44
www.matematicamente.it 1 Intorno alla trigonometria della parabola II parte Trigonometry of parabola II part Guido Carolla 1 Sunto. Il presente lavoro segue la prima parte, “Le funzioni paraboliche”, già pubblicata dall’Editrice Rotas-Barletta nel settembre 2001, con gli Atti del Congresso Nazionale di Matematica “Il ruolo della Matematica nella società contemporanea”, tenutosi a Barletta dal 17 al 19 ottobre 2000 ed ora, nella sezione “Approfondimenti”, di www.matematicamente.it. In questa seconda parte, riporteremo, per brevità, solo l’essenziale intorno alla trigonometria della parabola, seppure in relazione all’angolo u di un settore della parabola trigonometrica 2x+y 2 =1 (relazione fondamentale della trigonometria della parabola), per cui, rifacendoci a Giovanni Egidi, daremo alcune relazioni con le funzioni trigonometriche. Infine, saranno date le formule differenziali ed integrali sulle funzioni paraboliche dirette ed inverse. Tenendo presente la periodicità delle suddette funzioni, si concluderà, ipotizzando una possibile loro utilizzazione, anche attraverso la trigonometria della parabola, nelle considerazioni teoriche in cui intervengano valori periodici. Nell’Appendice vi è una sintesi dell’argomento con le funzioni paraboliche dipendenti dalle circolari ed indipendenti da queste. Seguono alcuni chiarimenti e passaggi in particolare su come si perviene ai risultati finali delle derivate e degli integrali delle stesse funzioni paraboliche e due listati di programma in Qbasic, che permettono di trovare le funzioni paraboliche di ogni argomento, sia esso l’angolo u in gradi sessagesimali, in radianti, o in relazione all’area t, e infine alcuni esempi in output. Abstract. The following paper completes what already said in the first published work "The parabolic functions" (edited by Rotas-Barletta September 2001), as part of the Acts of the National Conference of Mathematics about "Maths role in the today society", held in Barletta 17th-19th October 2000, work which is also available online in the section "Approfondimenti: idee interessanti", on www.matematicamente.it. In this second part, it will be only developed, due to the available space, the core concept of trigonometry of the parabola, although seen in relation to the u angle of a section of the trigonometric parabola 2x+y 2 =1 (the fundamental equation of the trigonometry of parabola). Referring to Giovanni Egidi's works, some relationships to the trigonometric functions will be also introduced together with some differentials and integrals formulas applied onto the direct and indirect parabolic functions. Bearing in mind the periodicity of the functions introduced, it will be offered to readers the opportunity to consider their potential uses, also relating to the trigonometry of the parabola, in developing theoretical considerations about scenarios where periodic values apply. In the Appendix, some cases when parabolic functions and circular functions are dependent and independent will be offered. Topics include also step by step calculation of derivatives and integrals of parabolic functions and a QBasic code (and related examples of outputs) which solves any parabolic function having the u angle in radians or in sexagesimal degrees as the argument, or as a dependent value of the t area. -------------------------------------------------------------------------------- [1] Secondary School Maths Teacher and retired Headmaster living in Lecce (Italy). E-mail: [email protected] 1 Docente di Matematica e Preside a r.(non troppo) LECCE. E-mail: [email protected]

trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 1

Intorno alla trigonometria della parabola II parte Trigonometry of parabola II part Guido Carolla1 Sunto. Il presente lavoro segue la prima parte, “Le funzioni paraboliche”, già pubblicata dall’Editrice Rotas-Barletta nel settembre 2001, con gli Atti del Congresso Nazionale di Matematica “Il ruolo della Matematica nella società contemporanea”, tenutosi a Barletta dal 17 al 19 ottobre 2000 ed ora, nella sezione “Approfondimenti”, di www.matematicamente.it. In questa seconda parte, riporteremo, per brevità, solo l’essenziale intorno alla trigonometria della parabola, seppure in relazione all’angolo u di un settore della parabola trigonometrica 2x+y2=1 (relazione fondamentale della trigonometria della parabola), per cui, rifacendoci a Giovanni Egidi, daremo alcune relazioni con le funzioni trigonometriche. Infine, saranno date le formule differenziali ed integrali sulle funzioni paraboliche dirette ed inverse. Tenendo presente la periodicità delle suddette funzioni, si concluderà, ipotizzando una possibile loro utilizzazione, anche attraverso la trigonometria della parabola, nelle considerazioni teoriche in cui intervengano valori periodici. Nell’Appendice vi è una sintesi dell’argomento con le funzioni paraboliche dipendenti dalle circolari ed indipendenti da queste. Seguono alcuni chiarimenti e passaggi in particolare su come si perviene ai risultati finali delle derivate e degli integrali delle stesse funzioni paraboliche e due listati di programma in Qbasic, che permettono di trovare le funzioni paraboliche di ogni argomento, sia esso l’angolo u in gradi sessagesimali, in radianti, o in relazione all’area t, e infine alcuni esempi in output. Abstract. The following paper completes what already said in the first published work "The parabolic functions" (edited by Rotas-Barletta September 2001), as part of the Acts of the National Conference of Mathematics about "Maths role in the today society", held in Barletta 17th-19th October 2000, work which is also available online in the section "Approfondimenti: idee interessanti", on www.matematicamente.it. In this second part, it will be only developed, due to the available space, the core concept of trigonometry of the parabola, although seen in relation to the u angle of a section of the trigonometric parabola 2x+y2=1 (the fundamental equation of the trigonometry of parabola). Referring to Giovanni Egidi's works, some relationships to the trigonometric functions will be also introduced together with some differentials and integrals formulas applied onto the direct and indirect parabolic functions. Bearing in mind the periodicity of the functions introduced, it will be offered to readers the opportunity to consider their potential uses, also relating to the trigonometry of the parabola, in developing theoretical considerations about scenarios where periodic values apply. In the Appendix, some cases when parabolic functions and circular functions are dependent and independent will be offered. Topics include also step by step calculation of derivatives and integrals of parabolic functions and a QBasic code (and related examples of outputs) which solves any parabolic function having the u angle in radians or in sexagesimal degrees as the argument, or as a dependent value of the t area. -------------------------------------------------------------------------------- [1] Secondary School Maths Teacher and retired Headmaster living in Lecce (Italy). E-mail: [email protected]

1 Docente di Matematica e Preside a r.(non troppo) LECCE. E-mail: [email protected]

Page 2: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 2

1.Premessa Dell’argomento l’autore si occupò in primis in occasione del Convegno Nazionale Mathesis “Le problematiche dell’insegnamento della Matematica nella nuova scuola secondaria superiore” tenutosi a Paestum (CE) dal 18 al 22 aprile 1983 c/o l’ETAP Hotel Club via Spineta Nuova di Battipaglia, presentando una relazione, che fu allegata agli Atti che non furono pubblicati per mancanza di fondi2. Ora, a distanza di alcuni anni, dopo aver ottenuto la pubblicazione della prima parte nel 2001, viene alla luce, ampliata riveduta e corretta, la seconda parte, le cui copie delle figure a colori sono state eseguite dal Prof. Marcello Pedone3, al quale va un sentito ringraziamento. 2.Osservazione Nel corso del presente lavoro si riporteranno solo una sintesi essenziale della trigonometria della parabola, con un breve riepilogo dei risultati già ottenuti nella prima parte. Alcune formule sono state trovate per mezzo di relazioni tra le funzioni circolari e quelle paraboliche. Le funzioni paraboliche relative all’angolo u si possono intendere riferite indifferentemente anche all’area t che è il doppio di quella di un settore parabolico: infatti, proprio l’argomento t ha permesso che dette funzioni possano essere indipendenti da quelle circolari. 3. Indicazioni grafiche delle funzioni paraboliche e di quelle trigonometriche Le figure in neretto 1 e 2 vengono riproposte per riallacciare la teoria a “Le funzioni paraboliche” I parte.

D I R ET T RI C E

f i g .1

p = 1

P1

t

V(1/2,0)x

O

FUOCO

M

A

y

T D

P (x,y)

Nu

2 Alcune copie vennero consegnate agli I.T.I. di Lecce e di Como, all’I.T.C. di Maglie sez. staccata di Martano (LE), agli ex Presidenti della Mathesis Nazionale Prof. Bruno Rizzi, Prof. Silvio Maracchia, al Centro Europeo di Programmazione di Frascati ed al famoso matematico e Docente nella Scuola Normale di Pisa Prof. Ennio De Giorgi, in occasione di un lungo incontro che l’autore ebbe nella casa del matematico, a Lecce il 5 settembre 1984, nel quale incontro lo studioso fu prodigo di suggerimenti, redigendo undici pagine per lo più di osservazioni e grafici sulle relazioni tra le funzioni circolari, le iperboliche, le paraboliche e per verificare o integrare le argomentazioni trattate nel lavoro (l’autore conserva come reliquie gli appunti dello scienziato). 3 Ordinario di Matematica negli istituti superiori e coautore di www.matematicamente.it

Page 3: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 3

Nella fig.1 è riportata la parabola trigonometrica 2x+y2=1.

D I R E T T R I C E

fi g2

p = 1

P1

t

Vx

O

F U O CO

M

A

y

T DP (x,y)

N

u

Nella fig.2 sono riportati la parabola e il cerchio trigonometrici. 4. Estensione ad un angolo che può superare 90° e definizioni delle funzioni paraboliche La figura n. 3 viene riproposta anche per evidenziarne alcune particolarità

fig. 3

Page 4: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 4

Tenendo presente la fig. 3 e per un p qualunque, si ripropongono le definizioni:

=p

OP = )(uρ (raggio vettore)

=p

PN sinp u=y p

ON cosp u=x xyu

pVT

2 tanp ==

p

AD =cotp uyxx

+⋅

=2

pOT =secp u=

xx

21−

pOD =cscp u=

yxx

+−1

Ora, si daranno alcuni chiarimenti sul significato delle definizioni delle funzioni paraboliche e del raggio vettore di cui sopra, partendo dalle funzioni paraboliche generalizzate.

