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APOSTILA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA Professora: Aline Resmini Melo [email protected] Engenharia Mecânica 2012 – 1

Trocadores de Calor

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APOSTILA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR E

MASSA

Professora: Aline Resmini Melo [email protected]

Engenharia Mecânica

2012 – 1

Page 2: Trocadores de Calor

ÍNDICE

1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................ 4 1.1 – SISTEMAS DE UNIDADES ................................................................................................................................... 7 1.2 – DEFINIÇÕES ......................................................................................................................................................... 8 1.3 – MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ............................................................................................. 8

1.3.1 – Condução ........................................................................................................................................................ 8 1.3.2 – Convecção ...................................................................................................................................................... 9 1.3.3 – Radiação ......................................................................................................................................................... 9

1.4 – MECANISMOS COMBINADOS ......................................................................................................................... 10 1.5 – REGIMES DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ................................................................................................... 11

2 – CONDUÇÃO .............................................................................................................................................................. 12 2.1 – EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO .............................................................................................................................. 12 2.2 – TIPOS DE CONDIÇÕES DE CONTORNO........................................................................................................... 14 2.3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ...................................................................... 19

2.3.1 – Condução de calor em uma parede plana ...................................................................................................... 20 2.3.2 – Analogia entre resistência térmica e resistência elétrica ................................................................................ 21 2.3.3 – Associação de paredes planas em série .......................................................................................................... 23 2.3.4 – Associação de paredes planas em paralelo .................................................................................................... 25

2.4 – CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE SISTEMAS RADIAIS ......................................................................... 26 2.5 – CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ......................................................................... 29

2.5.1 – O método gráfico .......................................................................................................................................... 29 2.6 – CONDUÇÃO TRANSIENTE ............................................................................................................................... 34

2.6.1 – Sistemas com resistência interna desprezível (sistemas concentrados) ............................................................ 35 2.7 – EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................... 37

3 – CONVECÇÃO ........................................................................................................................................................... 44 3.1 – EQUAÇÃO DA CONVECÇÃO ............................................................................................................................ 45 3.2 – CONCEITO DA CAMADA LIMITE .................................................................................................................... 47

3.2.1 – Escoamento Laminar e turbulento ................................................................................................................. 49 3.2.2 – Efeitos da turbulência.................................................................................................................................... 52

3.3 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PELÍCULA (H) ................................................................................. 52 3.3.1 – Escoamento externo ...................................................................................................................................... 53 3.3.2 – Escoamento interno ....................................................................................................................................... 55

3.4 – EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................... 56

4 – RADIAÇÃO ............................................................................................................................................................... 60 4.1 – EQUAÇÃO DA RADIAÇÃO ............................................................................................................................... 61 4.2 – TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES ................................................................................................ 63

4.2.1 – O fator de forma ............................................................................................................................................ 64 4.2.2 – Troca radiante entre superfícies negras ......................................................................................................... 68 4.2.3 – O confinamento com duas superfícies ............................................................................................................ 69 4.2.4 – Blindagens de radiação ................................................................................................................................. 70 4.2.5 – Superfícies reirradiantes ............................................................................................................................... 72

4.3 – EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................... 73

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ................................................................. 77 5.1 – BALANÇO DE ENERGIA EM SUPERFÍCIES ..................................................................................................... 77 5.2 – CONDUÇÃO, CONVECÇÃO E RADIAÇÃO (EM SÉRIE E PARALELO)........................................................... 78 5.3 – EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................... 80

6 – ALETAS ..................................................................................................................................................................... 85 6.1 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS .................................................................... 85 6.2 – CÁLCULO DO FLUXO DE CALOR EM ALETAS DE SEÇÃO UNIFORME ....................................................... 85

Page 3: Trocadores de Calor

6.3 – EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................... 89

7 – TROCADORES DE CALOR .................................................................................................................................... 90 7.1 – CLASSIFICAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR.......................................................................................... 90

7.1.1 – Classificação pelo processo de transferência ................................................................................................. 91 7.1.2 – Classificação de acordo com a compacticidade ............................................................................................. 91 7.1.3 – Classificação pelo tipo de construção ............................................................................................................ 91 7.1.4 – Classificação segundo a disposição das correntes.......................................................................................... 96

7.2 – MÉDIA LOGARÍTMICA DAS DIFERENÇAS DE TEMPERATURAS ................................................................ 97 7.3 – BALANÇO TÉRMICO EM TROCADORES DE CALOR ..................................................................................... 99 7.4 – COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR...........................................................................100 7.5 – FATOR DE FULIGEM (INCRUSTAÇÃO) ..........................................................................................................101 7.6 – FLUXO DE CALOR PARA TROCADORES COM MAIS DE UM PASSE ...........................................................103 7.7 – EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................................105

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO .............................................................................................................................108 8.1 – CONDENSAÇÃO ...............................................................................................................................................108 8.2 – EBULIÇÃO .........................................................................................................................................................109

9 – FORMULÁRIOS ......................................................................................................................................................114 9.1 – PRIMEIRA PROVA ............................................................................................................................................114 9.2 – SEGUNDA PROVA ............................................................................................................................................117 9.3 – TERCEIRA PROVA ............................................................................................................................................121

Page 4: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 4

1 – INTRODUÇÃO A partir do estudo da termodinâmica, foi verificado que energia pode ser transferida

através de interações de um sistema com a sua vizinhança. Essas interações são conhecidas

por calor e trabalho. Contudo, a termodinâmica lida com os estados inicial e final do processo

durante o qual a interação ocorre, não fornecendo nenhuma informação relativa à natureza da

interação, a taxa ou a velocidade na qual ela ocorre. O objetivo da disciplina de Transferência

de Calor e Massa é estender a análise termodinâmica através dos meios como o calor é

transferido e do desenvolvimento das relações para calcular as taxas nas quais essa

transferência ocorre.

Sempre que existir uma diferença de temperatura dentro de um sistema ou que dois

sistemas a diferentes temperaturas forem colocados em contato, haverá transferência de

energia. O processo pelo qual a energia é transportada é conhecido por transferência de calor.

A entidade em trânsito, chamada calor, não pode ser medida ou observada diretamente, porém

os efeitos que ela produz são susceptíveis de observação e medição.

Do ponto de vista de engenharia, o problema principal é a determinação da taxa de

transferência de calor em uma diferença de temperatura especificada. Para estimar o custo, a

viabilidade e o tamanho do equipamento necessário para transferir uma quantidade de calor

especificada num determinado tempo é necessário efetuar uma análise detalhada de

transferência de calor. As dimensões de caldeiras, aquecedores, refrigeradores e trocadores de

calor dependem não só da quantidade de calor a ser transmitida, mas também da taxa na qual

o calor é transferido sob determinadas condições. A operação bem-sucedida de componentes

de equipamentos como palhetas de turbinas ou paredes de câmaras de combustão depende da

possibilidade de resfriamento de certas peças metálicas por meio da remoção contínua de calor

de uma superfície a uma taxa rápida. Uma análise de transferência de calor também deve ser

efetuada no projeto de máquinas elétricas, transformadores e rolamentos, a fim de evitar

condições que causem superaquecimento e danos aos equipamentos. Os exemplos mostram

que quase todos os ramos da engenharia se defrontam com problemas de transferência de

calor, os quais não podem ser solucionados somente pelo raciocínio termodinâmico, exigindo

análise com base na ciência da transferência de calor.

Na transferência de calor, como em outros ramos da engenharia, a solução bem-

sucedida de um problema impõe algumas premissas e idealizações. É quase impossível

descrever com exatidão os fenômenos físicos e, para expressar um problema na forma de uma

equação que possa ser resolvida, são necessárias algumas aproximações.

Page 5: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 5

É importante ter em mente as premissas, idealizações e aproximações feitas no decorrer

de uma análise quando os resultados finais forem interpretados. Algumas vezes, informações

insuficientes sobre as propriedades físicas exigem a utilização de aproximações de engenharia

para solucionar um problema. Por exemplo, no projeto de peças de máquinas para operação

em temperaturas elevadas, pode ser necessário estimar o limite proporcional ou a resistência à

fadiga dos materiais a partir de dados em baixa temperatura. Para garantir a operação

satisfatória de uma peça em particular, o projetista deve aplicar um fator de segurança aos

resultados obtidos a partir da análise. Aproximações semelhantes também são necessárias nos

problemas de transferência de calor. Propriedades físicas como a condutividade térmica ou a

viscosidade variam com a temperatura, mas se forem selecionados valores médios adequados,

os cálculos podem ser consideravelmente simplificados sem a introdução de um erro apreciável

no resultado final. Quando o calor é transferido de um fluido para uma parede, como em uma

caldeira, forma-se uma incrustação com a operação contínua que reduz a taxa do fluxo de

calor. Para garantir a operação satisfatória durante um longo período de tempo, um fator de

segurança deve ser aplicado para levar em conta essa contingência.

Quando é necessário fazer uma suposição ou aproximação na solução de um problema,

o engenheiro deve confiar em sua criatividade e experiência anterior. Não existem guias

simples para solucionar problemas novos ou inexplorados, e uma suposição válida para um

problema pode não o ser para outro. A experiência tem demonstrado, entretanto, que o

primeiro requisito para fazer suposições ou aproximações de engenharia adequadas é a

compreensão física completa e perfeita do problema em questão. No campo da transferência

de calor, isso significa familiaridade não só com as leis e os mecanismos físicos do fluxo de

calor, mas também com os da mecânica dos fluidos, da física e da matemática.

A transferência de calor pode ser definida como a transmissão de energia de uma região

a outra resultante de uma diferença de temperatura entre elas. Como existem diferenças de

temperaturas em todo o universo, os fenômenos de fluxo de calor são tão universais quanto

aqueles associados às atrações gravitacionais. No entanto, ao contrário da gravidade, o fluxo

de calor não é governado por uma única relação, e sim por uma combinação de várias leis

independentes da física.

A literatura da transferência de calor geralmente reconhece três modos distintos de

transmissão de calor: condução, radiação e convecção. Estritamente falando, somente a

condução e a radiação devem ser classificadas como processos de transferência de calor, pois

somente esses dois mecanismos dependem da mera existência de uma diferença de

Page 6: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 6

temperatura para operar. A convecção não obedece estritamente à definição da transferência

de calor, porque sua operação também depende do transporte mecânico de massa. Como,

porém, a convecção também realiza a transmissão de energia de regiões de temperatura mais

alta para regiões de temperatura mais baixa, o termo "transferência de calor por convecção"

tornou-se aceito de forma generalizada.

Alguns casos de aplicação de transferência de calor:

- isolamento de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas condições

climáticas;

- quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter

o ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão;

- projeto e operação de geradores de vapor requer a compreensão da transferência de

calor que ocorre da queima de carvão, gás ou óleo para a água nos tubos;

- projeto e construção de um radiador para um motor de automóvel para mantê-lo “frio”

quando em operação envolve transferência de calor e massa;

- dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica;

- proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas;

- manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros

sistemas;

- condicionamento de ar para conforto térmico;

- manuseio e processamento de alimentos.

Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro

através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido à diferença de densidade. A

diferença de densidade provoca difusão de massa ou convecção natural de massa. Os

dispositivos mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção

forçada de massa. Exemplos onde ocorre transferência de massa:

- processos químicos;

- poluição do ar;

- combustão;

- processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos,

gelo seco (CO2 líquido).

Page 7: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 7

1.1 – SISTEMAS DE UNIDADES As dimensões fundamentais são quatro: tempo, comprimento, massa e temperatura.

Unidades são meios de expressar numericamente as dimensões. Apesar de ter sido adotado

internacionalmente o sistema métrico de unidades denominado sistema internacional (S.I.), o

sistema inglês e o sistema prático métrico ainda são amplamente utilizados em todo o mundo.

Na tabela a seguir estão as unidades fundamentais para os três sistemas citados:

SISTEMA TEMPO COMPRIMENTO MASSA TEMPERATURA S.I. segundo, s metro,m quilograma, kg Kelvin, K INGLÊS segundo, s pé,ft libra-massa, lb Farenheit, ºF MÉTRICO segundo, s metro,m quilograma, kg Celsius, ºC

As unidades derivadas mais importantes para a transferência de calor são obtidas por

meio de definições relacionadas a leis ou fenômenos físicos:

- Lei de Newton: Força é igual ao produto de massa por aceleração (F = m.a), então:

1 Newton (N) é a força que acelera a massa de 1 Kg a 1 m/s2

- Trabalho (Energia) tem as dimensões do produto da força pela distância ( = F.x),

então:

1 Joule (J) é a energia despendida por uma força de 1 N em 1 m

- Potência tem dimensão de trabalho na unidade de tempo (P = / t), então:

1 Watt (W) é a potência dissipada por uma força de 1 J em 1 s

Unidades derivadas dos sistemas de unidades mais comuns:

SISTEMA FORÇA, F ENERGIA, E POTÊNCIA, P

S.I. Newton, N Joule, J Watt, W

INGLÊS libra-força, lbf Btu Btu/h

MÉTRICO kilograma-força, kgf kcal kcal/h

As unidades mais usuais de energia (Btu e kcal) são baseadas em fenômenos térmicos,

e definidas como:

- Btu é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1lb de água

de 67,5 °F a 68,5 °F.

- kcal é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1kg de água

de 14,5 ºC a 15,5 ºC.

Page 8: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 8

1.2 – DEFINIÇÕES Temperatura: quantificação da energia térmica de um corpo. Tudo o que tem matéria

está associado a uma determinada temperatura. Quanto mais agitadas as partículas de um

corpo, maior será a sua temperatura.

Fluxo: se uma dada área A for atravessada por uma determinada quantidade de energia

térmica ΔE num certo intervalo de tempo t, a relação ΔE/ Δt é o fluxo de energia térmica por

essa área em uma unidade de tempo.

Taxa: Variação de uma propriedade na unidade de tempo. Calor: é o fluxo de energia térmica entre corpos ou partes de um mesmo corpo com

diferentes temperaturas.

Calor sensível: quando o calor recebido ou doado por uma substância é usado para

mudança de temperatura (cal/gºC).

Calor latente: quando o calor recebido ou doado por uma substância é usado para

mudança de estado físico (cal/g).

1.3 – MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor pode ser definida como a transferência de energia de uma

região para outra, como resultado de uma diferença de temperatura entre elas. Os mecanismos

são: Condução

dependem somente de uma T. Radiação Convecção depende de uma T e transporte de massa.

1.3.1 – CONDUÇÃO A condução pode ser definida como o processo pelo qual a energia é transferida de uma

região de alta temperatura para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido,

líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes em contato direto. Este mecanismo pode ser

visualizado como a transferência de energia de partículas mais energéticas para partículas

menos energéticas de uma substância devido a interações entre elas. Só pode ocorrer através

de um meio material, mas sem que haja movimento do próprio meio.

Page 9: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 9

A capacidade das substâncias para conduzir calor (condutividade) varia

consideravelmente. Como regra geral, os sólidos são melhores condutores que líquidos e

líquidos são melhores condutores que gases. Num extremo, metais são excelentes condutores

de calor e no outro extremo, o ar é um péssimo condutor de calor.

A figura a seguir ilustra a transferência de calor por condução através de uma parede

sólida submetida a uma diferença de temperatura entre suas faces.

1.3.2 – CONVECÇÃO

A convecção ocorre somente em líquidos e gases. Caracteriza-se pelo fato de que o

calor é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de convecção.

Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por consequência tende a

subir sob o efeito gravitacional, sendo substituído por fluido mais frio, o que gera naturalmente

correntes de convecção. Mas elas também podem ser produzidas artificialmente, com o auxílio

de bombas ou ventiladores.

A figura a seguir ilustra a transferência de calor por convecção quando um fluido escoa

sobre uma placa aquecida.

1.3.3 – RADIAÇÃO A radiação pode se definida como o processo pelo qual calor é transferido de uma

superfície em alta temperatura para uma superfície em temperatura mais baixa quando tais

superfícies estão separadas no espaço, ainda que exista vácuo entre elas. A energia assim

transferida é chamada radiação térmica e é feita sob a forma de ondas eletromagnéticas.

Page 10: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 10

O exemplo mais evidente deste mecanismo é o próprio calor que é recebido do Sol.

Neste caso, mesmo havendo vácuo entre a superfície do Sol e a superfície da Terra, a vida na

Terra depende desta energia recebida. Esta energia chega até nós na forma de ondas

eletromagnéticas. As ondas eletromagnéticas são comuns a muitos outros fenômenos: raio-X,

ondas de rádio e TV, microondas e outros tipos de radiações. As suas características são:

- Todos os corpos em temperatura acima do zero absoluto emitem continuamente

radiação térmica.

- As intensidades das emissões dependem somente da temperatura e da natureza da

superfície emitente.

- A radiação térmica viaja na velocidade da luz.

A figura a seguir ilustra a transferência de calor por radiação entre duas superfícies a

diferentes temperaturas.

1.4 – MECANISMOS COMBINADOS O calor normalmente é transferido simultaneamente por condução, convecção e

radiação. Cada tipo de transferência de calor está sujeito a diferentes leis e devem ser tratadas

separadamente. Mas a convecção não pode ser totalmente separada da condução porque o

calor deve passar por condução para o fluido em movimento que está em contato com a

superfície aquecida.

Na maioria das situações práticas ocorrem dois ou mais mecanismos de transferência de

calor atuando ao mesmo tempo. Nos problemas da engenharia, quando um dos mecanismos

domina quantitativamente, soluções aproximadas podem ser obtidas desprezando-se todos,

exceto o mecanismo dominante. Entretanto, deve ficar entendido que variações nas condições

do problema podem fazer com que um mecanismo desprezado se torne importante.

A garrafa térmica é um exemplo de um sistema onde ocorre ao mesmo tempo vários

mecanismo de transferência de calor. Neste caso, é possível ter a atuação conjunta dos

seguintes mecanismos esquematizados na figura a seguir:

Page 11: Trocadores de Calor

1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 11

1.5 – REGIMES DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR REGIME PERMANENTE: é a situação na qual não há variação de propriedades ao

longo do tempo. Seu oposto é chamado de regime transiente.

ESTADO OU REGIME UNIFORME: é a condição na qual as propriedades

termodinâmicas não variam ao longo da posição.

Na prática, como a experiência indica, todos os processos são transientes, isto é, variam

no tempo, e não são uniformes, isto é, variam com a localização. Entretanto, inúmeras vezes as

variações são muito pequenas e irrelevantes no tocante à engenharia, especialmente ao longo

das seções de entrada e de saída, que costumam ter pequenos diâmetros.

O conceito de regime de transferência de calor pode ser mais bem entendido através de

exemplos. Por isso será analisada a transferência de calor através da parede de uma estufa

qualquer. São consideradas duas situações: operação normal e desligamento ou religamento.

Page 12: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 12

2 – CONDUÇÃO

Condução: transmissão de calor sem transporte de matéria, devido à transferência de

energia cinética entre as partículas de um corpo ou entre corpos. Ocorre em qualquer direção e

é independente da gravidade. Ocorre nos sólidos ou fluidos confinados.

Como o calor se propaga de partícula para partícula, corpos mais densos, com maior

número de partícula por unidade de volume, especialmente partículas livres, são bons

condutores. Isto explica por que os metais são bons condutores. Pelo mesmo motivo, os

líquidos e gases não são bons condutores de calor.

Os materiais em que a condução térmica praticamente não ocorre são chamados

isolantes térmicos, por exemplo, a madeira e o isopor.

