Tutorial MatLab

Tópicos em Processamento de SinaisDepartamento de Engenharia Elétrica

Faculdade de TecnologiaUniversidade de Brasília

1

MATLAB1) Introdução

O aplicativo Matlab é uma das ferramentas mais úteis para as áreas de processamento desinais, controle, e outras aplicações. O “Mat” do nome Matlab está relacionado com “Matriz”, ouseja, é um laboratório que permite a manipulação eficiente de matrizes. Pode-se dizer também que oMatlab permite também a manipulação eficiente de vetores, já que um vetor de tamanho N pode servisto como uma matriz de Nx1.

Uma das melhores formas de se familiarizar com o Matlab é através do comando intro, queprovê uma turnê pelas características básicas do programa.

Exercício 1

Use o comando intro e, com atenção, procure entender todos os exemplos fornecidos.

A aplicação predominante no presente curso será o processamento digital se sinais. Paraisto, preparamos algumas técnicas em Matlab que facilitarão o uso do aplicativo para esta tarefa.

2) Geração de Sinais AmostradosComo primeiro exemplo, geraremos a seguinte função senoidal no Matlab:

f(t)=sin(2*pi*fo*t)

Onde fo=1 Hz.

A função é mostrada na seguinte figura:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo (seg.)

f(t)

Senoide de 1 Hz



2

Para permitir o processamento de sinais por computador, o sinal analógico deve serdigitalizado por um conversor analógico para digital (A/D). Neste processo o sinal é amostrado emvários instantes, em intervalos de tempo constante. O intervalo de tempo é o período de amostragem(T), e o recíproco de T é a freqüência de amostragem (fs= 1/T). A unidade de tempo do período deamostragem em geral é segundos, e a de Freqüência é em Hz. 100 Hz significa que 100 amostras dosinal são tomadas em 1 segundo.

Pode-se simular funções amostradas no Matlab. O exemplo abaixo mostra como se podesimular a amostragem de uma senóide no Matlab:

Exercício 2

Siga os passos descritos para simular a amostragem de uma onda senoidal no seguinteexemplo. Digite os comandos na Matlab, e observe os efeitos.

1) Crie o eixo do tempo:t=0:0.05:1;

O comando acima cria uma variável (vetor) com os elementos 0, 0.05, 0.1, ..., 1. O ponto evírgula evita que a variável seja exibida na tela. Tente rodar o comando acima e observe o queacontece. Caso você tenha errado, e o vetor inteiro comece a aparecer na tela, você pode parar oprocesso usando CTRL-C.

O comando size(t) exibe o tamanho da matriz t, e o comando length(t) mostrará o comprimento dovetor. Experimente estes comandos.

2) Crie a função:f=sin(2*pi*t);

O comando acima cria um vetor cujas componentes são a função senoidal calculada a cada valor dovetor t. Assim, no Matlab, você pode calcular o seno de um vetor, ou mesmo de uma matriz.Execute este comando.

3) Plotar a função:plot(t,f)

Este comando faz a plotagem do sinal, tendo f no eixo y, e o correspondente t no eixo x.Execute este comando.

4) Coloque o Titulo e as variáveis dos eixos x e y:title(‘Funcao Senoidal’)xlabel(‘Tempo (segundos)’)ylabel(‘Amplitude (Volts)’)



3

Experimente os comandos acima.

Tente também os seguintes comandos:plot(f,t)

plot(f)

plot(t)

O que aconteceu no primeiro comando? No segundo comando, a senóide foi plotada, mas oeixo y mostrou simplesmente o número da amostra, mas não o tempo correspondente a cada abcissay. Explique o que acontece no terceiro exemplo.

Tente também as seguintes opções:plot(t,f,’*’)plot(t,f,’b*’)plot(t,f,’.’)plot(t,f,’c.’)plot(t,f,’-’)plot(t,f,’y-’)

Observe as cores e características dos gráficos. Agora digite help plot, e leiacuidadosamente as descrições da função plot.

Agora digite a seguinte função:grid

Note o efeito da função, e digite help grid, para ver as características desta função.

Agora gere uma segunda função:f2=sin(2*pi*2*t)

E plote as funções f e f2 no mesmo gráfico:plot(t,f,t,f2)

Verifique as cores dos gráficos. Agora digite:plot(t,f,’b*’,t,f2,’c-.’)

E verifique os efeitos.