Facendo riferimento alla parabola ( )22

2p

pyx +−= , avente per asse di simmetria l’asse x, il fuoco

coincidente con l’origine degli assi, la direttrice di equazione x=p e il vertice V(p/2,0), si indicano con ( )uρ , sinp u, cosp u, tanp u, cotp u, secp u, cscp u il raggio vettore e le sei funzioni paraboliche riferiti al parametro p=1, mentre gli stessi simboli soprassegnati, al pari dei relativi valori espressi in funzione di yx , indicano rispettivamente il raggio vettore e le funzioni chiamate generalizzate in relazione ad un parametro 1>p . Quindi, impostando il sistema tra l’equazione di cui sopra e quella della retta passante per l’origine degli assi ( )xuy tan= , sulla quale giace il segmento OP che è il raggio vettore, si ha:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

=

+−=

xuy

pp

yx

tan22

2

; cioè ( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

xuyxppy

tan2

2

; ( )xpp 2− ( ) ( )22tan xu= ; ( )u

upx 2

2

2,1 tantan11 +±−

= ,

che sostituito nella seconda equazione dà ( )u

upytan

tan11 2

2,1+±−

= . Per quanto detto sopra si ha

( )u

upuytan

tan11 sinp2

2,1+±−

== ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

quadrante III e II nel è secon quadrante IV e I nel è se con

uu

.

e ( )u

upux 2

2

2,1 tantan11 cosp +±−

== ,

Ora, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OPN si ha

( ) ( )22yxOP += , nella quale sostituendo il valore di ( )2y possiamo scrivere

( ) ( ) ( )uxpxpxppxOP ρ=−=−=−+=222

2 . Quindi a seguire, facendo alcune considerazioni, si possono definire il raggio vettore e le sei funzioni paraboliche:

( ) ( )uuxp

uppu

pxp

pOP ρρ

=−=−=−

==−

= cosp11 cosp ;

Page 5: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 5

uyp

upy

pPN sinp sinp

==== ; uxp

upx

pON cosp cosp

==== ;

per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha ONPNOVVT :: = , cioè

uuuuupu cosp2

sinp tanp ; cosp: sinp2

: tanp == , quindi

uxy

pu

upu

xpy

pVT tanp

2 tanp

cosp2 sinp

2===== ;

Impostando e risolvendo il sistema delle equazioni delle rette sulle quali giacciono i segmenti

OD e AD , cioè ⎩⎨⎧

⋅=+−=

x tanp2 uypxy , si hanno le coordinate del punto D ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

++ yxyp

yxxp , , che con le

coordinate di A(0, p) permettono di avere =AD22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

+ yxypp

yxxp , che con semplici

passaggi dà uu

upuyxxpAD

cosp sinp cosp 2 cotp 2

+==

+= , quindi

uyxx

pu

pAD cotp2 cotp

=+

== ;

per la similitudine dei triangoli rettangoli ONP e VOT si ha

ONOVOPOT :: = , cioè ( ) ( )u

uppuupupu cosp2

cosp secp ; cosp:2

cosp: secp −==− , quindi

uxx

xxp

pu

pOT secp

21

2 secp

=−

=−

== ;

infine, utilizzando le coordinate di D di cui sopra e quelle dell’origine O(0, 0) si può ottenere la

distanza ,22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

+=

yxyp

yxxpOD da cui con semplici passaggi si ha

uuppu

yxxppOD

cospsinp) cosp( cscp)(

+−

==+−

= , quindi

uyxx

pu

pOD cscp1 cscp

=+−

== .

Il raggio vettore, le funzioni paraboliche generalizzate ( 1>p ), l’area t(u,p) ed i rapporti delle suddette funzioni con p che costituiscono le definizioni, possono essere calcolati, digitando in input u in radianti e p, con un listato di programma in QBasic che sarà riportato in fondo all’Appendice di questo lavoro. Quanto sopra esposto permette di definire le funzioni paraboliche canoniche come segue: il raggio vettore e le funzioni paraboliche relative ad un qualunque argomento in radianti, in gradi sessagesimali o secondo il doppio dell’area del corrispondente settore parabolico costituiscono i

Page 6: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 6

rapporti dei relativi segmenti con il parametro p che è l’ascissa dei punti costituenti la retta direttrice

della parabola trigonometrica di equazione ( )22

2p

pyx +−= .

5. Relazioni tra l’angolo u di un settore parabolico e t che è il doppio dell’area dello stesso settore

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

tcosp tsinp

tan tcosp

tsinptanp 1--

2u 1

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −+

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

usin3ucos11

usin2ucos1

3usinp1

2u sinpt 2

22 .

6. Definizione delle funzioni paraboliche relative all’area t

3 1t33 1 +−+++= t 29t293t t sinp ;

([ -121 tcosp = ) ]23 1t33 1 +−+++ t 29t293t ;

t2cosp tsinp ttanp = ;

tcosp tsinp tcosp2 tcotp

+= ;

tcosp tsinp

tcosp-1 tcscp ; t2cosp tcosp-1 tsecp

+== .

7. Alcune relazioni tra il raggio vettore, le funzioni paraboliche con le funzioni circolari

uu

cos11)(

+=ρ ;

sinp usin

ucos1ucos1

usinu −=

+= ; cosp

ucos1ucosu

+= ; tanp

2utanu = ;

cotp ucosusin

ucos2ucot1ucot2u

+⋅

=+⋅

= ; secp 2

usecu = ;

cscp u1ucsc1

ucscucosusin

1ucot1

ucsc2 −±

=+

=+

con ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+IV o II quadrante nel è se-III o I quadrante nel è se

uu

.

8. Alcune relazioni tra le funzioni circolari e le paraboliche

=usin sinp u/(1-cosp u) ; cos u=cosp u/(1-cosp u) ; tan u=2tanp u=sinp u/cosp u=sinp (2u) ; cot u=cotp u/( 2 -cotp u)=cosp u/sinp u ;

Page 7: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 7

sec u=2 secp u=(1-cosp u)/cosp u ; csc u =2 secp u cscp u/(2 secp u-cscp u)=(1-cosp u)/sinp u . 9. Alcune relazioni tra le funzioni paraboliche sinp 2u2 + cosp u = 1 ; sinp +u2 cosp 2 u = ( )u2ρ ; 1 - cosp u = ( )uρ ; ( ) +21 2 tanp2 u=secp2 u ; sinp u= ( )uρ tanp u/secp u ; cosp u= ( )uρ /(2secp u)=1/(1+2secp u) tanp u=sinp u/(2cosp u) ; cotp u= 2 /(1+2tanp u)= 2 cosp u/(sinp u+cosp u);

secp u= ( )uρ /(1-sinp2 u)= uptan41 2+ /2 ; cscp u=2cosp u secp u/(sinp u+cosp u)= ( )uρ /(sinp u+cosp u). 10. Funzioni paraboliche di argomenti negativi sinp ( ) −=− u sinp u ; cosp ( ) =− u cosp u ; tanp ( ) −=− u tanp u ; cotp ( ) −=− u 2 cotp u/( 22 − cotp u) ; secp ( ) =− u secp u ; cscp ( ) −=− u secp u cscp u/(secp u-cscp u). 11. Segni e variazioni delle funzioni paraboliche Quadrante Funzioni

I II III IV

u sinp 1 a 0 da

+

∞++

a 1 da

1-a-da

∞−

0a1- da

u cosp

0 a 1/2 da +

−-a0da

0a-da

∞−

1/2 a 0 da

+

u tanp

∞++

a 0 da

0ada

∞−−

∞+

+ a 0 da

0a- da

∞−

u cotp

0 a 2 da

+

2 a

a 0 da

∞∓∓

0 a 2 da

+

2 a

a 0 da

∞∓∓

u secp

∞++

a 1/2 da

1/2-a-da

∞−

−-a1/2-da

1/2 a da

∞++

u cscp

1 a

2/2 a 1 da

+

1- a

a 1 da

∞±±

1- a

2/2- a 1- da

1 a a 1- da

∞∓

Page 8: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 8

12.VALORI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI 1^ Tabella

Angolo u in gradi

sessagesimali

Angolo u in radianti

Area t

sinp

cosp

tanp

0 0 0 0 21

0

30 π

61 )3916(

31

− 32 − 332 − 361

45 π

41 )524(

31

− 12 − 12 − 21

60 π

31

3

275 3

31

31 3

21

90 π

21

32

1 0 ±∞

120 π

32 3 3 -1

321

135 π

43 )524(

31

+ 12 + )12( +− 21

150 π

65 )3916(

31

+ 32 + )332( +− 361

180 π ±∞ ±∞ −∞ 0

210 π

67 )3916(

31

+− )32( +− )332( +− 3

61

225 π

45 )524(

31

+− )12( +− )12( +− 21

240 π

34 3− 3− -1

321

270 π

23

32

− -1 0 ±∞

300 π

35 3

275

− 331

− 31 3

21

315 π

47 )524(

31

−− )12( −− 12 − 21

330 π

611 )3916(

31

−− )32( −− 332 − 3

61

360 π2 0 0

21

0

Page 9: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 9

2^ Tabella

Angolo u in gradi

sessagesimali

Angolo u in radianti

Area t

cotp

secp

cscp

0 0 0 2 21

1

30 π

61 )3916(

31

− )623(21

331 13 −

45 π

41 )524(

31

− 221 2

21 2

21

60 π

31 3

275 )26(

21

− 1 13 −

90 π

21

32

0 ±∞ 1

120 π

32 3 )26(

21

+− -1 13 +

135 π

43 )524(

31

+ ∞∓ 221

− ±∞

150 π

65 )3916(

31

+ )623(21

+ 331

− )13( +−

180 π ±∞ 2 21

− -1

210 π

67 )3916(

31

+− )623(21

331

− )13( −−

225 π

45 )524(

31

+− 221 2

21

− 221

240 π

34 3− )26(

21

− -1 )13( −−

270 π

23

32

− 0 ∞∓ -1

300 π

35 3

275

− )26(21

+− 1 )13( +−

315 π

47

)524(

31

−− ∞∓ 221 ∞∓

330 π

611 )3916(

31

−− )623(21

+ 331 13 +

360 π2 0 2 21

1

Page 10: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 10

13. Grafici delle funzioni paraboliche Ogni grafico è preceduto dalla relativa funzione usata ed x è in radianti; i medesimi grafici si hanno se si adoperano le funzioni del §6: Seno parabolico

