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Universidade de São Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Crescimento econômico, consumo de energia e qualidade ambiental: modelos
intergeracionais sob à luz da hipótese EKC
Luiz Fernando Ohara Kamogawa
Tese apresentada para a obtenção do título de Doutor em Ciências. Área de concentração: Economia Aplicada
Piracicaba
2008
Luiz Fernando Ohara Kamogawa
Bacharel em Ciências Econômicas
Crescimento econômico, consumo de energia e qualidade ambiental: modelos
intergeracionais sob à luz da hipótese EKC
Orientador:
Prof. Dr. RICARDO SHIROTA
Tese apresentada para a obtenção do título de Doutor em Ciências. Área de concentração: Economia Aplicada
Piracicaba
2008
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) DIVISÃO DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO - ESALQ/USP
Kamogawa, Luiz Fernando Ohara Crescimento econômico, consumo de energia e qualidade ambiental: modelos intergracionais sob à luz da hipótese EKC / Luiz Fernando Ohara Kamogawa. - - Piracicaba, 2008.
98 p. : il.
Tese (Doutorado) - - Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, 2008. Bibliografia.
1. Consumo de energia elétrica 2. Desenvolvimento econômico 3. Gás carbônico – Emissão 4. Gestão ambiental I. Título
CDD 333.72
“Permitida a cópia total ou parcial deste documento, desde que citada a fonte – O autor”
3
À Karen.
4
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Ricardo Shirota pelos seus conselhos e direcionamentos.
À Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, acima da formação intelectual,
formadora de pessoas.
Aos professores Eliezer Martins Diniz (FEARP-IPE-USP), Roberto Arruda de Souza
Lima (ESALQ-USP) e Alexandre Chibebe Nicolella (FEARP-USP) pelas importantes inserções
que trouxeram maior qualidade ao trabalho.
À Maria Aparecida Maielli Travalini, essencial em todos os momentos.
Aos meus pais, por tudo.
À Karen, a minha grande companheira.
À minha irmã Juliana.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES pelo suporte
financeiro.
5
SUMÁRIO
RESUMO.......................................................................................................................................7
ABSTRACT...................................................................................................................................8
1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................................9
1.1 O modelo EKC...................................................................................................................... 11
1.1.2 Resultados e estudos empíricos.......................................................................................... 12
1.2 Objetivos................................................................................................................................ 14
2 MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO.................................................................. 16
2.1.1 Hipóteses básicas................................................................................................................ 16
2.1.2 Equação fundamental do modelo de Solow........................................................................18
2.2 Modelo intergeracional básico de Ramsey-Cass-Koopmans................................................ 19
2.2.1 Hipótese básicas (as famílias)............................................................................................. 20
2.2.2 Condição de primeira-ordem.............................................................................................. 22
2.2.3 As firmas............................................................................................................................. 24
2.2.4 O equilíbrio......................................................................................................................... 26
2.2.5 A dinâmica do modelo........................................................................................................27
2.2.5.1 A dinâmica de c .............................................................................................................. 28
2.2.5.2 A dinâmica de k ..............................................................................................................29
2.2.5.3 A dinâmica da transição...................................................................................................30
2.2.6 A solução do planejador central......................................................................................... 31
2.3 Convergência......................................................................................................................... 32
2.4 Modelo dinâmicos da EKC....................................................................................................34
3 CRESCIMENTO ECONÔMICO, CONSUMO DE ENERGIA E QUALIDADE
AMBIENTAL: O MODELO INTERGERACIONAL................................................................ 39
3.1 Hipóteses básicas................................................................................................................... 39
3.1.1 O equilíbrio estático............................................................................................................ 42
3.1.2 O equilíbrio dinâmico......................................................................................................... 44
3.1.3 A Green Golden Rule – GGR……………………………………………......................... 49
6
3.1.4 O efeito de Z………………………………………………………………....................... 51
3.1.5 O efeito de X....................................................................................................................... 52
3.1.6 Solução analítica, estabilidade do modelo e convergência................................................. 52
4 METODOLOGIA..................................................................................................................... 57
4.1 Análise analítica do modelo para o Brasil............................................................................. 57
4.1.1 Calibração do modelo e seu ajuste econométrico............................................................... 57
4.1.2 Metodologia de programação para a solução analítica....................................................... 59
4.1.3 Base de dados..................................................................................................................... 59
4.2 A convergência mundial........................................................................................................ 61
4.2.1 Convergência condicionada................................................................................................ 61
4.2.2 Base de dados..................................................................................................................... 65
5 RESULTADOS........................................................................................................................ 66
5.1 Solução analítica.................................................................................................................... 66
5.2 Convergência mundial condicionada..................................................................................... 68
5.3 Resultados comentados, a solução decentralizada e o processo de internalização das
externalidades.............................................................................................................................. 69
6 CONCLUSÕES........................................................................................................................ 71
REFERÊNCIAS.......................................................................................................................... 74
ANEXOS.....................................................................................................................................80
7
RESUMO
Crescimento econômico, consumo de energia e qualidade ambiental: modelos
intergeracionais sob à luz da hipótese EKC
Hipóteses teóricas estilizadas apontam para a existência de uma relação em “U” invertido entre renda e qualidade ambiental, crescente em um primeiro estágio do crescimento econômico e decrescente em um segundo estágio. Relação também conhecida como curva ambiental de Kuznets, do inglês Environmental Kuznets Curve, ou EKC. Diferente de uma infinidade de outras variáveis como o desmatamento e a qualidade da água. Hipóteses empíricas, no entanto, apontam a inexistência para o caso das emissões de poluentes provenientes do consumo de energia (especialmente emissão de carbono). Críticas tanto do ponto de vista teórica quanto da modelagem empírica econométrica apontam para uma série de pontos de falibilidade dos modelos típicos da EKC para tal erro. Essencialmente por serem modelos baseados em hipóteses estilizadas não modeladas que dependem de uma comprovação empírica baseada em modelos pouco robustos. O objetivo do presente é sugerir uma modelagem teórica mais consistente para a relação consumo de energia, qualidade ambiental e crescimento econômico. Para tal objetivo, foi feita uma extensão dos modelos de crescimento de Ramsey-Cass-Koopmans, incorporando as variáveis expressas.
Palavras-chaves: Crescimento econômico; Qualidade ambiental; Energia; Emissões
ABSTRACT
Economic growth, energy consumption and environmental quality: intergenerational
models under EKC hypothesis
Stylized theoretical hypothesis indicates the existence of an “inverted-U” shaped relationship between income and environmental quality, up growing in the first step of economic growth and down sloping in a second step. Relationship as well as know as Environmental Kuznets Curve, or simply EKC. However, differently from some other variables such as deforest and water quality, empirical evidences, indicates that for emissions from energy use (specially, carbon emissions) this relationship does not seems to apply. Critics from both views (theoretical and empirical) points up several motivations for EKC fallibility. Essentially because they are models based upon stylized hypothesis (non-proved) and depend upon weak constructed empirical econometrical models. The objective of the present study is suggesting a robust theoretical model for the relationship between economic growth, energy consumption and environmental quality. For the referred objective it has been done a extension of the Ramsey-Cass-Koopmans growth models incorporating the energy and environmental quality.
Keywords: Economic growth; Energy consumption; Environmental quality
1 INTRODUÇÃO
A energia, como fator de produção, propicia o consumo1 de bens e serviços é item
essencial para o desenvolvimento e crescimento das economias. Para o seu aproveitamento as
fontes de energia primárias são convertidas em outras fontes de energia (secundárias) que permite
o seu armazenamento, transporte e uso. Em alguns casos, estas fontes secundárias podem ser
transformadas em outras fontes, antes de seu uso final.
No caso dos combustíveis fósseis, a energia é aproveitada através da combustão em que
ocorre a quebra das cadeias de carbono. Neste processo, além da liberação de energia sob a forma
de calor, ocorre a eliminação de uma série de gases nocivos tais como: o monóxido e dióxido de
carbono (COX), monóxido e dióxido de enxofre (SOX) e outras Partículas Sólidas em Suspensão -
PSS2. Essas emissões, quando lançadas no ambiente, são consideradas fontes de poluição.
Historicamente, o problema das emissões emerge diretamente com a Revolução
Industrial. O processo contínuo da sua expansão reforça o movimento que induz os países a
realizar ações mitigadoras para solucioná-lo. Em 1956, o Clean Air Act já indicava a preocupação
dos britânicos com o controle da emissão de poluentes (LOMBORG, 2001). Posteriormente, em
1963, os norte-americanos também promulgaram a sua Clean Air Act (FIELD, 1994). Dentre as
iniciativas mais recentes, podem ser citados a aprovação do Protocolo de Montreal sob o Tratado
de Quioto3 e incentivos ao uso de Mecanismos de Desenvolvimento Limpo - MDL.
A redução do nível de emissão de poluentes poderia ser feita também com o uso de fontes
de energia alternativas mais “limpas” e renováveis. As energias hidroelétrica (grandes e pequenas
centrais), eólica, solar (térmica e fotovoltaica), nuclear e de biomassa são algumas alternativas
disponíveis. Entretanto, o alto custo atual4 em comparação às fontes fósseis, além dos riscos de
manipulação e usos não pacíficos (caso da energia nuclear), dificulta a utilização dessas fontes
alternativas em larga escala.
1 Existem alguns bens e serviços que só geram utilidade com o consumo conjugado com outro bem ou serviço, gerando um terceiro bem ou serviço não-negociável (DEATON; MUELBAUER, 1987). Ex: Televisor + Energia = Imagem de TV, Lâmpada + Energia = Iluminação.
2 Suspended Particular Matter – SPM. 3 Acordo, que entrou em vigor em fevereiro de 2005, entre 55 países do mundo, que visa reduzir em 55% a quantidade emitida de gases de efeito estufa (principalmente de CO2).
4 O custo por kW de energia gerada por Óleo Combustível é de US$ 556 de 2004 (tecnologias de 2005), contra 1.320 da PCH, 1.091 da Eólica, 2.589 da Solar Térmica, 3.981 da Fotovoltaica, 1.744 da Nuclear, 1.659 da Energia de Biomassa e 1.443 de Energia de Aterros Sanitários (ENERGY INFORMATION ASSOCIATION - EIA, 2007).
10
Excluindo as grandes hidroelétricas e a biomassa a taxa de crescimento das fontes
alternativas tiveram um aumento inexpressivo de 0,1% ao ano entre 1990 e 2004 (atingindo um
patamar de 2,5% do total) (JEFFERSON, 2006). Ao passo que, apesar da redução crescente nos
custos, no mundo, o uso de todas as fontes de energias renováveis caiu de 24% em 1970 para
15% do consumo total em 2001 (JEFFERSON, 2006).
Outro problema relacionado ao consumo de energia é o risco de exaustão das reservas,
principalmente no caso dos combustíveis fósseis (FIELD, 1994). Apesar da falibilidade das
previsões, estimativas otimistas indicam que as atuais reservas de petróleo são suficientes para
prover energia até 2030, enquanto que as reservas de gás natural até o ano de 2050
(JEFFERSON, 2006). Para o carvão as estimativas são um pouco mais otimistas, com uma
expectativa de abastecimento, pelo menos, até 2150 (ENERGY INFORMATION
ASSOCIATION - EIA, 2006).
O grau de escassez pode ser analisada pela elevação nos preços reais tanto do petróleo
quanto o gás natural, principalmente no período posterior à 2000 (Figura 1).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1978-Jan
1990-Jan
1992-Jan
1994-Jan
1996-Jan
1998-Jan
2000-Jan
2002-Jan
2004-Jan
2006-Jan
US$/Barril
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
US$/1000m
3
Petróleo (US$/barril) Gás Natural (US$/1000m3)
Figura 1 – Preços reais de atacado (em US$ 2005) de diferentes fontes de energia no mercado
norte-americano
Fonte: Elaborado pelo autor com dados de EIA (2006)
Assim, o estudo da relação entre o crescimento econômico e o consumo de energia é
justificado por três motivos: i) importância da energia para o crescimento econômico; ii)
11
externalidades negativas geradas pelo seu uso; e, iii) possibilidade de exaustão (econômica e
física) das reservas.
A relação entre energia e o crescimento econômico tem sido foco de uma série de estudos
e discussões, tanto no meio acadêmico, quanto no político, principalmente a partir da década de
90 com a realização da ECO-92, ou, Earth Summit de 1992.
Dentre os estudos da época, houve a constatação empírica da existência de uma relação
entre o crescimento econômico e a qualidade ambiental semelhante à curva de Kuznets. Para o
caso da qualidade ambiental ela passou a ser chamada curva ambiental de Kuznets do inglês
Environmental Kuznets Curve - EKC.
1.1 O modelo EKC
Os conceitos estilizados da EKC5 indicam que a relação entre o crescimento econômico e
a degradação ambiental tem um formato de “U” invertido (Figura 2). Isto significa que, nos
estágios iniciais do crescimento econômico, a relação entre crescimento econômico e a
degradação ambiental seria positiva. Assim, um aumento da renda resultaria em maior
degradação ambiental. Entretanto, esta relação é supostamente marginalmente decrescente. Na
medida em que o crescimento econômico ocorre, a declividade desta relação irá diminuir até
alcançar um turning-point6.
5 Os estudos pioneiros nos conceitos da EKC são os desenvolvidos por Shafik e Bandyophadyay (1992), Banco Mundial (1992), Grossman e Krueger (1993) e Selden e Song (1994).
6 Ou ponto de máximo.
12
Figura 2 – A EKC (Environmental Kuznets Curve)
Fonte: Selden e Song (1994)
Além deste ponto, a relação entre o crescimento econômico e degradação ambiental passa
a ser negativamente correlacionada. Isto é, a partir de um determinado ponto do processo de
crescimento econômico, um aumento no nível de renda é traduzido numa melhoria na qualidade
ambiental.
Esta diminuição gradual dos níveis de degradação ou depreciação ambiental ao longo do
processo de crescimento econômico seria resultado de uma série de fatores como: mudanças na
estrutura de preferência dos consumidores; surgimento de novas tecnologias (“achatamento” da
EKC); e, alterações nos processos produtivos e econômicos, especificamente uma mudança na
composição dos bens e serviço ofertados. Existem também evidências empíricas que provam a
importância das políticas públicas como promotoras da melhoria da qualidade ambiental
(PANAYOTOU, 1997).
1.1.2 Resultados e estudos empíricos
Apesar dos argumentos teóricos apresentados, em favor de uma relação em “U” invertido
entre o nível de renda e a degradação ambiental, vários estudos empíricos mostraram que esta
Indicador de degradação
ambiental/consumo de
recursos naturais
Indicador de crescimento econômico
13
relação nem sempre ocorre. A relação pode assumir diferentes formatos (como a linear
positivamente e negativamente relacionada, e a relação em “N”)7.
No Brasil, a relação entre o consumo de energia e o processo de crescimento econômico
possui uma relação positivamente correlacionada (KAMOGAWA, 2004).
Neste estudo, um fato não considerado é o “efeito composição” da matriz energética. A
melhora na qualidade ambiental pode ocorrer pela simples substituição de uma fonte de energia
intensiva em poluentes por outra, menos intensiva, apesar do consumo total crescer. Entretanto,
novas evidências empíricas apontam para uma intensificação na emissão de poluentes pela
utilização de uma matriz mais poluente (KAMOGAWA; SHIROTA, 2006).
Outros estudos aplicados ao caso da energia, em outras situações, encontraram resultados
semelhantes. Estima-se que o turning-point para os Estados Unidos só viria a ocorrer quando a
renda per capita atingisse o valor aproximado de US$ 43.000,00 de 2003 (RICHMOND;
KAUFFMANN, 2006).
Apesar da difusão dos estudos da EKC, nos últimos anos surgiram uma série de críticas,
tanto sob o aspecto teórico, quanto econométrico, na literatura.
Segundo Perman e Stern (2003) e Stern (2004), a EKC é meramente um fenômeno
empírico e os modelos utilizados são na maioria fracos econometricamente. Pouco ou nenhum
rigor estatístico são tomados. Os modelos são fundamentados em fatos estilizados e pouca
atenção é tomada quanto a possíveis correlações espúrias. Outra crítica freqüente é o uso de
modelos incompletos e de variáveis omitidas. Falta ainda, um maior rigor estatístico quanto a
realização de testes de cointegração das variáveis.