Agora tente os seguintes comandos:stem(t,f)

stem(t,f2)



4

O que estes comandos fazem? Digite help stem, e estude o funcionamento desta função.Tente mudar as cores dos traçados desta função. Note que a função não é tão flexível quanto a coresdo traçado quanto a função plot.

3) Geração de sinais mais complexos

Digite os seguintes vetores:A=[0 1 2 3 4 5 6];

B=[0 2 4 6 8 10 12];

Tente multiplicar A*B. Note que o Matlab não realizará tal operação. O fato é que o Matlabsempre interpretará o vetor como uma matriz, e o programa sempre interpreta uma multiplicaçãocomo uma multiplicação de matrizes. Entretanto, há uma opção que permite ao usuário fazer umamultiplicação ponto a ponto de dois vetores ou matrizes (isto é o primeiro elemento do resultado é oproduto dos primeiros elementos dos fatores, o segundo elemento do resultado é o produto dossegundos elementos dos fatores, e assim por diante). Tente digitar:

C=A.*B

Note que o vetor C é o resultado da multiplicação ponto a ponto do dos vetores A e B.

Exercício 3

Queremos plotar a seguinte função no intervalo 0<x<4:

y(x)=(x-1)(x-2)

Para isto, criamos primeiro o vetor representando a variável x, e em seguida a função emquestão:

x=0:0.05:4;

y=(x-1).*(x-2);

plot(x,y)

Note o comando “.*”. Cada expressão entre parênteses é um novo vetor, e os vetores sãomultiplicados ponto a ponto, resultando no efeito desejado.

Agora geraremos a função:

y(x)=x3-6x2+11x-6



5

Para isto, criamos primeiro o vetor representando a variável x, e em seguida a função emquestão:

x=0:0.05:4;

y=x.^3-6*x.^2+11*x-6;

plot(x,y)

Note que o operador “.^” é também um operador ponto a ponto, que eleve cada elemento damatriz à potência desejada. Tente digitar x^2, e veja que este comando não funcionará. Tentedescobrir porque (lembre-se que o Matlab sempre assume operações matriciais).

PROBLEMAS

1) Gere e plot a função f(t)=exp(-t)sin(2*5*pi*t), no intervalo 0<x<6. Use várias escolhas deintervalo para o eixo x: 0.1 sec., 0.05 sec., etc., e escolha o que tem melhor aparência.

2) Ache graficamente as raízes da função y=x3+2x2-x+1. (Dica: procure, por tentativa e erro ointervalo, a o período de amostragem do eixo x, realizando sucessivas plotagens das tentativas).

3) Plote a seguinte função: y=sin(x)*cos(2x)/(2+sin(x)). Escolha um eixo x apropriado (Não se esqueçaque as multiplicações e divisões devem ser operações ponto a ponto).

4) Gere a função f(t)=sin(2*pi*10*t), no intervalo 0<x<10. Qual é a freqüência desta senóide? Useas seguintes escolhas de freqüência de amostragem: 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 40 Hz, e 200 Hz. Use afunção stem. Observe bem o efeito, pois será analisado na próxima aula.

5) Gere a função f(t)=exp(-t)sin(2*5*pi*t), e depois plote um histograma da mesma. Dica: use afunção intro, e observe o uso da função bar. Em seguida digite help bar, para analisar aquelafunção.



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EXERCÍCIOS COM O MATLAB

Nesta seção, veremos algumas funções extras do Matlab. Primeiramente, consideremos oseguinte trecho a seguir. Analise atentamente o programa abaixo (consulte o help para as funçõesque você não conhece):

% exemplo: geracão de uma forma de onda ruidosat=0:0.01:pi; %linha 1y=2*sin(5*t); %linha 2figure(GCF) %linha 3plot(t,y) %linha 4pause %linha 5ruido=randn(1,length(t)); %linha 6plot(t,ruido) %linha 7pause %linha 8y_ruido=y+ruido; %linha 9plot(t,y_ruido); %linha 10

Execute o programa. A linha 1 cria o vetor do tempo de amostragem. A linha 2 cria umafunção senoidal (qual é a freqüência?). A linha três faz com que a janela com o gráfico sejacolocada à frente de todas as outras. A linha 4 plota uma senóide, como mostrado abaixo:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

O comando pause, na linha 5, causa uma pausa no programa. Para continuar o programa, ousuário deve pressionar <Enter>. [Pergunta: o que acontece se este comando for substituído porpause(2)? Dica: use o comando help].