xxx

cos1sin sinp+

=

Coseno parabolico

coscosp x1 cos

xx

=+

Page 11: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 11

Tangente parabolica

tantanp x2

x=

Cotangente parabolica

2 cos xcotp x=sin x + cos x

Page 12: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 12

Secante parabolica

sec xsecp x=2

Cosecante parabolica

1cscp xsin cosx x

=+

Page 13: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 13

14.Formule di addizione e sottrazione

sinp ( ) ( ) ( ) s sinpu sinps cospu cospus sinpu cosps cospu sinp

∓+±

=±s

suρρ

;

cosp ( ) ( ) ( ) s sinpu sinps cospu cospus sinpu sinps cospu cosp

∓∓

+=±

ssu

ρρ ;

tanp ( )s u tanp tanp41

s tanpu tanp∓

±=± su ;

cotp ( )u tanps 4tanps) tanpu tanp2(1

s) u tanp tanp(1 2∓

∓±+

=± su ;

secp ( ) ( ) ( )s) sinpu sinp s cospu (cosp2 ∓

susu ρρ=± ;

cscp ( ) ( ) ( )s) sinp s (cospu cosps) sinps cosp(u sinp ±+

=±∓

susu ρρ .

15. Riduzione al I quadrante 1^ tabella sinp cosp tanp -u u sinp− ucosp u tanp− 90° u± ( ) u sinpu

u cosp∓ρ

( ) u sinpu sinp

∓∓

u tanp41∓

180° u± u 2cosp-1

u sinp∓ u 2cosp-1

u cosp− u tanp±

°270 u±

u sinp(u)u cosp

±−ρ

u sinp(u)

u sinp±

±ρ

u tanp4

1∓

u360kk

±°⋅∈ N

u sinp±

u cosp

u tanp±

Page 14: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 14

2^ tabella cotp secp cscp -u

u cotp22

u cotp2−

− secp u

u cscp -u secpu cscpu secp

90° u±

u 2tanp-1u tanp22∓

u cscp -u 2secpu cscpu secp∓

u cscp2

11-u secp

u cscpu secp±

180° u±

u cotp22u cotp2

−±

upsec−

u cscp2

11-u secp

u cscpu secp∓∓

°270 u±

u 2tanp-1u tanp22∓ u cscp -u 2secp

u cscpu p sec±

u secp -u cscp2

11u cscpu secp

±∓

u360kk

±°⋅∈ N

u cotp22u cotp2

−±

secp u

u cscp2

11-u secp

u cscpu secp∓±

16. Relazioni tra le funzioni paraboliche 1^ tabella sinp u=a

1-a2=b cosp u=a b2a-1 =

tanp u=a

ba41 2 =+ sinp u a b±

a

b21±−

cosp u

2b

a 24

1a

b±−

tanp u

ba

ab2

± a

cotp u

bab+22

baa

±2

a212

+

secp u

ba

21 2+

aa

21−

2b

±

cscp u

baa+

+21 2

baa

±−1

ab21+

±

Page 15: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 15

2^ tabella cotp u=a baa =−+ 22 )2(

secp u=a ba =−14 2

cscp u=a ba =−12 2

sinp u

2−±

aba

12 +±

ab

1+±

aba

cosp u

2

2

)2( aaba

−±

− 12

1+a

2

2

)1(1+

±−+a

abaa

tanp u

aa

22 −

± 2b

± )1(2 2

2

aba

−±

cotp u a

b±12

2)1(2 b±

secp u

ab2

±′ a

)1(2)1(

2aba

−±

cscp u

22b

± b

a±12

a

17. Formule di duplicazione sinp 2u=sinp u/cosp u ; cosp 2u=(cosp2u-sinp2u)/(2cosp2u) ; tanp 2u=2tanp u/(1-4tanp2u) ; cotp 2u= 2 (1-4tanp2u)/(1+4tanp u -4tanp2u) ; secp 2u= ( )u2ρ /(2(cosp2u-sinp2u));

cscp 2u= ( )u2ρ /(2sinp u cosp u+cosp2u-sinp2u). 18. Alcune formule di triplicazione e quadruplicazione

)( cosp3cosp4)(sinp4)(u 3sinp3u sinp 233

32

uuuuuuρρ

ρ−+−

= ; )( cosp3cosp4)(

)( cosp34cosp3u cosp233

23

uuuuuuuρρ

ρ−+

−= ;

uuuu

2

3

tanp121tanp4 tanp33 tanp

−−

= ; )( cosp4cosp4)(

cossinp4)(u cospu 2sinp4u sinp 2244

32

uuuupuuu

ρρρ

−+−

= .

19. Formule di bisezione sinp u/2=sinp u /(1 )u(2ρ± ) ; cosp u/2= 1 /(1 )u(2ρ± ) ; tanp u/2=(sinp u) /2 ; cotp u/2= ±1/(2 sinp u) secp u/2= 2/)u(2ρ± ; cscp u/2= /)u(2ρ± (1+sinp u) .

Page 16: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 16

20. Formule che danno il seno parabolico, il coseno parabolico, la tangente parabolica di un angolo in funzione razionale del doppio della tangente parabolica dell’angolo metà La sostituzione u=2tanp-1(z/2) trasformerà una qualsiasi funzione razionale di sinp u, cosp u e tanp u in una funzione razionale di z, perché: sinp u=z, cosp u= ( ) 2z1 2− , tanp u= ( )z1z 2− e d u= ( )z1/dz2 2+⋅ . La prima, la seconda e la terza di queste relazioni si ottengono dalla fig. 4,

fig. 4 nella quale AB=1+z2 , BC=2z , AC=1-z2 La quarta relazione si ottiene derivando la u=2 tanp-1 (z/2) . La sostituzione di cui sopra, che, tra l’altro, permetterà eventuali integrazioni, è equivalente a z = 2 tanp (u/2) , che sarà usata per tornare alla variabile originaria. ( v.in Appendice i chiarimenti). 21. Quadrati delle funzioni paraboliche sinp2 u=1-2 cosp u; cosp2u=(1-2cosp u)/(1-2cosp 2u) ; tanp2u=(1-2cosp 2u)/4 ;

cotp2 u=1/(1-cosp 2u + 2tanp u); secp2 u=(1-cosp 2u)/2 ; cscp2 u=(1-cosp 2u)/(1-cosp 2u+2tanpu) 22. Funzioni paraboliche inverse Se x=sinp u, allora u= sinp-1x è, come sappiamo, il seno parabolico inverso di x. Analogamente risultano definite le altre funzioni paraboliche inverse. Come nel caso delle funzioni circolari inverse e iperboliche inverse, anche le funzioni paraboliche inverse sono plurivoche e se ci limitiamo al valore principale per cui esse possono essere considerate univoche. Riportiamo i valori delle funzioni paraboliche inverse espresse in termini delle funzioni circolari inverse, in aggiunta a quanto già detto nei paragrafi 2 e 3 della prima parte “Le funzioni paraboliche”: sinp-1x=sin-1( 2x /(1+x2 )) ; cosp-1x=cos-1(x/(1-x)) ; tanp-1x=tan-12x ; cotp-1x=cot –1(x/( x−2 )) =tan-1(( x−2 )/x) ; secp-1x=sec-12x=cos-1(1/2x) ; cscp-1x=tan-1((1-x2)/ )12( 22 −± xx ) = sin-1 )2/)121(( 2 xx −± .

Page 17: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 17

23. Valori principali delle funzioni paraboliche inverse __________________________________ _____________________________________ Valori principali per 0≥x Valori principali per 0<x __________________________________ _____________________________________ ≤0 sinp-1x≤ π /2 -π /2 sinp-1 x<0

2/cos0 1 π≤≤ − xp ππ << − xp 1cos2/

2/tan0 1 π<≤ − xp 0tan2/ 1 <<− − xpπ

2/cot4/ 1 ππ ≤<− − xp 4/cot2/ 1 ππ −<≤− − xp

2/sec0 1 π<≤ − xp ππ ≤< − xp 1sec2/

4/csc4/ 1 ππ ≤<− − xp 4/csc4/3 1 ππ −<≤− − xp

__________________________________________________ ______________________________________________________

24. Relazioni tra le funzioni paraboliche inverse

Si suppone di usare sempre i valori principali.