Na figura a seguir, é possível ver um recipiente fechado, onde a temperatura interna é T2

e a temperatura externa é T1. Sendo a temperatura interna maior que a externa, o calor passa,

espontaneamente, de dentro para fora do recipiente, por condução. A quantidade de calor que

atravessa as paredes do recipiente é diretamente proporcional à diferença entre as

temperaturas, à área e ao tempo de contato. A quantidade de calor transmitido, de molécula

para molécula, é inversamente proporcional à espessura (∆x) das paredes do recipiente.

2.1 – EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO Equação da transferência de calor por condução: Lei de Fourier.

A lei de Fourier é empírica, isto é, foi estabelecida a partir da observação de fenômenos

(evidências experimentais), em vez de ter sido obtida a partir dos princípios fundamentais. Por

esse motivo, a equação da taxa de calor pode ser vista como uma generalização baseada em

uma vasta evidência experimental.

Page 13: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 13

Condutividade térmica (k)

É uma propriedade física dos materiais que descreve a habilidade do material de

conduzir calor. Equivale a quantidade de calor que é transmitida através de uma espessura L,

em uma direção normal a superfície de área A, devido ao gradiente de temperatura ΔT, sob

condições de estado fixo.

Materiais que possuem uma alta condutividade térmica são resistores térmicos pobres,

ou seja, isolantes ruins. Por outro lado, materiais com pequena condutividade térmica possuem

grande resistência térmica, são bons isolantes.

Os valores numéricos da condutividade térmica variam em extensa faixa dependendo da

constituição química, estado físico e temperatura dos materiais. Com relação à temperatura,

em alguns materiais como o alumínio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura,

porém em outros, como alguns aços, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes

casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de

temperatura.

Page 14: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 14

A condução pode ser classificada pelo número de dimensões das coordenadas de que

depende a temperatura. Se esta é função de uma só coordenada, o problema é unidimensional,

e se é função de duas ou três, se diz que é um problema bi ou tridimensional, respectivamente.

Se a temperatura é função do tempo e da direção x em coordenadas retangulares, ou seja, T =

T(x,t), se diz que o problema é unidimensional e transitório.

Sabendo-se que o fluxo de calor é uma grandeza vetorial, é possível escrever uma forma

mais geral da equação do fluxo de condução (lei de Fourier) como a seguir:

zTk

yTj

xTikTkq "

Sendo um operador diferencial tridimensional e T(x,y,z) é o campo de temperatura

escalar. O meio no qual a condução ocorre é isotrópico. Em tal meio o valor da condutividade

térmica independe da direção dos eixos coordenados.

2.2 – TIPOS DE CONDIÇÕES DE CONTORNO

Para determinar a distribuição de temperatura em um meio, é necessário resolver a

forma apropriada da equação do calor. Para isso são necessárias condições de contorno,

conforme o caso a ser estudado.

dxdTkAqx Lei de Fourier

T = T(x)

1ª Lei da Termodinâmica (conservação da energia): Ėe +Ėg – Ės = 0 (válido em regime permanente)

Ėe = energia que entra no sistema num intervalo de tempo.

Ėg = energia gerada dentro do sistema num intervalo de tempo.

Ės = energia que sai do sistema por unidade de tempo.

Page 15: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 15

q’ = taxa de geração de calor por unidade de volume [W/m3]

Ėe = qx

Ėg = q’V = q’ (A Δx)

Ės = qx+Δx

0 xxx qxAqq

Dividindo a equação por Δx e rearranjando-a:

0)(

Aqx

qq xxx

Fazendo Δx0, tem-se:

0 Aqdxdqx

Usando a Lei de Fourier:

0d dTkA q Adx dx

0d dTk qdx dx

Equação da condução de calor, unidimensional, regime permanente.

A solução desta equação fornece T(x); isto é, a temperatura em cada coordenada x.

Com T(x) é possível se obter q’’x e qx.

Esta equação é válida para o sistema cartesiano de coordenadas; existem outras

equações para o sistema cilíndrico e esférico.

Condições de contorno A equação de calor unidimensional, no sistema de coordenadas cartesianas, sem

geração de calor e com condutividade térmica constante é:

02

2

dx

Td

Integrando- se uma vez:

12

2

cdxdTdx

dxdT

dxddx

dxTd

Integrando-se pela segunda vez:

Page 16: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 16

dxcdxdxdT

1

dxcdxTdxd

1)(

dxcdT 1

21 cxcT solução geral da equação (perfil linear)

Condições: - A e k constantes

- Sem geração de calor

- Parede plana

Importante: Se: q’ ≠ 0, ou

A = A(x), ou T não é linear com x

K = k(T)

As duas constantes, c1 e c2, são eliminadas aplicando-se duas condições de contorno.

Existem três tipos de condições de contorno: Dirichlet, Neumann e Robin.

Condição de Dirichlet: A temperatura é conhecida no contorno. Corresponde a uma situação na qual a

superfície é mantida a uma temperatura fixa.

Condição de Contorno de Dirichlet:

T(x=0) =T1

T(x=L) = T2

Voltando à solução geral:

T = c1x + c2

Em x = 0 T = T1

Page 17: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 17

T1 = c1.0 + c2

T1 = c2

Em x = L T = T2

T2 = c1.L + T1

C1= (T2 – T1) / L

Levando c1 e c2 na solução geral:

112 TxL

TTT

T varia linearmente com x, entre T1 e T2.

Condição de Neumann: Esta condição corresponde à existência de um fluxo de calor fixo ou constante na

superfície.

Condição de Contorno:

T(x = 0) = T1 (cond. de Dirichlet)

2"qdxdTk

Lx

(cond. de Neumann)

voltando à solução geral:

21 cxcT

portanto em x = L, temos:

21 "qkc

logo:

Page 18: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 18

kqc 2

1"

na solução geral:

T(x = 0) = T1

T1 = c1.0 + c2 c2 = T1

Então:

12" Txk

qT

linear com x

Condição de Robin: Esta condição de contorno corresponde à existência de aquecimento (ou resfriamento)

por convecção na superfície, e a sua representação matemática é obtida através do balanço de

energia na superfície.

condições de contorno:

1( 0)T x T

2" ( )x L

dTk q h T Tdx

da solução geral:

1 2T c x c

portanto:

Page 19: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 19

2 12( )T Tk h T T

L

Assim, 2 11

T TT x TL

,

11 .)( Tx

hLkTThT

Exemplo 2.1) A condução em regime estacionário unidimensional com geração interna

de calor uniforme ocorre em uma parede plana de 50 mm de espessura e condutividade

térmica constante igual a 5 W/m.K. Para essas condições, a distribuição de temperatura é dada

por 2T x a bx cx . A superfície em x = 0 está a uma temperatura de 00 120T T C e

troca calor por convecção com um fluido a 20T C e h = 500 W/m2.K. A superfície em x = L é

isolada.

a) Aplicando o balanço geral de energia na parede, calcule a taxa de geração de energia

interna.

b) Determine os coeficientes a, b e c aplicando as condições de contorno para a

distribuição de temperatura dada.

c) Considere as condições para as quais o coeficiente de convecção é reduzido à

metade do seu valor, mas a taxa de geração de energia interna permanece constante.

Determine os novos valores de a, b e c.

2.3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE No tratamento unidimensional a temperatura é função de apenas uma coordenada. Este

tipo de tratamento pode ser aplicado em diversos sistemas de engenharia. Por exemplo, no

caso da transferência de calor em um sistema que consiste de um fluido que escoa ao longo de

um tubo, a temperatura da parede do tubo pode ser considerada função apenas do raio do

tubo. Esta suposição é válida se o fluido escoa uniformemente ao longo de toda a superfície

interna e se o tubo não for longo o suficiente para que ocorram grandes variações de

temperatura do fluido devido à transferência de calor.

Page 20: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 20

2.3.1 – CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA Para a condução unidimensional em uma parede plana (submetida a uma diferença de

temperatura), a temperatura é função apenas da coordenada x e o calor é transferido

exclusivamente nessa direção. Um bom exemplo disto é a transferência de calor através da

parede de um forno, que tem espessura L, área transversal A e foi construído com material de

condutividade térmica k. Do lado de dentro a fonte de calor mantém a temperatura na superfície

interna da parede constante e igual a T1 e externamente o meio ambiente faz com que a

superfície externa permaneça igual a T2.

Aplicado a equação de Fourier, tem-se:

. . dTq k Adx

Fazendo a separação de variáveis, é obtido:

. . .q dx k A dT

Na figura anterior é visto que na face interna (x = 0) a temperatura é T1 e na face externa

(x = L) a temperatura é T2. Para a transferência em regime permanente o calor transferido não

Page 21: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 21

varia com o tempo. Como a área transversal da parede é uniforme e a condutividade k é um

valor médio, é possível integrar a equação anterior, entre os limites que podem ser verificados

na figura.

2

10. . .

L T

Tq dx k A dT

2 1 2 1. 0 . . . . .q L k A T T q L k A T T

Considerando que (T2 – T1) é a diferença de temperatura entre as faces da parede, a

taxa de calor a que atravessa a parede plana por condução é:

. .k Aq TL

Exemplo 2.2) As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20 ºC,

enquanto que a temperatura na superfície externa é -20 ºC. As paredes medem 25 cm de

espessura , e foram construídas com tijolos de condutividade térmica de 0,6 kcal/h m ºC.

a) Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superfície por hora.

b) Sabendo-se que a área total do edifício é 1000 m2 e que o poder calorífico do carvão

é de 5500 kcal/Kg, determinar a quantidade de carvão a ser utilizada em um sistema de

aquecimento durante um período de 10 h. Supor o rendimento do sistema de aquecimento igual

a 50%.

2.3.2 – ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Isto

significa que a equação de descrição de um sistema pode ser transformada em uma equação

para outro sistema pela simples troca dos símbolos das variáveis. Por exemplo, em uma

parede plana, onde a distribuição de temperatura é linear T(x), sob condições de regime

estacionário, e com área uniforme, a taxa de calor será dada por:

Page 22: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 22

2

10

TL

x xT

dTq kA q dx kAdTdx

)TT(kA)0L(q 12x

kAL

T)TT(L

kAq 21x

Analogia com a Lei de Ohm para um circuito elétrico: IRV

kAL

Tqx

RVI

O denominador e o numerador da equação podem ser entendidos assim:

(T): a diferença entre a temperatura da face quente e da face fria. Consiste no potencial

que causa a transferência de calor.

(L/k.A): é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à

transferência de calor.

Portanto, a taxa de calor através da parede pode ser expressa da seguinte forma:

é o potencial térmico e onde,

é a resistência térmica da paredeTTq

RR

Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante a usada em

circuitos elétricos, quando a resistência térmica de uma parede ou associações de paredes são

representadas. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial T e

atravessada por um fluxo de calor q , pode ser representada assim:

Exemplo 2.3) Um anúncio de TV veiculado por um conhecido fabricante de isolantes

térmicos afirma que não é a espessura do material isolante que conta, mas sim o seu valor de

R. O anúncio mostra que, para obter um valo de R igual a 19, você precisa de uma camada de

18 pés de rocha, 15 polegadas de madeira, ou então apenas 6 polegadas do material

Page 23: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 23

anunciado. Esse anúncio é tecnicamente razoável? Dados: Condutividade térmica dos

materiais a 300K: rocha (2,15 W/mK); madeira (0,12 W/mK); material anunciado (0,048 W/mK).

2.3.3 – ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE

É considerado um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma

diferença de temperatura, sendo as duas constantes. Assim, haverá a transferência de um fluxo

de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, é

analisada a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de

uma camada interna de refratário (condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermediária

de isolante térmico (condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de aço

(condutividade k3 e espessura L3). A figura a seguir ilustra o perfil de temperatura ao longo da

espessura da parede composta:

A taxa de calor que atravessa a parede composta pode ser obtida em cada uma das

paredes planas individualmente:

3 31 1 2 21 2 2 3 3 4

1 2 3

.. ..( ); .( ); .( )k Ak A k Aq T T q T T q T TL L L

Colocando em evidência as diferenças de temperatura em cada uma das equações e

somando membro a membro, é obtida a seguinte equação:

Page 24: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 24

31 21 4

1 1 2 2 3 3

.. .. . .

q Lq L q LT Tk A k A k A

Colocando em evidência a taxa de calor q e substituindo os valores das resistências

térmicas em cada parede na equação, é obtida a taxa de calor pela parede do forno:

1 4 1 2 3.( )T T q R R R

1 4

1 2 3

T TqR R R

Portanto, para o caso geral em que se tem uma associação de n paredes planas

associadas em série a taxa de calor é dada por:

1 2

1

,n

totalt i n

it

Tq onde R R R R R

R

Exemplo 2.4) Uma parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo

refratário (1,2 kcal/h.m.ºC) e 0,13 m de tijolo isolante (0,15 kcal/h.m.ºC). A temperatura da

superfície interna do refratário é 1675 ºC e a temperatura da superfície externa do isolante é

145 ºC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule:

a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede;

b) a temperatura da interface refratário/isolante.

11 2

1 1

22 3

2 2

33 4

3 3

31 21 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3

.( )..( )..( ).

.. .. . .

q LT Tk Aq LT Tk Aq LT Tk A

q Lq L q LT T T T T Tk A k A k A

Page 25: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 25

2.3.4 – ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM PARALELO

É considerado um sistema de paredes planas associadas em paralelo, submetidas a

uma diferença de temperatura, sendo as duas constantes. Assim, haverá a transferência de um

fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, é

analisada a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de

uma metade inferior de refratário especial (condutividade k2) e uma metade superior de

refratário comum (condutividade k1), como mostra a figura a seguir. São feitas as seguintes

considerações:

- Todas as paredes estão sujeitas a mesma diferença de temperatura.

- As paredes podem ser de materiais e/ou dimensões diferentes.

- O fluxo de calor total é a soma dos fluxos por cada parede individual.

A taxa de calor que atravessa a parede composta pode ser obtida em cada uma das

paredes planas individualmente:

1 1 2 21 1 2 2 1 2

1 2

. ..( ); .( )k A k Aq T T q T TL L

A taxa de calor total é igual a soma das taxas:

1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

. . . ..( ) .( ) .( )k A k A k A k Aq q q T T T T T TL L L L

A partir da definição de resistência térmica para parede plana, tem-se que:

R Lk A R

k AL

.

.1

Substituindo uma equação na outra, é obtido:

Page 26: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 26

1 21 2

1 2 1 2

1 1 ( ) 1 1 1.( ) onde, t t

T Tq T TR R R R R R

Portanto, para o caso geral em que se tem uma associação de n paredes planas

associadas em paralelo a taxa de calor é dado por:

1 1 2

1 1 1 1 1,n

total

it t i n

Tq onde

R R R R R R

Exemplo 2.5) Calcular o fluxo de calor na parede composta abaixo:

onde,

material A b c d e f g k (Btu/h.ft.ºF) 100 40 10 60 30 40 20

2.4 – CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE SISTEMAS RADIAIS É considerado um cilindro vazado submetido a uma diferença de temperatura entre a

superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na figura a seguir. Se a

temperatura da superfície interna for constante e igual a T1, enquanto que a temperatura da

superfície externa se mantém constante e igual a T2, tem-se uma transferência de calor por

condução no regime permanente. Como exemplo é analisada a transferência de calor em um

tubo de comprimento L que conduz um fluido em alta temperatura.

Page 27: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 27

A taxa de calor que atravessa a parede cilíndrica pode ser obtido através da equação de

Fourier, ou seja:

. . onde é o gradiente de temperatura na direção radialdT dTq k Adr dr

Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio:

LrA ...2

Juntando as duas equações apresentadas é obtida a seguinte equação:

drdTLrkq ....2.

.

Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e T2 em r2, chega-se a:

2 2

1 1

r

r. .2. . .

T

T

drq k L dTr

2 2

1 1

.2. . . .r T

r T

drq k L dTr

2 2

1 1

. .2 . . .lnr T

r Tq k Lr T

2 1 2 1. ln ln .2. . .q r r k L T T

Aplicando-se propriedades dos logaritmos, é obtida a equação:

21 2

1

. ln .2. . .rq k L T Tr

A taxa de calor através de uma parede cilíndrica será então:

Page 28: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 28

1 22

1

.2. . .ln

k Lq T Trr

Resistência térmica na parede cilíndrica: O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede cilíndrica. Devido

à analogia com a eletricidade, uma taxa de calor na parede cilíndrica também pode ser

representada como:

onde, é o potencial térmico; e é a resistência térmica da paredeTq T RR

Então para a parede cilíndrica, é obtido:

2

1

.2. . .ln

k L Tq TRr

r

Eliminado o ∆T na equação, é obtida a resistência térmica de uma parede cilíndrica:

2

1ln

.2. .

rr

Rk L

Para o caso geral em que se tem uma associação de paredes n cilíndricas associadas

em paralelo, por analogia com paredes planas, a taxa de calor é dada por:

1 2

1 onde,

ntotal

t i nit

Tq R R R R R

R

Exemplo 2.6) Um tubo de aço (22 Btu/h.ft.ºF) de 1/2" de espessura e 10" de diâmetro

externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de materiais

isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura (0,051 Btu/h.ft.ºF) com espessura de 1" e

a segunda com isolante à base de magnésia (0,032 Btu/h.ft.ºF) também com espessura de 1".

Sabendo que estando a temperatura da superfície interna do tubo a 1000 ºF a temperatura da

superfície externa do segundo isolante fica em 32 ºF, pede-se :

a) Determine a taxa de calor por unidade de comprimento do tubo.

b) Determine a temperatura da interface entre os dois isolantes.

Page 29: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 29

2.5 – CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE

Em muitos casos práticos, o tratamento unidimensional de condução de calor representa

uma simplificação inaceitável, e torna-se necessário avaliar os efeitos multidimensionais.

Existem vários métodos de análise de sistemas bidimensionais em condições de regime

permanente. Os procedimentos variam de soluções exatas, que podem ser obtidas de

condições idealizadas, aos métodos aproximados de complexidade e precisão variáveis. Existe

o método gráfico, que obtêm uma estimativa das taxas de transferência de calor de maneira

rápida, porém bastante aproximada. Com auxílio de um computador, métodos numéricos

(diferenças finitas ou elementos finitos) podem ser utilizados para prever com precisão

temperaturas no interior de um meio, bem como as taxas de calor em suas vizinhanças.

2.5.1 – O MÉTODO GRÁFICO

O método gráfico pode ser empregado na solução de problemas bidimensionais

envolvendo fronteiras adiabáticas e isotérmicas. Embora o procedimento tenha sido superado

por soluções computadorizadas baseadas em procedimentos numéricos, ele pode ser utilizado

para se obter uma primeira estimativa da distribuição de temperatura e para se desenvolver a

compreensão física da natureza do campo de temperatura e do fluxo térmico em um sistema.

A lógica do método gráfico vem do fato de que linhas de temperatura constante devem

ser normais às linhas que indicam a direção do fluxo térmico (conforme figura a seguir). O

objetivo do método gráfico é construir sistematicamente uma rede de isotermas e linhas de

fluxo térmico. Essa rede, comumente denominada “representação gráfica do fluxo”, é utilizada

para inferir a distribuição de temperaturas e o fluxo térmico através do sistema.

Considere um canal quadrado bidimensional cujas superfícies interna e externa são

mantidas a T1 e T2, respectivamente. Uma seção reta do canal é mostrada na figura (a). Um

procedimento de construção da representação gráfica, parcialmente mostrada na figura (b), é

apresentado a seguir.

Page 30: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 30

Condução de calor bidimensional em um canal quadrado de comprimento L. (a) Planos de simetria. (b)

Representação gráfica do fluxo. (c) Quadrado curvilíneo típico.