A linha 6 utiliza o comando randn (utilize o help para aprender sobre este comando). Estecomando gera uma seqüência de números aleatórios com distribuição normal, com uma linha etantas colunas quanto for o comprimento do vetor t. O comando lenght(t) fornece o número deelementos de t. Observe a plotagem do sinal de ruído:



7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-3

-2

-1

0

1

2

3

Em seguida, a linha 9 calcula uma nova variável y_noise, que é o sinal senoidal mais oruído. Observe o resultado:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Neste exemplo, você aprendeu como gerar um sinal com ruído.Agora, vejamos outros comandos. Para isto considere o seguinte código:

% Exemplo 2A=[1 2 3; 4 5 6]B=[3 4 ; 3 6 ; 7 8]C=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9];D=[5 6 ; 7 8 ; 9 10];pausesize(A)size(B)pause



8

length(A)length(B)

Após executar o código acima, realize manualmente, e em seguida usando o Matlab, asseguintes operações (indique quando a operação não é possível):

A*B=

B*A=

A*C=

A^2=

A.^2=

C^2=

C.^2=

A’=

C*inv(C)=

[B B B]=

[A;A;A]

Veremos agora alguns comandos estatísticos. Considere o seguinte trecho de código:

% exemplo 3

A=[ 1 2 3 4 5 6 7] %linha 1B=mean(A) %linha 2C=std(A) %linha 3Pause %linha 4RUIDOSO=randn(1,5000); %linha 5figure(gcf) %linha 6plot(RUIDOSO) %linha 7title('sinal ruidoso') %linha 8pause %linha 9MEDIA_RUIDOSO=mean(RUIDOSO) %linha 10DP_RUIDOSO=std(RUIDOSO) %linha 11Pause %linha 12MAISRUIDO=5*randn(1,5000); %linha 13MEDIA=mean(MAISRUIDO) %linha 14DP=std(MAISRUIDO) %linha 15



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Use o comando help para estudar os comandos mean, e std. Execute o programa. Tomecuidado de só incluir o ponto-e-vírgula quando necessário. Estes comandos calculam a média e odesvio padrão dos vetores em questão (relembre na literatura o que estes termos significam). Nalinha 2, o resultado, B, será a média dos elementos do vetor A Na linha 3, o resultado C será odesvio padrão dos elementos do vetor A. Calcule A e B manualmente, e cheque os resultados comos resultados do Matlab.

Na linha 5 um sinal de ruído normal é gerado, e é plotado na linha 6. A média e o desviopadrão são calculados e mostrados nas linhas 10 e 11. Note que a função randn gera ruído aleatóriocom média 0, e desvio padrão 1 (na verdade, próximos de 0 e 1). Para obter um ruído com maiorintensidade (maior desvio padrão), basta multiplicar o ruído pelo desvio padrão desejado, como éfeito nas linhas 13, 14 e 15. Analise com cuidado estas três últimas linhas.

EXERCÍCIOS

1) Usando o comando help, aprenda a lidar com os comandos max, min, mean, median, sort.2) Usando o comando help, aprenda a usar os comandos fix, floor, ceil, round, mod,

rem, sign.3) Gere uma senóide com freqüência de 50 Hz e amplitude 3V, amostrada a uma freqüência de

amostragem de 1 kHz. Adicione a esta senóide ruído gaussiano com desvio padrão de 2V. Ploteo sinal resultante. Determine os valores máximo e mínimo deste sinal. Não se esqueça de incluirtítulo e unidades. Procure plotar o sinal de forma que suas características fiquem claras ao leitor(deve ficar claro que o sinal é uma senóide com ruído).

4) Usando o comando help square, aprenda como gerar uma onda quadrada. Gere uma ondaquadrada de 10 Hz, amostrada a uma freqüência de 1 KHz.



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REVISÃO: NÚMEROS COMPLEXOS

1) Representação dos Números Complexos

Números complexos são uma estrutura criada como uma extensão dos números reais. Àprimeira vista, esta estrutura parece ser artificial e inútil. Entretanto, na prática suas aplicações sãoinúmeras. Este capítulo apresentará uma revisão resumida do tópico, devida à sua importância nasséries de Fourier.

Um número complexo é um par ordenado de números reais (R,I), e é muito usualmenterepresentado na seguinte forma:

C=R+iI, ou C=R+jI

Sendo que matemáticos preferem o uso do i, enquanto os engenheiros preferem o j. R échamado parte real, e I é chamado parte imaginária do número complexo. Note que se I é zero, onúmero se transforma em puramente complexo, e se R é zero, o número é puramente imaginário.