( )xx 21sinpcosp 11 −= −− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+= −−

xx

212cotptanp 11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= −−

21cospsinp

211 xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= −−

xxx

21secpcosp 11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= −−

xx

211cospsecp 11 xx 11 sinp)(sinp −− −=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

= −−2

11

1tanpsinp

xxx ( ) x11 tanpxtanp −− −=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= −−

xxx

221tanpcosp 11 ( ) xx 11 secpsecp −− −=− π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= −−

xxx

22tanpcotp 11 ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=− −− xx 11 cscp

21cscp π

Page 18: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 18

25. Grafici delle funzioni paraboliche inverse

Arcoseno parabolico

-1 12

2sinp x sin1

xx

−=+

Arcocosenoparabolico

-1 1cosp x cos1

xx

−=−

Page 19: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 19

Arcotangente parabolica -1 1tanp x tan 2x−=

Arcocotangente parabolica

xx

xxx −

=−

= −− 2tan2

cotcotp 111-

Page 20: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 20

Arcosecante parabolica -1 1 1 1secp x sec 2 cos

2x

x− −= =

Arcocosecante parabolica

2-1 1 1 2 1cscp x sin

2xx

−⎛ ⎞+ −

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 21: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 21

26. Periodicità delle funzioni paraboliche

Nel seguito k è un intero qualunque

( ) sinpk2sinp =+ πx x

( ) cospk2cosp =+ πx x

( ) tanpktanp =+ πx x

( ) cotpkcotp =+ πx x

( ) secpk2secp =+ πx x

( ) xcpcsk2cpcs =+ πx .

27. Relazioni tra lati ed angoli acuti di un triangolo rettangolo mediante le funzioni

paraboliche

Il triangolo rettangolo di cui alla figura ha i lati di lunghezza a,b,c,l’angolo retto si

oppone al lato c e l’angolo u si oppone al lato a. Le funzioni paraboliche dell’angolo u sono

definite come segue:

fig. 5

uba

cauu cosp)( sinp == ρ

uab

cbuu sinp)( cosp == ρ

bau2

tanp =

babu

+=

2 cotp

bcu

2 secp =

bacu+

= cscp

Page 22: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 22

Si possono ottenere relazioni analoghe per l’altro angolo acuto.

28. Relazioni tra lati ed angoli di un triangolo qualunque mediante le funzioni

paraboliche

I seguenti risultati valgono per ogni triangolo A B C di lati a, b, c e angoli ∧∧∧

C ,B ,A .

fig. 6

Teorema dei seni parabolici:

Ccc

BBb

AA

sinp)(

sinp)(

sinp)(a ρρρ

== .

Teorema del coseno parabolico:

)( cospa2bac 222

CCb

ρ−+= .

Teorema delle tangenti paraboliche:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−+

)(21tanp

)(21 tanp

BA

BA

baba ,

con relazioni analoghe relative agli altri lati ed angoli.

Inoltre abbiamo:

)())(( sinp

asscsbsA

−−−

= ,

dove )(21 cbas ++= è il semiperimetro del triangolo.

Si possono avere relazioni analoghe per gli altri angoli in B,C.

Page 23: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 23

29. Generalizzazione delle funzioni paraboliche

Mediante il parametro p si possono generalizzare le funzioni paraboliche, servendosi della

parabola

y2= p (p – 2x) ,

che ha l’asse di simmetria coincidente con l’asse delle ascisse x ed ha il vertice

).0,2

( pV = Per cui si hanno i valori dell’angolo u e di t (v. figg. dall’1 alla 3) che

esprime il doppio dell’area del settore parabolico delimitato dall’asse x, dall’arco di

parabola e dalla semiretta uscente dall’origine degli assi e delle funzioni paraboliche

in p, che per distinguerle dalle precedenti di valore definito p=1, si soprasegnano:

±=u tcosp t sinptan

tcosp2 t sinptanp 1-1- ±= , con ⎢

⎡⎥⎦

⎤+quadrante IV o II nel è se -quadrante III o I nel è se

tt ;

t = ) tcosp2 t sinp(

2 t sinp 2

+p , con quadrante IV e III nel 0quadrante II nel e I nel 0

⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤<>

tt ;

3 423 42 9393 t sinp ptpptptppt +−+++= ; ) t sinp(21 tcosp

2

pp −= ;

tcosp2 t sinp ttanp p= ;

t cosp t sinp t cosp 2 tcotp

+= p ;

t cosp2 t cosp tsecp −

=pp ;

t cosp t sinp t cosp tcscp

+−

=pp .

30. Derivate e integrali sulle funzioni paraboliche per un qualunque p

Per quanto detto nel paragrafo precedente, si ha :

)2(

)(

xppy

xpu

−=

−=ρ

xpx

uxu

xpxpp

uyu

−==

−−

==

)(cos

)2()(

sin

ρ

ρ

Essendo

Page 24: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 24

2)( cos

sincos

xpxdp

xpxdud

uduud

−⋅

=−

=

⋅−=

si ha

2)( sin

xpxdpudu

−⋅−

=⋅ ,

nella quale, sostituito il valore di sin u, si trova facilmente

)2()(

xppxpxdpud−−

⋅−= .

Premesso ciò, si possono ottenere le derivate delle funzioni paraboliche generalizzate:

)( pcos

sinp uupud

ud ρ=−= ;

upu

udud sinp )(

cosp ρ

−= ;

u

uud

ud

cosp2

)(

tanp 2

= ;

2

22

) cosp sinp( 2)(

cotp

uupu

udud

+−=

ρ ;

u

upuud

ud

cosp

tanp)(

secp ⋅⋅=ρ ;

2) cosp sinp(

) cosp sinp()(

cscp

uu

uupuud

ud

+

−=ρ .

Gli integrali delle funzioni paraboliche generalizzate, cioè per un qualunque p danno i seguenti valori, ai quali si sottintenda “+c”:

uduu sinp)( =∫ ρ

)(ln cosplnd sinp upuppuu ρ=−⋅=∫ ; ∫ −⋅= uupuu sinpd cosp ;

∫ −−= ) cospln cosp(ln2

d tanp uuppuu ;

∫ −+

+= ) cosp

cosp sinpln(22

d cotpup

uuupuu ;

∫ +=+= ) tanp secp(2ln2

)42

( tanp2ln2

secp uup

pup

pduu π ;

[ ]∫ ++−−−+= )12( sinpln)12( sinpln2

2 cscp pupupduu .

Page 25: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 25

31. Le derivate e gl’integrali delle funzioni paraboliche

Se nelle derivate e negli integrali di cui sopra si sostituiscono a p il valore 1 e, quindi, alle funzioni

paraboliche in p che si sono sopra segnate, le funzioni senza alcuna sopra segnatura (p=1), si hanno

più semplicemente le derivate e gl’integrali delle funzioni relative alla parabola trigonometrica

122 =+ xy e di essi si riportano i valori più salienti:

)( cosp1

sinp uuud

ud ρ=−= ;

uud

ud sinp (u)

cosp ρ−= ;

uu

udud

cosp2)(

tanp

2

2ρ= ;

)cosp (sinp2 )(

cotp

2

2

uuu

udud

+−=

ρ ;

uuu

udud

cosp tanp)(

secp ρ

= ;

2) cosp sinp() cosp- sinp)((

cscp

uuuuu

udud

+=ρ .

Nei seguenti valori si sottintenda “+c”: ∫ = uduu sinp)(ρ ; )(ln cosp1ln sinp uuduu ρ=−=∫ ; ∫ −= uuduu sinp cosp ;

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

uuduu

cosp cosp1ln

21 tanp ;

[ ]∫ −+

+=u

uuuduu cosp1

cosp sinpln221 cotp ;

∫ +=+= ) tanp secp(2ln21)

42( tanp2ln

21 secp uuuduu π ;

12 sinp-12 sinpln

22 cscp

++−+

=∫ uuduu .

Page 26: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 26

32. Formule differenziali e integrali che legano le funzioni trigonometriche al seno e coseno parabolico

xxdxx

xxdx

xxduuud

21)1(

21)1(1 cossin

2 −−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

−−−

−== ;

2)1(21)1()1(21 sincos

xdx

xxdx

xxduuud

−=⎥

⎤⎢⎣

−−−

−−

−=−= ;

xxdxx

xxdx

xx

uduud

21 )1(

21)1()1(

costan

22

2

2 −−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

−−−−

== ;

232

2

2

)21(

)1(21)1(1

)1(sin

cotx

dxxxx

dxxx

uduud

−=⎥

⎤⎢⎣

−−−

−−

−=−= ;

22

2

2 21)1()1()1(21

cossinsec

xdx

xxdx

xxxxdu

uuud −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

−−−

−−−

== ;

23

2

2

)21(

21)1()21)(1(

)1(sincoscsc

x

dxxxx

dxxx

xxduuuud

−=⎥

⎤⎢⎣

−−−

−−−

−=−= .

Dalle formule di cui sopra, ricordando che ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤<∞−

21x , x = cosp u, ux sinp21 =− e

)()1( ux ρ=− , si hanno le seguenti formule d’integrazione, ai quali valori si sottintenda “+c”:

uxxdxxu

xdxu

xxdxx tan

21 )1( ; cos

)1( ; sin

21)1(

222=

−−−

=−

=−−

−∫∫ ∫ ;

∫∫ ==−

− ; sec- ; cot)21(

)1(23

uxdxu

xdxx u

xdxx csc

)21(

3=

−∫ .

33. Derivate e integrali sulle funzioni paraboliche inverse

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤<

+=

2sinp

2-

12sinp 1-

2

-1 ππ xxdx

xd ;

[ ] ; c0 21)1(

1cosp 1-1

π≤<−−

−= − x

xxdxxd osp

; 2

tanp2

- 412np 1-

2

1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤<

+=

− ππ xxdx

xdta

; 2

cotp4

- )2(

22cotp 1-22

-1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ≤<

+−−

=ππ x

xxx

dxxd

Page 27: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 27

; secp

2 se

2secp0 se

14

1secp1-

1-

2

1-

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

≤<−

≤<+

±=

ππ

π

xxdxxd

.