1) O primeiro passo é identificar todas as linhas de simetria relevantes. Tais linhas são

determinadas pelas condições térmicas, assim como pelas geométricas. Para o canal quadrado

da figura (a), tais linhas incluem as linhas verticais, horizontais e diagonais. Portanto, em tal

sistema é possível considerar apenas um oitavo da configuração, conforme mostrado na figura

(b).

2) Linhas de simetria são adiabáticas no sentido de que não pode existir transferência de

calor na direção perpendicular a essas linhas. Elas são, portanto linhas de fluxo térmico e

devem ser tratadas como tal.

3) Depois de todas as linhas de temperaturas constantes conhecidas terem sido

identificadas, deve-se tentar esboçar as linhas de temperaturas constantes no interior do

sistema.

4) As linhas de fluxo de calor devem então ser desenhadas visando à criação de uma

rede de quadrados curvilíneos. Isto é feito tendo as linhas de fluxo de calor e as isotermas

interceptando-se em ângulos retos e com a exigência de que todos os lados de cada quadrado

tenham aproximadamente o mesmo comprimento. Como é quase impossível satisfazer

completamente essa segunda exigência, deve-se tentar alcançar a equivalência entre as

somas dos lados opostos de cada quadrado, conforme mostrado na figura (c). Atribuindo à

Page 31: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 31

coordenada x a direção do fluxo de calor e à coordenada y a direção normal ao fluxo, a

exigência pode ser representada como:

2 2ab cd ac bdx y

Na primeira tentativa, é difícil criar uma rede de quadrados curvilíneos satisfatória, de

forma que se torna necessário realizar várias iterações. Esse processo de tentativa e erro

envolve ajustes das isotermas e adiabáticas até que quadrados curvilíneos satisfatórios sejam

obtidos para a maior parte da rede. Uma vez que a representação gráfica do fluxo tenha sido

obtida, ela pode ser utilizada para se deduzir a distribuição de temperatura no meio. A partir de

uma análise, a taxa de transferência de calor pode então ser obtida.

Determinação da taxa de transferência de calor A taxa na qual a energia é transferida através de uma faixa, que é a região entre

adiabáticas adjacentes, é designada qi. Se a representação gráfica do fluxo for construída

apropriadamente, o valor de qi será aproximadamente o mesmo para todas as faixas, e a taxa

total de transferência de calor pode ser representada como:

1

M

i ii

q q Mq

Onde M é o número de faixas associadas à representação gráfica. A partir do quadrado

curvilíneo da figura (c) e da aplicação da lei de Fourier, qi pode ser representado como:

.j ji i

T Tq kA k y l

x x

Onde jT é a diferença de temperatura entre sucessivas isotermas, Ai é a área de

transferência de calor por condução para a faixa e l é o comprimento do canal normal à

pagina. Contudo, uma vez que o incremento de temperatura é aproximadamente o mesmo para

doas as isotermas adjacentes, a diferença de temperatura global entre os limites, 1 2T , pode

ser representada como:

1 21

N

j jj

T T N T

Page 32: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 32

Onde N é o número de incrementos de temperatura. Combinando as três equações e

verificando que x y para quadrados curvilíneos, é obtido:

1 2Mlq k TN

A razão do número de faixas de fluxo de calor e o número de incrementos de

temperatura (o valor de M/N) podem ser obtidos a partir do gráfico. Lembre que a especificação

de N é baseada no passo 3 do procedimento anterior, e o valor, que é um inteiro, pode ser feito

maior ou menor dependendo da precisão desejada. O valor de M não é necessariamente um

inteiro, uma vez que uma faixa fracionada pode ser necessária para chegar a uma rede

satisfatória de quadrados curvilíneos. Para a rede da figura (b), N = 6 e M = 5. É claro que

conforme a rede, ou a malha, de quadrados curvilíneos se torna mais refinada, N e M

aumentam e a estimativa M/N se torna mais precisa.

O fator de forma da condução A taxa de transferência de calor pode ser expressa como:

1 2q Sk T

Onde S é o fator de forma de um sistema bidimensional, sendo:

MlSN

A resistência de condução bidimensional pode ser representada como:

, (2 )1

t cond DRSk

Fatores de forma têm sido obtidos para inúmeros sistemas bidimensionais, e os

resultados encontram-se na literatura.

No caso apresentado, presume-se que a condução bidimensional ocorra entre contornos

que são mantidos a temperaturas uniformes, com 1 2 1 2T T T .

Page 33: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 33

Page 34: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 34

Exemplo 2.7) Um orifício de diâmetro 0,25 m é perfurado através do centro de um bloco

sólido de seção quadrada com 1 m de lado. O orifício é perfurado ao longo do comprimento,

2m , do bloco, que apresenta condutividade térmica de 150 W/mK. Um fluido aquecido

passando através do orifício mantém a temperatura da superfície interna a 75 ºC, enquanto a

superfície externa do bloco é mantida a 25 ºC. Determine o fator de forma para o sistema e a

taxa de transferência de calor através do bloco.

2.6 – CONDUÇÃO TRANSIENTE

Até aqui, foi tratada a condução de calor somente no estado estacionário. Entretanto,

após o início do processo de transferência de calor, antes que as condições do estado

estacionário sejam atingidas, transcorrerá certo tempo. Durante esse período, chamado

transitório, a temperatura e a energia interna variam. A análise do fluxo de calor em estado

Page 35: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 35

transitório apresenta grande importância prática nos sistemas industriais de aquecimento e

resfriamento.

Além do fluxo de calor em estado transitório, quando o sistema passa de um estado

estacionário a outro existem problemas de engenharia envolvendo variações periódicas no

fluxo e na temperatura como, por exemplo, o fluxo de calor entre os períodos diurno e noturno

num edifício, além do fluxo de calor em motor de combustão interna. Alguns problemas podem

ser simplificados pela suposição de que a temperatura é somente uma função do tempo e é

uniforme em todo o sistema a qualquer momento e o método de análise é apresentado a

seguir.

2.6.1 – SISTEMAS COM RESISTÊNCIA INTERNA DESPREZÍVEL (SISTEMAS CONCENTRADOS)

Embora não exista material na natureza que apresente condutividade térmica infinita,

muitos problemas de fluxo de calor transitório podem ser resolvidos a partir da suposição de

que a resistência condutiva interna do sistema é tão pequena que a temperatura no seu interior

é uniforme em qualquer instante. Esta simplificação é válida quando a resistência térmica

externa entre a superfície do sistema e o meio à sua volta é tão grande, quando comparada à

interna, que ela controla o processo de transferência de calor.

O número de Biot (Bi) é uma medida da importância relativa da resistência térmica

dentro de um corpo sólido:

int 0,1ernai i

externa

R hLB B concentradosR k

Onde:

h é o coeficiente de transferência de calor médio (constante).

Page 36: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 36

L é a dimensão do comprimento significativo (volume do corpo / área superficial do

corpo).

K é a condutividade térmica do corpo.

Observação: Por conveniência, é costume definir o comprimento característico como a

razão entre o volume do sólido e a área superficial. Tal definição facilita o cálculo de L para

sólidos de formas complicadas e reduz para a metade da espessura para uma parede plana,

para 2r para um cilindro longo e 3

r para uma esfera.

Considere o resfriamento de um corpo retirado de um forno, em um banho, onde:

0T é a temperatura do corpo ao sair do forno.

T é a temperatura do banho (constante).

T é a temperatura média do corpo.

(t = 0) é o tempo em que o resfriamento começa.

Fazendo um balanço de energia para o corpo em um intervalo de tempo dt,

considerando a hipótese de que T é uniforme em qualquer instante:

. . . .m m V dE V c dTV

. . . sdTV c h A T Tdt

Onde:

= massa específica do corpo [kg/m3].

V = volume do corpo [m3].

c = calor específico do corpo [J/kg.K].

h é o coeficiente de transferência de calor médio (constante).

sA = área superficial [m2].

dT = variação de temperatura [K] durante o intervalo de tempo dt [s].

Page 37: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 37

.. .

sd T T h AdT dtT T T T V c

0

.. .

0 00

. .ln. . . .

sh AT t tc Vs s

T

d T T h A h AT T T Tdt t eT T V c T T V c T T

2

..i o

hL t kB Fk L c

2 20

. .. . .. . .

i oB Fi o

hL t hL k t h t T TB F ek L k c L c L T T

Exemplo 2.8) No processo de produção de lâmpadas convencionais de bulbo, há

necessidade de resfriamento de 400 ºC até 45 ºC, em 11 segundos. O resfriamento é

alcançado por exposição direta ao ar cuja temperatura média pode ser estimada em 28 ºC.

Admita que:

I) A lâmpada tenha formato esférico e parede fina.

II) O volume da quantidade de vidro componente da lâmpada possa ser estimado como

a área superficial da esfera multiplicada pela espessura da parede da lâmpada.

III) O sistema tenha resistência interna desprezível.

IV) O calor específico do vidro é 780 J/kg.K; a condutividade térmica do vidro é de 1,4

W/mK; a massa específica do vidro é de 2600 kg/m3.

V) O raio externo da lâmpada é 5 cm e a espessura do vidro é 0,2 mm.

Determine:

a) O coeficiente de transmissão de calor por convecção nesse processo.

b) Qual deveria ser a espessura do vidro para que a hipótese de sistema com resistência

interna desprezível não fosse verdadeira?

2.7 – EXERCÍCIOS

Exercício 2.1) Algumas seções de oleoduto do Alasca encontram-se acima do solo e

são sustentadas por meio de suportes verticais de aço (25 W/m.K), que possuem comprimento

Page 38: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 38

de 1 m e área da seção reta de 0,005 m2. Em condições normais de operação, a variação de

temperatura ao longo do comprimento do suporte de aço é dada pela seguinte expressão: 2100 150 10T x x , em que T e x possuem unidade de ºC e metros, respectivamente.

Variações de temperatura na seção reta do suporte de aço são desprezíveis. Avalie a

temperatura e a taxa de calor por condução na junção suporte-solo (x = 0) e na interface

suporte-óleo (x = 1 m). Explique as diferenças nas taxas de calor. Resposta: T(0) = 100 ºC; T(L) = - 40 ºC; qx(0) = 18,75 W; qx(L) = 16,25W.

Exercício 2.2) A distribuição de temperatura através de uma parede de 0,3 m de

espessura em um dado instante de tempo é dada por 2T x a bx cx , em que T está em

graus Celsius e x em metros, a = 200 ºC, b = - 200 ºC/m e c = 30 ºC/m2. A condutividade

térmica da parede é 1 W/m.K.

a) Determine a taxa de transferência de calor que entra e sai da parede e a taxa de

variação da energia armazenada no interior da parede por unidade de área armazenada.

Resposta: 200 W/m2 ; 182 W/m2 ; 18 W/m2 b) Se a superfície fria está exposta a um fluido a 100 ºC, qual o coeficiente de

convecção? Resposta: 4,3 W/m2K

Exercício 2.3) Condução unidimensional, em regime estacionário e sem geração interna

de calor, está ocorrendo em uma parede plana com condutividade térmica constante.

a) É possível a existência da distribuição de temperatura mostrada no gráfico? Explique

sucintamente o seu raciocínio. Resposta: A distribuição de temperatura não é possível. b) Com a temperatura em x = 0 e a temperatura do fluido fixada em T(0) = 0 ºC e

20T C , respectivamente, calcule a temperatura em x = L, com h = 30 W/m2.K. Resposta:

10,9 ºC

Page 39: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 39

Exercício 2.4) Uma parede de concreto, com área superficial de 20 m2 e espessura 0,3

m, separa uma sala com ar condicionado do ar ambiente. A temperatura interna da parede é

mantida a 25 ºC, a condutividade térmica do concreto é 1 W/m.K. Determine a perda de calor

através da parede externa se for inverno e a temperatura ambiente estiver a – 15 ºC.

Resposta: 2667 W; 133,3 W/m2

Exercício 2.5) Um bloco de concreto de uma estrutura mede 11 m de comprimento, 8 m

de largura e 0,20 m de espessura. Durante o inverno, as temperaturas nominais são 17 ºC e 10

ºC nas superfícies superior e inferior, respectivamente. Se o concreto tem condutividade

térmica de 1,4 W/mK, qual a taxa de perda de calor através do bloco? Resposta: 4312 W

Exercício 2.6) O comprimento de um freezer consiste em uma cavidade cúbica com 2 m

de lado. Considere o fundo como sendo perfeitamente isolado. Qual a espessura mínima de

uma espuma isolante de poliestireno (0,030 W/mK) que deve ser aplicada na tampa e nas

paredes para garantir que a carga de calor que entra no freezer seja menor do que 500 W,

quando as superfícies interna e externa encontram-se a – 10 e 35 ºC? Resposta: 0,054 m

Exercício 2.7) Qual a espessura necessária para uma parede de alvenaria com

condutividade térmica 0,75 W/mK se a taxa de calor deve ser 80% da taxa de calor através de

uma estrutura composta cuja condutividade térmica é 0,25 W/mK e a espessura 100 mm? As

duas paredes estão sujeitas à mesma diferença de temperaturas em suas superfícies.

Resposta: 375 mm

Exercício 2.8) Considere condução de calor unidimensional, em regime estacionário,

através do sólido de forma simétrica mostrado na figura.

Supondo que não haja geração interna de calor, desenvolva uma expressão para a

condutividade térmica k(x) para as seguintes condições: 1A x x , 3300 1 2T x x x e

Page 40: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 40

q = 6000 W, onde A está em metros quadrados, T em kelvin e x em metros. Resposta:

2

201 2 3

kx x

Exercício 2.9) A transferência unidimensional de calor por condução em regime

permanente sem geração interna de calor ocorre em uma parede plana. A condutividade

térmica do material é 25 W/mK, enquanto a espessura da parede é de 0,5 m. Determine as

grandezas desconhecidas para cada caso mostrado na tabela a seguir.

Caso T1 T2 dT/dx [K/m] q [W/m2] 1 400 K 300 K 2 100 ºC - 250 3 80 ºC + 200 4 - 5 ºC 4000 5 30 ºC - 3000

Resposta:

Caso T1 T2 dT/dx [K/m] q [W/m2] 1 200 - 5000 2 225 ºC 6250 3 - 20 ºC - 5000 4 - 85 ºC - 160 5 - 30 ºC 120

Exercício 2.10) Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m

de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 ºC. As paredes da sala, de 25 cm de

espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.ºC e a área das

janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar até a 40

ºC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que estão bem

isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador (em HP). Dado: 1 HP =

641,2 Kcal/h. Resposta: 2 HP

Exercício 2.11) Uma camada de material refratário (1,5 kcal/h m ºC) de 50 mm de

espessura está localizada entre duas chapas de aço (45 kcal/h m ºC) de 6,3 mm de espessura.

As faces da camada refratária adjacentes às placas são rugosas de modo que apenas 30 % de

área total está em contato com o aço. Os espaços vazios são ocupados por ar (0,013 kcal/h m

ºC) e a espessura média da rugosidade de 0,8 mm. Considerando que as temperaturas das

Page 41: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 41

superfícies externas da placa de aço são 430 ºC e 90 ºC, respectivamente; calcule o fluxo de

calor que se estabelece na parede composta. Na rugosidade, o ar está parado (considerar

apenas a condução). Resposta: 9418 kcal/h

Exercício 2.12) A parede composta de um forno consiste em três materiais, dois dos

quais com condutividade térmicas conhecidas, 20 /Ak W mk e 50 /Ck W mk e espessuras

dadas, LA = 0,30 m e LC = 0,15 m. O terceiro material, B, que fica entre A e C, é de espessura

conhecida, LB = 0,15 m, mas condutividade térmica, kB, desconhecida. Em condições de

operação em regime permanente, medições revelam uma temperatura da superfície externa

Ts,e = 20 ºC, da superfície interna Ts,i = 600 ºC e do forno T∞ = 800 ºC. O coeficiente de

convecção vale 25 W/m2K. Qual o valor de kB? Resposta: 1,53 W/mK

Exercício 2.13) Duas placas de aço inoxidável (16,6 W/mK) de 10 mm de espessura

estão sujeitas a uma pressão de contato de 1 bar (sendo a resistência de contato de 15x10-4

m2K/W), sob vácuo, no qual há uma queda global de temperatura através das placas de 100

ºC. Qual o fluxo de calor através das placas? Qual a queda de temperatura através do plano de

contato? Resposta: 3,70x104 W/m2; 55,6 ºC

Exercício 2.14) Um tipo comercial de freezer cúbico com 3 m de lado tem uma parede

composta por uma placa exterior de aço carbono (64 W/mK) com 6,35 mm de espessura, uma

camada intermediária de isolamento de cortiça (0,039 W/mK) com 100 mm de espessura e uma

placa interna de liga de alumínio (2024) (173 W/mK) com 6,35 mm de espessura. Interfaces

adesivas entre as lâminas metálicas e o isolamento são, cada uma, caracterizadas por uma

resistência de contato de 2,5x10-4 m2K/W. Qual a carga de resfriamento, em regime

estacionário, deve ser mantida pelo refrigerador em condições nas quais as temperaturas

interna e externa são 22 ºC e – 6 ºC, respectivamente? Resposta: 590 W

Page 42: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 42

Exercício 2.15) Uma tubulação de vapor de 0,12 m de diâmetro externo é isolada com

uma camada de silicato de cálcio (0,089 W/mK). Se a espessura do isolamento tem 20 mm e

suas superfícies interna e externa são mantidas a Ts,1 = 800 K e Ts,2 = 490 K, respectivamente,

qual é a perda de calor por unidade de comprimento da tubulação? Resposta: 603 W/m

Exercício 2.16) Um tubo de parede grossa de aço inoxidável (19 W/mºC) com 2 cm de

diâmetro interno e 4 cm de diâmetro externo é coberto com uma camada de 3 cm de

isolamento de amianto (0,2 W/mºC). Se a temperatura da parede interna do tubo é mantida a

600 ºC e a superfície externa do isolamento a 100 ºC, calcule a perda de calor por metro de

comprimento. Resposta: 680,45 W/m Exercício 2.17) Duas tubulações paralelas e afastadas de 0,5 m são enterradas no solo

com uma condutividade térmica de 0,5 W/mK. Os diâmetros externos dos tubos são 100 e 75

mm, e as temperaturas das superfícies são 175 e 5 ºC, respectivamente. Estime a taxa de

transferência de calor por unidade de comprimento entra as duas tubulações. Resposta: 110 W/m.

Exercício 2.18) Um tubo de 50 mm de diâmetro com temperatura superficial de 85 ºC

está imerso no plano médio de uma placa de concreto (1,4 W/mK) de 0,1 m de espessura e

temperaturas nas faces superior e inferior mantidas a 20 ºC. Utilizando as relações apropriadas

tabeladas para essa configuração, encontre o fator de forma. Determine a taxa de transferência

de calor por unidade de comprimento do tubo. Resposta: 6,72 L; 612 W/m. Exercício 2.19) Esferas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas através do

aquecimento a 1150 K e então resfriadas lentamente até 400 K no ar ambiente que tem uma

temperatura de 325 K e coeficiente de convecção de 20 W/m2.K. Considerando as

propriedades do aço como k = 40 W/m.K, ρ = 7800 kg/m3 e c = 600 J/kg.K, estime o tempo

necessário para o processo de resfriamento. Resposta: 1122 s

Exercício 2.20) Eixos de aço carbono de 0,1 m de diâmetro são submetidos a

tratamento térmico em um forno a gás cujos gases estão a 1200 K e fornecem um coeficiente

de convecção de 100 W/m2.K. Se os eixos entram no forno a 300 K, quanto tempo devem

Page 43: Trocadores de Calor

2 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO 43

permanecer no forno para atingirem a temperatura de 800 K? Dados do aço carbono:

37832 Kgm

, 51, 2 WkmK

, 541.

