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Tutorial Elementos Finitos

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Text of Tutorial Elementos Finitos

  • Departamento de Matemtica | Instituto de Cincias Exatas | Universidade Federal de Minas Gerais

    Uma breve introduo ao

    Mtodo dos Elementos Finitos

    Breno Loureiro Giacchini

    Janeiro de 2012

  • Contedo

    Prefcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1 Introduo 2

    2 O problema unidimensional 32.1 Formulao fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Discretizao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Existncia e unicidade da soluo do problema aproximado . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Um caso particular: partio regular do intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    3 O problema bidimensional 83.1 Formulao fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Problema aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Uma base para Vd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.3.1 Enumeraes dos vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Funes da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.3 Clculo dos gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.4 Alguns exemplos de malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.5 Outros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    Bibliograa 23

    Prefcio

    Em meio a tantos bons livros e apostilas sobre o Mtodo dos Elementos Finitos, o questionamento doporqu da escrita deste texto no de todo descabido. O que nos motivou a escrev-lo a diculdadede se encontrar um texto, em portugus, que apresente o Mtodo de forma simples e direta, que lhefornea uma idia geral e ao mesmo tempo permita sua implementao em casos simples, mas semgrandes delongas em formalismos matemticos e prembulos sobre anlise funcional, por exemplo.

    Admitimos, pois, que nossa exposio do Mtodo no feita com todo rigor matemtico nem emtoda sua generalidade, mas cremos que essa opo satisfaz ao estudante que deseja entender sua essnciae aplic-lo, de forma rpida, em alguns casos; ou ao interessado em ter um primeiro contato com essatcnica de resolver numericamente problemas de valores de contorno. Por ser um texto introdutrio,que d apenas um sabor do Mtodo, nos limitamos contemplar o problema de Dirichlet homogneouni e bidimensional e a utilizar, neste caso, apenas elementos triangulares.

    Deixamos expresso nosso agradecimento ao apoio da Fundao de Amparo Pesquisa do Estadode Minas Gerais FAPEMIG , que nanciou o projeto de pesquisa Obteno dos autovalores eautofunes do laplaciano via o quociente de Rayleigh, do qual o estudo do Mtodo dos ElementosFinitos e a escrita deste texto foram partes integrantes. Tambm agradecemos ao professor RodneyJosu Biezuner, nosso orientador neste projeto.

    1

  • Captulo 1

    Introduo

    Diversos problemas da Fsica, Engenharia e outras cincias aparecem sob a forma de uma equaode Poisson

    u = f (x) em (1.1)

    com condio de fronteira de Dirichlet u = c sobre , sendo c uma funo constante por partes.Aqui o operador laplaciano1, representa o aberto limitado no qual o problema est denido e, sua fronteira. Quando c = 0 temos a condio de Dirichlet homognea. Ao conjunto de umaequao de Poisson com uma condio de Dirichlet homognea chamamos um problema de Dirichlethomogneo: {

    u = f(x) em ,u = 0 sobre .

    (1.2)

    Dependendo da geometria do domnio a soluo do problema pode ser obtida analiticamentena forma de sries de Fourier. Exemplos clssicos normalmente estudados num curso de equaesdiferenciais parciais so o caso de retngulos, semiplanos, discos e paraleleppedos. No entanto, preciso recorrer a mtodos numricos caso o domnio se torne mais elaborado. O mtodo dos elementosnitos (MEF) conhecido por ser robusto e aplicvel em domnios deveras elaborados. Essas tambmso algumas de suas vantagens sobre o mtodo das Diferenas Finitas, tambm bastante popular.

    A idia central do MEF discretizar o domnio, representando-o, ainda que de forma aproximada,por uma reunio de um nmero nito de elementos; e resolver no o problema original (1.2), mas sim umque lhe associado sua forma fraca. No caso de um domnio plano, os elementos podem ser tringulosou quadrilteros. O mtodo pode ser utilizado para resolver no s problemas elpticos, como o hpouco mencionado; e as condies no necessitam ser de Dirichlet: o MEF tambm aplicvel no casode condio de Neumann ou Robin. Optamos por explorar neste texto apenas elementos triangularese considerar somente o problema (1.2), j que nosso objetivo propiciar um primeiro contato com oMEF.

    Analisaremos, primeiramente, o caso do problema unidimensional, que bastante simples e tilcomo introduo ao mtodo. Em seguida, passaremos ao problema bidimensional, apresentando eexemplicando como o MEF se lhe aplica. Cremos que a partir da o leitor ou a leitora j estaro aptosa utilizar dessa ferramenta na resoluo de alguns problemas de interesse.

    1Se Rn e u funo u : R, u =n

    i=1

    d2u

    dxi2.

