Faculdade de Ciências Aplicadas da Unicamp

Tutorial do Mathematica

Realizado por: Rebecca Brisolla ObaraSegundo Semestre de 2009-11-27

Sumário

Cápitulo 1 - Introdução pág. 31.1 - Lista de abreviações pág. 3

Cápitulo 2 - O Mathematica pág. 42.1 - Histórico pág. 42.2 - Linguagem Mathematica pág. 4

Cápitulo 3 - Comandos pág. 63.1 - Comandos gerais pág. 63.2 - Identificando as opções dos comandos pág. 83.3 - Carregamento de pacotes pág. 103.4 - Tradução de linguagem para outros programas pág. 10

Cápitulo 4 - Funções no Mathematica pág. 124.1 - Inserindo funções pág. 124.2 - Resolução de equações pág. 134.3 - Gráficos de funções pág. 13

4.3.1 - Gráficos em 2D simples pág. 134.3.2 - Gráficos em 3D simples pág. 144.3.3 - Gráficos parametricos [2D e 3D] pág. 174.3.4 - Gráficos polares pág. 184.3.5 - Curvas de nível e superfícies de nível pág. 194.3.6 - Densidade de uma função pág. 214.3.7 - Vetor Gradiente pág. 22

Cápitulo 5 - Limites pág. 24Cápitulo 6 - Derivadas pág. 25Cápitulo 7 - Integrais pág. 26

7.1 - Integrais simples pág. 267.2 - Integrais duplas e triplas pág. 267.3 - Polinômio de Taylor pág. 27

Cápitulo 8 - Como se aprofundar no aprendizado pág. 28Bibliografia pág. 30

Cápitulo 1 - Introdução

O Mathematica é um software conhecido como um CAS (Computer Algebraic System), um programa capaz de efetuar cálculos numéricos, operar expressões algébricas (por exemplo, resolver equações com literais), gerar uma grande variedade de diferentes tipos de gráficos, e pode produzir documentos com alta qualidade para impressão. O software simboliza um grande avanço para o cálculo algébrico e computação gráfica uma vez que dispensa horas de cálculo e desenho manual, facilitando a vida de muitos profissionais e estudantes da área de exatas. Isso o torna um programa um dos programas mais utilizados na indústria, governo e educação.

Os recursos do Mathematica incluem computação simbólica (operações com literais) e numérica, otimização, programação linear, análises e visualização (gráficos 2D e 3D), recursos um tanto complexos, amplamente utilizados por profissionais que trabalham na área de exatas. No entanto funções simples podem ser efetuadas no Mathematica mesmo sabendo-se pouco sobre o programa. Na presente discussão, trataremos desses comandos mais básicos que permitirão ao leitor se introduzir ao programa com comandos que abrangem funções, noções de Cálculo I e alguns comandos refentes ao Cálculo II.

O tutorial se baseia na versão 6.0 do software.

1.1 - Lista de abreviações e legendas

“x”, “y”, “t”, “α”, “β” e “θ” => variáveis“a” e “b” => valores mínimo e máximo que se atribuirá à variável x“c” e “d” => valores mínimo e máximo que se atribuirá à variável y

Cápitulo 2 - O Mathematica

2.1 - Histórico

O fabricante do Mathematica é a Wolfram Research, líder em desenvolvimento de software de computação técnica. A empresa foi fundada em 1987 por Stephen Wolfram e lançou a primeira versão do Mathematica em 23/07/1988.

Depois da primeira versão, houveram diversas modificações no software que incluíram comandos e simplificaram outros, além de atualizarem configurações para acompanharem as atualizações de sistemas operacionais.

2.2 - Linguagem Mathematica

O Mathematica tem alguns comandos que podem simplificar a digitação. Nesses casos a digitação pode ser efetuada da seguinte forma: <Esc> + <comando> + <Esc>. Neste tutorial serão apresentados alguns dos comandos mais utilizados.

É válido lembrar também que números decimais devem ser digitados com ponto ao invés de vírgula.

Para digitar-se uma equação em função de variáveis representadas por letras quaisquer, diferentes de x, y e z, e necessário utilizar “_”após a letra para identificá-la como variável.

Cápitulo 3 - Comandos

3.1 - Comandos gerais

Abrindo o Mathematica, a primeira visão que se tem é do notebook (ou “caderno” em português). Ele é uma janela em branco onde serão digitados todos os comandos do Mathematica. Para efetuar uma operação ou plotagem de gráfico, basta digitar o comando seguido de <Shift> + <Enter>, ou <Enter> do teclado numérico. Na tela aparecerá o que foi digitado (uma função simples ou um comando) identificado como In[n]:= e a resposta do software ao que foi digitado como Out[n]=

As operações fundamentais com números podem ser realizadas facilmente utilizando-se os seguintes comandos, seguidos de <Shift> + <Enter>, da seguinte forma:

Para adição: utiliza-se o simbolo “+” como em 7 + 3Para subtração: utiliza-se o simbolo “-” como em 4 - 10Para divisão: utiliza-se o simbolo “/” como em 90/3 ou utiliza-se o comando <Ctrl> + </>

com o barra do teclado como em 40/2Para multiplicação: utiliza-se o simbolo “*” como em 3*2Para potenciação: utiliza-se o simbolo “^” como em 2^3 ou utiliza-se o comando <Ctrl> +