JcKg K

, 2

51, 21 10 ms

. Resposta: 859 s

Page 44: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 44

3 – CONVECÇÃO

Até aqui foi considerada a transferência de calor por condução nos sólidos, nos quais

não há movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise,

simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de

calor.

Convecção: transferência de calor com transporte de matéria, devido a uma diferença de

densidade e à ação da gravidade. Assim, ela só se processa em meios fluidos, isto é, líquidos e

gases. A convecção pode ser:

– Natural ou Livre:

– Forçada:

Por exemplo, quando um líquido é aquecido em uma chama, as camadas inferiores, ao

se aquecerem, ficam menos densas e sobem, ao mesmo tempo em que, as camadas

superiores mais frias e densas, descem por ação da gravidade. Assim, formam-se as correntes

de convecção, fazendo com que as partes quentes se misturem continuamente com as partes

frias, até que o líquido fique todo aquecido por igual. Da mesma forma, acontece a convecção

nos gases.

Resfriar uma placa por exposição ao ar (espontaneamente).

O calor fluirá por condução da placa para as partículas adjacentes de fluido. A energia

assim transmitida servirá para aumentar a temperatura e a energia interna dessas partículas

fluidas. Então, essas partículas se moverão para uma região de menor temperatura no fluido,

onde se misturarão e transferirão uma parte de sua energia para outras partículas fluidas. O

fluxo, nesse caso, é tanto de energia como de fluido. A energia é, na realidade, armazenada

nas partículas fluidas e transportada como resultado do movimento de massa destas.

Page 45: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 45

Resfriar uma placa, rapidamente, usando um ventilador.

Quando a velocidade é zero (na placa), o calor é trocado por condução. Nos outros

pontos o calor é trocado por convecção, porque a velocidade provoca um gradiente de

temperatura. Como o movimento do fluido é provocado por um ventilador, a transmissão de

calor é conhecida como convecção forçada.

3.1 – EQUAÇÃO DA CONVECÇÃO O calor transferido por convecção, na unidade de tempo, entre uma superfície e um

fluido, pode ser calculado através da relação proposta por Isaac Newton:

( )Sq hA T T

A figura a seguir ilustra o perfil de temperatura para o caso de um fluido escoando sobre

uma superfície aquecida.

Page 46: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 46

A simplicidade da equação de Newton é ilusória, pois ela não explícita as dificuldades

envolvidas no estudo da convecção, servindo apenas como uma definição do coeficiente de

película (h). O coeficiente de película é, na realidade, uma função complexa do escoamento do

fluido, das propriedades físicas do meio fluido e da geometria do sistema. Seu valor numérico

não é, em geral, uniforme sobre a superfície. Por isto utiliza-se um valor médio para a

superfície.

A tabela a seguir mostra, para diversos meios, ordens de grandeza do coeficiente de

película.

Processo h (W/m2K) Convecção Natural

Gases 2 – 25 Líquidos 50 – 1000

Convecção Forçada Gases 25 – 250 Líquidos 100 - 20.000

Convecção com mudança de fase (evaporação ou condensação)

2.500 – 100.000

Uma taxa de calor é também uma relação entre um potencial térmico e uma resistência.

A equação da transferência de calor por convecção pode ser escrita como:

hA1

TThAq

Exemplo 3.1) Um aquecedor elétrico encontra-se no interior de um cilindro longo de

diâmetro 30 mm. Quando água na temperatura de 25 ºC e velocidade de 1 m/s escoa

diagonalmente no cilindro, a potência por unidade de comprimento necessária para manter a

temperatura uniforme em 90 ºC na superfície é 28 kW/m. Quando o ar, também a 25 ºC mas

com velocidade de 10 m/s está escoando, a potência por unidade de comprimento necessária

Page 47: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 47

para manter a mesma temperatura da superfície é 400 W/m. Calcule e compare os coeficientes

de convecção para os escoamentos do ar e da água.

3.2 – CONCEITO DA CAMADA LIMITE

Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento em regime

laminar ou turbulento, as partículas na vizinhança da superfície são desaceleradas em virtude

das forças viscosas. A porção de fluido contida na região de variação substancial de

velocidade, ilustrada na figura a seguir, é denominada de camada limite hidrodinâmica.

Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter

velocidade zero. Essas partículas então agem para retardar o movimento das partículas da

camada de fluido adjacente, que agem para retardar o movimento na próxima camada e assim

sucessivamente até uma distância da superfície y , onde o efeito se torna desprezível.

Assim sendo, o escoamento do fluido é caracterizado por duas regiões distintas, uma

camada fina de fluido na qual gradientes de velocidade e tensões de cisalhamento são

elevados e uma região externa à camada limite na qual gradientes de velocidade e tensões de

cisalhamento são desprezíveis. Com o aumento da distância da borda de ataque, os efeitos de

viscosidade penetram cada vez mais na corrente livre e a camada limite cresce.

Considerando agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfície quando

existe uma diferença de temperatura entre o fluido e a superfície. Neste caso, o fluido contido

na região de variação substancial de temperatura é chamado de camada limite térmica. Por

exemplo, analisando a transferência de calor para o caso de um fluido escoando sobre uma

superfície aquecida, como mostra a figura a seguir. Para que ocorra a transferência de calor

por convecção através do fluido é necessário um gradiente de temperatura (camada limite

térmica) em uma região de baixa velocidade (camada limite hidrodinâmica).

Page 48: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 48

O mecanismo da convecção pode então ser entendido como a ação combinada de

condução de calor na região de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e

movimento de mistura na região de alta velocidade. Portanto:

- região de baixa velocidade a condução é mais importante.

- região de alta velocidade a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio contribui

substancialmente para a transferência de calor.

Na borda de ataque, o perfil de temperatura é uniforme, com T y T . Entretanto, as

partículas do fluido que entram em contato com a placa alcançam o equilíbrio térmico na

temperatura da superfície da placa. Por sua vez, essas partículas trocam energia com aquelas

na camada de fluido adjacente, e desenvolvem-se gradientes de temperatura no fluido. A

região do fluido na qual esses gradientes de temperatura existem é a camada limite térmica, e

sua espessura t é tipicamente definida como o valor de y para o qual a razão [(Ts-T)/(Ts-T∞)] =

0,99. Com o aumento da distância da borda de ataque, os efeitos da transferência de calor

penetram mais ainda na corrente livre e a camada limite térmica aumenta.

Na camada limite térmica tem-se, portanto, elevados gradientes de temperatura e pode-

se dizer que o estudo do fenômeno da convecção se reduz ao estudo da condução através da

mesma. Portanto, considerando a camada limite térmica como uma "parede" hipotética de

espessura t e condutividade térmica kt, tem-se:

. fluxo de calor por condução na camada limite térmicats

t

k Aq T T

Pela equação de Newton:

Page 49: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 49

. . fluxo de calor por convecçãoq h A T Ts

Igualando as duas equações:

TTAhTTAkss

t

t ...

kth

t

Embora essa imagem seja consideravelmente simplificada, a última equação mostra que

o coeficiente de película é inversamente proporcional à espessura da camada limite térmica.

Desta forma, pode ser entendido, por exemplo, a ação de um ventilador. O aumento da

velocidade do fluido causado pela rotação das pás resulta no aumento da velocidade de

escoamento e, como consequência, em redução da camada limite térmica sobre a nossa pele.

A última equação mostra que isto resulta em uma elevação do coeficiente de película. Esta

elevação do coeficiente de película é responsável pelo aumento da transferência de calor por

convecção e pela consequente sensação de alívio do calor.

3.2.1 – ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO Um primeiro passo essencial no tratamento de qualquer problema de condução é

determinar se a camada limite é laminar ou turbulenta. O atrito superficial e as taxas de

transferência por convecção dependem fortemente de qual dessas condições existe.

Prandtl apresentou um artigo em que ele demonstrava que em muitos casos os

escoamentos viscosos podem ser analisados pela divisão do escoamento em regiões, uma

perto da superfície sólida limitante e outra cobrindo o restante do escoamento. Apenas na

região diminuta, adjacente à superfície sólida, o efeito da viscosidade é importante. E foi a esta

região diminuta que Prandtl denominou de camada limite. Sendo então nas regiões além da

camada limite, o efeito da viscosidade desprezível e o fluido podendo ser tratado como não

viscoso.

Page 50: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 50

Camada limite em uma placa plana.

A região laminar se inicia no canto da placa e aumenta em espessura. Antes do início da

região turbulenta ainda tem uma região de transição (perfil diferente do laminar e do

turbulento).

Na região turbulenta, ainda existe uma região próxima à parede onde predominam os

efeitos laminares. Esta região é denominada de subcamada laminar.

A espessura da camada limite, , é arbitrariamente tomada como sendo a distância a

partir da superfície onde a velocidade atinge 99% da velocidade da corrente livre, u .

Conforme mostrado na figura a seguir, existem diferenças significativas entre as

condições de escoamento laminar e turbulento. Na camada limite laminar, o movimento do

fluido é altamente ordenado e é possível identificar linhas de corrente ao longo das quais as

partículas se movem. Por outro lado, o movimento do fluido na camada limite turbulenta é

altamente irregular e é caracterizado por flutuações de velocidade. Essas flutuações aumentam

a transferência de momento, energia e de espécie e, assim sendo, aumentam o atrito

superficial, assim como as taxas de transferência por convecção. A mistura de fluidos

resultante das flutuações faz com que a camada limite turbulenta fique com a espessura maior.

vo

Escoamento Laminar

Zona de Transição

Sub camada laminar

Escoamento Turbulento

Page 51: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 51

Na camada limite turbulenta três regiões diferentes podem ser delineadas. Tem a

subcamada laminar na qual o transporte é dominado pela difusão e o perfil de velocidade é

aproximadamente linear. Existe uma camada amortecedora adjacente na qual a difusão e uma

mistura turbulenta são comparáveis, e há uma zona turbulenta na qual o transporte é dominado

pela mistura turbulenta.

O critério para a identificação da camada limite é o número de Reynolds, Rex, baseado

na distância, x, do canto da placa. Assim:

u uRe =xx x

Para uma placa plana, o comprimento característico x é a distância da borda de ataque.

Exemplo 3.2) Um ventilador que fornece ar a uma velocidade de 50 m/s é para ser

utilizado em um túnel de vento de baixa velocidade com o ar atmosférico a 25 ºC

2615,71 10 ms . Se se desejar utilizar o túnel de vento para estudar o comportamento da

camada limite sobre uma placa, para número de Reynolds Rex = 108, qual deve ser o

comprimento mínimo da placa a ser utilizada? A que distância a partir da borda de ataque a

transição ocorreria se o número crítico de Reynolds fosse Rex,c = 5 x 105?

Page 52: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 52

3.2.2 – EFEITOS DA TURBULÊNCIA

Na prática a engenharia lida muito mais com escoamentos turbulentos do que com

escoamentos laminares. Pequenas perturbações associadas com distorções nas linhas de

corrente do fluido de um escoamento laminar podem acabar levando a condições turbulentas.

Essas perturbações podem ser originadas na corrente livre ou podem ser induzidas pela

rugosidade da superfície. O início da turbulência depende de essas perturbações serem

amplificadas ou atenuadas na direção do escoamento do fluido, que por sua vez depende da

razão entre as forças de inércia e viscosas (número de Reynolds). Se o número de Reynolds

for pequeno, as forças de inércia são baixas em relação às forças viscosas. As perturbações

que ocorrem naturalmente são então dissipadas e o escoamento permanece laminar. Para um

número de Reynolds alto, contudo, as forças de inércia são suficientemente altas para

amplificar as perturbações, e ocorre uma transição para a turbulência. O número de Reynolds

crítico (Rec), exigido para a transição é aproximadamente 5 x 105 para escoamento sobre uma

placa plana.

A existência de um escoamento turbulento pode ser vantajosa no sentido de fornecer

maiores taxas de transferência de calor e massa. Contudo, o movimento é complicado e difícil

de descrever teoricamente.

A temperatura da superfície ou o gradiente de concentração, e consequentemente a taxa

de transferência de calor e massa, é muito maior para o escoamento turbulento do que para o

laminar. Devido a esse aumento das taxas de transferência de calor por convecção e massa, é

desejável ter condições de escoamento turbulento em muitas aplicações de engenharia.

Contudo, o aumento de tensão cisalhante na parede terá sempre o efeito adverso de aumentar

as potências necessárias em bombas e ventiladores.

3.3 – DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PELÍCULA (h)

O coeficiente h (coeficiente de película) é uma função complexa de uma série de

variáveis relacionadas com as seguintes características: geometria da superfície, velocidade,

propriedades físicas do fluido, potencial térmico.

Uma fórmula que levasse em conta todos estes parâmetros seria extremamente

complexa. O problema é, então, contornado dividindo-se o estudo em casos particulares. Por

exemplo, o estudo da convecção em gases pode ser subdividido assim:

Page 53: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 53

int

horizontalparede plana

vertical

natural horizontalconvecção em gases

parede cilíndrica ernavertical

externa

forçada

Para cada caso particular são obtidas equações empíricas através da técnica de análise

dimensional combinada com experiências. Onde os coeficientes de película são calculados a

partir de equações empíricas obtidas correlacionando-se os dados experimentais com o auxílio

da análise dimensional. Os resultados são obtidos na forma de equações dimensionais como

mostrado nos exemplos a seguir.

3.3.1 – ESCOAMENTO EXTERNO No escoamento externo as camadas limites de contorno desenvolvem-se livremente,

sem restrições impostas pelas superfícies adjacentes. Assim sendo, sempre existirá uma região

do escoamento fora da camada limite na qual os gradientes de velocidade, temperatura e/ou

concentração são desprezíveis. Exemplos incluem o movimento do fluido sobre uma placa

plana e escoamentos sobre superfícies curvas tais como uma esfera, cilindro, aerofólio ou

lâmina de turbina.

Escoamento externo, com convecção forçada, com baixa velocidade e sem mudança de

fase.

1) Placa plana com escoamento paralelo

a) Escoamento laminar: 11 320,664Re PrL LNu

b) Escoamento turbulento:

14 35

5 8

~5

,

0,037 Re 871 Pr

0,6 Pr 605 10 Re 10

Re 5 10

L L

L

x c

Nu

Page 54: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 54

2) Placas cilíndricas: 1

3Re PrmD D

hDNu Ck

As constantes C e m são listadas a seguir.

ReD C m 0,4 - 4 0,989 0,330 4 - 40 0,911 0,385

40 – 4.000 0,683 0,466 4.000 – 40.000 0,193 0,618

40.000 – 400.000 0,027 0,805

Grupos adimensionais selecionados de transferência de calor e massa.

Grupo Definição Interpretação Número de Nusselt (NuL)

f

hLk

Gradiente de temperatura adimensional na superfície.

Número de Prandtl (Pr) pck

Razão entre as difusividades de momento e térmica.

Número de Reynolds (ReL) VL

Razão entre as forças de inércia e viscosas.

Exemplo 3.3) Ar a uma pressão de 6 kN/m2 e a uma temperatura de 300 ºC escoa com

uma velocidade de 10 m/s sobre uma placa plana de comprimento 0,5 m. Estime a taxa de

resfriamento por unidade de largura da placa necessária para manter a temperatura superficial

a 27 ºC. Dados do ar: 245, 21 10 m

s , 336,4 10 Wk mK , Pr 0,687 .

Exemplo 3.4) Um placa plana com largura de 1 m é mantida a uma temperatura

superficial uniforme de 230 ºC, pelo uso de fitas aquecedoras controladas independentemente,

cada uma com 50 mm de comprimento. Se o ar atmosférico a 25 ºC escoa sobre a placa a uma

velocidade de 60 m/s. Qual o valor de fornecimento de energia na décima segunda fita

aquecedora?Dados do ar: 2626, 41 10 m

s , 0,0338Wk mK , Pr 0,690 .

Exemplo 3.5) Foram conduzidos experimentos em um cilindro metálico de 12,7 mm de

diâmetro e 94 mm de comprimento. O cilindro é aquecido internamente por um aquecedor

elétrico e encontra-se sujeito a um escoamento transversal de ar em um túnel de vento com

Page 55: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 55

baixa velocidade. Sob um conjunto específico de condições para as quais a velocidade do

vento a montante e a temperatura foram mantidas a 10 m/s e 26,2 ºC, respectivamente, a

dissipação de potência do aquecedor foi medida com um valor de 46 W, enquanto a

temperatura média da superfície do cilindro foi determinada em 128,4 ºC. Estima-se que 15%

da dissipação de potência são perdidas através do efeito cumulativo da radiação e condução

através das extremidades do cilindro. Determine o coeficiente de transferência de calor por

convecção a partir das observações experimentais. Compare o resultado experimental com o

coeficiente de convecção calculado a partir da correlação apropriada. Dados do ar: 2620,92 10 m

s , 330 10 Wk mK , Pr 0,700 .

3.3.2 – ESCOAMENTO INTERNO

Um escoamento interno, tal como o escoamento em um tubo, é aquele para o qual o

fluido é confinado por uma superfície. Assim sendo, a camada limite não pode se desenvolver

sem estar sendo eventualmente restringida. A configuração do escoamento interno representa

uma geometria conveniente para o aquecimento e o resfriamento de fluidos utilizados em

processamentos químicos, no controle ambiental e em tecnologias de conversão de energia.

Como a velocidade varia sobre a seção transversal e não existe uma corrente livre bem-

definida, é necessário trabalhar com uma velocidade média mu . A equação que fornece a taxa

de fluxo de massa através do tubo é:

m cm u A

, ,conv p m s m eq mc T T

Se temperatura superficial da tubulação for constante:

: constanteconv s lm sq hA T sendo T

lns e

lms

e

T TTT

T

Page 56: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 56

Exemplo 3.6) Um sistema para aquecimento de água de uma temperatura de entrada de

20 ºC para uma temperatura de saída de 60 ºC envolve a passagem de água através de um

tubo de parede delgada com diâmetro interno e externo de 20 a 40 mm, respectivamente. A

superfície externa do tubo é bem isolada, e o aquecimento elétrico no interior da parede

fornece uma taxa de geração uniforme de 106 W/m3. Dado da água: cp = 4,179 kJ/kg.K.

a) Para uma vazão de água de 0,1 kg/s, qual deve ser o comprimento do tubo para

alcançar a temperatura de saída desejada?

b) Se a temperatura da superfície interna do tubo for 70 ºC na saída, qual o coeficiente

local de transferência de calor por convecção na saída?

Exemplo 3.7) A condensação de vapor na superfície externa de um tubo circular de

parede delgada com 50 mm de diâmetro e 6 m de comprimento mantém uma temperatura da

superfície uniforme de 100 ºC. Água escoa através do tubo a uma taxa de 0,25 kg/s, e suas

temperaturas de entrada e saída são 15 ºC e 57 ºC, respectivamente. Qual o coeficiente médio

de convecção associado ao escoamento de água? Dados da água: cp = 4178 J/kg.K.

