TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA Arcos e ângulos · Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA denominados 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. EXEMPLO 2 60º 210º 0º 0 360º 2 4 Os setores indicados por

Nome: no:

Ensino: Médio Série: 2ª. Turma: Data:

Professor: Márcio

DEFINIÇÃO

DEFINIÇÃO

1–Arcos e ângulos

1.1–Elementos:

C: centro da circunferência

CB = CA = R: raio da circunferência

ˆACB : ângulo central

AB : arco

1.2–Medida do arco:

A medida de um arco é igual à medida do seu ângulo central.

AB

1.3–Comprimento do arco:

medida comprimento360 2 R

360 2 R comp AB 2 R360comp AB

comp AB

1.3–Medida do arco em radianos:

O arco em que o comprimento é igual ao raio tem medida igual a 1

radiano

medida comprimento

360 2 R 2 R

1 rad R

360R 2 360 rad 180

2–Ciclo trigonométrico

Em um sistema de eixos perpendiculares

construímos uma circunferência de raio unitário e

com centro na interseção (origem) desses eixos.

O ponto A é a origem dos arcos e a partir dele

são feitas as medidas desses arcos.

A circunferência intersecta os eixos nos pontos

A, B, C e D e fica dividida em quatro setores.

Resumo

TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA

+

-

III

III IV

o A

B

C

D

+

-

III

III IV

++

--

IIIIII

IIIIII IVIV

o A

B

C

D

Resumo


EXEMPLO

Os setores indicados por I, II, III e IV são respectivamente

denominados 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes.

Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será

atribuído o sinal negativo ( ).

Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida

será atribuído o sinal positivo ( ).

O arco com extremos em A e B no sentido anti-horário mede 90º.

O arco com extremos em A e C no sentido horário mede –180º.

O arco com extremos em A e D no sentido anti-horário mede 270º.

O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário mede

360º.

O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário e

continua até o ponto B mede 450º.

O arco com extremo em A e dá duas voltas no sentido horário e

continua até o ponto C mede -900º.

2.1–Arcos notáveis no ciclo trigonométrico:

o 0º 0 rad

360º 2 rad

90º2

rad

180º rad

3270º

2rad

30º6

rad

5

150º6

rad

7210º

6rad

11330º

6rad

o 0º 0 rad

360º 2 rad

90º2

rad

180º rad

3270º

2rad

30º6

rad

5

150º6

rad

7210º

6rad

11330º

6rad

o 0º 0 rad

360º 2 rad

90º2

rad

180º rad

3270º

2rad

45º4

rad

3

135º4

rad

5225º

4rad

7315º

4rad

o 0º 0 rad

360º 2 rad

90º2

rad

180º rad

3270º

2rad

45º4

rad

3

135º4

rad

5225º

4rad

7315º

4rad

0º 0 rad

360º 2 rad

90º2

rad

180º rad

3270º

2rad

60º3

rad

o

2120º

3rad

4240º

3rad

5300º

3rad

0º 0 rad

360º 2 rad

90º2

rad

180º rad

3270º

2rad

60º3

rad

oo

2120º

3rad

4240º

3rad

5300º

3rad

Resumo


DEFINIÇÃO

3–Funções trigonométricas

3.1–Função Seno

Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de

comprimento x e OS a ordenada do ponto P.

Seno do arco x é a razão entre a ordenada do ponto P e o raio OP da

circunferência, assim: sen x OS .

Na função seno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a um

número real. Assim:

: f IR IR tal que f x sen x .

3.1.1–Variação da função seno.

Ix

AO S

sen x o

P

Ix

AO S

sen x o

P

IIIx

AO

decrescente

sen x o

SP

IIIx

AO

decrescente

sen x o

SP

3

2x

AO

S P

1sen x

mínimo

3

2x

AO

S P

1sen x

mínimo

1sen x

mínimo

IVx

AO

crescente

sen x o

S P

IVx

AO

crescente

sen x o

S P

O A

P

comp AP x

R

S

eixo dos senos

0 ou 2x x

A P

O S

0sen x

0 ou 2x x

A P

O S

0sen x

P

Ix

AO

0

crescente

sen x

S P

Ix

AO

0

crescente

sen x

S

2x

AO

1sen x

S P

máximo

2x

AO

1sen x

S P

2x

AO

1sen x

S P

máximo

IIx

AO

decrescente

sen x o

SP

IIx

AO

decrescente

sen x o

SP

Resumo


3.1.2–Gráfico

Conjunto imagem: Im f 1;1

Valor máximo que f assume: 1

Valor mínimo que f assume: - 1

Período: p 2

3.2–Função Cosseno

Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de

comprimento x e OS a abscissa do ponto P.

