincidentes. + + + + + - - - - - A B + A B - A = B o 04. CICLO TRIGONOMTRICO: umacircunfernciaorientadadecentronaorigemdosistemadeeixoscartesianos,deraio unitrio (r = 1) e cujo sentido positivo o anti-horrio. AB= + 90=rd2t AB' = - 90 = -rd2t Obs.: O ponto A(1 , 0) a origem de todos os arcos trigonomtricos. 05. QUADRANTE: O sistema cartesiano divide o ciclo trigonomtrico em quatro partes denominadas de quadrante. 090 1 Quadrante 90180 2 Quadrante 180270 3 Quadrante 270360 4 Quadrante Obs.: Arcos que medem 0, 90, 180, 270, 360 e seus cngruos no pertencem a nenhum dos quadrante. B B' A' A' 1 -1 -11 I Q o II Q III Q IV Q 90 =rd2t 0 = 0 rd 360 = 2t rd t rd = 180 270 =rd23t 06. ARCOS CNGRUOS: Dois arcos so cngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. De maneira geral: -Seumarcomede graus,aexpresso geral dosarcoscngruosaeledadapor, +K. 360, onde K e Z. - Se um arco mede radianos, a expresso geral dos arcos cngruos a ele dada por + 2Kt, onde K e Z. - Quando a medida do arco dada em radianos, convertemos essa medida para graus. Ex.: 1: Determine a extremidade dos seguintes arcos. a) 420 420360 601 420 = 60 + 1 . 360(expresso geral) nmero de voltas completas

o arco de 420 tem a mesma extremidade que o arco de 60. b)rd310t 6003180 . 10= 600360 2401 600 = 240 + 1 . 360 nmero de voltas completas. o arco de 600 tem a mesma extremidade que o arco de 240. 60 420 A 240 600 07. PRIMEIRA DETERMINAO POSITIVA DE UM ARCO Denominamosdeprimeiradeterminaopositivaoarcode|grausdeumarcoquemede graus sendo o arco | cngruo a e 360 < s | . Ex.:Calcule a 1 determinao positiva e escreva a expresso geral dos arcos cngruos a: a) 420

420360 601 420 = 60+1 . 360 1 determinao positiva * Expresso geral o = 60 + K . 360 b) - 1110 1110360 303 - 1110 = - 30 + 3 . 360 - 30 + 360 = 330 1 determinao positiva * Expresso geralo = 330 + K . 360 08. NMEROS TRIGONOMTRICOS: * Seno (sen) de um arco: a ordenada da extremidade desse arco no ciclo trigonomtrico: * sen x = OP (l-se seno de x) * Cosseno (cos) de m arco: a abscissa da extremidade desse arco no ciclo trigonomtrico. cos x = OM (l-se cosseno de x) B A p O - x O - x A M 09.VALORES IMPORTANTES DE sen x e cos x: x = 0 = 0 rd ==1 0 cos0 0 sen x = 90 = 2t =t==t=02cos 90 cos12sen 90 sen x = 180 = t rd = t == t =1 cos 180 cos0 sen 180 sen x = 270= rd23t=t= =t=023cos 270 cos123sen 270 sen x = 360=2 t rd= t == t =1 2 cos 360 cos0 2 sen 360 sen 10. VARIAO DO SINAL DO SENO E DO COSSENO: I Quadrante >>0 x cos0 x senIII Quadrante