Além disso, os modelos utilizados são na maioria estático-comparativos, estimados de
forma reduzida, onde a renda é considerada uma variável exógena. Dessa forma, os modelos são
insatisfatórios para explicar a trajetória do consumo de energia ao longo do processo de
crescimento da renda. Para isso, é preferível o uso de modelos dinâmicos estruturados de
crescimento econômico com equilíbrio geral da economia.
7 Alguns fatores como: excesso de liberdade cívil, problemas na definição de direitos de propriedade, imperfeições de mercado, políticas e legislações que não expressam o desejo dos agentes econômicos, características geográficas e climáticas, e mesmo forças que o homem não pode controlar (controladas pela natureza), podem gerar algum viés na EKC.
14
Os modelos dinâmicos da EKC, no entanto, foram na maioria sugeridos de forma teórica
(JOHN; PECCHENINO, 1994; MCCONNEL, 1997; STOKEY, 1998; KELLY, 2000), não
havendo sugestões ou comprovações de um resultado empírico até o presente momento.
1.2 Objetivos
Dada a situação descrita, o presente trabalho terá como objetivos:
i) apresentar um modelo teórico neoclássico dinâmico do tipo Ramsey-Cass-Koopmans8 para a
relação renda e consumo de energia com uma interface para a qualidade ambiental9;
ii) aplicar e testar empiricamente este modelo pelo método da solução analítica (ver capítulo 3)
do modelo dinâmico para o caso do Brasil e pela hipótese da convergência para dados
mundiais, verificando a possibilidade da ocorrência da EKC para emissões e para o estoque de
CO2; e,
iii) pelo método da solução analítica prever o comportamento da renda, do consumo privado, do
consumo de energia, e da qualidade ambiental no Brasil, considerando políticas regulatórias
ambientais10 alternativas, os seus impactos econômicos e eficácia na redução das emissões.
O trabalho é dividido em seis partes. A primeira apresenta o problema do crescimento
econômico, do uso da energia e suas conseqüências ambientais, a hipótese teórica da EKC e suas
restrições metodológicas, e finalmente os objetivos do trabalho. Na segunda é feita uma breve
revisão de literatura sobre modelos intergeracionais de crescimento econômico e modelos
dinâmicos de qualidade ambiental. A terceira parte descreve a proposta teórica da relação
dinâmica entre crescimento, consumo de energia e qualidade ambiental. A quarta parte faz a
descrição da metodologia de calibração e estimação dos parâmetros além da metodologia para a
8 Este modelo foi escolhido em razão da sua aderência aos resultados empíricos (ver capítulo 2). 9 Essencialmente emissão de dióxido de carbono (tomando o cuidado para evidenciar as condições de uma EKC e torná-lo mensurável);
10 Como controle de emissões, incentivo no aumento da eficiência energética, pesquisa por fontes alternativas.
15
estimação da hipótese da convergência. Na quinta parte são demonstrados os resultados e as
simulações propostas. A sexta, e última parte apresentam-se as conclusões.
16
2 MODELOS DE CRESCIMENTO ECONÔMICO11
2.1.1 Hipóteses básicas
As teorias do crescimento econômico procuram explicar algumas questões básicas como o
diferencial de renda entre os países e quais os fatores que deslocam o potencial de crescimento de
um país. Explicar, por exemplo: a motivação da diferenças de renda per capita entre Brasil e
Argentina; os motivos para haver um distanciamento de renda entre o Chile e o Brasil; e, por que
a Bolívia não obteve o mesmo desempenho que o grupo dos três países anteriores (Figura 3).
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1950
1953
1956
1959
1962
1965
1968
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
Argentina Bolívia Brasil Chile
Figura 3 – Evolução do produto nacional bruto per capita: em US$ de 2000, 1950-2000, para
alguns países selecionados na América do Sul
Fonte: Heston, Summers e Aten (2002)
A divisão mais contemporânea da disciplina do crescimento econômico separa os estudos
em dois grupos: os modelos endógenos de crescimento (como a aproximação neoclássica AK e os
modelos Schumpeterianos) e os modelos neoclássicos exógenos.
Segundo a fundamentação dos modelos endógenos, o crescimento sustentado é dado pela
constante e aleatória sucessão de inovações tecnológicas que torna as tecnologias e os produtos
11 As principais idéias deste capítulo foram extraídas de Barro e Sala-I-Martin (2004), Romer (1996), Jones (2002) e Aghion e Howitt (1998).
PI B per capita (US$ de 2000)
17
anteriores obsoletos (conhecido também como a criação destrutiva de Schumpeter). Esta sucessão
de inovações tecnológicas, no entanto, pode ser influenciada (sujeita) a uma outra variável
econômica (como a acumulação de capital), ou, depende de algum incentivo proposital (como
programas de pesquisa e desenvolvimento) (AGHION; HOWITT, 1998; JONES, 2002).
Nos modelos neoclássicos exógenos, o crescimento econômico é a resposta de uma
função de produção estritamente côncava cuja taxa de crescimento tende, no longo-prazo, a uma
taxa constante de crescimento econômico (steady-state). A taxa de progresso tecnológico também
influi na taxa de crescimento, todavia, ela é exógena ao modelo. O cerne dos modelos exógenos
são os trabalhos de Roberto Solow e Trevor Swan da década de 50 (modelo Solow-Swan). Os
modelos de crescimento econômico neoclássicos mais contemporâneos estão baseados nas idéias
de maximização da utilidade intertemporal desenvolvidas por Frank Ramsey, David Cass e
Tjalling Koopmans.
Uma outra diferença básica entre os modelos endógenos e exógenos é a influencia de
choques de curto-prazo. Para os modelos endógenos, choques (externalidades) de curto-prazo
podem afetar o processo de criação tecnológica, que por sua vez, trás impactos permanentes no
resultado de crescimento de longo-prazo. Assim, a trajetória de crescimento de longo-prazo pode
ser constantemente afetada por choques aleatórios, dando grande importância às políticas
públicas. Nos modelos de crescimento exógenos, os impactos de curto-prazo apenas geram
efeitos nos períodos mais próximos do choque, não tendo um resultado permanente12. O poder de
influência de políticas públicas, neste caso, é reduzido.
Diferente dos modelos Schumpeterianos e de crescimento endógeno, os modelos
endógenos do tipo Solow-Swan-Ramsey-Cass-Koopmans - S-S-R-C-K são consistentes com a
idéia do processo de convergência da renda como resultado dos rendimentos marginais
decrescentes da função de produção (ver o desenvolvimento do conceito de convergência em
2.3)13. Alguns resultados empíricos suportam a idéia de convergência da renda, que é consistente
com os modelos de crescimento exógeno (BARRO; SALA-I-MARTIN, 1992; QUAH, 1995;
ISLAM, 1995).
12 Os fatores de alteração da trajetória de longo-prazo nos modelos exógenos seriam apenas aqueles capazes de alterar: i) o comportamento das famílias; ii) os coeficientes (constantes) do crescimento; e, ou, iii) a função de produção.
13 Para alguns autores Schumpeterianos, o processo de convergência resulta de rendimentos decrescentes da tecnologia e do processo de inovação tecnológica (JONES, 2002).
18
Dada esta consistência empírica e o interesse pela análise (trajetória) de longo-prazo, foi
adotado como arcabouço teórico o modelo neoclássico exógeno de crescimento econômico.
Inicialmente serão esboçados os fundamentos do modelo Solow-Swan.
2.1.2 A equação fundamental do modelo de Solow-Swan
O processo gerador do crescimento econômico no modelo de abordagem neoclássica de
Solow-Swan depende da função de produção considerada. O modelo foca três variáveis
explanatórias básicas: nível de estoque de capital físico (K), a quantidade de trabalhadores (L), e
o nível de conhecimento tecnológico (A). Para qualquer período de tempo (t), estes três fatores de
produção são combinados para gerar um determinado nível de renda, de acordo com a seguinte
função de produção:
( ) ( ) ( ) ( ), ,Y t F K t L t A t= (1)
Se a tecnologia e o trabalho forem inseridos multiplicativamente (AL), o trabalho é
mensurado como trabalho efetivo e a evolução da tecnologia é considerada poupadora de trabalho
(ou seja, Harrold-Neutro). Caso a tecnologia esteja atuando na forma (AK), é possível dizer que
ela é poupadora de capital (ou, Solow-Neutro). Sob a forma: ( ),Y A F K L= ⋅ , a tecnologia é
chamada Hicks-Neutro. A representação mais comum e aceita na literatura neoclássica é a
trabalho efetivo.
Tomada em termos per capita, a acumulação da capital, é o motor do crescimento
econômico. Na forma trabalho efetivo, a equação chave do modelo de Solow-Swan estabelece
que o acúmulo é dado entre a diferença do investimento bruto e o produto entre o estoque de
capital per capital e a soma entre a taxa de variação tecnológica, a taxa de crescimento
populacional e a taxa de depreciação do capital. Representada pela eq. (2)14:
14 Para a derivação completa da função de acumulação de capital trabalho efetivo de Solow-Swan consultar Barro e Sala-I-Martin (2004) capítulo 1.
19
( ) ( )ˆ ˆ ˆk s f k x n kδ= ⋅ − + + ⋅i
(2)
Em que:
k
i
é a variação do estoque de capital trabalho efetivo;
k é o nível do estoque de capital trabalho efetivo ˆK
kA L
=
⋅ ;
s é a propensão marginal a poupar;
( )ˆf k é a função de produção trabalho efetivo;
x é a taxa de variação tecnológica;
n é a taxa de crescimento populacional; e,
δ é a taxa de depreciação do capital.
O nível do estoque de capital (trabalho efetivo) em cada período de tempo determina o
nível de renda, de acordo com ( )ˆf k15. Assumindo retornos negativos de escala na produção o
modelo de Solow-Swan mostra que a economia cresce até o ponto em que a acumulação de
capital atinja uma situação de crescimento equilibrado (steady-state) igual a soma x n δ+ + 16,
determinado no ponto: ( ) ( )ˆ ˆs f k x n kδ⋅ = + + ⋅ .
2.2 Modelo intergeracional básico de Ramsey-Cass-Koopmans
O modelo de Solow-Swan considera que as propensões marginais a poupar e consumir
são exógenos e constantes. Portanto, ele não capta o comportamento ótimo dos agentes e não
detecta a reação deles às mudanças na qualidade ambiental.
Uma análise completa do processo de crescimento econômico deve traçar a trajetória do
consumo, renda e nível de poupança. A trajetória ótima de poupança tem de ser determinada pelo
comportamento maximizador do consumidor.
15 Função homogênea de grau 1, com tecnologia normalizada para t=0 à unidade. 16 Também conhecido como estado-estacionário (stationary-state).
20
Para solucionar estes problemas, Koopmans (1960) entre outros17, unificou o problema de
maximização para um horizonte infinito de tempo, sugerido por Ramsey (1928), com a idéia de
acumulação do capital de Solow-Swan para a determinar endogenamente a poupança ótima; que
ficou conhecido como o modelo de otimização do consumo intergeracional (ou modelo Ramsey-
Cass-Koopmans – R-C-K).
O modelo de R-C-K é um problema de otimização que assume: i) equilíbrio competitivo
das firmas; e, ii) famílias com horizonte de vida infinita que escolhe um dado nível de consumo e
poupança que maximiza o nível de utilidade intertemporal, sujeitos a uma restrição orçamentária
também intertemporal (RAMSEY, 1928; KOOPMANS, 1960; CASS, 1965).
2.2.1 Hipóteses básicas (as famílias)
As famílias18 são os elementos básicos do modelo. São elas que ofertam trabalho em troca
de salários, recebem o rendimento dos ativos investidos, adquirem bens e serviços para o
consumo, podem tomar emprestado para consumir, ou, poupam para aumentar o seu estoque de
ativos19.
O modelo básico de Ramsey-Koopmans assume famílias e indivíduos idênticos. O
tamanho de cada família cresce a uma taxa homogênea n. Cada membro da família oferta uma
unidade de trabalho em cada período de tempo.
A otimização intergeracional ocorre quando os atuais membros da família alocam a renda
para consumo e poupança de forma a maximizar a utilidade intertemporal total da família. O
horizonte de existência das famílias é infinita, como se fosse uma dinastia.
Considerando que C(t) representa o consumo familiar total no período t, então
( ) ( ) ( )c t C t L t≡ é o consumo per capita. Normalizando para ( )0 1L = , cada família irá
maximizar a sua utilidade intertemporal U, de acordo com:
17 Outros autores como Cass (1965) sugeriram abordagens semelhantes à Koopmans (1960). 18 Considerando apenas os membros adultos economicamente ativos. 19 O empréstimo para aumentar o estoque de ativos é considerada arbitragem. Este ponto é desconsiderado sob a condição de competição perfeita.
21
( )0
n t tU u c t e e dtρ∞
⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ ∫
(3)
Em que:
( )u c t é a utilidade instantânea individual no período de tempo t; e,
0ρ > é a taxa de preferência intertemporal. Os valores positivos de ρ indicam que
quanto mais longínquo for o consumo, menor é o valor presente da sua utilidade.
A renda total recebida pelos indivíduos (soma da renda do trabalho mais a renda dos
ativos) é dividida entre o consumo e poupança. A parte poupada é acumulada para o período
seguinte. Esta relação em termos per capita é representada por:
( )Ativos1
a n a w r a c n aL t
∂ = − ⋅ = + ⋅ − − ⋅
∂
i
(4)
Em que:
a é o estoque per capita de ativos;
w é o salário recebido;
r é a taxa de desconto entre um período e outro; e,
( )Ativos
t
∂
∂ é a variação no estoque total de ativos.
Cada família pode tomar emprestado um montante ilimitado para financiar o seu consumo
presente, gerando um estoque de dívida ilimitado, que é financiado por um novo empréstimo de
forma ininterrupta. Isso gera uma situação de “corrente” ou Ponzi game20. Para evitar esta
situação, assume-se que o mercado de crédito impõe uma restrição para a quantidade de tomada
de crédito. A condição para um no-Ponzi game é conhecida como condição de transversalidade.
20 Do autor das pirâmides financeiras Charles Ponzi, que fez fortuna na década de 1920, mas foi preso e morreu pobre (BLANCHARD; FISHER, 1989).
22
Ela impõe que o valor presente da soma de todos os ativos ao longo de todos os períodos seja não
negativo:
( ) ( ) 0lim exp 0
t
ta t r t n dt
→∞
⋅ − − ≥ ∫
(5)
A função objetivo das famílias é maximizar U (eq. 3), sujeito à restrição orçamentária (eq.
4), e a condição de no-Ponzi game (eq. 5).
2.2.2 Condição de primeira-ordem
O objetivo das famílias é escolher os níveis ótimos do conjunto (c, a) maximizadores da
função U. A escolha de um dado nível de consumo c(t), em um dado ponto do tempo, influencia
os valores futuros de a(t). Assim, existem certas condições (chamadas de Pontryagin) para a
maximização de eq. (3) ao longo do tempo. Estas condições são representadas em uma função
conhecida como Hamiltoniano (SEIERSTAD; SYDSÆTER, 1987)21.
Para a otimização dinâmica da eq. (3) utiliza-se do valor presente do Hamiltoniano (eq.
6):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n tH u c t e v t w t r t n a t c t
ρ− −= ⋅ + ⋅ + − −
(6)
Em que:
v(t)22 é o valor presente do preço-sombra da renda (representa o incremento de utilidade
que uma unidade extra de ativos adquirida no período de tempo t traz ao período de tempo 0); e,
21 Ver a derivação e o significado econômico da função Hamiltoniano no Anexo E. 22 Alternativamente pode-se utilizar a representação ( )n t
v eρ − ⋅
⋅ , que representa o incremento de utilidade gerado pelo aumento do estoque de ativos em t em termos do período t.
23
a(t) é o estoque de ativos mais a dívida privada em steady-state, considerado igual ao
estoque de capital.
O máximo de U é determinado pelas condições de primeira-ordem do consumo (7) e pela
equação de Euler23 (8):
( ) ( )0 ´ n tHv u c e
c
ρ− −∂= ⇒ =
∂
(7)
( )Hv v r n va
∂= − ⇒ = − −∂
i i
(8)
Aplicando o logaritmo na eq. (7), derivando em relação ao tempo e igualando o seu
resultado com a eq. (8), tem-se a condição para o consumo ao longo do tempo representada por:
( ) ( )( )( )
( )( )
u c t u c c cr n n r
u c u c cρ ρ
′ ′′∂ ∂ ⋅ − − = − − + ⇒ = − ′ ′
i
(9)
A magnitude da elasticidade da utilidade marginal do consumo, ( ) ( )u c c u c′′ ′− ⋅ 24, é
também conhecido como o recíproco da elasticidade de substituição intertemporal. A eq. (10)
mostra que para a ocorrência do estado-estacionário em que r e c c
i
são constantes, esta
elasticidade precisa ser assintóticamente constante.