Os números complexos seguem certas regras algébricas, que a princípio parecem estranhas,mas que permitem a extensão de várias técnicas matemáticas, bem como possibilitam um grandenúmeros de aplicações. É muito comum se representar os números complexos em um planoordenado x,y, da forma ilustrada na Figura 1.

(x,y)

X=M sin(α)

M cos(α)

M

Real

imaginario

a=tan-1(y/x)

Figura 1 - Representação gráfica de um número complexo

O módulo ou magnitude M de um número complexo é representado geometricamente pelareta ligando a origem à coordenado do par ordenado, e é definido como:

M=sqrt(x2+y2)

O ângulo ou fase α, do número complexo é o ângulo entre a reta mencionada e o eixo x, e édefinido como:

α=tan-1(I/R)

É fácil mostrar, observando a geometria da Figura 1 que:



11

R=M cos(α)

I=M sin(α)

Muitas vezes o número complexo é representado por seu módulo e sua fase, da seguintemaneira:

M ∠ α

Exercício 1:

Considere os seguintes números:

A=1+j2

B=-2+j3

C=4-j1

D=-2-j2

1) Plote manualmente cada um do números, e enumere em que quadrante o número está (1o., 2o.,3o., ou 4o.) e depois plote os mesmo usando o Matlab (plot(A) plota o número complexo, caso omesmo realmente seja complexo).

2) Para cada número, calcule manualmente o módulo M, e depois faça os cálculos com o Matlab(comando abs(A)). Confira os resultados com os cálculos manuais.

3) Calcule manualmente os ângulos α (atente para os quadrantes) e em seguida repita os cálculosem Matlab (comando atan(x/y)). Tente também a função atan2(x/y), e observe que a mesmaleva em consideração o quadrante em que o número está.

4) A partir dos valores de M e α calculados, determine x e y. Faça o mesmo em Matlab (Exemplo,x=M*cos(alfa), y=M*sin(alfa)).

5) Digite A=1+j2, e em seguida, digite:

real(A) imag(A)

O que acontece? Qual é a função dos comandos acima?1

6) Digite o seguinte código:

A=[ 1+j*2 ; 2+j*3 ; 4-j*1 ; 2-j*2 ]plot(A)M=abs(A)gridalfa1=atan(real(A)./imag(A))



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alfa2=atan2(real(A),imag(A))Areal=M.*cos(alfa2)Aimag=M.*sin(alfa2)

Tente entender todos os comandos. Note que os exercícios de 1 a 4 foram implementadosnesta linha. Note o caráter matricial (ou vetorial) das variáveis (preste atenção nos pontos do .*, e ./.

6) Converta os seguintes números para a forma R+jI:

2 π/3

3 60o

4 π/2

2) Álgebra dos Números Complexos

Os números complexos são sujeitos a regras de álgebra, algumas delas semelhantes àálgebra dos números reais, e algumas diferentes. Quando os números complexos são puramentereais, a álgebra simplesmente se transforma na álgebra dos números reais.

Suponha os números complexos A e B:

A=Ar+ j Ai

B=Br+ j Bi

Estes números complexos são sujeitos às seguintes regras:

Soma: A+B=(Ar + Br) + j ( Ai + Bi)

Valor de j: j=i=sqrt(-1)

Quadrado de i: i2=-1

Multiplicação: A . B=( Ar+ j Ai).( Br+ j Bi)= Ar Br +j Ai Br+j BrAi+j2AiBi

= (ArBr - AiBi)+j (ArBi+AiBr)

Raiz n-ésima (fórmula de de Moivre):

a+2kpA1/n= n |A| ∠ n

Complexo conjugado de R+jI : R-jI

Multiplicação de um número complexo por seu conjugado:

(A+jB)(A-jB)=A2+B2 (note a eliminação da parte complexa)



13

Eliminação de partes complexas no denominador:

A+jB = A+jB C-jD = (AC-BD) + j(AD-BC)C+jD C+jD C-jD C2+D2

Exercício 2

Suponha:

M= 1+j2

N= 3+j4

Calcule primeiro manualmente, e depois em Matlab. Dê os resultados na forma R+jI :

1) M+N

2) MN

3) M/N

4) M2

5) sqrt(M)

6) M1/3

7) M1/5

8) Determine todas as raízes cúbicas de 8 (Fórmula de de Moivre ou Matlab)

9) Eleve todas as raízes encontradas em na questão 8 ao cubo.