Cossseno do arco x é a razão entre a abscissa do ponto P e o raio OP

da circunferência, assim: cos x OS .

Na função cosseno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a

um número real. Assim:

: f IR IR tal que cosf x x .

3.2.1–Variação da função cosseno.

x

A

O

cos 1x

S P

mínimo

x

A

O

cos 1x

S P

mínimo

IIIx

A

O

cos 0x

S

crescente

P

IIIx

A

O

cos 0x

S

crescente

P

O

comp AP x

S

P

A

eixo dos

cossenos

O

comp AP x

S

P

A

eixo dos

cossenos

0 ou 2x x

S PO

cos 1x

0 ou 2x x

S PO

cos 1x

Ix

A

O

cos 0x

S

decrescente

P

Ix

A

O

cos 0x

S

decrescente

P

Resumo


DEFINIÇÃO

3.2.2–Gráfico

Conjunto imagem: Im f 1;1

Valor máximo que f assume: 1

Valor mínimo que f assume: - 1

Período: p 2

3.3–Função Tangente

Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP com

P B e P D e sendo S a intersecção da reta OP com o eixo das

tangentes.

Tangente do arco x é a razão entre a medida do segmento AS e o

raio AO da circunferência, assim: tg x AS .

Na função tangente, associamos cada arco do ciclo trigonométrico,

com exceção de ;2

x n n , a um número real. Assim:

: ;2

f IR x n n IR tal que f x tg x .

2x

A

O S

cos 0x

P

2x

A

O S

cos 0x

P

IIx

A

O

cos 0x

S

decrescente

P

IIx

A

O

cos 0x

S

decrescente

P

3

2x

AO S

cos 0x

P

3

2x

AO S

cos 0x

P

IVx

A

O

cos 0x

S

crescente

P

IVx

A

O

cos 0x

S

crescente

P

O

SP

A

eixo das

tangentes

x

B

C

D

O

SP

A

eixo das

tangentes

x

B

C

D

Resumo


3.3.1–Variação da função tangente.

x

A S

O

0tg x

P

x

A S

O

0tg x

P

IIIx

AO

0tg x

S

crescente

P

IIIx

AO

0tg x

S

crescente

P

3

2x

AO

P

S tg x

3

2x

AO

P

S tg x

IVx

AO

0tg x S

crescente

P

IVx

AO

0tg x S

crescente

P

3.3.2–Gráfico

Conjunto imagem: Im f IR

Não tem valor máximo e nem mínimo.

Período: p

0 ou 2x x

A P S

O

0tg x

S

0 ou 2x x

A P S

O

0tg x

S

Ix

AO

0tg x

S

crescente

P

Ix

AO

0tg x

S

crescente

P

2x

AO

S tg x

2x

AO

S tg x

IIx

AO

0tg x S

crescente

P

IIx

AO

0tg x S

crescente

P

Resumo


3.3–Resumo

4–Relações trigonométricas fundamentais

4.1– Relações trigonométricas fundamentais

2 2

2 2

2 2

sen θ = 1 - cos θsen θ + cos θ = 1

cos θ = 1 - sen θ

senθ

tgθ = cosθ

1

secθ = cosθ

1

cossecθ = senθ

1 cosθ

cotgθ = = tgθ senθ

0º

30º

45º

60º

180º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

3

3

1

1

3

3

3

3

2 / 2

3 / 2

1/ 2

1

2

1/ 2

2 / 2

3 / 2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

2

sen x

cos x

tg x

1

1-1

-1

0º

30º

45º

60º

180º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

3

3

1

1

3

3

3

3

2 / 2

3 / 2

1/ 2

1

2

1/ 2

2 / 2

3 / 2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

2

sen x

cos x

tg x

1

1-1

-1

Resumo


4.2–Relações trigonométricas auxiliares

2 2sec θ = 1 + tg θ

2 2cossec θ = 1 + cotg θ

5–Relações trigonométricas em um triângulo qualquer

5.1–Lei dos senos

a b c2R

ˆ ˆsen Â sen B sen C

5.2–Lei dos cossenos

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2 b c cos Â

ˆb a c 2 a c cosB

ˆc a b 2 a b cosC

6–Transformações

6.1–Adição e Subtração de arcos

.cos .cos

.cos .cos

sen a b sen a b sen b a

sen a b sen a b sen b a

cos cos .cos .

cos cos .cos .

a b a b sen a sen b

a b a b sen a sen b

1 .