23 Ver Anexo B. 24 Que pode ser interpretada como uma medida da aversão relativa ao risco (PRATT, 1964).
24
A forma funcional que possui estas propriedades (adotada nos modelos de crescimento
econômico de Ramsey-Koopmans) é representada pela eq. (10)25:
( )1 1
1
cu c
θ
θ
− −=
−
(10)
Em que:
θ representa o coeficiente de aversão ao risco e um fator de desconto no consumo
presente.
Assume-se 0θ > . A constante de elasticidade de substituição intertemporal é igual a
1σ θ= . Esta fórmula é conhecida como função de Elasticidade de Substituição Intertemporal
Constante - CIES26, ou, função de Aversão Relativa ao Risco Constante - CRRA27.
O uso da eq. (10) impõe que a condição de ótimo eq. (9) é simplificada para a eq. (11):
( )1c
rc
ρθ
= −
i
(11)
2.2.3 As firmas
Além do equilíbrio no consumo, o modelo Ramsey-Koopmans admite equilíbrio
competitivo nas firmas, desconsiderando qualquer imperfeição de mercado.
25 A inclusão do termo -1 na função utilidade é conveniente, pois, ( )u c aproxima-se à log(c) na medida que 1θ → .
O termo -1, no entanto, não afeta a decisão da unidade familiar, pois, ela é invariante em função de transformações lineares (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004) (Ver CD-ROM em anexo).
26 Do inglês: Constant Intertemporal Elasticity of Susbtitution - CIES (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004). 27 Do inglês: Consumer Relative Risk Aversion - CRRA (ROMER, 1996).
25
As firmas produzem bens e serviços e pagam salários e juros aos detentores dos fatores de
produção (as famílias). Cada firma possui acesso a uma função de produção a um dado nível de
conhecimento tecnológico (A). Em cada período de tempo, dado a utilização dos fatores de
produção: capital (K) e trabalho (L), combinados com o nível de conhecimento tecnológico (A), é
produzido um dado nível (Y). O nível de conhecimento cresce a uma taxa constante 0x ≥ .
Normalizando o nível de conhecimento tecnológico inicial (t= 0) em 1, tem-se: ( ) xtA t e= .
A ocorrência do estado-estacionário depende da existência de uma tecnologia poupadora
de trabalho (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004). Portanto, assume-se uma função de produção
do tipo Harrold neutro28 ou trabalho efetivo. Esta função pode ser escrita na forma per capita:
( )ˆy f k=
(12)
O lucro ( )π da firma é dado pelo seu nível de produção menos o custo de oportunidade
(r) e depreciação (δ ) de seu capital (K), menos os gastos com os salários (w). O lucro efetivo da
firma por trabalhador é definido pela eq. (13):
( ) ( )ˆ ˆˆ xtL f k r k weπ δ − = ⋅ − + ⋅ −
(13)
Assim, uma firma em competição perfeita maximiza o lucro para um dado nível L de
trabalho efetivo, quando ocorrem as condições (14) e (15):
28 Esta hipótese parece ter apoio na observação empírica. Países de maior renda apresentam geralmente taxas constantes de crescimento econômico. Isto é uma forte evidência da ocorrência do estado-estacionário. Ou seja, crescimento constante a partir de um dado ponto, em função da evolução tecnológica, do crescimento populacional e da taxa de depreciação.
26
( ) ( ) ( )ˆ ˆ0ˆ
f k r f k rk
πδ δ
∂′ ′= − + = ⇒ = +
∂
(14)
( ) ( )
( )
( ) ( )ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0ˆ
xt xt
f k
f k r k we f k k f k e wL
πδ −
′
∂ ′= − + ⋅ − = ⇒ − ⋅ = ∂
(15)
2.2.4 Equilíbrio
Assumindo o equilíbrio competitivo das firmas e a maximização da utilidade
intertemporal das famílias, é possível substituir a quantidade de ativos per capita (a) na restrição
orçamentária da família dado na eq. (4) pelo nível de estoque de capital per capita (k), por w e
( )ˆf k′ . Assim, a restrição orçamentária familiar intertemporal, em valores efetivos, é dada por:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆˆ
xtk w e r k c n k x k
f k r k c x n r k
f k c x n k
δ
δ
−= ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ =
= − + ⋅ − − + − ⋅ =
= − − + + ⋅
i
(16)
Em que:
ˆˆ xtc C L ce−≡ = .
A eq. (16) define a dinâmica do capital trabalhador efetivo ( )k , e, portanto, a dinâmica do
produto efetivo per capita ( )y , ao longo do tempo.
27
Dadas as condições ( ) ( )ˆ ˆf k r r f kδ δ′ ′= + ⇒ = − e ˆ xtc ce−= , e a eq. (11), tem-se a
dinâmica do consumo definida pela eq. (17):
( )ˆ 1 ˆˆ
c cx f k x
c cδ ρ θ
θ ′= − = − − −
i i
(17)
As equações (16) e (17) formam um sistema dinâmico de equações em c e em k . Estas
equações, mais o estoque inicial de capital efetivo per capita ( )ˆ 0k , e a condição de
transversalidade, determinam a dinâmica de c e k .
Dada a condição de transversalidade (eq. 5) em termos de capital efetivo per capita,
considerando o estoque de capital igual ao estoque de ativo e dada a condição (14), tem-se:
( )( ) 0
ˆ ˆlim exp 0t
tt
k f k x n dtδ→∞
′⋅ − − − − = ∫
(18)
Este resultado mostra que o valor de k tende assintóticamente a um estado-estacionário
( )ˆ*k , como ocorria no modelo de Solow-Swan.
2.2.5 A dinâmica do modelo
No estado-estacionário, o modelo de Ramsey-Koopmans mostra que vários fatores estarão
evoluindo a uma taxa constante (possivelmente zero). Para determinarmos de estado-estacionário,
e, ao mesmo tempo a dinâmica da transição, é necessário avaliar as dinâmicas de c e k no
estado-estacionário.
28
2.2.5.1 A dinâmica de c
Dada a eq. (17), o estado-estacionário de c ˆ 0c
=
i
é definido por:
( ) ( )ˆ ˆ ˆ0 0ˆc
f k x f k xc
δ ρ θ δ ρ θ′ ′= ⇒ − − − ≡ ⇒ − = +
i
(19)
Quando ( )ˆf k xδ ρ θ′ − = + , ocorre o estado-estacionário em ˆ*k . Para valores de k
superiores à ˆ*k , ( )ˆf k xδ ρ θ′ − < + ; e, portanto, ˆ0
c
c<
i
. Se k for inferior à ˆ*k : ˆ0
c
c>
i
. Esta
relação está demonstrada na Figura 4. As setas indicam a direção do movimento de c , que,
cresce se ˆ ˆ*k k< , e decresce para ˆ ˆ*k k> .
Figura 4 – A dinâmica de c
Fonte: Adaptado de Romer (1996)
ˆ 0c =i
tc
ˆtk
ˆ *k
ˆ 0c
>
i
ˆ 0c
<
i
29
2.2.5.2 A dinâmica de k
Considerando a dinâmica do capital (eq. 18), e um valor de k , o valor de c que garante o
estado-estacionário de k ˆ 0k
=
i
, é:
( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ0k c f k x n kδ= ⇒ = − + +i
(20)
Este valor cresce em k até que ( )ˆgoldf k x n δ′ = + + (a regra de ouro do nível de k ). A
partir deste ponto, c passa a decrescer. Quando c excede o valor que determina ˆ 0k =i
, ki
é
decrescente. Quando c for inferior ao valor que determina ˆ 0k =i
, ki
é crescente. Estas relações
estão expressas na Figura 5. As setas representam a direção do movimento de ki
.
Figura 5 – A dinâmica de k
Fonte: Adaptado de Romer (1996)
ˆ 0k =i
tc
ˆtk
ˆgoldk
ˆ 0k
<
i
30
2.2.5.3 A dinâmica da transição
As dinâmicas acima podem ser combinadas para gerar o movimento conjunto de c e k .
A junção das Figuras 4 e 5, resultam em:
Figura 6 – A dinâmica de c e k
Fonte: Adaptado de Romer (1996)
No ponto de equilíbrio (E), o movimento do estoque de capital trabalho efetivo e do
consumo trabalho efetivo são nulos ˆˆ 0c k
= =
ii
. Dessa forma, não há movimento neste ponto. O
cruzamento da reta ( )ˆˆ 0 *c k=i
só é inferior ao ˆgoldk se ( )1x n x n xρ θ ρ θ+ > + ⇒ > + − 29. Esta
situação ocorre devido à impaciência das pessoas em sacrificar o seu consumo presente até o
ponto c da regra de ouro.
Existem três pontos de estado-estacionário. O primeiro é a origem ( )ˆˆ 0c k= =
(desconsiderada por não haver interesse do ponto de vista teórico). O segundo estado-estacionário
correspondente à ˆ*c e ˆ*k (ponto E). E o terceiro envolve o ponto de máximo estoque de capital,
mas zero de consumo.
29 Pois ( ) ( )ˆ e * .goldf k x n f k xδ ρ θ δ′ ′= + + = + +
ˆ 0k =i
tc
ˆtk
ˆgoldk
ˆ 0c =i
ˆ *k
E
31
O segundo estado-estacionário (E) é o resultado assintótico de um caminho estável de
ponto de sela30. Para qualquer valor inicial positivo de k , existe um único valor de c que é
consistente com a otimização intertemporal, com a condição de transversalidade e com a restrição
orçamentária intertemporal das famílias. Para qualquer valor inicial de k , é necessário um valor
de c sobre o caminho estável de ponto de sela para garantir o resultado assintótico (E). Para
valores que não estão sobre o caminho de ponto de sela a dinâmica da transição faz com que os
valores de c e k não tendam ao estado-estacionário de equilíbrio (E). Estas relações, incluindo o
caminho de ponto de sela estão esquematizadas na (Figura 7):
Figura 7 – O diagrama de fases de c e k
Fonte: Adaptado de Barro e Sala-I-Martin (2004)
2.2.6 A solução do planejador central
Um ponto essencial é saber se os equilíbrios individuais desta economia levam a um
resultado desejável aos membros desta economia. A resposta para isso vem da solução
microeconômica de bem-estar social. No mercado de competição perfeita a solução
decentralizada leva um resultado Pareto-eficiente.
30 Existem dois caminhos de ponto de sela consistentes, um estável e um instável (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004). A solução instável foi desconsiderada na representação gráfica.
ˆ 0k =i
tc
ˆtk
ˆgoldk
ˆ 0c =i
ˆ *k
E
( )ˆc k
( )ˆ 0k
32
Tal hipótese é consistente com a idéia do planejador central de uma economia, cuja
atribuição é alocar os recursos econômicos (alocação consumo/poupança) em cada período, de
forma a maximizar a utilidade intertemporal da família. Dessa forma, as trajetórias, tanto de w e
r, são definidas pela trajetória de ˆtk .
2.3 Convergência
O caminho ao ponto de estado-estacionário, demonstrado no diagrama, implica que tanto
k quanto c crescem monotonicamente até o ponto de estado-estacionário. O crescimento
monotônico implica que taxa de retorno do capital ao longo desta trajetória é marginalmente
decrescente, o mesmo ocorrendo para a taxa de variação da renda. Dessa forma, ao longo do
processo de crescimento econômico tanto a taxa de variação da renda per capita quanto consumo
per capita convergem a um estado-estacionário.
Convergência é basicamente conseqüência da concavidade da função de produção31.
O processo de convergência implica que no longo-prazo as economias estarão crescendo a
uma mesma constante taxa (também conhecido como convergência β). Um conceito alternativo
de convergência leva em consideração a dispersão da renda e das produtividades. Se elas
tenderem, no limite, a zero diz-se que ocorre convergência σ, ou, convergência absoluta.
A velocidade desta convergência, em um modelo R-C-K, pode ser determinada a partir da
log-linearização (expansão de Taylor à primeira-ordem em torno do ponto de estado-estacionário)
do sistema composto pelas dinâmicas de k e c (eq.(s) 16 e 1732). O seu resultado é dado por:
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆlog log 0 1 log *t ty t e y e yε ε− ⋅ − ⋅= ⋅ + − ⋅ (21)
Em que:
b é a velocidade de convergência (b>0 indica convergência e b<0 indica divergência);
31 Também conhecida como condição de Inada – que o produto marginal dos fatores de produção tende, no limite, a zero.
32 Para uma melhor compreensão da determinação da velocidade de convergência ver o Anexo B.
33
( ) ( )1 2
2 12 4
xx n x
α ρ δ θε ζ ρ δ θ δ ζ
θ α
− + + = + ⋅ ⋅ + + ⋅ − + + −
;
( )1 0n xζ ρ θ= − − − ⋅ > ; e,
ˆ *y é o nível de produto per capita no estado-estacionário.
Assim, países com características semelhantes (mesmas taxa de retorno do capital na
renda, taxa de depreciação do capital, crescimento populacional, entre outras variáveis)
convergem, no longo-prazo, a um nível de renda semelhante. Entretanto, na prática, a aplicação
desta metodologia para a determinação da velocidade e o ponto de convergência é falha quando
se utiliza uma base de dados para diversos países. Isso, por que as características dos países
diferem entre si.
Assim, Barro e Sala-I-Martin (1992) estabeleceu a existência de uma convergência
condicionada (ou convergência β condicionada). Neste caso, a convergência é parametrizada por
variáveis como educação (medido pelo grau de pessoas na população com um determinado nível
completado), taxa de investimento, grau de abertura econômica, taxa de inflação, participação
dos gastos do governo no produto. Esta convergência condicional pode ser estimada segundo o
modelo seguinte econométrico (BARRO; SALA-I-MARTIN, 1992):
( )
( )( ) , 1 ,
ˆˆlog log 1
ˆ 1 i t i t
y ty t X erro
y tα β λ −
′= + ⋅ − + + −
(22)
Em que:
( )1 te εβ − ⋅= − − e ε é a velocidade de convergência ( β >0 existe divergência e β <0
convergência);
, 1ln i ty − é o log natural da renda trabalhador efetivo do país i no instante t-1;
λ é o efeito das outras variáveis controle;
Xi,t-1 é a matriz de variáveis controle do país i no período de tempo t-1;
34
erroi,t é a matriz de erros aleatória do país i no período de tempo t (onde: ( ), 0i jE e e = e
( )1, 0t tE e e − = ).
A rejeição da convergência, para qualquer tipo, implica na rejeição de crescimento
econômico de acordo com os modelos neoclássicos do tipo Solow-Ramsey-Cass-Koopmans e
implica em aceitar um comportamento do tipo dos modelos de crescimento endógeno.
2.4 Modelos dinâmicos de EKC33
Vários estudos teóricos de modelos intergeracionais de crescimento econômico com a
interface da qualidade ambiental foram feitos no intuito de elaborar uma hipótese de um turning-
point dinâmico para a relação renda e qualidade ambiental. Entretanto, poucos são os estudos
com aplicações empíricas.
Em modelo estático, poluição e bens de consumo são produtos de retornos constantes de
escala de uma dada tecnologia z. Considerando uma economia fechada, o consumo torna-se
função deste nível de tecnologia34 para um nível de produto definido por: ( )c z y= . O nível total
de externalidades ambientais negativas (poluição) geradas, é uma função não-linear desta mesma
tecnologia. E z, por sua vez, é uma variável que reflete o grau de poluição de uma tecnologia para
um determinado nível de produto potencial.
A estrutura de preferência é dada pela diferença da utilidade do consumo do indivíduo e
utilidade negativa do volume de externalidades ambientais negativas (poluição). Assim, para um
nível de produto fixo y, a tecnologia ótima )(* yz satisfaz a solução definida por:
33 O desenvolvimento dos modelos dinâmicos da EKC foi extraído especialmente de Stokey (1998). 34 Que varia de 0 até 1.
35
´( *( )) ( ( *( )) ( *( ))v yz y h y z y z yφ φ≥ 35
Em que:
´( *( ))v yz y é o benefício marginal do consumo (BMgi), e;
( ( *( )) ´( *( ))h y z y z yφ φ é o custo marginal do consumo (CMgi).