    2

  • Captulo 2

    O problema unidimensional

    2.1 Formulao fraca

    O problema de Dirichlet homogneo unidimensional se escreved

    2u

    dx2= f (x) em [0,1],

    u(0) = u(1) = 0.

    (2.1)

    Assumiremos que a funo f : [0, 1] R limitada e contnua por partes. Isso necessrio porqueo MEF supe que f integrvel. Notamos que aqui = [0, 1].

    Ao invs de resolver o problema (2.1) da forma como est escrito, o MEF se prope a solucionarum problema equivalente, chamado formulao fraca do original. Para escrever (2.1) dessa forma,

    principiamos denindo o espao de funes V = {v; v funo contnua em [0, 1], dvdx

    limitada e

    contnua por partes, e v(0) = v(1) = 0}.Em seguida, multiplicamos a primeira equao de (2.1) por uma funo qualquer de V e integramos

    a equao resultante em :

    1

    0

    d2u

    dx2 v dx =

    10

    f(x) v dx .

    Integrando por partes e lembrando que v sastifaz a condio de Dirichlet homognea:

    (vdu

    dx

    ) 1

    0

    +

    10

    du

    dx

    dv

    dxdx =

    10

    f v dx

    1

    0

    du

    dx

    dv

    dxdx =

    10

    f v dx (2.2)

    para todo v V . A equao (2.2) juntamente com a condio de Dirichlet homognea a formulaofraca do problema (2.1).

    Mostraremos agora que a existncia de uma soluo de (2.1), problema original, implica na equi-valncia entre os problemas de formulao forte e fraca. Vimos logo acima que formulao forte formuo fraca. Resta, pois, vericar a recproca.

    J que supomos que o problema original tem soluo, sabemos qued2u

    dx2existe e contnua por

    partes. Podemos, ento, integrar por partes a formulao fraca (2.2). O que obtemos justamente aformulao forte (original):

    3

  • 10

    du

    dx

    dv

    dxdx =

    (vdu

    dx

    ) 1

    0

    1

    0

    vd2u

    dx2=

    10

    f(x) v(x) dx

    1

    0

    (f(x) +

    d2u

    dx2

    )v(x) dx = 0 , v V.

    Como a igualdade acima se verica para qualquer funo v em V , o termo do integrando que est entreparntesis deve ser nulo; e assim chegamos ao problema original:

    f(x) +d2u

    dx2= 0 , 0 < x < 1.

    Com isso provamos que uma funo que resolve o problema forte tambm soluo do fraco; e que,se a soluo do problema fraco for sucientemente regular, ela tambm resolver o problema forte. Nomtodo dos elementos nitos resolveremos o problema fraco, (2.2).

    2.2 Discretizao do problema

    Na formulao original, o problema de Dirichlet contnuo e seu espao de solues pode ter dimensoinnita1. Aproximaremos o problema contnuo por outro discreto, cuja soluo est em um espao dedimenso nita. Isso feito dividindo o domnio (o intervalo [0, 1]) em um nmero nito de subintervalosIj = [xj1, xj ], 1 6 j 6 N + 1, N N, com 0 = x0 < x1 < < xN < xN+1 = 1. Cada subintervalotem comprimento hj = xj xj1.

    Essa discretizao uma partio [do intervalo], cuja norma denimos h = maxj{hj}, o compri-mento do maior dos subintervalos.

    O termo discretizao usado justamente porque passamos de um contnuo (a funo originalest denida num domnio que uma reunio no-enumervel de pontos) para um conjunto discreto: odomnio passa a ser uma reunio nita de intervalos2. Em cada um desses intervalos Ij , aproximamosa funo original u por um segmento de reta de extremos u(xj1) e u(xj) (Figura 1a). Evidentemente,quanto menor o comprimento dos subintervalos, ou seja, quanto menor a norma da partio, maisa funo discretizada ud se aproximar da original u (Figura 1a-b). Notemos, ainda, que ud comodenida contnua.

    Figura 1: Aproximao de uma funo suave por outra linear por partes. Quanto menor a norma dapartio, melhor a aproximao.

    1Exemplos de problemas cujas solues esto num espao de dimenso innita so aqueles tradicionalmente estudadosnum curso de equaes diferenciais parciais que tm como resultado sries de Fourier innitas. Cada uma daquelas funes

    sen(nxL

    )ou cos

    (nxL

    ) uma funo da base do espao que contm a soluo do problema. Como existem innitos

    n N, a base um conjunto innito.2Uma reunio nita de intervalos ainda um conjunto no-enumervel de pontos. A idia aqui que, ao invs de

    buscarmos u com denio ponto a ponto, vamos aproxim-la por uma funo que denida subintervalo por subintervaloe, nesse sentido, ela ser denida discretamente. Mais adiante no texto car clara essa idia.