<6> como em 3³Para raízes: utiliza-se o comando potencialização para elevar um número ao inverso da raiz

como em 3¹′² Para raízes quadradas: utiliza-se o comando <Ctrl> + <2> como em √9 ou o comando

“Sqrt[função]” como em Sqrt[16]O comando <Shift> + [espaço] sai do comando de potenciação e da raiz para que se possa

continuar escrevendo normalmente no MathematicaPara logaritmos: utiliza-se “Log[base,logaritmando]” como em Log[2,8]. Para cálculo de ln,

ou seja logaritmo na base e, utiliza-se somente “Log[logaritmando]” como em Log[3].

Para alguns comandos como divisão e logaritmos neperianos, o mathematica não responde com um valor numérico. Para que ele realize tal operação é necessário que utilizemos o comando N[função,n] no qual se deve especificar o numero de casas que se deseja na resposta.

Se a intensão é realizar alguma operação com a responda dada imediatamente, pode-se usar o comando [%] que se refere ao número ou função dada anteriormente.

A utilização do ponto e vírgula após uma função não calcula aquilo que foi pedido mas só computa a função.

A fim de simplificar a digitação é possível nomear uma função. Dessa forma não será

necessário digitá-la novamente sempre que desejarmos efetuar operações com ela. Para isso usamos o comando A=[função].

Temos ainda os seguintes comandos para manipulação algébrica de expressões:Para simplificação utiliza-se: Simplify[expressão] ou FullSimplify[expressão]Para fatoração utiliza-se: Factor[expressão]Para distributiva de produtos utiliza-se: Expand[expressão]Para composição de funções: Composition[f1,f2,f3,...,fN][x] onde f1,f2,f3,...,fN são as

funções em função da variável x

Para a visualização de matrizes temos o comando Table que computa dados que regem a matriz e o comando MatrixForm que desenha a matriz. Para cálculo do determinando da matriz e de sua transposta, utiliza-se o comando Det e Transpose, respectivamente, como ilustrado abaixo.

3.2 - Identificando as opções dos comandos

Para se modificar alguma característica de determinado comando como a cor e a escala dos eixos, por exemplo, é preciso saber como esse comando é chamado pelo Mathematica. Identificamos as opções dos comandos digitando Options[comando].

Este comando é de grande importância, por exemplo, na determinação da escala dos eixos. Isso porque o Mathematica utiliza nas escalas uma proporção diferente de 1:1 e acaba gerando gráficos distorcidos. Para que a proporção esteja em 1:1 então, é necessário mudar a opção da plotagem gráfica AspectRatio para 1.

Para facilitar a visualização dos gráficos em 3D é possível ainda realizar mudança de cores e determinar o ponto de onde se quer ter a vista. Para mudança de cores existem várias opções que

dependem a que comando se referem. Para determinar um ponto de vista do gráfico é necessário mudar uma das opções da plotagem em ViewPoint

3.3 - Carregamento de pacotes

Existem alguns comandos que não estão disponíveis para utilização automática no Mathematica. Para esses comandos é necessário que se carregue os pacotes manualmente através do comando “ <<[tipo do comando]`[comando]` “

3.4 - Tradução de linguagem para outros programas

O Mathematica realiza traduções de linguagem para outros programas como o Látex, MathML e alguns outros. Para realizar tal função basta escrever o que se deseja traduzir, selecionar o que foi escrito e, com o botão direito do mouse, selecionar a opção Copy As. Lá o usuário pode escolher para a linguagem de qual software deseja traduzir.

Para o Látex existe uma outra maneira de realizar tal função digitando direto no notebook o comando TeXForm[a traduzir]. O programa também traduz da linguagem Latex para o Mathematica através do comando ToExpression[a traduzir,TeXForm]

Cápitulo 4 - Funções no Mathematica

4.1 - Inserindo funções

Para a visualização e manipulação de funções no Mathematica é necessário que a igualdade seja digitada com dois sinais de = . É desta forma que o programa entende a igualdade da equação. A resposta à digitação de funções é simplesmente a organização da expressão por expoentes crescentes da variável.

Para cálculo de funções trigonométricas, utilizamos os comandos:Pana seno: Sin[x] Para cosseno: Cos[x]Para tangente: Tan[x]Para secante: Sec[x]Para cossecante: Csc[x]Para cotangente: Cot[x]Para arco seno: ArcSin[x]Para arco cosseno: ArcCos[x]Para arco tangente: ArcTan[x]Para arco secante: ArcSec[x]Para arco cossecante: ArcCsc[x]Para arco cotangente: ArcCot[x]Para Seno hiperbólico: Sinh[x]Para cosseno hiperbólico: Cosh[x]Para tangente hiperbólica: Tanh[x]Para secante hiperbólica: Sech[x]Para cossecante hiperbólica: Csch[x]Para cotangente hiperbólica: Cothh[x]

A fim de simplificar a digitação é possível nomear uma função. Dessa forma não será necessário digitá-la novamente sempre que desejarmos efetuar operações com ela. Para isso usamos o comando A=[função].