(23)
Para uma economia em estágios iniciais de crescimento econômico ( *( ) 1z y = ) (solução
de canto) a tendência inicial com o crescimento econômico é o aumento do nível de
poluição/degradação ambiental (uma vez que ii CMgBMg > ).
Entretanto, uma economia em uma situação de solução interna ( *( ) 1z y < ), o benefício
marginal do consumo (BMgi) iguala o custo de oportunidade do consumo (CMgi). Como com o
crescimento da renda, o BMgi decresce e o CMgi cresce, o equilíbrio final é inferior ao inicial.
Assim, não é possível extrair uma unidade adicional de utilidade pela manutenção da tecnologia
mais poluente (STOKEY, 1998).
Isso gera dois tipos de resultados: i) se a utilidade marginal do consumo é elástica (é
possível substituir a tecnologia intensiva em emissões por outras) o crescimento da renda resulta
em uma redução das emissões; ou, ii) se ela for inelástica (poluição e produção são
complementares) a poluição irá crescer indefinidamente com o aumento da renda.
Outra consideração importante é a abrangência da poluição, especificamente problemas
relacionados à não-exclusividade e não-rivalidade da poluição36. Para os poluentes locais, é
explícito que o esforço individual desta dada economia traz benefícios diretos para esta mesma
economia. Já para o caso dos poluentes de abrangência global, estes benefícios são partilhados,
impossibilitando tornar privado o esforço individual37. Neste último caso, naturalmente, as
pessoas não reduziriam voluntariamente os seus níveis de emissão. Tal problema pode ser
contornado imaginando a existência de um planejador central.
Dada uma função de produção per capita, definida por Y
y AkL
= = , desconsiderando o
crescimento populacional e a depreciação do capital a dinâmica do capital é dada por:
35 Com igualdade se *( ) 1z y < (solução interna), e desigualdade se 1)(* >yz (solução de canto). 36 Como no caso dos poluentes de abrangência global versus local citado por Stokey (1998). 37 Entretanto, imaginando as economias reduzidas às famílias, mesmos os poluentes de abragência ditos locais (a um
mesmo país), sofrem influência dos problemas de não-rivalidade e não-exclusividade.
36
k Akz c= −i
(24)
Para uma função de elasticidade constante de substituição intertemporal (CIES), ou,
função de aversão relativa ao risco constante (CRRA). Dado x Akz yzβ β= = a função objetivo do
planejador central é maximizar a função Hamiltoniano (25), controlando ( )c t , ( )k t e ( )z t .
( ) [ ]1 1
1t tt
t t t t t t
c BJ e Ak z e Ak z c
σγρ β ρλ
σ γ
−− − −
= ⋅ − + ⋅ ⋅ − −
(25)
Em que:
tλ é o preço-sombra do capital;
ρ é a taxa de desconto intertemporal;
σ é o coeficiente de elasticidade intertemporal do consumo;
γ é o coeficiente de elasticidade intertemporal do estoque de poluentes; e,
, 0, 1, 1.A B β γ> > >
As condições de maximização deste modelo são representadas pelas eq.(s) (26) e (27):
1c σλ= (26)
( )
1
1 1
1, se /
<1, se / t t t
k mz
m k k m
γ
ψγ γ
λ
λ λ
−
− −
≥=
⋅ ⋅ <
(27)
Em que:
ψ é igual a 1
1βγ −, e m igual a
1
1
tB Aγβ −⋅ ⋅.
37
A poluição total para o presente modelo ao longo da transição é dada pelo conjunto de
equações (28) (STOKEY, 1998):
( )( )1, se z=1
, se z<1t t t
Ak
x AkzA m k
βψβ βλ −
= = ⋅ ⋅ ⋅
(28)
Como demonstrado anteriormente, com 1z ≤ (solução de canto) a poluição cresce. Para a
poluição decrescer, é necessário que 1z < , assim, a dinâmica da transição para a redução das
emissões de poluição dessa forma deve obedecer a seguinte equação:
( )1x A m k
x A m k
λψ β β
λ
= + ⋅ ⋅ + + −
i i i i i
(29)
Dada uma tecnologia invariante, que implica em 0A m
A m= =
i i
, a condição para uma
redução no estoque de poluentes pode ser traduzida em:
( )1 0k
k
λβ β
λ⋅ + − <
i i
(30)
Ao redor do ponto de steady-state, a condição (30) só é verdadeira se 1β
σβ
−< . Assim, é
possível afirmar que a condição para um turning-point para a emissão de poluente no modelo
híbrido é, simplesmente, 1σ > .
38
Para o caso dos modelos que incorporam apenas a energia como fator de produção, Zon e
Yetkiner (2003) elaboram uma extensão do modelo de Romer (1990). Em seu modelo,
desconsiderando a hipótese de interferência das externalidades negativas no nível ótimo de
utilidade dos consumidores, a redução na intensidade energética ocorre pelo surgimento de
tecnologias criadas por pesquisadores que por sua repassam o seu conhecimento ao setor de bens
intermediários, que por sua vez vendem os insumos produzidos ao setor de bens finais (que
utilizam a energia como fator de produção). Mulder et al. (2003) realizaram trabalho semelhante.
Entretanto em seu modelo, o surgimento das tecnologias seria espontâneo e por sua vez repassado
ao setor intermediário.
Abordagem alternativa para a relação entre recursos naturais e crescimento econômico é a
do contexto da física (KRYSIAK, 2006). Considerados os princípios da lei de conservação de
massas e das leis da termodinâmica (lei da entropia) as economias não podem crescer
indefinidamente (KRYSIAK, 2006). O crescimento contínuo da economia não é plausível, pois:
i) em equilíbrio38, necessariamente as economias vão, pelo menos, utilizar um recurso exaurível
ou estará emitindo algum tipo de poluente; e, ii) a produção infinita de bens e serviços só é
possível sobre infinita disponibilidade de recursos e/ou capacidade de suporte de emissão de
poluentes (KRYSIAK, 2006). A única solução para crescimento indefinido é uma economia
baseada na produção de bens não-rivais (reversibles39) (KRYSIAK, 2006).
No entanto, existem argumentos de que tal desequilíbrio só ocorre no longuíssimo-prazo.
Conforme Solow, 1997 apud Krysiak (2006): “... tudo está sujeito à lei da entropia, mas ela não
tem importância prática para modelagem, que é, afinal de contas, um breve instante de tempo e
um pequeno pedaço no Universo...”.
38 Sobre a condição de equilíbrio de entropia intertemporal (entre períodos de tempo) e intratemporal (entre os países).
39 Bens cujo consumo de um agente não impossibilita o consumo de um terceiro agente.
39
3 MODELO INTERGERACIONAL DE CRESCIMENTO ECONÔMICO, CONSUMO DE
ENERGIA E QUALIDADE AMBIENTAL
3.1 Hipóteses básicas
Neste estudo, a utilidade instantânea das famílias no tempo t ( )tu , em termos per capita, é
considerada função do nível de consumo em termos trabalho intensivo40 ( )tc e do estoque de
externalidades negativas resultante do consumo de energia, em termos absolutos41 ( )tX .
Assumindo a hipótese de separabilidade e diferença entre estes fatores, a estrutura de preferência
das famílias no tempo t pode ser representada por:
( ) ( ) ( )ˆ ˆ,t t t t tu c X v c h X= −
Em que:
(31)
v é estritamente crescente e estritamente côncava, i.e. ( ) ( )0
ˆ ˆlim e lim 0t tc c
v c v c→ →∞
′ ′= +∞ = ; e,
h é estritamente crescente e estritamente convexa, i.e. ( ) ( )0
lim 0 e limt tX X
h X h X→ →∞
′ ′= = +∞ .
O nível de produto para um determinado período de tempo t é função do estoque de
capital ( )tK , da quantidade de trabalhadores ( )tL e do nível de conhecimento tecnológico ( )tA .
Assumindo que a função de produção representativa desta economia é do tipo Cobb-Douglas,
com tecnologia poupadora de trabalho (ver 4.2.3), a função de produção na forma trabalho
intensiva é definida por:
40 Uma vez que essa é a única maneira de garantir um estado-estacionário consistente (ver 5.2). 41 A influência do estoque de externalidades negativas (poluição) é medida em termos totais pela sua capacidade acumulativa e incapacidade de influenciar apenas um indivíduo. A poluição é tida como um bem não-excludente e não-rival, dessa forma, está disponível para as pessoas na mesma intensidade.
40
( ) ( ) ( )ˆ ˆ x t
t t t t tf k k k A e kααα − ⋅= = = ⋅
Em que:
(32)
tk é o estoque per capita de capital no período de tempo t;
ˆtk é o estoque per capita de capital na forma intensiva no período de tempo t;
α é o coeficiente de retorno do capital à produção42;
x é a taxa de crescimento tecnológico.
O capital é dividido em dois tipos: o intensivo em energia ^
tke
e o não intensivo em
energia ^
tkne
(RASMUSSEN, 2001). Assumindo separabilidade aditiva destes termos, é
possível re-escrever o produto per capita da seguinte forma:
( )^ ^
ˆt ttf k ke kne
α
= +
(33)
Em que:
/ 0;
/ 0; e,
ke E
kne E
∂ ∂ >
∂ ∂ =
E é o consumo total de energia.
O estoque de externalidades negativas ( )tX é função do fluxo atual ( )tF menos uma taxa
de redução ( )η natural do meio-ambiente de um período para o outro43 (KELLY, 2003). A
42 Este coeficiente é considerado constante. Apesar de existirem evidências empíricas de substituição entre o uso de capital e trabalho ao longo do tempo, devido a transferência entre tecnologias e a regra do Pareto ótimo, pode-se afirmar que a economia assintoticamente como um todo possui retorno constante do capital (JONES, 2003).
43 A taxa η pressupõe que o ambiente tem uma capacidade natural de recuperação. Isso implica que a variação no estoque de poluentes de um período a outro é dada pela diferença entre o fluxo menos a redução causada pela regeneração natural.
41
dinâmica da variação dos estoques será igual ao fluxo de externalidades descontando a taxa de
recuperação. Algebricamente ela é definida por:
( )1t tX Fη= − ⋅i
(34)
Um caso especial de externalidade negativa é do tipo fluxo. Neste caso, 1η (KELLY,
2003).
Assume-se que o fluxo de externalidades negativas é uma função do nível de produto
( )tY , da intensidade energética ( )tINT (uma razão do consumo total de energia, tE , pelo produto
total), do coeficiente de geração de poluentes por unidade de energia consumida para cada tipo de
fonte de energia ( )jtg44, e da participação das diferentes fontes de energia j na matriz energética
( )/j jt tpart e E= 45(STERN, 2004). Entretanto, este presente estudo parte do princípio que a o
consumo energético é contabilizado no lado da produção e não no consumo. E, o produto
t tY INT⋅ é substituído pelo estoque total de capital intensivo no uso de energia ( tKE ). Dessa
forma, o fluxo de poluentes é definido de acordo com:
( )1
J
t t j jt
j
F KE tg part=
= ⋅ ⋅∑
(35)
Considerando as expressões (33), (34) e (35), a estrutura de preferências apresentada pela
eq. (31) pode ser reescrita da seguinte forma:
44 tgj é um coeficiente constante, determinado pelo tipo j de combustível utilizado. 45 Onde as fontes variam de j=1 à J.
42
( )
( ) ( )
^ ^
01
ˆ ,
1
t t t t t
Jt
t j jt
j
u c X v ke kne
h KE tg part t
α
η=
= + −
− − ⋅ ⋅ ⋅ ∂
∑∫
(36)
3.1.1 O equilíbrio estático
O problema do indivíduo, dado um nível de consumo de energia, é maximizar o seu nível
de utilidade. De um lado, o consumo gera benefícios (utilidade). Do outro, ele arca com os custos
provenientes da externalidade negativa da produção dos bens e serviços que consome. Esta
relação está expressa pela seguinte expressão:
( ) ( )^ ^
0ˆ1
max 1JT
t t t j jte
j
v ke kne h KE tg part t
α
η=
+ − − ⋅ ⋅ ⋅ ∂
∑∫
(37)
A condição de primeira ordem deste problema implica que, no ponto ótimo, o benefício
marginal do consumo de energia deve ser maior ou igual ao seu custo marginal. Por hipótese,
descarta-se as situações em que o benefício marginal inferior ao custo marginal. A maximização
da eq. (37) em função do consumo de energia é expressa por46:
46 Supondo 0t tA E∂ ∂ = e η constante.
43
( ) ( )
( )
^1^
01
01
ˆ
1ˆ
1ˆ
tt
t
JTt
j jt
jt
JT jt
t j
j t
kev ke
e
KEtg part t
eh
partKE tg t
e
α
α
η
η
−
=
=
∂ ′ ⋅ ⋅ ≥
∂
∂ − ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂ ′
∂ + − ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂
∑∫
∑∫
(38)
Em que:
( )
( )
é o benefício marginal do consumo;
é o custo marginal do consumo;
v
h
′ ⋅
′ ⋅
ˆt
t
KE
e
∂
∂ é o efeito de escala; e,
ˆjt
t
part
e
∂
∂ é o efeito-composição.
Para os equilíbrios em que ( ) ( )v h′ ′⋅ > ⋅ ocorre uma solução de canto. Estes equilíbrios
ocorrem em níveis mais baixos de produto potencial ( )y (STOKEY, 1998). Como os retornos
marginais da variável ^
tke são decrescentes para níveis mais elevados de produto, ocorre a
solução interna: ( ) ( )v h′ ′⋅ = ⋅ . Esta solução interna ocorre, se a utilidade marginal do consumo for
decrescente (STOKEY, 1998). E se, inicialmente, o consumo for positivamente correlacionado
com o nível de renda seja positivamente correlacionado47 (KAMOGAWA, 2004). Os custos
marginais do consumo de energia são crescentes (maior renda causa maior consumo de energia
que, por sua vez, gera maiores níveis de externalidades negativas). Em um determinado ponto, o
benefício marginal do consumo de energia irá se igualar com o seu custo marginal.
Dada a condição acima e a expressão (37), têm-se que a garantia da condição de primeira
ordem, em um ponto de solução interna, dado a manutenção do processo de crescimento
econômico, seria necessário que ocorra: 1) uma substituição da base produtiva intensiva em
47 Isso garante que as externalidades negativas são marginalmente crescentes com o aumento da renda.
44
energia ^
tke
para uma não-intensiva ^
tkne
(migração para uma economia de criação de
tecnologias e de serviços); 2) uma mudança na composição da matriz energética, ou seja, a
mudança na participação de determinadas fontes de energia (principalmente redução no uso das
fontes de origem fóssil e maior participação das energias renováveis); 3) uma alteração na taxa de
crescimento do consumo energético em função do nível de renda, de forma que este se torne
inferior a taxa de recuperação do ambiente, assim, passe a ocorrer uma redução dos poluentes
acumulados no ambiente (esta condição implicaria na EKC); ou, 4) o efeito combinado destes
fenômenos.
3.1.2 O equilíbrio dinâmico
Sejam as seguintes condições: i) dinâmica do capital per capita ˆtk
i
definida pela eq.
(16); ii) função de produção intensiva por trabalhador de acordo com a eq. (32); iii) mercado
competitivo; e, iv) taxa constante de crescimento tecnológico, atendidas, a dinâmica do modelo é
definida por:
[ ] [ ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )t t t t t tk ke kne x n ke kne cα
δ= + − + + ⋅ + −i
(39)
E, a dinâmica do estoque de poluentes é dada por:
( ) ( )1
1J
t t j jt
j
X KE tg partη=
= − ⋅ ⋅ ⋅∑i
(40)
45
Considerando uma CIES48, estoque de capital restrito pela condição de transversalidade
(ver 3.2) e assumindo equilíbrio competitivo das firmas49, a função objetivo dinâmica das pessoas
pode ser escrita como:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
0
^ ^ ^ ^
1
ˆ 1max
1
. .
