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TRIGONOMETRIA - I
R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O
M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A
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1
1. TRIGONOMETRIA
1.1] Determine as operações com arcos:
1.1.1] 22°34’45’’ + 23°55’45’’ =
1.1.2] 35°46’07’’+56°55’’ =
1.1.3] 47’48’’ + 12°34’56’’ =
1.1.4] 78°45’58’’ : 3 =
1.1.5] 34°68’35’’ : 2 =
1.1.6] 24°35’ x 2 + 45°47’36’’ =
1.1.7] (34°47’55’’ + 45°54’23’’) : 2 =
1.1.8] (45°36’56’’ - 12°46’55’’) x 3 =
1.1.9] Um jato decola segundo um ângulo de 60 graus em relação ao solo. Determine qual será a sua altura após percorrer 3000 metros na direção da decolagem. Dados: Cos 60° = 0,5; Sen 60° = 0,8; Tg 60° = 1,6
1.1.10] Já no clima da Copa do Mundo um turista decidiu avaliar a altura
da Torre mais famosa da França utilizando o comprimento da sombra no solo. (Dados: Comprimento da sombra = 50 metros; ângulo de elevação do sol = 60°). Determine a altura avaliada. Utilize os dados da questão acima.
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2
1.1.11] Determine a altura do prédio, pelo procedimento ilustrado abaixo.
A uma certa distância do prédio toma-se o ângulo de 30° Caminhando 50 metros na direção do prédio a partir da posição inicial , toma-se o ângulo de 60°. Dados: Sen 60° = 0,8; Sen 30° = 0,5; Cos 60° = 0,5; Cos 30° = 0,8
β θ
1.1.12] Dado o triângulo retângulo abaixo assinale a proposição
verdadeira.
θ
M
K
W
β
(a) Sen θ = M/K (b) Cos β = K/M (c) M = W. Sen β (d) Tg β = W/K (e) W = M. Tg θ
1.1.13] � θ = 30° e M = 100, determine W, K, e β.
θ
M
K
W
β
Dados: Sen 60° = 0,8; Sen 30° = 0,5; Cos 60° = 0,5; Cos 30° = 0,8
1.1.14] Um prédio projeta uma sombra de 15 metros, fazendo um ângulo de 45° com a horizontal. Determine a altura do prédio.
1.1.15] Um prédio de altura igual a 10 metros projeta uma sombra que faz 30 graus com a horizontal. Determine a que distância a extremidade da sombra dista da base do prédio.
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3
1.2] Funções Trigonométricas: Relação fundamental da trigonometria cos2x + sen2x = 1 Muito se tem dito a respeito desta relação fundamental, pois as funções seno e cosseno são as funções primitivas e todas as demais decorrem de seu prévio conhecimento. Tenho visto estudantes de nível secundário gastar caneta para determinar o seno ou o cosseno através do cálculo elaborado usando a relação fundamental. É lógico que, após a árdua tarefa, o valor do seno ou do cosseno aparece. Porém através de um raciocínio rápido podemos estabecer esses valores sem recorrer à relação fundamental. Se o ângulo pertence ao primeiro quadrante (seno positivo e cosseno positivo) e o seu seno vale 1/2, podemos dizer que o cosseno é positivo e é uma fração de denominador 2 e numerador igual a raiz quadrada da diferença entre os quadrados dos números da fração do seno.
Assim o cosseno será igual a 2 - 1
2
2 2
=3
2
Determine os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, cotangente, conforme o caso.
1.2.1] sen x = -3
2, onde π
π≤ ≤x
3
2
1.2.2] cos x = -3
2, onde π
π≤ ≤x
3
2
1.2.3] sen x = -2
2, onde π
π≤ ≤x
3
2
1.2.4] sen x = 1, onde 2
ππ≤ ≤x
1.2.5] cos x = 3
2, onde
3
22
ππ≤ ≤x
1.2.6] cos x = -5
2, onde π
π≤ ≤x
3
2
1.2.7] sen x = -3
2, onde
3
22
ππ≤ ≤x
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4
1.2.8] sen x = - a, onde ππ
≤ ≤x3
2
1.2.9] cos x = 5
3, onde
3
22
ππ≤ ≤x
1.2.10] cos x = - a, onde ππ
≤ ≤x3
2
1.2.11] cos x = -2
, onde 2
1 ππ≤ ≤x
1.2.12] sen x = 5
, onde 2
3 ππ≤ ≤x
1.2.13] cos x = -7
, onde 2
6 ππ≤ ≤x
1.2.14] cos x = 3
, onde 2
5 32
ππ≤ ≤x
1.2.15] cos x = -4
, onde 2
7 ππ≤ ≤x
1.2.16] cos x = 3
, onde 2 2
02
≤ ≤xπ
1.2.17] sec x = -8
3, onde
2
ππ≤ ≤x
1.2.18] sec x = 2
, onde 2
3 32
ππ≤ ≤x
1.2.19] cossec x = - 5, onde 2
32
ππ≤ ≤x
1.2.20] tgx.cossecx = - 2, onde 2
32
ππ≤ ≤x
1.2.21] Encontre todas as soluções do sistema:
sen( )
sen( )
x y
x y
+ =
− = ≤ ≤ ≤ ≤
0
0 tal que 0 x e 0 yπ π
1.2.22] Demonstre Cos (2θ) = 2.Cos2θ - 1 (Uerj/96)
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5
1.2.23] Calcule seno, cosseno e tangente do arco de medida igual a 1920°.