4cscp

43- se

4cscp

4- se

)12)(12(2

121cscp1-

1-

222

21-

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−≤<−

≤<+

−±−

−−±=

ππ

ππ

x

x

xxxx

xdx

xd

Ai seguenti valori si sottintenda “+c”:

∫ ∫ ∫ =+

==+

; tanp41

2 ; cosp2x-1x)-(1

dx- ; sinp1

2 1-2

1-1-2 x

xdxxx

xdx

∫ =+−

− xdxxx

x 1-22

cotp)2(

22 ; xdxxx

1-

2secp

141

=−

±∫ ;

∫ =−±−

−−± xdxxxxx

x 1-

222

2

cscp)12)(12(2

)121( .

Page 28: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 28

APPENDICE

Allo scopo di una più immediata utilizzazione le due tavole seguenti riportano in gran parte alcuni

valori approssimati rispetto a quelle riportate al §12: ALCUNI VALORI APPROSSIMATI ED ALTRI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI 1^ Tabella

Angolo u in gradi

sessagesimali

Angolo u in radianti

Area t

sinp

cosp

tanp

0 0 0 0 .5 0 30

π61 =.5235987

.1371809106 .2679491924 .4641016151 .2886751346

45 π

41 =.7853981

.2189514165 .414213562 .414213562 .5

60 π

31

=1.047198 .3207501495 .5773502692 .333333333 .8660254038

90 π

21 =1.5707963

.6666666666 1 0 ±∞

120 π

32 =2.0943951

1.732050808 1.732050808 -1 -8660254038

135 π

43

3.55228475 2,414213562 -2,414213562 -.5

150 π

65

10.52948576 3.732050808 -6.464101615 -.2886751346

180 π ±∞ ±∞ −∞ 0

210 π

67

-10.52948576 -3.732050808 -6.464101615 .2886751346

225 π

45

-3.55228475. -2,414213562 -2,414213562 .5

240 π

34

-1.732050808 -1.732050808 -1 .8660254038

270 π

23

-.6666666666 -1 0 ±∞

300 π

35

-.3207501495 -.5773502692 .33333333333 -.8660254038

315 π

47

-.2189514165 -.414213562 .414213562 -.5

330 π

611

-.1371809106 -.2679491924 .4641016151 -.2886751346

360 π2 0 0 .5 0

Page 29: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 29

ALCUNI VALORI APPROSSIMATI ED ALTRI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI 2^ Tabella

Angolo u in gradi

sessagesimali

Angolo u in radianti

Area t

cotp

secp

cscp

0 0 0 1.414213562 .5 1 30

π61

.1371809106 .8965754722 .5773502632 .7320508076

45 π

41

.2189514165 .7071067812 .7071067812 .7071067812

60 π

31

.3207501495 .5176380902 1 .7320508076

90 π

21

.6666666666 0 ±∞ 1

120 π

32

1.732050808 -1.931851653 -1 2.7320508076

135 π

43

3.55228475 ∞∓ -.7071067812 ±∞

150 π

65

10.52948576 3.346065215 -.5773502632. -2.7320508076

180 π ±∞ 1.414213562 -.5 -1 210

π67

-10.52948576 .8965754722 -.5773502632 -.7320508076

225 π

45

-3.55228475 .7071067812 -.7071067812 -.7071067812

240 π

34

-1.732050808 .5176380902 -1 -.7320508076

270 π

23

-.6666666666 0 ∞∓ -1

300 π

35

-.3207501495 -1.931851653 1 -2.7320508076

315 π

47

-.2189514165 ∞∓ .7071067812 ∞∓

330 π

611

-.1371809106 3.346065215 .5773502632 2.7320508076

360 π2 0 1.414213562 .5 1

N. B. Le funzioni paraboliche relative all’angolo u possono intendersi riferite indifferentemente anche all’area t che è il doppio di quella del settore parabolico relativo ad u: infatti, proprio l’argomento t ha permesso che dette funzioni possano essere considerate indipendenti da quelle circolari. Pertanto, si riportano in riepilogo tanto le funzioni paraboliche dipendenti dalle circolari che quelle indipendenti da quest’ultime:

uu

cos11)(

+=ρ ;

sinp usin

ucos1ucos1

usinu −=

+= ; cosp

ucos1ucosu

+= ; tanp

2utanu = ;

cotp ucosusin

ucos2ucot1ucot2u

+⋅

=+⋅

= ; secp 2

usecu = ;

cscp u=1ucsc1

ucscucosusin

1ucot1

ucsc2 −±

=+

=+

,con ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+IV o II quadrante nel è se-III o I quadrante nel è se

uu

.

Page 30: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 30

);sinp1(21 tcosp1)( 2tt +=−=ρ

3 1t33 1 +−+++= t 29t293t t sinp ;

([ -121 tcosp = ) ]23 1t33 1 +−+++ t 29t293t = )sinp1(

21 2t− ;

t2cosp tsinp ttanp = ;

tcosp tsinp tcosp2 tcotp

+= ;

tcosp tsinp

tcosp-1 tcscp ; t2cosp tcosp-1 tsecp

+== .

A chiarimento del §20 si riporta quanto segue, applicando il teorema dei triangoli rettangoli al

triangolo della fig. 4 e si trovano i due cateti:

2z=(1+z2)sin u=(1+z2)sinp u/(1-cosp u);

(1-z2)=(1+z2)cos u=(1+z2)cosp u/(1-cosp u).

Dalla seconda si ha cosp u/(1-cosp u)=(1-z2)/(1+z2); (1+z2)cosp u=(1-z2)(1-cosp u);

cosp u + z2cosp u=1-cosp u –z2 +z2cosp u; 2cosp u=1-z2; cosp u=(1-z2)/2.

Dalla prima, sostituendo il valore trovato di cosp u, si ha:

sinp u/(1-cosp u)=2z/(1+z2); sinp u=2z/(1+z2) (1-(1-z2)/2); sinp u=2z/(1+z2)-z(1-z2)/(1+z2);

sinp u=(2z-z+z3)/(1+z2); sinp u=(z+z3)/(1+z2); sinp u=z.

Per cui si ha: tanp u=sinp u/(2cosp u); tanp u=z/(2(1-z2)/2); tanp u=z/(1-z2).

Essendo u=2tanp-1 (z/2) e derivando la stessa si ha du/dz=d(2tanp-1(z/2))/dz=d(2tan-1z)/dz=

2/(1+z2), per cui si ha: d u= 2dz/(1+z2).

Ora si riportano in dettaglio alcuni passaggi (possono seguirsi altre vie), che mostrano come l’autore sia pervenuto ai notevoli valori delle derivate e degli integrali delle funzioni paraboliche, riportati al §31; di proposito egli ha voluto variare la ricerca delle soluzioni per evidenziarne alcune diverse possibilità:

)( cosp1

sinp uuud

ud ρ=−= , perché

allora 21

-21 e 21)1(

, 2x-1 sinp essendox

dxxdxx

dxduu−

=−−−

−==

)(121

21)1(21 21)1(21

sinp uxdxx

dxxxdx

xdxxdu

xdud

ud ρ=−=−

−−=

−−−−=

−= .

Page 31: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 31

uud

ud sinp (u)

cosp ρ−= , che per quanto detto sopra si è ottenuto come segue

uuxxdx

xxdxud

ud sinp)(21)1(21)1(

cosp ρ−=−−−=−−

−= .

uu

udud

cosp2)(

tanp

2

2ρ= , che si è ottenuto come segue

udud

tanp = =

+⋅+==

udu) u)/(2cos cos(1 u) cosu/(1(sin

u du) u/2cosp sinp(

u du tanp ddd

.cosp2

)(2cosp

u) cosp1(u)) cosp1(u (cosp2

1cos2

1cos2

cossincos4

sin2cos22

2

2

2

222

22

2

22

uu

uuuuu

uuu ρ

=−

=−

==+

=+

2

2

) cosp sinp( 2 )(

cotp

uuu

udud

+−

=ρ , che si è ottenuto come segue

=−+−−

=−+

−−=

+=

22

2

22

2

)22121()1(2

)211(22)1(2

duu) cospu (sinpu cosp2(

duu cotp

xxxx

xxxxdd

( )22

22

2

cosp sinp2)(

u) tanp21(cosp)(2

uuu

uu

+−

=+

− ρρ .

uuu

udud

cosp tanp)(

secp ρ

= , che si è ottenuto come segue

[ ]=

+==

u 4cospu) cosp-(1u sinp (u)2 u 2cospu sinp)(

duu) u)/2cosp cosp-(1

duu secp

2

ρρ udd

.u cosp

u tanp)(u 2cospu sinp)(

4cospu) cosp- 1u (cospu sinp)(2

22

uuu

u ρρρ==

+

2) cosp sinp() cosp- sinp)((

cscp

uuuuu

udud

+=ρ , che si è ottenuto come segue

( ).