ˆ ˆ( ) ;
1 ; e,
ˆlim exp 0
n t tt
u
t t t tt t
J
t t j jt
j
tt
c Be X dt
s a
k ke kne x n ke kne c
X KE tg part
k r T T
σγρ
α
σ γ
δ
η
−+∞ − − ⋅
=
→∞
−⋅ − ⋅
−
= + − + + + −
= − ⋅ ⋅ ⋅
⋅ − ⋅ =
∫
∑
i
i
(41)
A maximização desta função objetivo é feita com o uso do Hamiltoniano a valor-presente
de acordo com:
( ) ( )
( ) ( )
1
^ ^ ^ ^
1
21
ˆ 1exp
1
ˆ( )
ˆˆ1
tt
t t t tt t
J
t t t j jt
j
c BH n t X
ke kne x n ke kne c
ke L tg part
σγ
α
ρσ γ
λ δ
λ η
−
=
− = − − ⋅ ⋅ − + −
+ + − + + ⋅ + − +
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∑
(42)
Em que:
1tλ é o preço-sombra do capital;
2tλ é o preço-sombra do estoque de poluentes; e,
, , , , , 0; 0 1 e 1.B x n δ ρ η σ γ> < < >
48 Ou, uma CRRA. 49 Fator que torna endógeno o efeito dos preços sobre a demanda de energéticos (semelhante aos juros).
46
O tomador central de decisões, ao definir os níveis ótimos de c e k , define as condições
de primeira-ordem para um U máximo. Estas condições são dadas pela eq. (43) e pela equação de
Euler (44) abaixo:
( )1 t0 exp tH
c nc
σλ ρ−∂ = ⇒ = ⋅ − − ⋅ ∂
(43)
( )
( ) ( )
( )
11 1 1
1
1
2
1
ˆ ( )ˆ
ˆexp
ˆˆ
ˆ1ˆˆ
ˆˆ1ˆ
t t t t
t tt
t t
J
t j jt
jt
t Jjt t
t t j
j t
Hk x n
k
X keB X n t
ke k
L tg partke
part kke L tg
ke
α
γ
λ λ λ α δ
ρ
η
λ
η
−
−
=
=
∂ − = ⇒ = − ⋅ ⋅ − + + + ∂
∂ ∂ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ − ∂ ∂
− ⋅ ⋅ ⋅ +
∂ − ⋅ ⋅ ∂ ∂ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂
∑
∑
i i
(44)
Supondo que: i) a composição da matriz energética é constante50; e, ii) a variação do
estoque de poluentes esteja diretamente relacionada com a variação do estoque de capital
intensivo em energia (dada a condição i), essas equações mostram que o comportamento ótimo
do consumidor pode ser expressa por (maiores detalhes do processo algébrico, ver o ANEXO A):
( )( )
1
12
1
ˆˆ 1
ˆ 1ˆ 1
ˆ
t
tt t
tt
k xc
keZ B Xc
k
α
γ
α δ ρ
λ ησλ
−
−
⋅ − − − +
= ⋅ ∂ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ∂
i
(45)
50 O que implica que: ( )1
0 e constanteˆ
Jjt
j jtt
j
parttg part Z
ke=
∂= ⋅ = =
∂ ∑ .
47
A parcela 1ˆtk xαα δ ρ−⋅ − − − desta equação representa o comportamento ótimo
tradicional do modelo básico de Ramsey-Cass-Koopmans. A segunda parcela, no entanto, é o
ganho líquido de consumo possibilitado pelo uso de energia.
A priori, os benefícios marginais das emissões são superiores aos custos marginais51.
Assim, a variação do estoque do capital intensivo em energia em função da variação do estoque
de capital, ambos medido na forma per capita, é positiva e no limite igual a 1 (ou seja, na situação
onde toda a variação de capital é função da variação no estoque de capital intensivo em energia).
Implicando que: ˆˆ0 1ke k< ∂ ∂ ≤ .
Dado que, os agentes optam por uma tecnologia mais intensiva em poluentes, onde o
preço-sombra do capital total ( )1λ é maior que o preço-sombra do estoque de poluentes ( )2λ (ou
seja, para soluções de canto), ao longo do caminho da transição, ocorre queda de 1λ e o aumento
de 2λ (STOKEY, 1998).
Nessas condições ( ˆˆ0 1ke k< ∂ ∂ ≤ , 1 2lim 0 e limt t
λ λ→∞ →∞
= = ∞ ), mantendo a premissa
essencial da intensificação no uso do capital intensivo na emissão de poluentes;
( ) 12 1t tZ B X γλ η −⋅ − ⋅ > ⋅ , temos que o efeito líquido do consumo de energia na variação do
consumo é exponencialmente crescente em função da variação das emissões de poluentes (Figura
8):
Figura 8 – Efeito do aumento do estoque de poluentes sobre a dinâmica do consumo per capita33
em situações de solução de canto
51 Caso contrário não haveria a expansão no consumo de energia.
X
ˆ
ˆc
c
i
48
No diagrama de fases, isto é equivalente a um deslocamento (expansão) da dinâmica do
consumo de estado-estacionário 0c
=
i
, ao longo do processo de acumulação de renda e
expansão do consumo (Figura 9):
Figura 9 – O diagrama de fases de c e k para o modelo proposto
Esta expansão, no entanto, é limitada pela golden-rule do capital. Especificamente, a
dinâmica do consumo, para uma situação de solução de canto, se expande até o ponto em que o
crescimento do consumo, em um dado período de tempo, resulta na redução do estoque de capital
e consequentemente redução do nível de renda. Isto resulta na convergência da renda e no
consumo de energia52.
A expansão do consumo de energia também limitado pela solução interna da solução
estática (seção 3.1.1).
Assim, no presente modelo, o aumento da velocidade de crescimento no consumo de
energia pode ser limitado não apenas por um, mas por dois fatores: i) até o limite onde um
acréscimo de consumo presente afeta o consumo futuro reduzindo o ganho a valor presente da
utilidade intergeracional total da família (golden rule do capital), comum aos modelos
tradicionais de R-C-K; e, ii) até a igualdade dos benefícios com os custos da emissão de
poluentes – também conhecida como Green Golden Rule - GGR (Le KAMA, 2001).
52 Hipótese comprovada pelos resultados empíricos sobre a convergência da intensidade energética para um grupo de 12 países emergentes da Europa52 (MARKANDYA et al., 2006).
ˆ 0k =i
tc
ˆtk
ˆgoldk
1ˆ 0c =i
2ˆ 0c =i
3ˆ 0c =i
49
3.1.3 A Green Golden Rule - GGR
Apesar das relações anteriores demonstrarem que ocorre um aumento contínuo na
acumulação de capital e do consumo de energia, hipóteses teóricas indicam, no entanto, que é
possível anteriormente ao golden rule do capital ocorrer um ponto onde há a igualdade entre o
benefício marginal do consumo com os seus custos marginais ambientais. Conhecido como a
regra de ouro verde, ou, Green Golden Rule - GGR, é implícito neste ponto que os membros da
unidade familiar estarão extraindo a última unidade possível de utilidade provida pelo nível de
poluentes emitidos (Le Kama, 2001).
Para manter a trajetória do processo de crescimento econômico, a partir deste equilíbrio,
podem ocorrer dois fenômenos: i) a redução no uso dos bens de capitais intensivos em energia;
e/ou, ii) a alteração na composição da matriz energética (mudança para uma matriz menos
intensiva na emissão de poluentes).
Duas conseqüências diretas da estabilidade na emissão de poluentes é a inexistência do
termo diferencial ^
ˆt tke k∂ ∂ e a impossibilidade da intensificação do capital energético (e do
aumento das emissões). Assim, com GGR atuante, tanto para o modelo de emissões do tipo
estoque quanto para emissões do tipo fluxo, tem-se a dinâmica do consumo definida de acordo
com a seguinte equação:
1^ˆ 1ˆGGR
ckne x
c
α
α δ ρσ
− = ⋅ ⋅ − − −
i
(46)
Como ocorre estabilidade na emissão de poluentes totais, o contínuo crescimento
populacional, forçadamente reduz o nível de estoque per capita de poluentes. A simples atuação
da GGR já é condição suficiente para a ocorrência de EKC tanto para o estoque quanto para a
emissão53 de poluentes em termos per capita.
A redução no estoque total é mais complexa. Nesse caso, seria necessário ocorrer a
substituição do capital intensivo em energia pelo capital menos intensivo, ou, segundo um dos 53 Uma vez que o próprio fluxo se estabiliza.
50
fatos estilizados da EKC, que houvesse uma transição de uma economia industrial para uma
economia baseada em serviços.
Esta substituição decorre da premissa inicial que a partir do ponto onde GGR passa a ser
atuante, os indivíduos igualam o benefício marginal das emissões com o seu custo marginal. Tal
relação pode também ser expressa pela seguinte equação:
( )1Benefício Custoˆ 1
marginal 1 Marginalt
t t t
c BX X X
σγ
σ γ
− −= ∂ ∂ = = ∂ ∂ −
(47)
A readequação dos termos da condição acima (ver anexo B) cria a condição dinâmica da
relação entre o estoque de poluentes e o consumo per capita. Essa relação é expressa pela
equação:
( )
ˆ
ˆ1
X c
X c
σ
γ= − ⋅
−
i i
(48)
Para redução no estoque de poluentes, é necessário que: 0XX
<i
. Substituindo a
dinâmica do consumo de GGR representada pela eq. (46) na condição de manutenção da solução
interna (eq. 47), obtêm-se a condição para a redução no estoque de poluentes, definida por:
( )
1^10
1kne x
α
α δ ργ
− − ⋅ ⋅ − − − <
−
(49)
Como a elasticidade da preferência intertemporal do estoque de poluentes ( )γ é maior do
que 1, o estoque total de poluentes diminui quando o produto marginal do capital não-energético
51
1^
kne
α
α−
⋅ , for superior à x δ ρ+ + . Ou seja, com GGR, o estoque de poluentes só reduz se a
valor da produtividade marginal do capital não-intensivo em energia for maior que a taxa de
crescimento de steady-state do capital intensivo em energia. Isto é, se ela for maior que a soma da
taxa de variação tecnológica com a taxa de depreciação do capital e da preferência intertemporal.
Com a condição acima, dada a GGR, o comportamento do estoque de poluentes é
exponencial no primeiro trecho (anterior à GGR) enquanto decresce no segundo trecho. Ou seja,
a economia evolui de uma fase industrial para uma economia de serviços. Este resultado é
semelhante ao postulado de forma teórica por Stokey (1998) e, empiricamente, por Grossman e
Krueger (1995).
3.1.4 O efeito de Z
A variável Z mede o efeito da composição da matriz energética sobre as emissões. No
modelo inicial Z é constante. No entanto, é pouco provável que a composição da matriz
energética de um país mantenha-se constante ao longo do processo de acumulação de capital.
E, o efeito de Z é positivamente relacionado com a dinâmica do consumo eq. (44). Essa
relação expressa por:
( )21
ˆ 11 0
ˆt
t
tt
kec c
Z kλ η
λ
∂∂= ⋅ − ⋅ ⋅ >
∂ ∂
i
(50)
52
Kamogawa e Shirota (2006)54 estimaram para o caso brasileiro que, ao longo do processo
de crescimento econômico, ocorre uma expansão das fontes de energia intensivas na emissão de
poluentes. Isso implica no aumento de Z e, consequentemente, expansão da dinâmica do
consumo.
3.1.5 O efeito de X
A eq. (45) só teria um resultado único, valido para todos os países, se todos tivessem
iniciado o processo de crescimento econômico em iguais condições, no mesmo período de tempo,
e assim se mantivessem ao longo do tempo; como se todos os países formassem uma só
economia.
Obviamente, isso, não é verdade. As diferentes economias iniciaram o seu processo de
crescimento econômico em distintos períodos e, consequentemente, sob diferentes condições.
Assim, o fator X de emissões tem um efeito diferente para cada economia.
O efeito do estoque de poluentes sobre a dinâmica do consumo é negativo eq. (51). Como
o estoque de poluentes tem um processo acumulativo, os países com processo de crescimento
tardio possuem um potencial de crescimento econômico inferior aos países pioneiros.
( ) 2
1
ˆ 11 0
ˆt
t
tt
kec cB X
X k
γγλ
− ∂∂= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ <
∂ ∂
i
(51)
3.1.6 Solução analítica, estabilidade do modelo e convergência
As equações diferenciais que compõe o modelo do estudo proposto formam o que é
conhecido como sistema de equações diferenciais ordinárias. Este sistema tem solução analítica.
Este por, sua vez, determina o comportamento da economia e das variáveis dinâmicas do modelo
54 Inicialmente este trabalho era parte integrante do corpo da tese, mas, devido a sua extensão, apenas o seu resultado final foi incorporado ao corpo do trabalho.
53
ao longo do tempo (incluindo a velocidade de convergência), e permite checar a sua estabilidade
(BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004).
O sistema de equações que caracterizam o modelo utilizado no presente estudo é dado
pelas eq.(s) (39) e (45). Re-escrevendo o sistema em termos dos logs de c e k, obtem-se o sistema
definido por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
ˆ ˆˆ1 log log
ˆ1 log
12
1
ˆlog
1ˆlog ˆ 1
1ˆ
k c k
k
tt t
tt
d k dt e e x n
e x
d c dt keZ B X
k
α
α
γ
δ
α δ ρ
σ λ ηλ
− −
− − ⋅
−
= − − + +
⋅ − − − +
= ∂ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
∂
(52)
Aplicando a expansão de Taylor à primeira-ordem no sistema (52) em torno do kestado-
estacionário, deriva-se o seguinte sistema:
( )( )
( )( )
( )( )
*
*
2ˆlog
0ˆlog
ˆ ˆlog
ˆ ˆlog
x n x nd k dt
d c dt
k k
c c
α ζ δ ζ δ
α ζ
σ
− − − ⋅ + + + − − − = ⋅⋅
⋅
(53)
Em que:
( )( )121
ˆ1 11
ˆt
t t
tt
keZ B X x n
k
γζ λ η δα λ
− ∂
= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + + ∂ ;
*k é o estoque de capital de estado-estacionário; e,
*c é o nível de consumo de estado-estacionário.
54
O sistema acima é linear homogêneo e a sua solução analítica é ( )y t VEb= (BARRO;
SALA-I-MARTIN, 2004) (ver anexos G e H). Ele determina uma matriz 2x2, e, dessa forma,
possui dois autovalores (ver anexo I). A determinação destes dois autovalores é dada por:
( )( )2det 0
x n x nα ζ δ ε ζ δ
α ζε
σ
− − − ⋅ + + + − − − − =⋅ −
(54)
Em que:
ε representa os autovalores.
As soluções do sistema acima são:
( )( ) [ ]2 2 0x n x nα ζ
ε α ζ δ ε ζ δσ
⋅+ − − ⋅ + + + ⋅ − ⋅ − − − =
(55)
E, que gera duas soluções dadas por:
( )( )2 2 x nε α ζ δ= − − ⋅ + + + ±
( )( ) [ ]1 2
22 4x n x n
α ζα ζ δ ζ δ
σ
⋅ ± − − ⋅ + + + + ⋅ ⋅ − − −
(56)
A estabilidade do sistema requer que os autovalores tenham sinais opostos (BARRO;
SALA-I-MARTIN, 2004) (ver anexos H e I). A condição necessária para garantir que os
autovalores da eq. (55) tenham sinais opostos é dada por:
55
( )( ) ( )( ) [ ]1 2
22 2 4x n x n x n
α ζα ζ δ α ζ δ ζ δ
σ
⋅ − − ⋅ + + + < − − ⋅ + + + + ⋅ ⋅ − − −
e
( )( ) [ ]2
2 4x n x nα ζ
α ζ δ ζ δσ
⋅− − ⋅ + + + > − ⋅ ⋅ − − − .
Para garantir a condição de convergência, a constante arbitrária relacionada com o
autovalor de sinal positivo deve ser zero. A outra constante arbitrária, a de sinal negativo, é
definida pela condição inicial (ver anexos F, G e H). A velocidade de convergência corresponde a
esta raiz de sinal negativo, definida de acordo com:
( )( )2 2 x nε α ζ δ= − − ⋅ + + + −
( )( ) [ ]1 2
22 4x n x n
α ζα ζ δ ζ δ
σ
⋅ − − − ⋅ + + + + ⋅ ⋅ − − −
(57)
Para determinar o efeito do processo de crescimento econômico, e consequentemente, da
acumulação de poluentes na velocidade de convergência, foram utilizados os valores para os
coeficientes α , x, n, δ , σ e ρ já consagrados na literatura55. Os valores dos demais
coeficientes ( )1 2, , e Bλ λ γ foram simulados de forma a manter: ( ) 12 1t tZ B X γλ η −⋅ − ⋅ > ⋅ . A
razão: 2 1λ λ , foi também simulada dentro de um intervalo de possíveis valores56. Já, a razão
^ˆke k∂ ∂ 57, é a variável a ser controlada (Figura 10).