3.4 – EXERCÍCIOS

Exercício 3.1) Você experimenta o resfriamento por convecção toda vez que coloca a

mão para fora da janela de um veículo em movimento ou em um escoamento em água

corrente. Com a superfície de sua mão a uma temperatura de 30 ºC, determine o fluxo de calor

por convecção para: (a) um veículo com velocidade de 35 km/h no ar a – 5 ºC com coeficiente

de convecção de 40 W/m2K e (b) uma velocidade de água de 0,2 m/s a 10 ºC com coeficiente

de convecção de 900 W/m2K. Em qual condição você sentiria mais frio? Resposta: (a) 1400 W/m2, (b) 18000 W/m2

Exercício 3.2) Um procedimento comum para medir a velocidade de uma corrente de ar

envolve a inserção de um aquecedor elétrico em forma de fio (denominado anemômetro de fio

incandescente) em uma corrente de ar, com o eixo do fio orientado perpendicularmente em

direção do escoamento. A energia elétrica dissipada no fio é considerada como sendo

transferida para o ar por convecção forçada. Assim sendo, para uma potência elétrica prescrita,

a temperatura do fio depende do coeficiente de convecção, que, por sua vez, depende da

Page 57: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 57

velocidade do ar. Considere o fio com comprimento de 20 mm e diâmetro de 0,5 mm, cuja

calibração da forma, 5 26, 25 10 .V h , foi determinada. A velocidade V e o coeficiente de

convecção h têm unidades de m/s e W/m2K, respectivamente. Em uma aplicação com o ar a

uma temperatura de 25 ºC, a temperatura da superfície do anemômetro é mantida a 75 ºC com

uma queda de tensão de 5 V e uma corrente elétrica de 0,1 A. Qual a velocidade do ar?

Resposta: 6,3 m/s

Exercício 3.3) Um chip quadrado isotérmico de lado w = 5 mm está montado sobre um

substrato de tal forma que suas superfícies lateral e inferior estão bem isoladas e a superfície

superior está exposta ao escoamento de um fluido refrigerante a 15 ºC. Por medida de

segurança, a temperatura do chip não deve exceder 85 ºC.

Se o fluido refrigerante é o ar com coeficiente de convecção de 200 W/m2K, qual o valor

máximo admitido para a potência do chip? Se o fluido refrigerante é um líquido dielétrico de

coeficiente de convecção 3000 W/ m2K, qual o valor máximo admitido para a potência do chip?

Resposta: 0,35 W; 5,25 W

Exercício 3.4) Um transistor, de comprimento 10 mm e diâmetro 12 mm, é resfriado por

uma corrente de ar de temperatura de 25 ºC.

Em condições nas quais o ar mantém um coeficiente de convecção médio de 100 W/m2K

na superfície, qual a dissipação máxima de potência permitida se a temperatura da superfície

não deve ultrapassar 85 ºC? Resposta: 2,94W

Page 58: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 58

Exercício 3.5) Considerando um número de transição de Reynolds de 5 x 105, determine

a distância a partir da borda de ataque de uma placa para a qual a transição irá ocorrer para

cada um dos seguintes fluidos quando 1 /u m s : ar atmosférico, água, óleo de motor e

mercúrio. Em cada caso a temperatura do fluido é de 27 ºC.

Dados:2615,89 10ar

ms ,

260,858 10aguam

s ,26550 10oleo

ms ,

260,113 10mercuriom

s

Resposta: 7,95 m; 0,43 m; 275 m; 0,06 m

Exercício 3.6) Um aquecedor elétrico de ar consiste em uma série horizontal de lâminas

finas metálicas, cada uma com 10 mm de comprimento, na direção da corrente de ar que se

encontra em escoamento paralelo sobre a parte superior das lâminas. Cada lâmina possui 0,2

m de largura, e 25 lâminas são arrumadas lado a lado, formando uma superfície contínua e lisa

sobre a qual o ar escoa a 2 m/s. Durante a operação cada lâmina é mantida a 500 ºC, e o ar

encontra-se a 25ºC. Dados do ar: 2643,54 10 m

s , 0,0429Wk mK , Pr 0,683 , Recrítico =

5x105.

a) Qual a taxa de transferência de calor por convecção da primeira e da quinta lâmina?

Resposta: 51,1W; 12,2 W

Exercício 3.7) Considere uma aleta retangular que é utilizada para refrigerar um motor

de uma motocicleta. A aleta possui 0,35 m de comprimento e encontra-se à temperatura de 250

ºC, enquanto a motocicleta está se movendo a 120 km/h no ar a 27 ºC. O escoamento do ar

sobre as duas superfícies da aleta é paralelo. Calcule a taxa de calor removido por unidade de

largura da aleta. Dados do ar: 2620,85 10 m

s , 0,0346Wk mK , Pr 0,69 . Resposta:

18930,25 W/m

Exercício 3.8) Placas de aço de espessura 6 mm e comprimento 1 m de lado são

transportadas de um processo de tratamento térmico e são simultaneamente resfriadas por ar

atmosférico a uma velocidade de 10 m/s e 20 ºC em escoamento paralelo sobre as placas.

Para uma temperatura inicial da placa de 300 ºC, qual é a taxa de transferência de calor da

placa? Dados do ar: 2630, 4 10 m

s , 0,0361Wk mK , Pr 0,688 . Resposta: 6780 W

Page 59: Trocadores de Calor

3 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO 59

Exercício 3.9) Um tubo circular de 25 mm de diâmetro externo é colocado em uma

corrente de ar a 25 ºC e 1 atm de pressão. O ar move-se em escoamento cruzado sobre o tudo

a 15 m/s, enquanto a superfície externa do tubo é mantida a 100 ºC. Qual a taxa de

transferência de calor do tubo por unidade de comprimento? Dados do ar: 2619,31 10 m

s ,

0,0288Wk mK , Pr 0,702 . Resposta: 520 W/m

Exercício 3.10) Etileno glicol escoa a 0,01 kg/s em um tubo de 3 mm diâmetro. O tubo

tem forma de serpentina e é submerso em banho bem agitado de água mantido a 25 ºC. Se o

fluido entra no tubo a 85 ºC, quais são a taxa de calor e o comprimento do tubo necessários

para o fluido sair a 35 ºC? Dados do etileno glicol: 2562 .pJc kg K , 2

2.0,522 10 N s

m ,

0, 260Wk mK , Pr 51,3 , 3,66DNu . Resposta: 1281 W; 15,4 m

Exercício 3.11) A superfície de um tubo de diâmetro de 50 mm é mantida a 100 ºC. Em

um caso, o ar está em escoamento cruzado sobre o tubo com uma temperatura de 25 ºC e

velocidade de 30 m/s. Calcule o fluxo de calor. Dados do ar: 2615,71 10 m

s ,

0,0261Wk mK , Pr 0,71 . Resposta: 9,62x103 W/m2

Page 60: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 60

4 – RADIAÇÃO

Radiação: tipo de propagação do calor em que a energia térmica é transmitida sob a

forma de ondas eletromagnéticas. Ocorre por meio de movimentos oscilatórios em um meio,

sem que haja transferência de matéria. A energia emitida por um corpo (energia radiante)

propaga-se pelo espaço até atingir outros corpos. É o único tipo de transmissão de calor que

pode acontecer no vácuo.

- Substâncias negras são bons absorventes de calor.

- Os bons absorventes de energia radiante são bons radiadores.

As pessoas que vivem nas regiões tropicais preferem vestir-se de branco porque a roupa

branca reflete mais a radiação do Sol do que as roupas escuras. Benjamim Franklim, o primeiro

grande cientista americano, fez uma experiência muito simples, colocando sobre a neve, ao sol,

pedaços de fazendas de cores diversas. Após algumas horas o pedaço preto, que foi mais

aquecido pelo sol tinha-se afundado mais na neve que os outros, enquanto o branco nada se

afundara. As outras cores se afundaram tanto mais quanto mais escuras eram. Ficou assim

provado que as cores mais claras absorvem menos calor do Sol e são, portanto, mais próprias

para as regiões ensolaradas.

- Bons absorventes perdem calor com facilidade. As chaleiras devem ser bem

polidas para irradiar pouco; o fundo não deve ser liso, mas, de preferência negro, para absorver

facilmente. Os balões são pintados com tinta de alumínio. Quando eles passam de sob uma

nuvem para a radiação do Sol, o alumínio reflete a radiação e o gás não se aquece

rapidamente. Quando o balão fica na sombra de uma nuvem, a superfície metálica sendo pobre

emissora de calor não irradia facilmente; o gás não se resfria, assim, rapidamente. As

mudanças rápidas de temperatura e pressão do gás são, assim, evitadas, tanto porque o

alumínio é um mau absorvente como por ser ele um mau emissor. Pouco gás deve ser liberado

do balão.

Page 61: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 61

Absorção e reflexão

A radiação térmica ao incidir em um corpo tem uma parte absorvida e outra refletida pelo

corpo. Corpos escuros absorvem a maior parte da radiação que incide sobre eles, enquanto os

corpos claros refletem quase totalmente a radiação térmica incidente. É por isso que um corpo

preto, quando colocado ao Sol, tem sua temperatura sensivelmente elevada, ao contrário dos

corpos claros, que absorvem pouco calor.

Corpo Negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite e absorve, a qualquer

temperatura, a máxima quantidade possível de radiação. O irradiador ideal é um conceito

teórico que estabelece um limite superior de radiação de acordo com a segunda lei da

termodinâmica. É um conceito teórico padrão com o qual as características de radiação dos

outros meios são comparadas.

Corpo Cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da energia

emitida ou absorvida por um corpo negro. As características de radiação dos corpos cinzentos

se aproximam das características dos corpos reais.

Emissividade é a relação entre o poder de emissão de um corpo real e o poder de

emissão de um corpo negro. Para os corpos cinzentos a emissividade é, obviamente, sempre

menor que 1. Pertencem à categoria de corpos cinzentos a maior parte dos materiais de

utilização industrial, para os quais em um pequeno intervalo de temperatura pode-se admitir

que a emissividade seja constante e tabelada em função da natureza do corpo.

Condução colisão entre as partículas.

Convecção transferência de massa.

Radiação ondas eletromagnéticas.

4.1 – EQUAÇÃO DA RADIAÇÃO A radiação que é EMITIDA pela superfície tem sua origem na energia térmica da matéria

limitada pela superfície, e a taxa na qual a energia é liberada por unidade de área é

denominada PODER EMISSIVO E da superfície.

Page 62: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 62

Existe um limite superior para o poder emissivo, que é previsto pela lei de Stefan-

Boltzmann. Ela permite o cálculo da radiação total emitida em todas as direções e sobre todos

os comprimentos de onda a partir, simplesmente, do conhecimento da temperatura do corpo

negro.

Poder emissivo E da superfície:

Eb = σ Ts4 Tal Superfície – RADIADOR IDEAL ou CORPO NEGRO

Quando um corpo absorve totalmente a energia nele incidente, ele é chamado de

CORPO NEGRO. Como ele é o melhor receptor de energia radiante, ele também é o melhor

“radiador”.

O Fluxo de calor emitido por uma superfície é menor do que o calor emitido por um corpo

negro a mesma temperatura e é fornecido por:

E = εσ Ts4

Fornece uma medida da capacidade de emissão de energia de uma superfície em

relação a um corpo negro.

A radiação pode ser incidente sobre uma superfície a partir de uma vizinhança. A

radiação pode ser oriunda de uma fonte especial como o Sol, ou de outra a qual a superfície de

interesse esteja exposta.

Irradiação G – taxa na qual todo tipo de radiação incide sobre uma unidade de área.

Parte da Irradiação pode ser absorvida pela superfície aumentando a energia térmica

deste material. A taxa na qual a energia radiante é absorvida por unidade de área pode ser

avaliada a partir do conhecimento de uma propriedade radiante da superfície denominada

ABSORVIDADE α.

Gabs = α G Contudo, enquanto as radiações absorvidas e emitidas aumentam ou diminuem,

respectivamente, a energia térmica da matéria, as radiações refletidas e transmitidas não

causam nenhum efeito nessa energia.

Um caso especial que ocorre com frequência envolve a troca de radiação entre uma

superfície pequena a Ts e uma superfície isotérmica muito maior que envolve completamente a

menor. A vizinhança poderia ser as paredes de uma sala ou forno cuja temperatura Tviz difere

da temperatura contida no interior (Tviz ≠ Ts).

Page 63: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 63

Para tal condição a irradiação pode ser aproximada pela emissão de um corpo negro a

Tviz, na qual G = σ Tviz4. Se a superfície considerada apresenta α = ε (superfície cinza), a taxa

líquida de transferência de calor por radiação a partir da superfície, expressa por unidade de

área da superfície, é dada por:

TROCA LÍQUIDA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO

Emite: E = ε σ (Ts)4

Absorve: G = σ Tviz4

q'’ = ε σ (Ts4 – Tviz

4)

Outra maneira de expressar a lei acima é:

" ( )Rrad s vizq h T T

onde hR = εσ (Ts2 + Tviz

2) (Ts + Tviz), coeficiente de transferência de calor por radiação

[W/m²K].

Exemplo 4.1) Uma cavidade fechada possui uma área interna de 100 m2, e sua

superfície interna é negra e mantida a uma temperatura constante. Uma pequena abertura na

cavidade possui uma área de 0,02 m2. O poder radiante emitido dessa abertura é 70 W. Qual é

a temperatura do interior da parede da cavidade? Se a superfície interior é mantida a essa

temperatura, mas é agora polida, qual será o valor do poder radiante emitido da abertura?

Exemplo 4.2) Considere um grande forno com paredes cinzentas a 3000 K. Um objeto

pequeno, possuindo uma emissividade de 0,85 é mantido no forno a 300 K. Calcule a troca

líquida de transferência de calor por radiação.

4.2 – TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES A troca de radiação entre duas ou mais superfícies depende das geometrias e

orientações das superfícies, assim como das suas propriedades radiantes e temperaturas. É

considerado que as superfícies estejam separadas por um meio não-participante. Uma vez que

tal meio não emite, nem absorve e nem dispersa, ele não apresenta nenhum efeito na

transferência de radiação entre as superfícies. O vácuo preenche exatamente essas

exigências, e a maioria dos gases as atende com excelente aproximação. No caso estudado

todas as superfícies podem ser aproximadas como corpos negros.

Page 64: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 64

4.2.1 – O FATOR DE FORMA

O fator de forma Fij é definido como a fração da radiação que deixa a superfície i que é

interceptada pela superfície j.

O primeiro índice indica a superfície que emite e o segundo a que recebe radiação.

Considerando duas superfícies negras de áreas A1 e A2, separadas no espaço e em

diferentes temperaturas (T1 > T2):

Em relação às superfícies A1 e A2, os fatores forma são: F12 fração da energia que deixa a superfície (1) e atinge (2)

F21 fração da energia que deixa a superfície (2) e atinge (1)

A energia radiante que deixa A1 e alcança A2 é:

21 2 1 1 12 2. . . .

.Kcal Kcalq E A F mh m h

A energia radiante que deixa A2 e alcança A1 é:

22 1 2 2 21 2. . . .

.Kcal Kcalq E A F mh m h

A troca líquida de energia entre as duas superfícies será:

12 21 1 1 12 2 2 21. . . . q q q E A F E A F

Considerando agora a situação em que as duas superfícies estão na mesma

temperatura. Neste caso, o poder de emissão das duas superfícies negras é o mesmo (E1 = E2)

e não pode haver troca líquida de energia ( q =0). Então a equação anterior fica assim:

1 1 1 2 2 2 2 10 . . . .E A F E A F

Como E1 = E2, é obtida a seguinte equação:

A F A F1 12 2 21. .

Como tanto a área e o fator forma não dependem da temperatura, a relação dada pela

equação anterior é válida para qualquer temperatura.

Page 65: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 65

1 1 1 2 2 1 1 2. . . .q E A F E A F

1 12 1 2. .q A F E E

Pela lei de Stefan-Boltzmann: 4 4

1 1 2 2. e . , p o rtan to :E T E T

4 41 12 1 2. . .q A F T T

É obtida assim a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação entre duas

superfícies a diferentes temperaturas:

4 41 12 1 2. . q A F T T

Outra relação importante do fator de forma é relacionada às superfícies de um invólucro.

Da definição do fator de forma, a regra do somatório pode ser aplicada a cada uma das N

superfícies do invólucro. N

ijj=1

F 1

O Fator Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas emissividades ().

Os resultados para três geometrias mais comuns são apresentados das figuras a seguir.

Page 66: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 66

Fator de forma para retângulos alinhados paralelamente.

Page 67: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 67

Fator de forma para discos coaxiais paralelos.

Page 68: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 68

Fator de forma para retângulos perpendiculares com uma extremidade comum.

4.2.2 – TROCA RADIANTE ENTRE SUPERFÍCIES NEGRAS

De modo geral, a radiação pode deixar uma superfície devido à reflexão e à emissão, e,

ao alcançar uma segunda superfície, sofre reflexão assim como absorção. Entretanto, os meios

são simplificados para superfícies que podem ser aproximadas como corpos negros, uma vez

que não há reflexão. Assim sendo, a energia sai apenas como resultado da emissão, e toda a

radiação incidente é absorvida.

Exemplo 4.3) Uma cavidade de um forno, na forma de um cilindro de 75 mm de

diâmetro de 150 mm de comprimento, é aberta em uma extremidade para um grande ambiente

Page 69: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 69

que se encontra a 27 ºC. Os lados e a parte inferior que podem ser aproximados como corpos

negros são aquecidos eletricamente, bem isolados, e são mantidos a temperaturas de 1350 e

1650 ºC, respectivamente. Que potência é necessária para manter as condições do forno?

4.2.3 – O CONFINAMENTO COM DUAS SUPERFÍCIES Embora úteis em um aspecto, o caso anterior é limitado pela consideração de

comportamento de corpo negro. O corpo negro é, obviamente, uma idealização, que, embora

bem aproximado por algumas superfícies, nunca é precisamente alcançado. A principal

complicação associada com a troca radiante entre superfícies não-negras é devida à reflexão

da superfície. Em um invólucro, a radiação pode sofrer múltiplas reflexões de todas as

superfícies, com absorção parcial ocorrendo em cada uma delas.

O exemplo mais simples de um invólucro é um que envolve duas superfícies que trocam

radiação uma com a outra. Neste caso existem apenas duas superfícies, a taxa líquida de

transferência de radiação a partir da superfície 1, q1, deve ser igual à taxa líquida de

transferência de radiação para a superfície 2, - q2, e as duas grandezas devem ser iguais à

taxa líquida na qual a radiação é trocada entre 1 e 2. Assim sendo: 1 2 12q q q .

A radiação líquida entre as superfícies pode ser representada como:

4 41 2

12 1 21 2

1 1 1 12 2 2

1 1 1T T

q q q

A A F A

A equação anterior pode ser utilizada para duas superfícies difusas cinzas quaisquer que

formam um invólucro. Casos importantes especiais encontram-se resumidos a seguir.

Page 70: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 70

4.2.4 – BLINDAGENS DE RADIAÇÃO

A blindagem corresponde a um isolante colocado entre duas superfícies. Trata-se da

inclusão de materiais altamente refletores, de baixa emissividade, que irão reduzir

significativamente a taxa de troca de calor. Esta redução pode ser tratada a partir do circuito

elétrico equivalente, a inclusão da blindagem caracteriza-se pela presença de duas novas

resistências elétricas neste circuito.

Considerando planos infinitos e paralelos. Quanto à placa inserida (blindagem), pode ser

definida como muito fina de forma a ser considerada uma placa isotérmica.

O fluxo de calor trocado pelo sistema vale:

Page 71: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 71

Considere a colocação de uma blindagem de radiação, superfície 3, entre dois planos

grandes e paralelos conforme a figura a seguir.

Sem a blindagem de radiação, a taxa líquida de transferência de radiação entre as

superfícies 1 e 2 é dada pela equação apresentada anteriormente (grandes placas paralelas –

infinitas). Entretanto, com a blindagem de radiação, resistências adicionais encontram-se

presentes, e a taxa de transferência de calor é reduzida. Observe que a emissividade

associada com um lado da blindagem 3,1 pode diferir daquela associada com o lado oposto

3,2 .