) cosp sinp() cosp- sinp)((

) cosp (sinp) cosp-)(1 cosp-u sinp(

cossincossin

cossin1

cscp

222 uuuuu

uuuu

uuuu

uuudd

udud

+=

+=

+−

=+

Ai seguenti valori intermedi e/o finali si sottintenda “+c”:

∫ −= uduu cosp1ln sinp , che si è ottenuto con le sostituzioni fatte sopra per le derivate, come

segue

Page 32: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 32

∫ =duu sinp( )

. xcosp1ln1ln1211

21−=−=

−−=

−−−

− ∫∫ xx

dxxx

dxx

∫ −= uuduu sinp cosp , che si è ottenuto come segue

∫ ∫ −=−= u. sinpuu sinp u cosp dudu

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ,

cosp cosp1ln

21 tanp

uuduu che si è ottenuto come segue

[ ]∫ ∫ =−−−=−=−== u cosp1ln ln21

(u)u cospln

21 cosln

21 tan

21 tanp ucosp

ρuduuduu

( ) . cosp

cosp1ln21u cosplnu cosp1ln

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−−

uu

[ ]∫ −+

+=u

uuuduu cosp1

cosp sinpln221 cotp , che si è ottenuto come segue

∫ ∫ ∫ ∫ +=

+=

+= ;

tan12

cossincos2

u cospu sinpu cosp2u cotp du

ududu

uuududu

essendo tale integrale della forma ∫ duuf )(tan con f segno di funzione razionale, ponendo

tan u=z , si ha ∫ ∫ ∫ ∫ =+−

−+

=++

=+

dzz

zz

dzzz

dzu

du22 11

22

122

)1)(1(2

tan12

( ) [ ]. cosp1

cosp sinpln221cossinln

22tan

211ln

411ln

212 12

uuuuuuuzzz

−+

+=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+ −

∫ +=+= ) tanp secp(2ln21)

42( tanp2ln

21 secp uuuduu π , che si è ottenuto come segue

( )∫∫ =+=+== anche ou tanpu secp2ln21tansecln

21 sec

21 secp uuduuduu )

42( tanp2ln

21 π

+u .

12 sinp-12 sinpln

22 cscp

++−+

=∫ uuduu , che si è ottenuto come segue:

Page 33: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 33

∫ =duu cscp ,212121)1(21

1∫∫ −+−

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−−−

+−−

xxxdx

xxdx

xxx ponendo yx =−± 21

si avranno ydydxydydxyyx =−=−−

==− ;22 e 2

1 x; 212

2 , che sostituiti nell’ultima

espressione integrale dà

∫ ∫∫ ∫ −−−=

−+=

−+

=−

+12

212

2

21

21 2222

2 yydy

yydy

yy

dy

yyy

ydy , uguagliando a zero il

denominatore della funzione integrante e risolvendo l’equazione si ha 212,1 ∓=y , per cui si può

scrivere ( ) ( )( ) quindi e 21212112 22 −−+−=−−=−− yyyyy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−−

+−−=

−−+

+−=

−− 211

211

42

2121121

2 yyyB

yA

yy , in quanto essendo

da menterispettiva segue come e ottenere possono si , )21()21(1 BAyByA +−+−−=

hanno si e di ottenuti valorii osostituend quali, nelle , )21(1 e )21(1 2121 yyyByA +−=−−=

42

221 cioè ),22()2121(1 −=

−=−=−−−= AAA ed anche

42

221 cioè , )22()2121(1 ===+−+= BBB ; riprendendo l’integrale in d y si ha

=⎥⎦

⎤⎢⎣

−−−

+−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−−−

+−=

−−− ∫ ∫∫ ∫ 21212

221

121

14

2212

2 2 ydy

ydydy

yyyydy

[ ]=++−−−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

++−+

+−∫ ∫ 12ln12yln22

212122 y

ydy

ydy

1212ln

22

++−−+

yy , nella quale risostituendo il valore di y assegnato e cioè x21− si ha

12211221ln

22

++−−−+−

xx , ricordando che ha si definitivain ,u sinp21 =− x

12 sinp-12 sinpln

22 cscp

++−+

=∫ uuduu .

Page 34: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 34

LISTATO DI PROGRAMMA. Si riporta un listato in Qbasic che permette di calcolare le funzioni paraboliche di ogni argomento, sia esso espresso in radianti che in gradi sessagesimali o nell’area doppia del settore parabolico sotteso dal relativo angolo: CLS : PRINT "VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s)" PRINT "ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U)." REM QUEST'ULTIMO IN RADIANTI, PER CUI E'U(T)=ATN(SINP(T)/COSP(T)) E REM T(U)=SINP(U)/2*(1+SINP(U)^2/3);IL RAGGIO VETTORE R(U)=1/(1+COS(U)) ED IL REM PARAMETRO P=1(distanza direttrice fuoco,nel quale e'l'origine degli assi) REM (come il raggio=1 nel cerchio trigon.co). L'EQUAZ. PARABOLA E' Y^2+2*X=1. REM L'INFINITESIMO +1D-37 E'POSTO COME UN ARTIFICIO CHE PERMETTE LE DIVISIONI REM PER ZERO:NELL'OUTPUT GLI INFINITESIMI VANNO LETTI ZERO. MENTRE I NUMERI REM DEL TIPO 1E+37 VANNO LETTI INFINITO.SE VUOI INTRODURRE T=2/3 DIGITA REM .6666666667(punto,nove volte 6,un 7) E MODIFICA LE ISTRUZIONI 140,150, REM 350,PER T=-2/3 ANCHE LA 320, SOMMANDO AI DENOMINATORI 1D-37. REM PER T=INFINITO DIGITA 1E+37. REM v.CAROLLA G.,2001 "FUNZIONI PARABOLICHE",in Atti Congresso Naz.le MATHESIS REM di Barletta,17,18,19 OTTOBRE 2000. P = 1 PRINT "Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi" PRINT "sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di" INPUT "(T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3"; Z IF Z = 1 THEN 400 ELSE 100 100 IF Z = 3 THEN 380 INPUT "T="; T IF T = 0 OR T = .6666666667# OR T = 1E+37 THEN 120 ELSE 130 120 A0 = SQR(9 * T ^ 2 + P ^ 4) A = 3 * P * T + P * A0 C = 3 * P * T - P * A0 A1 = SGN(A) * (SGN(A) * A) ^ (1 / 3) C1 = SGN(C) * (SGN(C) * C) ^ (1 / 3) SINP = A1 + C1 + 1D-37 PRINT COSP = (1 - SINP ^ 2) / 2 + 1D-37 GOTO 140 130 A0 = SQR(9 * T ^ 2 + P ^ 4) A = 3 * P * T + P * A0 C = 3 * P * T - P * A0 A1 = SGN(A) * (SGN(A) * A) ^ (1 / 3) C1 = SGN(C) * (SGN(C) * C) ^ (1 / 3) SINP = A1 + C1 PRINT COSP = (1 - SINP ^ 2) / 2 140 TANP = SINP / (2 * COSP) COTP = (SQR(2) * COSP) / (SINP + COSP) SECP = (1 - COSP) / (2 * COSP) 150 CSCP = (1 - COSP) / (SINP + COSP) e = -2 / 3 * P ^ 2 F = 2 / 3 * P ^ 2 IF T >= 0 THEN 350 IF T < 0 THEN 320 IF T > e THEN 350 IF T < F THEN 350 320 i = SINP / COSP U = ATN(i) - (SGN(i) + 1) * ATN(1) * 2 GOTO 370 350 L = SINP / COSP U = ATN(L) - (SGN(L) - 1) * ATN(1) * 2 370 PRINT "U="; U GOTO 390 380 INPUT "U="; U COSPU = COS(U) / (1 + COS(U))

Page 35: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 35

SINPU = SIN(U) / (1 + COS(U)) T = SINPU / 2 * (1 + SINPU ^ 2 / 3) REM PRINT SINPU; COSPU; T SINP = SINPU: COSP = COSPU TANP = SINP / (2 * COSP) COTP = (SQR(2) * COSP) / (SINP + COSP) SECP = (1 - COSP) / (2 * COSP) CSCP = (1 - COSP) / (SINP + COSP) 390 PRINT PRINT "GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U)" PRINT "(U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro)" PRINT PRINT "SINP "; T; "="; "SINP "; U; "="; SINP; "="; (1 - COS(U)) / SIN(U); "="; SIN(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "COSP "; T; "="; "COSP "; U; "="; COSP; "="; COS(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "TANP "; T; "="; "TANP "; U; "="; TANP; "="; TAN(U) / 2 PRINT PRINT "COTP "; T; "="; "COTP "; U; "="; COTP; "="; SQR(2) * COS(U) / (SIN(U) + COS(U)) PRINT PRINT "SECP "; T; "="; "SECP "; U; "="; SECP; "="; 1 / (2 * COS(U)) PRINT PRINT "CSCP "; T; "="; "CSCP "; U; "="; CSCP; "="; 1 / (SIN(U) + COS(U)) END 400 REM LE FUNZIONI PARABOLICHE DI (s) IN GRADI SESSAG.E IN (U) IN RADIANTI INPUT "s"; s IF s <= 180 THEN 410 U = ATN(1) * 4 * s / 180 - ATN(1) * 8: GOTO 420 410 U = ATN(1) * 4 * s / 180 420 PRINT PRINT "U="; U PRINT PRINT "GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U) RAD." PRINT "(U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro)" PRINT PRINT "SINP "; s; "="; "SINP "; U; "="; (1 - COS(U)) / SIN(U); "="; SIN(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "COSP "; s; "="; "COSP "; U; "="; COS(U) / (1 + COS(U)) PRINT PRINT "TANP "; s; "="; "TANP "; U; "="; TAN(U) / 2; "" PRINT PRINT "COTP "; s; "="; "COTP "; U; "="; SQR(2) * COS(U) / (SIN(U) + COS(U)) PRINT PRINT "SECP "; s; "="; "SECP "; U; "="; 1 / (2 * COS(U)) PRINT PRINT "CSCP "; s; "="; "CSCP "; U; "="; 1 / (SIN(U) + COS(U)) END ESEMPI IN OUTPUT. I sei esempi che seguono sono relativi alle tre opzioni del programma di cui sopra e si riferiscono rispettivamente ad argomenti dei quadranti I, II, III, IV, I, II: VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi

Page 36: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 36

sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 1 s? 45 U= .7853982 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U) RAD. (U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro) SINP 45 =SINP .7853982 = .4142136 = .4142136 COSP 45 =COSP .7853982 = .4142136 TANP 45 =TANP .7853982 = .5 COTP 45 =COTP .7853982 = .7071068 SECP 45 =SECP .7853982 = .7071068 CSCP 45 =CSCP .7853982 = .7071068 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 2 T=? 3.55228475 U= 2.356194 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP 3.552285 =SINP 2.356194 = 2.414213 = 2.414214 = 2.414214 COSP 3.552285 =COSP 2.356194 =-2.414213 =-2.414214 TANP 3.552285 =TANP 2.356194 =-.5000001 =-.5 COTP 3.552285 =COTP 2.356194 =-1.432025E+07 = 1.185935E+08 SECP 3.552285 =SECP 2.356194 =-.7071068 =-.7071068 CSCP 3.552285 =CSCP 2.356194 = 1.432025E+07 =-1.185935E+08 Si noti che 2.356194=3/4π VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi

Page 37: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 37

sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 3 U=? 4.1887902 T=-1.73205 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP -1.73205 =SINP 4.18879 =-1.732051 =-1.732051 =-1.732051 COSP -1.73205 =COSP 4.18879 =-.9999996 =-.9999996 TANP -1.73205 =TANP 4.18879 = .8660256 = .8660256 COTP -1.73205 =COTP 4.18879 = .517638 = .517638 SECP -1.73205 =SECP 4.18879 =-1 =-1 CSCP -1.73205 =CSCP 4.18879 =-.7320508 =-.7320508 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 1 s=? 300 U=-1.047198 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (s) GR. SESSAG. E (U) RAD. (U negativo nei quadranti III e IV, fino al primo angolo giro) SINP 300 =SINP -1.047198 =-.5773503 =-.5773503 COSP 300 =COSP -1.047198 = .3333333 TANP 300 =TANP -1.047198 =-.8660254 COTP 300 =COTP -1.047198 =-1.931851 SECP 300 =SECP -1.047198 = 1 CSCP 300 =CSCP -1.047198 =-2.73205 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi

Page 38: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 38

sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 2 T=? .3207501495 U= 1.047198 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP .3207501 =SINP 1.047198 = .5773503 = .5773503 = .5773503 COSP .3207501 =COSP 1.047198 = .3333333 = .3333333 TANP .3207501 =TANP 1.047198 = .8660255 = .8660254 COTP .3207501 =COTP 1.047198 = .517638 = .5176381 SECP .3207501 =SECP 1.047198 = 1 = 1 CSCP .3207501 =CSCP 1.047198 = .7320508 = .7320508 VALORI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE DI ARGOMENTI (T),(U) ed (s) ESSENDO: (T) IL DOPPIO DELL'AREA DEL SETTORE PARABOLICO DI AMPIEZZA (U). Se vuoi direttamente le funzioni paraboliche in funzione di (s) gradi sessagesimali digita 1, se vuoi i valori in funzione di (T) e di (U) in radianti digita rispettivamente 2 e 3? 3 U=? 2.6179939 T= 10.52948 GLI ARGOMENTI DELLE FUNZIONI SONO RISPETTIVAMENTE (T) E (U) (U negativo nel III e IV quadrante, fino al primo angolo giro) SINP 10.52948 =SINP 2.617994 = 3.73205 = 3.73205 = 3.73205 COSP 10.52948 =COSP 2.617994 =-6.4641 =-6.4641 TANP 10.52948 =TANP 2.617994 =-.2886752 =-.2886752 COTP 10.52948 =COTP 2.617994 = 3.346066 = 3.346066 SECP 10.52948 =SECP 2.617994 =-.5773503 =-.5773503 CSCP 10.52948 =CSCP 2.617994 =-2.732051 =-2.732051 II LISTATO DI PROGRAMMA. Si riporta un altro listato di programma in Qbasic, con l’input e qualche esempio in output: CLS PRINT “G. CAROLLA MARZO 2006”; "SULLE FUNZIONI PARABOLICHE

Page 39: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 39

GENERALIZZATE,DEFINIZIONI DI QUELLE CANONICHE E COMPARAZIONE DEI VALORI CALCOLATI" REM IL PRESENTE LISTATO DI PROGRAMMA con REM le istruzioni che seguono permettono di ottenere t(u,P),cioè il doppio REM dell'area del settore parabolico che sottende u, da u in radianti e P>=1. REM Inoltre,verificano le varie definizioni del raggio vettore e delle f. p., REM calcolano i valori anche delle f. p. generalizzate (per un P qualunque). REM INFINE, SI POSSONO COMPARARE I VALORI CALCOLATI DELL'AREA t(u,1), REM DEL RAGGIO VETTORE E DELLE DEFINIZIONI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE CON REM QUELLI ESATTI RIPORTATI IN FONDO ALL'OUTPUT. PRINT "IL PROGRAMMA VA IN OVERFLOW E PRESENTA PROBLEMI (ES. PER u=3/4(PIGRECA)" PRINT "(PERCIO' DIGITA 2.356194),IN QUANTO (CON 2.3561945) VI E' SINPu+COSPu=0 AL DENOMINATORE)," PRINT "E SOLO QUANDO CAPITA DI DIVIDERE PER ZERO,PERTANTO SI CONSIGLIA PER L'INPUT" PRINT "DI DARE LO ZERO IN .00001 O IN NOTAZIONE ESPONENZIALE DI INFINITESIMO." PRINT "IN OUTPUT I VALORI NULLI, INFINITO E INFINITESIMO SONO IN NOTAZIONE" PRINT "ESPONENZIALE, O L'INFINITO E' CON SETTE CIFRE. " PRINT "************************************************************************" PRINT “*A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: PRINT "*SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA*" PRINT "*ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO.*" PRINT "************************************************************************" PRINT INPUT "u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2"; V IF V = 1 THEN 10 ELSE 55 10 INPUT " u="; u INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P IF u >= 0 AND u < 1.5707963# THEN 20 IF u > 4.712389 AND u <= 6.2831853# THEN 30 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 40 20 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 50 30 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) PRINT "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1 40 t = -(SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3)): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 50 t = SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 55 INPUT " u="; u INPUT "DIGITA IL VALORE DI P"; P IF u >= 1.5707963# AND u < 3.1415926# THEN 65 IF u >= 3.1415926# OR u <= 4.712389 THEN 75 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 85 65 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) GOTO 95 75 R1 = P ^ 2 + (2 * P ^ 2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) PRINT "TAN(u)="; TAN(u); "R1="; R1 85 t = -(SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3)): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 95 t = SQR(R1) / 2 * (1 + R1 / 3): PRINT "t(u,P)="; "t("; u; ","; P; ")="; t GOTO 98 REM sotto + se u II e III quadrante 98 COSP1 = -P * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)

Page 40: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 40

COSP2 = -P * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2) SINP1 = COSP1 * TAN(u) SINP2 = COSP2 * TAN(u) PRINT "SINP(u,P)="; SINP1; SINP2; "COSP(u,P)="; COSP1; COSP2 PRINT "SINP/P="; SINP1 / P; SINP2 / P; "COSP/P="; COSP1 / P; COSP2 / P PRINT "SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE'"; P RO1 = P - COSP1: RO2 = P - COSP2: PRINT "RO(u,P)="; "RO("; u; ","; P; ")="; RO1; RO2 PRINT "RO(u,P)/P="; RO1 / P; RO2 / P; " o anche 1-COSP/P="; 1 - COSP1 / P; 1 - COSP2 / P PRINT TANP1 = P * SINP1 / (2 * COSP1): PRINT "TANP(u,P)="; TANP1; "TANP/P="; TANP1 / P PRINT COTP1 = P * COSP1 * SQR(2) / (SINP1 + COSP1): PRINT "COTP(u,P)="; COTP1; "COTP/P="; COTP1 / P PRINT SECP3 = P * (P - COSP1) / (2 * COSP1): PRINT "SECP(u,P)="; SECP3; "SECP/P="; SECP3 / P SECP4 = P * (P - COSP2) / (2 * COSP2): PRINT "SECP(u,P)="; SECP4; "SECP/P="; SECP4 / P PRINT CSCP3 = P * (P - COSP1) / (SINP1 + COSP1): PRINT "CSCP(u,P)="; CSCP3; "CSCP/P="; CSCP3 / P CSCP4 = P * (P - COSP2) / (SINP2 + COSP2): PRINT "CSCP(u,P)="; CSCP4; "CSCP/P="; CSCP4 / P PRINT PRINT "PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI DI CUI SOPRA," PRINT "DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO," PRINT "SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL" PRINT "RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1:" R2 = 1 + (2 * (1 + SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) PRINT t2 = (SQR(R2) / 2 * (1 + R2 / 3)) PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t2; "con + II, - III quadrante" R3 = 1 + (2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) t3 = SQR(R3) / 2 * (1 + R3 / 3): PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t3; "con + I,- IV quadrante" RO0 = 1 / (1 + COS(u)): PRINT "RO(u,1)="; "RO("; u; ")="; RO0 SINP0 = SIN(u) / (1 + COS(u)): PRINT "SINP(u,1)="; "SINP("; u; ")="; SINP0 COSP0 = COS(u) / (1 + COS(u)): PRINT "COSP(u,1)="; "COSP("; u; ")="; COSP0 TANP0 = TAN(u) / 2: PRINT "TANP(u,1)="; "TANP("; u; ")="; TANP0 COTP0 = SQR(2) * COS(u) / (SIN(u) + COS(u)): PRINT "COTP(u,1)="; "COTP("; u; ")="; COTP0 SECP0 = 1 / (2 * COS(u)): PRINT "SECP(u,1)="; "SECP("; u; ")="; SECP0 CSCP0 = 1 / (SIN(u) + COS(u)): PRINT "CSCP(u,1)="; "CSCP("; u; ")="; CSCP0 END ESEMPI IN OUTPUT. In output si riportano quattro esempi relativi ad argomenti del I, del III quadrante e due dell’angolo piatto: 1^ esempio 5235987.