55 Extraídos de Barro & Sala-I-Martin (2004) e Romer (1996) ( 1 3; 0,02; 0,01;x nα = = = 0,05;δ = 0,02;ρ =
1,75σ = ).
56 Simulação feita utilizando o software Mathematica 5.0, a programação está no CD-ROM em anexo. 57 Por hipótese o estoque inicial de poluentes e a mão-de-obra disponível foram normalizados para a unidade em t=0.
56
0.2 0.4 0.6 0.8 1
∂ke k
-120
-100
-80
-60
-40
-20
Variaç ão taxa de convergê ncia
Figura 10 – Efeito da variação do estoque de poluentes na velocidade de convergência em função
da razão ˆˆke k∂ ∂ para três cenários para 2 1λ λ
Controlando a razão
^
ˆke
k
∂
∂, dentro de alguns cenários para 2
1
λ
λ, o modelo mostra que o
efeito acumulado do nível de poluentes58 na velocidade de convergência é positivo. Quanto maior
a variação do estoque de poluentes, mais rápido o país atinge um determinado nível de renda.
Economicamente, este resultado mostra que, ao longo do processo de crescimento
econômico, obedecidas as condições da solução de canto, ocorre uma intensificação no uso
energético. Este, por sua vez, gera uma expansão no potencial de crescimento econômico. O
efeito combinado desses efeitos gera um processo virtuoso em que um fator estimula o outro.
58 Incorporado na razão 2 1λ λ e na derivada ˆˆke k∂ ∂ .
2 1λ λ =1 2 1λ λ =4 2 1λ λ =16
57
4 METODOLOGIA
4.1 Modelo para o Brasil
4.1.1 Calibração do modelo e ajuste econométrico
A calibração do modelo envolve o uso de parâmetros definidos de forma exógena. Os
valores dos parâmetros , , , , , , , e x nα δ σ ρ η γ não são definidos endogenamente no modelo
deste estudo. Eles são obtidos de forma externa ao modelo.
O parâmetro α da função de produção Cobb-Douglas utilizado foi o valor tradicional da
literatura do crescimento econômico de ˆ 1 3α = (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004; ROMER,
1996).
O progresso tecnológico (x), a taxa de depreciação do capital ( )δ e a taxa de crescimento
populacional (n) também é obtida na literatura. Os seus valores são 0,02; 0,05 e 0,01,
respectivamente (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004; ROMER, 1996).
Um dos principais problemas descritos pela literatura dos modelos intergeracionais é a
estimação de duas variáveis essenciais: a constante de aversão relativa ao risco ( )σ , ou, a sua
recíproca, a elasticidade de substituição intertemporal ( )1 σ ; e, a taxa de preferência/desconto
temporal ( )ρ .
Trabalhos empíricos aplicados a dados de consumo nos Estados Unidos sugerem uma
elasticidade de substituição intertemporal em valores que variam desde 0,05 até valores
superiores a um (o valor comumente utilizado é de 1,75); e para a taxa de preferência
intertemporal, valores entre 0,015 e 0,02 (BEINE et al., 2001), podendo ser igual à zero (HALL,
1988). No Brasil, um estudo empírico estimou uma elasticidade de substituição intertemporal de
0,21 (ou sua recíproca a aversão ao risco igual a 4,76); e uma taxa de preferência de 0,089
(ISSLER; PIQUEIRA, 2001).
58
A metodologia aplicada na maioria dos estudos empíricos até agora observados na
literatura é o Método Generalizados de Momentos - MGM59. Beine et al (2001), utilizaram o
MGM associados a dados da pesquisa de consumo norte-americana dispostos em um
pseudopainel, tendo os seus parâmetros compilados pelo procedimento do estimador de mínima
distância. Outro destaque neste estudo é o uso de uma função de utilidade que discrimina
consumo e lazer. Ogaki e Reinhart (1998), utilizaram-se de dados do consumo norte-americano
em série temporal, discriminando bens duráveis e não-duráveis, associando o MGM com os
métodos de cointegração. Issler e Piqueira (2001) realizaram um estudo para o caso brasileiro,
aplicando o MGM a dados em séries de tempo, aplicado a outros dois tipos de função utilidade
além da CIES, ou, CRRA: a função de utilidade com hábito externo (ou, “Maria vai com as
outras”), e a função de utilidade de aversão ao desapontamento (também conhecida como função
Kreps-Porteus).
A simulação feita neste estudo utiliza valores obtidos por Issler e Piqueira (2001).
O estimador de ( )η é obtido pelo rearranjo da eq. (33). Dado que os valores possuem
escalas diferentes60, eles são normalizados para a unidade ao nível de t=0. Obtido um resultado, é
possível defini-lo como a média dos valores observados, que por sua vez têm a sua normalidade
testada para corroborar o modelo. Estas relações estão expressas por:
0 0 1 1
ˆT T
ttt
t t t t
F XT T
X Xη η
= = − −
= = −
∑ ∑i
(58)
A estimação do parâmetro γ requer um procedimento complexo. Apesar de importante,
ele não trará necessariamente grandes benefícios ao resultado final do trabalho. É mais
conveniente, portanto, utilizar um valor arbitrário, mas plausível, para γ . Plausível significa um
valor superior a 1, segundo convenção estabelecida ao longo do texto, cujo valor seja suficiente
para que ocorra uma solução de canto.
Essas mesmas premissas são adotadas para o parâmetro B.
59 Generalized Method of Moments - GMM. 60 As emissões são medidas em Gg per capita/ano e o estoque em ppm.
59
Apesar de serem resposta da dinâmica do modelo e das variáveis endógenas, as relações
ˆˆke
k
∂
∂ e 2
1
λ
λ não podem ser controladas nem pelas famílias, nem pelo planejador central. O
planejador central, conforme estipulado, apenas controla o consumo e o estoque de
investimentos. Dessa forma, os seus valores foram obtidos através de simulação.
A constante Z conforme especificado anteriormente, foi obtida de Kamogawa e Shirota
(2006). Ou seja, crescente ao longo do processo de crescimento econômico, com um valor inicial
igual a 1, normalizado em t=0.
4.1.2 Obtenção da solução analítica
Com os parâmetros obtidos na calibração estruturou-se o sistema de equações dinâmicas
que determina os comportamentos de k e c . A solução analítica foi obtida a partir destas
equações dinâmicas utilizando o sistema de algoritmos desenvolvidos por Tabarrok (2000) para o
software Mathematica® (ver em CD-ROM em anexo).
4.1.3 Base de dados61
Os dados de estoque de CO2 são os coletados nas estações metereológicas de Point
Barrow (Alaska), Mauna Loa (Hawaii), Amundsen Scott (Antártida) e Samoa Americana (Samoa
Americana), pela Agência Nacional Oceânica e Atmosférica do Governo Americano (National
Oceanic and Atmospheric Agency – NOAA, 2005). A sua unidade é ppm (partes por milhão) e os
dados são diários e o período entre janeiro de 1973 a julho de 2005. Para a análise os dados foram
convertidos para uma média anual entre os anos de 1980 a 2000.
Uma rápida análise destes dados indicam um crescimento de 10% no estoque mundial de
CO2, representando uma taxa média de crescimento de 0,5% ao ano. Abaixo segue um
demonstrativo da evolução da média anual deste estoque:
61 Os dados utilizados nesta análise também estão disponíveis no CD anexo.
60
340
345
350
355
360
365
370
375
380
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Figura 11 – Evolução do estoque (concentração) atmosférico de CO2 em ppm: 1980 ~2000
Fonte: NOAA (2005)
O fluxo (emissões) de CO2 total anual foi obtido do World Development Data (WORLD
BANK, 2005). Essa variável é expressa em Gg per capita por ano e cobre o período de dados
compreende entre os anos de 1981 a 2000. Os dados foram convertidos para estimativas totais ao
multiplicarmos o fluxo per capita pela estimativa da população (WORLD BANK, 2005).
Dentro do período analisado, o fluxo mundial de emissões de CO2 sofreu uma grande
redução entre os anos de 1980 a 1983, coincidindo com o período posterior à crise do petróleo.
No período posterior, a tendência geral foi de alta, resultando em um crescimento aproximado de
15% entre os anos de 1983 e 2000. Como observado na figura abaixo:
350
360
370
380
390
400
410
420
430
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Figura 12 – Evolução da emissão anual mundial de CO2 (em Gg por ano): 1980~2000
Fonte: World Bank (2005)
Concentração de CO2 em
ppm
Emissão mundial de CO2
(Gg/ano)
61
4.2 Convergência
4.2.1 Convergência condicionada
Segundo a hipótese teórica traçada e explicitada no CD-ROM em anexo, as emissões são
relacionadas de forma crescente e exponencial com a renda. E de acordo com a Green Golden
Rule62, o estoque de poluentes é positivamente correlacionado com a renda. Mas a partir de um
determinado ponto, eles passam a ser negativamente correlacionados.
Estas hipóteses foram empiricamente testadas através do procedimento da convergência
condicionada sugerida por Barro e Sala-I-Martin (1992), já descrito na eq. (22).
O modelo empírico tradicional de Barro e Sala-I-Martin (1992) utiliza dados em cross-
section para um único período, considerando um largo intervalo de tempo (10, 20 anos)63.
Entretanto, no caso de um grande grupo de países e muitas variáveis explanatórias, os dados em
cross-section podem não ser suficientes para gerar um resultado não-viesado. O uso de dados em
painel, com intervalos mais curtos de tempo (1, 2, 3 anos) é uma alternativa. No entanto, é
necessário considerar que use de dados anuais pode gerar problemas de autocorrelação (ISLAM,
1995).
Dados em painel (ou dados longitudinais) são repetições dos dados de várias unidades
cross-section ao longo do tempo. No presente trabalho foram utilizados os modelos de regressão
de dados em painel por pooling e os modelos de efeitos não observados: regressão por efeitos-
fixos e aleatórios.
Para explicar a variável dependente (taxa de variação da renda per capita entre o período t
e o t-1 – varyt), além da variável independente principal (o log natural da renda per capita – lny) e
da sugerida no presente estudo: a variação do fluxo per capita de emissões de dióxido de carbono
(f); controlados por: participação dos gastos do governo no consumo total (gc), taxa de inflação
(π ), grau de investimento (i), grau de abertura econômica (open) e uma variável dummy para o
período posterior à década de 90 (dec90)64.
A regressão por pooling (JUDGE et al., 1988; WOOLDRIDGE, 2003) é um método de
regressão por mínimos quadrados ordinários cujos dados estão dispostos em painel de forma que
62 Ver 3.1.3. 63 Diferença em anos entre t e t-1. 64 Período posterior que deu início a uma grande convergência tecnológica (spillover de tecnologia).
62
cada observação corresponde aos valores de um determinado conjunto de variáveis para uma
unidade cross-section i para um período de tempo t. Para a hipótese de convergência da eq. (22),
ela é representada econometricamente pela seguinte forma:
,, 1 , 1 ,
, 1
ln lni t
i t i t i t
i t
yy X erro
yα β λ− −
−
′ ′= + + +
(59)
Em que:
( )1 te εβ −= − − e ε é a velocidade de convergência;
,ln i ty é o logaritmo natural da renda per capita do país i no período de tempo t;
λ são os efeitos das outras variáveis controle;
Xi,t-1 é a matriz de variáveis controle do país i no período de tempo t-1;
erroi,t é a matriz de erros aleatórios do país i no período de tempo t ( ( ), 0i jE e e = e
( )1, 0t tE e e − = ).
Aparentemente, no entanto, a dispersão da renda sofre influência de choques/efeitos
regionais não observáveis (como efeitos de variações climáticas ou culturais). Isto fere o
pressuposto da constância na variância dos erros ao longo do tempo. Um choque em um
determinado grupo, em um determinado período de tempo, afeta o erro do período seguinte,
superestimando ou subestimando a convergência da renda (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004).
Consequentemente a regressão por MQO pode gerar viés na convergência da renda. Para
resolver este problema é necessário utilizar a convergência condicionada, e correção dos erros da
regressão por mínimos quadrados generalizados ou regressão por efeitos fixos ou aleatórios.
O modelo de regressão por efeitos-aleatórios é indicado quando as diferenças entre as
unidades cross-sections, que neste caso foram sugeridos os países, são dadas por uma mudança
paramétrica nos termos da função. O termo não observável, neste caso, faz parte de um resíduo v.
Outra imposição é de ortogonalidade entre o termo não observável e as variáveis explanatórias. O
modelo é tradicionalmente representado por:
63
,, 1 , 1 ,
, 1
ln lni t
i t i t i t
i t
yy X v
yα β λ− −
−
′ ′= + + +
(60)
Em que:
, ,i t i i tv u erro= +
i representa os grupos (países);
( ) ( ),
são os parâmetros a serem estimados;
é o erro aleatório do país ;
0;
i
i
i t i
u i
E erro E u
β
= =
( )
( )
2 2,
2 2
;
;
i t erro
i u
E erro
E u
σ
σ
=
=
( ), 0 para todo , e ;i t jE erro u i t j⋅ =
( )
( ), , 0 se e ; e,
0 se .
i t j s
i j
E erro erro t s k j
E u u i j
⋅ = ≠ ≠
⋅ = ≠
Uma vez que , ,i t i i tv u erro= + , o estimador eficiente de Mínimos Quadrados
Generalizados é dado pela equação seguinte (WOOLDRIDGE, 2003):
( ) ( )1
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2i i i i ib X X X y
−
− − − − ′ ′= Ω Ω ⋅ Ω Ω
(61)
Em que:
1/ 2 ˆI iiT
θ− ′Ω = − ;
i é um vetor Tx1de valores 1; e,
64
( )1/ 22 2
1 erro
u erroT
σθ
σ σ= −
+.
O modelo de regressão por efeitos-aleatórios foi testado pelo Multiplicador de Lagrange
de Breush-Pagan (WOOLDRIDGE, 2003).
O modelo de regressão por efeitos-fixos assume que as diferenças entre os grupos podem
ser estimadas a partir das diferenças no termo constante. Neste caso, o termo não observável pode
ser função de qualquer uma das variáveis explanatórias. O modelo básico de regressão de dados
em painel com efeitos-fixos é dado pela seguinte forma (WOOLDRIDGE, 2003):
,, , 1 , 1 ,
, 1
ln lni t
i t i t i t i t
i t
yi y X erro
yα β λ− −
−
′ ′= ⋅ + + +
(62)
Em que:
i são os países;
são os parâmetros a serem estimados; e,iβ
,i terro é o erro aleatório no grupo i no período de tempo t ( )( )2, ~ 0, .i terro N σ
A hipótese de diferença entre os grupos é testada pela estatística F, com a hipótese que
todos os termos são iguais. A rejeição da hipótese nula, é rejeitado o modelo de efeitos-fixos em
favor de um modelo por pooling. A estatística F utilizada para testar o efeito-fixo é dada pela
seguinte equação (WOOLDRIDGE, 2003):
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
11,
1
u p
u
R R nF n nT n i
R nT n i
− −− − − =
− − −
(63)
Em que:
65
n é o número total de observações;
T é o número de períodos de análise;
i é o número de países;
2uR é o coeficiente de determinação do modelo não-restrito; e,
2pR é o coeficiente de determinação do modelo restrito.
A comparação entre os resultados das regressões por efeitos fixos ou aleatórios foi feito
pelo teste de Hausman (HAUSMAN, 1978).
4.2.2 Dados65
A medida de produto per capita utilizada no estudo foi o Produto Interno Bruto – PIB
(Gross Demand Product – GDP)66. Os valores foram tomados em termos reais da Paridade do
Poder de Compra (Purchase Power Parity – PPP) em US$ de 2000. A fonte dos dados foi o Penn
World Table versão 6.1 (HESTON; SUMMERS; ATEN, 2002). A amostra inclui 104 países (ver
anexo C), e a análise compreende o período entre os anos de 1981 a 2000.