1 .

tg a tg btg a b

tg a tg b

tg a tg btg a b

tg a tg b

, com , ,2

a b a b n n

Resumo


6.2–Arco Duplo

2 2. .cossen a sen a a

2 2

2

2

cos

cos 2 1 2

2cos 1

a sen a

a sen a

a

2

22

1

tg atg a

tg a

, com

2a n

e

4 2a n n

Observação:

2 2 2

1 2

cos cos 2 .cos

sen a

sen a a sen a a sen a a

Logo: 2

cos 1 2sen a a sen a

Resumo


1–Áreas de figuras planas

1.1–Retângulo

1.2–Quadrado

1.3–Paralelogramo

1.4–Trapézio

1.5–Losango

1.6–Triângulos

1.6.1–Triângulo qualquer

b

h .S b h

b

h

b

h .S b h

2S 2S

h

b

.S b hh

b

h

b

.S b h

b

B

h

2

B b hS

b

B

h

b

B

h

2

B b hS

D

d .

2

D dS

D

d .

2

D dS

D

d

D

d .

2

D dS

h

b

.

2

b hS h

b

h

b

.

2

b hS

Resumo


1.6.2–Triângulo equilátero


1.6.4–Triângulo qualquer (Fórmula de Hierão)


Geralmente esta relação é mais útil para determinar o raio da

circunferência inscrita no triângulo.


Geralmente esta relação é mais útil para determinar o raio da

circunferência circunscrita ao triângulo.

1.7–Hexágono Regular

2 3

4S

2 3

4S

a

b

. .

2

a b senS

a

b

a

b

. .

2

a b senS

a

bc

2

a b cp

S p p a p b p c

a

bc

a

bc

2

a b cp

S p p a p b p c

r

a

bc

2

.

a b cp

S p r

r

a

bc

r

a

bc

2

.

a b cp

S p r

a

b c

R

4

abcS

Ra

b c

R

a

b c

R

4

abcS

R

23 3

2S

23 3

2S

Resumo


1.8–Figuras circulares

1.8.1–Círculo

1.8.2–Coroa circular

1.8.3–Setor circular

1.8.4–Segmento circular

2–Prismas

2.1–Classificação

2.1.1–Prisma Oblíquo

São os prismas cujas arestas laterais são obliquas ao plano da base.

2.1.2–Prisma Reto

São os prismas cujas arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.

2.1.3–Prisma Regular

São os prismas retos em que as bases são polígonos regulares.

R 2S RR 2S R

2 2S R r Rr 2 2S R r Rr

R

2

360ºS R

R

2

360ºS R

R

setor trianguloS S S

R

setor trianguloS S S

Prisma

Oblíquo

Prisma

Reto

Prisma

Regular

Prisma

Oblíquo

Prisma

Reto

Prisma

Regular

Resumo


2.2–Formulário:

2.2.1–Área da base (Ab):

É a área do polígono da base.

2.2.2–Área lateral (Al):

É a soma das áreas de todas as faces laterais.

2.2.3–Área total (At):

É a soma das áreas de todas as faces do prisma.

2 At Al Ab

2.2.4–Volume (V):

É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um

sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária.

.V Ab H

2.3–Casos particulares:

2.3.1–Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo

retângulo

É todo paralelepípedo reto cujas bases são retangulares.

Formulário:

Área total (At):

2 At ab ac bc

Volume (V):

V abc

Diagonal (D):

2 2 2 D a b c

Paralelepípedo Reto-retângulo

a

b

cD

a

b

c

a

b

cD

Resumo


2.3.2–Cubo

É todo paralelepípedo reto-retângulo cujas faces são quadradas.