61

30 ==°= πu e p=3

***************************************************************************** * A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA* *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. *

Page 41: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 41

***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 1 u=? .5235987 DIGITA IL VALORE DI P? 3 t(u,P)=t( .5235987 , 3 )= .4884942 SINP(u,P)= .8038474 -11.19615 COSP(u,P)= 1.392305 -19.39231 SINP/P= .2679491 -3.732052 COSP/P= .4641016 -6.464104 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 3 RO(u,P)=RO( .5235987 , 3 )= 1.607695 22.39231 RO(u,P)/P= .5358984 7.464104 o anche 1-COSP/P= .5358984 7.464104 TANP(u,P)= .8660252 TANP/P= .2886751 COTP(u,P)= 2.689727 COTP/P= .8965755 SECP(u,P)= 1.732051 SECP/P= .5773502 SECP(u,P)=-1.732051 SECP/P=-.5773502 CSCP(u,P)= 2.196152 CSCP/P= .7320508 CSCP(u,P)=-2.196152 CSCP/P=-.7320508 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( .5235987 ,1)=+- 10.52949 con + II, - III quadrante t(u,1)=t( .5235987 ,1)=+- .1371809 con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( .5235987 )= .5358984 SINP(u,1)=SINP( .5235987 )= .2679491 COSP(u,1)=COSP( .5235987 )= .4641016 TANP(u,1)=TANP( .5235987 )= .2886751 COTP(u,1)=COTP( .5235987 )= .8965756 SECP(u,1)=SECP( .5235987 )= .5773503 CSCP(u,1)=CSCP( .5235987 )= .7320508 II esempio u= 9269908.3

45

225 ==° π p=5

***************************************************************************** * A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * ***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 2 u=? 3.9269908 DIGITA IL VALORE DI P? 5 TAN(u)= .9999999 R1= 145.7107

Page 42: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 42

t(u,P)=t( 3.926991 , 5 )=-299.1829 SINP(u,P)= 2.071068 -12.07107 COSP(u,P)= 2.071068 -12.07107 SINP/P= .4142135 -2.414214 COSP/P= .4142136 -2.414214 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 5 RO(u,P)=RO( 3.926991 , 5 )= 2.928932 17.07107 RO(u,P)/P= .5857865 3.414214 o anche 1-COSP/P= .5857865 3.414214 TANP(u,P)= 2.5 TANP/P= .4999999 COTP(u,P)= 3.535534 COTP/P= .7071068 SECP(u,P)= 3.535534 SECP/P= .7071068 SECP(u,P)=-3.535534 SECP/P=-.7071067 CSCP(u,P)= 3.535534 CSCP/P= .7071068 CSCP(u,P)=-3.535534 CSCP/P=-.7071068 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( 3.926991 ,1)=+- 3.552286 con + II, - III quadrante t(u,1)=t( 3.926991 ,1)=+- .2189514 con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( 3.926991 )= 3.414214 SINP(u,1)=SINP( 3.926991 )=-2.414214 COSP(u,1)=COSP( 3.926991 )=-2.414214 TANP(u,1)=TANP( 3.926991 )= .4999999 COTP(u,1)=COTP( 3.926991 )= .7071068 SECP(u,1)=SECP( 3.926991 )=-.7071067 CSCP(u,1)=CSCP( 3.926991 )=-.7071068 3^ esempio 141592653.3180 =°=u p=2 ***************************************************************************** *A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NUMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * ***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 2 u=? 3.141592653 DIGITA IL VALORE DI P? 2 TAN(u)= 8.742278E-08 R1= 2.093489E+15 t(u,P)=t( 3.141593 , 2 )=-1.596448E+22 SINP(u,P)= 8.742295E-08 -4.575466E+07 COSP(u,P)= 1.000002 -5.233723E+14 SINP/P= 4.371148E-08 -2.287733E+07 COSP/P= .500001 -2.616862E+14 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 2 RO(u,P)=RO( 3.141593 , 2 )= .999998 5.233723E+14

Page 43: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 43

RO(u,P)/P= .499999 2.616862E+14 o anche 1-COSP/P= .499999 2.616862E+14 TANP(u,P)= 8.742278E-08 TANP/P= 4.371139E-08 COTP(u,P)= 2.828427 COTP/P= 1.414213 SECP(u,P)= .9999959 SECP/P= .499998 SECP(u,P)=-1 SECP/P=-.5 CSCP(u,P)= 1.999992 CSCP/P= .9999959 CSCP(u,P)=-2 CSCP/P=-.9999999 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 1.99556E+21 con + II, - III quadrante In questo caso il programma è andato in overflow, dovuto al radicando negativo della prima delle due istruzioni che si riportano a seguire R3 = 1 + (2 * (1 - SQR(1 + (TAN(u)) ^ 2)) / ((TAN(u)) ^ 2)) t3 = SQR(R3) / 2 * (1 + R3 / 3): PRINT "t(u,1)="; "t("; u; ",1)="; "+-"; t3; Mancano perciò i risultati con i quali si sarebbero effettuati le verifiche. Allo scopo, temporaneamente, solo per il presente esempio, si è resa la R3=R2 e quindi l’output che segue è completo: ***************************************************************************** *A VOLTE LE RISPOSTE SONO DATE CON DUE NIMERI: * *SE u E' NEL I O IV QUADRANTE IL PRIMO DEI DUE NUMERI DARA' LA RISPOSTA * *ESATTA, SE u E' NEL II O III QUADRANTE SARA' ESATTO IL SECONDO NUMERO. * ***************************************************************************** u è angolo del I o IV quadrante? Se sì DIGITA 1, se u è del II o III DIGITA 2? 1 u=? 3.1415926 DIGITA IL VALORE DI P? 2 t(u,P)=t( 3.141593 , 2 )=-1.386981E-03 SINP(u,P)=-1.509955E-07 2.64908E+07 COSP(u,P)= .9999981 -1.754407E+14 SINP/P=-7.549775E-08 1.32454E+07 COSP/P= .499999 -8.772033E+13 SI RIPORTA IL VALORE DI P DIGITATO, CIOE' 2 RO(u,P)=RO( 3.141593 , 2 )= 1.000002 1.754407E+14 RO(u,P)/P= .500001 8.772033E+13 o anche 1-COSP/P= .500001 8.772033E+13 TANP(u,P)=-1.509958E-07 TANP/P=-7.549789E-08 COTP(u,P)= 2.828428 COTP/P= 1.414214

Page 44: trigonometria parabola IIparte - Matematicamente.it

www.matematicamente.it 44

SECP(u,P)= 1.000004 SECP/P= .5000019 SECP(u,P)=-1 SECP/P=-.5 CSCP(u,P)= 2.000008 CSCP/P= 1.000004 CSCP(u,P)=-2 CSCP/P=-1 PER POTER EFFETTUARE LA COMPARAZIONE CON I VALORI (DI CUI SOPRA) DEI QUALI ALMENO UN VALORE DELLE DEFINIZIONI DEVE ESSERE ESATTO, SEGUONO L'AREA t(u,1) E I VALORI ESATTI DEL RAGGIO VETTORE E DELLE SEI FUNZIONI PARABOLICHE PER P=1: t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 3.87297E+20 con + II, - III quadrante t(u,1)=t( 3.141593 ,1)=+- 6.934893E-04 con + I,- IV quadrante RO(u,1)=RO( 3.141593 )= 8.772008E+13 SINP(u,1)=SINP( 3.141593 )= 1.324536E+07 COSP(u,1)=COSP( 3.141593 )=-8.772008E+13 TANP(u,1)=TANP( 3.141593 )=-7.54979E-08 COTP(u,1)=COTP( 3.141593 )= 1.414214 SECP(u,1)=SECP( 3.141593 )=-.5 CSCP(u,1)=CSCP( 3.141593 )=-1 Naturalmente gli infiniti e lo zero sono dati in notazione esponenziale e quest’ultimo sotto forma di un infinitesimo. BIBLIOGRAFIA

A. AGOSTINI, “Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche. Trigonometria piana e sferica”, in Enciclopedia delle Matematiche elementari e complementari, vol. II p. I, Milano 1937 (rist. an. 1957), pp. 540 sgg.; J. BOOTH, A Memoir on the trigonometry of the parabola, London 1856; M. CUGIANI, in Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, vol. V, ed. it. Milano 21964, s. v. “Funzione”; G. EGIDI, “Saggio intorno alle funzioni paraboliche.”, Atti Acc. Nuovi Lincei 47, 1894, pp. 16-33; M. R. SPIEGEL, “Funzioni trigonometriche” e “Funzioni iperboliche”, in Manuale di Matematica, ed. it. , Milano 1994. Carolla G., “Intorno alla trigonometria della parabola”, lavoro presentato nel Convegno Nazionale di Matematica della Mathesis, Paestum (SA), 1983, pp.47. Carolla G., “Le funzioni paraboliche” in Atti del Congresso Nazionale Mathesis “Il ruolo della Matematica nella società contemporanea”, 17/19 ottobre 2000, Editrice Rotas, Barletta (BA), 2001, pp. 97-112, pubblicato anche sul sito www.matematicamente.it nella sezione Approfondimenti: idee interessanti.

Lecce, marzo 2006