Exemplo 4.4) Um fluido escoa através de um longo tubo de 20 mm de diâmetro cuja

superfície externa é difusa e cinza com 1 0,02 e T1 = 77 K. Esse tubo é concêntrico com um

tubo maior de 50 mm de diâmetro, cuja superfície interna é difusa e cinza com 2 0,05 e T2 =

300 K. Há vácuo no espaço entre as superfícies. Calcule o calor recebido pelo fluido por

unidade de comprimento dos tubos. Se uma fina blindagem de radiação de 35 mm de diâmetro

e 3 0,02 (ambos os lados) for inserida no meio entre as superfícies interna e externa, calcule

a variação (percentual) de calor recebido por unidade de comprimento dos tubos.

Page 72: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 72

4.2.5 – SUPERFÍCIES REIRRADIANTES

A superfície reirradiante é uma superfície idealizada, caracterizada pela transferência

líquida nula por radiação (qi = 0). Ela é bem aproximada por superfícies reais que são bem

isoladas de um lado e para os quais os efeitos de convecção podem ser desprezados no lado

oposto (radiante). Com qi = 0, segue que Gi = Ji = Ebi. Logo, se a radiosidade de uma superfície

reirradiante for conhecida, sua temperatura é imediatamente determinada. Em um invólucro, a

temperatura de equilíbrio de uma superfície reirradiante é determinada por sua interação com

outras superfícies e é independente da emissividade da superfície reirradiante.

Um invólucro de três superfícies, para o qual a terceira superfície, R, é reirradiante, é

mostrado na figura a seguir. A superfície R é por hipótese bem isolada, e os efeitos de

convecção são considerados desprezíveis. Logo, com qR = 0, a transferência líquida de

radiação da superfície 1 deve ser igual à transferência líquida por radiação para a superfície 2.

O circuito é um arranjo simples em série-paralelo, e de sua análise é prontamente mostrado

que:

A figura a seguir representa um invólucro de três superfícies com uma superfície

reirradiante, sendo: (a) esquema, (b) representação do circuito equivalente.

Page 73: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 73

Exemplo 4.5) Um forno para o preparo de tinta consiste em um duto triangular no qual

uma superfície aquecida é mantida a 1200 K e a outra superfície é isolada. Painéis pintados,

que são mantidos a 500 K, ocupam a terceira superfície. O triângulo é de largura de 1 m de um

lado, e as superfícies aquecida e isolada têm uma emissividade de 0,8. A emissividade dos

painéis é 0,4. Durante a operação em estado estacionário, a que taxa a energia deve ser

fornecida para o lado aquecido por unidade de comprimento do duto para manter a sua

temperatura a 1200 K?

4.3 – EXERCÍCIOS Exercício 4.1) Em condições nas quais a mesma temperatura ambiente é mantida por

um sistema de aquecimento ou resfriamento, é comum para uma pessoa sentir-se incomodada

com um pouco de frio no inverno, mas confortável no verão. Dê uma explicação plausível para

essa situação (com cálculos que apóiem sua colocação), considerando que a temperatura do ar

Page 74: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 74

ambiente seja mantida a 20 ºC durante todo o ano e as paredes da sala a 27 ºC e 14 ºC no

verão e no inverno, respectivamente. A superfície exposta de uma pessoa na sala pode ser

considerada a uma temperatura de 32 ºC no decorrer do ano com uma emissividade de 0,90. O

coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural entre a pessoa e o ar

ambiente é aproximadamente 2 W/m2K. Exercício 4.2) Uma superfície de área 0,5 m2, emissividade 0,8 e temperatura 150 ºC é

colocada em uma câmara grande e vazia cujas paredes são mantidas a 25 ºC. Qual a taxa na

qual a radiação é emitida pela superfície? Qual a taxa líquida de troca por radiação entre a

superfície e as paredes da câmara? Resposta: 726 W; 547 W

Exercício 4.3) Uma casca esférica de alumínio de diâmetro interno de 2 m é evacuada e

é utilizada como uma câmara de teste de radiação. Se a superfície interna é revestida com

negro-fumo e mantida a 600 K, qual é a irradiação em uma pequena superfície de teste

colocada na câmara? Se a superfície interna não fosse revestida e mantida a 600 K, qual seria

a radiação? Resposta: 7348 W/m2

Exercício 4.4) Duas pequenas superfícies, A e B, são colocadas no interior de uma

cavidade isotérmica a uma temperatura uniforme. A cavidade fornece uma irradiação de 6300

W/m2 para cada uma das superfícies, e as superfícies A e B absorvem radiação incidente a

taxas de 5600 e 630 W/m2, respectivamente. Considere condições após longo período de

tempo decorrido.

a) Quais são os fluxos líquido de calor para cada superfície? Quais são suas

temperaturas? Resposta: 0 W; 577,4 K b) Determine a absortância de cada superfície. Resposta: 0,89; 0,10

c) Quais são os poderes emissivos de cada superfície?Resposta:5600 W/m2; 630 W/m2

d) Determine a emissividade de cada superfície. Resposta: 0,89; 0,10

Exercício 4.5) Um disco circular de gelo de 25 m de diâmetro é colocado no interior de

uma calota esférica de 35 m de diâmetro. Se as superfícies do gelo e a calota podem ser

aproximadas como corpos negros e se encontram a 0 e 15 ºC, respectivamente, qual a taxa

líquida de transferência radiativa da calota para o anel? Resposta: 3,69x104 W

Page 75: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 75

Exercício 4.6) Um aquecedor tubular com uma superfície interna negra de temperatura

uniforme Ts = 1000K irradia um disco coaxial. Determine a potência radiante do aquecedor, que

incide no disco, 1sq . Qual é a irradiação no disco, G1? Resposta: 13,4 W; 6825 W/m2

Exercício 4.7) Uma cavidade cilíndrica de diâmetro D e profundidade L é usinada em um

bloco de metal, e as condições são tais que as superfícies da base e as laterais da cavidade

são mantidas a T1 = 1000 K e T2 = 700 K, respectivamente. Aproximando as superfícies como

negras, determine o poder emissivo da cavidade se L = 20 mm e D = 10 mm. Resposta: 1,58x104 W/m2

Exercício 4.8) Dois planos coaxiais estão separados por uma distância de 0,20 m. O

disco inferior (A1) é sólido com um diâmetro de 0,80 m e uma temperatura de 300 K. O disco

superior (A2), à temperatura de 1000 K, possui o mesmo diâmetro externo mas é em formato de

anel com um diâmetro interno de 0,40 m. Admitindo os dois discos como corpos negros, calcule

a troca líquida de calor por radiação entre eles. Resposta: 11,87 kW

Exercício 4.9) Um tubo redondo com diâmetro de 0,75 m e um comprimento de 0,33 m

possui um aquecedor elétrico enrolado em torno de seu exterior, e uma espessa camada de

isolamento é enrolada sobre a combinação tubo-aquecedor. O tubo é aberto nas duas

extremidades e colocado em uma grande câmara em vácuo cujas paredes encontram-se a 27

ºC. A superfície interna do tubo é negra e é mantida a uma temperatura uniforme estacionária

Page 76: Trocadores de Calor

4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO 76

de 127 ºC. Determine a potência elétrica que deve ser fornecida para o aquecedor. Resposta: 555 W

Exercício 4.10) Um longo tubo horizontal de parede delgada de 100 mm de diâmetro é

mantido a 120 ºC através da passagem de vapor no seu interior. Uma blindagem contra

radiação é instalada em torno do tubo, fornecendo um espaço de ar de 10 mm entre o tubo e a

blindagem e atinge uma temperatura de superfície de 35 ºC. O tubo e a blindagem, são

superfícies cinzentas difusas com emissividades de 0,8 e 0,10, respectivamente. Qual é a

transferência de calor do tubo por radiação por unidade de comprimento? Resposta: 30,2 W/m

Exercício 4.11) Duas esferas concêntricas de diâmetros D1 = 0,8 m e D2 = 1,2 m estão

separadas por um espaço de ar e possuem temperaturas de superfícies T1 = 400 K e T2 = 300

K.

a) Se as superfícies são negras, qual é a taxa líquida de troca por radiação entre as

esferas? Resposta: 1995 W b) Qual é a taxa líquida de troca de radiação entre as superfícies se elas são difusas e

cinzentas com 1 0,5 e 2 0,05 ? Resposta: 191 W

c) Qual é a taxa líquida de troca de radiação se D2 for aumentado para 20 m, com

2 0,05 , 1 0,5 e D1 = 0,8 m? Resposta: 983 W

Page 77: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 77

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 5.1 – BALANÇO DE ENERGIA EM SUPERFÍCIES

Suponha, como exemplo, uma parede plana qualquer submetida à uma diferença de

temperatura. Na face interna a temperatura é T1 e na face externa tem-se uma temperatura T2

maior que a temperatura do ar ambiente T3, como mostra a figura a seguir. Neste caso, através

da parede ocorre uma transferência de calor por condução até a superfície externa. A

superfície transfere calor por convecção para o ambiente. Porém existe também uma parcela

de transferência de calor por radiação da superfície para as vizinhanças. Portanto, a

transferência global é a soma das duas parcelas.

cond conv radq q q

Exemplo 5.1) Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura

superficial de 93 ºC, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21ºC. O

ar no compartimento está a 27 ºC e o coeficiente de película é 5 kcal/h.m2.ºC. Determinar a

quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se:

a) o duto é de estanho ( = 0,1)

b) o duto é pintado com laca branca ( = 0,9)

Exemplo 5.2) O revestimento de uma placa á curado através de sua exposição a uma

lâmpada de infravermelho de 2000 W/m2. Ele absorve 80% da irradiação e tem emissividade de

0,50. A placa também está exposta a uma corrente de ar e a uma grande vizinhança, cujas

temperaturas são 20 ºC e 30 ºC, respectivamente. Se o coeficiente de convecção entre a placa

e o ar ambiente é 15 W/m2.K, qual a temperatura de cura da placa?

Page 78: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 78

5.2 – CONDUÇÃO, CONVECÇÃO E RADIAÇÃO (EM SÉRIE E PARALELO) Considerando uma parede plana situada entre dois fluidos a diferentes temperaturas. Se

as temperaturas T1 e T4 dos fluidos são constantes, será estabelecido um fluxo de calor único e

constante através da parede (regime permanente). Um bom exemplo desta situação é o fluxo

de calor gerado pela combustão dentro de um forno, que atravessa a parede por condução e se

dissipa no ar atmosférico.

Page 79: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 79

Exemplo 5.3) A parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo

refratário (1,2 kcal/h.m.ºC) e 0,13 m de tijolo isolante (0,15 kcal/h.m.ºC). A temperatura dos

gases dentro do forno é 1700 ºC e o coeficiente de película na parede interna é 58

kcal/h.m2.ºC. A temperatura ambiente é 27 ºC e o coeficiente de película na parede externa é

12,5 kcal/h m2 ºC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcular:

a) o fluxo de calor através da parede;

b) a temperatura nas superfícies interna e externa da parede.

Exemplo 5.4) Uma tubulação atravessa uma grande sala conduzindo água a 95 ºC, com

coeficiente de película de 20 kcal/h.m2.ºC. O tubo, de diâmetro externo 4” e resistência térmica

desprezível, está isolado com lã de rocha (0,035 kcal/h.m.ºC) de 2”de espessura. Sabendo-se

que a temperatura da face externa do isolamento do tubo é 22 ºC, determinar:

a) O fluxo de calor transferido através da tubulação.

b) A emissividade da superfície do isolamento, sabendo-se que a metade do fluxo de

calor transferido da tubulação para o ambiente se dá por radiação e que a temperatura da face

interna das paredes da sala é 5 ºC.

Page 80: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 80

Exemplo 5.5) Um chip de silício e um substrato de alumínio com 8 mm de espessura

são separados por uma junta epóxi com 0,02 mm de espessura. O chip e o substrato possuem

10 mm de lado, e suas superfícies expostas são resfriadas por ar a 25 ºC (100 W/m2K). Se o

chip dissipa 104 W/m2 em condições normais de operação, verificar se ele irá operar abaixo da

temperatura permitida de 85 ºC. Dados: kalum = 238 W/mK; Repóxi = 0,9x10-4 m2K/W.

5.3 – EXERCÍCIOS Exercício 5.1) Um reator em uma indústria trabalha a 600 ºC em um local onde a

temperatura ambiente é 27 ºC e o coeficiente de película externo é 40 Kcal/h.m2.ºC. O reator foi

construído de aço inox ( = 0,06) com 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Tendo em vista o alto

fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de isolante (0,05 kcal/h m.ºC e = 0,65) para

reduzir a transferência de calor a 10 % da atual. Desconsiderando as resistências térmicas que

não podem ser calculadas, pede-se:

a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento. Resposta: 618368,19 Kcal h

b) A parcela transferida por convecção após o isolamento, sabendo-se que a

temperatura externa do isolamento deve ser 62 ºC Resposta: 57701, 4 Kcal h

c) A espessura do isolante a ser usada nas novas condições. Resposta: 8,2 mm

Exercício 5.2) A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi construída com

um material de 1,31 W/m.K. Em dia de inverno as seguintes temperaturas foram medidas:

temperatura do ar interior = 21,1 ºC; temperatura do ar exterior = - 9,4 ºC; temperatura da face

interna da parede = 13,3 ºC; temperatura da face externa da parede = - 6,9 ºC. Calcular os

coeficientes de película interno e externo à parede. Resposta: 11,12 W/m2.K; 34,72 W/m2.K

Exercício 5.3) No interior de uma estufa de alta temperatura os gases atingem 650 ºC. A

parede da estufa é de aço, tem 6 mm de espessura e fica em um espaço fechado em que há

risco de incêndio, sendo necessário limitar a temperatura da superfície em 38 ºC. Para

minimizar os custos de isolação, dois materiais serão usados: primeiro um isolante de alta

temperatura (mais caro), aplicado sobre o aço e, depois, magnésia (menos caro) externamente.

A temperatura máxima suportada pela magnésia é 300 ºC. Conhecendo os dados abaixo,

pede-se:

Page 81: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 81

a) Especifique a espessura (em cm) de cada material isolante. Resposta: 4,88 cm; 8,67 cm

b) Sabendo que o custo por cm de espessura colocado do isolante de alta temperatura é

duas vezes que o da magnésia, calcule a elevação percentual de custo se fosse utilizado

apenas o isolante de alta temperatura. Resposta: 36,6%

DADOS: temperatura ambiente: 20 ºC

coeficiente de película interno: 490 Kcal/h.m2.ºC

coeficiente de película externo: 20 Kcal/h.m2.ºC

condutividade térmica do aço: 37,25 Kcal/h.m.ºC

condutividade térmica do isolante de alta temperatura: 0,0894 Kcal/h.m.ºC

condutividade térmica do isolante de magnésia: 0,0676 Kcal/h.m.ºC

Exercício 5.4) Um reator de paredes planas foi construído em aço inox e tem formato

cúbico com 2 m de lado. A temperatura no interior do reator é 600 ºC e o coeficiente de

película interno é 45 kcal/h.m2.ºC. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isolá-lo com

lã de rocha (0,05 kcal/h.m.ºC) de modo a reduzir a transferência de calor. Considerando

desprezível a resistência térmica da parede de aço inox e que o ar ambiente está a 20 ºC com

coeficiente de convecção de 5 kcal/h.m2.ºC, calcular:

a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento. Resposta: 62640,4 kcal/h

b) A espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento

na face externa deve ser igual a 62 ºC. Resposta: 12,73 cm c) A redução (em %) do fluxo de calor após a aplicação do isolamento. Resposta:

91,95%

Exercício 5.5) O vidro traseiro (1,4 W/m.K) de um automóvel é desembaçado pela

fixação de um elemento de aquecimento em forma de película transparente à sua superfície

interna. Aquecendo-se eletricamente esse elemento, um fluxo de calor uniforme é estabelecido

na superfície interna. Para uma janela de vidro de 4 mm de espessura, determine a potência

elétrica necessária, por unidade de área da janela, para manter a temperatura da superfície

interna a 15ºC quando a temperatura do ar no interior do automóvel e o coeficiente de

convecção foram 25 ºC e 10 W/m2.K, enquanto a temperatura do ar no exterior (ambiente) e o

coeficiente de convecção forem – 10 ºC e 65 W/m2.K. Resposta: 1270 W/m2

Page 82: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 82

Exercício 5.6) Em um processo de fabricação, um filme transparente está sendo fixado

a um substrato, conforme mostrado no esquema. Para curar a fixação a uma temperatura T0,

uma fonte radiante é utilizada para fornecer um fluxo de calor q0 (W/m2), que é totalmente

absorvida pela superfície fixada. A parte posterior do substrato é mantida a T1 enquanto a

superfície livre do filme é exposta ao ar a T∞ e um coeficiente de transferência de calor por

convecção h.

a) Mostre o circuito térmico representando a situação de transferência de calor em

regime estacionário. Identifique todos os elementos, nós e as taxas de calor.

b) Considere as seguintes condições: T∞ = 20 ºC, h = 50 W/m2 e T1 = 30 ºC. Calcule o

fluxo de calor necessário para manter a superfície fixada a T0 = 60 ºC. Resposta: 2833 W/m2

Exercício 5.7) Uma técnica para medir os coeficientes de transferência de calor por

convecção envolve a adesão de uma superfície de uma folha delgada metálica a um material

isolante e expor a superfície externa ao escoamento de um fluido em condições de interesse.

Passando-se uma corrente elétrica através da folha metálica, o calor é dissipado

uniformemente no interior da folha e o fluxo correspondente pode ser obtido das medidas de

voltagem e da corrente. Se a espessura do isolamento L e a condutividade térmica k são dadas

e as temperaturas do fluido, da folha e do isolamento (T∞, Ts e Tb) forem medidas, o coeficiente

de convecção pode ser determinado. Considere condições nas quais T∞ = Tb = 25 ºC, o fluxo é

de 2000 W/m2, L = 10 mm e k = 0,040 W/m.K.

Page 83: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 83

a) Com o fluxo de água em torno da superfície, a medida da temperatura da folha

fornece 27 ºC, qual o coeficiente de convecção? Em qual erro poderíamos incorrer

considerando que toda a potência dissipada seja transferida para a água por convecção?

Resposta: 996 W/m2K; 0,40% b) Se a temperatura fornecida fosse 125 ºC e não 27 ºC, qual seria o coeficiente de

convecção? A folha possui emissividade 0,15 e encontra-se exposta a uma grande vizinhança

a 25 ºC. Em qual erro poderíamos incorrer considerando que toda a potência dissipada seja

transferida para o ar por convecção? Resposta: 14,5 W/m2K; 37,9%

Exercício 5.8) Um aquecedor elétrico delgado é enrolado na superfície externa de um

tubo longo cilíndrico cuja superfície interna é mantida a uma temperatura de 5 ºC. A parede do

tubo tem raios interno e externo de 25 e 75 mm, respectivamente, e uma condutividade de 10

W/m.K. A resistência térmica de contato entre o aquecedor e a superfície externa do tubo (por

unidade de comprimento do tubo) é Rt,c = 0,01 mK/W. A superfície externa do aquecedor

encontra-se exposta a um fluido com temperatura de – 10 ºC e um coeficiente de convecção de

100 W/m2.K. Determine a potência do aquecedor por unidade de comprimento do tubo

necessária para manter o aquecedor a 25 ºC. Resposta: 2377 W/m

Exercício 5.9) Uma placa plana opaca horizontal possui uma área da superfície superior

de 3 m2, e suas extremidades e sua superfície inferior são bem isoladas. A placa é irradiada

uniformemente em sua superfície superior a uma taxa de 1300 W (para a placa toda).