3) Fórmula de Euler:

Duas fórmulas fazem os números complexos muito úteis:

ejω = cos ω + j sin ω

e-jω = cos ω - j sin ω

Ou equivalentemente:

cos ω = ejω + e-jω

2sin ω = ejω − e-jω

j2Note que

cos ω = Re (ejω)

sin ω = Im (ejω)



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Exercício 3

1) Defina uma variável de tempo com 0<t<5, amostrada em intervalos de 0.01 segundos, e calcule afunção

f(t)=e2jπt

Usando seus conhecimentos, tente prever o comportamento desta função. Note que a funçãoé formada por uma parte real senoidal, e uma parte imaginária cossenoidal. Plote a parte real e aparte imaginária na Função no Matlab:

ParteReal=real(f);ParteImag=imag(f);subplot(2,1,1)plot(t,ParteReal)subplot(2,1,2)plot(t,ParteImag)

2) A função também pode ser dividida em uma parte função módulo e fase. Tente prever a formadas funções módulo e fase da função seus conhecimentos. Use o Matlab para plotar estasfunções:

Módulo=abs(f);Fase=atan2(imag(f),real(f));subplot(2,1,1)plot(t,Módulo)subplot(2,1,2)plot(t,Fase)

3) Multiplique a função complexa f, calculada no exercício anterior, pelo número complexo 1+j1, echame a nova função de f2. Plote as partes reais de f1 e f2 no mesmo gráfico. Observe o efeito damultiplicação por um número complexo. Por que este efeito ocorre? Preste bastante atenção aesta questão, pois é central para o entendimento posterior dos conceitos de resposta emfreqüência, e FFT.

4) Gere a função f(t)=sin(2πt). Multiplique esta função por 1+j1, gerando f2. Plote no mesmográfico as partes imaginárias de f e f2. Note os efeitos, e explique-os.

A FFT e a DFT

O Matlab permite o cálculo fácil da DFT e da FFT. Se tivermos um vetor A, de n elementos,a DFT do mesmo é:



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FFTdeA=fft(A);

E para a FFT inversa, é usada a seguinte forma:IFFTdeA=ifft(FFTdeA);

Caso o número de elementos de A seja da forma 2k, o Matlab usa o algoritmo da FFT (maisrápido). Caso contrário, é usado o algoritmo da DFT. Considere o seguinte exemplo:t=(0:.01:.99);f=sin(2*pi*2*t);F=fft(f);subplot(2,1,1)plot(abs(F),'ko')subplot(2,1,2)plot(angle(F),'ko')

O resultado é mostrado a seguir:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-2

0

2

4

Note que foram plotados o ângulo e a fase da FFT. Isto porque o resultado é um vetor comnúmeros complexos. Tente plotar o vetor sem a função abs. Explique a razão para o resultadoaparentemente absurdo.

Neste exemplo, é calculada a DFT de 1 segundo de amostragem de uma senóide com 2 Hz.



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Note que o resultado da fase foi estranho. A razão é que a fase é o resultado de divisões denúmeros muito pequenos por números muito pequenos, resultando num valor não significativo.

Substitua agora a primeira linha port=(0:.01:1.3);

e execute o programa. O resultado é mostrado a seguir:

0 20 40 60 80 100 120 1400

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120 140-4

-2

0

2

4

Nota-se que neste último caso ocorreu o fenômeno do “leakage”. Este fenômeno nãoocorreu no primeiro caso porque as amostras completavam um ciclo completo (a menos de umaamostra). Para que não ocorra leakage, é necessário que esta precaução seja tomada.

Voltemos agora ao primeiro exemplo. Nota-se que o eixo dos x não corresponde ãfreqüência e sim ao número da amostra. Para que seja mostrada a amostra, é necessário que amesma seja calculada. Para tal, suponhamos que a freqüência de amostragem seja fs e que o sinalcontenha N amostras. Neste caso, a primeira amostra corresponderia à freqüência zero, e a amostraN (que não existe, já que as amostras vão de 0 a N-1) corresponderia à freqüência de amostragem.Assim, a freqüência de cada amostra, na DFT resultante corresponderia a fs/N. Por exemplo, a



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primeira amostra corresponderia à freqüência zero, a Segunda a fsN, a terceira a 2fs/N, e a n-ésima a(n-1)fs/N.

Outra observação importante é com respeito à amplitude. A amplitude da senóide noexemplo é de 1 V, e a amplitude da DFT foi de 50. Isto se deve ao fato de que o resultado daFFT é sempre multiplicado pelo número de amostras. Assim, para se Ter uma estimativaconfiável das componentes espectrais, é necessário que se divida o resultado por N.