1.2.24] Resolva a equação cos 3x = 1
2
1.2.25] Resolva a equação tg x tgx2 0+ =
1.2.26] Resolva a equação sen .cosx x= 3
1.2.27] Resolva a equação sen cosx x+ = ± 2
1.2.28] Resolva a equação cos sen ,2 2 0x x+ = ≤ ≤ no intervalo 0 x 2π
1.2.29] Calcule tg (x) � 4.sen2x + 2.cos2x = 3
1.2.30] Se tg xm
m( ) =
−
2
12
, determine sen (x)
1.2.31] Se x =π
2, então o valor de
sen( ) .cot cos( )
.cossec( ) sec( )
x gx
x
tgx
x x
+ −
+
22
2
24
, é igual a:
Fórmulas de trabalho Sen2 a + Cos2a = 1 (Relação fundamental da Trigonometria) Cos (a + b) = Sen a . Sen b - Cos a . Cos b Cos (a - b) = Sen a . Sen b + Cos a . Cos b Sen (a + b) = Sen a . Cos b + Sen b . Cos a Sen (a - b) = Sen a . Cos b - Sen b . Cos a
tg a b( )++++ ====tg a + tg b
1 - tg a . tg b
tg a b( )−−−− ====tg a - tg b
1 + tg a . tg b
Sen 2a = 2. sen a . cos a Cos 2a = 1 - 2 . Sen2a
Sen a
2
- Cos a==== ±±±±
1
2
Cos a
2
+ Cos a==== ±±±±
1
2
Tg a
2
- Cos a
- Cos a==== ±±±±
1
1
1.2.32] Determine Sen 2a, � Cos a = -4
5 ∴ (π/2<a< π)
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6
1.2.33] Determine Cos 3a, � Sen a = -3
5 ∴ (0 < a < π/2)
1.2.34] Determine Tg 5a, � Cos a = 4
5∴a ∈ I Quadrante.
1.2.35] Determine o valor de Sen = 12
ππππ
1.2.36] Determine o valor de Cos x + 5
4
ππππ
, � Sen x = -
1
2
1.2.37] Determine o valor de Sec x + 5
4
ππππ
, � Sen x = -
3
2
1.2.38] Determine o valor de Cotg x - 4
ππππ
, � Sen x = -
1
2
1.2.39] Determine o valor de Tg x - 4
ππππ
, � Sec x = - 2
1.2.40] Determine o valor de Cotg x + 4
3ππππ
, � Cossec = -
2 3
3
1.2.41] Determine o valor de Cossec x + 7
6
ππππ
, � Cos x = -
1
2
1.2.42] Determine o valor de Cotg x + 5
4 Sen x -
5
4
ππππ ππππ
⋅⋅⋅⋅
, ∴
Sen x = 3
2
1.2.43] Determine o valor do produto: Cos x . Tg x . Sec x . Cotg x =
1.2.44] Simplifique a expressão: y =cossec a - sen a
cotg a . sec a
1.2.45] Simplifique a expressão: y = 1 - sen2
cos x
x
1.2.46] Simplifique a expressão: y =cos2x - 1
cotg x
1.2.47] Simplifique a expressão: y x = (sec2 - 1). cotg x
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7
1.2.48] Simplifique a expressão: y =1 + tg2x
sec x
1.2.49] Simplifique a expressão: y =sen a + cos a
sec a + cossec a
1.2.50] Simplifique a expressão: yx
=−
sen x - 2 sen3x
2 cos3 cos x
1.2.51] Simplifique a expressão: y =sen x + tg x
cos x + 1
1.3] Adição e subtração de arcos: COS (A+B) = COS A . COS B - SEN A . SEN B COS (B-A) = COS B . COS A + SEN B . SEN A SEN (A+B) = SEN A . COS B + SEN B . COS A SEN (B-A) = SEN B. COS A - SEN A. COS B COS (2A) = COS2A – SEN2A SEN (2A) = 2.SEN(A). COS(A)
1.3.1] Determine Cos 75°
1.3.2] Determine Sen 105°
1.3.3] Determine Cos 15°
1.3.4] Determine o Sen (3A)
1.4] Adição e subtração de arcos na função tangente: Utilizando o conceito de tangente podemos estabelecer a Adição e a Subtração de Arcos na função Tangente
1.4.1] Determine a expressão para Tg (a+b):
1.4.2] Determine a expressão para Tg (a-b):
1.4.3] Determine Tg 75°
1.4.4] Determine Tg 105°
1.4.5] Determine Tg 345°
1.4.6] Determine Tg 255°
1.4.7] Qual a forma mais simples da expressão:
sen( ). cos
cos( ). sen
ππππππππ
ππππππππ
++++ −−−−
++++ −−−−
====
x x
x x
2
52
Fale conosco: [email protected]
8
1.4.8] Simplifique a expressão: y = sen (135° + x) + sen (135° - x)
1.4.9] Desenvolva a fórmula do cosseno do arco metade: cosa
2
1.4.10] Desenvolva a fórmula do seno do arco metade: sena
2
1.5] Divisão de arcos: Utilizando o conceito de duplicação de arcos podemos estabelecer novas fórmulas para arcos divididos.
1.5.1] Determine a fórmula para cos a
2
1.5.2] Determine a fórmula para sen a
2
1.5.3] Determine a fórmula para tg a
2
1.5.4] Determine o valor do cosseno de 22°30’
1.5.5] Determine sen 22°30’:
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