Considere condições de estado estacionário para as quais 1000 W da radiação incidente são

absorvidas, a temperatura da placa é 500 K e a transferência de calor por convecção de sua

superfície é 300 W. Determine a irradiação G, o poder emissivo E, a radiosidade J, absorbância

α, a reflectância ρ e a emissividade . Resposta: 433 W/m2; 223 W/m2; 333 W/m2; 0,769; 0,231; 0,066

Exercício 5.10) Uma esfera (185 W/mK, α = 7,25x10-5) de 30 mm de diâmetro cuja

superfície é difusa e cinzenta com uma emissividade de 0,8 é colocada em um grande forno

cujas paredes estão à temperatura uniforme de 600 K. A temperatura do ar no forno é 400 K, e

o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a esfera e o ar do forno é 15

W/m2.K.

Page 84: Trocadores de Calor

5 – MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 84

a) Determine o calor líquido transferido para a esfera quando a sua temperatura for de

300 K. Resposta: 19,8 W b) Qual será a temperatura da esfera em estado estacionário? Resposta: 538,2 K

Exercício 5.11) Fluxo solar de 900 W/m2 incide no lado superior de uma placa suja

superfície possui uma absorbância solar de 0,9 e uma emissividade de 0,1. O ar e o ambiente

encontram-se a 17 ºC e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a placa e o

ar é de 20 W/m2.K. Admitindo que o lado inferior da placa é isolado, determine a temperatura

da placa em estado estacionário. Resposta: 329,2 K

Page 85: Trocadores de Calor

6 – ALETAS 85

6 – ALETAS 6.1 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a

eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de

conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de

tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas

que são superfícies estendidas a partir de uma base. As aletas têm as mais variadas formas.

Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferência de

calor é considerado um exemplo prático. Quando se quer resfriar ou aquecer um fluido, o modo

mais frequente é fazê-lo trocar calor com outro fluido, separados ambos por uma parede sólida

de resistência baixa (metal de pequena espessura). Então, como exemplo, é analisada a

transferência de calor entre dois fluidos separados por uma parede cilíndrica. A taxa de calor

entre eles pode ser calculada assim:

21 2 31

ln1 1

. .2 .

i e i e

i i e e

T T T TqrR R R

rh A k L h A

O aumento da superfície externa de troca de calor pode ser feito através de expansões

metálicas denominadas aletas, como mostra a figura a seguir.

6.2 – CÁLCULO DO FLUXO DE CALOR EM ALETAS DE SEÇÃO UNIFORME Considerando uma aleta em formato de uma barra (pino) circular, como mostra a figura a

seguir, afixada em uma superfície com temperatura Ts e em contato com um fluido com

temperatura T∞ é possível derivar uma equação para a distribuição de temperatura, fazendo um

Page 86: Trocadores de Calor

6 – ALETAS 86

balanço de energia em um elemento diferencial da aleta. Sob as condições de regime

permanente tem-se:

)( e x entre superfície da

convecçãopor calor de fluxo em elemento do fora para

para conduçãopor calor de fluxo em elemento do dentro para

conduçãopor calor de fluxo dxxdxxx

Na forma simbólica esta equação torna-se:

x x dx convq q q

. . . . . . . . dT dT d dTk A k A k A dx h P dx T Tdx dx dx dx

Onde P é o perímetro da aleta, A é a área da seção transversal da aleta e (P.dx) a área

entre as seções x e (x+dx) em contato com o fluido. Se h e k podem ser considerados

constantes a equação pode ser simplificada para:

. . . . .d dTh P dx T T k A dxdx dx

2

2. . . . d Th P T T k Adx

2

22 .d T m T T

dx .onde ; .

h Pmk A

A equação anterior é uma equação diferencial linear ordinária de segunda ordem, cuja

solução geral é:

T T C e C emx mx

Page 87: Trocadores de Calor

6 – ALETAS 87

onde C1 e C2 são constantes para serem determinadas através das condições de

contorno apropriadas. A primeira das condições de contorno é que a temperatura da base da

barra é igual à temperatura da superfície na qual ela está afixada, ou seja: em x T TS0

De acordo com a segunda condição de contorno, que depende das condições adotadas,

tem-se três casos básicos:

Caso (1) Barra infinitamente longa.

Neste caso, sua temperatura se aproxima da temperatura do fluido quando x , ou

T T em x . Substituindo essa condição na equação diferencial, tem-se:

.. m xsT T T T e

Como o calor transferido por condução através da base da aleta deve ser transferido por

convecção da superfície para o fluido, tem-se:

0

. .aletax

dTq k Adx

Diferenciando a equação da distribuição de temperatura e substituindo o resultado para

x=0 na equação anterior, é obtido:

.0

0

.. . . . . . .

.m

aleta s sx

h Pq k A m T T e k A T Tk A

. . . .aleta sq h P k A T T

A equação fornece uma aproximação razoável do calor transferido, na unidade de

tempo, em uma aleta finita, se seu comprimento for muito grande em comparação com a área

de sua seção transversal.

Caso (2) Barra de comprimento finito, com perda de calor pela extremidade

desprezível.

Neste caso, a segunda condição de contorno requererá que o gradiente de temperatura

em x = L seja zero, ou seja, dT dx 0 em x = L. Com estas condições:

Page 88: Trocadores de Calor

6 – ALETAS 88

coshcosh ( . )s

m L xT TT T m L

A transferência de calor pode ser obtida substituindo o gradiente de temperatura na

base:

lmlm

lmlm

slmlmsx ee

eemTTee

mTTdxdT

..

..

..2..20

..1

11

1..

0

. . .sx

dT T T m tgh m ldx

O calor transferido, na unidade de tempo, é então:

. . . . . .aleta sq h P k A T T tgh m L

Caso (3) Barra de comprimento finito, com perda de calor por convecção pela

extremidade.

Neste caso, a álgebra envolvida é algo mais complicado, entretanto o princípio é o

mesmo e o fluxo de calor transferido é:

senh . . .cosh .. . . . .

cosh . . .senh .aleta s

m L h m k m Lq h P k A T T

m L h m k m L

E a equação da distribuição de temperatura é:

coshcosh ( . )s

m L x h mk senh m L xT TT T m L h mk senh mL

Exemplo 6.1) Estimar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia

ser obtido da parede de um cilindro usando-se 6400 aletas, com forma de pino circular por m2,

tendo cada uma um diâmetro de 5 mm e altura de 30 mm. Admitir o coeficiente convectivo de

120 kcal/h.m2.ºC, a parede do cilindro a 300 ºC e o meio ambiente a 20 ºC. A parede e as

aletas são feitas de alumínio (178,8 kcal/h.m.ºC). Supondo que a aleta tem extremidade

isolada.

Page 89: Trocadores de Calor

6 – ALETAS 89

6.3 – EXERCÍCIOS Exercício 6.1) Uma barra de liga de alumínio (180 W/m.K) de 100 mm de comprimento e

5 mm de diâmetro se estende horizontalmente de um molde de fundição a 200 ºC. A barra está

no ar ambiente que tem temperatura de 20 ºC e coeficiente convectivo de 30 W/m2.K. Qual é a

temperatura da barra a 20, 50 e 100 mm a partir do molde? Considere que este diâmetro da

aleta é muito pequeno. Resposta: 437,37 K; 413,87 K; 396,18 K

Exercício 6.2) Estimar o aumento do calor dissipado que poderia ser obtido com a

utilização de aletas de seção transversal circular instaladas em uma superfície em contato com

o ar a 20 ºC na qual calor é retirado. As aletas são de aço inox com 56,7 W/m.ºC, 5 mm de

diâmetro e 3 cm de comprimento, com espaçamento de 1 cm x 1 cm como mostrado na figura.

Considere o coeficiente de transferência de calor de 50 W/m2.ºC e a temperatura da base de

300 ºC. As aletas têm a extremidade isolada. Resposta: 5,2 W

Page 90: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 90

7 – TROCADORES DE CALOR

Os trocadores de calor são equipamentos que facilitam a transferência de calor entre

dois ou mais fluidos em temperaturas diferentes. Foram desenvolvidos muitos tipos de

trocadores de calor para emprego em diversos níveis de complicação tecnológica e de porte,

como usinas elétricas a vapor, usinas de processamento químico, aquecimento e

condicionamento de ar em edifícios, refrigeradores domésticos, radiadores de automóveis,

radiadores de veículos espaciais, etc. Nos tipos comuns, como os trocadores de calor de casco

e tubos e os radiadores de automóveis, a transferência de calor se processa principalmente por

condução e convecção, de um fluido quente para um fluido frio, separados por uma parede

metálica. Nas caldeiras e nos condensadores, a transferência de calor por ebulição e por

condensação é de primordial importância. Em certos tipos de trocadores de calor, como as

torres de resfriamento, o fluido quente (por exemplo, a água) é resfriado por mistura direta com

o fluido frio (por exemplo, o ar), isto é, a água nebulizada, que cai numa corrente induzida de

ar, é resfriada por convecção e por vaporização. Nos radiadores para aplicações espaciais, o

calor residual do fluido refrigerante é transportado por convecção e condução para a superfície

de uma aleta e daí, por radiação térmica, para o vácuo.

O projeto completo de trocadores de calor pode ser subdividido em três fases principais:

- Análise térmica.

- Projeto mecânico preliminar.

- Projeto de fabricação.

7.1 – CLASSIFICAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR Os trocadores de calor são feitos em tantos tamanhos, tipos, configurações e

disposições de escoamento que uma classificação, mesmo arbitrária, é necessária para o seu

estudo. Serão consideradas as classificações de acordo com:

- O processo de transferência.

- A compacticidade.

- O tipo de construção.

- A disposição das correntes.

Page 91: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 91

7.1.1 – CLASSIFICAÇÃO PELO PROCESSO DE TRANSFERÊNCIA

Os trocadores de calor podem ser classificados como de contato direto e de contato

indireto. No tipo de contato direto, a transferência de calor ocorre entre dois fluidos imiscíveis,

como um gás e um líquido, que entram em contato direto. As torres de resfriamento,

condensadores com nebulização para vapor de água e outros vapores, utilizando

pulverizadores de água, são exemplos típicos de trocadores por contato direto.

Nos trocadores de calor de contato indireto, como os radiadores de automóveis, os

fluidos quente e frio estão separados por uma superfície impermeável, e recebem o nome de

trocadores de calor de superfície. Não há mistura dos dois fluidos.

7.1.2 – CLASSIFICAÇÃO DE ACORDO COM A COMPACTICIDADE A definição de compacticidade é tema bastante arbitrário. A razão entre a área da

superfície de transferência de calor, e o volume pode ser empregada como medida da

compacticidade do trocador de calor. Um trocador de calor com densidade de área superficial,

em um dos lados, maior do que cerca de 700 m2/m3 é classificado, arbitrariamente, como

trocador de calor compacto, independentemente de seu projeto estrutural. Por exemplo, os

radiadores de automóvel, com uma densidade de área superficial da ordem de 1.100 m2/m3,

são trocadores de calor compactos. Os pulmões humanos, com uma densidade de área da

ordem de 20.000 m2/m3, são os trocadores de calor e de massa mais compactos. No outro

extremo da escala de compacticidade, os trocadores do tipo tubular plano e os do tipo casco e

tubos tem densidade da área superficial na faixa de 70 a 500 m2/m3, e não são considerados

compactos.

7.1.3 – CLASSIFICAÇÃO PELO TIPO DE CONSTRUÇÃO

Existem trocadores de calor que empregam a mistura direta dos fluidos, como por

exemplo, torres de refrigeração e aquecedores de água de alimentação, porém são mais

comuns os trocadores nos quais os fluidos são separados por uma parede ou partição através

da qual passa o calor.

Page 92: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 92

Trocadores de calor de placa Como o nome indica, os trocadores de calor são geralmente construídos de placas

delgadas. As placas podem ser lisas ou com alguma forma de ondulações. Já que a geometria

da placa não pode suportar pressões ou diferenças de temperaturas tão altas quanto um

trocador tubular, são ordinariamente projetados para temperaturas ou pressões moderadas. A

compacticidade nos trocadores de placa se situa entre 120 e 230 m2/m3.

Page 93: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 93

Componentes Chave de Um Trocador de Calor a placas

Page 94: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 94

Trocadores de calor tubulares Os trocadores de calor tubulares são amplamente usados e fabricados com muitos

tamanhos, com muitos arranjos de escoamento e em diversos tipos. Podem operar em um

extenso domínio de pressões e de temperaturas. A facilidade de fabricação e o custo

relativamente baixo constituem a principal razão para seu emprego disseminado nas aplicações

de engenharia. Estes trocadores podem ser classificados como carcaça e tubo, tubo duplo e de

serpentina.

Carcaça e tubo Um modelo comumente empregado, o trocador de casco e tubos, consiste em tubos

cilíndricos montados em um casco cilíndrico, com os eixos paralelos ao eixo do casco. A figura

a seguir ilustra as principais partes de um trocador que tem um fluido correndo no interior dos

tubos e outro fluido correndo externamente aos tubos. Os principais componentes deste tipo de

trocador de calor são o feixe de tubos, o casco, os cabeçotes e as chicanas. As chicanas

sustentam os tubos, dirigem a corrente do fluido na direção normal aos tubos e aumentam a

turbulência do fluido no casco. São disponíveis muitas variações do trocador de casco e tubos,

as diferenças estão no arranjo das correntes do escoamento e nos detalhes de construção.

Page 95: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 95

Duplo Tubo São formados por dois tubos concêntricos, como ilustra a figura a seguir. Pelo interior do

tubo do primeiro (interno) passa um fluido e, no espaço entre as superfícies externa do primeiro

e interna do segundo, passa o outro fluido. A área de troca de calor é a área do primeiro tubo.

Tem a vantagem de ser simples, ter custo reduzido e de ter facilidade de desmontagem

para limpeza e manutenção. O grande inconveniente é a pequena área de troca de calor.

Serpentina São formados por um tubo enrolado na forma de espiral, formando a serpentina, a qual é

colocada em uma carcaça ou recipiente, como mostra a figura a seguir. A área de troca de

calor é área da serpentina.

A transferência de calor associada a um tubo espiral é mais alta que para um tubo duplo.

Além disso, uma grande superfície pode ser acomodada em um determinado espaço utilizando

as serpentinas. As expansões térmicas não são nenhum problema, mas a limpeza é muito

problemática.

Page 96: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 96

7.1.4 – CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A DISPOSIÇÃO DAS CORRENTES

De acordo com o arranjo dos fluidos existem três configurações principais conhecidas

como escoamentos paralelos (ou co-correntes), escoamentos opostos (ou contracorrente) e

escoamentos cruzados.

Correntes paralelas

Os fluidos quente e frio entram na mesma extremidade do trocador de calor, fluem na

mesma direção, e deixam juntos a outra extremidade.

Contracorrentes No esquema contracorrente, a diferença de temperatura de uma corrente para outra é

mais uniformemente distribuída ao longo do trocador de calor. Os fluidos quente e frio entram

em extremidades opostas do trocador de calor e fluem em direções opostas.

Correntes cruzadas No trocador com correntes cruzadas, em geral os dois fluidos fluem perpendicularmente

um ao outro.

Existe outra configuração de escoamento encontrada nos trocadores de calor do tipo

casco e tubo, que é o escoamento multipasse.

Page 97: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 97

Escoamento multipasse A configuração de escoamento com passes múltiplos é empregada frequentemente no

projeto de trocadores de calor, pois a multipassagem intensifica a eficiência global, acima das

eficiências individuais. É possível grande variedade de configurações das correntes com

passes múltiplos. A figura a seguir ilustra disposições típicas.

7.2 – MÉDIA LOGARÍTMICA DAS DIFERENÇAS DE TEMPERATURAS

Um fluido dá um passe quando percorre uma vez o comprimento do trocador.

Aumentando o número de passes, para a mesma área transversal do trocador, aumenta a

velocidade do fluido e portanto o coeficiente de película, com o consequente aumento da troca

de calor. Porém, isto dificulta a construção e limpeza e encarece o trocador. A notação

utilizada para designar os números de passes de cada fluido é exemplificada na figura a seguir.

Page 98: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 98

Com relação ao tipo de escoamento relativo dos fluidos do casco e dos tubos, ilustrados

na figura a seguir, é possível ter escoamento em correntes paralelas (fluidos escoam no

mesmo sentido) e correntes opostas (fluidos escoam em sentidos opostos).

Para cada um destes casos de escoamento relativo a variação da temperatura de cada

um dos fluidos ao longo do comprimento do trocador pode ser representada em gráfico, como

mostrado a seguir.

As diferenças de temperatura entre os fluidos nas extremidades do trocador, para o caso

de correntes paralelas, são: (te - Te) que é sempre máxima maxT e (ts - Ts) que é sempre

mínima minT . No caso de correntes opostas, as diferenças de temperatura nas

extremidades (te - Ts) e (ts - Te) podem ser máxima maxT ou mínima minT dependendo

das condições específicas de cada caso.

O fluxo de calor transferido entre os fluidos em um trocador é diretamente proporcional à

diferença de temperatura média entre os fluidos. No trocador de calor de correntes opostas a

diferença de temperatura entre os fluidos não varia tanto, o que acarreta em uma diferença

média maior. Como consequência, mantidas as mesmas condições, o trocador de calor

trabalhando em correntes opostas é mais eficiente.

Page 99: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 99

Como a variação de temperatura ao longo do trocador não é linear, para retratar a

diferença média de temperatura entre os fluidos é usada então a Média Logarítmica das

Diferenças de Temperatura (MLDT), mostrada na equação:

max min

max

min

ln

T TMLDT TT

Exemplo 7.1) Num trocador de calor TC-1.1 onde o fluido quente entra a 900 ºC e sai a

600 ºC e o fluido frio entra a 100 ºC e sai a 500 ºC, qual o MLDT para:

a) correntes paralelas;

b) correntes opostas.

7.3 – BALANÇO TÉRMICO EM TROCADORES DE CALOR

Fazendo um balanço de energia em um trocador de calor, considerado como um sistema

adiabático, tem-se, conforme esquema mostrado, que:

Page 100: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 100

Calor cedido pelo fluido quente = Calor recebido pelo fluido frio

q qced rec

espesp TTCMttcm ....

. . . .p e s p s eq m c t t M C T T

7.4 – COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Considerando a transferência de calor entre os fluidos do casco e dos tubos nos feixes

de tubos de um trocador multitubular, como mostra a figura a seguir. O calor trocado entre os

fluidos através das superfícies dos tubos pode ser obtido considerando as resistências

térmicas:

.1

.1

eecond

ii

total

t

total

AhR

Ah

TRTq

, onde:

totalT : diferença de temperatura entre os fluidos.

,i eh h : coeficientes de película dos fluidos interno e externo.

,i eA A : áreas superficiais interna e externa dos tubos.

condR : resistência térmica a condução nos tubos.

Considerando que a resistência térmica a convecção na parede dos tubos de um

trocador é desprezível, a equação pode ser rescrita da seguinte forma:

Page 101: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 101

1.