A proporção dos gastos do governo sobre o consumo total privado foi obtida a partir da
razão da proporção dos gastos do governo sobre o PIB total sobre a proporção do consumo
privado total sobre o PIB total. O grau de abertura econômica foi considerado a preços
constantes. Ambas foram obtidas no Penn World Table versão 6.1 (HESTON; SUMMERS;
ATEN, 2002). A lista de países e o período de tempo considerado são os mesmos do utilizado
para o PIB per capita.
A taxa de inflação (medido pelo deflator do PIB em % ao ano), o grau de investimento
(medido pela razão entre os gastos em investimento e o PIB, em %) e o fluxo per capita de
emissões de dióxido de carbono (medidos em Gg/ano), ambos por país (WORLD BANK, 2005).
65 Os dados utilizados nesta análise também estão disponíveis no CD-rom em anexo. 66 Esta é a aproximação de renda mais utilizada nos estudos de convergência. Evidências empíricas mostram que a escolha do indicador de renda não exerce grandes diferenças no resultado final (BARRO; SALA-I-MARTIN, 1992).
66
5 RESULTADOS
5.1 Solução analítica
Conforme postulado na eq. (45) demonstrado graficamente pelas Figuras (8 e 9) o
consumo de estado estacionário é deslocado com a intensificação do nível de emissões. Na seção
3.1.6 foi também demonstrado que a intensificação no nível de emissões aumenta a velocidade de
convergência.
Estas hipóteses são constantes com a solução analítica (ver CD-ROM em anexo).
Conforme o resultado obtido, a intensificação no nível de emissões (simulados pelo aumento da
razão 2 1λ λ ) desloca o estado-estacionário (Figura 13 e 14) quanto aumenta a taxa de
crescimento econômico (Figuras 14).
1 2 3 4 5 6Estoque de Capital
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Consumo
Figura 13 – Diagrama de fases unificado para os dois cenários para a razão 2 1λ λ
2 1 1λ λ = 2 1 64λ λ =
67
10 20 30 40 50 60 70
Tempo
2
3
4
5
Estoque de capital per capita
Figura 14 – Dinâmica da transição do capital para o modelo teórico proposto para dois cenários
da razão 2 1λ λ
A renda per capita e sua taxa de crescimento, são igualmente influenciadas (de modo
positivo) pela intensificação no nível de emissões (Figura 15).
10 20 30 40 50 60 70Tempo
1.2
1.4
1.6
1.8
y
10 20 30 40 50 60 70Tempo
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
y°
y
Figura 15 – Dinâmica da transição da renda per capita e da sua taxa de crescimento proposto para
dois cenários da razão 2 1λ λ
2 1 1λ λ = 2 1 64λ λ =
2 1 1λ λ = 2 1 64λ λ =
68
5.2 Convergência mundial condicionada
A taxa de recuperação, segundo a metodologia indicada, apontou uma taxa média de
99,48% de absorção das emissões de CO2, ou seja, a cada 100 gramas de dióxido de carbono
emitidas, em média, meio grama permanece na atmosfera, não sendo absorvida pela natureza.
Esta média, por sua vez, pode ser tomada como uma boa aproximação de um valor mais
provável, dado que o valor mais freqüente se aproxima deste valor médio obtido. Como
observado na figura abaixo:
Taxa de Recuperação
1,0000
,9975
,9950
,9925
,9900
,9875
,9850
,9825
,9800
,9775
12
10
8
6
4
2
0
Std. Dev = ,00
Mean = ,9945
N = 20,00
Figura 16 – Histograma da taxa de recuperação ambiental
Utilizando os dados descritos na metodologia e o resultado acima, pelos resultados
econométricos, tanto para a regressão por efeitos-fixos quanto aleatórios, não foi possível rejeitar
a hipótese nula de que os efeitos específicos das unidades cross-section de confiança de 99% (ver
Anexo D, Tabela 1). Como conseqüência, o modelo de regressão por pooling é estatisticamente
superior.
69
Neste modelo de regressão por pooling, os parâmetros foram estimados por Mínimos
Quadrados Generalizados - MQG para corrigir a heterocedasticia causada pelas emissões. Por
MQG, todos os parâmetros são estatisticamente significativos com 99% de significância (ver
anexo D, Tabela 1). As estimativas das variáveis do tipo controle tem os sinais consistentes com
a literatura (Barro e Sala-I-Martin, 2004). Ao contrário da literatura para dados anuais, os
resíduos não se mostraram auto-correlacionados67 (ver anexo D, Tabela 2). Tampouco foram
rejeitadas as hipóteses de resíduos homocedásticos, normalmente distribuídos e com média zero
(ver anexo D, Figura 18).
Assim, é possível dizer que as emissões estão positivamente relacionadas com a relação
( ), , 1ln k t k ty y − , conforme resultado postulado pela solução analítica (ver anexo D, Figura 19).
5.3 Solução decentralizada e o processo de internalização das externalidades
Tanto a solução analítica quanto a análise de convergência, mostram que as emissões são
positivamente correlacionadas com o crescimento econômico, não havendo indicação de um
turning-point natural. Isto indica a rejeição da hipótese de uma EKC nos moldes tradicionais.
Este resultado é aderente com a literatura, tais como: Shafik e Bandyophadyay (1994), Grossman
e Krueger (1995), Richmond e Kaufmann (2006) e Kamogawa (2004).
Não existe um mecanismo, via sistema de produção, para um abatimento (redução) no
nível de emissões. O abatimento nas emissões dependerá diretamente da preferência da
população, conhecido também como a Green Golden Rule.
O anseio popular é refletido no trade-off entre os benefícios e os custos das emissões. A
preferência, para ser eficiente, implica na racionalidade e sensibilidade dos agentes. No entanto,
no caso das emissões, esta racionalidade e sensibilidade é influenciável68, possivelmente de
maneira imprecisa e pode levar a um resultado intertemporal não ótimo.
Um repúdio excessivo às externalidades negativas pode restringir o uso do capital
intensivo em energia, prejudicando demasiadamente o crescimento econômico futuro. Uma
67 Hipótese testada pelo modelo de regressão dos resíduos contra a variável tempo. 68 Sujeito a observações de curto-prazo, com maior ou menor repúdio às emissões.
70
aversão pequena demais pode resultar em insustentabilidade ambiental, prejudicando a qualidade
de vida.
Mesmo com GGR eficiente, o turning-point, no entanto, só ocorre em caso de uma
solução de planejador central (ver 2.2.6). Para que um processo de tomada de decisão
decentralizada resulta em um resultado Pareto-ótimo seria necessário a ausência de falhas de
mercado.
As emissões de poluentes, principalmente as de dióxido de carbono, por suas
características físicas, são uma externalidade negativa, não-rivais e não-excludentes, que
representam situações de falhas de mercado69. Isto impossibilita: i) a sua precificação; ii) a
internalização das externalidades; e, iii) privatização dos benefícios de uma redução nas
emissões.
Para que o abatimento nas emissões ocorra, através de mecanismos de mercado além das
condições de GGR, é necessário criar mecanismos para a internalização das externalidades.
Dentre os exemplos de esforço nessa direção estão o tratado de Quioto e as leis de
regulamentação de emissões como o Clean Air Act.
Este tipo de política, no entanto, devem considerar que os países pioneiros no processo de
crescimento econômico estavam bem aquém do ponto de GGR no início do processo de
crescimento econômico e, assim, se mantiveram até atingir o ponto de steady-state. E, os países
com processo de crescimento mais tardio tendem a estar abaixo de seu ponto steady-state no
momento de criação dessas políticas de internalização dos custos das emissões (conforme
discussão traçada em 3.1.5). Estes são os maiores prejudicados com tais políticas.
Assim, a estratégia adotada no tratado de Quioto, restringindo as emissões dos países de
maior renda per capita, e, não necessariamente, dos maiores emissores, é consistente com os
resultados obtidos no presente estudo.
69 Para uma melhor discussão sobre falhas de mercado em recursos naturais e ambientais ver Randall (1987).
71
6 CONCLUSÕES
O presente estudo mostra que, efetivamente, não existe um mecanismo natural para a
redução das emissões.
O turning-point da curva do tipo EKC, só ocorre através da pressão popular e pela
implantação de políticas eficientes de internalização econômica da externalidade negativa gerada
pelas emissões.
No lado das preferências da população destaca-se a dicotomia entre crescimento
econômico e manutenção da qualidade de vida e sustentabilidade ambiental. Políticas eficientes
de internalização são aquelas capazes de prejudicar menos os países em processo mais tardio de
crescimento econômico.
Esperar até o ponto de equilíbrio entre os benefícios e custos das emissões e depois
esperar as medidas regulatórias cabíveis pode ser um processo muito extenso, incompatíveis com
a velocidade das alterações ambientais. Medidas corretivas drásticas terão de ocorrer caso ocorra
uma percepção inadequada dos danos ambientais.
Uma boa percepção também não é um bom indicativo para ocorrer uma política de
redução de emissões eficientes, uma vez que a renda não é homogeneamente distribuída. Assim,
o custo da abdicação do consumo de energia para uns pode ser maior do que para outros.
Principalmente para os países abaixo do steady-state, ou seja, aqueles ainda capazes de crescerem
acumulando capital.
Pela derivação dos resultados do modelo sugerido, o desenvolvimento tecnológico,
principalmente em tecnologias não intensivas em energia70, é uma via para garantir o crescimento
econômico, tanto para os países de maior quanto para os de menor renda, sem interferir na
qualidade ambiental.
A tecnologia gera entre outros efeitos, o aumento da eficiência energética (maior
produção com a mesma quantidade de energia). Isto é consistente com um dos fatos estilizados
da EKC: a passagem de uma economia baseada na indústria poluidora para uma economia
baseada em serviços e desenvolvimento tecnológico.
O Brasil, aparentemente, parece estar no caminho correto para a sustentabilidade. Uma
vez que, o crescimento das patentes relacionadas com tecnologias não industriais (programas de
70 Como desenvolvimento de softwares, Tecnologia da Informação - TI, logística.
72
computador ou softwares) suplanta aos industriais que dá indicação de um início de queda
(Figura 17). Apesar do número absoluto de patentes industriais ainda ser seis vezes superior ao de
softwares (BRASIL, 2007).
0100200300400
500600700800900
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
Programas de computador Desenho industrial
Figura 17 – Brasil: evolução do número de patentes requeridas por tipo de setor, 1990 a 2004
(1990=100)
Fonte: Brasil (2007)
Mas em termos de desenvolvimento tecnológico, o Brasil está muito abaixo do líder Japão
(com 136 vezes mais patentes por pessoa que o Brasil), inferior a média mundial e abaixo de
países como Hungria e Argentina, mas acima de países como o Chile, Índia e México (WORLD
INTELECTUAL PROPERTY ORGANIZATION - WIPO, 2007).
Outra via possível é a substituição das fontes de energia intensivas na emissão de
poluentes por outras menos agressivas. Esta substituição pode retardar o ponto de GGR,
permitindo a intensificação energética sem afetar o meio-ambiente. No entanto, é importante
salientar que podemos estar trocando um tipo de externalidade por outra71, além da real
possibilidade da escassez destas fontes.
Quanto aos objetivos, dadas as restrições, pode-se considerar que o presente estudo
completou satisfatoriamente os pontos traçados.
71 Por exemplo: a energia nuclear não emite poluentes provenientes de um processo de combustão, entretanto, gera resíduo nuclear; a produção do etanol de cana-de-açúcar utiliza-se de recursos produtivos como a terra e a água que poderiam ser utilizadas para a produção de alimentos; e, no caso da energia hidroelétrica ocorre situação semelhante ao inundar áreas para a construção da barragem.
Quantidade de patentes
requeridas
73
Único ponto que não foi satisfatoriamente completado foi a determinação correta da
trajetória do crescimento devido a ausência da estimação dos parâmetros determinantes da dês-
utilidade das emissões.
Mas, conforme descrito, tal estimação foge do escopo do estudo, ficando como uma
sugestão para trabalhos futuros.
74
REFERÊNCIAS
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79
ANEXOS
80
ANEXO A – O equilíbrio das condições de primeira-ordem
Dado que: ( )ˆ x n t
tL e+ ⋅
= , ( )1
J
j jt
j
Z tg part=
= ⋅∑ , o rearranjo dos termos da condição de
primeira-ordem (eq. 44), resulta em:
( )( )
1
11
1 12
ˆˆˆ ( )ˆ
1
xttnt
tt t
tt
tt ttt
XB X e ke ekek x n
ke Z
γ
α
ρ
λα δ
λ λλ η
−
−
−
∂ ⋅ ⋅ ⋅ − ∂∂ = − ⋅ − + + + ⋅ ⋅ ∂ − ⋅ − ⋅ ⋅
i
(64)
Substituindo a eq. (64) no operador logaritmo da eq. (45), assumindo que a tomada de
decisão é baseada em dados presentes (t=0), têm-se:
( )( )
1
12
1
ˆˆ 1
ˆ 1ˆ 1
ˆ
t
tt t
tt
k xc
keZ B Xc
k
α
γ
α δ ρ
λ ησλ
−
−
⋅ − − − +
= ⋅ ∂ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ∂
i
(65)
81
ANEXO B – Condição para a redução do estoque de poluentes
Considerando a função de utilidade definida em (47), a igualdade entre o benefício
marginal e o custo marginal do estoque de poluentes é representado por:
( )1ˆ 1
1t
t t t
c BX X X
σγ
σ γ
− −∂ ∂ = ∂ ∂ −
(66)
Aplicando a regra da cadeia de derivação na eq. (66) resulta em:
( )1
1ˆ ˆ1 1ˆ1
t tt
t t
c cB X
c X
σγ
σ
−− − ∂
∂ ⋅ = ⋅ − ∂ ∂
(67)
Tirando o logarítmico natural da eq. (67), tem-se:
( )ˆ
ˆln ln ln 1 lntt t
t
cc B X
Xσ γ
∂− ⋅ + = + − ⋅
∂
(68)
A derivação da eq. (68) em função do tempo, resulta em:
( )ˆ ˆ ˆ
1ˆ
c Xc c
X Xc Xσ γ
∂ ∂− ⋅ + = − ⋅
∂ ∂
i ii
(69)
A relação entre o consumo per capita e o estoque de poluentes permanece constante para
GGR atuante. Portanto: ˆ ˆ
0c c
X X
∂ ∂=
∂ ∂
i
. Assim, o re-arranjo dos termos da eq. (69) permite
82
demonstrar que a dinâmica da taxa de variação do estoque de poluentes para situações em que o
benefício marginal da poluição é igual ao seu custo é dado por:
( )ˆ
ˆ1
X c
X c
σ
γ= − ⋅
−
i i
(70)
83
ANEXO C – Países pertencentes à amostra utilizada na convergência
Argélia Equador Itália Panamá Turquia
Antígua Egito Jamaica Paraguai Uganda
Argentina El Salvador Japão Peru Reino Unido
Austrália Etiópia Jordânia Filipinas EUA
Áustria Finlândia Quênia Polônia Uruguai
Bangladesh França Coréia do Sul Portugal Venezuela
Barbados Gabão Lesoto Romênia Zâmbia
Bélgica Gâmbia Luxemburgo Ruanda Noruega
Benin Gana Madagascar Senegal
Bolívia Granada Malauí Seicheles
Brasil Grécia Malásia Singapura
Burkina Faso Guatemala Mali África do Sul
Burundi Guiné Ilhas Maurícius Espanha
Camarões Guiné-Bissau México Sri Lanka
Canadá Guiné Equatorial Marrocos São Kits e Névis
Cabo Verde Honduras Moçambique São Vicente e
Grenadinas
Chad Hong Kong Nepal Suécia
Chile Hungria Holanda Suíça
China Islândia Nova Zelândia Síria
Colômbia Índia Nicarágua Tanzânia
Comoros Indonésia Níger Tailândia
Costa Rica Irã Nigéria Togo
Costa do Marfim Irlanda do Norte República
Dominicana
Trinidad e
Tobago
Dinamarca Israel Paquistão Tunísia
84
ANEXO D – Resultados econométricos
Tabela 1 – Resultado econométrico da relação entre a taxa de crescimento econômico e demais
variáveis explanatórias para diversos modelos de regressãoa
const. lny f I cg Π open dec90
Poolingb
(1)
0,07268
(0,000)
-0,00548
(0,000)
0,03648
(0,000)
0,00112
(0,000)
0,00015
(0,006)
-0,00001
(0,000)
0,00011
(0,000)
-0,01480
(0,000)
Efeito-fixo
(2)
0,71390
(0,000)
-0,09316
(0,000)
0,01251
(0,000)
0,00429
(0,000)
-0,00023
(0,024)
-0,00001
(0,000)
0,00069
(0,000)
0,01596
(0,000)
Efeito-
aleatório (3)
0,11190
(0,000)
-0,01228
(0,000)
0,02356
(0,000)
0,00161
(0,000)
0,00023
(0,002)
-0,00001
(0,000)
0,00017
(0,000)
-0,00779
(0,009)
(1) Pr>F
(0,000)
(2) Pr>F0
(0,000)
(3) Pr> 2B Pχ −
(0,000)
Hausman
2 x 3
31,59
(0,000)
N
1981
a As probabilidades das estatísticas t estão entre parênteses. b Os regressores foram ajustados por mínimos quadrados generalizados para a variável emissões (cuja heterocedasticia foi detectada pelo teste de Szroeter).