Tendo essas considerações em mente, execute o seguinte código:

clear % Limpa variáveisclf % Limpa gráficost=(0:.01:.99); % Gera instantes das amostrasfs=100; % Freqüência de amostragemN=length(t); % Determina o número de amostrasf=1+sin(2*pi*10*t);% Amostra o sinal formado por

% uma cte + senóideF=fft(f); % Calcula a DFTFesc=F/N; % Escalona para o valor corretofreq=(0:N-1)*fs/N; % Calcula eixo das freqüênciasplot(freq,abs(Fesc),’ko’) % Plota o módulo da DFTxlabel(‘Freqüência ’) % Label do eixo xylabel(‘Amplitude’) % Label do eixo y

O resultado é mostrado a seguir:



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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Freqüência

Am

plitu

de

FILTROS DIGITAIS

O Matlab apresenta muitas funções que facilitam a implementação de filtros digitais.Observe o help da função filter.

FILTER One-dimensional digital filter. Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the filter described by vectors A and B to create the filtered data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed" implementation of the standard difference equation:

a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na)

If a(1) is not equal to 1, FILTER normalizes the filter coefficients by a(1).

When X is a matrix, FILTER operates on the columns of X. When X



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is an N-D array, FILTER operates along the first non-singleton dimension.

[Y,Zf] = FILTER(B,A,X,Zi) gives access to initial and final conditions, Zi and Zf, of the delays. Zi is a vector of length MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1 or an array of such vectors, one for each column of X.

FILTER(B,A,X,[],DIM) or FILTER(B,A,X,Zi,DIM) operates along the dimension DIM.

See also FILTER2, FILTFILT (in the Signal Processing Toolbox).

Assim, a função tem, em geral, três argumentos: os vetores A e B, correspondentes aoscoeficientes dos filtros, e o vetor de entrada. O resultado da função é o vetor de saída.

Antes de fazermos um exemplo com a função filter, vamos observar que o Matlab possuivárias ferramentas que permitem a determinação dos coeficientes A e B. Um exemplo é a funçãobutter. Observe o help desta função:

BUTTER Butterworth digital and analog filter design. [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an N'th order lowpass digital Butterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B and A. The cut-off frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample rate.

If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2. [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter. [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].

When used with three left-hand arguments, as in [Z,P,K] = BUTTER(...), the zeros and poles are returned in length N column vectors Z and P, and the gain in scalar K.

When used with four left-hand arguments, as in [A,B,C,D] = BUTTER(...), state-space matrices are returned.

BUTTER(N,Wn,'s'), BUTTER(N,Wn,'high','s') and BUTTER(N,Wn,'stop','s') design analog Butterworth filters. In this case, Wn can be bigger than 1.0.

See also BUTTORD, BESSELF, CHEBY1, CHEBY2, ELLIP, FREQZ, FILTER.



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Vê-se que esta função determina os coeficientes de um filtro de Butterworth de ordem n, com umafreqüência de corte fc. A freqüência de corte é indicada de forma que o valor 1 corresponda àmetade da freqüência de amostragem fs. Por exemplo, se fs=100Hz, 0.1 corresponderia a umafreqüência de corte de 5 Hz.

Como exemplo, será filtrada uma senóide de 15 Hz, amostrada a 100 Hz, por um filtro comfc=10 Hz.

clearclft=(0:.01:1);f=sin(2*pi*5*t); % amostragem do sinalsubplot(2,1,1)plot(t,f) % Sinal de entrada[B,A]=butter(1,0.1); % Calcula coeficientes do filtro de 2ª ordem,

% fs/2=50Hz e fo=5Hz, entao Wn=5/50=0.1saida=filter(B,A,f); % Filtra o sinal. Resultando no vetor de

% saída.subplot(2,1,2)plot(t,saida)

Execute este código, e explique o resultado.

EXERCÍCIOS

1) Gerar um sinal f(x)=1+sin(2100t), amostrado a 1KHz.

2) Passar o sinal por um filtro passa-baixas Butterworth com fc=50 Hz.

3) Passar o sinal por um filtro passa-baixas Butterworth com fc=50 Hz.

4) O Matlab possui a função freqz, que permite plotar a resposta em freqüência de filtros digitais.Examine o help desta função, e use-a para plotar a resposta em freqüência do filtro do últimoexemplo.

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