.

eii

e

totale

hAhA

TAq

Como o objetivo do equipamento é facilitar a troca de calor, os tubos metálicos usados

são de parede fina (ri @ re). Portanto, as áreas das superfícies interna e externa dos tubos são

aproximadamente iguais, ou seja, Ai @ Ae. Assim, temos que:

11.

ei

totale

hh

TAq

O coeficiente global de transferência de calor em um trocador (UC) é definido assim:

U

h h

C

i e

11 1

Assim a expressão para a transferência de calor em um trocador é:

.. totaleC TAUq

Como visto anteriormente, o T em um trocador de calor é representado pela média

logarítmica das diferenças de temperatura (MLDT). Portanto, a equação pode ser rescrita da

seguinte maneira:

. . MLDTC eq U A

7.5 – FATOR DE FULIGEM (INCRUSTAÇÃO) Com o tempo, vão se formando incrustações nas superfícies de troca de calor por dentro

e por fora dos tubos. Estas incrustações vão significar uma resistência térmica adicional à

troca de calor. Como o fluxo é dado por:

q potencial térmicosoma das resistências

total

t

Tq

R

Page 102: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 102

É evidente que esta resistência térmica adicional deve aparecer no denominador da

equação. Esta resistência térmica adicional (simbolizada por Rd) é denominada fator fuligem.

Desenvolvendo raciocínio similar, é obtido:

11.

dei

totale

Rhh

TAq

externo fuligemfator interno fuligemfator

fuligemfator = e onde,de

diddedid R

RRRRR

O coeficiente global de transferência de calor, levando em conta o acúmulo de fuligem,

ou seja "sujo", é obtido por analogia :

U

h hR

UR

D

i ed

Cd

11 1

11

A equação pode ser colocada na seguinte forma:

1 1 1U U

RU

R RD C

dC

d i d e

Portanto, a transferência de calor em um trocador, considerando o coeficiente global

"sujo" (UD) é dada pela seguinte expressão:

. . MLTD D eq U A

Exemplo 7.2) É desejável aquecer 9820 lb/h de benzeno (cp = 0,425 Btu/lb.ºF ) de 80 a

120 ºF utilizando tolueno (cp = 0,44 Btu/lb.ºF), o qual é resfriado de 160 para 100 ºF. Um fator

de fuligem de 0,001 deve ser considerado para cada fluxo e o coeficiente global de

transferência de calor "limpo" é 149 Btu/h.ft2.ºF. Dispõe-se de trocadores bitubulares de 20 ft

de comprimento equipados com tubos de área específica de 0,435 ft2/ft.

a) Qual a vazão de tolueno necessária?

b) Quantos trocadores são necessários?

Page 103: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 103

7.6 – FLUXO DE CALOR PARA TROCADORES COM MAIS DE UM PASSE Em trocadores tipo TC-1.1 é fácil identificar a diferença de temperatura entre fluidos nos

terminais. No entanto, não é possível determinar estes valores em trocadores com mais de um

passe nos tubos e/ou casco. A figura mostra um trocador do tipo TC-1.2

Neste caso as temperaturas das extremidades nos passes intermediários são

desconhecidas. Em casos assim, o MLDT deve ser calculada como se fosse para um TC 1-1,

trabalhando em correntes opostas, e corrigida por um fator de correção (FT).

MLDTc MLDT FT .

Assim, a equação do fluxo de calor em um trocador "sujo", torna-se:

. . .q UD Ae MLDT FT

Os valores do fator FT são obtidos em ábacos em função das razões adimensionais S e

R. Para cada configuração de trocador existe um ábaco do tipo mostrado na figura apresentada

a seguir.

St tT t

RT Tt t

e

Page 104: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 104

onde, t1 = temperatura de entrada do fluido dos tubos

t2 = temperatura de saída do fluido dos tubos

T1 = temperatura de entrada do fluido do casco

T2 = temperatura de saída do fluido do casco

Para cada valor calculado de S (em abscissas) e cada curva R (interpolada ou não), na

figura, obtém-se um valor para FT (em ordenadas). O valor máximo de FT é igual a 1, ou seja, a

diferença média de temperatura corrigida (MLDTc) pode ser no máximo igual ao MLDT

calculado para um TC-1.1. Isto se deve a menor eficiência da troca de calor em correntes

paralelas, pois quando se tem mais de um passe ocorrem simultaneamente os dois regimes de

escoamento. Deve-se, portanto conferir (no projeto) se esta queda de rendimento na troca de

calor é compensada pelo aumento dos valores do coeficiente de película nos trocadores

multipasse.

Fator de correção para um trocador casco e tubo com um casco e um número de

passes, múltiplo de dois, nos tubos (dois, quatro etc., passes por tubo).

Exemplo 7.3) Em um trocador de calor duplo tubo 0,15 Kg/s de água (cp=4,181

KJ/Kg.K) é aquecida de 40 ºC para 80 ºC. O fluido quente é óleo e o coeficiente global de

Page 105: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 105

transferência de calor para o trocador é 250 W/m2.K . Determine a área de troca de calor, se o

óleo entra a 105 ºC e sai a 70 ºC.

Exemplo 7.4) Em um trocador casco-tubos (TC- 1.2), 3000 lb/h de água (cp = 1

Btu/lb.ºF) é aquecida de 55 ºF para 95ºF, em dois passes pelo casco, por 4415 lb/h de óleo (cp

= 0,453 Btu/lb.ºF ) que deixa o trocador a 140ºF, após um passe pelos tubos. Ao óleo está

associado um coeficiente de película de 287,7 Btu/h.ft2.ºF e um fator fuligem de 0,005 e à água

está associado um coeficiente de película de 75 Btu/h.ft2.ºF e um fator fuligem de 0,002.

Considerando que para o trocador o fator de correção é 0,95, determine o número de tubos de

0,5" de diâmetro externo e 6 ft de comprimento necessários para o trocador.

7.7 – EXERCÍCIOS Exercício 7.1) Em um trocador de calor multitubular (TC-1.2 com FT = 0,95), água

(cp=4,188 KJ/Kg.K) com coeficiente de película 73,8 W/m2.K passa pelo casco em passe

único, enquanto que óleo (cp = 1,897 KJ/Kg.K) com coeficiente de película 114 W/m2.K dá

dois passes pelos tubos. A água flui a 23 Kg/min e é aquecida de 13 ºC para 35 ºC por óleo que

Page 106: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 106

entra a 94 ºC e deixa o trocador a 60 ºC. Considerando fator fuligem de 0,001 para a água e de

0,003 para o óleo, pede-se:

a) A vazão mássica de óleo. Resposta: 32,856 kg/min b) A área de troca de calor necessária para o trocador. Resposta: 18,54 m2

c) O número de tubos de 0,5" de diâmetro externo e 6 m de comprimento necessários.

Resposta:78 tubos

Exercício 7.2) O aquecimento de um óleo leve (cp=0,8 Kcal/Kg.ºC ) de 20 ºC até 120 ºC

está sendo feito usando um trocador multitubular tipo TC-1.8 (FT = 0,8) com um total de 80

tubos (diâmetro interno de 1,87" e diâmetro externo de 2" ) de 3 m de comprimento. Vapor

d'água a 133 ºC ( VH = 516 Kcal/Kg) e vazão de 2650 Kg/h está sendo usado para

aquecimento, condensando no interior do casco. Considerando coeficientes de película de

2840 Kcal/h.m2.ºC para o óleo e de 5435 Kcal/h.m2.ºC para o vapor e que a massa específica

do óleo é 0,75 Kg/dm3, pede-se:

a) O fator fuligem do trocador. Resposta: 0,0005

b) A velocidade do óleo nos tubos do trocador. Resposta: 0,36 m/s

Exercício 7.3) Um trocador de calor deve ser construído para resfriar 25000 Kg/h de

álcool (cp = 0,91 Kcal/Kg.ºC ) de 65 ºC para 40 ºC, utilizando 30000 Kg/h de água (cp = 1

Kcal/Kg.ºC) que está disponível a 15 ºC. Admitindo coeficiente global (sujo) de transferência de

calor de 490 Kcal/h.m2.ºC, determinar :

a) O comprimento do trocador tipo duplo tubo necessário, considerando que o diâmetro

externo do tubo interno é 100 mm. Resposta: 132,4 m

b) O número de tubos (e = 25 mm ) necessários para um trocador multitubular tipo TC-

1.2 com FT = 0,9 e 7 m de comprimento. Resposta: 84 tubos

Exercício 7.4) Uma "máquina de chope" simplificada foi construída a partir de um

trocador tipo serpentina. Este trocador consiste de uma caixa cúbica de 50 cm de lado,

perfeitamente isolada externamente, onde foram dispostos 50 m de serpentina de 10 mm de

diâmetro externo. A serpentina, por onde passa a chope, fica em contato com uma mistura

gelo-água a 0 ºC. Considerando os coeficiente de película interno e externo à serpentina iguais

a 75 e 25 kcal/h.m2.ºC, respectivamente, determinar:

Page 107: Trocadores de Calor

7 – TROCADORES DE CALOR 107

a) o fluxo de calor transferido para a mistura água-gelo considerando que o chope entra

a 25 ºC e sai a 1 ºC. Resposta: 219,6 kcal/h

b) o número de copos de 300 ml que devem ser tirados em 1 hora para que a

temperatura do chope se mantenha em 1 ºC , considerando que o calor específico e a massa

específica do chope são iguais a 0,78 kcal/kg.ºC e 1 Kg/dm3, respectivamente. Resposta: 39 copos

c) o tempo de duração do gelo, sabendo que, inicialmente, seu volume corresponde a 10

% do volume da caixa. A massa específica e o calor latente de fusão do gelo são,

respectivamente, 0,935 kg/l e 80,3 kcal/kg. Resposta: 4,27 h

Exercício 7.5) Em um trocador TC-1.1 (contra corrente), construído com 460 tubos de 6

m de comprimento e diâmetro externo de 3/4", 5616 Kg/h de óleo (cp = 1,25 Kcal/Kg.ºC ) é

resfriado de 80 ºC para 40 ºC, por meio de água (cp = 1,0 Kcal/Kg.ºC) cuja temperatura varia

25 ºC ao passar pelo trocador. O óleo passa pelos tubos e tem coeficiente de película de 503,6

Kcal/h.m2.ºC e a água, que passa pelo casco, tem coeficiente de película de 200 Kcal/h.m2.ºC.

Esta previsto um fator fuligem de 0,013. Pede-se as temperaturas de entrada e saída da água.

Resposta: Te = 12,8 ºC; Ts = 37,8 ºC. Exercício 7.6) Um trocador de calor casco e tubo deve ser projetado para aquecer 2,5

Kg/s de água de 15 a 85 ºC. O aquecimento deve ser realizado pela passagem do óleo quente

de motor, que se encontra disponível a 160 ºC, através do lado do casco do trocador. Sabe-se

que o óleo fornece um coeficiente de convecção de 400 W/m2.K no lado externo dos tubos e a

água um coeficiente de 3061 W/m2.K. A água no casco sobre os dez tubos. Cada tubo

apresenta parede delgada, de diâmetro de 25 mm, e faz oito passes através do casco. Se o

óleo deixa o trocador a 100 ºC, qual a sua taxa de escoamento? Qual deve ser o comprimento

dos tubos para fornecer o aquecimento desejado? Dados: Cpóleo = 2350 J/Kg.K; Cpágua = 4181

J/Kg.K. Resposta: 5,19 Kg/s; 37,9 m.

Page 108: Trocadores de Calor

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 108

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO

A transferência de calor associada a um processo de mudança de estado, por envolver o

calor latente, é sempre um fenômeno muito mais intenso do que a maioria dos fenômenos de

convecção que envolvem apenas transporte de calor sensível.

Os processos de transferência de calor com mudança de fase são: condensação,

vaporização (evaporação e ebulição), solidificação, fusão e sublimação.

Neste capítulo serão estudados os processos de convecção associados à mudança de

fase em um fluido. Em particular, serão considerados os processos que podem ocorrer em uma

interface sólido-líquido (ebulição e condensação). Para esses casos, os efeitos do calor latente

associado à mudança de fase são significativos.

Uma vez que envolvem movimentação do fluido, a ebulição e a condensação são

classificadas como formas de transferência de calor por convecção. Entretanto, elas possuem

características específicas. Devido à existência da mudança de fase, a transferência para ou a

partir de um fluido pode ocorrer sem modificar a temperatura do fluido.

Muitos problemas de engenharia envolvem a ebulição e a condensação. Por exemplo,

ambos os processos são essenciais em todos os ciclos de potência e refrigeração fechados.

Em um ciclo de potência, o líquido pressurizado é convertido em vapor em uma caldeira. Após

a expansão na turbina, o vapor retorna ao estado líquido em um condensador, e depois é

bombeado até a caldeira para repetir o ciclo. Evaporadores, nos quais o processo de ebulição

ocorre, e condensadores também são componentes essenciais nos ciclos de refrigeração por

compressão de vapor. O projeto racional de tais componentes exige que os processos com

mudança de fase a eles associados sejam bem entendidos.

8.1 – CONDENSAÇÃO A condensação tem lugar sempre que o vapor entra em contato com uma superfície que

está a uma temperatura menor que a temperatura de saturação, àquela pressão. Em

equipamentos industriais, o processo comumente resulta do contato entre o vapor e uma

superfície fria. A energia latente do vapor é descarregada, o calor é transferido para a

superfície e o condensado é formado. A condensação junto a uma superfície pode ocorrer de

duas maneiras, dependendo da condição da superfície: em gotas ou em filme.

A condensação em película é geralmente característica de superfícies limpas e

descontaminadas, onde uma película de líquido cobre toda a superfície da condensação, e sob

Page 109: Trocadores de Calor

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 109

ação da gravidade a película escoa continuamente da superfície. Entretanto, se a superfície é

coberta com uma substância que iniba o umedecimento, é possível manter a condensação em

gotas. As gotas se formam em fendas, depressões e cavidades sobre a superfície e podem

crescer e se unir através da condensação continuada.

Independentemente de se encontrar na forma de película ou gotas, a condensação

fornece uma resistência à transferência de calor entre o vapor e a superfície. Devido a essa

resistência aumentar com a espessura do condensado, que aumenta na direção do

escoamento, é desejável utilizar pequenas superfícies verticais ou cilindros horizontais em

situações envolvendo condensação em película. A maioria dos condensadores, portanto,

consite em feixes de tubos horizontais através dos quais um líquido refrigerante escoa e em

torno do qual o vapor a ser condensado é circulado.

8.2 – EBULIÇÃO A ebulição ocorre quando um líquido está em contato com uma superfície que é mantida

a uma temperatura (Tp) acima da temperatura de saturação (Tsat) correspondente à pressão no

líquido.

O processo é caracterizado pela formação de bolhas de vapor que crescem e

subsequentemente se desprendem da superfície. O crescimento e a dinâmica das bolhas de

vapor dependem, de forma complicada, do excesso de temperatura, da natureza da superfície

Page 110: Trocadores de Calor

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 110

e das propriedades termofísicas do fluido, assim como da tensão superficial. Por sua vez, a

dinâmica da formação das bolhas de vapor afeta o movimento do líquido próximo à superfície e

além disso influencia fortemente o coeficiente de transferência de calor.

A ebulição pode ocorrer de duas formas, ebulição em vaso ou com convecção forçada.

Ebulição com convecção forçada Na ebulição com convecção forçada o movimento do fluido é induzido por meios

externos, assim como pela convecção livre e pela mistura induzida pelas bolhas.

Ebulição em vasos Na ebulição em vaso o líquido encontra-se em repouso e seu movimento próximo à

superfície é devido à convecção livre e à mistura induzida pelo crescimento e desprendimento

das bolhas.

A ebulição toma diferentes formas dependendo do excesso de temperatura. Existem

quatro diferentes regimes de ebulição:

1) Ebulição com convecção natural.

2) Ebulição nucleada.

3) Ebulição de transição.

4) Ebulição em película.

A CURVA DE EBULIÇÃO Os diferentes regimes estão identificados na curva de ebulição de acordo com o valor do

excesso de temperatura. A figura mostra a curva de ebulição para água a 1 atm.

Page 111: Trocadores de Calor

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 111

EBULIÇÃO COM CONVECÇÃO NATURAL

EBULIÇÃO NUCLEADA

Page 112: Trocadores de Calor

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 112

EBULIÇÃO NO REGIME DE TRANSIÇÃO

EBULIÇÃO EM FILME (OU EM PELÍCULA)

Page 113: Trocadores de Calor

8 – EBULIÇÃO E CONDENSAÇÃO 113

FLUXO TÉRMICO CRÍTICO

Page 114: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 114

9 – FORMULÁRIOS 9.1 – PRIMEIRA PROVA

TqR

VIR

dxdTkAqx LR

kA 1 2

2

1

.2. . .ln

k Lq T Trr

2

1ln

.2. .

rr

Rk L

Ėe +Ėg – Ės = 0

02

2

dx

Td 21 cxcT

1 2q Sk T , (2 )1

t cond DRSk

Page 115: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 115

Page 116: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 116

.. .

0

sh A tc VT T e

T T

2

..i o

hL t kB Fk L c

0

i oB FT T eT T

( )Sq hA T T 1R

hA

.ts

t

k Aq T T

u uRe =xx x

kth

t

11 320,664Re PrL LNu

14 35

5 8

~5

,

0,037 Re 871 Pr

0,6 Pr 605 10 Re 10

Re 5 10

L L

L

x c

Nu

13Re Prm

D DhDNu Ck

ReD C m 0,4 - 4 0,989 0,330 4 - 40 0,911 0,385 40 – 4.000 0,683 0,466 4.000 – 40.000 0,193 0,618 40.000 – 400.000 0,027 0,805

Lf

hLNuk

Pr pck

Re VL

m cm u A

, ,conv p m s m eq mc T T

conv s lmq hA T ln

s elm

s

e

T TTT

T

,

,

s s m s

e s m e

T T TT T T

Esfera: 2 3443sA R V R

Cilindro: 2 2 2b lV R h A R A Rh

Page 117: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 117

Placas planas: 5

5 6

6

Laminar: Re < 2 10Transição: 2 10 < Re < 3 10 Turbulento: Re > 3 10

9.2 – SEGUNDA PROVA

é o potencial térmico e onde,

é a resistência térmica da paredeTTq

RR

VIR

Esfera: 2 3443sA R V R Cilindro: 2 2 2b lV R h A R A Rh P D

dxdTkAqx LR

kA 1 2

2

1

.2. . .ln

k Lq T Trr

2

1ln

.2. .

rr

Rk L

( )Sq hA T T 1R

hA

σ = 5,67 x 10-8 W/m2 . K4 σ = 4,88 x 10-8 kcal/h. m2 . K4 σ = 0,173 x 10-8 Btu/h . ft2 . ºF

Eb= σ Ts4 E = εσ Ts4 Gabs = α G q'’ = ε σ (Ts

4 – Tviz4)

" ( )Rrad s vizq h T T hR = εσ (Ts2 + Tviz

2) (Ts + Tviz)

J E G

1 2 1 1 12. .q E A F A F A F1 12 2 21. . 4 41 12 1 2. . q A F T T

N

ijj=1

F 1

Page 118: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 118

Page 119: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 119

4 41 2

12 1 21 2

1 1 1 12 2 2

1 1 1T T

q q q

A A F A

Page 120: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 120

. .

h Pmk A

.. m xsT T T T e

. . . .aleta sq h P k A T T

coshcosh ( . )s

m L xT TT T m L

. . . . . .aleta sq h P k A T T tgh m L

senh . . .cosh .. . . . .

cosh . . .senh .aleta s

m L h m k m Lq h P k A T T

m L h m k m L

coshcosh ( . )s

m L x h mk senh m L xT TT T m L h mk senh mL

Page 121: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 121

9.3 – TERCEIRA PROVA

é o potencial térmico e onde,

é a resistência térmica da paredeTTq

RR

VIR

- Esfera: 2 3443sA R V R

- Cilindro: 2 2 2b lV R h A R A Rh P D

max min

max

min

ln

T TMLDT TT

. . . .p e s p s eq m c t t M C T T

.q m H . .m V A

1 1

. .

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Page 122: Trocadores de Calor

9 – FORMULÁRIOS 122