Tabela 2 - Resultado econométrico da relação resíduo no modelo por pooling e a variável
temporal (T)
Const. T Estatística-F Pr>(F) R2-adj. N
0,08302
(0,867)
-0,00004
(0,867)
0,03 0,867 0,000 1981
a As probabilidades das estatísticas t estão entre parênteses.
85
PIB per capita (t -1)
109876
Resíduo
,3
,2
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,4
(a)
Emissões CO2 (Gg per capita/ano)
10-1
Resíduo
,3
,2
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,4
(b)
Grau de abertura econômica (%)
2001000
Resíduo
,3
,2
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,4
(c)
Inflação (% ao ano)
3020100
Resíduo
,3
,2
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,4
(d)
Grau de investimento (% da renda)
3020100
Resíduo
,3
,2
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,4
(e)
Gastos do governo (% do consumo)
1000
Resíduo
,3
,2
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,4
(f)
Figura 18 – Distribuição dos erros de acordo com os valores das variáveis explanatórias (de a à f)
e o histograma dos resíduos (g)
86
Resíduo
,200,150
,100,050
-,000
-,050
-,100
-,150
-,200
-,250
-,300
-,350
120
100
80
60
40
20
0
Std. Dev = ,06
Mean = -,003
N = 300,00
(g)
Figura 18 – Distribuição dos erros ao longo dos valores das variáveis explanatórias (de a à f) e o
histograma dos resíduos (g)
-.5
0.5
Observed/Fitted values
-2 0 2 4 6emissions
Observed Fitted values
Figura 19 – Valores observados e a reta ajustada para a relação ln(GDPt/GDPt-1) e o nível de
emissões per capita
87
ANEXO E – Condição de primeira-ordem do problema dinâmico
A otimização dinâmica em um tempo contínuo parte das condições de Pontryagin
(princípio máximo do controle ótimo). Estas condições generaliza a teoria clássica de otimização
cujas restrições são dadas pela dinâmica de algumas variáveis do tipo estado (BARRO; SALA-I-
MARTIN, 2004; SEIESTAD; SYDSÆTER, 1987).
O ponto inicial para obter as condições de primeira-ordem no problema dinâmico é o
método estático, estabelecido pelo do Teorema de Karush-Kuhn-Tucker para resolver problemas
não-lineares; este Teorema pode ser representado por uma função Lagrangiano (BARRO; SALA-
I-MARTIN, 2004; DORFMAN, 1969; SEIESTAD; SYDSÆTER, 1987).
Para o caso de um problema típico de Ramsey-Cass-Koopmans (ver 4.2.2) este
Lagrangiano é representado por:
( ) ( )0
Utilidade
, ,T
L f k t c t t dt= + ∫
( ) ( ) ( ) ( )0
Dinâmica do capital
, ,T
t g k t c t t k t dtµ
+ ⋅ − ⋅ + ∫
i
( ) ( )
Condição de transversalidade
r T Tk T eν ⋅+ ⋅ ⋅
(71)
Em que:
( )tµ é o preço-sombra (multiplicador de Lagrange) da dinâmica do capital e ν é o preço-
sombra da condição de transversalidade.
88
A dinâmica do capital, em cada período t, é estritamente função de ( ) ( ), ,g k t c t t ,
( ) 0g k− =i
i para cada t. Por conseqüência, o preço-sombra da dinâmica do capital iguala a zero
em todos os períodos de tempo. I.e. ( ) [ ] ( )0
0T
t g k t dtµ
⋅ − ⋅ =
∫i
i .
No intuito de evitar este problema, o termo: ( ) [ ] ( )0
0T
t g k t dtµ
⋅ − ⋅ =
∫i
i é separado
em duas partes pelo processo da integração por partes. Dado que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0T T
t k t dt T k T k k t t dtµ µ µ µ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅∫ ∫i i
, temos que a eq. (71) pode ser
representado por:
( ) ( ) ( ) [ ]0 0
Hamiltoniano
, ,T T
L f k t c t t dt t g dtµ= + ⋅ ⋅ + ∫ ∫ i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
Tr T Tk t dt k T k T k T eµ µ µ ν − ⋅+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅∫
i
(72)
A primeira parte da eq. (72) é conhecida como função Hamiltoniano (H). Do ponto de
vista econômico, pode ser entendido como o produto agregado da economia em termos de
utilidade em valor presente. A sua derivada H t∂ ∂ pode ser interpretado como o ganho de
utilidade provido por [ ]f i mais o ganho marginal possibilitado pelo aumento de [ ]g i
(DORFMAN, 1969).
Controlando as variáveis de interesse k e c, a otimização do problema intertemporal
representado pela eq. (72) é dado pelas seguintes condições de primeira-ordem:
0L H
c c
∂ ∂= =
∂ ∂
(73)
0L H H
k k kµ µ
∂ ∂ ∂= + = ⇒ = −
∂ ∂ ∂
i i
(74)
89
A eq. (73) é conhecida como equação de Euler. Ela mostra que, no nível ótimo de capital
em cada período de tempo, o ganho marginal de utilidade provido por uma unidade adicional de
capital mais a variação do preço-sombra da variação do capital é igual a zero (BARRO; SALA-I-
MARTIN, 2004; DORFMAN, 1969).
Além da condição inicial ( ) ( )0 0 1kµ ⋅ = , a atuação da condição de transversalidade é
garantida por uma condição adicional: ( ) ( )r T Te Tν µ− ⋅
⋅ = . Com isso, a condição de
transversalidade pode ser re-escrita da seguinte forma: ( ) ( ) 0T k Tµ ⋅ = . Ou, ( ) ( )lim 0t
t k tµ→∞
⋅ =
(BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004; DORFMAN, 1969).
90
ANEXO F – Log-linearização do modelo Ramsey-Koopmans e a velocidade de
convergência do estoque de capital
O sistema definido pelas eq(s). (18) e (19) pode ser re-escrito em termos de seus valores
em escala logarítmica, da seguinte forma (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
ˆ ˆˆ1 log log
ˆ1 log
ˆlog
1ˆlog
k c k
k
d k dt e e x n
d c dt e x
α
α
δ
α ρ θ δθ
− − ⋅
− − ⋅
= − − + +
= ⋅ ⋅ − + +
(75)
Tomando estes valores em torno do estado-estacionário
( ) ( )( )ˆ ˆlog log 0d k dt d c dt = = , obtêm-se as seguintes condições (BARRO; SALA-I-
MARTIN, 2004):
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
ˆ ˆˆ1 log * log *
ˆ1 log *
k c k
k
e e x n
e x
α
α
δ
α ρ θ δ
− − ⋅
− − ⋅
− = + +
⋅ = + +
(76)
Expandindo o sistema eq. (75) (expansão de Taylor à primeira-ordem) em torno do ponto
de estado-estacionário, dado pela eq. (76), define-se a eq. (77) (BARRO; SALA-I-MARTIN,
2004):
( )( )
ˆlog
ˆlog
d k dt
d c dt
=
(77)
91
( )
( )( )
ˆ ˆlog *
ˆˆlog *1 0
xx n k k
x c k
ρ θ δζ δ
α
ρ θ δα
α
+ + + + −
= ⋅ + +
− − ⋅
Em que:
( )1n xζ ρ θ≡ − − − ⋅ .
Extraindo os dois autovalores (ver anexo I) deste sistema, têm-se a sua solução
representada por: 2ε ζ= ± ( )( )
( )1 2
2 14
xx x n
ρ θ δαζ ρ θ δ δ
θ α
+ + − + ⋅ ⋅ + + ⋅ − + +
. A
solução analítica deste sistema (ver anexos H e I) é representada por (BARRO; SALA-I-
MARTIN, 2004):
( ) ( ) 1 21 2
ˆ ˆlog log * t tk t k e eε εψ ψ = + ⋅ + ⋅ (78)
Em que:
ψ são as constantes arbitrárias da integração.
Para garantir a estabilidade e a convergência deste sistema é necessário que os dois
autovalores sejam não nulos e de sinal oposto (ver anexo I). Como x x nρ θ+ > + 72 e 0 1α< < ,
os sinais dos autovalores, são opostos e a estabilidade do sistema é garantida.
Como conseqüência, a convergência é garantida se a constante arbitrária da integração
associada ao autovalor positivo for igual à zero. Pois, valores positivos desta constante
contrariam a condição de transversalidade e valores negativos levam a uma convergência à zero
(solução que não é de interesse) (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004).
72 Pela condição de transversalidade (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004).
92
A outra constante arbitrária é determinada pela condição inicial (ver anexos H e I):
( ) ( )ˆ ˆlog 0 log *k kψ = − . Se a constante arbitrária associado ao autovalor positivo for zero,
substituindo as duas constantes arbitrárias têm-se a convergência definida em:
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆlog log 0 1 log *t ty t e y e yε ε− −= ⋅ + − ⋅ (79)
Isto mostra que as economias com estoque inicial de capital inferior ao de estado-
estacionário tendem a crescer assintóticamente até o nível de crescimento de estado-estacionário.
E, as economias com estoque superior tendem a diminuir em direção ao estado-estacionário
(Figura 17).
Figura 20 – O processo de convergência do crescimento do estoque de capital ao longo do tempo
t
k
i
93
ANEXO G – Solução analítica para um sistema de equações lineares homogêneas73
A dinâmica econômica estuda a trajetória temporal de um conjunto de variáveis
relacionadas entre si e a determinação se estas variáveis convergem a um ponto de equilíbrio.
Pelo conceito da otimização intertemporal, a dinâmica econômica determina os valores das
variáveis de escolha que minimizam ou maximizam uma função objetivo.
Dada uma função dinâmica F t∂ ∂ , a trajetória da variável resultante desta função é pela
sua função primitiva. E função é obtida pelo seguinte processo de integração: ( )F t t∂ ∂ ∂∫ .
O resultado deste processo de integração gera dois componentes, o componente de
integração e uma constante arbitrária. Assim, para a determinação da trajetória das variáveis
dinâmicas é necessário o estabelecimento de algumas condições iniciais ou condições de limite.
Considere um sistema de equações lineares, ou seja, com ( ) 0x t = , definidos pela eq.
(80):
( ) ( ) ( )y t A y t x t= ⋅ +i
(80)
Em que:
( )y t é um vetor 1n× de funções variantes com o tempo;
( )y ti
é o vetor correspondente das derivadas temporais, A é a matriz n n× de constantes;
e,
( )x t é um vetor 1n× das funções de tempo conhecidas.
O procedimento para encontrar a solução deste sistema de equações inicia-se com a
decomposição da matriz de informações A, nas matrizes de autovetores constantes V e na matriz
73 Extraído de Chiang (1982) e Barro e Sala-I-Martin (2004).
94
diagonal de autovalores também constantes D74. A partir de V, define-se uma variável ( )z t dada
por:
( ) ( )1z t V y t−= ⋅ (81)
Como V é uma matriz constante, ( ) ( )1z t V y t−= ⋅i i
. Dadas as propriedades dos autovetores
e autovalores e (80), define-se:
( ) ( )1 1 1 1z t V y t V Ay V AVV y Dz− − − −= ⋅ = = =i i
(82)
Esta equação matricial define um sistema de n equações linear diferencial dada pela
forma: ( ) ( )i i iz t z tα= ⋅i
, onde cada iα define um autovalor correspondente e 1iV− é i-nésima linha
de 1V − . A solução para cada uma destas equações diferenciais é dada por: ( ) it
i iz t e bα= ⋅ , onde
cada ib é uma constante arbitrária de integração cujos valores podem ser definidos pela condição
inicial (ver anexo I). Em notação matricial esta solução pode ser representada por:
( )z t Eb= (83)
Em que:
E é uma matriz diagonal com os termos iteα .
Considerando a eq. (82), a eq. (83) gera a seguinte solução analítica do sistema de
equações lineares homogêneas:
74 Obtidos pela solução de: 1V AV D− = .
95
( )y t VEb= (84)
VEb é chamada de integral particular, pois, define uma solução específica para o
sistema de equações.
A estabilidade deste sistema dependerá do sinal de seus autovalores. Existem diversas
possibilidades:
1) Autovalores reais e positivos (o sistema é instável);
2) Autovalores reais e negativos (o sistema é estável);
3) Autovalores reais com sinais opostos (o sistema é de solução de ponto-de-cela);
4) Autovalores complexos com partes reais negativas (o sistema é estável e converge
para um ponto de estado-estacionário de uma maneira oscilatória);
5) Autovalores são complexos com partes reais positivas (o sistema é instável e age
de uma maneira oscilatória);
6) Autovalores são complexos com partes reais nulas (o sistema oscila em torno do
estado-estacionário);
7) Autovalores são iguais (neste caso a matriz de autovalores não pode ser invertida,
assim a solução analítica proposta não pode ser aplicada).
96
ANEXO H – A condição de borda para as constantes de integração
Seja apenas uma equação diferencial não-linear: ( ) ( ) 0y t a y t− ⋅ =i
. Multiplicando ambos
os lados pelo fator ate e fazendo a integração, têm-se (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004):
( ) ( ) 0ate y t a y t dt
⋅ − ⋅ ⋅ = ∫i
(85)
O argumento desta integral é a derivada de ( )ate y t⋅ em relação ao tempo (BARRO;
SALA-I-MARTIN, 2004): ( ) ( ) ( ) ( ) 0at ate y t a y t d dt e y t b ⋅ − ⋅ = ⋅ +
i
, em que 0b é uma
constante arbitrária. Substituindo na eq. (85), tem-se:
( ) 0 0ate y t b⋅ + = (86)
Integrando o termo à direita da eq. (86), e o chamarmos de 1b (onde 1b é uma constante
arbitrária), re-alocando os termos, temos:
( ) ( )1 0aty t e b b−= ⋅ − (87)
Para obter uma solução exata e não arbitrária para a eq. (87), é necessário especificar o
valor da diferença ( )1 0b b− . Para isto, basta definir o valor de ( )y t para pelo menos um ponto no
tempo. Esta solução é conhecida como condição de borda (BARRO; SALA-I-MARTIN, 2004).
Entre as possibilidades, pode-se igualar ( )0y t = a zero. Esta condição de borda é
chamada de condição inicial.
97
Aplicando esta condição na eq. (86): ( ) ( ) ( )01 0 1 00 0 1y e b b b b= − = ⇒ − = − . Assim, a
solução particular da eq. (87) é definido por (Barro & Sala-I-Martin, 2004):
( ) aty t e−= − (88)
98
ANEXO I – Álgebra de matrizes e os autovalores e autovetores
Para qualquer matriz quadrada n-dimensional A é possível encontrar um escalar α que
resolve a seguinte eq. (89):
( ) 0A I vα− ⋅ = (89)
Em que:
I é uma matriz identidade n-dimensional e v é um vetor coluna não-nulo.
Desconsiderando as soluções triviais ( )i.e., 0v ≠ :
( )det 0A Iα− = (90)
Este determinante define uma equação polinomial de grau n em α e é conhecida como
equação característica. As soluções desta equação são as raízes características ou autovalores.
Cada autovalor definido na eq. (90) possui um autovetor relacionado que satisfaz:
i i iA v v α⋅ = ⋅ (91)
Rearranjando a eq. (91) em termos matriciais, têm-se a eq. (92):
AV VD= ou 1V AV D− = (92)
Em que:
V é uma matriz n n× de autovetores, D é uma matriz diagonal com os autovalores iα na
diagonal principal.