Formulário:

Área total (At):

26At a

Volume (V):

3V a

Diagonal (D):

3D a

3–Pirâmides

3.1–Classificação

3.1.1–Pirâmide Oblíqua

São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base

não coincide com o centro do polígono da base.

3.1.2–Pirâmide Reta

São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base

coincide com o centro do polígono da base. Numa pirâmide reta, as faces

laterais são triângulos isósceles.

CuboCubo

a

D

a

a

a

D

a

a

Resumo


3.1.3–Pirâmide Regular

São as pirâmides retas em que as bases são polígonos regulares. Numa

pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes

entre si.

Pirâmide quadrangular regular:

Na pirâmide regular acima, temos:

HC = R é o raio da circunferência circunscrita à base.

VA = VB = VC = VD = L são as arestas laterais.

VH = h é a altura da pirâmide.

HE = r é o raio da circunferência inscrita ou o apótema da base.

VE = g é a altura da face lateral ou o apótema lateral ou apótema da

pirâmide.

Daí:

i) 2 2 2 2 2 2 VH HE VE h r g

ii) 2 2 2 2 2 2VH HC VC h R L

3.2–Formulário:


É a área do polígono da base.


É a soma das áreas de todas as faces laterais.


É a soma das áreas de todas as faces do prisma.

At Al Ab

Pirâmide

oblíqua

Pirâmide

reta

Pirâmide

regularPirâmide

oblíqua

Pirâmide

reta

Pirâmide

regular

V

A

BC

D

HE

V

A

BC

D

HE

Resumo


3.2.4–Volume (V):

É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um

sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária.

1

3 V Ab H

3.3–Tetraedro regular

São pirâmides triangulares onde todas as faces são triângulos equiláteros.

3.3.1–Formulário:

Área total (At):

2 3At a

Altura (H):

6

3

aH

Volume (V):

3 2

12

aV

3–Cilindros

3.1–Secção meridiana do cilindro:

É a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo do mesmo.

3.1.1–Área da secção meridiana

2SMA RH

a

aa

a a

aa

a

2R

H

2R

H

Resumo


3.2–Classificação:

3.2.1–Cilindro Oblíquo

São os cilindros cujo eixo são oblíquos as plano da base.

3.2.2–Cilindro Reto ou de Revolução

São os cilindros cujo eixo é perpendicular ao plano da base. No cilindro

circular reto, a geratriz tem a mesma medida que a altura.

3.2.3–Cilindro Equilátero

São os cilindros retos cuja secção meridiana é um quadrado.

Assim, 2H R .

3.3–Formulário:


É a área do círculo da base.

2 Ab R


É área da superfície lateral.

2 Al RH


2 At Al Ab

3.3.4–Volume (V):

.V Ab H

Cilindro

Oblíquo

Cilindro

Reto ou de

Revolução

Cilindro

Eqüilátero

R

Superfície

lateral

R

Superfície

lateral

2 R

H

R

Eixo

Geratriz

H

Altura

Base

R

Eixo

Geratriz

H

Altura

Base

Resumo


4–Cones

4.1–Secção meridiana do cilindro:

É a interseção do cone com um plano que contém o eixo do

mesmo.

4.1.1–Área da secção meridiana

SMA RH

4.2–Classificação:

4.2.1–Cone Oblíquo

São os cones cujo eixo é oblíquo ao plano da base.

4.2.2–Cone Reto

São os cones cujo eixo é perpendicular ao plano da base.

4.2.3–Cone Equilátero

São os cones retos cuja secção meridiana é um triângulo equilátero.

Assim, 2g R .

4.3–Formulário:


É a área do círculo da base.

2 Ab R


É área da superfície lateral.

Al Rg


At Al Ab

4.3.4–Volume (V):

1.

3V Ab H

Cone

Oblíquo

Cone

Reto ou de

Revolução

Cone

Eqüilátero

Cone

Oblíquo

Cone

Reto ou de

Revolução

Cone

Eqüilátero

2R

H

V

Raio

Eixo

Geratriz

Base

H

Altura

V

Superfície

Lateral

V

Raio

Eixo

Geratriz

Base

H

Altura

V

Superfície

Lateral

V

Superfície

Lateral

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TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA Arcos e ângulos · Resumo TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA denominados 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. EXEMPLO 2 60º 210º 0º 0 360º 2 4 Os setores indicados por