4.2 - Resolução de equações

O Mathematica tem a capacidade de resolução de equações, ou seja, de descobrir as raízes de determinada equação, através do comando Solve[função]. Raízes imaginarias são simbolizadas pela letra i

4.3 - Gráficos de funções

No Mathemathica é possível plotar gráficos com comandos em 2D e 3D. É possível ainda a plotagem de mais de um gráfico ao mesmo tempo. Para tal, basta digitar Comando[f1,f2,...,fN,{x,a,b}], onde “a” e “b” são os valores mínimo e máximo que se atribuirá à variável x.

4.3.1 - Gráficos em 2D simples

A construção de gráficos no Mathematica é realizada pela função Plot[{função},{x,a,b}].

4.3.2 - Gráficos em 3D simples

Para gráficos de superfícies, ou seja, em três dimensões, a equação deve estar em função de duas variáveis. O gráfico da função será plotado com o comando Plot3D[{função},{x,a,b},{y,c,d}].

Existe ainda um comando que plota gráficos através da revolução de curvas. O comando chama-se RevolutionPlot3D.

4.3.3 - Gráficos paramétricos 2D e 3D

Para representação de gráficos paramétricos, utiliza-se o comando ParametricPlot[{função},{x,a,b}]para curvas e ParametricPlot3D[{função},{x,a,b},{y,c,d}] para superfícies.

4.3.4 - Gráficos polares

Gráficos polares podem ser desenhados através do comando PolarPlot.

4.3.5 - Curvas de nível e Superfícies de nível

Através do comando ContourPlot o Mathematica esboça curvas de nível de uma função de duas variáveis. Superfícies de nível também podem ser esboçadas através do comando ContourPlot3D.

4.3.6 - Densidade de uma função

O Mathematica tem a capacidade de descrever o comportamento de uma superfície através de diferentes escalas de cor. O comando utilizado para tal é o DensityPlot.

4.3.7 - Vetor Gradiente

Para representação de vetores gradientes de uma curva, utiliza-se o comando VectorFieldPlot[{vetor gradiente},{x,a,b}{y,c,d}] ou o comando GradientFieldPlot[função,{x,a,b}{y,c,d}]. O primeiro comando traça os vetores digitados. O segundo comando calcula o vetor gradiente da função pedida. Em três dimensões basta adicionar “3D” após os comandos.

É necessário “chamar” o comando antes de efetuá-lo. Observe o exemplo:

Cápitulo 5 - Limites

Para cálculo de limites, o Mathematica utiliza-se do comando Limit[expressão, x->a] onde “a” simboliza o ponto para o qual a variável tende.

Cápitulo 6 - Derivadas

Para cálculo de derivadas utiliza-se o comando D[expressão{x}]. Pode-se ainda utilizar o comando f’[x], se a gunção já foi computada anteriormente. Nesse caso a n-ésima derivada é calculada de acordo com as “n” apóstrofes.

Cápitulo 7 - Integrais

7.1 - Integrais simples

Para cálculo de integrais indefinidas basta utilizar o comando Intagrate[expressão,x]. A integral indefinida também é facilmente calculada da forma Intagrate[expressão,{x,e,f}] onde “e” e “f” simbolizam os limites de integração.

Para integrais indefinidas também pode-se utilizar o símbolo de integral. Após a digitação da função é necessário colocar a variável de integração.

7.2 - Integrais duplas e triplas

Integrais duplas e triplas podem ser calculadas de forma semelhante às integrais simples.

Cápitulo 8 - Polinômio de Taylor

O Mathematica tem um comando muito simples capaz de calcular séries de polinômio de Taylor. Esse comando pode ser efetuado digitando-se Series[f[x], {x, a, b}] onde “a” simboliza o ponto no qual se deseja calcular a aproximação e “b” simboliza a precisão da aproximação

Cápitulo 9 - Como se aprofundar no aprendizado

O tutorial tratou de comando básicos no Mathematica, no entanto o software contém um guia de todos os seus comandos para quem desejar se aprofundar nestes. É possível acionar um quadro para auxiliar o usuário no manejamento do software acionado na opção “help” da barra de ferramentas ou através do botão F1 do teclado.

Para que o usuário seja incentivado a se aprofundar no software ficam mais alguns comandos extras que podem ser mais usuais em momentos específicos do cálculo, mas que são muito difíceis de serem efetuados manualmente. Esses comandos são o Sound e o Manipulate.

O comando Sound pode ser muito útil para o estudo de ondas. Seu acionamento reproduz o som de uma onda representada por uma função que descreve sua forma.

No Mathematica existe um comando muito útil para a observação do comportamento de uma função ou de um gráfico de uma função, manipulando-se um ou mais parâmetros. Para tal, utiliza-se o comando Manipulate[comando,{x,a,b},{φ,e,f} onde “φ” simboliza o parâmetro que varia de “e” até “f”.

Bibliografia

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/http://www.wolfram.com/